COMPENSAREA UNEI REŢELE GEODEZICE TRIDIMENSIONALE ... de studiu-autoinstruire pentru disciplina...

1

COMPENSAREA UNEI REŢELE GEODEZICE

TRIDIMENSIONALE, DESFĂȘURATE SUB FORMA UNEI

DRUMUIRI

A. TEMA PROIECTULUI

Măsurătorile cu stațiile totale permit obținerea datelor necesare

prelucrării tridimensionale a unei rețele geodezice. Astfel, în modelul de

compensare vor fi incluse unghiuri orizontale, verticale și distanțe înclinate.

Dacă există și diferențe de nivel din măsurători de nivelment geometric,

acestea pot fi de asemenea incluse în compensarea riguroasă.

Datele se obțin prin măsurători raportate la suprafața terestră, ceea ce

face ca acestea să fie exprimate într-un sistem geodezic local de coordonate.

Sistemul local geodezic își are originea în fiecare punct de stație, astfel că nu

există un singur sistem de coordonate unitar pentru întreaga rețea. De aceea,

trebuie aplicate relațiile de legătură între coordonatele locale și cele globale,

pentru toate punctele de stație. Determinarea finală a coordonatelor în

sistemul global permite adăugarea și eventualelor observații GNSS pentru

vectorii din rețea, urmând să se aplice suplimentar și o transformare 3D, dacă

sistemul de coordonate în care se efectuează compensarea nu este unul

geocentric.

Se consideră o reţea geodezică desfășurată sub forma unei drumuiri

poligonometrice sprijinite pe patru puncte vechi (A, B, C, D) de coordonate

cunoscute şi având șase puncte noi (101, 102, … , 106) pentru îndesirea unei

reţele geodezice existente în zona urbană (figura III.1). Coordonatele

punctelor vechi au rezultat într-o etapă anterioară, din prelucrarea

măsurătorilor GNSS, efectuate în rețeaua geodezică spațială a localității.

În teren, s-au efectuat observaţii azimutale prin metoda seriilor

complete, cu o staţie totală având precizia de 7'', direcţiile azimutale fiind

prelucrate în staţie şi reduse la originea zero. În cazul măsurării distanţelor,

precizia determinării este de 2 mm + 2 ppm.

Corecţiile necesare măsurătorilor unghiulare din teren se referă la

reducerea influenței deviației verticalei, atunci când se cunosc componentele

acesteia, a diferențelor de înălțime ale prismei, precum și a influenței

fenomenului de refracție atmosferică verticală, în cazul observațiilor zenitale.

Pentru măsurătorile de distanţe, acestea necesită a fi corectate prin aplicarea

formulelor de reducere la nivelul punctelor materializate în teren.

Această etapă preliminară de calcul al corecţiilor de reducere a

mărimilor măsurate s-a rezolvat anterior, astfel că elementele unghiulare și

distanţele înclinate rezultate constituie elementele necesare, ce vor intra în

Proiect de compensare a unei rețele geodezice tridimensionale

2

cadrul etapelor de compensare riguroasă a reţelei prin metoda observaţiilor

indirecte. În final, după încheierea procesului de prelucrare, se prezintă

calculele de evaluare a preciziei rezultatelor obţinute prin compensare.

B. DATELE PROIECTULUI

1. Figura III.1 - Schiţa drumuirii desfășurate:

2. Tabelul III.1 - Coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor vechi

Denumire

punct

Coordonate geodezice elipsoidale ETRS - 89

B [° ' ''] L [° ' ''] HE [m]

1 2 3 4

A 45°48'15,04526" 26°46'38,36955" 394,326

B 45°48'08,59953" 26°46'33,14870" 396,362

C 45°49'04,84566" 26°46'44,44652" 380,720

D 45°49'04,43723" 26°46'42,02473" 380,244


3

Ta

bel

ul

III.

2

β

oji

k [

g c

cc]

zoij [

g c

cc]

12

34

56

78

B-

--

-

10

11

00

,64

73

± 2

1,4

cc

A9

9,3

57

2±

29

,3cc

10

21

00

,40

98

± 2

2,6

cc

10

19

9,5

97

5±

26

,3cc

10

31

00

,57

57

± 2

2,5

cc

10

29

9,4

28

8±

16

,6cc

10

41

00

,72

57

± 2

9,6

cc

10

39

9,2

79

8±

24

,3cc

10

51

00

,44

91

± 2

6,8

cc

10

49

9,5

58

0±

25

,3cc

10

61

00

,68

38

± 2

4,3

cc

10

59

9,3

18

4±

20

,7cc

C1

00

,37

24

± 1

8,8

cc

10

69

9,6

29

3±

22

,3cc

D-

--

-

Un

gh

iuri

ori

zon

tale

pre

lucr

ate

în

sta

ţie

Ero

ri

s β [

cc]

Un

gh

iuri

zen

ita

le

pre

lucr

ate

în

sta

ţie

Ero

ri

s z [

cc]

Ero

ri

s s [

m]

± 0

,00

8

± 0

,00

7

± 0

,00

9

10

2±

19

,2cc

27

2,9

53

10

3

Dis

tan

ţa î

ncl

ina

tă

pre

lucr

ată

în

sta

ţie

soij (

m)

Pu

nct

sta

ţie

Pu

nct

viz

at

10

4±

20

,3cc

23

8,1

57

10

5±

21

,5cc

14

1,8

56

10

6±

14

,6cc

± 0

,00

5

± 0

,00

6

± 0

,00

7

± 0

,00

6

34

1,7

15

C±

24

,6cc

A±

12

,4cc

28

5,5

19

10

1±

17

,9cc

25

3,6

45

11

2,6

88

6

17

9,6

81

8

20

7,0

11

0

19

0,8

53

4

17

1,9

69

5

18

9,5

15

4

20

2,0

15

1

19

8,3

90

3

± 1

5,8

cc

12

7,9

05

3. T

abel

ul

III.

2 –

Unghiu

rile

ori

zonta

le, ze

nit

ale

și

dis

tanțe

le m

ăsu

rate

și

pre

lucr

ate

în s

tați

ile

din

dru

muir

e


4

C. CUPRINSUL PROIECTULUI

Etapa 3.1. Calculul elementelor provizorii ale drumuirii

3.1.1. Calculul coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii ale

punctelor noi.

3.1.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor provizorii

dintre punctele noi şi punctele vechi şi dintre punctele noi.

Etapa 3.2. Formarea și scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii

3.2.1. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru distanțe

înclinate.

3.2.2. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri

zenitale.

3.2.3. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri

orizontale.

3.2.4. Formarea modelului matriceal al sistemului ecuațiilor de

corecții.

Etapa 3.3. Formarea și rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale ale

necunoscutelor

Etapa 3.4. Calculul elementelor compensate ale drumuirii şi verificarea

compensării

3.4.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi.

3.4.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor compensate, cu

verificarea compensării.

Etapa 3.5. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării

3.5.1. Calculul erorii medii pătratice a unităţii de pondere.

3.5.2. Calculul erorilor medii pătratice ale unghiurilor şi distanţelor

măsurate pe teren.

3.5.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate

ale punctelor noi.

3.1. Calculul elementelor provizorii ale drumuirii

Elementele provizorii în reţea sunt reprezentate de coordonatele

carteziene elipsoidale ale punctelor noi, care vor intra în compensare după o

determinare aproximativă, de unghiurile orizontale dintre laturile drumuirii,

de unghiurile zenitale ale fiecărei direcții măsurate şi de distanţele înclinate

ale laturilor drumuirii, toate acestea din urmă fiind calculate din coordonatele

provizorii ale punctelor de stație.


5

3.1.1. Calculul coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii ale punctelor

noi.

Mai întâi, coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor vechi se

vor exprima în sistem cartezian (tabelul III.3), pe baza relațiilor de conversie:

( ) cos cos ;EX N H B L

( ) cos sin ;EY N H B L

2[ (1 ) ] sin .EZ N e H B

unde 2 21 sin

aN

e B

reprezintă raza de curbură a primului vertical, care

se determină funcţie de latitudinea geodezică (B) a punctului considerat şi de

parametrii geometrici (a, e2) ai elipsoidului de referinţă GRS – 80:

a = 6378137 m;

e2 = 0,006694380023.

