RAPORT ŞTIINłIFIC ŞI TEHNIC - ERASMUS Pulse stiintific si tehnic_Etapa 1_2017_76PED.pdf ·...

RAPORT ŞTIINłIFIC ŞI TEHNIC

Contract de finanŃare: 76PED ⁄ 2017

Cod proiect: PN-III-P2-2.1-PED-2016-0748

Titlul proiectului: Demonstrator experimental al unui amortizor de şină

inovativ cu elemente elastice de cauciuc şi amortizare cu ulei

Etapa 1: Stabilirea parametrilor principali ai amortizorului de şină pe baza

criteriului de performanŃă - rata de descreştere a vibraŃiilor verticale

în lungul şinei, proiectarea şi realizarea amortizorului de şină

Director de proiect: Prof.dr.ing. Traian Mazilu

1

1.1. Elaborarea modelului numeric al căii cu prismă de balast

şi cu amortizoare de şină

Problema proiectării amortizoarelor de şină este dificilă întrucât sistemul tehnic

susceptibil să fie prevăzut cu astfel de amortizoare este calea de rulare care este o structură

deosebit de complexă, cu o mare variabilitate a parametrilor caracteristici datorită multitudinii

tipologiei elementelor de structură (tipuri de şină, de prindere şi rezemare a şinei pe traverse,

tipuri de traverse, distanŃa dintre traverse, variabilitatea caracteristicilor prismei de balast

etc.). În virtutea unei practici inginereşti larg răspândită în astfel de situaŃii, este recomandabil

ca principalii parametrii ai amortizorului de şină să fie stabiliŃi pe baza unui model relativ

simplu, urmând ca apoi eventualele corecŃii să fie făcute în baza analizelor desprinse în urma

simulărilor bazate pe metoda elementului finit.

1.1.1. Modelarea mecanică şi matematică a căii cu amortizoare de şină

Înainte de a trece la prezentarea modelării căii cu amortizoare de şină, este utilă o scurtă

prezentare a amortizorului de şină şi a principiului de lucru.

Fig. 1.1.1. Schema amortizorului de şină: 1. Carcasă de cauciuc; 2. Corp exterior; 3. Corp interior; 4. Inel

de cauciuc; 5. Capac; 6. Şurub; 7. Bilă de etanşare; 8. Inima şinei.

2

În figura 1.1.1 este prezentată schema amortizorului de şină în care se pot observa

următoarele componente: carcasa de cauciuc, corpul exterior, corpul interior, inelele de

cauciuc, capacele cu şuruburile de închidere şi bilele de etanşare. În corpul interior, la fiecare

capăt, este practicat câte un canal în formă de L pentru introducerea uleiului în spaŃiul dintre

corpul interior şi cel exterior.

În figura 1.1.2 este prezentat modul în care pot fi asamblate două amortizoare pe şină

(în desen nu apare ciuperca şinei); evident că montarea se face la mijlocul distanŃei dintre

traverse. Montarea se poate realiza fie prin lipire, fie cu ajutorul unor cleme elastice de fixare.

Fig. 1.1.2. Montarea amortizoarelor de şină (varianta prin lipire): 1. Şină; 2. Amortizoare.

Datorită simetriei, cele două amortizoare montate de o parte şi de alta a şinei lucrează ca

un sistem cu două grade de libertate dacă lungimea acestora este suficient de mică astfel încât

modurile elastice de vibraŃie (încovoiere) să aibă frecvenŃele de rezonanŃă mai mari decât

limita de lucru (cca. 1000-1500 Hz). Şina vibrează datorită forŃelor dinamice din zona de

contact cu roata şi transferă o parte din energia de vibraŃie amortizoarelor de şină care o disipă

prin frecarea histeretică din elementele de cauciuc şi prin efectele hidrodinamice ale uleiului.

Amortizorul de şină funcŃionează practic în baza principiului absorbitorului dinamic

care preia energie în domeniul de rezonanŃă când amplitudinea vibraŃiei masei absorbitorului

este maximă. În cazul de faŃă, este vorba de un absorbitor dinamic cu două mase şi cu două

frecvenŃe de rezonanŃă. Prin urmare, vor exista două domenii de rezonanŃă la care amortizorul

3

de şină va fi eficace în ceea ce priveşte reducerea vibraŃiilor de încovoiere ale şinei şi, pe cale

de consecinŃă, în aceste două domenii de frecvenŃă vom înregistra o mărire a ratei de

descreştere a vibraŃiilor şinei de-a lungul căii.

Modelul mecanic al căii de rulare cu amortizoare de şină

Pentru modelarea mecanică a căii cu prismă de balast şi amortizoare de şină, în

vederea evidenŃierii principiului de funcŃionare şi a caracteristicilor de bază, se adoptă un

model cu parametri distribuiŃi, ca cel prezentat în figura 1.1.3 şi recomandat de literatura de

specialitate [1].

Modelul cu parametri distribuiŃi prezintă avantajul simplităŃii prin faptul că nu ia în

considerare influenŃa distanŃei dintre traverse, aspect care nu influenŃează rezultatele de bază.

Într-adevăr, influenŃa distanŃei dintre traverse se manifestă într-un domeniu relativ restrâns de

frecvenŃă, în jurul frecvenŃelor de rezonanŃă ale vibraŃiilor de încovoiere ale şinei pe traverse.

Acest domeniu depinde în principal de tipul şinei şi de distanŃa dintre traverse. Spre exemplu,

la şina UIC 49 prinsă de traverse distanŃate la 60 cm, rezonanŃa datorată vibraŃiilor de

încovoiere ale şinei este la cca. 880 Hz, în timp ce la şina UIC 60, păstrând aceeaşi distanŃă

între traverse, rezonanŃa vibraŃiilor de încovoiere se produce la 1070 Hz.

Fig. 1.1.3. Modelul mecanic al căii de rulare cu amortizoare de şină:

1. Şina; 2. PlăcuŃele de şină; 3. Traversele; 4. Prisma de balast; 5. Amortizoarele de şină;

6. Carcasa de cauciuc; 7. Corpul exterior; 8. Inelele elastice; 9. Corpul interior.

4

Modelul constă dintr-o grindă rezemată pe o fundaŃie elastică cu mai multe straturi

elastice şi inerŃiale succesive, ale căror caracteristici pe unitatea de lungime se calculează prin

raportare la distanŃa dintre două traverse. Aceste straturi modelează efectul plăcuŃelor de şină,

traverselor şi prismei de balast. De grindă mai sunt prinse alte straturi elastice şi inerŃiale care

modelează carcasa de cauciuc, corpul exterior, inelele de cauciuc şi corpul interior ale unei

perechi de amortizoare. Şi în acest caz, parametrii pe unitatea de lungime ai straturilor sunt

calculaŃi corespunzător distanŃei dintre traverse.

Reducerea modelului căii de rulare la o singură şină cu fundaŃie elastică se justifică prin

aceea că atât calea, cât şi vehiculul care ipotetic circulă pe aceasta sunt structuri simetrice în

raport cu axa longitudinală. În plus, vibraŃiile care interesează în această problemă au

frecvenŃele mult mai mari decât cele ale vehiculului, înŃelegând prin aceasta că este vorba, pe

de o parte, de frecvenŃele sistemului roată-şină, iar pe de altă parte, de frecvenŃele modurilor

rigide de vibraŃie ale vehiculului. Totodată, se poate considera că vibraŃiile de pe un fir al căii

de rulare sunt decuplate de cele de pe celălalt fir; rugozităŃile suprafeŃelor de rulare ale şinelor

şi roŃilor cu caracteristici aleatoare.

Şina este modelată ca o grindă infinită uniformă de tip Timoshenko aşezată pe o

fundaŃie elastică cu două etaje elastice de tip Winkler cu amortizare histeretică între care este

inserat un strat inerŃial. Principalul avantaj al utilizării grinzii Timoshenko constă în aceea că

acest model permite luarea în considerare a influenŃei rotaŃiei secŃiunilor transversale datorită

solicitărilor la forfecare şi a influenŃei inerŃiale a rotaŃiei secŃiunilor transversale. În raport cu

modelul grinzii Euler-Bernoulli, grinda Timoshenko este mai elastică, iar viteza de grup a

undelor de încovoiere este mai mică. Parametrii modelului grinzii Timoshenko sunt după cum

urmează: EI – rigiditatea la încovoiere, unde E este modulul longitudinal de elasticitate, iar I

este momentul de inerŃie al secŃiunii transversale a grinzii, G – modulul transversal de

elasticitate, κ – coeficientul de forfecare, ms – masa pe unitatea de lungime, S – aria secŃiunii

transversale şi ρ – densitatea materialului grinzii (oŃel). Se precizează că masa pe unitatea de

lungime a grinzii este egală cu masa liniară a şinei. De asemenea, momentul de inerŃie al

secŃiunii transversale (I), şi aria acesteia (S) sunt caracteristici de bază ale şinei, ale căror

valori se găsesc în documentaŃia tehnică.

Primul etaj elastic de tip Winkler modelează proprietăŃile elastice şi de amortizare ale

plăcuŃelor de şină. Parametrii corespunzători care trebuie luaŃi în calcul sunt: rigiditatea pe

unitatea de lungime ks şi factorul de pierderi ηs. Rigiditatea pe unitatea de lungime se

5

calculează din rigiditatea corespunzătoare unei plăcuŃe de şină raportată la distanŃa dintre

traverse.

Al doilea etaj elastic de tip Winkler modelează proprietăŃile elastice şi de amortizare ale

prismei de balast. Parametrii acestuia sunt: rigiditatea pe unitatea de lungime kb şi factorul de

pierderi ηb. Se face observaŃia că inerŃia prismei de balast influenŃează răspunsul şinei în

domeniul frecvenŃelor joase şi de aceea nu a mai fost luată în considerare.

Referitor la modelarea traverselor, se menŃionează că datorită rigidităŃii foarte mari a

acestora (sunt fabricate din beton precomprimat), acestea pot fi considerate ca un strat inerŃial

între suportul de şină şi balast. Masa pe unitatea de lungime a stratului inerŃial se calculează

prin raportarea masei unei traverse la dublul distanŃei dintre traverse.

Amortizoarele de şină sunt modelate prin două straturi inerŃiale corespunzătoare

corpurilor exterioare şi, respectiv, corpurilor interioare, de masă liniară m1 şi m2. Stratul

inerŃial al corpului exterior este legat de grindă (şină) printr-un strat elastic (Winkler) de

rigiditate pe unitatea de lungime k1 şi factor de pierdere η1. Cele două straturi inerŃiale sunt

legate între ele printr-un strat elastic Winkler care are rigiditatea pe unitatea de lungime k2 şi

factorul de pierdere η2. Caracteristicile modelului amortizoarelor sunt calculate astfel,

d

Mm

2,12,1 2= ,

d

Kk

2,12,1 2= ,

în care M1,2 sunt masele celor două corpuri ale unui amortizor, K1,2 sunt rigidităŃile echivalente

ale carcasei şi inelelor de cauciuc, iar d – distanŃa dintre traverse.

Mişcările sunt raportate la sistemul de referinŃă fix Oxz.

