RAPOARTE ŞI PROPORŢII

PROFESOR: TEREZIA MOS

RAPOARTE ŞI PROPORŢIIRaportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie b

aa si b se

numesc termenii raportului.

Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.

Rezolvare:4

3

16

12 4(

b

asau 75,0

16

12

b

a

PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:

d

c

b

a este o proportie, cu extremii a

si d si mezii b si c.

PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:

d

c

b

a daca si numai daca

ad=bc

extremcelalalt

mezilorprodusulextremun

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

EXEMPLU

Aflati x din: 3

5

9

x

.153

45

3

59

x

.

DERIVAREA PROPORŢIILORDerivarea unei proportii cu aceiasi termeni

a) Schimband extremii intre ei

b) Schimband mezii intre ei

c) Inversand rapoartele

2

8

3

12

12

3

8

2

8

12

2

3

12

8

3

2

12

8

3

2

12

8

3

2

Derivarea unei proportii cu alti termeni-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:

-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:

-se aduna/scad la numaratori numitorii:

-se aduna/scad la numitori numaratorii:

-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:

d

c

b

a

d

kc

b

ka

d

c

b

a

d

c

kb

ka

d

dc

b

ba

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

cd

c

ab

a

db

ca

d

c

b

a

ŞIRUL DE RAPOARTE EGALEDaca avem:

p

c

n

b

m

a1.

2.

5.

4.

3.

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

ptnsmr

ctbsar

p

c

n

b

m

a tsr

)))

tpsnrm

tcsbra

p

c

n

b

m

a tsr

:::

:::(((

kkk

kkkkkk

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

.;;; pkcnkbmkakp

c

n

b

m

a

Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE

Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:

1. 2.Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:

Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:

p

d

n

c

m

b

l

a

p

d

n

c

m

b

l

a1111

EXEMPLU:

Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: .3

4

2

1;3 si

RE

ZO

LV

AR

E: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date,

atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:

.3637

12111

1237111

43

12

31

43

12

31

cbacba

Atunci: ;12363

1a ;7236

1

2b .2736

4

3c

.

REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI DIRECT PROPORTIONALE

Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de directa proportionalitate.

A B

4

6

10

2

3 5

25

10

3

6

2

4 x

y

O4 6 10

2

35

.

Reprezentarea grafica a dependentei direct proportionale

REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI INVERS PROPORTIONALE

Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de inversa proportionalitate.

A B

2

3

5

6

4

2,4

124,254362

x

y

O 2 3 5

6

4

2,4

.

P R O C E N T ERapoartele de forma 100

p se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.

EXEMPLE:

4

1

100

25%25

5

2

100

40%40

20(

4

5

100

125%125

25(

Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:

1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 33100

330055

100

6055%60 din

2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?

;18%30 adin ;18100

30a .60

30

1800

30

10018

30(

a

3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:

Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ;1664100

p

.2564

1600

64

10016

64(

p

.

O PROBLEMA CU PROCENTEPretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua

oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?

REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:

Putem folosi formula:100

babap

unde a si b sunt valorile procentuale.

Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.

.51015100

)25(402540

p Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.

2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).

Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.

.60105

6300

105

10063;63

100

105 105(

leixx

3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:

Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%

.84100

840060

100

14060%140 leidin

.

CALCULUL PROBABILITĂŢILOR

posibilecazuridenumarul

favorabilecazuridenumarulateaprobabilit

APLICATII / EXEMPLE:

1. Aruncam un zar. Care este probabilitatea ca numarul de puncte de pe fata de sus a

zarului sa fie un numar prim?

Rezolvare: numerele prime pana la 6 sunt: 2, 3 si 5. Deci sunt 3 cazuri favorabile din 6.

%6060,05

3

posibilecazurinr

favorabilecazurinrP

2. Fie multimea A={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Se aleg la intamplare doua elemente. Care este probabilitatea ca suma celor doua numere sa fie un numar prim?

Rezolvare: Variantele favorabile sunt: 1+2; 1+4; 1+6; 2+3; 2+5; 3+4; 5+6. Total=7.

Variantele posibile sunt: 1+2, 1+3, …,2+3, 2+4,…,5+6. In total sunt 15 cazuri posibile.

)%6(,46)6(4,015

7

posibilecazurinr

favorabilecazurinrP

.

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

APLICATIE PRACTICA Elevii unei clase, in numar de 20, in urma unui test la matematica au obtinut urmatoarele note: nota 4 – 1elev; nota 5 – 2elevi; nota 6 – 4elevi; nota 7 – 5elevi; nota 8 – 3elevi; nota 9– 3elevi; nota 10 – 2elevi.

Sa se reprezinte aceste date intr-un tabel, grafic si diagrama.

NotaNota 44 55 66 77 88 99 1010Nr. eleviNr. elevi 11 22 44 55 33 33 22

4 5 6 7 8 9 10 nota

1

2

3

4

5

nr

elev

i

5%10%

20%

25%

15%

15%

10%

4

5

6

7

8

9

10

.