Repartiia optim a productivitii ntre instalaiile electroenergetice n cazul caracteristicilor de consum liniareFie n instalaii funcionnd n paralel:

O instalaie are caracteristica de consum de energie primar: ( 1 ).Unde: reprezint productivitatea grupului . reprezint creterea relativ a consumului orar de energie primar n funcie de productivitate reprezint consumul orar de mers n gol al grupului

Unde: , reprezint productivitatea minim, respectiv productivitatea maxim a instalaiei . , se observ n Fig.2 c acest consum de mers n gol nu aparine caracteristicii i se obine prin extrapolare. ( 2 ).

Prin definiie:( 3 ).

Modelul matematic al repartiiei optime a productivitii ntre n instalaii funcionnd n paralel

Ipoteze de calcul: Caracteristicile sunt lineare de forma relaiei ( 1 ) . Structura instalaiilor n funciune rmane neschimbat ( nu exista instalaii care intr n funciune sau care ies din funciune ). Pierderile de energie sunt considerate constante, independente de regim i sunt incluse n productivitatea cerut de ctre consumator, . Regimul este considerat constant pentru o anumit perioad de timp. Regimulrile variabile sunt considerate ca o succesiune de regimuri constante.Se propune rezolvarea urmtoarelor obiective: Suma productivitilor celor instalaii funcionnd n paralel trebuie s fie egal cu productivitatea cerut . Pentru fiecare instalaie productivitatea trebuie s se situeze in productivitatea minim i cea maxim, tehnic sau tehnologic realizabile, , .

Aceste obiective pot fi ndeplinite n condiiile minimizrii consumului total de energie primar de cele n instalaii funcionnd n paralel.

Modelul matematic al repartiiei optime a productivitii ntre cele n instalaii funcionnd n paralel este dat de ctre relaiile ( 4 ) care reprezint funcia obiectiv, ( 5 ) care reprezint o restricie de egalitate, ( 6 ) care reprezint dou restricii de inegalitate i de necunoscutele ,.Se observ c att funcia obiectiv ct i toate restriciile sunt lineare n raport cu necunoscutele . n consecin modelul matematic ( 4 ), ( 5 ) i ( 6 ) este un model matematic de programare linear.Relaiile ( 4 ), ( 5 ) i ( 6 ) vor purta numele de Forma I a modelului matematic..

este constant pentru c sunt consumuri orare de mers n gol i n continuare vom nota cu . putem face substituie cu care reprezint o variabil. ; .n concluzie valoarea minim a funciei se obine pentru aceleai valori ale necunoscutelor ca i valoarea minim a funciei . Cu alte cuvinte putem n locul funciei obiectiv s punem funcia . Altfel spus putem face abstracie de valoarea funciei din funcia obiectiv.

Forma II a modelului matematic:

( 10 )nlocuim 10 n relaiile ( 7 ), ( 8 ) i ( 9 ) i rezult

Forma III a modelului matematic:

Forma III a modelului matematic ( 11 ) , ( 12 ), ( 13 ) i ( 14 ) este linear n raport cu necunoscutele . De remarcat apariia condiiilor de nenegativitate ( 14 ).Modelul matematic al unei probleme de programare linear oarecare se rezolv cu ajutorul algoritmului simplex.innd seama de forma particular a modelului matematic ( 11 ) , ( 12 ), ( 13 ) i ( 14 ) va fi prezentat n continuare o metod de rezolvare foarte simpl fr a fi necesar utilizarea algoritmului simplex.Metoda ncrcrii n ordine cresctoare a creterilor relative:1. Se ordoneaz creterile relative ale celor n instalaii n ordine cresctoare:

2. Toate instalaiile sunt considerate ncrcate la productivitatea minim astfel c productivitatea total dat de acestea este:

3. Se incarc instalaia i1 ( pentru c , e cel mai mic ) cu:

4. Se ncarc apoi instalaia i2:

Se repet operaia cu celelalte instalaii pn cnd productivitatea total a celor n instalaii va fi egal cu productivitatea cerut.n concluzie rezultatul procesului de optimizare se va prezenta n felul urmtor: parte dintre instalaii vor fi ncrcate la productivitate minim. parte dintre instalaii vor fi ncrcate la productivitate maxim. singur instalaie va fi ncrcat la o productivitate situat ntre productivitate minim i cea maxim, cea care nchide bilanul.Relaia ( 15 ) poart denumirea de scara creterilor relative.

