Rezolvarea subiectelor la matematică. Simularea Evaluării Naţionale clasa a VIII-a, 2015

Subiectul I

1. (2 (31 2 8 2 8 1 8 9 3

2 3 3 6 3 3 3 3⋅ + = + = + = =

2. Notăm cu i ieftinirea si cu pi preţul după ieftinire.

(10010 20020 2lei100 100

= ⋅ = =i

20 2 18leiip = − = 3. n est numărul natural imediat mai mic decât 8 7n = 4. Cum (AOB) (BOC) (COA)m m m= = (din AO BO CO= = ) şi (AOB) (BOC) (COB) 360m m m+ + = °

3 (AOB) 360 (AOB) 360 : 3m m ⋅ = ° = ° (AOB) 120m = °

5. Notăm cu a lungimea muchiei cubului. AB AD AA 3 36 36 : 3a a a a a+ + = + + = =′

12cm 12cma AB = = . 6. Studiind graficul, punctul care are abscisa 120 (120 minute) are ordonata 80. Distanţa parcursă de autocar în 120 minute este de 80 km. Subiectul II 1.

2. { }5 0, 5abc c ∈

22a b c+ + = , a, b, c cifre Cazul 1. 0 0 22 22c a b a b= + + = + = (contradicţie a şi 9b ≤ ) Cazul 2. 5 5 22 22 5c a b a b= + + = + = −

17 9a b a + = = , 8 985b abc= = 8a = , 9 895b abc= =

{ }895 ; 985abc ∈

1

3. Notăm cu x numărul de pagini ale cărţii.

I zi : 4747 %100xx⋅ =

Restul de pagini după prima zi : 100)

I47 100 47R100 100 100x x xx= − = −

I53R100x

=

Dar IR 53= . Obţinem 53 53 100100x

= ⋅

53 53 100 53 5 300 : 53x x = ⋅ = 5 300 : 53 100 paginix x= =

4. 1 12 1 2 1

x = +− +

, 12 22

y = ⋅ +

a) ( ) ( )

2 1) 2 1)

2 22 2

1 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1

x+ − + −

= + = + − + − −

2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1

x x+ − = + = + + −

− −

2 2x =

( ) ( ) ( )8 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x⋅ − = ⋅ − = −

( ) 22 2 2 2 2 2 2 4= ⋅ = = ⋅ =

( )8 2 4x − =

b) ( 2

1 22 2 2 22 2

y y = ⋅ + = ⋅ +

( ) 22 1 3y y = + =

( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 2 4 2 8x x x= = ⋅ = ⋅ = 2 8 3 5x y− = − = .

5. 2 2 2 2 2E( ) ( 1) ( )x x x x x x= + + − + − =

2 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ( )x x x x x x x x x = + + − + + + + + − =

2( x= x+ 21 x+ − x− 2 2 2)( 1 )x x x x x+ + + + − = 2 21 (2 2 1)x x x= ⋅ + + − =

2 2 22 2 1 2 1x x x x x= + + − = + + 2 2E( ) 2 1 ( 1)x x x x= + + = +

2E( ) ( 1) E( )n n n= + pătrat perfect.

2

Subiectul III 1. Ip : ABCD dreptunghi AB 5 hm= , AD 3 hm= . E (AB)∈ , F (CD)∈ , AE CF 1 hm= = DP si BQ drumurile cele mai scurte de la D şi B la EF DP EF ⊥ , BQ EF⊥ , P, Q (EF)∈ C : a) EF = ? b) EP PD EF (?)+ = c) DPBQ – paralelogram.

a) Construim FM AB⊥ , M (AB)∈

FMBC dreptunghi MB 1 hm = şi FM 3 hm= . Cum EB AB AE 5 hm 1 hm 4 hm= − = − =

EM EB MB EM 4 hm 1 hm 3 hm = − = − = .

În ΔEMF, dreptunghic (M) 90m = ° , avem EM FM 3 hm EMF= = Δ dreptunghic isoscel.

Cum EF ipotenuză EF FM 2 3 2 hm = = . b) Cum ΔEMF dreptunghic isoscel

EM FM 3 (FEM) 45m = = = ° Cum ( FEM) si ( EFD) alterne interne

(EFD) ( FEM) 45m m = = ° .

În ΔDPF : (DPF) 90m = ° , (DFP) 45m = ° DPF Δ dreptunghic isoscel

DP PF(1) =

Obţinem : (1)

EP PD EP PF EF+ = + = traseul E P D→ → şi aleea EF au aceeaşi lungime. c) Comparăm triunghiurile dreptunghice ΔDPF si ΔBQE.

I.U.DF BE 4 hm (ipotenuze)PFD QEB (alterne interne)

= =

≡

DPF BQE DP BQ (1)Δ ≡ Δ = Dar DP EF⊥ , BQ EF DP BQ (2)⊥ perpendiculare pe aceeaşi dreaptă Din (1) şi (2) DPBQ paralelogram.

3

2. Ip : VABCD piramidă patrulateră regulată VA = 8 cm, AB = 8 cm. E mijlocul lui AB F mijlocul lui AC M (VB)∈ astfel încât EM VB⊥ . C : a) BEFΔ�

b) (VD, (ABC))m c) VB (EMF)⊥

a) AB = BC = 8 cm

E mijlocul lui AB 8AB BE cm 4 cm2 2

= = =

F mijlocul lui BC 8BC BF cm 4 cm2 2

= = =

În ΔFBE, (B) 90m = °

FBEBE BF 4 4

2Δ⋅ ⋅= =�

2

228 cm=

2BEF 8 cmΔ =�

b) Notăm { } { }V(ABCD)O BD AC Opr= ∩ =

VD(ABCD) DOpr =

(VD, (ABCD)) (VDO)m m = DB diagonală în pătratul ABCD

DB AB 2 DB 8 2 = =

O mijlocul lui BD 8 2BD DO 4 2 cm2 2

= = = .

4

În ΔVOD : (O) 90m = °

DO 4 2 cm= VD VA 8 cm= =

(4

OD 4 2 2cos (VDO) cos 45VD 8 2

= = = = °

(VDO) 45 (VD, (ABCD)) 45m m = ° = ° . c) Comparăm triunghiurile ΔMBF şi ΔMBE

ABFB EB2

(MBF) (MBE) (feţele sunt triunghiuri echilaterale congruente)MB latură comunăm m

= =

=

L.U.L.MBF MBE (BMF) (BME)m m Δ = Δ =

Cum EM VB (BME) 90m⊥ = ° (BMF) 90 FM VB (1)m = ° ⊥

Cum :

{ }

VB EMVB FM VB (EMF)EM FM M

⊥⊥ ⊥∩ =

5