7/29/2019 RMCS_nr.18

1/38

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr. 18, An VII-2006

Editura Neutrino

Reia, 2006 2

2006, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Bdescu OvidiuDragomir AdrianaDragomir LucianDidraga IacobGdea VasilicaGolopena MariusMoatr LaviniaPistril Ion Dumitru

Stniloiu Nicolaeandru Mariusuoi Paul

2006, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.18

2/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

3/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

4/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

5/38

9

Cteva relaii metrice n patrulatere i tetraedre

Fie ABCD un patrulater oarecare. Ne propunem s evalumpentru nceput unghiul format de dou laturi opuse, folosind funciatrigonometric cos.

Cu notaiile din figura 1 vom demonstra urmtoarea relaie

CDAB

BCADACBD

+=

2cos

2222

(1)

Vom scrie pentru nceput urmtoarea relaie vectorial:

DCADBABC ++= . Ridicm la ptrat obinem:

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 cosBC AB AD CD AB AD BD AB CD

AD DC AC

= + + +

+

Am inut cont de egalitile:( )22222 BDADABADABADBA +== ( )22222 ACDCDADCDADCAD +==

DCABDCBA = Explicitnd cos din aceast relaie se obine relaia:

CDAB

BCADACBD

+=

2cos

2222

B

C

D

E

Fi .

10

Observaie: Aceast relaie poate fi considerat ca un fel de teoremacosinusului pentru patrulatere.

Ca aplicaie pentru aceast relaie propunem urmtoarea:

1) S se arate c ntr-un patrulater oarecare ABCD are loc inegalitatea:( ) ( )2222 )(2 CDABBCADACBD ++++

Soluie: Se observ mai nti c avnd 1cos se obine:CDABBCADACBD +++ 22222 , cu egalitate dac 1cos =

adic AB//CD.Analog se poate scrie c: BCADABCDACBD +++ 22222 , cuegaliate din nou cnd CB//AD. Adunnd cele dou relaii se obine relatiadin enun. Egalitatea are loc dac ABCD este paralelogram.

Ne propunem n continuare s evalum unghiul format dediagonalele patrulaterului ABCD

Cu notaiile din figura 2 putem scrie:

ACDABDBC ++= Ridicm aceast relaie vectorial la ptrat i obinem:

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 cosBC BD DA AC BD AD AB BD AC

AD AC CD

= + + +

+

Am inut cont de egalitile:

( )22222 ABDADBDADBDABD +== ( )22222 CDACDAACADACDA +==

ACDBACBD=

AB

C

D

Fig.

7/29/2019 RMCS_nr.18

6/38

11

Din relaia precedent prin explicitarea lui cos se obine urmtoarearelaie:

ACBD

BCADCDAB

+

= 2cos

2222

(2)Observaie: Obinem ca o consecin urmtorul rezultat cunoscut:

Un patrulater ABCD are diagonalele ACi BD perpendicularedaci numai dac:

2222 BCADCDAB +=+

Urmnd un procedeu similar n cazul unui tetraedru oarecare ABCD, cunotaiile din figura 3 vom avea:

( )CDAB

ADBCBDACu CDAB

+=2

cos2222

, , (3)

unde prin CDABu , se nelege unghiul dreptelor AB i CD.

Vom scrie relaia vectorial: CDBCABAD ++= , care dup ridicarela ptrat devine:

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2,2 cos -AB CD

AD AB BC CD AB BC AC

AB CD u BC CD BD

= + + +

+

ntr-uct ne referim la unghiul ascuit al dreptelor AB i CD, se va alegesemnul corespunztor n faa produsului )CDABuCDAB ,cos2 . Prinsepararea acestui produs i trecerea la modul se obine:

( )CDAB

ADBCBDACu CDAB

+=

2cos

2222

, .

