Re ele de t riangul a i e topogr af icEtapele de proiectare1. se determin pe hart la scar mic suprafaa de ridicare. 2. se aleg punctele de triangulaie i amplasamentele bazelor astfel ca s existe vizibilitate ntre ele. Punctele de triangulaie se aleg pe locuri dominante ca s se asigure o vizibilitate ct mai bun n turul de orizont la ct mai multe puncte. Pentru stabilirea vizibilitii pe hart se construiesc profile ale terenului cu ajutorul curbelor de nivel. E obligatoriu ca viza ntre punte se treac deasupra obstacolului la cel puin 3m. 3. triunghiurile reelei trebuie s fie bine conformate adic s formeze pe ct posibil triunghiuri echilaterale deoarece n acest caz transmiterea erorilor de la un triunghi la altul se face cu erori minime. 4. n funcie de relieful terenului i obstacolele care trebuiesc limitate se alege tipul reelei de triangulaie local.

Tipurile de triangulaie locala. Poligon cu punct central.

1 5 V IV 4 41

b

5

5

5 4

I 1 3 III

1

2255

1 5 V IV 4 41

bs

4

6 2 II

5 4

I 1 3 III

1

22

23

4

6 2 II

23

3

3

3

3

Poligonul cu punct central se aplic pe terenuri ntinse n toate direciile i cu vizibilitate bun. Poate avea 5-7 triunghiuri, n unul din triunghiuri se msoar o latur (baza normal) iar acest triunghi va fi numerotat ca primul triunghi. Celelalte triunghiuri vor fi numerotate n sensul acelor de ceasornic. n cadrul lucrrilor de teren se vor msura toate unghiurile triunghiurilor i se vor nota respectiv cu i, i, i . se determin i orientarea bazei. b. Patrulater cu diagonale observate. Se aplic pe terenuri cu suprafee mici.

2 4b

2

2

1 II III4 3

3bs

4

2

1 II III4 3

3

I

I

1

IV 3

21

1

IV 3

2 4

1

4

Notarea triunghiurilor i a unghiurilor se face considernd triunghiurile suprapuse. I. triunghiul 123 II. triunghiul 234

III. triunghiul 341 IV. triunghiul 412 Se msoar latura (b) i toate unghiurile formate de direcia diagonalelor i a laturilor (1, 1, 2, 2 etc) se determin orientarea bazei. c. Lan de triunghiuri. Se aplic n cazul suprafeei alungite (vi nguste.)

b

1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 6 7 7 1 1 2 4 3 3 5 5

bs

Se msoar toate unghiurile din fiecare punct, dou laturi (n primul i ultimul triunghi) sau dou baze scurte, sau o latur i o baz scurt i orientrile acestor baze. Dac numrul de triunghiuri n lan este mai mare de 10 atunci peste fiecare 10 triunghiuri se msoar baza de control. Notarea unghiurilor se face dup regul: unghiul opus laturii comune ctre care mergem. unghiul opus laturii comune cu triunghiul din urm. al treilea unghi.

Criteriile care trebuie respectate la proiectarea unei reele de triangulaie1.Lungimea laturilor triangulaiei locale s fie de 1 3 km; 2.S existe vizibilitate ntre punctul stabilit i punctele din reea. 3.pentru ndesirea reelei se stabilesc puncte care vor fi determinate prin intersecii (nainte, napoi, combinate). 4. S se asigure dup ndesire prin intersecii o densitate a reelei de circa 1-3 puncte pe km2. 5.reeaua de triangulaie s fie bine conformat. Nu se admit unghiuri mai mici dect 30, dar nici obtuze, se solicit unghiuri de 60-70 (triunghiuri echilaterale). Bazele scurte (auxiliare) se aleg n general dea lungul cilor de comunicaii, pe vile rurilor i se dezvolt pe o latur ale crei capete sunt la altitudine mai mare pentru a ctiga invizibilitatea. Bazele auxiliare trebuie s ndeplineasc aceleai condiii de amplasament ca i bazele normale.

Operaii de terenRecunoaterea terenului prin marcarea i semnalizarea punctelor n triangulaia local sunt identice celor de la triangulaia geodezic de stat i asupra lor se insist la cursul de geodezie. Msurarea bazelor de triangulaie local se execut cu panglicile de oel de 50 metri. Pentru o precizie mai ridicat msurarea se efectueaz cu fire de invar. 1. Pregtirea terenului pentru msurare const n: - alinierea cu jaloane; - se cur terenul de vegetaie i obstacole;

A

L11

2 1 L22 3

L3 B D3

D1

D2

- se picheteaz baza cu rui (din 50 n 50 m sau 100 n 100 m). Pichetarea bazei se face cu teodolitul de la captul B spre A n acelai timp se fixeaz i punctele de schimbare a pantei. Pichetarea bazei se face n scopul determinrii diferenei de nivel prin nivelment geometric pentru reducerea la orizont a bazei. Efectuarea msurrii de teren a bazei : - se msoar fiecare panou de pant uniform (l1, l2, l3) ca distane independente de 3-4 ori dus-ntors. - Ecartul Lmax = Lmax Lmin al distanelor L msurate trebuie s se ncadreze n toleran Lmax < T = 0,03 + 0,002 1 m 2 Calculul lungimii laturilor folosind baza frnt. Dac AB fiind baza normal a unei triangulaii locale trece peste un obstacol, care mpiedic ntinderea panglicii, dar permite vizibilitatea n lungul AB se aleg 2 baze auxiliare AC, BC care se pot msura n condiii normale. Distana CC' trebuie s fie ct mai mic. Pe teren se msoar AC i CB 1 ca baze obinuite. Dup aplicarea coreciilor se obin distane orizontale D1 i D2. Calculul lungimii definite AB. 1. Calculul coreciilor unghiurilor: 2 1 Cu = 200G ( + + ) 2. Calculul unghiurilor corectate:

A

C

B

D

D

C D1 + + = (11

D2Cu 3) + (1

1

= 1 +

Cu 3

;

= 1 +

Cu 3

;

=1 +1

3. Verificarea unghiurilor corectate:

Cu 31

+

+

Cu 3

) + (

+

Cu 3

)=

1+

+ +31

Cu 3

= 200G

4. Se calculeaz 2 valori ale lui DAB pe ci diferite:

D 1 = D1 + D2 = D1 cos + D2 cos 2 D 11 = D12 + D2 2 D1 D2 cos

TD.