Modelul matematic al căii de rulare cu amortizoare de şină

Modelul matematic constă în ecuaŃiile de mişcare ale componentelor căii de rulare şi ale

amortizoarelor de şină. Pentru scrierea ecuaŃiilor de mişcare se consideră un element

infinitezimal din grindă şi câte un element infinitezimal din fiecare strat inerŃial, aşa cum se

arată în fig. 1.1.4, în care s-au folosit următoarele notaŃii:

- w şi θ – deplasarea şinei şi rotaŃia secŃiunii transversale;

- Fis şi Mis – forŃa şi momentul de inerŃie ale elementului infinitezimal al şinei;

- zt – deplasarea traverselor;

- Fit – forŃa de inerŃie a elementului infinitezimal al traverselor;

- z1 şi z2 – deplasarea corpului exterior şi deplasarea corpului interior;

6

- Fi1 şi Fi2 – forŃele de inerŃie ale corpului exterior şi, respectiv, corpului interior;

- T şi M – forŃa de forfecare şi momentul de încovoiere;

- Q(t) – forŃa de excitaŃie care acŃionează asupra şinei;

- Fs şi Fb – forŃele dezvoltate în plăcuŃele de şină şi, respectiv, prisma de balast;

- F1 şi F2 – forŃele dezvoltate în carcasa de cauciuc şi, respectiv, inelele de cauciuc.

Fig. 1.1.4. Elementele infinitezimale ale modelului:

(a) şină; (b) traverse; (c) corpul exterior; (d) corpul interior.

RotaŃia secŃiunii elementului infinitezimal al grinzii Timoshenko are două componente

de sensuri contrare, una este datorată deplasării verticale a şinei, xtxw ∂∂ /),( , iar cealaltă este

produsă de forŃa tăietoare, T/(κSG). Ca urmare, rotaŃia secŃiunii are forma

SG

T

x

txwtx

κ−

∂∂

=),(

),(θ . (1)

Momentul de încovoiere este proporŃional cu mărimea curburii elementului de grindă

exprimată simplificat prin derivata în raport cu abscisa x a unghiul de rotaŃie a secŃiunii

x

txEIM

∂∂

−=),(θ

. (2)

7

Semnul minus este în corespondenŃă cu orientarea forŃei T şi a unghiului de rotaŃie θ.

Astfel, când forŃa T este orientată ca în pe figură, eforturile unitare tangenŃiale date de forŃa de

forfecare rotesc secŃiunile în sens invers creşterii lui θ.

ForŃa şi momentul de inerŃie ale elementului de şină au expresiile

xt

txwmF sis d

),(2

2

∂

∂= . (3)

xt

txIM is d

),(θ2

2

∂∂

= ρ . (4)

ForŃa de inerŃie a elementului de traversă se calculează cu relaŃia

xt

txzmF t

tit d),(

2

2

∂

∂= . (5)

ForŃele de inerŃie ale elementelor infinitezimale ale corpului exterior şi interior sunt

xt

txzmFi d

),(2

2,12

2,12,1 ∂

∂= . (6)

ForŃele dezvoltate în plăcuŃele de şină şi prisma de balast care acŃionează asupra

elementelor infinitezimale corespunzătoare sunt de foma:

[ ] xtxztxwkF tss d),(),( −= (7)

xtxzkF tbb d),(= . (8)

ForŃele dezvoltate în carcasa de cauciuc şi inelele de cauciuc care acŃionează asupra

elementelor infinitezimale ale corpului exterior şi, respectiv, corpului interior sunt:

[ ] xtxztxwkF d),(),( 111 −= (9)

[ ] xtxztxzkF d),(),( 2122 −= . (10)

Aplicând principiul lui d’Alembert elementului de grindă, se obŃin ecuaŃiile:

- pentru mişcarea de translaŃie

0d)(δ)(d 1 =−+−−−−∂∂

+ xxxtQFFFTxx

TT osis (11)

- pentru mişcarea de rotaŃie

02

dd

2

dd =−

∂∂

+++∂

∂−− isM

xx

x

TT

xTx

x

MMM , (12)

în care xo fixează poziŃia în care acŃionează forŃa exterioară Q(t), iar δ(.) este funcŃia impuls a

lui Dirac.

Utilizând relaŃiile (1-4) şi (9), ecuaŃiile de mişcare ale şinei devin

8

)(δ)(θ

)( 112

2

12

2

otsss xxtQzkzkx

w

xSGwkk

t

wm −=−−

∂∂

−∂∂

+++∂∂

κ (13)

0θ

θθ

2

2

2

2

=∂∂

−

∂∂

−+∂∂

xEI

x

wGS

tI κρ . (14)

EcuaŃia de mişcare a traverselor ia mai întâi forma dată de principiul lui D’Alembert

0=−− bits FFF , (15)

iar apoi, Ńinând cont de rel. (5) şi (7-8), se obŃine

0)(2

2

=−++∂∂

wkzkkt

zm stbs

tt . (16)

EcuaŃia de mişcare a corpurilor amortizoarelor de şină se pot scrie, de asemenea, pe

baza principiului lui d’Alembert:

- pentru corpul exterior

0211 =−− FFF i (17)

- pentru corpul interior

022 =− iFF . (18)

După efectuarea înlocuirilor, se obŃin următoarele ecuaŃii

0)( 22112121

2

1 =−−++∂∂

zkwkzkkt

zm , (19)

0122222

2

2 =−+∂

∂zkzk

t

zm . (20)

În continuare interesează regimul armonic permanent datorat forŃei de excitaŃie

armonică de amplitudine Qo şi frecvenŃă unghiulară ω

tQtQ o ωcos)( = . (21)

În aceste condiŃii, avem variabilele armonice

[ ])(ωcos)(),( xtxWtxw wϕ+= , [ ])(ωcos)(),(θ θ xtxtx ϕ+Θ= , (22)

[ ])(ωcos)(),( xtxZtxz ttt ϕ+= , [ ])(ωcos)(),( 2,12,12,1 xtxZtxz ϕ+= , (23)

în care W(x), Θ(x), Zt(x) şi Z1,2(x) sunt amplitudinile variabilelor armonice, iar

ϕw(x), ϕθ(x), ϕt(x) şi ϕ1,2(x) sunt defazajele variabilelor în raport cu forŃa de excitaŃie

armonică.

Se adoptă mărimile complexe asociate celor reale

t

oeQtQ iω)( = , (24)

texWtxw iω)(),( = , textx iω)(),(θ Θ= , (25)

9

t

tt exZtxz iω)(),( = , texZtxz iω2,12,1 )(),( = , (26)

în care amplitudinile complexe sunt date de

ooo QeQQ == i0 , (27)

)(i)()( xwexWxWϕ= , )(i θ)()( x

exxϕΘ=Θ , (28)

)(i)()( x

tttexZxZ

ϕ= , )(i2,12,1

2,1)()( xexZxZ

ϕ= . (29)

Între mărimile reale şi cele complexe există următoarele relaŃii:

),(Re),( txwtxw = , ),(θRe),(θ txtx = (30)

),(Re),( txztxz tt = , ),(Re),( 2,12,1 txztxz = , (31)

unde Re este notaŃia pentru partea reală a unui număr complex.

Se rescriu ecuaŃiile de mişcare în funcŃie de mărimile complexe

( ) )(δd

d

d

dω 112

22

1 ootsss xxQZkZkx

W

xSGWmkk −=−−

−

Θ+−+ κ (32)

0d

d

d

dρω

2

22 =

Θ−

−Θ+Θ−

xEI

x

WGSI κ (33)

( ) 0ω2 =−−+ WkZmkk sttbs (34)

( ) 0ω 221112

21 =−−−+ ZkWkZmkk (35)

( ) 0ω 12222

2 =−− ZkZmk , (36)

în care s-au introdus amortizările histeretice prin intermediul factorilor de pierderi

corespunzători

)iη1( sss kk += , )iη1( bbb kk += (37)

)iη1( 2,12,12,1 += kk . (38)

Se ataşează condiŃiile la limită pentru ecuaŃiile grinzii Timoshenko

0)(lim =±∞→

xWx

, 0)(lim =Θ±∞→

xx

. (39)

Din ecuaŃiile (34-36) se obŃin relaŃiile:

Wmkk

kZ

tbs

st 2ω−+

= (40)

[ ] Wkkkkmkmmm

mkkZ

212

212214

21

22

211 ω)(ω

)ω(

+++−−

= (41)

[ ] Wkkkkmkmmm

kkZ

212

212214

21

212 ω)(ω +++−

= . (42)

10

Introducând amplitudinile complexe ale traverselor şi corpurilor amortizoarelor în

ecuaŃia (32), se obŃine:

( ) )(δd

d

d

dω 2

22

oosac xxQx

W

xSGWmkk −=

−

Θ+−+ κ , (43)

în care

−+−=

tbs

ssc

mkk

kkk 2ω

1 (44)

[ ]

+++−−

−=21

221221

421

22

211 ω)(ω

)ω(1

kkkkmkmmm

mkkkka . (45)

EcuaŃiile de mişcare ale şinei în regim armonic permanent (43) şi (33) pot fi rescrise în

formă matriceală

−=

Θ

+−−−

−++−

0

)(δ

ρωd

d

d

dd

dω

d

d

22

2

22

2

oosac xxQW

GSIx

EIx

GS

xGSmkk

xSG

κκ

κκ (46)

Se înmulŃeşte la stânga cu operatorul matriceal diferenŃial

−++−

−+−−

κ

κκ

GS

mkk

xx

xGS

I

xGS

EI

sac

2

2

2

2

2

2

ω

d

d

d

dd

d1

ρω

d

d

, (47)

iar ecuaŃia devine

−′

−′′−−

−

=

Θ

)(δ

)(δκ

)(δκ

ρω1

0

02

o

ooo

xx

xxGS

EIxx

GS

I

QW

D

D, (48)

unde avem operatorul diferenŃial

−−−+

−−++= 1κ

)ω(d

d)ω(

κρω

d

d 22

2

222

4

4

GS

Ikkm

xkkm

GS

EII

xEID acsacs

ρω. (49)

Ne interesează rezolvarea ecuaŃiei deplasării verticale a şinei

−′′−−

−= )(δ

κ)(δ

κ

ρω1

2

ooo xxGS

EIxx

GS

IQWD . (50)

EcuaŃia se poate rezolva cu ajutorul funcŃiei Green a operatorului D. Detalii asupra

modului de aplicare a metodei funcŃiei Green la rezolvarea problemei răspunsului căii de

rulare în regim armonic permanent se pot găsi în ref. [2].

11

Întrucât operatorul D depinde de pulsaŃia ω, şi funcŃia Green asociată va depinde de ω.

Notând cu G(x,ξ,ω) funcŃia Green a operatorului D, aceasta va verifica ecuaŃia

)ξ(δ)ω,ξ,( −= xxDG . (51)

În plus, funcŃia Green trebuie să îndeplinească condiŃiile la limită de tipul (39)

0)ω,ξ,(limξ

=∞→−

xGx

. (52)

Pentru a construi funcŃia Green, se pleacă de la ecuaŃia caracteristică a operatorului

diferenŃial D. Aceasta are forma

01κ

)ω(γ)ω(κ

ρωγ2

22224 =

−−−+

−−++GS

Ikkmkkm

GS

EIIEI acsacs

ρω (53)

sau 0γγ 42

24 =++ aaao , (54)

unde

.1κ

)ω(

)ω(κ

ρω

22

4

222

−−−=

−−+=

=

GS

Ikkma

kkmGS

EIIa

EIa

acs

acs

o

ρω

(55)

Valorile proprii, respectiv soluŃiile ecuaŃiei caracteristice, sunt de forma

−++++±= 1

21

21

1

11

21

211,3 i

2

2γ pqp

q

qpqp , (56)

−++++±= 2

22

22

2

22

22

222,4 i

2

2γ pqp

q

qpqp , (57)

unde o

o

a

aaaaqp

2

4i 4

222

2,12,1

−±−=+ . (58)

Se observă că ecuaŃia caracteristică are patru rădăcini complexe, dintre care două au

partea reală pozitivă, γ1 şi γ2, iar celelalte două au partea reală negativă, respectiv γ3 şi γ4.

