Relaţiile lui Viète

Definiţie Dacă f ∈C [ x ] este un polinom de grad n, n ≥ 1, ecuaţia f ( x )=0 se numeşte

ecuaţie polinomială sau ecuaţie algebrică asociată polinomului f.

Ecuaţiile de gradul întâi sunt ecuaţii algebrice asociate polinoamelor de gradul întâi,

ecuaţiile de gradul al doilea sunt ecuaţii algebrice asociate polinoamelor de gradul doi, etc.

A rezolva o ecuaţie algebrică înseamnă a determina toate rădăcinile din corpul C ale

polinomului f. Pentru rezolvarea unor ecuaţii algebrice – atunci când cunoaştem unele

informaţii suplimentare privind rădăcinile – sunt utile relaţiile între rădăcini şi coeficienţi,

cunoscute sub denumirea de formulele lui Viète.

Teoremă (Viète)

Fie f=anxn+an−1 x

n−1+...+a1 x+a0∈C [x ] un polinom de grad n având rădăcinile

x1 , x2 ,…, xn∈C, nu neapărat distincte. Atunci au loc egalităţile numite formulele lui Viète:

{S1= ∑

1≤i≤ nxi=

−an−1

an

S2= ∑1≤ i< j ≤ n

x i x j=an−2

an………………………………………………………..

Sk= ∑1≤i1<i2<...<ik≤ n

x i1 x i2∙…∙ xik=(−1 ) kan−kan

…………………………………………………………

Sn= ∏1≤i≤ n

x i=(−1 )na0

an

Observaţii

1) Dacă n = 2, pentru f=ax2+bx+c∈C [ x ] şi x1 , x2 sunt rădăcinile lui f, atunci relaţiile

lui Viète sunt:

S1=x1+x2=−ba

S2=x1 ∙ x2=ca(1)

Reciproc, dacă x1 şi x2 verifică relaţiile (1), atunci x1 şi x2 sunt rădăcinile polinomului

f=ax2+bx+c

2) Dacă n = 3, pentru f=ax3+bx2+cx+d∈C [ x ] , a≠0 şi x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile lui f,

atunci relaţiile lui Viète sunt:

S1=x1+x2+ x3=−ba

S2=x1 x2+x1x3+x2 x3=ca(2)

S3=x1 x2 x3=−da

Reciproc, dacă x1 , x2 şi x3 verifică relaţiile (2), atunci ele sunt rădăcinile lui

f=ax3+bx2+cx+d

3) Dacă n = 4, pentru f=ax4+bx3+cx2+dx+e∈C [x ] , a≠0 şi x1 , x2 , x3 , x4 rădăcinile lui

f, relaţiile lui Viète sunt:

S1=x1+x2+ x3+x4=−ba

S2=x1 x2+x1 x3+x1 x4+x2 x3+x2 x4+x3 x4=ca(3)

S3=x1 x2 x3+x1 x2 x4+x1 x3 x4+x2 x3 x4=−da

S4=x1 x2x3 x4=ea

Reciproc, dacă x1 , x2 , x3 şi x4 verifică relaţiile (3), atunci ele sunt rădăcinile lu

f=ax4+bx3+cx2+dx+e

Aplicaţii ale relaţiilor lui Viète

1) Calculul unor expresii simterice depinzând de rădăcinile uni polinom

Spunem că o expresie E (x1 , x2 ,…, xn ) este simetrică dacă nu se schimbă atunci când

se permută x1 , x2 ,…, xn. O astfel de expresie se poate exprima în funcţie de S1 , S2 ,…,Sn din

relaţiile lui Viète, dacă x1, x2 ,…, xn sunt rădăcinile unui polinom de grad n , f ∈C [x ], ceea ce

permite calculul ei fără a afla x1 , x2 ,…, xnefectiv.

Exemplu Fie plinomul f=x3+2x2+3 x+4, care are rădăcinile x1, x2 şi x3. Să se afle

x12+ x2

2+x32 şi 1x1

+ 1x2

+ 1x3

.

