1

SUBIECT PROPUS LA EVALUAREA NAIONAL MATEMATIC

2015 VARIANTA 7 rezolvare oferit de MATEPOP2013

SUBIECTUL I - Pe foaia de examen scriei numai rezultatele. (30 de puncte)

1) (5p) Rezultatul calculului este egal cu .. .

REZOLVARE:

2) (5p) Dac , atunci a este egal cu .. .

REZOLVARE:

3) (5p) Cel mai mare numr natural care aparine intervalului este egal cu

.. .

REZOLVARE: Numerele naturale care aparin intervalului sunt 1, 2, 3, 4

i 5. Cel mai mare numr natural care aparine intervalului este egal cu 5.

4) (5p) Ptratul ABCD are latura de 6 cm. Perimetrul ptratului ABCD este egal

cu .. cm.

REZOLVARE:

5) (5p) n Figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH. Msura unghiului

determinat de dreptele AB i BF este egal cu ..

REZOLVARE:

Ptratul ABFE are laturile AB i BF perpendiculare.

Msura unghiului determinat de dreptele AB i BF este egal cu 90 .

2

6) (5p) n diagrama de mai jos este prezentat repartiia elevilor unei clase a

VIII-a, n funcie de notele obinute la teza de matematic pe semestrul al II-lea.

Numrul elevilor care au obinut nota 10 este egal cu .. .

REZOLVARE:

Numrul elevilor care au obinut nota 10 este egal cu 3.

SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen scriei rezolvrile complete. (30 de puncte)

1) (5p) Desenai, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic

ABCDABCD.

REZOLVARE:

3

2) (5p) Calculai media aritmetic a numerelor de dou cifre, multipli ai lui 40.

REZOLVARE: Numerele naturale de dou cifre, multipli de 40 sunt 40 i 80.

Observaie: Dac se iau n considerare i multiplii negativi ai lui 40 de dou

cifre, atunci

3) (5p) Mihai a cheltuit o sum de bani n dou zile. n prima zi Mihai a cheltuit

30% din sum, iar n a doua zi restul de 35 de lei. Calculai suma de bani

cheltuit de Mihai n prima zi.

REZOLVARE:

4) Se consider funcia

a) (5p) Calculai f(- 2).

REZOLVARE:

b) (5p) Reprezentai grafic funcia f ntr-un sistem de coordonate xOy .

REZOLVARE: Se determin coordonatele punctului de intersecie a graficului

funciei f cu axa absciselor Ox.

4

Se determin coordonatele punctului de intersecie a graficului funciei f cu axa

ordonatelor Oy.

Graficul funciei f este dreapta AB.

Observaie: Pentru realizarea graficului, se pot lua dou valori ale lui x din

domeniul de definiie al funciei i folosind formula funciei se calculeaz

imaginile (valorile) funciei f pentru argumentele x considerate.

5) (5p) Se consider expresia

REZOLVARE:

.

5

SUBIECTUL al III-lea - Pe foaia de examen scriei rezolvrile complete. (30 de puncte)

1) Figura 2 este schia unui teren n form de dreptunghi ABCD cu AB =150 m i

AD =100 m . Punctul M este mijlocul laturii AD , iar punctul N este situat pe

latura DC astfel nct DN = 2NC .

Figura 2

a) (5p) Artai c aria terenului ABCD este egal cu 1,5ha .

REZOLVARE:

b) (5p) Demonstrai c triunghiul MNB este isoscel.

REZOLVARE:

Alt rezolvare: n triunghiurile dreptunghice DMN i CNB, folosind teorema lui

Pitagora se pot calcula MN i NB. Rezult MN = NB = 505 m iar MNB este

triunghi isoscel.

c) (5p) Calculai msura unghiului format de dreptele MN i NB .

6

REZOLVARE:

DMN CNB; m(MND) + m(DMN) = 90;

m(MND) + m(CNB) = 90;

m(MNB) =180 - (m(MND) + m(CNB)) = 90.

Alt rezolvare: n triunghiul dreptunghic AMB, se folosete teorema lui Pitagora

pentru determinarea lungimii ipotenuzei MB.

n triunghiul dreptunghic DMN, se folosete teorema lui Pitagora pentru

determinarea lungimii ipotenuzei MN.

n triunghiul dreptunghic CNB, se folosete teorema lui Pitagora pentru

determinarea lungimii ipotenuzei NB.

Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, rezult c triunghiul NMB este

dreptunghic n N. .

2) n Figura 3 este reprezentat o piramid patrulater regulat VABCD cu VA

= 35 dm i AB = 6 dm . Punctul M este mijlocul laturii AD .

7

a) (5p) Artai c VM = 6 dm.

REZOLVARE:

.

Triunghiul MAV este triunghi dreptunghic n M. Folosim teorema lui Pitagora i

rezult

b) (5p) Calculai cte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea

suprafeei laterale a piramidei, tiind c pentru vopsirea unei suprafee de

un decimetru ptrat se folosesc 30 grame de vopsea.

REZOLVARE:

Cantitatea de vopsea pentru vopsirea suprafeei laterale este 7230 = 2160 g.

c) (5p) Demonstrai c sinusul unghiului dintre planele (VAD) i (VBC) este

egal cu .

REZOLVARE:

AD este inclus n (VAD), BC este inclus n (VBC) i AD BC d , unde d =

(VAD)(VBC) . N este mijlocul lui (BC) VN BC i cum VM AD,

obinem m(((VAD), (VBC))) = m((VM,VN )).

VM = VN = MN = 6 dm. Rezult c triunghiul VMN este triunghi echilateral i

m((VM,VN ) = m(

MATEPOP2013 Sursa bibliografic:

http://subiecte2015.edu.ro/2015/evaluarenationala/Subiecte_si_bareme/