A

B C

D

Fi ura 3

12

Observaie: Analog putem obine:

( )BDAC

CDABBCADu BDAC

+=

2

cos2222

, i

( )ADBC

BDACCDABu ADBC

+=

2cos

2222

,

De aici se obine o foarte cunoscut problem avnd enunul:Muchiile opuse ale unui tetraedru ABCD sunt perpendiculare dacinumai dac:

222222 ADBCBDACCDAB +=+=+

Dac considerm acum ABCD un tetraedru echifacial, se tie cacesta are muchiile opuse congruente. Dac notm AB=CD=a,AC=BD=b, BC=AD=c, se va obine:

( )2

22

,cosa

cbu CDAB

= , ( )

2

22

,cosb

acu BDAC

= i

( )2

22

,cosc

bau ADBC

=

Se poate arta acum c dac laturile opuse ntr-un tetraedruechifacial formeaz unghiuri congruente atunci tetraedru este regulat. nparticular, dac laturile opuse n tetraedru echifacial sunt perpendiculareatunci tetraedru este regulat.

ntr-adevr, dac de exemplu am avea cba atunci rezultc:

22

22

2

22

2

22

2

22

ca

ac

c

ab

b

ac

a

bc

+

=

=

=

. Dac 022 ac atunci

222 cab += ceea ce este fals. Prin urmare vom avea neaprat 22 ac = i innd cont de ipotez rezult a b c= = ceea ce demonstreazafirmaia.

Nicolae Stniloiu,Grupcolar Industrial Boca

7/29/2019 RMCS_nr.18

7/38

13

Asupra unei probleme a lui D.V.Ionescu

n Gazeta Matematic, vol.XXXIII ( 1927-1928), pag.280,D.V.Ionescu a propus problema 3639 avnd urmtorul enun:

S se demonstreze c :

(1)1

lim 12

m

m

em e

m

+ =

;

(2)1 11

lim 1 ;2 24

m

m

e em m e

m

+ + =

(3)1 11 21

lim 1 ;2 24 48

m

m

e e em m m e

m + + =

Soluia acestei probleme a fost dat de domniiG.G.Constantinescu, tefan E.Olteanu i George Sila n GazetaMatematic vol.XLII,1936-1937, pag.36-37.

Mai nti se arat c:

(4) 2 3 41 1 11 21 ( )

1 1 2 24 48

m

m

r m

e em m m m m

= + = + + ,

unde lim ( ) .m

r m r

= Folosind (4) deducem relaiile (1) (3) .

n cele ce urmeaz vom da o generalizare i deci o nou soluiepentru relaia (1).

n revista Arhimede nr.3-4/2005,pag.7-10,Mihaly Bencze iLaslzo Toth generalizeaz inegalitile lui Polya-Szego i anumedemonstreaz c :

(5) * *1 , ,

nt t

te t ee n tan b n an c + < + < + + ,

Artnd totodat c :

( i )2

2 3, , 1

2

ta b c

t t

+= = = dac ( ]0,1 ;t

( ii)2

2

2 8, , 1

2

t ta b c

t t

+ += = = , dac ( )1, 2 ;t

14

(iii)2

2

2 8 2, ,

2 2

t t ta b c

t t t

+ + += = = ,dac [ )2, .t

Ne propunem acum s demonstrm urmtoareaPropoziie.Oricare ar fi *t + are loc egalitatea

( )( )2

lim ( )2

tt

nn

t en e t e

= , unde *( ) 1 , .

n

n

te t n

n

= +

Demonstraie : Folosind relaiile (5) deducem :

* *( ) , ,t t

tn

e ee t e n t

an c an b + < <

+ + sau

* *( ( ) ) , ,t t

tn

n e n en e t e n t

an c an b +

< < + +

Prin trecere la limit cu n ajungem la :

lim ( ( ) )t t

tn

n

e en e t e

a a , adic

(6) lim ( ( ) )t

tn

n

en e t e

a

= .

Avnd n vedere c n toate cazurile2

2a

t= ,din (6) obinem:

(7)2

lim ( ( ) )2

tt

nn

t en e t e

= i astfel propoziia e demonstrat.

Pentru 1t= n (7) obinem relaia (1) a lui D.V.Ionescu.

Bibliografie :

[ ]1 . Btineu-Giurgiu M.D,Btineu-Giurgiu Maria, Bencze Mihaly,iruri derivabile, Gazeta Matematic, nr.9/2005, pag.410-420

[ ]2 Btineu-Giurgiu M.D., iruri, Ed.Albatros, Bucureti, 1979

Prof. D.M. Btineu-Giurgiu,Bucureti

7/29/2019 RMCS_nr.18

8/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

9/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

10/38

19

Avemn nk k

k k 0k 1 k 0

f (x) a x f (x) a x a= =

= + . Deci

n nk k

k k 0x xk 1 k 0f (x) a x f (x) a x alim lim+ += =

= + =

n k0 0 0 k

x k 10 a a a f (x) a xlim

+ =

= + = =

.