Tabelul III.3 – Coordonatele carteziene elipsoidale ale punctelor vechi

Denumire

punct

Coordonate carteziene elipsoidale ETRS - 89

X [m] Y [m] Z [m] 1 2 3 4

A 3976573,287 2006736,789 4550384,041

B 3976752,734 2006701,056 4550246,760

C 3975521,381 2006352,912 4551446,066

D 3975552,715 2006310,160 4551436,936

Pentru determinarea coordonatelor carteziene elipsoidale provizorii

ale punctelor noi, se parcurg următoarele etape de calcul:

transformarea coordonatelor geodezice elipsoidale ETRS-89 (B, L)

ale punctelor vechi în coordonatele rectangulare plane ale unei

proiecții cartografice (x, y) – de exemplu proiecția Stereo-70, prin

aplicația TransDatRo;

transformarea altitudinii elipsoidale HE într-un sistem de altitudini

relaționat gravimetric – de exemplu sistemul de altitudini normale

Marea Neagră – 1975, prin aplicația TransDatRo;

rezolvarea topografică - tahimetrică a drumuirii desfășurate, pentru

determinarea coordonatelor rectangulare plane provizorii Stereo – 70

(x, y) și a altitudinii normale provizorii Marea Neagră – 1975 (HMN),

ale punctelor noi de stație ale drumuirii (tabelul III.4).


6

Tabelul III.4 – Coordonatele plane și altitudinile provizorii ale punctelor noi

Denumire

punct

Coordonate rectangulare plane Stereo-70 Altitudini normale

X [m] Y [m] HMN [m] 1 2 3 4

101 480064,586 638371,075 357,733

102 480287,195 638492,546 356,123

103 480544,930 638582,225 353,673

104 480672,093 638568,763 352,219

105 480902,844 638510,044 350,549

106 481043,292 638490,383 349,029

transformarea coordonatelor spațiale ale punctelor noi (x, y, HMN) în

coordonate geodezice elipsoidale ETRS – 89 (B, L, HE) prin aplicația

TransDatRo (tabelul III.5);

Tabelul III.5 - Coordonatele geodezice elipsoidale ale punctelor noi

Denumire

punct

Coordonate geodezice elipsoidale ETRS – 89 provizorii

Bo [°,…] L

o [°,…] (H

E)o [m]

1 2 3 4

101 45,806445408 26,779053778 391,424

102 45,808423628 26,780680150 389,805

103 45,810724214 26,781907761 387,350

104 45,811870889 26,781771108 385,899

105 45,813958544 26,781081986 384,238

106 45,815225975 26,780869375 382,721

conversia coordonatelor geodezice elipsoidale (B, L, HE) ale

punctelor de stație noi ale drumuirii, în coordonate carteziene

elipsoidale (X, Y, Z) pe elipsoidul GRS - 80 (tabelul III.6).

Tabelul III.6 - Coordonatele carteziene elipsoidale ale punctelor noi

Denumire

punct

Coordonate carteziene elipsoidale ETRS – 89 provizorii

Xo

[m] Yo [m] Z

o [m]

1 2 3 4

101 3976349,693 2006774,499 4550557,556

102 3976150,971 2006815,823 4550709,673

103 3975942,756 2006817,623 4550886,161

104 3975865,050 2006766,504 4550973,962

105 3975739,604 2006643,187 4551134,512

106 3975655,918 2006582,438 4551231,615


7

3.1.2. Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor provizorii dintre

punctele noi şi punctele vechi şi dintre punctele noi

Pe baza coordonatelor carteziene elipsoidale (X,Y,Z) ale punctelor

din drumuire, se calculează mărimile provizorii ale elementelor unghiulare și

ale distanțelor (figura III.2), folosind relaţiile:

distanțe înclinate provizorii: * 2 2 2( ) ( ) ( ) ;o o o

ij ij ij ijs X Y Z

unghiuri orizontale provizorii:

β*jik = A*ik - A*ij ,

unde A*

ik, A*ij – reprezintă azimutele provizorii ale direcțiilor componente ale

unghiului orizontal βjik:

* sin cos

;sin cos sin sin cos

o o o o

ik i ik iik o o o o o o o o

ik i i ik i i ik i

X L Y LA arctg

X B L Y B L Z B

*sin cos

;sin cos sin sin cos

o o o o

ij i ij i

ij o o o o o o o o

ij i i ij i i ij i

X L Y LA arctg

X B L Y B L Z B

unghiuri zenitale provizorii:

*

2 2 2

cos cos cos sin sinarccos .

( ) ( ) ( )

o o o o o o o o

ij i i ij i i ij i

ijo o o

ij ij ij

X B L Y B L Z Bz

X Y Z

Figura III.2 – Elemente măsurate în sistemul geodezic local


8

În formulele de mai sus, (B, L) reprezintă latitudinea și longitudinea

punctului de stație (i), iar diferențele (ΔX, ΔY, ΔZ) se efectuează între

punctul de stație (i) și punctul vizat (j;k). Relațiile prezentate fac legătura

între sistemul local de coordonate (n, e, u) în care se execută măsurătorile din

teren și sistemul global de coordonate (X, Y, Z), având în vedere următoarele

caracteristici de definire a sistemului de axe local (figura III.3):

Figura III.3 - Poziționarea sistemului geodezic local în raport cu cel global

axa u - se orientează de-a lungul normalei la elipsoid, în punctul de

stație;

axa n - se orientează în planul orizontal, de-a lungul meridianului

locului, către nordul geodezic;

axa e - se orientează la 90o în plan orizontal, în sens orar față de axa n.

Pentru a putea fi folosite mai departe în prelucrarea riguroasă prin

metoda celor mai mici pătrate, ecuațiile de mai sus urmează să fie liniarizate

în raport cu sistemul de coordonate local, în vederea scrierii sistemului

ecuațiilor de corecții ale necunoscutelor.

Rezultatele obținute pentru mărimile provizorii ale elementelor

măsurate în teren se prezintă în tabelul III.7.


9

Ta

bel

ul

III.

7

12

34

56

B-

-2

32

,81

34

10

12

85

,52

41

00

,64

85

31

,20

27

A2

85

,52

49

9,3

54

42

31

,20

41

10

22

53

,64

81

00

,40

76

33

,21

88

10

12

53

,64

89

9,5

94

92

33

,22

01

10

32

72

,95

61

00

,57

40

22

,73

72

10

22

72

,95

69

9,4

28

82

22

,73

82

10

41

27

,90

81

00

,72

28

39

4,7

06

8

10

31

27

,90

89

9,2

78

41

94

,70

67

10

52

38

,16

01

00

,44

52

38

5,5

58

1

10

42

38

,16

09

9,5

57

21

85

,55

76

10

61

41

,85

41

00

,68

15

39

2,5

66

4

10

51

41

,85

49

9,3

19

91

92

,56

62

C3

41

,71

91

00

,37

45

37

2,2

48

5

10

63

41

,71

99

9,6

28

91

72

,24

70

D-

-2

84

,93

32

20

7,0

08

8

A1

98

,38

94

10

12

02

,01

47

10

21

89

,51

71

10

61

79

,68

22

C1

12

,68

62

Pu

nct

sta

ţie

Pu

nct

viz

at

Dis

tan

ţe î

ncl

ina

te

pro

viz

ori

i

s*ij (

m)

Un

gh

iuri

zen

ita

le

pro

viz

ori

i

z*ij [

g c

cc]

Azi

mu

te p

rov

izo

rii

A*

ij [

g c

cc]

Un

gh

iuri

ori

zon

tale

pro

viz

ori

i

β*

jik [

g c

cc]

10

31

71

,96

86

10

41

90

,85

15

10

5

Tabel

ul

III.

7 –

Mări

mil

e pro

vizo

rii

ale

ele

men

telo

r m

ăsu

rate

pe

tere

n


10

3.2. Formarea și scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii

3.2.1. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru distanțe înclinate.

