Rezistenta Materialelor 1 - Vasile Murarasu

r::,..,.,1:--..ir'r::.,.,t..1i.i:i.1..i"..',r.'ri.,,....i, :,r.r-),.tit:t::,.

i:'

'-1o

RrzrsTr NTA ilrATE RrAril0 RVOLUMULI

T,,'

f..s1

.&rii:i

trt.

H,ffi.$,

ffix{H

H

$iI

#?*sI*#

.1

ii Acadepice ,,MATEI -TEIU

i;.rSILF, h/iiiR.,'' i ,

REZISTT,NTA MATERIA L I I ( )liVOLIJMIJL I

Referen{i ;ti in!i I rci -

- Prof. univ. dr. ing.

- Prof. univ. dr. ing.

I)an l'ltlr('t jl'n Ntit.\icu Mllln l.A( lll

C U PRINS

Capitolul 1 Notiuni introductive1,1, Obiectul Rezisten{ei materialelor

1,2. Modelul de calcul pentru elemerrtcllt: d(: '.,rtl'l1rlri.lr,'

1.2. 1. Modelarea geometrlel elementolor rli, (:ottslt i li.l r

'1 ,2.2, lVodelarea acliunilor,,

1,2.3. Reazeme gi reacliun:

1.3. Echilibrul sistemelor de bare plane..

1.4. Deplasari gi deformatii....,

1 ,4,1 . Generalitbti . .

1.4,2, Deplasdri

1.4.3. Deformalii specific liniare... .... ,

'1 ,4.4, Deformalii specifice unghiulare... ,

1.4.5, Tensorul deformatiilor .

1.5. Tensiuni....

1.5.1. Tensorul tensiunilor

1.6. lpotezele Rezisten{ei materialelor .,,

Capitolul 2 Eforturi sectionale2.1, Deflnirea eforturilor sec{ionale

2,2. Solicitdri

2.3 Relalii de echivalen\a dinlre lcttsiLttlt ril rrlrrtlrtt "r't {tltt

tlr' 35

2.4. Relalii diferenliale intre e{otltlri rrtrr:liott;tlr r,,r rrrr 'rrr rr " ' 37

2.4.1. Bare cu axa dreaptti. 37

2,4,2. Bare cu axa cttrtr;t. 41

2.5. Diaqrame de eforlrrri 42

2,5.1, Utilizarea rela(iilor r1ilr:rr:rrlr;tlr,1;r lt,r",rr,.,r rlt,r,lr,rrrr,,lrrr rlr,r,lrrrlrttl 43'

2.5.2. Metode pettlrtt lr;tsitttr;t rli;trll'ttttlllt rll r'[rrrltlt 44

Aplicatii.......... 45

D"rc.:r*.* CIP a llibliotccii Nafionale a RominieiMURAITASU, VASILE

Rezistenta tnaterialclor / Vasile Murara;u' - Iagi :

Editura SocictAlii Acader.nice "Matei - Teiu Botez", 2010-

vol.ISBN 978-973-8955-89-9Vol. 1. - 2010. - Bibliogr. - ISBN 918-973-8955-90-5

s39.4

I{l

I10

t3lri1/

20

'24

2l21

22

24iE,

27

)A

\31

31

34

tura Societir!ii Aclltle lrrie c "Mlrlci - 'l citl Iltltcz"

lul Dumitru Marlgct'ooll ttt" 1.i

Director: I)ro l.Ltlt i r'.tl r'. i tt g. ('ottsI it t lI i It I oltcsctt'e ttt:riI :eit'lt.'\t ll (/ et'.ltliil\i.li) Capitolul 3 Lcgi eorrstitutivo

3.1. Cirttrt;rltl,r(r

l1.l?. llr:l;l(r, r lr rt I' r r lr'1 rl'r','rtr' (r.1 /'11

.J.j lr,,l,rlr,rl,.tr'.rilrrr,iririllt,ltr.',,rrt,rrllrit,,ttrtrlrtilr,lititillrlnllll'llllllll1,1 I r,,1r,r lri ,,' l, ,1, !r'i,rl ',ll r

llFiii,iFrrl,r lritirilliilrtI tl

49

4lt

1r0

,,J

Cupi'ins Cuprins

6.6" Deforma{ia speciflce de v01um......,..

6.7. Alte forme de scriere a legii lui Hooke generalizati

6,T,l,Particularizdri pentrustareaplanidetensiunegi stareaplanadedeformalie...,,............ 123

Aplica!ii.......... .......................,1246.8. Lucru mecanic Ai energia potenliald de deformaiie... ........ ,.... ... 126

6.8.1, lpotezedecalcul.,.,,..,,, ...... .. .. 126

6.8.2. Lucru mecanic al forielorexterioare,......, .. ... 126

6,8.3, rucru mecanic i'rte.r0r,.....,...,, . ... 128

6.8,4. Energia potentiald de deformatie... . . 130

CapitolulT Metode de calcul 133

7.1. Metode deterministe...... . ...". . 133

7.1.1. lntroducere......,....,......... ................... 133

7.1.2. Metoda rezistenleior admisibile.,...,.., ..... 134

7.1.3, Metoda la rupere....,..,. 135

7,2. Metode semiprobabiliste ......, 136

7 .2,1.l,4eloda stirilor limit5,,,, 136

Capitolul8 Solicitiriaxiale 139

8.1, Considera{ii asupra solicitarilor axiale, Diagrame de eforturi..,.. .. . . ..... . .. . 139

Aplicatii.......... ...,................... 140

8.2. Starea de tensiune..,,., ......... 142

8.3, Tensiuni principale, lzostatice,,,,..,.. ...... .,...., 144

8.4. Domeniu de aplicabilitate a relaliei fundamentale,.. ....... ....... 146

8.5. Concenkatori de tensiuni... .... 148

8.5.1. Concenkatorcircular,..,,. ..,..,,.......,,...,.................... 148

8.5.2. Concentrator elipsoidal, .. . , ,

8.5.3. Concentratori sub formi de crestbturj laterale cu goluri semicirculare

8.5.4. Concentratori sub forma de varia{ii brugce de sectiune,.

8.6. Starea de deforma{ie, Deplasdri.

8.7. Variatia ariei. Variatia volumicd.,

8.8. Energia potenliali de deformatie...8,9. Proiectarea barelor cu secliune constanti solicitate axial,

8.9.1 . Calculul de rezisten{a,. , .

8.9.2. Proiectarea barelor cu slSbiri solicitate axia|,.....,.,.8.9.3. Calculul de rigiditate

Aplica!ii.......... ...................... 160

8.10. Bara de egala "rirt.rii.,

,,. .... .....,..,... ,....,,,,. ....... .. . .... 162

8,10.1. Forma barei de egalS rezistenlS, cAnd nu se line seama de greutatea proprie a

barei..........,,... . .. ....... ...^ 1628.10.2, Forma barei de egala rezistenta cAnd se {ine seama de greutatea proprie a barei....., 163

8.11. Bara cu secliune constanti pe tronsoane..., , ... .. . .. 165

Aplicalii... ... ... . .. ... ... .. . ... . .. ... .. 1 67

3.5. Deformalil transversale. Coeficientul lui Poisson

3.6, Curba caracteristici a o{elului moale.. . ,

3.6.1. Curba caracteristici la compresiune a otelului moale.. .

3.7. Caracteristicile mecanice ale materialului

3.8. Materiale ductile gi materiale casante,....

3.9, Curba caracteristicd a olelului la forfecare, . ..

3.10. Ecruisajul.

3.1 1 . Factorii care influenleazi curba caracteristica a o{elului

3.1 2. Curbe caracteristice idealizate

Capitolul 4 Starea spatiali de tensiune4.1. Generaliti{i ...... . .. . ..

4.2.Varia\ia tensiunilor in jurul unui punct ..,........,...

4.3. Tensiuni normale principale. Direc{ii principale, .. , .. , .,

4.4. lnvarian{li tensorului lensiunilor...

4.5. Elipsoidul tensiunilor...,.....

4.6. Analiza grafici a stirii spa{iale de tensiune din jurul unui punct.,,...,.,

4.7. Tensiuni tangen{iale principale ,

4.8. Tensiuni octaedrice... , .. .

4.9, Tensorui sferic ai deviatorul tensiunilor...Aplicalii.........

Capitolul 5 Starea pland de tensiune5. 1, Deflnirea problemei

5.2. Tensiuni pe sectiunl inclinate

5.3. Direclii principale.Tensiuni principale

5.3,1. Tensiuni tangen[iale principale...,....,.

5.4. Analiza pe cale grafici a stdrii de tensiune din jurul unui punct

5.5. Traiectoriile tensiunilor principale..,

5.6. Alte linii ale tensiunilor principale. , , ..

Aplica{ii.........

Capitolul 6 Starea plani de deformalie6. 1. Formularea problemei.........

6.2. Legea lui Hooke generalizat5..,..

6.3. Dependen{a dintre constantele elastice E,G 9i v

6.4. Deformatii specifice principale. Direc{ii principa|e...................,,.

6.4.1. Deformatia specifica liniari dupa o direc{ie oarecare

6.4.2. Lunecarea dintre doua directii ortogonale inclinate cu unghiul o in raport cu axa ,,x"... , .. .

6 4.3 Directii principale. Deforma{ii specifice princrpale.. , . , , . ,

6.5. Analiza pe cale graficd a starii plane de deforma{ie...

53!E

57EA

121

122

OU

60

otbJ

64

65Aq

65

68

70

71

73

75

77

79

80

93o2

AL

96

98

101

105

'106

107

111111

112

114

116

llt)1'18

118

12A

149

150

150

151

152

154I tE

1A(4E1

1qo

Rezistenla materialelorRezisten{a matenalelor

Cuprins Cup rins

10.3.6.1. Calculul de rezisten{a

1 0.3.6.2. Calculul de rigiclitate

Aplicatii..."..,...10.4. Analogia hidrodinamica sau analogia A.G. Greenhill..

'l0.5,Torsiunea liberb a barelor cu secliunea dreptungtiiulara

1 0.5.1 . Proiectarea barelor cu secliune dreptunghiular5

Aplicalii..........10.6. Torsiunea barelor cu pere[i subtirl cu profil deschis,,,,,.,....Aplica!ii.."....... ..'..."'..".......... 245

1 0,7, Torsiunea barelor cu pereli subtiri cu profll inchis, , , .., .. 247

l0.S.Proiectareabarelorcuperelisubliricuprofildeschissaucuprofilinchis,. ,... .. .250Aplica!ii.......... ..........."'.'.."..'.. 252

10,9, Torsiunea barelor cu pere{i sub{iri multiplu conexe'10.10. Bare static nedeterminate solicitate la torsiune

Aplica!ii...

Capitolul 11 incovoierea plani purd 261'11.1, Generaliti{i. Definilii.... .... .." .". .,.'... . ... .. . 261

1 i .2. Starea de tensiune.. , . , ' .". 262

11.3. Bralirl cuplului tensiuni10r.,,...,,,....,,.. ".'.".. 267

11,4. Tensiuni principale. Linii izostatice,. ........... 268

11.5. Domeniu de aplicabilitate a relaliei fundarnentale.., .............. 271

11.8, Proiectareagrinzilor,..,.... ..........'...,. '..,' 273

11.8.1. Calculul de rezisten!d.... .... ......'... "'.. 273

Aplica!ii..^....... .."...."" 276

1 '1.9. Secliuni rafionale la incovoiere, Optimizarea sectiunilor...,",,.. ... .................... 278

1'1.10. incovoierea plana a grinzilor cu secliune compozit5...,..... . .. ......... ......" . 283

Aplica!ii.......... ....................... 288

11,11. incovoierea puri a barelor cu mare curbur5.... ,.... ............. 291

Aplicatii.......... .................'.'... 295

Capitolull2 Teoriide rezistenti 297'12.1. Generalitd{i. Definilii... . ....,,,.,......,,....,..... 257

12.2.Teoria tensiunilor normale maxime (teoria l-a)...,..... . .....',.. ' 299

12.3. Teoria deforma{iilor liniare specifice maxime (teoria a-ll-a) . .. . .... .. . .".......'. 302

12,4.Teoria tensiunilor tangentiale maxime (teoria a-lll-a)... .... ..... 305

12.5, Teoria energiei potenliale de deformatie (teoria a-lV-a),,, .... 308

12.6. Teoria energiei poten!iale de deformatie a varialiei formei (teoria a -V-a).... ....... .........'.'...'.. 310

12J.Teoria lui M0hr.....,.,,,,.. ..'...., 314

l2.S.TeoriaDavAdenco-Fridman...,......,.... ......., Ji8

8.'12. Sisteme static nedeterminale solicitate axial,,

8.12.1 . Cazuri particulare, .. . ., .

8.'l2.2.Proiectareasistemelorstaticnedeterminatesolicitateaxial..,.,...,.....,Aplica!ii...."....8.1 3.Sisteme de bare static nedeterminate cu tensiuni iniliale, .. ,

8.13.1. Tensiuni ini{iale generate de inexactitdli de executie.

Aplicatii.........8,13,2, Tensiuni ini{iale generate de variatia temperaturir...

Aplicatii.........8.14. Bare cu seciiunea neomogena solicitate axia|,.,,,..,,.,,.,,

8.14.1. Proiectarea barei cu secliune neomogend.,...

8.15. lnele 9i tuburi cu pere{i sub{iri,.,..,,, ...,

Capitolul9 Forfecarea9.1. Consideralii asupra fodecirii

9.2. Forfecarea pieselor cu sectiune mici,,,.,,,...,,,,,9,3. Domeniu de valabilitate a relaiiei fundamentale.,.

9,4. Starea de deformalie. Deplasiri

9.5. Lucru mecanic Ai energia de deformatie.,,

9.6. Proiectarea elementelor cu sec{iune mica solicitate la forfecare

9.6.1 , Calculul de rezisten{5. , . ,

9,6.2. Calculul de rigiditate, , . .. ,

9.7. Aplicatii ale forfecirii9.7, 1 . Consideraiii asupra imbindrilor. ,. . .. ,--^: ., -9.7,2. lmbinirj r ealizale prin nituire..,,,,,

9.7.2.1. Proiectarea imbindrilor nituite.,,..,

A,plica!ii....... ".

9.7.3. lmbinari realizale prin sudu16...,,,

9.7.3, 1, Proiectarea imbinirilor sudate...........9.7.3.'1.a. Proiectarea sudurilor de adAncime,...

9,7.3.1 ,b, Proiectarea sudurilor in relief, .

9.7.4. imbinari realizale cu guruburi solicitate axial,.,.,,

Aplica(ii.........

Capitolul 10 Torsiunea liberi1 0.1. Consideratii generale.......

10.2. Diagrame de eforturi.. . . ,. ..

'10,3. Torsiunea barelor cu secliune circulard sau inelard, .. .. .

1 0.3.1 . Starea de tensiune,. . . , .

10,3,2. Tensiuni principale, Linii izostatice.,,

171

171

t/o177

179

233tJ5tJ6t'lo

2411r',1

aa4LJI

')')')

254IDO

258

179

181

183

184186

188

191

194407

198

204200

201

202

193to?

10,3.3. Domeniu de valabilitate a relaliei fundamentale de calcul.,

10.3.4. Starea de deformatie, Deplasdri..,.,.,.,

10.3.5, Energia potenlial5 de deformalie...

10.3,6. Proiectarea barelor cu sectiune circulara sau inelara,... . .

202202205206

207

209

249210

ltJ

215

217217

218

220

220

225

226

227

229

230

Rezistenta materialelorRezistenta materialelor

Cuprins Noliuni introductive

N0TruNr TNTRODUCTTVE

1. 1 Obiectul Rezistenlei materialelor

Rezistenta materialelor este disciplina care are un rol formativ esential asupra viitorului inginer,

constituind baza teoretica ce contribuie la inlelegerea moduiui Ce compcrtare a structurilor sub

ac{iunea incarcirilor. Obiectul acestei discipline il constituie analiza starii de tensiune 9ideformatie din elementele de construclie sau ale organelor de magini, in vederea stabiliriirela!iilor cantitative cu privire la rezisten!a, rigiditatea gi stabilitatea acestora, in raport cunatura acliunilor gi proprietitile fizico-mecanice ale materialului. Rezistenla materialelcr este oramura a grupului de discipline care studiazd Mecanica corpului solid deformabil, alaturi de Statica,

Dinamica gi Stabilitatea Construc{iilor, Teoria elasticitiiii qi plasticitilii, Mecanica rocilor, etc. Spre

deosebire de Mecanica teoretica, care admite modelul corpului rigid, nedeformabii, aceasti disciplina

admite modelul corpului deformabil a cdrui forma se modificd sub actiunea fo(elor exterioare. Studiul

dependentei dinke ac{iuni, deformatii gi modul de diskibu{ie a tensiunilor interioare, implica cercetari

experimentale, cu rolul de a eviden{ia comportarea reala a materialului sub acliunea diverselor tipuri de

solicitiri. Cercetirile experimentale confirmd dezvoltirile teoretice, elucidAnd modul de deformare a

elementelor de construc{ie gi modalitatea de distribulie a tensiunilor. Aceasti disciplind de calcul,

teoreticd 9i experimentala, asigura realizarea elementelor construc{iilor cu un consum minim de

material gi o securitate deplini in exploatare. Oblinerea unei siguranie depline 9i a unui consum minim

de material se realizeazi prin perfec{ionarea metodelor de calcul gi utilizarea unor materiale noi, care

au caracteristici fl zico-mecanice superioare,

1. 2 Modelul de calcul pentru elementele de constructie

Complexilatea fenomenelor flzice care au loc in corpurile deformabile supuse ac{iunilor, implica

necesitatea schematizSrii, adoptAnd anumite ipoteze cu privire la comportarea materialului, a modului

de incircare gi rezemare. Astfel modelul fizic este inlocuit cu unul ipotetic, de calcul, care sb surprinda

aspectul fizic specific fenomenului studiat, prin adoptarea unor ipoteze cu caracter cAt mai general.

Pentru construclii se definegte noliunea de model al structurii, schema de ansamblu de rezemaregi incircare a elementelor care seryesc la preluarea gi transmiterea actiunilor la terenul de

12.9. Sinteza teoriilor de rezisten!5..

Capitolul 13 lncovoierea plani cu forli tiietoare13.1. Generalitati. Definitii. ..

1 3.2. Starea de tensiune. . , . ,.

arn

323a1')

Jl+

325

JZO

JJU? 2n

J3l?1(

JJ/JJ/34A

341

341

1 3,2.1.Tensiuni n0rma|e,..,...,....

1 3.2.2.Tensiuni tangenliale.,,...,.

13.3. Varia{ia tensiunilor tangentiale pe inallimea sec{iunilor de forme diferite

1 3.3. 1 . Sectiunea dreptunghiulari......,,.......,..,..,

1 3.3.2. Secliunea circularS.,

13,3.3. Sec{iunea dublu T.. . ..

13.3,4. Seciiuni cu pereti sub1i1, , ,

13.3.4.1. Sec{iuni simetrice simplu conexe.,

1 3.3.4.2. Sectiuni sirnetrice du blu conexe,.,13.4. Centru de incovoiere-.5sLicire......

13,4.'1. Sec{iune robusta cu o axa de simetrie

13.4.2. Sec[iune cu pere{i sub{iri cu o axi de simetrie..,.,.Aplica!ii.........13.5. Tensiuni principale, lzostatice,.... ...13.6. Starea de deformalie, .

13.7. Energia potenliali de deforma{ie

13.8. Coeflcientul de forma...

Aplica!ii.........13.9. Proiectarea gr.nzilor. . ,

1 3.9.1. Calculul de rezisten{i,..,13.9.1.a. Calculul de rezistentd a grinzilordin materiale ductile..,.,,,.,,,.,13.9 1.b, Calculul de rezisten{5 a grinzilordin materiale casante.,.,,,..,..

Aplicalii.........1 3.10. Lunecarea longitudinala. .

13.11. Grinda de egala rezistenld.... ...

1 3, 12, Calculul de rezistenla a grtnzilor cu sectiu ne compozita, . , . , , .

'1 3.13. Calculul de rezisten{5 a grinzilor cu secliune compozitd, .. . . . ,

13.13.1. Grinzi cu sec{iune compozitd alcituita din elemente fari conlucrare,

13.13.2. Grinzi cu sec{iune compoziti alcatuita din elemente solidarizate.,,.,,

Bibliografie

1t)JAJ

345aElJJI

3s6

356

358

359

360

360

360

JbJ366aatJ/ J2,77

JOI

389

389

JJ I

396

Rezisten{a materialelorRezistenta matenalelor

l0 No{iuni introductrve No{iuni introduciive ]l

se realizeaza prin axele lor. Sec{iunile transversale pot avea diverse forme, care depind de naturamaterialului 9i de modul de solicrtare al barei. Formele frecvent utilizate in construclti sunt:dreptunghiulare, patrate, circulare pline, inelare sau compuse: dublu T, cheson, speciale oblinute prinlaminare etc. (tig. 1,2).

ln lungul barei sectiunea poate fl: constanta, variabilS continuu sau discontinuu. Cablurile saufirele sunt barele a clror secliuni normale sunt mult mai mici in raport cu lungimea acestora(neglijabile) gi nu pot prelua elorturi de compresiune sau incovoiere, tansmi{And incarcarile la reazemenumai prin efoduri de intindere.

ia)

c)

Fig. 1.2

bJ elemente de suprafati care au doui dimensiuni (lungimea gi l5!imea) mult mai mari inraport cu a treia (grosimea), Caracteristicile acestor tipuri de elemente sunt:

- planul median (suprafatd mediani), def nit ca locul geometric al punctelor egal departate decele doui fele ale elementului de suprafa!5;

- grosimea, care reprezinti mirimea segmentului rectiliniu masurat dupi normala la suprafalamediana a elementului (ng. 1.3).

ln raport cu modul de aplicare al incdrcdrii, elementele de suprafa{i se clasifici in,- plici, cAnd planul incircdrilor este normal pe planul suprafelei mediane;- 9aibe, cand planul incdrcirilor coincide cu planul suprafe{ei mediane (fig. 1,3c).Dupa forma suprafelei mediane plScile se clasifica in:

fundare. Aceasta trebuie si evidentieze c6t mai fldel modul real de comportare al construc{iei sub

ac{iunea incdrcdrilor. P5(ile componente ale structurii se numesc elemente structurale,

1. 2.1 Modelarea geometriei elementelor de construc[ie

in func{ie de raportul dintre dimensiunile caracteristice (lungime, ldlime, grosime), elementele deconstruclie se pot clasifica in urmitoarele categorii:

a) elemente liniare (barele) care au o dimensiune preponderenta in raport cu celelaltedoui. in aceasli categorie se incadreazi elementele la care este indeplinita condi{ia:fh > g unde ,,1,,

reprezintd lungimea elementului 9i ,.h" reprezintd cea mai mari dimensiune a secliunii normale, Barapoate fi definiti ca fiind elementul generat prin migcarea unei suprafele plane A, normall pecurba (C), descrisi de centrul de greutate G al secliunii (fig. i.1a).

Fig. 1"1

Flementele caracteristice pentru o bari sunt:- axa barei, definita ca locul geometric ai centrelor de greutate a sec{iunilor transversale:- seciiunea transversali, care reprezinti suprafa{a de arie minimi ob{inuta prin intersec{ia barei

cu un plan normal pe axa sa.Dupi forma axei. barele se clasifica in urmatoarele categorii: drepte (fig.1.1b), fr6nte, plane

sau spa{iale (f]E.1.1 c,d), curbe, plane sau spaliale (fig.1.1 e,f) Reprezentarea schematici a barelor

barei

Rezistenla materi alelor Rezisten{a materialelor

t2 No{iuni introductive

plan

median

,.1-fi^I'-- ,l/':1 ,,//{,rrF7/

panmedian

Fig. 1 .3

- plSci plane (fi9.1.3b);

- plicicurbe, cu simplS (fig 1.3d) sau dublS curbura (fig. 1"3e).

Starea de tensiune gi deforma{ie dink-o placa depinde de raportul dinke grosime gi

dimensiunea miniml din planul median. Dupd acest criteriu, pldcile se clasifici in urmatoarelecategorii;

- plici subtiri dacil hla<1/5. unde,,a" este dimensiunea minima din planul median gi ,.h"

grosimea placii;

- plici groase dacS: h1a > 1.'5.

c) elemente de voluf care au cele trei dimensiuni caracteristjce (lungime, li{ime gi inbl{ime)de acelagi ordin de mirime, in aceasta categorie inka funda{iile izolate rigide Oe tip Utoc ai cuzinetj etc,(flg. 1,a).

Fig.1.4

Notruni introductive i3

d) elemente cu pereti subtiri (bare cu pereti subtiri.} sunt elementele la care dimensiunile

caracterrstice respecta urmatoarele condilii: ] > 10, ! 2 10 q>

10 unde:'------'h r t

- .,1" - este lungimea elementului;

- ..h - inaltimea secliunii,- ..b' - lalimea secliuni:'- ,,t" - grosimea peretelui sectiunii.

Secliunile transversale ale barelor cu pereli subliri, func{ie de forma lor, se clasiflca in:

- simplu conexe (cu profil deschis) (fig 1 5a);

- dublu conexe (cu profil inchis) (fig. 1.5b);

- multiplu conexe (alcatuitd din doui sau mai multe contururi inchise) (fig 1.5c);

- r-nixte (alcltuite din doui contururi deschise legate intre ele prin unul sau mai multe contururi

inchise) (fig. 1.50).

lrl m', a,- !_

c)

ilg. r.J

1.2.2. Modelarea actiu n ilor

Acliunea, reprezinti orice cauzl capabil5 sa producd stdri de solicitare mecanicd in elementele

construcliilor, Acliunile considerate in calculul structurilor se pot clasifica in urmitoarele categorii:

1, permanente - care se aplicd continuu cu o intensitate constantd pe toatd durata de

exploatare a constructiei flind cauzate de actiunea cAmpului gravitaiional (greutatea proprie a

elementelor structurale, impingerea pimintului din umpluturi), efectul precomprimlrii, etc.;

2, temporare - care variaza sensibil in raport cu timpul sau in unele perioade ale exislentet

construc{iei pot sd lipseasca (greutatea elementelor nestructurale care igi pot schimba pozi{ia in

construc{ie, greutatea utilajelor, presiunea gazelor, lichidelor sau mediilor pulverulente. actiunea

zapezii, vAntului. chiciurii, temperaturii, etc.)t

b)

Tffi__lL_iL'- b

---.d)

h

f-

-a .,4

b

Rezisten{a materialelor Rezistenta materialelor

No{iuni introductive i514 No{iuni introductive

3,exceplionale - care pot apare foarte rar, eventual niciodata in via{a construc{iei cu intensitali

semnificative (ac{iuni datoritd defectdrii utilajelor, ruperii unot elemente structurale, exploziile,

inundaliile catastrofale, seismele, etc.)

Dupd pozilia zonelor pe care se aplicd ac{iunile se clasiflcd in:

a) acliuni de suprafald sau contur - care se aplicd pe suprafata elementului struclural sau pe

conturul acestuia,

b) ac{iuni masice sau de volum - produse de interacliunea unor cAmpuri exterioare asupra

elementului structural (greutatea proprie, for{ele din temperatura, fo(ele de ine(le, fo(ele centrifuge,

etc.).

in raport cu mdrimea suprafe{ei pe care se desfagoari fo(ele, acestea pot fi:

a) forte sau cupluri concentrate, cAnd se aplica pe o zoni micd in raport cu dimensjunile

elementului respectiv 9i se considerl ci sunt aplicate punctual (actiunea unui stAlp pe o placa,

reactiunea unei bare. etc,), Fo(a concentratd se reprezinti printr-un vector Q iar cuplurile (momente)

concentrate prin vectorul [/ (fig. 1.6). ln Rezistenla materialelor, actiunile concentrate sunt considerate

vectori lega{i caracteriza{i prin punct de aplica{ie, direclie gi sens,b) forte sau cupluri repaftizate (distribuite), cand actioneazd asupra elementului strlctural pe

o suprafalS sau o linie. La elementele de construc{ie liniare, se admite ipoteza distribuliei uniforme a

forlelor pe lStimea elementului. ln modelarea lor, fo(ele liniare se considera situate in planul median al

elementului (ng. 1.6).

Ac{iunea distribuiti Iiniar se caracterizeazbprin intensrtatea sa caTe este data de expresiile:

AQ o'Q^-

lrm' aA+0 AA dA

\t\l d l\,,1

llllllll ---.rr+o AA dA

(1 5)

(1',6)

(1 s)

(1.6)

in raport cu modul de varialie a intensita{ii acliunilor distribuite dupi o dreaptS, acestea

clas'Ica'n urmatoarele categorii:

q(x)'q

I

q

-:\ -

-:.:..a;r",- | -

i

L1

l, l2 13 ,

i'L

Fig. 1.6

- fo(e distribuite uniform (fig, 1.7a) {q= const. );

- forle distribuite liniar (fig. 1.7b) (q(x)= q x );

- fo(e distribuite parabolic dupa parabole de graduldoi (flg.1 7c,d);

- fo(e distribuite sinusoidal, etc.

Fo(ele gi momentele distribuite pe o suprafala se caracterizeazi prin intensitatea lor datd de

rela!iile:

,IQdQ0- llm' re-r -\A dA

1Q i-

I

AQ dQq= llm' lx-0 lx dx

A[/ dMm= llm.rx+0 AX dX

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(4)

unde:- ,,q" $i 'm"reprezinta

intensitatea fo(elor, respectrv a momentelor distribuite dupd o dreapti:- ,AQ' 9i .,AM" reprezinti fo(a gi respectiv momentul elementar rezultant de pe un element de

Iungime Ax.Funcliile rezultantei ac{iunilor distribuite dupa o dreapta pe un subdomeniu [a;b] sunt:

h

o= fc(x)dx=Ql u

a

b

Ir/ = Jm (x) dx = aln

a

fiind egale cu aria diagramei de ?ncarcare a fo(ei, respectiv a momentului distribuit.Fo(ele gi momentele distribuite pe o suprafaiS se caracterizeaza prin intensiiatea lor data de

-^t^riit^,rtrtdlilte,

, ^M

dlMm- ilm

ar-O AA dA

Rezistenla materialelor Rezisten{a matenalelor

l6 Nolrunr introductrve

e=qlI12 12

-.'-],-l T"IY

.r- tf-tTI I iILL.LIJLLtTJ]

| .,--.i

q_qt/2I

?v3 I il:,tq(x) I

. rtllq-rr i l J l lJ

,1 .,

I

r.\=nl/'lq Yilv

3U4 ll4i - 1 't'

I'rlq---titi

,--: | -'=.i +

Q=2ql/3

sr/B 3l/B- -r-I,t T h

.J-it-rtll++ - -.:!,

a) b)

Fiq. 1 7

unde:- q - este intensitatea fo(elor distribuite pe suprafa{a;- m - este intensitatea momentelor (cuplurilor) distribuite pe suprafete;

- AQ $i AM reprezintb fo(a, respectiv momentul elementar rezultant pe elementul de arie AA.

1.2.3. Reazeme $i reacliuni

Reazemele sunt zonele de legitura dintre elementele de construclie gi teren sau intredoui elemente de construclie adiacente. Ele au rolul de a impiedica deplasarea sau rotirea

sectiunilor de reazem sub actiunea incarcirilor.Reazemele blocheaza deplasarea sau rotirea sec{iunii elementului in zonele de legaturd dupi

anumite direclii, Forlele sau cuplurile care rezulti ln urma blocirii deplasirilor sau rotirilor dupianumite direclii se numesc reac{iuni. Daca o anumiti deplasare, respectiv rotire, este blocata total,

reazemul este perfect pentru deplasarea sau rotirea respectivS. Atunci cAnd blocarea deplasirii sau

rotidi este par-liala, in zona de legdturi fiind posibile deplasari sau rotiri limitate, reazemul se numegte

elastic. Reazemele se considerS punctuale cAnd tona de rezemare este redusi in raport cu

dimensiunile elementului. Reazemele se clasiflca in urmatoarele categorii:

a) reazemul simplu impiedica deplasarea dupi direc\ia normali la suprafa{a de rezemare. El

permite deplasarea (translalia) ln planul suprafe{ei de rezemare 9i rotirea in jurul punctului de reazem

(fig. 1.8). in reazemul simplu se dezvolta o reacliune Ru, dirijatd dupd direclia deplasdrii impiedicate

(d.=0).

zI

tn -nlzv

Ai rX

b)

Fig 1.8

-.:.-,-*

c)

Noiruni introductive 11

b) articulatia impiedicS lransla[ia dupi direc\iile axelor x gi z din plan (b, = 0, 6.= 0) 9i permite

rotirea secliunii elementului in jurul punctului de ariiculalie (qy I 0). Reacliunea care se dezvolta in

Z,I

rn at ) Ru-R\')' " /yA

.,1A5-0x

b)

x

c)

Fig 1,9

legdtura (R,e) are o orientare oarecare ce se poate descompune dupa doui direclii, una dupa normala

planului R '=

Ru gi a doua in planul reazemului R,= Ru (fig. 1.9).

c) incastrarea impiedicd translalia dupd orlce Cireclie din planul elementului (5 , = 0, d . = 0)

cAt gi rotirea in jurul punctului de incastrare ( q, = 0) ln incastrare se dezvolta un vector cu o direciie

oarecare. Prin reducerea lui in raport cu punctul 0, de pe axa sec{iunii de reazem, se ob{inel o fo(5

rezuitanti R 9i un moment rezultant M. Descompunand reacliunea R in doua componente: una dupi

orizontala (R,= R i) gi una dupd verticala (R.= Rv), in incastrare aclioneazd r-eac{iunile: Rv, Rn 9i I\4 "

(fig.1.10),

Z.Ii

5=0Z

X

Mu: Mo

5=07

d)

z1

.,./y

X

,t\Qr.-'

c)b)

zI

5:0X

R*:R,

zI

5=0 qr7=O vz , /'

a)

ilg. r. ru

1.3 Echilibrul sistemelor de bare plane

Echilibrul mecanic al barelor aflate in stare de repaus este de naturd static5. Condiliile de

echilibru static in plan se pot exprima: vectorial, analitic, cu ajutorul lucrului mecanic virtual, grafic.

]Ru:R.

Rezisten{a materialelorRezistenta materialelor

No{iuni introductive

Exprimarea vectoriali a echilibrului presupune cb elementele torsorului de reducere trebuie

sa fie nule fa!5 de orice punct din plan. Ecua{iile de echillbru in planul ,, xOz " pentru acest mod de

exprimare sunt:

(7)

(1,8)

unde; i , j gi k sunt versorii axelor sistemului de referin{5 carteztan Oxyz.

Exprimarea analitici a echilibrului se realizeazd prin scrierea ecualiilor de proieclie a

rezultantelor gi a fortelor componente cu relatiilel

Dl.,P, l,l, P2.

n - f -'---,z g-+-)J-+R=Rx'i+Rz k=0

a -sF -ni

R =TF =N'.7 /2'2,i

!,

^{Kr ,'

b)

ilo Lll

- IMr = 0 din care se deduce reactiunea R 1;

- IM o= 0 din care se deduce reac{iunea R 2;

- IM o = 0 din care se deduce reacliunea Rr.

Atunci cAnd fo(ele sau cuplurile sunt distribuite dupd pe anumite subdomenii pe toata suprafaia

elementelor de constructie (n9.1.6) acestea se inlocuiesc cu {o(e respectiv cupluri echivalente

concentrate. For{ele concentrate se considerd aplicate in centrul geometric al ariei fo(ei repartizate,

Rezemarea unui element structural in plan se poate realiza prin:

- trei reazeme simple ( direc{iile reazemelor sunt neparalele 9i de asemenea nu sunt

concurente in acelagi punct) ;

- un Teazem simplu gi o articulalie;- o incastrare.

Pentru a impiedica orice deplasare a unui corp nu este suflcient ca numirul legiturilor sd fie cel

minim necesar, ci acestea trebuie sa fie dispuse de aga manierd inc6t sd impiedice efectuarea

deplasirii inci permise de prezenta celorlalte legSturi. Astfel in problema pland de echilibru trebuiesc

evilate urmitoarele situa{ii critice:

- trei reazeme simple - cdnd suporturile reacliunilor nu trebuie sa fie concurente sau paralele

(fig 1 .1 2 -a, b);

b)

Fi1.1.12

- un reazem articulat gi unul simplu - suportul reac{iunii reazemului simplu sI nu traca prin

reazemul articulat (fig. 1 12-c).

1' -\_ R.ilR,

)-tM=Mv' j=0

a)

(1 e)

(1.10)

unde: Fr,1 gi Fr,; suntcompcnentelefcrielordinsistemdupdaxeledei'eferinta.

Momentul rezultant se ob{ine sumAnd momentele fo(elor in raport cu axele corespunzitoare 9iproiec{iile cuplurilor pe aceste axe:

Mu =I(F,,' xi*F, .2,)+lMul=o (1 11)

unde x; gr z1 sunt coordonatele punctelor de aplicalie a forlelor iar [,4yi reprezintd proiectiile cuplurilor

pe axa y. Ecua{iile (1.9), (1.10) 9i (1.11) reprezintd forma obignuita de exprimare a condi{iilor deechilibru in plan: doua ecua{ii de proiec{ie (pe doui direc{ii ortogonale) 9i o ecuatie de momente inraport cu un punct oarecare din plan. Ecua{iile de proiec{ie pot fi inlocuite cu ecuatii de moment,putiind fi exprimate sub urmatoarele forme:

- o ecuatie de proiectie 9i doua ecualii de momente in raport cu doui puncte oarecare din plan.

cu condi{ia ca ecuatia de proiec{ie sb nu fie pe direc{ia normala la dreapta care unegte cele douapuncte, fald de care se exprimS ecua{iile de momente;

- trei ecua{ii de mcmente in raport cu kei puncte diferite din plan. cu restric{ia ca cele treipuncte sa nu fie coliniare.

La calculul reactiuntlor este indicat ca scrierea ecuatiilor de echilibru sd se facd in aga modincdt necunoscutele (reactiunile) sa rezulte din ecuatii independente. Pentru bara din flgura 1.1 1 -a sevor scrie ecua{iile de momente: IMn =0 din care rezultd necunoscuta R, $i IMs =0 din care se

deducenecunoscuta Rr,ecuatiiledeproieclie IF, =0 gi lFr,=0 sepotfolcsi pentruverificarea

raanlir rnilnr

Pentru sistemul din figura 1.11-b, ecua{iile independente se obtin prrn scrierea a trei ecua{ii demomente:

a)

A


20 Notiuni introduciive

1. 4 Deplasiri gi deformatii

1. 4.1 Generalitdti

Un corp de formd oarecare, ce nu poate efectua deplasdri cinematice sub actiunea unui sistem

deforle,sedeformeazSgi trecedinpoziliainilial5'A" nedeformati,inpozilia"B"deformati(fig 1.13).

Starej de deforma{ie depinde de natura materialului. Corpurile de aceeagi forma, incircate cu acelagi

sistem de fo(e 9i acelagi mod de rezemare, dar realizaie din maierrale diferite, au deformalii diferite.

Deforma{iile unui corP Pot fl:

- elastice - daci corpul revine la forma gi dimensiunile ini{iale dupd incetarea cauzelor caTe au

ac{ionat asupra lui;

(] VL

l,/ ,

^NUX >

y/ x+u

Fig 1 '13

- elasto - plastice sau plastice - dacd la indepartarea acliunilor exterioare, corpul rdmAne cu

anumite deformalii denum jte deformatii remanente.

1. 4. 2 Deplasiri

Se considera un corp deformabil oarecare, firi deplasari cinematice (fi9. 1.13) asupra ciruiaactioneazd un sistem de fo(e. Sub actiunea inclrcirilor punctele de pe suprafata corpului i9i modiflcdpozitia parcurgand anumite distante. Modificarea pozitiei unui punct sau a unei secliuni ca urmarea deformirii elementului respectiv se numegte deplasare. Deplasarile flind mici in raport cu

dimensiunile geometrice ale corpului, geometric se pot aproxima cu segmente de dreaptd. Din punct

de vedere fizic, deplasirile liniare se caractedzeaza prin. marime, sens gi direc{ie, fiind marimi

vectoriale. Punctul 'M"

de pe suprafa{a corpului ajunge in pozilia ,,Mr" sub acliunea fo(elor exterioare.

Astfel, vectorul MM, reprezinta deplasarea punctului ,.M". Prin descompunerea vectorului MM, dupi

axele x, .v, z se oblin componentele deplasdrii punctului ,.|M", care se noteaza cu,,u", ,,v" 9i .w"

Deplasarea totalii ,,6" a acestui punct se exprima sub forma matriciala printr-un vector de forma:

iultl{a}=lv! 1rtz1ll

l*l

{.c-./ >.F t,db/.,/

"'/"

1. 4. 3 Deformatii specifice liniare

Pe suprafa{a corpului deformabil, fdra deplasiri cinematice se considera doua puncte E gi F

situate la distanta ds (fig.1.'14 ). Sub acliunea fo(elor exterioare corpul se deformeazd 9i punctele

respective ajung in pozi{iile Er gi Fr. Astfel, se observi cd segmentul de dreapta elementar igi modifici

atAt lungimea cAt gi orientarea. Modificarea lungimii segmentului reprezinta deformalia liniari

{Ad,), iar modificarea orientirii segmentului elementar (rpi se numegte deformatie unghiulara,Se definegte noliunea de deformatie specifica liniari dupi directia,,s", ca fiind raportul

dintre alungirea A(ds) a segmentului elementar gi Iungimea initiala ,,ds", deflntti matematic de

r-ela!ia:

(1.13)

Di tl z/

_ ;/I

€/It_IJ

C(

Notiuni introd uctive 21

Fig 1 .14

Fizic, deformatia specifici liniari reprezinti scurtarea sau alungirea segmentului de

I{|.

P

B

I.J

A'-A

c

/

I

Rezisten{a materialelorRezisten{a materialelor

22 Notiuni introductive

lungime unitari (ds=1)dupi direclia considerati, Descompunand deformalia liniard specific5,,e."

orientata dupd direc{ia s' dupi direcliile axelor sistemului triortogonal de referin{a: x, y 9i z, care trec

prin punctul Er, se ob{in deformaliile speciflce liniare: e, ey gi €z. Aceste componente sunt definite

matematic de rela{iile.

Notiuni introductive

Fig.1,15

Referitor la semnele deforma{iilor specifice liniare 9i unghiulare se accepti urmatoarea

convenlie:

- deformalia specifici liniari e, se consideri pozitivi (.. t 0), cind segmentul unitar se

alungegte gi se considera negativi (.. . 0) cAnd segmentul unitar se scurteaza (fig. 1.16-a),

- deformatiile specifice unghiulare (lunecirile) "lxy,"ly7,"!7y sunt pozitive cind reprezinta

micaoriri ale unghiurilor drepte dintre directiile pozitive ale axelor de coordonate 9i negativecind reprezinti cregteri ale aceloragi unghiuri (flg. 1.16-b).

trt0 n ^L 0"r 0 rt>0Y'o>-l

^lU- t CL..- 90" '\"'*'

1 Esl2 cl-f-t "-a

^'1o:u,;t\u<0./

n \Cluxz+i

,, - 90'

t-ar^lz

b)

Fig. 1 16

Sub ac{iunea incarcarilor exterioare, in flecare punct material al unui corp, dupi orice direc{ie se

dezvolti deformalii specifice. Totalitatea deformatiilor specifice liniare 9i unghiulare care se

(1.14)

Deforma{ia specifica liniara este o mdrime adimensionala.

1.4. 4 Deformatii specifice unghiulare

Pe suprafa{a corpului fari deplasari cinematice (flg 1 1a), se consider; doua direclii

ortogonale concurente in punctul C. Dupa deformarea corpului sub acliunea sistemului de fo(e,

unghiul initial drept + ACB initial drept, devine + A'CB'

Modificarea unghiului drept dintre doui directii ortogonale se nume$te deformatiespecifici unghiuiari (1) sau lunecare specifica. Deforma{ia specifica unghiuiara y cjin punclul C

se definegte matematic ca fiind diferen{a unghiurilor:

+A'CB'*+ACB=Y (1.15)

Din punct de vedere fizic, aceasta reprezinta cantitatea cu care s-a modiflcat unghiul ini!ial

drept. Considerind ca prin punctul C se duc trei segmente inflnitezimale dx, dy gi dz ortogonale intre

ele. in urma solicitirii corpului, unghiurile drepte se modifica. Aceste modificiri ale unghiurilor drepte

dintre segmentele infinitezimale, din planele paralele cu cele deflnite de axele sistemului triortogonal

Oxyz, reprezinti deforma{iile unghiulare speciflce (fig. 1.17b):

Yxy =gxy+ctyx, ^lyz=ayz+uzy, yzx:axz+azy

Pentru a explica sensul fizic al denumirii de lunecare specificd, se considera un pitrat

elementar ABCD, cu latura AB fixa, actionat in planul CD de o fo(i tangentialS P. Sub acliunea for{ei

P. acest element se deformeaze (fig. 1.15) Astfelpunctele C 9i D ajung in pozi{iile C' 9i D'. Unghiul

+ CAC' reprezinti modificarea unghiului inilial drept < CAB , fiind deformalia specificd unghiulard ,,1'

din punctul ,,A". Admi{And ci deplasdrile sunt mici in raport cu dimensiunile geometrice ale

elementului, se poate demonstra ca:

(1 16)

inlocuind CR=t,inrelalia(1.15) seob{ine y=CC,adicddeformaliaunghiularispecifici,reprezinti deplasarea relativi dintre doua sectiuni situate la distanta unitari, deci poate fi

denumiti gi lunecare specifici.

r(dx)

OX

A(dv) Aldz)

'dy'dz

I<--{t

a)CC'tov=v--UA

xrl2

-11 ..taaStL L-la

^ e<0P -s- P'--o H---o-'

Rezistenta materialelorRezisten{a matenalelor

74 No!iuni introductrve

dezvolti dupi orice directie dusa prin punctul respectiv, definegte starea respectiva de

deforma!ie.

1. 4. 5 Tensorul deformatiilor

Deformatia liniard specificd dintr-un punct este deflnitd de mlrime, direc{ie 9i sens fiind omdrime vectorialS. Dar printr-un punct al unui corp se pot duce o inflnitate de direc{ii gi in consecinti o

infinitate de deformalii liniare specifice. Drept urmare, deformalia liniara speciflca intr-un punct este o

mirime complexd denumiti tensor, in concluzie, dupi o direclie, deformalia specifici liniari este

un vector iar intr-un punct este un tensor. Analog, deformatia unghiulara dintr-un punct este un

tensor deoarece depinde de orientarea direcliilor intre care se misoard unghiul drept. Deci, intr-unpunct al unui corp deformabil existi o infinitate de deformatii specifice liniare 9i unghiulare in

raport cu infinitatea direcliilor care pot fi duse prin punctul respectiv,

Totalitatea deforma!iilor specifice (liniare gi unghiulare) din jurul unui punct, constituestarea de deformalie din jurul punctului respectiv. ExtinzAnd aceasti stare la toale punctele corpului

se definegte cimpul deformatiilor specifice sau starea de deformatie din corp. Starea de

deformaJie dintr-un punct este perfect definit5, daca se cunosc deformatiile specifice dupii trei direciii

perpendiculare duse prin punctul respectiv. Pentru a pune in evidenlS acest lucru, din jurul unui punct C

al unui corp sclicitat se delageaza un volum paralelipipedic elementar (ftg. 1.17-a\, care se Cefcrmeazi

ca urmare a ac{iunii fo(elor exterioare. Forma volumului elementar este perfect definitd dacd se cunosc

deformaliile liniare ale muchiilor gi modificirile unghiurilor dintre acestea. Deformatiile liniare ale

muchiilor paralele cu axele sistemului ortogonal Oxyz sunt cunoscute daci se cunosc deforma{iile

liniare specifice: rx, €y €2.

II

No\iuni introductive Z5

De asemenea, modiicirile unghiurilor drepte dintre muchiile prismului care au vArful in punctul

C, cu laturile paralele cu axele sistemului de referin{a sunt cunoscute daca se cunosc deforma{iile

specifice unghiulare: ^lxy,.lyz,"lxz din punctul respectiv. CunoscAnd deforma\iile specifice liniare;

ex,ry;rz gi deforma{iile specifice unghiulare: ^lxy,^lyl"lxz, deformata paralelipipedului elementar este

perfect determinatd.

Starea de deformalie din jurul unui punct dintr-un corp este cunoscutl daci sunt

cunoscute componentele deformatiilor specifice liniare: er;eu;e, 9i unghiulare: ^!yy,"!yz,Ixz.

Starea de deforma{ie din jurul unui punct este o marime tensoriali care se exprimi matricial cu rela{ia:

[T. ]= (1 .17)

1. 5 Tensiuni

Se consideri un corp deformabil incarcat cu un sistem de fo{e in echilibru (fig. 1"'18-a). Sub

ac{iunea incarcirilor, in interiorul corpului se dezvoita for-le care se 0pun deformarii acestuia, Punerea

in evidenta a for{elor interioare se realizeazb prin sec{ionarea in doua pi(i, cu un plan, a corpului

incSrcat, prin suprimarea Iegiturilor interioare dintre particulele adiacente planului de sec!ionare,

AdmitAnd ipoteza continuit6{ii materiei, rezulla cb legiturile suprimate sunt distribuite continuu pe

suprafata sectionata, implicil forlele interioare care aciioneazi pe acestea. Se detageazi un element

de suprafa{a AA din jurul unui punct ,,M" de pe suprafata pdr{ii unu, rezultatl prin sectionarea corpului ,

Orientarea elementului de suprafa[i AA este deflnita de normala .,n", Rezuitanta fo(elor interioare

distribuite pe acest element de arie, este fo(a AQ orientatl dupa o direc{ie oarecare (fig. 1.18-b).

Se numegte tensiune medie totali sau efort unitar mediu total pe elementul de suprafaliAA mirimea:

(1.1 8)

Pentru a preciza mai corect intensitatea fo(elor interioare, cind acestea variazl dupd legi

neuniforme, in rela{ia (1.18) se eliminl influenta ariei elementare AA, prin trecerea la IimitI (AA -+ 0) ,

rezultAnd relatia:

(1.1 e)

Mirimea,,q" S€ numegte tensiune totali sau efort unitar total din punctul ,,M" pe un

element de arie precizat de normala ,,n'1 Din rela{ia de deflniJie (1.19) rezulli ca tensiunea totali

Y/

zLlzx

AQ7i-l

IQ dQ

' rA-0 \A dA

X

9LY^l,

hl

ilg, r.r/

Ll

't

^ Yvt Yz,"22'{ry

- ^!ry

oYaZL^/.. ^1,,

tt

Rezistenla materialelorRezisten{a materialelor

z6 No{iuni introductive

reprezinta forta interioard care ac{ioneaza pe uniiatea de suprafa{a. Tensiunea totali,,q", este un

vector cu aceeagi direc{ie cu forta AQ, din care s-a dedus. Vectorul tensiunii totale igi modiflca

mdrimea 9i direclia func{ie de orientarea suprafelei .,AA" care trece prin punctul ,,M", conferindu-i

caracterul de mirime tensoriali. Acesta se poate descompune intr-o componenta normalS pe planul

secliunii care se numegte tensiune normali (efort unitar normal) on gi alta cuprinsa in planul

secliunii care se numegte tensiune tangenliali (efort unitar tangen{ial) rnr, (frg, 1.18-c). intre

tensiunile: normale, tangenliald gi totald dintr-un punct se poate scrie rela[ia:

^2 _2,_2i_lf-un-Lfft (1.20)

Tensiunile Qn, on gi tn, sunt for{e raportate la unitatea de suprafald. Tensiunea tangenliala

poale avea o direc{ie oarecaTe in planul secliunii, Aceasta se poate descompune dupi doud axe

ortogonale ,,s" 9i ,,1" in componentele '[ns $i tn,, Pentru a preciza orientarea componentelor tensiunii

tangeniiale se utilizeazd doi indici; primul indici normala la elementul de suprafa{5 iar al doilea direclia

acesteia (axa cu care este paraleld), Componentele vectorului tn, fiind ortogonale, modulul acestuia

se determini cu rela{ia:

Noliuni introductive 21

inlocuind rela{ia (1.21) in relalia (1.20) se obtine

^2 _2,_2,_29n Ur r Lns - Ln[ (.22\

1.5.1 Tensorul tensiunilor

Tensiunea totali ,,qn" de pe fata a clrei orientare este precizati de normala .,n" este o mdrime

vectoriaiS. Printr-un punct din interiorul unui corp deformabil se pot duce o inflnitate de elemente oe

arie cu orient5ri diferite. Mirimea tensiunii totale depinde de orientarea elementului de suprafa{i AA 9i

ln consecln[5 intr-un punct existd o inflnitate de tensiuni totale care caraclerizeazd cAmpul tensiunilor

sau starea de tensiune din punctul respectiv.

Totalitaiea tensiunilor de pe toate elementele de suprafati care pot fi duse printr-un

punct al unui corp solicitat, reprezinti starea de tensiune sau cimpul tensiunilor.

Starea de tensiune dintr.un punct este unic determinati daci se cunosc componentele

tensorului tensiunilor de pe trei plane orlogonale care trec prin acel punct, CAnd este cunoscutd

starea de tensiune din toate punctele unui corp. starea de tensiune oin corpul respectiv este periect

deflnitd,

Z

I ?

Zt

qI

Fig. 1 .19

lzolAnd prin sec{iuni paralele cu planurile de coordonate un paralelipiped elementar (fg 1.19)

din lurul punctului M, pe felele vizute ale acestuia se figureaza tensiunile normale 9i tangenliale:- ox,rxy 9i rp Pe fala cu normala x:

- o'u,Tyx gi {yz Pe fa{a cu normala Y;

- o z,rzx 9i t' Pe fa{a cu normala z;

care sunt cornponentele tensiunii totale de pe aceste fete. Totalitatea tensiunilor care actioneazi pe

fetele paralelipipedului elementar detagat din jurul punctului M (fig,1,19) definesc tensorul

tn,, =a''!, *"', (1.21)

q

\D\!r

P.

b)

Fig. 1.'18

p,n


No{irni introductive

intermediul a doue c0nstante elastice care au aceiasi valoare in crice punct al corpului datoritiproprietdtii de omogenitate.

b) lpoteze privind comportarea materialului:b t - ipoteza nicilor deplasari. Deplasdrile elementelor structurale sunt mici in raport

.cu

dimensiunile geometrice ale acestora, astfel incdt ecua{iile de echilibru se pot scrie pe pozi!ia

nedeformatS.

De exempiu, bara in consolS AB fdrd incirciri (fig 1 20-a) dreaptS, se deformeaza prin

aplicarea fo(ei P, cap5tul B al consolei ajung6nd in punctul B'(flg.1 20-b) Deplasarea oricirui punct

de pe bard este neglijabild in raport cu lungimea barei ,,1". bara considerdndu-se tot dreapti la scrierea

ecuatiilor de echilibru.

P

Ai Bf-, A

Fig. 1 .20

Scrierea ecua{iei de echilibru pe axa nedeformata a elementului conduce la o dependenta

liniara inke: incarcari, deplasari 9i eforturi seclionale, ln consecinta pentru un element solicitat de mai

multe incarcbri, eforturile sec{ionale, deplasdrile gi deformatiile si:nt aceleagi cu ceie oblinute

suprapun6nd efectele din fiecare incircare, consrderati ci aclioneaza separat pe fiecare element (fig.

1.2'1). Acest principiu se numegte principiul suprapunerii efectelor, fiind utilizat frecvent in calculul

elementelor de construclie. ln calculul de ordinul doi gi de stabilitate acest principiu nu se aplicd,

PP2qP2

I2r! i,: r'

F\9.1.21

b z- Ipoteza secliunilor plane (Bernoulli). Secliunile plane 9i normale pe axa barei inaintede deformare, rimin plane 9i normale pe axa barei gi dupi deformare. O seciiune curenti,.a-b"

Ftg. 1.22

ar)28 Notiuni introductive

tensiunilor din punctul respectiv care se poate exprima matricial sub forma

xw

o,,

Tv,

(1.23)

Fiecare coloana a matricei con!ine tensiunile de pe o fali a paralelipipedului iar fiecare

linie tensiunile paralele cu o axa. CunoscAnd componentele tensorului tensiunilor To de pe trei plane

ortogonale care trec printr-un punct, se pot determina tensiunile de pe orice falS inclinatd dusd prin

punct. Tensiunea totald .q" 9i componentele sale o 9i r dintr-un punct solicitat al unui corp depind de

orientarea planului pe care ac[ioneazi,

Semnul componentelor tensorului tensiunilor se stabilegte cu urmatoarea regula: pe

elementele de suprafati cu normala exterioari dirijati dupi sensul pozitiv al une! axe de

coordonate, componentele tensiunii sunt pozitive daci au acelagi sens cu sensul pozitiv al

axelor de coordonate, iar pe elementele de suprafatl cu normala exterioari dirijati in sensul

negativ al unei axe de coordonate componentele tensiunii sunt pozitive daci au acelagi sens cu

sensul negativ al axelor de coordonate. Din punct de vedere flzic tensiunile norrnale sunt

considerate pczitive daca au ca efeci intinderea elemeniului de volum asupra ciruia ac{ioneaza 9i

negative daca produc compresiune. Tensiunile tangenliale care aclioneazd in planul felelor unui

element sunt considerate pozitive daca rotesc elementul in sens orar 9i negative dac5 rotesc elementul

in sens antiorar.

1. 6 lpotezele Rezisten[ei materialelor

Comportarea reald a corpului deformabil sub acliunea incircirilor este un fenomen fizic

deosebit de complex, Prinderea exacti in calcule a fenomenului flzic nu este posibila din cauza

complexitSlii acestuia, Pentru a stabili metode eficiente de calcul a elementelor deformabile, se admit

ipoteze simpliflcatoare a ciror valabilitate este verificati prin incerclri experimentale,

Acestea, constituie ipotezele fundamentale ale Rezisten!ei materialelor, care se pot grupa in

urmatoarele categorii:

a) ipoteze cu privire la structura materialului;a t - ipoteza continuitilii materialului. Structura materialului alcdtuiti in realitate din particule

discrete se considere ca un mediu continuu, firi goluri, materia umple intregul volum al corpului,

Avantajul acestei ipoteze constl in posibilitatea utilizirii func{iilor c0ntinue pentru exprimarea

matematrcd a fenomenelor fizice.

a z- ipoteza omogenitdlii materiei, presupune ci proprletitile fizico-mecanice sunt aceleagi in

orice punct al corpului, Pentru elementele structurale alcdtuite din mai multe tipuri de materiale,

cunoscute sub denumirea de elemente compozite (betonul armat, rdgini armate cu fibre de sticlS, etc.),

in cazul fiecarui material se accept; ipoteza omogenita{ii.

a t. ipoteza izotropiei materiei, considerd ci propriet6{ile flzice din orice punct sunt aceleagi

indiferent de direc{ie. Aceasti ipoteza permite exprimarea relaliilor dintre tensiuni 9i deformalii prin

1.,

rry

6z

[""[r.l-],,,

I r,,

tt:;lr3 ll3 lr3 l,: 2 '3


plana gi normala la axa barei (ftg. 1.22a)., ajunge dupa deformarea acesteia in pozilia a,-b,(fig.1.22b).,nornald pe tangenta la axa deformata, secliunea comportandu-se ca un disc rigid.

b s' Ipateza cunoscuti sub denumirea de principiul lui Barre de Saint-Venant Daci unsistem de forte se inlocuiegte cu un alt sistem static echivalent, aclionind pe aceeagi zonilimitati de suprafata unui corp, starea de tensiune 9i de deformalie este aceiagi in ambelecazuri, cu exceptia unor zone limitate din jurul punctelor de apliialie ale forleior, pentru aexplica aceasta ipotezd se considera bara in consolS aclionatd local de un sistem de forfe uniformdistribuite de intensitate q (f,9. 1.23-a), care se inlocuiegte cu un sistem static echivalent - fo(aconcenkatd e=Q a {fig. 1.23-b).

b)

.14 .., u2

Fig. 1.23

Starea de tensiune gi deformalie din bari in cele dou5 cazuri este identici, cu excep{ia zonelorhagurate situate in jurul punctelor de aplicalie al celor doui sisteme echivalente de incarcare. Marimeazonei de perturbare depinde de indllimea h a sec{iunii elementului. Pentru barele lungi, la care raportull,/h > 8, zonele de perturbare sunt mici in raport cu dimensiunile geometrice ale eleirentului 9i se potneglija. Astfel cele doud cazuri devln identice, iar for[a ,,Q", poate fi consideratd cd ac[ioneazl directpe axa barei,

b t- Ipoteza stdrii naturale a corpului sau ipoteza absenlei tensiunilor inifiale. pentru unelement neincircat starea de tensiune 9i de deformalie este nuii deci: To = t = 0.

b s- lpoteza proporlionalitdlii dintre tensiuni gi deformaliile specifice. pentru sisteme deforle cu valori mici, se consideri ci materialul are o compodaie liniar.elastici, tensiunilenormale o gi tangenliale t au valori inferioare anumitor iimite oo gi .ro (rezistenlele depropor{ionalitate la intindere gi for-fecare).

Aceast5 ipotezd impreuni cu ipoteza micilor deplas6ri conduce la o dependen{a liniarb intredeplasiri 9i fo(ele exterioare, permi!and aplicarea suprapunerii efectelor la calcului deplasarilor.Metoda pentru calculul eforturilor 9i deplasarilor,bazald pe aceste ipoteze, constituie teoria liniara saude ordlnul unu a mecanicii corpului deformabil.

EFORTURI SECTIONALE

2. 1 Definirea eforturilor sectionale

Se considerS corpul deformabil din figura 2.1-a, incSrcat cu un sistem 6e forle in echilibru. Sub

acliunea sistemului de fo(e, corpul se deformeazd, generSnd fo(e interi62re suplimentare care

pertui-bi starea lniliala a for{elor de interactiune moleculari. Evidentierea acaslor?, se realizeazi prin

seclionarea corpului cu un plan. ln baza coniinuititii rnateriei, pe suprafetele rezultate, dupiseclionarea corpului se considerS. ca fo(ele interioare sunt diskibuite continuu, Pentru ca cele douipi(i rezultate sa fle in echilibru, pe fe{ele oblinute prin seclionare, trebuie sd introducem efectul p5(ilor

indeplrtate. Fo(ele interioare suplimentare se exercitb in toate punctele de ps suprafata sec{iunii sub

forma unor fo(e uniform distribuite, reprezentate prin rezultantele lor.

Fig.2.1

Aceste rezultante ale fo(elor inlerioare trebuie si echilibreze rezultantgls incSrcarilor exterioare

(ng. 2 1), Rezultanta fo(elor interioare de pe fala partii unu R21, reprezinta acliunea p5(ii doi asupra

Rezisten{a materjalelor

Rezisienla materialelor

Eforluri sectionale

p5(ii unu iar rezultanta fo(elor interioare de pe fata pi(ii din dreapta R12, reprezinti actiunea pa(tt

unu asupra parlii doi a corpului sectionat, Se noteazi cu R, gi R, rezultantele fo(elor exterioare care

ac\ioneaz| asupra celor doua pd(i ale corpului. Pentru ca cele doud p5(i sd rimdni in echilibru, intre

rezultantele for{elor exterioare gi interioare vor exista relatiile:

Eforturi seclionale

- componentele Vy Ei , Vz' orientate dupa axele ,,y' qi ,,7'situate ln planul sectiunii, care se

nurnesc fo(e taietoare:- componenta ,,Mr"(sau ,T' dupd eurocod), care rote$te secliunea in jurul axei ,,x'l generand

pe ansamblu rasucirea sau torsiunea elementului care se numegte moment de torsiune;- componentele ,,Mu " gi ,,M2" care rotesc secliunea in iurul axel ,,y" 9i respectiv ,,2", generind

pe ansamblul elementului incovcierea care se numesc momente de incovoiere in jurul axei ,.y"

respectiv ,,2".Componentele: N, Vy, Vz, Mil My,Mz, definite pe fala din dreapta a secliunii se numesc

eforluri seclionale. Acestea sunt reprezentiri conven\ionale simple, sub forma unor rezultante a

forjelor interloaTe ce se dezvolta pe seclrunea elementelor, in realitate, fo(ele interioare se dezvoltd

continuu in orice punct. Eforturile sec{ionale se deflnesc astfel:

Fig.2.2

- fo(a axiali N, de pe fala din dreapta a unei secliuni, este egali cu suma algebrici a

proiecliilor dupi axa barei, a forlelor exterioare active 9i reactive situate la stinga secliunii sau

a celor din dreapta cu semn schimbat;- fo(a tiietoare, V, sau V,, de pe fala din dreapta a unei sectiuni, este egali cu suma

algebrici a proiecliilor fo(elor exterioare active sau reactive pe normala la axa barei, dirijate

dupi axa,,y" respectiv,,z" din stinga sectiunii sau a celordin dreapta cu semn schimbat;

Fig. 2.3

)l32

in acelagi timp, sistemul de for\e exterioare care actioneazd asuIra corpului fiind in echilibru,

rezultantele incircirilor care aclioneazd asupra celor doui pir{i sectionate sunt in echilibru, adica:

R1 +R21 = 0

R2+R,, =g

R1+Rr=6

Din sumarea relaliilor (2.1) 9i (2.2) 9i linAnd seama de relalia (2.3) se obline:

(2.1)

(2 3)

(2 5\

de pe fata din dreapta a

reactive situate la stinga

tr'l

I

a,lr'-l

---:--D_lll\?1 -

*l\1, (2.4\

adic5, rezultantele fo(elor interioare de pe felele celor doui pd(i ale corpului sectionat sunt

egale 9i de sens contrar, reprezentAnd rezultantele fo(elor de legitura care se opun separarii

acestuia,

Din relatiile (2.1), (2.3) 9i (2.4) rezultd:

IIM.,1 ,

II

t\4

\\,

Relaiia (2.5) evidenliazd faptul cd rezultanta fortelor interioare

secliunii (R12), este egala cu rezultanta forlelor exterioare active 9i

secliunii {R1 ) sau a celor din dreapta luate cu semn schimbat (- Rz )'

ReducAnd in raport cu centrul de greutate al sec{iunii rezultanta for{elor interioare R12, se obtine

(ttg 2.2)

- o fo(a rezuitanta R = R,,- un moment rezultant,,M" al carui modul se calculeazb cu relaiia:

M=R d (2 6)

'd" fiind distan{a de la centrul de greutate al secliunii pand la punctul de aplicalie al rezultantei R.,r, Din

descompunerea celor doi vectori rezultanti dupa direcliile axelor x, y, z, ale unui reper triodogonal

drept, cu originea in centrul de greutate al sec{iunii, rezultb (h9.2.2):

- componenta,,N ", cu direclia dupi axa barei care se numegte fo(i axialS;

lt( .a )lt\ v\' tlv I

\ it\-.-------------- '/ /

Rezistenla materialelorRezistenla materialelor

Eforturi sec{ionale

- momentul de torsiune Mx sau T. de pe fata din dreapta a unei sectiuni, este egal cu

suma momentelor de torsiune exterioare active gi reactive situate in stinga secliunii sau a celor

din dreapta, cu semn schimbat;- momentul incovoietor My sau M., de pe fata din dreapta a unei sectiuni este egal cu

suma algebrici a momentelor in raport cu centrul de greutate, generate de fortele active 9ireactive din stAnga sectiunii, orientate dupi axa ,,z", respectiv ,,y" sau a celor din dreapta, cu

semn schimbat.Pentru eforturile sectionale (fi9. 2.3), se adopta urmatoarea convenlie de semne;- fo(a axiali se consideri pozitivS, atunci cAnd are acelagi sens cu normala secliunii

respective (produce intinderea barei) gi negativi cind este orientati in sens invers (producecomprimarea barei);

- fo(a tiietoare se consideri pozitivi, atunci cAnd, actionind in planul fetelor care

delimiteazi un tronson il rotegte in sens orar;- momentul incovoietor se consideri pozitiv, atunci cAnd intinde fibrele situate la partea

inferioari 9i comprimi fibrele situate la partea superioari.

2. 2 Solicitiri

Sub ac{iunea'incircdrilor, pe sec{iunile elementelor de construc{ie, se Cezvolt5 for{e interioare.

Acest fenomen flzic este cunoscut in general sub denumirea de solicitare, Natura solicitSrilor depinde

de pozi{ia fo(elor exterioare in raport cu axele principale centrale ale sectiunii, Atunci cAnd prinreducerea rezultantei fo(elor interioare in raport cu centrul de greutate al secliunii, torsorulrezultantei eforturilor interioare are o singuri componenta, bara este supusa Ia o stare de

solicitare simpli. Solicitdrile simple sunt:- intinderea sau compresiunea centricS, atunci cAnd pe secliunea lransversalS aclioneazi

fo(a axiala de intindere (N > 0) . respectiv de compresiune (N < 0 );

- forfeca rea, cAnd pe sectiunea transversalS actioneaza for{a tiietoare ( V, + 0 sau V, + 0);

- torsiunea libera, cAnd pe sec{iu nea kansversal5 ac{ioneazi momentu I de torsiune ( M , + 0 );

- incovoierea plana puri, cAnd pe sec{iunea transversala ac{ioneazd momentul incovojelor(Mr*0sauMr+0).Daci torsorul efodurilor interioare reduse in raport cu centrul de greutate al secliunii are

doui sau mai multe componente, solicitarea se numegte compusi. Pentru elementele structurale

din conskuclii, solicitarile compuse frecvent intalnite sunt:- incovoierea plani simpli in jurul axei ,,2", clnd pe sectiunea transversalS ac{ioneazi fo(a

taietore dirijata dupa axa,,y" gi momentul incovoielor care rotegte sectiunea in jurul axei ,,2" (V, + 0 gi

M, + 0);

- incovoierea pland simpli in jurul axei ,,y", cAnd pe sectiunea transversalS aclioneazS fo(atlietore dirijatd dupi axa,,z" gi momen{ul incovoietor care rotegte sec{iunea in jurul axei ,,y (4 +0 Si

M, +0);- incovoierea oblici puri, cand pe sectiunea transversalS ac{ioneaza momentele incovoietore

care rotesc secliunea in jurul axelor,,y" gi ,,2" (M, + 0 9i M, + 0);

Eforturi sectionale

- incovoiere oblici cu for!i taietoare, cind pe secliunea transversala actioneaza fo(e

tiietoare dirijate dupi axa ,,y" respectiu axa,,z" gi momente incovoietoare care rotesc sectiunea in jurul

axelor,,y"respectiv ,.2" (V, +0,|,/tr+ 0 gi V, *0, M, + 0);

- compresiunea (intinderea) excentrici oblicd, cAnd pe secliunea transversala actioneazi

eforturile seclionale: forla axiala de compresiune (intindere) gi momentele incovoietoare care rotesc

secliuneain jurul axei 'y"9i aaxei ,,2": IN>0, (trt <O), tr,l, +0, M, *0];- incovoiere plani simpli cu torsiune, cAnd pe sec{iunea transversalS aclioneaza eforturile

seclionale: forla tbietoare dirijatl dupa axa ,,y", momentul incovoietor care rotegte sec{iunea in jurul

axei ,,2"gi momentul de torsiune care rotegte secliunea in iurul axei .x" (V, + 0, M, * 0 9i It/, * 0).

Penku a stabili solicitarea la care este supus un element structural este necesar si se cunoasca pozilia

planurilor de incarcare in raport cu sistemul de axe principal central al sec{iunii transversale.

2. 3 Relatii de echivalenti dintre tensiuni gi eforturi sectionale

Studiul fo(elor interioare care se dezvolta pe o secliune a unui corp deformabil dator-itd acliunii

incarcirilor exterioare s-a realizat sub doua aspecte:

- unul fizic real. al fortelor interioare continue. in baza caruia s-a ajuns la concluzia ca pe orice

suprafa{d elementara pot exista: o tensiune normali o, gi o tensiune tangentiali 'ixd care se

Cescompune dupa axele ,.1'li,,2" in componentele t,u gi rr, (flg.2.4'a);

- unul convenlional, sub farma rezultantelar tensiunilor de pe sec[tune, ale c)ror componente

descompuse dupa axele principale centrale ale sec{iunii, genereazb eforturile seclionale: N, Vy, V.. l\/'(T), My, N,{, (fig. 2.4-b)"

Cele doui forme de exprimare a forielor interioare descriu aceeagi stare fizica, ceea ce conduce

la urmaloarea echivalenta:- proieclia dupd axa ,,x" a rezultantei forJelor interioare, reprezintA fo(a axiala N, fiind egali cu

rezultanta tensiunilor normale o* ;

(2.7)

- proiec{iile dupi axele ,y" gi ,,2" a rezultantei fo(elor interioare, reprezintd forlele taietoare Vu

respectiv Vz, c?re sunt egale cu rezultantele tensiunilor tangenliale t' respectiv trr:

3534

m(2.8)

/? q\

- proieclia dupa axa ,,x" a momentului rezultant al forfelor interioare reprezintd momentul de

torsiune M, sau T, fiind egal cu suma momentelor elementare date de tensiunile tangentiale t,, gi

Rezistenta materialelorRezisten{a materialelor

Eforturi sec{ionale

1...-

= I (rrr. + trryJ dA (2.1 0)

- proieclia dupa axa .,y" a momentului rezultant al fo(elor interioare reprezinti momentul

incovoietor M' fiind egal cu suma momentelor elementare date de tensiunea normald o, in raport cu

axa principal5 cenlralb ,,y".

(2.11)

- proiec{ia dupa axa ,.2" a momentului rezultant a fortelor interioare, reprezinta momentul

incovoietor rezultant M, fiind egal cu suma momentelor elementare date de tensiunea normala o, in

raport cu axa principalS centrala ,,2":

(2,12)

lz lz

Fig.2.4

Rela{iile (2.7 - 2,12) reprezint5 relatiile de echivalenli dintre eforturile seclionale gi

tensiuni. Ele permit determinarea tensiunilor functie de eforturile sec{ionale gi implicit in functie de

ac{iunile exterioare pentru diferite sollcitiri, daca se cunoagte legea de varia{ie a tensiunilor ox.'rxy,rxz

de pe sec{iune.

E{orturi sec{ionale

2, 4 Rela{ii diferen[iale intre eforturi secfionale 9i incdrciri

2.4.1 Bara cu axa dreapti

Din bara simplu rezematS incbrcati cu un sistem de fo(e cuprinse in planul principal central deiner{ie xOz (ng. 2.5), se detageazi un element lnflnitezimal prin seclionarea cu doua planuri normale pe

axa elementului la distan{ele ,.x" gi ,,x+dx". Pentru ca elementul infinitezimal sa ramAni in echilibru, pe

sec[iunile de capdt se introduc efectele parlilor indepartate. Astfel pe fa{a din stAnga aclioneazdeforturile sectionale: N, V y, M z, gi pe fata din dreapta: N+dN,V, +dV..M, +dMr, pozitive 9i

crescitoare in sensul axei ,.x". incdrcarea exterioari distribuita dupi o lege oarecare se poate

considera uniform distribuitd pe lungimea tronsonului inflnitezimal. lntensjtatea incarcSrii q inclinatd cu

unghiul u, fata de axa elementului, se descompune in componentele: q, dirijata dupa axa elementuluigi q.dupd normala Ia axa elementului, ReducAnd componenta q, in raport cu axa elementului rezultlmomentul incovoietor distribuit,

,h" fiind inallimea sec{iunii

M,* dfulo

N

V,+dV

JdXT

(',dxdx++ dx

Fig. 2.5

Scriind ecualiile de echilibru static pentru elementul detagat din bard rezulta

)ti6

hl1l. =0.'J |

^a

b)a)

n0Yr

ol el lo,dxdv F----f-------J

-:'-;:'",-'7'-

sttr'-X.'

t!=4--q,

--m./l

-j-i-i-+--i-,--i -Tll2//lr//l/

+ ^ +u^ I

Rezisten{a malerialelorRezisten{a materialelor

Eforturi sec{ionale

IF, =0; :) -N(x)+[tt(x)+dN(x)]+q,dx=0 (2 13)

de unde

(2.14)

rezultAnd cd derivata funcliei fo(ei axiale in raport cu abscisa,,x" a unei sec!iuni, este egali cuintensitatea incircirii dirijate in lungul barei luati cu semn schimbat;

IF,=o: '] -V,(x).q,dx Vr(r)-dV, lx)=c (2.1 5)

de unde

\L. to)

este egali cu

Eforturi sec{ionale

adicd derivata func{iei moment incovoietor in raport cu abscisa unei secliuni este egali cu sumadintre derivata fo(ei tiietoare 9i derivata intensitilii momentului distribuit din secliuneaconsiderati sau cu intensitatea incarcirii dirijati dupa normala la axa barei luati cu semnschimbat, la care se adaugi derivata intAia a intensitilii momentului distribuit.

Ecuatiile: (2.14), (2.16). (2.'18) reprezinta rela{iile difereniiale dintre functia inc5rcarii gifuncliileeforturilor sec{ionale. La aplicarea relatiilor diferen{iale se va line seama ca cele doui componente ale

incarcirii: Qx gi Qz se considerd pozitive cand sunt dirijate in sensul pozitiv al axelor.,x" gi ,,2" iar

intensitatea momentului incovoietor m, este pozitivd cAnd rotegte secliunea in sens orar. in cazul

particular cand fo(a diskibuita q(x) este normalS pe axa barei, componentele incdrcirii dupa normala

gi tangenta la axa barei sunt: qr(x) =q (x) 9i q*(x) =0, ln acest caz particular, relalille dileren{iale:

(2 1 4), (2.1 61, (2. 1 8), (2. 1 e) devin:

{2.2A\

(2.21)

(2.22)

Neglijand termenul m', din ecua{ia (2,18), ccrespunzator cupludlor distribuite uniform. se ob{ine

i9

E_,c0xlrezuitAnd ca derivata funcliei fortei tiietoare in raport cu abscisa unei secliuniintensitatea incircirii dirijati dupi normala la axa barei luati cu semn schimbat;

(IM )c=0; > rvru(*)*[tr.,rr(x)+a H,lr(x)1+4(x)dx-q.{*m,ox =o'.2 v

Neglijind tei'menul q, { ., infinit mic de ordinul dor se obline:2

b=vr,lt--- - l|=|=V,(x)+m,]

c2tl,t,1x) d V, (x ) dffiu-.- -' :'l-t .-qr-ml

dx dx dx

(2.17)

(2.23)

Cunosc6nd legea de varia{ie a functiei incarclrii normale q.(x) Si a celei tangente Ia axa barei

q,(x) prin integrarea ecua{iilor diferenliale (2.14), (2.16), (2.23) rezultd relaliile de recurenla dintre

func{ia incdrcirii qi functiile eforturilor sectionale:{2.18)

rezultand ca derivata functiei moment incovoietor in raport cu abscisa unei sectiuni este egalicu suma dintre forla tiietoare 9i intensitatea momentului distribuit din sectiunea considerati.

Derivind inca o data relalia (2.18)9i{inAnd seama de ecualia diferentiala (2.16)se obiine:

Etu;('t -l' - -nlLE: - 'j

N(x)= -Jq,(x)dx+c

v, (x) = -j o. (x) dx + D,

ti.l, (x) = -J dxJ l. (x) dx + j D,dx + D,

(2.25J

lt.to)

(2.27)

FN(xL^ldx

Rezistenla materialelor

(2.1e\

Rezistenta materialelor

Constantele de integrare C, Dr, Dz, se determina din condi{iile la limitd. CAnd funciiile qr(x) qi

qr(x) sunt exprimate sub forma polinoamelor, funcliile efcrturilor seclionale N(x) 9i Vr(x) sunt cu un

grad superior gradului funcliilor incircdrii iar funclia efortului seclional Mr(x) este cu doui grade

superioare gradului functiei incircirii.Ecua{iile diferen!iale (2.14), (2.16) 9i (2 23) pot fi privite ca relalii de dependentS dintre func{ia

incbrcdrii gi prima respectiv a doua derivata a functiilor eforturilor seclionale, rezultAnd urmdtoarele

concluzii;

u(x-€)

Y(x-N(x+ t)

a)

Fig. 2.6

- intensitatea componentei incircirii distribuite qx cu semn schimbat, orientata dupi axa

barei, reprezinti panta graficului funcliei efortului seclional N(x);

- intensitatea componentei incircirii distribuite qz cu semn schimbat, orientati dupi

normala la axa barei, reprezinti panta graficului funcliei efortului seclional V.(x) sau curbura

graficului f uncliei efortulu i sectional M, (x).

For{ele concentrate dirijate dupi axa barei F, 9i dupS normala la axa barei F' introduc

discontinuitS{i de ordonat5, (in dreptul sec{iunilor unde aclioneazd) in graflcul funcliilor eforturilor

seclionale N(x) respectiv V,(x) (fig. 2.6-a) qi schimbare de panti in graficul func{iei Mr(x) ConsiderAnd

secliunile infinit vecine (x+l 9i x-0 sec{iunii ,,x", in care este aplicati fo(a concentratl F', ecua{ia de

echilibru static dupd normala la axa barei este:

V.(x+l)=V,(x-E)-F, (2.28)

Analog se demonstreaza ca momentele concentrate M, in graficul func{iei Mr(x) reprezinti

discontinuita{i de ordonatd, egale cu marimea acestora (fig. 2.6-b), intre valorile funcliei moment

incovoietor din doud secliuni infinit vecine 9i momentul concentrat Mu' aplicat in secliunea curenti ,,x"

de pe bari existd relatia de recurentS:

M, (x + [)= M, (x - 6)- Myr

Eforluri sectionale

2. 4. 2 Bare cu axa curbi

Dintr-o barb curbd cu axa longitudinal5 plana, inclrcatb cu un sistem de forie coplanare, se

detageazd prin sectionarea barei cu planele a-b gi a'-b', un element infinitezimal de Iungime ds.

Pentru ca elementul sb fle in echilibru, pe fe{ele sale se introduc efectele p5rlilor indepartate prin

eforturile seclionale: N(s) V'(s), M(s) pe sec{iunea a-b 9i N(s) + dN(s) Vz(s) + dv.(s), Mrls; +

dM(s) pe secliunea a'-b'. Elementul detaqat de lungime ds=rd<p se raporteazb la un sistem de

referiniS carlezian cu originea in centru de greutate G al secliunii a-b (fl9. 2 7). Condi{ia de echilibru a

sistemului de fo(e interioare gi exterioare care actioneazi pe elementul inflnitezimal se exprimi analitic

prin ecualiile,

IF, =0 = [V,(s)+dV,(s)]cosd<p+[n (s)'ON (s)]sin dq-V,(s)-q,ds =0 (2 30)

Unghiul dg flind infinit mic se admile ca: sindrp=dg gi cosdrp="1. Neglijand infini{iimicide

ordinuldoi id4(s)d,p; dN(s)d<p; dsdrpl ecua{iile 2.30+2.32 devin:

IF, =0 = -t't(s)+lru (s)+dN (s)]cosdq-[v,(s)+a 4(s)]sin dtp+q,ds=0

(IIr/, )o -- 0 = tvu (s) +d trtu (s)- [v. (s)+ d v. (r)] r sin <p*

-fru (s)+o N (s)]r (1-ccsd tp) c,dsf-m,ds=O

d N (s)-,/, G) drp+q,ds = 0

d V, (s)+N (s) dtp + q,ds = 0

o t'.,l, (s)- v, (s) r d q - m,ds = o

inlocuind O,p = S ln ecua{iile: (2 33) + (2.35), oblinenr ecua{iile diferen{ialer

(2.31)

(2.32)

(2 33)

(2.34)

(2 35)


(2.2e)


(2.36)

in cazul particular clnd raza de curburd r -+ - 9i ds : dx, rela{iile diferenliale (2 36) * (2.38)

devin identice cu ecua{iile diferenliale (2.14). (2.16), (2.18) deduse pentru bara cu axa dreapti.

2. 5 Diagrame de eforturi

Eforturile seclionale sunt in general. variabile in lungul unei bare depinzAnd de pozilia secliunii,

a incircdrilor gi de modul de rezemare a barei, Funclia efortului seclional este legea de variatie in

lungul axei barei, cu forme diferite pentru fiecare tronson de incircare, La proiectarea elemenielor

de construclie este necesari determinarea valorilor maxime ale eforturilor seclionale gi pozi{ia

secliunilor normale pe care ac{ioneazd. Secliunile unde funcliile eforturilor iau valori maxime se

numesc secliuni de calcul. Determinarea valorilor maxime a eforturilor sec{ionale gi pozitia seciiunilor

de calcul se realizeazl mai simplu prin trasarea diagramelor de eforturi. Reprezentarea grafici a

funcliilor eforturilor sectionale in lungul axei unei bare se numesc diagrame de eforturi

sec!ionale,

Eforturi sectionale

2.5.1 Utilizarea relatiilor diferentiale la trasarea diagramelor de eforiuri

Relaliile diferentiale (214), (2.16), (218) sunt utilizate la reprezentarea grafica a func{iilor

eforturilor seclionale gi la verificarea corectitudinii acestora, Din analiza rela{iilor diferentiale se desprlnd

urmitoarele reguli practice:

- intensitatea incarcarii uniform diskibuite q' sau Qz reprezinta panta la graficul func{iei fo(aaxiala N(x) , respectiv al func{iei fo(i tdietoare V, (x) ;

- forta taietoare dintr-o sectiune a barei este panta la graficul func{iei moment incovoietor din

aceia$i seciiune;- pentru functii ale incircdrii exprimate prin polinoame, funcliile eforturilor sec{ionale V.(x) gi

N(x) sunt cu un grad mai mari decit func{iile'incdrcarilor qfix) gi q'(x) cu urmdtoarele consecin\e:

a) cand q,(x) = q.(x) = 0, diagramele functiilor N(x) 9i V.(x) sunt constante iar dragrama func{iei

M(x) este liniard;

b) cind q,(x) = q,(x) = constant, diagramele funcliilor N(x) 9i V'(x) au varia{ii liniare iar diagrama

func{iei Mlx) are varia{ie parabolicd,- in sectiunile unde derivata intaia a func{iei incarcarilor q'(x) 9i q'(x) se anuleaza, funcliile

eforturilor sec[ionale N(x) respectiv V.(x) au un maxim sau un minim local,

- pe subdomeniile intervalului de deflnitie unde derivata int6ia a func{iilor eforturilor seclionaleeste pozitiva, functiile acestora sunt monoton crescatoare gi invers, adica:

a) cAnd q,(x)=-dtt(x)7ox>0, q,(x)=-OV,(x),/dx>0, V.(x)=dlr/r(x)/ox > o

funcliile eforturilor sec{ionale 4(r), tl (x) gi M, (x) sunt crescatoare;

b) cand q,(x)=-otri (x)/cx<0, q,(x)=*dv,(x)1dx<0, V,(r)= dN,'1y(x)/dx < 0

funcliile eforturilor seclionale tl(x) 4(x) 9i [.ar(x) suntdescrescltoare.

- panta tangentei la diagrama unui efort seclional intr-un punct este egala cu derivata intara a

functiei efortului seclional in acel punct ( dN (x)i dx = -q, (x); OV, (x)/Cx = -q, (x) ;

d M,(x)idx = v,(r));- lnpunctul incarederivataadouaafunciiiloreforturilorsec{ionale: tt(x) ;V.(x);Na,(x)

(vJ(x)=ql(x)=o; tvti(x)=q.(x)=0; w"(r)=q;(x)=0) este nulS sau derivata intAia i9i schimbd

monotonia, graficul func{iilor acestor eforturi prezinta un punct de inflexiune,- pe subdomeniile unde func{ia incdrcarii este pozitiva, graficul efortului seclional Mr(x) este

concav gi invers:- fo(ele concenkate produc discontinultdli in diagramele de for'li tiietoare, de ordonate egale

cu modulii acestor vectori gi schimbare de panti in diagramele de moment incovoietor:- momentele concentrate produc discontinuitdti in diagramele de moment incovoietor, de

ordonate egale cu modulii vectorilor respectivi.

Prin integrarea relatiilor diferen{iale (2.14), (2.16), (2.18)intre doud sec{iuni de abscise x = xr gi

x = x2 rezulte:

X1

tx.l-N{x,}--Oo :fF\,\2t t\i\tr --\,.t - z_'\XI

(2.3s)

adica, diferenla vaiorilor forlei axiale intre doua secliuni ale barei este egali cu aria diagramei

4742 Eforturi sec{ionale

rig.2.7

dM (x)Y

- \/ /clrm

os

. -l-t'

1M1dM")'

/ \-N+dN

(2.37)

(2.38)

V; v.+dv.

dv.Gt-- N(' i

y7inqrt

Rezisten!a maierialelorRezisten{a materialelor

+-t Eforturi sec!ionale

componentei incircirii dirijate dupi axa,,x" luati cu semn schimbat, la care se aduni algebric

suma fo{elor concentrate orientate dupi axa elementului care actioneazi pe acelagi domeniu;

Eforturi sec!ionale

X

u(r)= Iv,(x)o*t0

XXf M",1 lm,(xhx00

(2.44)

b) metode numerice, care constau in determinarea valorilor eforturilor sectionale inanumlte sec!iuni, Din aceasta categorie face parte metoda deierminSrii valorilor eforturilor in

sec{iunile caracteristice, care constl in evaluarea valorilor eforturilor sec{ionale prin aplicarea

definitiilor func{iilor, sau a rela{iilor de recurenli:

lv, (x2 ) = Mr(x, )+o);,. * !r, *'fr,1*;c,

Ei trasarea diagramelor, linAnd seama de relatiile diferenliale (2.14), (216), (2.18).

