7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

1/39

9/30/2011Metode Numerice

Seminar 11

Introducere in Metode Numerice

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

2/39

Pasii in rezolvarea uneiProbleme Ingineresti

2

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

3/39

Cum rezolvam o problema inginereasca?

3

Descrierea Problemei

Modelul Matematic

Solutia Modelului Matematic

Utilizarea Solutiei

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

4/39

Exemplu de rezolvare a unei

probleme ingineresti

4

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

5/39

Bascula podului

5

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

6/39

6

Piesa

cilindrica

Butuc

Cadru

Bascula Pod

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

7/39

Cilindru-Butuc-Cadru

Procedura Asamblare

7

Pas1. Cilindru imersat in gheata-uscata/alcool

Pas2. Cilindru introdus in Butuc

Pas3. Cilindru -Butuc imersat in gheata-uscata/alcool

Pas4. Cilindru -Butuc introdus in Cadru

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

8/39

Dupa racire, Cilindrul se fixeaza in Butuc

8

Problema

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

9/39

Cum credeti ca se fixeaza cilindrul?

9

Dimensiunea contractiei necesare cilindrului este de 5.421 mm sau maimult.

Credeti ca este suficient?

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

10/39

Efectuarea calculelor

TDD mm314.02D

10

CT o104.438Cmm

o

//m0.169418

mm-5.556D

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

11/39

Este formula utilizata corect?

T(

o

C) (m/mm/oC)

-206.666 0.06223

-184.444 0.07797

-140 0.10363

-106.666 0.11988

-62.222 0.13792

-17.777 0.15240

4.444 0.15849

26.666 0.16433

TDD

11

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

12/39

Modelul ales trebuie sa corespunda variatiei

coeficientului termic de dilatare/contractie

12

dTTDDcil

cam

T

T

)(

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

13/39

13

dTTDDcil

cam

T

T

)(

Poate fi estimata contractia in mod

precis?

Tcam = 26.66oC Tcil = -77.77

oC

D = 314.02 mm

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

14/39

Poate fi gasita o solutie mai buna in

estimarea contractiei?

14

dTTDDcil

cam

T

T

)(

Tcam = 26.66

oC

Tcil = -77.77oC

D = 314.02 mm

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

Coef

dilatare

alfalinTemp( )

Temp

mm4.936D

159.010101.4)( 4 TT

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

15/39

Estimarea Preciziei Contractiei

15

mm5.026D

dTTDD

cil

cam

T

T

)(

Micsorarea diametrului(D) prin racire ingheata uscata/alcoholeste data de relatia:

159.0101.285101.572)( 426 TTT

Tcam= 26.66

oC

Tcil = -77.77oC

D = 314.02 mm

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

Coef

dilatare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

16/39

Asadar care este solutia problemei?

Una din solutii este imersarea cilindrului in nitrogen lichid care arepunctul de fierbere la temperatura de -196oC fata de gheata-uscata/alcohol al carei punct de fierbere este la temperatura de -

117o

C.

mm5.026D

16

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

17/39

Recapitularea pasilor in rezolvarea problemei

17

1) Enuntul Problemei: Cilindrul trebuie fixat inbutuc.

2) Modelare: Dezvoltarea unui nou model

matematic

3) Solutia: a) Utilizarea metodei trapezului de

integrare b) Utilizarea regresiei si integrariinumerice.

4) Implementare: Racirea cilindrului in azot

lichid.

dTTDDc

a

T

T

)(

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

18/39

lgoritmi Matematici

18

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

19/39

Proceduri Matematice

19

Ecuatii Neliniare

Diferentiere Sisteme de Ecuatii Liniare

Aproximarea Curbelor

Interpolare

Regresie Integrare

Ecuatii Diferentiale Ordinare

Alte Proceduri Matematice Avansate:

Ecuatii Diferentiale Partiale

Optimizare

Transformari Fourier

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

20/39

20 010993.3165.0

423

xx

Diametrul=0.11m

Greutatea Specifica =0.6

Ecuatii NeliniareCat este scufundata mingea in apa?

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

21/39

Ecuatii Neliniare

21

010993.3165.0)( 423 xxxf

0.1 0 0.1 0.22 10

3

1 10 3

0

1 10 3

2 10 3

f x( )

0

x

Cat este scufundata mingea in apa?