Valorile proprii cu partea reală negativă corespund undelor de încovoiere progresive, care se

propagă în sensul pozitiv al axei Ox, iar valorile proprii cu partea reală pozitivă corespund

undelor de încovoiere regresive, care se propagă în sensul negativ al axei. Primele două vor

intra în componenŃa funcŃiei Green pentru ξ < x, iar celelalte pentru x < ξ. Stabilirea

constantelor de propagare pentru cele două tipuri de undă, când se cunosc rădăcinile ecuaŃiei

caracteristice, se face pe baza condiŃiilor la limită pentru undele atenuate (la infinit) sau pe

baza condiŃiei de formare a undelor de propagare progresive şi regresive. Astfel, partea reală a

12

oricărei unde progresive trebuie să fie negativă, iar la unda regresivă trebuie să fie pozitivă.

Partea imaginară la o undă de propagare (neatenuată) trebuie să fie negativă dacă unda e

progresivă şi pozitivă dacă unda este regresivă, în ipoteza că forŃa de excitaŃie are suportul fix.

FuncŃia Green va avea forma care respectă condiŃiile la limită de la ±∞

( ) ( ),γexp)ξ(γexp)ξ()ξ,( 21 xBxAxG +=− ξ<<∞− x (59)

( ) ( ),γexp)ξ(γexp)ξ()ξ,( 43 xDxCxG +=+ ∞<< xξ , (60)

cu precizarea că dependenŃa funcŃiei Green de frecvenŃa unghiulară este subînŃeleasă.

Totodată, funcŃia Green trebuie să fie continuă în x = ξ şi, de asemenea şi derivatele

parŃiale ale acesteia până la ordinul doi în raport cu x

( ) ( ) ( ) ( )ξγξ+ξγξ=ξγξ+ξγξ 4321 exp)(exp)(exp)(exp)( DCBA , (61)

( ) ( ) ( ) ( )ξγξγ+ξγξγ=ξγξγ+ξγξγ 44332211 exp)(exp)(exp)(exp)( DCBA , (62)

( ) ( ) ( ) ( )ξγξγ+ξγξγ=ξγξγ+ξγξγ 4243

232

221

21 exp)(exp)(exp)(exp)( DCBA . (63)

În plus, derivata de ordinul trei a funcŃiei Green trebuie să îndeplinească condiŃia de salt

( ) ( ) ( ) ( )EI

BADC1

exp)(exp)(exp)(exp)( 2321

314

343

33 =ξγξγ−ξγξγ−ξγξγ+ξγξγ . (64)

EcuaŃiile de mai sus, pot fi scrise sub formă matriceală

=

⋅

γγγγγγγγγγγγ

bX

X

X

X

0

0

01111

4

3

2

1

34

33

32

31

24

23

22

21

4321 (65)

cu ( )ξγξ= 11 exp)(AX , ( )ξγξ= 22 exp)(BX , ( )ξγξ−= 33 exp)(CX ,

( )ξγξ−= 44 exp)(DX , ( )EIb /1−= . (66)

Matricea sistemului are determinantul de tip Vandermonde şi, ca atare, soluŃia

sistemului este

( )∏≠

γ−γ−=

ik

ik

i

bX , 41, ÷=ki . (67)

Se obŃin apoi constantele

( ) ( )( )∏

≠

−−

=

11

1

γγ

ξγexpξ

k

kEIA , ( ) ( )

( )∏≠

−−

=

22

2

γγ

ξγexpξ

k

kEIB , (68)

( ) ( )( )∏

≠

−

−−=

33

3

γγ

ξγexpξ

k

kEIC , ( ) ( )

( )∏≠

−−

−=

44

4

γγ

ξγexpξ

k

kEID . (69)

13

În fine, funcŃia Green este

( )( )( )

( )( )( )

,γγ

ξγexp

γγ

ξγexp1)ξ,(

22

2

11

1

−−

+−−

=∏∏

≠≠

−

k

k

k

k

xx

EIxG ξ<<∞− x , (69)

( )( )( )

( )( )( )

,expexp1

),(

44

4

33

3

γ−γ

ξ−γ+

γ−γ

ξ−γ−=ξ

∏∏≠≠

+

k

k

k

k

xx

EIxG ∞<<ξ x . (70)

Dacă se Ńine seama că

1,23,4 γγ −= , (71)

atunci funcŃia Green se poate scrie

( )( ) ( )( )( ) ,

γγγγ2

ξγexpγξγexpγ)ξ,(

22

2121

1221

EI

xxxG

−

−−−=− ξ<<∞− x , (72)

( )( ) ( )( )( ) ,

γγγγ2


22

2121

1221

EI

xxxG

−

−−−=+ ∞<<ξ x (73)

sau sub formă condensată

( ) ( )( )EI

xxxG

22

2121

1221

γγγγ2


−

−−−−−= . (74)

Având funcŃia Green a operatorului D, se poate scrie soluŃia ecuaŃiei (50) sub forma

integralei de convoluŃie

∫∞

∞−

−′′−−

−= dξ)ξ(δ

κ)ξ(δ

κ

ρω1ξ) ,()(

2

oo xGS

EIx

GS

IxGQxW . (75)

Efectuând integrala, se obŃine amplitudinea complexă a deplasării şinei în secŃiunea x

datorită forŃei de excitaŃie armonică care acŃionează în secŃiunea xo

∂

∂−

−=

2

22

ξ

) ,(

κ) ,(

κ

ρω1)( o

o

xxG

GS

EIxxG

GS

IQxW . (76)

Din relaŃia (76) se poate defini receptanŃa şinei ca fiind raportul dintre deplasarea şinei

şi forŃa care a determinat acea deplasare

2

22

ξ

) ,(

κ) ,(

κ

ρω1

)(ω), ,(α

∂

∂−

−== o

oo

xxG

GS

EIxxG

GS

I

Q

xWxx [m/N]. (77)

Se face observaŃia că în baza relaŃiei (71) se trage concluzia că receptanŃa şinei este

simetrică în raport cu punctul de aplicare a forŃei de excitaŃie armonică.

Cu ajutorul receptanŃei se poate calcula rata de descreştere a vibraŃiilor de-a lungul şinei

14

)ω,0,0(α

)ω,,0(αlg

20

)0(

)(lg

20ω),(

x

xW

xW

xxR == [dB/m]. (78)

Se menŃionează faptul că rata de descreştere a vibraŃiilor este parametrul de performanŃă

al amortizoarelor de şină. Cu cât rata de descreştere este mai mare, cu atât lungimea şinei care

vibrează sub acŃiunea forŃelor dinamice de contact roată-şină este mai mică şi deci nivelul de

zgomot este mod corespunzător mai redus.

Bibliografie

1. Wu, T.X., On the railway track dynamics with rail vibration absorber for noise

reduction, Journal of Sound and Vibration, Vol. 309, 2008, pp. 739-755.

2. Mazilu, T., VibraŃii roată-şină, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2008.

3. Mocică, Gh., Transformarea Laplace şi metode operaŃionale, Editura UPB,

Bucureşti, 1993.

1.1.2. Elaborarea aplicaŃiilor de simulare numerică

Pe baza relaŃiilor prezentate în secŃiunea precedentă s-au elaborat programele de

simulare numerică care sunt prezentate în Anexa 1 – Pachete de programe de simulare

numerică a regimului de vibraŃii al căii cu prismă de balast şi amortizoare de şină.

Programele sunt realizate în MATLAB care reprezintă unul dintre cele mai apreciate

medii de programare utilizate în domeniul ştiinŃelor inginereşti.

Primul program este dedicat calculului receptanŃei de-a lungul şinei pentru diferite

frecvenŃe, între 0 şi 2000 Hz. Denumit ‘receptanta_sinei’, programul are ca date de intrare

parametrii modelului căii, cei ai modelului de amortizor de şină, punctul de calcul al

receptanŃei şi frecvenŃa de calcul. Programul are două cicluri de calcul după frecvenŃă, primul

ciclu este dedicat calcului receptanŃei şinei pentru calea fără amortizoare de şină, iar cel de al

doilea ciclu cuprinde instrucŃiunile necesare calculului receptanŃei şinei pentru calea cu

amortizoare de şină.

În final, programul afişează sub formă grafică receptanŃa şinei în funcŃie de frecvenŃă

pentru cele două situaŃii simulate, cale fără amortizoare de şină şi, respectiv, cale cu

amortizoare de şină.

15

Tabelul 1. Intervalele 1/3 octavă

FrecvenŃa [Hz]

FrecvenŃa inferioară

28

35,5 44,7 56,3 70,9 89,2 112 141 178 224

FrecvenŃa centrală

31,5

40 50 63 80 100 125 160 200 250

FrecvenŃa superioară

35,5

44,7 56,3 70,9 89,2 112 141 178 224

282

FrecvenŃa inferioară

282

355 447 563 709 892 1120 1410 1780 2240

FrecvenŃa centrală

315

400

500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500

FrecvenŃa superioară

355

447 563 709 892 1120 1410 1780 2240 2820

Al doilea program, denumit ‘rata_descrestere’, este proiectat să calculeze rata de

descreştere a vibraŃiilor verticale ale şinei de-a lungul acesteia. Calculul se efectuează în benzi

de frecvenŃă de 1/3 octavă, plecând de la banda 1/3 octavă cu frecvenŃa centrală de 31.5 Hz şi

până la banda de 1/3 octavă cu frecvenŃa centrală de 2000 Hz. În tabelul 1 sunt prezentate

intervalele de 1/3 octavă luate în calcul. Datele de intrare în program sunt similare cu cele de

la programul dedicat calculului receptanŃei şinei.

1.2. Calculul ratei de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei

1.2.1. Calculul ratei de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei pentru

diferite configuraŃii ale parametrilor modelului numeric - caracteristicile

mecanice ale căii şi ale amortizorului de cale

Înainte de a calcula rata de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei, este util să

se stabilească frecvenŃele proprii ale amortizorului de şină pentru că acestea joacă un rol cheie

în ceea ce priveşte răspunsul dinamic al şinei cu amortizoare de şină.

16

Fig. 1.2.1. Modelul cu două grade de libertate al amortizorului de şină.

FrecvenŃele proprii ale amortizorului de şină sunt calculate pe baza modelului cu două

grade de libertate prezentat în figura 1.2.1. Valorile acestor frecvenŃe proprii se obŃin din

anularea numitorului din relaŃia (45), cu precizarea să se iau în calcul valorile corespunzătoare

modelului cu parametrii concentraŃi (M1,2 şi K1,2). Avem următoarea relaŃie:

[ ]21

21212

21221212212,1 2

4)()(

2

1

MM

KKMMKKMKMKKMKM −++++=

m

πν ,

cu observaŃia că ν1 este frecvenŃa proprie joasă, iar ν2 este cea înaltă.

Este evident că aceste frecvenŃe proprii sunt foarte importante pentru performanŃele

amortizorului de şină, dar determinarea lor în cursul proiectării este dificilă şi de aceea este

mai simplu dacă se lucrează cu frecvenŃele proprii ale celor două oscilatoare care alcătuiesc

modelul mecanic al amortizorului de şină (fig. 1.2.1)

2,1

212,1

,

2

1

M

Koo π

ν = .

Se obŃin frecvenŃele proprii ale amortizorului sub forma

[ ]2

νν4ν)µ1(νν)µ1(νν

22

21

222

21

22

21

2,1oooooo −++++

=m

,

în care µ = m2/m1, raportul maselor.

În figurile 1.2.2 şi 1.2.3 sunt prezentate frecvenŃele proprii ale amortizorului de şină în

funcŃie de frecvenŃele proprii ale oscilatoarelor necuplate, pentru 3 valori ale raportului

maselor (µ = 0,5 – albastru, µ = 1 – roşu şi µ = 2 – galben). Se observă că dacă frecvenŃele

proprii necuplate diferă mult între ele, atunci frecvenŃele proprii ale oscilatorului se apropie de

acestea.