A tl-1

Si se traseze diagramele de variatie a efortuilor seclionale pentru grinda srmplu rezematd dln flgur"a 2.10.

Rezolvare

Functia incarcarii este continua pe tronsoanele: I (A-C) ll (C-D) gi lll ( D-B ). Axa,,x" are originea in reazemul din

stanga a barei gi coincide cu axa barei. Reac[iunile grinzii se oblin din ecualiile de echilibru static:

IF, =0 - RN -plcoso.=C - Rl =plcos30'={pt ,' 2'

IM, -o air-oj : i' -orsro j,i|-r * oi-11n,

Irvo =o . *?,-il -ors;.o21-lrl=o - *: ]|tVerificarea reactiunilor se realtzeazi cu ecua{ia de echilibru static.

tF, 0 - R", Rl-d-otrino-1lot ,170t-pl -Pl =o336363)

adicd, diferenla valorilor fo(ei tiietoare intre doui secliuni ale unei bare, este egalS cu aria

diagramei componentei incarcirii dirijate dupi normala la axa barei luati cu semn schimbat, Ia

care se aduni algebric suma forlelor concentrate orientate dupi normala la axa barei care

actioneazi pe acelagi domeniu;

V,(xr1-Vr(x, f --oll. rif,_ 1'.) rl

u(r, )- v ,(r., )= <r)'*, t ! rvn t Jr, (r)c,

XXN(x)= *Jq,(x)dx-r!F*,

00

(2.40)

(2.41)

{2.42}

(2.45)

(2.46)

(2.4i)adicd, diferenla dintre valorile momentului incovoietor intre doui secliuni ale unei bare, este

egalS cu aria diagramei fo(ei tiietoare cuprinsi intre cele doui secliuni la care se adaugi suma

algebrici a momentelor concentrate 9i a rezultantelor momentelor distribuite care aclioneazd pe

acelagi domeniu.

Relatiile deduse (2.39) - (2.41) se utilizeaza la veriflcarea diagramelor de eforturi seclionale,

2. 5. 2 Metode pentru trasarea diagramelor de efoduri

Trasarea diagramelor de eforturi se poate realiza folosind urmetoarele procedee:

a) metode analitice, care constau in determinarea expresiilor analitice ale eforturilorseclionale pe domeniile unde funclia incircirii este continui gi in reprezentarea grafici a

expresiilor astfel obtinute, Expresiile func{iilor eforturilor sec{ionale se ob{in in bazi integrarii relatiilor

diferenfiale (2 14), (2.161, (2.18) pe domeniile de continuitate ale functiei incarcarii, Pentru o sectiune

cu rent5, functiile eforturilor seclionale sunt:


(2 43)


EforlLrri seclionale 474h Eforturi seclionale

a) Trasarea diagramelor folosind definiliile funcliilor eforturilor seclionale.

Funcllile eforiurilorsec{ionale intr-o secliune curenti a celortrei tronsoane de incarcare sunt.

a.Pentru tronsonul l, pe sectrunea curentd Sr, situata la distan{a x1, in rapod cu originea sistemuiui de

axe, funcliile efoflurilor sectionale sunt.

\(x.]= .Rj = plcoso - ,qO' V,(x,)-Rl-tt =]|pl -px. M,{r r-R'x or *;-,3

o,r, t;

Analizirnd expresiile oblinute se desprind urmitoarele concluzii:

- func[ia for'{er axiale N(x,) este constantd pe acest interval, avand valoarea. N --*pf?

- funclia for{ei taietoare V.(x1) flind de gradul unu, are vana{re liniari. Valorile in secliuniie care delimileaz5

tronsonul I sunt:

v," - r",r01- -3pt s: V, -4rr ir "] or-9,1 fl' 36' 36 3 36

- func{ia mornentului incovoietor Mr(x,) tirnO de gradul dor. are varialie parabolici. in secliunile care

delrmiteazi tronsonul !, are valorile.

M' -v,ro1 o s v; M,rr11=t;f' j-r" 31 .iunr'

b). Pentru tronsonul ll, pe secliunea curenti S:. srtuatS la distanla x2 fati de originea sistemului de axe, funcliile

eforlurilor seclionale sunt.

N(x,)=-so =-ptcoscr=-("5 lz)pr: v,\t.)-Ri -+ -+-+-*.1 ,1n .t JO

lr/,'x ) Ri r,-911r,-l6)-ir3 36tpl r,-dt,,-l 61

AnalrzSnd expresiile ob{tnute se desprind urmdtoarele concluzli:

- func{ia fo(ei axiale N(x, ) este c0nstanta pe acest interval, avand valoarea n = -("6i2)pt ,

- func{ia fo(ei tiietoare V.(x, ) este constantd pe acest rntetual 9i in orice secliune are valoarea V, = pl7'36 ;

- funclia rnomentului incovoieior lvlr(xr) llnO de gradul unu, are vara{ie liniard. in sec[runile care delimiteazd

tronsonul li, are valorile:

rilj-N/ {t3}. 130r -!-!lt '-lt- 7 ot- $; Mr=rv (2t3)= lg 1-l',4-li-^1pr

36 3 3\3 6' 108' r 'v 36 3 313 6r 27

c, Pentru tronsonul lll. in secliunea curenta Sr, situatd la distanla x: fa{5 de cap5tul din dreapta a grinzil, funcliile

efofi urilor sec{ionale sunt:

Ntr,1-0' v-rr,) R,. -{pl sr lrl.tx,t-11prr.-1pr''' 36' 16' 12

AnalizAnd exprestile oblinute se desprind urmbtoarele concluzii:

- func{ia fo(e axiale Nix3) este nula in orice sec{ilne:

= pl.f,3/2

- 13pll36

piI3i2

zpl',27

Sectiunea S " Sectiunea S "

LIL lz

flg. l. ru

v:-M l,='li : \i l,nt' + r,r7 r,r,ror-_ffto'ir--\n,

- funclia forlei tiietoare V.(x3) este conslant5

v, =-(1436)pr;- func{ta momentului incovoietor Mr(x,) fiind cie

secliunrle care delimiteazS tronsonul lll, valorile func{ier sunt:

pe acesl interval gr in orice secliune are valoarea

graoul unr oe interval-l stud.at a'e varalie lin'ara. ir

Ri

R,,

X

v

X

v

x

v

Sectiunea S,

Rezisten!a materialelorRezisten{a m aterialelor

/o Eforturi seclionale

Dtagramele de vala{ie a eforturilor sec{ionale se traseazd in raport cu o ax5 de refertnld paralela cu axa grinzii.

Valorile pozitive ale eforturilor seclionale N gi V se reprezintb grafic deasupra axei de referin{a iar valorile negative sub

axa de refenn{6. in cazul momentului incovoietor Mr, valorile pozrtive se reprezint6 grafic sub axa de referin{5 iarvalorile

negaiive deasupra axei de referinta. Reprezentand la scai'5, valorile eforlurilor sec{ionale in sec{iunile care delimiteazd

fiecare tronson gi trasdnd prin punctele oblinute curbele definite de funcliile eforturilor seclionale, se oblin graficele sau

diagramele de eforturi: N, V. gi My. Stabilirea concavitatii funcliilor de grad supertor 9i monotonia acestora se

rcalizeazl conform prevederilor paragrafului 2,4.1.

b) Trasarea diagramelor de eforturi seclionale utilizind relaliile diferenliale dintre func{ia incircirii 9i

funcliile eforturilor sectionale.

Aceastb metodi consti in evaluarea valorilor efodurilor seclionale in sec{iunile caracteristice ale grinzii. Valorile

obtinute se reprezintd grafic la scard in raport cu o axd de referinld, utilizbnd regula de semn precizatd anterior. Prin

puncteie oblinute, se traseazi curba functiei efortulur sec{ional, !in6nd seama de rela{iile diferenliale dlntre funclia

incircarii 9i funcliile efofiurilor seclionale (2.14,2.16 qi 2.18), Aplic6nd aceste principii se obline:

Pentru tronsonul l:

Funclia fo(a axiala 1n secliunile caracteristice are valonle: N, = Ri = -(J3/2)pl 9l N. = -('6iZ)fl rezufta

c5, pe intervalul cuprins intre cele dou6 sec{iuni, func{ia fo(a axiald este constante;

Funcla fo(5 taietoare in secliunile caracteristice are valonle: Vj =(13/36)pl 5i V,c =pli36. Funcla

componentei incdrcbrji dirijati dupi normala la axa barei flrnd constantS, rezulti c; intre cele doui secliuni funclta fo(itaietoare este lintarS,

Funclia moment incovoietor in secliunile caracteristice are valorile: fu1i =0 $i tr.li -(ZitOalpl'?. Funclia

incdr-c5ril flind constanti, funclia monrent incovoietor este de gradul doi. Concavitatea parabolel se stabileqte dupi

regula practica: sensul incSrcdrii este lnvers fat6 de sensul razet de curburi a parabolel

Pentru tronsonul ll:

Funclia fo(6 axiala in secliunile caracteristice are valorile: f,f c - *(.i5iZ)pf 9i lo .. = -(r:,/Zlt rezultd ci

lntre cele doui sec{iuni, func{ia fo(a axlaia este constante;

Funclia{o(6tdietoareinsec{iunilecaracteristicearevalorile f -*pf $' V.o"=+ Func{iacomponentei' 36' ' 36

incdrcdrii dirijati dupi normala la axa barei fiind nuli, rezultS cd intre cele doua secliunr func{ia fo(d tiietoare este

constanta;

Funclia moment incovoietor in secllunile caracteristrce are valorile: lvi = (7i 108)pl2 9i M? = (2i27h1'? .

Funclia incircbrii fiind nul5, func{ia moment incovoietor este de gradul unu.

Pentru tronsonul lll:

Funclia fo(i axiald in secliunile caractenstice are valorile: Noo, =0 gi N: =0 deci functia forla axiald este

nuli,

Funclia for.l5 taietoare in sec{iunile caracteristice are valorile: Vi * = *(17136)pl $i V: = *(1436)pi . Funclia

componentei incdrcirii dirijati dupl normala la axa barei fiind nuli, intre cele doud secliuni functia fo(i tiietoare este

conslantA,

Funclia moment incovoietor in sec{iunile caracteristrce are valorile: M? =(7/108)pl' 9i N/i =-(1/12)pl'

Funclia incdrcSrii flind nul6, funclra moment incovoietor este de gradul unu.

Verificarea diaqramelor de eforturi serealizeaze calitativ cu relatiile diferenliale (2.14,2.16,2.18 9i 2.19) iar

cantilaliv cJ relatiile (2.38 + 2.41).

Legi constitutive. Dependenla dinlre tensiuni gi deformalii

LEGI CONSTITUTIVE

3. 1 Generalititi

Fenomenele flzice care se dezvolti in barele supuse la diverse solicitiri, se studiazi pe cale

experimentale prln determinarea relatiilor dintre eforturi gi deplasdri. Rela{iile de dependenld, stabilitepe cale experimentali, reprezinla legile dupi care se desfSgoare aceste fenornene, flind cuncscute sub

denumirea de legi fizice sau constitutive.Legea constitutiva a unui matedal stabilegte dependenta dintre tensiuni gi deforma{ii punand in

evideniS proprietdtile mecanice ale materialului, pemlland astfel, stabilirea unor simplificari in analiza

modului de comportare a materialului sub acliunea incarcarilor.

Modurile de comportare ale materialelor sub acliunea incircirilor sunt cunoscute subdenumirea de proprietili mecanice.

--+ *ot:,

a\Fig.3.1

Studiul experimental al propriet6'lilor mecanice se realizeazd pe elemente cu forme speciale

cunoscute sub denumirea de epruvete, lncercarea experimentald se efectueaze cu ajutorul maginilor,

capabile sd simuleze solicitarea penku care se studiad proprietitile mecanice, Acestea sunt dotate cu

echipamente de inregistrare gr prelucrare automate a daielor. Epruveta are forma 9i dimensiunile

standardizate, functie de natura materialului 9i tipul solicitiirll care actioneazi asupra acesteia.

Caracteristicile mecanice fundamentale ale materialelor, sunt obtinute pe baza incerc5rilor

f*--"]tttll,'-i--1.!-__=/

d6

-

a

h <2d^U

.,__f,_ _,_,

Rezisten!a materialelorRezistenla materialelol

50 Legi constitutive. Dependenla cjintre tensiuni 9i deformalii

experimentale la intindere sau compresiune. Materialul care se apropie cel mai mult de ipotezele

Rezisten{ei materialelor este otelul. Studiile pentru determinarea caracteristicilor mecanice se vor

efectua pe epruvete din oiel. Formele gi dimensiunile epruvetelor din o{el sunt stabilite in SR EN 10002-

1i1995. Dimensiunile standardizate (fi9. 3.1a) ale epruvetei solicitate la intindere sunt:

- do- diametrul ini{ial al epruvetei in zona prelucrati;

- lo- lungimea ini{ial5 a epruvetei intre repere;

- l,- lungimea calibratS.- D - diamekul zonelor de capit;- h - lungimea zonelor de capdt;

- h- lungimea totala a epruvetei.

Epruveta este prelucratd fln, prin agchiere pe zona centralS prin micaorarea diametrului, pentru

ca ruperea si se produci in aceastl zona. Distania lo intre repere se numegte bazi de misurare,

fiind utilizata la evaluarea deformatlilor liniare. Pentru realizarea incercSrilor experimentale la

compresiune se utilizeaza epruvete scurte prismatice sau cu formi cilindrici (flg 3"1 b) care au

inil{imea mai mici decdt dublul diametrului.

3. 2 Rela{ia fo(i - deplasare (Q - AI)

Studierea dependenlei dintre for{e gi deformalii se realizeazi prin incetcarea la intindere

centrica a unei epruvete din o{el cu dimensiuni slandardizate. incdrcidle fiind aplicate static, viteza de

aplicare a incarcirii nu dep5gegte limita de 10 N/mm2/s. Dimensiunile iniliale ale epruvetei (do, lo) se

stabilesc prin mlsurare, Epruveta este flxati in bacurile maginii de incercat aplicAndu-se progresiv forla

de intindere pirna la ruperea acesteia, Se mdsoard distantele inke reperele iniliale pentru diverse valori

ale forlei aplicate. Pentru fiecare valoare inregistratd a fo(ei se calculeazi alungirea epruvetei cu

-^l^ri^.lerd\rd.

Al, =; *1n (3,1)

unde:- Al, - este alungirea epruvetei pentru treapta "i" de incdrcare;

- lr-estelungimeadintrereperemasuratapeepruvetiintreapta"t"deincarcare;- lo - esle lungimea initialA a epruvetei intre repere.

Se traseazd intr-un sistem de referin!a cartezian curba Q-Al, in abscisa reprezentAndu-se

valorile alungirilor Ali 9i in ordonata valorile forlelor aplicate ai (fig. 3.2). Pentru materiale casanie

curba Q-Al, este reprezentatS in figura 3.2 a.

Pentruoielul moaleOLy utilizatinconstructii curbaQ-Al esteprezentatiinfigura 3.2-b,

Graficul funcliei O=f(d) stabilit experimental pentru incercarea la intindere a unor

epruvete cu forme standardizate, se numegte curba Q - Al a epruvetei.Din examinarea graflcului obtinut, rezultl cb epruveta are urmitoarele stadii caracteristice de

ccmportare:- liniar.elastic (0-A) . cand deformatiile sunt propo(ionale cu valorile fo(elor aplicate, fiind

delimitat la partea superioari de punctul A corespunzltor valorii Qp denumitd fo(i limiti de

propo(ionalitate;

Leqi consiitutive. Dependen{a dintre tensiuni gi deformatti 51

b)

Fig. 3.2

- elastic (A-B) - cAnd intre valorile fo(elor 9i valodle deplasirilor nu se mai pastreaza rela{ia

de propor{ionalitate. Acest stadiu de comportare este delimitat la partea superioard de punctul B,

corespunzator valorii Q,, denumita for{i elastici Iimiti;- elasto-plastic (B-C) - cdnd deformatiile nu sunt proportionale cu valorile for{elor aplicate.

Dupi descircare epruveta nu mai revine la drmensiunile iniliale. Stadiul de comportare este delimitat la

partea superioard de punctul C, care corespunde valorii Q', denumita fo(i limitd la curgere:- curgerii plastice {C-D) - cdnd deformatiile cresc continuu sub efort unitar constant. fiind

delimitat la partea superioarS de punctul D, care corespunde fo(ei limiti de curgere Qc,

- autoconsolidarii (D-F) - sau stadiul deforma!iilor mari premergatoare ruperii. Acesi stadiu

este delimitat de punctul F de pe diagram5 corespunzdtor valorii Q, denumitl fo(i de rupere. Punctul

E de pe curba caracteristica corespunde valorii maxime a fo(ei Q'* "

Rezultatele ob{inute depind de natura materialului 9i dimensiunile geometrice ale epruvetei,

aceasta conferindu-le un grad de aplicabilitate limjtat,

3, 3 Relatia tensiune-deformatie sau curba caracteristici

lnfluen{a dimensiunilor geometrice ale epruvetei asupra rezultatelor obtinule se elimina prin

utilizarea unor parameki independenti, fa{a de mirimea secliunii epruvetei 9i distania dintre repere,

Acegti parametri sunt:- tensiunea normali o care se determina cu relalia: o = Qr'Ao ,

- deformalia specifici liniari e care se determind cu relatia: e = A/lo , unde:

- Q - este valoarea fo(ei de intindere aplicatl epruvetei;- Ao- este midmea sectiunii initiale a epruvetei din zona prelucrata;

- lo- este lungimea initiali a epruvetei intre repere;- Al - este alungirea distan{ei ini{iale dintre reperele epruvetei.

Graficul funcliei o=f(e) stabilit pe cale experimental5 prin incercarea la intindere a unei

epruvete cu geometrie standardizati se numegte curbi caracteristici sau diagramicaracteristici,

0-o;'00:a;

AIAI

--l1l*a)

Rezistenla materialelorRezistenta materialelor

52 Legi constitutive. Dependenta ciintre tensiuni gi deformatii

Curba caracteristicS. este speciflcb fiecirui tip de material, continAnd informatii cu pr"ivire la

mdrimile flzico-mecanice fundamentale, utilizate in studiile asupra modului de comportare a materialului

supus la diverse tipuri de solicitari, Aceasta are caracterul de lege flzica sau constitutiva, stabilind

dependenta dintre tensiuni gi deformatii (fig. 3.3)

Fiecirui punct de pe curba caracteristica de coordonate (o-e) ii corespund doui mdrimi:

- modulul de deformalie tangent Et definit de rela{ia:

(3.2)

Legi constitutive. Dependenta dintre tensiuni gi deforma{ii 53

F -F -F=inry*T _S {3 5)

Mirimea E, este cunoscuta sub denumirea de modul de deformalie liniar. lnkoducand rela{ia(3.4) in rela{ia (3 5) rezulta:

E = o/e,

EEql (3 6)

ol

:

"ri:

:

/CJr^'11

a

t'i

cunoscuti sub numele de legea lui Hooke. Aceasti lege evidenliazi faptul ci tensiunile suntpropo(ionale cu deforma!iile. adici materialul are 0 comportare liniar-elastici. Factorul de

-tF propo(ionalitate ,.E" mai este denumit 9i modul de elasticitate longitudinal sau modulul lui Young.Modulul de elasticitate longitudinal gi tensiunile au aceleagi unitS{i de masurS. Dependenla liniar -elastic6, intre tensiuni gi deforr-na{iile specifice liniare. se pastreazi pina in punctul A, denumit gi limitide propor!ionalitate,

oAIq;

Fig. 3.4

3. 5 Deformafii transversale, Coeficientul lui Poisson

Se consideri o bari cu sec{iune dreptunghiulari cu inal{imea sec{iunii unitarS, Pe suprafa{alaterala a barei, paralel cu axul acesteia se consideri segmentul ab=1. Solicitata la intindere centricdalungirea barei este inso{it5 de micgorarea sec{iunii transversale. Acest fenomen este cunoscut subdenumirea de contractie transversalS (ng. 3.5-a). Similar, atunci cand bara este solicitatd lacompresiune o datd cu scurtarea se produce o marire a secliunii transversale denumita umflaretransversali (flg. 3.5-b), Starea de tensiune fiind consideraid omogenS in intregul volum al barei,deforma{ia liniara specifici longitudinali din orice punct, este definiti de relalia:

cr

Fig,3,3

Geometric aceastd marime reprezinta

(fls 3,3-a):

Rela{ia (3.4) din punct de vedere geometric, reprezinti panta dreptei care unegte un punct de pe

curba cu originea axelor de coordonate (fig. 3.3-a);

3.4. Legea lui Hooke

Atunci cand pentru un anumit domeniu, valorile tensiunilor 9i deformatiilor sunt propo(ionale,

curba caracteristici a materialului este liniara. in acest caz, valorile modulilor de deforma{ie tangent gi

secant sunt egale adici (fig. 3.4):

eometric aceastd marime reprezinta panta tangentei duse intr-un punct la curba caracteristicd

a):

Ia,-r rs"l (3 3)

modulul de deformalie secant E, definit de rela{ia:

F ---- llE,=6el (3.4)

/()et I A

////r

/ "="aav Ge

a"->Er


Legi constituiive. Dependen{a dlntre tensiuni 9i deformalii

(3 7)

AI .\l1. I ?

-

),1).

b)

Fig. 3.5

in care ln =1 este lungimea ini{iala a segmentului ab gi lr, este lungimeafinali,

De asemenea deformalia specifica transversalS €ir se definegte matematic prin raportul:

unde h0 = 1, reprezinti inaltimea ini{ial5 a sec{iunii transversale iar h, este indl[imea flnali,

intre deformaliile specifice longitudinale 9i transversale din orice punct al barei, existi relalia de

dependen!5:

(3 8)

unde v > 0, Factorul de propo(ionalitate v se numegte coeficientul lui Poisson, flind o constantielastica a materialului. Experimental, mdsuratorile riguroase evidenliazd faptul ca, mirimea contracliei

secliunii epruvetei este neinsemnatS p6ni la limita de curgere.

Jinand seama de rela{ia (3.8), deforma{iile liniare specifice dirijate dupa axele principale centrale

ale secliunii transversale sunt:

€y = -v€x $l tz = -vtx

Aslfel, deforma{ia specifica volumici a barei intinse definitd de rela{ia:

L-egi constitutive. Dependen{a dintre tensiuni gi deformalii

€,,=t"+8,,+e,

tv =tx -\rtx -V€, -er(l*ZV)

(3 e)

devine de forma:

Fiind solicitatd la intindere, bara igi maregte volumul, deci deformalia speciflca volumicd e u > 0,

rezultand ci:

1-2v>0 = v<0,5

Coeflcientul lui Poisson poate lua valori cuprinse in intervalul ve [O;O,S] funciie de natura

materialuirri, Valorea extrema v =0 s-a ob{inut pentru plut5, iar valoarea v =0,5 pentru corpurile

ideale, per-fect plastice, la care schimbarea formei se face fira varialie volumicd, Cel mai mult de acest

mod de comportare se apropie plastilina 9i parafina. Pentru otelul OL 37, coeflcientul Iui Poisson are

valoarea v =0.3 iar peniru betonul armat v =0,2. Modulul de elasticitate longitudinal "E", modulul de

elasticitate transversal "G" gi coeficientul lui Poisson "v' constitue constantele elastice ale materialului.

3. 6 Curba caracteristici a olelului moale

Elementele structurale ale construcliilor metalice sunt realizate in general din oteluri cu un

conlinut de carbon in proporlie de 0.17 * 0.22%. Acestea sunt cunoscute sub denumirea de oleluri

moi. Din aceaste categorie face parte 9i olelul OL 37, Curba caracteristici a o{elului OL 37 se ob{ine

reprezentdnd grafic punctele de coordonate (o;e) corespunzatoare flecdrei trepte de incdrcare, pentru

o epruveti cu dimensiuni standard solicitata la intindere cenkicS. Aceasta evidenliazd proprietSlile

flzico-mecanice ale materialului lncercat, corespunzatoare stadiilor de solicitare pentru care rdspunsul

Comportarea maierialuiui_

1 - liniar elasiic4 - UtdJUk3 - plastica (curgere)4 - elasto-plastica {consoliCare)

Fig 3.6

555.1

a)

Q'2

Rezisten{a materialelorRezisten!a materialelor

56 Leqi constrtutive. Dependen{a dintre tensiuni gi deforma(ii

este calitativ diferit. Punctele caracteristice ale diagramei efort-deplasare (O-at), se reg;sesc $i in

curba caracteristic5 a materialului (fig. 3.6) Pentru curba caracteristica a o{elului moale, acestea sunt:

- punctul ,A" cu ordonata oo denumit limiti de propo(ionalitate. Pind Ia aceasti valoare

tensiunile normale sunt proportionale cu deformaliile. Pe subdomeniul 0,4 materialul are ocomportare liniar-elastic5, constituind domeniul de valabilitate al legii lui Hooke;

- punctul ,,B" cu ordonata o", denumit limiti de elasticitate. Limita de elasticitate reprezinti

mirimea tensiunii pini la care materialul se comporti elastic. Dupi descarcare epruveta revine la

dimensiunile geometrice iniliale (nu are deformalii remanente). in realitate, la descircarea epruveiei. in

material exista deformatii remanente foarte mici, chiar daca tensiunile normale nu sunt mai mari decdt

valorile limita o. . Depagirea valorii limitd o., conduce la dezvoltarea deforma{iilor plastice;

- punctul ,,C" cu ordonata o. este denumit limiti de curgere. Limita de curgere este definitica fiind valoarea tensiunii pentru care deformaliile epruvetei cresc sub efort unitar constant. in

acest stadiu de lucru, deformatiile plastice conduc la lunecari in structura interna a materialului. La

descircare, epruveta ajunsa ?n acest stadiu, nu mai revine la dimensiunile ini{iale, rdmAnAnd cu

deforma{ii permanente (remanente),

- punctul ,,D" evidenliazl terminarea curgerii materialului. Deformaiiile epruvetei cresc numai o

data cu mirirea incircdrii;- nunctul ,,E" cu ordonata o*r' denumiti tensiune maximi. reprezintd valoarea exkemi a

tensiunii normale din epruveta. Dupi atingerea acestei valori, in zona cu irnper-fec{iuni structurale ale

materialului apare o gatuitura a barei gi fo(a aplicata acesteia incepe sa scad5,- punctul .,F" cu ordonata o,, denumiti rezistenli la rupere, marcheazi ruperea efectivi a

epruvetei in sectiunea unde gAtuirea are valoare maxima.

in timpul solicitSrii barei, o datd cu deformaliile liniare se dezvolti 9i deforma{ii transversale.

Acestea sunt neglijabile pAni in momentul gAtuirii epruvetei (fig.3.7), c6nd secliunea transversalS se

micgoreaza semnificativ. Din acest moment, dacd raportim efortui axial la suprafala sec{iunii gdtuite,

oblinem curba caracteristica realS a materialului de pe acest interval (CF'). Aceasti raportare, nu

poate fi realizatd din punct de vedere practic, din cauza dificultSlii de misurare a sectiunii gAtuite, Din

acest motiv fo(a axial5 ,,N" gi alungirea epruvetei Al se raporteaza la dimensiunile ini{iale ale sectiunii ,.

Ao"gi ale lungimii iniliale dintre repere,,lo". Se obtine astfel o curbi caracteristicd conventionalS, care

este repi'ezentata pe intervalul CF cu linie plin5. Standardele in vigoare considera rezistenla la rupere a

materialului ca fiind valoarea maximi a ordonatei diagramei, adici o, = omax . lntervalul CD al curbei

caracteristice se numegte palier de curgere. Caracteristica acestei zone este deformarea epruvetei

sub efort unitar constant. A..A

(oFis. 3.7

Leqi constitutive. Dependenta dintre tensiuni gi deformatii 51

in zona strangulata a epruvetei cu suprafala laterala prelucratl fin, se cbservl striuri inclinate la

45' fa{a de axul ei, cunoscute sub denumirea de liniile Cernov-Liiders. Acestea marcheazd planurile

de lunecare corespunzatoare direc{illor tensiunilor tangentiale maxime. Pe sectiunea de rupere a

epruvetei, se observd 0 zone marginald netedd inclinati la 45c corespunzitoare planurilor de lunecare

gi o zoni centrala cu aspect rugos, corespunzitoare ruperii prin smulgere (fig, 3 7-c).

Evidenlierea distribu{iilor deformatiilor in zona calibratd a epruvetei, se realizeaza prin trasarea

unor repere echidistante pe suprafala laterali. Se constati cd, p6nd in momentul aparitiei gAtuirii

secliunii, distan!ele dintre repere ramAn echidistante, rezultAnd ci deforma{iile longitudinale ale

epruvetei sunt omogene pe zona cercetata. Din analiza stdrii de deformalie a epruvetei se observ6 cd

secliunile ramAn plane gi normale la axa barei 9i dupS deformarea acesteia, adicd se respecti ipoieza

lui Bernoulli.

3.6.1 Curba caracteristici la compresiune a otelului moale

Epruvetele cilindrice, utilizate pentru incercirile la compresiune a oleiului, au iungimi mici

(10 < 2d) pentru a elimina efectul pierderii stabilitdtii. Supusi la compresiune, epruveta cilindrici se

scurleazd dupd direc{ia longitudinala 9i igi maregte dimensiunile in sens transversal prin umflare.

Fjs. 3.8

Deformalia epruvetei, este neuniformi datoritd frecirii dintre platanele maginii de incercat 9i

suprafe{ele de capdt ale acesteia. Fenomenul de frecare are influenti neglijabilS asupra comportdrii

materialului in domeniul elastic, dar are efecte importante in domeniul plastic. Curba caracteristicd a

olelului la compresiune (fig.3,8-a), coincide ca formi pAna in punctul 'C" cu cea oblinutd pentru

solicitarea de intindere, valorile limitS ale tensiunilor normale op, oe gi o, flind practic aceleagi, Sub

acliunea for{ei axiale de compresiune, prin umflare epruveta i9i miregte sec{iunea transversali, fiind

necesarS cregterea accentuat5 a incircdrii pentru a se obline mdrirea deformaliilor axiale. in final

epruveta se turtegte fird a surveni ruperea materialului. Din cauza dificultdtii de m5surare a sectiunilor

Rezisten{a m aterialelor

d)

_l_ iA. A

olI

op


58 Legl constitutive. Dependenta dintre tensiuni gi defomatii

epruvetei dupd ce tensiunea normala din epr-uvetd depagegte valoarea limiti o, este diflcil de precizat

in continuare alura curbei caracteristice. Deoarece valorile limita ale lensiunilor normale oi, oi, oi au

valori aproximativ egale cu cele determinate penku intinderea cenkica (o'o =ooi o'. =o.;oi =o.)rezultd ca, pantele curbelor caracteristice ale o{elului la intindere gi compresiune au aceeagi mirime,deci modulele de elasticitate longitudinale (E - tgcx ) sunt identice (fl9.3.8-b). Cele doui curbe

caracteristice sunt simetrice in raport cu originea sistemului cartezian o-e pentru aceste zone.

3. 7 Caracteristicile mecanice ale materialului

Proprieti{ile flzico-mecanice ale materialelor, corespund stadiilor- de solicitare care deiimileazazonele de comportare calitativ diferite, caracterizAnd modui de Iucru pe aceste domenii. Din prima

categorie, fac parte valcrile limiti ale tensiunilor normale ccrespunzatoare punctelor caracteristice ale

diagramei o-€ , care au fost definite in paragraful anterior:

- limita de propo(ionalitate op definita matematic cu rela{ia:

Legi constitutive. Dependenla drntre tensiuni gi deforma\ii

- ep - denumita limita de deformalie propo(ionali liniari specifici pAna la care

tensiuni gi deforma{ii se pistreaza o dependen{a liniari, def,nitd matemaiic cu rela{la:

lntre

(3.14)

AIo fiind valoarea limiti a alungirii, pentru care materialul are o comportare liniar-elastici 9i le lungimea

calibrata a epruvetei;

- e" - denumitd limiti de deformatie elastici p6na la care, deforma\iile remanente la

descarcarea epruvetei reprezintd e,". < 0,0'1% , fiind deflnita matematic cu relalia:

(3 1s)

l[ este valoarea limitd a alunqirii pentru care materialul are deformatii elastice,

- e"-denurniti limita deformaliei specifice liniare de curgere pAna la care, deforma{iile cresc

sub tensiune ccnstantd, deflniiS matemaiic cu relalia:

munde Qp este fo(a limitd de propo(ionalitate 9i Ao aria sec{iunii iniliale a epruvetei,

- limita de elasticitate oe, deflniti matematic cu relalia,

F" =aJA;

Q. fiind fo(a limitd elasticS;

- limita de curgere o., definita matematic cu rela{ia:

(3 1o)

(3.11)

Al. reprezentand valoarea limita pentru care, epruveta se alungegie

constant;

- e' - denumiti limita de deformabilitate liniari specificiepruveta se rupe, deflnrta matematic de relalia:

(3.1 6)

sub ac{iunea efodului seclional

de rupere orin at,ngerea careta

(3.12)

Q' fiind for{a limitl de curgere a materialului;

- rezistenla la rupere o,, definitd matematic cu rela{ia

(3,1 3)

Q.* fiind fo(a maximd care solicitd epruveta.

Pentru limita de elasticitate o. se considera conventional. valoarea tensiunii normale care

corespunde unei deformalii liniare remanente e,", =6,61070, notati cu os,s1, Caracteristicile mecanice

enumerate anterior penlru olelul 0137. au valorile convenlionale: oe = op = 1900daN/cm2,

o. = 2400daN/cm2 9i o. = 3700daN/cm2.

A doua categorie de caracteristjci mecanice se referi la deformaliile specifice. Se definescastfel, urmdtoarele valori Iimiti ale acestor tipuri de deformatii:

t2 1'7\

Al, reprezentand alungirea zonei calibrate a epruvetei misurati dupa ruperea epruvetei,

Capacitatea de deformare a materialului pe directia transversalS este deflnita de caracteristicilemecanice:

- Z - coeficientul de gituire definit matematic cu relatia:

IA -A

i

Z="0 "u 160t1lAol

(3.1 8)

unde A r este ana ini{iala a sec{iunii, iar A u este aria sectiunii cu gatuire maxima, misr:-ata pe epruveta

rupti;- e,- deformatia specifici transversali deflniti cu relalia (3.8);

- v - coeficientul lui Poisson.Altd caracteristica mecanica importanta este modulul de elasticitate longitudinal E care

eviden{iazd capacitatea de deformabiliiate elasticd a materialului, fiind deflnita in paragrafele

anterioare.


60 Legi constitutive. Dependenta dintre tensiuni gi deformatit

3. 8 Materiale ductile gi materiale casante

Capacitate de deformare a elementelor structurale, constituie o caracteristici esen{iala care

conferd sporirea proprietalii de disipare a energiei, prin transformarea energiei cinetice in energie de

deformalie. Proprietatea materialelor de a avea deformalii mari sub actiunea incdrcSrilor, mai ales

inaintea ruperii, este cunoscutS sub denumirea de ductilitate sau tenacitate. Materialele caTe au

aceasti proprietate se numesc ductile. Acestea, au deformalii plastice mari, evidenliate pe curba

caracteristicd printr-un palier de curgere dezvoltat. Materialele ductile, utilizate frecvent in constructii

sunt: olelul moale, aluminiu, cupru, materialele plastice etc, Curba caracteristici a materialelorductile la

intindere gi compresiune are alura identica, pana la limita de curgere o. , Ruperea acestor tipuri de

materiale se produce cu deforma{ii mari, valoarea deformaliei specifice liniare la ruper€ tr depigegte

limita de 5%. De asemenea, gdtuirea epruvetelor intinse este pronuntati, contrac{ia specifici la rupere

,,2" avAnd valori mari. Sub acliunea incircdrilor, unele materiale au deforma{ii mici, ruperea

producAndu-se brusc. Aceste materiale se numesc fragile sau casante, avdnd curba caracteristici firapalier de curgere.

Fig 3.9

Din aceasti categorie fac parte; fonla, piatra naturalS, sticla, betcnul simplu, o{elul dur, etc.

Epruvetele din materiale casante, se rup la compresiune in sec{iuni oblice'in raport cu axa lor sau prin

plane paralele cu direclia de acliune a for{ei. Curbele caracteristice la intindere sunt mult diferite fatd de

curbele caracteristice Ia ccmpresiune, rezisten{ele de rupere la compresiune au valori mult mai mari

decii ceie la intindere, Moduiul de eiasticitate longitudinal F este pu{in diferit (tga = tga') pentru cele

douS tipuri de solicitdri (fi9. 3.9).

3. 9 Curba caracteristice a otelului la forfecare

Studiul dependenlei dintre tensiunile tangenliale r 9i deformaliile specifice unghiulare yse poate

efectua pe epruvete solicitate la fodecare puri cu aparatul losipescu. Se definegte curba

caracteristici la for{ecare a olelului moale ca fiind reprezentarea grafici a funcliei t = f(y), cu

Leqi constitutive. Dependenta dinlre tensiuni gi deforma{ii 61

valori oblinute experimental prin incercarea la forfecare a unei epruvete cu forma standardizatd,

Pe aceasti curbi se observe existenia unor puncte caracteristice care delimiteazi zonele de

comportare ale materialului la forfecare:

- punctul A cu ordonata rp denumit limita de propo(ionalitate, reprezentAnd mlrimea

tensiunii tangenliale pAnI Ia care deformaliile specifice unghiulare y sunt propo(ionale cu tensiunile;

- punctul B cu ordonata re denumit limita de elasticitate, reprezentind mdrimea tensiunti

tangenliale pentru care deformaliile specifice unghiulare y remanente la descircarea epruvetei sunt

neglijabile;

- punctul C cu ordonata r, denumit limiti de curgere, reprezentdnd mdrimea tensiunii

tangentiale pentru care epruveta se deformeazd sub efort unitar constant,

- punctul D cu ordonata t, denumitd rezistenla la rupere, reprezentAnd marimea maxima a

tensiunii tangentiale penku care epruveta se rupe prin forfecare,

1T

-D'i -:-r-t" " rB

/

,! la- rr l(

Fig.3.10

Fiecare punctde pe diagrama t-1 este caraclerizat prin modulul de deformalie tangent, deflnil

natematic cu relatia:

F=dtdil (31s)

pe portiunea de diagramd OA unde materialul are o comportare ljniar-elastic5, Geometric modulul de

deformalie tangent G se exprima cu relatia:

(3.20)

flind cunoscut sub denumirea de modul de elasticitate transversal.Pe domeniul de comportare liniar-elastic al materialului, dependen{a r-} se exprima cu relatia

cuncscutS sub denumirea de legea lui Hooke la forfecare

-o,.(1-l^tq.til -

1(J, ic

Rezistenta materialelorRezisten{a maierialelor

i? ?1\

constitutive. Dependen[a dintre tensiun j

3.10 Ecruisajul

Prin tratamente mecanice prealabile (incdrcari gi descarcari), epruvetele drn o[el moale,solicitate la intindere centricd i9i pot modifica urmdtoarele caracteristicj mecanice; limita deproporlionalitate op, limita de elasticitate ou gi limita de ductilitate o,. DacS din punctul H, situat pepalierul de curqere a curbei caracteristice, se descarci epruveta, aceasta are ioc dupa o dreaptaparalela cu zona de proporlionalitate oA a curbel caracteristice. incercanJo,n nou epruveta pina laatingerea valorii or, a tensiunii normale din zona de consolidare a curbei caracteristice, se parcurgeintdi segmentul H'H 9i apoi curba caracteristica ini{iala pAna in punctul J. Se observi cd la reincarcare,materialul se comportd liniar - elastic pani in punciul H de pe curba caracteristicd. Aceasta deflnegte onoud limita de propo(ionalitate 9i elasticitate oo =oe =oH =o, fiind identici in acest caz, cuvaloarea ljmitei de curgere oc . De asemenea, deformalia specifica la rupere e,n masurata fa{a deoriginea H' este mai mici decat e, (fig. 3.11), materialul devine mai casant, palierul de curgere fiindmai mic.

a) b)

Fig 3.1 1

Procedeul de ridicare.a limitei de propo(ionalitate 9i elasticitate a materialului printratamente mecanice prealabile se numegte ecruisaj. Prin ecruisaj cregte limita de elasticitate amaterialului fard a modifica rezistenla la rupere, dar scade muit ductilitatea mrtrr. in

'rrrfiiut.

incdrcarea 9i descdrcarea epruvetei nu se face dupa dreapta HH' ci dupa curbele desenate cu liniecontinua, care delimiteazl o arie denumiti suprafali histeresis. suprarap nisterezts caracterizeazec0mportarea materialului la incarciri alternante.

Atunci cand reincircarea se face dupa o perioada mai mare de timp, se observa o cregtere maiaccentuata a limitei de elasticitate gi o diminuare a ductilitS{ii cauzali'de cregterea deformaliilorremanente, rezullate din incirciri gi descdrciri succesive, fenomen cunoscut sub denumjrea deimbitrAn irea materialului.

Legi constitutive. Dependenta dintre tensiuni gi deformatii

Epruveta la care s-a rnirit limita de elasticitate prin ecruisare, solicitatd la compresiuneduce la scaderea limitei de elasticitate cu aceeagi valoare cu care a crescut la solicitarea de

intindere. Aceasta proprietate este cunoscuta sub denumirea de efectul Bauschinger,

Ridicarea limitei de elasticitate prin ecruisaj nu este recomandatd la elementele supuse la

inclrcbri alternante.

3.11 Factorii care influenteazi curba caracteristici a olelului

Caracteristicile mecanice ale o{elului depind, in general, de: compozilia chimicd gi structura

materialului, tehnologia de realizare a materialului cAt gi de conditiile de exploatare. lnfluenta asupra

curbei caracteristice a otelului, se studiaza in Iaborator prin varialia parametrilor: dimensiunile

geometrice ale epruvetei, viteza de aplicare a incarcarii, temperatura, ecruisajul, timpul. Factorii care

influenleazi curba caracteristicS a o\elului sunt:- dimensiunile epruvetei. inconvenient inlaturat prin standardizarea dimensiunilor oeometrice

ale acestora. La epruvetele cilindrice raportul lo /do influenieazS alungirea la rupere;

- viteza de incircare are influenla asupra limilei de curgere a materialului. Cand viteza de

incarcare cregte, lungimea palierului de curgere se micgoreaza. O{elul igi mdregte fragilitatea qi inacelagi timp igi micgoreazl ductilitatea, De asemenea viteza de aplicare a incarcarii are influenle

asupra rezistenlei 9i alungirii la rupere. Pentru viteze mari, rezistenta la rupere cregte iar alungirea

scade. Pentru ca rezultatele incercarilor experimentale sd fie compatibile, prin standardul SREN

10002-1/96 se limiteaza viteza de incdrcare la maximum 1000 N/cm2/sec, pAna la atingerea limitei Ce

curgere;- temperatura standardizati la care se fac determinirile caracteristicilor mecanice ale

materialelor este 200 C. Pentru majoritatea materialelor de conslruc{ii, varia!iile de temperatura

atmosferice nu au influenle sensibile asupra proprietdtilor mecanice. La cregteri mari ale temperaturii. laolelurile utilizate in construclii (OL 37, 0L 42) cregte rezisten{a la rupere. atingand valoarea maximi la

2000 : 3000 C. De asemenea. scade alungirea la rupere e' gi modulul de elasticitate longitudinal E,

o[elurile devenind mai casante. Limitele de propo(ionalitate op, $i de curgere oc, se micgoreazi odat5

cu cregterea lemperaturii, in timp ce coeficientul lui Poisson v, cregte continuu;- ecruisajul influenieaza caracteristicile mecanice ale materialului prin cregterea limitei de

propo(ionalitate op 9i de elasticitate o., diminuAnd ductilitatea;

- timpul. Sub acliunea de durata a incarcdrilor, caracteristicile mecanice ale materialelor suferA

unele modiflciri, prin manifestarea unor fenomene fizice cunoscute sub denumirea de: curgere lentisau fluaj, relaxarea, deformalia elastici intAziati.

Curgerea lenti sau fluajul se definegte ca fiind varialia in timp a deformaliilor la incircirigi temperaturi constante. Acest fenomen se manifestd in cazul majoritS{ii materialelor de constructie;

la otel in mdsurd mal mici iar la beton, mase plastice, zidirie in misurd mai mare.

Relaxarea se definegte ca fiind variatia in timp a tensiunilor sub deformalii 9i temperaturiconstante. Acest fenomen se manifesta in cazul majcrititii materialelor de constructii, studiul Iui este

deosebit de important in cazul cablurilor sau a barelor pretensionate.

Deformalia elastici intArziati este fenomenul fizic de cregtere a deformaliilor elasticedupi descircarea materialului. Fenomenul se manifesti mai pregnant in cazul rSginilor naturale sau

sintetice,

Rezisten{a materialelor Rezistenia materialelor

64 Leqi constitutive. Dependenla dintre tensiuni gi deforma{ii

lnfluenta timpului asupra dependen{ei tensiune-deformatie este studiati de disciplina reologie.

3. 12 Curbe caracteristice idealizate

Diversitatea curbelor caracteristice ale materialelor utilizate in construc{ii cdt 9i dificultatea

adoptdrii unor legi constitutive care sa urmareasci cAt mai fldel modul de cornportare, sub ac{iunea

incarcdrilor, conduc la necesitatea schematizarii curbelor caracteristice, de aga manrer5, incAt sa re{ina

principalele propriela{i flzico-mecanice, Cea mai simpla schematizare este liniar - elastic5, pentru care

este valabili legea lui Hooke. Aceasta este adoptati pentru materialele casante (fig.3,12-a), Curba

caracteristici este reprezentd printr-o dreapli cu ordonata maximi o,, inclinati fatd de abscisi cu

unghiul a, care geometric, reprezinti modulul de elasticitate longitudinal E =tgcx.

Fig.3.12

Curbele caracleristice ale malerialelor ductile, au dezvoltati cel mai pregnant zona de

comportare liniar-elastica, care se poate idealiza printr-o dreaptd OC, inclinata cu unghiul o, limitata

superior de ordonata o=oc. Zona de comportare plasticii, se idealizeaza printr-o dreaptd CR

paralela cu axa €. cu ordonata o=oc.Acest model a fost propus de Prandtl, constituind curba

caracteristicd a unui material ideal elasto - plastic (fig. 3.12-b)"

Modelul elasto - plastic, cu palier de consolidare preziniS mai fidei modui de comportare a

materialelor ductile, fiind reprezentat grafic printr-o diagrami de tip biliniar. Aceastd curbd idealizatd

este alcdtuita din doud segmente de dreapti OC gi CR cu inclindri diferite (q *ar). Modulul de

elasticitate longitudinal in cazul acestui model are doui valori diferite: una pentru o<o. iEr) 9i a doua

pentru o>o. (E2), (fig.3,12-c).

La descircare se considerd c5, materialul are o comportare liniar-elasticS, legea o-e' fiind

datd de o dreapti paraleld cu prima por{iune a curbei OC. in diagramele idealizate proprietatea

elasticS-liniara este valabili 9i peste limita de proportionalitate realS: pAnb la rupere pentru materialele

casante gi pana la curgere pentru materialele ductile.

Starea de tensiune spa{ia15

STAREA SPATIALA DE TENSIUNE

4. 1 Generalitdfi

Starea de tensiune de pe un element de suprafata AA care are orientarea deflnita de normala,.n"este caracterizata de vectorul tensiunii totale,,q". in paragraful 1.5 se demonstreaz| cA vectoruitensiunii totale i9i modificd mdrimea gi directia func{le de orientarea elementului de supr"afa{5 AA,conferindu-i caracterul de marime iensoriald. De asemenea se consideri c5 vectorul tensiunii totale sedescompune in componentele: on- tensiune normalS gi rn*- tensiune tangenliala, intre care existd

rela[ia de dependentd (1.20). Dar, printr-un punct al unui corp solicitat se pot duce o inflnitate de plane,flecare cu o altd orientare, pe care ac{ioneazl o inflnitate de tensiuni normale 9i tangenliale, carereprezinta cdmpul tensiunilor sau starea de tensiune din acel punct.

CAmpul tensiunilor sau starea de tensiune dintr-un corp reprezinti totalitatea stirilor detensiune din fiecare punct al acestuia. Starea de tensiune dink-un punct este unic determinati, dacdse cunosc vectorii tensiunllor totale sau componentele acestora de pe trei elemente de suprafa{aortogonaie, care kec prin punctul respectiv.

4.2 Yarialia tensiunilor din jurul unui punct

in calculul de rezisten{5 este necesar sa se determine valorile extreme ale campului tensiunilordin punctele cele mai solicitate ale elementului, Determinarea acestor valori impune cunoagterea legiide varialie a tensiunilor din jurul punctului respectiv, care se ob{ine scriind ecua{iile cie echilibru staticale tensiunilor de pe fetele unui tetraedru elementar, detagat dintr-un corp deformabil ac{ionat de unsistem de fo(e in echilibru (fi9. 4.'1a), Tetraedrul elementar este delimitat de trei plane ortogonaleparalele cu axele sistemului Oxyz. care trec prin punctul M din corpul deformabil gi un plan inclinat a

cdrui orientare este deflniti de normala ..n".


Starea de tensiune spa{iald

zl, lq, q/

4

^A,\ ,,,\\\\

,, \. q,

'q, .rvr -+-- +'/--"tBYI -,/

L-"''X,'"C

c)

Fig.4.1

Pe felele ortogonale ale tetraedrului ca urmare a ac{iunii pa(ilor indepdrtate se dezvoltatensiunile (fig. 4,1 b);

- o'x, rxy gi t' pe fa[a cu normala ,,x,,;

- 6, ,'tyz gr ryx pe fa{a cu normala ,,y";

- 6z,rzx 9i t' pe fala cu normala ,.2,,;

iar pe fa{a oblici vectorur tensiunii totare,,q" care se descompune dupi direc[iile,,x,,, ,,y,'gi ,,2,, incomponentele Qx,Qy $i q. (fig. 4.1 c),

Not6nd cut

Starea de tensiune spa{ial5

l* =cos(n,x); lv:cos(n y) 9i l. =cos(n,z)

cosinugii directori ai normalei ,,n" cu axele ,,x",,,y",,,2" gi cu dA aria suprafe{ei inclinate, Rela{iile dedependen{i dintre ariile suprafetelor ortogonale dAx, dAy, dAz qi aria suprafelei inclinate dA sunt:

5766

dA, =64;, i dAu =641u 9i dAz =dAlz

Scriind ecualiile dupa cele trei directii ortogonale ob{inem:

IF,=0 r o,dA,-t*oA, r,.dAr-q,oA::

(4 1)

(4 2)

inclinate, pentru

str -n

Lrz =v

TxydAx +ordA, +trrdA. =qrdA;

TrrdA, -r turdAu -+ ordA, = q.dA.

finAnd seama de rela{iile (4.1)se oblin relatiile de dependen{5 o'intre componentele vectoruluiiensiunii toiale care aciioneazd pe fata inclinati gi componentele tensiunii de pe feiele ortogonaie:

Qr=o*lr+t^lr+"r.rl.:Qy = trul, i- orl, + trul, ;

Q, = x*zlx + "Eyzly + szlz.

ExprimAnd ecua{iile de moment in raporl cu centrul de greutate al suprafe{eitensiunile paralele cu direc{iile , x", y" $i ,.2", rezullb.

adica pe doui secliuni ortogonale, tensiunile tangentiale sunt egale gi de acelagi semn. Aceslcriteriu este cunoscut in literatura de specialitate sub denumirea de principiul dualitilii tensiunilortangenliale. in baza acestui principiu rezulti ca din cele noud componente ale tensiunjlor careactioneaza pe cele kei plane ortogonale care trec printr-un punct doar $ase sunt distincte,

Intre modulul vectorului tensiunii tctale 9i modulele ccmponentelor ortcgonale e xisti relalia:

q=\rq;+q;+q; (43)

Tensiunea totala,,q" poate fi descompusd intr-o componenta dupa normala la suprafala on gi

o componenta in planul suprafelei inclinate tno:

q=G;*.'

l

J_

\z

.\T.

Reztstenla materialelor Rezisienta matenalelor

(4.4\

Starea de tensiune spatiala

inlocuind relatiile (4.9) in relaliile (4.2) 9i grupand convenabil termenii, se ob{ine sistemul

omogen de ecualii:

6968 Starea de tensiune spatiali

ProiectAnd dupi normala ,,n" vectorul tensiunii totale ,,q,

q. se obline:

sau compone'rlele acestuia. o,.qr,

(4 s)

de principiul dualita{ii tensiunilor

(4.6)

(4.7\

6n =Qxl* +qyly +qzlz

inlocuind rela{iile (4.2) in relalia (4,5) 9i !inand seama

tangentiale se obline:

n = o,l i + o rll + o,lj+ 2 r,rl, l, + 2r, u,l ul, + 2r,,1,1,

Tensiunea tangen{ial5 tno Cin planul felei inclinate are valoarea,

t".:.rtf,Jgi avand in vedere rela{iile (4.4) 9i (4.6), rezulti:

[to, - o. )1, - t, t, - t,.l = 0

jr,,l^ . io, -o- ll, + t,, l, - o

Ir",1, , rnrl, - {o, o, ) l, - 0

Este cunoscut faptul ca intre cosinugii directori exista reia[1a de dependenla

(4.10)

12.r2,r) Irx f lv -rz - l (4 11)

Daca sistemul de ecualii (4.10) admite soluiia banali l, =lu =lz =0 condilia gecmetrica

(4.11)nu se mai respectd. Pentru ca sistemul de ecua{ii omogen (a.1C) se admiti solulia nebanali,

determinantui coeficientilor trebuie sd fle nul:

t.,. -, o? ,rl q?-lo,r,'-o ,12., ,o-11,2r,,,1,1, t2r.,l,l,nzr.,l,r,f2 14 8lr\'",'.J|^I^'|.Jl

Cu relaiiile (4.3),(4.6) (4.7) se poate determina vectorul tensiunii totale 9i c0mponeniele sale

sub forma tensiunii normale gi tangentiale de pe orice element de suprafa{i care trece prin punctul

considerat, daca se cunosc cele gase componente ale vectorllor tensiune care actioneaza pe cele trei

plane ortogonale care trec prin punctul respectiv. in concluzie, tensiunile de pe cele trei sec!iuniortogonale determini unic starea de tensiune din acel punct.

4. 3 Tensiuni normale principale. Direc{ii principale

in flecare punct al unui corp deformabil solicitat, existb trei plane ortogonale pe care tensiunile

tangenliale sunt nule, denumite plane principale iar tensiunile normale care ac{ioneazi pe acestea

sunt denumite tensiuni principale.Valorile extreme (maxime sau minime) ale tensiunilor dintr-un punct, se numesc tensiuni

principale. Directiile dupi care actioneazi tensiunile principale se numesc directiile principalede tensiune, acestea fiind dirijate dupi direcliile normalelor planurilor pe care ac{ioneazi tensiunile

princioale.

Admitdnd cb directia normalei ,,n" la planul inclinat este o direc{ie principalS, rezulta ca vectorul

tensiunii totale ,,q" coincide cu tensiunea normalS on deoarece componenta rno - 0, Astfel expresiile

componentelor vectorului tensiunii totale dupd axele x, y gi z devin:

q * = onl, , Qu = onlu 9i q, = onl,

denumiti qi ecualia seculard. Solu!iile ecua{iei reprezinti valorile tensiunilor normale principale dintr-un

punct, alese astfel incit:0'r )02 )0:

Coeflcienlii ecuaiiei (4 '12) au expresiile:

lo' - o,

r.,t_

rxz

9i ordonind

lyo

o -o-iyz oz

termenii ciupa

T,,

'lr,*s.l

puterile lui on, se ob{ine ecua{ia deDezvoltAnd determinantul

gradul trei:

, lo,t2 - -i.. "xy

lo*'xy

uxz

l-t,ol-tro, *t, =

,11I u*y r Lyx T LzX

xrrla

Tzy - o.oyo2 _ o,t', - o rrl, -,5,r2,, -2T ;rT ytz.o-

(4.12)

1v' oy

ov ty,

Tyt

C',

a'y7


(4 e)

Rezisten{a materialeior

70 Starea de tensiune spa{iala

Directiile tensiunilor normale principale, coincid cu direcliile normalelor planelor principale a

ciror cosiungi directori se calculeaza luAnd in considerare numai doua din ecualiile sistemului omogen(a.10) gi condiiia geometrici (4.11). Penku a determina cosinusunle directoare care precizeaze

direc{ia tensiunil normale principale o1 inlocuim pe or cu o, ln primele doui ecuatii ale sistemului

(4.1 1 ), ob{inindu-se:

Starea de tensiune spalial5 11

l,= o^ou oyo -6.2(J\ +rl,+rlr+tl,=o1o2+o2o3+61<11 =const.

lnvariantul l, denumit gi invariantul cubic este egal cu valoarea determinantului matricei

tensorului tensiunilor:

Acegti invar-ian{i sunt invariantii fundamentali ai stdrii de tensiune dink-un punct.

4. 5 Elipsoidul tensiunilor

Se consideri un punct in care sistemul de coordonate are axele dirilate dupi direc{iile

principale ale starii de tensiune. Pe fetele odogonale ale tetraedrului care trec prin ounctul M.

ac{ioneazd numai tensiunile normale principale o1 , 62, 03" Pe fala inclinati a c5rei orientare este

caracterizale de normala,.n" ac{ioneazd vectorul tensiunii totale q, ale cdrei componente dupa arele

de coordonaie sunt dale de rela{iile;

gr=orlr; qy=o2ly; gr=orl, (4.1 3)

Aceste expresii se oblin din relaiiiie (4.2) linAnd seama de faptul ci pe felele oriogonale pe

care ac{ioneazi tensiunile normale principale, componentele tensiunilor tangentiale sunt nule,

Coordonatele extremitalii vectorului tensiunii totale x,y,z fiind proiecliile sale pe axele de coordonale,

din relatiile (4. 13) rezultS:

x-o.i,; y- orir, z=orlz;

( r l.

Ito, o.,|,*rn

i', *.,, -o

.l,,,

!, ioo - o1)!, -.,u =oI lzl tz1

NolAnd c.r l,'-t. s, lt' -0, ,, substituind in relalia (4.11)seoblinelr., ' lrt

ul ui-t-l- -)li,

Celelaite valori ale cosinugirilor directori suni:

, ,/ 1

'.,--\q,+e +l

lr1 = k11.1 gi lu1 = kzlrr

Cosinugii directori ai directiilor tensiunilor principale o2 $i o3 se determini in mod similar

Directiile tensiunilor normale principale sunt ortogonale intre ele,

4.4 lnvariantii tensorului tensiunilor

Valorile tensiunilor principale dintr-un punct, soiu{ii ale ecuatiei seculare (4.12) sunt

independente in raport cu pozi{ia triedrului de referin{d oxyz, Acestea reprezintd o caracteristica a starii

de tensiune din punctul respectiv 9i nu depind de incdrcirile exterioare. Drept urmare, valorile

coeficienlilor ecualiei seculare \. 12 9i I, rimAn constan{i, cAnd triedrul de referin{5 i9i schimbipozilia. Astfel coeficieniii ecuaiiei (4.12) se numesc invarianli ai tensorului tensiunilor-din punctul

considerat.

lnvariantul l1 denumit gi invariant liniar, reprezinta suma elementelor de pe diagonala

principald a matricei tensorului tensiunilor;

1 =Ox +Oy +Oz =ci1 +o;2 +03 =COnSt.

lnvariantul l, denumit gi invariantul pitratic, este egal cu suma minorilor corespunzdtori

elementelor de pe diagonala principalS a determinantului matricei tensorului iensiunilor;

Ytz lz=62 03

(4.1 4)

(1.15)-Xl-trx - ' rv

oi

lntroducAnd expresiile cosinuqilor directori (4 15) in relalia (4.11) se obline ecuatia:

(416)

care reprezinta locul geometric al extremita{ilor vectorului tensiunii totale,,q". referitoare la totalitatea

elementelor de suprafali care trec prin punctul considerat. Acest loc geometric este un elipsoid a cdrui

f-t --t----tx' u' 7' l

oioioliI


Starea de tensiune spa{ia15

semiaxe sunt egale cu valorile tensiunilor normale principale 61, 62, o3, denumit elipsoidul

tensiunilor sau ellpsoidul lui Lame'(fi9.4.2-b).

Fig.4.2

Din analiza reprezenterii graflce din figura 4,3b. rezulli caracterul extremal al tensiunilor

principale drntr-un punct al unui corp solicitat, Astfel cea mai rnare dintre cele trei tensiuni principale

este in acelagi timp 9i cea mai mare tensiune totalS, respectiv tensiunea principalS minimd reprezinticea mai mici tensiune totald din cAmpul tensiunilor din punctul studiat. Cazuri particulare:

- cAnd cele trei tensiuni principale sunt egale: 6i=62 =o: =oo, elipsoidul devine o sferi

deflnitri de ecualia:

in acest cazparlicular, orice plan care trece prin punctul analizat este plan principal;

- cAnd o tensiune principalS este nula, elipsoidul tensiunilor se reduce la o elipsa. Tensorul

tensiunilor este con{inut intr-un plan, starea de tensiune fiind planS;

- cand douS tensiuni principale sunt nule, elipsoidul degenereazd intr-o dreaptS. ln acest caz,

vectorii tensiunilor totale sunt paraleli cu o dreaptS, starea de tensiune fiind liniard,

in concluzie, in orice punct al unui corp solicitat, aflat in stare spa{ial5 de tensiune, existi trei

plane ortogonale pe care tensiunile normale au valori extreme. Aceste tensiuni cu valori extreme se

numesc principale iar direcliile acestora, direclii principale de tensiune. in planele pe care ac{ioneazi

tensiunile normale principale, tensiunile tangentiale sunt nule.

Starea de tensiune spatialS

4.6 Analiza grafic; a stdriispatiale de tensiune din jurulunuipunct

OrientAnd tetraedrul detagai din jurul punctului ,M" dupa directiile tensiunilor principale o, ,

or, o3, (flg. a.2-a), componentele tensiunii totale de pe fala inclinali sunt date de relatiile (4.14)

lntroducand relaliile (4.14) in relatiile (a.a) Si (4.3), se obline:

ofr + tf" -, olt?^ + olti + o?,tl (4.11)

7_l12

(4.1e)

unde..a" gi ,,b" sunt doua constante arbitrare. JinAnd seama de relatia (4.19) ;i adunand relatia (4 17)

cu relalia (4 18) inmullita cu - (a - b.) Ei relalia (4.'1 1 ) cu,,ab" rezulta:

t2(cn)+rfr* =r(o,)rl +f(o)tl+t(o3)l! g.za)

Atunci cAnd constantele'a" 9i .,b" reprezintd valorile tensiunilor normale principale, din reialia

(4.20) se obline:

- pentru a=or $i b=oz = (on-o1)(o" -o2)*r,f,o.=(o3-o1)(o3 -oz)ll,- pentru a-oz gi b=o: -r (on-o2)(o.-o3)+tlo=ior-oz)(or-or)li; $.21)- pentru a=o: $i b=or + (on-o3)(on-o,)+tlo=(or-o3)(o2*o,)li

Cele trei rela{ii (4.21) se pot scrie sub forma:

AdiugAnd la relatiile (4.17)

(4.11) se obline un sistem de trei

tensiunilor normale este de forma:

o- =o"13+o,13 +o,l?1\

9i (4.18) relatia de dependen!a

ecua{ii cu necunoscutele l' iu

f(o")= (o" -a)(o, -b)

(418)

dintre cosiunusurile directoare

1,. Se considera ca func{ia

(4 .22a)

(4.22b)

(a.22c)


Starea de tensiutte spa{ial5

Raportat la sisiemul ortogonal de axe o-r, fiecare din ecua{lile (4.22\ reprez"intd familii de

cercuri concentrice pe axa o (fig 4 4a), Astfel:

- pentru l, = 0, prima ecua{ie reprezinte cercul cu centrul in punctul Cr de coordonate

{ o1 I 02:o)

si raza c.B, - o'-o2 ;I z ", Y""-" -'-

Z

- pentru l, - 0, a doua ecuatie reprezinta cercul cu centrul in punctul Cz de coordonate

(o, "o j,o) ,i raza c B, = o'-ol

I z ")Y --"-1-/ 2 '

- pentru Iv =0, a treia ecuatie reprezintd cercul cu centrul in punctul Cl de coordonate

9 1o ol siraza c g, - 9-o: ..)l 2

Fig. 4.3

Cele trei cercuri reprezinti cercurile lui Mohr pentru starea de tensiune spatiala. Cu ajutorul

acestor reprezentiri grafice se determini tensiunile care ac{ioneazd pe orice plan, inclusiv ale

tensiunilor tangen{iale maxime. Coordonatele punctelor de pe cercul unu reprezinti tensiunile on 9i

rn* din planele pentru care l. = 0, adicd cele care sunt paralele cu direclia tensiunii principale o,.Cercul al Coilea reprezinti stdri de tensiune plane cu l, =0, paralele cu direc{ia unu, Cercul al keilea

reprezinta stiri de tensiune plane paralele cu directia tensiunii principale o2, pentru care ly=0,

Punctele situate in zona hagurati delimitata de cele trei cercuri, reprezintd stdri de tensiune plane de

pe sec{iuni inclinate pentru care l, + 0; l, + 0 gi l, * 0.

Determinarea tensiunilor pe sec{iuni incljnate, se poate realiza graftc cu ajutorul cercurilor lui

N4ohr (flg 4,4b), atunci cAnd sunt cunoscute valorile tensiunilor principale dintr-un punct. ln sisiemul

Starea de tensiune spaliald

de axe ortogonal o-t, valorile tensiunilor normale principale reprezinia segmentele OE=ot.

6d=oz gi OA=or. Segmentele eB, AC gi AE constituie diameirele celor trei cercuri ale lui

Mohr cu centrele in punctele Cr, Cz, Cr. Razele cercurilor reprezinta valorrle tensiunilor tangen{iale

princ'oale date de lungirrile segmentelor: C'B-t.r=6i-o2 CA=t,' -62-032 "t"-'23- 2

-- Or-Orf,-,ff::1,--:,r = rr r, P0 o sectiune inclinatb cu orlentarea cunoscutS. a carei normalS ,,n" face cu"2direcllile tensiunilor normale principale o1 9i o3 unghiurile o.1 = cos(n,1) 9i cr, = cos(n,3) aclioneaza

tensiunea normali on gi tangenliala rno. Graflc valorile acestor tensiuni se ob{in astfel,

- prin punctul B se duce o dreapta inclinati cu unghiul or c2re intersecteaza cercul exterior

in punctul E. Analog, prin punctul A se duce dreapta inclinata cu unghiul u, care intersecteaza cercul

exterior in punctul D;

- cr centrele in punctele C. g C se descriu arcele de cerc cu razele 0,E g C-D care se

intersecteaza in punctul P;

- proiectAnd punctul P pe axa Oo se ob{ine punctul F. Valorile tensiunilor de pe secliunea

incl,ratasunt: PF-T.o $i OF-on,,

4. 7 Tensiuni tangenliale principale

Tensiunile tangentiale cu valori maxime sau minime ce se dezvolti pe sectiunile care

trec printr-un punct se numesc principale. Valorile tensiunilor tangentiale extreme dintr-un punct

aflat in stare de lensrune spa{iald 9i direc{iile acestora se pot determina pe cale graficd utilizAnd

cercurile lui Mohr (fi9. a.3b). Tensiunile tangeniiale extreme din planele paralele cu directia tensiunii

normale pnncipale o-,, reprezintd marimile segmentelor C.B, - ot ^o' El c.g:--o:--or 6s ps22

cercul unu, deci:

(4.23)

15'/1

Iniroducand coordonaiele puncieloi- B, gi

cosinuqii directori valorile:

' "i2I :+- Sl

Bi in rela{iile (4. 226\) 9i 14, 22ci se cb{in pentru

-6I ! t_l-v2

Aceste valori reprezintd cosinugii directori ai doud piane 0rt0g0nale, bisectoare ale unghiurilor

forrnate de direcliile '1 gi 2.

Similar, segmentele e282 9r CrBj de pe al doilea cerc al lui Mohr care reprezinta stiri de

tensiune plane paralele cu direc{ia 1, sunt valorile iensiunilor tangen{iale extreme:

_ B',r)2

o,


Starea de tensiune spatialdStarea de tensiune spalial5

avind cosinugii drrectori; lv - 0 gi l.

rela{iile:

Tensiunile tangenliale extreme sunl date de

(4.2s)

Jindnd seama de relatia de ordine: or > oz > o3, valorrle maxime sau minime ale tensiunilor

tangen{iale principale sunt:

[ .r,-.rf -T.",-aY -

2

care corespund cerculur al treilea.

Pe planurile tensi,rnilor tangen!iale principale ac{ioneazi tensiunile normale:

or-o''2o' or,-olot "" ";"

in concluzie, din reprezentdrile gi'afice ale cercurilor lui Mohr pentru analiza stSni de tensiune

spaiialS se pot ob{ine valorile tensiunllor tangen{iale principale care actioneaza in planurile bisectoare

ale unghiurilor tensiunilor ncrmale principale (fig. a.a)

4, 8 Tensiuni octaedrice

Dintr-un corp deformabil (fig 4.5-a), solicitat de un sistem de fo(e in echilibru, din jurul

punctului ,,M", se detageazi un volum octaedric care are axele orientate dupS direcliile iensiunilor

normale principale o1, oz, ol.Volumul octaedric poate fl descompus in cpt volume tetraedrice,

drepte a caror fe{e odogonale trec prin punctul ,,M". Fa{a inclinati a tetraedrului EMFB coincide cu fa{a

EFB a octaedrului, lnclinarea fe{ei EFB este precizati de normala ,.n". Aceasta este inclinata egal in

raport cu direcliile principale, in baza acestei observa!ri ecua{ia geometrica (4.11) se poate scrie sub

forma:

t2.,2.t2 ^t2lx + ly + lz = Jlo61 = |

l-t-t'l ocl '\/ ocl '7oc1

=rr=r+

care ac\ioneaziin planele care au cosinugii directori l,-0 gi lu=1,=t$ nceste plane sunttL2

ortogonale intre ele gi de asemenea sunt bisectoare ale directiilor tensiunilor-principale o., gi o2,

(4.24)

reprezintd valorile tensiunilor

01 $i 02 ortogonale intre ele

Fig.4.4

Mdrimile segmentelor QE Si CrEj Oe pe cercul al treilea,

tangentiale exkerne care actioneaza pe planele bisectoare ale direc{iilor

ta

')


de unde

Rezisten{a maienalelor

\+./-r l

Starea de tensiune spa{ial5 7978 Starea de tensiune spa{ial5

Tensiunea normali de pe o fa!5 a octaedrului oo., se ob{ine introducAnd in relalia (4.6) a

relaliei (4.27) 9i {inAnd seama de faptul ca tensiunile tangenliale de pe fetele ortogonale ale tetraedrului

EMFB sunt nule:

o*, =t(o, +o"2 +03

in concluzie, tensiunea octaedricd dintr-un punct este eEali cu media aritmetica a tensiunilor

normale principale din punctul respectiv.

Expresiile vectorului tensiunii totale qo., fiind ortogonale, modulul acestuia este:

1 . r lieo..-al.=a2,, + al, 1jt",'-oj-oj)

F

b)

Fig.4.5

Tensiunea tangentiali octaedrici are expresia,

Analiz6nd expresiile tensiunilor octaedrice, se observi ci acestea se pot exprima 9i in func{ie

cie invarianlii starii de tensiune din punctul respectiv:

ro.' ='rv(o, or)' r (oz o,)' +(o,-o,.i' i

Rela{ia precedenta se poate exprima func{ie de tensiunile tangen!iale principale, avAnd in

vedere relatiile (4.23), (4.24) 9i (4 25):

/)^= .l Li. r 1.. t L. i2v

l.*,L

,:_trt i -rr2_lli^ t= 3 a,t'.lti=9Ltc,-o, I tio\ , .(-z -2 , -2iul!1,/Tl,nTtrl

4. 9 Tensorul sferic Ai deviatorul tensiunilor

Tensorul simetric al tensiunilor dinrr-un punct poate fl descompus in doua componente

To =To, +Do,

in care primul termen este denumit tensor sferic deflnit de matricea:

[o. 0 0lr=lo o- ol

Io o o,]

iar al doilea termen, deviatorul tensiunilor, deflnit de matricea:

r_] r, -,,, rlo

=l r,y or-on

I r*t Tg

6.'J

\1

a)

r3.t =q3.t -o3"t =1[.i..1 *o5 -]1o, +o2 +o,)']=

=lko.,-",)'+(o, -o3)2 +(o3 -o,)']

T^IIrry I('- -6-* l

Rezisten{a materialelor

D-



in matricele precedente o, reprezinti valoarea medie a tensiunilor norrnale de pe ir-ei

elemente de suprafalA ortogonale:

in concluzie,orice stare de tensiune dln jurul unui punct al unui corp solicitat poate fl

considerata ca o suprapunere de efecte a doua stari de tensiune:- prima, caraclerizala prin tensiunile normale egale care actioneaza pe fele ortogonale

paralele cu planele deflnite de axele de coordonate care conduce la o modiflcare a volumului gi

- a doua, caraclertzald prin ac{iunea pe feiele ortogonale paralele cu planele axelor de

coordonate a tensiunilor normaler o, -oo, oy -o' o, -o-li a tensiunilor tangenliale: rry =ls,lxz = Tr, Ty7 = Xzy .

Fiz'1. tensc:'.ll sferic. reprezinta c stare Ce lensiure tr;axiali oeintindere sau conpres..Lne

uniforma iar lensorul deviatorului tensiunilor pune in evldenla in ce misurd starea de tensiune se

indeparleazi in raport cu starea triaxiala de intindere sau compresiune uniformd.

Starea Ce tensiune dintr-un punct al unur corp solicitat este definita prin lensorul tensiunilor

ito 3 -4_t^.-i r b 5

l-4 5 -2

Sd se studieze starea de tensiune spalialS, precizandu-se.

(daN/cm2)

a) reprezentarea elementelor tensorului tensiunilor pe fetele unui cub elementar deta$at din jurul punctului

analizal,b) valorile gi direcliile tensiunrlor principale,

c) diagrama cercurrlor iui Mohr.

d) valoriletensiunilortangen{iaieextremegi precizarea planunlorpecareaclioneazaacestea,e) valoriie tensiunilor octaedrice normale, tanoent ale $i totale.

Rezolvare

a) ldentific6nd elementele matricei tensorulur tensiunilor:

6, :., ., I

To= I, O, ,r, l

r t. 1,, or _l

cu rnatricea Cata se oblil valorile componentelor iensorului tensiunilor:

o" =10daN/cm2; oy =6daN/cm:; 6.=-20 daNicm2 ; r,, =rr, =3,0daN/cm2, r,. = r- =-4,0

daN/cm2 9i 'ty7 = rty = 5,0 daN/cm2.


finand seama de regula de semne a tensrunilor normale qi langeniiale. ccrnpcneniele tenscrului tenslun lor

sunt reprezentate grafic pe felele vazute ale cubului eler-nentar din figura 4.6 a.

a) Solutiie ecualtei seculare:

oi -l.oj -l2on -13 =o

reprezrnt; valorrle tensiunilor normale pnncipale. Coeficjenlii aceslei ecual I au valorile.

7lo,

Frg.4.b

/n : t _jl.t. -ur u, uz | -9-z -

12 - -o, o, - 6, 6- - o,o, + tlr + rl, * l^ = -10 x 6 - 5 x (* :)- (- z)x l o +'l' + s') + (- 411 = 22

i. -o o,o. -o.t., -o.t", o.t.. -2r ,t,-r -11,6' - 2r-10' -r - 3<i L': ^; 3 -*2x3x5x(-4)= -568;

inlocuind valorile coefrcientilor 11 12 qi 13 'in

ecualia secuiarb se oblrne:

oi 14ol-22o"+568=0

1

E'ectu5no sJbslirJiia o. - u - ; i,. se oo1,ne ecuaia caracrer.slica.t

u-rau-o'o

unde coeficreniii a qi b au valoriie:

a -r - 1r

--zz- ^14: --er:Ir,,., u=- 2 t. -]r,t l. --2 1F -1 tt.21 56s 262.174'33273273

8I8t)

o, +o,, +o,

Rezisten{a materialelorRezistenla materialelol

82 Starea de tensiune spa{ial5

qi ecuatia cubic5 redusl devlne:

u3 -87,334u+262,074 -0

Discriminantul ecua{iei reduse are valoarea.

^ a' b: l-87334)' locnatt2,-i, r"4 -'-" ;:' r 2_"' ' - -7500.803< 0

Pentru a < 0 9i D < 0, ecualia redusa admite riddcinile reale.

ur = -2R cos @/3 = -2 x 5,39549 x cos 33,461' 3 = -1 0,5871 5 ;

r: = -2Rcos(oi3 +2r 3) =-2x5,39549xc0.(l:+ol'/:* tzo'\=7 la?37,

u3 = -2Rcos(oi3 + 4x 3)= -2x5,39549 . cos{33461' l3 - zqa')= :+asszz ;

in care:

n={'ssnu)1,/Fi3 =+\r1-s7:j34!3 =539549 gi cos6=r/(zn')= 262,a7af (2.xs,39s4s3)=0,8342s97c1

-O = arcos0,834259 = 33,461' ,

Starea de tensiune spalialS

1 1Lo -1.+ '--10,1B7r5 ' --'g?,aaJJ

1 1A+6' u, r-1, - l,'0133/ --11.768;'3 3

1, -aro^orr='4-r -ur -,1. -3.a858?1=, -8'5?49.

Rezulti ci tensiunrle normale principale au valorile:

or = 11,768 daN/cm2; 6: = 8,153 daN/cm2 qi o3 - -!,!l (3l.J/6pz

Verrficarea solu!irlor ecua!ier seculare se realizeazb utillzAnd proprietS!ile rnvai-iantilotr

11 = sl +<r2 +c'3 =11768+8,153-5,920 = 14,0;

lz =-o,oi -o2c3-6.6,--11,768x8,153-8,153x(-592)-(-5,92)x11,768 =21,99=22,

l3 = cl10203 =11,768x8,i53x(-5,92)=-567,99 = -553

)t'ecliils lsr5.unjl6r' pr,rcipal" se oblir d'' s.ste-n ,l ,ie ecJal

.q

It"^ o, t! * '",

! *,., = o] l.r lrl

I t,, , '1,' -j ,,, l.

*,", -0.J-- !z\ =u

(6 -11768)(- a)- 3 x 5

de unde:

3': - (10 * 1 1 768X6 -1 1,768)

(10-11,768)xs-(-4)x3

3'? - (io - 1 1,76s)(6 - i 1,768)

= -6,7389;

= -2,6381 ;

Drn ecualia geometrici (4.1 1 ) se obline:

k)-xt-t=1 . i-- --- - -0.13sc.'\ i '"' ' '- tl. '' --l*l--*1.+" -\67389':-2,6381--'

a)

Fig.4.71,, -k,rxl., =*6,7389x0,1369=T0,92256 9i lr1 =kzrxlr, =-2,633119,1369={,36116

in mod similar pentru G = o,2 = 8,153 daN/crn2 se ob{ine:Solu{lile ecua{iei seculare sunl


deci:

Rezisten{a matedalelor

Starea de tensiune spatiald 8581 Starea de tensiune spa{iald

(6-81s3)(-4)-3xs3'? - (10 - B,i53X6 - 8,153)

rtz =

q,,, =+.;; -o:

ro -o: =!!i38::g-tB,B44 daN/cm2;-2-2rrTAa Q1(1

.' -Y =i' "", "'"'-:1 8075da\,cr2;-2-2

- -C 49227 ,

I _ lo - o- )r,, - r,. r.,n'--t:. f, r"l"rrG-"]_ (10*81s3)x5-(-a)x3

= 1,6364;3'-(10-S,153x6-8153)

Cosinusui director 1", este

r -- 1

1k - I x). 1

l,t = k..z x i, t = -A!9227 x 0,545 =

Pentru o = o: = -5,92 daNlcm:, rezuliS:

r., -a-ol o, - -8151-i- 592)-

-7,0J65 orN,."-"-J - 1 - ,

ln punctul analizat. tensiunea tangenlra16 maximS esie rr: - 8,884 cjaN/cm:

d) Valorile tensiunrlor oclaedrice se calculeaza cu relat lle:,r 1trir-naollzf -racAdi

| \ v"!--'

= t0 505;

-02i 860 9i l.- - \., "l-) -1.6354/C,r05- l62oi3

11o".", =.1{o.*o, -o. )= =(t1,769+8,153-5,92)=4

667 daNicm2,JJ

,"" = 3.,"4';lr;;, = -:x'qo4a'.*1so?s1zo36s. = 7 63 daN/cm:,

k.. _ | _ 1.. o,h,, -r..r,, (6.5.g21{--.i)-3 r _)31€71., r; -(6, -o, )[o,-or)- 3':-(10+5,92)(6 +5,-q2]

l_, to, -or)t,. t,,r . i10 . 5.92r. 5 -r-41, J n.n.,1.. T2 -,rr,.o,){o-.o.) 3 { 0-592116 5.92:

Ccsinusui director lz3 este:

l": -k,:x1.. =0,3467xA,8522=10,29546 9r lr3 =kz:x1., =-4,5667*6,8522=-+0,4318

Verificarea rezultatelor ob{inute pentru direcliile tensiun lor se realizeazb cu ajutorui rela{irlor de oftogonalitate

dintre acestea.

1,1'*2*l,lp+l,J,z=(a,s2256)(-a,24860)+(-036116)x0,82638+0,'1369x0,505=0;

l,rl,3*lr2ly:+l.rl,r=(-0,24860)x0,29546+0,82638x(*0,4318)+0,505x0,8522=0;

1,,1,3*ly1ly:-F1,,1.3=(-092256J.029546+(-0,36116)x(*0,+:la)+o,l:69x0,8522=0.

Semnul dublu din fata fiecdrui cosinus drrector pune in eviden[i fapiui ci se determina douJ sensuri opuse ale

normalei pe felele opuse ale planelor-prrncipale duse prin punctul analizat. Direc{iile tensiunilor normaie princrpale sunt

prezenlate in figura 4.7a. Acestea se oblin prin reprezentarea in sistemul ortogonal de axe prin cosrnusii directori ai

iensiunilor normale principale 01,62,03.

b) Cercurile lui Mohr pentru starea de tensiune anailzati sunt prezentate in figura 4.7b,

cl valonle tersiunilor rargenliale o',ncioale sunt.

Rezisten{a materlalelor

ciaN/cm2

Atv-2.

intr-un punct ,.lV" dintr-un masiv de beton se cunosc valorile tensiunilor principale: o1 = 38 CaN/cm:;

6z = -24 daNlcm' 9i o: = -31 daNlcm2, pentru care se cere,

a) reprezentareagraficdavarialiei tensiunilor on $i rno careac\toneaza peplaneleparalelecudirec!i1e

tens junilor principale;

b) determrnarea tensrunii tanqenttale principale d n punctul analizat gt prectzarea planelor pe care actloneazd,

c) determinarea tensiunilor on 9i rno care aclioneazd pe un element de suprafatd a cSrei normala face

lnghrul c = 25' cu directia tenstunii or gi este perpend culari pe direc{la tenstun i o3,

Rezolvare

a) Reprezentarea graiici a varialiet tensiunilor on $i tnc care aclioneazd pe secliuni paralele cu tensiunile

normale principale este datd de cercurile lui Mohr (fig, 4,8).

b) Valorile tensiunilor tangenliale princrpale sunt:

r,. -.02 -o' --124 -( 31)-'35

daNicr.r2-2-2

6, - 61 38 f- 3') = r J{ ! j3\/6p6:rfi=t---

1---

-.,';63 b'5J'.591 =835r3

Rezistenla matenalelor

Starea de tensiune spaliald

,,, = r9la =+ 38 -l-24) = +3i daN/cm2.22

Tensiunile tangenltale principale au valoriie exlreme: t*n, = Tt: - 134,5 daN/cm2.

mtn

c) Cosinugii directori ai normalei ,,n" la sec[iunea inclinata pe care actioneazi tensiunile on gi r.o sunt:

l*:css(n,'l)-66525" =0,9063. ly =cos{n,2)=.or(SO" -ZS")=O,25BB l, =s65(n,l)=66s$S'=[

ro:i...'.'- *--- .o'3 I o,ro -.- Io,

otl

Fig.4.8

Tensiunea o,, de pe fala inclinata a tetraedrului elementar a cSrei fele onogonale trec prin punctul respectiv

pe care ac{roneazi tensiunile normale principale 61,62,63 are expresia.

on = orli + o 2ll + o 3ll= 3B x 0,90632 - 24 xa.25BB2 - 3i x 0 = 29,605 daN/cm2

Componentele vectorului tensiunir totaie de pe fala inclinata, descompus dupa directiile tensiunilor princrpale

au valorile.

Qx = orix = 38x0,9063 = 34,44 daN/cm2:

9y =o2lr= -24*0,2588 - -€,21 daN/cm2;

Qz = o3lz = -31x0,2588 = -8.023 daN/cm2

Modulul vectorului tensiunii totale de pe fa{a inclrnat5 este:

Starea de tensiune soa{ial5

q - ifi;.j ;e - ii4,44';a B rlf ,+8 023 )r - 35,e 1 d a\,cn2

CunoscAnd valorrle mirnrilor <rn qi q, valoarea tensiunii tangen{iale tno de pe fala inclinald este

.no=./ffi = J3spf -rrff# =20,33 daN/cm2

Atv-3.

Starea de tensiune drntr-un punct este deflnitd de componentele tensorului tensiunilor Tn:

ox-65 daNlcm:, ov-42 daN/cm2; oz =-30 daNicm2; rxy =ryx =20 daNicm2; ry7-rzv =16 daN/crn:

:-rz,. . t

^z . -240a\ /:ir ' . Sa se 0'ecr1e1e.

a) valorrle tensiunilor normale pr ncipaler

b) direcllile tensiuniior princrpale;

c1 valorrle tensiunilor tangentrale extrerne.

Rezolvare

a) Tensorul tensrr-rnrlorsepoatedescompuneindouastari disiinctedetensiune:

8786

ln care

To =Too +Don,

0 , lo, -.r^ I rv. tz.

o I ir D"" -l r,v lor -o. ) "t4 i

o^ L .", rv" (61 -6- j

]o'To, =l o

lo

0

om

0

To, - fiind iensorul sferic iar Do. deviatorul tensiunilor care eviden{iaza abaterea stSrii de lensrune fa{5 de o

siare de lntrndere sau compresiune uniforrna. Tensiunea medre o, are vaioarea

o, = 1t,

= l{o, * o, * o, ) =

]{os -+z-30) = 25,67 daNrcm:

Starea de tensiune definitd de tensorul sferic To. fiind de intindere uniform5 dupd toate direc{iile, deviatorul

tensiunilor Do, . caracterizeazi starea de tensiune din punctul respectiv. Invariantii deviatorulut tensrunilor au

^.,^-^^:il^.

ri = [o, -o* )-(o, -o, )+(o. -o,)]= [(os-zs,oz1+1+z-25,67]+(-30-2557)l= 0


Starea de tensiune spatrialS 8988 Starea de tensiune spatiala

r; ={-(", -ouXo, *o")*(o,-o-}o, -o,)+(o, -",)]*1.i, *.f, +.1,}-

={1os*zsoz)1+z -2ss1)+(42-25,67X-30-25,67)+(-so*zsoz)(os-zs,oz)l+lzo'?+to'+(-z+;'}-= 3688,334;

r! ={(o, -o-)(o,-o*}o.-o")*(o, -o,)rf, +(o, -o,).1, +(o. -o,)tf l+ 2'r,,rr"t,,}=

={as-zs6t)(+z*25,67X-30-25,02)-fuos-zs,oz)x16'?+(42-25,67)(*24)' +(-so*zs,oz)*zo']+

+ 2 x 2A x $ x (- 24)\ = 48321,1 1 3.

T..--Mi ,ryl --,--

{J,, ,1 -^rl/-Yz ./

lnlocuind coeficien{ii ,,a" 9i ,,b" in forma canonicS, rezultd ecuaiia cubica:

u3 - 3688,334u + 48321,1 1 3 = 0

Discrrmjnantul ecualiet cubice are valoarea:

- ,l b2 r-3688,334rJ 483211'3)D-" ,:='"""""" '274274

in cazul cdnd a < 0 9i D < 0, ecualia redusa are rdddctnile de forma:

ur = -2R cos @ I 3 = -2x 35.06344 x cos 55,91 3' i 3 = -66,449 ;

r2 --2Rcos1o 3 + 21 3l- -2 350634d,c0s155g'3 /3, 120 l-Sle::

ur = -2R cos(o / 3 + 4r I 3) =-2 x 35.06344 x cor(ss,gt:" /3 + 240' )= 13 B1 6

R = (sgn b)rffi = *r,'F ioae3l4"n = 35,05344 9r

cos@ = b /2R3 = a8321 1 13/ft x 35,063443 )= 0,56045s -XI

Fig. 4 9

inloculnd valorile coeflcien{ilor in ecua{ia secularJ

"l -tiofr -rlon *r'3 = o

se ob{ine direct forma redusd:

oi *3688,334on + 48321,1 13 = 0

Efectu6nd substitulia: on = u, se obline ecualia canonica:

@ = arccos0,560458382 = 55,913'

Soluliile ecuatiei seculare sunt.

o'=ur =-$6,449 daN/cm2; o"=uz =52,633 daN/cm2; o-=uS =13,816 daN/cm2

de unde rezulta ci:

oi =52,633 daN/cm2, o'2 =13,816 daN/cm2 9i o'3 =+6,449 daN/cm2.