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

22/39

22

Ecuatii Neliniare

Dmin 0.11m Rmin

Dmin

20.055m

f x( ) x3

0.165x2

3.99310 4

v f x( ) coeffs

0.0003993

0

0.165

1

Radacina root f x( ) x Rmin 1

m Rmin

1

m

0.044

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

23/39

23

x

Dmin

2

1

m

Dmin

2

1

m 0.001 Dmin

1

m 0.01

j 0 1 2

0 0 .1 0.2

4 10 4

2 10

4

2 10 4

4 10 4

polinomul f(x)

radacini

0

f x( )

f solutiej

x solutiej

Ecuatii Neliniare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

24/39

Diferentierea

24

t.tv(t) 8950001016

1016ln2200 4

4

Cat este acceleratia la t=7

secunde?

dt

dva

0 10 20 300

2 103

4 103

6 103

Timp [s]

Viteza[m/s]

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

25/39

25

Diferentierea

v t( ) 2200 ln 16 1 0

4

1 6 1 04

5000t

9.8t

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

26/39

26

Timp (s) 5 8 12

Viteza (m/s) 106 177 600

dt

dv

a

Cat este acceleratia la t=7 secunde?

4 6 8 10 1 2 140

200

400

600

Timp [s]

V

iteza[m/s]

Interpolare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

27/39

27

coefreg regress timp1

s viteza

s

m 2

vit t( ) interp coefreg timp1

s viteza s

m t

acc t( )

tvit t( )

d

d

vit 7( ) 159.56 acc 7( ) 58.771

0 5 100

100

200

acceleratia(timp)

acc(7)

58.771

acc t( )

acc 7( )

t 7

0 5 10200

0

200

400

600

Viteza(timp)

Viteza(t=7)

Date exp

vit t( )

vit 7( )

viteza

t 7 timp

Interpolare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

28/39

Sisteme de Ecuatii Liniare

Timp(s) 5 8 12

Vit (m/s) 106 177 600

28

Sa se determine profilul vitezei rachetei, stiind:

,)( 2

cbtattv Sistem de trei ecuatii liniare

106525 cba

125 t

177864 cba60012144 cba

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

29/39

29

Sisteme de Ecuatii Liniare

Coef

25

64

144

5

8

12

1

1

1

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

30/39

Regresie

30

Coeficientul de dilatare termica pentru otel turnatRegresie polinomiala

alfa reg_pol regress Temp 2( )

alfa reg_pol

3

3

2

0.159

1.285 10 4

1.572 10 6

alfapolTemp( ) 0.159 1.285 10 4

Temp 1.572 10 6

Temp2

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

Coefdilatare

alfapolTemp( )

Temp

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

31/39

Regresie liniara

31

alfareg_lin line Temp( ) alfareg_lin

0.161

4.101 10 4

alfalinTemp( ) alfareg_lin0

alfareg_lin1

Temp

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

Coefdilatare

alfalinTemp( )

Temp

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

32/39

32

Integrare

Determinarea contractiei diametrului arborelui de otel dupa

scufundarea in azot lichid.

fluid

camera

T

T

dTTDD )(

300 200 100 0 1000.05

0.1

0.15

0.2

Temperatura [oC]

Co

efdilatare

alfapol Temp( )

alfapol Temp( )

TempD D

Tfluid

Tcam

TempalfalinTemp( ) micron

mm

d 4.926mm

D D

Tfluid

Tcam

TempalfapolTemp( ) micron

mm

d 5.026mm

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

33/39

Integrare

33

finv

v

dttvdepl

0

)(

Determinarea deplasarii unei site actionate printr-un

mecanism biela-manivela cunoscand acceleratia sitei.

5 6 7 8 9 1020

10

0

10

acceleratia sitei

Masurarea vibratiilor cu senzor de acceleratie

Timp [s]

Acce

leratia[m

/s2]

fina

a

dttav

0

)(

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

34/39

34

IntegrareIntegrare metoda trapezuluivitezatrap

viti

0

dt timpi

timpi 1

viti

AccPCB1i 1

AccPCB1i

dt

2

i 1 rows data0 1for

vit

deplasare trap

depli

0

dt timpi

timpi 1

depli

vitezai 1

vitezai

2

dt

i 1 rows data0 1for

depl

9 9.1 9.2 9.3 9 .40.5

0.3

0.1

0.1

0.3

0.5

Timp [s]

Viteza[m/s]

9 9 .1 9.2 9.3 9.45 10

3

3.98 10 3

2.96 10 3

1.94 10 3

9.2 10 4

1 10 4

Timp [s]

Deplasare[m]

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

35/39

Sisteme de Ecuatii Diferentiale Ordinare

35

Cum variaza temperatura intr-un rezervor in careintr dou lichide cu debite, densitati i temperaturi

diferite?

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

36/39

36

Sisteme de Ecuatii Diferentiale Ordinare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

37/39

37

Sisteme de Ecuatii Diferentiale Ordinare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

38/39

38

Sisteme de Ecuatii Diferentiale Ordinare

Graficul urmator prezinta variatia temperaturii din rezervor obtinuta prin rezolvarea numerica asistemului de ecuatii diferentiale ordinare

7/22/2019 SEMINAR 1 Introducere Metode Numerice

39/39

39

Sfrit