Presupunem cn

i kk ikx i k 1

f(x)a a xlim

x

+ = +

=

i artm c

ni k 1

k 1 ik 1x i k 2

f(x)a a x , k 0,n 1.lim

x

+ ++ = +

= =

.

n i k 1ikn i k 1 i k 1ik 1

i k 1

f(x) x a xf(x) xa x

xx

= +

+= +

= =

n i kik ni k 1 i k 1

ik 1x i k 1

f(x)a x

f(x)x a x 0limx x

= + ++ = +

= =

n i k 1i k 1k 1x i k 2

f(x)a x a 0lim

x

++

+ = +

=

n i k 1k 1 ik 1x i k 2

f(x)a a xlimx

+ +

+ = +

=

,

ceea ce trebuia demonstrat.

Definiie. Curba de ecuaie n

k *k n

k 0

y a x , n i a== este asimptot de gradul n spre - a funciei f : D dac

nk

kx k 0

f (x) a x 0lim = = .

Teorem. Fie funcia f : D . Dac exist*

nnx

f(x)alim

x = in

i ki kk

x i k 1

f(x)a x alim

x

= +

= k 0,n 1= , atunci curba de ecuaie n kk

k 0

y a x== este asimptot de gradul n spre - a funciei fi reciproc.Demonstraie: Se demonstreaz analog ca la prima teorem.

20

Observaii: 1.Asimptota de gradul 0 spre + sau - a funciei f este odreapt paralel cu axa absciselor (asimptota orizontal).

2.Asimptota de gradul 1 spre + sau - a funciei f este o

dreapt oblic (asimptota oblic).3.Asimptota de gradul 2 spre + sau - a funciei f este o parabol.4.O asimptot de gradul n spre + sau - a unei funcii f, dac

exist, este unic determinat, acest lucru rezultnd din modulunic de determinare a coeficienilor expresiei asimptotei.

5.O funcie nu poate avea simultan asimptote de grade diferitespre + . n caz contrar, dac exist dou asimptote de gradediferite m i n ( m>n ) spre + ale funciei f, de ecuaii:

m k1 kk 0y a x== i

n k2 kk 0y b x== , ma 0 i nb 0

m nk kk k

x k 0 k 0a x b x 0lim

+ = =

=

n mk k

k k kx k 0 k n 1

(a b ) x a x 0lim+ = = +

+ =

n m 1m k k kmm k m k x k 0 k n 1

a b ax + a 0lim

x x

+ = = +

+ =

este

imposibil. Analog rezult c o funcie nu poate avea simultan asimptotede grade diferite spre -.Definiie. Spunem c funcia f : D are asimptot spre + dacexist n , astfel nct funcia f are asimptot de gradul n spre + .Definiie. Spunem c funcia f : D are asimptot spre - dacexist n , astfel nct funcia f are asimptotde gradul n spre - .

Aplicaii

1.Fie funcia1* n xf : , f (x) x e , n = .

S se determine, dac exist, asimptota spre + a funciei f.Soluie: Artm c asimptota spre + a funciei f este

de gradul n, de ecuaien kn

k 0

xy

k!

==

1

xn nnx x

f(x) 1a e 1 a 1lim lim

0!x+ += = = = = ;

7/29/2019 RMCS_nr.18

11/38

21

1

xn 1 nn 1x x

f(x)a a x x e xlim lim

x

+ +

= = =

1 yxn 1

x y 0

e 1 1x e 1 ln e 1 a 1lim limy 1!+

= = = = = =

Pentru oricare k 0,n 1= presupunem c n i1

a , i 0,k i!

= = i artm c

n k 11

a(k 1)!

=+

in i n k 1

n k 1 in k 1x i n k

f(x)a a xlim

x

+ +

+ =

= =

1nk 1 i n k 1x

ix i n kx e a x

lim

+ + +

+ =

= =

ny n i1 ink 1 i n i n kx

i k 1x y 0i n k

e a yx e a xlim lim

y

+ = +

+ =

= = =

n i i in k k 1y y y

i n k i 0 i 0k 1 k 1 k y 0 y 0 y 0

y y ye e e

(n i)! i! i!lim lim lim

y y (k 1) y

= = =+ +

= = = =+

i1yy y

i 02y 0 y 0 y 0

ye

e 1 ei!... lim lim lim

(k 1)! y (k 1)!(k 1) k ... 3 y=

= = = = =+ ++

n k 11 1

a(k 1)! (k 1)!