Cu aceste solulii se verificd rnvarlanlii devia{iei starii cje tensrune

li = o\ + o'z+o'3= 52,633 + 13,816 - 66,449 = 0 ;

l'z=rstaz+o!o'3+o'3ol =52,633x13,8'16+13,816x(-66,449)+(*66,449)x52,633=-3688,3;

\ = o\o2o3 = 52,633 x 13,816 x (- 66,449) = -48321.

linand seama de faptul ci om =lt/3 gi de substitulia fdcuta penlru a aduce ecuaiia secularl de la forma

normalS la forma redusi on = c;'+lt/3 , tensiunile normale principale corespunzStoare sl5rii de tensiune date sunt:

u3+au+b=0

u = :, - t(i)' = -3oas,33a - J

x 0 = -3688,334 ei b = - + (lt)3 - ltr', -,', -* 4s321,1 13


9t) Starea de tensiune spatiali

o1 = oi a6n,- $1,633 + 25,67 = 78,303 daN/cm2;

6 z = ob + o n = 1 3,816 + 25,67 = 39,486 daN/cm2;

03 = oi + om = -66,449 + 25,67 = -40,779 daN/cm2.

Se observi c5 valorrle tensiunilor normale principale verillc6 invarianlii stiri de tenslune definrtl de tensorul

tensrunrlor To:

l. -o, .6, -07 -6r trJ2+6 j-77.

l1 - oro, r,ro/ :6tr r -C|r-'r', -rl,\- oror-620: o p. - -'712

13 = 610102 -h-tit *or.!* *or.lr)+2r'utyztzx=010263 - -126ag2

b) De0arece pentru tensorul sferic definit de tensorul tensiunir To" , cele trei iensiuni sunt egate cu o*, se

observd cI pe totaliiatea planurilor care trec prin punctul respectiv r*, =rxz=rzy =0. Planele princtpale ale stdrii

spaliale de tersiune sunt precizate de direcliile prnc pale ale abaterir stirii de tensrune deflnite de devialorul ienslun loi

Do_ . in concluzrer

- pentru o'= o!

., lrlKti - - =' lz1

i(ou - o, )- oi ltr, - 'r,, ry,

'1, -[(", -o,)-oi]xl(o,, *",)*o1l

l(42 - 25 667)- 52,6$lx (* z4)- 20 x 16

,., t',2 l{o, - o- l- "z hr, r,u r z

^1j lz {,, [,o, o, toli'1{o, -"- } J ]

l(+z,zs,aat)-n 816lx (- 24)- 20 x 16

202 - [(65 - 25,667) - i 3 81 6]x [42 - 25,667) - 1 3 81 6]

,, 1,,2 fro, o, I o; lrr, - r.rt.,\73 1,2 ;';l- ;i o,I-Fro" r-tl

Starea de tensiune spatiala

= -1,13293

= -6,6578

[(os - zs,ooz), r:,81 6]x 1 6 - 20 x (- 24)= 2,645448

2c2,[165,2s667)-r3,816]x(42-28,661')-13,8151 "

tt.- -- 1

- -g3zs23" \''kl 12 - t' , r' l \ ' 't32q3;: - t264t4^t' '1

lxz=kttsllzz =-1,13293x0,32823=-0,371862 qi l!2 =ki:llz =2645448v.0,32823=0,868315

- penlru o' - o'3

l(42 - 25,667)+ 66 ,44slx(-24)*20x16= 0,265935 ,

2c2 - l(65 - 25,667) + 66 4491x (+2 - 25,667) + 66,aa9l

(-k;r-i [(o, -o- )-ol ]t,. -r",r*,ti, -l(o, *o")*oilx[o, -o")-oi]

[(os - zs,ooz) + oe,a+olx 1o - 20 x (- 24)= -0,25046 ;

202 - [(65 - 25,66u ) + oo +4s]x l(42 * 25,667) + 66,44e1

11l'- -+ I -+zJ-'i. \. t ,. *-]i lki"l'+(klnl'+1I \ ,J' ! o,zoss:s2 + (- o,zso+o)2 + t

= ::0,939288 ,

\3=ki3l:21=0,265935x0,939288=0,2497896 9i l'r3 =k1 :1!r =-{,25046x0,939288=4,235254

0ricgonalitatea direc{iilor principaie se verifica cu relatiile.

202 - [(6s - 2s 662) - sz oee]x [(+z * 25,667) - s2,6$]

f(os - zs ooz)- s2,6331x 16 -20 x (* 24)

20': - [(6s - 25,662) - sz,o:i] x [1az - 25,667) - 52 633]= -3.22745

, . --

- ' =* ----

- --,,'s3e4

1(Li, t2 ,tx r)2 .t - \ r-oosze)2 -t-3.22745t2 -1

l:x1 =k!fii;1=-6,6578x0,13394=-0,891746 9i li,1 =killlr =-3,22745>Afi394=-{,432285

- pentru o' = oi

Rezisten{a materialelorRezistenla matenaleior

92 Starea de tensiune spatialS

llrllr2 +lyllyz +lrl1r2 = a,891746x (* 0,371862)+ (- 0 432285)x 0 868315+ 0,13394x 0,32823 = 0 ;

ll*216 +lyzlys +l)21'4 -- 4,371862x 0,2497896 + 0,868315x (- 0,235254)+0,32823x0,939288 = 0 ;

l'r3li1 +li,3l'yr +llrr1-c,2497896x(-0,891746)+(-oz:szs+)x(-0,432285)+0,939288x0,13394=0

c)Tensiunile tangentiale principale au valorile:

r\2 = t9*- + 78 303 : 39 486

= 19 409 daN/cm2,

xn = !9+- -39486-(-40779) = 140,133 daNtcm2;

,,, = *919 * +78'303-l*40779) - -5s,541 daN/cm2.

Starea plani de tensiune

STAREA PLANA DE TENSIUNE

5. 1 Definirea problemei

Starea de tensiune dintr-un corp este planS daci vectorul tensiune din orice punct, are

componentele situate intr-un singur plan, Aceasta stare de tensiune este caracteristici elementelorcie construclie plane (cu doud dimensiuni mult mai mari in raport cu a treia), pentru care planul de

aplicare al fo(elor este paralel cu planul median, fo(ele flind distribuite constant pe grosime. Starea de

tensiune plani este caracteristici plScilor lncarcate in planul lor median, cunoscute sub denumirea degaibe sau discuri (flg 5.1).

Fig.5.1

Starea plan5 de tensiune din aceste elemente se caracterizeazi prin faptul cd tensiunrle care

se dezvoltl in planele normale pe planul xOz sunt nule:


Starea piani de iensiune

6v =0; Tru -tu. =0

Tensiunile care se dezvolta in planul de ac{iune ainclrclrii, deflnesc tensorul tensiunilor

plane de tensiune:

o, T-,'6

iTr, o, ]

5. 2 Tensiuni pe sectiuni inclinate

(5.1 )

starii

/F ?\

IMc =o = r,, ds cosu *-.. ds sins*2

finAnd seama c5:

(5 3)

Marimea tensiunilor dintr-un punct, al unui corp aflat in stare pland de tensiune, depind de

orientarea sec{iunii pe care aclioneazS. Pentru a stabili legatura dintre tensiunile care se dezvolta pe

doua fele ortogonale 9i o fala lnclinatd se detageazd un element infinliezimal de forma unei prisme

triunghiulare cu planurile ortogonale concurente in punctul lt4. Normala planului inclinat AB face unghiul

cr masurat in sens lrigonometric de la axa 0x. Pe grosimea gaibei 'incarcarile sunt diskibuite uniform,

gi in consecinta, in studiul realizat.grosimea poate fi considerati unitara" Astfel, aria suprafeiei inclinate

este dAn =ds.1 iar ariile feleior ortogonaie suni dA* =ds.1.coscx li dA, =ds 1 sincr. Pe feleie

prismei, ca urmare a actiunii pi(ilor indepirtate se dezvoltd tensiunile:- ox gi ry7 pe fa{a dAx cu normala x,

- oz gi rzx pe fa{a dA' cu normala z;

- on $i 'rnaPe fata dAn cu normala n,

Tensiunile fiind marimi iensoriale, prin inmultirea cu ariile pe care ac{ioneazd devin un sistem

de fo(e in echilibru, pentru care se pot scrie urmitoarele relalii:- o ecualie de momente in raport cu mijlocul fetei inclinate C:

Starea plana de tensiune

- o ecualie de proiectie dupi directia tensiunii tanEenlialeTn,,:

Irn* =0 =) tnods+ordzsincr-o.dxcosu-Trrdzcosg+trrdxslna=0 (5.7)

linand seama de relaliile: (5.4), (5.5), giformulele trigonometrice: sin2cx=2sinscoscx

respectiv cos2cr = cos2 cr,- sin2 s,, rezulta:

dXp _!l

I

c)

Fig. 5.2

[r, =A*J ". ", st{;r" .it"E

o- -o. ^rno = -# stn zcx + liz cosI

Unghiul cx se consideri pozitiv cAnd reprezintl c t'otire a axei ,,x" catre axa ,,2", lnlccuind

relaliile trigonometrice: cos2 pa = (1+cos2u)/2; sin2 sx=(1-cos2a) 2, in ecua{iile (5,8) Si (5 9)

care exprima ciependen{a dintre tensiunile de pe o fali inclinati gi cele de pe doud feie ortogonale se

9-591

ili-i

nIl

t_llttl

o

zl

dz-

il

2

dx = ds.sino gi dz = ds.cosu (5.4)

ecuaiia (5,3) cievine:

(5 5)

Aceasti identitate exprimi principiul dualitatii tensiunilor tangentiale: pe doui fele ortogonaletensiunile tangenliale sunt egale gi de acelagi semn;

- o ecuatie de proiectie dupi directia tensiunii normale on:

Ion = 0 = onds-o'rdzcoso*ordxsing-trrdzsincr-trrdxcosa =0 (5 6)

(5.8)

(5.e)

7'-? ')


= -o-I J i4

+ ot

I ot

cos 2cr + t' sin 2u22

Starea plana de tensiune

oblin expresiiie;

(510)

- o, - 6, ^t^n^. , -Tn, --t^ ' slnlcx+ Tfzcos (5.1 1)

Rela{iile (5 10) 9i (5.11) exprimi dependen{a dintre tensiunile de pe o fati inclinata gi doua fete

ortogonale care trec printr-un punct.

Din rela{iile (5 8 + 5.1'l), rezulti ci tensiunile de pe orice sectiune inclinati care trece printr-un

punct,,M', pot fi determinate, daci se cunosc tensiunile de pe felele ortogonale: ox, oz, Tr', SC

desprinde astfel concluzia ca: tensiunile de pe doua fele ortogonale, determini unic starea de

tensiune din punctul prin care trec,

5. 3 Direclii principale. Tensiuni principale

Funcliile on(u) 9i tno(u) exprimate prin relaliile (5.10) 9i(5,11) reprezintd varia{ia valorilor

tenslunilor de pe secliunile cu inclinarea .,s" duse printr-un punct. Dar, printr-un punct pot fi duse o

inflnitaie de planuri cu incliniri diferite, pe care se dezvolta o infinitate de tensiuni orientate dupi

normala gi tangenta la suprafa{a acestora, in calculele de rezistentd este necesari determinarea

valorilor maxime ale acestor tensiuni. Valorile extreme (maxime sau minime) ale tensiunilor dintr"

un punct se numesc tensiuni principale, Directiile dupi care actioneazi tensiunile principale se

numesc direcliile principale de tensiune.Funclia o.(cr) flind monotonS, are valori extreme in punctele unde derivata intAia se

anuleaza. Aceasta condilie se exprima matematic sub forma:

91

2o-nrrrg 2'"

' rn=2.'o r (ir sad: u - u, , k;o. -o, I

adica directiile principale sunt ortogonale intre ele.

Direc{iile principale se pot deduce gi pe alti cale, linAnd seama de faptul ca tensiuniletangentiale din planele dupa a ciror normale actioneazi tensiunile principale sunt nule, rezultS:

rno =0 = -91:-oes;p2s + r,zcos261=0 = tOZu=-4-

Rela{ia (5.1C) se mai poate scrie sub forma;

on =9f sr*.orzoi9r:9^ + r",i.Q2cx I 1s ra-a;212:

inlocuind in formula trlgonometricS: cos2s = iliiT+td20, . reiatia (5 12) se obline:

cos2a, 1'1 \1-i2r., to,-o, (s 13)

Valorile tensiunilor principale o, gi o, se ob{in prin inlocuirea in relatia (5.10-a), a relatiilor

{5.12), ei (5 13):

Starea plani de tensiune96

jj,

de unde

do.{1]-0 -- - 2[ o' -6,sin2cr-i,cos2sl=0

! ^

lL )00\lI

(5 11)

Dinke valorile tensiunilor principale, tensiunea principalS unu este or = on,u, 9i tensiunea

principald dci esie 02 = o,n. in orice punct dintr-un element existl doua iensiuni principale o, gi

02 cu or >02. Penku stabilirea cbrei solulii a ecualiei (5.12), (u., sau cxg+|), coresOunde

direc{iei principale unu, se impune examinarea derivatei a doua:

j3+ = -[l

o, .

o, l' ..i.] 2cos2 os

d2r2art l' , ) -'z

)----

Ecualia {5.14) este satisficuti dacd:

(5 12)

tgqo - nxfi

(r. rr)

Rela[ia (5,12) Vecizeaze direc{iile principale prin unghiultocx"

I,,

Rezistenla materialelorRezistenIa materialelor

(s.1 6)

Starea plani de tensune 99

adici:- pentru rr, ) 0, funclia tgu6 > 0, daca direc{ia tensiunii normale principale o, ' este data de

unghiul uo1 .$,n2) ,

- pentru rr. ( 0, funclia tgas < 0, dacd direc{ia tensiunir normale princlpale o1 , este dati de

unghiul u61 ce corespunde ualorti. as+xf2'O alti modalitate de ob{inere a direcliilor tensiunilor principale este procedeul grafo-frzic, care

sebazeaza pe observa[ia ca orice stare planS de tensiune (fig 5.3) poate fi analizati ca suma a doui

stdri de tensiune,

a) prima, cind pe felele pitratului elementar aclioneaz5 tensiunile normale ox 9i oz

care sunt gi tensiuni principale deoarece pe aceste fete tensiunile tangentiale rxz 9i rzx sunt

nule. Dintle cele doui tensiuni normale tensiunea principalS o, este cea cu vaioarea algebrici cea

mai mare (fig. 5 3-a).

(o* > o, > 0; ^tr, = rr, > 0)

b) c)

Fig. 5.3

b) a doua, cAnd pe felele pitratului elementar aclioneazi tensiunile tangenliale t*, 9i

rzx, cate reprezinti o stare de fo#ecare puri. Direcliile tensiunilor principale sunt inclinate la

45" (o1 = tr, gi 62=-rrr). Direclia tensiunii principale o, este dati de diagonala intinsa a

patratului elementar (fi9. 5.3-b).

SuprapunAnd cele doui stdri de tensiune, rezullA cit, direclia tensiunii principale o' se

situeaza intre direcliile tensiunilor normale ox $i oz (flg,5,3-c). Ea se obline rotind directia celei mai

mari valori algebrice a tensiunii normale in sensul tensiunii tangentiale de pe aceeagi fata. A

doua directie principali este ortogonala pe prima.

5.3,1 Tensiuni tangentiale principale

Tensiunile tangenliale cu valori maxime sau minime ce se dezvolti pe secliunile care

trec printr.un punct se numesc principale, Direc{iile dupi care aclioneaza aceste tensiuni rezulti

din exprimarea condiliei de extrem a func{iei tno(a):

de unde rezultd

Direcliile principale sunt date de unghiul:

2rx=-arctoo' ou

-tq=-1Q,,+kn' 2t r,'

adicl direcliile acestora sunt ortogonale intre ele.

Conparand,elal'ile {5..2) qr (5 17) rezulta.

i- --;--,-----;:l1lil lAl(t--lj

dr..u(o'.) :o =dcr- 29' - 6 t cos 2ct - 2r rr sin2o. = 0

5du.n

O =-O. +R-"2

(s 17)

(5.1 8)

(5.1e)

a)

adica direcliile 2cr, gi 2ao sunt cdogonale. Zo'=2a,+r'i2 respectiv dc =cr+:ti4. Direcliile

iensiunilor tangenliale din jurul unui punct sunt principaie, dacb fac unghiuri de 450 cu direcliile

tensiunilor normale principale. Directiile tensiunilor tangen!iale principale sunt bisectoare ale

unghiurilor formate de direcliile tensiunilor normale principale.Relalia (5.11) se scrie sub foi-ma echivalenta:

tno = cos2cr( _ 9t-52420 * r, (5.1 1 -a)

irlocuind ir iornula trigonrmetrica cos2cr -11 ,1 . '.t'2r rela{ia;5.17) rezultir:

)rCCSls.: l---:,------'

t(or-o, l*1t2",

Valorile tensiunilor tangentiale principale 11 gi 12 se gisesc prin inlocuirea relatiilor (5.17) gi

(5.19) in relalia (5.1 1-a), ob{inAndu-se:

Rezistenta materialelorRezisten!a materialelor

(s.20)

Starea plana de tensiLrne100 Starea planb de tensiune

suma tensiunilor normale pe doua secliuni ortogonale este un invariant:Dintre valorile tensiunilor principale, tensiunea principali unu este t, =

principalS doi este x2=rnia. Din semidiferenla expresitlor tensiunilor normale

relaliile (5.14) se obiin valorile tensiunilor tangentiale principale:

Tnax 9t tenstunea

principale date de

(5.21)

din acel punci.

in concluzie, in orice punct dintr-un corp deformabil existi doud tensiuni tangenliale

extreme, egale gi de semne contrare. Pe sec{iunile unde ac{ioneazd tensrunlle pnncipale t,2,

tensiunea normali este diferit de zero gi se determina cu relatia:

linAnd seama cd pe secliunile unde actioneaza

tangen{iale sunt nule, rela{iile (5.1 0) 9i (5.1 1) devin de forma

\s.22)

tensiunile normale principale, tensiunile

- relalia de dependenta dintre tensiunile normale principalenormale or, o, 9i t*, de pe doui secliuni odogonale este un invariant:

01 G2 = O" Or*ff,,

or gi oz gi

(s.27)

tensiunile

(5.28)

-O, rO, (I. -O6. - --J

I -- --- '.C0S2U,122

I o, 6. ^T-0--" ,"/sin2c

Ele exprima dependenta dintre tensiunile normale principale

ortogonale qi tensiunile de pe o fali inclinatS.

Remarca :

- direcliile tensiunilor normale 01 respectiv o2, analitic, se pot determina direct cu

rela!iile:

f -:------L,-tocr. - ^' I

Or -6,

5.4 Analiza pe cale grafic; a stdriide tensiune din jurul unui punct

Relaliile care exprima dependenla dintre iensiunile normale gi tangen{iale de pe o faia inclinatagi doua fe{e crtogonale care trec prinir-un punct (5.'10) 9i (5.11) se pot scrie sub forirra:

6" +6- O" -O-o,-T- -t !'cas20+rxz sin2s

(),, -t)- _

- -:sin?n-t,;OS2CX'2 '"''*

Ridicand la pbtrat membru cu membru gi adunand rela{iile ob{inute rezulta

(5 2s)

ln raport cu un sistem de axe ortogonal (on; rno), rela{ia (5,29) reprezinti ecua{ia unui cerc

cu certrul in punctul de coordonate t(o, -oz) 2' 0t gi raza R= \tlo, - o"l2 . r',r.cunoscut

sub denumirea de cercul lui Mohr pentru starea plana de tensiune (fig. a a) Acest cerc intersecteazd

axa Oo ir ounctele A si B cu abscisele egale cu mirimile segnentelor On 9i OB care se oh{in

geometrrc din relaliile:

(s 23)

(s.24)

care ac{ioneazl pe doui fele

(s.25)

oA=oc-AC-o' *o, -, F. * k -,2\21

oB : oc +eB = o' *o' *. if"' -o, )t2\'z

o\ +oz l' --, -l o* -o, l' --r'2 : "d-r. 2 1 "',

9r

01 -oxx*,

sau cu relaliile echivalente

Rezistenia materialelor

(5.26)


,_2f Lr7 -U1

Starea pland de tensiune

reprezentdnd valorile tensiunilor norrnale principale o'1 gi o2. Atunci cAnd punctul N, de pe cercul cu

raza e N se gisegte pe fala cu normala ,,x", starea de tensiune din punctul respectiv este caracterizati

de tensiunile ox gi rxz. In acest caz, coordonatele punctului N, geomekic sunt date de mdrimea

segmentelor N F - r^, $j 0F =oy Seg'nentul F0 se ob{ine geometric din rela{ra

Fe =0F-0e =o, -(o, +or')i2=(or_o,)12. Examinand figura 5,4 se observi cA

tgadN=NF7'Fe =2'r,,f(o,-o,), deci unghiul B6N=2cxo gi unghiul NAB=u6, Astfel se

desprinde concluzia cd punctul ,,N" de pe cerc se gisegte pe fa{a inclinata cu unghiul u care are drept

coordonate tensiunile on gi rna. Coordonatele punctului ,,N", geomekic suni egale cu mirimile

segmenlelor 0F si Nf . punctul ,,F" fiind proiec{ia punctului 'N" pe axa Oo, Din triunghiul

dreptunghic dreptunghic NCF se ob{ine:

Starea pland de tensiun.^

Expresiile segmentelor 6Fgi NF, coincid cu funciiile analiiice a tensiunilor de pe fa{a

inclinati on $i r,o date de relatiile (5.23) qi (5 24). Deci orice punct de pe cerc are drept coordonate

valorile tensiunilor on gi tno corespunzatoare unei secliuni inclinate cu unghiul s" dusS prin punctul

respectiv. CAnd secliunea se rotegte in jurul unui punct pentru a. [on;rno] punctul ,,N" de pe cerc, de

coordonate (on;tno) descrie cercul dat de relalia (5.29). ln consecin!i cercul lui Mohr pentru starea

plani de tensiune este locul geometric al punctelor de coordonate (on,tno) corespunzator

sectiunilorinclinate care pot fi duse printr-un punct. Se observd ca valorile maxime ale tensiunilor

tangenliale r sunt date de mirimile segmentelor 0C -iOC'] =(a1-o)12, Geometric, pe cercul lui

Mohr sunt regdsite unele rezultate demonstrate pe cale analitica:

- punctele A'Ei B'fiind pe diametru cercului, unghiul dintre secliunile pe care aclioneaza

tensiunile normale pi-incipale oi 9i o, este ni 2, adica cele doua sec{tunt sunt ortogonale;

- ordonatele punctelor ,A" gi .8" flind nule (tr =0 gi ta = 0) rezulta ca pe seciiunile unde

aclioneaza tensiunlle principale normale, tensiunile tangenitale suni nule:

- tensiuniie langenliale principale sunt ordonaiele puncielor , G' gi , G cu vaiorile:

eG---eG=Tz-i{o.-o)z

- sectiunile pe care tensiunile tangen[iale au valori maxime, fac cu sectiunile principale

unghiul n/4, fiind bisectoarele unghiurilor seciiunilor principale,

Cu ajutorul cercului lui Mohr se poate determina slarea plani de tensiune din jurul unui punct

in urmatoarele cazuri:

a) Se cunosc tensiunile ox,oz,rxz care aclioneazi pe doui fele ortogonale, se cere sise giseasci valorile tensiunilor normale principale 9i direc!iile corespunzatoare,

Cercul lui Mohr in acest caz se construiegte astfel:

- pe axa Oo la o scari convenabil aleasa se reprezinta segmentele 6N = o, gi ON'- o-

[/ijlocul segmentului NN, punctul C, este centrul cercului lui Mohr. Pe fala unde aclioneazi

lensiunea o,, tensiunea tangen{ial5 este pozitiva penku cd rotegte secliunea in sens orar (fig. 5.5).

- din punctul N se ridica o perpendiculari pe care se reprezinti la scarS marimea tensiunii

tangenliale tr, rezultdnd segmentul NM., . Punctul Mr de coordonate (o'trr) se aflS pe cerc iar

segmentul e M1 reprezenti raza acestui cerc;

- cu centrul in punctul C 9r raza e M, se conslruiegte cercul lur Mohr, car-e intersecteazi ara

Oo in punctele .A gi .B , rezultAnd segmentele OR = o- gi 6B - o,:- directiile principale ale tensiunilor normale o1 gi o, se ob{in folosind polul cercului.

Acesta este un punct de pe cerc "P" de cordonate (o. tr.) care se bucuri de proprietatea ciuninduJ cu orice punct de pe cerc, determini direclia tensiunii normale din acel punct. Astfel

dreapta definiti de polul ,,P" 9i punctul ,,M"1, reprezint; directia dupd care ac{ioneazi tensiunea

normala or. Dreapta care irece prin polul ,,P" gi punctul ,,M"2 reprezinta direc{ia dupi care aclioneaza

tensiunea normali o,. Unind polul 'P"

cu punctul ,,B" se obtine direc{ia tensiunii principale normale ot

Ei polul ,P cu punctul ,,A" rezulti direclia tensiunii principale o2;

103102

t.u' /-- \ /().."rl G*o)2 \"

aa

A--rurq q*, ,,/\'

r n.'

oa. 4.. >c.-e.

'n,n- 2

.a

q

Fig. 5.4

\ F - CN sinc, -- o'

^

o' sin2n - ,, ,,I

unde CN =AC =fdB-On)t2=(o1-ot)i2.

De asemenea marimea segmentulur O F , geometric este datd de relalia:

. 6,-las^ 6--(T^nr A^ ^r

" "t r " I4CCS2Cy.^=O-Vl -VVrU'--2

- 6. -02 ^^^o^. ^, A^ OS - 0n 01 + 02incareCF-CNcos2a=" ,-'

cos2u gi OC- 2 =:--2"1

L/,t'0 A' u 2cr Ba?^o_aao"itl'

t' -\ ,//\,/\/ \-<

Gj--- -.-'.-..a,o-n

Rezisten!a materialelorRezistenta materialelor

Starea plan6 de tensiune

Mr(q

rt-{--=7.-lt'lo,

Fig 5.5

b) Se cunosc direcliile 9i tensiunile principale o, 9i o, J se cere si se determine

tensiunile 6x, o-7, t,, de pe o fali inclinati cu unghiul a. Construclia grafica se poate urmlri pe

figura 5.4, unde toate mirimile au fost considerate pozitive. Penku co.nstruc{ia cercului se reprezinta la

siare pe axa Oo, valorile tensiunilor principale or = OB 9i o, = OA . Secliunile pe care ac{ioneaza

tensiunile normale principale o1 9i or, fiind ortogonale, punctele A 9i B sunt situate pe diametru.

Cent'ul cercului 'C este pozi{ionat oe axa Oo,la mijlocul distarrtei dintre punctele "A' 9i B 1n

consecinld, raza cercului lui Mohr egalS cu mirimea segmentului Aa = FE- OA)tZ=(o,-or)tZ'

Abscisa centrului ,,C" este mirimea segmentului Oe =68-eB =or -(ot *or)tZ=(o1*o2)12

CunoscAnd pozilia centrului ,,C' 9i marimea razei R=CA=eB, se poate construi cercul lui Mohr'

pentru a determina valorile tensiunilor de pe felele ortogonale rotite cu unghiul ,,cr", prin centru cercului

se duce diametru [I,M'2, care face cu axa Oo +ll1AB=2cx.. MArirnile tensiunilor ciutate se oblln

geometriccaflind ON =o*, 6N'=o, 9i M.,N = t^2, punctele,N'9i ,N"'fiind proiectiilepunctelor lU,

, respeciiv M, Pe axa Oo;

c) cunoscSnd tensiunile: ox,oz,xxz dintr.un punct de pe doui fele odogonale, si se

deterrnine tensiunile o'r,c'r,I'r, de pe alte doui felele ortogonale, rotite cu unghiul u, fali de

primele. Raportat la un sistem de axe ortogonal o*t,5s 66nsyuiegte cercul lui Mohr ca in cazul a,

iflg. i.6f Pentru a determina tensiunile de pe felele ortogonale inclinate cu unghiul cr' se misoara

arcuf VE = 2cr. NotAnd cu E', proiec{ia punctului E pe axa Oo 9i cu F', proiectia celui de-al doilea

capit al diametrului, valorile tensiunilor de pe felele ortogonale rotite, rezultd geometric prin masurarea

Starea olana de tensiune

segmentelor :

O f '-o; Of ' 6'2 si FF'- t^,

r]. tr z---.---': L4

,'- \',,'

t,

(1.

sx

o

Cr2oNv o '_*t

/t- t

Fig. c €,

5. 5 Traiectoriile tensiunilor principale

in punctele A + D, aflate pe gaiba in stare plani de tensiune sunt cunoscute direc{iile

tensiunilor normale principale or , care fac cu direc{ia axei Cx unghiurile or =cxD cu valori diferite,

Duc6nd tangente la direc{iile tensiunilor normale principale 01 se obtine linia poligonala ABCD,

infiguritoarea liniei ABCD, care marcheazi direcliile principale unu in puncte succesive, se

numegte traiectoria tensiunilor principale or sau izostatica de spela intaia (Sr). Curbele

tangente la direcliile tensiunilor principale 02, se numesc traiectoriile tensiunilor principale o,sau izostaticele de spela a doua ( Srr ). in orice punct, tensiunile nomale principale aclioneazd pe

sec{iuni ortogonale, deci 9i traiectoriile (izostaticele) celor doud tipurl de tensiuni principale sunt

oftogonale, caracterizand starea de tensiune din elementul respectrv.

lzostaticele de spela i-a prezinti un lnteres deosebit in cazul elementelor de beton armat,

indlcAnd traseul ideal al armdturilor pentru preluarea iensiunilor de intindere, Fie z=z(x). ecuatia

curbei (1) care trece prin punctul ,,M". Panta la curba in punctul ,,M" se exprima matematic cu relatia;

r0510"1

-ttt

Lro ? I_lfU.

!Ba 6

dztocl=--z"dx

fin6nd seama de relalia (5 12)qiformula kigonometrici tg2u =Ztga.lh-q2a.)se obline :

Rezistenta materialelorRezistenla materialelor

r06 Starea plana de tensiune Starea plani de tensiune 101

a) traiectoriile tensiunilor tangenliale principale definite analog ca cele ale tensiunilor

normale principale. Ele intersecteazi izostaticele sub un unghi de 45c. Ecua{ia diferentiala a acestor

traiectorii este:

(5.32)

b) izoclinele se definesc ca fiind locul geometric al punctelor din plan unde tensiunilenormale principale au direc!ia constanti. Direc{ia izoclinei este data de unghiul pe care acesta il

face cu axa barei, avdnd valori cuprinse intre 0":90', cunoscut sub denumirea de cota izoclina.

lnlocuind in reialia (5.12J u cu ,,n". rezultd ecualia izoclinelori

2tqo 2z' 2, ,,l^)N -'Y'* '1 - tg'o 1-20 o' - oz

Din egalitatea ultimelor doui rapoarte, se obline ecua{ia diferenlialS;

) o"-o, ,z" r -L:t z'-1-0r..-

Aceasta constituie ecuatia diferentialS a traiectoriilor, cu solu{iile

(5 30)

(s.3 1 )

(- - 2

u,-oz, lo.-0zl ^L -- r.l I : r2r \ ?r t\ -''1

i_ ^,il ur-U7 I _2 llrd

ll- 2 )'"'='t

o Srt

(f..^, 01

AB

Fig. 5 7

Rela{iile (5.31) reprezinti ecualiile diferentiale a traiectoriilor tensiunilor principale o, (cu

semnul+) gi o, (cu semnul - ),

Familiile traiectoriilor izostaticelor se bucura de urmiioarele proprietili:- au directii cvasiradiale in cazul for{eior concentratej- sunt aproximativ paralele in zonele cu solicitdri constante sau cu varialie micd;

- liniile de contur pe care nu sunt aplicate fo(e tangentiale constituie traiectorit ale tensiunilor

normale principale,

5" 6 Alte linii ale tensiunilor principale

O imagine completa asupra sidrii de tensiune dintr-un element este data de o serie de linii

relative la tensiunile orincipale. Din aceasta categorie fac parte:

ci izocromatice sunt definite ca fiind locul geometric al punctelor din planul elementuluiunde diferenla dintre tensiunile normale principale este constantd, adici: 01 -02 =const.lzocromaticele se pot clasifica in:

- izocromaiice de ordinul intai. cAnd: 61* o2 = a,

- izocromatice de ordinul ,,m", cAnd: or - 62 = ma , .,m" flind un numar intreg.

Ecua{ia generalS a izocromatelor este:

iJ,JJ,i

(s 34)

d) liniile izopahice (sau de sumi egali,) sunt liniile in lungul cirora invariantul stirii detensiune l, este constant: l. = o. + o, = gsns1,.

Ecuatia retelei de linii izopahice este scrisa sub forma:

Ox +Oz =Sa

unde ,,s", este un numdr intreg pozitiv sau negativ.

Alv-1.

Se considera starea pland de tensiune definiti prin tensorul tensiunilor:

; 1600 7001T- = rdaN/cm:l' .700 900,

Sd se determine analitic qi grafic valorile 9i direc{iile tensrunilor principale, normale qi tanqentia{e

Rezisten[a materialelorRezisten{a materialelor

Starea plani de tensiune 109108 Starea planS de tensiune

Rezolvare

ldentificAnd componentele lensorului tensiunilor dat de relalia (5.2) se ob{in tensrunile normale 9i tangen{rale

de pe feleie cu normalele x gt z ale unut pdtrat elementar (frg. 5.8-a):

o " - 1 600 daN/cmz; o, = 9gg 62p7,1*z r,, = r,x = 700 daN/cm2

. Tensiunile normale principale

Valorile tenstunilor normale pnncipale sunt:

o -6' 1 ,- - \lo. - : ',O.-6.1-4tT'' 2 2'

decir o, =20326 daN/cm2 9r or=467,4 daN/cm2.

= o,, =14TQt].ifroco-soof .+'zoC

68=oz =1,87.

o.l1r"

tull --i--ll.G, 'l r',1 I -",il i il >

't. I rri It;l I[

Tao,l

o2

ITd ry

Ir

It-l,

2.

l^

5+:

T,o^

Ir

tri^ qo

o,

5 q-'

oiG)

Drrecliile tensiunilor nonnale principale sunt precizate cu relalia

a- a._7nn^ zt.- L\lvvrc2ct-

-.. -2 -> 2o a'crg2-634 t o.-31.72 s &- -31.77 ,9A" -"2'72" o -o- 1600-900

Tensiunjle ncrmale prrcipale gr direcliile acesicra srnt piezentaie 1n figura 5.8 b.

. Tensiunile tanqentiale principale

Valorile tensiuniior tangenlraie princrpale sunt:

_ 6.-o.z ,24326 a6itr. -79l $ l6'lr6a:'?)

Tensiunile tangen{iale prncipale ac{ioneazS dupi directiile:

rg2o- 9---o' =- 1600-900=-o.o -, ?o - arcrg(-0.50J 2656 r ry -'328 9r" 2r ,, 2, 70A

d: =-13,28'+94' = r-6]2'.

Tensiunile tangen{iale pnncipale qi direc{iile acestora sunt prezentate in figura 5.8-c.

Analiza qrafici.

Grafic, valorile tensiunrlor principale se determrnd cu ajutorul cercufui lui L/ohr (fig. 5.9). Pentru reprezentarea

graficb a tensiunilor se alege scara 1:250, (s = 250 daN/cm:). Transformate la scar5, tensiunile normale qi tangenliale

vor avea valorile:

o, = 6,40; o. - 3,6C; t,, = T,, = '1,80

.

ln sistemul de axe ortogonal (o, O, r) se reprezintd starea de tensiune din punctele Mr (ox = 6.40 , t' = 1,80)

grMu (o.=3,60; t*=-1,80),depedoubfe{eodogonale.Segmentui lfil'/2 intersecteazaaxaOoinpunctulC,care

reprezinticentrul cercului lui Mohr.Puncteledeintersecfiaacercului cuaxaOo.Agi Bauabscisele. OA=o,=813 ii

?/,

a) b7

Frg. 5.8

Valorile tensrunilor tangen{iale pnncipale se ob{in prin masurarea segmentelor gi au valcrile e f = t. =: r: iieE'=-:le Direc{iile tensunilor normaie principaie se oblin rninc polui P cu puncieie A gr B de rnterseclie a cercuiLr

cl axa Oo. Drrec\ra iensrunii prncrpale normale c;. coincide cu direclra drepter care trece pi-in punctele P giA, iar

-iLlIt_^^^I Ur:J bUi -:,,

/---q

A

>

Rezisten[a materialelorRezisten{a materialelor

110 Starea plana de tensiune

drreclla tensiunii normaie prnctpale 02 coincide cu direc{ra dreptei care trece prin punctele P qi B. Valoarea

unohiului crr, care exprimd direclia tensiunii normale principale <rr , se obline din triunghiul dreptunghic A PDA:

's" -

30, - "'_;, ,,#t* -0618 -> o, -a.crs0618 3",72 si

cr2 = i DPA+< ltPB= 31/2' +90' =121,72"

Dii'ec{rile tensiunrlor tangenliale princrpale 11 gi r2 sunl brsectoarele unghiurilor formate de direc{iiie tensiunilor

normale pnncipale o, $j o2.

I'lulliplic6nd cu factorul de scard valonle obtinuie prin misurarea segmenlelor din c0nstruclia grafica se cb{ne.

o. -dxOA =250x8,13=20325 daN'cm2 o, =d. 06-250 <1,87=467,5daN/cm2

r, - d C E = :50 . 3 13 = 7g!,S i2\/6pu r, - dx C F' - 250x(-3,13J= -792,6 621t1t5nir

Starea planS de deformalie

STAREA PLAN.A DE DEFORMATIE

6, 1 Formularea problemei

Starea de deformatie dintr-un corp este plani, daci orice punct al acestuia, sub actiuneaincircarilor, se deplaseazi paralel cu un plan, denumit planul deforrna!iilor, deplasirile fiinciindependente in rapod cu distanla de la punct la planul de deformalie, Aceasta stare de

deformatle este intalnitS, in cazul elementeior de constructie care au o dimensiune (lungimea) mare in

rapon cu celelalte, secliune constanta ,n lung gr lncarcare disuibriiS uriforn dupa Iungime. irca'carilepot varia in planul deformatiei, de exemplu presiunile reactive de pe talpa fundaliei continue (fig 6.1).

Pentru orice tronson de lungime unitard din fundalia c0ntinua, se 0bserva cd deformaliile se

dezvolta in planul sec{iunii transversale, numai dupd direc{iile y gi z. Deforma{iile specifice longitudinale

sunt impiedicate de tronsoanele de funda{ie vecine. DatoritS incdrcdrii uniforme in lung, luneciriledintre doui plane paralele vecine cu planul de deforma{re, sunt nule: },,r = lzx = 0. in consecinlS gi

tensiunile tangenliale sunt nule: T7" - rr. - Q.

Tensorul deforma{iilor pentru starea plana Ce deformalie esle deflnit de matricea,

/a { \\u 1/

lmpiedicarea deformaliilor dupd axa x duce la apari{ia tensiunilor normale, starea de tensiune

fiind spa{ial5. Aceastd stare este definitS de tensorul tensiunilor:

6

-lt.rI c -vI 'Y riZ!T _I Z 1. -i i l

ItY" ez ]

To 6.v

0 ^tyz


(6 2)

Starea plana de deforma{ie

Fig.6.1

in concluzie. in starea plani de deformalie, starea de tensiune este spatiali.

Deplasarile elementului structural aflat in stare plana de deformatie se produc numai in plane

paralele cu planul deforma{iilor (yOz). Astfel, aceast5 stare de deplasare este definiti de tensorul

deplasarilor:

Starea planb de deformalie i ti

siari de tensiune simple:

a) cind pe felele elementului detagat aclioneazi numai tensiunile norrnale pozitive:

oy,oy,oz. Tensiunea normala ox, produce:

- o deformalie speciflcl liniari dupd direclia x: e, = o, I'E;

- o deforma{ie speciflc5 liniarddupd direc{ia y; ei =*vei =*\/ox,,'E,

- o deforma{ie specificd iiniard dupi direciia z: e I =-1,gi - -vox/E,Analog, tensiunea normali o, produce deformaliile liniare specifice:

ef -o, E: c) --r'o, E, eY--r'ou E:

iar tensiunea normala o,L .' - S - -

\'-t7 -u7/L t^ --ru- L Lr' --vuZ L

z\

J-J,/o

Fiq.6.2

Pe felele elementului ac{ioneaza simultan tensiunile normale: ox ;oy , oz . in consecinla

deforma{ia specifici liniara totala dupa direcliile x, y 9i z se obline aplicAnd principiul suprapunerii

efectelor:

. -/ ,.v -t - tr vo. E_vo,/E:ax-a/TtlTar-ur L- , L

< L vr L rr* /La, a_ ray a1 ty L-\u..L-\9? -.

F =Fr-F\-rY-n F-vo /E-vo. /E:

., =l[o, -u(ou *o,)];tr

lv IT. =1 l" l*l (6.3)

6. 2 Legea lui Hooke generalizati

Dependen{a dintre tensiuni gi deformalii pe domenrul de comportare liniar-elasticd a

materialelor este dati de legea lui Hooke, exprimati sub forma:

- ox = E€x- pentru intinderea sau compresiunea centricd,

- Tr, = GYr. - Peniru forfecarea Purd'

Studiul dependenlei dintre lensiunl gi defoma{ii, se realizeazA prin deta$area unui element de

volum, din jurul unui punct ,,M'(fig. 6.2) dintr-un corp aflat in stare spatiala de tensiune, datoriti

ac{iunii unui sistem de for{e in echilibru. Pe fe{ele elementului de volum detagat se reprezinti

tensiunile care aper ca efect al pir{ii indeparlate. Starea de tensiune oblinuti se descornpune in dcui

Rezistenta matenalelorRezistenla materialelor

Rela{iile (6.4) sunt cunoscute sub denumirea de Iegea lui Hooke generalizati, pentrutensiunile normale. Defcrma{iile speciflce unghiulare se produc numai in planurile in car-e ac{ioneazd

tensiunile tangentiale rezultAnd:

Star-ea pland de deformalie 115

1-ve,. Unghiul dintre diagonalele patratului elen'rentar ini{ial drept, se micaoreaze cu .7,-. Axa ,,x",

flind axa de simetrie, + Al,4C , inainie de deformare este egal cu nl4 , iar dupd deformare are

marimea +A'MC'= nl4-1,r12. JinAnd seama de dimensiunile + A'lMC', dupd deformare, se

poate scrie relalia;

2l-MC' (1-e,Jl2 t-t^ (6 7)

Exprimand funciia tangeniei diferen{ei unghiurilor ni4 9i ^y*rl2 cu rela!ia ti'igonometricd

cunoscutS, ob{inem:

,nI A a ) 1, t^-llr^", laa L , 1T rg/ri a(9 lxz r 4

tgnl4-lgy,l2

Starea piani de deformaiie

.u =l[o, -vio, +o, )];t

r. = :[". -u(o, * ou )] ,

tyz

(6.4)

(b,5)

", /*, I /t

tOA lVlU -10 --" "'4

Trv

rrv- G

T,- rix7bt

ft _"lxz * 1-y.rr l2- 1+yrrl2

(6 B)

relaiii cunoscuie sub denumirea de legea lui Hooke generalizata pentru tensiunile tangentiale.Relaliile (6.4) 9i (6,5) constituie legea generalizati a lui Hooke.

Legea lui Hooke generalizatri stabilegte corespondenta biunivoci intre tensoruldeformaliilor t 9i tensorul tensiunilor To cu relalia: I =f(To), unde funclia f are o varialie

liniari. in cazui stdrii plane de tensiune, linAnd seama de faptul ca ov = 0 , tu. = 0 gi tr, = 0,

legea Iui Hcoke genei'alizati se exprir,ra sub foi-ma padicularS:

I r I - .,.- \, ^ \'/-e, --(o,-r'or) cr='(rz-\u) J, .u- .-ru,-or)

trtrt(6 6)

Deformalia specifici liniara dupa direc{ia y

tensiune, starea de deformalie este spa{iali.

fiind,'eu * 0, rezulta c;, pentru starea plani de

6. 3 Dependenfa dintre constantele elastice E, G giv.

intre caracteristicile mecanice specifice fiecirui material: modulul de elasticitate longitudinal E,

rnodulul de elasticitate transversal G gi coeficientul lui Poisson v, exista o relalie de dependen{4.Pentru a deduce aceasta rela{ie, se considerd o gaiba aflata in stare plani de tensiune, din care sedetageazi un palrat elementar din jurul unui punct ,.M". Starea de tensiune din jurul punctului respectiv

este deflnitd de tensiunile: o* > 0; oz = 0; a,z = rzx = 0 (Saiba este solicitata la intindere

centrica). Deoarece pe fe[ele ortogonale ale pitratului elementar tensiunile tangenliale '!*, - rr, = 0,

rezulta cI tensiunile normale ox $i o.2, sunt tensiuni principale: 01 = ox > 0 gi o2 = oz = 0.

Direcliile 'x'gi '2" dupi care ac{ioneaza tensiunile principale, reprezinti direciiile tensiunilor normale

principaie. Tensiunea tangenliald maxima rmax , actioneaza dupa bisectoarele unghiuriior formate de

direc[iile principale gi are valoarea r*r, = (or -o) 2= o,i2 (flg. 6.3).

Sub efectul tensiunilor normale o. patratul elementar se alungegte dupa direc{ia ,, x",

atingAnd dimensiunea 1+e, gi se coniracte dupa directia axei ,,2,, care dupi deformare devine

('rY

,l

Fig. 6.3

EgalAnd rela{ia (6.7) cu relalia (6.8) 9i efectuand produsul mezilorgr al extremiloroblinern;

',1"'41= )'"-vr-,-i"r,tr, =1-YY Ic,- cyy,.

Neglij6nd inflni{ii mici Ce ordinul doi (termenii care con!in produsul a doud deformalii) 9igrupand termenii, rezulti relatia;

y*, -er(1+v) (6.e)

unde 1,, este lunecarea din planul MA. JinAnd seama de legea lui Hooke gi de faptul ci planul MA

este bisectoarea unghiului dintre planurile in care ac{ioneazi tensiunile normale principale rezultd:

, _T,,I<7 aU

1 ,,.tfL r

Rezistenla m aterialelorRezistenta rnatenalelor

116 Starea pland de deformatie

]-l r ,", 2or\z_tft4_ G

_ G G

De asemenea, in baza aceleiagi legi se poate scrie:

e, = o*/E

inlocuind relaliile (5.'10) 9i (5.11) in relalia (5.9) cb!inem:

(6.1 0)

(611)

10, rll

Relalia (6 12) exprima dependenla dintre cele trei caracteristici mecanice. lndiferent de natura

materialului,indomeniul decomportareliniar-elasticseobservicS: G(0,5E.

6. 4 Deformalii specifice principale. Directii principale

5. 4. 1, Deforma!ia specifici liniari dupi o direc!ie oarecare

Printr-un punct 'M" al unui corp aflat in stare pland de deformatie se duc doui segmente

elementare ortogonale, dx, dy gi segmentul elementar ds, care face cu direc{ia pozitivi a axei ,.x"

unghiul cx. Segmentul elementar ds este diagonala dreptunghiului elementar (flg. 6 a)

Sub ac{iunea incarcSrilor se modifici atdt forma dreptunghiului elementar MBCD cAt qi

mSrimea unghiului cr. PresupunAnd c) punctul ,,M" se men{ine fix, sub ac[iunea tensiunilor normale

or gi o'r, segmentele elementare se alungesc cu cantitS{ile Adx = exdx gi ldz = e ,dz, astfel incat

punctul B ajunge in B' gi punctul C in C'. Datorita acliunii tensiunilor tangen{iale t.r, latura d D" se

deplaseazi in raport cu latura ME, considerata flxi cu cantitatea:

e,e = D'-D- = y*, (1 + e, )dz

De asemenea se constati ci punctul D ajunge in punctul D', lungimea segmentului

elementar tr/D Oupa deformare este:

M D",=ds+Ads=(1+e,)ds

Admi{And ipoteza micilordeplaslri, se considerd ci dupa deformare, triunghiul MC'D" ramdne

dreptunghic, deci intre Iaturile acestuia existi relalia:

Starea plan6 de deforr-nalie

\A D-2 = f,lT'2 + A'n'"2 (613)

MT-=(t+e.)os, Me =(1+e.)dz si e'-V =[1t+e ,)dx+1,.(1',-c,)dz)

inlocuind expresiile segmentelor: MD-, N,{e' qi d-D- in relalia (6.13) rezulti:

('1+er)2ds2 = [('1+er)ox+ "yrr(+er\zf2+11+ trl2dz2 (6.14)

impS(ind relatia (6 14) prin ds2 gi iinAnd seama cd: coss=,ixi'ds 9i srnu=dz7'ds, aceasta

devrne

unde

(t + e. )2 = (t + e, )2 cos2 u + 2y,, (1 + e* )(1 + e, )sin cxcosu +

+ "11,(+ t r)2 sin2 cr + (1 + e, )2 sin2 a(6.1 5)

linind searra de rela{ia trigonometrica; sin2 cr +'cos2 cx = 1 $i de faptul cit' t!, "yi,, ,i, t|,ere., sunt infini{i mici de ordinul dol, relalia care exprimi dependenla dintre deformatia specifica

dirijati dupa o Cirec{ia ,,s" care face cu axa,,x" unghiul u gi deformaliiie speciflce €x, €.2 gi Yxz esie:

dx -{dx

B B X0

7t

N-r

(,JjN-o<

ts = tx cos2 cx+e, sin2 u+ y' sinucosu

E

,Gt


sau in raport cu unghiul 2n


(6.1 6)

6,4.2 Lunecarea dintre doui direclii ortogonale inclinate cu unghiul o in raport cu axa x"

Consideram un punct,,lvl " de pe suprafata unui corp deformabil prin care se duc segmentele

elementare os gi dr, odogonale intre ele, care fac cu directia ,,x" unghiul s., respectiv ri+90" (fig.

6 5). Sub ac{iunea incarcarilor unghiul drept dintre directiile ,, s " gi ,,r" igi modificd valoarea cu mdnmea

Ay,, - y + 7 unde ]" = tg] qi l, = tg-1, .

Se demonstreaza ca intre deformaliile specifice liniare e' e, gi unghiulare 1*, gi deforma{ia

specificd unghiulari 1., dintre doud directii ortogonale,,s" gi ,,r" inclinate cu unghiul cr fatd de axa,,x",

existi rela{ia de depencienli:

(6 18)

MXF\/ -----os u/ -\r

x!,/ - ^n'* '3 \s

i \s'.'it/r . t7r t*

Fig.6.5

6. 4. 3. Direcliile principale, Deformatii specifice principale

in jurul oricdrui punct dintr-un corp aflat in stare plana de deformalie, existi doud direc\ii

orlogonale, care nu-si modificd unghiul dintre ele (lunecarea specifica este nuld). Deformatiile specifice

liniare care se dezvolti dupi direc{iile respective au valori extreme, numindu-se deformatii liniarespecifice principale. Aceste deformatii se noteazi cu e1 gi s2, cu conventla ca in valoare algebrici

11 >12, adica x1=tru, gi t2 =€mtn, Direcliile dupi care deformatiile specifice liniare cu valori

extreme se numesc directii principale, determinandu-se cu relatia:

Starea plana de deforma{ie

Valorile deforma{iilor Iiniare specifice principale sunt date de expresiile:

i',,=tF*]G -e,)2 +4(y,,f2)2

Lunecirile speciflce principale ^/1 = ymax gi yz = ]m,r se evalueaza cu relaliile

,-1,r.2-i1 (e, tr)'+\iz ^^,. 1., _.+- J5dU l\) j\r1-.i/

'-f(5 21)

Deformaliile specifice unghiulare principale din acelagi punct au valori extreme dupibisectoarele unghiurilor direcliilor deformaliilor liniare specifice principale.

Deformalia specifica liniard e. dupl o direclie inclinata cu unghiul cr in raport cu direciia

deforma{iei liniare specifice principale e, se determina cu rela{ia :

Starea plana de cieforma{ie

Fr@ (6.1 7)

(6.20)

F, - | C.-trr - -"-asl(t.'22

Lunecarea dintre doul direclii ortogonale .,s" 9i ,,r" inclinate cu unghiul udeformaliei specifice principaie e, este:

(6.22a\

fali de direclia

il--{'-=Firr"- (6.22b)

in cazul analizei experimentale a starii de deformalie din jurul unul punct esie dificil de masurat

valoarea deformaiiei specifice unghiulare. Drn acest motiv penku evaluarea valorilor deformaliilor

specifice principale e1 gi e , gi a direcliilor dupi care actioneazi acesiea se utilizeazi relatiile:

(6 23)

unde: e,r. - este valoarea deformaliei specifice liniare dupa bisectoarea directiilor x.z care face cu

direc[ia,.x, ungniul o -45",Valoarea deforma{iei specifice unghiulare din punctul respectiv se evalueaza cu relatia:

;---t;- r" l;lI rYZ ac45 \LY Lz,l

-1-:- - -' ' ', stn 2u - I ., cos 2cr12 2 2 l

sau direct cu relaliile


(6.1 s)


(6 24)

120 Starea plana de deforma{ie

6. 5 ,Analiza pe cale grafici a stirii plane de deforma[ie

Anailza pe cale grafici a starii plane de deformalie se realizeaza cu cercul lui llohr deflnit de

relalia analitica:

Starea plani de deforma{ie 1)1

b) se cunosc direcliile gi vaiorile deformatiilor specifice liniare principale e1 9i e2, se

cere si se determine valorile deformaliilor specifice: t",t7,]y7, relative la un sistem de dxe

rotite cu unghiul o..

Pe axa Or, se conslruiesc segrnentele OA - e' gi bB -e . Raza cercului lur lvohr esie

marimea segmeniului AB/2 - (OB -m)/Z =(q -t),2. Cunoscdnd pozilia centrului C 9i marirrtea

razei, se poate construi cercul lui lr/ohr (fig 6.6). Se duce diametrul MM, care face cu axa ds,

unghiul < MCB = 2s. Proiectdnd punctele M gi M' pe axa Oe. se oblin punctele N gi N', rezultAnd

segrnentele O^'t'-e , Or,--r MN-7, 2.

6.6 Deforma{ia specifici de volum

)efoimalia spec,flca de volin se definegre ca {iir,d raportul dir lre variai,a re /LlL1 a,r" t;ivolumul ini!ial dVcu reia{ia:

(6.26)

Pentru deducerea expresiei cieformaiiei voiumice, se considerb un paralelipiped infinitezifl'lai,

cu laiurile dx,dy,dz, a cii'ui volum este (fig. 6.7):

dV=dx dy dz

Sub acliunea tensiunilor normale o, > 0, ou > 0, o, > 0 , paralelipipedul inflnitezimal se

deformeazi si laturile lui devin: (t + e, )ox, (t + e, )Oy (t + e, )oz "

Dupi deformare. volumul acestuia se evalueaza cu relalia:

dV, = dV + A(dV) = (l + e, )(1 + e, N1 + e, ) dxdydz = (1 + e* )(1 + eu Nt + e, )ov

DezvoltAnd parantezele expresiei precedente se obJine:

{1 ir\ l{i tc, {1 +e, )-'1 - Ie , +cy +er)t (c,r:, 1tf t=rrcr)- crt,s,

Astfel, varia{ia de volum a paralelipipedului inflnitezimal se poate exprima sub forma:

A(dv) = dv1 - dv - lr, + €y + €z+ (ere, + ere, +ere* )+ rrere, lov = (e, + e, + e. )dv $,27)

unde s-au neglijat produsele dintre deforma{iile specifice care sunt infinili mici de ordrnul doi gi lrei

inlocuind rela\ia (6.27) in rela{ia (6.26) oblinem:

[" -= )'.[?i' =('? )'.[?)'/" *" \

cL centru c de coordonate [' f

;0.J iiraza R -;ri= Iqty,- zl

(6.25)

Cercui lui Mohr permite rezolvarea graficS a urmdtoarelor probleme:

a) cunoscind valorile deformatiilor specifice dintr-un punct e,,€r,1,r, se pot determina

valorile deformaliilor specifice liniare principale €1, 12, directiile acestora, cAt gi vaioarea

lunecarii specifice maxime "7,,,r, .

in acest caz cercul lui Mohr se conskuiegte astfel: pe axa Oe, se reprezinti la o scara

convenabrl aleasa segmentele ON =€^ gi O N'=ez. Abscisa centrului cercului lui lv'1ohr, geometric

reprezinta mirimea segmentului OC = (Ott r0Lt')12 = (r, + r,) 2.

Se ridici din punctul l'.1 perpendiculara pe axa Ce , consiruindu-se segmenlul N lv1 = 1r. ,2,

Cu centrul in punctul ,,C" 9i raza CM se construre$te cercul lui Mohr, care intersecteazi axa Oe in

punclele ,A' 9i .B'. Valorile deformatiilor liniare principale specifice sunt date de segmentele OA = ez

-=9l UB - E1 (Ilg, b,b),

Polul cercului lui Mohr .P", se gdsegte la intersec{ia pe cerc a paralelelor duse la direc{iile

deforma{iilor specifice liniare e' respectiv e. prin punctele-M" respeciiv M', Unind polui P cu

punctele,B'gi ,.A', se ob{in direc{iile deforma!iilor specifice ilniare principale e, respectiv e2. Acestea

fac cu directia deforma{iei liniare speciflce e* unghiul u,, respectiv az=ut+n12, Valoarea

deformaliei unghiulare specifice maxime este data de mdrimea segmentului EC ='/.u,.

t€a\) 2

€z

t

Fig. 6 6

rt?) qt'.::lle- *1^r,:,'al

dru^.

Rezisten!a materialelorRezistenla materiaielor

127 Starea plana de deforma{ie

€V=€r+Ey+€z=e1+€2+€3

AvAnd in vedere relaiiile (5.4), care exprime dependen!a dintre

(5.28) poate fi exprimati sub forma:

(6.28)

lensiuni gi deformatii, relalia

(6.2e)\r -

-{('r

+6. +O.t

zl 7L (t*e") dy

qlN

(I.v

x/,

v

o,l'x!

\'^

Fig" 6 7

JinAnd seama de faptul ci suma tensiunilor normale constituie invariantul

11 =o.1 +02+o.3=Ox+Ov+Oz

relalia (5.29) se poate scrie sub forma mai simpli:

expresie analogZ cu cea a legii iui Hooke pentru problema monoaxialS.

6. 7 Alte forme de scriere a legii lui Hooke generalizati

inlocuind expresia invariantului (6 30) in rela{iile (6 4) acestea devin de forma

., =i[o, -u(o* +ou *o,)*"o,]=l[(r*ub, -ul,J

(6.30)

dz

dy

dx

/.6^/7

'r l

+l

. lc/-

//o^ "

"v -.v


Starea pland de deformatie

., = lb, -u(o, *o, *o.)*r,or]=

., - I lo, -v(o, r ov - o, )- uo, ]=x

e, =l[(t+v)o* *vt,h

., =: k1 + v)ou - r,tix

4

e- =ll(1+v)o- -r'i"tr

1,1=;lot -v(o2 +o.3 ).

Er/o. =1_l [€, +v{€, +ey

1[t*u1o, -ut,];t

][(t+u)o, -r,t,l;t-

Sau

De asemenea in rapod cu sistemul de coordonate paralele cu direc{iile tenslunilor normaleprincipale o-1 ,o,2, or , legea lui Hooke generalizati devine de forma:

)ri, =1ir. -vlo. +o"f].

(6.31)

(6 32)

Legea generalizata a lui Hooke poate fi scrisa Ei sub forma explicita cu privire la tensiuni:

][o, -u1o. -o,;L

Err'rl= 1_l Le, + v(ev + sz JJI;

121 Starea pland de deformalie

6.7.1 Parliculariziri pentru starea plani de tensiune gi starea plani de deformatie

in cazul particular al stirii plane de tensiune, la elementele plane care au incarcdrile paralele

cu planul median gi distribuite uniform pe grosime, se poate considera o: = 0. Direclia principala trei

flind normali pe elementul plan, direciiile principale unu gi doi sunt cuprinse in planul median, iar

rela!iile generale (6 31) dev,n:

f---'-- - lcr--f{or .or)

Pentru cazul padicular al corpurilor pr-ismatice sau cilindrice foarle lungi, supuse la ac{iuni

uniform distribuite in lungul elementului gi normale pe direc{ia acestuia, fagiile unitare cr.icgonale pe

axul acestuia sunt in stare plan6 Ce deformatie. deci e,. = 0 Astfel din relatiile (6.31) se obtine:

Starea pland de deformatie i25

AV1.

Se considerd starea planS de deformaiie definitd prin tensorul deformal llor:

-1La 3aT_ 1''3a 9,

Si se deterniine valorile gi direcllile deformaliilor liniare qr unghiulare specifice principaie gi direclii{e acest0ra ,

analitrc Ai grafic.

Rezolvare

ldentlficind comp0nenlele tensorului deforma{irlor spectfrce dat de relalia (6.1) cu cele ale lensorului dat, se

oblrne:

e*=14a, e"-9a, 1,.=6a

' Deformatii specifice liniare principale si directiile acestora

Valorle deforma{iilo;'specfice principale lintare, suni date Ce relaitle:

+ ]1,, -, r I ,!U.f jr,,,.-F ,ri ,..- s-r" e r -,,-ea

Drrecliile deformalirlcr lniare speofrce principale e1 gt a1 suni precrzate oe rela!ille

F;=;G;-";IlntroducAnd relatia (6.33) in rela{iile (6.31) rezulta:

(6.33)

(6.34)

\l

€"9a

€,=7.5e9 E

6reL\a"f14- -

Lr (s,, 11,,

Fig.6.8

1t

L-vo, -v2(o, *or)]=

tr

1-r,2/ v \,__ I 6-itr \ r-v .l

1-v7 v , '-v2 I r' \.,= r \o-*1_u02 l9l tr-

E lor-1-uorrlnA

,s.e,

I

- a.'u rautN' t N'

Lltr, ", i

e =rs,qi,

directia $,

i. - t .a1d

i':o

d,,-"9cn^ ''t =-7 R?2

t, .\

lntroducirnd in rela{iile (6.34) notaliile - r (l-t'') gi r'6 -v,{l-1') acestea devin:

., =lro, -v3o2l 9i e , =;f 1o, -r',o,.1tro tc

Rezisten{a materialelorRezisten{a matenalelor

I 2{r

iq2u= -]':= i+ =\2 = 2u-arctg1,2=50,19' = or=25,10' $ o:=25,1'+90' =i15,1''' t^' a, 1Aa-ga

. Deformatii specifrce unqhiulare principale si directiile acestora

lVarlmile deformalirlorspeciflce unghiulare princrpale sunt.

yr,r =t(sr -tr)=t(15,41a-7,59a) +'!t =1,82a 9i ^lt =-7'B2a

Graflc valorile deforma{iilor specifice principale liniare gi unghiulare se determ nb cu ajutorul cercuiui lui Ilohr.

in sisremul oe axe ortogonal (a;f /2) se reprezintd segmentele ON -e, =14a 9i CN'=e, =9a. Punctul C, care

este rnljlocul segmentllui N'N'.reprezintb centrul cerculut lui Mohr (fig 5 B) cu abscisa

36=n]i -1aa:!1-11,5a. Punctele A gi B de intersec{e a cercului lui lr4ohr cu axa ot, au 3bscisele.22

OA - E: = 7,5-qa 9i OB - r, =15,41a . Perpendiculara in punctele N gi N' pe axa Os, tniei'secteaza cetct)l in punctele

lr,1 9r lM'cuoi-donalele 1y1[=y,,,2=3a respectrvMN'- 1,.12=-3a.Unindpolul Pcupunctul Bsaupunciui A.

se obltne direclia oefor-malrei specrfice prrncrpale s., respectiv direclra oefor-maliei speciftce principale er. Valcarea

unqhiulur ct, se oblrne din triunghiul dreptunghic APBD:

rrLy Bl - Y , ? 3a q45g o. . z,:..i1rc-3-?\1( :,DP ir -f ) 115aia-9a1

0: = (ir + 90' = 25,1 0' + 90' = 1 15,10' .

Direc{iile deformaliilor unghiulare specifice princjpale j,.2 sunt bisectoarele unghiuril0r forrnate cje

direc{iile deformatiilor specifice liniare orincipale e. r.

6. 8 Lucru mecanic qi energia poten{iali de deformatie

6. 8. 1 lpoteze de calcul

O metoda eficientd de studiu a st;rii de sollcitare a unui corp defcrmabil 0 constituie evaiuarea

energetice, care permite fundamenlarea unor procedee aproximative de calcul pentru rezolvarea

problemelor cornplexe, imposibil sau diflcil de i'ezolvat din punct de vedere matematic.

lpotezele care stau la baza acestei metode de calcul sunt:

- fortele sunt aplicate static (cresc lent);

- se neglijeaze frecirile interioare gi frecirile din reazeme;

- se neglijeaza lucru mecanic de deformalie consumat prin variatia de temperaturi.

Corpul ac[ionat de fo(ele exterioare in echilibru se deformeazb. Deforma{iile conduc la apari{ia

unor fo(e interioare suplimentare. Deformarea corpului continui pana c3nd fo(ele exterioare ajung in

echilibr"u cu forlele interioare. Astfel punctele de aplica{ie a for{elor exterioare 9i a celor interioare se

deplaseazi efectuand lucru mecanic de deformalie exterior Lu, respectiv interior L, ,

Atunci cAnd fo(ele exterioare sunt aplicate static asupra unui corp care aTe comportare liniar-

elasticS, lucrul mecanic exterior Le este transformat inlegral in lucru mecanic interior L' consumat

Starea plani de deformatie

pentru deformarea corpului $i energie termici care modifrci temperaiura corpurilor solicitate

6, 8, 2 Lucru mecanic al forlelor exterioare

Lucru mecanic al fodelor exterioare repiezint; suma produselor dintre fo(e 9ldeplasirile produse pe directiile acestora, ca urmare a deformirii corpului.

Lucru mecanic efectuat de aceste forie se exprima cu relalia;

L" -Qu (6 3s)

undel- O - este fo(a generalizata repi-ezentind oricare din foi'{ele: for{i concentrata F. moment

concentrat M, fo(a de volum p;

- u - este deplasarea generalizati gi reprezinta or{care din deplasarile produse pe direclia

for"lelor respective (6. 0, u)

Cand efectueazi lucru mecanic, fo(a Eeneralizata Q parcurge cu intreaga intensitatedeplasarea u. in cazul fo4elor aplicate static asupra corpurilor, acestea cresc o dati cu deplasarile.

mdrimile generalizate Q gi u fiind variabile.

Se consideri o bard ac{icnatS de fo(a axiali a (fig. 6 9) in punctul de aplicare al fc(er Q se

proCuce o deplasare u, care cre$te o dati cu valoarea fo(ei. de la zero la valoarea flnalS u. Atunci

cAnd forta cregte cu dQ, deplasarea cre$te cu du si lucru mecanic elementar exterior dL. se Doate

exprima cu relatia:

(6.36)

Starea plani de cieformatie

in care dQ este valoarea medie a cregterii fo(eipoate neglija gi rela[ia (6,36) devine:

L"

ProdusL,l 0Q du, fiind r" inlnit mic de ord,rul oo se

dL.-'6+ioolou=oou

U

= {Qduir

(6.37)

Rela{ia (6.37) reprezinti lucrul mecanic exterior produs de forfa generalizata (a), canO

deplasarea generalizati (u), variazi de la zero la valoarea finala. Acesta este egal cu suprafala

diagramei Q-u, delimitatii de curba 0 = O(u), axa u gi ordonata de abscisi u (fig. 6.10).

dQ>+>

,du

Fig.6.9

Rezistenla materialelorRezistenta matenaleior

128

fiind egal cu aria mirginitd de curba u = u(O), axa Q gi ordonata egala cu Q. CAnd corpul are

comportare liniar-elasticS, diagrama Q-u, este definita de o dreapta care trece prin origine gi'

(6.3e)

Atunci cAnd intensitatea fo(ei cregte de !a zerc la valaarea flnaia, !ucru rnecanic exterior L.

este egal cu lLicru mecanic exterior complementar Li gi este egal cu jumatatea produsului ciintr-e

valoarea intreaga a fo(ei generalizate (Q) gi valoarea deplas5rii generalizaie (u).

Starea plani de deformalie l2{)

reprezlntd efectul pa(ii indepariate, (rezultanta 1.n,;iunilor normale) efortul axial N. Asfrel lucru

mecanic al tensiunilor, Lo se deflnegte cu rela{ia:

Lo=N6>0 (6 45)

f,,,!

N=rf--'l L

dx

Fig

Aceasta rnarime este intotdeaLrna pozitivi./\

efort;rilor sectiorale N = [o dA - -i l, cec; .

:,-_t_c (6.46)

in caiculul energetic, este mai avantajos s3 evaluem lucrul mecanic al tensiunilor, (Lo),

deoarece acesta se exprima funclie de iensiuni, .rr" gunt marimi, cu legi de distribu!ie cunoscute. pe

secliunea transversali a elementului.

Lucru mecanic interior L, gi lucru mecan;. ,pl tensiunilor Lo sunt mdrimi care depind de

voiumul corpului, fiind exprimate prin funclii care variazA pe volum. Pentru studiul lucrului mecanic al

tensiunilor Lo se definegte mdrimea luciu mecanic specific L, definiti ca fiind lucru mecanic

corespunzator unei unititi de volurn.

\ .'

Starea pland de deforma{ie

Lucru mecanic exterior complementar este marimea definita de relaliar

aL; = juclQ

c

(b. Jb)

-.1-j* -l')

F \o',

Ql

Qo

-.'---r N=-F,- -+-'-.'-'-.--'>

c

6.1 1

deoarece fo(ele inierioare se opLin acliunir

Ftg. " ''

,L. La

/,'.'t",r"r/.''

Ja >

^lU \-/

'' t/,.)"' ' .' '

L^' l

ll.:u

b)

Fig. 6,'10

6. 8. 3 Lucru mecanic interior

Lucru mecanic interior reprezinti suma produselor dintre fo(ele interioare 9ideformatiile rezuitate din modificarea distanlelor dintre padicuiele corpului.

Fo(ele interioare F, , dintr-o bara solicitatd la intindere centrica, se opun modiflcarii distan{ei

dintre particulele situate la distanta dx, flind orientate in sens jnvers deplasdrii relative a acestora (f19,

6,11). Lucru mecanic al fortelor interioare se exprimS cu relatia:

Lr =_t6<0

Lucru mecanic interior L' este intotdeauna o mdrime negativi, fo(ele interioare

opunAndu-se tendintei de deformare a corpului. Deoarece suntem mai familiarizaJi cu no{iunea deefori seclional, se va utiliza in continuare. no{iunea de lucru mecanic al tensiunilor, Pentru a deflni

aceasta marime se deta$eazi din bara solicitata la intindere. elemeniui de lungime dx pe care se

Rezisten{a matenalelor

o--do

o4

I

-s+ I --,,.t .

a)

P"^1.n1uffirialelor

130 Starea planb de cjeformatie

Se consideri un volum elernentar, aciionat de

deformalia specifica generalizatd e pe direc{ia tensiunji.

Lucrul mecanic specific al tensiunilor Lo, 9i lucru

deflnite de rela{iile:

tensiunea generalizati 6, care produce

mecanic speciflc complementar Lco.,, sunt

L:,

unde:- o- este tensiunea generalizati reprezentAnd tensiunile: o"x,oy,oz, ryy,ry7,ry7,61,62...,

- e - este deformaiia speciflci generalizata corespunzdtoare tensiunii respective:

Ex , €y , €z , Jxy, ] x7,\ y7,€1,E2,.....

Lucru mecanic specific al tensiunilor 1.. este suprafala delimitatd de curba caracteristice

o(e), axa Oe 9i ordonata de abscisd e.

6. 8. 4 Energia potenlialii de deformalie

Energia potentiali de deformalie reprezinti lucru mecanic al tensiunilor inmagazinat de

corpul elastic in timpul deformirii. La descarcarea corpului, energia potenlia15 de deformatie se

consuma pentru aducerea corpului in starea initiala (fiq 6.13)

Energia potentiala de deformatie specifici (Ur)9i energia poten{ial5 de deformalie specificd

complementari (U! )sunt egale cu lucrul mecanic specific al tensiunilor Lor, respectiv lucrul mecanic

complemenlar specific al tensiunilor Lco,, fiind definite de relaliile:

U, : jode 9i U! = Jedo.00

Geometric, energia specifica de deforma{ie U,, reprezintd suprafala de sub curba o = o(eJ

(fig. 6.13 a) avAnd ca variabila independentd deforma{ia specifici liniari e. Energia de deformalie

specifica complementari U! , este aria suprafe{ei de deasupra curbei e=e(o), avdnd ca variabila

independenta tensiunea generalizat5 o. Corpurile care au o comportare elasto -plastica.

inmagaztneaza pa(ial energia poien{ial5, numai cea aferenta deformaliilor elastice U. (49.6.13-b),

adicl suprafala ACB. Diferen{a de energie, adica suprafala OAC este consumata pentru producerea

deforma{iei specifice plastice e6 reprezentAnd energia potenliali specificir plasticd U0,., drept urmare:

Lo. =U.+Uo,

Jinind seama de caracterul adiabatic al proceselor de solicitare al corpurilor gi de teorema

conservirii energiei, corpul elasto - plastic se comportd ca un disipator de energie, O parle importanti

din energia poten{ial5 este consumata prin deformatii plastice, fAra a mai putea fi redatS, Energia

6

= jedo0

a

Lo, = {ode respectiv0

Rezisten{a materialelorRezistenta matenalelor

Starea plani de defor-malie

poteniiali toiali si lucru mecanic toial al tensiunilor, penlrLi corpul inireg, se obiin prin integrarea

valorilor elementare U.dV gi LordV, pe volumul corpului, adicS:

L6 = jJJL6sdv; U ={iJU,dV.v \,/

Similar, energia poteniiald complementard totalS gi lucru mecanic complementar total se

evalueazd cu relaliile:

L! =jJji'.,dv, u; -J{ju:dv

a) b)

Fig,613

in cazul particular al corpurilor in stare plana de tensiune sau deformalie, care au o comportare

liniar-elasticd, din graficul (flg.6.1a) al curbei caracteristice o(e), rezultd cd energia potenliald de

deforma!ie specifica este:

1I

11U, =U: =

Zct= 2(o,r. .orr- - r,ry,.l

"l

(6.47)

irg, b, r4

Starea pland de deformalie

9i linAnd seama de legea lui Hooke: o = Ee gi t = ]G, relalia (6.47) devine:

u, = lr(ri -ri)*)a'|, sari U, - * ("1 * o!l* ^1^rl. (G 481

2'^ ' 2 '2E 2G"

unde o qi a, reprezinta tensiunea, respectiv deforma{ia speciflca generalizati.

Atunci cind axele (x,z) coincid cu direcliile principale (t; Z) Oin punctul respectiv:

u. =1(o,e, +o2e2) (6 4e)

Energia poientiaiS totala 9i lucru mecanic totai al lensiunilor pentru intregul corp se oblin prin

integrarea valorilor elementare U.dV gi L..dV pe volumui corpului, adica:

Meiode de calcul 131

METODE DE CALCUL

; 7.1 Metode deterministe

' 7.1.1 lntroducere

l,4etodele deterministe sunt cele cai-acterizate de o rela{ie unicd intre cauzi gi efect, adica la o

valoare unicd a ac{iunii se obline o valoare unica a rispunsului. 1n baza acestui concept elemeniele

structurale prezinta siguranld'in raport cu un stadiu de soliciiare dacd:.

i E'u, ( Elr F 1\

I

i unde:

' - Err, - este valoarea maxima a raspunsulur elementului de construclie;i-

r Relatia (7.1) este denumita condilie de siguranli, care poate fi: de rezisten!5 daci se referi

ia cedarea elementului; de deformalie, dacd se refera la deforma{iile elementuiui gi de echilibru dacise referl la starea limita de echilibru,

Atdt raspunsul Eru, cat 9i E,,rse exprimS funclie de marimi variabile care depind de factori ce

nu pot fi precizali cu certitudine. Incertitudinile cu privire la evaluare rispunsuiui maxim Er* sunt;

I generate de:

r - subiectivismul uman in aprecierea incSrcarilor:

I - varia{ia in anumjte limite admisiblle (toleran!e) ale dimensiunilor geometrice, a greutilii

specifice ale materialelor, etc,,

- schematizarea incarcdrilor care simplifica in mod semnificativ modul Ior de ac{iune (vAnt,

' seismicitate, etc.).' Valoarea limiti a rdspunsului materialului E,. este influenlata de incertitudinile cu privire la

, evaluarea caracteristicilor mecanice ale materialelor care se datoreaza.

- neomogenitilii materialelor qi tehnica de determinare a caracteristicilor mecanice;i diferentelor dintre conditiile de laborator gi cele reale;

R.^rati-*,at"E-

. I n) -. ' -', , or, ,l ]oo,io,L,-Lo-U-Uc-{li, i; );;'rxdydz-ll; zE 2G)


r34 Metorie de calcul

- degradar-ii in timp a materialelor (uzut5, coroziune, etc,).

RSspunsul elementului este influenlat de simplificirile gi aproximarile lntroduse de ipotezele de

calcul, in limitele admise de acestea.

7 . 1. 2 I'tleloda rezistenlelor admisibile

in aceasta metodd de calcul, condilia de rezistenli se exprima in domeniul eiastic de

comportare a materialelor, fiind dati de relalia:

(7.2)

u nde:

- on,rr - este valoarea maxlma a tensiunii din elementul de construc{ie;

admisibila,- t "-ci!trlc4)ttrll\

Rezistenta admisibili este valoarea maximi a tensiunii ce se dezvolti intr-un element

structural aclionat de incircarea limita, in condiliile unei siguranle impuse:

{7.3)

tn cate:- 6t, - este valoarea limita a tensiunii din material,

- c - este coeficientul de siguran{6,

Coeflcientul de sigurantl, include in valoarea sa, incertitudinile cu privire la evaluarea

raspunsului maxim al elementului structural 9i a valor-il limitd a raspunsului materialului cu privire la

caracteristicile mecanice. Acesta stabilegte rezerva de rezisten{A pe care trebuie sa o aibd materialul in

ipoteza incarcdrii maxime, av6nd intotdeauna valori supraunitare. ln raport cu natura tensiunilor, se

definesc noliunile de:

a) tensiune normala admisibili o^:

('^ =o. lc

b) tensiune tangenliali admisibili r,:

1"=x6fc

Tensiunea limitd rezultd din curba caracteristici a materialului supus la solicitarea la care se

referi rezistenta admisibila. Tensiunea admisibilS se evalueazi func{ie de modul de comportare a

rnaterialului la solicitarea respectivi:- pentru materiale ductile. reprezinti valoarea limita a tensiunilor de curgere (o,;r,):

6a=6clc, r.a=xcfc


Metode de calcul 135

- pentru materialele casante, reprezinti valoarea limiti a tensiunii la rupere (o,;t,)

oa =oric, ,a=rrfc

in aceasti metodi de calcul condilia de rezisten[5 se exprima astfel:

a) pe sec{iunile unde se dezvolta numai tensiuni normale,

oefma, ( oa

b) pe sectiunile unde se dezvolta numai tensiuni tangentiale:

Tefoa, ( Ta

c) pe secliunile uncie exista tensiuni normale gi tensiuni tangenliale:

oelmax ( oa

ie, rr, < t

0"6 { o'

under o..^ este o tensiune echivalenta, evaluati dupa una din teoriile de rezistenti.

Metoda rezisten{elor admisibile exprimi condilia de rezistenla in punctul cel mai solicttat al

elementului, in domeniul de comportare elastic al materialului, utilizAnd un coeficient unic de siguran{a,

Principalele limite ale acestei metcde de calcul sunt:

- conceptul de siguranti - prin atingerea rezistentei admisibile intr-un puncl nu inseamni ciintreaga capacitate portante a elementului a fost epuizatd,

- rezisten{a admisibili - flind limitata la domeniul de comportare elastici a materialului nu

!ine seama de rezerva de rezisten{a din domeniul plastic;

- coeficientul de siguranli unic - nu tine seama de influen!a tuturor factorilor care

determind siguranla elementului,

7. 1, 3. Metoda la rupere

in unele cazuri, atingerea valorii tensiunii o., ink-un punct al unei structuri, nu duce la

cedarea elementului sau a skucturii in ansamblu, Astfel in cazul skucturilor static nedeterminate

alcStuite din materiale ductile, valoarea maximd a fo(elor care corespund ceddrii, este mai mare decAt

valoarea la care, in punctul cel mai solicitat apare tensiunea de curgere o. . Este mai ra{ional, in

asernenea situalii. sa se ia in consideratie comportarea elementului dupa depdgirea stadiului elastic ai

sI se exprime condilia de rezistenli in eforturi:

136 Metode de calcul

unde:- F.ur- este for[a maxime de pe o sec[iune a unui element;

- F, - este fo(a corespunzatoare ruperii.

- c - este coeflcientul de siguranti.Modalitatea de apreciere a siguranlei prin referire la valori iimiti care se dezvolta pe

secliunea elementului, se numegte metoda la rupere.Metoda la rupere transpune condiiia de rezistenla din domeniul elastic, in domeniul plastic

de comportare a materialului, ddnd no{iunii de siguranla o exprimare mai apropiata de realitatea

fenomenului. Condi{ia de rezistenta pe secliune poate fi exprimatS cu relalia:

i.r, 1 F"

in care forla admisibili F, este dati de rela{ia:

Fu=F,fc

F, fiind for{a de rupere a elementului stt-uctural gi ,,c" coeflcientul de sigur-an[5.

La fel ca metoda rezisten{elor admisibile, metoda la rupere rezolvi unic problema siguran!ei

printr-un parametru unic - coeficientul de siguran{a - care nLr poate evidenlia explicit mirirnea 9i natura

variabilelor care influenleazi sigurania struciurald,

7. 2 Metode semiprobabiliste

7.2.1 Metoda stirilor limiti

Metoda stirilor limitd face parte din categoria metodelor semiprobabiliste in cadrul carora

variabilitatea aleatoare a factoriior diferi!i, se considerd independent, stabilindu-se corespunzator

coeficien{ilor par{iali de siguran!5.

Starea limiti reprezintd un criteriu de per{ormanti, care definegte limitele dincolo de

care, structura nu mai poate satisface exigenlele specifice destinatiei stabilite. Stirile limiti la

care sunt veriflcate construc{iile. se impart de regula in doua categorii:

- stiri limiti ultime - care corespund epurzarii capacitdlir partante (ruperi de diferite tipuri: -

plastice, casante -, pierderea stabilitS{ii) sau altor pierderi ieversibile a calitalii necesare exploatarii

ccnstrucliei ( deplasdri remanente sau deschideri remanente a fisurilor, pierderea stabiliti{ii pozi[iei

prin: risturnare, lunecare, etc.);- stiri limiti de serviciu - care corespund intreruperil capacitalii de asigurare a unei

exploatdri normale a construcliilor(deformatii sau deplasari excesive, flsuri peste anumite limite, etc.),

Principiul metodei stirilor limitd consti in;

- analize statistice prin care sunt stabilite valorile cele mai defavorabile ale incdrcirilor (valori

maxim probabile), respectiv ale rezistentelor (valori minim probabile);

F.Fax<a

Rezisten{a materialelorRezistenla materialelor

t

Metode Ce calcul 131

- stabilirea unor relatii de tip determinist intre ac{iiLni gi raspunsul structurii pentru un numar

limitat de combinalii ale valorilor aleatoare care intervin,

Condilia de siguran{a este exprimati sub forma:

tr -tr (7 4)

unde:- Erur- este valoarea maximd probabila a rispunsului determinat din comb nalra cea mai

defavorabilS a acliunilor;- E1,*- este vaioarea minim probabilS a raspunsului limita stabilit cu luarea in consicjerare a

valorilor^mtnim probabile ale rezistentelor.

in locul coeflcientului unic, in metoda stiriior limita se utilizeaza cceficienti dlferentiafi pentru

variatia probabilS a acliunilor. rezisten{elor gi dimensiunilor.

Valorile caracteristice ale acliunilor p*, reprezintd valorile medii statistice sau exkeme (in

cazul actiuntlor climatice) stabilite pentru o anumiti perioad5.

Valorile de calcul Fu a efectelor ac{iunilor in secliune pentru starea ultimd consideratiutiiizata in verificarea rezistentei elementelor structurale se cbtin cu rela{ia:

i - r,.FI i, K

unde:- Fr este valoarea caracleristici a ac{iunii gi

- yr este coeficientul par{ial de siguranta pentru acliune ce tine seama de posibilitatea

existen{ei unor abateri nefavoi-abile a valorii ac{iunii de la valoarea sa caracteristica.

Valorile de calcul ale efectului acliunii pe elementul de construc{ie Eo se calculeaza ca flind:

tr _^, trlso,d

Eo = ]*Y Fr

unde ysi este cceflcientul parlial Ce sigur-anli ce evalueaza incertitudinile privind mcdelul de calcul al

efectului pe seciiune al acliunii Fa,

La anumite stdri limita, elementele construcliilor sunt calculate luAnd in considerare cele mai

defavorabile combinalii care alcituiesc grupirile de incirciri. Acestea difera funclie de starea limiticonsideratS,

Valorile minime probabile ale rezistenlelor ob{inute in laboratoarele de incerciri, constituie

valo'rle caracteristice Ru , Rezislenta de calcul este data oe rela{ia:

5du

138 Metode de calcul

unde:- Ru - este rezisten{a caracteristica a materialului;

- l- - este coeflcientul de siguran!5 al materialului, care tine seama de diferen{ele dintre

caracteristicile mecanice reale gi cele cieterminate in laboraior care are valori supraunitare.

Condi{ia de siguran{a (7.5) ln cazul materialelor omogene calculate in domeniul elastic sepoate prezenta sub forma:

f_

lo'nu' < THcl (i s)

unde:- oorr- este valoarea maxima probabild a tensiunilor, determinata ln cea mai defavorabilS

grupare a incdrcarilor de calcul;- Ro - este rezisten{a de calcr"rl (valoarea minima probabilS a rezisten{ei):- m - coeflcientul pa(ial de siguranli care evalueaza incertitudinile privind modelul de calcul

al rezisten{ei seclionale, inclusive abaterile geometrice:

1

'/nri

Rezisten\a materialelorRezistenla materialelor

{'

Solicitiri axiale

SOL!CffARI AXIALE

8. 1 Consideralii asupra solicitirilor axiale. Diagrame de efoduri

O bara este solicitati la intindere sau compresiune centrici daci in orice secliune

singurui efort sectional diferit de zero este fo4a axial6 iN* 0 ).Atunci cind fo(a axiala N > 0, solicitarea este de intindere centrici (fig. B.'1-a) iar cAnd forta

axiala N < 0, solicitarea este de compresiune centrica (fig 8.1-b).

Nruu_-J_-, jULN>0

d)

Fig Bl

Solicitirile axiale se intalnesc atunci cand rezultanta fo(elor exterioare actioneaza in centru de

greutate al sec{iunii, fiind orientati dupa axa elementului. Aceste solicitdri sunt intAlnite frecvent la

elementele construcliilor, citeva exemple sunt Drezentate in flgura 8.2

Pentru efectuarea calculului de rezisten!a al oarelor solicitate axial, se impune trasarea

diagramei de fo(5 axiald, care pune in evidenlS seciiunea unde efortul are valoarea maximi

(sec{iunea de calcul). Aceste diagrame pot fi kasate prin aplicarea definiliei funcliei forli axialS pe

subdomeniile unde funclia incircirii este continud sau prin calcularea valoarea forlei axiale in

secliunile caracteristice gi trasarea graficului diagramei, !indnd seama de interpretarea geomekica a

relatiei diferenliale (2.1 4).

N<0h\

N '

Soliciidri axiaie

Nrt o

a) b)

Fis.8.2

c)

A Vlll-1

Sa se traseze diagrama de variale a eforlulur axial in lungul elementului stnlctural din figura 8 3

Rezolvare

Func{a lncdrcSrii este coniinud pe tronsoanele: I (CD) ll (B-C) gl lll (A-B). Reacliunea Hr dtn incastrare,

rezulta drn dragrana de fc(a axialS: He - Na .

a) Trasarea diaqramei folosind definitia functiei forti axiali.Func{ia efortuiut seclional fo(e axiali intr-o secliune curentb a celor trei tronsoane de incdrcare este:

- oentru tronsonul l, in sec{iunea curentb Sr situati la distan!a xr, fa{d de capdtul liber al barei:

Nrv,/ lp,1r, x -1f tl

)' 2I

Funciia N(x1) fiino de gradul doi, grafrcul acesteia vanaza dupb o parabola, Valorlle fo(ei axtale in secliuntle

care delrmiteazi tronsonul { sunt.