5. Ecartul ntre cele dou valori D 1 i D 11 ale lui D trebuie s se ncadreze n tolerana D = D' D'' < TD = 0,003m + 0,002 D

6. valoarea lungimii bazei D se calculeaz ca media valorilor D' i D'', fiind valoarea cea mai probabil:

D 1 + D11 D= 23. Calculul lungimii laturii folosind baza scurt. Este cazul obinuit ntlnit n regiunile deluroase sau muntoase. Dezvoltarea bazei AB pe latura de triangulaie CD se face cu ajutorul unui patrulater. Baza scurt e de dorit sa fie ct mai perpendicular pe CD. Baza scurt se alege astfel nct s respecte

B

condiia b >

A

2

2 3bs

CD . 4

1

3

4

C

Pe teren se msoar: 1 1 1 1 1 - unghiurile 1 , 11 , 2 , 2 , 3 3 ,

1 4D

-

Baza scurt AB crei i se aplic coreciile respective i se calculeaz distana redus la orizont b0.

1 1 4 , 4 ct mai precis (2-4 serii).

Calculul definitiv al lungimii CD. 1. se compenseaz unghiurile. 2. cu unghiurile compensate i valoarea bazei b se execut calculul laturii CD folosind teorema sinusurilor. Precutm triunghiul ABC:

b sin( 2 + 1 ) AC = BC = b

=

AC BC = sin 2 sin 1 sin 2 = M 1 sin 2 sin 1 = M 1 sin 1

sin( 2 + 1 ) b sin( 2 + 1 ) b

Precutm triunghiul ABD:

sin( 4 + 3 ) AD = BD = b

=

AD BD = sin 3 sin 4 sin 3 = M 2 sin 3 sin 4 = M 2 sin 4

sin( 4 + 3 ) b sin( 4 + 3 )

n triunghiul ACD cunoatem AC i AD

AC AD CD = = sin 4 sin 1 sin( 1 + 4 ) CD = CD = AC 1 sin( 1 + 4 ) = M 3 sin( 1 + 4 ) sin 4 AD sin( 1 + 4 ) = M 11 sin( 1 + 4 ) sin 1

n triunghiul ACD cunoatem AC i AD

CB BD CD = = sin 3 sin 2 sin( 3 + 2 ) CD = CD = CB 1 sin( 3 + 2 ) = M 4 sin( 3 + 2 ) sin 3 BD sin( 3 + 2 ) = M 11 sin( 3 + 2 ) sin 2

Valoare definitiv a lungimii laturii CD rezult din media celor patru valori calculate.

Msurarea unghiurilor triangulaiei localeUnghiurile triangulaiei locale se msoar prin metoda seriilor. n legtur cu variaia coeficientului de refracie, care trebuie s fie ct mai mic. unghiurile orizontale se recomand s fie msurate dimineaa ntre orele i spre sear ntre

a. b.

8 00 1100

16 30 1930 . 11 00 15 00 .

Unghiurile verticale se vor msura ntre

- Este bine ca la nceput ntr-o staie s se execute un tur de orizont informativ (notnduse n carnet unghiurile aproximativ) pentru a nu roti prea mult luneta n cutarea semnalului. - Viza de plecare s fie o viz ct mai lung (viza mai lung este mai precis). - Punctarea s se fac ct mai precis, micnd uruburile micrometrice ntr-un singur sens. - Claritatea imaginii trebuie pus la punct de la nceput, fr a se mai mica focusarea n timpul observaiilor. - Firele reticulare de asemenea se pun la punct de la nceput.

Tema proiectului: ntocmirea reelei de triangulaie localReeaua planimetric de sprijin local se creeaz n zona de ridicat n care nu exist puncte ale triangulaiei de stat. Realizarea unei astfel de reele impune ntocmirea unui proiect al acesteia, pentru care se parcurg ca etape: recunoaterea terenului, stabilirea poziiei punctelor reelei, ntocmirea schielor de vizibilitate i a cotelor de reperaj, marcarea i semnalizarea punctelor. n continuare se msoar una sau mai multe baze i unghiurile reelei. Poziia punctelor este astfel aleas nct triunghiurile reelei s fie ct mai bine confirmate. Suprafeele deservite de astfel de reele sunt n general mici (sub 200ha), iar forma geometric a reelei, n funcie de legtura ntre triunghiuri, este de poligon cu punct central, patrulater cu ambele diagonale vizate, lan de triunghiuri sau lan de poligoane. Dup stabilirea poziiei punctelor, reeaua este figurat pe planuri generale la scri mici (1:25000-1:50000). Calculul triangulaiei topografice are ca faz iniial compensarea staiilor n tur de orizont i calculul direciilor compensate n fiecare staie. Dup aceast faz se realizeaz compensarea unghiurilor reelei locale, calculul laturilor reelei i n final determinarea coordonatelor punctelor din reea, att a punctelor poligonului cu punct central, a punctelor patrulaterului ct i a punctelor noi numerotate cu 50 i 51, numite i puncte de ndesire a reelei de triangulaie sau puncte de detaliu. La calculul coordonatelor punctelor de ndesire se va folosi dou metode: - intersecia nainte pentru punctul 50; - intersecia napoi pentru punctul 51;

Elemente iniiale:n vederea determinrii coordonatelor punctelor de triangulaia local sa dau urmtoarele date:

-

harta la scara 1:25000 a regiunii; observaiile azimutale pentru punctele de triangulaie i cele de ndesire; orientarea unei laturi de triangulaie; lungimea bazei; coordonatele unui punct din triangulaia dat;

Se cere:1.Proiectarea la scara 1:25000 pe hart a reelei de triangulaie local i a reelei de sprijin. 2.Profile pentru studiul vizibilitii n determinarea nlimii semnalului. 3.Schia vizelor de triangulaie topografic local. 4.Schia reelelor. 5.Compensarea msurtorilor. 6.Calculul lungimii laturilor de triangulaie. 7.Calculul orientrilor laturilor reelei de triangulaie. 8.Calculul coordonatelor punctelor de triangulaie local. 9.Calculul coordonatelor punctelor de ndesire: prin intersecie nainte punctul 50 i prin intersecie napoi punctul 51. 10.Inventarul de coordonate. 11.Memoriu tehnic. 12.Material grafic.

Varianta 12 punct 1 X 1438.06

Triangulaie topografic local Inventar de coordonate Y 1507.04

orientarea laturii PS1 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 2 3 1 1 2 8 50 7 2 5 8 1 5 6 8 2 6 7 50 8 5 7 1 8 50 6 8 1 2 5 6 50 7 51 2 5 6 50 8

PV

1-2 Carnet de teren Distane

25.0173 Direcii397.1047 367.9573 24.4541 90.8560 117.8213 60.2644

325.45

178.0369 243.4863 320.0964 96.3871 162.2231 240.2762 111.9260 167.1987 183.6373 229.7755 199.4954 269.9229 329.2449 349.7322 17.0229 83.9780 167.7803 208.1033 221.8484 272.5396 66.6733 120.4839 126.5053 180.0677 69.4709 154.8745 217.4912 299.5083 366.2405 385.8562 248.1216 333.9583 48.3088 129.2288 151.4353