Soluţiile. Din relaţiile lui Viète avem:

S1=x1+x2+x3=−ba

=−21

=−2,

S2=x1 x2+x1 x3+x2 x3=ca=3

1=3 ,

S3=x1 x2 x3=−da

=− f1

=−4

Atunci:

x12+ x2

2+x32=(x1+x2+x3 )2−2 (x1 x2+x1 x3+x2 x3 )=S1

2−2S2=(−2 )2−2 ∙3=4−6=−2

Şi

1x1

+ 1x2

+ 1x3

=x2 x3+x1 x3+x1 x2

x1 x2 x3=S2

S3= 3

−4=−3

4

2) Determinarea unor polinoame când se cunosc rădăcinile acestora

Din teorema lui Viète deducem că există o infinitate de polinoame care admit

rădăcinile date x1 , x2 ,…, xn şi anume f=a [ xn−S1 xn−1+S2 x

n−2−...+(−1 )nSn ], unde

a∈C ,a≠0.

Exemple: 1) Să se afle polinomul monic care are rădăcinile x1=1 , x2=2 şi x3=3.

Soluţie. Calculăm: S1=x1+x2+x3=6

S2=x1 x2+x1 x3+x2 x3=1 ∙2+1 ∙3+2∙3=11

S3=x1 x2 x3=1∙2 ∙3=6

Plinomul căutat este f=(x−x1 ) (x−x2 ) ( x−x3)=x3−S1 x2+S2 x−S3, adică

f=x3−6 x2+11 x−6

2) Fie x1 , x2 , x3 rădăcinile polinomului f=x3−2 ix2−3 x+4 i. Să se determine un

polinom g, de gradul al treilea, care are rădăcinile y1=x12 , y2=x2

2 şi y3=x32

Soluţie. Relaţiile lui Viète pentru f sunt:

S1=x1+x2+x3=2i , S2=x1 x2+x1 x3+x2x3=−3 şi S3=x1 x2 x3=−4 i. Atunci obţinem:

S1'= y1+ y2+ y3=x1

2+x22+x3

2=S12−2S1=2

S2'= y1 y2+ y1 y3+ y2 y3=x1

2 x22+ x1

2 x32+x2

2 x32=(x1 x2+ x1 x3+x2 x3 )2−2x1 x2 x3 (x1+ x2+x3 )=S2

2−2S1S3= (−3 )2−2 ∙2 i (−4 i )=9−16=−7

S3'= y1 y2 y3=x1

2 x22 x3

2=(x1 x2 x3 )2=S32=(−4 i )2=−16

Polinomul monic g cu rădăcinile y1 , y2 şi y3 este:

g= y3−S1' y2+S2

' y−S3' , adică g= y3−2 y2−7 y+16

3) Rezolvarea unor sisteme simetrice

Dacă pentru un sistem de n ecuaţii cu necunoscutele x1 , x2 ,…, xn putem calcula

sumele S1 , S2 ,…,Sn, atunci rezolvarea sistemului se reduce la determinarea rădăcinilor

polinomului f=xn−S1 xn−1+...+(−1 )n Sn

Exemplu Să se rezolve sistemul:

{ x1+x2+x3=0x1

2+x22+x3

2=14x1

3+x23+x3

3=−18

Soluţie. Avem (x1+x2+x3 )2=x12+x2

2+x32+2 (x1 x2+ x1 x3+x2 x3 ), de unde obţinem:

S2=x1 x2+x1x3+x2 x3=−7

Din x13+ x2

3+x33−3 x1 x2 x3=(x1 x2 x3 ) (x1

2+x22+x3

2−x1 x2−x1 x3−x2 x3 ) obţinem

S3=x1 x2 x3=−6

Polinoamele f cu rădăcinile x1 , x2 şi x3 sunt de forma

f=a ( x3−S1x2+S2 x−S3 )=a ( x3−7 x+6 ) , a≠0. Ecuaţia ~f (x )=0 se scrie x3−7 x+6=0 sau

