8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

1/6

1.6. RAZELE DE CURBUR ALE ELIPSEI MERIDIAN I ALE PRIMULUIVERTICAL.

1.6.1.RAZA DE CURBURA A ELIPSEI MERIDIANE.

Se consider elipsa meridian, avnd raza de curbur notat cu M, ntr-un punct al su delatitudine (fig. 1.10).

M

d

d

B'

B

dS

E'

P

yO

P'

E

O1

Fig. 1.10. Determinarea razei M.

Prin definiie, dac se noteaza pe figura prin ds, un element infinitezimal de arc al elipsei,atunci se poate scrie:

d

dsM (1.42)

d unghiul n fnfinitezimal dintre tangenta n B i tangenta n infinit apropiat,corespunztoare latitudinii d .

Unghiul celor dou tangente n punctele B i 'B d , este egal cu unghiulperpendicularelor corespunztoare, ceea ce nseamn c: dd

d

dzdxM

d

dsM

22 (1.43)

Dar: 22 dzdxds (1.44)Relaia se poate scrie i sub forma:

22

d

dz

d

dxM (1.45)

Derivatele de sub radical se efectueaz innd cont de expresiile determinate pentru x i y

n ecuaiile parametrice ale elipsei meridian:

22 sin1

cos

e

ax i

22

2

sin1

sin1

e

eaz (1.46)

Dup efectuarea calculelor se obin valorile derivatelor:

8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

2/6

2

322

2

sin1

sin1

e

ea

d

dx

2

322

2

sin1

cos1

e

ea

d

dz

(1.47)

nlocuind n relaia razei mici de curbur, se va obine:

322

22222

2

sin1

1

e

ea

d

dz

d

dxM

, dar

We 22 sin1 (1.48)

,

13

2

W

eaM

i deoarece:

v

c

w

a i

222 111

vew (1.49)

23

2'3

cos1

e

ccM (1.50)

1.6.2. RAZA DE CURBUR A PRIMULUI VERTICAL.Considernd pe suprafaa elipsoidului normala BD, ntr-un punct B de latitudine , prin

aceasta se pot duce o infinitate de planuri, perpendiculare pe planul tangent la suprafaaelipsoidului n punctul B. Aceste planuri se numesc planuri normale. Una dintre aceste seciuninormale din punctul B este chiar elipsa meridian, atunci cndplanul normal conine i axapolilor /PP (fig. 1.11).

E'E O

B

D

T

S

W

r C

Fig. 1.11. Determinarea razei de curbur a prismului vertical.

Seciunea ce trece prin punctul B i este perpendicular pe seciunea meridian poartnumele de seciunea primului vertical ce are tot form de elips (SBW).

Raza de curbur a primului vertical n punctul B de latitudine se noteaz cu . Dac

secionm elipsoidul cu un plan ce trece prin punctul B i este perpendicular pe axa polilor seobine cercul paralel corespunzator.Unghiul diedru dintre seciunea prismului vertical i cea a paralelului din punctul B, este

definit de unghiul plan CBD i este egal cu latitudinea .Pentru determinarea razei de curbur, a primului vertical este folosit teorema lui

Meusnier, care se enun astfel: Dac printr-un punct dat al unei suprafee sunt duse douseciuni plane respectiv normal i nclinat ambele seciuni avnd n punctul dat o aceeai

8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

3/6

tangent, atunci raza de curbur a seciunii nclinate este egal cu raza de curbur a seciuniinormale, nmulit cu cosinusul unghiului dintre cele dou seciuni.

cosr (1.51)

Aadar:

cos

r , dar cos

w

ar (1.52)

nlocuind se obine:

v

c

w

a (1.53)

Lungimea razei de curbur a primului vertical este chiar lungimea segmentului denormal BD pn la axa polilor, care se mai numete marea normal i se noteaz cu N.

v

c

w

aN

1.6.3. EXPRESIA RAZEI DE CURBUR DUP O DIRECIE OARECARE R .Pe suprafaa elipsoidului de referin se traseaz o curb oarecare, de orientare geografic

. Raza de curbur a acesteia va fi notat cuR

(fig. 1.12.a).Pentru a stabili expresia care definete raza de curbur dup o direcie oarecare se

secioneaz suprafaa elipsoidului cu un plan perpendicular pe verticala punctului M 0, la distanaz de acest punct (fig. 1.12.b).