= =+ +

n n nk n k n k k n k

k 0 k 0 k 0

1y a x a x x

k!

= = =

= = =

Deci n kn

k 0

xyk!

== este asimptot de gradul n pentru funcia

1* n xf : , f (x) x e , n . =

Observaii:

1.Pentru n=0 obinem funcia1

xf (x) e= , pentru care avem asimptot degradul 0 spre +, anume dreapta de ecuaie y 1= (asimptot orizontal)

22

2.Pentru n=1 obinem funcia1

xf (x) x e= , pentru care avem asimptotde gradul 1 spre + , y x 1= + (asimptot oblic)

3.Pentru n=2 obinem funcia1

2 xf (x) x e= , pentru care avem asimptot

de gradul 2 spre + , 21

y x x2

= + + .a.m.d.

n 1 12.Fie funcia f : \ [ 1;0] , f (x) x ln 1 , nx

+ = +

S se

determine, dac exist, asimptota spre + a funciei f.

Soluie: Artm c asimptota spre + a funciei f este

de gradul n, de ecuaiek n kn

k 0

( 1) xy

k 1

=

=

+.

( )n nx x y 0

ln 1 yf(x) 1a x ln 1 1lim lim lim

x yx+ +

+ = = + = =

( )0

n1

a 1

1

= =

2n 1 nn 1x x

f(x) 1a a x x ln 1 xlim lim

xx

+ +

= = + =

( )22x y 0 y 0

11

ln 1 y y 1 y1 1x ln 1lim lim lim

x x 2 yy+

+ +

= + = = =

( ) ( )

( )1

n 1

y 0 y 0

1y 1 1 1alim lim

2 y 1 y 2 1 y 2 2 2

= = = = =

+ +

Pentru oricare k o,n 1= presupunem c

( )i

n i1

a , i 0,k i 1

= =+

i artm c( )

k 1

n k 11

ak 2

+

=

+

n i n k 1n k 1 in k 1x i n k

f(x)a a xlim

x

+ +

+ =

= =

7/29/2019 RMCS_nr.18

12/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

13/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

14/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

15/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

16/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

17/38

33

Clasa a VI-a

VI.049 Aflai numrul natural ,abc scris n baza 10, tiind c:

10 1 82.

+ =

ab bc

c a

Prof. Nicolae Stnic, BrilaSoluie: Avem succesiv:

10 ab bc+ =92

c a

sau ab0 bc+ =92c a

sau abc c abc 100a+ = 92c a

;

abc abc-1+ -100 = 92c a sau 1 1abc 193c a + = sau

abc (a+c)=193 a c Deoarece 193 este numr prim, obinem c

abc 193 Deci { }abc 193;386;579;772;965 . Dintre cele 5 numere doar 386 verifica relatia din enuntul problemei.

VI.050 a) S se arate c ntre oricare dou puteri naturale consecutive alelui 3 se afl cel puin o putere a lui 2.

b) Exist dou puteri naturale consecutive ale lui 3 ntre care s gsim treiputeri distincte ale lui 2?

Prof. Marius Damian, BrilaSoluie: a) Dac, prin absurd, exist dou puteri consecutive ale lui 3, fie

acestea 3n

i1

3 ,n+

unde ,n pentru care exist k astfel nct1 1

2 3 3 2 ,k n n k + +

< < < atunci

1

11 12 3 2 2 3 3 2 3 , imposibil.

3 2

k n k n

n nn k

++

+ +

< < < <

b) Rspunsul e negativ.

ntr-adevr, dac ar exista ,n k astfel nct1 2 1

3 2 2 2 3 ,n k k k n+ + +

< < < < atunci2

1

2 1

3 2 4 3 24 3 3 , absurd.

2 3

n k n k n n

k n

++

+ +

< <

7/29/2019 RMCS_nr.18

18/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

19/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

20/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

21/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

22/38

43

Soluie: Deoarece numerele 1 ia+ i 1 ia+ , 1,2i = sunt pozitive, din

inegalitatea mediilor deducem c ( ) ( ) 1 21 22 3

1 12 2

a aa a

+ ++ + = i

( ) ( ) 1 21 22 1

1 12 2

a aa a = , deci

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 1 1 2a a a a+ + + .

