Concursul anual al rezolvitorilor RMI Constanța,Ediția a XII-a, mai 2013

Clasa a V-a

1.Determinați numerele de forma abc știind că a<b<c și ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b a a c c a b c c b Geagatai Musa-Cerchez

2.Detreminați cifrele a și b nenule, astfel încât 1 1 0b b ba a b a ab ab ab ab Dana Barșai

3.Să se determine numărul natural ab știind că 23 2 1 2013ab ab .

Elena LițăClasa a VI-a

1.Determinați x astfel încât : 15 25 1

xx

și 2 42 1xx

să fie simultan întregi.

Nicolae Ivășchescu, Craiova2.Se formează următoarele grupe de numere naturale: 1;2 , 3;4;5 , 6;7;8;9 , 10;11;12;13;14 ,...a)Scrieți numerele din grupa a 10-a;b)Scrieți numerele din grupa a n-a;c) Din ce grupă face parte 5052?

Ion Tiotioi3.Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu 90m A și 2 3AB AC . Se ia punctul D pe (AB) astfel încâtAD =AC, iar punctele E și F sunt pe dreapta AC astfel încât AE = AF = AB, ordinea pe dreaptă fiindE – A – C – F. a)Demonstrați că DE BC ; b)Dacă BC DF M , arătați că DF = BM + DM.

Nicolae JurubițăClasa a VII-a

1.Rezolvați ecuația: 1 2 3 2013... .2012 2013 2 2013 3 2013 2013x x x x x

Ivășchescu Nicolae, Craiova2.Se consideră ∆ABC și D BC astfel încât triunghiul ADC să fie isoscel de bază AC . Suplementulunghiului BAD este dublul suplementului ADC . Dacă măsurile în grade ale ABC , respectiv BACse exprimă prin numerele naturale b, respectiv a, determinați toate valorile lui b astfel încât b a .

Olguța Angheloni, Vasile Angheloni3.Se consideră triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB = 16 cm, BC = 34 cm, CA = 30 cm și punctele M ,respectiv N pe latura BC astfel încât BM = 4 cm șiMN = 12 cm.Calculați măsura unghiului MAN .

D. M. Bătinețu-Giurgiu, Neculai Stanciu

Clasa a VIII-a

1.Știind că + 16 + 92 = 0, − 48 + 1088 = 0 și − 12 − 504 = 0, unde , , ∈ ℤ, să se aratecă + + ∈ ℕ.

Ion Tiotioi2.Să se arate că dacă , , , ∈ (0;∞) și ∙ = 1, are loc inegalitatea:√ + + √ + ≥ 2√ + .

Simion Terchilă, Sîngeorz-Băi

3.În prisma patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ cu latura bazei 6a și diagonala 12a, se notează cu Pmijlocul lui BB’. Prin A și P se construiește planul paralel cu B’D’. Aflați:

a) ; ( ) ;b) ( ; ).

Ionel Lincă și Simion Păsăreanu

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI ConstanțaEdiția XII, 25 mai 1013

Barem de notare, clasa a V-a

1.9 9 9 9 9 9

ab a ba b ac a ca c bc b cb c . . . . . . . .2p

2020 20 209 9

a b ca b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p

9 | 9;18a b c a b c . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p1 126, 135a . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 234a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p3 378a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p4 468a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p5 567a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2. 0 1001ab ab ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p0 7 11 13ab ab ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1 13ba fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1 11ba fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

1 7 8b ba a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2, 3a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

1 13( ), 1 13( )b ba ab A a ab A . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p

3.2

6 3 2013ab ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p2

6 2016ab ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2

6 | 6 , 6 | 2016 6 | 6ab ab ab fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p26 6 6 36 2016ab k k k fără soluție . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 56,k k k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

1 56 7k k k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

42ab . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI ConstanțaEdiția XII, 25 mai 1013

Barem de notare, clasa a VI-a

1.15 2 5 1|15 25 1

x x xx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

5 1|15 25 1|1

5 1| 5 1 5 1|15 3x x

xx x x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p

5 1 1 0, 5 1 1x x x x . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 4 2 1| 2 42 1x x xx

. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 1| 2 4

2 1| 3 2 1 3; 1;1;32 1| 2 1x x

x xx x

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2; 1;0;1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p

Fracțiile sunt simultan întregi pentru x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2.Primul număr din fiecare grupă se calculează astfel:1 2 2 3 3 41 ; 3 ; 6

2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Deci primul număr din grupa a 10-a este10 11 55

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a 10-a are 11 elemente: 55, 56, ..., 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1p

b) Primul element din grupa a n-a este: 1

2n n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a n-a este 1 1 1

; 1; ...;2 2 2

n n n n n nn

. . . . . . . . 1p

c) 1 1

5050; . 100 5052 22 2

n n n npt n

. . . . . . . . . . .2p

Deci 5052 face parte din grupa 100. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

3. a) Construcția corectă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ADE ACB E B . . . . . . . . . . . . . . . 2p

1 90m E m D . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 1p

Deci 2 90m B m D DE BC . ..1p

b) . ,EDF is E F E B B F . . ..1p

1 2 ( . .);M M o v BD FC . . . . . . . . . . . . . . . .1pBDM FCM BM MF . . . . .. . . . .1p

DF BM DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1p

5 1|15 25 1|1

5 1| 5 1 5 1|15 3x x

xx x x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p

5 1 1 0, 5 1 1x x x x . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 4 2 1| 2 42 1x x xx

. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 1| 2 4

2 1| 3 2 1 3; 1;1;32 1| 2 1x x

x xx x

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2; 1;0;1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p

Fracțiile sunt simultan întregi pentru x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2.Primul număr din fiecare grupă se calculează astfel:1 2 2 3 3 41 ; 3 ; 6

2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Deci primul număr din grupa a 10-a este10 11 55

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a 10-a are 11 elemente: 55, 56, ..., 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1p

b) Primul element din grupa a n-a este: 1

2n n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a n-a este 1 1 1

; 1; ...;2 2 2

n n n n n nn

. . . . . . . . 1p

c) 1 1

5050; . 100 5052 22 2

n n n npt n

. . . . . . . . . . .2p

Deci 5052 face parte din grupa 100. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

3. a) Construcția corectă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ADE ACB E B . . . . . . . . . . . . . . . 2p

1 90m E m D . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 1p

Deci 2 90m B m D DE BC . ..1p

b) . ,EDF is E F E B B F . . ..1p

1 2 ( . .);M M o v BD FC . . . . . . . . . . . . . . . .1pBDM FCM BM MF . . . . .. . . . .1p

DF BM DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1p

5 1|15 25 1|1

5 1| 5 1 5 1|15 3x x

xx x x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1p

5 1 1 0, 5 1 1x x x x . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 4 2 1| 2 42 1x x xx

. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 1| 2 4

2 1| 3 2 1 3; 1;1;32 1| 2 1x x

x xx x

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2; 1;0;1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1p

Fracțiile sunt simultan întregi pentru x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2.Primul număr din fiecare grupă se calculează astfel:1 2 2 3 3 41 ; 3 ; 6

2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Deci primul număr din grupa a 10-a este10 11 55

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a 10-a are 11 elemente: 55, 56, ..., 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1p

b) Primul element din grupa a n-a este: 1

2n n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Grupa a n-a este 1 1 1

; 1; ...;2 2 2

n n n n n nn

. . . . . . . . 1p

c) 1 1

5050; . 100 5052 22 2

n n n npt n

. . . . . . . . . . .2p

Deci 5052 face parte din grupa 100. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

3. a) Construcția corectă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ADE ACB E B . . . . . . . . . . . . . . . 2p

1 90m E m D . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 1p

Deci 2 90m B m D DE BC . ..1p

b) . ,EDF is E F E B B F . . ..1p

1 2 ( . .);M M o v BD FC . . . . . . . . . . . . . . . .1pBDM FCM BM MF . . . . .. . . . .1p

