CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE N EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER

DISCIPLINA: REZISTENA MATERIALELOR

1. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR PLANE, SIMPLE: DREPTUNGHIULARA, CIRCULARA, INELAR Rezolvare: Caracteristicile geometrice utilizate frecvent n calculele de Rezistena Materialelor sunt:

A [mm2, m2, cm2] aria suprafeei; Iz, Iy [mm4, m4, cm4] momente de inerie axiale; Ip [mm4, m4, cm4] moment de inerie polar; Wp [mm3, m3, cm3] modul de rezisten polar.

Formulele de calcul ale acestor mrimi sunt prezentate n tabelul 1.1. Tabelul 1.1. Suprafaa A Iz Iy Wz Wy Ip Wp

4

2d 64

4d 64

4d 32

3d 32

3d 32

4d 16

3d

hb 12

3hb 12

3 hb 6

2hb 6

2 hb - -

Dd=

44

22 dD

[ ]22 14

D [ ]4

4

164

D [ ]4

4

164

D [ ]4

3

132

D [ ]4

3

132

D [ ]4

4

132

D [ ]4

3

116

D

d

z y

b

h z

y

d

D

y z

2. CALCULUL LA SOLICITAREA DE NTINDERE I COMPRESIUNE SIMPL, MONOAXIAL A ELEMENTELOR DE REZISTEN (BARE, TIRANI, STLPI) Rezolvare: 2.1. Formulele de calcul sunt:

- Pentru tensiunea normal, :

AN= [Pa, MPa,

22 cmdaN

cmkgf ];

- Pentru lungirea elementului de rezisten, l:

AElNl = [mm, m, cm] ,

n care: N [kN, N, daN] reprezint fora axial; A [m2, mm2, cm2] aria seciunii transversale; l [m, mm, cm] lungimea iniial a elementului de rezisten; E [Pa, MPa, daN/cm2] modulul de elasticitate longitudinal al materialului elementului de rezisten.

2.2. Dimensionarea: a) Din condiia de rezisten: a ;

anec

NA = ; (2.1)

b) Din condiia de deformabilitate: all = ;

anec E

NA = , (2.2) unde: a i a reprezint valorile admise (admisibile) pentru mrimile respective, specifice fiecrui material. 2.3. Verificarea: a) Din condiia de rezisten: a

efef A

N == ..... , (2.3)

b) Din condiia de deformabilitate: aef

ef AEN == ....... . (2.4)

Mrimile efective calculate, ef, ef, se compar cu cele admisibile: a, a. 2.4. Capacitatea portant: a) Din condiia de rezisten: efacap AN = ; (2.5) b) Din condiia de deformaie: efacap AEN = . (2.6) Din formulele (2.5) i (2.6) se obine fora capabil/maxim admis care poate solicita piesa.

3. CALCULUL LA SOLICITAREA DE NCOVOIERE SIMPL. Rezolvare: 3.1. Formula de calcul pentru tensiunea normal, , este cunoscut sub denumirea de ,,Formula lui Navier:

yI

M

z

izx = ;

min

maxmax

z

iz

WM= , n care

maxmin y

IW zz = ,

unde: x [Pa, MPa, daN/cm2] reprezint tensiunea normal; Miz [Nmm, kNm, daNcm] momentul ncovoietor; Iz/Wzmin moment de inerie axial/modul de rezisten axial; ymax [m, mm, cm] distana de la axa central, z, la fibra extrem a seciunii n care se calculeaz . 3.2. Dimensionarea:

=

=

=

==

.132

;6

;32

43

2

3

max

DdD

hb

d

MW

a

iznec

(3.1.)

Cunoscnd momentul Mizmax, din diagrama momentelor ncovoietoare i tensiunea admis, a, rezult dimensiunile seciunii transversale. 3.3. Verificarea:

az

izef W

M == .....min

max . (3.2)

Tensiunea efectiv, ef, nu trebuie s depeasc valoarea admis, a, pentru ca piesa (elementul de rezisten, grinda) s reziste n bune condiii. 3.4. Capacitatea portant: minmax, zaadmisizizcap WMM == . (3.3) Se obine valoarea momentului ncovoietor maxim admis care poate fi aplicat unui element de rezisten (pies).