E'E

P

O

O'

V

RM0

a)

8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

4/6

O1

A B

M0

M0'

M M

Z

b)

Fig. 1.12. Determinarea razei de curbur dup o direcie oarecare.

O

M0

m

m

n n

s

Fig. 1.13. Elipsa de seciune.

Se va obine o elips de seciune (fig. 1.13), ale crei semiaxe pe direciile curbelorprincipale se noteaz cu m, respectiv n. innd cont de elementele geometrice din figur, ntriunghiul 1

/OAMo se poate scrie:

2222 2 ZZMzMMm , dar 0Z (1.55)

ZMm 22 sauM

mZ2

2

(1.56)

n mod similar, considernd elementele geometrice din planul curbei normale la meridiani din planul curbei de direcie se obine:

ZNn 22 i ZRS 22 , adic: (1.57)

R

S

N

n

M

mZ

222

222

(1.58)

8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

5/6

Dac se raporteaz elipsa de seciune la un sistem particular de axe , atuncicoordonatele punctului M0, trebuie s verifice ecuaia elipsei:

012

2

2

2

nm

(1.59)

dar coss i sin (1.60)

01sincos

2

22

2

22

n

s

m

s , nlocuind (1.61)

01sincos 22

N

R

M

R (1.62)

2222 sincossincos

11

sincos

MN

NM

NM

RNMMN

R

(1.63)

22 sincos MN

NMR

(1.64)

,fR (1.65)Deci raza de curbur a unei curbe de orientare geografic , este n funcie de latitudinea

punctului ce se determin i de orientarea geografic.

1.6.4. EXPRESIA RAZEI MEDII DE CURBUR.Se consider pe suprafaa elipsoidului de referin un punct P, caracterizat de direciile

principale Pm i Pn, corespunztoare rayei mici (m), respectiv razei mari (n), de curbur.

nP

1

2

1

2

Fig. 1.14. Determinarea razei medii de curbur.

Presupunem c prin punctul P trece o direcie 1, care face cu direcia Pm, unghiul 1 ,

sau o direcie 2 care face cu 1 unghiul 2 .a.m.d. (fig. 1.14). Se poate afirma c: Razamedie de curbur ntr-un punct este dat de suma tuturor razelor mprit la numrul direciilorcorespunztoare acestora.

8/13/2019 Raze de Curbura - Octavian Balota

6/6

R

Ri

n

Ri

Rn

n

i

n

i

211 (1.66)

dac n0 Aadar Raza medie de curbur ntr-un punct oarecare pe suprafaa elipsoidului de

referin, se poate determina ca medie aritmetic a razelor de curbur R , corespunztoarecurbelor ce trec prin acel punct.

n

i

Rn

Rm1

1 , pentru n (1.67)

Presupunnd c ntre dou curbe vecine exist un unghi elementar D , se poate scrie:

R

n 2

, iar dac vom considera

21 nR (1.68)

n condiiile n care numrul direciilor n , d i se poate integra expresiarazei medii (se trece de la sum la integral).

2

02

1dRRm (1.69)

innd cont de simetria ce exist fat de direciile principale, se pot considera numairazele de curbur aferente curbelor ale cror unghiuri de orientare sunt cuprinse ntre 0 i 90o.

2

0

22

2

0 sincos

22

d

MN

NMdRRm (1.70)

Integrala se mai poate scrie i sub forma:

2

02

2

2

1

cos2

tgN

M

d

N

MMN

Rm (1.71)

Se noteaz:

ttgN

M , pentru t0 i

20

(1.72)

Rezult:

dtd

N

M

2cos

:

0

21

2

x

dtMNRm , sau (1.73)

MNMNarctgtNMRm

2

2||

20 (1.74)

innd cont c:3V

CM i

V

CN , se va obine

2V

CRm (1.75)