Ecuația de corecție scrisă pentru o distanță înclinată măsurată

(măsurătoarea t) este de forma:

vt (sij) = a1t dni + a2t dei + a3t dui + a4t dnj + a5t dej + a6t duj + (s*

ij - soij),

unde:

so

ij este distanța înclinată măsurată (tabelul III.2, coloana 7);

s*

ij este distanța înclinată calculată din coordonatele carteziene

elipsoidale provizorii (tabelul III.7, coloana 3);

dni, dei, dui reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare

punctului de stație (i);

dnj, dej, duj reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare

punctului vizat (j);

a1t,a2t,...,a6t reprezintă variațiile distanței înclinate în raport cu

variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:

* *

1 cos sin ;ij

t ij ij

i o

sa A Z

n

* *

2 sin sin ;ij

t ij ij

i o

sa A Z

e

*

3 cos ;ij

t ij

i o

sa Z

u

* *

4 cos sin ;ij

t ji ji

j o

sa A Z

n

* *

5 sin sin ;ij

t ji ji

j o

sa A Z

e

*

6 cos .ij

t ji

j o

sa Z

u

Calculul coeficienților (a1t, a2t ,..., a6t) și a termenului liber (s*

ij - so

ij)

pentru fiecare din cele 7 distanțe înclinate măsurate în drumuire, se prezintă

în tabelul III.8. Coeficienții au valori adimensionale și subunitare, iar

termenii liberi se exprimă în metri.

Ponderile fiecărei măsurători se vor calcula invers proporțional cu

pătratul erorilor medii pătratice de determinare a distanțelor, exprimate în

metri (tabelul III.8): 21/ .i jij sp s


11

Tabelul III.8 – Formarea ecuațiilor de corecții pentru distanțe înclinate

Coeficienți,

termeni liberi

și ponderi

Distanţe înclinate măsurate

sA-101 s101-102 s102-103 s103-104 s104-105 s105-106 s106-C

0 1 2 3 4 5 6 7

/dn101 0,8822 -0,8669 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/de101 0,4707 -0,4984 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/du101 -0,0101 0,0064 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/dn102 0,0000 0,8669 -0,9369 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/de102 0,0000 0,4984 -0,3496 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/du102 0,0000 -0,0064 0,0090 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

/dn103 0,0000 0,0000 0,9369 -0,9965 0,0000 0,0000 0,0000

/de103 0,0000 0,0000 0,3496 0,0830 0,0000 0,0000 0,0000

/du103 0,0000 0,0000 -0,0090 0,0114 0,0000 0,0000 0,0000

/dn104 0,0000 0,0000 0,0000 0,9965 -0,9744 0,0000 0,0000

/de104 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0830 0,2249 0,0000 0,0000

/du104 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0113 0,0070 0,0000 0,0000

/dn105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9744 -0,9931 0,0000

/de105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,2249 0,1165 0,0000

/du105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0070 0,0107 0,0000

/dn106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9931 -0,9065

/de106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,1165 0,4222

/du106 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0107 0,0059

Termen liber 0,0045 0,0031 0,0031 0,0030 0,0028 -0,0015 0,0037

Pondere 15625 20408 12346 27778 40000 27778 20408

3.2.2. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri zenitale.

Ecuația de corecție scrisă pentru un unghi zenital măsurat

(măsurătoarea t) este de forma:

vt (zij) = b1t dni + b2t dei + b3t dui + b4t dnj + b5t dej + b6t duj + (z*

ij - zo

ij),

unde:

zo

ij este unghiul zenital măsurat (tabelul III.2, coloana 5);

z*

ij este unghiul zenital calculat din coordonatele carteziene





12


punctului vizat (j);

b1t, b2t,...,b6t reprezintă variațiile mărimii unghiului zenital în raport

cu variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:

* *

1 *

cos cos;

ij ij ij

t

i ijo

z Z Ab

n s

* *

2 *

cos sin;

ij ij ij

t

i ijo

z Z Ab

e s

*

3 *

sin;

ij ij

t

i ijo

z Zb

u s

* * *

4 * *

cos sin cos( ) sin cos cos sin cos;

sin

o o o o o o

ij i j j i i j ij ji ji

t

j ij ijo

z B B L L B B Z Z Ab

n s Z

* * *

5 * *

cos sin( ) cos sin sin;

sin

o o o

ij i j i ij ji ji

t

j ij ijo

z B L L Z Z Ab

e s Z

* *

6 * *

cos cos sin sin cos cos cos( ).

sin

o o o o o o

ij ij ji i j i j j i

t

j ij ijo

z Z Z B B B B L Lb

u s Z

Calculul coeficienților (b1t, b2t , ..., b6t) și a termenului liber (z*

ij - zo

ij)

pentru fiecare din cele 14 unghiuri zenitale măsurate în drumuire, se prezintă

în tabelul III.9. Coeficienții se exprimă în cc·m-1

, prin înmulțirea cu

coeficientul ρcc

, iar termenii liberi în secunde centezimale.


pătratul erorilor medii pătratice de determinare a unghiurilor zenitale,

exprimate în secunde centezimale (tabelul III.9): 21/ .i jij zp s

3.2.3. Calculul coeficienţilor și termenilor liberi pentru unghiuri orizontale.

Considerând unghiurile orizontale ca diferență a celor două azimute

ale laturilor care le compun (βjik = Aik - Aij) și având sensul de parcurgere

orar, ecuația de corecție scrisă pentru un unghi orizontal din drumuire

(măsurătoarea t) va avea forma:

vt (βjik) = c1t dnj + c2t dej + c3t duj + c4t dni + c5t dei + c6t dui +

c7t dnk + c8t dek + c9t duk + (β*

jik – βo

jik),


13

z 10

1-1

02

03

/dn

10

113,9

3

/de 1

01

8,0

1

/du

10

12509,8

0

/dn

10

2-1

3,8

4

/de 1

02

-7,9

6

/du

10

2-2

509,8

0

/dn

10

30,0

0

/de 1

03

0,0

0

/du

10

30,0

0

/dn

10

40,0

0

/de 1

04

0,0

0

/du

10

40,0

0

/dn

10

50,0

0

/de 1

05

0,0

0

/du

10

50,0

0

/dn

10

60,0

0

/de 1

06

0,0

0

/du

10

60,0

0

Ter

men

lib

er-2

2,1

9

Ponder

e0,0

020

Coef

icie

nți

,

term

eni

lib

eri

și p

on

der

i

Un

gh

iuri

zen

itale

măsu

rate

14

-19,9

519,9

5-1

3,9

30,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

89

10

11

12

13

12

45

67

0,0

00,0

00,0

00,0

0

-10,6

410,6

4-8

,01

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

7,3

5-7

,35

0,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

0-2

229,5

42229,5

4-2

509,8

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

013,8

419,7

0-1

9,7

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

0

56,3

2-5

6,3

20,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

02509,8

02332,2

2-2

332,2

20,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

07,9

6

0,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

0-7

,32

7,3

2-4

,69

0,0

04,6

90,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

0-1

9,6

119,6

1

0,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0-5

6,2

20,0

056,2

218,2

1-1

8,2

10,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

0-2

332,2

22332,2

24976,8

5-4

976,8

5

0,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0-4

976,8

50,0

04976,8

52673,0

1-2

673,0

10,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

04,6

9-4

,69

-4,2

04,2

0

0,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

04,1

8-4

,18

-5,6

05,6

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0-1

8,1

218,1

2

0,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0-9

,93

0,0

00,0

00,0

0-4

7,6

247,6

29,9

3

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0-2

673,0

12673,0

1

4487,5

81862,9

6

4,6

3

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

0,0

00,0

00,0

0

-3,9

9

0,0

022

0,0

012

0,0

014

0,0

020

0,0

036

0,0

011

-1862,9

6

11,8

4-2

8,3

2-2

5,8

2-1

7,8

8-0

,28

-28,5

8-1

3,6

3-3

8,6

5-8

,12

0,0

00,0

00,0

0-4

487,5

8

5,5

9-5

,59

-4,6

3

4487,5

8-4

487,5

80,0

0

47,7

2-4

7,7

20,0

0

z 10

5-1

04

z 10

5-1

06

z 10

6-1

05

z 10

6-C

z C-1

06

Tabel

ul

III.

