Reprezentarea geometric a graficului unei funcii.1.

Reprezentarea geometric a graficului unei funcii numerice. Exemplu: . Reprezentai geometric graficul funciei f : { 1; 2; 3} R , f(x) = 2x 1 . f(1) = 2 1 1 => f(1) = 2 1 => f(1) = 1; f(2) = 2 2 1 => f(2) = 4 1 => f(2) = 3; f(3) = 2 3 1 => f(3) = 6 1 => f(3) = 5; Graficul funciei are elementele: (1;1), (2;3) i (3;5). Reprezentarea geometric este: Atenie!!!!!! Punctele nu se unesc. 5 _ (2;3) 3 _ (1;1) 1 0 1 2 3 x y (3;5)

2. Reprezentarea geometric a graficului unei funcii de forma f : I R, f(x) = ax + b , ( a , b ) R i I este un interval. Exemple:a)

Reprezentai geometric graficul funciei f: [2;4] R , f(x) = 2x 3 Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval nchis de extremiti 2 i 4. Reprezentarea geometric a graficului acestei funcii este un segment cuprins ntre dou drepte paralele cu axa ordonatelor i care trec prin punctele 2 i 4 de pe

abcis(Fig.1). S le spunem limite , pentru c nu avem voie s trecem peste ele cu reprezentarea geometric. Avem voie s le atingem. Calculm dou puncte ale graficului( suficient ca s trasm segmentul ). Atenie!! Nu avem voie s lum pentru abcis valori mai mici dect 2 i nici mai mari dect 4. Pentru c reprezentarea geometric cuprinde i punctele de abcis 2 i 4, vom folosi aceste valori: f(2) = 2 2 3 => f(2) = 4 3 => f(2) = 1; (2;1) Gf; f(4) = 2 4 3 => f(4) = 8 3 => f(4) = 5; (4;5) Gf. Fig. 1 y _ _ _ _ _ 0 2 4 x 0 Fig. 2 y 5___________ B _ _ _ 1______A 2 4 x

Reprezentarea geometric se afl ntre aceste dou drepte paralele( limitele ) cu axa ordonatelor ( Fig. 1) Reprezentarea geometric este segmentul [AB](Fig.2). b) Reprezentai geometric graficul funciei f : (2 ;3) R, f(x) = x 1 Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval deschis de extremiti 2 i 3. Reprezentarea geometric va fi un segment deschis la extremiti. Domeniul de definiie nu conine i punctele de abcisa 2 i 3. Pentru reprezentare ne vom alege alte dou valori pentru abcisa . De exemplu: 1 i 2. Atenie!! Nu avem voie s lum pentru abcis valori mai mici sau egale cu 2 i nici valori mai mari sau egale cu 3.

f( 1 ) = 1 1 => f ( 1 ) = 2; f( 2 ) = 2 1 => f ( 2 ) = 1; Fig. 3 y _3 _2 _1 2 1 0 1 2 1 2 3 4

( 1; 2) Gf ; ( 2 ; 1) Gf. Fig. 4 y _3 _2 _1 x 2 1 0 1 2 3 1 2 3 4 x H

Reprezentarea geometric se afl ntre aceste dou drepte paralele ( limitele ) cu axa ordonatelor(Fig.3 ). Reprezentarea geometric este segmentul (NH) (Fig.4). Atenie!! Segmentul are capetele pe cele dou paralele, dar se izoleaz folosind dou paranteze mici . Cele dou puncte rmn n afara parantezelor pentru c nu sunt puncte ale reprezentrii(Fig. 4). Nu treci cu reprezentarea peste cele dou drepte paralele(limitele) cu axa ordonatelor. c) Reprezentai geometric graficul funciei f : ( 1 ; 4 ] R f(x) = x 3 . Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval deschis la stnga n 1 i nchis la dreapta n 4. Atenie!! Nu avem voie s lum pentru abcis valori mai mici sau egale cu 1 i nici valori mai mari de 4, ci numai valori cuprinse n interval.