Repartiia optim a productivitii ntre n instalaii, funcionnd n paralel, avnd caracteristici de consum orar de energie primar de o form oarecare, continue convexe i caracteristici de cretere relativ a consumului orar de energie primar n funcie de productivitate, continuePreliminarii matematiceForme patratice:Fie o matrice A de dimensiune dim(A) = nxn de elemente reale, simetric:

Se numete form ptratic asociat matricei reale simetrice A expresia:

unde din relaia ( 2 ) este un scalar.Definiii:1. Matricea A se numete pozitiv definit i se scrie simbolic dac forma ptratic asociat .2. Matricea A se numete negativ definit i se scrie simbolic dac .3. Matricea A se numete nenegativ definit i se scrie simbolic dac .4. Matricea A se numete nepozitiv definit i se scrie simbolic dac .5. Matricea A se numete nedefinit dac nu se ncadreaz n niciuna dintre cele 4 situaii anterior definite.Se prezint pentru n = 3:

Dac facem afirmaia c nu este Teorema lui Sylvester:Matricea real simetric A este:1. Pozitiv definit dac:

2. Negativ definit dac:

3. Nenegativ definit dac:

4. Nepozitiv definit dac:

Forma ptratic asociat matricei A este pozitivModelul matematic al repartiiei optime a productivitii ntre n instalaii funcionand n paralel i avnd caracteristici de consum orar de energiei primar de o form oarecare

Se pstreaz aceleai ipoteze i notaii ca n cazul repartiiei optime a productivitii ntre n instalaii, avnd caracteristici de consum orar linear.

Rezolvarea modelului matematic va fi realizat utiliznd metoda multiplicatorilor lui Lagrange combinat cu metoda funciilor de penalizare.Metoda multiplicatorilor lui Lagrange:Fie urmtorul model matematic de programare nelinear:

Modelul matematic format din relaiile ( 4 ) i ( 5 ) se refer la minimizarea funciei obiectiv de n variabile ( sau maximizare ) ( 4 ) n prezena restriciilor de egalitate ( 5 ). Trebuie s fie ndeplinit condiia:

adic numrul de restricii trebuie sa fie mai mic dect numrul de necunoscute.Diferena este mai mare ca 0 i poart denumirea de numr de grade de libertate dup care se face optimizarea.Minimizarea funciei obiectiv ( 4 ) n prezena restriciilor de egalitate ( 5 ) poart denumirea de : 1. Determinarea extremului ( minim, maxim ) funciei supus la legturi de egalitate ( 5 ).2. Determinarea extremului ( minim, maxim ) funciei condiionat de restriciile de egalitate ( 5 ).Se vor utiliza urmtoarele denumiri prescurtate:1. Determinarea extremului funciei funciei supus la legturi.2. Determinarea extremului ( minim, maxim ) funciei condiionate.Un punct care minimizeaz/maximizeaz funcia n prezena restriciilor de egalitate se numete punct de extrem condiionat sau punct de extrem supus la legturi.Definiii:1. Se numete gradientul funciei i se noteaz vectorul derivatelor pariale de ordin I al funciei :

2. Se numete Hessian sau matrice Hessian a funciei matricea derivatelor pariale de ordinul II ale funciei definit:

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplic n felul urmtor: Se formeaz funcia auxiliar a lui Lagrange:

Unde reprezint vectorul multiplicatorilor lui Lagrange i vectorul restriciilor

Se formeaz urmtorul sistem de relaii:

unde ( 13a ) i ( 13b ) reprezint relaii cu necounscute.Relaiile ( 12 ) i ( 13 ) se numesc condiii de punct staionar necondiionat.Se rezolv sistemul i se obin valorile necunoscutelor :

3. Un punct care satisface sistemul de relaii (12) sau unul echivalent(13) poart denumirea de punct staionar condiionat.Teorema 1Punctele de extrem condiionat se gsesc printre punctele staionare condiionate. Punctele staionare condiie pot fi: Puncte de minim condiionat Puncte de maxim condiionat Puncte a ( puncte care nu sunt nici de minim nici de maxim)Punctele a sunt corespunztoare cu punctele de inflexiune dintr-un spaiu cu o dimensiune.Reciproca teoremei 1 nu este adevrat, exist puncte staionare care nu sunt puncte de extrem condiionat ( punctele a ).Teorema 2Condiiile necesare ca un punct staionar condiionat s fie:1. Punct de minim condiionat:

2. Punct de maxim condiionat:

Condiiile necesare se interpreteaz astfel: Dac este punct de minim condiionat atunci sunt ndeplinite relaiile ( 14a ) i ( 14b ); Dac este punct de minim condiionat atunci sunt ndeplinite relaiile ( 15a ) i ( 15b );Relaiile ( 14a ) i ( 14b ) se interpreteaz astfel: Hessianul funciei auxiliare a lui Lagrange calculat n punctul este nenegativ definit n toate punctele hiperplanului definit de relaia 14b. Condiiile suficiente ca un punct staionar condiionat s fie:1. Punct de minim condiionat:

2. Punct de maxim condiionat:

Dac ndeplinesc relaiile ( 16a) i ( 16b ) atunci este punct de minim condiionat.Dac ndeplinesc relaiile ( 17a) i ( 17b ) atunci este punct de maxim condiionat.Relaiile ( 16a ) respectiv ( 16b ) se citesc astfel:Hessianul funciei auxiliare a lui Lagrange calculat n punctele este pozitiv definit n toate punctele hiperplanului ( 16b ).

Rezolvarea modelului matematic utiliznd metoda multiplicatorilor lui Lagrange

Pentru nceput vom face abstacie de restriciile de inegalitate ( 3 ). Se va arta ulterior cum se ine seama de ele. Vom aplica modelului matematic ( 1 ),( 2 ) metoda multiplicatorilo lui Lagrange.

Relaiile ( 21a ) i ( 21b ) reprezint condiiile de punct staionar condiionat pentru modelul matematic studiat. Este vorba de un sistem cu ecuaii cu necunoscute i a este . Sistemul poate fi rezolvat n principiu prin orice metod obinndu-se necunoscutele. n continuare vom prezenta o metod particular de rezolvare.

Relaia ( 22 ) ne arat c n punctul de optim creterile relative ale consumului orar de energie primar n funcie de productivitate sunt egale ntre ele.Relaia ( 22 ) poart denumirea regula egalitii creterilor relative.Metoda grafo-analitic de rezolvare:Sistemul de relaii ( 21 ) poate fi rezolvat n principiu prin orice metod pentru determinarea punctului staionar condiionat va fi ilustrat o metod de rezolvare grafo-analitic ce are la baz ideea relaiei ( 22 ). Vom ilustra metoda pentru un caz particular Se reprezint grafic la o aceeai scar una lng alta caracteristica de cretere relativ ale celor 3 grupuri ca n figura de mai jos.

Procedura se repet pentru un numr mare de valori obinndu-se n partea dreapt o caracteristic.Utilizarea caracteristicii; Considerm Ridicm verticala Duce o paralel la abscis prin punctul de intersecie

unde: reprezint consumul orar total minim ale celor n instalaii funcionnd n paralel reprezint productivitatea total creterea relativ a consumului orar total minim n funcie de productivitatea totalMetoda funciilor de penalizare de rezolvare:Metoda funciilor de penalizare ne permite s lum n considerare restriciile de inegalitate. Considerm grupul pentru care se reprezint grafic caracteristicile i .

Aceste caracteristici exist n realitate numai ntre productivitate minim i cea maxim .Completm aceste funcii cu funciile de penalizare .

unde: Relaia ( 1 ) reprezint caracteristica de consum orar de energie primar penalizat Relaia ( 2 ) reprezint caracteristica penalizat de creterea relativ a consumului orar de energie primar n funcie de productivitate

Funcia se alege astfel inct funcia s aib urmtoarele proprieti: Este definit pe R; Este continu pe R inclusiv pe ; Este derivabil pe R Cu derivata I continu pe R inclusiv pe .Funciei i se poate aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange ( n mulimeaa R ).Prin alegerea corespunztoare a funciilor de penalizare putem s l facem pe orict de mic dorim. Funciile de penalizare pot fi definite n felul urmtor:

Aceste caracteristici de penalizare poart denumirea de caracteristici slabe sau moi de penalizare i sunt utilizate pentru calculul numeric cu ajutorul calculatorului.

Cu ct crete mai mult i cu att ne apropiem mai mult de verical i valorile i se apropie de i . n cazul calculelor grafo-analitice se utilizeaz funciile de penalizare idealizate definite ca mai jos.

Pentru rezolvarea problemei repartiiei optime a productivitii ntre instalaii funcionnd n paralel se va utiliza deci metoda multiplicatorilor lui Lagrange combinat cu metoda funciilor de penalizare.Metoda multiplicatorilor lui Lagrange ne furnizeaz regula egalitii creterilor relative iar metoda funciilor de penalizare ne permite s inem seama de restriciile de inegalitate.