DF BM DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1p

Barem de notare, clasa a VII-a

I. 1p ... oficiu

2p …

2013

2013 ...2013 2013 2013 2013 2013

ori

x x x x xx

2p… 1 2 2013 02012 2013 2013 20132013 2 2013 2013x x x x x x

1p…

2013 2013 2012 2013 2013 2 2013 2 2013 2013 2013 2013 2013 02012 2013 2013 2013 3 2013 2013 2013x x x x x x x x

1p…

2 2013 3 2013 2013 20132013 ... 02012 2013 2013 2013 2 2013 2013 3 2013 2013 2013

x x xx

1p… 1 20132013 ... 0

2012 2013 2013 2013 2013x

1p…

1 2013...2012 2013 2013 2013 2013

>0 2103 0x

1p… x = 2013.

II. 1p… oficiu

1p… figura

1p… 4 2 suplDAC DCA x x ADC

1p… 180 4m BAD x

1p… 180 3m BAC x a

1p… 2m ABD x b

2p… | 2 180 3 2 | 360 6 2 | 360 |180b a x x x x x x

1p… 4 ,12 ,20 ,36x

Barem de notare, clasa a VII-a

I. 1p ... oficiu

2p …

2013

2013 ...2013 2013 2013 2013 2013

ori

x x x x xx

2p… 1 2 2013 02012 2013 2013 20132013 2 2013 2013x x x x x x

1p…

2013 2013 2012 2013 2013 2 2013 2 2013 2013 2013 2013 2013 02012 2013 2013 2013 3 2013 2013 2013x x x x x x x x

1p…

2 2013 3 2013 2013 20132013 ... 02012 2013 2013 2013 2 2013 2013 3 2013 2013 2013

x x xx

1p… 1 20132013 ... 0

2012 2013 2013 2013 2013x

1p…

1 2013...2012 2013 2013 2013 2013

>0 2103 0x

1p… x = 2013.

II. 1p… oficiu

1p… figura

1p… 4 2 suplDAC DCA x x ADC

1p… 180 4m BAD x

1p… 180 3m BAC x a

1p… 2m ABD x b

2p… | 2 180 3 2 | 360 6 2 | 360 |180b a x x x x x x

1p… 4 ,12 ,20 ,36x

Barem de notare, clasa a VII-a

I. 1p ... oficiu

2p …

2013

2013 ...2013 2013 2013 2013 2013

ori

x x x x xx

2p… 1 2 2013 02012 2013 2013 20132013 2 2013 2013x x x x x x

1p…

2013 2013 2012 2013 2013 2 2013 2 2013 2013 2013 2013 2013 02012 2013 2013 2013 3 2013 2013 2013x x x x x x x x

1p…

2 2013 3 2013 2013 20132013 ... 02012 2013 2013 2013 2 2013 2013 3 2013 2013 2013

x x xx

1p… 1 20132013 ... 0

2012 2013 2013 2013 2013x

1p…

1 2013...2012 2013 2013 2013 2013

>0 2103 0x

1p… x = 2013.

II. 1p… oficiu

1p… figura

1p… 4 2 suplDAC DCA x x ADC

1p… 180 4m BAD x

1p… 180 3m BAC x a

1p… 2m ABD x b

2p… | 2 180 3 2 | 360 6 2 | 360 |180b a x x x x x x

1p… 4 ,12 ,20 ,36x

1p… 8 ;24 ;40 ;72b

III. 1p… oficiu

1p… figura

3p… , , ,x m BAM x m MAN x m NAC

2 2 2. . . 16 30 34 90R T P m BAC , 90x y z

1p… BA BN m ANB m BAN x y

1p… CA CM m AMC m MAC y z

1p… 3 180AMN x y z

1p…2 90y

1p… 45y m MAN

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI ConstanțaEdiția XII, 25 mai 1013

Barem de notare, clasa a VIII-a

1. 2 2 2 12 16 48 676 0x y z x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 12 36x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 16 64y y . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 48 576z z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 2 26 8 24 0x y z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