9

0,0

020

z A-1

01

z 10

1-A

z 10

2-1

01

z 10

2-1

03

z 10

3-1

02

z 10

3-1

04

z 10

4-1

03

z 10

4-1

05

0,0

017

0,0

014

0,0

016

0,0

017

0,0

023

0,0

028

-22,3

714,8

420,9

4

Tabel

ul

III.

9 –

Form

are

a e

cuați

ilor

de

core

cții

pen

tru u

nghiu

ri z

enit

ale


14

unde:

βo

jik este unghiul orizontal măsurat (tabelul III.2, coloana 3);

β*

jik = A*

ik - A*

ij este unghiul orizontal (tabelul III.7, coloana 6)

calculat cu ajutorul azimutelor obținute din coordonatele carteziene





punctului vizat înapoi în drumuire (j);

dnk, dek, duk reprezintă necunoscutele sistemului, corespunzătoare

punctului vizat înainte în drumuire (k);

c1t, c2t,...,c6t reprezintă variațiile mărimii unghiului orizontal în raport

cu variația coordonatelor rectangulare ale sistemului geodezic local:

*

1 * * *

sin sin sin( )cos( ) ;

sin

o o o

jik ij j j io o

t j i

j ij ij ijo

A B L Lc B B

n s Z tgA

*

*

2 * *

cos[cos( ) sin sin( ) ];

sin

jik ij o o o o o

t j i i j i ij

j ij ijo

Ac L L B L L tgA

e s Z

*

*

3 * *

cos cos[sin( ) (sin cos( ) cos ) ];

sin

o

jik ij j o o o o o o o

t j i i j i i j ij

j ij ijo

A Bc L L B L L B tgB tgA

u s Z

**

4 * * * *

sinsin;

sin sin

jik ijikt

i ik ik ij ijo

AAc

n s Z s Z

* *

5 * * * *

cos cos;

sin sin

jik ij ikt

i ij ij ik iko

A Ac

e s Z s Z

6 0;

jik

t

i o

cu

*

7 * * *

sin sin sin( )cos( ) ;

sin

o o ojik o oik k k i

t k i

k ik ik iko

A B L Lc B B

n s Z tgA

*

*

8 * *

cos[cos( ) sin sin( ) ];

sin

jik o o o o oikt k i i k i ik

k ik iko

Ac L L B L L tgA

e s Z

*

*

9 * *

cos cos[sin( ) (sin cos( ) cos ) ].

sin

ojik o o o o o o oik k

t k i i k i i k ik

k ik iko

A Bc L L B L L B tgB tgA

u s Z


15

Calculul coeficienților (c1t, c2t ,...,c9t) și a termenului liber (β*

jik - βo

jik)

pentru fiecare din cele 8 unghiuri orizontale din drumuire, se prezintă în

tabelul III.10. Coeficienții se exprimă în cc·m-1

, prin înmulțirea cu

coeficientul ρcc

, iar termenii liberi în secunde centezimale.


pătratul erorilor medii pătratice de determinare a unghiurilor orizontale,

exprimate în secunde centezimale (tabelul III.10): 21/ .jikijp s

Tabelul III.10 - Formarea ecuațiilor de corecții pentru unghiuri orizontale Coeficienți,

termeni

liberi și

ponderi

Unghiuri orizontale din drumuire

β

B-A-101

β

A-101-102

β

101-102-103

β

102-103-104

β

103-104-105

β

104-105-106

β

105-106-C

β

106-C-D

0 1 2 3 4 5 6 7 8

/dn101 -1049,69 2300,73 -1251,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/de101 1967,29 -4143,14 2175,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/du101 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/dn102 0,00 -1251,08 2066,52 -815,43 0,00 0,00 0,00 0,00

/de102 0,00 2175,92 -4361,10 2185,20 0,00 0,00 0,00 0,00

/du102 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/dn103 0,00 0,00 -815,47 402,09 413,38 0,00 0,00 0,00

/de103 0,00 0,00 2185,24 -7145,50 4960,29 0,00 0,00 0,00

/du103 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/dn104 0,00 0,00 0,00 413,39 -1014,61 601,22 0,00 0,00

/de104 0,00 0,00 0,00 4960,29 -7564,95 2604,64 0,00 0,00

/du104 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/dn105 0,00 0,00 0,00 0,00 601,24 -1124,11 522,87 0,00

/de105 0,00 0,00 0,00 0,00 2604,66 -7062,18 4457,53 0,00

/du105 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

/dn106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 522,88 -1309,53 786,65

/de106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4457,53 -6146,33 1688,76

/du106 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Termen

liber -9,18 -4,48 17,09 -8,65 -19,38 -21,83 4,37 -24,42

Pondere 0,0065 0,0031 0,0027 0,0040 0,0024 0,0022 0,0047 0,0017


16

3.2.4. Formarea modelului matriceal al sistemului ecuațiilor de corecții.

Numărul ecuaţiilor de corecţii este egal cu numărul elementelor

măsurate (r = 29), respectiv a unghiurilor orizontale, verticale şi a distanţelor

înclinate. Notând cu N numărul punctelor noi, numărul general de

necunoscute este 3N, fiind format din corecţiile dn, de şi du pentru fiecare

punct nou al drumuirii (n = 3N = 18).

Pentru formarea modelului funcţional matriceal ponderat:

Brn Xn1 + Lr1 = Vr1, cu pondere Prr ,

(B29-18 X18-1 + L29-1 = V29-1, cu pondere P29-29),

se vor grupa elementele componente ale matricelor astfel:

matricea coeficienţilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:

101 101 101

101 101 101

106 106 106

106 106 106

101 101 101

101 101

29 18

0 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... 0

A A A

o o o

C C C

o o o

B A B A B A

o o

s s s

n e u

s s s

n e u

n e

B

101

106 106 106

106 106 106

101 101 101

101 101 101

106

106

0 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... 0

o

C D C D C D

o o o

A A A

o o o

C

u

n e u

z z z

n e u

z

n

106 106

106 106

;

C C

o o o

z z

e u

matricea – vector a parametrilor necunoscuţi (corecţiile coordonatelor

rectangulare ale punctelor noi, în sistem geodezic local):

18 1 1 18 101 101 101 106 106 106[ , , ,..., , , ];TX X dn de du dn de du

matricea – vector a termenilor liberi ai sistemului ecuaţiilor de corecţii:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

29 1 1 29 1 7 8 15 16 29[ ,..., , ,..., , ,..., ];T s s z zL L l l l l l l


17

matricea – vector a corecţiilor mărimilor măsurate:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

29 1 1 29 1 7 8 15 16 29[ ,..., , ,..., , ,..., ];T s s z zV V v v v v v v

matricea ponderilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:

( )

1

( )

7

( )

8

29 29

( )

15

( )

16

... ... ... ... ... ... ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 ... ... ... ... ... ... 0

0 ... ... ... ... ... ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 ... ... ... ... ... ... 0

0 ... ... ... ... ... ... 0

... ... ... .

s

s

z

p

p

p

P

p

p

( )

29

.

.. ... ... ... ... ...

0 ... ... ... ... ... ... ... zp

3.3. Formarea și rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale ale

necunoscutelor

Prin aplicarea condiției de minim pentru suma produselor dintre

ponderi și pătratele corecțiilor ([pvv] → minim), se ajunge la un sistem de 18

ecuaţii cu 18 necunoscute, reprezentând sistemul ecuaţiilor normale ale

necunoscutelor:

BT

nr Prr Brn Xn1 + BT

nr Prr Lr1 = 0n1,

sau:

BT

18-29 P29-29 B29-18 X18-1 + BT

18-29 P29-29 L29-1 = 018-1.