4. CALCULUL PIESELOR CU SECIUNE TRANSVERSAL CIRCULAR SAU INELAR LA TORSIUNE Rezolvare: 4.1. Formule de calcul:

- Pentru tensiunea tangenial [ 2cmdaN,Pa,MPa ]:

rIM

p

t= ; p

maxtmax W

M= , unde max

pp r

IW = ;

- Pentru rsucirea specific [mmrad,

mrad ]:

p

tIG

M= ,

n care: tM [ cmdaN,mkN,mmN ] reprezint momentul de torsiune (rsucire); pI [

444 m,cm,mm ] momentul de inerie polar (vezi conceptul nr. 1);

pW [333 m,cm,mm ] modulul de rezisten polar (vezi conceptul nr. 1);

G [ 2cmdaN,MPa,Pa ] modulul de elasticitate transversal al materialului piesei.

4.2. Dimensionarea:

a) din condiia de rezisten ( a ): a

tp

maxnec

MW = ; (4.1);

b) din condiia de deformaie ( a ):a

tp G

MI max

nec = . (4.2). Rezult caracteristicile geometrice i dimensiunile piesei cu formulele din tabelul 1.1. 4.3. Verificarea:

a) ap

maxtef ...W

M

ef

== ; (4.3);

b) aefp

tef ...IG

Mmax == . (4.4).

Valorile efective nu trebuie s depeasc pe cele admisibile: a, a. 4.4. Capacitatea portant: a)

efadmismaxcap patt WMM == ; (4.5); b)

efadmismaxcap patt IGMM == . (4.6). Se obin astfel valorile maxime admise pentru momentul de torsiune.

5. GRINZI DE EGAL REZISTEN LA NCOVOIERE SOLUIA ECONOMIC DIN PUNCTUL DE VEDERE AL UTILIZRII MATERIALULUI. MOTIVUL REALIZRII. PRINCIPII DE CALCUL. REALIZARE PRACTIC. Rezolvare:

O bar (grind) avnd seciune transversal constant pe lungimea ei ( ctA = , ctI p = , ctWp = vezi conceptul nr. 1) reprezint o soluie neeconomic. Materialul este folosit economic

numai unde momentul ncovoietor este maxim pentru c aef = (vezi relaiile 3.1 i 3.2). n celelalte seciuni, unde solicitarea este mai mic ( aef

6. TEORII CLASICE DE REZISTEN (DE RUPERE, ALE STRILOR LIMIT). STAREA DE TENSIUNE LIMIT. TENSIUNEA ECHIVALENT (DE COMPARAIE) PENTRU CAZUL ARBORILOR CONFECIONAI DIN OEL. Rezolvare: Starea de tensiune limit a materialului, n cazul solicitrii de traciune axial, simpl, corespunde fie nceperii ruperii ( r = ), fie nceperii curgerii ( c = ), fie apariiei unui proces fizic inadmisibil sau periculos. Acestor caracteristici le corespund univoc altele, precum tensiunea tangenial (), deformaia specific (), sau energia de deformaie (W). Acestea pot fi la fel de periculoase concomitent cu c sau r. n cazul unor stri de tensiune oarecare, complexe, starea de tensiune limit se definete mai greu, deoarece nu se tie care dintre mrimile , , , W hotrte procesul fizic periculos. Teoriile de rezisten (de rupere, de stare limit) stabilesc criterii care permit calculul unei tensiuni echivalente sau de comparaie. Pentru arbori confecionai din oel, solicitai la ncovoiere (tensiunea normal ) i la torsiune (tensiunea tangenial, ), se folosesc formulele de calcul ale tensiunilor echivalente sub forma: a) conform cu Teoria a treia a rezistenei materialelor (teoria tensiunii tangeniale maxime): 22)3(comp)3(echiv 4 +== ; (6.1) b) dup Teoria a cincea a rezistenei materialelor (teoria energiei specifice modificatoare de form): 22)5(comp)5(echiv 3 +== . (6.2) 7. SOLICITRI COMPUSE. CE REPREZINT, TIPURI (CLASIFICRI) N FUNCIE DE SOLICITRILE SIMPLE CARE LE DEFINESC. PRINCIPII DE CALCUL. Rezolvare:

Solicitrile simple sunt determinate de eforturile: for axial ( N ), for tietoare (T ), moment ncovoietor ( iM ), moment de torsiune ( tM ) care acioneaz fiecare singur (n absena celorlalte) pe un element de rezisten. Acestea produc tensiunile:

a) tensiunea normal : AN

N = , WM i

Mi = ;

b) tensiunea tangenial :AT

T = , p

zM W

Mz

= , n care: A , W ( zW , yW ), pW - vezi conceptul nr. 1. n cazuri practice se ntlnete adesea aciunea simultan a dou sau mai multe eforturi, ceea ce conduce la apariia solicitrilor compuse. n acest caz, felul n care se compun eforturile depinde de natura tensiunilor i pe care le determin, astfel:

I. Solicitri compuse n care apar tensiuni de aceeai natur n acest caz, tensiunile se nsumeaz algebric:

iMNtotal = ; TMTtotal = . (7.1) II. Solicitri compuse n care apar tensiuni de natur diferit n aceast situaie, tensiunea total (echivalent, de comparaie) se determin cu una din teoriile de rezisten. De exemplu, pentru un arbore solicitat la ncovoiere i torsiune, tensiunea echivalent (vezi conceptul nr. 6) este: 22compechiv 4 +== . (7.2) 8. METODE ENERGETICE PENTRU CALCULUL DEFORMAIILOR. METODA MOHR-MAXWELL PENTRU CALCULUL DEFORMAIILOR BARELOR DREPTE (GRINZILOR) SOLICITATE LA NCOVOIERE. APLICAIE PE UN EXEMPLU SIMPLU. Rezolvare :

Deformaiile liniare () sau unghiulare () se pot calcula cu formula Mohr-Maxwell (Metoda forei unitare) dup cum urmeaz:

(8.2) dxEI

mM (8.1); dxEI

mM l iil

ii ==00

11 ,

unde: Mi reprezint legile de variaie (ecuaiile) ale momentului ncovoietor produs de ncrcrile

exterioare date; mi, im reprezint legile de variaie ale momentelor ncovoietoare produse de o for unitar

( 1=K , pentru mi), respectiv un moment unitar ( 1=KM , pentru im ). Integralele se efectueaz pe domenii (tronsoane) ale grinzii, pe care att Mi ct i mi sau im au legi

proprii unice. Exemplu: se calculeaz deformaiile i , indicate pe desen:

Rezult:

Relaia (8.1): ( )( )EI

FlEI

xxFdxEI

mM

l lii

311

3

0 0

=== ; Relaia (8.2): ( )( )

EIFl

EIxFdx

EImMl lii

211

2

0 0

=== . 9. STABILIREA ECHILIBRULUI ELASTIC: FLAMBAJUL BARELOR DREPTE. DIMENSIONAREA BARELOR LUNGI SOLICITATE LA COMPRESIUNE, ARTICULATE LA AMBELE CAPETE, N DOMENIUL FLAMBAJULUI ELASTIC. Rezolvare

Calculul forei critice la flambaj n domeniul elastic se efectueaz cu formula lui Euler:

2min

2

fcr l

IEF = , (9.1) unde: Imin reprezint momentul de inerie axial minim (v. tab. 1.1); lf este lungimea critic de flambaj; pentru bara articulat la ambele capete lf = l (l lungimea

barei); E este modulul de elasticitate longitudinal a materialului barei. Cunoscnd coeficientul de siguran la flambaj, cf, fora admis/capabil este:

f

cra c

FF = . (9.2) Dimensionarea la flambaj se face considernd fora admis egal cu fora dat, F, care

comprim bara: Fa = F.