N^ - \{0i- 0 $ N, -Nrr)= ]n i

Funclia incarcbrii flind derivata de ordinul unu a funcliei fo(d axia16, in'r..iirnm D, unde intensilatea incSrcirii

axrale este nuld, graficul funcliei for{i axialS este tangent la axa de referint5.

- pentru tronsonul ll, in sec{iunea curentd Sz, situati la distanla xz, fa{5 de capStul liber al barei.

uE, )= ip,r

Func{ia I'i(xr) este conslanii pe acest jnterval. Valorile for{ei axiale in secliunile care delimiteazd tronsonul 1l

t4i

\ - rl q \! iil

Func!:a incbrcirii fiind nula, func{ia N(x) esie constanta qi graficul acesteia i'eprezinti o di'eapi5 paralela cu

axa de 'e'e'in1i.

- pentru tronsonul lll, 1n seclunea cureniS S:, situaii la drstanla t. faii de capSiui liber a elementului

structural lrniar:1

\{r l= 'p l-lo i- o^rx. -11)2'

Funclia N(x,) este de gradul unu decl eforiul seclional for{a axiald varazi liniar pe acest interval. Valorile

fc(ei axiale in sectiunile care cjel mrteaza tronsonul ill sunt

Solicitiri axiale140

ni' = N(zr) = ]n,r-+p,t-p,(zt-zt) - -]p,t

t05, \.--r.l-dol-t 31 2ir-.-"0,1

x1

xpa-=-

x3

4p^ll2

Fig. 8 3

Diagrama de varalie a funcliei fo(a axialS N(x) se traseaza in raport cu o axi de referin{5, para{ela cu axa

barei. Valorile pozitive ale efortului sec{ional se reprezntd deasupra axei de referin{5 iar valorlle negative sub axa de

refei-in!a.

sun l

Rezisten!a materialelorRezisten{a materialelor

142 Solrcitdri axiale

b) TLasarea diaqramei fortei axiale utilizdnd relatiile diferentiale dintre functia incircirii si functiaefortului sectional.

in aceastd metodd se evalueazb valorile func{iei N(x) in secllunile caracteristice ale barei. Valorile oblinute se

reprezintb grafic in raport cu axa de referinla. Prin puncteie ob{rnute, se traseaza curba func{iei eforlului sec{lonal linAndseama de interpretarea ge0melrica a relatiei diferenliale 2.14. Aplicand principiul acestei metode se ob{ine.

- pentru tronsonul l, func{ia fo(5 axiala in sec{iunile caracteristice are val0nle:

N,-09i tJ 1p,l." )"

Pe acest rnterval funclia incdrcdrii fiind liniara. funclia for'{5 axialS este cu un grad superioara, deci graficul

acestela variaza dupd o parabola de gradul doi.- pentru tronsonul ll, func{ia fo(d axrai5 in sec{iunrle caracteristice are vaiorle.

\ -ll-.e1

Pe acest interval func{ra incdrc5rii fllnd nul5, funclia fo(b axiala este constantS, graficul acesteia variaza dupd

0 d.eapia paralelbcu axa de refenn{6.

- rlentru tronsonul Ill. furclia fo(a axiala in sectiunlle caracterstrce a.e valorile: n]' - ]p,l -ap,l = -]o.f?21q

5r N, = -p,l 4p^l - p,l - -ip,l , Pe acest interval funclia incircanr fiind constantd, funciia fo(a axrala este cu un gradll

super oari. deci grafrcul acesteja variaza liniar.

Verificarea diaqramei de fo(i axiali, se realizeazb cu alutorul relaliei 2.39. Prin aplicarea acester rela{ir se

ob{ine:

[o-' o,l- -1 p t' o,se ve'iftca:2'' ?

1ro,l-''^o t C .o se ver'irca:

37cN.-\l -Qi ":sr r I-=ot*l-^1p^t ]=i-o,t ol severilcb

Observalie. in sec! unea ,,8", unde se aplice o fo(5 concentrat5, in diagrama de fo(5 axialS are loc un salt de

la valoarea p,lf2,lavaloarea -(712)p,l, egal cu fo(a concentratb aplicatd in aceastd secliune,

pentru tronsonul I

l

N, -N, - oi; -Ir, rI

pentru tronsonul Il21

N:r -Nc - -alt t IF" -L

penku tronsonul lll

8. 2 Starea de tensiune

Studiul starii de tensiune se realizeaze analizand comportarea la intindere centnce a unei

epruvete drepte cu sectiune dreptunghiulari constantS, confectionat5 dintr-un material ugor deformabil,

urmarindu-se elucidarea urmetoarelor aspecte:


Solicitlri axiale i'1i

- precizarea moduliji de deformaiie al epruvetei sub acliunea incarcirii axiale aplicate:

- natura tensiunilor care se dezvolta pe sectiunea transversald;- determinarea legii de diskibu{ie a tensiunilor pe secliunea transversali,Pe suprafata epruvetei se traseaze un car0iaj ortogonal alcdtuit din generatoare paralele cu

axa acesteia $i directoare echidistante la distan{a b,,(fig. 8.4). La capetele epruveiei se aplica forle

uniform distribuite paralele cu axa elenentului, egale in marime gi de sens contrar. Examinend

aspectul geometric al caroiajului de pe epruveta deformati se constate urmetoarele:

bbb.b p-,

btb, btb, b>b, ] btb, brb,

Fig.8.4

- generatoarele raman echidistante si paralele cu axa elementului dar se alungesc cu aceiagi

cantiiate: Ab - b - br, alungirea fibrelor producAndu-se uniform, 'in Iungul epruveter gi pe indllime 9i in

consecinta deforma{iile specifice longitudinale sunt diferite de zero $i constante (e, +0 gi e, =const, );

- unghiul drept dintre generatoare $i directoare se

deformatia specificS unghiulara 1 : 0.

in baza observa{iilor asupra modului de deformalie al

se oedr.rc urmitoarele conclLrzii.

- deoarece l=0 = t=G} =0, adicb t=0, deci la solicitdri axiale pe secliunea

transversala, nu exista tensiuni tangen!ialer

- intrucdt rx +0, = o, =Er, +0. adica pe secliunea transversali se dezvolie nurnai

tensiuni normale ox, uniiorm distribuite:

finAnd seama de faptul ca tensiunile normale ox sunt distribuite uniform pe sectiune, din

rela{ia de echivalenti (2.5) rezulta;

pastreazi gi dupi deformare, adici

epruvetei qi a legii flzice a materialului,

Solicitdri axiale

1X = jo"CA = o,ldA = 6,AAA

(8 1)

Rela[ia (8.1 ) reprezinte formula fundamentalS a intinderii centrice,

8. 3 Tensiuni principale. lzostatice

StudiLil starii de tensiune din elementele solicitate axral. pune in eviden{5 faptul ca:

- pe orice secliune trensversalS: o, + C gi rr. = 0,

- pe orice secliune longitudinalS: o. = 0 gi r," - 0.

Cunoscand starea de tensiune de pe doua secliuni ortogonale, starea de tensiune din orice

punct pi'in care trec, este perfect determinata. Starea de tensiune de pe o fa{a inclinati care face

unghiul u cu axa .,x", se determina linAnd seama de relaiiile de legituri dintre tensiunile de pe o fatiinclinata qi doud fete ortogonale. Func{iile tensiunilor de pe faia inclinati se oblin din rela{iile (5.8) 9i

(5.9) daci se line seama de faptul cd. o, = 0 9i r,. = tr, = 0. Formele parliculare ale acesior func{ii

su nt:

on = ox cos2 cr $i x.o = -o, sincxcoscr

S

fIt-

J

Fig.8.5

.s,I

.l

r\1

.,s,

Rezistenta materialelorRezisten{a materiaielor

Solicitdri axiale

inlocuind in relaliile (5.12) 9i (5.14) o. = 0 9i

direcliile gi valorile tensiunilor normale principale:

t,, :0, se ob{in expresiile care definesc

-)ntg2u= ::=0 9i

ox

AnalizAnd cele doua rela{ii se desprind urm5toarele concluzii;- unghiurile care precizeazA direcliile tensiunilor normale principale o,1 gi o2, au valorile:

ar = 0 gi a.z=r'12,- valorile tensiunilor normale principale sunt: 01 = o, $i 6z = 0.

Cunoscand direcliile tensiunilor normale principale c1 $i 62. pe suprafala epi-uvetei solicitate

la intindere centrici se pot trasa izostaticele de spela l-a, care sunt paralele cu axa elementului gi

izcstaticele de speia a - ll-a, care sunt orlogonale pe direclia izostaticelor de soeia l-a (fig. 8 5-a).

CAnd ca'a este solicrtal5 la comp'esiune centr;ca: ..;x < C. a, - 0 si r,. - rr.. - 0, rezul:a

ci tensiunile normale sunt tensiuni principale: 61 =62 =0 gi oz =-ox. Traseul izosiaticilor pe

suprafala epruvetei solicitata la compresiune este invers in raport cu cele de pe suprafata epruvetei

solicitate la intindere (flg. 8.5-b).

Tensiunile tangen{rale extreme ac{ioneazd dupi bisectoareie unghiut-ilor direcliilor tensiuniior

principale, inclinale cu 45", fala de axa elementului avAnd valoriie:

L- la

T1

cl. 1-,orz =tttr o,

,. ^ =*1 ,7- t -2\"'

_ (t,-,,1 2

o;oa)

Tensiunile normale careparticulard a relatiei (5.22):

Fig. 8.6

ac{ioneazi pe sectiunile

b)

inclinate la 45", sunt date de forma

B

146 SolicrtSri axiale

o".u" =orf2

in flgura 8.6-a este prezentate starea de lensiune din lurul unui punct de pe secliunea

transversalS a unei bare soliciiata la intindere centrica. Analiza stirii de tensiune din jurul unui punct

,,lt/" de pe aceaste sectiune se realizeaza pe cale graficS, cu cercul lui Mohr (fig 8.6-b). Se reprezinta

in sistemul de axe ortogonale (o,t), punctele A(o,;r,, =0) li O(o. =0,r,, =0) de pe felele cu

normala x. respectiv normala z care trec orin punctul M.

Segmentul OA=ox, este diametrul cercului lui Mohr gi segmentul eA=orl2 este raza

acestui cerc, care este tangent la axa r in origine. DucAnd prin punctul ,,A" o paraleli la direc{ia

tensiunii normale o* $i prin punctul O, o paraleld la direclia tensiunii normale oz,la interseclia Ior, se

afli polul 'P"

al cercului lui Mohr. Acesta coincide cu originea sistemului de axe (o; t). in punctele

de interseclie a cercului cu axa o: O gi A, tensiunile tangentiale flind nule, abscisele celor doua puncte

sunt iensiunile norinale principale; o.1 =o,>0 respectiv 62=6r=1. Segmentele.

CE=o, 2-rr", qi CB =-ori2=rnrn, r0pr€Zintavaloriletensiunilortangen{ialeextreme. Dlreclia

tensiunii normale principale 01 se obtine unind polul ,,P" cu punctul 'A"

iar direclia tensiunii principale

62, este odogonala pe directia unu 9i coincide cu drrectia tensrunii normale or. Valorile tensiunilor de

pe o falS inclinati cu unghiul a fali de axa elementului (fl9. 8.6) se ob{in, ducAnd prin centrul cercului

o raze care face cu axa o un unghi 2u, ce intersecteazd cercui in punctui ,.li'1" de coordonate.

on = OM' - 6e + c tr,l' = 6 x,1 2 + (o r f 2')coslo"- ox cos2 o

91

t.u - V lW-{o^ 2lsin161 = oi si'rocosfl .

8.4 Domeniu de aplicabilitate a relafiei fundamentale

Relalia fundamentali de calcul (8.1)este exacti numai in cazul cAnd bara are geometria gi

incarcarea identici cu cele pentru care s-a dedus aceasti formula.

in activitatea practicl se intalnesc cazuri cand nu mai sunt respectate condiiiile de geornetrie gi

incdrcare avute in vedere la deducerea relatiei fundamentale, starea de tensiune din element flindperturbatd oa(ial pe anumite zone sau in intregul volum. Cauzele care produc aceste perturbiri ale

starii de lensiune sunt:- distribulia neuniformi a forlelor pe secliunea de capit a barei. in secliunlle de capat ale

barei 9i cele vecine lor. starea de tensiune este perturbata, distribu{ia acestora flind neuniformd. Zonele

de perturbare a tensiunilor in lungul barei sunt limitate pe distanta egalS cu inaltimea sectiunii, conform

principiului lui Barr6 de SainlVenant. ln restul barei tensiunile normale sunt considerate uniform

distribuite pe sec{iunea transversala. Aceasta conduce la concluzja ca evaluarea tensiuntlor la barele

solicitate axial se poate realiza cu relaiia fundamental5 (8,1), daci se neglijeaza influen!a distribuliei

neunilorme a incircarii sau a punctelor de aplicatie a fo(elor concentrate, in zonele de capit;- varialia secliunii barei in lungul elementului, CAnd sec{iunea barei nu este ccnstanti in

lungul barei. distribu{ia tensiunilot'norrnale ox, pe sectiunea transversali nu mai este uniformS. in

Rezisten{a materialelorRezistenta materialeior

(8,4)

Solicitdri axiale 1/1

cazul varialiei liniare a sectiunii. cAnd bara are formi de pana (flg. 8 7) in Teoria elasticitd[ii se

demonstreazi ci aiunci cAnd aceasta este solicitatd la intindere de forla ,,P", in punctele ciin interiorul

ei de pe un element cu normala ,,r", tensrunea totali o, este dirijati dupa razi. AceastS stare de

tensiune este radiali iartensiunea o, se nurnegte tensiune radiali, fiind Catd Ce rela[ia

2P cos0o. = *---

l l({ + srnlci I 0r

cu valoarea maximi in axul barei

2?16-" I r,atlrt[+sinlcl,]0r

-9, o",

o,(x)=

Fig. 8.7

intre tensiunile normale o, gi cele radiale o,, exista relalia de dependenla

(8 2)

i--1

l1til ,.l.t ,

2Pcos'0 1o, =6, COS'8-(2cr - sin2o)br

JinAnd seama cd x = rcos0, relalia (8,2) devine:

PP^ bh(x) b2xtqcr

F-h [-*qF--,r:

PAlx)

2? i('sr 0' (2a- sin2o) bx

Valoarea maximi a tensiunii oxmax se obtine atunci cano unghiul 0 = 0'. Daca tensiunile se

consideri distribuite uniform pe sec[iunea transversala, acestea se evaiueaza cu relatia:

{o r/

148 Solicitiri axiale

care diferb Ce relatia (8.3) dedusd in Teoria elasticitdlii. Diferen{a dintre tensiunea normalS maxima

orn,r, din Teoria elasticitatii gi tensiunea normalS o,, din Rezistenla materialelor, determinatA cu

rela{ia (8 4) se evalueazd cu raportul:

_TEo

"ma,a _R[/4tga

2u+sin?a

depinzand numai de unghiul de inclinare o al fetei panei,- modificarea brusci a secliunii prin: schimbarea lilirnii barei, existenla unor slibiri

locale de tipul golurilor, chertirilor etc.Pe sec{iunea siSbiti a barei, distribulia tensiunilor normale oy. nu mai este uniforma, starea

de tensiune fiincl perturbata in vecinitatea acesteia gi nu mai poate fi evaluata cu relalia (8.1). inTeoria elasticitS{ii se demonstreaza ci distributia tensiunilor in sectiunea slSbiti Cepinde de modul incai'e se rncCiflca secliunea, prezentAnd anumite v3rfuri de tensiune Cenurnite concentratcri detensiune (fig. 8.8). Cauzele care determini aparilia concentririlor de tensiuni se numescconcentratori de tensiuni.

Raportul dintre tensiunea normali maximi gi tensiunea medie se numegte coeficient decsncentrare a tensiunilor la acliuni statice;

u. - o, o", G.

unde:- o, *r, - este valoarea iensiunii normale maxime de la marginea golulut:

- 6*,n,- este valoarea tensiunii normale medii, care se evalueaze cu rela{ia;

or,r = Nr/Anr,

An., fiind aria netd a secliunii slabite. Aria neta se determind cu relaiia; An"t = At, A.t , Ao,

reprezentand aria bruti, respectivAsr , arja slabirii.

Coeflcientul de concentrare ao, depinde numai de geometria concentratorului, fiind

independent de natura materialului. Valorile coeflcientului de concentrare a tensiunilor se p0ate

determina pe cale experimental5 folosind metode fotoelasticimetrice, tensometrice, etc,, sau pe caleteoretica prin metodele Teoriei elasticita{ii.

S.S.Concentriri de tensiuni

8.5.1, Concentrator circular

Cand concentratorul de tensiuni este un gol circular cu diametru ,,d" amplasat in axul barei cugrosime mici 9i sectiune dreptunghiulara (fig. 8.8-a), solicitatl la intindere centrici, fLinc[ia tensiunii

normale o, , la distan{a ,,2", fa\A de axul elementului, in secliunea slibitd este:

Rezistenta materiaielorRezisten{a materialelor

-.N ^_N"tf AAN

fl

Solicitiri axiale

o, - r6i, t 2)\2 - t? z: n 3ra ,o)

gi a tensiunii o, din jpgptul axei Ox:

o, =*(o6 ll(.;ra f xa -,'l*']

'x", fiind distanta rrdsurata dupa axa elementului de ia centru golului pAni in sec{iunea de calcul, iar,,r"

raza goluiui circula;.

Tensiunile normale ox $i oz iau valor-i maxime pe conturul golulul circular: o**u, = 3o6 $i

or*r" =-66, ulde 6c este valoarea tenslunii normale dintr-o sec{iune curenta depadatd fa{d ce

secliunea slabitS,

-N I

ur-A

a) b)

Fig. B.B

Perturbare3 stirii de lensiune drn secliunea slabiti se transmite sec{iunilor invecinate cu

intensitate regresivS p6ni la o distanta aproximativ egala cu iniltimea sec{iunii. unde influenta nu se

mai resimte. Alura i26s13ticelor care trebuie sa ocoleasca golul circular se aglomereazi in vecinatatea

acestuia, pundnd iq evidenla, fenomenul de perturbare a stirii de tensiune din element (fig 8.8-b)

8,5,2. Congsnlratot elipsoidal

Un fenomep asemenator se produce cdnd golul are forma elipticd (fig. 8.9). Se demonstreazd

in Teoria Elasticitd{ii ca tensiunea maximi se evalueaza cu iela{ia:.P .P P ,rS .P

>h

- rrl) A ^A

n-llhl1tlU

b

-_N

Fi-q. B 9

150 Solicitdri axiale

sx max = oo (t + z a7n)

unde .a" gi ,,b" sunt semiaxele elipsei. Atunci canC a = b , se ob{ine cazul particular al goiului circular

cu or *u, = 3oo. Coeficientul de concentrare a tensiuniloT o.k are expresia: ux=1+Zalb

in mod curent: b<a 9i sr >3. Daci b-+0, valoarea concentratorului cr1 -+-, golul

eliptic reducAdu - se la o flsurd kansversalS, cu efect total nefavorabil.DacA a -->-, golul tinde spre

o fisurb longitudinala, cu efect neglijabil asupra compodarii la iniindere centrici a barei,

8.5.3. Concentratori sub forma de crestituri laterale cu goluri semicirculare

Pentru acest tip de concentratori de tensiune (fig. 8.10) valoarea coeflcienlului de concentrare

o*, depinde de urmatorii factori: forma racordirii crestaturii, raportul r/h' si raportul hJh, unde: r este

raza de curbura a crestaturii, hs este inaltimea sec{iunii slSiiite iar h este indltimea sec{iunii curente.

q

-+

I

(tx flax

Fig B 10

Tensiunea normalS maximi o, "r,

de la marginea crest5turii se evalueazS cu relatia:

o,.r, =o.. N A

Pentru crest5turi de forma hiperbolica, coeficientul dk , se evalueazi cu relalia:

a. -.08i' r ' 12 -0,t

unde i-, ieprezinti raza crestAturii circulare.

8,5.4. Concentratori sub formi de varialii brugce de secliune

MicAorarea connfntrdrilor de tensiuni in cazul variatiei brugce de sec{iune se realizeazb prin

intermediul racorddrilor. ln cazul barelor cu sec{iune dreptunghiulara in trepte daca racordarea a doua

konsoane se realizeazd cu sferturi de cerc. distribulia tensiuniior in zona racordirilor este ca in flgura

Rezisten!a materialelor

l

Solicitari axiale

8.'1 1.Valorilefactorului deconcentrareatensiunilorseexprimdfuncliederapoai-tele r,h1 si h,,h,.Teoria prezentatd cu privire la concentrarea tensiuniloi' este valabtlA numai in ipoteza cand tensiunile

maxime nu depSgesc valoarea limitei de comportare liniar-elasticd a materialului.

qrlFig, 8,11,

La materiaiele casanie. iimita oe propor{ionaiitate flind apropiald cie rezisien!a la rupere io,),in cazul solicitarilor statlce, la calculul de rezistenla trebuie sd se tini seama de concentrarea

tensiunilor" in cazul materialelor ductile, distribu[ia tensiunilor in seclrunea slSbita se menjine in forma

discutata pentru concentratorii de tensiuni prezentali pand cAnd tensiunile maxime din punctele cele

mai solicitaie aiing limita de ci.irgere a materialului (o.) Aparitia curgerii 9i dezvoltarea deformaliilor

plastice in acesie puncte determrnd plasticizarea progresiva a intregii sectiuni, fenomen cunoscui sub

denumirea de proces de adaptare a secliunii.

8, 6. Starea de deformatie, Deplasiri

Analiza experimentali realizatd in paragraful 8.2, evidentiazd faptul ca bara solicitat5 la

intindere centrici se alungegte. Alungirea elementari a unui tronson de lungime dx este dati de

rela{ia:

A(dx)= exdx (8 5)

unde e, este deformatia liniara specifica. Din Legea Iui Hooke exprimata pentru domeniul de

comportare liniar - elastic a materialului, rezultd:

s" =o"/E (8.6)

fin6nd seama de relatia (8.1)expresia deforma{iei specifice hniare (8.6), se scrie sub forma:

e

' = NiE'q

inlocuind rela{ia (8.7) in relalia (8,5) rezulti ci alungirea specificd elementar} este

^(dx)=(n/rn)ox

aio,

Rezisten{a materialelot

(8 7)


Pentru o bari cu lungime .,1", alungtrea totalS r\l se obline prin sumarea alungirilor speciflce

elementare:

Produsul EA se numegte rigiditatea secliunii la solicitari axiale. Atunci cand raportul N/A

este constant pe subdomenii, alungirea totali a barei este:

: :Nrrl =5-nl . ) '''L : :IA,

Punctele de pe suprafala secliunii de capat a barei solicitate axial se deplaseazd dupa direclia

axei, mbrimea deplasariior (u), lincj egala cu alungirea (Ai )a capatului de bara:

(8.e)

8" 7. Varialia ariei" Variafia volumici

Un element structural solicitat la intindere centricd igi modiflca prin deformare: lungimea, aria

seciiunii transversale 9i volumul. Un cub elementar detagat din elementul structural solicitat la

intindere cenkica se deformeazi (fig,8.12), alungindu-se dupa directia,,x"9i scurtAndu-se dupi

direcliile,,y" gi '2" Latura paralela cu direc{ia,,x" devine de lungime: 1+e' iar laturile paralele cu

direcliile ,y" gi ,,2" au lungimile: 1-vtx. Aria sec{iunii elementare (Au), cu normala ,,x" pe planul

acesteia, se micgoreazd avAnd valoarea:

A" - ('1 *r,e, )(t -t,s^ ; = (t -ve, )2

A1a flnala a sec{iunii kansversale normali pe axa x a elementului solicitat la intindere cenkici

din care s-a detagat volumul elementar este:

I

ll= J(N,i EA)dx0

Daca secliunea barei (A) qi efortul axial (N) sunt constante, rela{ia (8.8) devine

Ar = ArA. = Ao I1- r'c, )2

unde An este aria iniliald. Neglijand infiniliimicide ordinuldoidin relalia (8.10), rezulti

Ar =Ac(1 -2r'e,)

(8 8)


(8 10)


Solicitdri axrale 153

Varialia suprafelei elementare cu normala ,,x" esle data de relatia:

^^ rt ,,^ J i a..^lAe \r-\i^/ -r -L\'.^

deci modificarea totala a ariei sec{iunii transversale a barei va fl:

AA=Ar-Ao=*2verAo

lrc,, _

Fiq. 8.1 2

Variatia unititii de volum dintr-un corp solicitat se nunnegte variatie volumici specificiev flind datS de rela{ia:

eu = (t+e, )(t-e, )(1 -e* )-l = lt -2,,,e, +e, + el (,,,2 * 2v )+ v2e3l-1 (8.1 1)

Negiij6nd inflniliimicide ordin superior el 9i el relalia (811)devine:

eu = (1 -2ve, + e, )-'1 = e, (1 -2v)

linand seama de relalia (8"11), expresia varialiei volumului total al barei va fi,

Av = Vi * Vo - €vVc = sr (1 - 2v)Vo

Din analiza experimentali se constati ci volumul elementelor solicitate la intindere centrici se

mbregle dupa delormare ciecr:

er=(1-2v)e,>0

gi in consecinlS coeflcientul lui Poisson este cuprins intre limitele: 0 < v < 0,5. Valorile coeflcientului lui

Poissondeterminatepecaleexperimentalisunt: pentruo{el: v=0,3. pentrubeton: v=02 etc.

1

ittsF-. it':;rt.iii

Il154

, 10: 1 N2tt :̂ a tr aE

^l

1 r.N2 1 NzlU= i-.Jx=.) rc^ 1tr^a0Ln LL^

Solicitiri axiale i5sSolrcitdri axiale

8, I Energia potentiald de deformatie

in paragraful 6.8.4 s-a demonstrat ci, in cazul corpurilor soliciiate in domeniul liniar elastic

energia poten!iali specifica de deformalie este data de relalia (6.4i) Din analiza stirii de tensiune gi

deformalie a barelor solicitate axial, prezentatS in paragraful 8.2, rezullb ci pe sectiunea transversala

se dezvoltd tensiuni normale o, 10, ca urmare a existenlei deforma{iilor liniare speciflce e, + 0. in

concluzie. pentru acest tip de bare, energia potenlialS de deformalre specifica este dati de relalia:

g. =]o*., (8.12)I

Tin6nd seama de legea lui Hooke gi de rela\ia (8.1), expresia {8'12) devine;

(8.1 5)

Aceastd relaiie mai poate fl ob{inuti {inAnd seama de observaiia cAin cazul elementelor cie

construc{ie care au o compodare liniar - elastici, lucru mecanic ai fo(elor exterioare L. este

transformat in totalitate in energie poten{ial5 de deforma{ie:

u--. =Jnu"2g, !irand seana de rela;.a (3.9) rezulti:

Energia potenliald de deforma{ie corespunzatoare unui volum elemeniar dV este,

dU -usdV =*Sou (813)

Snergia pote.liala tctala se obt;ne prin sumarea pe voiunul barei a exptesrei enetgier

potenliale elementare (8.13) deci:

1 ^l-

4 ttl

u I f il '' .dv = f\x ifdA iB 14)2 "'EA- 2 jEAt ';

Atunci cand for{a axial5 (N) gi aria sec{iunii transversale (A) sunt constante in lungul barei,

r-elalia de calcul a energiei potenliale totale (8.14) are forma particulara:

La evaluarea energiei potenliale de deformalie nu se poate aplica principiul stlprapunerii

efectelor, deoarece in expresia (8.15), termenul efortului axial (N) este la p5trat,

Daci foria axiaid, aria sectiunii qi modulul oe elastrcrtate variazi in lungul bare;. dar suntconstante pe subdomenil de lungime I , expresia energier poten!1ale cie defcrmalte (8.15) eqls 631i 69

relaiia:

-u2,J-'t'n'i2"- A )

8. I Proiectarea barelor cu sectiune constantd solicitate axial

8.9. 1 Calcuiul de rezisten!5

in rela\ia fundamentali de calcul a barelor solicitate axial (8'1) se intirlnesc trei m5im1, 1st3axiala (N), aria secliunii transversale (A) 9i rezisten!a materialului (R6) Dacd doui q;p1p1 runlcunoscute. urmeaza sa se determine a treia, deflnindu-se astfel cele trei probleme ale cq;6Lt;x1u1 6srezisten!5: verificarea rezistentei, dimensionarea 9i determinarea fo(ei capabile. in calcululcurent al elementelor de construclie din ctel solicitate axial se considerl pentru coeflcientul partial desiguranld valoarea m = 1.

8.9.1.a Verificarea rezistentei barei

Cuncscirnd sectiunea barei (A,.,), rezistenla malerialului {Rr) din care este confec{ien315 53pg

gi valoarea efortului axial maxim (N.r,*r*) din diagrama de variatie in lungul barei, can6;1iu 6.rezisten{i in sectiunea de calcul este lndepliniti dacS:

N,ET MAX

oxef nax - I S Ko (3 16)hef

Conditia de rezistenta fiind indepliniti in secliunea de calcui, este indepliniiS gi in celeialtesec{iuni unde efortul axial are valori mai mici.

1 l\ll 't ttilitt 'lt 't'u- l\ *

2 Ep, 2EA


9l

li

Solicitari ariale 157


8,9.1.b Dimensionarea barei

Aria necesari a sectiunii (An".)se determind plecand de la observa{ia ci elementul proiectai

trebuie si satisfacd cel pu{in la limiti conditia de rezistenla in sectiunea de calcul, deci:

N.Anec = -glJax (9.17)

l(o

Rezistenla Ce calcul Rd, se alege conform indicaiiilor standardelor gi codurilor de proiectare in

vigoare. Cunosc2nd aria necesare (An".)$i aria geomekica (Ao), dimensiuniie secliunii iransversale

se oblin exprimAnd condilia de egalitate intre cele doui mdrimr An=, = As,

De exemplu:

- pentru secliunea circulara; na2 f + =Anr. f Dn.. =.4A,".1 ;

- oentru sec{iunea inelara: rn! nfi-o'}- A,u , D. *, - ,A* rj-1 - I gr

D;.o. = cr-D,,.y , unde: cx = D, '''D. .

- pentru secliunea pbiraih. a2 = An.. a ar". = "rE;

8.9,1.c Determinarea fortei capabile

Fo(a capabili a barei reprezinti valoarea efortului seclional maxim pe ssps il poate

prelua sectiunea transversali. CunoscAnd rezisten{a materialului gi aria efectivd a sec{iUnii, cindcondi{ia de rezisten{5 este indeplinitS la limita, se obtine:

N.ro - A.iR6 (8 18)

Dacd forta axiala este cunoscuta 9i secliunea este varrabild in lungul barei, atunci gecliunea

cea mai solicitata este cea cu arie minima. in acest caz, condi{ia de rezisten[5 se exprime suI forma;

^ -N.t -,o,e-ra"= ^

<Hc' 'mln

Atunci cAnd efortul axial gi aria sec{iunii kansversalefunctia tensiunir normale este data de rela{ia;

o- (x)= w(x)in(x)

abscisa x0 a sectiunii de calcul oblinAndu-se din condi{ia:

sunt variabile in lungul elenentului,

ao. (x) n=u.lx

Condi{ia de rezlsten!5 in secliunea de abscisd xo a sectiunii de calcul este

N(xn ) .6rrr^=^f.<RuA(xo.j

8.9.2 Proiectarea barelor cu slibiri solicitate axial

Pentru barele care au concentratorl de tensiuni (fig.8.13), conditia Ce iezistenla se exprirna irseciiunea sldbiia:

[ -tl['" o; = 'o

Aria neta (An", i se obline din relaiia:

(8 1e)

- Ao, - este aria brutd (a intregii secliuni) 9i

- A., - este aria slibirii (aria golului din sectiunea slbbita),

in cazul particular al elementelor de construclie liniare cu sectiune dreptunghiulara

ada nete datb de rela{ia:

An.t = Ao, * Arr = h(b *d)

,.h' gi ,b' reprezentand dimensiunile sectiunii transversale iar,,d" diametru golului.

Calculul barei cu slabiri lncepe cu predimensionarea acesteia:

(fls 8.13)

(8.20)

unde k. este coeflcientul de slabire a barei care se apreciaze supraunitar.

Deoarece in rela{ia (8 20) intervine coeficientul k. arbitrar este necesar sd se veriflce daci

sec{iunea dimensionatd verificl condi{ia de rezisten!a (8 19). Daca condilia de rezisten!5 este

indeplinita la limitd dimensionarea sec{iunii este corectS, daci nu se modiflca valoarea coeflcientului

ks gi implicit dimensiunile secliunii, veriflc6ndu-se din nou conditia de rezistenli in secliunea slibiti,pani cAnd acesta este indeplinitl la limiii.


158 Soiicitdrr axiaie

Forla capabilS a barei sl5bite se deterrnini din conditia de rezistentd cAnd aceasta este

satisfdcuti la limit6:

N..o : An.1R6 (8.21)

h

.N

Fig.8.13

Cedarea barelor solicitate axial se poate pr0duce gi in secliuni inclinate. datorita ac{iunii

tensiunilor normale on ;i tangen{iale tno care aciioneaza pe acestea, Deoarece tensiunile normale

o, de pe secliunile transversale sunt gi tensiuni principale, cedarea eiementului se produce in

sec{iunile inclinate cu 45'faie de axa elementului pe care ac\ioneaza tensiunile:

t. = t",r, - o, 2 9i oo, = 6, r2

Deoarece pe aceste sec{iuni ac{ioneaze tensiuni normale gi tangen{iale condi{iile de rezistenlasunt exprimate de rela{iile:

nTl .lt_l(tb

o,, =? sRo : T.u,-?.*0,

o..' =noJ3t; - utoJ'-3{o, 2}' -o, <Ro

unde R6,1 este rezistenta de calcul la forfecare a materialului.

Prima gi ultima condi{ie nu sunt mai restrictive decdt condilia de rezisten!5 (8 16) exprimata pe

secliuni normale, deci pot fi neglijate. Astfel, condiliile de rezisten!5 pentru un element solicitat axial

su nt:

- pe secliuni normale: or,.1 < R6,

- pe sectiuni inclinate la 45": ref,max - or./2 < R6,t.

Rezisten!a materialelorRezistenla materialelor

Solicitiri axiale 159

,. lRd i

>0.5Rd

a)

Rd, f < 0.sRd

b)

Fiq. B.'14

Se observi ca, atunci cand R6,1 > 0,5Rd, condi{ia de rezisten{5 restrictivl se exprimd pe

secliunile normale, ruperea elementului flind produsd de tensiunile normale o, prin smulgere (fig.

8.14-a) iar atunci cAnd Rd f < 0,5Rd, condi{ia de rezisten{d restrictiva se exprime pe sec{iuni inclinate

la 45', ruperea elementului producAndu-se prin Iunecare (flg, 8.1a-b). in concluzie, natura ruperii unei

bare solicitate axial depinde de raportul dintre rezisieniele materialului,

8,9.3 Calculul de rigiditate

Elementele structurale solicitate axial indeplinesc condilia de rigiditate daci deformaliaefectivi a barei (AIu, ) nu depigegte valoarea admisibili {.r1, ), Condiiia de riEiditate se expi-imb cu

relaira:

tJ'll --'ll\l-.- '<Al^1

trA dl

L :icl(8.22)

Calculul Ce rigiditate al unui element structural impune rezolvarea a trei probleme: venficarea

riglditS{ii, determinarea forlei capabile 9i dimensionarea barei.

8.9.3,1,a Verificarea rigiditilii barei

Verificarea rigiditatii elementului structural Iiniar solicitat axial se realizeaza cu rela[ia (8 22),

valoarea deforma{iei admisibile Alu , este precizati in standardele sau normativele in vigoare cu privrre

la proiectarea acestora,

8,9,3.1.b Dimensionarea barei

Aria necesarl a elementului structural liniar solicitat axial se determini din relalia (8.22) chndaceasta este indeplinita la limita.

An..N.t

Eala


8.9.3.1.c Forta capabili a barei

Fo(a capabilS a elementului structural liniar solicitat axial se delermin6 din rela{ia (8.22):

A Vlll,2

Sa se determine valoarea maxrma a ciarnetrulur golulur circular oractical in bara din lemn, (flg.8,15) pe

tr6nsonul B-C de aqa maniera incAt sd nu fie afectate capacitatea de rezisten{d a acestuia. Si se determine valoriie

deplasirilor sec{iunilor B gr C, penlru cazul cind P=Pcap Date numerice: i=6,0m; b=1Ocm; h=40cm;

R61.'n = 120 daN/cm2; E = l0adaNlcmz.

Rezolvare.

Dtametru golulur circular practicat in axul elementului. se determini din condi{ra ca fo(a caoabil5 a tronsonului

B-C a elementulur structural sd fie egald cu fo(a capabild a tronsonulur A-8. Fo(a capabilS a konsonului B-C se obline

punind condiira ca eforlul axial si fie egal cu for{a capabilS a sec{iunir slSbile a elemenlului slructural:

EA ^lr r Lnelaral\-^- =-tdljl

N.,.-o-R,A.. - P.:;u-R"rr-dl

Analog oentru tronsonul B-C se ob{iner

Ng-. - 3P = R6A", -> Pj;B = Rabh

3

Ixprim6nd condilia de egalitate a celor doud fo(e capabile se obline:

D hh 1 1R"b1"-dl-'"j r d,"^=:h-140=26.zcn

JJJ

Valoarea fo(ei capabile a elementului structural liniar este :

_ Rdbh 12A,1A ,4A'cap 3 3

= 1 6000,0 daN

Fo(a axialA frind constanti cu valori diferite in Iungul celor douS tronsoane, deplasarea pe orizontala a

sec{iunii de capdt C este datd de rela{ia:

.. N..'.13 NAq^213 Pl 3P,213 1 Dl

" EA EA 3EA EA 6EA


',F',],',

t,

II Solicitdri axiale i6l

cu valoarea

1:1' -l 'l

cc

Itt.b "

Fig,8,15

Considei-And for[a P - P". = 16000,0 daN, i-ezuliSt

1 Pt 1 16000,0, 600,. =-oro =-6. oo ={o4cm

Dep aslrea sec{iunii ?. se evalueaza cl erp es'a

N.-x21.'3 3Px21 3 2?l,EAEAEA

2Pl 2x'i6000.0x600u" - -= - -' '"'"-'l "-' - -0 48 cn" EA 10- .40c

L-2


8.10 Bara de egali rezistenti

Barele solicitate axial sunt proiectate ra{ional atunci cdnd in orice sec{iune din Iungul

elementului tensiunea oxermax 1Ro , ln aceasta ipotezl pentru confec{ionarea barei se consuma o

cantitate de material minima. Bara care rispunde acestui criteriu este denumita bari de egald

rezistenta.

Se definegte bara de egali rezisten!5 ca fiind elementui in lungui caruia tensiunilenormale au aceeagi valoare: 6xer = Rd. Condilia de egala rezistenla conform definiliei este:

(8.23)

Funclra N(x) pcate fi contrnud sau discontinui 9i poate varia dupb diverse legi, in consecin!d

func{ia A(x) trebure sa varieze astfel incat, valoarea raportului celor doui funclii in orice sectiune sifle aceeagi.

Din rela{ia (8,23), rezultd cA;

N(x )AtX l=

R,t

F. F. +F-A.=- si A"- - t

'RdRd

(8.24)

relalie cunoscutd sub denumirea de ecuatia formei de egala rezistenli. Forma barei de egala

rezisten{a este continua sau discontinui atunci cand func{ia N(x) variaza continuu respectiv

discontinuu. Este studiatS'in continuare forma barei de egal5 rezistent5 in doui ipoteze:

8.10.1 Forma barei de egalS rezisten!5, cAnd nu se tine seama de greutatea proprie a

barei

Se consideri o bari in consoli ac{ionata de o for[5 concentraia F in sectiunea din capdtul liber

(fig 8.16-a). Funclia efortului axial N(x) fiind constanta, din relalia (8.24) rezullb cd 9i funclia A(x)

este constanta, adicd,

A(x )= F/Ro = const.

deci bara de egalS rezisten{a are sectiune constanti in lungul ei,

Atunci cAnd funclia N(x) este constanti pe tronsoane (fig. 8.16-b) func{ia A(x) este de

asemenea constanti pe tronsoanele respective gi are valorile:

Rezistenia materialelorRezistenta materialelor

(8.26)

'*!i.

iI

Solicitirr axiale

I[l-tiA1 'A2 I

b)

Fis 8.16

bai'a de egala rezistenla firnd cu sectiunea constanta pe tronsoane. Atunci cand bara este incarcatb cu

mai multe forle concentrate, forma barei de egali rezisienla este o bara cu secliunea constantd pe

tronsoane. caTe urmbresc alura diagramei de fo(a axiald.

8.10.2. Forma barei de egali rezistenti, cand nu se tine seama de greutatea proprie a

barei

La calculul elementelor solicitate axial. in anumite cazuri este necesar sa se considere sr

greutatea proprie a acestora. Alcdtuirea acestor tipuri de bare cu sectiune constanta nu ar fi judicioasS,

deoarece sectiunile ar fi solicitate inegal,

Se considera o bard lungl solicitatd la intindere centricd de o fo(a concentrata F aplicata in

extremitatea libera (fig. 8.17). Func{ia fo(ei axiale N(x) in sec{iunea curentd x este;

N(x)=r rcix)

unde G(x) este greulatea proprie a tronsonului de lungime x.

Pentru deducerea formei barei de egala rezistentS, se considerd doui sectiuni infinit vecine la

distanla dx cu ariile A(x), respectiv A(x)+dA(x). Bara frind de egali rezisten{5, in orice secliune

transversaji, tensiunile normale sunt o, = Ro. Greutatea konsonului elementar dx deiagat dln bara

se evalueazl cu reialia:

dc(x)= yA(x)dx (8 25)

unde 1 este greutatea specifici a materialului. Pe fe{ele care delimiteazd tronsonul elementar de

lungime dx, se pune in evidenta efectul pa(ilor indeplrtate, Scriind ecuatia de echilibru static dupa axa

x, a fo(elor care aclioneazi asupra tronsonului elementar se oblrne:

IF, =0 = RoA(x)+dc(x)-no[n(x)+o,l(x)]=o

.F

A=consi

164 SolicilSri axraie

inlocuind rela!ia (8.25) in rela{ia (8 26) rezultd:

RoA(x)- 14(x) dx *Ro [A(x)+ d,a(x)]= o

ReducAnd termenii asemenea rezultS:

RodA(x)= 14(x)dx

dA(x) ',/

-n(rr = * o*

lntegrAnd membru cu membru relalia (8.27) se ob{ine

lnA(x)= Lx+C,D,.c

Z

Fig.8.17

Constanta de integrare C se determini exprimAnd condi!ia la limiti in sectiunea de la capitulinferior al barei, Astfel, cAnd x = 0 + A(x)= Ao. unde Ao =F/Ro . inlocuind rezultatele ob{inute in

relatia (8,28) constanta de integrare C devine:

inAo = g

inlocuind expresia constantei de integrare astfel determinati in rela{ia (8.28) rezulta:

*T-

I

I

i

l

I

I

I

I

o,i-til

I

(8.27)

(8.28)

F*G

AX)+dA(X)

A{x)-dAix)

liiirill

\-7\ 0u/\r/\,tt__l___J

'Y

A(X)

Rd

dx

t.N(X) 'A(X)

-Ao

Rezisten{a materialelorRezistenia matenalelor

:Fl 1I

Ii

il Solicitiri axiale

lr . /,sau A{x l- Ane\' =

t e^'" R,t

Greutatea elementului structural de egalS rezistenla se obtine prin integrai-e:

^ ( ,, )c(x)=yj,t(x)dx sau G(x)=[n(x)-no]no =r] eR. -r

Io[)Funclia deplasirii u(x) dupi direc{ia axei elementului este:

, N(x) R^ ,,u(xi=Ir '':dx=rlidx+C (8.29)'EA(x) E '

Constanta de integi'are C se deiermini din condi!la la limiiS expi-imata in incasirare. FentrLr

x-l --) u(l)-0 deci

11 F+r,A,l, Fuxfldr-

^ -;TIr1A1 41

lnA(x)-lnA. = I x"Rc

&t*c=o = c=-RorEE

lntroducAnd expresia constantei de rntegrare,C" in relatia (E.29) se obline funclia cleplasdrii;

D

u{/) -''! (l-xlE

Semnul minus indica faptul cl deplasarile se produc in sensul negatlv al axei ,,x", Funclra

deplasarii are variatie liniara cu valoarea maximd in capitul liber al barei:

, Rnl Fl

" "'- E EA,'

8. 1 1. Bara cu sectiune constanti pe tronsoane

Bara ci; variaiie exponentiaia a seciiunii este dificil de reaiizai in practica. Din acesi mciivsec{iunea cu formi ideali se inlocuiegte cu seciiunea variabili in trepte. constant5 pe lungimea

flecirui tronson.

Se considera un element structural alcdtuit din trei tronsoane cu sectiune gi lungirne diferita.

confectionat din acelagi material, Sectiunile de calcul ale elementului sunt: 1- 1',2-2,3-3', situate la

panea superioara a flec5rui tronscn, in seclitinea de calcul a primului rrorscn se poate scr e:

ton Solicrtdri axiale

Aria necesara A,n". penti-u tronsonul unu se obline din condi!ia ca oiLu, = Ro, deci:

nF^'ttt

' *o -l'i'

Expresia forlei axiale in sec{iunea de calcul 2-2 esle.

N'-2 -F*ri,A.=F+V. FRo-

' Ro - ldr R, ll,

finAnd seama de forma de exprimare a i-ela{iei de calcul pentru A,n.., rela{ia pentru evaluarea

ariei necesare a celui de al doilea tronson devine:

,,2 2n _ N6i' FRott'et

Ro - !z (Rl ,ir,l(Ro - I:)

in mod asemSnitor, aria necesara a ironsonului ai treilea (Aln..) se determini cu i'elalia

^ N:: 1*0,-cz -- -lla-"r'rec-Rr-ll R.-)i: rRo-1,)rRo-/:lrRr-.1.)

ContinuAnd ra{ionameniul, pentru cazul generai cand bar"a este realizalb din n tronsoane de

lungime diferiti;

i8.3c)

I fiind lungimea total5 aln cazul particular cAnd cele n tronsoane au Iungime egala gi l" -linbarei, relalia (8.30) devine:

rn n-1

^ lNd

A- --^ --rilsLrinlKd -Yr n,l

Rezisten!a materialelor Rezistenla materialelor

=.ib95cn'

ti

Solicitari axiale 157

l3

t,

a

I

I

j,i

------..-> l'A

Itu1

".: F+S+Q^q = n' '+'ir.

-.^3Jtr r fl rr'l

-

I'v1'v2]-'.^-43

22 trLa:o" = ' j1+?1"

ntI tblrt

1,1 -

F

A,l

Fig.8.18

Cantitatea de material suplimentara consumata de forma in kepte, in rapori cu forma idea{aexponen!iala esie prezentale hagurat in figura 8.18. Se observi ci bara cu secliunea in trepte seapropie mai mult de bara ideala cu cAt numdrul trepteior este mai mare, cAnd n r - formabarei cu secliunea in trepte coincide cu forma barei ideale.

A Vilt-3

Pentru peretele dln zldirje portanU, asupra clruia ac\ioneaza incarc5rile iransmise de pianSee{e iin be'ionarnal. de la ceie doub nivele (fig.8.19) se cere.

1 ) sa se dimensioneze acest element structural in urmdtoarele varranle:a) cu seclrune c0nstanie pe intreaga inalllme;

b) cu secliune constantb pe inaltimea unui nivel.

c) cu sec{tune variabil6, astfel incat tensrunea normalS o" sa fie constantd in orice secliune.

2) si se dimensioneze funda{ia zidului in cele tret varrante.

Date numerice: Pr =15000 daN/m' Pz ='1 1000daN/m; hr -3,0m; h: =2,80m; ./, =i600daNlm:,'t,-223A Calri'"nr h, -120m; R., =3,5daN/cm2; Ra. =15 CaN/cm2.

Rezolva re

incircarea transrnsA din planqeele de beton armat, la zidul porlani, frind conslantb in lungul zidului, calculutaces:J; se'ace pe li,:'rgi:re tr.'la:;.

Dimensionarea zidului:a) zid cu sectiune constanti oe cele doud niveluri, secliunea de calcui este la baza acestuia unde f6qa

axialS are valoarea maxima. Deoarece nu se cunoagte greutatea zidului, aria necesara se determnd onn aplcareareiatier:

o - N 2lo.-?-) 2rt5000r110001^* -n-.''il f,rff -c_--rh-,, Ln l5-t3C0+280J.16.10,

Calculul efectuAndu-se pe Iungrmea de un metru, l5{imea necesari a zidului este:

F+GlGlGs

tod Solicitdri axiale

A

o-" -., - =rr.t

la baza acestuia unde fo(a axiala are valoarea maxima. Deoarece nu se cunoa$te greutatea zidului, arla necesarS se

determinl prin aplicarea rela{iei:

n N _ 2P-P-) _ 2{1500C-11000) _lAo(nm-^" -n.Jn., trfl, -p--1,1 ;6, 1ry, 151C0-80;1i.;01

Calculul efeciuindu-se pe lungimea de un metru, lSlimea necesari a zidului este.

Ab, -

-" 3icrlr'=' 100

Dimensionarea suprafe{ei de rezemare a fundalrei pe teren:

A. _ 2{F.1 D l+G, _ 2(15000 i 1'lJ0)-3/33C ,17.30,3c_?" R,, ".7, R", -h,/o 35-120t2.2.'A-'

u nde:

G. - b, x(h, +l'.r')x1,-0,37x(3,0-2,8)x16c0= 3433,6

Lalimea necesar5 a fundaitei:

, A,.". 171303 41. ^o '' - 'oo - ,oo = tttcn

b) zid cu sectiune in trepte, constanti pe iniltimea fiecirui nivel:

"' Dimensionarea zidului la nivelul doi:

. N, Za 2_ 1,000 ^A --i = -+1511.ocrn2 _ b = PL=15cm

Ro.-h:'/- Ro, h:L 15-280'1.d 10' 100

/ Dimensionarea zidului la nivelul unu:

n N. _ 2lP, 'P2ir Gi. 2(15000*'.J00)'672 _.^"rr^^, . h

R.,-h,,y, R._-/_h. 15-30:.i.6r1C-'

unde:

G, : = h: x bi x 1,0 x y, = 2,80 x 0,1 5 x 1,0 x 1 600 = 672 daN.

Suprafa'la de rezemare a funda{iei pe teren este:

N 2(D. P.)- G", - G..

'" R", -h,y. R", hi7"

L

'ec _?An^h

100

2 (1 s000 + 1 1 000)+ 1 728 + 672

^- ,^^ ^^ ]^_]J.)_ IIUYZ.ZV IU


= 16810,9 cm2

Rezistenta matenalelor

Solicitdri ariale 169

- 2q+cz2

2q +2q +G21+G,,+G.

Fig.8.19

bj

b)

l

'bf

c)

170 Soiiciidri axiaie

unde: G,, = hr x br xl,0 x ], = 3,0 x 0.36 x 1 0x 1600 -.1728 daN.

Calculul efectuAndu-se pe unitatea de lungime, Idlimea necesard a flndaliei:

, A '16810 9D" : 1oo---lti9ctr

6) zid sub forma unui element de eqald rezistenti pe iniltimea fiecirui nivel. Aria seclrunii transversalecurente, situatd la distan{a x1 fald de extremiiatea superioari a zidului de la nivelul do se cjetermind cu reia'lia:

'(-

A't',1 --N' .t' "

- 2P .""'"'' Ro, Ri.

- pentru x. -0 = Arf0)=14667 cmz, deci: br(0)-14667i100-'l47cm;

- pentrur xz =ZBccnr -- A:(280)=1466,7xe1 067!1i ''23c =1511,20cmr, = n,(zsol=!1? -152cm.

1 lr0

Conslder6nd sectiunea curenta situaii la distanla x2 fa!6 de extremtatea superioara a nivelului unl, funclta

A-lx J esie

\,* ''-'-*., - -Jo,

Lr nd," r

i, ,p n, _,'.,, .n o f *r, .,

c., 7-i,t.', td< !', r.1"'" dt { t,^o',.-, -',-i \,t I Ho, 'Y,

I

- 2P,l e

-pentru xr=0 = A,(0)=

1.6x1c-3 3rt

x e 1s = 3642,0 cm2

-,1=r*''rooi.

2(15ooo-r1ot]o)-909,5

iJ

xeo -3527,3cm2; = b,(0)=35,3cm,'15

2(15000+11000)+909,5-pentru. x2 =hr =300cm = A,(aOO)=

A l.AAt) b, --- - "" ' J6.4 cm.100 100

Dimensionarea fundatiei:

n N. _2F.-p)\,G,t+G,. 2115000-11000t-9095*1,,26 .ro,^r^__" R,, -r, ^1r. Ro. *h,xyo 3.5-n20. 22"fi-'

A

- b. = --L = 168 8cm' 100


f".I

Solicitiri axiale

c.. = y. J n. (x, ;o x, - (2p, + 2pr* c,, )r.(.

;;"' - 1) =

= (zx11ooo + z x 1s000 + 909 s)r i.1'?'5*"I

8. 12 Sisteme static nedeterminate, solicitate axial

Sistemele dln bare static nedetermrnate. au un numdr suplimentar de legaturi fa{i de numarul

minim necesar asigurarii invariabilita!ii echilibrului staiic, Numarul minim de legaturi, este egal cu

numarul cu numarul ecuatiilor de echilibru static (trei ecuatii in plan sau gase ecualii in spaliu), pentru

flxarea elementului structural. Gradul de nedeterminare statici, este dat de numirul legiturilorsuplimentare.

Sub actiunea incircSrilor exterioare, sistemul static nedeterminat se deformeaze pana cand

ajunge in starea de echilibru elastic caracterizat de:

a) conditia de echilibru static a fo(elor exterioare gi intei-roare drn sistem care constituie

aspectul static al problemei;

b) conditia de compatibilitate a deformaliilor, care constituie aspectul ge0metric al

deformaliilor. AceastA condiiie precizeaza legaturile dintre deformaliile sau deplasidle elementelor

c0mD0nente ale sistemului, astfel incai dupd defcrmare si fie indeplinitd conditia de coniinuitate a

structurii in orice punct al acesleia. Ecualiile obiinute Cin exprimarea condiliei de compatibilitate a

deforma{iilor, se numesc ecuatii de compatibilitate sau ecuatii de echilibru elastic, Rezolvarea

structurilor static nedeterminate, implica analiza concorniientd a aspectului static, geometric Ai fizic,

care caracledzeazd echilibru elastic al structurii, Aceasta se realizeazb prin scrierea ecualiilor de

echilibru static a fortelor exterioare qi interioare gi a ecualiilor de echillbru elastic,

Ecua{iile de echilibru elastic, se ob{in examindnd dependen{a geometrice dintre deplasiri pe

deformata structurii. Forma acestor ecuatii depinde de geometria sistemului 9i de modul de incircare

al acestuia, fiind speciflce flecirut caz particular,

Rezolvarea sistemelor static nedeterminate solicitate axial. impune alegerea unui sistem de

baza static determinat. care se ob{ine prin suprimarea legaturilor interioare qi/sau exterioare

supllmentare (egale cu gradul de nedeterminare staticd) 9i inlocuirea lor cu fo(e de legdtura

c0mpatibile. care cOnstituie necunoscutele problemei.

Scriind ecua{iile de echilibru static ai cele de echilibru elastic (care exprimS condi{iile de

compatibilitate intre deformaiiile sistemuiui de baz6 gi a celui static nedeterrrinat), se obtine un sistenn

in care numdrul de ecua{ii este egal cu numdrul eforturilor necunoscute interioare 9i exterioare (din

reazeme). Valorile eforturilor necunoscute, se obtin prin rezolvarea sistemului de ecuatii,

8. 12. 1 Cazuri particulare

8.12,1aBara dublu incastrati, incircata cu o fo(i concentrate in deschidere

Se considerd bara cu sec{iune constante, actionati de o fo(5 concentrate,,F" cu punctul de

aplica{ie in ,,C". Se cere sa se traseze diagrama de variatie a efortului axial.

172 Solicit6ri axiale

Rezolvarea problemei se realizeazi cu ajutorul meloCei forlelor, Se considera sistemul de

bazarealizatde bara in console rezultat prin suprimarea reazemului ,,8". in capdtul liber, se introduce

efeciul pir-{ii indepartate, reac{iunea Rfl in reazemul flx 'A" al sistemului de bazb aclioneaza

-Areactiunea Rij .

Aspectul static al problemei presupune o singurd ecualie de echilibru static,

(8 30)

cu doue necunoscute (n0,n9), bara fiind o dati static nedeterminatS. A doua ecua\ie se obline pdn

scrierea condi!iei de compatibilitate intre deformatiile sistemului de baza gi ale sistemului static

nedeterminat. Sub actiunea for{ei .,F', punctul ,,8" de pe sec{iunea capatului liber a sistemuluidebazb,suporti deplasarea:

tr^UDll l-! trA

b)

Fig 8.20

Capitul 'B" al barei, fiind flx, in sistemul static nedeterminat, are deplasarea nula. Pentru a

anula deplasarea u, (F). din extremitatea .,B" a sistemul de bazA, se aplica reacliunea Rfl, care

produce o deplasare in sens invers uu hfl ) egaf a in valoare absolutS cu deplasarea u, (F), adic6:

u, (r t= us (RBv ) sau^trcnbr, r1V _T

-T---l*

ttl'lli^lI 'DlR'-1"-

ln?

.t

b

l:

,l

lRlt'-T------l-

lll+ l!

t*l

F_4

l

rl

lb

U^

nBut raEA EA

Rezistenta materialelorRezistenta matenalelor

Solicitdri axiale t7r

Cunoscdnd valoa-ea reaclrun;i nfl oin ecuala 18.sC) rezuha: R oy -

t,b , C, urlrr.,l.

I

reac{iunilor cunoscute, se traseazi diagrama de for{5 axiala N (fig. 8.20-b).

8.12.1b Sisteme static nedeterminate alcituit din bare concurente

Fie sistemul de bare concurente, articulate in noduri dispuse ca in figura 8.20, ac{ionat de forla

concentrata.,F", Se cere sa se determine valorile eforturilor sec{ionale din cele trei bare 9i deplasarea

pe verticald a nodului ,,A". Barele sistemului sunt solicitate la intindere, Eforturile din bai'ele concurente

(fig. 8.20-b), se pun in evidentd prin izolarea nodului ,.A", Sistemul flind simetric, aspectul static al

problemei se rezuma la o singuri ecualie de echilibru static:

IFl,=0 = Nr+2N,cosa*F=0 /A ?1',

Ecualia de echilibru static are doua necunoscute, deci sistemul este o datd static nedetermlnat.

Ecualia suplimentarS. rezulta din condilia de continuitate a deformaliilor exprimatl prin faptul ca, nodul

A', dupd deformarea sistemului, trebuie sa fle comun celcr irei bare. A,stfel, prin exprimarea aspectului

geometric al deformaliilor, rezulti ecua{ia de legaturd intre deforma{iile barelor. Sub ac{iunea for{ei F,

barele Ats g AD au aluigt"ia \i, iar ba:a AC alungir'ea 1l-, rep'ezeniala oe segmertul l'A'Alungiriie barelor AB gi AD se pun in evidenta ducAnd un arc de cerc cu raza BA=DA. Segmenteie

A'E qi FH sun't egale cu aiungirea AI, a celor doua bare. Acceptand valabilitatea ipotezei rnicilor'

deplasdri, unghiul o' poate fi considerat egal cu unghiul cl' 9i arcul de cerc poate fi inlocuit cu

perpendicu{ara dusa din punctul ,.A' pe BA' 9i DF'. Din triunghiul dreptunghic AA'E, se obtine rela{ia

de dependen{a dintre deforma{ii:

Al2 cos(1 = Al1

B

'\-r.

l\,\ i\cr'tU.\ -t-

\'\l

zl

\ -.1- /\/.t. /'\/

\ r,znf ru

- ll-tri,

ct cI _ltr

Ai,

r tu. o,z I

A.t_lF


ExprimAnd deformaliile funclie de efor-turile axiale (aspectul fizic al problenrei) rezulti

N,l" N,l," COSft= '

EzAz ErA',

lntroducAnd in rela{ia anterioar; rela{iile de dependenla dintre lungimile barelor sistemului

structural: lr = I $i ir = l/cos a se obtine:

care cgnstituie ecuatia suplimentara necesare. Din rezolvarea sistemului alcatuit din ecuatiile (8.31)gt

(8.32), rezulta valorile eforturilor seciionale din bare:

N, N,l,' COSrI= "r A trAL2^2 L1n l

EAN. =N" -1"'-cos'n

.c AL2^ 2

tr.tr aN: =, -l'"t 9; N: -' ErAt + 2E,A. cos'o

(8.32)

(8.33\F.E1A1 cos2 a

ErA, + 2E1A., cos3 u

Deplasarea pe vertical5 a nodului .,4' este dati de expresia,

., \rl -ilt:- t EzAz E2A, +2E,A, cos3 u

8.12,1c Sistem static nedeterminat alcituit din bare paralele

Se consideri bara inflnit rigida AB, articulata in reazemul ,A" 9i suspendatd in pozilie

orizontald de doui bare paralele CD 9i BE (Fig.8.22). Barele au secliuni diferite, fiind confeclionate din

maieriale difer-ite, Se cere determinarea eforturilor din barele paralele CD gi DE Se seclioneazd barele

CD gi BE punanclu-se in eviden{5 eforlurile: N, 9i Nr. Din aspectul siatic al problemei rezulta ca se

pot scrie doua ecualii de echilibru static care conlin trei necunoscute (Nj;N2;R0), sistemul fiind o dati

static nedeterminat. Problema se poate rezolva mai simplu, fdra determinarea valorii reacliunii R$.

Astfel aspectul static se reduce la exprimarea ecuatiei de echilibru static:

\-rMA. 0 /c ?1\

Rela!ia suplinrentara se obline scriind conditia de compatibilitate a deformatiilor barelor

sistemului, Bara AB fiind inflnit rigidi dupd deformarea sistemului, punctele C' 9i B'sunt coliniare.


Wr

t

a deforma{iilor se obiine geometric drn asemanarea triunghiurlor:

{ = b /e?q\

Al. b,a ruJr/

D *,_*,t1Nr I

A.E. I C1rJ

C

Fis.8.22

{inAnd seama de aspectul fizic al pr-oblernei, aiungirile barelc; eD ;i BE se evalueazd cu

relatiile: at., = -Nrl 9i at, = Jzt (8 36)E.,A EIA-

Solicitdri axiale 175

Condi{ia de compatibilitate

AABB'-AACC,.

lntroducand expresiile alungrrilor al1 $i Al2 in ecuatia (8 35) se obtine rela{ia de dependenli

drntre eforturiie din barele sistemului:

o

care constituie ecuatia de echilibru elastic. RezolvAnd srstemul format din ecua{rile (8 3a) Si (8 37) se

obi.n exp:esi:iE efcfiur,lc: sec{icnale:

Nr =F(b + c)bE1A1

^i t\l -lr r\2 -

F(a+b)(b+c)E,n,(8.38)

@+a)2Erttr+ abElA1, 1-la + bJ- L2A2 + abLlA1

NotAnd cu \=EtA1 lEzAr, relatiile (8.38) devrn

f A klr lt L nl ul!r _ t!.

---

a)A? a+D

^ Ffb-c)b( I ^ ^, F(b+c)(a-b) I

lll- - )l ll)-:-' (a - bJr + abi E'A1 (a - bJr + aoi E2A,

(8 37)


8.12.1d Concluzii asupra sistemelor static nedeterminate supuse la solicitiri axiale

1, Eforturile preluate de elementele componente ale structurti depind de midmea rigidiialii

axiale

2. Distribuirea eforturilor in elementele componente ale structurii poate fi dirijata atribuind

rigiditatii mai mari, elementelor care urmeazd sd preia o parte mai mare din incircarea exterioari,

3. Relatiile dintre eforturile din bare 9i rigiditS{ile lor sunt neliniare (8.33; 8.38; 8.39), astfel in

sistemele static nedeterminate nu se utilizeaza integrai capacitatea portanta a elementelor

componente, materialele nefiind utilizate ralional, Eforturile din bare depind de rapoartele dtntre

rigiditalile efective 9i nu de valorile efective ale acestora, Solutia optimi se ob{ine prin adoptarea unor

rigidita{i ra{ionale pentr-u elementele structurii,

4. Determinarea eforturilor in elementele componente ale unei structuri static nedeterminate

necesltS cunoagterea rapoartelor dintre rigidititile seclionale (FA), Eforturile din barele unei structuri

static nedeterminate sunt independente,

8. 12. 2 Proiectarea sistemelor static nedeterminate solicitate axial

Prciectarea slslernelcr static nedeterminate solicitate axial impune in prima etapipr-eCinnensionarea barelcr componente pi-in precizar-ea rapoartelcr dintre rigidita{ile seclionale, care

impune cunoagterea rapoartelor E lE,- n, gi Ar,i/A1 =F1, ij=1+fl, n flind numarul elementelordin

structura. Fiind realizati predimensionarea sistemului structural, se pot rezolva cele trei probleme ale

rezisten{ei materialelor:

a) verificarea rezistenlei, se realizeaza pentru fiecare element structural cu relatiile:

ur.ef - (8.40)

ale sistemului static nedeterminat seb) dimensionarea sec{iunilor elementelor componenteiace d n una d n condi!'iie de rezistenld

Ariile celorlalte sec{iuni transversale se determind din condi{ia de proporlionalitate, impuse prin

predimensionarea lor:

Ar.n.. = Al.utPtl

Dimensionarea esie corectS, dacd sec!iunile iuturor elementelor structurale indeplinesc

condiliile de rezistenld (8.40). Daca condilia (8 40) nu este respectata in bara k (k ti), rezulta ca in

acest element conditia de i-ezisten{a este mai restrictivd decAt in elementul ,,i" cu care s-a incepul

dimensionarea, Astfel, dimensionarea elementelor structurale incepe cu bara ,,k", ariile celorlalte bare

Nfu' -^o;'"0

^ NL''inec

Kd


Sclicitdri axiale

flind determinate din condi\ia de propo(ir:nalitate:

A". -A"u

Dimensionarea este corectS daci secliunile tuturor barelor indeplinesc condi{ia de rezisten{5.

c) fo(a capabilS a unui sistem siatic nedeterminat se obtine din relatia:

F,uo =min(F ^,0), i-1*n

unde: F cap se determini prin exprimarea la limiti a condi{iei de rezistenii pentru elementul ,,i" al

sisternului static nedeterminat.

A Vilt-4

Si se cjetermine vaioarea fo(er capaorie peniru sisiemui sii"uclu!al din figura 1.23, dac'a barele cie itp 1 suni

ccn{eciionate din aliaj de aluminju iar bara 2 din olel.

Date numertce: Rrr: =1500daNicm2 Racr =2100C iaN/cm2: EoL =21l.A5 iaN/cm2; E, =37 t65

daNicnr2; 1-3.0m; Ar =5.0cm2; a=3C', A: =7.5cm2.

Rezolvare

Pentru srstemul struciurai dat se scrie ecualia de echillbru static

I[=o - 2Nrccso+Nr-F-o

care conline doud necunoscute, eforlurile drn barele sisiemului Nr g N2, prcblema Jlind o dati stattc

nedeterminatS. Ecualia de echrlibru elastic se obline din examjnarea aspectului geometric Ai fizic al problemei.

"' Aspectul qeometnc, Din A ABA' se obline relalia de dependenla drntre alungirile celor doub tipuri de

bare:

Al' = 11- toto (a)

"/ Asoectul frzic al problemei. Alungirrie barelor 1 qr 2 suni daie de expres ile:

\ I, N.I.1,. '' si -\l. ": rrjl,L !, l'

Din triunghiul dreptunghic ACAD = lz = I $i l: - lr cos cr , Jindnd seama de relaliile de dependeniS

ciltre lr'g,T;le 5a'elor se obtine

N.r lJ.lt' - r'o;; 9' l'- - r n, tc)

inlocuind in rela{ia (a) relalrile de tlp (c) rezultd ecua{ia de echilibru elastrc:

178 Solicitiri axiaie

L

\r

-AN, =N.:I-lcosz(l'tr A

D

Fig. 8.23

finandseamadefaptul cd :=-=] t' |-,s, => Nr=02Nzcos2s. (d)L2 LOi J A:

AddugAnd ecua{ia (d) la ecualra de echilibru static. se obline sisternul de ecualri:

i. o,2Pcos2 a2N, cosa , N, - P. cu sotutra 0 / cos'g - 'l

\. - 0.2N. cos2 o N, _l.' 04cos"ar1

For{ele capabile ale celor doud bare, se oblin exprrm6nd condr{ia de egalitaie dintre efortul din bard 9i efofiul

capabil al acesleia asliel

ri=N-" r #*:-A",Ro-. -

- 04cosra-', - 04cosj30 -1 -. .-^^) - __ '_ A. _.:{_ -- "-" :" . 7 5, 1500 = c4l8sa da\L lcos- c u,lcos JU

D

N: - N_,uo - A, "Ro

o- -u,4c0s 0*,

E7

1


'f'Sclicitdr-i axiale

p- ""-

= (0 4 cos' cr + 1)A, ",o.,,

- 10,4c0s3 30' + 1)x5 x21 0c = 1 3327,9 daN

Fo(a capabilS a sistemulur de bare este:

P.,, = min(P, "uo,P2

*, J= 13327'9 daN

8.13 Sisteme de bare static nedeterminate cu tensiuni ini[iale

Eforlurile unitare care apar in sistemele static nedeterminate ce nu sunt aclionate de

incircari extericare se numesc tensiuni initiaie. Aceste tensiuni pot fl produse de acliunea

temperaturii, inexaclit5li de execulie sau introduse de proiectant in scopul imbunbta{irii comporiarii

sislernului ia ac{iuniie exterioare (cazui elementelcr pr-etensionate),

8. 13. 1. Tensiuni iniliale generate de inexactitili de execulie

Uneie elemente structurale metalice poi fl confectionate cu anumite abater-i dimensionale.

imbinarea lor in str"ucturi printr-un montaj forlat conduce la aparilla unor tensiuni iniliale in intregul

sistem. Se considere sistemul static nedeterminat simetric din figura 8.24, alcdtuit din trei bare

articulate concurente. confectionate din acelagi maierial gi cu aceiagt secliune. Se admite ci lungimea

barei AC, prezint- o inexactitate de execulre 6<<1, lfiind lungimea proiectatd a barei. Realizarea

imbinirii barei AC in nodul A se face prin alungirea barei AC gi comprimarea barelor AB gi AD. daca

in nod se ac{ioneazd cu un efort interior X,

Alungirea barei AC estei Al2 = XI/EA gi scurlarea barelor AB gi AD este realizalb de un efort

de compresiune Xl2cosc care se evalueaze cu relalia: Al1 =X1.,72.otoEA. finand seama ca

Ir = lrtcos u , se cbline; al1 = X1,'/2 totz otU , care are componenta pe verticalSl

Aif - 11., /9oro

= Xl 2cos3 cxEA.

imbinarea in nodul A se poate realiza daca abaterea dimensionalS 5 este egali cu suma

dintre alungirea capitului barei AC $i a componentei pe verticalS a scurtarii barei AB sau AD. Acesta

este condilia de continuitate a deformaliilor 1n nodul ,A" pentru structura static nedeterminatS,

exprrmAndu-se matematic cu identitatea:

AIi +,llr = 6

JinAnd seama de aspectul fizic al problemei, rela{ia anterioare devine:

XI XI

--uEA 2EA cos'cx


Fiq 3 2.1

in barele sistemului static nedeterminat, aclioneazi dupi realizarea montajulur eforturile

initiale

N1 - .-.r.L.Q^ ---,--- in barele AB, AD gi N, -2coscxlf +1 2cos

j aJ

Acestea genereaze tensiunile:

- Ni"r -v yei,l - f̂lei

in bara AC.

E6

2 cos al(1 - '1 2 cosJ cr)

Daca in contjnuare in nodul ,,A" se aplica o for{a de intindere ,,F", eforturile produse in barele

sistemului staticnedeterminatseob{indinrelatiile(8.33),tinAndseamacaElAl=E2A2=EA qi:

Eforturile flnale din bare se obtin prin metoda suprapunerii efectelor:

^, Fcos2 0 ^, ^,

F

't', - 1_ 2*r. o )i ir2 -

1 , 2a*, "

* _hr ,.o Fcos; cx EA6\1.'j - \1-'n,-.1

2r*ro-t.rdF_121 ,.OJC


Soliciteri axtele

F EA6N' - N' '' tl - t ' 2cos'.,

- r1r r z*'" o' t

se observd cd forlele ini!iale lntroduse prin montaj au o influen!5 defavorabild asupra

comportarii sistemului, cand- acesta este ac{ionat de o fo(a de lntindere F, deoai-ece contribuie la

mir-irea tensiunilor in bara centrala cea mai solicitata'

Expresiile tensiunilor finale in barele sistemului sunt:

)t\ri i- cos- cr

A Al'1 + 2cos'cr J

L FA

,af -zcos'a) lh-t 2cosju]

N,l P,lll-_-i

l:At alH:

Fo(a P,, rezultb ciin condi{ia:

P,l _., - p =!,A-3 = rl!1ry!=6.300

ciaN

erA, ' I 150

/ Stadiul 2. Dupd montarea barei 2, aceasta tinde sd revinb la lunglmea inr{ial5 aclionand asupra sistemuiui

structural cu o io(e egat; gt de sens contrar cu fo(a Pl. Sistemul fiind srmetric in barele de cupru 1 ' se dezvoltS fo(e

axrale egale: N1, Determinarea fo4elor din bare se oblrn din exprimarea aspectului stattc:

IF,=o = 2N,+Nr+P.=o

E5_fOrpfl

2coscxl(1+ 1 2cos3 u)

(J.^! r -Vr

A

A Vilt-5.

c bara inflnir rgici, este suspencata cu ajutorul a irel bare nretalice, aceeagi lunglme l"(fig.825)' Bara

certrali Ce c{ei este mai scurta cu disfanla 3 dec6t barele laterale confectionate din cUDru Si se calculeze fo(ele

axtale care apar in sistemul slructural la montaj 9i valoarea maxima a fo(er P ce poate fi aplicati sistemului dupS

mcntaj. Date numerice: l=1.5rn, 6=15mm, Ac, =3'0cm2 Ac' =5'0cmz EoL =2'1x10: daN/cm2' Ec' =f i;<i05

daNicm2, Ro

" = 21 000 daN/cm2, Rc :, = 1 300 daN/cm:'

Rezolvare'

Ststemul din bare artrculate are urmdtoarele stadir de lucru:

/ Stadiul L Se considerd barele {aterale clin cupru montate aclion6ndu-se pentru rnontarea barei centrale din

oiel 2 cu o forla du intind.,. P1 , care se alungegte cu distanla ,{ = 6. Alungirea barei 2 este datS ce relatia


c)Staci!l ll oe ucrrr d)Siadr lilije !cr!

Fig 8.25

Se observi c5 sistemul es'te 0 dat; statrc nedeterminat. A doua ecua{ie rezultd din examinarea aspectuluigeometric q al aspectului frzrc al problemei. Sistemul filnd simetric A incircat simetric, cele trei bare se scurteaza cu

aceea$i cantitate:

al = aL = ttr (a)

lrndnd seama de aspectul fizic al probiemer :

ll,- Nj ,i rl - N'r

E,A, E,A.

lntroducand relaliile (b) in rela{ia (a) se obline:

I:o = t:'

= 51r,i - E"A, pi,r = r.lci =!!l!114=1,r45N\:,E,A, ErA, , ErA, 1 I 1,1,10" t5,A )

_ J2N,' -N-' =-.. . l*, = 0i04p. _ N 2 --19'52da\

-i t,'=1145N2 - lt'.:'=-{,34sq - it.'' =*21e2,4daN

Forlele axrale din bareie srstemului dupa montaj sunt:

N, =Nf2t =-2192,4 daN 9i N, =N!)+ni2l =6300-1915,2=4348,8 daN

(b)

b)Stad u de r:rr


Soilcitdri axiale

,/ stadrul 3 de lucru. Aplic6nd asupra sistemului fo(a P, fo(ele axrale din bare au aceleaqt expresii cu cele dln

stadiul al doilea de lucru:

2\' rN' -D -0 _ lr ' - o:+sp

I n'-:.t+tn -'lr' -o3llaP

Fo(ele axiale din stadiul al ireilea de lucru, dupd aplicarea for{ei exterioare P, se oblln aplicind principiul

suprapunerii efecielor:

N13l = N\2). N(:l -* -2192 4 + 0 348P 9i Ni) = N!2r + N:'' = 4343 B + c 304P

Fo(eleaxialecai'epolfipreluatedecelecouairpuridebarereZ'Jltipnnexprimareacondi!eicaeforlulaxialdin bara sa fie egal cu fo(a capabila a sec\iunri acesteia

- 21e2,4 + 0,348P- A,R",, - " "", - 1'\ffq =

qf 1 3001'?1 9?1 = 24e78'i 6 daN

qi

4348,8+c,304F=A-R",. = p..", - t&t-!44- 9'?09-ij19'9=a+1e,+z cul'l

Fo-;a maxim5 care poale fr aplicati sistenruluL siructural clupb montaj esle

P."o = min(P,""0'Pr"", )= 6418'42 caN'

8. 13. zTensiuni iniliale generate de varialia temperaturii

O bari incalzlti unifgrm, flxata la un capdt 9i libera la celalalt capai (fig 8 26-a) se dilata Iiber

si se alungegte cu merimea:

/R 41\

unde:.(xl.estecoeficientuldedilatareliniaritermicicaresedefinegtecafiindcantitateacu

care se alungegte o unitate de lungirne cind varialia temperaturii este de 1'C;

- | - este lungimea barei,

- At- este diferen!a de temperatura'

La sistemele static deierminate sau in cazul barelor izolate, alungirea sau c.ntractia barei se

produce^liber, fara ca in element sd se dezvolte tensiuni interioare

ln cazul sistemelor static nedeterminate, dilatarea termicd a barelor componente este pa(ial

sau total impiedicata gi ,a ,r*ure in barele sistemului apar tensiuni care se numesc tensiuni termice'

Daci bara este fixati ru un'r[.i..up.tt tng 8.26-b), deplasarea secliunilor tttg i*p]:dlt-lti^F.iii:

;ffiira#ri1'lai,lb l.-tempentura"unifglTa lt: ?':'t1 ?!'- T11:J:::;::Y?'"1'"T ::;?ffi;iffi;*r'iir'fi +if orii.u'.',t'8" impiedici tilTf' "qi"'i d'' "

183


element. in consecin{a, in secliunea ,.8" a barei, trebuie sa aclioneze o reacliune

valoarea de aga maniera incat si anuleze deplasarea din temperaturi (conditia de

deforma{iilor), adica:

^RRil, care sa alba

compatibilitate a

Al' = 61t (8.43)

Fig. 8.26

Pentru determinarea valorii reacliunii din reazemele ,A'gi ,B'. se exprimi aspectul static al

probiemei, prin ecuaiia de echilibru:

n$+nfl=o - nfi=*nl (844)

rezultand ca reacliunile din reazeme sunt egale gi de sens contrar, Problema flind o data static

nedeterminati, pentru rezolvarea ei, Ia ecualia (8.44) se adauga ecua{ia de echilibru elastic:

o,Atl*X/EA=0 (8.45)

care se ob{ine inlocuind in identitatea (8.43) rela{ia: Al, = Xyg4 rezullalA din exprimarea aspectului

fizic al problemei. RezolvAnd sistemul de ecuatii (8.aa) 9i (8,45) se obline:

t"X=Ri-urAIEA

Bara cu sectiune constantd fiind comprimatd centric, tensiunea normald din orice secliuneeste: ox =-X/A =*crrAtE

Tensiunile termice depind numai de natura materialului din care este alcatuita bara gi devarialiile de temperaturi. Efectul nefavorabll al varialiei de temperaturi poate fi inlSturat, daci se

folosesc structuri static determinate sau diminuat prin reducerea lungimii barelor sistemelor cu

deforma{ii pa(ial impiedicate. Reducerea lungimii sistemelor static nedeterminate se realizeazi practic

prin fragmentarea realizala de rosturile de dilatatie.

A Vilt-6.

Un elemenl structural din o{el cu sec{iune vanabiiS, in douS trepte, esle incasirat in capitul .A" 9i liber in

capitul ,,B", Se cere.

a) sd se determine cu ce temperaturb trebuie incdlzit uniform elementul structural, astfel inc6t capbtul liber ai


Sclicitdr-i axiale

barei si ajungS la fala reazemulu ,B", sjtual la disiania 6=1,5cm,

b) sa se determine tensrunile interioare care se dezvolti pe secliunea transversald a._celor doui tronsoane,

daca elementul struclural ajuns Ia fala reazemului,B", se incalzeqte in continuare, unlform, cu diferenla de tempei'aturi

ll 30'C.

Dalenumertce: l,=2,0m; I:=1,5m, (t-t-1?x10'n grad-1; 41 =20cm2; Az=14cm2; E=2'1x10"daNicm2'

l,..t

Fi1.8.27

Rezolvare

a) Sub aciiunea creqteri Ce uniforme de ternperatura, elemeniul structural cu sec{tune variabi16 in trepie, se

dilatd liber alunqindu-se cu mbrlmea:

al' =t111'*'"1o'

Diferenla de temperaturi cu caTe se va incalz bara, se ob{ine exprimand egalitalea dintre alungirea barei din

temperaturb Al, 9t distan{a E .

n,(t, +t,)at-E r . =;*,f -,r;t'*o**1= rut'.

b) Dupi ce bara se deformeaza liber cir distanla 6, extremitatea elementului ajunge la fata reazemului

incilzind in continuare elementul structural, acesta linde sb se alungeasc5

Al"=a(1'-1'11.,

ac1iondnd asupra reazemelor. Alungirea elementului flind'imoiedicatS, reazemele ac!oneazd asupra acestula

cu fo(a axialS N, ce produce scurtarea barei:

r85

186 Solicitari axiale

NI, NI.al = ]+r

EA. EA,

ExprimAnd condilia de egalitate dinire cele d0ua deformalii se obline:

o,(r,+r,),1, =:[*_,-*j -

N =slLfl,)otE - 12x10{(200+150)x39:!]Xto' = 13230 daN

1,.1A, +lr'A, 200,20+150 15

8. ',l4 Bare cu secliune neomogene solicitate axial

Existi numeroase cazuri in pr-actica, cAnd secliunea barei este alc5tuiti din doui sal mai

multe tipuri de materiale, de exemplu: elemente din beton armat, elemente din lemn ccnsolidate cu

profile metalice, cabluri din aluminiu cu miez de otel, etc. (flg 8.28).

Bara cu sectiunea alcituiti din doui sau mai multe materiale care au caracteristici

mecanice diferite, intre care exista o conlucrare perfecti, se numegte bara cu sec!iune

neomogenS.La elaborarea ieoriei de calcul pentru aceste tipuri de bare se admit urmdtoarele ipoteze:

- intre materiale existi o conlucrare perfecta;

- materialele componente sunt dispuse simetric fali de axa elementului;

- materialele se comporti elastic.

in baza acestor ipoteze rimane valabilS ipoteza sectiunilor plane, aflrmaiie care se verificS pe

cale experimentald,

Pentru a dezvolta teoria de calcul, se consideri o bari cu secliune neomogenS, alcituiti din

doui materiale, solicitatd la intindere centricd (fig. 8.28).

Materialele sunt dispuse simetric in raport cu axa elementului, ambele lucrand Ia intindere

centrica. Fie N1 gi Nr, fractiunile din fo(a axiala totald N, preluate de primul, respeciiv al doilea

material. Cunoscand valorile fo(elor N., gi Nr, problema determinirii stdrii de tensiune gi cie deformalie

din cele doua materiale este rezolvata, prin aplicarea teoriei cunoscute pentru calculul elemenlelor cu

secliune omogena, pentru flecare material in parte,

Din aspectul static al problemei, rezulta:

Tensrunile care se dezvoltS pe seciiuntle transversale ale celor doue tronsoane sunl:

o - =-J: "#' 0615 caN cr si o -, l'. - -'12J0 --ss2 6u1,r,.-

N=Nr+Nz

ecua{ie care con{ine doui necunoscute: N, gi Nr, problema fiind o dati static nedeterminata


(8.46)


Solicitiri axiale 187

Al1 - tr1, (8.47J

0iel

U

Fis a.26

JrnAnci seama de aspectul f1zic, relatia (8.47) devine:

\.i _N I

E,Ar EzAz

Simplificand prin ,,1" qi avind in vedere pronrietitile girurilor de rapoarle egale. rezulta:

N,=N,E.A, ErA.t E.A. - E 42

Forla axialS N., preluati de materialul unu. se ob{ine din condilia de egalitate dintre primul gi

ultimul ternren:

l.l. \ ^ NErA.t\. -trl aA tr A =A tr AtTnT Elh LrhT l,n1 -L2d2

Ecua{ia suplimentard rezulti din condilia de compaiibilitate a

materiale fiind o conlucrare perfecta, alungirile lor sunt egale:

tr- ,-nlI I '',ll

[!]a

i.

a

tr l cA f AL2^2 Ll^1 - L2n2

Din relaliile (8 a8) 9i (8 49) rezultd ca fiecare material se incarcd propo(ional cu rigiditatea Ia

intindere. EfectuAnd notatiile:- E',lEz = nrz- denumit coeficient de echivalen!5 9i

- Ar l Az = 11,, - denumit coeficient de propo(ie al ariilor;

Similar foria axialS N2, se objine din ccndilia de egalitate dintre al doilea gi ultimul termen

N2- N ^, N.E2A2

- l\1

--z t A ,tr L1n1tt?6)

deformatiilor. lntre cele doui

(8.48)

(8.4s)

1BBSolicitiri axiale

seg!.1:J

trd,----\ -2"2

/:,:...t'r .' r' \1,1) i\\-i I\:,-jl. E,Ar

Fiq, 8.29

$i introducandu-le in rela!iile (8.a8) 9i (8.19) se ob{ine:

N1 =---N = N'nlzptz

1 + 1,t n,,r-t., 1 + n,ryt,,,

Tensiunile normale din cele doua materiale sunt

Nst t\) =" 1+ nr2p,n 2

_ Nt _ N.nrz!.,

" - A, - A/1+n."ri- )

impar{ind membru cu membru cele doui rela{ii, se ob{ine dependenia dintre tensiunile normaledin cele doua materiaie,

ox,1 = o12ox,2 (8. s2)

care demonstreaza cd tensiunile care iau nagtere in materialele componente ale elementului suntinciepenienle, ele depind de coeficientul de echivalenld.

8.14,1 Proiectarea barei cu secliune neomogeni

8.1 4,'l a Verificarea rezistenlei

La elementele structurale cu secliune neomOgen;. condilia de rezisten{a trebuie indeplinitd defiecare material NotAnd cu Ro., 9i Ro, rezistenJele de calcul a celor doua materiale, in metoda starilorlimita, veriflcarea rezisten(ei sectiunii neomogene este dati de rela{iiler

Rezisten{amjffi

(8,50)

Soiiciidri axialer89

I

]oxef,1(8.53)

{8.s5)

(8 56)

(3.54)

8.14.1b Dimensionarea

La barele cu sectiune neomogena, dlmensionarea secliunii inseamna determinarea valorilor

ariilor materlalelor componente, CunoscAnd valoarea coeflctentului de echivalen{a n,. 9i impunand o

valoare coeflcientului de propo(ie a ariilor trrr2, cdnd relaliile (8.53) qi (8.54) sunt indeplinite la limitb,

aria necesara a primului material este:

0,... - o,*Hfr rs Ro

,

Aria rnaterialului doi, se determind din condi{ia de prooorlionalitate a arliloi-:

n A1 n".A? nec, -

-!tz

Aria materialului cjol neflind deter-minati din condilia de rezistenla se impune veriflcarea ei:

o'2 'r

= A2rr(1Yhr,d <Rd2

Atunci cand r.elalla (8.56) este indeplinita, dimensionarea este corectA. in caz contrar se reta

calculul 'incepAnd cu maierialul al doilea CAnd dimensionarea elementului se incepe cu materialul la

care rapodul Ro/E, este mai mic, calculul de tatonare este evitat. La barele cu secliune neomegend

numai unul din cele doui materiale este utilizat la intreaga capacitate de rezistenld, Pentru a

demonstra aceasti afirmalie sd presupunem ci materialul unu este utilizat la intreaga capaciiate de

rezistenli: orr =Ror.JinAnd seama de relalia (8.52), rezulti c- or, = 6tlnn +R62, deci cel de al

doilea material se incarca pariial

N^' I

Ar"1 (1 + n12p12 )


190

$;

ifig

$Solicitdri axiale

A Vilt-7

Sd se determine valoatea fo(ei capabile P",0, a structuli alcatuitd dintr-un st6lp de beton armat, cu sec{iune

inelard, armatd cu 12A18 mm gi funda{ia sa. Date numerice: a =10,0cm; T*r" =22KN/m3; R,,"."" =5,0t3\/662;Rr,oL =21000 daN/cm2; Rro","n =1B0daN/cm2; (Eor/Eb"r^-)-8,4.

