Concursul ”Florica T. Câmpan”, editia a III-a1Faza judeteana, 1 martie 2003

Clasa a IV-a1. Care este cel mai mare numar care împartit la 10 da câtul 9?2. Sa se ordoneze numerele din sirul urmator în ordinea crescatoare a sumei

cifrelor lor: 132, 456, 199, 897, 1124,9191.

3. Câte triunghiuri sunt în figura?

4. Sa se taie 7 cifre din sirul 123123123123, astfel încât numarul ramas sa fie celmai mare posibil. Care este numarul?

5. Pe o farfurie sunt 19 fructe: prune, caise, piersici. Numarul piersicilor este de9 ori mai mare decât cel al prunelor. Câte caise sunt?

6. O coloana de militari, lunga de 100 metri, trece pe un pod lung de 100 metricu viteza de 100 metri pe minut. Cât timp dureaza pâna ce coloana parcurge podul?

7. Când tu veneai pe lume, eu aveam cu 1 an mai mult decât de 4 ori vârsta tade acum. As putea sa ajung la 99 ani daca voi mai trai cu 2 ani mai mult decât aitrait tu pâna acum. Câti ani am eu acum?

Clasa a V-a1. Suma cifrelor unui numar natural este 23, iar câtul împartirii sale prin 9 este

96. Sa se afle numarul.

2. În câte zerouri se termina numarul

N = 123456

· 234561

· 345612

· 456123

· 561234

· 612345

?

Monica Nedelcu3. Numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sunt asezate într-un tablou triunghiular astfel

ab i

c hd e f g

Daca suma numerelor de pe fiecare latura a triunghiului este 20, sa se arate canumarul 5 este unul dintre vârfuri.

Andrei Nedelcu4. Un colier este format din bile pe care sunt înscrise numere naturale nenule

astfel încât pe bilele vecine uneia este înscris un divizor sau multiplu al numaruluiînscris pe acea bila, fara ca un acelasi numar sa apara pe mai multe bile. Care este

1 Nota. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 1.5 ore - cl. IV si 2 ore - cl. V-VIII.

36

cel mai lung colier care poate fi format cu numerele naturale mai mici sau egale cu100? Descrieti toate solutiile cu numar maxim de bile!

Mihaela Cianga

Clasa a VI-a1. Fie S = 2 + 22 + 23 + 24 + . . .+ 22003. Calculati S + 2.

2. Determinati toate numerele de forma abcd stiind caa+ b+ c

5=

b+ c+ d

2=

c+ d+ a

3.

3. În jurul unui punct O consideram unghiurile cu masurile din figura. Dacax = 9◦, calculati n◦.

1º2º

3º

4º

xº

nº

4. Într-un triunghi laturile sunt numere naturale pare. O latura este egala cu 2.Aratati ca triunghiul este isoscel.

Clasa a VII-a1. Fiecare celula a unui tabel 2003× 2003 este colorata la întâmplare cu una din

2002 culori. La un pas se permite recolorarea cu o aceeasi culoare a unei linii saua unei coloane, daca pe aceasta linie (coloana) se afla macar doua celule de aceastaculoare. Prezentati un algoritm cu un numar minim de pasi care permite ca oricetabel sa devina monocolor.

2. Fie r1, r2, r3, . . . , r2003 o rearanjare a numerelor întregi 1,2,3,. . . ,2003. Sa sedemonstreze ca produsul P = (r1 − 1) (r2 − 2) . . . (r2003 − 2003) este numar par.3. Fie 4ABC si M ∈ (BC). Notam cu M 0, C 0, A0, B0 simetricele punctelor A,

M 0, C0, A0 respectiv fata de M , C, A, B. Sa se arate ca punctele M 0 si B0 coinciddaca si numai daca M este mijlocul lui (BC).

Gabriel Popa4. Se considera 4ABC cu m( bA) = 80◦, m( bC) = 60◦ si AC = 1. Sa se demon-

streze ca BC este medie proportionala (geometrica) între AC si (AB + 1).

Clasa a VIII-a1. Fie n ∈ N∗. Sa se gaseasca partea întreaga a numarului √n2 + 3n.2. Fie A = {1, 2, 3, . . . , 2003} si fie f : A → A o functie liniara neconstanta.

Aratati ca f (1002) = 1002.Gheorghe Iurea

3. Doua furnici merg cu viteza constanta pe paralelipipedul dreptunghicABCDA0B0C0D0, cu AB = 10 cm, BC = 15 cm, AA0 = 12 cm. Prima furnicapleaca din A si ajunge în A0 traversând, în ordine, muchiile [BB0], [CC 0] si [DD0]

37

(pe drumul cel mai scurt). A doua furnica pleaca din B0 si ajunge în B traversând,în ordine, muchiile [CC0], [DD0] si [AA0] (pe drumul cel mai scurt). Cunoscând cafurnicile pornesc în acelasi timp si ca ele se întâlnesc, aflati raportul vitezelor lor.4. Fie o masa de biliard dreptunghiulara ABCD la care s-au ales drept axe de

coordonate laturile AB si AD (AB e axa absciselor). Se dau 2 bile situate în puncteleM (5, 6) si N (1, 2). Bila din M pleaca liniar catre AB astfel încât sa loveasca biladin N . Sa se gaseasca punctul în care bila loveste latura AB.

