Referat Mate

5/17/2018 Referat Mate - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/referat-mate-55b07bd11ddef 1/10

UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ BUCUREŞTIFACULTATEA DE CHIMIE APLICATĂ ŞI ŞTIINŢA MATERIALELOR

SPECIALIZAREA INGINERIE CHIMICĂ

APLICAŢII ALE DEZVOLTĂRII ÎN SERIE TAYLOR ÎN CHIMI-referat-

Coordonator ştiinţific, Autor,Prof. Corina GROSU Antonia LOMER, grupa 1111 B



Bucureşti 2008

INTRODUCERE

Chimia reprezintă un domeniu foarte important al vieţii, de altfel unul ddomeniile cu care ne confruntăm frecvent.Un exemplu foarte bun este faptul csuntem alcătuiţi din molecule (particule foarte mici).Pe de altă parte, atomuleste cea mai mică particulă, aşadar suntem alcătuiţi din atomi.Preocuparea pentru studiul atomului, al structurii sale, datează din cele mai vechi timpuri( anul 450 î.e.n. – filozoful grec Leucip) şi chiar şi în zilele noastre, cercetărileasupra acestuia continuă.

Scopul acestui referat este de a prezenta contribuţia matematicii îndemonstrarea şi explicitarea structurii atomului, şi anume Ecuaţia luiSchrödinger.

Aici, demonstraţia Ecuaţiei lui Schrödinger este făcută în cazulelectronului din atomul de hidrogen.

Din punct de vedere matematic , pentru rezolvarea Ecuaţiei luiSchrödinger se aplică noţiunea de “operatori” şi metoda separării variabilelor.Rezolvarea acestor ecuaţii este laborioasă şi necesită cunoştinţe matematicesuplimentare.Scopul acestui referat este de a înţelege ce se poate obţine prinrezolvarea acestei ecuaţii şi semnificaţia fizică a acestor mărimi.

Din condiţiile impuse la limita funcţiilor de undă de reţinut este faptul cla integrarea celor trei ecuaţii diferenţiale, rezultă cuantificarea.

Pentru o mai bună înţelegere a problemei, E. Schrödinger a consideratcazul celui mai simplu atom, şi anume atomul de hidrogen.

2



CUVINTE CHEIE

• Hermiticitate = constă în aceea că doar operatorii care se supun acesteicondiţii pot exprima mărimi fizice reale (neimaginare).

• Operator autoadjunct sau hermitic = este operatorul în care are loc egalitatea

∫φ1*Âφ2 d δ=∫ φ2Â

*φ1*d δ

• “ * „ = complex conjugat

•Laplace-ianul = reprezintă suma derivatelor parţiale de ordinal doi în raport ccele trei coordonate.

3



CONŢINUT

Pentru a intelege expresia ecuatiei lui Schrödinger trebuie sa introducemnotiunea de “operator”.

Noţiunea de operator

Daca o anumita operatie ne permite sa aducem in corespondenta cu fiecarefunctie φ a unui anumit spatiu functional, o singura functie bine definita φ' din

acelasi spatiu, se spune ca φ' este functia obtinuta prin actiunea unui operator dat Â din acest spatiu asupra lui φ;acest lucru se scrie:φ'=Âφ (1)(se citeste functia φ' se obtine prin aplicarea operatoruliu Â functiei φ ).Operatorul Â poate fi :extragera de radacina patrata ( ), ridicarea la putere

( )n, derivarea in raport cu o variabila(dx

d ), integrarea( ∫ ) etc.

In mecanica cuantica variabilelor dinamice din mecanica clasica li se

asociaza operatori liniari si hermitici (autoadjuncti).Proprietatea unui operator de a fi liniar se defineste prin relatia:Â (c1φ1+c2φ2) =c1Âφ1+c2Âφ2 (2) , undeφ1si φ2 sunt doua functii arbitrare, iar c1 si c2 sunt cunoscute oarecare.Un operator se numeste autoadjunct (hermitic) daca are loc egalitatea:∫φ1

*Âφ2 d δ=∫ φ2Â*φ1

*d δ (3) ,unde integrala este extinsa asupra intregului domeniu de variatie al variabilel

In mecanica cuantica se definesc trei operatori, restul operatorilor se deducdin acestia. Astfel vom avea prin definitie:a)Operatorul coordonata de pozitie este insasi coordonata:

X X =ˆ Y Y =ˆ Z Z =ˆ (4)( semnul ^ ≡ operator )b)Operator asociat variabilei dinamice impuls este definit de:

4



xi p

x∂

∂=

ˆ (5)

( i apare pentru ca operatorul sa fie hermitic, i= 1− ), iar simbolul reprezinderivata partiala de ordinal intai in raport cu variabila x. Analog se definescoperatorii asociati componentelor py si pz ale impulsului:

yi p y

∂

∂=

ˆ si z i

p z ∂

∂=

ˆ (6)

Facand o analiza dimensionala a relatiei (5) avem o justificare a acesteia:

px =masa*viteza=MLT-1 yi ∂

∂→energie * timp * lungime-1 =

= 111212

2−−−− =××=×× MLT LT T ML Ltimp

mv (7)

c)Operatorul energiei totale in cazul starilor nestationare (dependente de timp

este definit de relatia: Ê=t

i∂

∂×× . (8)

Daca un operator M ˆ actionand asupra unei functii φ reproduce functia pana laconstanta, se spune ca φ este “functie proprie a operatorului”, iar constanta “m“valoare proprie”. M ˆ φ=mφ (9)

Exemplu: operatoruldx

d aplicat functiei

xe α − : )()( x x ee

d x

d α α α −− ×−=×

↓ ↓

valoare functie proprie

proprie a operatoruluidx

d

Operatorul energiei totaleTinand cont de definitiile de mai sus sa deducem operatorului energiei total

a electronului din atomul de hidrogen. Electronul are o energie cinetica T si oenergie potentiala V, iar suma lor reprezinta energia totala:H=T+V sau (10)

H= ),,()(2

1 222 z y xV p p p

mz y x +++ (11)

5



Energia potentiala depinde doar de coordonate, deci operatorul energiei potentiale este chiar V(x,y,z).Energia cinetica poate fi scrisa in functie de componentele impulsului dupa cetrei axe de coordonate. Operatorii 222 ˆ,ˆ,ˆ

z y x p p p se calculeaza in felul urmator, tinan

cont de relatia 6.

2

222 ˆˆˆ x xi xi

p p p x x x∂

∂−=

∂

∂×

∂

∂=×=

(12)

analog : 2

2

22ˆ y

p y∂

∂−= ;

2

222ˆ z

p z ∂

∂−= (13)

Operatorul energiei totale H ˆ (sau operatorul lui Hamilton) va fi (din relatia 1

si 13) :),,()(

2ˆ

2

2

2

2

2

22

z y xV z y xm

H +∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

(14)

unde2

2

x∂

∂ reprezinata derivata partiala de ordinal doi in raport, iar Π= 2/h .

Suma derivatelor partiale de ordinul doi in raport cu cele trei coordonate se mnumeste “operatorul lui Laplace “ sau laplace-ian se mai noteaza :

2

2

2

2

2

2

z y x∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ (15)

Tinand cont de(15) operatorul lui Hamilton sau opratorul energiei totale va avforma:

),,(2

2

z y xV m

H +∆−= (16)

Ecua ţia lui Schrödinger

Schrödinger a aratat ca ecuatia care descrie miscarea undei DeBroglieasociate particulelor care se afla sub actiunea unei forte date este de forma:),,(),,(ˆ z y x E z y x H ϕ ϕ = (17)

pentru stari stationare si :

6



),,,(),,,(ˆ t z y xt

it z y x H ϕ ϕ ∂

∂= (18)

pentru stari nestationare (dependente de timp).

Revenim la cazul nostru particular, si anume structura atomului de hidrogeElectronului din atom ii atasam o unda de Broglie, descrisa de o functie de unφ (x,y,z) (pentru starile stationare). Ecutia lui Schrödinger va fi:

),,(),,(ˆ z y x E z y x H ϕ ϕ = (19)Unde Ĥ este operatorul energiei totale a electronului ce se afla in campul desimetrie sferica creat de nucleu :

),,(2

2

z y xV m

H +∆−= (20)

Deoarece campul creat de nucleu are simetrie sferica este avantajos sa seexprime Ĥ si φ in coordonatele sferice, deci:φ=φ(r,θ,y) (21)

si )(2

ˆ,, r V

m H yr +∆−=

θ

(22)

unde laplace-ianul in coordonate sferice yor ,,∆ , este:

θ θ ∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∆

s in

112

2

2,,r r

r r r

yor (23)

iar energia potentiala nu depinde decat de r :

r

eV

2

= (24)

(energia potentiala e electronului in campul moleculei)Ecuatia lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen, scrisa in coordonate sfericdevine :

),,(),,()(),,(2

,,

2

yr E yr r V yr m

yr θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ =+∆− (25)

sau detaliat:

),,(),,()(),,(sin

1sin

sin

11

2 2

2

222

2

2

2

yr E yr r V yr yr r r

r r r m

θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ

θ θ θ

=+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

Astfel se cauta solutii de forma :φ(r,θ,y)=R(r)θ(θ)Ø(y).Demonstratia matematica a ecuatiei lui Schrödinger este :

7

−



- ( ) ( ) ( ) ( )t xt

it xt r V t xdx

d

m,,,,

2 2

22

Ψ∂

∂=Ψ+

Ψ

(26)

( ) ( ) xV t xV =,

( ) ( ) ( )t xt x ϕ ψ ⋅=Ψ ,

( ) ( ) ( ) xdx

d t t x

dx

d 2

22

,ψ

ϕ =Ψ (27)

( ) ( )( )

t

t xt x

t ∂

∂⋅=Ψ

∂

∂ ϕ ψ , (28)

(27),(28)→(26)→- ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

t

t xit x xV

x

xt

m ∂

∂=+

∂

∂ ϕ ψ ϕ ψ

ψ ϕ

2

22

2 / ( ) ( )t x ϕ ψ ⋅÷

( )( ) ( ) ( )

( )( ) Gt

t

t i x xV

dx

xd

m x≡

∂∂⋅=

+⋅−ϕ

ϕ ψ

ψ

ψ

1

2

12

22

(29)

( )

( ) ( )

( )( )

Gt i

et dt Gi

t

t d G

t

t

t i

−

=⇒⋅−=⇒=∂

∂ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

1(30)

( ) [ ] [ ] [ ] Et i

pxi

t xi

t xi eeeet xit x

−−

−⋅===−=Ψ

ω κ ω κ

ω κ exp, (31)

λ

π κ

2= (32)

ph==

λ κ (33)

κ λ ==

h p (34)

ω υ ≡= h E (35)

E G ≡ (36)(34) ,(35) sunt relatiile lui DeBroglie.

( )

Et i

et

−

=ϕ (37)-

( )( ) ( ) ( ) x E x xV

dx

xd

mψ ψ

ψ =+

2

2

2

2

(38)

(38)→Ecuatia Schrödinger atemporala

( ) ( )Et

i

e xt x −

=Ψ ψ , → potentialul nu depinde de timp (39)

8



( ) ⇒⋅= ct V xV 0 particula libera (40)

( )Et

i pxi

eet x −

⋅=Ψ , (41)

( ) 0

2

2 V m

p

E e x

pxi

+=⇒=

ψ energia totala a unei particule libere (42)

( ) ( ) ( ) x E x H xV dx

d

m H ψ ψ =⇒+−=

2

22

2

(43)

( ) ( )Et

i

e xt x −

=Ψ ψ , (44)

( ) ( )t x E t x H ,, Ψ+Ψ (45)Desi relatiile (43), (45) par identice ; ele sunt adevarate numai daca HperatoruH nu depind explicit de timp.

Prin relatia (45) regasim legea de conservare a energiei. Daca calculamdensitatea probabilitatii :

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ==Ψ=Ψ−

∗ 122dv xdve xe xdv x

Et i

Et i

ψ ψ (46)

Reiese ca probabilitatea de a gasi o particula x, x→dx nu depinde de timp.Sistemul se afla intr-o stare stationara.

Ecuaţia lui Schrödinger este folosita la problemele care se ocupa de structuratomului.

9



BIBLIOGRAFIE

• Cornelia Guran - ‘Chimie anorganică’, Facultatea de tehnolog Viorica Nistreanu chimică, -Note de curs- Vol. I

Ioana Utaru Ana-Maria Oancea

• Anca Luiza Enescu - ‘Fizică II’Constanţa Dascălu

10

Referat Mate

Documents

Transcript of Referat Mate