Rezolvare.

StAIpul avand sec{iunea neomogeni, alcdtuita din beton gi armaturb din o{el beton OB 37, condilia derezisten{i se expnmd sub forma

cm;

o,,",=#ffi=#m;,-)<R,,

o,r",=---lg-= ,2P , aR,^A. e,r1=n..p.: I A,".(1-n-:p.,J -''o'

Atunci cAnd cele doud condilir sunl lndeplinite la lrmitS, fo(a capabil5 a f ecarui materral component este:

p.,. - Ara(1_1!e{,elll_ 30,52(1+8,4x0,026)x2100

= 128776,8 daN 9icap 2n,,r1,, Zx.B,4x.A,0Z6

_ A. -.lr , n .p.- 1Q 2 _.1/7 5, {1+84.A.026t. 8A = 129120 daNi-...:_ 2

_ 2

u nde:

. coeficientul deechrvalenli arevaloarea: n, ,=!o, =!=a+;Loelon r:

. a'ra0eolel: A.",'?"'' d:-12*314x18' -3052cm,:44

. aradeberon. Ar. -"'9,',-o'l- 314 /0'h -0.?5,)-1.77Scn.incare. D" 4a--4.'0=404 4 " ""'

' 3 -a-10{rm,i o=D D.=1040=0.25.

. coeflcientul de propo(ie: u,, = jar = +:| = *9 = 0,026Ao.Lon Ar"l tt/t,3

Fo(a capabila a stdlpulur este:

1, .,0 - m'nlP ,. .P, .,0 )= 129120 daN


SECTIUNEA 1-1

tr;^ a tn

Peniru funda{ia dln beton, fo(a capabile se delermina din condtlia de rezistenl6.

N. 2P+G.o.,- 'u -- ---i'sR., rA, "r A,.'

p. _ A,u,Ro,, -G, _ A,u,(Ro, -yoh,)_ 14400(5-2,2x10rx100)=34416 daN'rcaD 2 2 2

unde: A, ",

= 12ax12a =12012A= 14400 cm2.

For{a capabild a sistemului structural (stAlp din beton armat 9i fundalie din beton stmplu) este:

p. =mnlp. -- P---)=3z416caN' sli caF "' \ sl cap l :ap /

8.15 lnele gi tuburi cu pereti subtiri

La alcatuirea structurilor, se intalnesc frecvent elemente de formi inelard incdrcate cu f04e

distribuite radial gi uniform pe circumferin{a conturului. Elementele geometrice ale inelului (flg, 8,31)

sunt: R; *raza interioari, R. -raza exterioara, t - grosimea peretelui inelului, l, ' lungimea

inelului (1, .. R.). Tubul este elementul alcatuit dintr-o succesiune de inele. Atunci cind raza

exterioari diferi cu cel mult l}okfal| de raza interioarA, tubul sau inelul este cu perete subtire,grosinlea peretelui t << R , unde R este raza medie.


tgt

J'

P

'i2a


0t, \tr"-

,i.I f ..0Q

/i.9/".a.Gtit Pr u riro

Nl lilDD

Fig.8.31

in calculul tuburilor sau inelelor cu pereti subliri, se admite ipoteza ca iensiunile normale sunt

uniform distrtbuite pe grosimea peretelui, Pentru a deduce relalia de evaluare a iensiunilor din peretii

inelului sau tubului lncbrcat cu presiunea interioari pi , se considera secliunea diametralS 1-1 de

lungrre r:.:ara pe j.cs':rea reretelui 1r3u:anJu-se eteclui pirti' i"deFdrial:;te:siulle r:rr3le o).!in a:':;:a le ;:oreclie pe ve"lr:al- :e:ulla.

2otl = {p sinqdss

(8 s7)

AvAnd in vedere ca: ds = Rd<p qi c5, rezultanta tensiunilor de pe peretele inelului unitar esle

N - ot1, relalia (/.57) oevine:

N=piR

pere{ii ineluiiri fiind soiicita{i la intindere. Tensiunea n0rmalS o este dirijatS in seciiLinile radiaie dLip5

tangenta la linia mediani gi este denumitd tensiune circumferentiali.Daci inelul este incercat cu o for{a radiali exterioari de compresiune p", distribuita uniform,

inelul este solicitat la compresiune 9i expresia tensiunilor normale este:

ft

i2N = 2 ipiR sin pdq = 2p,R

0

N o^R(, * -At


I

Fofecarea

FORFECAREA

9. 1 Considera[ii asupra fodecirii

0 bari este solicitati la for{ecare puri intr-o secliune, daca pe aceasta actioneazi un

singur efcrt, fo(a taietoare (V + O).

Rela{iile diferen{iale dintre eforluri evidenliaza faptul ca fortele tbletoare nu apar izolat, 1n

majoritatea cazuriior sunt insolite de momente incovoietcare. in anumite secliuni ale elementelor de

construclie, efectul predominant este cel al for{ei iSietoare, efectele celorlalte eforturi secltonale fiind

mlci, se potnegiija (fig.9.1)

Fig, f.i

De exemplu:- piese metalice pentru imbin6ri (nituri, guruburi, dornuri, etc.);

- platbandi metalica asupra cireia ac{ioneazi cu{itele gtan{ei metalice.

$uruburile, dornurile sau niturile care asigura transmiterea eforturilor in imbinarile dintre piese

metalice solicitate axial, trebule sa preia lunecarile care intervin intre elementele respective. Sec{iunea

cuprinsi in planul de lunecare dintre piese este solicitati la fodecare. De asemenea, sectiunea

transversalS asupra careia ac{ioneazd culitele gtanlei mecanice constituie planui de forfecare dupd

care se produce tdierea platbandei. in condi{ii de laborator forfecarea puri este realizalA cu ajutorul

oispozitivului brevetat de profesorul N. iosipescu, cand se ulilizeazl o epruveta speciald.

194 Fodecarea

9. 2 Forfecarea pieselor cu secliune mice

0 piesi cu sec{iune mic5, de formd dreptunghiular5 este introdusi in aparatul losipescu,

Aparatul losipescu se introduce intre bacurile presei care kansmite o forji ce cregte progresiv pAna la

ruperea epruvetei. Epruveta in ansamblul ei este solicitati la incovoiere cu forfecare, diagramele dedistribu{ie a eforlurilor sec{ionale in lungul acesteia sunt prezentate ln figura 9,2,

F[.- - -luFt--l , = i i*rL

Fig. 9.2

La mijlocul deschiderii epruvetei. eforturile sectionale au valorile: momentul incovoietor M = 0 $iforla taietoare este V=(F, -fr)+0 Aceastd secliune este solicitati la forfecare pura. Ruperea

piesei se reahzeaz\ in sec{iunea de la mijlocul epruvetei, care nu este cea mai solicitata, dacaepruveta este slabiti prin realizarea unor crestaturi ortogonale intre ele, practicate pe fe{ele laterale(fig. e.3-a).

Cercetirile fotoelasticimetrice experimentale ale profesorului losipescu au condus la concluziaca, distribulia tensiunilor tangen!iale este uniformd pe sectiunea de forfecare, atunci cAnd felele

crestaturilor sunt inclinate cu 45' fali de axul epruvetei iar adincimea lor este i/4 din dimensiunea

brutd a sec{iunii,

Astfel tensiunile tangentiale r pe secliunea de forfecare a unei piese mici pot ficonsiderate constante 9i paralele cu directia fortei tlietoare, Pe fetele unui patrat elementardetagat din jurul punctului M cuprins in planul seciiunii de forfecare, se dezvoltd tensiuni tangen{ialeegale r,, = ryz , c0nform principiului dualitalii tensiunilor tangenliale (flg, 9.3-b).

Din relalia de echivalenla dintre tensiunea tangenliali t gi efortul sectional fo(d taietore V

tl rFlii-* l iFl

IF,

V = frdA


/o t\

Rezistenta materialelot

r^J^^^.^^ 195

Tensiunea tangenlialS r flind unifor-rn distribuiti pe sec{iune, rela{ia (9.1)devine

V=tldA=tA

1l

t6' . <s"

<S" ,rr-.

alrl11t-t

\--,.r

iT:a;

lzx

r^ o't

(e,2)

Relalia (9.2) este cunoscuta sub denumirea de formula fundamentali a forfecdrii pure, in

care V - este for{a tiietoare din sec{iunea de calcul 9i A - este aria sectiunii de forfecare.

Tensiunile care se dezvoltd pe secliunile inclinate cu unghiul o fald de axa x se oblin din

relairrle (5,101 $r (5 11) pcnlru o, - oi - 0. deci:

on = -Txz sin 2ry 9i Tno = Tr. cos 2cl

Tensiunile normale principale au valorile:

$l o. =-T

Direcliile dupi care aclioneaza tensiunile normale principale se oblin din i'elaiia

IL

iili rr t"lllli I

l

l'.I

Itii /i - ;.t../

tVL_lA

196 Forfecarea

)r )r1q!s. - -- - 12 =

- ^'' -. -, de unde:

o, -o, U

2a='n) r o-t-ftf1 !i 0:--Tl4

Tensiunile normale principale se dezvoltd pe sectiunile inclinate cu unghiul cr = 45' fati de axa

x a elementului, direcliile acestora coincid cu direcliile n0rmalelor de pe aceste fe{e, constituind

izostaticile de spela l- a, respectiv de speta a ll- a (fig. 9.4).

or=-T

Fig 94

Tensrunile tangentiaie pi'incipale au valorile:

'[t.: = ]t

aclionand dupa bisectoarele unghiurilor formate de direc{iile tensiunilor normale principale. Pe

sec{iunile unde tensiunile tangenliale sunt extreme, tensiunile normale sunt nule:

or+o) T-r22

Starea de tensiune din jurul unui punct M este reprezentatd in figura 9,5 a. Aceasli stare de

iensiune din jurul punctului M, poate lt analizaia pe cale grafici utilizAnd cercul lui Mohr, cAnd sunt

cunoscute valorile tensiunilor normale principale ol gi o: , Raza cercului lui Mohr este:

-t-\eA:o, _o, -

t-5t,=r gi abscisa centrului 6e =or to::1]=0. Astfel, centrul2222cercului coincide cu originea O a sistemului de axe (o-t), Abscisele punctelor de interseclie ale

cercului cu axa o, corespund valorilor tensiunilor normale principale:

sli

ox =ol =04.

Rezistenta matenalelorRezistenta materialelor

a ^1^^^-^^ 197

OA:o,=r si OB=o.=*r

r, T,2--,Ut=t L'\m

\11111r

411t,

oz=-t

+.r'

IN-LsJt''t l N

tt',,

"r=fl

.M3

B

^)"6'!r/

\\\\\\\\\\

tt- *

a)

f

b)

Fig. 9 5

rar ordonaiele punctelor de interseclie cu axa r corespuncl valonlor tensiunilor tangen{iale pr-incipalel

OMr =1r =t $i OM, = I:=-I

Punctul Mr(0;r) coincide cu polul,,P" alcercului lui Mohr Unind polul,,P" cu punctele,,A"

gi B se oblin directiile tensiunilor normale principale or Fi o..

9.3 Domeniu de valabilitate a relatiei fundamentale

Relalia fundamentala (9 2) este valabila atunci cand pe sectiunea solicitatd la forfecare,

tensiunile tangenliale sunt distribuite uniform. Aceastd ipotezd este verificati experimental pe

epruvete cu secliune micd, la care sectiunea de forfecare este preluci-ata conform indicatiilor din

paragraful 9.2,

in majoritatea cazurilor practice, tensiunea tangenliald nu are o distribuire riguros

uniforma pe intreaga secliune de fodecare, Sd analizdm starea de distributie a tensiunilor

tangenliale pe sectiunea unui element prismatic neincarcat cu forte cuprinse in planul

suprafe{elor laterale (fig. 9.6).

in punctele de pe muchiile,,ab" gi,cd" inbaza principiuluidualitS{iitensiunilortangenliale,

tensiunile din planui secliunii Txz sunt egale gi de sens contrar cu cele din planul suprafeielor

laterale tr,. Elementul nefiind incarcat in planul suprafetelor laterale rezulta cd pe laturile ,,ab"

9i ,cd" ale secliunii. rxt=rzx = 0, deci tensiunile tangeniiale nu sunt distribuite uniform pe

"?

Tt

IM,1o;rt

198 Fodecarea

intreaga secliune de fodecare.

----t.'

,u-/j

'vX

Fig 9"6

Daca materialiri are paiter de curgere pronunlat, starea de lensiune se uniformizeaza prinatingerea succesive a irmitei de curgere (r") in toate punctele secliunii incepAnd cu cele mai

soljcitate, admilandu-se ipoteza ca tensiunile tangenliale sunt uniform distribuite giin stadiuldecompodare elasticd in cazul pieselor cu secliune mica. Se evidenliaza astfel faptul ca rela!iafundamentala 9.2 se poate aplica la calculul de rezistenla a pieselor cu secliune defodecare mic6 executate din materiale cu propriet6!i plastice accentuate.

9, 4 Starea de deformafie. Deplasiri

Se considera un element rnflnitezimal, detagat din planul unei sec{iuni solicitate la forlecarepur5. Elernentul inflniiezimal are fa{a din stAnga fixi (9.7) Sub aciiunea tensiunii tangen{iaie r, c1e pefala.,ab", elementul inflnitezimal se deformeaza gi ajunge in pozi{ia,,a'b,cd".

Unghiurile dintre planul seciiunii fixate gi planele felelor orizontale se modiflcd cu unghiul "y carerepi-ezinti deformalia specifici unghiulara sau Iunecarea specifici. Admiland ipoteza deforma{irlo1micr, lunecarea specifici i, se Doate determina cu rela{ia:

bb' dw^. - t^i,

- bc dx(e.3)

legea lui Hooke pentrulnlocuind in rela{ia (9.3) expresia deformaliilor specifice dati deforfeca,e pura y -- r G se ooline:

61a=vdx=(t/G)dx

1

Rezisten{a materjalelor

I v.+/


Folecarea

Ilonlrceraervy',rs eu

elementare:

du .::- , '

r li,.)/\.1

1

' ttl

l.1

l

a'-t

ao

I! ITl!,ltlI

I

tb

dw

dr'rr- -.T-

1

dr,V = -

61LJH

-ah'

Fiq,9.7

finAnd seama de relatia fundameniala a fortecaili (9.2), relatia (9.4) devine de forma

(e 5)

se obtine prin sumarea deplasSrilorlotalS dintre doui secltuni aflatela distanla I

w - J-. ^

dxouA

produsui GA flind rigiditatea sectiunii la fodecare, sau

pentru forla taietoare V gi aria secliunii A conslante

9. 5 Lucru mecanic Ai energia de deformatie

Lucru mecanic exterior elementar al foriei F conform paragrafului 9 8.2 este:

r =lr*'2

atunci cAnd fo(a F, este aplicatd static pe element (cregte progresiv de la valoarea zero la valoarea

finala F) gi materialul se comportd liniar elastic.

Sub acliunea fo(elor exterioare F, pe ielele unui cub elementar, detaqat din apropierea unei

llr-lL GA]

200 Forfecarea

t t t2

OU - ll-OV2G AI

(e 6)

Energ a ,1e Jefo,-maiie totalS se ob{ine iniegrand expresia energiei cle deiormalie eiemeniarS(3.6) pe volumul ,,V" al elemeniuiui:

sec{iuni solicitate la forfecare pur5, cu latura din s12nga consideratb fix5, se dezvolta tensiunile

tangentiale t gi deformaliile specifice 1. Conform paragrafului 6.8.4 energia potentiali de Ceforma{ie

este egala cu lucru mecanic specific al tensiunilor r:

1

U, -, TY

sau avdnd in vedere legea lui Hooke 9i rela{ia fundamentali (9.2):

,t ,1,' 1v2"--2 G TcA.

Energia de deformalie pentru un volum elementar dVeste:

1^.- 1 \t) 1'\t?U= lll(du)dv- ltl-,dV-' { -=dxrldA2 -)' 2 'j'GA - 2 ),GAt i

tlrr2U- ll dx

2dGA

Cand fo(a tiietoare V gi aria A sunt constante pe lungimea ,,1"

[+.-",1lAefi

9. 6 Proiectarea elementelor cu secliune mice, solicitate la forfecare puri

9.6.1 Calculul de rezistenti

O sec{iune solicitata la fofecare pura indeplinegte condi{ia de rezistenla daci:


{e.7)


Fcf,ecarea

unde Q1 este reztsten{a de calcul la fodecare materialului. Cunoscand valorile a 6ei termeni din relal

(9.7), se poate determina al treilea: aria sec{iunii sau foria capabila,

Dimensionarea secliunii din concii!ia de rezisten!5:

^4'Rct

Dimensiunile secliunii se oblin din egalitatea: Ag = An.., unde An g5{g aria geometric:r '

sectiunii exprimata func{ie de un singur parametru, De exemplu:

rD2- pentru secliune circularS: ? = An., - D.". =.i4An".iri ,

- pentru secliune pitrata: a2 = Anec 3 a.-. = ^ A[ ;

nll 4 A,_ oenrrusecl,rneinetara ',01,_u.)_,e" _ 1... _t#I., unce.o=Di ir

Fcrta capabili a sec{iunii este dati de relalia:

V.uo = A.rR6,1

9,6.2 Calculul din condilia de rigiditate

Condi{ia de rigiditate ciintr-un punct de pe o sectiune soliciiati la forfecare pura este datS rl'

rela!ia:

G=Tadica deforma[ia unghiulari specifici efeciiv6 nu dep5gegte valoarea limita. Jinand seama de rela\r''

(8. 2) qi de legea lui Hooke, rezuliS:

V"' ,oYet -;^"'sYc rJ

uAef

unCe 16 - este deformalia specifici admisibila gi G - este modulul de elasticitate f13r'lsversai'

Dimensionarea secliunii se obline ciin r"ela{ia (9 8) cAnd acesla esie indepliniti la lir,itr'

n Vef

Glo

Forta capabili a sectiunii este:

V.ro - GA.116

Fof,ecarea

9. 7 Aplica(ii ale forfecirii

9. 7. 1 Consideralii asupra imbinirilor

Continuitatea intre elementele structurale se realjzeazi prin intermediul imbinirilor. imbinareaeste dispozitivul constructiv prin care se asiguri legitura intre elementele componente alestructurii, lmbjnarile elementelor structurale se realizeazd in moC curent prin: nituire, bulonare,suduri, chertare, lipire etc. Prin proiectarea unei imbinari se realizeazA.

- dimensionarea barelor care concureazd in imbinare;- calculul elementelor de prindere gi alcltuirea imbinarii.Elementele de prindere sunt solicitate in majoritatea cazurilor la forfecare gi skivire sau

presiune pe pere{ii gaurii. Calcului la forfecare a elementelor de prindere se realizeazb cu teoria decalcul pentru piesele cu sectiune mici.

9, 7. 2 imbiniri realizate prin nituire

Pentru inrbinarea a Coua sau mai multe piese metalice se utilizeazl niiuirea. Totalitateapieselorimbinate cu nituri constituie un pachet. Niir.rriie se introduc in girti-i cu diametru mai marecu 0.5 + 1,0 mm fa{a de diametru nitului fiind confec{ionate dintr-un o{el moale de calitate pu[inlnferioara celei din care se realizeaza piesele din pachet. Nitul bruteste alcltuit de regulS dintr-un capsemirotund gi o tija cilindrica. Diametru nitului se alege funclie de grosimea minima a pieselor dinpachet (t*n). evaluAndu-se cu relalia: d=u6t* 0.2cm. Grosimea maximd a pachetului strans de

nit nu va depaqi 5d. incalzit la rogu - alb. nitul brut este introdus in gaura pieselor care se imbina, Prinbaterea capatului nitului se formeazd cel de-al doilea cap semirotund, tila nitului umpland completsecliunea golului din piesele pachetului. Sub ac[iunea efortului din imbinare se disting trei faze delucru: e1astic5, elasto'plastici, 9i plastici.

ln faza elastici, eforturile de lunecare dintre piesele imbinarii sunt echilibrate de for{ele defrecare, Eforturile de lunecare dintre piese crescAnd progresiv inving frecarile dintre ele, avand tendin{ade deplasare. Astfel, efortul in imbinare se transmite prin intermediul nitului, care incepe sa se foarfece

9i sd striveasci perelii pieselor cu care vine in contact. Deplasdrile din imbinare sunt de ordinulmilimetrilor. Acest mod de comportare constituie faza elasto'plastici. in faza plastici, efortul dinimbinare cregte 9i mai mult, drept urmare tensiunile din tija nitului ating limita de curgere, producandluneciri relative ale pieselor din imbinare de ordinul a 2+3 mm.

Ruperea imbinirii se realizeazd prin forfecarea tijei niturilor in planele de lunecare dintre pieselepachetului atunci cand diametru niturilor este redus in rapofi cu grosimea pieselor din pachet sau prinstrjvirea pere{ilor giurilor gi eventuala spintecare a elementelor, Land djametru niturilor este mai maredecat grosimea pieselor din pachet. in faza de Iucru elastic niturile din extremitalile imbindrii sunt maisolicitate. Calculul riguros al imbinirilor este diflcii de realizat gi de aceea se admite lpotezasimplificatoare ci solicitirile din nituri se uniformizeazi prin atingerea limitei de curgere, adicatoate niturile se incarci uniform. Fo(a limiti se atinge atunci cind in toate niturile s-a atinslimita de curgere.

Numarul de nituri necesar pentru imbinarea unei bare solicitate axial se evalueazAcu rela\ia.

Rezistenta matenalelorRezistenta materialelor

Fcrfecar-ea

(e.e)

unde:- Nei - este fo(a axiala efectivd care soliciti imbinarea'

- Ncap,n - este fo(a capabilS a unui nit.

Pentru a determina fo(a capabilS a unui nit, se examineaza modul cum acesta, lucreaza intr-o

imbinare. Se considera imbinarea a doui piese (pozilionate cap la cap acoperite cu doui eclise)

prezentate in figura 9,8.

Cedarea imbindrii se realizeaza prin:

- forfecarea secliunii nitului la nivelul suprafetelor de lunecare;

- strivirea dintre nit 9i piesele din pachet pe suprafetele de contact

Fo(a capabilS la forfecare a unui nit se determina fira a se lua in considerare fo(ele de

frecare din faza elasticd de comportare a imbinarii. Secliunile de for,fecare ale niturilor flind mici se

poate considera ca tensiunile tangenliaie sunt distribuite uniform pe acestea. Astfei forla capabilS a

nitulu, se evalueaza cl relatttie:

ffi;4il] (e.1 0)

unde;- n,- este numirui sec{iuniior Ce forfecare a nitului care coincide cu numdru! planelor de

lunecare dintre piesele Cin pachet, -t2

A, -este aria de fodecare a nitului: A, - o

, R6,1 - este rezisten{a de calcul la forfecare a niiului.

Orientativ valorile rezisten{ei admisibile respectrv a rezisten{ei de calcul la forfecare a niturilor

sau a guruburilor se poate considera.

R3,i = 0,8R6

Ro flind rezistenla de calcul a materialuluidin care sunt confec{ionate niturile.

Forta capabili la strivire a unui nit se evalueaza acceptdnd ipoteza ci distributia tensiunilor de

str-rvire este uniformi pe suprafata diametr-ali (flg" 9.8 c):

A! = dtr

unde:- d - este diametru nitului;

- t' - este grosimea piesei "i" din pachet, care transmiie presiune pe tija nitului.

Cand in pachet sunt mai multe piese de grosimi diferite, se consideri ci suprafa{a pe care

aclioneaze tensiunile de strivire este:A, =df t

*f

i

II

II

205204 Forfecarea

in care lt, , reprezintS cea mai mici dintre sumele grosimilor pieselor din pachet care lunecd in

acelagi sens, Fo(a capabilS a unui nit la slrivtre se evalueaze astfel incAt piesele din pachet sa nu se

striveasci, indiferent de sensul lor de lunecare:

N, =A.R6,, =R6.dlt1i

(s.11)

NI

-r*

:l

i

l

N

l

$![g&E_q_e ristrivire b)

A,.S2

de calcul

l

t,I

osAr, t'

de calcul

o-A'.. "

de calcirlc)

Fig 9.8

Fcrfecarea

Pentru rezistenla de calcul la strlvire (presiune pe gauri) R6.. se poate considera:

R6' =2R6

Fo(a capabila a unui nit reprezintd cea mai mici valoare dintre forla capabila la forfecare (Nr) gi

la strivire (N'):

9,7.2.1 Proiectarea imbinarii nituite

Proiectarea acestui tip de imbinare cuprinde urmetoarele aspecte:

. Verificarea rezistenlei in care de regule se evalueaze tensiunile de forfecare t din nit gi

ceie normale os de pe perelii gdurii care se compara cu vaiorile rezistenlelor de caicul sau cele

admisibile :

N:.Te,- t^ lRrtn" n1 F,1

gi din secliunile slabite ale barelor innidiie $i a eciiselor:

(e.i2)

unde nr esie numarul secliunilor de forfecare ale niturilor.

. Dimensionarea unei imbindri nituite se rcaliTeaze in ma1 multe etapel

a) predimensionarea secliunilor ecliselor gi a barelor innadite, stabjlirea diametrului nitului

N.,An.. - k, ;'"Rd

unde coeflcientul de sldbire k, = 1,15 + 1,25 . Secliunile i-ezultaie in urma predtmensionai-ii sunt

veriflcate in seciiunile slibite cu rela{ia (8 13);

b) determinarea numerului de nituri necesar se realizeazi cu relaJia (9.9)

. Determinarea fo4ei capabile. Fo(a capabilS a unei imbindri se evalueazd cu relalia:

^ - NE' .o"ef - n

A net

Nruo = min(N^uo,n,Nrrp,o )

capabild a niturilor din imbinare i N.up,n = nnNcup 1n, nn - fiind numArulundel

- Ncap n - este fo(a

niturilor din imbinare;


706 Forfecarea

- N"rpb- este fo(a capabilS a barei imbinate: Nruo,o = An.tRo, determinatd in sec{iunea

slabiu.

A tx- 1.

S6sedetermrnefo(acapabild (N.,,)aimbinSrii platbandelordinotel 0L3Tcucinci nituri dlnolel 01 34 care

auCiametrude20mm(fig.9.9).Datenumerice: t=12mm; b-l20mm,Ra=2100daN/cm2; Ro,-'lgS[is\/66:R." = 4200 daN/cm2.

AArl

Sectiu,rea 1-'l

d

A-A+l

Fig.9.9

Rezolvare

Platbandele din o{el fiind slabite de golurle practicate pe un rdnd pentru intrcducerea nlturilor, fc(a capabila seevalueaza func{re de aria net5.

Ncap,p = An"1R6 -12x210A=25200 daN

unde An.. = An, - A g = bt - dl = 12 x1,2 * 2p x\p = 12 cm2.

Fo(a capabild a nitulur se calculeaza cu relatra:

N",F1" =min(Nr;N")= 502+ daN, unde:

t',t, - n,4 .po - ,13'141'22 ^ 1600 = 5024 daN

N. = dRo "f tl = 2x 4200x1,2= 10080 daN

Fo(a caoabild a nitunlor din imbinare:

N",pn = nn xN",pr" = 5x5024 = 25120 daN


inaltimi diferite


Fortecarea

Fo(a capabilS a imbinarii nitulte este:

N-u, - n r{'.i ,- - 1i.,. ,1 - 2i120 1a\

9. 7. 3. imbiniri realizate prin sudurS

Tehnologic imbindrile suCate sunt realizate prin:

- sudu;5 in adAncime, cind piesele sudate sunt a9ezate cap la caO (flg 9 10);

- sudura in relief, cAnd piesele sudate sunt a$ezate suprapus (flg 9 1 1)'

in raport cu imbinirile nituite, ele prezint; urmatoarele avantaje:

- reducerea consumului de material prin eiiminarea ecliselor 9i a slabirilor din barele imbinate;

- simplificarea procesului de executie,

- executarea lor in locuri unde nituirea nu este posibiia

Principalele dezavantaie a imbinirilor sudate sunt:

- comportarea Cefavorabila ia solicitiri variabile, ruperea suduril0r fiind asemandtoare cu cea

a materialelor casantel

- controlul calitalii este mai costisitor 9i diflcil de executat necesitand aparaturS speciale'

Suprafelele pieselor imbinate prin sudaiea in adancime se prelucreaze inainte de sudare

Funclie !e grosimea pieselor (flg 9.1C), prelucrarea poate il;

- dieapta, pentru piesele cu grosimea t < 8mm (fig 9 10-a);

- in V, pentru piesele cu grosimea t = 8+20mm (fig 910-b);

- 1n X, pentru piesele cu grosimea t > 20mm (fig 9 10-c)

rffir I r _____<

Fis.9.10

e)

Sudura in relief se realizeaTe atunci cand felele elementelor care se imbinS sunt situate in

plane drferite (fig.9,11). Cordonul de sudurS umple unghiul diedru format de planele celor doua fe{e

' ftementele geometrice de calcul ale coidonului de sudura sunt: grosimea (ar) 9i lungimea (1.)'

Grosimea cgrdgnului de sudura depinde de tipul sudurii. La sudurile in adancime grosimea cordonului

de sudurd este egale cu grosimea pieselor imbinate, dacS secliunea transversala a piesele sudate are

rlirii inartinu ii cu gro'simea piesei mai subliri, cand piesele sudate au sectiunea kansversali cu

208 Forfecarea

Fig 9.11

Sudurile in relief, cedand prin forfecare in secliuni 'inclinate la 45',grosimea cordonului se

considera egala cu inallimea kiunghiului isoscel inscris in sec{iunea transversalS (f1g 9.'12). Astfel

grcsimea cordonului cie sudura se evalueaz5 cu relatia:

dq - u,/ tm,^

'?st ' ?s2

Fig. 9 12

in care trln este grosimea piesei cele mai subliri care se sudeazS. Cind sudura de cclt este executat;

pe muchia cornierelor, grosimea de calcul este;

a, = 0 851r;n

[ungimea de calcul conven{ionala a cordonului de sudura, se ob{ine sciz6nd din lSlimea

pieselor imbinate, lungimea echivalentd cu doua grosimi de suduri (se considere ca inceputul gi

N

t1


Farlecarez

sfArgitul cordonului sunt de calitate necorespunzatoare)

l, =b-2a,

,,b" flind la{imea pieselor sudate,

9.7.3.1 Proiectarea imbinirilor sudate

9.7.3.1.a Proiectarea sudurilor in adAncime. Sudurile in adAncime lucreazd la intindere sau

compresiune, pe secliurrea lor dezvoltAndu-se tensiuni normale o. Cedarea imbinirilor- se realizeaza

prin ruperea cordonului de sudura in secliuni normale pe axa elenientului. Sectiunea de caicul a suduriiin adir:cinre se calculeazi creialia:

A. - a.l,

AvAnd in vedre r,rodui Ce lucru gi de rupere a acestui tip de sudura. conditia de rezisten!5 se

exprima sub forma:

(9.'13)

R: - flini rezistenta de calcul a sudurij.

Cind condilia (9.13) este indeplinita la llmitS, se poate determina fo(a capabili a imbinarii

sudate dacd se cunoagte aria cordonului de suduri A, gi rezisten{a de calcul a sudurii Rt:

N.ro, = A.1,rRl

Dimensionarea cordonului de suduri consta in determrnarea grosimii acestuia (a'), lungimea(1,) fiind cunoscutS:

N.^ ct

lsfid

Marirea capacitalii portante a cordonului de suduri se poate realiza prin executarea fa{5 de axa

barei, Pe secliunea de calcul a sudurli se dezvoltd tensiuni normale gi tangen!iale, condi{iile de

rezistenta fiind date de rela[iile:

209

N^, . ^qoet.s= ^-<Ko' Aef .s

210 Forfecarea

N-. coscxrers = 1 <Rir

nel,s

o..n, =.''[ffi<R!

Fig 9.'13

9.7,3,1.b Proiectarea sudurilor in relief Cedarea c0rdoanelor de suduri in relief, se

considere conveniional ce are IOc prin aiingerea tensiunii limiti in secliuni inclinaie cu 45', prin

lorfecare, Condiiia de rezisien!5 este cie aceiagi forma cu cea a elemenielor soircitaie la forfecai-e puri.

(e.1 4)

a, reprezentAno'aria sec{iunir cordonului de sudurd gi Rl,; rezistenla de calcui la for-fecare a sudurii.

Din conditia de rezisten{a (fig.9.1a), cand aceasta este indeplinita la limitS, se poate determina:

- fo(a capabila a imbinarii sudate:

NSap - AsR:r

- dimensionarea cordoanelor de sudura consti in determinarea lungimii de calcul a

cordonului de sudura, presupunAnd cunoscuta grosimea acestuia a, > 0,7tr,":

, N:.In.., - ^-:asH l,'

in cazul barelorsolicitate axial, alcatuite din profile metalice laminate (flg.9 1a) la dimensionarea

corcjoanelor de sudurd pentru prinderea de guseul din nodul sistemului structural, se aplici principiul

centririi. Astfel, lungimile cordoanelor de sudura 1.1 gi lr, se determina de a9a manierd incii

eforlurile N1 9i N2 preluate de acestea si nu genereze momeni incovoietor in imbinare (fig. 9.1a).

Eforlurile N, 9i N2 rezultd din rezolvarea sistemului de ecua{ii oblinut prin scrierea ecuaiiilor oe

tro'*t'u t'* "or*tr' *;r,;i;;i;;;i;,i;i;i;;

N sln cr

Fof.ecarea 2i l

nRq+'mrn

0 7f-m n

( e.N.-Nr N *''t;

)Ir..e. -N.e2 |ru, _n..

t' b

,b" iiind iungimea aripii profilului. Lungimile de calcul ale corcjoaneior de sudura se ietenrina din

exprimarea condiliei de echilibru dinire fo(ele exterioare 9i for{ele interioare capabile,

*1 - 'ul, - 2a,.l. ,Rl1 li N; - N,e1

- 2a. ,1" 2R:,b t.t, ,, b t,", ,

de unde:

, No2 ^i r Netl-.- -. - )i l-^^ c, -cL r 2ba,1R!, 2ba.2R! '

Jindnd seama de faptul ca inceputul gi sfArgitul cordonului de sudura este de calitaie

necorespunzatoare, lunqimile cordoanelor de sudurS trecute in detaliile de alcatuire a imblnirilor sunt,

l, 1 = l.u. ,n * 23".. gi lr.2 = ln.",rr + 2ar,2

A lx- 2.

Diagonala unei grinzi cu zibrele. este alcdtuitd din profile laminate drn o{el OL 37, flind solicitat5 la intindere

centricd de fo(a axiala N = 450 KN. S5 se dimensioneze bara gi prinderea er de guseu in urmdtoarele variante:

a) Cand imbinarea se realizeazS cu niturl;

b) Cand imbinarea se realizeaza cu cordoane de sudurd.

Dale numerice. to =16mm; Ra =2100daN/cm2, dn*=20mm; Rri =1600daN/cm2, R". =4200daN/cm:;

Fig 9.14


'ffijr:fI

I

jFcrfecarea t13

212 Forfecarea

Rir = 1500daNlcmz.

1l

N, ,2

l=z

1l

Fig. 9.15

Rezolvare

a) imbinarea barei cu guseul realrzAndu-se cu niturj, profilele laminate sunt slSbrte de golurile practicate pentrLr

introducerea niturilor, astfel in relalia de calcul pentru aria necesard se introduce coeficrentul de slSbire a barei k,:

N^,e h = min(l'li ;N. ) = 6139 daN

., nd:- ^3,14t22.^^N, -n1 :R61=2" ; - 1600=1004BdaN qi N. =dRd.It, -2x4200x1,6=13440daN.rl

L.:1

n

=rz#-l{lill\v

t.l

'{

1-1

n.4 t\4]+!\lllr

tltllltlllil\pU

t,

Coeflcientul de sldbire k" fiind impus arbitrar, este necesare veriflcarea rezistentei barelor care alc;tuiesc

diagonala:

o," =5= +?0 =J992rjaN/cm2< R6 =21flQis\156:An, 22,6

deci dimensiona,ea d;agona16r esle core,lte.

' ^d^ A - A -d 1)1,)-1'1^l- ))4.62' 'br ' 'sl

unCe

Fo(a capabi15 a unui nit esie

Numirul de nituri necesare prinderir barelor de guseu este

I t"l, +ttt , = ttl

lrrr,., -1r,., =o =

\. 4 5000n-,: -{:nrllj'l'=' N_.," 10048

b) in varianta cand bareie sunt prinse de guseu cu ajutcru{ cordoanelor de suourb acesiea sunt firi slSb rj

dec.

^""" =k=ffi?: 2'143 cmi * A,n"" =!-2' -?l':3 =n72 cm2

= profllul laminat i 70x70x8 cu Aj-, =10,60 cm2.

Pentru dimensionarea cordoanelor de sudui'd utillzate la pnnderea profilelor de guseu, este necesara

cunoa$terea frac{iunii din fo(a axiald lotala care revlne fecdrui cordcn de suduri. Aceste valori ale fo(ei axrale: N,

respecttv Nr, se determini Crn rezolvarea sistemului de ecualii rezultat din ecua{ia de echilibru statrc ai condilia de

centraie a cordcanelor de sudurd:a 1a0

I N. - N '2 - - 45000 "" = 32C78 ialii e,+e, 7

rtl =H e- -456g910 -12922daN

| ' 2'+et 1

Grosimea cordoanelor de sudurd se mpune ccnstructivr

a.1=0,8St-,n =0.85x0,8=0,7cm $i a,2=0,751"n -0.75x0.8=0,6cm

Lunqimea cordoanelor de suduri este datb de rela!]ile.

t., tl - :'=ot?= 158 cm ,l: . t.,"2a, =158 -2 A7 - '72i1 9i' 2a.,R", 2-C7 ' a5A)

1..- N- - 12922 =7,2cr- l^. '. ..2a.,-72+2'0,6=3,acm" 2a,R", 2rCCx1500

9. 7. 4. imbiniri realizate cu guruburi solicitate axial

$uruburile pentru construc{ii sunt alcatuite dintr-o tijd cilindricd care are la o extremitate un cap

hexagonal qi ia cealaltS un filet pe care se poate inguruba o piulilS hexagonala (fig.9.16) intre piulila 9i


iw''Ii

For{ecareaForfecarea

1.,N,cos(},rerr=L(Rir

^e[ s

f ) ^).^.6ech.s =\'Oi+JI; <i(;- n Qq +

'mrn

Fig. 9 13

9.7.3.1.b Proiectarea sudurilor in relief Cedarea c0rdoanelor de suduri in relief, se

j.;rs;0era c0:veli;or,al ca are loc p-in atingerea lensiurir lir,ib in se;iiiri ;nclrnaie;u 45, prilforfecare. Condiiia de rezisien!a este de aceia$i lormi ci.: cea a elemenielor soiicitate la fof,ecai-e pura.

(e 14)

As reprezentand aria secliunii cordonului de sudura gi Rl,1 rezistenla de calcui la forfecare a sudurii,

Din condilia de rezisten{5 (49.9.1a), cand aceasta este indepliniti la limitS, se poate determina:

- forla capabili a imbindrii sudate;

Nluo = A'R!1

- dimensionarea cordoanelor de suduri consta in determinarea lungimii de calcul a

cordonului de sudura, presupunand cunoscuta grosimea acestuia as > 0,7tmif:

trlc.r ''ela'Ri'

in cazul barelor solicitate axial, alcituite din profile metalice laminate (flg 9.14) la dimensionarea

cordoanelor de sudura pentru prinderea de guseul dln nodul sistemului structural, se aplicd principiul

centririi. Asifel, lungimile cordoanelor de sudura lr, qi 1.2 se determina de aga rnanieri incat

eforturile N1 9i N, preluate de acestea sa nu genereze moment incovoietor in imbinare (fi9, 9.14).

Eforturile N., gi N2 rezultd din rezolvarea sistemului de ecualii oblinut prin scrierea ecua{iilor de

l'c-ls!!ie_!, dq 'rc'!!l-e: Rezistenla mat.ria

,b" iiind iungimea aripii profiiului. Lungimile de caicul ale ccrcioaneior de sudura se deier"mina din

exprimarea condiliei de echiiibru dintre fo(ele exterioare qi fo(eie interioare capabiie:

N' - \:'

' Zar 1lr 1Rl1 $i N, - Nel

2as 2ls 2R: 'b '''' "' n "" "

de unde;

,Nc2^ir_Netllec."'i - .^^ 6s - lr r'e6."r

.uos 1, \o 1 2bat 2Ri 1

lindnd seama de faptul c- inceputui gi sfArqitul cordonului de sudura esie de calitate

necorespunzatoare, lungimile cordoanelor de sudura trecute in detaliile de alcdtuire a imbinirilor sunt:

I - -l_ .,2a.. si 1"2-l--") -2?:?

A |x.2.

Diagonala unet grinzi cu zbbrele. este alcdtuiti din profile laminate din olel OL 37, flind solicitati la inttndere

centncd de fo(a axiald N = 450 KN, Sd se dimensioneze bara gi prinderea ei de guseu 1n urmdtoarele variante:

a) CAnd imbrnarea se realizeazd cu nituri;

b) Cdnd imbrnarea se realtzeaz\ cu cordoane de suduri,

Date numerice: tn -16mm' Ro =2'100daN/cm2, dnn=20mm; Ra' =1600daNlcm2; Rr. =4200daNicm:;

N-+Nr=11i.. .. -N,el - N2e2

iN, =N -lh

iN" =N1t,' b

N sincr

Fig,9.'14


Forfecarea

piesi se prevede o gaibd pentru ca partea flletatd a tijei sa nu pStrundd prea mult in grosimea pieselor.

Fig.9.16

$uruburile obignuite pentru construc{ii se realizeaza din otel 0L 37, 0L 50 sau OLC 35.

de diferenta dintre diametrele guruburilor gi diametreie golurilor prin care trec, imbiniriie cu

pot fi:

- nepasuite, cdnd diametrul golurilor din piese este cu '1=2 mm mai mare decat

guruburilor. Aceste imbinlri se realizeaze cu $uruburi grosolane:

- pisuite, cand diametrul giurilor din piese este mai mare cu 0,3 mm decAt

guruburilor. La acest tip de imbinari se utilizeazi guruburi semiprecise sau precise.

Comportarea imbindrii Ia solicitari axiale este inflirentati de tlpul imbinarii utilizate. Asifei la

imbiniriie nepasuite, goiuriie fiind mai mari in diametru cu 1-2mm, piesele din pachet in stacliul iniiiai,

se deplaseazi pAna cand se stabilegte contactul dintre perelii giurilor gi tijele guruburilor. in

consecin{d aceste tipuri de imbindri nu este indicata la imbindri care lunecdrile dintre piese nu este

permisa. Pentru imbinirile fara luneciri intre piese se recomandd utilizarea imbinirii pasuite cu

guruburi precise sau semiprecise. Diferen!a dintre diamekul golului 9i diametrul tijei fiind de maxim 3

rnm se asigura o comportare similara cu a imbinarilor nituite.

Tendin{a de lunecare dintre piesele asamblate cu guruburi din planele de lunecare dintre

acestea este preluata de tija gurubului. Fo(a capabilS la forfecare a tijei unui gurub se determina cu

rela{ia:

N.,1r=ArR6.:dItiRo.

tn care:- d - este diametrul tijei gurubului;

- Itt - este grosimea minimi a pieselor din pachet, care luneca in acelagi sens gi transmit

presiuni pe tija gurubului;

- Rc,, - este rezistenta de calcul la strivire a peretelui golului.

Stabilirea diametrului optim pentru guruburile dintr-o imbinare se realizeazi din condi{ia de

egalitate a forlelor capabile la fodecare a tilei nitului (9 15) 9i for{a capabila la strivire (9.16);

215

/"-^--, t

/1,,---.,\\i(( ,)l\y

(e 16)

19.1 7\

Funciie

gurubu ri

a tijelor

al tijelor

A lx- 3.

Sa se Ctmensicneze tirantul dln clel 0L 37 scllcitat la intinCere centrrc5 Ce fo(a arialS N - 450 KN $i

imbinarea acestuta (fig. 9.17) cAnd pentru imbinare se uiillzeazl qurubuii p;su te cu diametr'; iiiei d=16rnm pozilionate

pedouarandun.Datenumericer Ro=2100daN/cm2 d=16mm; Rer=1600daNlcm2; Rd"=4200daNicm2

l\-r, r'in nc,turl -- it,n R,t I

N", -. . ., N. _r?15000 _)\7^.6:o^" - il.

n, r ^...

.t, R;

-t, 21uA=

trtu c'\/

N1,1, = n1A1R6,, = n, #*0, (s.1 s)

unde:- nr- este numarul sec{iunilor de forfecare a tijei gurubului care c0incide cu numarul planelor

de Iunecare dirtre piesele drn pachet:

- Ar- este aria de forfecare a tijei gurubului: O, =t ,

4

- Ro,, - este rezistenla de calcul la for-fecare triei gurubului,

La rAndul lui gurubul prin tiji tlnde sa striveasci suprafala lateralS a golului din pieselepachetului.

Fo(a capabilS a unui gurub la strivire se evalueaza astfel incdt piesele din pachet sd nu se

striveasca, indiferent de sensul lor de lunecare:

Fig.9.17

Rezolvare

Tirantul se confecloneaza din platbande de olel in care se practicd golurt pozi{ionate pe doud rdnCuri prin care

se introduc quruburile pdsuite,

A-A

Rezisten!a materialelorRezistenla materialelot

216

b.". =1!l- 254 -172Ln gi se alege dimensiunea standardizata.* i"r 1,50

Tcr-siunea libera

10

TORSIUNEA LIBERA

10. 1 Consideratii generale

0 bara este solicitati la torsiune Iiberi, daci in orice sectiune singurul efort seclional

este momentul de torsiune ('M, +o),

Torsiunea liberd este generate de cupluri de for-{e al caror plan de actiune este normal pe axa

elementului (fig 10.1) AnalizAnd experimental comportarea la torsiune a elementelor structurale in

cazul sec{iunilor ctrculare sau inelare sunt respectate ipotezele Rezistentei matertalelor.

X/2422/z

/ '- '--

ffi)

D

Fig 10.1

Sub ac{iunea momentului de torsiune celelaite tipuri de sectiuni se deplaneazi (sectiunea nu

mai ramAne pland gi normald) gi in consecinta nu se respectd ipoteza lui Bernoulli. ln acest caz,slarea

de tensiune 9i deforma\ie este studiata cu ajutorul Teoriei elasticitd\ii gi pe cale experimentala.

Fcffecarea

Se impune t=1,50 cm : +

b=1 8cm.

Verificarea rezistenlei tirantului:

o, ",

- F = 11110 = zo:s,l daNlcm2 < Ro - 2 1 00 daN/cm2nner D,11

An.t = Au' -A,r =18x1,5-2x1,63x1,5 -22J1cn2

Fo(a capabili a unui gurub:

\". -ri rN N.'=01307da\. i.cae\r..n nltn -zrlio','6 ,.50,, 54:070a\44$i N- -dRj"Ii, -i.6x4200x1,5=10080daNunde ft, =08x2-1.6cnr respectiv It, =1,5cm

tt = rnir(I11,It: ):'1,5 cm

Proiectarea ecliselor:

_ \.. _ _ ^ \", ". 450J0,,,., -[.,, .*o s .,,ec_" 2.D-

,j.2r(r.'_.1.r_cn.

A,., 129aSe rDL'tcb=1b-n - I - b - 16 L,Slcn 5isealegedinens:reas'dnoaroi7atdt=08tc-r

Verificarea rezisten!ei eclisei:

o-" =*L=#g =2077,60daNicm, <Ro -2100daN'cn,a^rner 2^ 10.83

At n"t = Ar,t, - Ar g ='1 6 x 0 85 * 2 x 1.63 x 0,85 = 1 0.83 cm2

Nurnirul de guruburi necesare se determini cu relafia:

N". 45000n.--=3= ,,,--=Tsuruburi. Jin6ndsearnadefaptul cdgurubunlesepazeazapedoudr6nduri se'" Nt A11.1

aleg B ,suruburi.

-7*


/t9Torsiunea ltberi

218 Torsiunea libera

10.2 Diagrame de efo*uri

Momentul de torsiune variaza in lungul elementului de construclie, functie de formaincircirii. Pentru precizarea secliunii de calcul, este necesari trasarea diagramei funclieiM, (x). Funclia momentului de torsiune M" (x) intr-o secliune curenti se exprimi cu relalial

b

trt,(x) = +I M^, + )- Jnr, 1(x)Cxi ia

- IMr, - reprezinta suma algebrica a momentelor de torsiune concentrale care actioneazb pe

intervalul [0,x]:- m*i(x)- este funclia intensiialii momenlului de toi-siune caie ac{icneaza pe intenualui

far:o'1. fo;xl.

mx

\

ldx xtl--'{ dxa

Fig.1A.2

Relatia diferen{iala dintre intensitatea variabila a momentului de torsiune mr(x) 9i funclia

momentului de torsiune din sec{iunea curenti x, lVr(x) se deduce exprimand conditia de echilibru pe

un tronson cie Iungime dx, detagat din elementul solicitat la torsiune, Pe sec{iunile de cap)t aletronsonului se figureaza efectul pd(ilor indepdrtate.

Tronsonul detagat fiind de lungime elementarS, se poate considera ca intensitatea momentuluide torsiune este contanti in lungul acestuia, Din ecua{ra de echilibru siatic al tronsonului eiementarrezuitd:

M,(x)+dM,(x)+m,(x)-tr/,(*)=o - dM,(x)

=-m,(x)OX

adica func{ia momentului de torsiune Mr(x) este cu un grad superioarl in raport cu func{ia incdrcdrii

mr(x)

A X-1

Se consrderd elementui structurai ltntar in consola cu incarcarea gr rezemarea datb in flgura 10.3. Sa se trasezediaEramele de varialie ale momeniuiu j de tcrsiune in lungui acestuia.

Fentrutrasareadiagramei funciiei M,(x),seutlizeazameiodaSecllunilor,scrlindu-sefunciiaefodului seclional

lntr-o secliune curent5, de pe subdomeniile unde aceasia este continuS:

. xe [0;21]= y,1x,I-l{L -+ ., vatorile la extremitSlile jntervalului

1+t

r,4l =M,(o)=o $i [.4i =rl,(21)=m,l

mx M*=2 mrl

X".)

Xq

*-it{*- in '*--1n - -2t :

Fig. 10.3

Func{iafu4,(x,) fiinddegradul Coi,graficul variazddup6oparabol6tangentiinsecliuneallaaxadereferin\i

. x.lzl;sl,z) = M,(xr)=nr"| ;

Funclia l'/r(x2) este constantS, care la extremrtalile tntervalului are valorlle

Mi = m,l 9i M!" = P1,1

. xe l5li2:3ll : M"{x.)=m,l-2m"i =-m'l ,

Funcqia M,(x,) este c0nstantd pe subdomeniu studiat, valorile 1n extremitallrie intervaiuirri suni

f",lf " - -6,; qi l''t! = -6,1

. x. fit;ztrz] = M,(x,)=-m,l+m,(x, -31),

Func{ia M,(x,, ) este de gradul unu, varialia acesteia frinci linlari. ln extremitSlrle iniervaluhi, valcrile

momentulut de torsiune sunt:

rvr? =Nl"(St)=-m,l 9r lli'=-m,l,tZ

unde

t\4,.M,(x)+ciM,(x)

Rezisten!a matenalelorRezistenla materialelor

Torsiunea libera

10. 3 Torsiunea barelor cu sectiune circulari sau inelare

10, 3. 1 Starea de tensiune

Pe suprafata unei epruvete din o{el moale, cu sec{iune circulara, se iraseazi un caroiaiorlogonal alcdtuit din: generatoare drepte, paraiele cu axa acesteia gi directoare alcdtuite din cercuriechidistante (fi9. 1 0.a), Epruveta se fixeazi la un capdt iar pe secqiunea capitului liber se aplica o fo(idiskibultd liniar, care genereaza un moment de torsiune N/, . Sub acliunea momentulu j de torsiuneepruveta se deformeaza. Analiz2nd forma caroiajului de pe suprafa{a epruvetei deformate se constatiu rmitoarele:

a) axa epruvetei rim6ne rectilinie in timpul deformirii;

X

Fig.10.4

b) sectiunea capitului liber i9i pastreazi forma 9i planeitatea, astfel cercurile directoare nuigi modiflcd raza. Generatoarele ini{ial rectilinii gi paralele cu axa epruvetei devin curbe elicoidale,dreptunghiul abcd transformdndu-se in paralelogram, Unghiul ini{ial drept dintre generatoare gidirectoare se modiflca, deci apar deformalii unghiulare specifile y",t I 0,

c) lungimea diametrelor cercurilor directoare gi distanla dintre acestea se pistreazi, inconsecin{5 deformatiile specifice liniare longitudinale 9i transversale sunt nule, deci €, =r, =€, =0.findnd seama de legea lui Hooke generalizatd, rezulta ca in planul sec{iunii, tensiunile normale suntnule, adica or:6y =().2 =0 in planul suprafelei laterale, deformallile specifice unghiulare firnd

7 +0 ' rezultA ca tensiunile tangenJiale t sunt diferite de zero. Secliunea transversali a epruveteisupusi la torsiune, se rotegte in jurul axei, ca un disc rigid, drept urmare, deformaliile specificeunghiulare cale se dezvolti descresc de Ia exterior spre centru, fiind nule in axul elementului,Pentru a stabili legea de varia{ie a deformaliilor specifice unghiulare pe secliunea elementului, seconsidera un tronson de lungime dx, flxat la un capit, Pe clpiitul liber se aplica un moment detorsiune M, (fi9 10 5), Sub acliunea momentului de torsiune secliunile tronsonului elementar serotesc. gene'atoarea A.A, aiurge in pozitia A.A! iar razad-A, ajunge in pozi{ia orAl , cesc,iirdunghiul de rotire elementar dg. Fie B2 un punct de pe segmentul6rA, caredefinegte raza6rB, . r

. Sec{lunea de capdt rotindu-se cu unghiul dq, generatoarea BrB, de pe suprafaia cilindrica cu raza

,,i' ajunge in poziiia 81Bj. Unghiul A2A1Ai este cantitatea cu care s-a mcdiflcat unghiul initial Crept

dintre generatoarea 4.,4, gi cercul director al secliunii fixe, adicS: A2A1A'2 =.1.r,, Similar B28,,B', = 1,reprezint5 deformatia unghiulara speciflca pe suprafata cilindrica cu raza r Admi{And valabilitalea

micilor deplasiri din B,B Bi se obline: B, B, = ydx , iar o n B,O B; rezulta: Br$ = rdq. de unde:

rdq = 1dx

(10 1)

A.l

Fig. 10.5

JinAnd seama de faptul ci mirimea dtpldx reprezint5 rotii-ea relativ5

situate la distanta unitarS, unghiul cie rAsucire specifica este deflnit de expresia:

dintre doua sec{iuni

gi in consecinlS. rela[ia 1'10.'1)devine:

T=r0 (0.2)

..r". flind raza vectoare a punctului Br. Din relatia (A.2J rezultd ci lunecarea specifici 1 este direct

propo(ionali cu mirimea razei vectoare a punctului respectiv.

lntroducand relalia (10.2) in legea lui Hooke se obtine:

t=GOr

?21220

X

dx

RezistenJa materialeior Rezistenla maierialelor

(10 3 )

222 Torsiunea Iibe15

produsul G0 fiind constant pentru o sec{iune data, din relalia (10.3), rezultb ca legea de

varialie a tensiunii tangenliale pe secliunea circulara este liniari cu valoarea zei'o in centrul

acesteia 9i valoarea maximb t,u* in punctele de pe contur (fig. 10 6-b). Direclia tensiunilor tangenliale

in punctele de pe conturul sec{iunii, rezulta linand seama de teorema generala; tensiunile tangentialein punctele conturului unei sectiuni sunt dirijate dupi tangenta la contur, daci pe suprafalalalerall, nu existe forte exterioare tangente, dirijate in lungul elementului structural liniar.

Pentru a Cemonstra aceast; teoremS, se admiie ca tensrunea tangen{iali dintr,un punct de pe

conturul secliunii are o direc{ie oarecare in planul acesteia, compcnentele sale Cupd tangenti gi

normalS sunt: tr respectiv tn. C0nform principiului dualili{ii tensiunilor tangen!iale, tensiunea

tangen{iald tn este egala cu tensiunea tangen{iala din planul suprafe[ei laterale r1 , Deoarece in planul

suprafe{ei laterale nu exista incarcbri, rezulti ci tensiunea tangentiala rr = 0, prin urmare,

componenta tensiunit din planul secliunii dirilati dupd normala este t" = 0 . Astfel se desprinde

concluzta ci singura componentd a tensiunii tangen{iale din planul sectiunii diferita de zero, este ceadirijata dupa tangenta la contur r,.

Deoarece raza sectiunii ramAne rectrlinie dupi deformare, extinzAnd rezultatul ob{inut pentrupunctele din interiorul sec{iunii, se considera cI tensiunile tangenliale dln orice punct al acesteia suntnormale pe direclia razei vectoare. in orlce punct al secliunii transversale, tensiunea tangen{ialieste ncrrnala pe raza vectoare gi direct proportionala cu mirimea acesteia (fig. 10.6 b).

In baza principiului Cualitaiii tensii.;nilor tangeniiale se p,oate aflrma ci in pianurile longitudinaleexista tensiuni tangentiale egale qi de acelagi semn (fig. 10.6-c).

Se observa ca in planurile ortogonale care delimiteazd suprafala elementarS detagatb din jurulpunctului [/ de pe secliunea elementului, existd o stare de tensiune similard solicitirii la forfecare pura.

Rezulid ci la solicitarea torsiune liberi, starea de tensiune este de forfecare.Se considerd o suprafa{a elementara dA pe care ac\ioneaza tensiunea tangeniialS r, normalS

0e raza vectoafe,,r", care genereazb momentul de lorsiune elementar:

dM, = 11ifi

Torsiunea liber5

rfi2x

CJ

Fig,10.6

undei

- io = ir2dA - esie rnomentul de iner{ie polar al sectiunli circulare

A

Din rela{ia (10 5) se deci:ce expresia unghiului de torsiune specifici

(10.6)

produsul Glo, frind rigiditatea secliunii la torsiune. Relaiia fundamentala a torsiunii libere a elementelor

struciurale cu sectiune circulari se ob{ine inlocuind relalia (10.6) in relalia (10.3):

(4.1t

in care:- M, - este momentul de torsiune din sectiunea de calcul;

- r - este razauecloare a punctului in care se calculeazi tensiunea tangenlial5;

- lo- momentul de ine(ie polar al sectiunii.

Cu rela{ia (10.7) se calculeazl tensiunea tangenliali r in orice punct de pe sectiune, fiind

cunoscut5 sub numele de relalia lui Navier pentru torsiune. Tensiuniie tangen{iale maxime se

2?i

Momentui de torsiune rezultant M, se ob{ine prin sumarea momentelor Ce

elementare;

M, = JrrdAA

lntroducAnd in relalia (10.4) rela{ia (10.3) se rrb[ine:

tr,,t, = Jr2GOOeA

9i {inAnd seama de faptul ci produsul G0(x) este constant, rezulti:

M, = GoJr2oR

torsiune

(10.4)

I lt-.t- | 'r tl


(10,5)


Tcrsiunea liberb 225224 Torsrunea liberi

dezvoltb in punctele de pe conturul sec{iunii, unde r,,u, = R

- M,- M).nr,- [

rrar *

l\,4irimea; W,, =lr/rrr, =lp/R se numegte modul de rezisten!5 polar al secliunii, flind o

caracteristica geomekica cu dimensiunea lL3l. Caracteristicile geometrice lo 9i $lo pentru secliunea

circulard plina au expresiile:

10. 3. 2, Tensiuni principale. Linii izostatice

Starea de tensiune din jurul unui punct de pe seciiunea unui eiement struciural soliciiat la

torsiune pura, fiind de forJecaie, problema tensiunilor principale qi a izostaticilor este rezclvatd in

paragraful 10.2. Tensiunile de pe o secliune inclinatd se evalueaze cu relatiile:

cix

a)

sl

b)

Fig,10.8.

on = -'isin2cr $i Tno = rcos2tx

Tensiunile normale principale, aclioneaze pe sec{iuni inclinate cu 45'fata de axa elementului

u.t=ft,4 1t ct'r=-n14

avAnd valonle:

or =r 9i 6z=-r

lzosiaticile formeazd douS familii de curbe ortogonale care intersecteaza axa longitudinalS sub

un unghi de 45" (flg.1 0 8). Tensiunile tangen!iale extrerne aclioneaza in planele secliunilor

longitujinale gi transveisale ale elementului, care sunt bisecioarele unghiurilor diedre dintre planele pe

care aclioneaze tensiunile normale principale, cu valorile:

Ll2 -- ! L

t--aD si w, 1,.- l- -nDr32 r-,, D2 16

b)

Fis 10.7

Rela{iile de calcul deduse peniru sectiunea circulari plini sunt valabile gi pentru secliuneainelari (fig, 10.7), in care caracteristicile geometrice lo ii Wo suntdate de expresiile:

r. - i(nl-Ri)- fiinl-n'i= 9; r,-*'r

- * ln: Ri)-TR:{r- a\ trD.3,. ..r\2R. ''tu '\r '- -2 1r-0 j- ll-c i

unde; cr=Ri/R. =Dr/D",Atunci candgrosimeaperetelui barei t=(R"-Ri)<R"/10,sec{iuneainelariseconsideracu

perete sub{ire, in acest caz, se admite ipoteza distribu!iei uniforme a tensiunilor tangen!iale pe

grosimea peretelui (fig, 10,7-b). Teoria de calcul penku acest caz particular este prezentata inparagraful 1 0.8.

adicS:

Tmax



AnalizagraficA a stdrii de tensiune din jurul punctului ,,M" se realizeazd graflc cu cercul lui i\4ohr

care are centru in originea axelor (o,r) gi raza OA1 -dBr =t. Cercul intersecteazd axa o in

punctele Ar 9i Az gi axa r in punctele B' 9i B,. in corsecinla OA. - or = t gi OA, - 6z - -t .

respectiv OB, = .., = t li 6Bz - rz = _r.Polul cercului lui Mohr coincide cu punctul Bz avAnd coordonatele (0; -t). Direc{iile tensiunilor

principale 61 gi 02 se obiin unind polul .,P" cu punctele A1 gi 42,

Fig. 10.9

10. 3. 3 Domeniu de valabilitate a relatiei fundamentale de calcul

Relaliile (10.7) gi (10.6) pentru calculul tensiunilor tangentiale gi unghiului de torsiune specificS,sunt solu{ii exacte ale problemei torsiunii libere pentru elementele cu sec{iune circulara sau inelarA,atunci cAnd sunt indepilnite urmatoarele condi{ii:

- sectiunea transversala este constanta in lung,- incarcarea exterioara liniar distribuita este aplicata in secliunile de capat, reducAndu-se la

doui cupluri de torsiune egale gi de sens contrar.

Aceasti teorie de calcul se aplici cu o aproxima{ie buna cAnd sectiunea elementului variazdlent in lungul acestuia. in majoritatea cazurilor incarcarea exterioari este transmisd prin forleconcentrate careformeaza cupluri (flg. 10.10-a). in zonele din apropierea secliunilor unde sunt aplicatecupluri concentrate (fig,'1010-a) sau unde secliunea se modiflca brusc (fig,10.10-b), starea detensiune este perturbata de existenla concentratorilor de tensiuni. in baza principiului lui Barre deSaint-Venant, perturbirile stirii de tensiune devin neinsemnate Ia o distan{i cel pu!in egalS cudiametru secliunii, fa{a de concentratorul de tensiune, in afara acestor zone, tensiunile se pot evaluacu relalia de iip Navier (fi9, 10.7).

Pentru un element de construc{ie cu secliune circulari plina, variabila in trepte pe douStronsoane, care au diametrele

'D" respectiv.,d", valoarea tensiunii tangenliale maxime (fig. 10.10-b). in

sectiunea concenti-atorului este,


I,MtIil

I

?)7Tcrsiunea liha r i

l\/"Tma, = 0[ ;.t-;7ro ,lo

Fig.10.10

Factor-ul de concentrare a tensiunilor as depinde de valorile rapoartelor intre dimensiunile

geometrice, D7d 9i rid, i flind raza de racordare a concentratorului. Atunci cend barele prezintd

slibiri mici, fiind confeclionate din materiale ductile, datoritl capacitilii de adaptare plastica, se admite

conventional ca in sec{iunea sldbiti, tensiunile se pct calcula cu formula fundamentalS, linindu-seseama 0e caracteristicile ge0metrice ale secltunii nete:

unde

in cazul materialelor casante sau a materialelor ductile solicitate dinamic, la evaluarea tensiunii

maxime se line seama de factorul de concentrare cxu,

Relalia fundamentali (10.6) se poate aplica in secliunile situate la o distanli mai mare

decit diametru ,,D" fa!5 de concentratorul de tensiune,

10, 3. 4 Starea de deformatie. Deplasiri

'in domeniul de comportare elasticd, deformalia unghiulari specifici sau de lunecare dintr-

un punct curent al secliunii este:

tt- lp bt rl.si

Un punct din interiorul

deplasa'ea oupa directia axei

elementului se deplaseaza

x este: u-0. Componentele

(1 0. 8)

numai in planul secliunii transversale,

oeplasarii punctului din pianul sectiunii

Toisiunea libera 229228 Torsiunea libera

dupd axele y 9i z (v gi w) se ob{in tinAnd seama de faptul ca aceasta are o rotire de disc rigid cu

unghiul rp, fa{d de sec{iunea considerate fix5, in urma rotirii sec{iunii, punctul curent,.B" ajunge in B,

(fig. 10.11-a). Deplasarea totala a punctului ,.B" este BBl AOmilanO ipoteza micilor deplasari, unghlul

OBB, este drept, deplasarea totala fiind:

BBi=s-re

Componentele deplasirii totale 6 dup5 directiile axelor principale centrale sunt:

v = BBt coscx = recoscx = zq

w - BB. sincx - rtpsina - yq

Cunosc6nd unghiul de rotire e al sec{iunii, componentele deplasarii unui punct curent de pe

secliunea elementului ,,v" gi ,,w' sunt complet deflnite. Unghiul de rotire relativl dintre doui secliuni

situate la distan{a dx, denumit rotirea elementara dtp, este produsul dintre rotirea specificd gi distan{a

dx:

t-t0. lu.I L

Produsul Glo se numegte rigiditatea la torsiune

sec{iune constanta pe tronsoane, relalia (10.'10) devine:

I!xy,n ex -

a secliunii elementului. Ciind acesta are

2[4xTTAD

d,p(x)=eox=trox (io e)

lntegrAnd rela[ia (10.9). se ob{ine func{ia unghiului de torsiune relativa <p(x) a unei sec{iuni

situate la distanla x. fa{5 de secliunea fixa;

or*r= iM'(t)o*i Glo

Atunci cAnd funclia momentului de torsiune M, (x) este constanta pe lungimea eiementulul,

unghiul de rotire relativa dintre secliunile de capdt va fi:

Rigiditatea la torsiune a elementului stri.lctural cu sec{iune constanta. se poate deflni ca flind

valoarea momentului de torsrune care rotegte secliunile de la extremita{i, cu un unghi de torsiune

relativa egal cu unitatea, deflnitd matematic de expresia:

, Gtnxv' =

r

10, 3, 5 Energia potentiali de deformatie

Starea de tensiune pe secliune fiind de forfecare pura, energia poienlialb de deforma{ie

specifica conform paragrafului 9.5 esier

u. =1*" 2'

|inAnd seama de legea lui Hooke gi de rela{ia fundamentala (10.7), expresia energiei potentiale

speciflce devine;

(10 10)

torsiune relativa <p(x) a unei secliunilntegrAnd relalia (10 9) se ob{ine funclia unghiului de

situate la distanla x. fa{i de sec{iunea fixS;

,r*)= iM'(t)ot'o Glo 2

,, 1r' 11M,"1to lbt t" l

\P/

ib


(1 0. I 0-a)

Funclia energiei potenliale de deformalie se cbline integrAnd pe intregul volum al eiementuluirela{ia (fl9. 10.10-a);

, - I ttiYi,. ov- I tI;0,fi,'on2' j'Gll 2 j u,o t

sa'l avand n vede.e ci jfr2Ca - ir se obtine:

u - J 'rfv^2; crp

Atunci cAnd M" gi lo au valori constante pe intreaga lunqime:

Torsiunea libera

Rr,r -(0.5*055)Ro

in cazul materialelor casante. cum este fonta sau betonul simplu, condi!ia de rezisten!a la

torsiune are forma parlicularl:

Mrto, - ^Te'.:ox=ot - 'n,

tKo'uup ef

Pentru materiale anizotrope, de exemplu lemnul, valorile linnitd ale reztsten{ei la forfecare sunt

cele din pianele paralele cu fibrele: t,i ".

Dimensionarea secliunii se obline din condltla de rez:steni) (10.12):

^' ll^ "''/!l rec =

Rd ,

Dimensiuniie gecmetrice ale sectlunii rezuiti exprimanci ;ondi{ia:

V/r, n = $Jp.nec

astfel:

- pellrlj secliJnea circulara plina: nD' t6 = Wr ", ' D.- = i 16W;-=

-n 16W -^^- pentru secliunea,Jlslara. ''- {l-o.o l-Wr.*. r D. e: -i i ' ,l in ca-e -apcrt-ir

'6 \rll o-lcr = D'/D. se impune.

Momentul de torsiune capabil al sectiunii, din condi{ia de rezisten{d este;

lvlr,rup = Wp,.tRc i

For{a capabila, rezulta din condilia Ce egalitate dintre nromentul de tcrstune exlerior maxinn din

seciiunea de calcul gi momentul capabil;

M,,,,,.rip i)= M,...u

Verificarea rezistenlei se realizeaz| cu rela{iile ('10.12), cAnd se cunoagte valoarea efortului

seclional M* ru, gi dimensiunile secliunii elementului

10.3.6.2 Calculul de rigiditate

La maloritatea elementelor structurale deplasirile sunt limitate la anumite valori admisibile 9i in

alarb de condi{ia de rezistenti (1 0 1 3) trebuie satisfacuti 9i condi{ia de deformatie:

230 Torsiunea liberd

Energia poteniiala de deforma{ie elementara pentru volumul dV esie

/ \2'

I tt \

du =-ll I!1 I 61v2G[ te )

Cand func{ia momentului de

(10.11) se poate scrie sub forma:

(1C.11)

expresiatorsrune este consiantd pe tronsoane de lungime ,, l, "

10. 3. 6 Proiectarea barelor cu sectiune circulari sau inelara

10.3.6,1 Calculul de rezistenli

Starea de tensiune din jurul oricarui punct de pe sec[iunea kansversala a elementului flind deforfecare pura, condi{ia de rezistentd se scrie sub forma:

- Mr.rr, - ^Lef,max= * <KrJrVVp ef

(10 12)

R6i este reprezinti rezisten{a de calcul la fofecare. Pentru materialele ductile rezistenta de calcul

sau rezisten{a admisibila se poate exprima func(ie de rezistenla la intindere:

Rezisten{a materialelorRezrsten{a materjalelor

Torsiunea iiberd

l.M= l--r dx < to^

o ulp.el

(10 13)

Valorile deformatiilor limita Q0 sau 0s se stabilesc pentru fiecare categorie de elemente

structurale, funclie de conditiile de expioatare gi importan\a acestora in skucturd.Dimensionarea Unghiul de torsiune relativi tp uariazain lungul barei funclie de momentele

de torsiune aplicate, Deoarece aceste momente pot avea semne diferite, unghiul de lorsiune total tp

nu poate caracteriza rigiditatea barei, conditia de rigiditate exprimandu-se o1n ungFiul de torsiunespecrfic. Atunci cand condi{ia de rigiditate (10 13) este indepliniti la limiti:

|p,,". = l\,4r;.Go;

Diametrul necesar. se gasegte din exprimarea condiliei: lrnr, =ro,n, drn care rezulta:

pentru secliunea circulard plini: aDa,,b4 = 1o n.. = Or.. = 1O4lo*; ;

- pentru secliunea inerara: $(1-oo)=ron". = D","." =t'?6w*JttFl in

care a=Dr/D".Momentul de torsiune capabil, are expresia;

M*,.up = 0gGlp,.1

Fo(a capabilS a sec{iunii rezulta din condilia de egalitate dintre momentul de torgiune capabil gi

momentul exterior maxim:

M,,.*(p,l)=Mf,rrp 3 p!,p

Atunci cand elementul skuctural trebuie sa indeplineascS condilia de rezisten{i gi rigiditate, celetrei probleme ale rezisten{ei materialelor se rezolvd astfel:

a) dimensionarea;

^ /-- -o \Un.. : il?x fJn". , Unr. f

Rezisten{a malerialelorRezisten!a matenalelor

Torsiunea libera

in care:

- Dl". - este valoarea diametrului secliunii determinata din condi{ia de rezisten\d;

- D3..- este valoarea diametruluisec{iunii determinata din satisfacerea condiliei de rigiditate

b) momentul de torsiune capabil:

M, caD = min(V;.ro ;tt'if .ro )

in care,

- M,.ro- este momentul capabil al secliunii determinat din condilia de rezisteniS;

Ml.uo este momentul capabil al secliunii determinat din condilla de rigiditate

c) verificarea conditiei de rezistenli 9i de rigiditate. Condilia de rezisten!5 si rigiditate se

verifica cu relatiile (i0.12) gi (10.13). Din raportul momentelor de tcrsiune capabile evaluale din cele

doui condi{ii rezultS:

Ml,*p -

wpRo; =lot l

M?rup lPceo Goo R

R flind raza secliunii, Daca.

- Ra i t G06R - este mai restrictivd condilia de deformatie;

- Rc r < G06R - este mai restrictiva condi{ia de rezisten\5.

A X.2

sd se dlmensioneze elementul structural AB ccnfecllonai din olel oL37' din figurs 10 12 secllunea alcdtuindu-

seindouivariante: circularagi inelari. Datenumerice: 1=6,0m, Mr =6000daNcm, Rar =1200daN/cm2 0r =f i m;

G=8x10sdaNlcm:, m" =3M,/lt cr-D/D" =0,9.

Rezolvare

Funclia inclrcdrri este continua pe tronsoanele I (A-C) 9i ll (B-C)

/ Pentru tronsonul !, in secliunile caracteristice, momentul de torsiune are valorile:

l9r,rI

Funclia incdrcdrii av6nd varia\ie liniard, funclia momentului de torsiune este cu un grad superioard avirnd

varialie parabolicS./ Pentru ironsonul ll, in mod asemSnator se oblin valorile.

" ^ ' rrl- 5" " ri' MM'=_,ll ,lV =_i1/ si yc=_I,7 : -r-_-' 8 B'' e' " --8" ) ; 2

[4; =*2M, $] l\,1::'= -2f,,;*+,,;=


mx

2M,

I'lx12

Fig 10 12

Similai-, funclra momentulur de torsiune are varialie parabolica.

Seclrunea de caicuj esie A unde Mi.,, - 2M, = 2x6000 = 12000daNcm

o Dimensionarea elementului structural din conditia de rezistenti:

'{i:2!Ax

\n, -" ly'''',

- 12loo - tor.,R", 1 200

o.?'-*" , r,"-i19p i,u,.jo

,,."a) Pentru sec{iune circulara:

\/,s =We*" =

b) Pentru secirune inelarS:

w-^=w--^^ ,n'D."r1-n'l 16w.!os-,,0 1e. 16 ' - ,-w, u. - D'".-.=i'ffi-i

Di.n"" = aD" n"" = 0,9x5,30 = 4,8cm

o Dimensionarea elementului structural din conditia de riqiditate:

, vi ,-, 12ooo - e A ^m1ro."e: G0" g^,0. rffiO =ooutrt

16r10

-

=5JU cm sl31411-0s')

-- -\'A

a) Pentru secliune circulara

Rezrstenta materialelorffif,nla matenalelor

11E

TI

I

I

Tcrsiunea libera

ro n - ro n.. = $ =,,.""= r'"." ='i1} - f--# =

3 1 cm,

b) Pentru secliune inelari.

r,n-r,,., - 1.0; i,-c.r'l-,, -. - t".-\'';} 'ffi-'iJc' e:

Dsi,n"" = crXD" n"- = 0 9x4 = 3,6 cm

Deoarece elementu{ structural trebuie sd indepineasce ambele ccndilii dimensiuniie geomeirlce ale seciiunii

o:n r l5ionr,a ir :ele oo-a va'a'le ror f;

a) pentru secliune circularS: 0"". = nax(O;", 1f'.. J-: r :m:

o) pe'rrL sectiune ne a'5

D - m:rlDI -ru l-; ,cr -- D;"". =0'9x53=4,80cm

l0.4AnalogiahidrodinamicisarianalogiaA'G'Greenhill

Se bazeazi pe sinnilitudinea care existi intre ecua{iile diferenliale ale migcdrii de rotalie

uniformi a unui lichiO ideal, in iurul axei verticall a unui vas cilindric 9i ecualiile diferen{iale stabilite de

Teoria elasticitblii. Astfel intre migcarea lichiduhll $i starea de tensiune pe sectiune existi urmatoarea

analogie:

a) viteza de deplasare a lichidulul in orice punct corespunde mSrimii tensiunii

tangentiale;b) liniile curentului lichidului corespund cu liniile fluxurilortensiunilor'

)\\ 0lr,

t: .r/,b

a a

rig 10 13

Aceasti analogie conduce la observalil. calitatlve importante in studiul la torsiunea liberi a

elementelor skucturale .u ,..t'un. ori.rur.. lxaminAnd forma liniilor de curent penku secliunile de

formi oarecare prezentate in figura 10, 13 rezulti urmitoarele concluzii:

/.16 Torsiunea liberb

a) in vecinitatea liniei conturului, vectorul vitezei lichidului 9i vectorul tensiuniitangenliale au directia tangenti la contur;

b) in centru secliunii gi in collurile ieginde, viteza lichidului 9i tensiunea tangenliali rsunt nule;

c) viteza lichidului 9i tensiunile tangenliale au valori maxime in punctele cele rnaidepidate de centru sectiunii (in dreptul semiaxei mici la sectiunea eliptica, la mijlocul laturilormari pentru secliuni dreptunghiulare 9i in punctele din vecinatatea concentratorului de tensiuniale secliunii din fig, 10.13-c).

10.5 Torsiunea Iiberi a barelor cu secliune dreptunghiulari

Distt'ibu[ia tensiunilor tangen{iale pe suprafa{a secliunilor dreptunghiulare se obline utilizAndanalogia hidrodinamica. Astfel, tensiunile tangenliale au valoarea maxim5 la mijlccul diagonalelor gi lamijlocul laturilor iar in col{urile gi in cenkul sec{iunii, valori nule,

Tensiunile iangentiale rnaxime de pe suprafa{a dreptunghiulara se dezvolta la mijlocu{ iaturilormari flind evaluate cu relatia:

|--- - -rlvl " IlT-..- "-i"'

"!b']jar cele dirr m.llocul iaturilor scurte

T,,,

,(l\,'i\

w\l___--_"i

T..,r*

h

/m\r,Uffi[!ffi7t

10, h

-.

Fi7.10.14


respectiv


(1 0 2e)

Torsiunea liberi 231

unde,,b" este lungimea iaturii scurte a secliunii. Pentru mcdulii de rezisten!a ai secliunii -qe folcsesc

expresiile:

Wr = ahb2 9i Wf = o1hb2

Coeficien\ii adimenslonali u gi u, depind de raportul ., hib", vaiorile lorfiind date in iabeiui 1

Unghiul de torsiune specificd are expresia;

(A 27-a)

h fiinC momentul de inei'{ie la torsiune al elementului cu secliune dreptunghiulara care se evalueaza cu

relalia:

( 10.27-b)

Tabelul 1

hb 1,C0 1,25 i,5c 115 200 2,50 3,C0 4,00 500 10 00

tt c,2c8 0 221 n 1?1 n t?o 0.216 0 258 a 267 a,282 0,292 0 313 0 333

fl1 0,2c8 C,238 0,269 a292 0 309 0,336 0.354 0,378 0,393 a.421 0.149

B 0 141 U,tll 0,1 95 n alr n rlov,L ta a,245 0,253 0,281 n 1a) 0 313 n ?1?

Coeflcientul adimensional B esle dat in tabelul 1 functie de raportul ,,h'/b ". Pentru sectiuni

dreptunghiulare cu raportul h/b > 4, coeficien!ii a 9i B oot fi calculali cu rela{ia:

4, h\' n nj3:u. -P- 3

'-r,t"h.,

Condi{iile de rezistenli gi rigiditaie pentru aceste iipuri de secliuni sunt date de reiatiile:

N/"rru*=W;tndf (1 0.28)

[- rvtl0- rlclr :li

238

h/l.

,'t \

t-lli

Fiq i 1.15

in cazul elemenlelor cu secliune dr-eptunghiulara ingusta, cu rapoftll hi b > 1C. in baza

analogiei hjdrodinamice se demonstreaz5 cb tensiunile tangen{iale variaza liniar pe gr"osiniea sectiunti,iar in punctele de pe laturile lungi, cu excep{ia ceior din vecinatatea latur-ilor scurte (flg.11.15) iau

valoarea maxime:

[,,]" M.'ma\-\Ai t , (10.30)

Aiunci cAnd raportul laturilor h,rb >10, coeficienlii adimensionali a 9i p din tabelul 1 au

valoarea, cr=i3=1t3, exoresiile caracteristicilor geometrice ale secliunii dreptunghiulare inguste au

foi'ma particuiar5;

w=4ri3

. hb3tr -: (10.31)

in acest caz, relaliile pentru calculul tensiunii tangen{iale maxime rmax $i a unghiului de

torsiune specific 0 vor fi de forma:

Tma* =M*=3M,w, hb2

Torsiunea libera

RezistenIa materjalelorRezisten!a rnatenalelor

(1C 29 a)

235Torsiunea Iiberi

M. 3l\,1.,A-\-..'Gl, chb,

10. 5. 1 Proiectarea barelot cu secliune dreptunghiularS

10,5.1.a Calculul de rezistenta

r Dimensionarea secliun!i.Atunci cAndrelaliile('10.28) suntindeplinitelalimltri,seobiine:

nt

w,.". --'"-1"'u'Kdf

lmpunAncj un rapori intre dinrensiunile secliunii transversale

de un singur parametru (Wo =t'coj) drn condi{ia de egalrtate:

h,/b = c Si exprtrnand W' ,, functie

W,.o=W' n., a bn..=lrWt "inc = h"""=Cb.""

r Momentul de torsiune capabil al sec{iunii, cin concilia de rezisten!5 este

['1r.up = Wt,.tRo,t

For{a capabild, rezulta din condi!ia de egalitate dintre momentul de torsiune exterior maxim 9i

momentul capabil in secliunea de caicul:

M,"r,(P,l)=Mr,rrp = PJ,p,

+ verificarea rezistenlei se realtzeazb cu relaliile (1c.28) cdnd se cunoagte valcarea

efortului sec{ional Mr,*r, 9i dimensiunile sec{iunii elementului

1 0.5.1,b Calculul de rigiditate

La nrajor-itatea elementelor skucturaie deplasarile sunt limitate Ia anumite valori admisibile si in

afara de rond'i1iu du rezistenla (10.28), trebuie satisfacutd 9i condilia de deforma{ie:

]r.,.u,


Valorile deformaliei admisibile 0u se stabilesc pentru fiecare categorie de elemente structurale,

funclie de conditiile de exploatare gi importan{a lor in structurd.

t Dimensionarea Atunci cdnd condi{ia de rigidltate (11 29-a) este indeplinitd la limiti:

It,n..M r.tr*

Goo

Dimensiunile sec{iunii kansversale se gisesc din condi{ia: l,,o =1,,n"..

Exprim6nd momentul de ine(ie la torsiune convenlional (11 .27-b), func{ie de un singurparameiru:

l,o - Bcbr, Llnde n o-c. se obline:

[3cba =l,.nu. f, bn", =t/\r.f,Fa -hn". =c.bn..

r Momentul de torsiune capabil. are expresial

llr,.ro = 66Gi1,.1

Forla capabila a sec{iunii rezulti din condi{ia de egalitate dintre momentul de torsiune capabil qi

momentul exterior maxim;

M,,rr*(p,l)=M9rro = p|r,

Atunci cind elementul structural trebuie si indeplineasci conditia de rezistenti sirisiditate, cele trei probleme ale rezistentei materialelor se rezolvi astfel;

I Dimensionareasectiunii:

U.u. = max(U,'..:n!;-l gr hn.. = orr(f,1...i.rf", J

in care:

- bL. ii hfi..- sunt dimensiunile sectiunii, determinate din condilia de rezisten{5;

- bl". qi hfl".- suni dimensiuniie sec{iunii determinate din condilia de rigiditate.

r Momentul de torsiune capabil:

M. c"p = tin(M;,,0,1,"tf .,0 )

?n care:

- \ll.up- este momentul capabil determinat din condi{ia de rezistenta;

- Ml,.ro- esle momentul capabil determinat din condilia de rigiditate.

. Verificarea conditiei de rezistenli gi de rigiditate. Condi{iile de rezistenlS 9i rigiditate


T'Torsiunea libera

sunt indeplinite, daca reia{iile (10.28) 9i(10 29-a) suntsatisfecute la Iimiti

A IX.3

Si se verifrce rezistenta qi rigiditatea elementului structural confecllonat din oiel 0137 cu secliune

dreptunghiularS, din figura 11 17. Date numerice M, =600daNm; b-4cm' h=12cml G-B' 10:daNicm:'

Rr i = 1 200 daN/cm2 0o - 1,75 x '10r rad/cm, m, = 3M, ./l ,

Rezolvare

Funcila incdrcdrii esle c0x'linLrS pe tronsoanele: I (B-C) 9i ll (C-A)'

"/ Feniru trcnsonui l, in secliun ie caracterislice. mornenteie Ce tcrslune au valorlle.

M: =rl" si Mf =14,

F,:nc{ia incarclrit flind nul5, funclia momentulur oe torsrune esle cu un grad superioarS, deci c0nsiant; pe acesi

interual.

'/ Peniru tronsonul ll, in sec{iunile caracteristice, momeniele de torslune au valorile:

M

^.,"" _---'T- T-1 u,

Fig. 10.16

a) Verificai-ea rezistentei:

1,4 cn non.*, =#---"#=1170 daNicm: ( Ro,r =1200 daN/cm:,

!riei

unde. W' ",

= u hb2 = 0,267x 1 2x42 = 51,3 cm3 ,

Coeficentul 0 este funclie de raportul. nlb =12 4=3,0 = a=0'267

b) Verificarea riqidititii:

241

Tr

10.6 Torsiunea barelor cu pere(i subtiri cu profildeschis

Secliunile cu linie mediana poligonalS sau curbd sunt cu pere{i sub{iri, daca sunt respectale

condi{iile: h1l >'10 respectiv R1t > 10, unde:

- h - este inil{imea dreptunghiului component al sec{iunii cu formi poiigonala,

- t - este grosimea peretelui secjiunii;

- R - este raza liniei mediane circulare,

Dupa forma liniei mediane, sec{iunile se clasifica in urmatoarele categorii:

- cu profil deschis sau sirnplu conexe. daca linia rnediani poligonalS sau curbi este deschisa

(10.17 a);

- cu profil inchis sau dublu conexi, dacb linia mediana poligonald sau curbi este inchisd

(1 0.1 7 b);

" cu prcfil multicelular sau multiplu conex, daca linra n-rediani. poligonala sau curba formeazidoua sau nai mulie contui"ut'i inchise (fig. ^'C.i7-c).

La elementele cu profil deschis compuse din dreptunghiur-i inguste cu grosimi diferite sau profile

lamlnate, pentru determinarea tensiunilor tangenliale maxime gi a unghiului de torsiune specific, se

poate utiliza teoria de calcul a sec{iunilor dreptunghiulare inguste, daci se admit urmAtoarele ipoteze:

- dreptunghiurile inguste care alcdtuiesc secliunea lucreazd independent Ia torsiune;- secliunea transversala ramane indeformabild in urma deplandrii din torsiune (proieclia

secliunii deplanate pe un plan normal la axa barei nu-gi modificd forma iniliald).

1:'1l__-

c)

Fig 10.17

Torsiunea liberi

Astfel secliunea cu profil deschis se poate descompune in dreptunghiuri inguste, cai'e la

torsiune se rotesc cu acelagi unghi de rotire specific 0 (flg. 10.18). Starea de tensiune de pe secliune

este cunoscuta daca se cunoagte momentul de torsiune Mr.1 pe care'ii preia frecare drepiunghi

cornponert al sec[iur, .