5 6 6 3 4 5 4 3 2 4 1 1 3 5 8 5 9 8 9 9 8 8 50 6 7 51 7 6 7

2

2

1

7Avnd schia i carnetul de teren se pot uor calcula unghiurile i , i , i desenate pe schi:

-

pentru patrulater:1 2 3 4 65.4494 29.1474 65.8360 30.5916 1 2 3 4 27.3494 78.0531 26.9653 76.6101

-

pentru poligon cu punct central: 5 6 7 8 9 55.2727 70.4275 67.2907 54.0681 53.8106 5 6 7 8 9 59.3220 66.9551 50.6912 59.5838 62.5768 5 6 7 8 9 85.4036 62.6167 82.0171 86.3479 83.6147

Operaiile de calcul ale triangulaiei localeOperaiile de calcul ale triangulaiei locale, cu toate c se desfoar n aceeai succesiune ca n cazul triangulaiei geodezice, prezint unele aspecte speciale legate n primul rnd de metodele de compensare a unghiurilor. Metodele care se vor prezenta n continuare sunt specifice topografiei. O reea geometric de triangulaie trebuie s satisfac condiiile: - suma unghiurilor n triunghi s fie egal cu 200 g ; - suma unghiurilor n jurul unui punct s fie egal cu 400 g ; - ntre laturi i sinusurile unghiurilor opuse s existe raporturi de perfect egalitate; Pentru ca reeaua de triangulaie local s ndeplineasc aceste condiii trebuie compensat. Compensarea unghiurilor n reea const n calcularea unor corecii ce se aplic unghiurilor orizontale msurate pe teren n aa fel nct reeaua de triunghiuri s devin o reea geometric n interiorul creia s putem aplica relaiile din geometrie i trigonometria plan, obinnd aceleai rezultate, oricare ar fi sensul calculelor.

Compensarea unghiurilor triangulaiei locale de forma unui patrulater cu diagonalele observateUnghiurile definitiv compensate i , i geometrice: trebuie s satisfac urmtoarele condiii

a) suma unghiurilor n triunghiurile formate de

B2

3

III I

3 4

cele dou diagonale trebuie s fie egal cu 200 g ;

ACB 1 + 1 + 2 + 2 200 g = 0

II2 1

IV1 4

(1)g ABD 3 + 3 + 4 + 4 200 = 0

(2)

C

A

ACD 1 + 1 + 4 + 4 200 g = 0 BCD 2 + 2 + 3 + 3 200 g = 0

(3) (4)

(4) Aceast condiie cuprinde n sine i condiiile: b) suma unghiurilor n patrulater s fie egal cu 400 g ; c) suma unghiurilor de la bazele triunghiurilor opuse la vrf s fie egale ntre ele; Adunnd relaiile (1) i (2) sau (3) i (4) vom obine:

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 400 g = 0dac facem diferena ntre (3) i (4) sau ntre (2) i (4) obinem:

( 4 + 4 ) ( 2 + 2 ) = 0dac facem diferena ntre (1) i (4) sau ntre (3) i (2) obinem:

(5)

( 1 + 1 ) ( 3 + 3 ) = 0

(6)

Deoarece condiiile b) i c) se conin n condiia a) ele nu se mai analizeaz. d) Condiia de nchidere pe laturi ntre laturile triunghiurilor i sinusul unghiurilor opuse s existe rapoartele de perfect egalitate. Deci, pentru compensarea unghiurilor n patrulater se vor pune numai dou condiii a) i d). Compensarea, la rndul ei, se va face n dou etape: Etapa I: Vor intra relaiile (1), (2), (3), (4); Etapa II: Va intra relaia exprimat prin teorema sinusurilor;

Etapa I Deoarece unghiurile msurate 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 sunt valori eronate, se obin nenchiderile n triunghiuri. ACB 1 + 1 + 2 + 2 200 g = W1 g ABD 3 + 3 + 4 + 4 200 = W2(7)

Pentru ca unghiurile ca unghiurile compensate s satisfac condiia a) trebuie ca unghiurilor msurate 1 , 1 , 2 , 2 s li se aplice cte o corecie V1 , iar unghiurilor 3 , 3 ,

4 , 4 cte o corecie V2 . Vom obine: (1 + V1 ) + ( 1 + V1 ) + ( 2 + V1 ) + ( 2 + V1 ) 200 g = 0 ( 3 + V2 ) + ( 3 + V2 ) + ( 4 + V2 ) + ( 4 + V2 ) 200 g = 0 4V1 = W1 4V2 = W2 W1 4 de unde: W2 V2 = 4 V1 =(8)

nseamn c:

(9)

(10)

Precutm triunghiurile ACD i BCD .g ACD 1 + 1 + 4 + 4 200 = W3 BCD 2 + 2 + 3 + 3 200 g = W4

(11)

Se aplic i acestor unghiuri cte o corecie V0 n modulul urmtor:

pentru 1 , 1 , 4 , 4 cte o corecie + V0 pentru 2 , 2 , 3 , 3 cte o corecie V0innd de relaiile (8) vom putea face urmtoarea compensare:

(1 + V1 + V0 ) + ( 1 + V1 + V0 ) + ( 4 + V2 + V0 ) + ( 4 + V2 + V0 ) 200 g = 0 ( 2 + V1 V0 ) + ( 2 + V1 V0 ) + ( 3 + V2 V0 ) + ( 3 + V2 V0 ) 200 g = 0scznd relaiile (11) din (12) obinem:

(12)

2V1 + 2V2 + 4V0 = W3 2V1 + 2V2 4V0 = W4scznd relaiile (13) ntre ele (a doua din prima) obinem:

(13)

4V0 + 4V0 W3 + W4 8V0 = W3 + W4 V0 =Unghiurile parial compensate vor fi:

W4 W3 8

(14)

1 = 1 + V1 + V0 1 = 1 + V1 + V0 2 = 2 + V1 V0 2 = 2 + V1 V0

3 = 3 + V2 V0 3 = 3 + V2 V0 4 = 4 + V2 + V0 4 = 4 + V2 + V0

(15)

Etapa IIAplicnd teorema sinusurilor n triunghiurile I, II, III, IV obinem:

CE sin 1 = AE sin 1 BE sin 1 = n triunghiul II: CE sin 1 DE sin 1 = n triunghiul III: BE sin 1 AE sin 1 = n triunghiul IV: DE sin 1n triunghiul I: nmulim relaiile (16) membru cu membru:

CE BE DE AE sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 P sin P = = = AE CE BE DE sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 P sin Pcompensate i i i relaia (17) nu va fi satisfcut:

(17)

Aceast condiie este satisfcut cnd i i i sunt compensate. Pentru unghiurile parial

P P sin 1 P sin P

(18)

Pentru a obine egalitatea P = P trebuie de mrit produsul de la numrtor prin adugarea la fiecare unghi i cte o corecie i de micorat produsul de la numitor prin scderea aceleiai corecii din unghiurile i . sin ( 1 + ) sin ( 2 + ) sin ( 3 + ) sin ( 4 + ) = sin ( 1 ) sin ( 2 ) sin ( 3 ) sin ( 4 )