Înlocuind produsul matricial (BT

nr Prr Brn) cu matricea normală (Nnn) și

produsul matricial (BT

nr Prr Lr1) cu matricea – vector (Tn1), sistemul ecuațiilor

normale se va rescrie sub forma:

Nnn Xn1 + Tn1 = 0n1,

sau

N18-18 X18-1 + T18-1 = 018-1,

unde matricele componente ale sistemului se obţin prin operaţiile de

transpunere şi înmulţire matriceală, folosind funcţiile specifice programului

de calcul Microsoft Excel (TRANSPOSE, MMULT):

N18-18 = BT

18-29 P29-29 B29-18 este matricea coeficienţilor ecuaţiilor

normale ale necunoscutelor (tabelul III.11);


18

T18-1 = BT

18-29 P29-29 L29-1 este matricea – vector a termenilor liberi din

ecuaţiile normale ale necunoscutelor.

Rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale se efectuează prin metoda

inversării matricei coeficienţilor ecuaţiilor normale, rezultând în final,

matricea – vector a parametrilor necunoscuţi:

Xn1 = - (Nnn)-1

Tn1 = - Qnn Tn1

sau

X18-1 = - (N18-18)-1

T18-1 = - Q18-18 T18-1

unde: Qnn= (Nnn)-1

este matricea coeficienţilor de pondere ai necunoscutelor,

calculată cu ajutorul programului Microsoft Excel (tabelul III.12, coloanele

1-18), prin utilizarea funcţiei specifice de inversare a matricei (MINVERSE) .

Valorile necunoscutelor dn, de şi du s-au obţinut în metri (tabelul

III.12, coloana 19) pe baza relaţiei matriceale de mai sus, având în vedere

modul de definire al coeficienţilor, ponderilor și termenilor liberi din sistemul

ecuațiilor de corecții.


19

Tabe

lul I

II.1

1

N[1

8-18

]1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

18

15,

50E

+04

-3,5

0E+0

41,

50E

+01

-3,1

0E+0

42,

20E

+04

-6,4

0E+0

02,

80E

+03

-7,4

0E+0

33,

60E

-04

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

2-3

,50E

+04

1,00

E+0

58,

40E

+00

2,00

E+0

4-5

,90E

+04

-3,7

0E+0

0-4

,80E

+03

1,30

E+0

4-6

,30E

-04

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

31,

50E

+01

8,40

E+0

03,

80E

+04

-5,0

0E+0

0-2

,90E

+00

-2,1

0E+0

4-3

,10E

-04

8,40

E-0

4-4

,10E

-11

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

4-3

,10E

+04

2,00

E+0

4-5

,00E

+00

4,50

E+0

4-2

,70E

+04

1,60

E+0

2-1

,70E

+04

3,20

E+0

4-1

,50E

+02

-1,4

0E+0

3-1

,60E

+04

-8,8

0E-0

50,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

52,

20E

+04

-5,9

0E+0

4-2

,90E

+00

-2,7

0E+0

49,

20E

+04

6,10

E+0

19,

10E

+03

-9,0

0E+0

4-5

,80E

+01

3,60

E+0

34,

30E

+04

2,40

E-0

40,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

6-6

,40E

+00

-3,7

0E+0

0-2

,10E

+04

1,60

E+0

26,

10E

+01

5,20

E+0

4-1

,50E

+02

-5,7

0E+0

1-3

,10E

+04

1,80

E-0

42,

10E

-03

1,20

E-1

10,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

72,

80E

+03

-4,8

0E+0

3-3

,10E

-04

-1,7

0E+0

49,

10E

+03

-1,5

0E+0

24,

10E

+04

-9,6

0E+0

36,

30E

+02

-2,8

0E+0

42,

70E

+03

-4,8

0E+0

26,

00E

+02

2,60

E+0

37,

20E

-05

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

8-7

,40E

+03

1,30

E+0

48,

40E

-04

3,20

E+0

4-9

,00E

+04

-5,7

0E+0

1-9

,60E

+03

2,80

E+0

51,

70E

+01

-2,2

0E+0

4-2

,30E

+05

4,00

E+0

17,

20E

+03

3,10

E+0

48,

60E

-04

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

93,

60E

-04

-6,3

0E-0

4-4

,10E

-11

-1,5

0E+0

2-5

,80E

+01

-3,1

0E+0

46,

30E

+02

1,70

E+0

11,

00E

+05

-4,8

0E+0

24,

00E

+01

-7,0

0E+0

4-3

,90E

-05

-1,7

0E-0

4-4

,70E

-12

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

0

100,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

-1,4

0E+0

33,

60E

+03

1,80

E-0

4-2

,80E

+04

-2,2

0E+0

4-4

,80E

+02

7,00

E+0

41,

90E

+04

3,50

E+0

2-4

,10E

+04

-6,8

0E+0

31,

30E

+02

6,80

E+0

25,

80E

+03

4,90

E-0

5

110,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

-1,6

0E+0

44,

30E

+04

2,10

E-0

32,

70E

+03

-2,3

0E+0

54,

00E

+01

1,90

E+0

42,

50E

+05

-1,0

0E+0

1-8

,60E

+03

-9,0

0E+0

4-2

,90E

+01

2,90

E+0

32,

50E

+04

2,10

E-0

4

120,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

-8,8

0E-0

52,

40E

-04

1,20

E-1

1-4

,80E

+02

4,00

E+0

1-7

,00E

+04

3,50

E+0

2-1

,00E

+01

9,10

E+0

41,

30E

+02

-3,0

0E+0

1-2

,10E

+04

-8,1

0E-0

5-6

,90E

-04

-5,8

0E-1

2

130,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

06,

00E

+02

7,20

E+0

3-3

,90E

-05

-4,1

0E+0

4-8

,60E

+03

1,30

E+0

27,

00E

+04

2,00

E+0

44,

40E

+02

-3,2

0E+0

4-2

,30E

+04

-5,7

0E+0

2

140,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

02,

60E

+03

3,10

E+0

4-1

,70E

-04

-6,8

0E+0

3-9

,00E

+04

-3,0

0E+0

12,

00E

+04

2,20

E+0

5-3

,70E

+01

-3,2

0E+0

4-2

,00E

+05

6,70

E+0

1

150,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

07,

20E

-05

8,60

E-0

4-4

,70E

-12

1,30

E+0

2-2

,90E

+01

-2,1

0E+0

44,

40E

+02

-3,7

0E+0

11,

00E

+05

-5,7

0E+0

26,

60E

+01

-8,1

0E+0

4

160,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

6,80

E+0

22,

90E

+03

-8,1

0E-0

5-3

,20E

+04

-3,2

0E+0

4-5

,70E

+02

5,40

E+0

43,

40E

+04

5,50

E+0

2

170,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

5,80

E+0

32,

50E

+04

-6,9

0E-0

4-2

,30E

+04

-2,0

0E+0

56,

60E

+01

3,40

E+0

42,

30E

+05

-5,7

0E+0

1

180,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

0,00

E+0

00,

00E

+00

4,90

E-0

52,

10E

-04

-5,8

0E-1

2-5

,70E

+02

6,70

E+0

1-8

,10E

+04

5,50

E+0

2-5

,70E

+01

9,80

E+0

4

Mat

rice

a co

efic

ien

ţilo

r ec

uaţ

iilo

r n

orm

ale

ale

nec

un

oscu

telo

r

Tabel

ul

III.