Din condilia de echilibru static rezulti:

Mr1*Mxz+Mr3=M, (1 0.32)

M*, fiind momeniul de torsiune total de pe secliune iar M*r,[4r,2;lv1y3, SUnt momentele de torsiune

preluate de dreptunghiurile componente ale secliunii. NotAnd cu 91,02,03 rotirile specifice ale

dreptunghiurilor componente. in baza ipotezei indeformabilita{ii secliunii, se obline,

01=02=0--0 /i n 2?\

Exprimand rotirile specifice func{ie de momentele de torsiune gi aplicind proorietaliie girurilor de

rapoade egale se ob{ine:

fi=\l=ll'l= M"

Gl,, Gl,,i Gl,: Gl,(1 0 34)

unde i, -ll. este momentul de torsiune ictai al secliunii. JinAnd seama de rela{ia (1C.31), expresla

momentului de tor-siune total devine:

(10.35)

Din relalia (10.31)

secliunii sunt:

rezulti ca momentul de torsiune preluat de dreptunghiurile componente ale

t,.l,nM,.=Mrt,*,r-*,1 Mr: =M,l,:Ir

243242 Torsiunea iibera

0" ,"^ - I.-' " u::'1"

- -1a65 ''0 orad

cm < 0. 1/5 10 1rd.'crGI.., B> 10' .50.5

Lrnde: l, ,. =Bhb'z=C,263x12x42 =50,5cma, pentru h/b-3,0 = P=0,263

l- iltl

-lL-llL r I L tl

i**j--iittllil

l- ,r\- )

Generaltzand, pentru 0 secliune forrnata din n dreptunghiut-i inguste:

(10.36)

Expresia de calcul a tensiunii tangenliale maxime, pentru dreptunghiul component ,,i", func{ie de

momentul de torsiune rezultant M' se ob{ine, introducand in rela{ia ('10 30), reialia (10"36):



T-a, ; -Y.tr -tt.r, l-,,Lt

- *tIri lt lr ll(10.37)

Raportul M, i'1, fiind constant, rezulta ca tensiunea tangen{iali maximi se dezvolta pe conturui

dreptunghiului cu grosimea maximi (fig. 10.18) gi se determind cu relaiia:

[/. M"-rax

l, 'rrr Wt

In care

F =uil r 1 0 ?7_r\

reprezintb moduiul de rezisten!5 la torsiune conveniional, ai sec{irrnii cu profii deschis. Din arializa

experimental5 la torsiune libera al elementelor structurale cu profll deschis s-a constatat ca rigidiiatea

realS este mai mai-e decat cea evaluatd cu teoria de calcul dezvoltal5. deoarece dreptunghiurile

t.>t2>tlh3

componente sunt legate rigid intre ele gi nu

corectarea expresiei momentului de iner{ie la

depinde de forma sec{iunii:

It

Fig.10.18

lucreazA independent. Din acest motiv este necesare

torsiune (10.36) cu un coeflcient adimensional l, care

1

- ' \- h +J

"i+"'Valorile coeflcientului de coreclie q, determinate pe cale experimentala sunt:

--i--

1 L?L**___g

N

7t/

b

Trr* 1 (Tr*

!ma* 2{Tmu*

Rezisten!a materialelorRezisten{a maierialelor

Torsiunea ltbera

I = 1 00 - pentru profil cornrer L:

\-1,12' pentru profil U;

I = 1 20 - pentru Profil l;

11 = 115- pentru profil T;

I = 1,17- pentru profil cu forma de cruce +

La racordarile intrAnde aie profiieior, apar concenti-iri cie tensiuni care se calculeaza cu relalia

unde coeflcientul de concenirare al tensiunilor {,xk are expresia;

a, -174 it- , :

t.rr. fiind grosimea maximi a clreptunghiurilor racordaie iar r este raza de racordare.

La materialele ductile, tensiunea tangen{iali maximb este limilata de tensiunea de curgere t. ,

la atingerea cireia incepe uniformizarea tensiunilor in zcna in care existl concentrdri de tensiuni.

Teoria de calcul dezvoltatd este valabili numai pentru depianarea libera a secliunii in iungul

elementului, aceasta nefiind influenlatd de modul de incdrcare gi rezemare.

A IX-4

Sd se delermine valcarea fo(ei capabile, pentru elementul slruciural d n flgura 9,20. Date nLlmerice

a=0,50m, t=0,8 cm, Rar=1100daNicm:' 0"=f irn. G=Bx105daN/cm2'

Rezolvare

l,4onrentele de tcrsiune dir secliun le C gl 3 sunt:1)

Itli -para-pa: 9r M,=t 2p^331.13v2]=4p2:

Funclia incdrcai'ii esie continui pe tronsoaneie. I (B-C) 9i ll(B-A)

/ Pentru tronsonul l, in secliunile caracterisiice, momentele de loi-siune al vaiorile

Mf = pa'? qi lil!d' = pa2

Funclia incircdrii fltnd nula, funclia momeniului de torsiune este c! un grad superloard adici constantd pe acest

"/ Penuu tronsonul li, in sec{iunile caracteristice, momentele de toi-siune au valorile:

lil?'' =Fa2 *4pa2 =*3pa2 9i Mf =-3ps:

246 Torsiunea liberi

4l't,; a

at

Fis.10.19

Simtlar, func\ta momentului de t0rsiune este constantS pe acest tronson. Mcmentul de torsiune maxim este

M" nu, = 3pa2.

Determinarea forlei capabile:

"/ din conditia de rezistenti:

M,"uo =W,",xRo, , unde: W", =-!'- =125,8710 =314,71. si" 1,", 4l

t . llrrt -]lro.,r','r 40r. r/l'=32t. r, 32r.rjl r= n2\8.7r'

3- J

Fo(a capabila a elementului structural se determinb din condilia:

M,"u, =14,"u" = 3pa2=W,"rRri = pl," =w':':o' -314710q 1100=23.7daN/cm"' 3a' 3.50'

/ Din conditia de riqiditate:

M, ""0

- Gl,"10o

Fo(a caoabilS a elementului structural se determini dtn ccndilla:

M,.", =Ml"u, = 3pa2 -G1,..,0. =

8x105 x1258x0,81 xn, 18000

t 40t

3x502

41

l

?A+ r

^H Glr",e"


= 95,9 daNicm


de

10. 7 Torsiunea barelor cu pereti sub[iri, profil inchis

Tensiunile gi deformalille dintr-un element structural cu pereti subtiri care are secliunea dublu

conex5, de formi oarecare. (la care grosimea peretelui este variabilS in lungul liniei mediane, dar

constantd in lungul unei generatoare), pot fi analtzale cu metodele Rezistenlei materialelor daca se

admit urmatoai-ele iPoteze:

a) tensiuniie tangenliale sunt distribuite uniform pe grosimea peretelui;

bj in orice punci al secliunii, tensiunile tangenliale au directia paralelS cu tangenti la

linia medianS.

Veridicitatea celor d0ua ipoteze este conflrmata de analogia hidrodinamic6, Se consideri un

recipient inelar de in6llime unitara, care are forma fundului identica cu cea a secllunii elementului (fig.

10 20). Liniile de curent ale lichidului sunt tangente atAt la conturul exterior cat 9i la conturul interior'

Grosimea peretelui fiind micd, rezulta ca in orice punct de pe acesta. liniile de curent sunt diriiate dupa

tangenta la contur 9i in punctete situate pe 0 normald la pere{ii vasului, viteza lichiduiui este aceea$i,

adiii tensiunile tangenliale au valori constante. Debitul de lichid care circula in vas fiind constant

in orice sec{iune a peretelui vasului:

Torsiunea liberl

Elementul struciural irebuie s5 indeplrneasci c0ndllla de rezistenli $i ngldltate. decr:

'ir o \ ^".,^''^P ,o mlnlo ,. .9i,, I = zJ / oa \'c'i

v,t,1=vrt21

Fig.'10,20

in consecinli, aplicand analogia hidrodinamica dintre fluxul tensiunilor tangenliale gi debitul

lichid se ob{ine:- + ,- +llll - L2t2

adicS fluxul tensiunilor tangenliale este constant in lungul sectiunii, Fluxul de forfecare

definegte ca fiind rezultanta tensiunilor tangenliale pe unitatea de lungime a peretelui:

1-4.

248 Torsiunea liber.a

f-tt'1

Fluxul tensiunilor tangeniiale fiind constant in lungul peretelui, rezultA ce in secliunile undegrosimea peretelui este mai mica, tensiunile tangen{iale au valori mai mari $i invers. Dependenla diniretensiunile tangentiale gi momentul de torsiune rezultant care aclioneazi pe sec{iune, se obline prinexprimarea ecualiei de momeni in raport cu punctul O. dat de reiultanta tensiunilbr tangen{iaie de pesuprafala elementard dA = tds , Momentul de torsiune elernentar generat de rezultanta tensiun jiortangentiale de pe suprafa{a dA este:

dM, = 111(5P'

Momentul de torsiune rezultant M* de pe sec{iune, se cb{ine prin sumarea in lungul conturuluilnchis a rnomentelor de torsiune elementare:

M, = .ir i(s)ros

Produsul rt(s) fiind consianl, relalia (10.3g) devinet

M, = tt(s)frds

(10.38)

(10.3e)

Se cbsei'va ca produsul .,rds" reprezinta dublul ariei lriunghiului dejir.nitat de arcul elementar dsgi razeie corespunzatoare exkemitSlii acestuia. Astfel. integrala curbilinie pe conturui ,,s" a sec{iunii seexprimi matematic sub forma:

frds = 2f) (10.40)s

in care Q este aria delimitata de conturul liniei mediane a sec{iunii. introducAnd relalia (11.40) inrela{ia (1 0,39). rezulta:

M, =tt(s)2e: (0.41J

(a.42J- tu, l['q!ri

cu aiutorul cireia se poate evalua valoarea tensiunii tangen{iale in orice punct de pe linia mediana aconturuiui. Vajoarea tensiunii tangenliale este maxima in punctele de pe sec{iunea cu grosimeaminima. Rela{ia (10 42) este cunoscuti in literatura de speciaiitate sub cjenumjrea de prima formuli alui Bredt. inlocuind

,in rela{ia (10.a2) t(s) =t,,n se ob{ine rela{ia pentru evaluarea tensjunii maxime de

pe secliune, rela{ia;


r-,^:,,^^^ tiL^-xlill-\lUriCd llUtrid 249

I\A,T

]'"'" zot- ]

NotAni cu W, = 2911-,^, moduiul de rezisten!5 la torstune conventional. relaiia (10.43) devine:

Admi!And ipoteza ca elementul structural este solicitat in domeniul iiniar-elastic, pentru

determtnarea unghiului Ce torsiune specific, se uiilizeazi egalitatea dintre iucrul mecanic a! forielor

exterioare:

i _ llieLexi - 2

qi energia pote n!iala de defornralie penlru un volum elemen'iar;o 1 ...,2

U ^[,frlv-;fif'^cv - :." tiJJ'^ot1"" t'j-'u t t r

finAnd seama de faptul ca: dv =1dst gi de reiaiia (10 42) se obllne:

- [4" .dso ;Q '1! 45)

4Ga1 i t(s i

identirrcAnci relalia (10.27-a) cu relalia (10 45) se obline expi-esia rnomentului de inerlie la

torsiune:

(10 14)

(1 0 46)i--/d';ri"=;GL lqrl

Dacd grosimea peretelut este constanta pe lungimea.,s," a peretilor sec{iunii. inlegrala din

relalra i'0,46) se poate scr:e ca o sumS

inlocuind relalla (10.46) 'in r"elalia ('10.45) se ob{ine expresia unghiului de rotire speciflcS

F=M,.,ql

250 Torsiunea ltbera

cunoscutd sub denumirea de a doua formuli a lui Bredt" Pentru sec{iunile metalice in formS de

cheson rela{iile de caicul ale caracteristicilor geometrice convenlionale se corecteazS cu coeflcientul r1

LO2l' - n;ft $' wr =r12Qt'^ '

,l

;t(s)

Valorile coeficientului adimensional r1 determinate experimental sunt: q = 1,00 - pentru

secliuni asamblate prjn sudura qi 1=0,30- pentru secliuni asamblate prin nituire.

10.8 Proiectarea barelor cu pereli subtiri cu profil deschis sau ?nchis

10.8.1. Calculul de rezistenli

Condiiia c1e rezistenii peniru acest tin de eiemente siructurale esie dati de relaliile:

(1 0.46.a)

r Dimensionarea . Atunci cAnd relaliile (10.a6-a) sunt indeplinite la limiti:

n, Mr tu^v\ nec - O,

Grosirrea peretelui seciiunii, rezulta din condilia;

Wt,g =Wt,n", * tn..'

Itlodulul de rezisten!a geornetric W, o se calculeazi cu relalia (t,1.37-a) ln cazui barelcr cu prcfil

deschis 9i cu rela{ra :

in cazul barelor cu profil inchis,

r Momentul de torsiune capabil al sec{iunii din condi{ia de rezisten{i este

M*,.up = Wt,.tRa,t

Rezistenla materialelorRezistenta matenalelor

':wiilit,1:,j,:;,,,

251Torsiunea liberd

Fo(a capabila rezulta din conCi!ia cle egalitate dintre momentul de tcrsiune exterior maxim qi

momentul capabil din sec{iunea de calcul:

Itl .- rp.l)-lvl ,,p - P'"r,

r Verificarea rezistenlei se realtzeaza cu relaiiile (10.a6-a) cand se cunoagle valoai-ea

efortului seclional M, "r,

qi dimensiunile sectiunii elementului sti'uctural.

10.8.2. Calculul de rigiditate

La majoritatea elementelor struciui'ale deplasarile sunt Iimitate la anumiie valori admisibile qi in

afara de condi{ia de rezistenia (10 46-a), trebuie satisfacuta gi ccndilia Ce Ceforrnatte:

#F.q,"'lel f

(1 0.46-b)

Valoi-ile defcrnraiiei admisibile 01 se siahilesc penir-u flecare categorie de elemenie structuraie,

iunclie de ccndiliile de exploatare gi impcrtanla sa in structur5.

* Dimensionarea. Atunci cand condilia de rigiditaie {10 46-b) esie inCeplinita !a limita:

, Mr,*r,r:;e- -Cr,

Dimensiunile sectiunii transversale se gisesc din exorirnarea conCiliei;

,0llq =tl:e" I tr"c

unde l,o este dat de relaiia (10.35), pentru seclirnile cu prcfrl deschis 9i cu relalia (1046) in cazul

secliunilor cu profil inchis.

r Momentul de torsiune capabil, are expresia:

\4, (,p - e,Cl .

Fo(a capabilS a secliunii rezulti din conditia de egalitate dintre momentul de torsiune capabil 9i

momentul exterior maxim,

M,,,, (p,i)= M!,.rp = pSup .

Atunci cAnd elementul trebuie si indeplineasca conditia de rezistenti si riqiditate, cele

trei probleme ale rezistentei materialelor se rezolvi astfel:


I Dimensionareasec{iunii:

i --rui/tt to ).4eL ,, ,,^ \,1eC . .r "L ,/

in care:

- tj". - este grosimea peretelui sec{iunii, determinat din condi{ia de rezisten{a;

- 1fl.. - este grosimea peretelui sec{iunii determinat din condilia de rigiditate.

r Momentul de torsiune capabil:

M, .ro = min(rV],up;l\4Y.r, )

in care:

- Ml,.ro- este mcmentul capabil determinat din conditia de rezrstenja,

- M9,.ro- este momentul capabil determinat din condilia de rigiditate,

' Verificarea condiliei de rezistenli 9i de rigiditate. Condiiiile de rezisten{i gi rigiditatesunt indeplinite, daci relatiile (10.46-a) si (10.46-b) sunt satisfacuie la Iimitd.

A-tx-4

Se considera elementele structurale in consol5 din figura 10.21, ale caror sec!uni transversale au aceleagtcirmensiuni geomelrice.DacEinpianul secltunir decapatseapltcd uncupludeforle,secere:

a) S5 se arale cate forma de secliune este mai ralionala;

b) Sdsedimensionezeambeleelementestructuralegtiindca: P=55KN; R",=1100daN/cm2,0^-1'lm.

0.51=

Fi1.10.21

t.3t

l

i

)4t

u.f,t*-_


unde:


Torsiunea liberd _

Rezolvare

a) Momentul de torsiune capabil este dat de rela{ia

lM, "uo

= \{/'"1R0,r,

fiind direct propc(ional cu modulul de rezisten{d la torsiune.

/ Pentru secliunea cu pereli subjiri cu profil inchis:

VV. ".

= 2s1.'^ = 2x l26t x 1 o,st)x 0,5t = 42913

/ Pentru secliunea cu pereli subliri cu profil deschisl

^ l

-35'5zt'='1'63' u'de= r.". 1,61

| -, 't-,,' ' t-tll'r(zt; l,t :E:1: ''51 [5r] ' i5rl15:l l=815a:'

Copparand nroduli de reztstenia ai celor Coui secliunr se constat5 ca modllLrl de rezisten{d gi impiicit

momenlul capabil la lorsiune al secliunii cu profil inchis este mult mai mare decdt modulul de rezistenl5, respectiv

momentul capabil la torsiune al sec{ unii cu profil deschis. Rezulti cd sec'liunile cu profil inchis sunt forme de secliune

mai ralronale decal cele cr.l proil deschis.

b) Dimensionarea secliunilor se reallzeazi din

'/ Conditia de rezistenti:o Pentru sec{iunea cu Profii inchis:

v,., -v .,p'rBr-\,'R. -, j -,11'? -, ;"t"'.i'^1 -050cn\429"R, \429.1100

o Pentru secliunea cu profil deschts:

iq1

[4, '", = M"

"uo = Px18t = W, "r

xRa:

Conditia de riqiditate:

Pentru sec{iunea cu profil inchis:

, t8. P 18' 5500, T " - : l. cfr'-:- \ 47,5.. R. \ d;6.1100

M""* =Ml-o = Px18t =Gl'"10"

rt i8"P i 18x5500=

0,2 cm.

\ 94984 ' G (e" \ S+sae' 8, 10: ^ n 18000

, 4(): 4Q) t, t?6ttt6.5Il' _orooo,"', . - '. .i. =

- .1.

-- zn 2lI 1bI 15t - rtrJ Ji

t)l'I t - t, 1.21 1.Bt 05t 15t


c Pentru secliunea cu profrl deschts.

M,,,",=lu4!..n0 > Px18t=GI,"10" -

18xP I 18\5500.t:--r'ua-q

\'85a' G <0. \resa a.1J5, n 18000

Elementul structural trebuie s5 indeplineasc6 alAt condrlia de rezisten\d cdt qr conditia de rigiditate

a) penru seclurea cu proiil'nclts:

b1 pent'u se:liu-e cr p'ol i desc\is

r."" - maxhl';t1"" )= o so r.

r. . -rurl'"."',tf., 1-,1,+ crn.

10.9 Torsiunea barelor cu peretri subtiri, multiplu conexe

Teoria de calcul la torsiune lrbera a elementelor structurale cu peretj subtiri multiplu conexe, se

bazeaza pe teoria dezvoltatS pentru elementele cu secliune dublu conexi. La ipotezele de calcul ale

elementelor cu secliune dublu conexi se adaug5 se adaugi ipotezele.

- suma fluxurilor tensiunilor tangenliale care intre intr-un nod este egali cu suma

fluxurilor tensiunilor tangentiale care ies dintr-un nod;- conturul secliunii dupi deplanare rimine indeformabil (unghiul de torsiune specifica a

fiecirui contur component al sectiunii este egal cu unghiul de torsiune specifici a intregii

sec!iu ni).

Se constdera un element de constructie cu secliune multicelular5, care are grosimea constante

a pere{ilor secliunii pe perimetrul celulei, aclionatd de momentul de torsiune rezultant M, . in perelii

sec{iunii tricelulare solicitata la torsiune liberd dln figura 10,22, pe celulele componente se dezvoltd

fluxuri de tensirtni tangen{iale notate cu. \,f2,\. Se considera ca fluxurile tensiunilor au direc{ii pozitive

daci au acelagi sens de parcurs cu cel al coordonatei perimetrale ,s'. Unghiul de torsiune specificl 0,pentru celula i, conform teoriei Saint-Venant estel

M"u=-Gl,

finand seama de relatia (10 41), momentul de torsiune

\ iu.!+ / /

preluat de celula ,,i" se exprimd sub

forma:

(1 0 48)

unde fluxul tensiunilor: I = t'ti , AplicAnd teoria de calcul a sectiunilor dublu conexe, expresia

momentului de ineriie la torsiune a celulei ,,i'' este dat de rela{ia matematicS;

Rezisten!a mater,alelorRezistenta materialelor

1r'-'

Torsiunea ltberi ,Aq

Deflnind noliunea de lungime reduse a conturului celulei ,,i"cu relalia:

9i linAnd searna de relatiile (10 48) 9i (10 a9), relalla (10.47) devine

tt

(10.4e)

(10 50)

(10 50-a)

D

(10 s1)

ilnilG+

Fig.1A.22

Momentul de torsiune rezultant, este suma momentelor de torsiune generate de fluxurile

tensiunilor tangenliale care se dezvolti tn perelii celulelor componente ale sectiunii multiplu c0nexe:

M, =IM,, =2IAifti

Pentru determinarea funcliei fluxului de tensiuni care actioneazi pe celula,,i" a sectiunii

multiceiulare ln raport cu momentul de torsiune rezultant M' se considerh cazul particular al unei

secliuni nicelulare cu grosimea peretelui c0nstantS (fig,10.22). AcceptAnd ipoteza indeformabilitalii

conturului secliunii, unghiurile de rotire specifici ale celulelor componenie sunt egale cu unghiul de

rotire speciflca a intregii secliuni. Astfel relalia (10 50-a) transcrrsb pentru fiecare celulS componentd,

cooouce la sistemul de ecualii.

Ifr[r - fz[ar:2or_Ge

]-f,Ls, +!1, -f.1." - 2QrGot"l- fzlcc + frl, = 29,69

iltiL:

256 Torsiunea liber-a

Solu{ia gener-al5 a sistemuiu! este de forrna:

I =lr Go

1,,, flind momeniul de inerlie la torsiune liberi corespunzator celulei ,,i"

rela{ia (10.5'1)se ob{ine func{ia momentului de torsiune total:

M, = l2Q,l',,G0, = GOl2Q1l'ii

de unde

Ge= la' -T?()lL---'l

(1 0.52)

lntroducAnd relalia (10.52) in

(1c 53)

Reia{ia de dependen{d dintre efortul sec{ional rezultant lvl, gi fluxui tensiunilor iangen{iale de

pe celula,,i" a sec{iunii multiplu conexS, se obtine introducdnd in r-elatia (10.52) relalia (10.53):

f"-- i\l-t -ltl 'l! _-_' ' 'l'-vrot

10.10 Bare static nedeterminate solicitate la torsiune

Barele pentru care numarul de legituri exterioare este mai mare decit cel minim necesar

pentru fixarea ln plan se numesc static nedeterminate. Se consideri bara cu secliune circulari

constanta. fixat la ambele capete. aclionat in cAmp de un moment de torsiune concentrat M, (flg.

1n t9\tu,LJl,Cele doui reazeme de la capete introduc cAte o singui'a necunoscuta, momentele de torsiune

Mf respectiv M! , ca urmare a blocirii rotirii libere ale secliunilor extremitSlile barei, Penku

deterrninarea mcrnentelor reactive, se poate scrie o singura ecualie de echilibru static:

IM,,r=o = lvtf +wf -M, =o (10.54)

Ecualia (10.54) conline doui necunoscute Mf 9i M!, problema flind o data static

nedeierminatS, Pentru determinarea celor doua necunoscute este necesara scrierea ecua[iei de

echilibru elastic. Secliunile de capat,,A'gi ,B' fiind flxate, condi{ia de compatibilitate a deformatiilor

(rotirea reiativi clintre secliuniie'A" gi ,B' este nuli), se exprima matematic sub forma;

tPr+ = 0

Rezisten{a materialelorRezistenta rnaterialelor

257I

l

I

Torsiunea libera

flomenlul de lorsiune fiind constant pe trons0ane, relalia antericara devine:

'Qr,,e+Qe-c=0

Exprimand unghiurile de rotire relativa in raport cu momentele de torsiune

(1 0. 5s)

relatia (10.55)

(1 0.s6)Ylt jil?b - r .r, Na ja -uf c - o

Gl, Gl,

rvri

TI,

Adaugiind la ecua{ia de

sistemul de ecuatii:

cu solu!ia:

Cand elementul are

(1 0.56) devine:

Fig 10,23

echilibru static (10.54), ecualia de echilibru elasiic (10.56) se obline

il,ri +rvrl -ll, =s

I r'lla-r,l!u=o

i;:" - r"r"a t

l,'8 * l,l t' I

I lvlx - lvLx ur

sectiunea variabila in trepte, ecuatia (10 54) ramane identici, iar ecua{ia

Mla N/:b__L-__| =uGl, t Gl,,z

lr.

258Torsiunea libera

Momeniele de tor-siune din reazemele eiementului reprezinta solu{ia sistemului de ecualir

ivi +rr,rl -M, = o

lvf'M?b ^ lI .t,

-% ='

l\,l j

= l,t l'

'b' ^l'b+l,rat^

u? = rr,l tt2d .^ ^ I,,,b + l, ,a

Din analiza solu{iilor sistemului de ecualii, se desprinde concluzia ca momentul detorsiune care actioneaza pe secliunea elementului static nedeterminat cu moment de ine(ievariabil in trepte, depinde de acliunea exterioara gi raportul dintre momentele de iner{ie latorsiune corespunzatoare fiecarui tronson. Astfel pentru dimensionarea elementului structuraleste necesara impunerea raportului dintre momentele de iner{ie la torsjune aie celor douatronscane, lucru posrbil dacd se realizeaza predimensionarea prealabila.

A.X-5.

Sa se dimensicneze elemenlul struclural AB. fixat la ambele capeteconstanta in lung. Date numerice: p-pa; p=12KN/m; a=1,0m; Ri

e. = 0,6' 1mt G - 8x10s daN/crn2,

Rezolvare

incarcdrile iormeazi cupluri de fo(e care prin intermediul barelorelementului introduc in secltunrle ,D"gi ,C', momente concentrate de toisiune:

care are secliufea iransver-sal) :nelari

= '1 100 daNicm2; rx = D /Du = C,B0 ,

inflnit rigide drspuse orlogcnal pe axa

Ml = 4pa'v: ) W,3ar' 2 . ?0a.,= 6oa resoecliv

Notind cu tvti qi tUf mornentele de torsiLtne reactive din secliuniie de capat, ecualier de echiljbru staiic este:

I[,4 -0 - uf -Mi +ta;-t"af =O=, M? -Ml=6pa, *4pa2=2pa2ia)

Pentru deietminarea momentelor reactive, se adaugA ecualta de echilibru elastjc, care rezulta din exprimareacondiliei de c0mpaiibilitate a deformaliilorciintre srstemul de baza 9i ;istemul stallc nedetermrnai

--

^i_! ^ M:,t3 (rr.l?-v?).rs (r,li_rr,t,iwl,+ -" = E at

= :rr.lf -ztr.lf +M:=0 = vf =!0u,.

innooucand valoarea momentului de torsr,'lne Mf in ecualia (a) se ob{ine

Rezisten(a materialelor Rezistenta matenalelor

Torsiunea Iiberd ?60

[,1A = -20a2 * Soat

= 2ort.

'33

Momentele Ce torsiune in sec\tunile caracteristice ale elemeniului AB sunt:

l,4f - g,'3prr, i\./?!' = 8/i3pa2 ; ll?'r = 8,r3pa2 - 6pa2 = -10/3pa2, Ir4i c'

= -16.13 nr:'Ml"' =-10i3pat +4pa2 =21'spa' r'l!. =23pa2

Flnclia rnornent de torsilne este constanU pe cele trei rntervale de conitnuilate a funcllei incdrcSri

i l/3 _t! lr3

Fig. 10.24

a) Dimensionarea din conditja de rezistenti:

3ilt

= D'"". =o.D."..

10x12^100'.lbJ./ cmr.

3x1100

'6w, - '6. 3637

'"t' -i n[;l-\ :'+(r csr - 14/cr

= 0 8x14.7 = 11.8 cm.


h) Dimensionare din conditia de rioiditate

, lv, ,,, io Da2 10r.-_- ---= l __:__\,G0" 3 GrJ 3

12x1a02

8 x 1 05 x 0.6n '1 8000- r4J,Jl cmJ

l-lFg ilre:${,-o')=,,.".

--; : j-

_ n,, ,' 111^ .. I 32t,43.32- -:-e -i*_ zi-: -.--,, C*

\rT{1 -0-l Il1rl1 0BJ

- rtljr"rec = 0,8' 7.1 = 5,7 cm.

Deoarece elementul stft.lctural trebuie sa indeplineasca ambele condi{ir. drmensiunjle seclrunji iransversale suni

r"""" ='ax(nl'.i.;nj.".)=r+zcm gi D,""" =n.21 bl.;.,1,1.. )=trs *

Rezisten{a materlalelor Rezistenta materialelor

incovoierea pland purd

11

incovorEREA PLANA PURA

1'1. 1 Generalititi. Definitii

incovorerea este solicitarea frecvent intAlnit5 in cazul elementelor structurale, flrnd rezultatul

actiunii cupluriior gi fo(elor care genereaza pe sectiune momente incovoietoare, Elemenlele de

construc{ie liniare solicitate la incovoiere se numesc grinzi.

Cind forlele tiietoare care inso{esc incovoierea sunt nule, grinda este solicitata la

incovoiere pura. Atunci cAnd planul incarcarii nu coincide cu planele axelor principale centrale ale

sec{iunii transversale, grinda este solicitati la incovoiere oblica pura, vectorul moment incovoietor flind

ortogonal pe planul incarcarii. in cazul particular cAnd una din axele principale centrale ale sec{iunii

este cuprinsi in planul 'inclrcirii, grrnda este solicitatS la incovoiere pland pura. Vectorul moment

incovoietor este dirijat dupi axa principalS centrald ortogonalS pe planul incircdrii. incovoierea purlapare numai in anumite cazuri particulare de incdrcare (fig. 11 1) atunci cdnd greutatea proprie a

elementului este neglijatS.

261

My

Fig 11.1

0 bari este solicitati la incovoiere plani puri, atunci cind in orice sectiune transversalaexista numai moment incovoietor, vectorul acestuia fiind dirijat dupa una din axele principalecentrale.

N,tyM1

t5t lncovoierea plani puri

11. 2 Starea de tensiune

Se consideri o epruvetd cu sectiune dreptunghiulara din otel pe supr"afa{a cireia se tr-aseazd

un carotaj ortogonal format din generatoare gi directoare (fig 11.2-a). Pe secliunile de capat ale

epruvetei se aplicd fo(e distribuite liniar qi antisimetrice in raport cu centrul de greutate. Aceste

incdrcdri genereazi momente incovoietoare egale si de semn contrar M, (fig. 11 2-b).

dv

fiIL

-'---;-1--fh i-'-

a)

?n aa.)a UO

b)

Fig.11.2

Sub acliunea mcmentelor incovoietoare aplicate ?n planul sec{iunilor de capdt, epruveta seincovoaie, caroiajul onogonal defcrmdndu-se, Analizdnd modul de deformare al caroiajului se desprindLrrm5toarele concluzii :

- generatoarele inilial drepte se curbeazi dar rimAn echidistante. Cele de la partea

inferioari a epruvetei se alungesc uniform. (a, > an) iar cele de la partea superioare se scurteaze

uniform (a. . ao). Rezulti ca, se produc deformalii gpecifice liniare, diferite de la ogeneratoare la alta, dar constante pe l5{imea secliunii pentru un anumit strat de fibre. Trecerea

de la fibrele comprimate la flbrele intinse se realizeazb prin intermediul unui plan neutru. Fibrelecuprinse in acest plan se curbeaze dar nu i9i modifica lungimea, Astfel axa epruvetei rectjlinieinilial, se deformeaza la fel ca generatoarele, transformAndu-se intr-o curb5 denurniti axa deformatisau tibra medie deformati;

- directoarele, degi se rotesc faJa de pozi{ia iniJiald in jurul planului neutru, r;man tot dreptegi normale pe generatoarele curbate, deci unghiul inilial drept nu se modificS. in consecinla,

deforma!iile specifice unghiulare l suni nule. Deoarece dupa cieformarea epruvetei directoarele

rSmin drepte, rezulta ci se i-especti ipoteza lui Bernoulli, aciici sectiunile rdman piane qi normale pe

axa barei. Modul de varialie al deforma{iilor liniare speciflce e, pe iniltimea sec{iunii se realizeaze

examinand o suprafa{i elementard fr,ir, jr,kr, detagati din epruveta deformatd (fig. 11.3). Fibra curbata

,,arbr" de pe suprafala tronsonului elementar deformat se alungegte cu distan!a c,6, =A(6r;,.rr. rtobline ducAnd prin centrul de greutate Gr, al seciiunii din dreapta o paralela la sec(iunea capitului din

stanga tfcnsonului elementar. Din rela{ia de asemdnare dintre AOG,Grgi ,r,Grc,b,, rezultS:

ir.rlli' *. .3o 3r: 3,r 3"r

^(dx)_ z

dxrRezisten{a materialelor

(11\Rezistenta materialelor

rlnnnLrniaror nlrni nr rri

finand seama de fapt.ll cd expresia a(dx)rdx reprezinia alungirea specilica a flbrei ,,ab",

relatia (11.1) Cevine.

263

n ,,'

Fig. 11 3

7Lx -

_

r(11.2)

Deoarece axa elementului dupd deformare igi pistreazi lungimea initiala, rezulti ci deformatia

specificA liniari in aceast; fibrl este: ex = 0. Axa elementului' coincide cu Iinia dupi care se

intersecteaza stratul neuti'u cu planul incdrcarii, flind cunoscuta gi sub denurnirea Ce axi neutri.Curbura flbrei neutre a tronsonului elementar 1/r fiind constantS, deforma{ra liniara specifica a

fibi-elor longitudinale este direct propo(ionalS cu distanta ,, 2", dintre fibra respectivi $i axa neutrd.

Rela{ia (112) reprezinta ecua{ia unei drepte 9i in consecintd deformalia liniari specifici txJ are 0

varialie liniard pe inallimea seciiunii.

lntrodLrcAnd rela{ia ('1 1,2) in legea lui Hooke se obtine fLrnclia lensiunilor normale:

264 lncovoierea pland pura

care reprezinta ecua{ia unei drepte, dacd se are in vedere faptul cd modulul de elasticitate longitudinal,'E" 9i raza de curburl ',r" sunt marimi constante. in concluzie tensiunile normale variazi liniar pesecliunea elementului, solicit6ndu-l la incovoiere plana puri. Din studiul urp.rtrlri geomekic aldeformafiilor a rezultat ca deformaliile specifice unghiulare sunt y = 0, deci pe sec{iunea elementuluitensiunile tangenliale t sunt nule. Rezulta ca Ia eiementele liniare solicitate la incovoiere planipuri pe secliunea transversal5 se dezvolti numai tensiuni normale or. Deoarece in axa neutrideformatia specifici liniari e, = 0, tensiunile normale au valoarea o, = 0.

(1 1 .3)

t11 t\\rr a,/

(1 1 .5)

(11 6)

Fiq, i1.4

Axa neutri imparte sectiunea in doui zone: una comprimati 9i alta intinsi, Atunci candmomentul incovoietor este negattv, fibrele de la partea superioara a secliunii sunt intinse iar cele de lapartea inferioara suni comprimate (fig. 11.4).

Se considerd c sectiune a grinzii-cu axa dreapt- sclicitata la incovoiere plana pura cu vectorulmoment incovoietor dirijat dupi axa ,z' (fig. 11 5). Relaliile de echivalen[i ointre eforturile sec{ionale gitensiunile normale o*, se reduc Ia urmitoarele ecua{ii:

x

Ur rir

N=Jo*dA=0A

M,=Jo,ydA=0A

M, = f o,zdAA

inlocuind relalia (1 1.3) in retaliite (1 1.4), (1 1.5), (1 1.6) se ob{ine

Gr min

G, r",ui mai

Rezistenla materialeior Rezisten!a materjalelor

incovoierea pland purd 265

lL!

iizdR='izdA=lsn-0;i ri r

(11.7)

(11.8)

(1 1.e)

.FFFl -yzdA -: lyzdA =

*1,, - 0

p"r r; t

F," FMu=llz'dA=:lu' r; r

Deoarece raportul Err este constant. pentru ca relaliile (1'1 7) 9i (11.8) sd fie indepilniie,rezulla

cd irebuie sa avem: Sn = 0 $i lrv = 0. Faptul ca momenlul static al secliunii in rapod cu axa neutra

este S- = 0, rezulta ca axa neutr; trece prin centru de greutate al sectiunii, deoarece numai faiS

de o axi centrala, momentul stalic al unei suprafeie este egal cu zero. Condilia lry = 0 este indepliniia

cind axele Gz 9i Gy sunt axe principale cenlrale de ine(ie ale sec{iunii, in consecin!a rela{iile (11.7) 9i

(11 8) conduc la concluzia ca axa neutra trece prin centru de greutate al secliunii 9i coincide cu

axa principal5 central5 z, adice cu axa vectorului moment.

Dinreiatia(11.9),!inAndseamaCefaptul ca io- jz2ci,l estemomentui deiner'{ieal secliunii in

raporl cu axa neutra, se obline:

(11.10)

care reprezinti ecua!ia axei deformate a grinzii solicitate la incovoiere puri, produsui Elrflind

rigiditatea la incovoiere a secliunii. inlocuind rela!ia (11.'10) in i'ela{ia (1'1 .3) se obtine relatia

fundamentali de calcul a incovoierii plane pure:

stabilitb de Navier, unde:

- My - este momeniul incovoieior care actioneaz5 pe sec{iune,

- lu - este momentul de iner{ie al secliunii in raport cu axa y;

- z - este distan\a de la axa neutrS pAni la punctul cui'ent de pe secliune'in care se

evalueaza tensiunea normala ox.

Cu relatia lui Navier se pot determina valorile tensiunilor norr,ale o, din oi-ice punct de pe

sec{iune. Tensiunile normale extreme iau nagtere in punctele cele mai Cepartate ale sec{iunii in raporl

cu axa neutra, Fie,i' gi ,,c" aceste puncte, din zona intinse, respectiv comprimata, care au ordonatele:

z, respectiv z. , (fig. 11.5). Valorile tensiunilor din aceste puncte sunt date de relaliile:

lMv

Elu

266 lncovoierea plan5 purb

ox.ma, = o, = I , $i o^.",n = o,. Mu -ry !-

t'in cazul particular al seciiunii simetrice in raport cu axa ,.2,,, notincj cu

modulul de rezistenti la incovoiere al secliunii in raport cu axa princrpaii centr-al5 .,y", valo1ile Cinfibrele exkeme ale sectiunii simetrjce (fig. '1 1.4) sunt:

Grinda din figura 1 1.5 avand sec{iunea nesimetrici in raport cu axacai-acienstjcile geometrice:

- moduiul de rezisten{5 al zonei intinse a sec{iunii: \Nr,i =i, f z1 ,,

- mcduiui de rezisten[a al zonei comprimate a sec{iunii. \,Nr,"=1, lz",

,,y", se definesc

(J1.11\

'. -:'.. ':rT-xiTr n ox

mrn

i 'dA

Fig. 1 1.5

JinAno seama de expresiile modulilor de rezisten{a ai zonelor intinse gi comprimate, relaliile(1'1.11)devin:

ox,max = ox,i = My,i Wy,i $i ox,min - ox, c - Mr,,'Wy, c

Expresiile modulilor de rezisten{a pentru sec{iunile uzuale din figura 1 1,6 sunt,- pentru sec{iune dreptunghiuiara (fig. 11.6-a):

/

G, *u^n"x max

Rezistenta materialelor Rezistenta materialelor

incovoierea piani pu16 2t7

l, bhr12 bh2VV., =t t*r, h2 6

SI_ t. _ nu3iz _ tru2

ymax b2 6

l7i

b

Fig 11.6

- pentru sectiLrne circulari (flg.1 1 6-b) :

w- -\^J = 1,.- = l'-=4-1,91=1ql

,u., ry. =\Ai = I. = lo

-=rRa.,4 nR3'r' "' yr; z-,. D: :2 : '' i., .-..,- P -

a

- penlru secliune inelara (flg. 1'1 ,6-c):

'N,-w, -' -.]i 2!u-u'r-ilrr-u'J rnde u=D D*

)me^ Lna, D- 2 3L

R, = jo,dA,

LDDc

(11.12\

11.3 Bratul cuplului tensiunilor

Rezultanta tensiunilor normale o, de pe zona intinsi a seciiunii grinzii solicitate la incovoiere

pura, se obtine prin sumarea fo(eior elemeniare ordA,.

Avdnd in vedere rela{ia lui Navier gi fapiul ca valorile momeniului incovoietor M,, 9i al

momentului de ine(ie lu sunt constante se obline:

268 lncovoierea planS purd

!1, N4R='Jo\dA,_,'JrdA- vS

o 'y , l, Y

in care Sr.t este m0mentul stalic al zonei intinse A al sec{iunii in raport cu axa neutrS. Similar

rezultanta tensiuniior normale de compresiune R. este:

JVI..

M,, =R,h^ = 1s nY L lv '"

l" bh' 12 2

' sr, bh26 3

11.4 Tensiuni principale. Linii izostatice

Pe orice sec{iune normaiS a unui element solicitat la incovoiere pura tensiunile tangenliale fiindnule, rezulta cb tensiunile normale din orice punct al acestora sunt tensiuni principale. DacZ punctui se-{l;;- -^-^ i^}i-^:,oJlo iltLutid lIU|)d,

R. =,1 o,dA. = ?

^i

.cn. = ft"Sr., flind momentul stattc al zonei comprimate A., in raport cu axa neutri. Deoarece momentul static

al iniregii sec{iunr in raport cu axa neutra este nul, se poate scrie ca:

Sv =Sv +Sr, =0 = Sv --Sv.

Acest rezultat conduce la concluzia cd, rezultantele tensiunilor de intrndere R: =l gi decompresiune R^ = C (fig. 11.5), sunt egale 9i de semne contrarii. in consecin{a ele fcrmeazl un cupluinierior al car-ui mornent este egal cu eioi-tul sec{ional il'I, NoianJ ;i, h, Jisianla dintre i-ezultanteie

iensiunilor normaie cie pe zona intinsa respectiv comprimatS, denumita gi bra{ul cuplului interior,rezultd:

de unde:

in cazul padicular al sec{iunii dreplunghiulare cu dimensjuniie,b'9i .h', bra[ul cupluiui interiorare vaioarea.

Rezisten{a materialelor Rezistenta materialelor

incovoierea plani puri

61 =o, >0 9i o, =Q

gi daci se afla in zona comprimatd:

or=0 $i or=-6*

La o grinda solicttata de moment incovoietor pozitiv, izostaticile de

fascicul de drepte paralele cu axa .,x" pe zona intinsa gi un fascicul de drepte

elementului, pe zona comprimati (flg. 11.7).

spela l-a formeaza un

perpendiculare pe axa

p

A.N

p

s'L .,

Fig 11 7

Pe sec{iunile inclinate ale grinzii solicitate la incovoiere pland purd se dezvolti tensiuni

tangen[iale care au valorile exlrere:

11 -orf2 9i rr=-o,i2

atunci cAnd acestea sunt inclinate cu 45'fala de axi.Valorile tensiunilor normale de oe secliunile in planul carora se dezvoiti tensiunile langenliale

principale sunt date de rela{ia:

o.- =o 24:

Starea de tensiune din jurul unui punct din zona intinsd este prezentata in figura (11.8-a),

Analiza grafica a starii de tensiune din jurul punctului ,,M" din zona intinsa a elementului este

prezentatb in figura 11.8-b. CunoscAnd starea de tensiLine din jurul punctului'M" din zona intinsa a

secliunii adicd iensiunile principale 01 = ox > 0 9i o, = 0, intr-un sistem de axe ortogonal (o;t) se

construiegte cercul lui Mohr cu raza.

() uu -u, ur-u.

270 lncovoierea plan5 pura

C-A = oAl2=o,12

centi'ul acestuia gdsindu-se pe axa Oo. Tensiunile care aclioneazd pe o falS inclinatd cu unghiul cr

fald de planul pe care actioneaza tensiunea o, , reprezinta tensiunile on,, gi rno din punctul ,.E", care

se obtin astfel:

ll

'o,=0

tr/n: \

a na

o:=c

ll c' =(f..l

a) b)

Fig. 11.8

se duce prin centru cercului raza e E care face cu axa Oo .rnEhiul 2cr;se proiecteaza punctul ,,E" in punctul ,,N" pe axa Oo gi din triunghiul dreptunghic

rezu!t5

Br

CEN

eN =eEcos2cx=9cos2tr si EN = CEsin2o. =9sin2cx.22

Mirimea segmentului ON este:

Orl =OC. CN o'- 6'cos2u- o'1r*p^q2ry,2 2"""'- 2"

Segmentele ON 9i EN reprezinti valorile tensiunilor cautate de pe fa{a inclinata:

o"c, =O\ - o-t1-cos2al

gr T.o = EN -* s,n2u

Originea ,,0" corespunzfiour. i,r,*rr,ri de axe ,", ., .r,r.,'0. cu centrul cercului lui Mohr

Valorile tensiunilor tangen!iale principale sunt:

D-n

!

'2 '


Tr-^^.,^l^-^^ ^l^^: -,,"xll iUu!Ulgi trd pidt ld Plt O

tr=e4-t gi tz-CBz--t

11. 5 Domeniu de aplicabilitate al relatiei fundarnentale

Rela{ia lui Navier a fost dedusi considerAnd cd ipoteza iui Bernoulli este valabilS in orice

sectiune din lungul grinzii, inclusiv in zonele de capete, tensiunile n0rmale flind distribuite liniar pe

inil!imea secliunli. Aceasti ipotezi este riguros respectati daci elementul are secliune

consianti in lung gi incarcarea este aplicati liniar pe sectiunile de capit, rezultanta acesteia

generand moment incovoietor. Astfel in orice seciiune, functia or(z) are varialie Iiniara, cu valoarea

egal5 cu a incarcai-ii liniare p(z), antisimetrica in raport cu centru de greutate al secliunii, aplicata oe

secliunile de capit, in toate planele paralele cu planul neutru. in aceste condi{ii relalia lui Navier este

exactd indrferent de valoarea raportului h/l. Atunci cAnd acliuni{e aplicate pe capetele grinzii sunt sub

for-ma de momente concentrate sau fo(e distribuite dupa o lege oarecare, apar periurberi de tensiuni si

sec{iunile de la extremitali nu mai raman plane. Perturbarea starii de {enslune este iocalS, influenla ei

se resimte pe o distanti aproximativ egalS cu inSltimea secliunii, conform principiului lui Bar6 de Saini

Venant, Aceste perturbdri sunt neglijabile in cazul grinzilor lungi cu raportul l/h > 5, relalia lui Navier

filnd aplicabila oe toald lungimea elementelor.

Daci lih < 2 grinda are inal{ime mare, fiind cunoscutd sub denun irea de grinda per-ete, in

acest caz nu se mai respecti ipoteza lui Bernoulli. deci disti-ibu{ia tensiunilor normale o, nu mal esie

liniara, calculul siSrii de tensiune realizAndu-se prin metodele Teoriei elasticltatii.

De asemenea, formLrla lui Navier este valabild numai in cazul comportarii liniar-elastice a

materialulu!. Pentru grinzile cu secliune nesimetrica rela{ia lui Navier este valabila daca planul de

aciiune a forlelor este pian principal central de inerlie (lru = 0), Atunci c6nd sec{iunea grinzii variaza in

iungul acesteia. relalia lui Navier nu mai este valabila, rezolvarea riguroasi a problemei se face cu

metodele de lucru ale Teoriei elasticitd{ii, Atunci cAnd unghiul de inclinare al generatoarelor suprafelei

laterale nu depagegte 15'-20", se poate accepta din punct de vedere practic valabilitatea distributiei

liniare a tensiunilor normale o,. Distribu!ia liniara a tensiunilcr este perturbati daci elementul are

concentratori de tensiuni de tipul slibirilor sau variatiilor brugte de sec{iune. Factorul de concentrare

cr*, calculat cu rela!ia (7 4-a) ciepinde de parameirii geometnci ai concentratoi-ului 9i de tensiunea

nominali egala cu tensiunea maximi din sec{iunea sldbita:

6' -u' = Mu "ft' "'

11.6 Starea de deformafie

O flbra situata la distanta ,,2", fa\h de axa neutri are deformatia liniari specificS

271

o" l\,'lu

L Llv

272 incovoierea planS pura

unde El, este rigiditaiea la incovoiere a secliunii.

Deformarea elementului modiflca pozi{iile iniliale ale sectiunii, rotindu-le in jurul axei neuke.Rotirea elementara dintre doua secliuni situate la distanta dx, este:

do N,{u M,,:- ) sau do_ ,dxdx El, Elu

Unghiul de rotire reciprocd al sec[iunilor de la extremitS{ile unei grinzi solicitate la incovoiereplana pura aTe valoarea:

INmto= Y

i

[j!i

11. 7 Energia potentiali de deformatie

Expresia energiei potenliale de deformatie specifici la incovoiere planb puri este:

1Js=-o,c, i11t3l

finAnd seama de legea lui Hooke gi formula lui Navierrelalia (11.13) devine:

'?,, -lo1 ltM',1' 2E 2E[t/ )

Penku un volum elementar,,dV ", energia poten{ial5 de deforma{ie are expresia:

i,M. )2dU= --tzldV2EIEt, ]

Energia poten{iala totali de deforma{ie se obline prin sumarea energiilor poten{iale elementarede pe volumul ,,V":

'r=)in$, av -|'1\ry*da. , ct; .ttrly d

JinAnd seama de faptul c5: I, = llz2CX, relalia (1 1.13-a) devine


(11.13-a)

Rezisten\a materialelor

T

rr.M3 I

i'=r'i#-lL u- )

CAnd momentul lncovoietor l/, $i momentul de ine(ie axial

qrinzii, energia potentialS de deformalie are expresia:

(11.14)

lu , sunt mdrimi constante in lungul

11. I Proiectarea Erinzilor

11.8.1 Calculul de rezistenti

Calculul de rezistenla Ia incovoiere prezinta o serie de pai'ticularitali cauzate de

- distribulia liniar'5 a tensiunilor normale pe sec{iune,

- geometria secliunii, aceasta flind simetrica sau nesimetrlci in raoor-t cu axa neuira;

- rezistenla materialului la intindere sau compresiune

Materialete ductile au aceeagi rezisten{i la intindere gi compresrune iar materialeie casante au

rezistenle diferite. in cazul materialelci'casante cu sec{iuni nesrmetrice, soliciiate la incovoiere plani,

condi{ia de rezistenli este satisfacutd dacd:

[,f cv,7Tar _n -.or e,.na, = ,0,=- I H, i $lu '2l.el

M!rr, -^6r.ef,mn=-* 'Kd.ci vv"- ^t

(11.14)

(11.15)

tn cai-e:

- Ra,t,Ro,.- sunt rezisten{ele de calcul ale materialului la lntindere respectiv la compresiune.

- Wy..r,Wy.,", - sunt mociulii de rezisten!5 efectivi ai zonei intinse, respectiv ai zonei

comprimate.

in cazul particular ai secliunilor simetrice in raport cu axa neutra, cdnC R6 <R6,. condilia de

rezisten!a devine;

M!,'r, - -^

. - \n ':-xer.max - u,lVVz,ef

t., -,unoe: Wu oi = r gi z=2, =z-o, ')r 7

,- max

cand sec{iunea nesimetricS (flg"11.9-a) este alc6tuiti din material ductil (R, =R. =R), forma

particulara a condi{iei de rezisten{i este:

274 incovoierea pland pura

6 --My-ut.pu,"._n--,;, _.0"v, _.

I

t,, _,in care: Wy mtn = -il tn cazul secliunilor simetrice, alcatuite

Lc

rezistenla se exprima sub forma particularS:

0**r,.*=i=Hl._,

din maieriale ductile, condi{ia de

(1 1.15-a)

(t- x nrln

A-N

o* rn.^

a) b)

Fig. 11,9

Atunci cAnd grinda prezintd variatii locale ale formei (discontinuitdli geometrice, slabiri produsede gaurile pentru nituri, buloane, etc., sau degajari laterale) calculul de rezisten[a in sec{iunile slabitese efectueaze func{ie de sensibilitatea materialului la efectul concentratorilor de tensiuni. in cazujsec{iunilor simekice. cu slSbiri locale, alcituite din materiale ductile supuse la ac{iuni statice (o{el,aluminiu. alama, etc.) verificarea rezisten{ei se face cu relalia;

lt,o.

^, ma, - - ,;r 'Ro (1 1.15)

" "'.," vvY.nel

La secliunile nesimetrice. alcatuite din materiale casante (o{eluri superioare, fonta, etc.) sau almaterialelor ductile supuse la ac{iuni dinamice:

Rezistenla materjalelor Rezistenta materialelor

incovoierea pland pL,r5 275

(1 1 .15b)

funclie de pozilia concentratorului de tensiuni: in zona intinsS, respectiv in zona comprimatS. lModulul

de rezistenld net al sectiunil se evalueaze cu relalia;

rtl'Y "et 'Y.br 'Y sl

t'"' znan Zmu,

1.8.1.a Dimensionarea

r Sectiune aJcltuiti din materiale casante

in cazul general al secliuniior nesimetrice. dimensionarea se face din condi{ia de rezistenld atAi

in zona lntinsi cat gt in zona comprirnate;

o.r,a,-'cr^;, 'l: i, sRo,{Roc)

.a _n VV,.",IvV..rerI

llrlri '"'Y max

"v lec -'0 L

t\,i

^, rrrci 'u Y mln

;r vvv nec - -_ -' T:^(11 16)

Dimensiunile geomelrice ale secliunii r-ezulta din exprimarea condi{itlor;

Wj n". = Wu n gi Win.. = Wls

in care Wj s $i W;. reprezintb expresia modulului de rezistenta al pir{ii intinse sau comprimate a

secliunii, exprimat func{ie de un singur parametru. Deoarece conditla de rezistenta trebuie satisfdcuti

at6lin zona intinsa cdt gi in zona comprimatS, se aleg cele mai mari valori ale dimensiunilor rezultate

din r-elatiile (11 16).

Atunci cAnd secliunea este simetrice in raport cu axa neutre gi R6,; <R6" rela{iile (11 16) au

forma particulara,

ll; "v v., ^^^),,i! Rd

Dimensiunile geometrice ale secliunii rezult5 din relalia:

W5,n., =Wyg $,17)

expresia modulului de rezisten!5 W, o tiinO exprimati in rapofi cu un singur parametru,

o Sectiune alcituiti din materiale ductileDacd sec{iunea este alcbtuita din materiale ductile atAt pentru sectiuni simetrice cit si

nesimetrice in raport cu axa neutra:

276 Incovoierea plana pura

\^/ lt4; -r,VVr.reL - R;

Dimensiunile geometrice ale secliunii rezulta din exprimarea condiliei (11.17).

1,8.1.b Momentul incovoieior capabil

in cazul materialelor casante LRo,, +n0,.1 momentul incovoietor capabil

simekice sau nesimetrice este:

al secliuni

lily.r, =tinlMu.ro, Mi.rol

ln care:

Myrrp -Wu.,Ror q1 M!.rr =Wf.rRc,

rn cazul materialeior ductile, pentru secliuni simetrice sau nesimetrice momentul capabil alsecliunii se calculeaza cu rela{ia;

M!"uo = Wy,.rRo

For{a capabilS se ob{ine egalAnd valoarea eforlului seclional capabil lviyrup cu valoarea

momentului exterior maxim Mu.rur:

l./ -l\/ r^l)'' Y.cap '"'y,max\Piil Ycap

1.8.1.c Verificarea rezistenlei

Grinzile solicitate la incovoiere plani ouri, indeplinesc condilia de rezisten{a daci satisfacrelaliile,

- (11.14) in cazul sec{iunilor nesimekice alcituite din materiale casante respectiv in cazulsecliuniior nesimetrice 9i simetrice din materiale ductile,

- (1 1 ,15-a) in cazul secliunilor nesimetrice 9i simetrice din materiale ductile;- (11.15-b) in cazul secliunilor alcatuite djn materiale ductile sau neductile cu slabirl, solicitatein regim static.

A.Xt- 1,

Pentru glnda cu incircarea 9i rezemarea ca in figura 11.1C, se cere.a) si se drmensioneze grinda:


'T

lncovoierea plani pu16 271

b) s5 se delermine vaioarea bralului cuplului elastic

c) si se precizeze orientarea cptimd a secliun grinzti.

Datenumerice. l=-1.0m, Ro -B0daNicnr:, Rac =i20daNlcm2. a=5.0cm, m= j5ial'lcm/cm.

Rezolvare

Din ecualitle de echilibr-u static rezult5:' I l=0 , Ro=nI'l -o - R'l-2r? rn

tr'/'-c " 1-l '1-o-*uu cL " 2? 4

a) Diaqrarna de moment incovoietor

T[.*d aeara Ce faptui cd reac{iunile sunt nuie 9i elementul structural este incbrcat c'J i'ncmenie incovcieloaie

uni{orm iau lrniar distribuite, rezulta cd acesia esle sol citat la incovoiere piani plr5. Funciia incai'cii"ii esle conlin!a pe

tronsoaneiet

o tronsonul BD Funclia r.rcrnentulu lncovoietor fiind Ce gradul ilnu, pe acesi tronson clagrama aie varale

iiniard. Valorile funcliet moment lncovctetor in sec!unile care delimtieazd acest tronson sunil

Peniru x, = g ; tr4 D= 0 $i pentru x' =14 = 1'7

R- -ml1r4 ,

o tronsonul BC Func{ia momenlului incovoieior fiind conslantS, valorle funciiel mornent incovoieicr ln

seclrunile care delimiteazd acest tronscn suni:

h4 s=

-ml/4 9i [4 c=

-nrl"4

9aVl* Ttra

lt2 t2 ii4

Ur, m&i

it_Ei\Jx p,

tEE

0rrn

.V

I'l

Fig.11.10

c tronsonul AC, func{ia momentului incovoietor este de gradul do

tangent la orizontala in sec{iunea C unde intensitatea incdrcirii este nul;.

secliunile care delimiteazi acest tronson sunt:

Pentru x-3[4 = I'lc=-mli4 qr pentru x=l

graficul are o variate parabolcS, fiind

Valorile funcliei momeni incovoietcr in

- lu4A =0

278 incovoierea plani pura

b) Dimensionarea qrinzii

c Calcululcaracteristicilorgeometricel

, _zA t, -10a,4a, | -2al i4o^

JA ea.taa_ ol, rca t tac

' da' rl8al '8a ,1r1Bal: ' !:P' , aa.1aa"r3'8ai -)3286a'r, - ,,r- 'oo'

12

,A.. _1. -?:?}o_a ..;2g.,a.,r. ,v" _ | -n2|5a' ,.297ga,: z 1U18a t 7B2a

v, " 15J{]oo v// *-'p " - ';0""-iB;;^,.s. \&', . R- 'lllll -.zto.-

.: Dimensionareasectiunii:

r/v -,/v .>)2o,-e'p/, ." ,]fJ1.r.)..r\,

" -W, :29:.Ba ,'250 - a --. . i 11 ,Ur.,| 2-a7,8

a-ec = Tnax{a n., , a. "u. J = 2,C c,.n

, - t, = 2328 6 u.'

- 12.gr uS, .179 6 a'

c) Bratul cuplului elastic:

u nde.

Sc =6ax6ax4,82 a+(, 1,82ar,,,g2a,.@ l^, =179,6a .

)

d) Orientarea optimi a sectiunii:

- o "a- 8J?, ",,. - R--

* ,,Bk* nA - secliunea trebuie orientati rnvers fa{d cie pozi{ra din figura 11,10.

11. I Sec{iuni rationale la incovoiere. Optimizarea sectiunilor

Datorlti distribuliei liniare a tensiuniior pe sec{iunea transversalS a elementelor solicitate iaincovoiere, numai flbrele extreme sunt solicrtate la limita de rezistenla, celelalte flbre sunt solicitate latensiuni inferioare acesteia. Se contureazi astfel. ideea eliminirii unei p5r{i a sec{iunii din apropiereaaxei neutre, de aga manieri incAt si se obtind un modul de rezisten!5 cAt mai mare pentru o suprafa{i

Rezrstenta materialelorRezistenta materialelor

TI

lncovoierea plani pr.rri

datd a sec[iunii (fig. 1 1.1 1-a)A,,2

7a' :.:a -

h2

h'2

a)

j. L.< A'

b) c)

Fig 11.11

Aceasta se poate realiza practic prin dispunerea materiaiului cAt mai aproape de extremitiiile

sec[iunii, prin construirea uner forme ra[ionale. Astfel sectiunea cu forma ralionalS ia ?ncovoiere, se

definegte ca fiind suprafala oblinuti prin dispune^rea materialuNui cAt rnai departe de axa neutra,

pentru a rezulta un modul de rezistenli maxim" ln acest mod secliunea de arie,,A" gi inal{irne,,h"

are forma idealS de rezisten!a, daca flecare jumEtate de arie (R,tZ) este dispusa simetric in raporl cu

axa neutri la disian\a hi2. Secliunea idealS ob{inuta astfel are caracterlsticile geornetrice (flg. 11.1i-

b):

?70

-a, 'cc

r -rAlllt'!Oea -nl n rL\.L I

Ah' lv ideal .A\

/ ir vvy.idea' ti - I

intre cele doud jumita{i de arie, care reprezinti tllpile unei secliuni, este necesard asigurarea

conlucr-5ril printr-un element vertical de legdturi denumit inima sectlunii (fig. 11.11-c).

Astfel, ariile tdlpilor sec{iunii reale sunt r,rai mici declt cele ale seclrunii ideale. Rezulta ca

secliunea practlca ra\ionala la incovoiere are forma dublu T, ale cirei caractei'istici geometrice,

moment de inerlie iy,ear gi modul de rezistenld Wy,re31 sunt mai mtci decAt cele ale secliunii ideale,

deoarece o parte din arie este utilizata Ia confectionarea inimii,

Compararea diverselor forme de sec{iuni cu fcrma ideala de aceeagr inillime, se reaiizeaza prin

utllizarea raportului:

' l' 'u' W' '"'

Iy,iieal Wy ic.ri

denumit coeficient de randament geometric la incovoiere in domeniu elastic, in cazul materialelor

ductile. care au aceea$i rezisten{d de calcul la'intindere qi comnresiune (Ra1=n", =Ro}, forma

ralionalS a sec{iunii este simetrica in raport cu axa neutri, adici sectiunea de formS dublu T. Ea se

poate realiza practic, din proflle laminate in cazul inaltimilor reduse sau sub forma c0mpus; in cazul

inSl{imilor- mari (fig, 1 1.12a.).

_D

'Y'I

I

2BA lncovoierea plani pura incovoiei-ea clana suri 281

aibi arie minirna qi modul de rezistentl maxim. Astfel foma opitma a unei secliuni se poate aprecia

prin rapcrtulWi

n- Y

i'hA

care reprezintS coeficientul de utilizare al materialului

anterior, coeflcientul de utilizarea al mater-ialuiui are valorile:

- pentrusecliuneadreptunghiulari:

q'-

E'+>ft)'-i, in cazri secliunilor uzuale analizale

lz

a) b)

lig.1i.i2

in cazul profilelor laminate sporirea'inal{imii secliunii gi reducerea cantiti{ii de material Cin jurrLi

axei neutre se ob{ine prin expandarea sec{iunii (flg. 11.12 b.).

Randamentul geometric al unor sectiuni uzuale utjiizate la realizarea grinzilor este:- peniru secliuneadreptunghiula16:

bnr , Wr '"ar bhT E 1'--> K-2 Wy.dear bh2 2 3

- pentru sectiunea inelarS;

^tw, ea,- P'r-o' ) ei wy iaua = P; =# t-",)+- n?3

{,-o, ) -.?xDZt. 4l

, Wy,.ur -2Y ll-q I 1, a2_K

WY"oeal nD! t,, *2 \ 4

g ''-t' '

Cand grosimea peretelui secliunii inelare tjnde spre valori foarte mici, adica cx - D /Du -+ 1,

atunci coeficientul de randament geometric la incovoiere: k -+112, Secliunile ralionale la incovoiereau formi optimi atunci cind sunt satisficute exigenlele: consumul de material este minim gicapacitatea podanti este maximi. Pentru aceasta, sectiunea solicitati la incovoiere trebuie si

pentrir secliunea if,eia'i

-:1,?

l- ':41h,2

AN }

t2

-' -1.?..

K=1

l=0.5

("ll :z)' {r - oo )rr = -l--E

-- -i -11 =' {nDl 4 i^ir - c2 b-'tv

)-I /1-ilill+'lilillIth

l

l7

*= ,tt-i-0 30

1, .\11+cx'l

o

r.f r=|q=0.083 tl=0.125

de- pentru secliunea circulari plini cu diametru D:

nilj r -n-' n -njw, *or = Y32 9i W, 0,,' - A;-"? ^;-'+ -. , Wy, ioealK-

wy,.eal

rD3i32 lnD3 8

I

i,:'

n-130

1,'- 3

n-0 167

W hh2n= ll=,:

-=0167' hA 6bh,

pentru secliunea circulari pltna I

!'J, nD' 32ll -- = ----u.\l)' DA (nn'/ +p

in figura 11,13 sunt prezentate valorile coeflcientului de randament k qi al coeficientului

utilizare al rnateriaiului 1, penku secliuni transversale uzuale ale elenrentelor-skucturale liniare.

/\Vh'z

Fto |.JJ

Analizind randamentul geometric gi coeficientul de utilizare al materialului, al sectiunilor

transversale prezentate in figura'11.13, se desprinde concluzia ca, in cazul sectiunilor care au mult

material dispus in jurul axei neutre, coefrcien!ii k gi Tl au valori mici, deci au capacitate portanta mai


aoa lncovoierea pland purd

redusi fiind mai putin economice, Dintre sectiunile prezentate in flgura 11.13, sec{iunea rombicd estecea mai nera{ionala, deoarece cea mai mare cantitate de material este concentrati in jurul axei neutre

unde tensiunile normale au valori mici.

in concluzie, o secliune este cu atit mai ralionalS din punct de vedere al rezistenlei gi

are un grad mai ridicat de utilizare a materialului cu cit aria sa este mai depirtati de axa neutra.Pentru grinzile realizate din materiale casante care au rezistenls diferite la intindere gi

compresiui-re, forma ralionaiS a sec{iunii solicitatd la incovoiere este cea nesimetricd, in raport cu axa

neutra, cdnd in flbrele extreme se ating simultan rezisten!ele limiti la intindere respectiv la

compresiune (fig. 1 1,14).

Astfel, {inand seama de faptul c5, in fibrele extreme oxef,max -Ro,i gi 6xef,mrn -R6,. prin

exp[imarea raportului tensiunilor extreme, se deduce:

6xef max -

Wr. R,

orel,nin Wyi R o.(1 2.1 B)

. Ox nrin

i . )..1

z"

rz Qtnn'

Fig. 1i.14

adicd rapodul tensiunilor din fibrele extreme ale secliunii este egal cu raportul modulelor derezistenli ale zonei comprimate respectiv intinse.

inlocuind in relatia (1 1 .1 8) exoresiile modulelor de rezrstenla:

W, , =1, f z, 9i Wu , = lr/2.

se cb{ine condi{ia de optim pentru secliunea nesimetrici alcatuita din materiale casante solicitate lai ncovoiere:

u C^ i..r I

lj /+

-Dzt 'tdiirJ Ro,


adici raportul intre distan{ele de la fibrele extreme intinse sau comprimate la axa neutri trebuie

sa fie egal cu raportul reziiienlelor la iniindere respectiv la compresiune ale materialului,

'11.10 incovoierea plani pure a harelor cu sectiune compozita

in paragrafele anterioare s-a analizat calculul la incovoiere plani pura pentru elementele cu

secliunea omJgenS, alcituitd dintr-un singur material. Atunci cind sectiunea este alcituitd din

doui sau mai multe materiale cu proprietili mecanice diferite, aceasta se numeqte neomogena

sau compoziti. Comportarea la incovoiere a unui element liniar cu sectiune compozitd depinde de

nivelul de conlucrare care se realizeazi intre materialele componente in preluarea acliunii exterioare.

Din acest punct de vedere, se va analiza co!-npoilarea la incovoiere a elementelor, atunci cAnd:

a) intre materiale nu existi conlucrare, flecare material component se deformeazb

inO.penC.nt 6'9. tt-tS; g, irrcon*ecin1i, momentul incovoietor rezultant este egal cu momentele

preluate de cele doud materiale:

M, =l,4rr +Myz (11'19)

Ecualia ('1 1"1g) este o Cata statio nedeterminata. Pentru eliminarea nedetermindrii statice se

exprims.onOiliu O. ccmpatibilitate elastic5, adicl cele doud elernente au curburi egale, deci:

i=1lr lz

AvAnd in vedere expresia curburii (1 1 .1 0) 9i rela{ia (1 1 1 9) rezultS:

Mvt -

Mvz

Ellyr E2lyz

linAnd seama de proprietilile i-apoartelor egale, identitatea (11.20) devine

Myr _ Myz =__jL_Erlrr E2lyz E,lu1 +E2lyz

(11.21)

Din identitatea (11.21)se oblin expresiile eforturilor sec{ionale moment incovoietor preiuate de

cele doui materiale:

E.t . F-lil -

" "t' -r

rt ci M " -- :-t): M" i11.22)'t't' =.1,. -; ;

rvrY er lvr\2' E.lr. +E21,2 u

flecare material incsrcAndu-se propo(ional cu rigiditatea acestuia la incovoiere. Atunci cand sectiunea

este alcatuitd din ,,n" maieriale cu proprietili mecanice Ciferite, momentul incovcietor preluat de fiecare

(1 1 20)

sau generalizend pentru cazul sectiunii alcatuiti din

,r------ ltl- llM..- Y

II Yt 1+n,"a," I| ' '!)

,,n" tipuri de materiale

t----n4a-'-lMvi =;a,+

) n 0,li-l

Tensiunile normale care se dezvolta in cele doua materiale sunt

M.u'l- | /l

rv1

['1 v6,.-;L7'. qi

ryl.ech

linind seama de faptul ci lyiech =(1 +n.,,{Xr1 *tt2,a21t

lncovcierea piand puri

punct curent de pe suprafata materialului .,i" rezulti

II

)o")

Fis 11 15

bi jntre materiale existi o conlucrare perfecti, secliunea avAncj o comoortare cje ansamblu

monoliti, in acest caz, sec{iunea transversala a grinzii se comporti ca un disc rigid care respectd

ipoteza lui Bernoulli, lunecarea din planul de separa{ie dintre cele doui materiale fiind impiedicata (fig.

11.16) 9i in consecin!5 deformaliile liniare specifice au o varialie liniarb pe iniltimea acesteia:

1., _i,

Considerdnd doui puncte situate pe secliunea grinzii la distanta ,z" fa!5 de axa neutri. unul pe

zona alcituiti din materialul unu gi cel5lalt pe zona alcatuita din materialul doi 9i {inand seama de

legea lui Hooke, func{iile tensiunilor normale din aceste puncte suni:

285284 lncovoierea plana pura

material component al sec{iunii este;

trlLl.M,-M, -v'

y, y n

IE,luri=1

Notirnd cu: n,, = E, E2 ; a.2 ' 1,1 flyz: n). =E? E. . uz. =l,z ln. $i inlocuindu-le in

relaliile (11.22), expresiile momentelor incovoretoare devin;

frflt\il -

Y I ^;

-

I 5llA-lr l+|.i{r.. II a: !t)

fu1ut

\)

1\,1,,U .

-L.t.,(1 1 .23)

unde z1 gi z, reprezintd distan{ele de la centru de greutate al sec{iunii materialului unu respectiv doi

pana la punctul unde se calculeaza valoarea tensiunii normale. GeneralizAnd relaliile (11.23) se obtine:

Not6nd cu: irr".n =(1+nzraz,1 )lrr gi lyzecn -(t*n.,ro,r)tr2, momentele cie iner'lie

echivalente ale inlregii sectiuni, raportate la caracteristicile elastice gi geomelrice ale materialului unu,

respectiv doi, expresiile tensiunilor normale (1 1.23), se pot exprima sub forma cunoscuti pentru rela{ia

de calcul fundamentala la incovoiere,

rI'zUrt - 4 ?l Ux2 --rr

lntroducAnd functiile (1'1 24) in rela{ia de echivalenlb:

N=Jo,dA=0A

(1.24)

Mv6."=-7"

ly 2,ech

..+nncxn ). tensiunea normala intr-un

Nlv

lyr ech


rezultd:


286 incovoierea pland pura

J o,.'dA 1r Jo,2dA 2 = 04,1 A2

- .F^lzdA,+ l-/-zdA"-0)JTL

A j l, t]

(1 1 .2s)

(ti.26j

finAnd seama de faptul c5.

- JzdA, = Snr - rePrezinta momentul static al supr-afelei Ar in rapofi cu axa neutr; respectivi

- JzdA.=S.z - reFrezintamomentul statical suorafelei Ar inraportcuaxaneuti'5: relaliaA)

t 1 I ac\ A^,,t- ^.\ I r.4U/ UCVil iU.

E ';-E _;ri!1 I 't21uf2 -vi (11.27)

,^l^ ^ a la n. -^'^r:- ,rUl'tru il-" L: a. Ui r,drdld r r I

ech ivaieniel

27) rezui+.a ci axa neutra irece prin centrul de greutale ai seciiunii

(1 1.28)

i1 ,

Fig. 11.16

Generalizdnd, pentru o sectiune compozita alcituita din ,,n' materiale, aria echivalenti a intregiisectiunii exprimati in raport cu caracteristicile mecanice ale materialului ,,i" este:

"'- M.

l

6vr,m fi

\d\l

^']s) l,er',Rn\_i\

6nz ftlo*.r*

t r, min

V]

E^ilqJ

I,

And€

^. tu"1a


(11.28a\


(11.29a)

ExprimAnd momentul static prin rela{ial Sr - A zc, relalia (11 27) devinel

Atzo,+nr,Arzor=A

de unde rezultd pozilia axei neutre a sec{iunii echivalente in raport cu o axa de referin!5:

, A(s +nvA2z3. A,zo, + n.r,A rz",'c- - n. +nul,

-A-Pentru c secliune echivalenta de maierial ,,i" pozi\ia centrului de greutate se deiermini

rela{ia:

r-- ;-- -I yn lz,; ^ -'=1 -li-' ^.,' l

inlocuind funcliile tensiunilor normale (11.24) in relatia de echivalen!a

M =lczdA'vA

11M, -' f E,z;dA,.- lt z2*.

l. l{tj

(1 1.28b)

se obline

SAU

u, = 1 ttr,lro., +E2luoz I

lrot $i iyoz flind momentele de lneriie ale ariilor Ar 9i A: in raport cu axa neutra a secliunii echivalente.

CAnd secliunea cmogena echivalenta se obiine func{ie de rnaterialul unu, respectiv materialul doi,

momentul de iner[ie echivaleni al secliunii se evalueazd cu relalia:

lyot,ectr =lyo1 + n2llyoz sau lyoz ecir =1y02 + fl12lyot t1{ )Q\

sau in cazul general, c6nd secliunea omogeni se exprime in raport cu materialul ,.i" momentul de

ine(ie echivalent este:

]r,r ..r = in ru,,lj=l1

Astfel curbura elementului echivalent are expresia

2BB lncovorerea plana pura

My1

trt'1'y01,ech

,- M,

t EzlYcz'tcn

gi funcliile de evaluare a tensiunilor normale din cele doua tipuri de materiale sunt:

r ll I t,l,O^r,-, ! 7 g 6^s=, ' I

1,,... 1,,)l+.. .

in cazL;i Eeneral al secliunii alcatuite din.,n" maieriaie curbura eiementului

expresia:

r l\,4

I rilyo.e;h

(11.30)

echivalent are

{1 1.30a)

iar tensiunea ncimala dintr-un punci de pe sectiunea echivalentd in raport cu materralul ,.i" are funclia

(1 1 .30b)

Calculul la incovoiere al sec(iunii compozite, se reduce la calculul unei sectiuni omogene

echivalente ob!inuta prin inlocuirea ariei materialelor c0mponente cu arii conventionale exprimate

func{ie de caracteristicile elastice ale unui material. in cazul analizat, aria sec{iunii se inlocuiegte cu

aria sec{iunii echivalente exprinratd in raport cu rnaterialul unu (11,28), iar rTromentul de ine(ie al

sec{iunii compozite, cu un moment de inerlie convenlional evaluat cu relalia (11.29). GeneralizAnd

pentru secliunea compozitd alcituiti din ,,n"tipuri de materiale, caracteristicile geometrice ale sectiunii

echrvalenle exprimate in rapori cu materialul ,,i" se determini cu rela{iile (11.28 a), (11.28 b) 9i (11.29

a). Tensiunile normale de pe suprafata echivalenta, prin aplicarea relaliilor-(1 1.30) sau in cazul general

cdnd secliunea echtvalenta este o sectiune omogenA din material de tip,i se utilizeazd relalia (11.30

b),

A.XI- 2.

Sb se deternrine mornentul capabil al sec{iunii neomogene din figura 11,17, alcitultS dintr-c zoni

dr-eptunghiulara din beton clasa Bc 20 9t un profil 140. din oiel laminat OL 37, in urmbtoareie ipoteze:

a) cind intre cele doui materiale nu existi conlucrare;

b) cbnd intre cele doud rnateriale exrstd o conlucrare periectS.

M,

ly0i. ech


'"i*.trt:l llt',.t

j

lncovcierea pland purd

Dale r--er::e =._ ?' 10'Callt.r F_ 03.1C'Ca\/rr.. ? 21,-0d"N/c-r i. -B0C:N'r:,Ra. =125daNicm:.

Rezolvare

o Cind intre materiale sectiunii neomooene nu existi conlucrare:llomentul capabil al seciiunri neomogene este.

lJ't ,"p -',,1r. ..0 M, - *o

Momentul capabil al suprafe{ei de beior se obline din condrlia de rezisteni5 exprmati in fibrele exlreme din

zona intinsb respectiv d n zona comprimaiS:

289

lv.o ,..'- =lz (Rri

'v' et

lv1u'G -e.". --2. <X""

tl P1

,, i,."R. 333334'B', , ; 1n -.155o-2oa\t" s

ID:l .-, .-

r': =

il ' ' 5ir3i l ' '25

/1 66€,.5 JaNcrit- '0

, b,hi 5C, 20"-:::. L -.- . ._.. *;.,:ll : _-,. I,a:: a-: ,icai;L:; ;l l:;o:_1; es:c.j1212

',t rr'.11.. .1.1 " -2:006.72oa\cr

Determinarea momeniului capabil ai profihlui Ce olel

c.:u: ,.^ - ,'u '' , -,,., -, M., -* - l ' P" 2921a^'^2'00

3ld-cst,cu\.-l,- ". 7-a. ?1

under lu, =29214cna. lilomentul capabil al secliunii neomogene este;

'\''1 n, .up - lly.t,.u, + [/y:,uo = 26666,72 t 3067C50 = 30937 1 6,72 daNcm

c Cand intre materialele componente ale sectiunii neomoqene exist; o conlucrare Derfect;:

in aceasta ipotezd, pozilia axei neutre a seclrunii neomogene se Cetermrna cu rela{ia:

-S", +n'S", =i - -A,(z-2,)-rrr,A'-(.2-zr)=g -

,_nz,Azzz1 A,z,, _ 7 118,29*1999/50

=36,43cm unde:n,,A, +A, 7x1'18+1000

" = : - l'^"!." 'r,o A.- 1000 0 cm:. A- -'1B.0 cn:.' E, 0.3.1C0

u' Determinareamomentelordeinerteinrapoftcuaxaneutrdasecliuni echivalente.

'l[,*

I

I 291290 lncovoierea plana pura

l,o, - lur +A r(zr -z)2 = 33333,4+100Cx(50-36,43)') = 217478,3 cn+

l,o: = l1 2 + A2 (z - z ; )2 = 2921a + 1 lBx (36,43 - 20)'? = 61063,5cma.

50

O (T,N -xl

5...LO*1't"^

or2-ru, ('1 "ax

a) D)

Fig. 11.17

/ Determinarea mornentului de iner.lie echivalent al sectiunii in raport cu malerialul unu, respecliv materlalul

lncc',,cierea plana pura

Atuncr cano intre cele doui materiale exisi6 o conlucrare pedect5, momentul capabil ai secliunii neomogene

este mai mare cr:

3420284 3 - 3067050x1Ajok

=i1524/a ,

3067050

unde: N4l ".p-

este m0menlul capabil al secluini neomogene cand intre materialele componente extstd o coniucrare

pedect5, respecttv lli..., - este momentul capabil al seciiunri neomogene cend intre materale nu exista conlucrare.

11. 11. incovoierea puri a barelor cu mare curburi

Se numesc bare cu nrici curburi, cele la care raportul dintre raza,,r" a fibrei medii 9idimensiunea,,h" a secliunii transversale satisface conditia: rih<10 Atunci cind r,'h>10.

elementele se incadreaza in categoria celor cu mare curburS. Starea de tensiune din barele cu mica

curbure se determind cu relatiile de calcul stabilite Ia barele cu axa dreapte, Deducerea relatiilor de

calcul pentru barele cu mare curbura solrcitate la incovoiere plani pura se bazeaze pe urm:t0arele

- axa eiementului este o curbd pianS;

- vectorul moment incovoietor care sclicita elementul structui'al este dirijat dupi axa principala

centrala de inertie y:

- se respectd ipoteza lui Bernoulli 9i in lungul flbrelor se dezvolti deforma{ii specifice liniare

€x,

- materialul are o comportare liniar-elasticd,

o Starea de tensiuneSe consideri un tronson elementar detagat dintr-o bara curbi de planele,, aa,"9i ,,bb," care

formeazi unghiul infinitezimal dq, Se noteazi cu:

- R.,Rt- razele de curbur; ale flbrelor extreme superioare, respectiv infenoarS,

- R. - raza flbrei mediane, care trece pnn centru de greutate al secliunii care delimlteaze

tronsonul elerrrentar G. gi Gz

- R, - raza flbrei neutre;

- e - distan{a de la centru de greutate al secliunii la axa neutrS.

Sub ac{iunea momentului lncovoietor M, pozitiv, tronsonul elernentar se deformeazi, flbrele

dinspre centru de curburi se alungesc iar cele opuse se scurteaze. Presupunand sectiunea ,,aai'fixe,

in urma deformirii secliunea,,bb," se rotegte cu unghiul Ad<p, ajung6nd in pozilia,,b'b,, ", fibra,,cd"

se alungegte gi punctul ,,d" ajunge in pozilia,, d'". Aceastd fibrd are lungimea ini{iala:

dr = arc cd = (r - y)d,o

care se alunge$te sub actiunea m0mentului incovoietor cu cantitatea:

lyt1. ecr - Insl +nzrlyoz =2114783+7 0x61063,5 = 644928'8 cma,

ly6z ecr =lyoz + n12lr61 = 6'1063'5+A143x217478,3 = 92'162,9 cma,

n.=E,-0,3'10! =0,1+:.a) I tY tu

"/ Determinarea momentului capabil al sectiunii neomogene:

t,, - R" -l o "" -125'6^49288 - 3420284.3 oaNcn:6," ,

" z.SRo- - Mycao- , )1.qjr"nr ecn La Le'lt

' = M =ltq"- -2'aJ'92162r=5J127'18darrcnr.o,...--zsRo z, 36.a3

ly'. ,"0 - m nfi"1. .," tl ,". )= 3r2028a3 da''l:r

(L min

Rezisten!a materialelorRezistenla matenalelor

292 incovoierea pland puri

^ Ads yAdx

" = d, t-y;d<p

lt/irimile Ad<p 9i drp fiind conslante, rezulti ci deforma{ia specifica liniara variazd dupi o

Iege hiprbolicS.

O'I

Ad,= dT = yAdtp

Alungirea liniara specificd a acestei fibre este,

Fig.11 18

!+,elI

r loRzi

flR

l;-i

o, nrin

o,,r,

Rezistenia materialelorRezisten[a materialelor

Lncovoierea plani purb

Admitdnd comportarea liniar elasticd a materialului, tensiunea normale dintr-un punct curent de

pe secliune va fi:

(1 1.30)

,0?

de unde

- EAdoo'=hr'' aq1r-r1z

carevariazi hiperbolic pe sec{iune, la fel ca deformaliile liniare specifice.

Forla axiala de pe secliune fiind nuli, din prima rela{le de echivalenia se obline

[E]dq t dA=EAdto t t dA=oj dq r-z dtp 1r-z

iltn-o;,r -z

-12l-:_on--zcA-Aeit-z

lntroducAnd reia{ia (11.33) in relalia (11.30) se obline pentru momentul rezultant expresia:

rM = EaQ

A,' drp

relaiie care evidenliazi pozilia axei neulre, Se observi ca, axa neutrd nu mai trece prin centru de

greutate al sec{iunii, fiind deplasatl spre ce ntru de curburd al liniei mediane. It/omentul rezultant de pe

secliune se obline prin sumarea momentelor elementare in rapod cu axa Y

. Elrdto " z2V,,- [o. zdA - '"]:Y [ '-<a (11 32)' A dLo "r-z

,2lnregrala j.t_ jA se -ezolva astlel:

A'

Flae=-[zdA- r i-1nlr-z i '^,-z

gi {in6nd seama relalia (1 1 31) cat gi de faptul c5:

,' = _rnJ._ -- sl=da-_JzdA-_Az. -_-S,

r*z r-z ;t-z A

unde S, este momentul static al sec{iunii in raportcu axa principala centrala., y".

A,,A^f t-.,^a^-- ^x -hJdno :l teue.e Ub /. - -e.

(11.3i)

(1 1. 33)

294 lncovoierea planl pura

Fndrn N4,J

dq Ae

in mod similar, introducAnd relalia (11 34) in relalia (11.30) se obline

(1 1. 34)

rela{te care permite calculul tensiuniloi- intr-un punct oarecare al sectiunii

mare curbura, solicitat la incovoiere pura. Valorile tensiunilor in fibrele

rela{iile;

unui element structural

extreme se evalueaza

CU

CU

Psnlru:az:l p:ir:ula: al s::! ::i. Jreptur;hiulare:': iril[ire:,.6 'e:e fb"ei 13'j:'e !:excentricitatea,,e" au expresiile:

Dl\r-- ) gi e=Rs-r

al i li,'l " lltJ \ rK3

J

evalua gi cu relalia aproxinativd

in cazul urmitoarelor tlpuri de secliuni utilizate in practica curenta avem:

- pentru sectiunea circulari cu diametru ,,D", raza flbrei neutre:

D2

+{zRn-u+nj-02}'

,,Rn" fiinci raza centrului cle greutate al sec{iunii.

- pentru sec{iune inelard cu diametru interior D, gi diametru exterior Du

Valoarea aproximativa a excentncitatii ,,e" se poate

f- h'Ie= I

12R. i:I

M,, 7

Aer -z

h Mrf .:- --t,tlltt"u^' AeR^ 9' ]t'-'n=-a"a,^r,.d!]


T'I

incovcierea plana puri

' peniru secliunea elipticS cu semiaxele a 9i b, semiaxa a flind in planul de incovoiere:

a2_-!

tltp - tp2'- Y \':-b'J

in mod curent, pe secliunea elementelor cu mare curburd. existi atAt moment incovoietor cAt gi

for{i axiala, tensiunile normale flnale se obtin utilizAnd principiul suprapune rii efectelor.

A.Xt.3

Si se Cetermine valorlle tensiunilor normale extreme dn bara ce o{el cr axa curba, care are secliunea

dreptunghtulari, sclicitati la incovoiere plani pura $i sa se compare rezuliatele cu cele 0blinute ulllizAnd relatia Iu

Navier.stabilrtipenirubarelecuaxadreapiS.Datenu,rrerice fl=12 KNm, h,1b=3 1-4cnr, Rs=40cm.

Rezolvare

Calculul dimensiunilor qeometrice ale sectiunii:

h o =3 : h-3t -J,A-:as7n

c Calcululcaracteristicilorqeometrice:

A = bxh = 1x1 2 = 48 cm2; R, = Rs - hi2 = 40*1 2i2 - 34 cn, R. = R" 1 ill = {0 + 1212 - 46 cn

e n'-2R =tt)1).10-lrrr r--2 o-)2.qr (-a ' -\1-^-lr1-03=o3cTI \1-,L '-

-J v,JU' y - " yj

, br hj 4 <123l. --- .2 ,r- 575cr'

o Determinareatensiunilorextreme:

,, - - un z

-'2'10' '57

-lqsl.adaN/crn2 s o -^ -LL --1? "1ct x63 =-'191oaN.cm,Ae R 4610.3" 3/ Ae R" 46 ,0.3> /6

in cazul barelor cu axa dreapta tensiunile extreme se determind cu rela{ia lui Navier. Sec{iunea fiinC simetricd,

axa neutrS trece prin centru de greutate al secliunir, deci. 7 =7" =fi,r1=lli2 = 6,0 cm. Tensiunile extreme in acesl

caz sunt dale de rela{iile.

295

M. 1?r 1oa6 -- = Yz _' " >6.'250daN/cm?

ty 5/b

^ r- I. t -^l'' ," /^, ^ , ' '2n\,R!-Dr a \R;-D;4J

Incovoierea plana pura

Il a^ r^4o --, -"'r---)t't ,a r25odaN/c"n2.Iy ' 576

Fis.11.19

Ercarea care se face, atunci cbnd valorile tensiunilor extreme se calculeazi cu rela{ra iur Navier este:u' in zona intinsi:

^rc -^A: ticaa\, _

u' -".-u,,' 100%'4i'.8-1^250^1Q[0ze_]rJao.