17

Fig. 1.2.2. FrecvenŃa proprie joasă a amortizorului de şină.

Fig. 1.2.3. FrecvenŃa proprie înaltă a amortizorului de şină.

Referitor la frecvenŃele proprii ale amortizorului de şină, trebuie făcută observaŃia că la

aceste frecvenŃe, amplitudinile celor două corpuri sunt maxime în funcŃie de care frecvenŃă

proprie este atinsă. În acest mod, se preia o parte însemnată din energia de vibraŃie a şinei care

este disipată prin elementele de cauciuc (carcasa de cauciuc a amortizorului şi inelele

interioare), precum şi prin forŃele hidrodinamice din stratul de ulei mineral dintre corpul

interior şi cel exterior.

18

Simulările numerice se efectuează pentru următoarele variante ale parametrilor

modelului:

■ Parametrii căii de rulare

- şină UIC 49, ms = 49,39 kg;

- traverse de beton Mt = 250 kg;

- plăcuŃă de şină cu rigiditatea Ks = 80 MN/m – elastică, Ks = 360 MN/m – rigidă;

- prismă de balast cu rigiditatea Kb = 42 MN/m.

■ Parametrii amortizorului de cale:

- masa corpului interior M2 = 1.5 kg, 2 kg;

- raportul maselor M2/M1 = µ = 1,0;

- frecvenŃa proprie necuplată ν2o = 100 Hz şi 200 Hz;

- frecvenŃa proprie necuplată ν1o = 500 Hz şi 1000 Hz.

Cu ajutorul programelor de simulare numerică prezentate în Anexa 1, se calculează

receptanŃa şinei în punctul de contact şi rata de descreştere a vibraŃiilor şinei în lungul căii

pentru configuraŃiile prezentate mai sus. Sinteza acestor calcule este prezentată în secŃiunea

următoare.

1.2.2. Sintetizarea rezultatelor obŃinute prin simulări numerice privind rata de

descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei

Figura 1.2.4 prezintă receptanŃa şinei în punctul de aplicare a forŃei de excitaŃie

armonică pentru cale cu plăcuŃe de şină elastice şi amortizor cu M2 = 1.5 kg, ν1o = 500 Hz şi

ν2o = 100 Hz. Atât modelul căii de rulare, cât şi cel al amortizorului de cale sunt fără elemente

de amortizare. Este prezentată şi receptanŃa şinei fără amortizoare.

Figura 1.2.5 prezintă acelaşi caz ca mai sus, dar cu luarea în calcul a amortizărilor: ηs =

0,15, ηb = 0,3, η1 = 0,15 şi η2 = 0,2. S-a considerat o valoare mai mare pentru η2 cu scopul de

a Ńine seama de aportul amortizării datorat stratului de ulei.

Figurile 1.2.5 – 1.2.8 prezintă rezultatele privind influenŃa frecvenŃelor proprii necuplate

ale amortizorului asupra receptanŃei şinei în cazul în care se utilizează plăcuŃe de cale elastice.

Figurile 1.2.9 – 1.2.12 prezintă rezultatele obŃinute în cazul unui amortizor de şină cu

masă mărită montat pe o şină cu plăcuŃe elastice. Pentru comparaŃie sunt păstrate aceleaşi

frecvenŃe proprii necuplate ale amortizorului de şină.

19

Fig. 1.2.4. ReceptanŃa şinei pentru o cale cu plăcuŃe elastice (cazul neamortizat) şi amortizoare de şină

(M2= 1.5 kg, µµµµ = 1, νννν1o = 500 Hz şi νννν2o = 100 Hz):

negru – şină fără amortizoare; roşu – şină cu amortizoare.

Fig. 1.2.5. ReceptanŃa şinei pentru o cale cu plăcuŃe elastice şi amortizoare de şină



20







21





(M2= 2 kg, µµµµ = 1, νννν1o = 500 Hz şi νννν2o = 100 Hz):


22







23




Fig. 1.2.13. ReceptanŃa şinei pentru o cale cu plăcuŃe rigide şi amortizoare de şină

(M2= 1,5 kg, µµµµ = 1, νννν1o = 500 Hz şi νννν2o = 100 Hz):


24







25







26







27




Fig. 1.2.13-1.2.16 prezintă influenŃa amortizoarelor de şină asupra receptanŃei şinei în

cazul în care şina este aşezată pe traverse cu ajutorul unor plăcuŃe de şină rigide. Masa

corpurilor amortizorului este 1,5 kg, iar frecvenŃele proprii necuplate sunt 500 şi 1000 Hz

pentru ν1o şi 100 şi 200 Hz pentru ν2o.

În figurile 1.2.17-1.2.20 este arătată receptanŃa şinei în cazul montării acesteia pe

plăcuŃe rigide. Șina este echipată cu amortizoare de şină cu masă mărită (masa fiecărui corp,

2 kg). Sunt luate în calcul aceleaşi frecvenŃe proprii necuplate.

În continuare sunt prezentate rezultatele obŃinute pentru rata de descreştere a vibraŃiilor

de-a lungul şinei. Astfel, figurile 1.2.21 – 1.2.28 arată rata de descreştere a vibraŃiilor şinei

aşezată pe plăcuŃe elastice când este echipată cu amortizor cu corpuri de 1,5 kg (fig. 1.2.21-

1.2.24) şi, respectiv cu amortizor cu corpuri de 2 kg (fig. 1.2.25-1.2.28). Pentru fiecare tip de

amortizor, se păstrează frecvenŃele proprii necuplate ca mai sus.

În fine, ultimile diagrame sunt rezervate prezentării ratei de descreştere a vibraŃiilor

şinei când este fixată de traverse prin intermediul plăcuŃelor de şină elastice. Astfel, fig. 1.2.29

- 1.2.32 prezintă rata de descreştere dacă şina are amortizoare cu masa de 1,5 kg pentru

fiecare corp, iar fig. 1.2.33 - 1.2.36 arată rata de descreştere în situaŃia în care fiecare corp al

amortizoarelor de şină are 2 kg.

28

Fig. 1.2.21. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pentru o cale cu plăcuŃe elastice şi amortizoare de şină






29



negru – şină fără amortizoare; roşu – şină cu amortizoare




30







31







32

Fig. 1.2.29. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pentru o cale cu plăcuŃe rigide şi amortizoare de şină






33







34







35







36

1.3. Stabilirea parametrilor principali ai amortizorului de şină

1.3.1. Analiza rezultatelor obŃinute prin simulări numerice privind rata de

descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei

Se observă că în cazul şinei fără amortizoare (v. fig. 1.2.4), răspunsul se aseamănă cu

cel al unui sistem cu două grade de libertate, fiind dominat de două frecvenŃe de rezonanŃă, la

82 Hz şi respectiv 294 Hz. Între acestea avem o frecvenŃă de anti-rezonanŃă la 157 Hz. Acest

comportament anti-rezonant este datorat efectului de absorbitor dinamic al traverselor. La

frecvenŃa de anti-rezonanŃă, vibraŃia traverselor este mai intensă decât cea a şinei (în punctul

de deasupra traversei).

În ceea ce priveşte amortizorul de şină, calculele arată că frecvenŃele proprii sunt situate

la 98 şi respectiv 510 Hz, puŃin diferite de frecvenŃele proprii ale corpurilor decuplate. Se

constată că datorită prezenŃei amortizoarelor de şină, şina are acum 4 frecvenŃe proprii două

dintre acestea apropiate de frecvenŃele obŃinute în cazul şinei fără amortizoare, la 79 Hz şi 282

Hz, şi alte două apropiate de frecvenŃele proprii ale amortizorului de şină – la 101 şi 541 Hz.

Şina cu amortizoare prezintă un regim anti-rezonant la aceeaşi frecvenŃă ca şi în cazul şinei

fără amortizoare. În plus, apar încă două frecvenŃe de anti-rezonanŃă corespunzătoare

frecvenŃelor de rezonanŃă introduse de amortizorul de şină. Aceste frecvenŃe de anti-rezonanŃă

sunt mai mici decât cele de rezonanŃă, la 98 Hz şi la 511 Hz.

ReceptanŃa şinei fie că este fără amortizoare, fie cu amortizoare, prezintă aceleaşi

caracteristici ca şi în cazul neamortizat (v. fig. 1.2.5). Se observă foarte bine zonele de

frecvenŃă dominate de răspunsul rezonant sau anti-rezonant. Există şi o excepŃie şi anume la

frecvenŃa de rezonanŃă joasă a amortizorului unde alura receptanŃei practic nu mai aminteşte

de trecerea de la regimul anti-rezonant la cel rezonant (comparaŃie fig. 1.2.4 cu fig. 1.2.5).

InfluenŃa amortizorului de şină se manifestă în jurul frecvenŃelor de rezonanŃă ale căii:

receptanŃa este mai mare datorită amortizorului la frecvenŃe mai mici decât frecvenŃele de

rezonanŃă şi mai mică la frecvenŃe mai mari. Totodată, se observă o tendinŃă inversată în jurul

frecvenŃei înalte a amortizorului.

37

Fig. 1.3.1. ReceptanŃa şinei pe plăcuŃe elastice: negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz,

νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz; magenta – şină

fără amortizoare.

În cazul şinei pe plăcuŃe elastice, acordarea amortizorului la 200 Hz în loc de 100 Hz

reduce receptanŃa şinei la frecvenŃe mai mici decât frecvenŃa înaltă a şinei fără amortizoare, în

schimb măreşte răspunsul la frecvenŃe mai mari (fig. 1.3.1). În zona de rezonanŃă înaltă a

amortizorului, răspunsul este redus. ObservaŃiile de mai înainte sunt valabile atât în cazul în

care frecvenŃa înaltă a amortizorului este 500 Hz, cât şi în cazul în care frecvenŃa înaltă este la

1000 Hz.

Dacă şina este prevăzută cu plăcuŃe de şină rigide, atunci modificarea acordării

amortizorului de la 100 la 200 Hz nu are practic efecte vizibile dacă cealaltă frecvenŃă este

mare (1000 Hz) (fig. 1.3.2). În situaŃia în care amortizorul este acordat la frecvenŃă înaltă la

500 Hz, apare o uşoară reducere a răspunsului şinei în jurul frecvenŃei înalte a şinei

neamortizate.

Figurile 1.3.3 şi 1.3.4 prezintă influenŃa masei corpurilor amortizoarelor asupra

răspunsului şinei prin diagramele raportului receptanŃelor obŃinute cu cele două valori ale

masei corpurilor, 1,5 kg – varianta de referinŃă şi 2 kg. Sunt prezentate rezultatele atât pentru

cazul plăcuŃelor de şină elastice, cât şi pentru cel al plăcuŃelor rigide. Creşterea cu 1/3 a masei

corpurilor amortizorului conduce la variaŃii de cel mult 10 % în răspunsul şinei. TendinŃele

38

sunt asemănătoare în cele două cazuri cu precizarea că la frecvenŃe mai mari decât frecvenŃa

înaltă a amortizorului, asistăm la o relativă amplificare a răspunsului şinei.

Fig. 1.3.2. ReceptanŃa şinei pe plăcuŃe rigide: negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o =

200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz; magenta – şină fără

amortizoare.