FlcIEFff

a == 2 min

2

de unde rezult E

lcFI ff

= 22

min (9.3)

n cazul seciunii transversale circulare, respectiv dreptunghiulare a barei, momentele de interie

sunt (v. tab. 1.1): 64

4

mindI = respectiv

12

3

minhbI = .

nlocuind expresiile momentului de inerie minim n rel. (9.3) rezult dimensiunile necesare. ns trebuie verificat dac dimensiunile gsite situeaz bara n domeniul flambajului elastic. Pentru a verifica acest lucru, se calculeaz coeficientul de zveltee efectiv:

minil f= , unde

AIi minmin = raza de giraie.

Posibiliti: a. Dac > 0 = 100 (pentru bare din oel), bara se situeaz n domeniul flambajului elastic i

calculul este ncheiat; b. Dac < 0 = 100, domeniul flambajului este cel elasto-plastic, pentru care se face verificarea

dimensiunilor obinute cu formulele corespunztoare acestui domeniu (Formulele Tetmajer-Iasinski).

10 OBOSEALA MATERIALELOR. CE REPREZINT ACEST FENOMEN? FACTORII CARE INFLUENEAZ REZISTENA LA OBOSEAL A UNEI PIESE/STRUCTURI PORTANTE. Rezolvare:

Practica inginereasc a dovedit c elementele de rezisten (piese sau structuri portante) supuse unor sarcini variabile n timp se pot rupe n funcionare ndelungat, dei tensiunile maxime care apar sunt inferioare rezistenei la rupere sau chiar a limitei de elasticitate a materialului.

Acest aspect, iniial neclar, s-a numit oboseal, nelegndu-se modificarea n timp a proprietilor materialelor, sub aciunea unor cicluri de solicitare a cror repetare conduce n final la ruperea elementelor de rezisten. Durata de via a unei piese se msoar de obicei prin numrul de cicluri N pn la rupere.

Principalii factori care influeneaz rezistena la oboseal a unei piese/structuri portante sunt: a. Concentratorii de tensiune apar la modificrile mrimilor seciunilor prin racordri,

caneluri sau prin strngeri provocate de piesele (ex. inelele rulmenilor) din ansamblul construciei;

b. Dimensiunile piesei rezistena la oboseal a materialului se determin prin ncercarea epruvetelor cu dimensiuni standardizate (ex. d0 = 10 mm). Piesele au dimensiuni diferite de acestea, fapt care influeneaz rezistena la oboseal;

c. Factorii tehnologici: 1. Calitatea (starea) suprafeei piesei. Creterea rugozitii suprafeei determin scderea

rezistenei la oboseal. Urmele care rmn de la prelucrarea piesei constituie adevrai concentratori de tensiune, din care se amorseaz fisura de oboseal;

2. Tratamentele de suprafa: Mecanice: trefilare, ambutisare, laminare; Tensiuni remanente; Tratamente termochimice; Acoperiri galvanice.

d. Condiiile de lucru: Felul solicitrii; Felul ciclului de solicitare; Suprasolicitarea/subsolicitarea; Mediu de lucru (ap de mare, ap dulce, aer uscat).

Bibliografie

1. Buzdugan, Gh. Rezistena Materialelor, Editura Tehnic, Bucureti, 1980 2. Dumitru, I., Faur, N. Elemente de calcul i aplicaii n Rezistena Materialelor, Editura

Politehnica, Timioara, 1999 3. Negu, N. Rezistena Materialelor, Editura Politehnica,Timioara, 2003 4. Tripa, P., Hluscu, M. Rezistena Materialelor. Noiuni fundamentale i aplicaii, vol. 1-2,

Editura Mirton, Timioara, 2006