S6
2
2.4.1. Tranziţia cauzală intrare-stare-ieşire 2.4.1.1. Modele intrare-stare-ieşire de ordinul doi Definirea unui model de acest tip se bazează pe un sistem de două ecuaţii diferenţiale, liniare, de ordinul I, de forma: (2.4.1) sau, în scriere echivalentă: , (2.4.1’) unde u(t) notează variabila (semnalul) de intrare u(t), iar x 1 (t) şi x 2 (t) notează variabilele (semnalele) de stare ale sistemului. Valorile x 1 (0) = x 10 şi x 2 (0) = x 20 reprezintă condiţii iniţiale impuse sistemului de ecuaţii diferenţiale. Variabila (semnalul) de ieşire este definită drept o combinaţie liniară a variabilelor de stare şi intrare: y(t)=c 1 x 1 (t)+ c 2 x 2 (t)+du(t) (2.4.2) sau, în scriere echivalentă: (2.4.2’) Este evident că în particular, putem avea c 1 = 1, c 2 = 0, d = 0 sau c 1 = 0, c 2 = 1, d = 0 cazuri în care variabila de ieşire coincide cu una din variabilele de stare. În general, un model de forma (2.4.1), (2.4.2) descrie comportarea unui sistem fizic alcătuit din : (i) două elemente care acumulează energie cărora li se asociază variabilele de stare x 1 (t) respectiv x 2 (t), adecvat alese spre a caracteriza funcţionarea în cauzalitate integrală a acestor elemente. (Totodată această alegere asigură continuitatea în raport cu variabila temporală t şi precizarea condiţiilor iniţiale); (ii) unul sau mai multe elemente care disipă energie. Legile fizicii care descriu interconectarea elementelor (i) şi (ii) conduc la sistemul de ecuaţii diferenţiale (2.4.1). Variabilele de stare x 1 (t) şi x 2 (t) au semnificaţia de mărimi efect în raport cu mărimea cauză u(t). Din punctul de vedere al observării fizice directe (măsurare, înregistrare etc) pot exista situaţii, când să nu ne intereseze, ca efect, variabilele de stare x 1 (t) sau x 2 (t), ci mărimi exprimabile din variabilele de stare cu ajutorul unor relaţii statice (sau instantanee) de forma (2.4.2). Acest aspect practic justifică introducerea conceptelor diferenţiate de variabilă de stare, respectiv variabilă de ieşire.
-
Upload
ilie-iulian -
Category
Documents
-
view
216 -
download
3
description
dsada
Transcript of S6
-
2.4.1. Tranziia cauzal intrare-stare-ieire 2.4.1.1. Modele intrare-stare-ieire de ordinul doi
Definirea unui model de acest tip se bazeaz pe un sistem de dou ecuaii difereniale,
liniare, de ordinul I, de forma:
(2.4.1)
sau, n scriere echivalent:
, (2.4.1)
unde u(t) noteaz variabila (semnalul) de intrare u(t), iar x1(t) i x2(t) noteaz variabilele (semnalele) de stare ale sistemului. Valorile x1(0) = x10 i x2(0) = x20 reprezint condiii iniiale impuse sistemului de ecuaii difereniale.
Variabila (semnalul) de ieire este definit drept o combinaie liniar a variabilelor de stare i intrare:
y(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+du(t) (2.4.2)
sau, n scriere echivalent:
(2.4.2)
Este evident c n particular, putem avea c1 = 1, c2 = 0, d = 0 sau c1 = 0, c2 = 1, d = 0 cazuri n care variabila de ieire coincide cu una din variabilele de stare.
n general, un model de forma (2.4.1), (2.4.2) descrie comportarea unui sistem fizic alctuit din : (i) dou elemente care acumuleaz energie crora li se asociaz variabilele de stare x1(t)
respectiv x2(t), adecvat alese spre a caracteriza funcionarea n cauzalitate integral a acestor elemente. (Totodat aceast alegere asigur continuitatea n raport cu variabila temporal t i precizarea condiiilor iniiale);
(ii) unul sau mai multe elemente care disip energie. Legile fizicii care descriu interconectarea elementelor (i) i (ii) conduc la sistemul de
ecuaii difereniale (2.4.1). Variabilele de stare x1(t) i x2(t) au semnificaia de mrimi efect n raport cu mrimea
cauz u(t). Din punctul de vedere al observrii fizice directe (msurare, nregistrare etc) pot exista situaii, cnd s nu ne intereseze, ca efect, variabilele de stare x1(t) sau x2(t), ci mrimi exprimabile din variabilele de stare cu ajutorul unor relaii statice (sau instantanee) de forma (2.4.2). Acest aspect practic justific introducerea conceptelor difereniate de variabil de stare, respectiv variabil de ieire.
-
Exemplul 2.4.1.
Se consider un circuit electric alctuit dintr-un rezistor (cu rezisten Re), o bobin (cu inductana L) i un condensator ( cu capacitatea Ce) conectate n serie, conform fig. 2.4.1,
cu o surs de tensiune e(t) (care se modific n timp, dup o lege precizat). Tensiunea e(t) furnizat de surs constituie mrimea de intrare. Alegem drept variabile de stare tensiunea pe condensator uc(t) i curentul prin bobin iL(t), cu scopul de a exploata exprimarea de tip integral a legilor ce descriu funcionarea condensatorului i a bobinei ca acumulatori de energie:
uC(t)
iL(t)
e(t) uR(t) uL(t)
Re L
Ce
Fig. 2.4.1. Circuitul electric utilizat n exemplul 2.4.1.
( ), (0)0C C C
ce i t u udt
duC
,
( ), (0)
0L L LL u t i i
dtdiL
,
unde iC(t) i uL(t) sunt curentul prin condensator i, respectiv, tensiunea pe bobin. Din faptul c elementele circuitului sunt conectate n serie, rezult c prin toate elementele circul acelai curent, adic: i (t) i (t) i (t)C R L , iar tensiunea pe bobin poate fi exprimat (conform legii lui Kirchoff) sub forma: u (t) e(t) u (t) u (t) e(t) R i (t) u (t)L R C e L C . nlocuind aceste expresii n membrul drept al modelelor de tip integrator de mai sus, se obine sistemul de dou ecuaii difereniale liniare, neomogene:
( );1 i t
dt Cdu
Le
C
( )1( ) ( )1 e t
Li t
LR
u tdt L
diL
eC
L .
Astfel intrm n posesia ecuaiei vectorial-matriceale de stare, scrierea general (2.4.3) particularizndu-se sub forma:
0
0
(0)(0)
( );10
( )( )
1
10
L
C
L
C
L
C
ee
L
C
iu
iu
e tLi t
u t
LR
L
C
dtdidt
du
.
n funcie de obiectivul urmrit prin construcia modelului, rolul mrimii de ieire poate fi ndeplinit de oricare din semnalele (variabilele) ce apar n descrierea funcionrii circuitului, mai puin e(t) (care se presupune a fi cunoscut prin nsi natura problemei). Astfel, ecuaia ieirii avnd forma general (2.4.2) se particularizeaz conform urmtoarelor cazuri: (i) Dac tensiunea pe condensator este considerat drept mrime de ieire, atunci ecuaia
(2.4.4) devine:
( )( )
( ) 1 0i tu t
u tL
CC
,
artnd c semnalul de ieire coincide cu prima variabil de stare aleas.
(ii) Dac curentul prin bobin (sau, echivalent, curentul furnizat de sursa circuitului serie din fig. 2.4.1) este considerat drept mrime de ieire, atunci ecuaia (2.4.4) devine:
( )( )
( ) 0 1i tu t
i tL
CL
,