Fig. 1.3.3. Raportul receptanŃelor M1,2 = 2 kg la M1,2 = 1,5 kg (plăcuŃe elastice): negru – νννν1o = 500 Hz,

νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz;

albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

39

Fig. 1.3.4. Raportul receptanŃelor M1,2 = 2 kg la M1,2 = 1,5 kg (plăcuŃe rigide): negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o =

100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz;

albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

În ceea ce priveşte rata naturală de descreştere a vibraŃiilor şinei (fără amortizoare) se

poate observa că aceasta depinde foarte mult de tipul plăcuŃelor de şină. Dacă se utilizează

plăcuŃe de şină elastice, atunci şina poate vibra relativ independent de traverse şi din acest

motiv rata de descreştere este mai mică în raport cu ce se întâmplă în cazul plăcuŃelor rigide

(v. de ex. figurile 1.2.21 şi 1.2.29, diagramele cu ‚negru’ care corespund şinei fără

amortizoare). De altmiteri, este cunoscut faptul că şinele cu plăcuŃe elastice sunt mai

‘zgomotoase’ faŃă de cele cu plăcuŃe rigide [1].

Indiferent de tipul plăcuŃelor, rata de descreştere a vibraŃiilor şinei are caracteristici

similare şi anume este mai mare la frecvenŃe mai joase decât prima frecvenŃă de rezonanŃă. În

jurul acestei frecvenŃe însă rata de descreştere a vibraŃiilor şinei prezintă un minim după care

începe să crească vertiginos atingând un maxim în jurul frecvenŃei de anti-rezonanŃă. La

frecvenŃe mai mari, rata de decreştere a vibraŃiilor şinei se reduce foarte mult. Acest aspect se

explică prin aceea că forŃele de inerŃie ale şinei sunt dominante în raport cu forŃele elastice

dezvoltate de cale, în special în plăcuŃele de şină, iar şina vbrează practic independent.

Figurile 1.3.5 şi 1.3.7 prezintă rata de descreştere a vibraŃiei şinei cu amortizoare de şină

luând în considerare cele două tipuri de plăcuŃe de şină, elastice şi rigide, iar pentru

amortizoare frecvenŃele joase de acordare (frecvenŃele proprii necuplate) de 100 şi 200 Hz şi

40

frecvenŃele înalte de acordare de 500 şi 1000 Hz. Tot în aceste diagrame este prezentată şi rata

naturală de descreştere a vibraŃiei şinei (fără amortizoare).

Pentru a simplifica analiza sunt prezentate şi diferenŃele dintre rata de descreştere a

vibraŃiei şinei cu amortizare şi rata de descreştere a vibraŃiei şinei fără amortizare pentru cele

două tipuri de plăcuŃe de şină (fig. 1.3.6 şi, respectiv, 1.3.8).

În cazul plăcuŃelor elastice se observă o mărire a ratei de descreştere a vibraŃiei şinei în

jurul frecvenŃei înalte de acordare a amortizorului fie că aceasta este la 500 Hz, fie că este la

1000 Hz. Cu toate acestea, trebuie observat faptul că rata de descreştere a vibraŃiei şinei creşte

cu până la 4 dB în cazul amortizorului acordat la 1000 Hz, comparativ cu numai 2,55 dB la

500 Hz cu amortizorul acordat fireşte la această valoare. În plus, se vede că acordarea

amortizorului la frecvenŃa joasă de 200 Hz reduce din performanŃele acestuia la frecvenŃa

înaltă de acordare.

La joasă frecvenŃă, nu se observă modificări notabile ale ratei de descreştere a vibraŃiei

şinei cu amortizoare în raport cu rata naturală de descreştere. Mai semnificative sunt

diferenŃele de până la 1,5 dB în minus la 250 Hz care apar dacă amortizorul este acordat la

frecvenŃa joasă de 200 Hz şi o îmbunătăŃire relativă de cca. 0,4 dB la 100 Hz.

Fig. 1.3.5. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe elastice: negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz;

roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz;

albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz; magenta – şină fără amortizoare.

41

Fig. 1.3.6. DiferenŃa de rată de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe elastice (şină cu amortizor – şină

fără amortizor): negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz;

verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

Fig. 1.3.7. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe rigide: negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz;

roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz;

albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz; magenta – şină fără amortizoare.

42

Fig. 1.3.8. DiferenŃa de rată de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe rigide (şină cu amortizor – şină fără

amortizor): negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde - νννν1o = 1000 Hz,

νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

Dacă şina are plăcuŃe rigide, se constată că amortizorul acordat pe frecvenŃa înaltă de

500 Hz nu are practic efect. Se poate semnala o mărire a ratei de descreştere a vibraŃiei la 5-

600 Hz de 1,2 – 1,8 dB, dar aceasta rămâne fără consecinŃe practice întrucât rata naturală de

descreştere a vibraŃiei este foarte înaltă. La frecvenŃe joase, se observă o uşoară creştere a ratei

de descreştere a vibraŃiei în jurul frecvenŃei de acordare a amortizorului (la 100 şi respectiv

200 Hz). Mult mai interesant este cazul amortizorului acordat la frecvenŃa înaltă de 1000 Hz.

Acesta asigură o îmbunătăŃire a ratei de descreştere a vibraŃiei de peste 4 dB când amortizorul

este acordat la frecvenŃa joasă de 100 Hz.

Figurile 1.3.9 şi 1.3.10 prezintă diferenŃa dintre rata de descreştere a vibraŃiei şinei cu

amortizoare cu 2 kg/corp şi rata de descreştere a vibraŃiei şinei cu amortizoare cu 1,5 kg/corp,

atât pentru plăcuŃe elastice, cât şi pentru plăcuŃe rigide. Se observă că influenŃa masei corpului

amortizorului este mică, sub 1 dB.

43

Fig. 1.3.9. DiferenŃa de rată de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe elastice (amortizor cu 2kg/corp -

amortizor cu 1,5 kg/corp): negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz; verde -

νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

Fig. 1.3.10. DiferenŃa de rată de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe rigide (amortizor cu 2kg/corp -

amortizor cu 1,5 kg/corp): negru – νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 100 Hz; roşu - νννν1o = 500 Hz, νννν2o = 200 Hz;

verde - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 100 Hz; albastru - νννν1o = 1000 Hz, νννν2o = 200 Hz.

44

1.3.2. Stabilirea parametrilor principali ai amortizorului de şină pe baza analizei

ratei de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei

Aşa cum s-a menŃionat, principiul de lucru al amortizorului de şină care face obiectul

acestui proiect este cel al absorbitorului dinamic. Se reaminteşte că din punct de vedere

constructiv amortizorul se compune dintr-un corp cilindric exterior tip Ńeavă care are la

interior un corp cilindric masiv. Acesta este prins de corpul exterior prin inele de cauciuc

prevăzute la ambele capete. Întregul ansamblu este îmbrăcat într-o carcasă exterioară de

cauciuc care este prinsă de partea superioară a tălpii şinei şi de partea laterală a inimii

acesteia.

Structura mecanică a amortizorului este alcătuită aşadar din două corpuri prinse prin

elemente elastice între ele şi de şină. Este evident că dacă cele două corpuri sunt suficient de

masive, acestea se vor comporta ca şi corpuri rigide pe un domeniu întins de frecvenŃă, ceea

ce face ca întreaga dinamică a amortizorului să fie asemănătoare cu cea a unui sistem mecanic

cu două grade de libertate. Prin urmare, regimul dinamic al amortizorul de şină este influenŃat

de existenŃa a două frecvenŃe de rezonanŃă la care corpurile amortizorului vor experimenta

regimuri de vibraŃii maxime. Ca urmare a preluării unei părŃi însemnate din energia de

vibraŃie a şinei, la aceste frecvenŃe eficacitatea amortizoarelor va fi maximă.

Aceste aspecte de principiu sunt susŃinute de analiza rezultatelor obŃinute prin simulări

numerice privind rata de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei efectuată în

secŃiunea anterioară. În concluzie, parametrii principali ai amortizorului de şină sunt cele două

frecvenŃe proprii ale acestuia. Aşa cum s-a arătat, aceste frecvenŃe proprii sunt mai dificil de

determinat şi de aceea se preferă să se lucreze cu frecvenŃele proprii ale sistemelor necuplate.

Acest lucru este facilitat şi de faptul că în cazul în care frecvenŃele proprii necuplate sunt mult

diferite între ele, aşa cum este şi cazul de faŃă, atunci frecvenŃele proprii ale amortizorului se

vor găsi în imediata vecinătate a frecvenŃelor proprii necuplate.

În cadrul analizei s-a mai investigat influenŃa masei corpurilor care alcătuiesc

amortizorul asupra ratei de descreştere a vibraŃiilor verticale ale şinei şi a rezultat că o creştere

de 33 % a acesteia nu are efecte deosebite. Trebuie făcută observaŃia că mărirea masei

corpurilor amortizorului este limitată din motive de gabarit de montaj care se determină în

funcŃie de tipul şinei.

45

1.3.3. Elaborarea ghidului de recomandări privind valorile parametrilor

principali ai amortizorului de şină pe baza criteriului de performanŃă - rata

de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul şinei

Valorile parametrilor modelului căii de rulare considerate în cadrul analizei rezultatelor

obŃinute prin simulări numerice privind rata de descreştere a vibraŃiilor verticale în lungul

şinei acoperă o varietate cuprinzătoare de situaŃii. Acest fapt permite să se tragă o serie de

concluzii consistente cu largă aplicabilitate în ceea ce priveşte alegerea valorilor parametrilor

principali ai amortizorului de şină pe baza criteriului de performanŃă.

Într-un caz practic în care se doreşte aplicarea unui tratament de combatere a vibraŃiilor

şinei pe o anumită cale de rulare prin montarea de amortizoare pe şină este necesar să fie

cunoscută o serie de parametri esenŃiali pentru dinamica căii, în general, şi pentru cea a şinei,

în particular. Ne referim aici la tipul de şină utilizat, la sistemele de prindere a şinei de

traverse, inclusiv la caracteristicile plăcuŃelor de şină, la tipul şi caracteristicile traverselor, la

mărimea distanŃei dintre traverse şi la caracteristicile prismei de balast.

O serie de caracteristici, cum sunt cele ale şinei, ale plăcuŃelor de şină şi traverselor se

pot extrage din documentaŃia tehnică. Cu toate acestea, informaŃiile astfel obŃinute nu sunt

suficiente în vederea stabilirii valorilor parametrilor principali ai amortizorului de şină, iar

completarea acestor informaŃii se poate face pe cale experimentală. Pentru aceasta, se trece la

alegerea în mod aleatoriu a unui număr reprezentativ de poziŃii de-a lungul sectorului de cale

pe care se doreşte a fi montate amortizoare de şină.

Odată stabilite punctele de încercare în care se vor desfăşura activităŃile experimentale

se poate trece la etapa următoare şi anume la organizarea experimentelor. Fără a intra în

detalii specifice, se menŃionează faptul că scopul acestor experimente este acela de a completa

tabloul caracteristicilor dinamice ale căii de rulare. Principalele caracteristici dinamice sunt

receptanŃa şi rata de descreştere a vibraŃiilor şinei de-a lungul căii de rulare.

După ce au fost obŃinute aceste informaŃii privind caracteristicile căii de rulare, urmează

mai întâi calibrarea modelului de calcul pe baza comparaŃiei receptanŃelor măsurate cu cele

calculate în condiŃii echivalente. Se trece apoi la următoarea etapă care are ca scop validarea

modelului din punctul de vedere al calculului criteriului de performanŃă al amortizorului de

şină pe baza comparaŃiei dintre rata de descreştere a vibraŃiei şinei determinată experimental

cu cea calculată pe baza modelului.

46

Cu modelul calibrat şi validat se trece la etapa studiului parametric a dinamicii căii

(şinei) în două situaŃii distincte: şină fără amortizoare/şină cu amortizoare. Variabilele luate în

calcul sunt stabilite pe baza măsurărilor efectuate pe cale, precum şi cele ce Ńin de amortizor,

respectiv, parametrii principali ai amortizorului – frecvenŃele proprii.