11 –

Matr

icea

coef

icie

nți

lor

ecuați

ilor

norm

ale

ale

nec

unosc

ute

lor


20

Tab

elul

III

.12

/dn

10

1/d

e 10

1/d

u1

01

/dn

10

2/d

e 10

2/d

u1

02

/dn

10

3/d

e 10

3/d

u1

03

/dn

10

4/d

e 10

4/d

u1

04

/dn

10

5/d

e 10

5/d

u1

05

/dn

10

6/d

e 10

6/d

u1

06

01

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

14,

60E

-05

1,50

E-0

5-5

,00E

-08

4,00

E-0

51,

10E

-05

-6,1

0E-0

82,

80E

-05

8,00

E-0

6-4

,00E

-09

2,20

E-0

58,

20E

-06

3,40

E-0

81,

70E

-05

5,90

E-0

6-8

,30E

-09

1,00

E-0

53,

80E

-06

3,10

E-0

8-0

,002

21,

50E

-05

3,10

E-0

5-1

,80E

-08

9,90

E-0

63,

60E

-05

-1,7

0E-0

88,

50E

-06

3,30

E-0

5-2

,70E

-09

8,10

E-0

62,

90E

-05

-1,8

0E-0

95,

90E

-06

1,90

E-0

5-1

,20E

-09

5,10

E-0

61,

30E

-05

-7,6

0E-1

00,

002

3-5

,00E

-08

-1,8

0E-0

84,

70E

-05

-6,8

0E-0

8-1

,40E

-08

3,70

E-0

5-7

,70E

-09

1,80

E-0

82,

90E

-05

3,40

E-0

81,

60E

-08

2,60

E-0

5-9

,50E

-09

1,90

E-0

81,

60E

-05

3,30

E-0

86,

20E

-09

1,30

E-0

50,

007

44,

00E

-05

9,90

E-0

6-6

,80E

-08

7,30

E-0

51,

40E

-05

-1,1

0E-0

75,

20E

-05

3,70

E-0

6-3

,00E

-09

4,00

E-0

53,

70E

-06

7,10

E-0

83,

10E

-05

2,30

E-0

6-1

,40E

-08

1,80

E-0

58,

70E

-07

6,30

E-0

8-0

,004

51,

10E

-05

3,60

E-0

5-1

,40E

-08

1,40

E-0

57,

40E

-05

-1,7

0E-0

81,

00E

-05

7,60

E-0

5-5

,90E

-11

1,20

E-0

57,

10E

-05

-1,2

0E-0

88,

90E

-06

4,90

E-0

53,

10E

-09

9,30

E-0

63,

30E

-05

-1,1

0E-0

80,

003

6-6

,10E

-08

-1,7

0E-0

83,

70E

-05

-1,1

0E-0

7-1

,70E

-08

6,50

E-0

5-4

,00E

-09

4,00

E-0

85,

20E

-05

6,80

E-0

83,

50E

-08

4,70

E-0

5-1

,10E

-08

3,80

E-0

82,

80E

-05

6,30

E-0

81,

40E

-08

2,30

E-0

50,

006

72,

80E

-05

8,50

E-0

6-7

,70E

-09

5,20

E-0

51,

00E

-05

-4,0

0E-0

99,

00E

-05

1,30

E-0

5-1

,90E

-07

6,90

E-0

51,

00E

-05

-4,5

0E-0

85,

30E

-05

5,20

E-0

6-1

,20E

-07

3,20

E-0

52,

10E

-06

2,50

E-0

80,

000

88,

00E

-06

3,30

E-0

51,

80E

-08

3,70

E-0

67,

60E

-05

4,00

E-0

81,

30E

-05

1,20

E-0

4-6

,10E

-08

1,70

E-0

51,

20E

-04

-7,9

0E-0

81,

40E

-05

8,60

E-0

5-2

,70E

-08

1,50

E-0

56,

00E

-05

-4,9

0E-0

8-0

,004

9-4

,00E

-09

-2,7

0E-0

92,

90E

-05

-3,0

0E-0

9-5

,90E

-11

5,20

E-0

5-1

,90E

-07

-6,1

0E-0

86,

80E

-05

-5,9

0E-0

8-6

,50E

-08

6,10

E-0

5-1

,30E

-07

-3,0

0E-0

83,

70E

-05

8,20

E-0

9-3

,40E

-08

3,00

E-0

50,

004

102,

20E

-05

8,10

E-0

63,

40E

-08

4,00

E-0

51,

20E

-05

6,80

E-0

86,

90E

-05

1,70

E-0

5-5

,90E

-08

8,10

E-0

51,

40E

-05

-1,3

0E-0

76,

20E

-05

8,80

E-0

6-1

,90E

-07

3,70

E-0

54,

70E

-06

-7,9

0E-0

9-0

,001

118,

20E

-06

2,90

E-0

51,

60E

-08

3,70

E-0

67,

10E

-05

3,50

E-0

81,

00E

-05

1,20

E-0

4-6

,50E

-08

1,40

E-0

51,

30E

-04

-7,4

0E-0

81,

30E

-05

9,80

E-0

5-1

,60E

-08

1,50

E-0

56,

90E

-05

-5,1

0E-0

8-0

,006

123,

40E

-08

-1,8

0E-0

92,

60E

-05

7,10

E-0

8-1

,20E

-08

4,70

E-0

5-4

,50E

-08

-7,9

0E-0

86,

10E

-05

-1,3

0E-0

7-7

,40E

-08

6,70

E-0

5-1

,90E

-07

-4,1

0E-0

84,

00E

-05

-2,0

0E-0

8-4

,30E

-08

3,40

E-0

50,

003

131,

70E

-05

5,90

E-0

6-9

,50E

-09

3,10

E-0

58,

90E

-06

-1,1

0E-0

85,

30E

-05

1,40

E-0

5-1

,30E

-07

6,20

E-0

51,

30E

-05

-1,9

0E-0

76,

80E

-05

9,80

E-0

6-1

,50E

-07

4,10

E-0

56,

20E

-06

4,00

E-0

8-0

,003

145,

90E

-06

1,90

E-0

51,

90E

-08

2,30

E-0

64,

90E

-05

3,80

E-0

85,

20E

-06

8,60

E-0

5-3

,00E

-08

8,80

E-0

69,

80E

-05

-4,1

0E-0

89,

80E

-06

9,90

E-0

5-1

,40E

-08

1,30

E-0

57,

30E

-05

-5,3

0E-0

8-0

,005

15-8

,30E

-09

-1,2

0E-0

91,

60E

-05

-1,4

0E-0

83,

10E

-09

2,80

E-0

5-1

,20E

-07

-2,7

0E-0

83,

70E

-05

-1,9

0E-0

7-1

,60E

-08

4,00

E-0

5-1

,50E

-07

-1,4

0E-0

85,

30E

-05

3,70

E-0

8-3

,00E

-08

4,40

E-0

5-0

,003

161,

00E

-05

5,10

E-0

63,

30E

-08

1,80

E-0

59,

30E

-06

6,30

E-0

83,

20E

-05

1,50

E-0

58,

20E

-09

3,70

E-0

51,

50E

-05

-2,0

0E-0

84,

10E

-05

1,30

E-0

53,

70E

-08

4,50

E-0

56,

10E

-06

6,70

E-0

90,

001

173,

80E

-06

1,30

E-0

56,

20E

-09

8,70

E-0

73,

30E

-05

1,40

E-0

82,

10E

-06

6,00

E-0

5-3

,40E

-08

4,70

E-0

66,

90E

-05

-4,3

0E-0

86,

20E

-06

7,30

E-0

5-3

,00E

-08

6,10

E-0

65,

90E

-05

-3,8

0E-0

8-0

,002

183,

10E

-08

-7,6

0E-1

01,

30E

-05

6,30

E-0

8-1

,10E

-08

2,30

E-0

52,

50E

-08

-4,9

0E-0

83,

00E

-05

-7,9

0E-0

9-5

,10E

-08

3,40

E-0

54,

00E

-08

-5,3

0E-0

84,

40E

-05

6,70

E-0

9-3

,80E

-08

4,70

E-0

5-0

,007

Mat

rice

a co

efic

ien

ţilo

r d

e p

ond

ere

ai n

ecu

nos

cute

lor

(Q1

8-1

8)

Nr.

ec.

Vec

toru

l

nec

un

osc.

X1

5-1

[m]

Tabel

ul

III.

12 –

Rez

olv

are

a s

iste

mulu

i ec

uați

ilor

norm

ale

ale

nec

unosc

ute

lor


21

3.4. Calculul elementelor compensate ale drumuirii şi verificarea

compensării

3.4.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi.

Variațiile coordonatelor rectangulare în sistemul geodezic local se vor

transforma în sistem geodezic elipsoidal, obținându-se variațiile latitudinii și

longitudinii exprimate în radiani, respectiv ale altitudinii elipsoidale,

exprimate în metri (tabelul III.13, coloanele 5-7):

jn

j E

j j

ddB

M H

;

( )cos

je

j E

j j j

ddL

N H B

;

j

E

j udH d , j= 101,...,106.