Putem lua pentru abcis , de exemplu, 0 i 4(destul cu dou valori): f(0) = 0 3 => f(4) = 4 3 => Fig. 5 y _2 _1 2 1 0 1 2 3 4 x 2 1 _2 _1 0 1 2 3 B 4 x f(0) = 3; f(4) = 1; (0; 3) Gf; (4; 1) Gf Fig. 6 y

A Reprezentarea geometric se afl ntre aceste dou drepte paralele( limitele ) cu axa ordonatelor(Fig.5). Reprezentarea geometric este segmentul (AB] (Fig.6) Atenie!! Segmentul are ambele capete pe dreptele paralele(limitele) cu axa ordonatelor. n captul B se nchide cu parantez dreapt( peste punct), iar n captul A punctul de pe dreapt rmne n afara parantezei rotunde, pentru c nu este punct al reprezentrii geometrice ( figura 6). d) Reprezentai geometric funcia f : [ 0; 3) R , f(x) = 2x 3. Domeniul de definiie este un interval nchis la stnga n 0 i deschis la dreapta n 3. Punctul de abcis 3 nu este al reprezentrii geometrice, nu-l vom folosi la calcule. Pentru abcis nu poi lua valori mai mici de zero i nici valori mai mari sau egale cu 3. Aici, reprezentarea geometric se afl ntre axa ordonatelor i paralela la ea dus prin punctul de abcis 3. S calculm, de exemplu, dou puncte cu abcisele 0 i 2:

f(0) = 2 0 3 => f(0) = 0 3 => f(0) = 3 ; f(2) = 2 2 3 => f(0) = 4 3 => f(2) = 1 ;

( 0; 3) Gf; ( 2; 1 ) Gf.

Fig. 7

y 3 2 1 0 1 2 3 1 2 3 4 x

Fig. 8 3

y D 2 1 0 1 2 C 3 1 2 3 4 x

Reprezentarea geometric se afl ntre axa ordonatelor i dreapta paralel cu ea dus prin punctul de abcis 3. Reprezentarea geometric este segmentul [CD)(Fig.8). Captul C al segmentului este nchis prin parantez dreapt, exact peste punct, iar n cellalt capt punctul D unde segmentul atinge limita este lsat n afara parantezei rotunde pentru c acest punct nu aparine reprezentrii geometrice. Atenie!! Indiferent ce puncte i alegi din domeniul de definiie( pentru abcisa), segmentul trebuie s ating limitele . e) Reprezentai geometric graficul funciei f: [2; ) R, f(x) = x 1 Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval nchis la stnga n 2 i nemrginit la dreapta. Reprezentarea geometric a acestei funcii este o semidreapt cu originea pe dreapta paralel cu axa ordonatelor. Nu se vor lua valori pentru abcis mai mici dect 2. Calculam f(2) si f(3): f(2) = 2 1 => f(2) = 1; f(3) = 3 1 => f(3) = 2; (2;1) Gf (3;2) Gf

Fig.9 3 2 1

y 3 2 1 0 1 2 3 4 limit x

y

Fig. 10

B A 0 1 2 3 4 x

Reprezentarea geometric este semidreapta [AB cu originea n A. Dup cum se vede (Fig. 10) semidreapta se afl pe partea dreapt a dreptei paralele(limita) cu axa ordonatelor, adic in partea in care valorile abcisei sunt cresctoare(ncepnd cu 2). Atenie!! Semidreapta se nchide n origine cu o parantez dreapt, exact peste punctul de origine. f) Reprezentai geometric graficul funciei f : ( 2; ) R, f(x) = x 1. Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval deschis la stnga n 2 i nemrginit la dreapta. Reprezentarea geometric este o semidreapt cu originea pe dreapta paralel(limita) cu axa ordonatelor i trasat prin punctul de abcis 2 . Pentru abcis nu se vor lua valori mai mici sau egale cu 2 , ci mai mari dect 2 . f( 1) = (1) 1 => f( 1) = 1 1 => f(x) = 0; f(0) = 0 1 => f(0) = 1; Fig.11 y 2 1 3 2 1 1 2 limita 0 1 2 x 3 A 2 1 2 1 0 1 1 C 2 2 x ( 1 ; 0) Gf ( 0; 1 ) Gf Fig.12 y