Faza interjudeteana, 24 mai 2003Clasa a IV-a1. Pe fiecare dintre cele cinci carti, numarul de jos este într-o aceeasi legatura

ascunsa cu numarul de sus. Care este al doilea numar scris pe a cincea carte?

93

3

84 55 62 51

2 1 3

2. Un elev trebuie sa învete pentru a doua zi la istorie, matematica si engleza. Încâte moduri îsi poate stabili ordinea disciplinelor la care învata? Precizati-le!3. Daca un pahar si o sticla cântaresc cât o cana, sticla respectiva cântareste

cât paharul si o farfurie, iar doua cani cântaresc cât trei farfurii, atunci câte paharecântaresc cât o sticla?4. Am vizitat gradina zoologica. Am vazut ursii, leii, lupii si maimutele, dar nu

în aceasta ordine. În prima cusca animalele dormeau si erau ursi sau maimute. În adoua cusca nu erau lupi si nici lei. În a treia cusca animalele se uitau în alta parte,nu la mine. În a patra cusca nu erau maimute si nici ursi. Maimutele nu dormeau.Lupii se uitau la mine. În ce ordine am vizitat animalele?

Clasa a V-a1. Determinati cel mai mic numar scris în baza 10 numai cu cifrele 0 si 1, divizibil

cu 225.2. Aratati ca numerele 1, 2, 3 . . . , 16 nu pot fi aranjate pe o circumferinta astfel

încât suma oricaror doua numere vecine sa fie patrat perfect. Este posibila o astfelde aranjare pe o linie? Justificati.

3. Fie fractia56

22003.

a) Justificati ca fractia este zecimala finita;b) Care sunt ultimele doua zecimale nenule? Dar ultimele trei?4. Un grup de prieteni hotarasc sa faca o calatorie la Viena. Fiecare dintre

ei prezinta la vama acelasi numar de bancnote, unele de 100 € , altele de 100 $.Organizatorul grupului detine un sfert din bancnotele de 100 € si o sesime din celede 100 $. Câte persoane sunt în grup si care e minimul numarului total de bancnote,stiind ca fiecare trebuie sa aiba cel putin 5 astfel de bancnote?

Mihaela Cianga

Clasa a VI-a1. Pe sase recipiente avem scrise capacitatile lor: 8 l, 13 l, 15 l, 17 l, 19 l si

38

respectiv 31 l. Recipientele sunt umplute cu ulei sau otet. Un client cumpara de840000 lei otet si tot de 840000 lei ulei, golind cinci din cele sase recipiente si lasândunul singur neatins. Care recipient a fost neatins? Care este pretul unui litru de ulei,stiind ca pretul uleiului este de doua ori mai mare decât pretul otetului?

Nicu Miron2. Fie numerele naturale nenule a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. Spunem ca

multimea {a1, a2, . . . , a6} are proprietatea P daca ∀k∈{3, 4, 5, 6}, ∃i, j∈{1, 2, 3, 4, 5, 6},i 6= j astfel încât ak = ai + aj . Sa se afle câte multimi cu proprietatea P sunt deforma {1, 2, a, b, c, d}.

Petru Asaftei3. Se considera triunghiul ABC dreptunghic în A. Daca AB = 2AC, aratati ca

masura unghiului bC este mai mica decât 67◦300.Petru Asaftei

4. Sase drepte se afla în acelasi plan. Aratati ca cel putin doua dintre acestedrepte fac între ele un unghi cu masura mai mica decât 31◦.

Clasa a VII-a1. Sa se rezolve ecuatia

1√x2 + 4

+1√

x2 + 11=7

12.

2. Sa se arate ca toate dreptele care împart un dreptunghi în doua parti de ariiegale sunt concurente.3. Un cerc este împartit în n parti egale. Plecând din fiecare punct de diviziune,

se numara m puncte consecutive si se uneste punctul initial cu cel obtinut (puncteleunite nu sunt diametral opuse). Sa se demonstreze ca nu exista trei drepte care safie concurente în interiorul cercului.4. Alice si Bob au un saculet cu 2003 bile. Alice scoate între una si trei bile din

saculet dupa care Bob are dreptul sa scoata si el între una si trei bile. Procedeul serepeta pâna la extragerea tuturor bilelor din saculet. Aratati ca Alice poate procedaîn asa fel încât sa extraga ea ultima bila, indiferent de felul în care actioneaza Bob.