Tabelul III.13 – Corecțiile coordonatelor provizorii în sistem geodezic global

Nr.

pct.

Coordonate geodezice provizorii Corecții în sistem geodezic elipsoidal

Bo [rad] L

o [rad] (H

E)

o[m] dB [rad] dL [rad] dH

E[m]

1 2 3 4 5 6 7

101 0,799473291 0,467382659 391,424 -0,0000000003 0,0000000004 0,007

102 0,799507817 0,467411045 389,805 -0,0000000006 0,0000000006 0,006

103 0,799547970 0,467432470 387,350 0,0000000000 -0,0000000009 0,004

104 0,799567984 0,467430085 385,899 -0,0000000002 -0,0000000013 0,003

105 0,799604420 0,467418058 384,238 -0,0000000004 -0,0000000011 -0,003

106 0,799626541 0,467414347 382,721 0,0000000001 -0,0000000005 -0,007

Coordonatele geodezice elipsoidale compensate ale punctelor noi se

obţin prin însumarea coordonatelor provizorii cu mărimile transformate ale

corecţiilor. Pentru latitudini și longitudini, rezultatele se obțin în radiani și

apoi se exprimă în grade sexagesimale (tabelul III.14, coloanele 2-3):

,

,

, j= 101,...,106.

În final, se efectuează din nou conversia coordonatelor geodezice

elipsoidale compensate (B, L, HE) în coordonate carteziene elipsoidale cu

formulele cunoscute din etapa calculelor elementelor provizorii (tabelul

III.14, coloanele 5-7).

Tabelul III.14 – Coordonatele compensate ale punctelor noi

Nr.

pct

Coordonate geodezice

elipsoidale compensate

Coordonate carteziene elipsoidale

compensate

B [°,…] L [°,…] HE

[m] X [m] Y [m] Z [m] 1 2 3 4 5 6 7

101 45,80644539 26,77905380 391,431 3976349,698 2006774,504 4550557,560

102 45,80842360 26,78068019 389,811 3976150,976 2006815,829 4550709,675

103 45,81072421 26,78190771 387,353 3975942,760 2006817,621 4550886,164

104 45,81187088 26,78177103 385,902 3975865,055 2006766,500 4550973,963

105 45,81395852 26,78108192 384,235 3975739,606 2006643,182 4551134,508

106 45,81522598 26,78086935 382,714 3975655,915 2006582,434 4551231,611


22

3.4.2 Calculul elementelor unghiulare şi a distanţelor compensate, cu

verificarea compensării.

3.4.2.1. Calculul corecţiilor elementelor unghiulare şi ale distanţelor

măsurate.

Prin înlocuirea valorilor necunoscutelor (dn, de, du) în sistemul

ecuaţiilor de corecţii, se obţin mărimile corecţiilor pentru distanțele înclinate,

unghiurile orizontale și unghiurile zenitale măsurate (tabelul III.15, III.16 și

III.17, coloana 4):

Vr1 = Brn Xn1 + Lr1,

sau

V29-1 = B29-18 X18-1 + L29-1.

Pentru verificarea preliminară a compensării, se calculează suma

produselor dintre ponderi și pătratele corecţiilor, funcţie directă de mărimile

acestora:

[pvv] = VT

1r Prr Vr1 = VT

1-29 P29-29 V29-1 = 8,627030159,

care trebuie să fie egală cu suma produselor dintre ponderi, corecţii şi

termenii liberi:

[pvl] = VT

1r Prr Lr1 = VT

1-29 P29-29 L29-1 = 8,627030159.

3.4.2.2.Calculul valorilor compensate ale distanţelor înclinate.

Distanţele compensate rezultă din aplicarea corecţiilor specifice (v1..7)

la distanţele măsurate provizorii:

sij = soij + vij (tabelul III.15, coloana 5).

Tabelul III.15 – Calculul și verificarea distanțelor înclinate compensate

Nr.

ec.

Simbol

distanță

Distanțe

măsurate

soij [m]

Corecții

vij [m]

Distanțe

compensate

sij [m]

Distanțe din

coordonate

compensate

sij [m]

Diferențe

de

distanțe

[mm]

Erori

medii

pătratice

s(sij) [m] 1 2 3 4 5 6 7 8

1 sA-101 285,519 0,003 285,522 285,522 0,00 0,007

2 s101-102 253,645 0,002 253,647 253,647 0,00 0,006

3 s102-103 272,953 0,004 272,957 272,957 0,00 0,008

4 s103-104 127,905 0,002 127,907 127,907 0,00 0,005

5 s104-105 238,157 0,001 238,158 238,158 0,00 0,004

6 s105-106 141,856 0,002 141,858 141,858 0,00 0,005

7 s106-C 341,715 0,002 341,717 341,717 0,00 0,006


23

Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre distanțele

calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele calculate din

coordonatele carteziene elipsoidale compensate ale punctelor noi

(tabelul III.15, coloana 6): 2 2 2( ) ( ) ( )ij ij ij ijs X Y Z

Diferențele calculate se exprimă în milimetri (tabelul III.15, coloana 7).

3.4.2.3. Calculul valorilor compensate ale unghiurilor orizontale.

Unghiurile orizontale compensate rezultă din aplicarea corecţiilor

specifice (v8..15) la mărimile provizorii ale unghiurilor orizontale din

drumuire:

βjik = βojik + vjik (tabelul III.16, coloana 5).

Tabelul III.16 – Calculul și verificarea unghiurilor orizontale compensate

Nr.

ec.

Simbol

unghi

Unghiuri

orizontale

măsurate

βojik [g c cc]

Corecții

vij [cc]

Unghiuri

orizontale

compensate

βjik [g c cc]

Unghiuri

orizontale

calculate

βjik [g c cc]

Diferențe

unghiuri

orizontale

[cc]

Erori

medii

pătratice

s(βjik)[cc] 1 2 3 4 5 6 7 8

1 βB-A-101 198,3903 -3,6 198,3899 198,3899 0,00 11,0

2 βA-101-102 202,0151 -5,8 202,0145 202,0145 0,00 15,9

3 β101-102-103 189,5154 -4,7 189,5149 189,5149 0,00 17,0

4 β102-103-104 171,9695 -2,6 171,9692 171,9692 0,00 14,0

5 β103-104-105 190,8534 -5,7 190,8528 190,8528 0,00 18,0

6 β104-105-106 207,0110 -10,7 207,0099 207,0099 0,00 19,0

7 β105-106-C 179,6818 -5,8 179,6812 179,6812 0,00 12,9

8 β106-C-D 112,6886 -27,5 112,6858 112,6858 0,00 21,8

Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre unghiurile

orizontale calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele

calculate din diferența azimutelor obținute din coordonatele carteziene și

geodezice elipsoidale compensate ale punctelor noi (tabelul III.16,coloana 6):

βjik = Aik - Aij ,

unde Aik, Aij reprezintă azimutele compensate ale direcțiilor componente ale

unghiului orizontal:

sin cos

sin cos sin sin cos

ik i ik iik

ik i i ik i i ik i

X L Y LA arctg

X B L Y B L Z B

;

sin cos

.sin cos sin sin cos

ij i ij i

ij

ij i i ij i i ij i

X L Y LA arctg

X B L Y B L Z B


24

Diferențele calculate se exprimă în secunde centezimale (tabelul

III.16, coloana 7).

3.4.2.4. Calculul valorilor compensate ale unghiurilor zenitale.

Unghiurile zenitale compensate rezultă din aplicarea corecţiilor

specifice (v16..29) la mărimile provizorii ale unghiurilor zenitale din drumuire:

zij = zoij + vij (tabelul III.17, coloana 5).

Tabelul III.17 - Calculul și verificarea unghiurilor zenitale compensate

Nr.

ec.