Se urmăreşte ca soluŃia avută în vedere în ceea ce priveşte caracteristicile amortizoarelor

de şină să asigure un compromis rezonabil referitor la performanŃa acestora de a reduce

propagarea vibraŃiilor şinei de-a lungul căii pentru întreaga variabilitate a caracteristicilor

sectorului de cale. În cazul de faŃă, pe baza rezultatelor la care s-a ajuns în cadrul analizei de

la punctul 1.3.1. se recomandă ca frecvenŃa joasă necuplată a amortizorului de şină să fie 100

Hz, iar frecvenŃa înaltă necuplată să fie 1000 Hz.

Bibliografie

1. Thompson, D. Railway noise and vibration - Mechanisms, modelling and means,

Elsevier, 2009.

1.4. Stabilirea detaliilor tehnice de realizare a amortizorului de şină

1.4.1. Determinarea gabaritului de montaj al amortizorului

Gabaritul de montaj al amortizorului de şină se stabileşte plecând de la tipul de şină

pentru care se proiectează un astfel de amortizor. Spre exemplu, în figura 1.4.1 este prezentată

secŃiunea transversală a şinei UIC 49 care a stat la baza proiectării amortizorului de şină care

face obiectul prezentului proiect. Se menŃionează faptul că se montează câte un amortizor pe

fiecare parte a unei şine, acestea fiind poziŃionate pe direcŃie longitudinală la mijlocul

distanŃei dintre traverse (fig. 1.4.2). Fiecare amortizor se poate monta prin lipire sau prindere

cu cleme de faŃa superioară a tălpii şinei şi în contact cu faŃa laterală a inimii.

Pentru determinarea gabaritului de montaj a amortizorului se Ńine seama ca acesta să nu

depăşească lăŃimea tălpii şinei (fig. 1.4.3.). Prin aceasta se limitează lăŃimea secŃiunii

transversale a amortizorului. În cazul dat, rezultă pentru lăŃimea amortizorului

2it

y

LLL

−= ,

în care Lt este lăŃimea tălpii şinei, iar Li este lăŃimea inimii.

47

Fig. 1.4.1. Profilul transversal al şinei UIC 49.

Fig. 1.4.2. Explicativă pentru montarea amortizorului de şină între traverse:

(a) vedere laterală; (b) vedere de sus.

Pentru datele din desenul şinei UIC 49, (Lt = 125 mm şi Li = 14 mm) rezultă

552

14125≈

−=yL mm.

48

Fig. 1.4.3. Explicativă pentru determinarea dimensiunilor secŃiunii amortizorului de şină.

Cealaltă dimensiune a secŃiunii transversale – înălŃimea – rezultă din faptul că partea

activă a amortizorului are formă cilindrică. În plus, este nevoie ca grosimea carcasei de

cauciuc să aibă valori egale în zonele de grosime minimă. Totodată, prin adoptarea unei

grosimi minime mici este permisă maximizarea diametrului corpului exterior al amortizorului

şi deci mărirea masei active a acestuia, ceea ce este recomandabil pentru îmbunătăŃirea

performanŃelor privind rata de atenuare a vibraŃiei verticale a şinei. Pe de altă parte, creşte

rigiditatea carcasei de cauciuc a amortizorului, ceea ce permite realizarea unei frecvenŃe

proprii mari pentru corpul exterior.

FaŃă de cele de mai sus, se adoptă pentru zonele de grosime minimă ale carcasei de

cauciuc valoarea de 3,5 mm. Rezultă diametrul mare al corpului exterior la 48 mm. De

asemenea, înălŃimea maximă a secŃiunii amortizorului de şină se adoptă la 64 mm (fig. 1.4.3).

În fine, pentru stabilirea lungimii amortizorului de şină trebuie să se Ńină seama de mai

multe considerente. Lungimea mare a amortizorului va permite ca masa acestuia să fie mai

mare cu efecte pozitive asupra capacităŃii de a reduce amplitudinea vibraŃiilor de-a lungul

şinei. Pe de altă parte, dacă lungimea amortizorului de şină este prea mare, atunci frecvenŃa

modurilor proprii de încovoiere scade şi poate reduce eficacitatea acestuia.

În concluzie, se poate adopta pentru lungimea amortizorului o valoare din domeniul

cuprins între 200 şi 250 mm, urmând ca apoi să se verifice faptul că frecvenŃa modurilor de

încovoiere este suficient de mare pentru a nu afecta performanŃele în domeniul de frecvenŃe

de interes. Pentru cazul din proiect, se adopta pentru lungimea amortizorului, L = 234 mm

(fig. 1.4.2).

49

1.4.2. Calculul de predimensionare al amortizorului de şină

Având în vedere geometria complicată a carcasei de cauciuc, problema calculului de

predimensionare se abordează în următoarea manieră: pe baza dimensiunilor de gabarit ale

amortizorului stabilite în secŃiunea anterioară se calculează masele corpurilor amortizorului şi

masa carcasei acestuia. Impunând frecvenŃele proprii necuplate, vor rezulta rigidităŃile

carcasei şi a inelelor de cauciuc. Dimensiunile finale se stabilesc în urma calculului cu

elemente finite, astfel încât să fie realizate constantele elastice necesare sau cât mai apropiate.

Fig. 1.4.1. Corpul exterior.

Fig. 1.4.2. Capac.

În figura 1.4.1 este prezentată schiŃa corpului exterior al amortizorului. Masa acestuia

poate fi calculată cu relaŃia

[ ])()(2)(2ρ4

π 23

23

22

22

21

21 dDLdDLdDLM ce −+−+−= .

În figura 1.4.2 este prezentată schiŃa capacului care se montează la capetele corpului

exterior. Masa acestuia poate fi calculată cu relaŃia

21ρ

4

πhdM cap = .

50

Având în vedere că masa corpului M1 este egală cu masa corpului exterior la care se

adaugă masa celor două capace, rezultă

[ ]21

23

23

22

22

21

211 2)()(2)(2ρ

4

π2 hddDLdDLdDLMMM capce +−+−+−=+= .

Rigiditatea verticală a carcasei de cauciuc se obŃine cu relaŃia

12

11 )πν2( MK o= .

Considerând preliminar: D = 48 mm, d1 = 42 mm, d2 = 44 mm, d3 = 39 mm, L1 = 29

mm, L2 = 0,5 mm, L3 = 175 mm, h = 15 mm şi ν1o = 1000 Hz, se obŃine Mce = 1,0606 kg, Mcap

= 0,1634 kg, M1 = 1,3869 kg şi K1 = 54,751 MN/m.

Fig. 1.4.3 prezintă schiŃa carcasei de cauciuc a cărei secŃiune transversală a fost

simplificată şi adusă la forma unui trapez cu bazele H1 şi H2 şi lăŃimea Ly.

Fig. 1.4.3. Carcasa de cauciuc: (a) vedere laterală; (b) secŃiune transversală.

Masa carcasei se calculează cu relaŃia

−

+= 221

4

π

2ρ DL

HHLM yccc ,

în care ρc este densitatea cauciucului (ρ=1,2 g/cm3).

Pentru H1 = 6,4 cm, H2 = 6,0 cm, Ly = 5,5 cm şi L = 23,4 cm se obŃine pentru masa

carcasei de cauciuc Mcc = 0,4494 kg.

51

Fig. 1.4.3. Corpul interior.

Figura 1.4.4. prezintă schiŃa corpului interior a cărui masă se calculează cu relaŃia

( )

++++= 223

2221

212

211 3

22ρ

4

πDlDDDDlDlM ci .

Rigiditatea radială a inelelor de cauciuc se obŃine cu

22

22 )πν2( MK o= , unde M2 = Mci.

Pentru D1 = 26 mm, D2 = 37 mm, l1 = 12 mm, l2 = 2 mm, l3 = 172 mm şi ν2o = 100 Hz

rezultă Mci = 1,5641 şi K2 = 617,5 kN/m.

1.4.3. Elaborarea specificaŃiilor tehnice pentru proiectarea amortizorului de şină

Amortizorul de şină care face obiectul prezentului proiect este destinat reducerii

vibraŃiilor şinelor pe căile ferate echipate cu şină de tip UIC 49. Acesta are în compunere

următoarele repere:

- Carcasa de cauciuc – 1 buc;

- Corpul exterior – 1 buc;

- Corpul interior – 1 buc;

- Capace – 2 buc;

- Inele de cauciuc – 2 buc;

- Sistem de etanşare cu bilă – 2buc;

- Ulei mineral – cca. 70 ml.

Proiectul amortizorului de şină trebuie să respecte dimensiunile de gabarit

corespunzătoare montării pe şină UIC 49.

Corpul exterior se confecŃionează din Ńeavă de oŃel OL cu diametrul exterior de cel puŃin

48 mm, astfel încât să se permită prelucrarea la dimensiunile specificate.

52

Corpul interior se confecŃiona din profil rotund de oŃel OL cu diametrul exterior minim

de 38 min.

SuprafeŃele prelucrate prin aşchiere trebuie să se încadreze în clasa de rugozitate N9,

respectiv Ra = 6,3 µm.

Capacele trebuie astfel proiectate astfel încât diametrul exterior să nu fi mai mare decât

diametrul interior de la capetele corpului exterior. Pentru strângere, pe suprafaŃa frontală a

fiecărui capac sunt practicate două găuri înfundate distanŃate corespunzător pentru strângerea

cu o cheie olandeză.

Componentele din cauciuc, carcasa şi inelele de fixare a corpului interior, sunt

confecŃionate prin matriŃare din cauciuc natural cu duritatea Shore 70o.

Pentru amortizarea vibraŃiilor relative dintre corpul exterior şi cel interior se umple

spaŃiul dintre acestea cu ulei hidraulic.

1.5. Proiectarea amortizorului de şină asistată de calculator

1.5.1. Elaborarea modelului amortizorului de şină prin metoda elementului finit

În această secŃiune se determină rigiditatea carcasei şi a inelelor de cauciuc cu ajutorul

unui model al amortizorului de şină bazat pe metoda elementului finit (MEF) [1-3].

Se consideră că amortizorul este un sistem format din două mase considerate rigide

(corpul exterior inclusiv cele două capace şi corpul interior) legate între ele cu elemente

elastice din cauciuc (inelele). Deoarece fiecare masă are şase grade de libertate, rigidităŃile

prezintă trei componente de translaŃie şi trei de rotaŃie pe direcŃiile principale. Masa corpului

interior precum şi sistemul elastic de fixare al acestuia prezintă trei plane de simetrie (axial

simetric). În consecinŃă, direcŃiile principale sunt cunoscute şi acestea coincid cu sistemul

global de referinŃă. Corpul exterior şi carcasa de cauciuc prezintă un singur plan de simetrie

(YOZ). Corpul exterior este simetric, dar carcasa de cauciuc nu prezintă simetrie completă şi

nici nu este fixată simetric. Totuşi, în cele urmează, pentru simplificarea calcului, se

consideră că şi această componentă este cvasi-simetrică, cu menŃiunea că elementele de

cuplare ale rigidităŃilor nu prezintă valori mari în comparaŃie cu rigidităŃile principale, aşa

cum rezultă din calculul de mai jos.

53

Pentru determinarea rigidităŃilor echivalente pe direcŃiile principale se izolează pe rând

cele două corpuri. Acestea se consideră fixate de elementele elastice ataşate. Elementele

elastice se consideră fixate pe contururile exterioare şi astfel se obŃin două sisteme masă-arc

izolate între ele, fiecare cu şase grade de libertate. Folosind MEF şi încărcări statice

cunoscute, aplicate pe câte o singură direcŃie, se determină matricea de flexibilitate a

elementului elastic. Prin inversarea matricei de flexibilitate [S] se obŃine matricea de rigiditate

a elementului elastic [K] corespunzătoare celor trei direcŃii, la translaŃie şi la rotaŃie.

