Platforma 1 - Teoria sistemelor

1.1 Spatiul starilor O reprezentare in spatiul starilor este un model matematic al unui sistem fizic sub forma unui set de intrari, iesiri si variabile de stare legate prin ecuatii diferentiale de ordinul I. Pentru a face abstractie de numarul de intrari, iesiri si stari variabilele sunt reprezentate sub forma de vectori iar ecuatiile diferentiale si algebrice sunt scrise sub forma unor matrici. Reprezentarea in spatiul starilor ofera o modalitate usoara de a modela si analiza sisteme cu mai multe intrari si mai multe iesiri. O reprezentare generala a unui sistem cu p intrari, q iesiri si n variabile de stare poate fi scrisa astfel:

)()()()()(

)()()()()(

tutDtxtCty

tutBtxtAtx

unde: x() – reprezinta vectorul starilor y() – reprezinta vectorul iesirilor u() – reprezinta vectorul intrarilor A() – matricea de stare, dim[A()]=nXn B() – matricea intrarilor, dim[B()]=nXp C() – matricea iesirilor, dim[C()]=qXn D() – matricea de feedforward, dim[D()]=qXp In functie de tipul sistemului o reprezentare in spatiul starilor poate avea mai multe forme. In cele ce urmeaza vom prezenta cele mai utilizate forme de reprezentare in spatiul starilor.

Tipul sistemului Reprezentare in spatiul starilor Invariant in timp

)()()(

)()()(

tuDtxCty

tuBtxAtx

Variant in timp

)()()()()(

)()()()()(

tutDtxtCty

tutBtxtAtx

Discret invariant in timp

)()()(

)()()1(

kuDkxCky

kuBkxAkx

Discret variant in timp

)()()()()(

)()()()()1(

kukDkxkCky

kukBkxkAkx

Continuu invariant in timp (Domeniu Laplace) )()()(

)()()(

sUDsXCsY

sUBsXAssX

Discret invariant in timp (Domeniu Z) )()()(

)()()(

zUDzXCzY

zUBzXAzzX

 

 

 

1.2 Functia de transfer Functia de transfer este o reprezentare matematica a relatiei dintre intarile si iesirile unui sistem. Pentru a determina functia de transfer a unui sistem invariant in timp pornim de la relatia urmatoare:

)()()( tuBtxAtx

Aplicand transformata Laplace relatiei de mai sus obtinem :  

)()()(

)()()()()()(1 sUBAIssX

sUBsXAIssUBsXAssX

Inlocuim pe X(s) in relatia:

)()()( sUDsXCsY

si obtinem:

)())()(()( 1 sUDsUBAIsCsY

Stiind ca o functia de transfer H(s) reprezinta raportul dintre iesirile si intrarile

unui sistem din relatia de mai sus putem deduce:

DBAIsCsU

sYsH 1)(

)(

)()(

Numitorul funcţiei de transfer este egal cu polinomul caracteristic care se

găseşte calculand determinantul matricei sI-A.

AIss )(  

Rădăcinile acestui polinom se numesc polii funcţiei de transfer si sunt folosiţi

pentru a analiza stabilitatea sistemului. Daca polii funcţiei de transfer sunt in

semiplanul stâng atunci putem spune ca sistemul este stabil.

Spunem ca un sistem este controlabil daca se poate găsi o secvenţă de intrări

care sa adică sistemul dintr-o stare iniţială in o stare finala dorita intr-o anumita

perioada de timp. Un sistem continuu invariant in timp este controlabil daca si

numai daca:

nBABABABgrad n 12 

Spunem ca un sistem este observabil daca iesirea acestuia permite sa se

determine starea din care a plecat sistemul. Un sistem continuu invariant in timp

este observabil daca si numai daca:

n

AC

AC

C

grad

n

1