Simbol

unghi

Unghiuri

zenitale

măsurate

zoij [g c cc]

Corecții

vij [cc]

Unghiuri

zenitale

compensate

zij [g c cc]

Unghiuri

zenitale

calculate

zij [g c cc]

Diferențe

unghiuri

zenitale

[cc]

Erori

medii

pătratice

s(zij) [cc] 1 2 3 4 5 6 7 8

1 zA-101 100,6473 -4,7 100,6468 100,6468 0,00 18,9

2 z101-A 99,3572 -11,8 99,3560 99,3560 0,00 25,9

3 z101-102 100,4098 -19,5 100,4079 100,4079 0,00 20,0

4 z102-101 99,5975 -28,5 99,5946 99,5946 0,00 23,3

5 z102-103 100,5757 -11,2 100,5746 100,5746 0,00 19,9

6 z103-102 99,4288 -7,0 99,4281 99,4281 0,00 14,7

7 z103-104 100,7257 -24,7 100,7232 100,7232 0,00 26,2

8 z104-103 99,2798 -17,5 99,2780 99,2780 0,00 21,5

9 z104-105 100,4491 -23,7 100,4467 100,4467 0,00 23,7

10 z105-104 99,5580 -23,0 99,5557 99,5557 0,00 22,4

11 z105-106 100,6838 -3,9 100,6834 100,6834 0,00 21,5

12 z106-105 99,3184 -3,6 99,3180 99,3180 0,00 18,3

13 z106-C 100,3724 7,9 100,3732 100,3732 0,00 16,6

14 zC-106 99,6293 9,0 99,6302 99,6302 0,00 19,7

Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre unghiurile

zenitale calculate pe baza modelului funcțional de compensare şi cele

calculate din coordonatele carteziene elipsoidale compensate ale punctelor

noi (tabelul III.17, coloana 6):

2 2 2

cos cos cos sin sinarccos .

( ) ( ) ( )

ij i i ij i i ij i

ij

ij ij ij

X B L Y B L Z Bz

X Y Z

Diferențele calculate se exprimă în secunde centezimale (tabelul

III.17, coloana 7).


25

3.5. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării

Etapa de evaluare a preciziei rezultatelor compensării cuprinde

calculul erorii medii pătratice a unității de pondere, al erorilor medii pătratice

ale mărimilor reale măsurate pe teren și al erorilor medii pătratice ale

coordonatelor compensate ale punctelor noi.

3.5.1. Calculul erorii medii pătratice a unităţii de pondere.

Eroarea medie pătratică a unităţii de pondere, ca indicator global al

preciziei rețelei, este o mărime adimensională și se calculează cu relaţia :

1 1[ ]0,885593 ,

T

r rr ro

V P Vpvvs

r n r n

unde:

r = numărul ecuaţiilor de corecţii sau numărul de măsurători (r = 29);

n = numărul necunoscutelor (n = 3N = 18, cu N = 6, numărul

punctelor noi din reţea).

3.5.2. Calculul erorilor medii pătratice ale unghiurilor şi distanţelor

măsurate pe teren.

Cu ajutorul erorii medii pătratice a unităţii de pondere ( ), se pot

calcula erorile medii pătratice ale mărimilor reale ale unghiurilor şi

distanţelor măsurate direct pe teren, cu formulele:

pentru distanțele înclinate: ( )( )

oij

ij

ss s

p s (m);

pentru unghiurile zenitale: ( )( )

oij

ij

ss z

p z (

cc);

pentru unghiurile orizontale: ( )( )

ojik

jik

ss

p

(

cc).

Rezultatele obţinute pentru erorile medii pătratice ale elementelor

măsurate în teren se prezintă în tabelele III.15, III.16 și III.17, în coloana 8.

3.5.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate ale

punctelor noi

Erorile medii pătratice ale mărimilor compensate ale necunoscutelor

(dn, de, du) reprezintă erorile de determinare a celor mai probabile valori ale

coordonatelor punctelor noi în sistemul geodezic local (n, e, u). Astfel, erorile


26

medii pătratice pe direcțiile celor 3 axe de coordonate, proprii fiecărui punct

de stație nou (i), sunt calculate cu relaţiile:

,i i in o n ns s Q (m);

,i i ie o e es s Q (m);

,i i iu o u us s Q (m);

unde este eroarea unităţii de pondere şi ,

și sunt

coeficienţii de pondere pătratici ai necunoscutelor (dni, dei, dui).

Coeficienţii de pondere pătratici ai necunoscutelor s-au calculat

anterior, la rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale prin metoda matriceală,

fiind reprezentaţi de elementele diagonalei principale a matricei Qnn (tabelul

III.12, coloanele 1-18).

Pe baza erorilor de-a lungul axelor de coordonate ( ,

, ) se

calculează eroarea totală în poziţia punctului, cu formula:

2 2 2

i i i it n e us s s s (m).

Rezultatele obținute pentru toate cele 6 puncte noi ale drumuirii se

prezintă în tabelul III.18.

Tabelul III.18 – Erorile medii pătratice ale punctelor noi, în sistem local

Punct

Eroarea medie

pătratică (sn)

Eroarea medie

pătratică (se)

Eroarea medie

pătratică (su)

Eroarea

totală (st)

[m] [mm] [m] [mm] [m] [mm] [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8

101 0,0060 6,0 0,0049 4,9 0,0061 6,1 9,8

102 0,0075 7,5 0,0076 7,6 0,0071 7,1 12,9

103 0,0084 8,4 0,0095 9,5 0,0073 7,3 14,6

104 0,0079 7,9 0,0099 9,9 0,0073 7,3 14,6

105 0,0073 7,3 0,0088 8,8 0,0064 6,4 13,1

106 0,0060 6,0 0,0068 6,8 0,0060 6,0 10,9

Pentru exprimarea matricei de covarianță () din sistemul local în cel

global, se va folosi expresia de transformare pentru un punct nou:

1 1

, ,, ,( )E

T

n e uB L HR R

unde:

2

, ,

2

,, , ,

2

, ,

E

E E

E E E

B B L B H

B L LB L H L H

B H L H H

;


27

2

, ,

2

, , , ,

2

, ,

n n e n u

n e u n e e e u

n u e u u

;

0 0

0 ( )cos 0 .

0 0 1

E

E

M H

R N H B

Elementele matricei de covarianță pot fi calculate din matricea

coeficienților de pondere Qnn, urmărind blocuri de submatrici (3 x 3) de-a

lungul diagonalei principale. Pentru exemplu, se prezintă matricele și

R, specifice punctului 101 (tabelul III.19)

Tabelul III.19 – Matricele și R, specifice punctului 101

Matricea pentru punctul 101 Matricea pentru punctul 101

0,00003574 0,00001182 -0,00000004 6368676,2 0 0

0,00001182 0,00002402 -0,00000001 0 4454043,2 0

-0,00000004 -0,00000001 0,00003667 0 0 1

Rezultatele obținute pentru erorile medii pătratice ale coordonatelor

geodezice elipsoidale, ale tuturor punctelor noi, se prezintă în tabelul III.20.

Acestea rezultă din rădăcina pătrată a elementelor de pe diagonala principală

a matricei , mai întâi în radiani și apoi transformate în secunde

sexagesimale pentru latitudini și longitudini, respectiv în metri și apoi

transformate în milimetri pentru altitudinile elipsoidale.

Tabelul III.20 – Erorile medii pătratice ale punctelor noi, în sistem global

Punct Eroare medie pătratică (latitudine, longitudine, altitudine elipsoidală)

sB ["] sL ["] sH [mm]

1 2 3 4

101 0,00019 0,00023 6,1

102 0,00024 0,00035 7,1

103 0,00027 0,00044 7,3

104 0,00026 0,00046 7,3

105 0,00024 0,00041 6,4

106 0,00019 0,00032 6,0

Reprezentarea grafică a spațiului de poziționare a punctului nou,

pentru o anumită probabilitate, rezultă prin construcția unui elipsoid de

eroare cu trei axe, care poate fi reprezentat atât în sistemul local al stației

(n, e, u), cât și în sistemul cartezian elipsoidal global (X,Y,Z).

COMPENSAREA UNEI REŢELE GEODEZICE TRIDIMENSIONALE ... de studiu-autoinstruire pentru disciplina...

Documents

Transcript of COMPENSAREA UNEI REŢELE GEODEZICE TRIDIMENSIONALE ... de studiu-autoinstruire pentru disciplina...