(19)

Dezvoltnd n seria Taylor sinusurile din expresia (19) i pstrnd numai primii doi termeni obinem:

sin ( + ) = sin + sin ( ) = sin innd cont de relaia (20) putem scrie relaia (19) sub forma:

(20)

( sin 1 + 1 ) ( sin 2 + 2 ) ( sin 3 + 3 ) ( sin 4 + 4 ) = ( sin 1 1 ) (21) ( sin 2 2 ) ( sin 3 3 ) ( sin 4 4 )Efectum produsele parantezelor neglijnd termenii ptratici 2 1 2 mici, obinem:

(

)

ca fiind foarte

sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 + 1 sin 2 sin 3 sin 4 + 2 sin 1 sin 3 sin 4 + + 3 sin 1 sin 2 sin 4 + 4 sin 1 sin 2 sin 3 = sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 1 sin 2 sin 3 sin 4 2 sin 1 sin 3 sin 4 3 sin 1 sin 2 sin 4 sin 1 sin 2 sin 3

(22)

lipsesc 1 ). Pentru ca produsele s fie omogene le nmulim i le mprim n acelai timp cu factorii care lipsesc:

Se observ c n produsurile lipsesc factorii sinus cu indicii corespunztori ( 1

3 1 2 4 P sin + P sin + P sin + P sin = sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 (23) 3 1 2 4 = P sin P sin P sin P sin P sin sin 1 sin 2 sin 3 sin 4P sin + P sin (1 + S ) = P sin (1 + S ) P sin + P sin S = P sin P sin S P sin S + P sin S = P sin P sin P sin P sin P sin S + P sin S (24)

( P sin S + P sin S ) = P sin P sin =

(25)

unde:

P sin produsul sinusurilor unghiurilor i P sin produsul sinusurilor unghiurilor i S = sin 1cc sin 1cc S = ; sin i sin i

vom obine unghiurile i definitiv compensate:

Aplicnd corecia , calculat cu relaia (25), unghiurile i i i cu semnul respectiv,

i = i + i = i

Compensarea unghiurilor n reeaua cu punct centralE D 2 2 1 2 3

a)

II III3 H 4 3 4

Unghiurile msurate sunt i, i, i . Lungimea laturii CD este cunoscut. S se calculeze unghiurile definitiv compensate care s satisfac condiiile geometrice: suma unghiurilor n triunghi s fie egal cu 200 g :

i + i + i 200 g = 0F b)

I1

1 5

i =1

(1) suma unghiurilor n jurul unui punct s fie 400 g :i

400 g = 0

c)

C

5

V5 G

IV4

(2) ntre sinusurile i laturile lor opuse s fie raporturi de perfect egalitate. Compensarea unghiurilor, ca precedent, se va face n dou etape: i n cazul

Etapa I:

Vom avea:

a) 5 ecuaii de condiie pentru cele 5 triunghiuri; b) o ecuaie de condiie pentru centru; Etapa II: Vom avea relaia ntre sinusurile unghiurilor i laturilor opuse:

Etapa Ia) Pentru unghiurile definitiv compensate:

1 + 1 + 1 200 g = 0 2 + 2 + 2 200 g = 0 3 + 3 + 3 200 g = 0 4 + 4 + 4 200 g = 0 5 + 5 + 5 200 g = 0Pentru unghiurile msurate: (3)

1 + 1 + 1 200 g = W1 2 + 2 + 2 200 g = W2 3 + 3 + 3 200 g = W3 4 + 4 + 4 200 g = W4 5 + 5 + 5 200 g = W5b) Ecuaia de condiie de centru pentru unghiurile definitiv compensate: (3) unde Wi = eroarea de nchidere n triunghiuri

1 + 2 + 3 + 4 + 5 400 g = 0Pentru unghiurile msurate:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 400 g = WHPentru ca unghiurile msurate s satisfac condiiile trebuie s le adugm corecii:

(4)

Unghiurilor: 11 1 -cte o corecie V1

Unghiurilor: 2 2 2 -cte o corecie V2 Unghiurilor: 3 3 3 -cte o corecie V3 Unghiurilor: 5 5 5 -cte o corecie V5 Unghiurilor: 4 4 4 -cte o corecie V4 Unghiurilor 1 , 2 , 3 , 4 , 5 le adugm corecia VH i obinem:

(1 + V1 ) + ( 1 + V1 ) + ( 1 + V1 + VH ) 200 g = 0 ( 2 + V2 ) + ( 2 + V2 ) + ( 2 + V2 + VH ) 200 g = 0 ( 3 + V3 ) + ( 3 + V3 ) + ( 3 + V3 + VH ) 200 g = 0 ( 4 + V4 ) + ( 4 + V4 ) + ( 4 + V4 + VH ) 200 g = 0 ( 5 + V5 ) + ( 5 + V5 ) + ( 5 + V5 + VH ) 200 g = 0sau:1

(5)

[( + + ) 200 ] + 3V + V = 0 [( + + ) 200 ] + 3V + V = 0 [( + + ) 200 ] + 3V + V = 0 [( + + ) 200 ] + 3V + V = 0 [( + + ) 200 ] + 3V + V = 0g 1 1 1 H g 2 2 2 2 H g 3 3 3 3 H g 4 4 4 4 H g 5 5 5 5 H

(6)

innd cont de relaia (3) obinem:

W1 + 3V1 + VH = 0 W2 + 3V2 + VH = 0 W3 + 3V3 + VH = 0 W4 + 3V4 + VH = 0 W5 + 3V5 + VH = 0innd cont de relaia (5) pentru ecuaia de centru obinem: (7)

( 1 + V1 + VH ) + ( 2 + V2 + VH ) + ( 3 + V3 + VH ) + ( 4 + V4 + VH ) + ( 5 + V5 + VH ) 400 gsau:

=0

(8)

[( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) 400 g ] + V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + 5VH = 0 WH + [Vi ] + 5VH = 0Rezult c:

(8) (9)

[Vi ] + WH = 5VHAdunnd relaiile (7) obinem:

(10)

[Wi ] + 3[Vi ] + 5VH = 0 [Wi ] + 3[Vi ] = 5VHnmulim relaia (10) cu 3:

(11)

3[Vi ] + 3WH = 15VHscdem relaia (12) din (11):

(12)

[Wi ] + 3[Vi ] 3[Vi ] 3WH = 5VH + 15VH [Wi ] 3WH = 10VH VH = [Wi ] 3WH 10 [Wi ]iH 3WH 2n(14)

sau n form general: VH = unde:

n numrul de triunghiuri n reeaua de triangulaie n form de poligon cu punct central W eroarea de nchidere n triunghiuri WH eroarea de nchidere n jurul punctului central Avnd valoarea VH din relaia (12) o introducem n relaia (30) i obinem valori pentru coreciile Vi:

W1 + VH 3 W + VH pentru triunghiul II: 3V2 = W2 VH V2 = 2 3 W + VH pentru triunghiul III: 3V3 = W3 VH V3 = 3 3 W4 + VH pentru triunghiul IV: 3V4 = W4 VH V4 = 3 W + VH pentru triunghiul V: 3V5 = W5 VH V5 = 5 3pentru triunghiul I: 3V1 = W1 VH V1 =

(15)

Astfel folosind valorile coreciilor Vi calculate din relaia (15) i VH calculat din relaia (14), compensm parial unghiurile msurate:

i = i + Vi i = i + Vi i = i + Vi + VHPentru verificare trebuie s avem:

(16)

i + i + i = 200 g

[ i] = 400 g

Etapa IIUnghiurile i , i , i ndeplinesc condiiile a) i b), dar nu i condiia de acord laturi. Condiia de acord laturi se obine prin aplicarea teoremei sinusurilor i ea se refer numai la unghiurile i i i , deoarece unghiurile i nu mai pot fi compensate fr a modifica compensarea din etapa I. Aplicm teorema sinusurilor n triunghiurile reelei:

DH sin 1 = CH sin 1 DH sin 1 = n triunghiul II: CH sin 1 DH sin 1 = n triunghiul III: CH sin 1 DH sin 1 = n triunghiul IV: CH sin 1 DH sin 1 = n triunghiul V: CH sin 1n triunghiul I: nmulind relaia (17) membru cu membru obinem:

(17)

DH EH FH GH CH sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 P sin = = =1 CH DH EH FH GH sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 P sin

(18)

Condiia exprimat prin relaia (18) este satisfcut pentru unghiurile definitiv compensate. Pentru unghiurile parial compensate vom avea:

1

P sin ; P sin P sin P sin

(19)

Pentru a obine egalitatea P sin P sin adugm corecia la unghiurile i i scdem corecia din unghiurile i . Obinem:

sin( 1 + ) sin( 2 + ) sin( 3 + ) sin ( 4 + ) sin( 5 + ) = sin( 1 ) sin( 2 ) sin( 3 ) (20) sin( 4 ) sin ( 5 )Procednd ca n cazul patrulaterului cu diagonalele observate se obine relaia pentru determinarea coreciei :

cc =

P sin P sin P sin S + P sin S

(21)

unde: P sin , P sin produsele sinusurilor unghiurilor i respectiv

S =

sin 1cc sin 1cc ; S = sin i sin i

Aplicnd corecia , obinem unghiurile definitiv compensate:

i = i + i = i i = i

(22)

Calculul laturilor n patrulater i n poligonul cu punct centralReeaua de triangulaie local, fiind alctuit din triunghiuri alturare care au cte o latur comun la dou triunghiuri, calculul lungimii laturilor reelei se reduce la calculul laturilor unui triunghi n care se cunosc toate unghiurile i o latur. n cazul respectiv s-a msurat pe teren numai latura 3-4, diagonala mic a patrulaterului. Pentru calculul laturilor ne vom folosi de teorema sinusului: Conform teoremei avem:

42

3

III I

3 4

D34 D D = 31 = 14 sin ( 2 + 1 ) sin 2 sin 1

II2 1

IV1 4

3

Pentru a simplifica calculul, notm cu M modul, raportul dintre latura cunoscut i sinusul unghiului opus acestei laturi:

D34 =M sin ( 2 + 1 )Cunoscnd acest raport putem determina celelalte dou laturi ale triunghiului:

3 1 = M sin 2 1 4 = M sin 1Analog se calculeaz pe rnd toate laturile celorlalte triunghiuri ale reelei. Dar pentru a trece la calculul laturilor n poligon trebuie determinat mai nti diagonala mare a patrulaterului, care n cazul dat este i latura comun a unui triunghi (128) din poligonul cu punct central. n cazul reducerii bazei mici 3-4 la baza mare 1-2, latura 1-2 se va calcula din mai multe modaliti: - din 123 obinem urmtoarele relaii de calcul a bazei mari:

D12 = -

D32 sin ( 1 + 4 ) D13 sin ( 1 + 4 ) ; D1 2 = sin 1 sin 4 D24 sin ( 3 + 2 ) D14 sin ( 3 + 2 ) IV ; D1 2 = sin 2 sin 3 1 D12 + D12 + D12 + D1IV2 4

din 124 obinem urmtoarele relaii de calcul a bazei mari:

D12 =

Valoarea laturii 2-4 o vom calcula va medie a acestor patru valori:

D12 =

(

)

D12 = 674.68 D12 = 674.69 D12 = 674.70 D1IV2 = 674.69 D12 = 674.69

Calculul orientrilor laturilor de triangulaieOrientarea este unghiul cuprins ntre direcia de nord a meridianului axial i direcia laturii date pe teren i se noteaz cu . Orientrile laturilor reelei de triangulaie topografic local se calculeaz uor pe baza unghiurilor (, , ) ntre aceste laturi, avnd determinat orientarea laturii 1-2 n teren:

1 2 = 25.0173 25 = 21 ( 5 + 6 ) = 95.2678 56 = 5 2 ( 6 + 7 ) = 161.0220 67 = 65 ( 7 + 8 ) = 256.2627 7 1 = 7 6 ( 8 + 9 ) = 342.8668 Verificare : 1 2 = 17 ( 9 + 5 ) = 25.017318 = 1 2 + 5 = 80.2900 81 = 18 + 200 g = 280.2900 82 = 81 + 5 = 365.6936 85 = 81 ( 9 + 8 + 7 ) = 28.3103 86 = 85 + 7 = 110.3274 87 = 81 9 = 196.6753 Verificare : 81 = 86 + 8 + 9 = 280.2900

13 = 1 2 + 1 = 52.3667 3 4 = 31 + 1 = 317.8161 3 2 = 31 + 1 + 4 = 3 4 + 4 = 394.4262 23 = 2 1 4 = 194.4262 2 4 = 21 + 3 = 251.9826 43 = 3 4 + 200 g = 42 + 3 = 117.8161 41 = 43 + 2 = 195.8717 Verificare : 31 = 3 2 ( 1 + 4 ) = 252.3667

Calculul coordonatelor punctelor reeleiReeaua topografic local se bazeaz neaprat pe o alt reea mai superioar, fie topografic, fie geodezic. Pentru calculul coordonatelor punctelor reelei topografice locale e suficient s cunoatem coordonatele unui punct vechi, distanele calculate ntre punctele reelei i orientrile acestor direcii care se calculeaz cu ajutorul unghiurilor msurate n teren. Relaiile pentru calculul coordonatelor punctelor reelei de triangulaie local sunt urmtoarele:

X n = X n1 + X cor . Yn = Yn1 + Ycor .unde: Xn, Yn coordonatele punctului urmtor; Xn-1, Yn-1 coordonatele punctului precedent al drumuirii; Xcor., Ycor. coordonatele relative, luate cu semnele lor rezultate din calcule; Coordonatele relative X i Y se calculeaz pe baza distanelor i orientrilor deja cunoscute cu relaiile:

X i = Di cos i Yi = Di sin iCalculul coordonatelor punctelor reelei se conduce n tabelul Calculul coordonatelor. n coloana 8 i 9 sunt trecute valorile definitive a coordonatelor absolute a reelei de triangulaie topografic local.

ndesirea reelei de triangulaie topografic localPlanimetria este acea parte a topografie care se refer la determinarea poziiei punctelor geodezice i topografice n planul orizontal, care are n vedere att aparatele ct i metodele de msurare. n general ea vizeaz metodele de ndesire a reelei planimetrice de puncte de sprijin numit i reea de triangulaie i metodele de determinare a coordonatelor rectangulare plane ale punctelor de detaliu. ndesirea reelei punctelor de sprijin se face prin metode specifice de msurare i calcul care s asigure o precizie foarte bun, iar determinarea punctelor de detaliu poate s fie afectat de erori de ordinul centimetrilor. Lungimea laturilor la triangulaia topografic e de 1-3km, iar lungimea unei drumuiri de teodolit nu poate depi 1-2km. De aici rezult c densitatea unor puncte ale reelei de triangulaie local n scopul obinerii densitii necesare de puncte de coordonate cunoscute se realizeaz prin mai multe metode: a) intersecii unghiulare; b) intersecii liniare; metoda interseciilor napoi (intersecii indirecte); metoda punctelor duble; metoda drumuirilor planimetrice; metoda de coborre la sol a punctelor de sprijin nalte; Toate metodele de ndesire trebuie s asigure precizii foarte bune de determinare a punctelor noi 50 i 51 (erorile nu trebuie s depeasc 10cm). n consecin msurtorile liniare i unghiulare prin care se realizeaz ndesirea trebuie efectuate cu aparatur topografic

de precizie aplicndu-se, n general, repetarea msurtorilor astfel nct s rezulte medii ale datelor culese de pe teren. Proiectarea punctelor de ndesire (50, 51) se face odat cu proiectarea reelei de triangulaie. Punctele de ndesire proiectate se amplaseaz pe locuri dominante pentru vizibilitate la 3-4 puncte de coordonate cunoscute i n acelai timp al alt punct de ndesire. Dup proiectare de fac profilele de vizibilitate ntre punctele de ndesire. Dup ce se confirm vizibilitatea ntre puncte, ele se marcheaz i se semnalizeaz n teren.

Calculul coordonatelor punctului de ndesire 50 prin metoda interseciei nainte (soluia analitic)Principiul metodei: Se staioneaz n punctele de triangulaie i ndesire de coordonate cunoscute i se vizeaz ctre punctele de intersecie nainte de coordonate necunoscute msurndu-se unghiurile , . Punctele ce se determin prin intersecii nainte sunt de cele mai multe ori puncte inaccesibile (couri de fabric, cruci de biseric). Se d: A (X1,Y1) B (X2,Y2) se msoar n teren , Se cere (Xp,Yp)-? Pentru determinarea coordonatelor Xp, Yp sunt necesare minimum dou puncte i dou orientri. 1) Calculul orientrii AB :

AB = arctg

Y2 Y1 X 2 X1

(1)

2) Calculul orientrii 1 i 2 :

1 = AB 2 = AB + 200 g + 3) Scriem ecuaia analitic ale dreptelor AP i BP: AP Y Y1 = ( X X 1 ) tg1 BP Y Y2 = ( X X 2 ) tg 2 Y Y1 = ( X X 1 ) tg1 Y Y2 = ( X X 2 ) tg 2Scznd expresia (4) din (3) obinem:

(2)

(3) (4)

Y2 Y1 = X tg1 X 1 tg1 X tg 2 + X 2 tg 2 X tg 2 X tg1 = Y1 Y2 + X 2 tg 2 X 1 tg1 X ( tg 2 tg1 ) = Y1 Y2 + X 2 tg 2 X 1 tg1 X= Y1 Y2 + X 2 tg 2 X 1 tg1 ( tg 2 tg1 )

(5)

nlocuind X n relaia (3) obinem:

Y = Y1 + ( X X 1 ) tg1Controlul se face prin calculul ordonatei punctului P folosind expresia (4):

(6)

Y = Y2 + ( X X 2 ) tg 2valorile obinute prin relaiile (6) i (7) trebuie s fie egale.

(7)

n practica topografic nu ne vom mulumi cu coordonatele punctului P gsite dintr-o singur combinaie de dou drepte i dou puncte de coordonate cunoscute, dar se va aplica pentru control i asigurarea preciziei aceeai problem la dou sau trei combinaii de dou drepte de orientri cunoscute i dou puncte de coordonate cunoscute. Se d: A (X1,Y1) B (X2,Y2) C (X3,Y3) se msoar n teren , , , , , Se cere (Xp,Yp)-?

1) Calculul orientrii AB , AC , BC :

AB = arctg

Y3 Y1 Y3 Y2 Y2 Y1 ; AC = arctg ; BC = arctg X 2 X1 X 3 X1 X3 X2

2) Calculul orientrii 1 , 2 i 3 :

1 = AP = AB + 1 = 1 1 1 = AP = AC + 2 2 = BP = BA + + 2 2 = 2 2 = BP = BC 2 3 = CP = CA + 3 3 = 3 3 = CP = CB + 2I combinaie

Y Y1 = ( X X 1 ) tg1 vom obine punctul P1 cu coordonatele ( X P , YP ) Y Y2 = ( X X 2 ) tg 2 Y Y2 = ( X X 2 ) tg 2 vom obine punctul P2 cu coordonatele ( X P , YP) Y Y3 = ( X X 3 ) tg 3 Y Y1 = ( X X 1 ) tg1 vom obine punctul P3 cu coordonatele ( X P, YP) Y Y3 = ( X X 3 ) tg 3

II combinaie

III combinaie

Din cauza erorilor fcute n determinarea coordonatelor punctelor A, B i C ct i la determinarea orientrilor 1 , 2 , 3 nu va exista un punct de intersecie unic pentru vizele AP, BP i CP dar trei puncte P1, P2 i P3, care formeaz triunghiul de eroare al interseciei.

P P2 P3 - triunghiul de eroare 1Suprafaa lui este cu att mai mic cu ct msurtorile sunt efectuate cu precizie ridicat. Niciodat S P1P2 P3 nu va fi egal cu zero.