( x−1 ) ( x−2 ) ( x+3 )=0 cu soluţiile x1=1 , x2=2 , x3=3 sau o permutare a lor, deoarece sistemul

este simetric. Atunci mulţimea soluţiilor este

S= {(1;2 ;−3 ) , (1 ;−3 ;2 ) , (2 ;1;−3 ) , (2;−3 ;1 ) , (−3;1 ;2 ) , (−3;2 ;1 ) }.4) Determinarea rădăcinilor unui polinom cunoscând o relaţie suplimentară verificată

de acestea

Exemplu Fie polinomul f=x3−10 x2+31x−30. Să se determine rădăcinile x1, x2 , x3

ale lui f, ştiind că x1+ x2=x3.

Soluţie. Scriem relaţiile lui Viète:

{ S1=x1+x2+x3=10(1)S2=x1 x2+x1 x3+ x2 x3=31(2)

S3=x1 x2x3=30 (3)

Cum x1+ x2=x3(4), din (1) şi (4) rezultă 2 x3=10⇒ x3=5. Înlocuind x3 în (1) şi (3)

obţinem sistemul {x1+x2=5x1 x2=6 , care are rădăcinile x1=2 şi x2=3.

Probleme propuse

1) Scrieţi relaţiile lui Viète pentru polinoamele:

a) f=x3−7 x+12;

b) f=2 x3+x2−x−1;

c) f=x3−x+1;

d) f=−x4+2 ix3+3 x2−i;

e) f=x4+x3+1;

f)f=−2 x5+x3+ix+4.

2) Să se formeze polinoamele monice de gradul trei având rădăcinile:

a) -1; 1; 2; b) 0; 1; -3; c) 2; 4; 6.

3) Să se formeze ecuaţiile de gradul patru având rădăcinile:

a) -2; -1; 0; 1; b) -2; -1; 1; 2; c) 1; 1; 1; 3.

4) Dacă x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei x3+ x+1=0, să se calculeze:

a) x1+ x2+x3; b) x12+ x2

2+x32;

c) x13+ x2

3+x33;

d) x14+x2

4+x34;

e) x15+ x2

5+x35;

f) x16+x2

6+x36;

g) 1x1

+ 1x2

+ 1x3

;

h) 1x1

2 + 1x2

2 +1x3

2 .

5) Aceleaşi cerinţe ca şi în exerciţiul 4 pentru:

a) x3−2 x2+3 x−1=0

b) x3+ ix+1=0

c) x3+2x2+3 x+4=0

d) x3−5 x2+4 x−3=0

6) Să se determine parametrul real m şi să se rezolve ecuaţiile de mai jos, dacă între

rădăcini are loc relaţia:

a) x3−5 x2−2x+m=0 , x1+x2=7;

b) x3+ x2+mx+1=0 , x1+x2=3;

c) x3−28 x+m=0 , x1=2 x2;

d) 2 x3−4 x2−7 x+m=0 , x1+ x2=1;

e) x3−mx 2+2mx−1=0 , x12+x2

2+x32=0;

f) 2 x3+x2−13 x+m=0 , x1 ∙ x2=1

7) Să se determine parametrul real m şi determinaţi rădăcinile polinoamelor

următoare, ştiind că sunt în progresie aritmetice:

a) f=x3−3 x2−x+m;

b) f=x3+3 x2−x+m;

c) f=x3−12 x2+mx−28;

d) f=x3+6 x2+6 x+m;

e) f=x3−mx2−2mx+8;

f) f=x3−3mx 2+(2m−1 ) x+5m;

g) f=4 x3−12x2+11 x−3

8) Să se determine parametrul real m dacă rădăcinile reale ale polinomului de mai jos

sunt în progresie geometrică:

a) f=x3+3mx2+(5m−1 ) x+8;

b) f=x3−31 x2+155 x+m−5;

c) f=x3−(2m+5 ) x2+( 4m+3 ) x−27.