Clasa a VIII-a1. a) Demonstrati ca (n+ 3)2 − (n+ 2)2 − (n+ 1)2 + n2 = 4, ∀n ∈ N.b) Aratati ca putem alege semnele astfel încât ∀n ∈ N sa aiba loc egalitatea

(n+ 7)2 ± (n+ 6)2 ± (n+ 5)2 ± (n+ 4)2 ± (n+ 3)2 ± (n+ 2)2 ± (n+ 1)2 ± n2 = 0.

c) Fie A = {2003, 2004, . . . , 20042}. Aratati ca exista multimile B si C disjuncteastfel încât B ∪C = A, suma elementelor lui B este egala cu suma elementelor lui Csi suma patratelor elementelor lui B este egala cu suma patratelor elementelor lui C.2. La o balanta bratele în care se pun greutatile si marfa trebuie sa fie în echilibru.

Un cumparator a sesizat faptul ca balanta este defecta, deoarece punând marfa peun taler si greutatile pe celalalt taler si apoi invers, balanta nu este în echilibru.Cumparatorul, care vrea sa achizitioneze 2 kg, a cerut sa i se cântareasca 1 kg demarfa într-un mod si 1 kg de marfa în celalalt mod. A iesit în pierdere sau în câstig?3. Folosind doua butoaie cilindrice, unul de 50 l, altul de 60 l si având oricât de

multa apa la dispozitie, prin mai multe masuratori sa se obtina 55 l de apa.Catalin Budeanu

39

4. Fie ABCA0B0C0 o prisma triunghiulara regulata cu toate muchiile egale.a) Determinati pozitia punctului M pe segmentul [BB0] astfel încât A4AMC0 sa

fie minima.b) DacaM este mijlocul segmentului [BB0], sa se determine unghiul dintre planele

(ABC) si (AMC 0).

Nota de cititorMulti dintre învatatorii ieseni au fost probabil contrariati în primele momente, la

fel ca si mine, când au aflat de organizarea unui concurs de matematica, la claseleI—VIII având pe generic numele "Florica T. Câmpan".Dupa ce surpriza a trecut, curiozitatea si-a facut loc printre gânduri de tot felul

si m-a îndemnat sa aflu ce zvâcnire de spirit se ascunde în spatele acestui nume, farachip înca pentru mine, dar care a determinat o mobilizare considerabila de forte.Aveam sa constat în scurt timp ca bibliotecile aveau suficiente materiale care sa

ma ajute sa gasesc raspunsuri convingatoare.Din paginile cartilor rasfoite sau citite cu aviditate, se contura personalitatea unui

om de cultura, profesor de prestigiu si datator "de carti atractive si lamuritoare"(D. Brânzei) ale geometriei, ale sirurilor de numere si ale patratelor magice, aleistoriei matematicii.Nu mi-am propus în aceasta nota o incursiune în bibliografia acestei Doamne

a matematicii. Au facut-o altii cu mai multa râvna si pricepere înaintea mea.M-am gândit doar ca sfârsitul toamnei poate constitui pentru ieseni (si nu numai)un prilej de aducere aminte a faptului ca pe 26 noiembrie 1906 la Iasi, pe tarâmulmatematicii o "aleasa a Domnului" se ivea sa-si împlineasca harul. Caci pentruprofesor doctor-docent Florica T. Câmpanmatematica nu este o simpla stiinta.Ea reprezinta, ca si credinta, o cale prin care poti sa fii mai aproape de divinitate.Rândurile mele se doresc a fi mai mult un prilej de a scrie despre ceva drag mie:redescoperirea prin lectura a universului matematicii.Si poate atunci când iarna îsi va intra în drepturi, veti gasi o clipa de ragaz sa cititi

despre "Istoria numarului π", despre "Probleme celebre din istoria matematicii", satraiti "Aventura geometriilor neuclidiene", sa aflati cine sunt "Licuricii din adâncuri"si sa simtiti ca "Dumnezeu si matematica" au aceeasi esenta.Supletea si persuasiunea discursului matematic, profunzimea discursului filozofic,

savoarea dialogului te fac sa uiti ariditatea "terenului" pe care te afli, îti aduc mate-matica macar mai aproape de suflet, daca nu de minte.Chiar daca, personal, nu am excelat în domeniu si nici timp s-o fac nu mai am,

m-am aflat prin intermediul d-nei Florica T. Câmpan într-un dialog cu matematicadincolo de catalog, dincolo de folosirea ei marunta si lenesa, la interferenta dintre realsi divin.A venit apoi firesc întrebarea: un învatator aproape nestiut poate aduce ceva nou

în lumea matematicii? Raspunsul a venit prompt. Da, poate veni cu puterea luide patrundere, cu putina lumina în mintea copiilor, iar daca nu are nimic din toateacestea, poate veni cu sufletul... Pentru ca ea, MATEMATICA, este pretentioasa:VREA TOTUL!

Înv. Luminita Murariu, Scoala "Elena Cuza", Iasi

40