Dac valorile coordonatelor punctelor P1, P2 i P3 sunt sensibil apropiate (adic ecartul Xmax-Xmin i Ymax-Ymin se ncadreaz n tolerana T=20), atunci se vor calcula coordonatele finale ale punctului P ca media aritmetic a acestor valori:

XP =

X P + X P + X P 3

YP =

YP + YP + YP 3

Formulele (5) i (6) se numesc grupul de formule cu tg.

Determinarea coordonatelor punctelor de ndesire prin intersecia nainte (soluia trigonometric)Se d: Punctele A, B, C cu coordonate cunoscute se msoar n teren , , , , , Se cere (Xp,Yp)-? Problema se reduce la metoda radierii, deci este necesar s cunoatem orientrile 1 ,

2 , 3 i distanele r1 , r2 , r3 . 1) Calculul orientrii AB , AC , BC : AB = arctg

YAC YBC YAB ; AC = arctg ; BC = arctg X AB X AC X AC

2) Calculul orientrii 1 , 2 i 3 :

1 = AB + 1 = 1 1 1 = AC + 2 2 = BA + + 2 2 = 2 2 = BC 2 3 = CA + 3 3 = 3 3 = CB + 23) Calculul distanelor:

a= b= c=

( X 2 X 1 ) 2 + ( Y2 Y1 ) 2 ( X 3 X 2 ) 2 + ( Y3 Y2 ) 2 ( X 3 X 1 ) 2 + ( Y3 Y1 ) 2

4) Calculul distanelor r1 , r2 , r3 :precutm APB . Scriem teorema sinusurilor:

= 200 g ( + )a r r = 1 = 2 sin sin sin

r1 =

a a sin sin ; r2 = sin sin

precutm BPC . Scriem teorema sinusurilor:

r b r = 2 = 3 sin 1 sin sin r2 = b b sin ; r3 = sin sin 1 sin 1

precutm ACP . Scriem teorema sinusurilor:

r c r = 3 = 1 sin 2 sin sin r3 = r1 = c c sin ; r1 = sin sin 2 sin 2 r + r r1 + r1 r + r2 ; r2 = 2 ; r3 = 3 3 2 2 2 X = X 1 + r1 cos 1 X P = X 2 + r2 cos 2 PA = P ; PB = YP = Y1 + r1 sin 1 YP = Y2 + r2 sin 2 XP = XP + XP Y + YP ; YP = P 2 2

I combinaie: calculnd coordonatele punctului P prin radieri din punctele A i B obinem:

II combinaie: radieri din B i C III combinaie: radieri din C i A

Procedeul trigonometricN 8 1 1 5 9 7 1 50 4 2 2 3 6 6 7 511 = 46,1382 2 = 13,7451 3 = 40,3230 4 = 53,5624 5 = 6,0214 6 = 19,6157 7 = 66,7322 9 = 59,8320

1. Calculul distanelor orizontale ntre punctele cunoscute i orientrile acestor aliniamente din coordonate:

D17 = 718.90 D7 6 = 805.03nou:

;

17 = 142.8668 7 6 = 56.2627

2. Calculul orientrilor laturilor de viz dintre punctele vechi staionate i punctul

150 = 17 1 = 96.7286 7 50 = 7 6 4 = 2.7003 650 = 67 + 3 = 296.58573. Calculul distanelor orizontale ntre punctele vechi i punctul nou. Mai nti calculm unghiurile dintre vizele duse din punctul nou spre punctele vechi notate cu :

1 = 200 g ( a1 + a9 ) = 94.0298D17 D D = K = 150 = 7 50 sin 1 sin a 9 sin 1 D150 = K sin a9 = 583.04715 D7 50 = K sin 1 = 478.69002 D76 D D = K = 650 = 750 sin 2 sin 4 sin 3 D650 = K sin 4 = 602.96734 D7 50 = K sin 3 = 478.68936

2 = 200 g ( a 3 + a 4 ) = 106.1146

4. Determinarea coordonatelor punctului nou 50 cu ajutorul combinaiei de punctevechi 1, 7 i 6:

X 50 = X 1 + X 150 = X 1 + D150 cos 150 = 1468 .007878 Y50 = Y1 + Y150 = Y1 + D150 sin 150 = 2089.307514 X 50 = X 7 + X 7 50 = X 7 + D7 50 cos 7 50 = 1468.011470 Y50 = Y7 + Y7 50 = Y7 + D7 50 sin 7 50 = 2089.326830 X 50 = X 6 + X 650 = X 6 + D6 50 cos 650 = 1468.043837 Y50 = Y6 + Y650 = Y6 + D650 sin 650 = 2089 .299628 X 50 = 1 ( X 50 + X 50 + X 50 ) = 1468.021 ; Y50 = 1 ( Y50 + Y50 + Y50 ) = 2089.311 3 3

Pentru verificare calculele efectuate anterior se repet lund n consideraie alt combinaie de puncte vechi i unghiuri orizontale. n finalul calculelor rezult o serie de valori a coordonatelor punctului nou, care prin medie aritmetic va da coordonatele punctului nou. ntre valorile Xi determinate ca i ntre Yi nu trebuie s existe diferene mai mari de 5 cm. n cazul n care se ntmpl acest lucru, combinaia din care au fost rezultate diferene mari se elimin din calcul fiind suspect de erori de msurare ale unghiurilor sau de coordonate greite ale punctelor vechi.

Procedeul analiticProcedeul analitic presupune aceleai operaii de teren ca i n procedeul trigonometric. Coordonatele punctului nou 50 rezult ca intersecie a dreptelor 1-50, 7-50, 1-50, 6-50 sau 7-50, 6-50. Pentru aceasta se scriu ecuaiile acestor drepte:

1) tg150 =

y50 y1 y50 y7 y50 y6 ; 2) tg 750 = ; 3) tg 650 = x50 x1 x50 x7 x50 x6

Prin rezolvarea unui sistem de dou ecuaii format din ecuaiile 1)-2) sau 1)-3) sau 2)-3) rezult trei perechi de coordonate pentru punctul nou. Din prima combinaie 1)-3) rezult:

X 1tg150 X 7tg 7 50 Y1 + Y7 = 1468.009 tg1 50 tg 7 50 Y50 = Y1 + tg150 ( X 50 X 1 ) = 2089.327 Y50 = Y7 + tg 7 50 ( X 50 X 7 ) = 2089.327 X 50 =Din a doua combinaie 1)-3) rezult:

X 1tg150 X 6 tg 650 Y1 + Y6 = 1468.069 tg150 tg 650 Y50 = Y6 + tg 650 ( X 50 X 6 ) = 2089 .318 Y50 = Y1 + tg 650 ( X 50 X 1 ) = 2089.318 X 50 =Din combinaia a treia 2)-3) rezult:

X 7 tg 7 50 X 6 tg 650 Y7 + Y6 = 1468 .008 tg 7 50 tg 650 Y50 = Y7 + tg 7 50 ( X 50 X 7 ) = 2089.301 Y50 = Y6 + tg 650 ( X 50 X 6 ) = 2089 .301 X 50 = X 50 = 1 ( X 50 + X 50 + X 50 ) = 1468.021 ; Y50 = 1 ( Y50 + Y50 + Y50 ) = 2089.311 3 3

Calculul coordonatelor punctului de ndesire 51 prin metoda interseciei napoin intersecia napoi (indirect) determinarea punctului nou se poate realiza utiliznd cel puin trei puncte vechi n urmtorul mod: pe teren se staioneaz punctul nou cu un teodolit de precizie i se msoar unghiurile orizontale formate de laturile de viz dintre punctul nou i punctele vechi. Dei trei puncte de sprijin permit determinarea punctului nou, pentru verificare se vor folosi totdeauna 4-8 puncte de sprijin pentru a avea msurtori n exces, care permit determinarea statistic a coordonatelor cutate. Rezolvarea interseciei napoi se poate realiza prin mai multe metode dintre care sunt: procedeul trigonometric, procedeul analitic, procedeul coordonatelor basicentrice.

Procedeul trigonometricN N 2-5 2 4 5 1 8 1 5 5-6 2 3 A- 6 N

51 2

1 = 22.2065 2 = 80.9200 3 = 114.3505 4 = 85.8367 5 = 96.68636-50

Pentru determinarea coordonatelor punctului 51 lum o combinaie de trei puncte de sprijin cunoscute Algoritmul de rezolvare presupune urmtorii pai de calcul: 1.Calculul distanelor orizontale ntre punctele cunoscute i orientrile acestor aliniamente din coordonate:

D 2 5 = x

2 2 5

+ y

2 2 5

= 506.95

25 = arctg 56 = arctg

y 2 5 = 95.2678 x 25 y 5 6 = 161.0220 x56

2 2 D56 = x56 + y 56 = 731.66

2. = 25 56 = 134.2458 3.

+ ( A ) + 4 + 3 + = 400 gA = 400 g 3 4 = 65.5670 D2 5 D D = K 1 = 251 = 551 ; K 1 = 519.76001021 sin 4 sin 1 sin D56 D551 D = K2 = = 651 ; K 2 = 750.65074425 sin 3 sin ( A ) sin 2 D551 = K1 sin = K 2 sin ( A ) K1 sin = K 2 ( sin A cos sin cos A) K1 sin = K 2 sin A cos K 2 sin cos A tg ( K1 + K 2 cos A) = K 2 sin A K1tg = K 2 sin A K 2 tg cos A K 2 sin A = 39.3080 K 1 + K 2 cos A

4.Calculul unghiurilor i A i al distanelor dintre punctul nou i cele vechi:

= arctg

A = 26.2590

1 = 200 g 4 = 74.8553 ; 2 = 200 g 3 ( A ) = 59.3905D251 = K 1 sin 1 = 479.7423 D551 = 1 ( K1 sin + K 2 sin ( A ) ) = 300.9191 2

D651 = K 2 sin 2 = 603.03725.Calculul orientrilor de viz:

251 = 25 + = 134.5758

551 = 56 + 2 = 5 2 1 = 220.4125 651 = 65 ( A ) = 334.76306.Calculul coordonatelor absolute ale punctului nou 51

X 51 = X 2 + X 251 = X 2 + D251 cos 251 = 1813.5821 Y51 = Y2 + Y251 = Y2 + D251 sin 251 = 2176.1008 X 51 = X 5 + X 551 = X 5 + D551 cos 551 = 1813.3901 Y51 = Y5 + Y551 = Y5 + D551 sin 551 = 2176.1012 X 51 = X 6 + X 651 = X 6 + D651 cos 651 = 1813.5362 Y51 = Y6 + Y651 = Y6 + D651 sin 651 = 2176.0548 X 51 = 1 ( X 51 + X 51 + X 51 ) = 1813.5061 ; Y51 = 1 ( Y51 + Y51 + Y51 ) = 2176.0856 3 3

Pentru nc o verificare se poate lua o alt combinaie de trei puncte vechi, procednd la fel ca la combinaia luat anterior, iar coordonatele absolute finale vor fi media rezultat din toate combinaiile luate.

Procedeul analiticPentru aceast rezolvare este necesar de un minim de patru puncte de sprijin i unghiurile orizontale msurate pe teren. Valorile coordonatelor punctelor noi vor rezulta ca intersecie a trei drepte, spre exemplu (D2-51, D5-51, D6-51) sau (D2-51, D5-51, D50-51) sau (D2-51, D6-51, D50-51) sau (D5-51, D6-51, D50-51). Scriem ecuaiile pentru prima combinaie de drepte: (2, 5, 6). Din desen se vede:

515 = 512 + 4 516 = 512 + 4 + 3 tg 51 2 tg 515 tg 516 tg 515 tg 516 = = = Y2 Y51 X 2 X 51 Y5 Y51 X 5 X 51 Y6 Y51 X 6 X 51

;

= tg ( 51 2 + 4 )

3 + 4 = 200.1872 2 + 3 = 195.2705

= tg ( 51 2 + 4 + 3 )

Rezolvnd acest sistem prin metoda substituiei obinem:

tg 512 =

( y6 y 2 ) tg 4 + ( y 2 y5 ) tg ( 3 + 4 ) + ( x5 x6 ) tg 4 tg ( 3 + 4 ) = -1,7059808 01 ( x6 x2 ) tg 4 + ( x2 x5 ) tg ( 3 + 4 ) + ( y5 y6 ) tg 4 tg ( 3 + 4 )tg 515 = X 51 = tg 512 + tg 4 = 0,29793742 1 1 tg 512 tg 4

X 2tg51 2 X 5tg51 5 Y2 + Y5 = 2004,8314 tg 51 2 tg 515

Y51 = Y2 + tg 512 ( X 51 X 2 ) = 2242,7490 Y51 = Y5 + tg 515 ( X 51 X 5 ) = 2242,7490Pentru a afla o combinaie (5, 6, 50) de puncte avem raportul:

tg 515 =

( Y50 Y5 ) tg 3 + ( Y5 Y6 ) tg ( 3 + 2 ) + ( X 6 X 50 ) tg 3 tg ( 3 + 2 ) = 0,29793742 1 ( X 50 X 5 ) tg 3 + ( X 5 X 6 ) tg ( 3 + 2 ) + ( Y50 Y6 ) tg 3 tg ( 3 + 2 )tg 516 = X 51 = tg 515 + tg 3 = -1,4736410 93 1 tg 515 tg 3

X 5tg 515 X 6tg 516 Y5 Y6 = 2004,8314 tg 515 tg 516

Y51 = Y6 + tg 516 ( X 51 X 6 ) = 2242,7490

X 51 =

1 ( X 51 + X 51 ) = 2004,8314 ; Y51 = 1 ( Y51 + Y51 ) = 2242,7490 2 2