Cum ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 1 1a a a a+ + + i

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 1 1 1a a a a+ + + > obinem

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 1 1 2a a a a+ + + = , deci 1 21

2

a a= =

VIII.055 S se arate c dac triunghiul ABC este dreptunghic n A i

( ),AD BC D BC , atunci2

AB AC ADBC

+ +< .

Prof. Marius andru, Reia

Soluie: CumAB AC

ADBC

= , a arta c

22

AB AC AD AB ACBC AB AC BC

BC

+ + < + + <

22AB BC AC BC AB AC BC + + < .Dup grupri elementare se ajunge la

( ) ( ) ( )2 2 2

0AB AC BC AB BC AC + + > , adevrat.

VIII.056 Fie , , ,x y z numere pozitive cu 1.x y z = Demonstrai

inegalitatea:2 2 2 2 2 2

.x y y z z x

x y z

x y y z z x

+ + ++ + + +

+ + +

Prof. Marius Damian, BrilaSoluie: Artm c, ( ) , , 0,x y z > au loc inegalitile:

( )* 2 21

,x y

x y y

+

+

2 2

1,

y z

y z yz

+

+

2 2

1,

z x

z x zx

+

+

de unde, prin sumarea lori folosirea condiiei 1,x y z = va rezulta

44

concluzia. Demonstrm doar prima inegalitate; celelalte se trateazanalog. ntr-adevr,

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2

1

0

0,

x yx y x xy y xy

x y xy

x x x y y y x y

x y x xy y

+ + +

+

+ +

i astfel am justificat valabilitatea inegalitilor ( )* .VIII.057 Fie a, b, c numere reale pozitive care satisfac egalitatea:

2 2 2 1a b c+ + = . S se arate c: 3 3 3 6a b c a b c abc+ + Stniloiu Ovidiu, elev Boca

Soluie: ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 21 1 1a b c a b c a a b b c c+ + = + + =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 6a b c b a c c a b abc abc abc abc= + + + + + + + =

VIII.058. Fie [ABCD] un tetraedru regulat avnd lungimea muchiei l iAE nlimea din A a triunghiului ABC, [ ]E BC . S se calculezedistan

a dintre dreptele AE

i BD.

Stniloiu Ovidiu, elev BocaSoluie:Fie BF // AE, F AC ,rezult AE // (DBF).Deci distana dintredreptele AE i BD va fiegal cu distana de la unpunct al dreptei AE laplanul (DBF). Vomcalcula distana de la A laplanul (DBF) exprimndvolumul tetraedrului[DBAF] n dou moduri.Mai nti lum ca baztriunghiul

H

A

F

C

B

D

E

G

7/29/2019 RMCS_nr.18

23/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

24/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

25/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

26/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

27/38

53

felul urmtor: 2 0 0 12 1

4 1 4 0 0 1

z z z zz z

z z z z z z

+ = =

+

( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1

4 4 1 1

cos sin cos sin

cos sin cos sin

i i

i i

+ +

= =+ +

1 2 1 2 2 1 1 2

1 4 1 4 4 1 1 4

2sin sin 2sin cos2 2 2 2

2sin sin 2sin cos2 2 2 2

i

i

+ ++

= =+ +

+

1 2 1 2 1 2

1 4 1 4 1 4

2sin sin cos2 2 2

2sin sin cos2 2 2

i

i

+ +

= = + +

1 2

2 4 2 4

1 4

sin2 cos sin (1)

2 2sin2

i

= +

Analog putem deduce:

(2)2

sin2

cos

2sin

2sin 242423

43

32

34

+

=

i

zz

zz

nmulind (1) cu (2) se observ c produsul din problem este real.