6l ;,. 1157.8

, in zona comprimata:

_i' ( _aLti. d' '' - 6' ;

<'000/o - '19'

:125a > 100% : 5.0%6: '"" "91

unde: ofc'- este tensiunea n0rmalS determinatd cu relajiile deduse pentru elementul cu axa curb5. iar ol0 - este

tensiunea normalA determinat5 cu relaliile deduse pentru elementui cu axa dreapte. in acest caz tensrunile normale drn

bara cu axa curba nu se pot evalua cu relalra lui Navier, valabila pentru bara cu axa dreapta, eroarea fiind de '14,3%

pentru fibra extremd din zona intinsa gi de 5% pentru fibra extrema din zona comprimatS.

R1


tTr .'

II

Teorii de rezistenla

12

TEORII DE REZISTENTA

12. 1 Generalitili. Definitii

Evaluarea nivelului de siguran!a a elementelor de construclie sub acliunea incirc6rtlor,

impune compararea sterii de tensiune efectiva din punctele cele mai solicitate cu starea de tensiune

limita. Starea de tensiune limiti intr-un punct, reprezinti pragul ce produce trecerea de la un

domeniu de comportare a materialului cu anumite proprietili mecanice la altul cu propriet;ti

diferite ce constituie o stare periculoase de exploatare.

in cazul stlrilor de tensiuni compuse, deflnite de tensiunile n0rmale principale o1,o.2,o-3 .

determinarea pe cale experimentala a stirii limita este dificili datorita numirului mare de incerciri

(egal cu numerul combinaliilor celor trei tipuri de tensiuni principale) c6t 9i de dificulta{ile tehnice

generate de realizarea unor incercari pentru anumite combinatii. Valorile tensiunilor limitl se

determinb mai simplu 9i cu suflcienti precizie pe cale experimentala, pe epruvete solicitate la

intindere centrice,

Acest fapt conduce la ideea gisirii unor criterii teoretice care sa aprecieze comportarea

malerialului gi atingerea stdrii limita in baza incercdrilor experimentale ob{inute pentru starea limitd de

tensjune liniara. Starea limiti de tensiune liniari este definiti de o singuri tensiune principala

diferiti de zeto, care constituie tensiunea limiti. Tensiunea limiti este influenlati de modul de

cedare al materialului 9i de tipul solicitirii. Astfel, pentru materialele ductile, aceasta reprezinti

limita de curgere oc iar pentru materialele casante limita de rupere or. Starea de tensiune

liniard limiti dintr-un punct este definiti unic de urmdtorir factori: tensiunile normale sau tangenliale,

deformaliile speciflce, respectiv energia potenliald specificd acumulati, in concluzie, starea de

tensiune liniari limitd nu poate fl deflnitd de un singur parametru, in consecinla, stabilirea

echivalen!ei intre starea de tensiune compusS, reala 9i starea limiti se va realiza prin intermediul

unei stiri de tensiune linlare echivalente considei'and prep0nCerent unul din factorii enumera{i

anterior,

Starea de tensiune lirniti sau teoria de rezistenle, reprezinti ipoteza ci un anumit factor

este hotaritor in atingerea stirii limiti, valoarea limitE a acestuia fiind aceeagi atAt in cazul


297

298 Teorii de rezisten{6

stirii de tensiune compusa data cAt gi al stirii de tensiune echivalenti intindere centrici.Astfel teoriile de rezistenti se diferen!iazl functie de factorii determinanti in atingerea stiriilimitd pudAnd denumirea acestora: teoria tensiunilor normale maxime, teoria deformaliilorliniare specifice maxime, teoria tensiunilor tangen!iale maxime, teoria energiei poten!ialespecifice totale 9i teoria energiei potenliale specifice pentru modificarea formei.

Starea de tensiune spaliald, deflnita de tensiunile normale principale 61,d2,o-3, poate fl

inlocuita cu o stare de tensiune echivalenti de intindere centrica cu acelagi nivel de siguran{5

reprezentatb Ce tensiunea principala o".6( fig. 12.1).

Tensiunea echivalenti o.ech reprezinti tensiunea normala principala care se dezvolta in

epruveta supusi la intindere centricd ce creeazi o stare de tensiune cu acelagi nivel de

siguranta ca al stirii de tensiune reali. Tensiunea echivalenti ou.6 depinde de valorile

tensiunilor ncrmale principale G1 ,02, 03 , flind deflniti matematic de funclia:

o..n = i(o1. o2,o3 )

Starea limitd intr-un punct este atinsa atunci cAnd:

/,,11\

oech = 60 (12.2)

unde:

- o0- este rezistenla iimiti la intindere sau compresiune a materialului cu valorile o0:6cpentru materialele ductile, respectiv o0 = 6r pentru materialele casante;

- 0..6 cstc tensiunea echlvalenta pentru starea de tensiune compus5, dati in conformitate cu

reoria de rezisten{d adoptala,

starea de tensiune

realS(o1,o2,o2 )

starea de tensiune liniara

echivalenta o".5 = f(o1,o2,o2 )

starea de tensiune linrard

limitd o.6 =f(o.,o.)

Fig.12.1

Coeflcientul de siguran{a al stdrii de lensiune datd reprezinti valoarea raportului dintre

tensjunea limitS gi tensiunea echivalentS:

Rezisienta materralelorRezistenta matenalelot

1'I1

Teorii de rezrstenta 299

(12 3)

care este egal cu valoarea coeflcientului de siguranta al starii echivalente'

Rela{ia (12.2) devine condi{ie de rezistenli pentru punctul cel mai solicitat dink-un element de

cgnskuctie dacd termenul din dreapta este tensiunea admisibila o, =06ic in metoda rezisienlelor

admisibile, respectiv rezistenla de calcul Ro = Rr h, (1, este coeflcientul de siguran\5 al

materialului ) in metoda stdrilor limiti,

Pentru materialele ductile, atunci cAnd membrul din dreapta al rela{iei (12.2) este os =06,

aceasta poate fi considerat drept un criteriu de plasticitate,

Atunci cAnd rezislen!a limiti dintr-un punct atinge siarea limita de tensiune, relaiia (12.1)

conduce la funciia:

F(o1,o2 o3]=0

care intru-un sistem de axe orl0g0nale (o'1,o2,o3) reprezinta o suprafali limiti. in acelaqi sistem

Ceaxe.stareadetensiuned'ntr-unplnctalunuielemert reprezlntapunctulMtolo; 03) Starea

de tensiune din punctul ,,M" este limiti, atunci cind punctul se aflS pe suprafata limiti 9i

inferioari stirii lirniti atunci cAnd se afliin interiorul zonei delimitati de suprafala limiti Dacd

punctul 'M" se afl5 in afai'a zcnei delimitati de suprafala limita, atunci starea cie tensiune din punctul

respectiv a depSgit starea limitS.

12. 2Ieoriatensiunilor normale maxime ( teoria l' a)

Prima teone de calcul la stiri limita a fost emisa de Galileo Galllei, care considerA ca starea

de tensiune oarecare dintr.un punct al unui element, atinge starea limiti atunci cind

tensiunea normali maxima Grr* este egal6 cu tensiunea normalS corespunzatoare stirii

limiti o6 de ia intindere sau compresiune centricd:

Tensiunea limiti o6 pentru materialele ductile reprezinta limita de curgere oc iar pentru

materialele casante limita de rupere cir. ln general, materialele cu comportare casanti utilizate in

cgnstruclii au tensiuni limiti diferite la intindere qi compresiune purS o6, * os.in cazul genei"al cand

lnn Teorii de rezisten{a

starea de tensiune din punctirl analizal este spaliald cu o'1 >cr2 >cr3, iensiunea normalS maximb

este;

6max = o1

Jinandseamadefaptul cipentrustareadetensiuneechivalentddeintinderecentrice 6m3y=ogsh,

condilia atingerii stirii limiti inlr-un punct este:

6ech = o1

iar conditia de rezisten!5 din punctul respectiv se poate scrie sub forma:

0..6=01 <Rg (12.4)

unde Ro reprezint5 forma generalizatd a rezisteniei de calcul (Ro este rezistenla Ce calcul a

materialelor ductile, Ro,,Ro, -reprezinta rezistenia de calcul a materialelor casante solicitale la

c0mpresiuno cenlricd respectiv lniindre cenirica),

Atunci cAnd omin = o3 < 0. condilia de rezisten{5 (12.4) se completeaza cu relalia:

O*rn=o3<R6r]

Pentru materialeie casante cu R61 + R3r, condilra de rezisteniS se exprimi sub forma

oech = 01 < Roi gi o..6 = jo31 < ]R6.1

Condilia de rezisten!5 drntr-un punct aflat in stare plana de tensiune, se poate exprima in

raport cu tensiunile de pe doui feie ortogonale:

.' 1 oi-4t2 .RnOech - 6nay -ma{ ,r ,t,

Suprafa{a llmiti penku aceaste teorie de calcul se obtine prin exprimarea condiliei ca

tensiunile normale principale 61,02,03 , si nu depageasca starea iimila:

-60<01 <Oo; -Oo<o.2<60, -6cS6'3<o.0


(12 5)


J"

Teorii de rezisten{a

in sistemul de coordonate (o1,o2,o3), condlliile (12 5) Ia limita, reprezinta ecuaiiile ecuatiile

a gase planurr (o1 =+60, oZ =to(], 03 =+o0) paralele doui cdte doua cu planurile de

coordonate, care delimiteazd un cub cu laturile 2og( fig. '12 2-a) Suprafala laterala a cubului,

reprezinte suprafa{a limiti corespunzatoare teoriei l'a, Pentru cazul particular ai stlrii plane de

tensiune (o: = 0 ), condiliile (12 5) la limiti devin:

6.i =to.o gi o2 =+os (12.6)

Raportate ia sistemul de coordonate (or,oz), relaiiile (12,6) reprezintd ecua{iile unor drepte

ce delimiteazd un pltrat cu centrul in originea axelor ( fig, 12.2-b), Conturul acestuia constjtuie curba

limiti cbutata. in cazul materialelor casante' o. = 6.. cubul 9i pitratul limita au laturile egale cu

ool -,oo.l iar centrul acestora nu rnai c0incide cu originea sistemului de axe ( flg. 12 2-c) in care

ool estg iensiunea limiti a materialelor casante sclicitate la intindere iar oo, este tensiunea limiti a

materialelor casante solicitate la compresiune

(l-. On

io:

or. or

h) c)

tt6. tl.t

Aceasta teorie de calcul prezinti ,rt;to.t.ut. viscitudini:

a) la atingerea stirii limiti, nu se iau in considerare tensiunile normale principale o2,

o3 degi acestea influenleazi comportarea materialului, Astfel in cazul materialelor solicitate la

ccnnpresiune triaxiala uniformd (o1 =o2 =o.3 =-6), starea limil5 (ruperea) se atinge cAnd are

aceea$i valoare ca in cazul compresiunii centrice:

ocn-J(J':6.c

301

1,n') Teorii de rezisten{a

Experimental, se constatd cd starea limiti in acest caz se atinge pentru valori ale tensiunii

normale ce depSgesc cu mult valoarea tensiunii limita oo. corespunzetoare compresiunii centrice.

b) in cazul forfecirii sau torsiunii libere a barelor cu secliune circularS sau inelarS, cu

tensiunile normale principale o.1 ='t 9i 62=-x, dupi aceasti teorie de calcul materialul

cedeazi cand;

6ech =61 = o2j=T, =06

adica oo ='rc. Valabilitatea acestui rezultat este infirmat de experien{ele lui Bauschinger din

care rezulti ca ro:oo f 2.

c) conduce la rezultate confirmate de datele experimentale numai in cazul materialelorfragile, cind starea de tensiune se apropie de cea monoaxiali (una din tensiunile principale in

valoare absolutd este mult mai mare dec6t celelalte doua) gi a materialelor din polimeri la care

ruperea se produce prin separare, perpendicular pe direc{ia tensiunii normale rnaxime.

12.3 Teoria deforma{iilor liniare specifice maxime (teoria a ll-a)

Teoria a ll-a de rezistenta a fost elaboratd de E. Mariote care considera cd o stare de

tensiune oarecare dintr-un punct al unui element solicitat, atinge starea limiti atunci cinddeformatia liniari specifici maximi trnax din acel punct este egala cu deformalia liniari

specifica corespunz5toare starii limiti de la intindere sau compresiune centricS, determinatape cale experimentali:

6-=t; (12.7)

unde:

- err* -este deformatia specifica liniari maxima,

- €0 - este valoarea limita a deformatiei liniare specifice obtinuta prin incercari la

intindere sau compresiune centric5:

ov̂-0E

in cazLil starii spaliale de tensiune canci e1 > s2 > €3, concii{ia la starea limita (12.7) devine:

€rr, =t1 =€o

Jinand seama de legea generalizata a lui Hooke pentru starea spaJiald de tensiune rezulti:

1, tr^lG, -\,{o" *rJ" il=l

tt

'J* = [o, - v(o2 + o: )]= oo


(1 2.8-a)

Teorii de rezisten!5

finand seama de relalia ('12"8-a) conditia de rezistentd se exprimi cu relatia

[* = [o, - v(o2 + o: )]< Ro (12.8 b)

Pentru intinderea triaxiala cu 61 >o2 >o.3 >0, conditia de rezistenta se exprimd cu relatia

(12.8). in cazul compresiunii triaxiale cu 03 < 62 ( o..1 < so, condiiia de rezistenla pentru

materialele ductile este:ll r

lcr, - lo: - vl6r - 6-2 )lt Ro

303

condi!iile de rezisten!d pentru materialele casante cu rezisten!e diferite la

compresiune (R6; + R6. ), sunt ciate de rela!iile:

ffil min starea pland de iensiune cand o3 - 0 $i or > oz > 0, rela{ia ('12 9) devine:

(12.e)

intindere gi

/1t ln\

]o'J, = o, -\'o; < Ro (12.11)

de pe doud feteExpresia tensiunit echivalente in raport cu lensiunile dintr-un punct,

orlogon ale capitd forma:

or],n = 949(1 -u)+(lt'), to, -o, f *or'- . no2

sau in cazul particular cand o, = 0

ReprezentAnd grafic condi!lile la limita in sistemul de coordonate (o1 o2,o3), condi!iile la

limitd pentru starea de tensiune spaliald:

-60 (o, -vio, I o3):oo

*oo (62*v(o3+o1 )<oo

-60 (03 -v(ol +o2)<oo

(12,12)

se obline un paralelipiped oblic. Suprafala laterala a paralelipipedului oblic reprezinti suprafa{a limitd

deflnitd de teoria a-lll-a de rezisten!5. Pentru starea plana de tensiune (oa =0), ecuatiile dreptelor

ce rezulta din exprimarea condiliilor la limitd:


_iluech -1-v _ .1+v Ej *z;-UXf-1 \UyT*,rr<RO

2

304 Teorii de rezisten(d

01 -V62 = *60

02 *V61 : *60

-v(o1+or)=+60

(13 13)

in sistemul de coordonate (ot,oz)delimiteaza paralelogramul cu centrul in originea sistemului de

axe (flg. 12 3).

oc

Fig.12.3

(Ecua{ia dreptei o'1 *v62 =oo are tdieturile 6d =6t =co 9i od =az=-or \'. Analog

ecuatia o'1 -vo2:-oo definegte dreapta ce trece prin punctele c Ai d. Construind dreptele date de

ecuatjile 02 *v61 =O'o $i o;2 -Vo1 =*Oo cor'€ kec prin punctele a,c respectiv b,d se obJine

paralelogramul abdc.)

Degi teoria a ll-a , tine seama de toate tensiunile principale la atingerea stirii limitS,

este pu!in utilizati in calculele de rezistenti, fiind infirmatd in multe situalii de dateleexperimentale. in acest sens, semniflcative sunt urmatoarele cazuri,

a) pentru elementele de construc{ie solicitate la intinderea uniforme dupi doui direclii, cand

61 = 62 = o $i 63 = 0 , conditia de atingere a stirii limiti este:

olrn =or-vo2 =o(1 -v)=6d

de unde rezullb cA.

". =*ceea ce nu se confirme experimental.

b) penku elementele de construclie solicitate la forfecare puri (o1 =t, o2 =0 gi

o::-c), condi{ia de rezistenti la limitd:

oj

oo

t.


olirr, =or -r'o: -t(1 +v)=60

conCuce la:

.=&' 1- v

Pentru olel, cand v =0,30 se obline to =0'77o0 in timp ce rezuitatele experimentale indici

valoarea to = 0,5o0 .

Cu aceasti teorie de rezistenli se poate explica corect cedarea materialelor casante

solicitate la compresiune centrica. Ruperea epruvetei se realizeazd prin farmarea de fisuri

longitudinale, paralelele cu direclia forlei, datorita deformaliei liniare transversale de intindere'

'!2. 4 Teoria tensiunilor tangenliale maxime ( teoria a'lll'a)'

propusd pentru prima data de Ch, Columb in anul 1773 gi reformulata sub forma actuala de

inginerul fiancez Tresca ln 1865, teoria a-lll-a sebazeaze pe ipoteza ca factorul determinant 1n

,ting*ruu stdrii limita este tensiunea tangenliali maxime Astfel, starea de tensiune oarecare dintr

un "punct

al unui element solicitat atinge starea limiti atunci cAnd tensiunea tangenlial5

maxirn; din acel punct este egali cu tensiunea tangen!iali limiti de la intindere sau

compresiune centrica, determinate pe caie experimentali:

E*- t;

inlocuind starea de tensiune spaliala cu starea de tensiune liniara echlvalentd, condi!ia de

stare iimiti este data de relalia:

Tecii Cc rezrstenta 305

tmax rgch - '0t1) 1t\

in care:- r,nax - este tensiunea tangen{iala maxime, in cazul stirii spaliale de tensiune cu

6'j>62>5.3, lensiunea tangenliala maxima este semi diferen{a tensiunilcr ncrmale principaie

extreme:

._- =91 etr (2:s\!m:Y -

- recn - este tensiunea tangenliaii echivalenta cu starea de tensiune spaliala datd. Pentru

solicitare mon0axiali. intre ou.1. 9i t".6 exista rela{ia de dependen!i:

(12.16)

- -ro- este tensiunea tangen{iali maxima corespunz5toare sErii de iensiune liniari limitd de

intindere sau compresiune, determinatd pe cale experimentale:

0-.rtech - I

306 Teorir de rezisten{i

inlocuind relatiile

limiti dupi teoria a-lll-a

." =* wfi)I

(12.15) 9i (12.17) in rela\ia ( 12.14), se ob{ine conditia de atingere a starii

(12 18-a1

Similar, condi{ia de rezistenia dupS teorra a - lli - a este datS de rela{ia:

EF=".s. <il (1 2.1 8-b)

Pentru starea Ce tensiune spa{iali cdnC 61+s2 +o; ;"C, condi{ia Ce rezistenli se exprim5

sub to'mb generalizata.

ilT ^o!!n-maxo-oJ 'Ro' (i+j ij=1,23)

in starea plana de tensiune (63 =0), atunci cAnd se respecti conditia o1 >62 >s3(1 2. '1 9) are forma particulard:

o!1. - rrr[o. - 02 or oz j. Ro

(12.1e)

i-elatia

(12.20)

Dacd o,o2 >0(pentru intindere sau compresiune biaxialS), condi{ia de rezisten{i este dati

de cea mai restrictivd rela{ie:

o3lr, = or < Ro sau o!16 = "2

j< no

iaratunci cAnd o1o2<0(pentrustaredetensiunemixticu o1 >0,o2<0),termenul o,-or1 din

rela{ia ('12.20) are cea mai mare valoare gi in consecinla:

olir,-o.-o2 SRo

in cazul lncovoierii plane cu fo(a taietoare (o, =0), condi{ia de rezisten!d dupi teoria a-lll-a

scrisi in raport cu tensiunile normale 9i tangenliale de pe doua fele ortogonale devine:

Suprafala limita pentru aceastd teorie de calcul reprezrnta suprafa{a laterali a prismei

hexagonale rezultatb din intersec{ia planelor:

6, -6- = -oo. o. -o: - +or' O; -63 - -o-o

ilt _ech - ul -u3 -

fo!; =",-o' - a.- . ql


'.fti

I

I

Tecrii de rezrstent5

parale doua cite doua (ltg 1?.4'a)"

in cazul stirii plane de tensiune cAnd o3 =0' prin reprezentarea in sistemul de axe (o1,o2)

a dreptelor: 01 -o2 = +6o 61 =:160; 62 = too

se obline un hexagon neregulat a cbrui contur reprezinti curba limiti a teoriei a -lll-a de rezistenla

pentru acest caz ( flg' 13 4-b)' ( Ecua{ia o1 =G2 ln cadr,anele 1 9i 3 pentru carc 6162 > 0, conduce la

conturul abc ai def iar ecualiile o1 -62:16o conduc Ia dreptele inclinate cu 45" cu taieturile oo

respectiv -60 reprezentate in desen prin segmentele cd 9i af.)

/Q =62=o:

Ci!.

3bi-to t,/ 4

Concluziile teoriei a.lll'a, referitoare la atingerea stirii limiti sunt confirmate de

incercirile experimentale pentru urmitoarele solicitiri:

a) pentru for-fecare (ot=1,62 =-r), din condilia Ia limiti (12.18'a), se obline:

o!.n =or -o. = T-l-rJ-2;= oo

deci to =6o.i2, rezultat confirmat de incercarile efectuate de Bauchinger;

b) pentru compresiunea monoaxiali {ox =-o) 9i compresiunea biaxiali uniformi

{o, = o, = *6 ), starea lirniti se atinge atunc! cAnd:

oectr = o:l- -o = 6o

307

308 Teorii de rezistenlS

respectiv

o*.r, =]or*o3i=io=oo

rezultate confirmate de experimentirile ficute de Ftippl (oll, = oo );

c) pentru complesiunea triaxiali (ot =62 =oa =*o) 9i intindere triaxiala uniformi

(ol =o,2 =63 =o), materialul trebuie sa supofte incirciri infinite deoarece tensiunile

tangenliaie exireme sunt nule. Aceasti concluzie este confirmati pe cale experimentalS numai

pentru compresiunea triaxiala uniformi gi infirmati pentru intinderea triaxialS uniformi,Propo(ionalitatea dintre tensiunea tangen{ial5 gi lunecarea specific5 corespunzatoare,

conduce la concluzia ci teoria a - lli - a de rezistenlS este in acelagi timp o teorie a lunecarilor

specifice maxime. Deoarece aparilia deforma{iilor permanente la metale este consecin{a lunecarilor

din skuctura materialului, crlteriul tensiunilor tangen!iale maxime poate constitui un criteriu de

plasticitate iar prirnele doui tecrii, criterii Ce rupere.

lncercdrile experimentale pentru materiale cu proprietali plastice conduc la rezultate

satisfacatoare pentru aceasti teorie. Teoria tensiunilor tangentiale maxime are urmitoarele

viscitudini:

a) nu poate tine seama de tensiunile limiti diferite la intindere 9i compresiune ale

materialului, deci se aplica numai in cazul materialelor ductile;

b) cedarea materialului se produce numai prin lunecare, dar nu 9i prin smulgere. in

consecinti aceasti teorie nu se poate aplica in cazul materialelor casante;

c) in cazul intinderii sau compresiunii triaxiale, dupi aceasti teorie, starea limiti nu

poate fi atinsS, criteriul fiind inaplicabil in acest caz.

12.5 Teoria energieipotentiale de deformafie (teoria a-lV-a)

Aceasti teorie de rezisten{a a fost propusd de E. Beltrami in 1885, care consideri cifactorul hotdrAtorin atingerea siarii limiti este energia poten{iald specifica totald de deformalie. Astfel

starea de tensiune oarecare, dintr.un punct al unui corp solicitat atinge starea limiti atunci

cand energia potenlial5 specifici de deformalie acumulati de material este egalS cu valoarea

limiti a energiei poten!iale specifice totale de deformatii pentru cazul intinderii sau

compresiunii centrice, determinati pe cale experimentali:

Condilia de atingere a starii limita este dati de relalia,

| | ttou1-u1ech-u1 (12.21)

U1- este energia potentiala specifica totalS, care in cazul stlrii de tensiune spa{iala este


'T,1

I

Teorii de r

evaluata cu relalia:

U, =:lol *o5-, oj-2r'{o.o2 =oror r63.:. )l W22)It

- U1 ech - este energia potenliali specrfici totali in cazul stirij de tensiune echivalenta cu

starea de tensiune spalial5:

- Uf - este energia poteniiald specifica totala in cazul starii de tensiune limiti de la intinderea

centricb:

(12.24)

lntroducand relaliile (12 24), (12 23) 9i t,12.?2\ ln rela\ia (1221) se obline condilia la iimit5

dupd teoria a -lV-a:

:-tt--

"!\ii = I ol - ol- o! - zu{o,o 2 + o2o3+ o3o1) = oo]

, , G3"i,t,^^c =-

IL

Ecua!ia:

ol + oi+ o! - 2v(o,o, + o2o3 + o3o1 )= ofr

in sistemul de coordonate o'1 ,02,o3 reprezinta un elipsoid de rotalie a

constituie suprafala limita a acestei teorii. Elipsa cu semiaxele ooi.,[-vde ecuatia:

ol +o',-2vo1o, =o62

ui =*lL

(2.23\

carei suprafala laterala

9i o6 1^,,i + v definitl

!a) )E-r\,

in cazul particular al stirit piane Ce lensiune (o: = C ), reiaiia (12.25) devine

ol.vrL = .t, o? - oj - 2t',r,o2 = oo (12.26-a)

finAnd seama de relatiile (12.25-a\ 9i (12.26-a) condi{iile de rezisten{5 sunt date de relatiile

(,i2 25-a\

respectiv pentru starea plani de tensiune

(,12.26-b)

,{, ,.-^ . t_--i"!Yn =, "i

+ ol+ ol-2v(o1o2 +o2o3 +o3o.1) < Ro

310 Teoni de rezistenta

reprezinte curba limita a acestei teorii in cazul stirii plane ce delirniteazi un domeniu de

rezisten{i apropiat de cel dat de teoria tensiunilor tangenliale maxime (fi9.12.5}.

2=03

(}c

6/--.,s

Fig.12.5

Degi in teoria lui Belkami, energia potenliala de deformalie llne seanra de toti factorii ce

caiacterizeazb starea de solicitare, in general rezultatele oblinute cu aceasta teorie nu sunt

confirmate pe cale experimentali. Din acest motiv, aceasti teorie nu este in calculele de

rezistenli. Teoria a-lV-a de rezistenta are urmatoarele viscitudini:

a) nu !ine seama de rezistenla diferiti a materialelor f ragile la intindere gi

compresiune;b) nu a fost confirmati de experimente in cazul solicitirilor biaxiate;

c) in cazul compresiunii triaxiale, relalia (12.25) conduce la:

o.u,- = o', 3{1-2v) < oo

sau

o.-/, -.:ll-Zvr

valoare ce nu este confirmati de incercirile experimentale. Materialele solicitate la compresiune

triaxiala uniforml ajung la starea limiti pentru valori mult mai mad ale acelor tensiuni. Aceastd teorie

prezinti o importan{5 teoretica dati de faptul ci a stat la baza elaborarii teoriei a-V-a de rezisten{5.

12. 6 Teoria energiei potenliale de deforma[ie a variatiei formei (teoria a-V-a)

Sub actir.inea incircarilor corpul i9i modificd forma gi volumul. M.T. Huber, face ipoteza ci

Rezistenta m aterialelorRezrsten{a materialelor

ri

atingerea starii limita este dati numai de o parle a energiei potenliale de deformaiie corespunzatoare

varialiei formei,

Starea de tensiune oarecare dintr-un element de construclie solicitat atinge starea

limiti atunci cand energia potenliali specifica acumulata de material ca urmare a modificirii

formei este egali cu valoarea limiti a energiei potenliale specifice pentru modificarea formei

in cazul intinderii sau compresiunii centrice:

r--- ---- lrl |u I

i"1r "t i j

Oblinerea starii limiti dintr-un punct, se expi'imd cu rela{ia:

11 lr -ttouTf -utfe.h u1i 112.27j

in carel

- U1 ;- este energia poten!iala speciflci corespunzatoare modiflcirii forrnei 1n cazul stirii de

tensiune spaliala:

1-v, , , ]L - ; icl -o. ' oi -o.o, -s,o -o,o.) :2 )it

- Ui i,ech- este energia poteniialS speciflca corespunzatoare modiflcarii formei in cazul stSrii

de tensiune liniard echtvalenti cu starea de tensiune datd:

L.f .r^ - ';l o:r"

- Uf,- este energia poten{iala specifici.oi.lprnratoae modiflcariiformeiin cazul

tensiune liniard limiti Ia intindere centrica:

.r 1+r' )uir- -

ocJI

!"12 )Q\

starii de

(1 2.30)

linAnd seama de relaliile (2.30), (2.29) 9i (12.28) rela\ia(.1227) pentru exprimarea condi{iet

de rezisien{a devine:

finAnd seama de rela{iile (13.31-a) 9i (12.31'b) condi!ia de rezistentd

exprima cu rela{iile:

(12.31-aj

(12.32-a)

dintr-un punct se

jo},n =G*o3*o3-o,oz -ozor *o:or =ooi

o].n = .}.i(" t oz)2 +(o2 -o3)2 +(oi -o,)' = "l

Jtl Teorii de rezisten{d

$n = nio? + "l + o! - c.p2 - o263-63o'.1 < Ro

'r,n = jrG, -tl -, 1", -"t' .r"-o')2 5 Ro

(12.31 b)

{12.32.b)

in raport cu tensiunile de pe trei fele ortogonale care trec printr-un punct, expresia tensiunilor

echivaiente este:

iv l1 ,loi^" =-loi +oirce ! ^ : -61 (o,o,. o,vo; . ozo) )':{.1, --2 -.2 \.puyz Lxzlir\0

i_v | ,tl- - \2 Io"c- -,7 \{o* o/i +loy - Q -a1,2 -,2 -"2 \,-y , -\, /\ 'XZ .r. i R,

in cazul starii plane de tensiune. condi{ia de rezisten{e se scne sub forma

t-t -2 -? --,aruecr - \11 - u2 -uru? l1o

mt,Oec" \ O; 6t -O.Oz - -,x. -,.o] l1) 12\i,4.JJ/

-ilI'xY-'zY-"/'Pentru incovoierea plani cu for{a taietoare (o, = o oy = o, = 0; tx: = tcondi{ia (12,33) devine:

Y.,. =.,"?ls.' <n.Ecua{ia:

"', o', - o] -o,o, -orc-. - o,or = oj

reprezinte un cilindru cu axa egal inclinata fa!5 de axele de coordonate, in starea de tensiune plana (

oa =0) curba care delimiteaz5 domeniui de rezistenti va fi o elipsi deflnita deflnitii de ecuaila:

oi'-o;-oro2=65

circumscrisb hexagonului neregulat corespunzator teoriei tensiunilor tangen{iale maxime, cu,;.:-

semiaxele v2oo =1.41o0,respectrv \2 3oc -U.82o0

Deformaliile cu privire la modificarea formei fiind in general plastice, pentru tensiunt de

intensitate micd, condi{ia de rezisten{i (12.31)la limitS;

11o".6 = !1i1o ^,-c t)'+(o, *o3)2 +(o3 -o,)2 =oo" -12'

Rezistenta materralelorRezistenta matenalelor

FiI

Teorii de i-ezistenla

Q:62=03

a) b)

Fiq 12.6

care nu conline nici o constanti elasiica a permis lui R, vcn Mtses gi H. Henky sl c consldere drepi

conii!ia universali de trecere a materialului din starea elasticd in starea plastici (criteriu de

plasiicitale). Condi!ia de plasticitate dupb teoria a-V-a, poani denumirea de criteriu lui R. von

Mises.in cazul stdrii plane de iensiune, condi{ia de plasticitate are una din urmitoarele forme:

,.'--'-^r:oec" -\'o; =o; -o\oz t3t;z =60

o..n =.G2 * 3t' = o'o (12.34)

Teoria starii limiti a energiei potenliale de deformatie pentru variaiia formei se aplicd numai in

cazul materialelor cu aceeaqi tensiune limiti oo la intindere sau compresiune centrici, Aceasta

teorie explica imposibilitatea atingerii starii limitS pentru conrpresiunea triaxiald dar ramirne

inaplicabilSincazul intinderii triaxiale.Pentrustarea deforfecarepurb (or=0,o2=0; t+0)din relalia (12.34)se ob{ine:

ou.5=.,57=rr3-60

deci ro = 0,57700, valoare apropiati de cea oblinuti pe cale experimentaiS de Bauschinger,

31 -1

1..ou.5=1ioi+o!*o1o2 =oo

I:I

314 Teorri de rezistenlb

Teoriile de rezistenla a -lll-a 9i a -V- a au domenii de rezistenld aprcpiate, diferenia maximi dintre

cele doul teorii (,15,4%) se obiine pentru solicitarea la for"recare pure la care stadiul limiti se atinge

atunci cdnd;

o o1 =-6, =t=0,5o0 dupl ieoria a -lll-a 9i

o or -6:=t-05TToo duoateoraa-V-a.

in concluzie aplicarea teoriei a -V- a. conduce la oblinerea unor rezultate ce conferA o larga

aplicabililate in calculele de rezisieniS.

12.7 Teoria lui Mohr

incei'ciriie experimentale eiectuate pe diverse tipuri de materiale au evidenliat faptul ca starea

limita este Ceterminata de mirimea gi semnul tensiunilor normale principale maxime o1 gi ninln"e

o3. Tensiunea normaiii principaiS oZ ere o influenla redusa asupra starii limiia de rupere sau

curgere. Astfel pentru o stare de tensiune spaliala cu 61> 62 > o3 > 0, faciorul hotarAior in

aiingerea stdrii iimitb il constituie starea plana de tensiune deflnitd de tensiunile normale principale

61 =dmax gi o3 =or,n, Grafrc (fi,.127), aceaslS siare corespunde cei'cului iui Mohr cu diametrui

maxim, denumit cerc principal, Daci tensiunile normale principale o-1 gi 63 corespund stirii 0e

tensiune limitd a materialului, cercul principal se numegte cerc limitS.rl

cercul

principa

Fig.12.7

CunoscAnd vaiorile limita ale tensiunilor- principale o1 9i o3 determinate pe cale

experimeniala pentru un material, se traseaza cercurile limiti in cazul solicitarilor: intindere centricd

(cercul C:), compresiune centrica (cercul Cr), forfecare pura (cercul Cz), intindere biaxiali(.ot,*o2>0)si intindereunilormikiaxiala(cercul Cs,o1 =6r=o:>0).Curbainfiguritoarea

o?

Rezisten!a materialelorRezistenta matenalelor

Teorii de rezisten{a

cercurilor starilor limiti de tensiune analizate reprezinta infaguratoarea limiti sau curba limiti

intrinseci ce delimiteazi domeniul de rezistenla dupa teoria lui Mohr (fi9 12 8). Cercurile care

deplgesc acest domeniu intersectAnd infaguritoarea limtta corespund stirilor de tensiune

periculoase care nu indeplinesc condilia de rezistenta.

Fig" 128

Din analiza ourbei infigur-Stcare !imiti se constata descreqterea ordonatelor simultan cu

ci-e;teiea tensiunilor de intindere, Aceastd curbi intersecteazb axa absciselor in punctul A care

ccrespunde intinderii tnaxiale uniforme, cirnd ruperea prtn lunecare nu este posibild' CAnd tensiunile

normale principale uniforme depigesc forlele de coeziune dinire particule, ruperea se produce prin

smulgere valoarea tensiunii limitd fiind datb de abscisa punctului de interseclie a infaguritorii limiti

cu axa Os. Spre sensul negativ al abscisei, domeniul se deschide, alingerea starii limita se

realizeaz1pentru valori mari ale tensrunilor normale de compresiune. Astfel, in cazul stirii triaxiale de

compresiune uniformi atingerea stdrii limiti este imposibili, fapt confirmat de incercarile

experimentale. in acest caz, cercul lui ltlohr se reduce la un punct de coordonate

61 =o"2 =o'3 =-o, care intersecteazd axa absciselor la infinit, deci infSguratoarea limiti rdmane

deschisi,

Reprezentarea graltcb ainfigurdtorii limiti rmpune efectuarea unui numar mare de incercbri

experimenlale care au un grad sporit de dificultate in zona intinderii triaxiale, Aceasti viscitudine se

elimlni daca infagurdtoarea limitS reala se inlocuiegte cu o dreaptd tangenta la cercurile limita,

cgrespunzatgare intinderii cu centrul in 01 9i compresiunii cu centrul in 02, Cercul limita cu centrul

in 03 pentru o stare de tensiune dat5, caracterizata de tensrunile 61 >03 >0. esle tangent ia

dreptele limiti AB 9i A1B1 (fig. 12.9). Cele trei stari de tensiune reprezentate de cercurile lui Mohr,

tangente la infaguratoarea limiti sunt la fel de periculoase, astfel tensiunea echivalenta pentru starea

dati, poate fl considerati egala cu valoarea limita a star"ii de intindere centricS:

(12 35)

in aceste contii{ii, relalia de depenCen!5 dintre tensiunea echivalenta 9i tensiunile normale

J t3

316 Teorii de rezistenlS

piinc,pale 61 o.3 se ob{in pr cale geomerricb. Segme;rtul 01E paralel cu seEmentul Ats '

intersecteazA segmentele C03 gi A02 in punctele D gi E Din asemenarea triunghiurilor O1DO3

qi O1E02 rezulta:

de unde

1q=9qozE oroz

1? qe=99.!902A * 0iB OOl + 002

('.- l

r{9. z.Y

o!

iniocuinC segmentele cu valorile tensiunilor corespunzatoare se obtine

sl-_o_, _ ooi 9qi _ or fI2222

OO. OO - "0

t0"-T--2222

t)^01 ---! o.3 =c;o

6o.

lntroducand rela{ia (12 36) in relalia (12.35), se obline condi{ia de stare

(1 2.36)

limiti dupi teoria Iui

Mohr

Rezisienla materialelorRezistenla materialelor

Tecrii de re:istenli

6ech = 61 ko3 - 6o; (12.37)

incare k=ootl']oo.],

intr-un punct soliciiat al unui eleinent de construclie, condi!ia de rezisien{5 dupa teoria Iui

l,4ohr este datS de expresia:

1".* = ",-k:li$ (1 2 38)

Relatiile (12,37) gi (12 38) sunt valabile atunci cAnd tensiunile principale 61 9i 03 au semne

diferite sau dacA una ciin aceste tensiuni este nula. in cazul materialeior ductile care au aceeag!

tensiune limiti la intindere $i compresiune ( so. - oo.l), se onllne k ='l iar relatiile (12.37) 9i (12.3S)

au aceeaqi forma cu cele ale teoriei tensiunilor iangeniiale maxime" Astfel, tangentele la cercui-iie

limita devin par-alele cu axa absciseior (fig. 12 10).

Fig 12 10

Suprafa{a limitS in cazul stirii spaliale de tensiune este datl de suprafala lateralS a prismei

hexagonaie cu axa egai inclinata iaia cie areie sisteniului iie coordonate (fig. 12.11 a). in stai"ea de

tensiune plana cAnd o1 >0 9i o3 >0 iai' tensiunea minimd o2 =0 din relatia (12.38) rezulta

condi{iile la limita; or =o6t sau 63 =66; care in sistemul de coordonaie reprezinti dreptele a6 gr

ac. Daca o1 <0 gi o3 <0 se oblin condiliile la limitd o1 =-occi sau o3 =*1o6,1 care sunt

reprezentate prin drepiele Oe gi Oi , Atunci cand o1 >0 gi o3 <C condi{ia Ia limita reprezinti

dreapta 6ei care are urmatoai'ele tdieturi pe axele cje coordonate: o'1 =o6i Sau 03 = -oo,Analog, cAnd o1 < 0 qi o3 > 0 se obline dreapta fc in concluzie domeniulul de rezistenli este un

1211 b)

._1 t6 Teorri de rezistenla

hexaqcn nei"egulat (fig.

9=62=0:

{\ ;'2'

b)

it0. l.'. I i

Teoria lui Mohr se aplici in cazul materialelor casante cu lezistente diferite ia lntindere

gi compresiune cit 9i in cazul materialelor ductile. in aceasta teorie, curgerea sau ruperea

materialului este influen{ata atAt Ce tensiunile tangenliale cAt gi de tensiunile normale care se

dezvolti pe sectiunea de lunecare. Dintre dezavantajele teoriei lui Mohr se mentioneaze:

- !ipsa datelor experimentale necesare trasir!i infaguritorii limita pentru diferite tipuri

de materiale;

- neglijarea influenlei tensiunii principale intermediare 6Z asupra curgerii

materialelor ductile gi asupra rezistenlei la rupere a materialelor casante;

- nu da o explicalie corecte a ruperii in cazul intinderii triaxiale.

12.8 Teoria Davddenkov-Fridman

Aceastd leorie admite ipoteza ci func{ie de starea oe tensjune din matreiai ruperea se

produce prin smulgere datoritd tensrunilor normale de intindere sau alungirilor, respectiv prin

lunecare datoritd tensiunllor tangentiale" Astfel, tensiunea normald de pe sec{iunea de rupere prin

smulgere se numegte tensiune limiti (rezisten!5) la smulgere iar iensiunea tangenliala de pe

secliunea de rupere prin lunecare se numegte tensiune limiti (rezistenla) de lunecare. Tensiunea

limita prin smulgere este egala cu tensiunea echivalenti a teoriei deformaiiilor-liniare specifice

maxime:

ol"r =or -r'(o2 +o3)

:

lo:I


Tr

Td^ri; d6 roricfonti

iar tensiunea limitd la lunecare este eqala cu tensiunea echivalentd a teoriei deiormalitlor liniare

specifice maxime:

-ototLrar' 2

Modul de cedare al materialului este influen!at de tipul stirii de tensiune care se evaiueaza

prin diagrama starii mecanice a materialului sau diagrama DavAdenko-Fridman, Acastd diagrama se

conskuiegte in sistemul de coordonate o'j.6 $i tru' Pe axa ordonatelor se flxeazi punctele

corespunzatoare tensiunii limiti de cui-gere (tru, =rc) 9i a tensiunii limita de lunecare (r.u, = r,)

prin care se duc dou5 drepte paralele cu axa absciselor (fig. 12.12), dreapta d2 respectlv Cr'

Sirnilar-, prin punctul corespunzitor valorii tensiunii normaie echivalente de rupere (o[r. = o.",..), se

traseaza dreapta d1 paralela cu axa ordonatelor care este inclinata spre dreaotd. deasupra limitet

de cui'gere datorrta cr-egterii rezistenlei la smulgere odati cu aparLlra curgerit.

Fiecare stare de tensiune este deflnita printr-o dreapta care trece prin criginea axelor cu

panta:

r-,. 6 -61" - o.. 2lo r'1o, - o, rl

in raporl cu valorile oi,02,o1,\r, dreapta are urrndtoarele pozilii distincte:

1) intersecteazi intii dreapta d1, deci ruperea se produce prin smulgere firideformalii plastice;

2) intersecteazi intii dreapta d2 gi apoi dreapta d1, deci ruperea se produce prin

smulgere dar in prealabil apar deformalii plastice;

3) intersecteazS intii dreapta d2 gi apoi dreapta d3, deci ruperea se produce prin

lunecare dupi aparilia deformatiilor plastice.

T""' IT

_liu.ch = ue.f.r

Fi9.12.12

319

320 Tecni de rezistenta

Daca prin procedee divei-se se modiflca caracterrsticile materialului (t.,t.,v)care conduc la

marirea valorii tensiunii echivalente la smulgere o!.r,, dreapta d1 se deplaseazi spre dreapta iai"

linia 1 va rntersecta intii dreapta orizontala d2, in consecin!5 se modiflca modalitatea de rupere a

materialului, acesta cedeazi prin smulgere dupd ce in prealabil apar deformalii plastice din lunecare.

Aceiagi modalitate de rupere se ob{ine daci tensiunea echivalentl la smulgere ol.n, igi pastreaza

valoarea dar se micqoreaza tensiunea limili de lunecare t.. De asemenea pdstr6nd caracteristicile

materialului gi crescind panta dreptei 1 prin modificarea raportului dintre tensiunile principale

o1,02,o: se ajunge la aceeagi modalitate de cedare.

in concluzie, modul de rupere al unui material poate fi dirijat modificind caracteristicile

mecanice sau raportul dintre tensiunile produse de fo(ele exterioare. Diagrama DavAdenko-

Fridman are urmitoarele limite:

- exprima aproximativ dependen{a dintre modul de cedare al materialului 9i starea Ce

tensiune dat5, deoarece tensiunea limiti de curgere gi tensiunea limiti de rupere nu sunt

rnirimi constante pentru orice stare de tensiune;

- stirile de tensiune nu poi fi reprezentate prin Iinii drepte dupa ce tensiunile

dep5gesc limita de curgele.

12.9 Sinteza teoriilor de rezisten!5

Cercetirile experimentale privind modalitatea de cedare a materialelor eviden{iaza faptul ca

ieoriile de rezisten{i au un domeniu diferen{iat de aplicabilitate. Atrnger-ea stbrii limiti depinde atAt de

natura materialului cAt 9i de tipul starii de tensiune din punctul analizal, Astfel pentru un material

casant atingerea stirii limiti coincide cu apari{ia fisurilor gi cedarea prin smulgere datoritd tensiunilor

normale sau deforma!irlor liniare de intindere. in cazul unui material ductil, starea limiti coincide cu

starea plastica care conduce la apari{ia unor deformalir permanente vizibile carte evidentiaza

curgerea gi cedarea prin lunecare sau forfecare, Aceste concluzii conduc la ideea ca teoria a-l-a gi a-

ll-a reflectd mai bine comportarea matenalelor casante iar teoriile a lll-a gi a V-a comportarea

materialelor ductile,

Modalitatea de cedare a materialului 9i starea de tensiune de pe sectiunea de rupere

este luati in considerare cel mai riguros in cazul teoriei stirilor limiti a lui Mohr, Pentru

materialele ductile, in analiza stirii limiti dintr-un punct se indici aplicarea teoriei a V-a, a

energiei potenliale specifice de varialie a formei sau a teoriei tensiunilor tangenliale maxime

{teoria a lll-a), Difereniele rezultatelor ob{inute prin aplicarea celor doui teorii sunt mici, ceea ce

conferi o aplicabilitate mai largi teoriei a lll-a, datorita formei mai simple de exprimare matematicS.

Teoria l.a di rezultate apropiate de cele oblinute pe cale experimentali pentru

materialele la care starea de tensiune este de intindere gi in special de intindere triaxiali

uniformS.

Teoria a ll-a, se aplici in special in cazul materialelor casante.

Teoria a lll.a da rezultate apropiate de cele obtinute pe cale experimentali atit pentru


Teorii de rezistentd

materiale ductile cit gi pentru materiale casante, in nrod cieosebit in cazui starilor plane de

tensiunecuexcepliasolicitirilorapropiatedeintinderesaucompresiunebiaxial5cU o1 =6r.Teoria a lV-a se aplici in cazul materialelor ductile dar are o aplicabilitaie redus5, avind

o importanla mai mult teoreticS. Aceasti teorie constituie supor"tul teoretic pentru teoria a Vja

de rezistenti.

LcgenCa

-

tecria l-a

-^^/i. ll.

-{}- lvu ta ill d

--o- Lcu td nt

Fig.1213

Teoria a V-a este aplicabi15 materialelor cu proprietili plastice pronuntafe.

321


laa Teorii de rezisten!5

Pentru teor-iile starilor limrta condi{!a de rezistenti are o formS de exprimare unica

unde expresia tensiunilor echivalente depinde de teoria de calcul utillzata" Analiza teoriilor stlrilor

limitA conduce ia concluzia ca pentru acelagi materiai gi aceeagi stare de tensiune se ob{in rezultate

dtferite, Acest lucru este evidentiat in figura 12.13 unde sunt reprezentate domeniile de rezistenti

pentru cele cinci teorii clasice de rezisien{a, in cazul particular al starii plane de tensiune, in cazul

materialelor ductile.

Daca punctul (ot,oz) se afla in exteriorul infSguritorii exterioare (zona haguratd orizontai)

rezisten{a maierialuiui a fost depagita dupa toate teoriile, acest lucru duce la ruperea elementu!ur

solicitat.

intre cele doui curbe infasurStoare (zona neha$urata) se afli punctele siSrilor de tensiune

incerte. care d,rpd unele teorii indeplinesc condiliile de rezistenla iar dupi allele. nu. De exemplu

punctul N41 de coordonate (o'; o'") reprezinta o stare de tensiune unde condilia de rezisten{a este

inCepliniti numai dupa teoria a il-a ln timp ce pentru celelalte teorii aceasta stare este periculoasS.

Cea mai mare incertitudine apare pe diagonala forfecarii pure (o1 =r, oz =*r), in zonele delimitate

de curbele infaguratoare exterioare gi interioare (inlre punctele h-l gi a-k) unde rezultatele obiinute

dupa cele cinci teorii de calcul prezint) diferenle semnificative, in punctele de intersec{ie a curbelor

ce delimiteaza domeniile de rezisten!5 cu axele sistemului de coordonate ia,c e,g) corespunzbtoare

starii de tensiune de intindere gi compresiune centrica, rezultatele date de teoriile de rezisienta se

suprapun iar condilia de rezisten{a este unica:

6ra^'oo

Daca punctul de coordonate (oi,oz) pentru o stare de tensiune dati se afli ininteriorul suprafetei delimitate de curba infiguritoare interioari (zona hagurati vedicali,

condi{ia de rezistenta este indepliniti dupa orice teorie.

Pentru starea plana de tensiune, siguran{a maximi este dati de teoria a lll-a cu exceplia

cazuriloi' aproplate de intindere gi ccmpresrune biaxialS (zona cuprinsi intre col{ul pitr-atului 9i cur-ba

teoriei a V-a). Concluziile cu privire ia teoriile de rezistenla se refera numai ia materialele care

pot fi considerate cu suficienti aproximatie izotrope. Pentru materialele anizotrope (cazul

lemnului) relaliile de calcul stabilite pentru verificarea rezistentei nu pot fi aplicate.

Rezistenta materialelorRezrstenia matenalelor

Innnr,nio.oc nlrn6 n, r +nai t;idra.161,ur,o uJ 'ui \e

13

TNCCIVOIEREA PLANA CU FORTA TATETOARE

13. 1 Genel.alitigi" Defini{ii

0 bari este solicitata la iricovoiere plani cu forli tiietoare atunci cand in oricesectiune, eforturile sectionale diferite de zero sunt rnomentul incovoietor 9i forla tiietoare iarpianul incircirii include una din axele principale centrale ale sectiunii . La aceasti sclicitarevectorul for.la lSieioare este dirijai ciup5 axa pr-incipali cenlrala inclusi in planui secliunii iar vectorul

moment incovoreior ciupi axa principala ce nlraii ortogonaii pe aceasta (flg. I3 1).

.[;, iv,l

R;

?11

h]. _r ; [1=-t'Ju 1--,-.- r,>-5-Z

Fig.13.1

Qo^f 1-1 Sect: 2 - 2

13.2 Starea de tensiune

Se considera o barZ cu sectiunea constantd in lung, solicitati la incovoiere plani cu fcrla

taietoare. Planul incircArii include axa principalS centrald ,,2". Pe fa\a din dreapta a unei sec{iuni

curenie ac!ioneaza vectorii eforturilor seclionale: for{a tdietoare V' gi momentul incovoietor Mr,

linAnd seama de relaliile de echivalen{5 dinke tensiuni gi eforturi sectionale, rezulta ca pe seciiunea

iransversali a barei momentul incovoieior genereazl {ensiuni normale o, 9i fo(a tiietoare tensiuni

tangenliale. in punctele unde nivelul a-b intersecteazd conturul secliunii tensiunile tangenliale sunt

dirijate dupa tangenta geometricd Ia contur (flg. 13 2-a) flind notate cu r.,x, Conform principiului

dualitalii lensiunilor tangen!iale in planul longitudinal ai elementului se ciezvcli5 tensiuni tangen{iale

ecale gi de acelagi semn tr.,..

a) b)

r-rg. lJ.l

Dupd efectul pe care ii produc asuDra barei, tensiunile tangen{iaie din planele longitudinale se

numesc tensiuni de lunecare iar cele din planele sec{iunii transversale tensiuni de fodecare.

Tensiunile tangen{iale din planele sec!iunilor longitudinaie gi transversale genereaza deformalii

unghiulare y drept urmare unghiul ini!ial drept dintre planele sec!iunilor kansversale gi planele

fibrelor longitudinale se modificS. Deoarece lunecarile gi in consecin!5 deforma{iile unghiulare sunt

diferite pe inal[irnea sectiunii, rezuliA ca aceasta se deplaneazS, deci nu se mai respecti ipoteza lui


1'

incovoierea planS cu fo{5 tlietoare 325

Bernoulli (flg 13.3-b) Atunci cAnd in nlanul suprafelei laterale nu sunt aplicate inclrciri, lunecarile

din planul flbrelor extreme sunt nule.

Pentru a studia fenornenul deplanbrii secltunilor se detageazd dintr-o epruveti confeclionata

din otel un tronson elementar de lungime dx, delimitat de sec[runile 1'1 si 2'2' Daci epruveta este

solicitata la incovoiere plana pur5, dupa deformare, seciiunile rbmAn plane gi normaie pe axa

elementului, rotindu-se in jurul axei neutre in pozitiile 1'- 1' respectiv 2'* 2'. Epruveta flind solicitata

ia incovoiere pland cu forli taietoare, pe langa rotirea secliunilor generaia de aciiunea momentuiui

lncovoietor, se ccnstatd gi o deplanare a acestora ca urmaTe a deforrna{iilor unghiulai-e produse de

tensiunile tangen{iale. Asifel dupa deplanare, seciiunile respectlve ajung in poziliile 1"-1" respectiv

L -l

2lI

flX

a) b)

iig, 13 3

intr-un punct curent al sectiunri {cu exceplia celor din nlanul neutru) existd o tensiune normalS

o, gi o tensiune tangentiali tr,,,

13.2.1 Tensiuni normaie

Secliunile transversale ale barelor soiicitate la incotroiere piana cu foriS taietoare deplanAndu-

se, nu se mai respecta ipoteza lui Bernoulli gi in consecinli relatia Iui Navier pentru calculul

tensiunilor normale nu mal este exacti. Considerind forta tSietoare constantA pe lungimea

tronsonului elementar dx. deplanartle de la extremitati sunt identice si in consecinld fibra ab aiungAnd

in poziiia a"b' (ftg.13.3). Atunci cAnd se respecta ipoteza lui Bernouili, fibra a'b'ajunge in pozilia

a'b' . Dacb se llne seama de efectul deplanarii secliunii, in cazul barelor lungi cu indl{ime mici

(!,,h > 5), diferen{ele dintre lungimile flbrelor a'b' 9i a"b" sunt neglijabile drept urmare, tensiunile

normale pot fi calculate cu relalia lui Navier:

ItI

:-- t\/rltr T'

326 incovoierea pland cu fo(d tiietoare

Astfel, se poate admite ci tensiunile normale au varialie liniari pe inillimea sectiunii cu

valoarea zero in axa neutri,

13.2.2 Tensiuni tangenliale

Valorile tensiunilor tangen{iale generate de fo(a t5ietoare care ac{ioneaza in planul sectiunii

transversale se calculeaze utilizand teoria lui Jurawski. Aceasta teorie de calcul se bazeaza pe

urmatoarele ipoteze:- sec{iunea transversali a elementului este constanta 9i incarcirile actioneazi in

planul de simetrie al acestuia. Peniru secliunea din figura 13.2-a, planul incdrcarii include axa de

simetrie ,,2", drept urmare, vectorul fo(i tdietoare Vz este dirijat dupa aceasta axi;

- direc!iile tensiunilor tangenliale totale rr* din punctele secliunii situate pe o

dreapta paraleli cu axa neutri se modifici continuu dar converg in punctul de interseclie al

supolturilor.componentelortangente la conturul secliunii. Pentru nivelul a-b situat la distanta,,2"

fa{a de axa neuti'5, in punctele .a" 9i ,,b", tensiunile tangeniiale totale tro sunt dirijate dupa langenia

la conturul secliunii. atunci cind incdrcirile din planul suprafelei iaterale a barei sunt nule, Sec{iunea

flind simeti-ica, dreptele suport ale acestora se intersecteazi in punctul .,P", situai pe axa Oz' De

asemenea in punciui ,,c" de pe axa de simeirle, tensiunea iangenliaia totaia rro ar-e direclia axei

principale centrale,,z". intr-un punct curent ,,M" de pe segmentui a-b, c0mponenteie tensiunli

tangen!iale totaie dupa direciiile axelor principale centrale sunt:

fry = Ttc, Slnry - f\lig0 $ irz = Ixo C0S0 (13.r)

unde cr esie unghiul pe care il face diieclia iensiunii tangen{iale cu axa principala cenirald Oz;

- componentele tensiunii tangenliale totale paralele cu fo(a taietoare se consideri

distribuite uniform pe segmentul a-b, paralel cu axa neutra. Aceasta ipotezb este cu atat mai

apropiata Ce realitate cu cAt dimensiunea dupi direclia'z" a sec{iunii este mai mici in raport cu

dimensiunea dupi direclia 'y", Din triunghiui dreptunghic PCM se deduce cb tga = y1d, in

consecinla lensiuntie tangentiale rxy au legea de varialiel

- T", ..,0 (13.2)

Deoarece raporlul (rrr/d) =constant, rezultl ca tensiunile tangen{iale r, uariazb liniar pe

lalirnea secliunii, cu valori maxtme in punctele de pe contur (fig, 13.2a).

Legea de varialie a tensiunilor tangenliale t' pe indllimea secliunii se stabilegte scriind

ecua{iile de echilibru a rezultantelor tensiunilor care se dezvoltS pe fe{ele tronsonului de lungime dx

situat la distan{a,,2" fala de axa neutrd (fig.13 4-a). Pe sec{iunea cu abscisa,,x", actioneaza eforturile

seclionaie V. si My iar pe seciiunea de abscisa x+dx, eforturile seciionale V' gi lu4r +dlv1v, aiunci cand

fo(a taieioare este constanti (fig. 13.4-c). in consecinlS, pe fetele care delimiteazi tronsonul de

lungime dx. aalbbi aclioneaza tensiunile normale o, 9i tangeniiale trr. iar pe fata cc1dd1 tensiunile

Rezistenla materralelorRezisten{a materialelor

r3.4\

incoi,oierea plani cu fo(d tiietcare 327

ncrmale ox+dox Ei tangentiale trr. ln baza principiului dualitalii,

ac{iona iensiunile tangentiale tr, , ExprimAnd condilia de echilibru

ecuatia de proiec{ie dupa axa x rezulta:

N+fudx*f5dx-(N+dN)=0

pe fe{eie a&rccr gi bbrcjdr vor

a rezultantelor tensilnilor pr r,

(13.3)

t,,4

N

de unde se obline:

dX

ilg. iJ.4

0t\l^ lL f

-OX

fu - este rezuitanta tensiunilor tangenliale de lunecai-e de la nivelul a-ar;

N +dN

.i/

328 incovoierea pland cu fo(d tdietoare

- f6- este rezultanta tensiunilor tangentiale de lunecare de Ia nivelul b-br;

- ciN - este rezultanta tensiunilor normale do, de pe faia ccldd1, a cirei expresie este:

dN = JdoxdAA,

(1 3.5)

Ar fiind suprafa{a delimitati de segmentele ce1 9i dd1 . finAnd seama de rela{ia lui Navier, rela{ia

(1 3.5) devine:

Deoarece termenii oMo gi l, nu depind de pozilia elemenlului de arie se pot scoaie in afara

semnului inteqralei, cieci:

dMdN= i 'zdA

..' lu

dl.l dMu 1 , ,.I ZOAdx rix i. ,'yn

\/ aV,O,,r

tti^ lh --

1,,'J

(1 3.6)

(11,7\

(13.e)

n tvi .,

in care l- v - V. gr ^JzdA

= Srr . Mirimea Svr, reprezinta mor,"rentui static al suprafe{ei Ar in

raport cu axa neutra, Astfel relatia (13 7) devine de lorma:

dN _ V.Sl,r

dx l,

inlocuind reia[ia (13 8) in relalia (13.4) rezultS:

(1 3.8)

Atunci cand nivelui de referin!5 b-br coincide cu extremitatea inferioard a secliunti

transversale. rezultanta tensiunilor de lunecare fu = 0 iar relalia (13.9) are forma particularS:

f^-# (1310)ly

in baza ipotezei distribu!iei uniforme a tensiuniior tangen{iale t*, pe la{imea sec{iunii,

expresia rezultantei tensiunilor de lunecare de Ia nivelul a-a1 este:


inco'.,:ierea plani :u {o(a tiiet:are

fu ='rrrb(z) sau rr, = 19- (13.11)' n(.)

impa(ind ambii termeni ai relaliei (13.10) cu termenul b(y) 9i !inAnd seama de rela{iile (13.'11)

se ob[ine:

.," = u&

'' b(z\|,

Avand in vedere principiul dualitSlii tensiunilor tangen{iale (r*. =r.r) se obline foi'mula de

caicui a tensiunilor tangen{iale stabilita de Jurawski:

Lt,.=i.rrrr] (1312)"- v

unde:

- Vz- este fo(a tdietoare din sec{iunea de calcui,- I, * este rnomentul de ine(ie axial al intregii sec[iuni in raport cu axa neutra,- S, - este nonertul stati:'n rapc:l 3J axa reJ:'i 3l Lsp'i1rii dt se:1rure c'-p:i:,sa inlr:

^i,'el.ll a-e' 1i extrenitatea rferirari a seciiuni:,- b(.) - este lalimea secliunii ia niveiul a-a1. situat la dlstan{a zfallde axa neutrS.

Observatii. Referitor la tensiunile tangenliale rr. se remarci urm5toarele:

a) semnul tensiunii tangeniiale t' coincide cu semnul fo(ei taietoare V,. ciin sectiunea

respectiva;

b) dupa determinarea componentei t*, cu relaliile (131)si (13.2). se poate siabili iegea de

varialie a tensiunii totale tro cunoscdnd legea de varialie a tensiunii tangentiale rrr;c) forrnula lui Jurawski, stabiliti pentru barele cu secliune constanti se poate aplica gi in

cazul barelor cu varialii lente ale sectiunilor;

d) pe sec{iunea transversali. tensiunea r.r, uariazA pe inallimea acesteia func.|ie de racortul

S, (z )/b(z). in fibrele exkeme ale sec{iunii, tenslunile tangen{iaie ryz sunt nule ( Sy = 0 )

Valorlle maxime ale acestor tensiuni se oblin la nivelul unde lSuiz)Lb(z)l=max Pentru majoritatea

formelor de secliuni utilizate curent, tensiunile rr. suni maxime in punctele situate pe axa neulra:

e) pe inallirea se:l'unirnir:nile \.f ;'l" sun: consl:'le 5 1^ ro^sec,'r!a reasrrr?3 r^z a'e

aceeagi lege de varialie cu raportul S, (z)/O(z);

fJ !inAnd seama de faptul ca braiul cuplului tensiunilor normale are expresia: h. =ly.'Sy,relalia lui Jurawski poate fi scrisi sub forma particulari:

r----r;_-]lT"- = .!lI ptzlnc

I

325

330 incovoierea plana cu fo(a taietoare

13.3 Variatia tensiunilor tangen(iale pe inilfimea sectiunilor de forme diferite

1 3.3.1 Secliunea dreptunghiulari

Pentru sec{iunea dreptunghiulara din flgura'1 3.5-a, se considerd un nivel oarecare,,a-b" ia

distan!a ,2" fa\h de axa principalS centrala ,,y". ln punctele 'a"

gi ,,b" de pe conturul secliunii

tensiunea totala r este tangenta la contur, deci este paralelS cN axa ,2".1n consecin!5 tensiunea

totalb t coincicje cu componenta t' deci componenta 'r*, este nuli. Latimea secliunii flind

constant5, func{ia tensiunii trrare aceeaqi lege de varia{ie cu cea a momentului static Su(z).

lncovoierea plana cu fo(a tdietoare 't? 1

in concluzie, tensiunile tangenliale 'i' variazi pe inillimea secliunii dr"eptunghiulare

dupi o paraboli de gradul al doilea. in fibrele extreme ale sec{iunii ( z=lhi2) iensiunile "ry- sunt

nule iar in axa neutrd (z = 0 ) au valoarea maxlmS;

- Vrh2i"z rax = .f, (13 1ar

inlocuind expresia momentLilui de iner{ie axial lu funclie de dimensiunile secliunii

dreptunghiulare (lv = bh3i!Z ) se obline:

| ,, ^a,

tensiunilor i,., de pe seciiune R", este o fc(a

12 t2R, .Jr,,lA- ft,,6d2-b Jt,,dz

A -h 2 -hi?

(13 15)

oaralelS cu axa z. a clrei

unde

h2 2'

l:,Or- 3r, -, \-carereprez,ntaariadiagra'nei r,-.

finand seama Ce aceasta. expresia rezullantei devine;

e, - 21., .,ph {13 1!1

lntroducAnd relalia (13.15) in rela!la (13.16) se obtine:

,?\/R--':"zbh-V-

Jl t\

F;rv,l

\.I .^ -r: matt /\r/ \

=--'I 1

'Lll'. /V

a)

Fig. 13.5

ConsiderAnd ca partea de sec{iune care tincie sa lunece esie

static S, (z) pentru aceasti suprafaiS este:

,r'tn

.7\'

II1lLl

"Ir/i T- ';l friX

v

t1'-__I l,

1.4ll*,]\J

7

2"t ? \/J v1 ! 17

2bh 2A

Rezuliania

marime este:

b)

po(iunea haqurat5, funclia momeniului

s rzr=u,!*z ill h,'r 1=!1 h -r, 1 r13 13;"lz -12t2.) 2[4 - )

lniroducAnd relalia (1 3.1 3) in formula lui Jurawski (1 3. 1 2) se obiine funclia tensiunii

tangenliale:

T rz, max

v,(n' -r)2ry | 4 )

Rezistenta materialelor Rezisten{a materialelor

'ncovoierea plana cd fo"la taieioare

deci rezultanta tensiunilor tangenliale de pe intreaga secliune este eEali cu forla tiietoare.

'13.3.2 Secliunea circulari

La distan{a ,.2" fa\it de axa neutra, se considere nivelul ,,a-b", Tensiunile tangenliale totale tro

din punctele de pe ccnturul secliunii din punctele,,a" gi ,,b" sunt diriiate dupa tangenta la contur (fig.

13,5). Suportul celordoud tensiuni se intersecteazd in punctul P de pe axa de simetrie verticald a

sec{iunii. Componentele tensiunii totale dtntr-un punct curent de pe segrnentul 5b in raport cu

tensiunea totatd 'rro sunt date de rela{iile (13.1). Atunci cAnd tensiunile tangentiale t' de la nivelui

a-b, se consideri uniform distribuite, paralele cu for{a tbretoare V,, se pot calcula cu formula lui

G

Fig. 13.6

;ui-av,iskl. Penii'u a evalua mcmentul static al suprafelei hagurate care tinCe sa !unece, se consiCeri

la distanfa z* de axa neutri elementul de arie:

OR. = b(.2- !z'

\'a

tt\U

fi1

Rezistenla materialelor Rezistenta materialelor

lnenvnio.pe nl:ne e', {nrti tStetcare

/\rrde o(z'J ?Rcoso,dz -Js1",* Rs:rqrcqgi z -Rsi:r1,,

Momentul static al p5(ii care lunec;, se exprrmA sub forma;

/ \ ^o,-!. ) ^^.i aor,rt' ,^, ?S'" {z J- 1z dA '- 2K- J \tr'tolcsp jtp - 2R'l - - - R'cos'u

A' e I 3 ,1, 3

l-a{imea secliunli la nivelul ,a'b"este:

or z) - 2R cos0

iniocuind relaliile (1317)9i('13 18) in r-eiaiia (13.12), rezulia:

a1t

v- t^1 )-f K-cos-Ht?

/111t-\

t1110\

(i319)- -- \', (2 3iRl cos3 6LXZj',-

io 2R cos e

Jindnci seama Ce relalia: cos2g-i*z2r'R2. se

iunctia:

ob{ine pentru tensiLrnea tangeniiaia r",

(13.20)

Functia ('13 20) fiind de grad11 doi, tensiunile tangenliale au o varialie parabolica pe inal{imeasec{iunii, flind nule in flbrele extremq (z = +R ) 9i maxime pe axa neutri (z = 0):

\/ ^v- ^ )

'xz.n'tax ? t ",,y

(13 21)

AvAnd in vedere ci moment111 de ine(ie axial lr, func{ie de raza R are expresia: lu =nRai4relalia (1 3.21 ) devine;

; --j u -rY!11':

-9rn1 !rla tensru\ir tangen!rale t' se determina cu relatia {'13.2) unde a are

. bh\ 2 Rcos0d-t' -tgry tgs

Legea de varialte

p vnrpc i a

airra la nivelul situat la distanla z

sec!iunii.valoarea 'naxina a lens urii

lr., = !e.u]l :tr 'l

faiS de axa neutra, tensiunile

t,, se obline pentru y =b(z)t2.

incovoierea plani cu fori5 tiietoare

Astfei expresia parametrului ,,d"

(13.21)

(13.22)

rru variazi liniar pe lStimea

(1 3 23)

'nccr.'cierea plana iu fc{i t5ietcate

13.3.3 Sectiunea dublu T

Se consideri o sec{iune dublu T, cu doua axe de simetrie, alcatujti din dreptirnghiur-i dispuse

paralel cu axa.,z" (inima) gi paralele cu axa.,y" (talpile). Ipotezele teoriei lui Jurawski sunt respectate

riguros pentru tensiunile tangentiale care aclioneazi pe inima seciiunii. Legea de variatie a acestor

tensiuni este dat5 de functia S, (z),/b(z) eviden{iindu-se doua cazuri:

a) pentru inima sectiunii, care este un dreptunghi ingust, la nivelul 1-1 , momentul static al

parlii care tinde sa lunece (partea haguratd a secliunii), ester

S, t,r,, S;:;ic; -Sy,n,*. -rrT )]t^ ;'

=9{n, -nt }.!f4-g 2ir4

33s334

Dar + a = + 8, ca unghiuri cu laturiie perpendiculare.

, Rcoso Rcos2 0

tgO sin 0

inlocuind rela{iile (13'19) 9i (13.21) in relalia (13.2) se obline:

vV-V-T"., - r,-' --' VKsrnU--:zyd 31, ' 31,

'[]-'');i]-., j=l.

-2L1

JinAnd seama de expres ile func{iilor tr, $i rxz, tensiunea totala intr-un punct cie coordonate

(y,z) de pe sec{iune este:

Valoarea maximi a tensiunii tolale se ob{ine in punctul ,,b" de pe conturul secliunii

yi u^ ' R 2 - z2 . 'elalia (1 3.24\ Cevine;

(13.24)

Pentru

Tensiunea totalS intr-un punct de pe segmentul ab este

, -'t1*:t'x& \'vy "xz

La{imea secliunii la nivelul 'l-1 este lt t(r,)=t;. Funciia Sr(21)it(21 ) in acest cazpafi.icular_-^^_,--^^t^-ll txtl lsld

b! {Zl b Lr| - th-L/-\ oi \J\LJ uri

_nli.;'.\_,,)

cdnd 0 < z1 <n fZ, deci tensiunea t' de pe inimi variaza pe inal{imea acesieia dupi o parabola

cie gradul c1oi. Func{ia tensiunii tangenliale r' se determini cu relalia Iui Jurawski:

.-. u, i , {,,., h2 )_ 1i n' _r? l,,r, '1,

i gt,',, t' t- Zl 4-11 il

cJ valoarea maxirna in axa neurra (z = 0).

, vr- o{nr-n, l-h'"IZ irax iy L8t, ' a I

b) pentru talpa secliunii, aplicand acelagi ra{ionament la nivelul 2-2 momentul static al pafiii

care luneca este:

s2, ;rzt-r(]-,,llli-',

' - ,r1=orl' t-U, ,

gi functia tensrunii tangen{iale dupi teoria lui Jurawski este:

- "t .iiR' -zt l'+z'vt31,

ut


.1.1fr lncovoierea pland cu fo(d tdietoare

11

h, hhunde :!<22<). cana 'r=i ,in extremitatea seciiunii rxz =0 iar cand

superioara a talpii tensiunea tangenlialS are valoarea:

.t)\V-lh' rlat I Ll/1., I + Iy\ ./

v, (n' hl)t I i- ;l-'v \ j

(3 2aa)

-kz2 - rr , Pe i3ta

Txz =

Distribu{ia tensiunilor tangen{iale t*, pe inallimea tilpilor este convenlionali, deoarece in

punctele de pe suprafe{ele laterale nu sunt aplrcate inclrcari. Conform principiului dualitatii tensiuniior-

larg:r1ale. ierriunrl: tr, :rebl c s5 fle nlle. Ca urrnare pe grcs:rea a'ipilc: lalpi . acesleJ a,-

dlskibu{ie parabolici cu valoarea nula in puncteie siiuate in planele suprafe{elor laterale inferioare gi

superioare ale acestora(fig. 137, nivelul 3-31, in consecin{a valorile tensjunilor t' evaluate cu

rela{ia Iui Jurawski sunt valabrle nurnai pe zona mnkl, pentru celelalte puncte de pe suprafa{a

acestora, rezultateie sunt eronate,

ililI

t2

&. *r,

a) 0)

Fig. 13.7

Pentru zona mnkl tensiunea tangentiala se poate calcula cu rela\ia (13,24-a\ deoarece functia

iensiunii nu depinde de lStimea par{ii care luneca.

De asemenea in zona de imbinare dintre talpa gi inima, existenta saltului brusc de li{ime a

sec{iunii, duce la existenla unei concentrari importante de tensiuni, care conduc la modiflcarea formei

diagramei de distribu!ie a tensiunilor tangen{iale t*r(diagrama prezentat5 cu linie intrerupiS),

valoarea calculatd in axa neutri cu rela{ra !ui Jurawski flind suflcient de exactS. in zona de imbrnare a


incovoierea plani cu fc(d taietcare

inimii cu talpa, profilul cedeazd dupd conturui n-e-m (fig. 13.7 b) Concenirarea de tensiuni se

diminueaza substan{ial cAnd imbinarea dintre inima gi talpa se racordeaza cu drepte s-au curbe,

astfel valoi'ile tensiunilor t' calculate cu rela{ia lui Jurawski pe lnallimea secliunii sunt apropiate de

-^ ^lir^+^icdl[dLc.

Forla tiietoare fiind preluatd in proporlie 6s $$+98% de inima secliunii dublu T, componenta

t*, de pe talpile acesteia poate fi neglijati. Atunci cdnd grosimea injmit este mici in rapcrt cu

celelalte dimensiuni ale secliunii, pentru determinarea tensiunii tangenliale t*. de pe inima se poate

utiliza relalia aproximativa:

fcrta t5ietoare fiind preluaiS integral de inima secliunit,

Se evioe'iqiazi astici iaptul c. pai'lile con"oor;i'i" ale se:i;ln i l;btu T a.; ;r ::l dl{eri: in

preluarea elorturilcr seclionale M, gi Vz Astfel tdlpile sectiunii au un rol imporiant in preluarea

momenl-rlLri inccvoieior M, (80*850"), acestea fiind siluate n ;ora tersiurilor n61n3;g o, maxin e

respectiv ura rol minor in preluarea for{ei t5ietoare (2*5%\,lnimra sectiunii preia aproape tniegrai foria

taietoare V, gr o cantitate nesenrniflcatrva din momentul incovoietor, intru-cAt in zona de distribulie a

tensiunilor normale o* maxime se aila o suprafatl relativ redusa a inimii.

13.3.4 Sectiuni cu pereli subliri

13.3.4.1.Sectiuni simetrice simplu conexe

in cazul barelor cu pere[r subriri solicitate la ]ncovoiere plani cu forla tdietoare se admit

urmatoarele ipoteze:

- tensiunile normale o, generate de momentul incovoietor se deterrnini cu relalia lui

Navier, deci se consideri ca este respectati ipoteza lui Bernoulli;

- tensiunile tangenliale produse de fo(a tiietoare V, sunt constante pe grosimea

peretelui secliunii, fiind dirijate dupl linia medianS;

- in calcul, secliunea se poate schematiza p:'in !inia mediana.

in cazul sec{iunilor dublu T, cu pereti subliri, simetrice, tensiunile tangen{iale r*, de pe inimi

sunt paralele cu fo(a tiietoare Vr. fiind distribuite parabolic pe inallimea seciiunii (fig. 13 8 - a). Pe

talpile secliunii, aceste tensiuni au valori neglijabile (paragraf 13.3.3), in schimb tensiunile tangentiale

trr, tangente la conturul acestora au valori semniflcative.

Pentru a determina tensiunile tangen{iale tru la nivelul ,,a-b", de pe ialpa inferioard, se

izoleazavolumul paralelipipedica,b,c,d,a',b',c'd'cudimensiunile y,t,dx.Pefe{eleabcddeabscisi

'x" 9i a',b',c',d' de abscisd x+dx, care delimiteazi volumul paraleiipipedic (fig 13 8 - b), actioneazi

337

JJO incovoierea pland cu {or1b ta;eroa'e

tensiunile normale ox gi ox +dox cu rezultantele N respectiv N+dN iar pe fa[a a,b,a',b', in baza

principiului dualitS\ii tensiunilor tangenliale, tensiunile de lunecare xyx cu rezuitania;

f1 = tyxt

Din ecua{ia de echilibru dupi axa x se ob{ine:

(13,25)

N+ldx-(N+dN)-0 (13.26)

Fig. 13.8

JinAnd seama de rela{ia (13.25)qi rela{ia luiJurawski, relalia (13.26)devine:

.dN) t1 -' dx

,c

i

hh

b)a)

Try

!'

Rezistenta materialelorRezisten!a materialelor

,nccvcierea plani cu f:15 t2ietc::e

(13.27)

cunoscuta sub denumirea de relalia lui Jurawski pentru barele cu pereti subliri.

Legea Ce varia{ie a tensiunilor t", de pe talpa sectiunii este datd de funclia :

nlt h -

hi r1 h,lSyr 'i 2 2 2 2--,,n-h;br I 4

deci aceste tensiuni vai'iazd itniar pe inal{imea talpii, iunc\ia tensiunii t*r, fiind dat5 Ce relaiia

'. =t*-f v(n+n )

norlrrr fl 1t<h,e tvelnrlo - -'ln.r'lr;t z 0si r.r-,.-. '-,- ' 'l}-,y

Pe cealaltd jumatate de talpii, diagramra tensjunii tangen{iaie rxy este tot liniar5, cu semnul

schimbat, in concluzie pe secliunea cu profil dublu T, unde aclioneaza fo(a tiietoare V,

paraleli cu inima, pe tilpi se produc tensiuniie tangenliale rro distribuite Iiniar iar pe inima

tensiunile tangen!iale t' distribuite parabolic.

Schematizand secliunea barei prin linia niediana gi reprezenland valorile tensiuniloi'

tangenliale trr$i rxz se obtin diagramele cie variatie (flg 13.9- b).

Pentru secltunea dublu T analizaft, rezultantele tensiunilor tangen!iale de pe inimi Ei tdlpi

sunt egale cu volumul tensiuniloi- t*. respectiv r* de pe pa(ile respective (flg. 13 9 - c). Astfel

rezultanta tensiunilor tangenliale de pe inimA este:

unde Qr, reprezintd aria diagramei tensiunilor tangeniiale tr'.Rezultanta tensiunilortangenliale t*, de pe semitalpd este paraleli cu axa principala central6

y, firnd calculata cr rela{,a.

in care f)r,reste aria diagramei tensiunilor t' de pe lungimea 0r.

Analizand sensul tensiunilor r' de pe tilpi gi al tensiunilor t' de pe inima, acestea

lao

340 incovoierea pland cu fo(a taietoare

formeaza un flux continuu, denurnit flux de for1ecare (fig. '13.9 - a). Sensul fluxuiui tensiunilor

tangen{iale de pe sectiunea cu pereli sub{iri, se obline intuitiv utilizAnd analogia cu sensul liniilor unui

curent de lichid in migcare dintr-o conducta cu forma sectiunii. Sensul corect al fluxului tensiunilor

tangenliale se obtine cAnd sensul liniilor de curent din partea sectiunii paralela cu axa de

simetrie este acelagi cu sensul forlei tiietoare,Din analiza distribu{iei tensiunilor t' se observa cApe axa de simetrie a seciiunii. acestea au

valori nule. De asemenea, pe perelii secliunii paraleli sau inciinali fa!5 de suporlul fo(ei taietoare,

tensiunile tangen{iale au varialie parabolica iar pe perelii orlogonali aL; varlalie liniai-5.

c)

Fig 13.9

13.3.4.2 Sectiuni simetrice dublu conexe

Determinarea tensiunilor tangenliale dintr-un punct al secliunii se bazeaza pe observa{ia cd

tensiunile tangentiale de pe axa de simetrie sunt nule, cele doui jumatati de sec{iune, delimitate de

axa principala centrali 'y" au aceeagi tendin!a de Ceplasare, Ast,fei sec{iunea dublu conexd (fig.

13'10 a; se poate descompune in doua pa(i simplu conexe (CAD gi CBD ), pentru care tensiunea

tangenliali la orice nivel se poate determina aplicAnd formula lui Jurawski. Pentru nivelul a-b, parlea

care tinde si lunece se referd la suprafa{a delimitati de axa de simetrie z qi segmentul a-b.

Tensiunea tangen{ial5 la acest nivel se calculeaz5 cu relalia:

,r"=lPlly

unde Syr este momentul staiic in raport cu axa neutri al suprafe!ei delimitate de segmentul 'a-b" 9i

axa verticala de slnnetrie iar ,,1" este grcsimea peretelui sectiunii.

Rezisienta materialelor

.ncovoie'ea plari ci icib taietca;c

Atunci cAnd ambii pere[i ai sectiunii sunt sec{iona{i la acela5i nlvel (fig 1310 - b), in virtutea

simekiei, tensiunile tangen{iale de Ia nivelele a-b gi ar-br sunt egaie, deci:

" _w-:'xo n,

in care Sf-4, este momentul static in raport cu axa neutri al suprafe{ei hagurate, delimitatd de

extremitatea inferioard a secliunii gi nivelurile a-b gi a,-br, finind seanra de observalia cd in punctele

de pe axa neutrd (A si B), tensiunile tangentiale sunt dirijate dupd sensul suportului forlel tSietoare,

se deduce cu ugurinld sensul fluxului tensiunilor t,o de pe sec{iune (lg. 13"10 - c).

Fig 13,10

13. 4 Centru de incovoiere-rasucire

13.4.1 Sectiune robusti cu o axa de simetrie

Se considera secliunea robusti de formd oarecare (flg.13.1 1- a), nesimetrica in raport cu axa

principala centralS,,z" inclusi in planul de acliune al fo(elor dar simetrici in raport cu axa principalb

centrald ,,y". in acest caz datorita simekiei secliunii in raport cu axa,,y" a sec{iunii, componentele rxv

ale tensiunii tangenliale totale r"o se autoechilibre azh, rezullanla lor flind nul5. in schimb rezultanta

tensiunilor tangen!iale elementare r*rdA nu mai trece prin centrul de greutate al secliunii, fomAnd

un sistem echivaleni cu for.[a iSietoare V, . l,45rimea fortei rezultanie nu depinde de pozi[ia in plan a

punctului ln raport cu caTe se realizeaza reducerea sistemului de fo(e. Fo(a rezultanti este paralel6

cu planul incdrcirii, flind egali cu rezultanta tensiunilot-tangen{iale elernentare de pe sec{iunea

341

tl


elementului

insa marimea momentului rezuitant;

M' =R'Y'

este dependent de pozilia punctului in raport cu care s-a realizat reducerea sistemului de fo(e (y.)

in concluzie, exista un punct in planul secliunii, in raport cu care momentul de torsiune

rezultani lv1* al fo(elor tangenliale elementare cuprinse in planul secliunii este nul' Acest

punct este cunoscut sub denumirea de cenku de incovoiere-rasucire sau centru de forfecare.' in baza acestui ralionament, centru de incovoiere - rasucire, se definegte ca fiind punctul

din planul secliunii, prin care trece rezultanta tensiunilor tangenliale.

finAnd seama de faptul ci atunci cAnd planul fo(elor include acest punct, elementul este

solicitat numai la incovoiere plana cu forii taietoare, centru de incovoiere-rasucire, poate fi definit

ca punctul din planul sec!iunii prin care trebuie sa treacl planul fortelor pentru ca elementul

si fie solicitat numai la incovoiere plani cu fo(i taietoare.

s)i '

r-dA

v

lz

Fig. 13.1 1

Secliunea fiind simetrici in raport cU axa ,,y", centru de incovoiere - rasucire se afla pe axa,,y",

Y,

ttsl/fi//re/ /IV_i /t-)tj/rr' i ic

f

' M, - 1 f{t ,-' u)dAYc -i - , J\Lx,vLT Lxzlvr v1 A

pozi!ia lui fiind daib de relaiia


(1 3 28)


I nccvcierea plana cu jgE iilqlqg

Determinar-ea poziliei cenkului de incovoiere-risucire la secliunile robuste, necesitacunoa$terea funcliilor componentelor tensiunilor rrz gi r*y, care constituie o problemd complexd a

Teoriei elasticitalii. De aceea, problema centrului de incovoiere-rasucire nu a fost rezolvati decdtpentru cazurile simple ale sectiunilor robuste: semicerc. triunghi echiiaterai, etc,

13.4.2 Sec!iune cu pereti subtiri cu o axi de simetrie

Pozilia centrului de incovoiere-rasucire in cazul sectiunilor cu pere{i sub{iri, se poatedetermina prin metode de calcul bazate pe definilia acestuia, astfel:

a) oaci sectiunea este de forma oarecare, pozi{ia centrului de incovoiere rasucire (},.,2r), se

cieierrnina luand in considerare succesiv cazul cand planul fo(elor include axa principala centrala ,,y",respectiv ,.2", Pentru a eviden{ia acest proceCeu de determinare a pcziliei centrului de incovciere-rasuctre. se considera o sectiune cu pei-ete sublire variabil t(s), sinretrica in rapc( cu axa,,y"(f1g.13.11, b). Sec\iunea fiind simetrici in raport cu axa.,y", centrul de incovoiere-rasucire se afli pe

aceaste ax5, avAnd coordonatele (0,;t.). finand seama de prima definl{ie. rezuitanta tensluniicr

tangentiaie R". trece prin centru de incovoiere-rdsucire, daci:

l/,={r1(s)tdA=0A

Exprimanc tensiunile t cu i"ela{ia lui iurawski, dedusa pentru elementele cu per-e!i sublirise obiine:

v-s,.lsl \ijr1(s) 'i dA - "/ {ttsrsr{s rds - 0

A r\s /ry ,y ,

unde s'a {inut seama de faptul ca: dA=t(s)d(s) Avend in vedere faptui ca raporlul V. lo +0,rezulti

.14.1

Jn(r)s, tr!r = o (1 3 29)

din care se determini abscisa yr. Atunci cand grosimea peretelui t(s) este constantd pe po(iuni,

integrala din relalia (13,29) se poate inlocui cu o sumi pe subdomenii, produsul r1(s)t(s) nino

constant.

b) linind seama de a doua defini{ie a centrului de incovoiere-risucire gi avdnd in vederefaptul ca rezultanta tensiunilor tangen{iale de pe sec{iune R", este egal6 9i cu acelagi sens cu for{a

taietoare Vr, conform definitiei, aceasta are punctul de aplicalie in cenkul de incovoiere - risucire,Deci rromentul fa{a de orice punct din planul secliunii este egal cu momentul for{elor tangen!ialeelementare. Atunci cAnd punctul ales coincide cu centrul de greutale al sec[iunii, se obline:

incovoierea pland cu forld tiietoare

VzVc = M,

deci:

11y. -- ,' JrtsirdA - - jr(stsrls)ds

vz A 'y t

rela{ie echivalentd cu (13.29)

0bservatii:o centrul de incovoiere - rdsucire este o caracteristicd geometricS a sectiunii. Acesta nu

depinde de incircarea exterioari, ci numai de geometria secliunii elementului:

o daci secliunea are Coui axe ortogonale de simetrie, centru de incovoiere-rasucire

coincide cu centru de greutate:

o dacl sectiunea are o axa de simetrie, centru Ce incovoiere-rdsucire se afla pe aceasti

axA,

o atunci cAnd seciiunea este alcatuita din mai multe dreptunghiuri inguste a caror linii

mediane sunt concurenie inir-un punct. centru de incovoiere-rlsucire coincide cu acest punct ( fig.ia ta ^ ^\.t,) | I a-l,t

i.covoietea plana cu {o(d t:ietcare

ln cazul sec[iunii din figura 13.'13, bara este solicitaiS diferii. funclie cle pozitia planului fc(elor(paralel cu axa elementului) fa!5 de axele principale centrale de ine(ie B 9i 6 astfel:

o daci linia fo(elor este C - tl (fiS. 13.13 -a) sau C - 6r (fig. 13.13- b), secliunea este solicitati

la incovoiere planl (in jurul axei s) cu fo(i tiietoare (Vs +0 9i \,{6 *0)respectiv in jurul axei p

(V51+0 9i M'. +0);o daci linia de acliune a fo(elcr este G - a (fig. 13.'13 - c), solicitarea este de incovoiere

plana (in jurul axei B) cu fortdtdietoare 9i toi'siune ( V5 *0; Mp + 0 9i Mr r0),o dacd linia for{elor este dirijatd dupd axa yr (fig. '1312 - d) sau zr (fig 1313- e), sec[iunea

este solicitati la incovoiere oblica cu fo(5 taietoare (V5 + 0 qi Vs + 0 respectiv M5 + 0 qi

\4U + 0);

J+3344

o daci linia for{elor este G - z (fig 13.13 | sau G -soiicitatd la incovoiere oblica cu for{a tiietoare gi torsiune (Vi *0;l,l" +0).

y (flg 13.13- g) secliunea este

Vs+0, \{5*0; Ms+0 gi

\F

\

llIJLlt |=.i.+r r---r-' -_l il

a) b) c)

Fi1.13.12

o cunoa$ierea poziliei centruiui cie incovciere-rasucire, pentru sectiunea unei bare,

precizarea corecti a solicitirii acesteia (Ag. 13.12);

o in cazul sec{iunilor cu pere{i subiiri de tip inelar deschise cu unghiul la centru 2qo

de incovoiere risucire se afli pe axa de simetrie (fig. 13.12 -d) gi are abscisa,

Yc =2Rsin q6 - (q6 -;r)cos <ps

n-q0 +srnq0cosq0

(-

I

t,

g)

F

p3lld)

permite

centru

Fiq.13.13

AXiltr-1

Si se determine pozilra centrului de incovoiere+Ssucire penku profilul i prezeniat in figura 13.14.