Se creează astfel câte 6 cazuri de încărcare pentru fiecare sistem masă-arc, din care

rezultă pe coloanele din matricea de flexibilitate deplasările pe fiecare direcŃie împărŃite la

forŃa de încărcare, pentru translaŃii, respectiv unghiurile de rotaŃie în jurul axelor împărŃite la

momentul aplicat. Mişcările de rotaŃie se determină din distribuŃia deplasărilor, considerând

dimensiunile reale ale celor două mase.

Pentru cauciuc cu duritatea Shore 70 se consideră următoarele valori ale proprietăŃilor

de material: densitatea 1,2 kg/m3, modulul lui Young 4,73 MN/m2, coeficientul lui Poisson

0,48, modulul de elasticitate transversal 1,6 MN/m2.

Figura 1.5.1 prezintă modelul de calcul discretizat pentru corpul interior. Se observă

inelele de cauciuc de la capete.

Fig. 1.5.1. Modelul cu element finit pentru corpul interior şi inelele de cauciuc.

Pentru fiecare caz de încărcare se prezintă mai jos, condiŃiile la limită şi deplasările

necesare pentru calculul flexibilităŃilor. Se menŃionează că deplasările nule (sau foarte mici)

54

nu au fost considerate în figurile de mai jos pentru că acestea nu au contribuŃie importantă la

matricea de flexibilitate/rigiditate.

Figura 1.5.2 arată condiŃiile la limită şi schema de încărcare longitudinală a corpului

interior, în timp ce figura 1.5.3. prezintă distribuŃia deplasărilor longitudinale.

Fig. 1.5.2. CondiŃiile la limită şi încărcarea longitudinală pentru corpul interior.

Fig. 1.5.3. DistribuŃia deplasărilor UX pentru corpul interior.

55

Figura 1.5.4 arată condiŃiile la limită şi schema de încărcare verticală a corpului interior,

iar figura 1.5.5. prezintă distribuŃia deplasărilor verticale. Se precizează că datorită simetriei,

situaŃia este identică în cazul încărcării laterale a corpului interior.

Fig. 1.5.4. CondiŃiile la limită şi încărcarea verticală pentru corpul interior.

Fig. 1.5.5. DistribuŃia deplasărilor UY pentru corpul interior.

56

CondiŃiile la limită şi schema de încărcare la rotaŃie în jurul axei longitudinale sunt

prezentate în figura 1.5.6. DistribuŃia deplasărilor ca urmare a încărcării la rotaŃie în jurul axei

longitudinale poate fi văzută în 1.5.7.

Fig. 1.5.6. CondiŃiile la limită şi încărcarea în jurul axei longitudinale pentru corpul interior.

Fig. 1.5.7. DistribuŃia deplasărilor totale în cazul rotaŃiei în jurul axei longitudinale a corpului interior.

În figura 1.5.8 sunt prezentate condiŃiile la limită şi schema de încărcare la rotaŃie în

jurul axei verticale. DistribuŃia deplasărilor în jurul axei verticale este arătată în figura 1.5.9.

Aceleaşi rezultate se obŃin în cazul încărcării de rotaŃie în jurul axei transversale datorită

simetriei corpului interior.

57

Fig. 1.5.8. CondiŃiile la limită şi încărcarea în jurul axei verticale pentru corpul interior.

Fig. 1.5.9. DistribuŃia deplasărilor UZ pentru corpul interior în cazul rotaŃiei în jurul axei verticale.

Matricea de flexibilitate a corpului interior, cu unităŃi de măsură în SI, respectiv [m/N] şi

[rad/(Nm)] rezultă ca matrice diagonală. Prin inversarea acestei matrice rezultă matricea de

rigiditate tot diagonală, în unităŃi de măsură SI, adică [N/m] pentru rigidităŃile de translaŃie şi

respectiv [Nm/rad] pentru cele de rotaŃie, cu precizarea că din această matrice se pot extrage

rigidităŃile inelelor de cauciuc de pe diagonala principală, respectiv K2 = 1,7241 MN/m.

58

1 2 3 4 5 6

2.08E-06 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1 0.00E+00 5.80E-07 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2 0.00E+00 0.00E+00 5.80E-07 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.71E-03 0.00E+00 0.00E+00 4 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 6.78E-05 0.00E+00 5

[S]=

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 6.78E-05 6

1 2 3 4 5 6

4.8077e+05 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1

0.00E+00 1.7241e+06 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2

0.00E+00 0.00E+00 1.7241e+06 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 129.7 0.00E+00 0.00E+00 4

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 14749 0.00E+00 5

[K]=

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 14749 6

Fig. 1.5.10. Corpul interior – modelul pentru calculul masei.

Matricea de inerŃie a corpului interior, pentru care se neglijează masa inelelor de

cauciuc, rezultă din geometria acestuia şi densitatea oŃelului 7850 kg/m3 (fig. 1.5.10). Ea a

fost calculată în programul cu elemente finite şi este:

1 2 3 4 5 6

1.5746 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1

0.00E+00 1.5746 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2

0.00E+00 0.00E+00 1.5746 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3.

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.26e-03 0.00E+00 0.00E+00 4

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.76e-03 0.00E+00 5

[M]=

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.76e-03 6

59

Este extrasă masa corpului interior M2 = 1,5746 kg. Dacă se calculează frecvenŃa

proprie a corpului interior şi a inelelor de cauciuc se obŃine frecvenŃa proprie joasă necuplată a

amortizorului, ν2o = 166 Hz.

Pentru determinarea rigidităŃii verticale a carcasei de cauciuc se procedează în mod

asemănător. Figura 1.5.11 prezintă modelele cu elemente finite ale carcasei de cauciuc şi ale

corpului exterior. La corpul exterior s-au adăugat şi capacele de la capete.

Fig. 1.5.11. Modelarea cu elemente finite a carcasei de cauciuc şi a corpului exterior.

În continuare, sunt prezentate, pentru fiecare caz de încărcare, condiŃiile la limită şi

deplasările rezultate (v. fig. 1.5.12 - 1.5.23). Se precizează că au fost neglijate elementele care

nu sunt pe diagonala principală a matricei de flexibilitate pentru că acestea au rezultat la

valori foarte mici în raport cu cele ale elementelor de pe diagonala principală.

Matricea de flexibilitate a corpului interior, cu unităŃi de măsură în SI, respectiv [m/N] şi

[rad/(Nm)] rezultă cu o serie de elemente nediagonale uşor diferite de zero

1 2 3 4 5 6

2.12E-07 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3.50E-08 3.60E-08 1 0.00E+00 2.30E-08 0.00E+00 1.50E-07 0.00E+00 0.00E+00 2 0.00E+00 0.00E+00 4.10E-08 6.50E-08 0.00E+00 0.00E+00 3 0.00E+00 1.50E-07 6.50E-08 2.13E-04 0.00E+00 0.00E+00 4 3.50E-08 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 9.23E-06 2.25E-06 5

[S]=

3.60E-08 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.25E-06 5.21E-06 6

60

Fig. 1.5.12. CondiŃiile la limită şi încărcarea longitudinală a carcasei

Fig. 1.5.13. DistribuŃia deplasărilor UX pentru carcasă.

61

Fig. 1.5.14. CondiŃiile la limită şi încărcarea verticală pentru carcasă.

Fig. 1.5.15. DistribuŃia deplasărilor UY pentru carcasă.

62

Fig. 1.5.16. CondiŃiile la limită şi încărcarea laterală pentru carcasă.

Fig. 1.5.17. DistribuŃia deplasărilor UZ pentru carcasă.

63

Fig. 1.5.18. CondiŃiile la limită şi încărcarea prin rotaŃie în jurul axei longitudinale a carcasei.

Fig. 1.5.19. DistribuŃia deplasărilor totale pentru încărcarea prin rotaŃie

în jurul axei longitudinale a carcasei.

64

Fig. 1.5.20. CondiŃiile la limită şi încărcarea prin rotaŃie în jurul axei verticale a carcasei.

Fig. 1.5.21. DistribuŃia deplasărilor UZ pentru rotaŃia în jurul axei verticale.

65

Fig. 1.5.22. CondiŃiile la limită şi încărcarea prin rotaŃia în jurul axei laterale a carcasei.

Fig. 1.5.23. DistribuŃia deplasărilor UY la rotaŃia în jurul axei laterale pentru carcasă.

66

Prin inversarea acestei matrice rezultă matricea de rigiditate tot nediagonală, tot în

unităŃi de măsură SI, adica [N/m] pentru rigidităŃile de translaŃie şi respectiv [Nm/rad] pentru

cele de rotaŃie,

1 2 3 4 5 6

4.7235e+06 0 0 0 -11127 -27834 1

0 4.3679e+07 48789 -30775 0 0 2

0 48789 2.4402e+07 -7481 0 0 3

0 -30775 -7481 4718.8 0 0 4

-11127 0 0 0 1.2112e+05 -52229 5

[K]=

-27834 0 0 0 -52229 2.1469e+05 6

Dacă se neglijează elementele nediagonale din matricea de rigiditate, se poate extrage

rigiditatea verticală a carcasei K1 = 43,679 MN/m. Matricea de inerŃie a corpului exterior şi a

capacelor montate rezultă din geometria acestuia şi densitatea oŃelului 7850 kg/m3. Aceasta a

fost calculată, de asemenea, în programul cu elemente finite (fig. 1.5.24). Avem:

1 2 3 4 5 6

1.3749 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1

0.00E+00 1.3749 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2

0.00E+00 0.00E+00 1.3749 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.578e-03 0.00E+00 0.00E+00 4

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.5e-03 0.00E+00 5

[M]=

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.5e-03 6

Fig. 1.5.24. Ansamblul corp exterior – capace – modelul pentru calculul masei.

67

Rezultă masa ansamblului corp exterior – capace, respectiv masa corpului 1 al

modelului amortizorului M1 = 1,3749 kg. Cu datele astfel obŃinute rezultă frecvenŃa proprie

necuplată a corpului exterior pe carcasa de cauciuc, ν1o = 897 Hz.

În fine, matricea de inerŃie a carcasei de cauciuc rezultă din geometria acesteia şi

densitatea cauciucului considerată (1200 kg/m3). Aceasta a fost calculată, de asemenea, în

programul cu elemente finite (fig. 1.5.26). Rezultă masa carcasei de cauciuc Mcc = 0,45 kg.

Fig. 1.5.25. Carcasa de cauciuc – modelul pentru calculul masei.

Bibliografie

1. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi analizei cu elemente finite,

Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2003.

2. Sorohan, Şt., Modelare cu elemente finite în analiza dinamică a structurilor, Editura

Matrix Rom, Bucureşti, 2011.

3. Sorohan, Şt., Elemente finite în ingineria mecanică-curs introductiv, Editura

Politehnica Press, Bucureşti, 2015.

68

1.5.2. Simularea caracteristicilor răspunsului dinamic

Literatura de specialitate arată că testarea performanŃelor amortizoarelor de şină se

poate face prin două metode, fie metoda încercărilor în cale, fie prin încercări efectuate pe

şine de lungime mică [1 - 2]. În această din urmă eventualitate, se foloseşte un cupon de şină

cu lungimea de 4 - 6 m pe care sunt montate amortizoarele de şină la distanŃe egale cu distanŃa

obişnuită dintre traverse. Se determină apoi experimental rata de descreştere a vibraŃiilor şinei

pe baza răspunsului şinei la cele două capete când aceasta este excitată la un capăt.