26 0 6x x . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

28 0 8y y . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

224 0 24z z . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 2 2 36 64 576 676 26x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2. Notăm , , 0f A B aA bB aB bA f A B

2 , 2f A B aA bB aB bA aA bB aB bA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 2 2 2 2, 2 ( )f A B a b A B a AB b AB A B ab . . . . . . . . . . . . . . . .1p

1p… 8 ;24 ;40 ;72b

III. 1p… oficiu

1p… figura

3p… , , ,x m BAM x m MAN x m NAC

2 2 2. . . 16 30 34 90R T P m BAC , 90x y z

1p… BA BN m ANB m BAN x y

1p… CA CM m AMC m MAC y z

1p… 3 180AMN x y z

1p…2 90y

1p… 45y m MAN

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI ConstanțaEdiția XII, 25 mai 1013

Barem de notare, clasa a VIII-a

1. 2 2 2 12 16 48 676 0x y z x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 12 36x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 16 64y y . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 48 576z z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 2 26 8 24 0x y z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

26 0 6x x . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

28 0 8y y . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

224 0 24z z . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 2 2 36 64 576 676 26x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2. Notăm , , 0f A B aA bB aB bA f A B

2 , 2f A B aA bB aB bA aA bB aB bA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 2 2 2 2, 2 ( )f A B a b A B a AB b AB A B ab . . . . . . . . . . . . . . . .1p

1p… 8 ;24 ;40 ;72b

III. 1p… oficiu

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2 2 2. . . 16 30 34 90R T P m BAC , 90x y z

1p… BA BN m ANB m BAN x y

1p… CA CM m AMC m MAC y z

1p… 3 180AMN x y z

1p…2 90y

1p… 45y m MAN

Concursul anual al rezolvitorilor din RMI ConstanțaEdiția XII, 25 mai 1013

Barem de notare, clasa a VIII-a

1. 2 2 2 12 16 48 676 0x y z x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 12 36x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 16 64y y . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p2 48 576z z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 2 26 8 24 0x y z . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

26 0 6x x . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

28 0 8y y . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

224 0 24z z . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 2 2 36 64 576 676 26x y z . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2. Notăm , , 0f A B aA bB aB bA f A B

2 , 2f A B aA bB aB bA aA bB aB bA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2 2 2 2 2, 2 ( )f A B a b A B a AB b AB A B ab . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2 2 2 2 2, 2 ( )f A B a b A B AB a b ab A B . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2 2A B AB . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 2 2 2A B AB . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 2 2, 2 2 2 4f A B a b a b ab a b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2p

, 0 ( , ) 2f A B f A B a b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

3. a) Fie L mijlocul lui DD’. ' ' , ' ' , 'PL B D BD PL B D APC L . . . .1p

''

' ' ' .'

' '

ABB APAP LC

DCC LC APC L paralAL PC

ABB DCC

. . . .1p

, ,ABC d A d d BD LP . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

, , ' , 'CA d CA ABC C A d C A . . . . . . . . . . . .1p

, 'ABC C AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

, 1tg ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

b) ' , .AC LP S CPLis CS LP . . . . . . . . . . . . . .1p' . ',ACC is CS AC CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

CS = 6a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pOficiu. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2 2 2 2 2, 2 ( )f A B a b A B AB a b ab A B . . . . . . . . . . . . . . . .1p

2 2A B AB . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p2 2 2 2A B AB . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

2 2 2, 2 2 2 4f A B a b a b ab a b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2p

, 0 ( , ) 2f A B f A B a b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pOficiu . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

3. a) Fie L mijlocul lui DD’. ' ' , ' ' , 'PL B D BD PL B D APC L . . . .1p

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ABB APAP LC

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, ,ABC d A d d BD LP . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

, , ' , 'CA d CA ABC C A d C A . . . . . . . . . . . .1p

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, 1tg ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

b) ' , .AC LP S CPLis CS LP . . . . . . . . . . . . . .1p' . ',ACC is CS AC CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

CS = 6a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pOficiu. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

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