Clasa a XI-a

XI.044 Fie AMn3 27 n( ), A I = i 0)I3(Adet n .Calculai

)I3Adet( n+ . Prof. Viorel Botea, Brila

Soluie: innd cont c 3 27 ,nI= deducem pe de o parte c

det 3 ,nA = iar pe de alt parte ( ) ( )23 3 9 0 .n n nA I A A I + + = Din ultima egalitate, conform ipotezei 0)I3(Adet n , avem, prin

nmulire cu ( )1

3 nA I

: 2 3 9 0n nA A I+ + = sau ( )3 9 .n nA I I+ =

n final, obinem: ( ) ( )det( 3 ) 9 :3 3 .n nn

nA I+ = =

54

XI.045 S se rezolve n M2(C) ecuaia:

=

137

95X

11

11X

Prof. Dan Negulescu, BrilaSoluie: S notam matricele cunoscute din enuncu A i B. Atunciecuatia se scrie echivalent: XAX=B.

nmulim la stnga cuAi avem: AXAX=AB ( )2

.AX AB=

Dup calcule simple, gsim1 1 1 1 0 1 0 12 2

; ; ;3 5 3 5 3 6 3 63 3

AX

.

innd cont cA este inversabil (det A=2) i 11 11

,1 12A

=

rezult1 2 3 76

1 ; .2 3 3 56

X

XI.046 Fie nN* i M mulimea matricelor ptratice de ordinul n,inversabile n Mn(R), avnd elementele n mulimea {1, 2, 3, , 2006}.S se arate c mulimea M are un numr par de elemente.

prof. Marian Baroni, GalaiDac n = 1, sunt exact 2006 elemente n mulimea M. S considerm

acum n numr natural, n 2. Fie mulimile { }1 / det 0M A M A= >

i { }2 / det 0M A M A= < . Cum matricele AM sunt inversabile, va

rezulta c detA0 i,deci 1 2M M = , iar 1 2M M = (1)

Se construiete funcia f: M1M2, f(A) = matricea obinut prin

schimbarea ntre ele a primelor dou linii ale matricei A. Atunci f este

corect definiti inversabil, inversa funciei f fiind definit similar, prin

schimbarea ntre ele a primelor dou linii. Prin urmare, f este bijectiv

7/29/2019 RMCS_nr.18

28/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

29/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

30/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

31/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

32/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

33/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

34/38

67

b) *( ) ( )

( ) ( ), , , .xf x yf y

f x f y x y x yx y

= +

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

IX . 059 Demonstrai c:4 4 4 2 2 2 6 , , , .a b c a b c abc a b c+ + + + + Lupu Vlad, Bugariu Dan, elevi, Oelu-RouClasa a X-a

X . 052 n trapezul ABCD (ABCD), notm AB = a, BC = b, CD = c,AD = d, AC = d1, BD = d2 , AC BD = {O}, a > c.Artai c: 1 2 ( )d d a c b = + daci numai dac ABCBOC

Prof. Mircea Iucu, Reita.

X . 053 Dac ABC este un triunghi cu vrfurile de afixe a, b, respectiv ci a b c R= = = , artai c 3 .a b b c c a R+ + + + +

Prof. Aurel Doboan, LugojX . 054 Rezolvai n mulimea numerelor reale sistemul

5 12 13

5 12 13

5 12 13

x y x

y z y

z x z

+ =

+ = + =

Prof. Tudor Deaconu, Nicolae Dragomir - ReiaX . 055 Dac ( ), , 1,a b c ,demonstrai c : log log logb c ac a ba b c abc .

Prof. Dorin Mrghidanu, CorabiaX . 056 Se consider mulimile

{ } { }2 2/ 2 0 , / 4 0A x x x m B x x x m= + = = + = .Determinai m tiind c exist ,a b A B cu 0.a b+ =

Prof. Lucian Dragomir, Oelu-Rou

X . 057 Dac*

:f are proprietatea c, , ,x y x y t astfel nct

( )1 ( ) ( )

( )

f xt f x f y t

f y + , atunci f este injectiv.

Prof. D.M.Btineu-Giurgiu, Bucureti

68

X . 058 Fie ( ): 0,f astfel nct

( )2(2 2) log (2 ) 2 ( 2), 0,f x x f x x + . Demonstrai c

graficul funciei f se afl sub dreapta de ecuaie 2 1.y x= Prof. Clin Burduel, Cristinel Mortici, TrgoviteX . 059 Dac ABCD este un patrulater inscriptibil, artai c centrele degreutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA i DAB sunt vrfurile unui

patrulater inscriptibil.Prof. Aurel Doboan, Lugoj

Clasa a XI-a

XI. 052 Dac ( )nA M este o matrice pentru care det( ) 0nA I+ i6 5 2

nA A A I= + , ar

tai c

A este nesingular.