9) Să se rezolve următoarele ecuaţii algebrice ştiind că rădăcinile lor sunt în progresie

aritmetică:

a) x3+3x2−x−3=0;

b) 4 x3−12x2+11 x−3=0;

c) x4−8 x3+14 x2+8 x+m=0;

d) x4+x2+ax+b=0;

e) x4−10x3+ax2−50 x+b=0

10) Să se rezolve ecuaţiile următoare, ştiind că suma a două rădăcini este egală cu

suma celorlalte două rădăcini:

a) x4+2 x3+3 x2+2x−3=0

b) x4−4 x3+5 x2−2x−6=0

c) x4+2 x3+2 x2+10x+25=0

11) Să se rezolve ecuaţiile următoare ştiind că între rădăcini are loc relaţia:

a) 2 x4+x3−4 x2+3 x−2=0 şi x1+x2=−1;

b) 4 x4−3 x2−3 x−2=0 şi x1 x2=−1;

c) 9 x4−3x3+4 x2−x+1=0 şi x1 x2=x3 x4;

d) x4+x3−19 x2+11 x+m=0 şi x1+x2=−3

12) Dacă x1 şi x2 sunt rădăcinile ecuaţiei x2+ x+m=0, să se formeze ecuaţia în y dacă:

a) y1=x1+1 , y2=x2+1;

b) y1=x1

x2, y2=

x2

x1;

c) y1=1x1, y2=

1x2

;

d) y1=x1+1

2x2+1, y2=

x2+12 x1+1

13) Fie ecuaţia x3+2x+3=0. Să se determine ecuaţia de gradul al treilea care are

rădăcinile:

a) y1=x2+x3, y2=x1+x3 , y3=x1+x2;

b) y1=x2 x3 , y2=x2 x3 , y3=x1 x2;

c) y1=x2+x3

x1, y2=

x1+x3

x2, y3=

x1+x2

x3;

d)y1=x2 x3

x1+1 , y2=

x1 x3

x2+1 , y3=

x1 x2

x3+1;

e) y1=x2+x3

1+ x1, y2=

x1+x3

1+x2, y3=

x1+x2

1+x3;

f) y1=1+ 1x1

2 , y2=1+ 1x2

2 , y3=1+ 1x3

2

14) Fie ecuaţia x3+ax2+bx+c, având rădăcinile x1, x2 , x3. Să se determine ecuaţia care

are rădăcinile y1 , y2 , y3dacă:

a) y1=1xx1 , y2=

1xx2 , y3=

12x3;

b) y1=3 x1+ x2+x3 , y2=3x2+x1+x3 , y3=3 x3+x1+x2;

c) y1=−x1+x2+x3 , y2=−x2+ x1+x3 , y3=−x3+x1+x2;

d) y1=x12 , y2=x2

2 , y3=x32;

e) y1=x2+x3

x1, y2=

x3+ x1

x2, y3=

x1+x2

x3;

f) y1=x2∙ x3

x1, y2=

x3 ∙ x1

x2, y3=

x1 ∙ x2

x3

15) Fie f ∈ R [x ] , f=x4−5 x3+13 x2+ax+b. Să se arate că f nu are toate rădăcinile

reale.

16) Fie f=x3+ax2+bx+c , f ∈C [ x ], cu rădăcinile x1, x2 , x3 şi fie Sn=x1n+x2

n+x3n ,n∈N .

a) Calculaţi S2 , S3 şi S4.

b) Arătaţi că Sn+aSn−1+bSn−2+cSn−3=0

17) Utilizând ecuaţiile de gradul trei să se rezolve sistemele simetrice de ecuaţii:

a¿ { x+ y+z=0x2+ y2+z2=6x3+ y3+z3=6

b¿ { x+ y+z=6xy+ xz+ yz=12

1x+ 1y+ 1z=3

2

c ¿{ x+ y+z=10x2+ y2+ z2=42x3+ y3+z3=190

d ¿{ x+ y+z=2xy+xz+ yz=−1xyz=−2

e ¿{ x+ y+z=91x+ 1y+ 1z=1

xyz=27

f ¿ { x+ y+z=1xy+ yz+ yz=−4x3+ y3+z3=1