Recapitulare Rapida Bac. 2012 2013 s III (1)
24
Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III) Prof. F!R"S#$ %I#!A" 1 .BREVIAR TEORETIC Limite de functii Teoremă: ! func&ie are limit' ntr-un punct finit de acumulare dac' i numai dac' are limite laterale e*ale n acel punct. f are limit' n + ) ( ) ( 0 0 0 x l x l d s = ⇔ ⇔ ) 0 ( ) 0 ( 0 0 + = − x f x f ⇔ ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 x f x f x x x x x x x x 〉 → 〈 → = !b,. Func&ia f R → nu are limit' n punctul de acumulare + 0 n una din ,itua&iile a)e+i,t' un ir + / 0 x D n − ∈ cu limita + 0 a,tfel nc t irul )) ( ( n x f nu are limit' b)e+i,t' irurile / ) ( ) ( 0 x D y x y x n n n n − ∈ a,tfel nc t irurile )) ( ( )) ( ( n n y f x f au limite diferite. Teoremă: Fie f R → o func&ie elementar' i + D ∈ 0 un punct de acumulare al lui ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x = ⇒ → Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite) Fie f * R → i + 0 un punct de acumulare al lui . ac' 0 ) ( lim 0 = → x g x x i e+i,t' R l ∈ a. . ) ( ) ( 0 x x V D x x g l x f ≠ ∩ ∈ ∀ ≤ − 3 4ecin'tate a lui 0 i dac' l x f x g x x x x = ⇒ = → → ) ( lim 0 ) ( lim 0 0 Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite ) Fie f * R → + 0 un punct de acumulare al lui i 0 ) ( ) ( x x V D x x g x f ≠ ∩ ∈ ∀ ≤ 3 4ecin'tate a lui + 0 . a) ac' ∞ = ⇒ ∞ = → → ) ( lim ) ( lim 0 0 x g x f x x x x b) ac' −∞ = ⇒ −∞ = → → ) ( lim ) ( lim 0 0 x f x g x x x x Teoremă(Criteriul cleştelui) Fie f * 5 R → + 0 un punct de acumulare al lui i 0 ) ( ) ( ) ( x x V D x x h x g x f ≠ ∩ ∈ ∀ ≤ ≤ 3 4ecin'tate a lui + 0 . Dacă l x g l x h x f x x x x x x = ⇒ = = → → → ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 Limite uzuale.Limite remarcabile. n n x n n n n x x a a x a x a x a ±∞ → − − ±∞ → = + + ⋅ ⋅ ⋅ + + lim ) ( lim 0 1 1 1 〉 ±∞ ⋅ 〉 = = + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + − − − − − ±∞ → m k b a k m m k b a b x b x b x b a x a x a x a m k m k m k m m m m k k k k x ) ( 0 lim 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 lim = ∞ → x x 0 1 lim = −∞ → x x −∞ = < → x x x 1 lim 0 0 +∞ = > → x x x 1 lim 0 0 ∞ = ∞ → x x lim ∞ = ∞ → 6 lim x x −∞ = −∞ → 6 lim x x ( ) ∈ > ∞ = ∞ → 1 0 daca 0 1 daca lim , a , a , a x x ( ) ∈ ∞ > = −∞ → 1 0 daca 1 daca 0 lim , a , a , a x x 1
-
Upload
roxanica-iulia -
Category
Documents
-
view
12 -
download
0
description
z
Transcript of Recapitulare Rapida Bac. 2012 2013 s III (1)
Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. FLORESCU NICOLAE1.BREVIAR TEORETICLimite de functiiTeorem:O funcie are limit ntr-un punct finit de acumulare dac i numai dac are limitelaterale egale n acel punct.
f are limit n x
Obs.:Funcia f:D nu are limit n punctul de acumulare xn una din situaiile:
a)exist un ir xcu limita x astfel nct irul nu are limit
b)exist irurile astfel nct irurile au limite diferite.
Teorem:Fie f:D,o funcie elementar i xun punct de acumulare al lui DTeorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor finite)
Fie f,g:D i xun punct de acumulare al lui D.Dac i exist a..V vecintate a lui xi dac Teorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor infinite)
Fie f,g:D, xun punct de acumulare al lui D i ,V vecintate a lui x.
a)Dac
b)Dac Teorem(Criteriul cletelui)
Fie f,g,h:D , xun punct de acumulare al lui D i , V vecintate a lui x.
Dac Limite uzuale.Limite remarcabile.
unde
Operaii fr sens:
Funcii continue
Definiie Fie i punct de acumulare pentru D
este continu n dac
Dac f nu este continu n ,ea se numete discontinu n ,iar se numete punct de discontinuitate.
Definiii:Un punct de discontinuitate este punct de discontinuitate de prima spe pentru f ,dac limitele laterale ale funciei f n punctul exist i sunt finite.
Un punct de discontinuitate este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu este de prima spe.(cel puin una din limitele laterale ale funciei f n punctul nu este finit sau nu exist)
Teorem: Fie i punct de acumulare pentru Df continu n = f(Teorem:Funciile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiie.Operaii cu funcii continue
Teorem:Fie f,g:D continue pe D f+g,sunt funcii continue pe D.Compunerea a dou funcii continue este o funcie continu.
Teorem: Fie f:[a,b]R o funcie continu a.. f(a)f(b)