Prof. Aurel Doboan, LugojXI. 053 Studiai convergena irului 0( )n nx definit prin

2

0 1 2

270, .nn

n n

xx x

x++

> =+

Prof. Tudor Deaconu, Nicolae Dragomir - Reia

XI. 054 Determinai 2 ( )X M care satisfac2 1 40

.24 1X

=

Prof. Tudor Deaconu, Nicolae Dragomir - Reia

XI. 055 Gsii matricea A tiind c *6 5 1

6 8 2

2 3 1

A

=

i det 0.A >

Prof. Aurel Doboan, Lugoj

XI. 056 Fie irul 2 1, 1, 1.n

nx a n a= + >

a) Calculai lim1nn

n

a +; b) Artai cirul

1

log ( 1), 1

na k

nk k

xa n

x=

= este convergent i gsii limita sa.

Prof. Ionel Tudor, Giurgiu

7/29/2019 RMCS_nr.18

35/38

69

XI. 057 Daca A si B sunt matrici ce verifica relatia nA B I+ = , atunci

( )2 2det 5 6 2 0A AB B+ + Prof. Ovidiu Bdescu, Reia

XI. 058 Calculatiln !

lim .( 1)n

n

n n +

Prof. Ovidiu Bdescu, Reia

XI. 059 a) Se considerirurile 11

! , , 1n

n n n nk

a k x a a n+=

= = .

Determinai1

lim2

nnn

x+

; b) Se considerirul definit prin

1 2 2 11, 3, ( 3) ( 2) , .n n na a a n a n a n+ += = = + + Determinai toatevalorile naturale ale lui n pentru care na este divizibil cu 11.

Clasa a XII-a

XII 052 Dac { }, , ,G e a b c= i ( ,*)G este grup cu elementul neutru e i*a b e= , determinai *c b .

Prof. Mircea Trifu, Bucureti

XII 053 S se calculeze4 3 2

5 42 4 2 2

1x x x x dx

x x+ +

+ +

Prof. Aurel Doboan, LugojXII 054 Fie : (0, ) (0, )f o funcie care admite o primitiv F cu

2 4( 1) ( ) ( 1) ( ), (0, )x F x x f x x+ = + . Determinai funcia ftiind c(1) 1.f =

Prof. Clin Burduel, Trgovite

XII 055 Fie ( )

2

: ,F F x x x a x a = +

. Determinaia astfel nct F este o primitiv a unei funcii f

XII 056 Pe ( )1,1G = se definete legea de compoziie

* , ,1

x yx y x y G

xy

+=

+, iar pe ( )1,5H= legea

70

3 5( ) 15, , .

3( ) 13

xy x yx y x y H

xy x y

+ +=

+ + Artai c: ( ,*)G i ( , )H sunt

grupuri comutative izomorfe.

Prof. Aurel Doboan, LugojXII 057 Se consider , ,a b a b S se arate c exist un punct de

minim ( , )c a b pentru funcia f.

XII 058 Fie , *a b . Artai c

{ }/ ( )( )A n n a n b= + + este

infinit daci numai dac .a b= Prof. Dan tefan Marinescu, Hunedoara

XII 059 Fie 1a > un numr natural i M mulimea resturilor mpririinumrului a la toate numerele ntregi pozitive mai mici dect a. Dacsuma tuturor elementelor mulimii M este egal cu a, determinai a.

Concurs Moldova

7/29/2019 RMCS_nr.18

36/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

37/38

7/29/2019 RMCS_nr.18

38/38

75

Clasa a XI-a

Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebe(prof.Maria Mirulescu):Labo Laureniu 74(228)Liceul Traian Doda Caransebe(prof.Lavinia Moatr):Voinea Alexandra 52(181), Crba Florentina Angela 46(114), DochinLuminia 47(165), Mutuleanu Alexandra 35(113), Cuitoi Simina 50(154),Petru Laura 46(203), Aghescu Loredana 37(110), Guulescu Oana37(150), Piele Cristian Ionu 32(102)(prof. Delia Dragomir): Beldie Anca 64(279), Iacob Alexandra 70(196),Fril Alina-Alexandra (120).Liceul Traian Lalescu Reia (prof.Ovidiu Bdescu): Popovici DoruAdrian Thom (167)Grup colar Industrial Oelu-Rou (prof.Lucian Dragomir):Istodor Cosmin (160)

Clasa a XII-a

Liceul Teoretic Traian Doda Caransebe(prof.Lavinia Moatr):Enache Bianca Emilia 32 (68)

76