Rezolvare

Se consider5 secliunea cu prcfil ] pe care aclioneaz5 fo(e Uietcare \/, > 0 FlLrxrLl tensiunilor tangentiale $i

C stribula lor pe seclrune sunt prezentate in figura 13,14 a, b. Rezultantele tensiunilor iangenliale de pe tdlpi sunt:

,l t,f

ii-'L


fr

J4b incovoierea pland cu forti taietoare

sau linAnd seama de rela{ia Iui Jurawski

., t"u""rbtv,= -

2

,. v,(brh 2)bt v,b']hr

tt 2 41 .v!

(1 3 30)

T*v ru,

AttTr.

"u,

zla) b)

-i^ a1llr tg. iJ. ra

V, =Jr,,dA=V-

Rezultanta tensiunilor 'r*, de pe inimS este

Not6nd cu yc distanla Ce la axa,,z" la centrul de incovorere-rdsucire $r cu a distan{a de la extradosul profilului

la centru de greutate, momentul de torsiune rezultant in rap011 cu centru de incovoiere-rdsucire are elpresia

M, =V(y, *a)-Vlh=0

Jindnd seama de relalra (13,31), rezultS:

v"-1{v-a.-,h) ,13.32)v,

inlocuird rela{ia (13.30) in relaiia (13.32) se obline.

h2bt

4t

AXIII-2

Si se Celerrntne pozilia centrului de incovoiere-rasucire pentru sec{iunea inelarb cu profil deschis prezentatd

i. rrg.ra 13.'5.

in cazul secliunii inelare deschtse cu grosimea peretelui constantd t 9i raza medie R, peniru deierminarea

poziliei centrului de incovoiere+Ssucire se aplica rela{ia (1 3.29), AnalizAnd ge0metria secliunir se observd cd:

Rezolvare

SAU

de unde rezultl cd:

n(s)=R+y.cosq, v=Rsin9, ds=Rdq Ei dA=tds=Rtd<p

R

(1 3. 33)

rR,

T r

a)

Fig. 13.'15

Momentul siatic al pd(ii care lunecS (zona hagurata) se determini cu relatia

su (s) = s, (n- ) - {.on - R'tl s'n,od'p - R't(1 - cose)

fin6nd seama de relaliile (13,33) ei(rsl+) reraia 1lr.zn;orr,nu'

2rj (n + v" cos o)nt2 (1 - cos q)Rdco = o

0

2a

iiR - v cos,n)tt -coso)dro - 0J' ':a

'" Hf -l n?rr-cos.or

/7.=v7iil

1\-\v. \i

I--/

Yrl

b)

(13 31)

v" -2R

Legea de varralie a tensiunilor iangenliale este datd de funcl a tensiunii tangen{iale

(13 34)

Rezisten{a materialelorRezisten{a matenalelor

/i 2 2F\

i'r4o,nentul Ce ine(ie axial al sec{iunit inelare deschise este:

2ar r-2rr rnr,^'^2.^Jq_rR3t (13 36),r-1., -Jr\rsrr\^

inlocuind relalia (13,36) in rela{ia (13.35), funclia tensiunii tangenliale are expresia.

,^,- f('-coseJ;iKI

cu valcrile caracleristlce:

o Pentruq=0 = tro-0,

tr oeTllJO=;2 ) I,o *.

c Pentru q=r :5 ,r"-* =*,

: Penl'eQ-2;r - to-0.

Diagrarna tenstuniiortangenltale qJ fluxul lor pe secliune este repfezeniat in figura 13. 15 b.

AXill-3

Sd se determine pozr{ia centrulu de incovoiere+isucire pentru sectunea cu pereli subliri oata in flgura 13.16

a

10t

.,ltl

o

10t

O-

Fig.13.16

I

zl

b)a)

1niFl-"=


13 11.


inccvoierea plana cu fo(a tlietoare J4v

ffqzq!yqre

Seciiunea fiind simetrici in raport cu axa ,,y", centrul cje incovoiere+Ssucire se gdsegte pozilionat pe aceast6

ax5 (zc -0), Pentru a determina pozi{ia centrului de incovoiere-rasucrre este necesar s6 se calculeze valorile

tensiunilor tangen{iale in punctele caracteristice ale sec{iunii gi se se traseze diagramele cle variatie ale acestora

{fis.13 16 -b),

Valorile tensiunilcr tangenliale drn orice punct al seciiunii se determrn5 cu relalia iui Jurawski. La nivelul ,2-2",

v6ls3rs3 lsn5.gri. langerlisls s519

r,-. - v s;-'

- V, ,.,r 1r,i r<.5tr- 21)1lt

\r.;r, rl, ly

La nivelul 3-3, care ccincide cu axa neutr5, tensrunea r arevaloarea.

\/c" .' 11Ai1t2t " -

-!- tt1t1'l'1r:-10 ^:,5:t-'tl," r,

Rezultanteieiensiunilcrtangenlialedepeinimasecliunii !gi depearipi V, secblincurelalrle

V, =o.th =ir'-'ti *13"",-r,-,)th l=,uuru'' !J _ 1,

respectiv.) ^^ .\/

V, - o h.r'-r' h.t-'999,41'-3 l.

Suportul rezultantelor tensiunilor tangeniiale de pe aripile sectiunii (V ) se intersecteazd pe axa de simetrie a

sec{iunir in punctul B. ConsiderAnd ca for{a tietoare trece prin centrul C de forfecare al sec{iunir, r'nomentul de

torsiune dat de rezultantele tensrunilor tangenliale in raport cu acest punct este nul, deci:

(1 3.37r

2V,(yu *y.)sino=Vy" =

2Vd-VY" -[

frnAnC seama Cefaptui cd 6 = (y, -y.)srna, relalLa 113 37) devine

2V, sin alvL slng+ v

AXilt.4

2 r i999,41" lV, l, )sin45'

2 x 1999,4t4 (V..''ly )sin4s" + 4908,7t4 (V,, l, )x10t = 1,89t

Si se determine pozilia centrului de incovorere - rasucire penlru profilul dublu T cu tSlpi inegale din frgura

Rezolva re

Sectiunea fiind simetricd in rapoil cu axa principali centrala ,,y", centru de incovoiere-rasuclre se gaseqte

pe aceasta axd (y. -0). Cand planui incarcirii include aceastd ax;, elementul este sclicitat numai la incovoiere

plana cu fo(i taietoare in jurul axel ,,y". C6nd incovoterea se produce in jurul axei ,,2", pentru ca elementul sa fle

solicitat numai la incovoiere planb cu fo(d tSretoare, efortul sec{ional V, trebuie sd treacl prin centru cje incovoiere-

rasucire .C", care se aflS poz{ionat la distanla z" fa\b de punctui de interseclie al linlilor mediane ale inimii 9l tdlpii

superioare. in acest caz, cAnd inima sec\iunii este suficrent de ingustS, fo(a tdtetoare se consldera ca este preluata

numai de talpile secqiunii, tensiunile tangen{iale t,u de pe tilpi flind distribuile parabolic, deci:

(1 3 38)

unde V, este rezultanta tensiunilor tangenliale de pe talpa superioara iar V2 este rezultanta tensrunilor tangen[iale de

pe taloa tnfe|oara. Atunci cAnd suporlll fc(ei tdietoare V, trece prin centru de incovotere-i'Ssucire ,,C", momentul de

rorsiune generai de rezuliantele tensiunrlortangeniiale rie pe iilpiie secllunii este nul.

Vr(h-2.)-v,2. -o

ln consecin{a linand seama de rela{ia (13.38) pczitia centrului de incovo ere-rdsuctre este dat de ord0nata

,. = J-6='!-.6' V, rV- Vv

Rezultanta tensiuniicr langenl ale cle pe taipa inferioarS se caicuieazS cu relalia

I

hh

t13 39)

(13.40\

tlbz

a)

Fig. 13. 17

Z I rutt: ret

b)

Valoarea maxtmi a tensiunii tangenilale de 0e talpa inferioari a secilunii este:


incovoierea plan_5 9{ot1a lgglgtr 351

" VS,,

-V ,o -b- -u.,0.trl, t.t-t'' z 4) d,t"'

inlocuind rela[ia (13.41) in rela{ia ('13.4C), rezulta:

v ".V2 .Z rir: \13 42)

frn6nd seama de relalia (13.42), relalla (13.39) devine:

."=!5nul!

Neglijand momentui de iner'!ie al inimr . expresia momentulu de rne(ie axial ai intregii seclirni i, este.

, t,bi t,bjtt - 12

i-a1

de:', o'dorata certrull oe''ccvoiere-ras,cire a e elp'esta.

.r i 5'a-h-'

2 lr.O: r_oi )

$, d =:, se obline:t2

h

'-68',

(13 41)

h.NotandcuB=--'b2

Panicula'izbro relalra 1r 3 43; se obline

o cdnd 5;- gi B+-= z"=0,decicentrudeincovotere+5sucrreseafldlarnterseclialiniilor

medrane ale inimli gi lSlpii superioare, secliunea are forma de T;

o candE=1 qi B=1 = z. =h/2,decicentrLrdeincovoiere+asucrrecoincrdecucentrudegreutatealsecliunii, aceasta flrnd de forma dublu T,

13. 5 Tensiuni principale. lzostatice

Se ccnsideri bara in consoli, cu secliune dreptunghiulard constante din figura'13.'18,solicitati la incovoiere plani cu fo(a taietoare. Pe sec{iunea transversald a elementului se dezvoltd

tensiuni normale ox $i tensiuni tangen{iale rxz. Tinand seama de faptul ci tensiuniie norrnale o.2 'in

teoria Rezisten{ei materialelor se neglijeaza (oz =0) starea de tensiune dintr-un punct situat in

zona intinse a sec{iunii curente, este caracterizata de tensorul tensiunilor:

a- - I

- uI Lxz)t-=t I" ]tr, o l

f, , \,tt\6llxzl,X l- --

incovoierea plani cu forti lSietoare

Funcliile tensiunilor normale gi tangenliale dintr-o secliune curenta, suni date de reiatiile:

$r(13.44)

Analiz6nd relaliile (13.44), rezulti cd tensiunile normale 9i tangentiale variaza atAt pe

inal!imea secliunii cAt gi in lungul elementului, tensiunile principale flind diferite de la un punct la altul- Cunoagterea tensiunilor normale 9i tangen{iale din orice punct de pe suprafaia secliunii nu

este suficienta, deoarece acestea nu reprezintl intotdeauna valorile maxime ale tensiunilor din

punctele considerate, Din aceste motive este necesarb analiza starii de tensiune din jurui punctului

pentru a preciza valoriie 9i direc{iile tensiunilor extreme care iau nagtere din actiunea forleior

exterioare.

Pe o secliune inclinata care trece prin punctul analizai, precizaid prin normala care face

unghiul u cu axa,,x" se determind cu rela{iile (5 10) gi i5 1'1), care devin in cazul prezentat:

o- o.

". = ]+] .os2rx+'r' sin2u gi tn, - -asin Zcr'+ t,rcosla

Valcrile tensiunilor normale principale dintr-L;n punct, se calculeazl cu relalia (5.'14) care in

acest caz oarticular devine:

c't,z = (13 45)

direcliile acestora fiind precizate Ce relaliile (5.12) sau (5.25) care au forma particulari

lncovc e'ea plani c'; fc(i tairtoa"e JJJ?(,

tq2u =- 6"

" Zrv(13.4e)

u1 ur_:f-r_i-

Determinarea valorilor gi direc{iiior tensiunilor principale, normale 9i iangentiale dintr-un punct,

se poate reaiiza cu ajutorul cercului lui Mohr, cu ecuaJia:

(1 3.s0)

Tratectoriile iensiunjlor normale principale o1 gi o, formeaza doua famllii de curbe

oi-togonale intre ele, a cdror alura depinde de mcdul de incarcare gi i'ezemare cdt gi de geometria

secliunii transversale.

Pentru bara in consoid din iigura 13.18, solicltata la incovoiere plana cu for!5 tSletoare, serealizeaza analiza stdr"ii de tensiune intr-o sectiune curenti'x"in punciele A, B, C, Br gi Ar de pe

inallimea sec{iunii. Din jurul fiecirui punct se deiaqeaza o suprafa!5 elementard, pe felele cirora sefigureaza tensiunile din punctele respective, cu sensul fizic i"eal,

--tA

rIts-f"i'c[lB,;A.

-T,1 ,.a

l- -X l

22{- 6"\ ..t -1(', 1",2'u, Z J

,,.o IZJ-.,

,e

o-,'s'r -,2 '1i7- "'

tglst=:U.

tgcx, = Ia gi tgo2 -O1

(1 3 46)

(13,47J

(1 3 18)

pl f*:-H,ri+ =.-_-__(U-

0l- R

_i ,l==-_f,{ )\.-Y a)

O., ^ C)..

'__ T1

Tva

C2

Tensiunile tangenliale extreme aclioneazi dupd direcliile bisectoarelor unghiurilor formate de

direcliile tensiunilor normale principale, ale ciror valori se determina cu relaiiile (5.20) qi (5 21), care

devin:ln

- , oi -2 _-01-621.1- l, - fL-. - I,L\^a

!aL

Direcliile tensiunilor tangenliale principale rr.. se determina cu rela{ia (5.17) care in acest caz

pariicular este:

A,

d) e)

Fiq 13.18

c

u

[{,


1E t incovoierea pland cu fo(5 taietoare

o Pe elementul detagat din jurul punctului A, acticneazi tensiunile:

- ox.A ) 0 9i t*r,n = 0 pe fetele cu normala x respectiv;

- oy,A = 0 9i trr,4 = 0 pe felele cu nornnala z'

Tensiunile tangen{iale flind nule, rezulta cI tensiunile normale care actioneazS pe aceste fele

sunt tensiuni principale, Deoarece or,1 ) o2,x, rezulti c5:

011-or4 $i o2,4-t}..a

astfel, direclia principala '1 este tangent6 la fa{a superioari a elementului structural

o Similar pentru punctul B (fig.13.18 -d), pe felele ortogonale care delimiteaza elerneniul

ac\tcneazb te n si u n i I e :

- ox,B ) 0 gi Tr..s > 0 pe fe{ele cu normala,,x" resoeciiv;

- oy s = 0 9i rrr,s < 0 pe felele cu normala ,2"

Tensiunile ncrmale principale Ei dir-ec{iile acestora se oblin din relaliile ( 13.45) gi (13 46):

n,,,, - oru

-\ d-t'r'* ;i rg2as '::;

Direc{ia pr-incipala unu se ob{ine rotind direc(ia tensiunii cr,s in sensul tensiunit tangen{iale

rrr g de pe aceea;i fa!a.

-t*t

Fig.13.19

/-/o2 i1)

t2)


incovojerea planb cu

Tensiunile principale gi directiile acestora pot fi gdsite pe cale grafica utilizancj cer-cul lui Mchr(fig 1319) Astfel se considerd punctul Mr de pe fala cu normala 'x" unde aclioneazd tensiunile

ox,B> 0 gi rxz,a > 0 iar pe fata cu normala ,,z" se considera punctul Mz unde ac{ioneaza tensiunile

oz,B > 0 $i rxz,B < 0. in sistemul de axe ortogonal (o, t) se reprezintd punctele l'/r (orB;t' s ) qi

M' (or s - 0: - r, s ), La intersectia segmentului M.M2 cu axa Oo se gdsegte centrul cercului lui

Mohr. Cercul lui lMohr intersecteazd axa Oo in punctele,,A'9i ,B'. Valorlle tensiunilor normale

principaiesunt; OA=ot.e $i OB --oze, Polul cerculul Iui [/ohr, este punctul ,,P"(o, =0,'rr.,a).

Unind polul P cu punctele de interseclie a cercului cu axa 0o se ob{ine:

a) direc{ia princlpala unu, care coincide cu direclia segmentului PA gi

b) drreclia principali Coi, care coincide cu direc{ia segmentului PB ,

c) punctul .,C'fllnci situat pe ara neuti'i. tensiunea normalS 6r,6 este nul5. Pe felele

ortogonale care delimiteazi suprafata detagatd Cin jurul acestui punct. aclioneaza numai tensiunile

tangeniiale, prin urmare starea de tensiune este de forfecare purA. Tensiunile normale principale din

acest punct sunt:

u'ra .-1,,4

Di'ept urrnare. direciia principali unu esie incllnati cu 45" fati de axa elementului gi coincide

cu diagonala'intinsi a elementului detaqat din jurul acestui punct,

o Fe felele care delimiteazi suprafala detagati din jurul punctului Br tensiunile

tangen{iale au acelagi sens ca in ts iar tensiunile normale o" igi schimbi sensul, punctul flind situat

in zona comprimati a sectiunii. Astfel, pe felele ortogonale ale acestei suprafele actioneazi

tenslunile:- ox Br ( 0 si trr,s, > 0 pe fe{ele cu normala x 9i:

- 02,81 = 0 9i rrr.3, < 0 pe felele cu normala z

Tensiunile normale principale gi direc[iile acestora sunt:

- r-2-

or.B'_ ur.B' -?(),.tr

-- -- r T,,.Or1lt\+

a-L txt 91ct Inltr^-Y', 'v-*51- ox,B1

Direc{ia principalS unu se obtine rotind drrec{ia tensiunii o. s1 in sensul tensiunii tangenliaie

rzx,B1 d€ pe aceasti fat5,

o in punctul Ar simetric cu punctul A, exista numai lensiunile normale o*41 < 0 9i in

consecintS, tensiunile normale principale sunt;

o1,q1 =07.41 =0 $i oZ,nt=*ox,A1 <0

Direc[ia principalS unu coincide cu directia tensiunii normale o7,41 , c?re este normalS la fala

inferioara a barei. AnalizAnd directia tensiunii normale principale o1 in punctele analizate de pe

irc.:;oiere: plar i cu frib li:etcare 357356 incovoierea plani cu fo(5 tiietoare

inal{imea sectiunii, se constata rotirea continua a acesteia de ia pozilia orizontala din punctul A, !a

cea grtogonald corespunzatoare punctului Ar. inf6guratoarea liniei tangente la direclia principali

unu din punctele succesive analizate, este izostatica de speta l-a. lzostaticele de speta l-a (fig.

13.18- c), formeazd o familie de curbe care pleacd din punctele de pe fa{a superioara a elementului,

tangente la conturul acestuia, care igi miregte continuu panta, intersectAnd axul longitudinal sub un

unghi de 45' gi ajunge ortogonali pe conturul inferior al sec{iunii. lzostaticeie de spe{a a ll-a,

reprezentate cu linie intreruptd, suntfamilii de curbe ortogonale pe izostaticele de spela a l-a.

13,6 Starea de deformalie

Sec{iunea transversalS a elementului solicitat la incovoiere plana cu forla taietoare se

deplaneaza, astfel alungii'ea respectiv scurtarea flbrelor este insotiti de lunecarea reciprocd dintre

acestea. in cazul barelor lungi, se admite ipoteza ci deformalia specifica liniari are o distribulie

liniar-d pe inSllimea sec[iunii cu valoare nulS in planLrl neutru. Asiiel deforrnaliile specifice liniare se

calcuieaza cu rela{ia cunoscuta de la solicitarea incovoiere puri:

- t/-"

6t t r

i_:_s ,

unde: El, este rigiditatea la incovoiere a secliunii,

Deoarece secliunea se deplaneaza, deformatia specifici unghiulara este Ciferitl pe inallimea

acesteia. flind nula in planul suprafelei laterale a elementului gi maximi in planul axei neutre. Relaiia

de calcul a deforma{iei speciflce unghiulare se cb{ine inlocuind relaiia lui Jurawski in relalia data de

iegea lui Hooke;

Avincl in veCere formulele lui Navier gi Jurawski, relalia (13 52) devine:

,?t2

', = i,L'{"'] . ;1

u'1,11,;''',

Energia de deformaiie ele mentard acumulati in volumul dV este:

I r ltr,,t,,ixl 2 1 V,(xfS,,t.l,2l

drr - usdv l_l I,, 'l - ^l

'ni,,i I lcvr.--L y _ t

integrAnd r-ela{ia i13.53) se ob{ine energia potenliald de deformalie:

, I Litl,ll,rv-,1111u11'tii u2E;' li .- v u rlry

, - : iti:1- il t, ar^ .]i tl: ro.,pf{;., -- Z'" Zil ; 2'l GA 'i U',2)t,'

1 lrrlti;,-, 1 riti''!ri!.',LI,o,z', zt( ?lf i,'tr.; j Gl

Utilizand notaiiile

(1 3 53)

r 1.l.5al

(1 3.ss)

13.7 Energia potenlial5 de deformalie

Energia potential5 specifica de deforma{ie este egala cu lucru mecanlc al tensiunilor normale

qi tangenliale de pe sectiune:

r", VrSu (z )

Yrz : b:: Gb(zily

,, 1-^ ,1- ",us jox'x r jLxzYxz

finAnd seama de rela{iile (3.6)9i(3.21)din relalia (13 51)se ob{ine expresia,

^2 ,2rr vx, lxz"S lx lb

a 13va -_"K kl ..s3ttt' .! o;(,,

oo

expresia energiei potenliale de deformatie poate fi scrisa sub formele

lt.wlixt rr.rYvjtxrJ=-i '---{Xr-1" -Jx2iEtii 2d GA

(13,s1)


(1 3.52)


/4I EC\

incovoierea pland cu fo(5 tdietoare ]nccvcrerea plana cu ic(a trielc:re

-2,4 -2,8 pentru profilde tip i ;

=2,0-2,4 pentru profll dublu T normai

= J+4 pentru profllul T.

AXill-5

Si se determrne valoarea coeflcientulu de fcrmE pentru secliunea dreptunghiularl cu dlnrensiunile: bxh(fra.1 3. 5a).

Bezslyare

Se consideri nivelui a,b siuat la drstanla,.z' fa!5 de ara principaiS cenirale y. I',/omeniul staiic ai sL,prafeiei

r at. ct- de sec\il'e ir raDcri I r ax.l y dle exo-es'd

S r;t,.o l--r '] " -, -a t' /'? : :' L

iniccutnd in relalla (11.55) funclia ircmeiitulu siatic Sr{z) qi ginard seanra de expresitle caracteitsticilor

ra^^Lr'.a J ..".,t .\r ',2.'eZJliJ

JJ5

(1 3.57)

unde Ak este aria redusi a sectiunii iar k) este coeficientul de formi.

in relaliile (13.56) 9i (13 57) primul termen este acelagi ca la incovoierea plana pura iar al

doilea inkoduce influen{a forlei taietoare.

in cazul elementelor structurale lungi (/h>5), deformaliile elastice din acliunea for{ei

tdietoare sunt mici in raport cu cele produse de momentul incovoietor, eroarea de calcul fltnd

nesemniflcativd.

Atunci cAnd calculul deplasarilor elastice se realtzeaza prin metode energetice, este necesar

s3 se ia in considerare deforrna{iile pi"oduse de for-{a lSietoare, coeficientul de formb trind determinat

printr-un calcul rigutos.

13. 8 Coeficientul de formd

cceflcientul de formi se exprl"ra fun:iie ce Pitratul rapcrlului sr(z)./b(z) care determina

legea de varia{re a tensiunilor tangen{iale pe secliune. Deoarece distribu!ia acestor tensiuni depinCe

de forma secliunii. kf se numegte coeficient de formi. Terrnenul al doilea al rela{iei (13.57) are

forma stmilari cu cel stabilit in cazul forfecirii pure, deosebindu-se de acesta prin coeficientul k)

care line seama de neuniformitalea tensiunilor tangenliale de pe secliunea transversald.

Atunci cAnd planul lncarcarii include axa de simetrie ,,y", coeflcientul de formi k)' este definil

de relalia

(1 3.58)

Pentr-u formele padiculare ale sec{iunilor valorrle coeflcienlilor de formb se calculeaze

relaliile (13.55) qi (13,58), care in cazul elementelorcu pereii subliri devin de forma:

, _''fti!')or,, luYul,4,2i.Eti4 2d GA

i t r^\ l,, A J,,15/ ikY=:lr-jdsl' ri : t(s)

' o f isJl,o i;lt tn' '-' 'l-,o

' ,t.rri l1' t31" 12f '.

Avdnd in vedere cd dA = bdz , relatia (1 1.60) Cevine:

r rr j :

' , t

2 -lS,{z l-1z ds -j t oi'rz = 1z :,r -'- I il' ;' i-- ,l' | , ''

tindnc seama ca dA' = b{z'!z- sl n(t')=zh' -r'z\:t .

"ky"ky"ky

\1 1 6tr)

(13.5e)

Coellcientul de forma pentru secliunea dreptunghiulare are valoarea X! =l,Z iar pentru

secliunea circulari pline k) =10i9=1.1 11 cand se ia in considerare numai componenla rxz a

tensiunii tangen{iale totale 9i valoarea ltf = I r os cand se {ine seama gi de componenta tr, '

in cazul sectiunilor cu pereli subliri cu profil deschis utilizate frecvent in construcliile metalice,

coeficientul de formi are valoriie:

AXIII-6

Sd se determine valoarea coefictentului de formd pentru seciiunea circulara (fig.13.6) in cazul particular cAnd

se !ine seama numaide componenla t" a tensiunit tangenltale totale r,*.

Rezolvare

Lalimea p5(ii care luneca la nivelul ,,a-b" situat la distanla ,,2" fa\it de axa ,.y" este: U(.1 = Z. F' - ,[4omentul static al zoner hagurate cu suprafa!a A" care tinde sd lunece esie dat de expresia.

2 \:?l

=4;lsitr6at; i' h'(v)


incovoierea plani cu foriS tdietoare inccvoierea plani_q_J-_f!!A!Elggr.

in cazul sec[iunilor nesimetrice (fig. 13.20- b). este suf]cient ca tensiunea normaii sd fle

veriflcali in punctele cele mai depirlate de axa neutra unde acestea au valori maxime sau minime.

2An

naportui Sr(,2-)/b(.")rn,.ddlegeacievaralieatensiunii tangeniralepeinSllimeaseclrunrr este:

, r3 2

S,lz )_2 3'R z 1 _ tc. ,.:

bFl ,,, *-rtl 3 ''a,/

inlocuind in relalia (13.55) raportut: S" lg'' )/b(z' ) 9i expresiile caraclerrsticrlor geometrice. A -:iR2 qi

lv = aR a /4 funclia coeficientulul de formd devlner

,:--n1'--ti .:l *:-r''lda t'"",t-' , 'rr'* r'or ,'1 ,i, *t ,'"'o,' rnn:e1 r, . 9r,R"

Inlegr:la se rezclva ltilrzAnd subsiituiia. z'=Rsin,+ 9i dz' = Rcostpdro. decil

r. 'o-',',iI

respectiv

V" t", ,A -- ! <k" iel.Tll A/ 0

*'/eJ

uirdelr.ef

wv.ef - l: --' 7o^,

^ . -Ml,t{.o,v yel,nrax Wy .,

_ , .o

lermax =#l#l-., t*0,'

(13.62)

(13.63)

I 11. F.t\

(13.65)

Condilia de rezlstenta referitoare la tensiunea tangenliala este suflcient si fie indeplinita in

punctrl unde r afe traloare naxirni:

13, 9 Proiectarea grinzilor

1 3.9.1 Calculul de rezistenli

Condilia de rezisten{d din orice punct de pe suprafala sec{iunii transversale a unei bare

solicitati la incovoiere plana cu fo(i tiietoare este indeplinitd, dacd nu sunt depSgite rezistenlele de

calcul ale materialului R6 9i R6,1 .

Deoarece pe secltunile iransversale ale barei se dezvoltS tensiuni normale 9i tangen!iale,

condilia de rezisten!5 dintr-un punct se consideri indeplinita daca:

or,u1 <R6, Tef <Rd,f gi o..6<R6 (11 61)

tensiunea echivalenti o".6 , determinAndu-se in funclie de teoria de rezistenli utilizati.

Punctele de pe secliune'in care lensiunile normale qi tangeniiale au valori maxime, se afla

in general pe sectiunj in pozilii diferite (fig.13.20). Din acest motiv calculul de rezistentd sereahzeaTl

in secliunile unde funcliile eforturilor au valori maxime (secliuni de calcul). Calculul de rezisten!5 la

aceast5 solicitare are anumite particularita{i, funclie de natura materialului (ductil sau casant) 9i de

forma sec!iunii transversale.

13.9.1 ,a Calculul de rezistenti a grinzilor din materiale ductile

o Verificarea rezistenlei

rT.-xmtn

H\J tlu/eH.,.,,,A=pl r

o,.",

a) b)

Fig.13.20

Verificarea la tensiune echivalenta se face in punctele unde tensiunile normale gi tangenliale

au valori mari, funclie de forma secliunii, in cazul materialelor ductile pentru calculul tensiuniior

6

o, od


inccvcierea plar) cu ':(t tai:tca.s

l'4y,cao - Wret,minRo (1 3.t 1)

D r conoil,a de egalitale Cintre r.onentrl capab;l al sec{iun'i si norenlul ircovoietor maxin'

My,.up = lr,4o,ru, (P, l) i11,7)\

se ob{ine fo(a capabila po..ro

Fo(a tbietoare capabil5 se determina din relatia (13.65) cand aceasta este indeplinita la limita:

363

echivalente se utilizeaza de obicei tecria a-V-a sau teoria a-lll-a de rezistenti. Astfel condilia de

rezrsien!a la tensiune echivalentd. devine:

o].n =1'Q*sl <no I rJ.oo)

iespectlv

"!1.-rFlo+12.Ro

in cazui pariicular al sec{iunilor simetrice (fl9 i3 20 - a) (Wy;

rezistenlei la tensiuni normale se face cu relalia:

{13.67)

= Wyc = VJ, ) r'erificarea

l'/l' --'_ | a, zDu.ef rar - i- : \Jvv y, ef

o Dimensionarea sectiunii

Pentru elementele structurale lungi (h/l >5) in aprecierea

relaliile (13.62) qi (13.63) calculul dimensiunilor sectiunii se face

rezistenta.

Vr,,nu, (P,l)= l'.,.o0

se obline fo(a capabila din condilia de rezistenlb la tenslunile tangen\iale pr..uo

Foria capabila a grinzii este:

Pcap = min (P,r,rup, P., .up J {1 3.75)

atunci cand pentru fo(a capabii5 ast{el determinati sunt indeplinite condilia de rezrsten{5 Ia tensiunt

echivalente o'u.1 date de relatiile (13.66)sau (13.67).

13.9.1.b Calculul de rezistenti a grinzilor din materiale casante

c Verificarea rezistentei

Vei-ificarea rezisien{ei se realizeazi {inAnd seama de faptul ci rezisten[ele ia intindere gi

compresiune a materialului sunl ctferite, astfel condilia de rezistenta la iensiuni normale se pune atat'in fibra cea mai solicitata din zona intinsi cAt gi din zona comprimatd a secliunii:

k1- \^ ul4l

Vz:aD - IV 6fl{df n' oy lrJ.u*

Din identitatea inti'e fo(a taretoare capabilS qi tor{a taietoare maximi

- My-r, -. ci ^ -My-iti-ooxe'na^ = ,,Vrl S Ku $l oxei.nin

\4r.,- a no,

wui *f -IYt wu..f =lvtl'z;'tL

L1 3 68)

rezisten!ei sunt hotaratoare

utilizAnd aceste condi{ii de

/1? Aq)

\ rJ.i JJ

(13.74)

\4/ My'tu'' 'y,nec

R d

Dimensiunile geometrice ale sec{iunii se stabilesc din condilia

wv,g = wv,n.. (13.70)

Cu dimensiunile astfel stabilite urmeaza veriflcarea de rezisten{5 a secliunii la tensiuni

tanqentjale cu rela{ia (13.65) gi verificarea rezisten{ei la tensiune echivalenia cu relalia (i3 66) sau

(1 3.67).

Rela{ia de stabilire a dimensiunilor geometrice (13.70) se ulilizeazA 9i in cazul pa(icular al

sec{iunilor simetrice.

o Determinarea mornentului incovoietor capabil

lvlomentui incovoietor capabii al secliunii se determina din condi!iile de rezisienld (13 62) 9i

(1 3.63):


( 1 3.76)

.Jb4 incovoierea pland cu fo(i tiietoare

zi ,i zc reprezinte distanta de la axa neutrd pana la cea mai depdrtatl flbrS din zona intinsa

respectiv comprimatd a secliunii.

La tensiuni tangentiale verificarea rezistenlei se face cu rela{ia:

ln cazul particular al secliunii simetrice lin6nd seama ca, VJul = Wu" = W" ^ relalia (13 g1) areforma particular b. ' t' Y q

Wy,s = Wyt,nec 9i Wy,n = Wy.,ne. (1 3 82)

o Determinarea momenturui incovoietor gi ar fo(ei tiietoare capabile

lVomentul incovoietor capabil al sec{iunii este valoarea minima a momentului capabil al parliiintirse respecriv comprirnate :

Ml,cap = min(Ni r.up,t,My.up,. ) {13.83)

ln care:

respectiv

Mi.rpl=WyierRai

Mi..p,. = Wyr,rtRc,

i13 84)

(13.85)

Din ccndi{ia de egalitate dintre rnomentul capabil al sec{iunii gi momentul incovoietor maxrm:

vNr* Sr(z), 1 DLe'nax- ' 1- :r\d,:1,, -r OlZl l

I,L' r lmax

(13.77)

(13 78)

iar la tensiuni ech,valente;

O..;r < R6; S?U Oech < Rdc

Tensiunea echivalenti se evalueaza cu aiutorul leoriei lui l"4ohr :

o$n =Lrlo- .i+&r4* <Rd,(Rd,) (13.7s)

o Dimensionarea sectiunii

Materialul avAnd rezistentele Ciferite la intindere $i compresiune este necesar ca

drmensionarea din condilia de rezisten!5 la tensiuni normale se se faca atat pentru zona intinsi cAt

gi pentru zona comprimata a sec{iunii:

!r/ M! t.,' Kdr

respectrv

Wyc,nec =Mc'"'y.max

Exprim6nd condi{ia de egalitate:

Wyt,g = Wy,,nec 9i Wy.,s = Wy.,n.. (13'81)

se determini dimensiunile geometrice ale secliunii alegandu-se valorile maxime ale acestora.

in relatiile (13,81) Wyig $i Wv.s reprezinte modulii de rezistenlS ai zonei intinse respectiv ai

zonei comprimate a sectiunii:L t.,Wvs=l 9i Wy.s-,'Z' -"

My,rrp = My,*r* (P,i)

se ob{ine foria capabil5 pocap din condi{iile de rezisten!i la tensiuni normaie

in cazul particular al secliunii simetrice relaliile (13.84) 9i (.13.85) devin:

Myrup,i = Wv.eiR6l

respectrv

Mycap c = \,etRac

Fo(a taietoare capabili se determlni utilizAnd rela{ia (.13.73). Din condi!ia:

Vz,"up = Vr,r* (P,l)

se obline for{a capabili a sec{iunii din condilia de rezisten{E la tensiuni tangen{iale p.,.ro.

(1 3.86)

(1 3 87)

Ro.

lrcovoierea piana cu fol) iaietua'e

Rezisten!a materialelor Rezisten{a materialelor

incovoierea pland cu fo(d tiietoare incovoiei-ea plana cu fo(a taietoare 367366

pentru qrinda cu secliune simetrica sau nesimetricd for'{a capabili a elementulLli se determinA

cu relalia (13,75). Dacd grinda are secliuni slabite, este necesa!'sd se veriflce rezistenta acestora

utilizand caracteristicile geometrice nete:

\A/ - lY nt! ci

"y,net -, "'- m2x

unde ly.net =iy,ur *ly,sr , 1y,5,' fiind momentul de iner{ie axial al secliunii brute iar 1y,51 este momentul

de ineriie axial al suprafe{ei slSbirilor, Se atrage aten!ia ca: Wy,net + Wy,nr - Wy,sr .

AXlll-7

S6 se determine valoarea foi'{ei capabrle a gr-rnzii din Iemn de siejar de calrtalea a-ll-a, cu schema staticd 9i

geornetria secitunii dare in flgura 13.21. Dale numerrce. l-4jm Ro, -135 iaN/cm'/; Ror =158 CaN/cm2;

Kal=ll0dalt/cr a 5crn.

Rezolvare

1, Calculut'eacfunilo'

Itrl8 = o

IM'=o . R r ', -rtr- loj,-o - n? =ipl

\er'ica'ea'eaclrJnior Irr=r r ot. lpl-]o]'-o6 t+

1. Diaqrama de forti tdietoare

vt p,, v;- pr v.", . pr-pr=0, q' --:', V,,. =-* :. - u, u; =s

2. Diaqrama de moment incovoietor

,.,"--d' v, -^r-r) c ir'; ,,\t^i^:r;; ']j tl, o

Se:liuneadecalclrlesteAcuelorlrilerect:ona'i "'' =l t U,-. -t;

3. Calculul caracteristiciloroeometrice

s^, 1-,n^,:n^lt._L',' !":":."1 J.t.,a

T r :-1 ). -,r-,)

Arrll:. -,t-t:r - i!l!- 6a1? ata \at) - | "';U, t 2a 2 43a ,' /ec ia'

w - l =i?0'!uo -,o,,nr' si w -'. = t906t"

- j22.ge' z. 557a z. 643a

4. Determinarea fortei capabile

a) Din condilia de rezistenld la tensiune normali:

I\4 --o,.ro,, =Lfl<Ro = Myr""p =WyiRar -141,9a3Rd =141,9x53 x'135=2394562,5daNcm,

uuy

I'1.. -.-6,e.-..- ,n,'1 tRo,; lV,._"" =,Vr,lo, 122.9a F., -^,22g.53.'58 2a272,SaaNc.t,.VVu.

M, ..0 = min(lr4y,.uo ;M*,*o )= 23945625daNcm.

Determinarea fo(ei capabile:

rr2 . . 2M ".,. 2x239d562.5My,,, -Vy.uo . -- -tvl,.,- trt"_" --f - ^ ,#"'"=192datr,cr.r

b) Din conditia de rezistenli la tensiune tangenfiali:

pl

au

uy,net "y br "y,sl

"- zl

:.a4a a

Fig. 13.21

o, raxa;-r i!!q :ltrit->-l

,q o, ll@1tt* i.:l

. t--apl

6


369368 incovoierea pland cu fortd taietoare

- V -", js"{z}j 'o{z) -nn"-.o 0062T.,..".=f "'

#r .,", . *,, t V.-,0 -,..,*o',s,'(rl

",^ 7906a"R", j , r

-- V,,*" =55,34a2Rat =55'34v.52 x216=29B836daN, unde:

trrz) (5' b" : 0,065-rnav ,,'-;-,S,t:r-. Sr' S" l a'

s. 557a.Ga ''t'-n3,r' $ s. = 6ax4ar 4,/3a- rOa\-'

1l dza-4"41=a5.8a'2 2 \ 3n-'

da -JOo: . ott _ 2a .a024S 93'a a- " s:' B58a'- a'

Detei'minarea fo(ei capabtle:

v.-", r "- - Dt=V,,o D ".,. u'i' .'nitTu 74r,raN/cn

Fo(a caPabili a grinzii este:

P"uo = min(P,uo,o,P*p,, )= 1 9,2daN/cm

AXlll-8

Si se drmensicneze grinCa din fonti Fc 150 cu schema staiicd 9i geometria secliunii date in figura 13.22

Datenumerice: l-5,0m p=lCKNlm;Ro. =i60daN/cm2; Rar =45daN/cm2;Ro, =35daN/cm?.

Rezolvare

1. Calculul reactiunilor

'rotl"-r1 --l 1-ol'-1toi "2r!-1 nelr!-"1 -o = t;-l'Ir/'=o nil -z 2\3 2 2t 3 z z 3 2 i 2 3 ? 'v

3

Tr",r -,-r - Re,-1 | 2t ' o; l 1 l)-pl'?-l !' ? 1-o - R:,- 91' 2P1 32.2''z'.2-l'1. 3 2 2 3, ni'i

Verifrcarea reacliunrlor: IF, =0 = t-;'*. :"1-"-;"1=,2. Diaqrama de fo(i tiietoare

3, Diaqrama de moment incovoietor

rui =o; vi"' -+,;-;"1. j = l; 'i., =*-+ =-+ r\4? =

14? = 0

4. Calculul caracteristicilorqeometrice

, Ioz -181,30rv{0.5il' Io 27i ::, 'g, ,* = - r':'

, - 22tr t33t t' ,.,,r_:18,. 30ttt _igr .301 r.ssL,r,__2485761ra

'.4r r JrLl .eJ., - ,

_ toi JU. j

w,=f -"::::' --165izr $ w -L-'o|;1$-1384,8r' Jz 15.05t z. 1-.95r

5. Dimensionareasectiunii

Se reailzeaza din condilia de rezistenla la tenstune n0nnale

iH,t,,.l -.=l!ry|=p111=lo{ool=13BBB,ecm3;o.,,,.,-

*, {Ho. r W,,""-- ', ="R. - 4 4;

Incovoierea plana cu fo(5 taieioare

A4I

+lR.

b)

p{ll

a)

tig. i3.2?

-i*pl *?* l--pt'2232 12

v-. _0t v, _Ft_ J, 4= p', vl,. . !_10 | _0J,' 3 ' 3 2 2 12 ' ^) 2 2 3

pl

3

(o

--.Nt(-i\ T)r mn

-\-:--tl'r\

n;\,\r


,,Bdi p{ pl pl. ,,r'3124


incovoierea pland cu forld tAretoare lncovoierea plana cu for{5 taietoare .l/ I

370

6,ermn -W.R.. - w,"nu" =H=#-*#=3e06,3cm3

Delerminarea dimensiunilor sec{iunii se realizeazi din condiliile:

wu,n -wr,,". + 1651,7t3 -w,n". = , "",

=iH=rffi=r,,,.t

wv.,s =wy.,n". -- 1384,8tr =w,"""" = ,"""" =m-\m=1.5cm;

t".. = rnax(t,ne";1""* ) = 2,1cm.

4. Verificarea sectiunii la tensiune tanqentiali:

a) La tensiunea tangen{iald t,-:

, - ", - 4 ,' t'','

^.-o'-l ,,n,'. 10 500- r3e; ,110aN'cr' . R- - -;Y t( z) - 2tg5l .61' ?4851 6 , t2.1t

unde

# ".,

= ;| = ry = 23e'7tz ei svo = 15,05t x 22t x 15 c51

- r i ost x tat * 1 3fst

= e58'Bt3

b) La tensiunea tangenliali tn:

. -- - V-:it s ' - 0l 3

r52,55r2 - 'qr!00

152.55 t4daNrcm'<R.,l,*. b. .,^ 24B5l 6f 3 /24851.612,1'

unde:

iq i ca aa+3:t' IJr'JOL

=152,5512 $i Sur =9txtx16,95t=152,55t3.b.r

6. Verificarea sectiunii la tensiune echivalenti:

Se realtzeazS cu relalia (1 1, 79). Coeflcientul lui Polsson pentru fontd fiind nul, rela{ia de calcul a iensiunii

ecrivalente are fo'ma oaniculara.

- 1-

"",=; 2\o -4r'<R"rR, )

linind seama de particularitatea de alcStuire a sectiunii, tensiunea echivalentd in punctele 1 cele mai

solicitate de pe zcna intinsi a sec[iunil, respectiv in punctele 2 de pe zona comprimat; a sec{iunii unde tenstunile

nr.nale g: rangentiaie au vaiori mar':


o"",, =]*lu";i *.L =*, qi o*n, =9*].F, *+,'- .no.

o,, 5" - Dt' 4 --10^5002 . = 40,9da\/crr2 s,'Y I wr., 16651.7rr 4r'65'.7 ,21\ - '"

.,,.=v,-u S"' - ol 3

. 2529-_-lq'500r2529.

=2,00.N,cr: 1n6319r,e, b.. 248576f ?t 3vlt'ggtga)t'

S , ,= 9t x 2t x '14,05t = 252.913 si b. = 2t .

Valoarea tensrunri echrvalente din punciele 1 de pe sec{iune esie:

o"",, = t,: - l. Ei;i{, = tl}. }Ae;tar = 41 daN i cm: < R,, = 45 daN,' cm,

Valcarea tens unii echivalente dln punctele 2 de pe secllune este:

o".,-o'r' jro.r-ori a!!,1,asa: r4 2.a: -r9da\ crn,<R,,-.dcoaN cm

AXilt-9

Si se veriflce rezistenla grinzii din olel 0137, cu pereli sub{iri cu schema statica qi geometria secliunii

prezentateinfigurall.23.Datenumence: I=B,0rn; p-85KN/m;Ra=2200daN/cm2,Rri-1300daNi cm'.

Rezolvare

1. Calculul reactiunilor

11i<', = 0l' 12'

^t2Frvt o "6

Verificare: lF,=0 ::1Dl 1'1 1 3l

612'2'2

pA !lb

2. Diaqrama de fo(i tiietoare


Jtl incovoierea pland cu fo45 tSietoare lnccvcierea plana cu fo(a taletoare

v'=-Pl: v -91-1.t"20= 4'' 5 ' 6 2 3' 12

3. Diaqrama de moment incovoietor

r/; = r/;=0

s. Yertlpqreatarsleriei

a) Verificarea la tensiuni normale:

t -:l 1-,1?.^u9 =21g7daN/c'r'<R" 2200daN/cm6'"" - w" - w,. -Z118ttl;l,s '''u

b) Verificarea la tensiuni tanqentiale:

Verificarea la tensiuni tangenliale r_ :

r-_ _ V"",S.. pl 2.816'' _I_800'8161 .o5rda\r:m -4,.

ol, " t 74r'60 8t' i\ tL^6A 8 ' '

Je s dc4r^r^t1j'-r,u,r''')Verrfrcarea la tensiuni tangenttale T4:

, ^-.-u :S- - ol 2'3708r .85-89-0'3?t-8 =:-,70a\.,r R

5 l :l ;4r;c 6l I 7'i4oJ 8 ' ''

:r -are S, .", -.9t 2t '20.5t - 3r0Bt .

c) Verificarea la tensiune echivalenti:

Verificarea la tensiune echivalenia in prnctele ,,1' de pe secliune:

"-T6*rr -.,/oi, +3r:,1 -\i1169'? +3x37,72 = 1171daN/cm2 < R, in care:

"", = $I1=j!|= t+:%=116edaN/cm,

ei r",, =.i,.-2, =3/.7daN/cm2' \/\ ^. 184311 4^1B4ir^1,5'

Verificarea la iensiune echivalentA in pr/nctele ,,2" de pe secliune:

o"^n,, = riQ, * 3r',, = rT61t;laD5"t = 1 083 daN / cm2 < Ro in cara:

o., = lu1'=

,. - pl 4 .196, = 85'800' . 19.6=r061dar\/cm/ $j' l,er 744608r" 4-7d460,8' 15'

,.,, _ V,", S,, _ !t 2 1263tr = Su].ggg)'r,g _125,5da\/cmj,

bl, ?t.7LLtAAt" 4 r74410 B' 1.5',

ir car€. Sv; -30r <21' 206i -1236tr

Pl',N,1r=-ol ,l ,tl'-1r2!] *.i -{6"66?334

1t2

D-r I'\a 12

T

{5pl12

lrn'. ql

mp

pl

2

pl'9

lL) i

pl,6'

0b

.,f;\,

-Nll

i

l

;

.5t:! 181 .t 5t.

T"y. n,..

1 0.4t

v.

/-liv,aIJll

o./)

{it1

t.:tlr'/r'j. L:..1

<r".il,

4. Calculul caracteristicilor qeometrice

Fr,z 30tY2tx(-31tt 'B60tl

'' In, 3or> 2t-2'r,6ot '8or- -

| =30''{2! -30r}2r ,(20.6ri -r, '^!T') +60:^r^(1C.4rt -74460.8r'12 i12w - l' =7446q81 =1843,1rr' z^^, 40,4t

Rezisten!a materialelorBezistenla materialelor

Incovcierea plana cu fo(i tSietcare374 incovoierea pland cu fo(d tdietoare

6. Analiza stirii de tensiune din punctele 2 de pe sectiune

Pe fefele ortogonale ele suprafelei elementare detagate din lurul punctului 2, ac\ioneazA tensiunile

o-: =1061daN/ctr2, r,,t=t.,: =125,5daN/cm2 9i o., -0 (fig.11.24a).

a) Valorile tensiunilor normale principale:

6 r - gt--1 .;rtogr '+"zss > o-:0757oAN']cm $o - 2 J\.' 'a-'. 2 2.

13. 10 Lunecarea longitudinald

in planul sec{iunii transversale a grinzilor solicitatrl la incovoiere plana cu fo(i tiietoare, se

dezvolta tensiuni de forfecare iar in seiliunile longitudinale tensiuni de lunecare (fl9. 13 26- b)"

Tensiunile de lunecare r7x se pun in eviden{a consider6n/ ci grinda solicitata la incovoiere plani cu

fo(5 taietoare este seclionata dupi planul longitudinal ri1"aat la distan!a ,,2" in raport cu planul neutru,

separdnd elementul in doua pa(i suprapuse (flg. 13.25- a). Peste ros.tul lo,rgitudinal, pe ambele fete

se lipegte o folie de aluminiu. Sub acliunea fortelor .,F", se constate fofecarea foliei in planul de

separalie datorita faptului ci folia nu are sufrcienti capaciiate de rezlstenld pentru a prelua tensiunile

tangenliale r* din planul de lunecare,

o'r --14,7daN/cm2.

b) Direcliile tensiunilornormale principale:

b26"=!|,- =''. lij=9236 = 2cr-ardgA,236-13.27' unde" o. 1051

0:-0,64'-3C -96,64'

ci Tensiuni tangentiale principaie:

ii-',^-r..-';ro Lt - ^r"ol- '4,'/J) - .J45.lJdl{;C}'

I

di Directiile tensiunilortangentiale principaie:

tg:a=-j.' =- 192)- --t2z = 2a=arcts(4,22')=-78,7' c! --38,4' silt,-t lv lL.5

dz=-38.4'+90'=5'1,0'

aj b)

F'g 1 3 21i

Mirind valorile fo(elor ,,F", se 0bserv3 ca cele doua elemente lucreazA indepenCent la

incovoiere. flbrele de la partea inferioard a elementului unu se alungesc iar cele de la partea

superioard a elementului doi se scurteaza (fig 13.25- 51, drept urmare planele felelor care vin'in

contact iunece intre ele.

Rezultanta tensiunilor tangenliale t., de pe o 4ecliune longitudinala, se numegte fo(ide lunecare,

Tensiunile de forfecare r.-z au a djstributie neuniformd pe inaltimea sectiunii 9l in consecinla,

tensiunile de lunecare au valori diferite in planele longitLJdinale, func{ie de pozi{ia lor in i-aport cu

planul neutru.

Rezultanta tensiunilor t.*intr.un plan longitudinal situat la distanta z fa{5 de planul

neutru de pe un tronson de lungime unitara, se nume$te lunecare specifici (fi9 11.25- b), care

se calculeaza cu relalia;

L, = tzxb(z) 1

findnd seama de faptul ch'Er.='t^ gi de rela{ia 1;i Jurawski' se ob{ine:

V,{xlS,,(zl r/r(x)Su(ziL.=' ' D(zll= ," b(z )1, 'y

^, ;cl. .;u.t-uua ll

b^\.-a1l

7lo,

rtq. tJ.l4

T_.. "

Rezistenia materialelor Rezisten{a materialdlor

lncovoierea plani cu incovoierea plana cu fo(a taietoai'e 37i

AvAnd in vedere faptul c5: ollr(x)- V.1x)dx, relalia (13 88) devine

Cand elementul are secliune constante in lung, raportul Su(z)/1, la un anumit nivei este

constant in raport cu variabila ,,x" 9i in consecinla func{ia de varia{ie a lunecarii speciflce in lungul

grinzii este identica cu funclia for[ei taietoare (fig. 13.26 - a).

Lunecarea elementari dintre doud sectiuni situate la distanla dx este:

, V,(x)S,(z)dL= 0X

ly

Valoarea for{el de lunecare pe un intei'val finit, delimitat de seciiunile xr 9i x: (fig, 13 26- a) se

obtine pr-in sumarea iuneclrilor elemenlare de pe acest interval:

i. , s1{t) ir,,ry z - My,. )-

t11t ' -rr,

Fry;I

'.V,rx;S"(z), Su/'\>-. ,-- l-' '-Jx- L'' lVrtxldxLJI

I

t. ') I \,

i13.8e)

In concluzie. mirimea lunecarii longitudinale, depinde de urmatorii paranretri:

c nivelul la care se consideri sectiunea longiiudinala;o lungimea tronsonului pe care se evalueaza fo(a de lunecare,o valoarea fo(ei taietoare rezultante de pe iniervalul considerat,Fcrleie de lunecare longitudinali sunt preluate de materialul din care este confeclionati

grinda, ln cazul cdnd grinda este compusi dln mai multe elemente, fo(ele de lunecare sunt preluate

de piesele de solidarizare (nituri. guruburi. cuie, etc.), care asigura conlucrarea ciintre p5(ilecomponente, astfel incAi acestea lucreazS ca un tot unitar,

13. '11 Grinda de egali rezistenld

Grinzile cu sectiune constanta solicitate la incovoiere au materialul utilizat la intreagacapacitate numai in fibrele extreme ale sec{iunii unde momentul incovoietor are valoare maximS. incelelalte sec{iuni (fig, 13.27 -aj, tensiunile normale drn punctele cele mai depirtate de axa neutri auvalori mai mici;

ol."l<ol<o.r,n,u, <R6

astfel, cu exceplia secliunii din incastrare, grinda este supradimensionatd.ln scopul reaiizarii unei grinzi cu ur consum minim de material se impune modificarea

Cimensiunilor sec{iunii o dati cu valoarea momentului incovoietor de aga manieri incat in flbreleextreme tensiunile normale sd aiba aceeagi valoare. Se ajunge astfel la conceptul de grindi de egalSrezisten{a la incovoiere,

Elementui la care sectiunea transversalS variazi astfel incit tensiunile normale maximesunt egale pe intreaga lungime se numegte grindi de egali rezistenti solicitati la incovoiere.

l

lftg. 13.27 b), Atunci cAnd :o. *., ] = R6 in orice sectiune transversalS. se obline forma gnnzii cut'tin

consum minim de material, Conditia de egald rezisten{d pentru grinzi alcituite din materiale ductileeste.

tv4,, {x )

o".r.r(x)= ,ni ,,., -Ro! vy (

^ /

(1 3 88)

tnde ef,, reprezintb aria diagramei de fo(5 taietoare delimitata de abscisele x1 Si x2 a celor doua

sec{iuni.

^plaV-)t

' l/ ^r-, !,

;).-* L - a-tu l.--T-.<

--+,)- -=--

b)a)

Fig 13.26


incovoierea plana cu fo(a raietoare In;cvoiei'ea plana cu fo(b rSiei;a'e

care reprezinta legea de varia{ie a indl!imii sec{iunii. Astfel bara de egald rezisten!i variazd dupa olege parabolica de gradul doi. (flg. 13.20- b) cu valorile:

o h(x)-0,pentru x=09ifm

o h.r, -- i-: pentru x - L

V DoKc

Forma grinzii flinC dedusa exclusiv in baza condi{iei de rezrstenla la tensiuni normale.iniliimea minimi a seciiunii grinzii in capdtul liber nu poate fi zero penku a prelua fo(a taietoare ciin

aceasta secliune. lMarimea minimi a sectiunii se determind din condilia de rezrstenlS ia tensiunitangen!iaie:

378

iu.rx)W.,(x)= L-L'jt Rd

care reprezinte legea de varialie a modulului de rezistenlS a secliunii, care este identica cu cea a

funcliei momentului incovoietor. ExprimAnd modulul de rezistentd Wr(x) funclie de un singur

parametru, se obline legea de varia{ie a grinzii de egald rezistenla la incovoiere caTe este identica cu

iegea de varialie a acestui parametru" Varialia secliunii in consolS se poate realiza in.doui moduri:

a) cana lalimea secliunii este constanti b6 9i inillimea variabili h(x), introducAnd

expresia modulului de rezistenia in relatia ('13 27) se obline:

de unde

de unde rezulti

I'n q, *" 5t. rin

(1 3.e0)

t{1l) =rr6Rc

_ Atrv['(y!=-

boR c

de unde

sau

i \1J V-

- "tnn

?\/A r "'Z^min

< n64t \tr!l

a=R--x ma c

.--D

(13 31)

Forma parabolica a sec{iunii din zona de la capatul grinzii se corecteazd astfel incat indl{imeasec{iunii sa nu fie mai rnici cecAt h*n (fig. 13.27 c).

b) cind inillimea secliunii este constanti h6 iar inillimea variabili b(x), rela{ia (13.90)

devine,

u(x)rr8 _ rx6Ro

din care se ob{ine:

6Fxb(x) = - (13.92)

h6Ro

adicd consola de egali rezistentd are varia{ie liniara (fig. 13.29), fiind o prisma triunghiulara cu

inaltimea h6 . Lalimea grinzii de egali rezistenla in secliunile extreme este:

o b(x) = 0, pentru x = 0

ci

o =R. --or mn 0

b)

Fig.13.27

Rezistenla materialelor Rezisten{a materialelor

incovoierea pland cu fo(i taietoare Incovorei'e a plana cu fo(a l"ieioa.e

de cea ideala, ln cazul grinzilcr metalice cu sec{iunea compusa, varialia secliunii in lungul grinzii seface prin urmatoarele procedee:

rl zl 3

Sectrl-1 Secl:2'2 Sect:3-3

]F-1rTrlr- J+ &

''!ct M;;' Fio. 13.3o

1) men!inerea constanti a ariei teipltor gi prin varia[ia indtlimii (tig. 13 29) sau ;

2) menlinerea constantd a inal{rmii gi variatia lalrmii sau a grosimii platbandelor/fi4 1 ? ?n\

ln cazul grinzilor cu sec{iune metalicb compusS niiurtS. aCaptarea secliunii la varia{iamomentului incovoietor se realizeazl prin intreruperea succesiva a platbandelor de pe talpa sectiunii(fi9 13 30).

Abscisele sec{iunilor de platbanda pot fi determinate din condilia ca momentui incovoietorefectiv din sec[iune produs de fortele exterioare sI fie egal cu mcmentul capabil al secjiunii grinzii.fara platbanda i-espectiva. Astfel abscisa sec{iunii 2-2, va rezulla din ecua{ia:

M, {x, r- tt?,;!p =wr2;J,nc

unCe Wf r.2t esle modulul de rezisten{a net al sec{iunii sldbite 2-2.

intreruperea platbandei nu se face exact in punctul de abscisa determinat din calcul. aceastase preiungegte spre zona de moment incovcietor mal mic cu o Iungime necesara flxdrii, Grinda deegalS rezistenta astfel construtti iinde spie ior-ma ideal5, cand diagrama inflgui-atoi'ii monientuluicapabil este identici cu diagrama grinzii ideale.

13, 12 Calculul de rezistenti a grinzilor cu sectiune compusi

Pentru grinzile cu deschideri 9i incarcdri mari, este necesar sa se utilizeze seciiuni compuseasamblate prin nituire sau suduri (flg. 13, 31).

38i380

o b,u, =dft pentru x = I

b

Fig 13.28

Penrru a prelua fo(a tiietoare ,,F" din extremitatea libera a barei, li{imea minima a sectiunii

din capatul liber rezulti din condiiia:

3V.Lxzmax -. n :r\d,f

z imtn

Varia{ia liniari a elementului din extremrtatea liberi se corecteazd astfel incat: b(x) > b*n.

1L 5ect: I - I qscj, L2

f - -3v-_l,h

i"". -

?!o*o,l

2b

Fig 13.29

Forma ideali a grinzii de egali rezisten{a este diflcil de realizat in practicd, din acest motiv

pentru ccnstruirea grinzii de egala rezisten!d, se adopti forme de sectiuni simple, cAt mai aprooiate

TT TTll r... llJL-_ ll--lN--

hcrs:

Rezisten{a matertalelorRezisten{a materialelor

lncovoierea plani cu for{i taietoare

ln cazul sectiunllor compuse, se admite

conlucrare perfectS, realizala prin elementele

comportandu-se ca un element monolit.

ipoteza ca intre elementele componente existd o

de solidarizare, sub actiunea lncircdrilor grinda

c) d)

Fig. '3 31

Punerea in eviden{a a efectului solidarizarilor asupra capacititii portante Ei a modului de

deformare se realizeazl studiind o grinda din iemn cu secliunea compusS, alcituiti din doui

elemente cu secliune dreptunghiulara (fig. 13.32) in urm5toarele ipoteze:

a) cand elementele componente ale grinzii sunt nesolidarizate intre ele. NeglijAnd

frecarea la nivelul suprafe{ei de contact dintre cele doua elemente, sub actiunea incarcarii, flecare

element se defori"neaza independent (flg. 13 32- a). Astfel ipoteza lui Bernoulli nu este respectatd pe

intreaga secliune, fiecare rotindu-se independent in jurul planului neutru. Tensiunile normale 9i

tangenliale au formele de distribir{ie cunoscute pe fiecare sec{iune dreptunghiulara componenti (flg.

1 3. 32- b),

Capacilatea portanta a grinzii cu sectiune compusi in acest caz, este egalS cu suma

capacitalilor porlante a elementelor- componente, adici:

(1 3. e3)

Elementele componente lucreazi independent la incovoiere dar axele lor au aceeagi razi

de curbura, in consecin{dl

Mvt -

Mvz

Elyr Elyz

Jinand seama de relalia (13.93) gi de proprietStile girLirilor de rapoarte egale se obtine:

Mvt-Mvz= L (13.94)E1,., E1,,, Et i,,,

t tLi

Din relalia (13.94) se determind valoarea momentelor incovoietoare preluate de flecare

element component:

I

ir [, ty1

lvl,,1 - tvt,, - -r, , t1,,,4t\

i

t,,,si Myz =un, i[ pentru i ='1,2

b)

(13.e5)

{t)'-t

,iltt7

aj

O" nr

"F

I

c) d)

Fig. 13 32

Valorile tensiunilor normale in flbrele extreme ale sec{iunilcr componente sunt

11|- l'o

[.4,,nr vr

VVv 1

r|t,4,,"

SaU OZru, =ffi

Avand in vedere rela{iiie (13.95) gi expresrile caracteristicilorgeometrice w, $i l, se ob{ine

_ 6M, onf 12 My h,6x1.max= ;--- -:bhf Ilv, 2 lly,

6^ -6\pq| 12 Ytj,"xrmax ofi lly - 2 lly;,

383

0* -.t


de unde rezulti ci.

o y1,max n1

Ox2.max n2

in cazul pai-ticular cAnd geometria elementelgr componente este iden1cd h1 = h2 = h se

obtine:

611 rar - 02 max gi Vr1 - My:

Momentul capabil ai grinzii compuse nesolidarizate va fi:

Calculul de rezistenta la incovclere a grinzilor cu sec{iune compusi alcatuiie din elementesolidarizate, se realizeaza astfel:

. se calculeaza rezisten{a sectiunii ca pentru 0 secliune monolita;

. se determina numarul gi dimensiunile pieselor de prindere astfel incAt acestea sd poatiprelua lunecarea longitudinalS dintre elemente.

ln cazul particular al grinzilor metalice cu sec{iunea sub forml de dublu T, aicituiia oinplatbande solidarizate intre ele cu ajutorul cordoanelor de sudurd continue(fig. 13.33- a) saudiscontinue (flg. 13 33- b). respectiv inimd 9i tdlpi din mai multe platbande gi corniere legate intre elecu nituri (fig. 13 32d) in calculul de rezisten!5 se parcurg urmatoarele etape:

1) determinarea dimensiunilor sectiunii transversale se realizeaza din condi!ia derezistenti la tensiune normali in sectiunea cea mai solicitati:

nr3|\/. ^.^ . 2|\,/,,. ^.^ = 2RW,r - R^ "'

l.-xv , t.uor t' " l(1 3.96)

|\lu/ ntax /Do.(e' .ar - W ^, t no -1

y,cr

N4.

\4/ - I max

' Kd

b) cind elementele componente ale grinzii sunt solidarizate intre ele, Iunecdrile dintre

elementele componente fiind impiedicate, grinda se comporte la incovoiere ca o grindd monolitS

lpoteza lui Ber-noulli se respect5 pe intreaga inSllime a sec{iunii compuse, diagrameie de varia{le a

tensiunilor pe inSl{ime au formele cunoscute pentru secliunea dreptunghiulara (fig 13.24 d)

It4omentul capabil al grinzii soiidarizate va fi,

My cap = Wy,n.tRa

in cazul grinzilor sudate Wy.nec este modulul de rezistenia al sec{iunii brute iar in cazul

grinzilor nituite este al sec{iunii nete, {inandu-se seama de sl5birile produse de golurile prln care trecniturile:

unde;

w, ^" = !-t' gi ly,rer = ly nr -ly sr' z^u^

in cazul particular cAnci grlnda este alcatuita din elemente cu sectiune transversala identicir,

neglilAnd momentul de ine(ie axial al slSbirilor, rezulta:

nft\2 nh3My,u, =RcW/e. =*. ? =r*. T

lrrwy n.. - tv, ,, - ii respectiv w, .e, - \{y ier - , o',,'

,t t

Dimensiunile sec{iunii se stabilesc in baza prevederilor prescrip!iilor d'e proiectare aelementelor metalice.

Dupi predimensionarea secliunii transversale este necesar si se efectueze verificirilede rezistenli:

. in sectiunea cu moment incovoietor maxim:

v,,oxe{ rar =;ao1 . no

"y net,ei

. in sectiunea cu fo(i tiietoare maximi:

\/ 6V- J- L.

max 4'u - nLvze'.rnar- +L :ndltt'y. br

Sv br Sv.nelutrudt cuu

ly,n'. ly.ner

(13.e7)

ComparAnd relaiiile (13 97) cu (13,96) rezulta ca degi consumul de materlal este acelagi,

capacitatea por4anti a grinzii cu elemente solidarizate este de doui ori mai mare decit a

grinzii la care elementele componente sunt nesolidarizate:

Myrup = zuy"up,"'

Se desprinde astfel ccncluzia urmAtoare: grinzile alcituite din elementele solidarizate au

capacitate portanti mai nnare decAt cele alcituite din elemente nesolidarizate.


386 incovoierea planA cu fo(5 tbietoare

'ffi' ! t l . --i. l, J. l,

,i ''*o e'- |i;'t mm trm tmn t

ht h""^

(1 3.e8)

unde:

- g:X'.r- este aria diagramei de for{i tbietoare pe lungimea'e" in zona cu to(e taietoarennaximE;

- lr,br - este mornentul de iner{ie axial brut al intregii secliuni;

- Sy,nr - esle momentul static al pirlii care luneca (platbande $i corniere delimitaie de axulniturjlor de tip doi ;i pariea suDerioard a sectiunii) in raport cu axa neutra.

C6nd Cistanta dintre nituri este mica, se poate considera cd fo(a taietoar-e este constanli peintervalul respectiv gl rela{ia ('13 98) are forma particulari;

/1e oo\

I __- lb

c)

,II-L.Li

i

Fig. 13.33

. in secliunea in care eforlurile seclionale Mu 9i V, cu valori mari in punctele de pe

secliune din dreptul elementelor de prindere dintre inimi gi tilpi;

t. r6ecir - voi '3tir <Ro

Ve1flcarea la tensiune echivalentS se efectueazd qi in secliunile unde se realizeaze

modiflcarea sec{iunii.

2) calculul elementelor de solidarizare , se realizeazb din conditia ca elementele de

solidariZEE praa lunecarea dintre pe(ile componente ale secliunii. Astfel se disiing urmitoarele

cazun.- solidarizarea cu nituri , pentru care condilia de rezisten{a se exprima sub urmetoarea

formi:

L1,n ( Nrup,ln (13.e8)

adicd fo(a de lunecare L1,n care revine unui nit sa fie mai mici sau egalS la limiia cu fo(a capabila a

nitului N..o rn. Niturile verticale unu, impiedici lunecarea platbandelor talpilor fald de cornlere iar

niturile orizontale doi, impiedicd lunecarea tdlpilor alcatuite Cin corniere 9i platbande in raport cu

inima grinzii (ng 13,25- e). Diametrul niturilor se alege din condi{ii conskuctive, funclie de grosimea

pieselJr .ur. i. solidarizeazi, Din motive constructive diametrul niturllor verlicale este egal cu

diametrul niturilor orizontale, De asemenea distanla ,,e" dintre cele doua tipuri de nituri este egalS in

lunEul grinzii. Forta de lunecare care revine unui nit este:


lntroducAni relatia i13 99) in relalia (13.99) se obline;

Vznaxsybr^-^,

I" u \r\cao'n

in caTe N.uo,in =rnin[Nr;N.], for{a capabila la forfecare N1 gi fo(acalculeazh cu relaliile (9,10) respectiv (g.11) in concluzie, distaniasuccesive este:

capabild la strivire N. se

necesara dintre doud nituri

Din punct de vedere constructiv, distan!a €,,". s0 va incadra intre limitele: e*;n =3d(6tr,n)9i smax = 6d(12tmin) Niturile de tip unu flind mai pulin solicitate gi dispuse la aceeagi distanld nunecesiid o verificare supiimentari. De aceeagi rnaniera se realizeaze calcLilele pentru grinzjsolidarizate cu guruburi sau cele din lemn solidarizate cu buloane sau pane din lemn.

' solidarizarea cu ajutorul cordoanelor de suduri continue sau discontinue. AtuncicAnd cordoanele de sudurS sunt continue, condi{ia de rezisten!5 se exprima pe unitatea de lungime,in zona unde fo(a tiietoare este maximi:

Lr,.f < Nr,..p

incovoierea piana cir

ffill

I

lli:1,",,,',,',',.",,,,,",,,,,t,,,,,,,,t,",i

=ffit-/

l1

il

-#-e)

Rezisten[a materialelor

(1 3. I 00)

incovoierea pland cu fo(5 tiietoare

unde 1r,.1 este lunecarea speciflca efeciiva ia nivelul imbinarii dintre inima gi talpa care se

determind cu relalia:

lncovoierea pland cu fo(5 laieioare

Pentru a dimensiona cordoanele de sudurS, se impune lungimea de calcul t! gi distan{a ,e

dintre centrele cordoanelor de sudura, determindndu-se prin calcul grosimea acestora,

Verificarea rezisten{ei cordoanelor de sudurd se realizeazi cu relatia;

- L...' Vr.-,ursye - -.tei.s=

^ --1. .. =^dlAs eJ 2lrarl,

Pentru ca lunecarea intre pi(ile componente ale seciiunii si fle cit mai micd, aceasia se vaalcatui de aga maniera incdt solidarizarile dintre acestea si se realizeze in zone cAt mai departate depunctele unde tensiunile tangen{iale au valori maxime.

13" 13 Calculul de rezisten{i a grinzilor cu sectiune compoziti

Elementele liniare solicitate la incovoiere, alcituite din doui sau mai multe materiale cuproprietiti mecanice diferite se numesc grinzi cu sectiune neomogeni, mixta sau compozitS.Elemenlele componente ale grinzii lucreazd la incovoiere independent cand intre acestea nu existiconlucrare sau ca un tot unitar cdnd inrre ele exisl5 o conlucrai'e oerfeciS,

13.13.1 Grinzi cu sectiune compoziti alcituiti din elemente firi conlucrare

Neglijand frecarea dintre elementele suprapuse cu sectiune dreptunghiulara inke care nuexisti conlucrare, confec{ionate din materiale diferite, sub ac{iunea incircarilor, se deformeaziindependent (fig. 13 32-a). Pe sec{iunea transversala tensiunile normale gi tangen{iale au forma dedistribulie cunoscuta pentru fiecare sectiune dreptunghiulard componenti (fig. 13.32-.b) Evaluareaacestor tensiuni impune cunoagterea valorilor eforturilor seclionale preluate de flecare element.Pentru momentul incovoietor s-a dedus in paragi'aful 11.10 ca momentul incovoietor preluat deflecare element component al grinzii se determina cu rela{ia.

(13.107)

AvAnd in vedere relalia diferen{iala de dependenlaincovoietor M' fo(a tdietoare preluati de elementul ,,i" este;

3893BB

ln care:- Sy,t - este momentul static al tdlpii in raport cu axa neutra;

- l, - este momentul de ine(ie al inkegii secliuni,

Fo(a capabilS specifica a cordoanelor de suduri este data de relalia:

N.,cap = 2ar lRl 1 (1 3.1 02)

in care a, este grcsimea cordonului de sudura. inlocuind rela{iile (13101) qi (13.102) in relatia

(13 100) se obline grosimea necesari a cordonului de suduri:

113.i03)

Atunci cAnd cordoanele de sudura sunt discontinue, conditia de rezistenla se exprima sub

forma:

L. . Nr,.up (13.104)

in care L. este fo(a de lunecare rezultanti de pe distanla ,,e" dintre axele a doui cordoane de

sudura succesivet

(13 105)

- Vz,ru*Sy,t

ly

Fo(a capabili a cordoaneior de sudura este dati de relatia:

Nr,rup = 2asl:R; f

in care lungimea de calcul a cordonului de suduri este l! =1. *2a,

(1 3.1 05) 9i (1 3.1 06), relatia (1 3,1 04) devine:

(13101)

( 1 3.1 06)

"lmar"v1 ^ ,.^q' e<l?"liKirt."""v

-- V. "*S;l2>',]i"s nec - ?es .l ]


finand seama de relaliile


dintre fc(a taietoare gi momentul

A[,t tr I

,, "'u'Yi ,, 't'\/t

\-r I

LLityii-1

Valorile tensiunilor normale gi tangentiale dintr-un punct curenl

determind cu relaliile:

13.13.2 Grinzi cu secliune compoziti arcituiti din eremente soridarizate

Se considera ca intre elementele componente ale grinzii exista conlucrare atunci cindlunecarea longitudinald relativi din planul suprafelelor de coniact este impiedicat;.-stu,lirt star-ii detensiune din aceste tipuri de grinzi se bazeazape urmdtoarele i'oteze:

a) intre elementeie confeclionate din materiale diferite exista o conlucrare per-fecta;b) ipoteza lui Bernoulli este valabila penku intreaga sec{iunetc) elementele lucreazd ?n domeniul llniar_elastic:d) sunt neglijate deforma(iile produse de fo(ele t5ietoare;e) planul de incovoiere este plan de simetrje geometricd gi elastica.Grinda fiind solicitati Ia incovoiere pland cu iorla tiietoare pe sec{iune se dezvoltd tensjunj

normale gi tangeniiale. Studiul comportdrii la incovoiere pland purd a sec{iunii compozite s-a realizatln paragraful 1l10 Pentru determjnarea legii de varia{ie a tensiunilol trng*iilL la grinzile cusec{iune compoziti, se detageazd un volum par-alelipipedic delimitat oe ooira secliuni succesivesituate la distan{a dx gi un plan longitudinal paralel cu'pianul neutr.u situat ta usianla ,.y" fa{a de axa,2", efectuati prin materialul doi. Efectele p5(ilor indepartate se substitue cu tensjunile normale gitangen{iale care ac{ioneaza pe aceste fe{e, astfel pe secliunile transversale oe capai Lnsiunilenormale c, 9i ox ldox iar in planul seciiunii paraiel cu axa eiementului ac[ioneazd tensiuniletangenliaie Tzx cu semn contrar cregterii tensiunii normale do* (fig. 13. 34). Rezultantele tensiunilorde pe aceste fe{e suni:

c N - este rezultanta tensiunilor normale de pe secliL.r'nea transversald cu abscisa x:

h1

h2

(1 3.1 08)

al sec{iunii elementului ,.i" se

-Trr.r.*

ot."r,

'b!Fig. 13. 34

Condiliile de rezistenla la tensiunile normale gi tangentiale se exprimi cu relaliile

M,,, M" -," Erlvi.y||)Ia^o,na" -*,' = ,i- n -aKd"v.' "'), \-tr Il'- "!i=1

Vz ma^.ibv, , , t; )yi - --Vr*r* - -, SKdib,lu +-, D;I l' \ tr.t

L ,tl

M.^-^=rinl Ro ligr .' \/ ='inl

Roib\',Jov

IEiz,'.u*;JJ v: $i vzcap=t't[#r,

]:='t

Nz+ dNzl:l

} N+dN

NJt

Fig 13. 35

Mv, - V, Sv;

"t -lr'' 'xzi blr,i

/A.t-\l I,7

(1 3.1 0e)

Txz max.i(1 3.1 1 01

Din relaliile (13.109)9i (13.110)rezulti ca eforturile sectionale capabile ale grinziicu sectiune

compozita sunt:


(13.111)


393392 lncovorerea plana cu fcr{5 tAietoare

este iezuliania lensiuniloi' norn-iale de pe sectiunea lransversala cu absclsa

Inccvoierea planS cu fo(5 tiieloare .-__CAnd sectiunea este alcatuiti Cin.n" matei'iale, cu materialul unu de referinld, tensiunile

tangen!iale pentru materiaiul ,.i"se determini cLi relalia;

- VrSvsl ..6 (z)

';z,l - !zi0,iZ lilCl.ech

in care b; este litimea reala a materialului ,,i",

inmullind numaratorul qi nLrmitorul relaliei (13 f i3) cu rapo(ul E;iE1 9i !in6nd seamra de faptulca (E;iF1)b1(z)= bi,..n (z) rela{ia (13 1 13) capat- fcrma:

VrS u" 1 ,." izlr'' - o *to;;nt

-.- [] t\l(t L\ - ui\

x+dx;

o dL - esie rezuitanta tensiunilor tr* din planul felei longitudinale,

Scriind ecualia cje echliibru a rezuitantelor care ac\ioneazl pe felele oaralelipipedulul deiimitat

esie:

IFr:0 - N+dN-N-dN=0 = dN=dL

AdmrtAncj ipcieza ci lensiunile tangenliale tzx sunt distribulte uniforrn pe lilimea sec;tiunii

icngiiudinale 9i avAnd in vedere princlpiul dualitdlii tensrunilor tangentiale rezultil

dL =txz:b:dx=dN = {d('xCA, - {do,dAz (13.'t12)l

Ar

in cazul grinzilcr'lungi, rela{ia (11. 30 b) se considerd valabilS qi in cazul incovoierii cu fc(5

lireio:re. Acr-r,llanc :! :naterialul '-tru este de r-eferin!5 in determ nai-ea seclirnii echivalente se

ib!ire :

d[4 ,do.- 'zry0

1, ecn

Relstiile (131131 sr (13.'1 14) repi-ezinta fc'rmuia generalizata a iui Jurawski pentru sec{iunile

Foria de lunecare eiementara dintro secliune longiiudinaiS carecare sau de pe suprafala deseparatie a Caui materiale ester

V {xJS,.recn{zl-lt - rt,, 4 YUJ_ . T'JC ( _ ,r,, ,,,

d^

Fc(a de lunecare pe o lirngime ,,e" care revine unui element de solidarizare are valgarea:

\/ c i-r, vzrvO1 ech t z l

: -j _,ri.. .''t,'o'at'tc,li

i(,c / l, ^, i t1\.a^r67,^1a\ J. 'J , \'J.i.v'. -,"!6in,-

compozitb care tinde sa lunece:

(1 3.1 1 3)

(1 3.1 14)

(13 115)

(1 3,1 1 6)

rnomentui siatrc ai pe{r' de sec{iune

,.l inlocuind in rela{ia (,'t3.112.\ rezulll

d\4,, dlv4,,r^r2b,dr- .J -rzOA. 'J,' zn2PA2

i, 110'.eci r 'y01 ech

de unce:

r dMlt",:__ )l lzdA.+ in.,.zdAtl';1

b2lrn..6. oX j :' I

sau ,-\-

viJvllec'l1t. i2.7 r

u 2ryC l.ecn

in care syclecnh'1= lzdA,+ ln2.,zdA2, Syot,r.n(z) este momentul static in raport cu axa neutre

Ai A2

al suprafelei 0e secliune echivalenta care luneci in raport cu nivelul ,,2" la care se cjetermina

tensiuniie tangenliale iar,,b"esie lSlimea reali a sectiunii la nivelul unde se determinb iensiunea

rangenr aii i

: Vt (x )Su"nt o.r, (z)L=] ' {X

I ryOi,ech

Atunct cand distania dtntre elementele de soiidarizare este suflcient de mic5, fo(a taietoare sepoaie considera constanti;i rela[ia (13.1 15) devinet

Syor,..n (V)= Srgl - Syczn:t - + Sy0i[]1 = Atzc,t * A*g,2n2t -r-"" t A126.;n ,1

in care 261 este dtstan(a de ia cenku c1e greutate al suprafeiei de material ,,i" pinii la axa neutrA a

sec{iunii echrvalente raportata la materialul unu,

Deoarece fo(a de lunecare din planul de separalie dintre doua materiale are valoare unica. in

cazul grinzilor cu sec{iune compozita cu la{ime constanta (secliune dreptunghiular6) pe inallimea


394 incovoierea pland cu fo(a tdietoare

sectiunii, tensiunile tangentiale din cele doui materiale care vin in contact, la nivelul de separaiie auvaloare unlce.

in cazul grinzilor cu secliune compozitl se realizeaza din doud sau mai multe materlalediferite agezate pe orizontala, solidarizate lntre ele, tensiunile normale se determini cu rela{ia (11. 30b), avAnd valori diferite pentru flecare materiai. lzoland un element de volum (fig,13.36) 9i scriindecuatia de echilibru static;

IF, =0 = Z(N, +Otrir)+Ht1+dN1*2d12 -dL, =g

de unde:

2dL2+ d\ = 2dNz + dNr

dlr:65r $i dL1 -dNr

N,i+2

N2/2---_

N1

!- rg. I J. Jb

dL2=trr,2b2dx 9i dN2= Jdo*2ciA2= 1$\r,On,42 4lYol.ecl'

se obtine:

r,.rbrdx- f !!' flr,dAr :=' .-." -dM, 1

- ip".26{" - v'Svozttn(z)

o'lyorech ' ox b2lyor "r, i,,'

' b2lyo'ech

Similar pentru tensiunea tangenliala din materialul unu:

- VtsvlrA 1 =

b,h-e_

in care Syoz,ecn (z) este momentul static in raport cu axa neutri al ariei echivalente a materialului doi

care tinde sd lunece gi Sr,1 este momentul static al suprafetei reale a materialului unu care tinde silunece in raport cu axa neukd a sec{iunii echivalente determinata considerAnd ci materialul unu estede referinla pentru sec{iunea echivalenta.

dN,

finand seama de faptul ca:


Bibliografie 397

BIBLIOGRAFIE

1. BENHAM P.P., CRAWFORD, R, J., - Mechanics of Engineering Materials,

Longman Scientifical and Tehnical, 1990;

2. BIA C,, - Rezistenfa materialelor, vol.2, Cluj- Napoca, lnstitutulPolitehnic, 19BB;

3. BIA C., ILLE, V., SOARE, V.M., - Rezisten{a materialelor gi teoria elasticititii,

Bucuregii, Editura Drdactici 9i Pedagogici, 1983;

4, BLUMENFELD, M., - Strength of Materials, Departament of Engineering, Polytechnic

lnstitute, Bucharest, 199'1 ;

5. BORESI A.P,, SCHMIDT J.R,, SIDEBOTTOM M.0., Advanced Mechanics of

Materials (5- th Edition, John Wiley Sons, lnc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto,

Singapore, 1993

6. BUZDUGAN GH,, BELE$ A., BLUMENFELD M., - Rezistenta materialelor-aplica(ii,

Editura Academiei RomAne, Bucuregti, 199'1;

7. BUZDUGAN GH., - Proiectarea de rezisten[d in constructii de magini, Editura

Academiei RomAne, Bucuregti,'1 998;

7. CONSTANTINESCU 1., DANET G., - Metode noi pentru calcule de rezistenli,

Editura TehnicS, Bucuregti, 1989;

B, COURB0N, J., - Resistence des materiaux, Paris, Dunod, vol. l, 1964;vol. ll, 1965,

9, CURTU 1., SZAVA N., RADU GH,, -Rezistenta materialelor, Universitatea Bragov,

.1 00n.


Bibliografie

10. DEUTSCH 1., - Rezisten{a materialelor, Ed. Didactici gi PedagogicS, Bucuregti,

I 979;

11. DIACONU M., GORBANESCU D., - Rezistenfa materialelor, vol. 3 9i4, lagi, lnstitutul

Politehnic, '1990;

12. DIACONU M., - Rezistenfa materialelor-Aide"memoire- Editura tehnicS, gtiintificd gi

didactrcd CERMI, lA$1, 2002;

13. GERE J.E., TIMO$ENK0 ST, P, - Mechanics of Materials,4{h Sl Edition, Stanley

Thornes ( Publishers) Ltd., 1999

14. FEDOSSIFV, V., -Resistance des Materiaux. Problbmes et questions choises,

Moscova, Editions llu, 1977',

15. GORBANESCU, D., - Rezisten[a materialelor, vol.1., lagi, lnstitutul Politehnic, 1992;

16. ILLE, V,, BlA, C., - Rezisten{a materialelor, vol. 1, Cluj - Napoca, lnstitutul

Politehnic, 1980;

17, MARTlAN,l.,lOANl, A.M., - Rezistenta materialelor, vol. 2, Clul-Napoca, lnst.

Politehnic, 1991 ;

18. MASSONET, CH., - Rdsistence des Matdriaux, Liege, Sciences et Letters, 1982,

19, MURARA$U, V,, - Rezistenta materialelor, vol 1, Republica Moldova, Universitatea

Tehnici a lVoldovei, Editura Tehnica-lnfo, Chilindu, 2001;

20. MURARA$U, V., - Rezistenta elementelor structurale, Editura tehnica, gtiintificd 9i

didactici CERMI, ISBN 973-81BB-21-0, lA$1, 2002;

21, NASH, W.A., - Strength of Materials, editia a 2 - a, New York, Mc Graw-Hill Book

Company,1977;

22. PANTEL, E., lOANl, A., - Rezistenta materialelor, vol. 1, Cluj - Napoca, lnst.

Politehnic, 1985;

23. POPOV E.P. - Engineering Mechanics of Solids, Englewood Cliffs, New York

Pretice Hall, 1990;

24. PRECUPANU D., - Fundamente de rezistenta constructiilor, Editura Politehnium,

lagi 2009;

25, PRECUPANU D., - Rezistenta Constructiilor, vol. l, lagi, lnst. Politehnic, 1983;

26. POSEA N., - Rezistenta Materialelor, Ed. Didacticd gi Pedagogicd, Bucuregti, 1979;

27. REES, D. W. A

Company, 1990;

The lvlecanics of Solids and Structures, lilc. Graw Hill Books

28. SPIEGEL 1., LIMBRUNNER G., -Applied statics and strength of Materials, Mac

Millan Publishing Caomp.. 1991;

29. UNGUREANU, N., - Rezisten[a materialelor 9i teoria elasticiti[ii, lagi, lnst.

Politehnic, " Gh. Asachi", vOl. l, '1979;

30. UNGUREANU, N., VRABIE M,, - Rezistenla materialelor, vol, l, lagi, Universrtatea

TehnicS " Gh. Asachi", lagi 1999,

31.VLAD, 1.M., IBANESCl_/ IM,,-Strengthof Materials, Ed.Cermi. laEi,Univ. Tehnica,,

Gh. Asachi", 1998;

32, VLAD, l.h/,, BOAZU p,, - Rrisistance des materiaux, Ed. ,,Gh. Asachi", lagi2001.

33. VLAD,l.M., -Strength qf Materials.Selected Problerns, Ed. Tehnopres, lagi, 2004;

34, *** HUTTE, BERLIN - Manualul inginerului, Fundamente, Traducere dup6 editia a

29-a, Ed. Tehnica Bucuregli, '1995;

Rezistenta materialelor Rezisten!a materialelor

Rezistenta Materialelor 1 - Vasile Murarasu

Documents

Transcript of Rezistenta Materialelor 1 - Vasile Murarasu