Reprezentarea geometric este semidreapta (AC. Reprezentarea geometrica se afla pe partea dreapta fata de limita , adic in partea in care valorile abcisei sunt cresctoare (Fig.12). Atenie!! Originea semidreptei se izoleaz cu o parantez mic( nu este punct al graficului). g) Reprezentai geometric graficul funciei f : ( ; 4 ] R, f(x) = x 3 . Domeniul de definiie al acestei funcii este un interval nemrginit la stnga i mrginit la dreapta n 4. Reprezentarea geometric va fi o semidreapt cu originea ntr-un punct , chiar pe dreapta paralel(limita) cu axa ordonatelor dus prin punctul de abcis 4. Nu se vor lua pentru abcis valori mai mari dect 4, ci mai mici sau egale cu 4. f(3) = 3 3 = > f(3) = 0; (3;0) Gf; f(4) = 4 3 = > f(4) = 1; (4;1) Gf. Fig. 13 2 1 1 1 2 3 limita Reprezentarea geometrica este semidreapta [MN. Originea semidreptei se afla pe limita . Se nchide semidreapta cu o paranteza dreapta , exact peste punctul de origine. Reprezentarea geometrica se afla pe partea stnga, fata de limita , adic pe partea pentru care valorile abcisei sunt descresctoare (ncepnd cu 4) (Fig.14). 3. Reprezentarea geometrica a funciilor de forma f: R R, f(x) = ax + b, a R, b R . a) a = 0 => f: R R , f(x) = b, ( b R) 0 1 2 3 4 x 1 2 M 1 0 1 2 3 P 1 2 N 3 4 x Fig. 14

O astfel de funcie se numete funcie constanta. Domeniul de definiie al acestei funcii este R . Reprezentarea geometrica va fi o dreapta care trece prin punctul de coordonate (0;b) si este paralela cu abcisa. Daca b > 0 , dreapta ce reprezint graficul se afla situata deasupra abcisei(Fig.15), iar daca b < 0, dreapta ce reprezint graficul este situata sub abcisa(Fig.16). Daca b = 0, reprezentarea geometrica este axa abciselor. Exemple: .. Reprezentai geometric : Fig. 15.

i) f: R R f(x) = 2 f(1) = 2; f(0) = 2; f( 1)= 2. 4 3 2 1

y

2 1 0 1 2 3 4 x 1 2 ii) f: R R , f(x) = 2 f(1) = 2; f(0) = 2; f(1) = 2. Fig. 16 1 2 1 0 1 2 1 2 3 x y

b) b = 0 => f: R R , f(x) = ax , f: R R, f(x) = 2x

a 0 , a R.

Reprezentarea geometrica(Fig. 17) va fi o dreapta (d) ce conine punctul de intersecie al celor doua axe ortogonale, adic punctul de coordonate (0;0). Doua puncte determina o dreapta. Mai avem nevoie de un punct(destul): f(1) = 2 1 => f(1)= 2 ; (1;2) Gf Fig. 17 4 3 2 1 3 2 1 1 2 0 1 2 3 4 5 x y d

c) f: R R , f(x) =2x 3 Reprezentarea geometrica va fi o dreapta(Fig.18 ).

Doua puncte determina o dreapta. Avem nevoie de doua puncte(destul): f(1) = 2 (1) 3 => f(1) = 2 3 => f(1)= 5 ; ( 1; 5) Gf; f (1) = 2 1 3 => f( 1) = 2 3 => f(1) = 1 ; ( 1; 1) Gf. Fig. 18 y 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 x (d)

Atenie!! Cnd asezati numerele pe axa abciselor si pe axa ordonatelor, procedai in felul urmtor: . alegei o unitate de msura, de exemplu, 1cm(sau 5 mm) ; . asezati rigla de-a lungul abcisei si numarati, din cm in cm, incepand din originea axelor la stnga si la dreapta, fata de origine(in nici un caz, dintr-un capt sau din celalalt capt al axei); . asezati rigla de-a lungul axei ordonatei(vertical) si numarati , din cm in cm, in sus, apoi in jos; ncepnd din originea axelor(in nici un caz, dintr-un capt sau din celalalt capt al axei). Prof. Natalee Ghita