Având în vedere faptul că această metodă a fost prevăzută pentru a fi utilizată în etapa a

doua a proiectului, este util să fie simulate caracteristicile răspunsului dinamic al unui cupon

de şină prin aplicarea MEF. Pentru aceasta, s-au elaborat modele cu elemente finite în

ANSYS pentru un cupon de şină tip UIC 49 cu lungimea de 5.4 m în varianta fără

amortizoare, precum şi în varianta cu 18 amortizoare montate la interval de 0.6 m [3 - 5]. Se

aplică discretizarea cuponului de şină cu ajutorul a 54 elemente de grindă de tip Timoshenko,

fiecare cu lungimea de 100 mm (fig. 1.5.26). Pentru modelarea amortizoarelor se utilizează

elemente de tip masă şi arcuri tri-dimensionale având caracteristicile determinate în secŃiunea

1.5.1. (fig. 1.5.27).

Se aplică o forŃă armonică verticală de aplitudine 1N în capătul din stanga (Nodul 1) şi

se determină răspunsul armonic în deplasări verticale (UY) ca amplitudine [m] şi fază [grade]

pentru:

- capătul din stâanga (Nodul 1);

- mijlocul şinei (Nodul 28);

- capătul din dreapta (Nodul 55).

- o serie de puncte echidistante cu pasul de 1 m plecând din nodul 1 (Nodurile 11, 21,

31, 41 şi 51) – figurile 1.5.26 şi 1.5.27.

Se efectuează analize armonice în plaja 0 - 2500 Hz cu pasul de 1 Hz pentru variantele:

1. şină fără amortizoare montate cu condiŃii la limită free - free; (masa modelului (şină)

= 266.7 kg);

2. şină cu toate amortizoarele montate cu condiŃii la limită free - free (masa model şină

cu amortizoare = 323.8 kg - se menŃionează că se pierde o mică parte din masa totală, adică

masa din blocurile de cauciuc care ar trebui transferată la şină, dar aceasta este relativ mică).

69

Fig. 1.5.26. Discretizarea şinei prin 54 elemente finite de lungimi egale (100 mm) de tip Beam în

formularea Timoshenko.

Fig. 1.5.27. Modelul şinei cu amortizoare (numerotarea nodurilor pe şină se păstrează).

În figurile 1.5.29 – 1.5.38 sunt prezentate primele 11 moduri proprii de încovoiere

verticală ale şinei fără amortizoare. Modurile de încovoiere din planul orizontal, precum şi

cele de torsiune şi axiale, nu prezintă interes pentru etapa actuală şi nu au fost prezentate.

70

Fig. 1.5.28. Primul mod propriu de vibraŃie. (33,7 Hz).

Fig. 1.5.29. Modul 2 de vibraŃie (91,6 Hz).




71





Fig. 1.5.37. Modul 10 de vibraŃie (1224,3).

72


Primele patru moduri de încovoiere în plan vertical pentru cazul cuponului de şină cu 18

amortizoare montate, dar pentru care se neglijează amortizarea modelului de amortizor, sunt

prezentate în fig. 1.5.39 – 1.5.42. FrecvenŃele modurilor proprii ale şinei cu amortizoare sunt

mai mici decât cele ale şinei fără amortizoare datorită masei suplimentare a acestora. Pe de

altă parte, se observă că pentru modul propriu fundamental al cuponului de şină amortizoarele

se deformează odată cu şina, în timp ce pentru restul modurilor amortizoarele prezintă

deplasări relative mari faŃă de şină, ceea ce reprezintă un indiciu privind eficacitatea acestora

în ceea ce priveşte atenuarea vibraŃiilor.

Fig. 1.5.39. Primul mod propriu al şinei cu amortizoare (30,4 Hz).

Fig. 1.5.40. Modul 2 de vibraŃie al şinei cu amortizoare (81,5 Hz).


73


Fig. 1.5.43. Receptanta şinei în punctul de excitaŃie:


Fig. 1.5.44. Receptanta şinei la mijlocul cuponului de şină:


74

Fig. 1.5.45. Receptanta şinei la capătul ‘pasiv’ al cuponului de şină:


Fig. 1.5.46. Rata de descreştere: negru – şină fără amortizoare; roşu – şină cu amortizoare.

Figurile 1.5.43 – 1.5.45 prezintă receptanŃa şinei calculată la cele două capete ale şinei,

la capătul în care se aplică excitaŃia şi la celălalt capăt, denumit ‘pasiv’, precum şi la mijlocul

cuponului de şină. ReceptanŃa a fost calculată atât pentru şina fără amortizoare, cât şi pentru

şina cu amortizoare. Se observă foarte clar efectul amortizoarelor mai ales în zonele de

frecvenŃă, la 166 Hz şi la 1000 Hz.

75

Figura 1.5.46 prezintă rata de descreştere a vibraŃiei de-a lungul şinei pentru cele două

cazuri luate în discuŃie, ‘fără amortizare’ şi ‘amortizare’. Se demonstrează în acest mod

eficacitatea amortizoarelor de şină în domeniul frecvenŃelor medii spre mari, 600-1600 Hz.

Bibliografie

1. Toward M., Thompson, D. J., Laboratory methods for testing the performance of

acoustic rail dampers, Proceedings of the Acoustics 2012 Nantes Conference, 23-27

April 2012, Nantes, France, pp. 3739 – 3744.

2. Toward, M., Squicciarini, G., Thompson, D. J., Gao, Y., Estimating the

performance of rail dampers using laboratory methods ad software predictions, The

11th International Workshop on Railway Noise, 9-13 September 2013, Uddevalla,

Sweden.

3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi analizei cu elemente finite,

Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2003.

4. Sorohan, Şt., Modelare cu elemente finite în analiza dinamică a structurilor, Editura

Matrix Rom, Bucureşti, 2011.

5. Sorohan, Şt., Elemente finite în ingineria mecanică-curs introductiv, Editura

Politehnica Press, Bucureşti, 2015.

1.5.3. Stabilirea şi realizarea corecŃiilor necesare în modelul amortizorului de şină

În raport cu parametrii modelul amortizorului adoptaŃi iniŃial a apărut necesitatea

efectuării următoarelor corecŃii: M1 = 1,3749 kg; M2 = 1,5746 kg; K1 = 43,649 MN/m; K2 =

1,7241 MN/m.

În mod corespunzător, se obŃin frecvenŃele proprii necuplate ale amortizorului:

- frecvenŃa proprie necuplată a corpului exterior – carcasă de cauciuc: ν1o=897 Hz;

- frecvenŃa proprie necuplată a corpului interior ν2o = 166 Hz.

Cu aceste corecŃii a fost recalculată rata de descreştere a vibraŃiilor şinei iar rezultatele

obŃinute sunt prezentate în figurile 1.5.46 pentru plăcuŃe de şină elastice şi în figura 1.5.47

pentru plăcuŃe de şină rigide. Se observă că performanŃele calculate ale amortizorului de şină

nu diferă fundamental de cele iniŃiale.

76

Fig. 1.5.47. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe elastice: negru – şină fără amortizoare,

roşu – şină cu amortizoare acordate la νννν1o = 166 Hz, νννν2o = 897 Hz.

Fig. 1.5.47. Rata de descreştere a vibraŃiei şinei pe plăcuŃe rigide: negru – şină fără amortizoare,

roşu – şină cu amortizoare acordate la νννν1o = 166 Hz, νννν2o = 897 Hz.

77

1.5.4. Definitivarea dimensiunilor amortizorului de şină

Pe baza rezultatelor simulărilor cu elemente finite, au rezultat următoarele dimensiuni

principale:

Dimensiunile carcasei de cauciuc:

- 243 mm lungime;

- 64 mm înălŃime (în planul vertical al tălpii şinei);

- 55 mm lăŃime (la partea superioară a carcasei);

Diametrul exterior al corpului exterior: 48 mm;

Diametrul interior al corpului exterior: 39 mm;

Diametrul exterior al corpului interior: 37 mm;

Diametrul exterior al inelelor de cauciuc: 39 mm;

Diametrul interior al inelelor de cauciuc: 26 mm.

1.5.5. Elaborarea proiectului amortizorului de şină

Pe baza rezultatelor obŃinute, s-a trecut la elaborarea proiectului amortizorului de şină

prezentat în Anexa 5 – Proiectul amortizorului de şină.

Amortizorul de şină are următoarele repere:

- Carcasa de cauciuc – cauciuc cu duritatea Shore 70o – 1 buc;

- Corpul exterior – Ńeavă de oŃel – 1 buc;

- Corpul interior – profil rotund de oŃel – 1 buc;

- Inel interior – cauciuc cu duritatea Shore 70o – 2 buc;

- Capac – profil rotund de oŃel – 2 buc;

- Bilă (de etanşare) – oŃel – 2 buc;

- Şurub (de strângere) – oŃel – 2 buc.

- Ulei mineral – cca. 70 ml.

Masa totală a amortizorului de şină este de cca. 3,4 kg.

În ceea ce priveşte componentele de cauciuc, acestea sunt prevăzute a avea o duritate

Shore 70o, ca un compromis rezonabil între costul acestor componente şi rigiditatea lor. Este

cunoscut că modulul de elasticitate al cauciucului creşte odată cu duritatea Shore şi, prin

78

urmare, o valoare mai mare a durităŃii va asigură o rigiditate mai mare a pieselor de cauciuc.

Pe de altă parte, obŃinerea unei durităŃi mari pentru cauciuc presupune costuri de fabricare mai

mari.

Se menŃionează că s-a optat pentru etanşarea circuitului de ulei cu ajutorul unui sistem

bilă cu strângere pe con pentru fiabilitatea recunoscută a acestui sistem.

Referitor la operaŃiile de confecŃionare, se precizează faptul că prelucrările prin aşchiere

nu sunt pretenŃioase, iar componentele din cauciuc pot fi obŃinute prin matriŃare. Rezultă de

aici posibilitatea reducerii costurilor de producŃie.

1.6. Realizarea amortizorului de şină

Pe baza proiectului amortizorului de şină elaborat în cadrul activităŃii 1.5 a etapei 1, au

fost confecŃionate un număr de 20 de amortizoare (v. fig. 1.6.1.). Acestea au fost realizate de

către S.C. METABET S.A. cu sediul în municipiul Piteşti, în regim de activitate

subcontractată (conform Planului de realizare a proiectului).

Fig. 1.6.1. Amortizoarele de şină.

Cheltuielile cu subcontractarea respectă art. 13.7 din Contractul de finanŃare nr.

76PED/03.01.2017 - nu depăşesc 5% din valoarea finanŃării de la bugetul de stat. Valoarea

celor 20 de amortizoare de şină este de 29988 lei, conform facturii nr. 1701421/27.11.2017

emisă de S.C. METABET S.A., reprezentând 4,998% din valoarea finanŃării proiectului de la

bugetul de stat.

79

Amortizoarele de şină au fost recepŃionate atât din punct de vedere calitativ, cât şi

cantitativ în data de 27.11.2017, conform Procesului Verbal de RecepŃie nr. 617. Din comisia

de recepŃie au făcut parte ing. IonuŃ Gulie – Director Coordonator S.C. METABET S.A. şi

prof.dr.ing. Traian Mazilu – Director de proiect.

Verificarea funcŃionalităŃii şi performanŃelor amortizoarelor de şină se va face în cadrul

Etapei 2 a proiectului - Măsurători pentru testarea funcŃionalităŃii amortizorului de şină şi

verificarea performanŃelor în condiŃii de laborator, care se va derula în perioada 03.01.2018 –

02.07.2018.

RAPORT ŞTIINłIFIC ŞI TEHNIC - ERASMUS Pulse stiintific si tehnic_Etapa 1_2017_76PED.pdf ·...

Documents

Transcript of RAPORT ŞTIINłIFIC ŞI TEHNIC - ERASMUS Pulse stiintific si tehnic_Etapa 1_2017_76PED.pdf ·...