Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

download Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

of 30

  • date post

    27-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    121
  • download

    0

Embed Size (px)

description

ecuatii

Transcript of Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

  • REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAIILOR

    OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL

    Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor, cunotinele de algebr ale elevilor se ncheag, n sensul c aici se aplic aproape tot ce au nvat ei la algebr: calcul algebric, rezolvarea ecuaiilor i a sistemelor de ecuaii i, mai ales, ei nva s aplice aceste cunotine la situaii concrete ct mai variate. Trebuie, totui, subliniat c, dac este adevrat c aceste probleme au un coninut concret, cele mai multe dintre ele nu sunt cu adevrat practice. Cnd parcurgi zecile de probleme care se gsesc n manuale i n culegeri, vei gsi cu greu o problem care s fi izvort efectiv din activitatea practic din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele dateaz din Evul Mediu sau sunt i mai vechi. n lumea colar, temele vechi au fost reluate i amplificate, uneori li s-a schimbat haina, aa c astzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele sunt foarte complicate. Trebuie s ne ferim de exagerri. S nu transformm aceste probleme ntr-un scop n sine. Ele sunt un exerciiu util al spiritului, dar numai att. Pentru studiile de mai trziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. n aplicaii, ori de cte ori trebuie scris ecuaia care descrie o anumit situaie, se dau toate explicaiile. De exemplu, la fizic apare, n legtur cu calorimetrul, o ecuaie destul de lung care exprim c cantitatea de cldur pe care o cedeaz un corp este egal cu cantitatea de cldur pe care o primete un alt corp. Aceast problem, pus ntr-o culegere de probleme de algebr, ar fi considerat ca o problem uoar. Totui, n crile de fizic se explic amnunit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar att: elevii s fie n stare s rezolve cu ajutorul ecuaiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este o problem de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul s pstreze msura.

    CE ESTE O PROBLEM DE ALGEBR

    1. Ce este o problem de algebr? 2. Problemele inverse 3. n ce const dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic?

    4. Caracterul relativ al acestei clasificri

    n lumea colar se face distincie ntre probleme de aritmetic, ce se pot rezolva pe baza cunotinelor care se capt la aritmetic i probleme de algebr, care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor, sau ntre soluia aritmetic i soluia algebric a unei probleme. n ultim analiz, orice problem care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaii de gradul I sau a unui sistem de dou ecuaii de gradul I cu dou necunoscute se poate rezolva i pe

  • cale aritmetic. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Care este atunci deosebirea dintre problemele de aritmetic propriu-zis i problemele de algebr? De ce este uneori foarte greu s rezolvi pe acestea din urm pe cale aritmetic?

    1. Ce este o problem de algebr? Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la care ne referim este de a examina ce fel de relaii ntre date i necunoscute intervin n ele. Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaiile respective. Orice problem de aritmetic poate fi pus n ecuaie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O lad are a kg, o alt lad are b kg; ct au cele dou lzi mpreun? sau: O lad conine a kg; ct conin b lzi? crora le corespund ecuaiile: x = a + b i x = ab. Aceste cazuri sunt banale fiindc ecuaia apare gata rezolvat. Lucrurile se schimb ndat ce ecuaia conine o operaie n care unul din componeni este necunoscut, ca n problemele inverse celor de mai sus: Dou lzi au mpreun a kg, iar una din ele are b kg; ct are cealalt? respectiv: O lad conine a kg, cte lzi conin b kg? De data aceasta, ecuaiile snt respectiv: a + x = b i ax = b, i trebuie rezolvate n raport cu x. Totui, aceste probleme sunt privite ca probleme de aritmetic, nu de algebr. Aceasta se datorete faptului c n coal lucrurile se prezint altfel. Ecuaiile a + x = b i ax = b nu sunt prezentate ca ecuaii. Cu ajutorul lor se definesc dou operaii noi: n loc de: a rezolva ecuaia a + x = b, se spune: a scdea a din b; aceast operaie se noteaz i i se d o semnificaie concret (a scoate b obiecte dintr-o colecie de a obiecte, a micora a cu b .a.m.d.). Tot aa, n loc de a rezolva ecuaia ax = b, se spune: a mpri b prin a; aceast operaie se noteaz : i are o semnificaie concreta (de cte ori se cuprinde a n b, cte pri de msur a se pot face dintr-un obiect de msur b .a.m.d.).

    Datorit operaiilor inverse, se ocolete noiunea de ecuaie i cu ajutorul celor patru operaii aritmetice se pot rezolva un numr mare de probleme puse de practic. Problemele complexe se descompun n probleme simple, care duc la forma x = a + b, x = a - b, x = ab, x = a:b, unde a i b sunt numere date sau care se afl n prealabil tot prin probleme de acest tip. n cadrul aritmeticii se rezolv i probleme a cror ecuaie este mai complicat. Cele mai importante sunt cazurile cnd ecuaia are forma: x:a = b:c sau a:x = b:c. Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special Regula de trei. La

    capitolul Procente apare nevoia de a rezolva ecuaia: 100NpP = n raport cu N sau n raport

    cu p (aflarea ntregului cnd se cunoate un numr de procente din el, aflarea raportului procentual a dou numere); la probleme de amestec i aliaj apare nevoia de a rezolva ecuaia bft := (t - titlul, f - greutatea metalului preios, b - greutatea (brut) a ntregului aliaj). Aceste probleme se rezolv prin regula de trei simpl sau pe baza proprietilor operaiilor. Comun acestor ecuaii este faptul c necunoscuta figureaz o singur dat.

    S considerm n schimb problema: Ce numr trebuie s adugm la ambii termeni ai

    fraciei 1811

    ca s obinem o fracie egal 32

    ? Este drept c problema se poate rezolva pe

    2

  • cale aritmetic (aflarea a doi termeni cnd se cunoate diferena 18 11 = 7 i raportul 2:3), dar n mod obinuit aceast problem este privit ca problem de algebr. Ecuaia ei este:

    32

    1811

    =

    +

    +

    xx

    .

    Deosebirea esenial dintre aceast ecuaie i cele precedente const n faptul c necunoscuta figureaz aici de dou ori. n general, se poate spune c: dac n ecuaia unei probleme necunoscuta figureaz cel puin de dou ori, avem de-a face cu o problem de algebr. Acest fapt a fost verificat pe un numr mare de probleme din diferite manuale de algebr. Aici avem n vedere problemele cu o singur necunoscut. Problemele cu dou sau mai multe necunoscute sunt, n general, probleme de algebr - n afar de cazul cnd problema se reduce uor la o problem cu o singur necunoscut, valorile celorlalte necunoscute fiind uor de aflat ndat ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem n vedere aa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolv prin metode speciale (metoda ipotezelor, metoda retrograd etc).

    2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetic i problemele de algebr cu o singur necunoscut se poate pune n eviden i cu ajutorul noiunii de problem invers. Am artat mai sus c ecuaiile cele mai simple apar la definirea operaiilor inverse. Aceast idee se poate generaliza. Fiind dat o problem n care intervin n numere cunoscute, a1, a2, ..., an i un numr necunoscut x, o problem invers fa de cea dat este aceeai problem, dar n care x i numerele a1, a2,..., ak-1, ak+1, ..., an sunt date, iar ak este necunoscut. O problem admite attea probleme inverse cte numere cunoscute intervin n enunul ei.

    La aritmetic, problema invers se folosete deseori pentru a face proba. De cele mai multe ori, o problem de algebr este inversa unei probleme de aritmetic (v. i I, 4; 3, unde acest fapt a aprut ntr-o ordine de idei apropiat). Vom verifica aceast afirmaie pe un exemplu. Considerm situaia urmtoare: oseaua care unete dou localiti A i B urc tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o vitez v kmlor, iar cnd merge la vale viteza sa este cu v kmlor mai mare. El face drumul de la A la B n t ore, iar de la B la A n t ore.

    Cnd merge la deal, biciclistul are viteza v i parcurge drumul AB n t ore, deci AB = vt; cnd merge la vale, el are viteza v + v i parcurge distana AB n t ore, deci AB = (v + v)t. Scriind c cele dou expresii ale distanei AB sunt egale, obinem relaia: ( ) .'' tvvvt += Aici intr patru numere v, v, t, t, deci se pot compune patru probleme, dup cum se cere unul sau altul dintre aceste numere, i anume:

    a) Se d: v = 9, v' = 6, t = 5; se cere t. Aceasta corespunde unei probleme uoare de aritmetic, i anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/or i parcurge un drum AB n 5

    3

  • ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/or mai mare. n ct timp va parcurge

    biciclistul drumul de la B la A? Se obine uor pe cale aritmetic: .36959' oret =

    +

    =

    Dac privim aceast problem ca direct, celelalte probleme sunt:b) Se d v = 9, v = 6, t = 3 i se cere t.c) Se d v = 9, t = 5, t = 3 i se cere v.d) Se d v = 6, t = 5, t = 3; se cere v. Textul corespunztor se compune uor.Problemele b) i c) sunt probleme uoare de aritmetic. Problema d) ns este o

    problem de algebr. Ecuaia ei este: ( ).635 += xxAadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetic i una este de

    algebr. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuaia (1). Se constat c t, t i v figureaz cte o singur dat, iar v figureaz de dou ori. Mai observm c, dac pornim de la problema d), toate problemele inverse sunt uoare. Acest fapt va fi folosit ca mijloc de a-i nva pe elevi s pun probleme n ecuaie (v. 3; 2).

    Independent de scopul urmrit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a compune probleme de algebr.

    3. n ce const dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic? n mod obinuit, pentru a rezolva o problem de aritmetic, se procedeaz astfel: