T R A I A

N

1

RADICALI

Radicalul unui număr pozitiv

Dacă avem , 0, 2,nx a a n n= ≥ ≥ ∈ atunci ecuaţia are o singură rădăcină reală pozitivă care se numeşte radical de ordinul n din a şi se notează n a .

Observaţii: • n se numeşte indicele radicalului • dacă n par şi 0a < atunci n a nu este definit în mulţimea numerelor reale • dacă 2n = atunci notăm doar a şi mai putem citi rădăcină pătrată din a • dacă 3n = atunci notăm 3 a şi mai putem citi rădăcină cubică din a • 0n a ≥ deoarece 0a ≥ • 0 0n =

• ( ) , 0n

nnn a a a a= = ≥

Reţinem: • radicalul cu indice par se poate calcula doar din numere pozitive. • ecuaţiile binome de grad par de forma 2 *, 0,kx a a k= ≥ ∈ au rădăcinile

reale 2kx a= ± Radicalul unui număr negativ

Dacă avem , 0, 2,nx a a n n= < > ∈ şi n impar atunci ecuaţia are o singură rădăcină reală negativă care se numeşte radical de ordinul n din a şi se notează n a .

Observaţii: • n se numeşte indicele radicalului • dacă n par şi 0a < atunci n a nu este definit în mulţimea numerelor reale • dacă 3n = atunci notăm 3 a şi mai putem citi rădăcină cubică din a • 0n a < deoarece 0a < şi n impar

• ( ) , 0n

nnn a a a a= = < şi n impar

Reţinem: • radicalul cu indice impar se poate calcula din orice numere reale. • ecuaţiile binome de grad impar de forma 2 1 , ,kx a a k+ = ∈ ∈ au rădăcina

reală 2 1kx a+= Proprietăţi:

Pentru n par • ,nn a a a= ∈ • , 0n n na b ab a b⋅ = ≥ • ,n n nab a b a b= ⋅ ∈

• 0, 0n

nn

a a a bbb

= ≥ >

T R A I A

N

2

• , , 0n

nn

aa a b bb b= ∈ ≠

• ( ) , 0,m

mnn a a a m= ≥ ∈

• , 0,n m n ma a a m⋅= ≥ ∈

• ,mm nn a a a m⋅ = ∈ ∈

• m n m nn m m n n mn ma b a b a b⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ • , , , 0nn na b a b a b b= ∈ ≥ • , 0, 0n na b a b a b< ⇒ < ≥ ≥

Pentru n impar • ,nn a a a= ∈ • ,n n na b ab a b⋅ = ∈ • ,n n nab a b a b= ⋅ ∈

• , , 0n

nn

a a a b bbb

= ∈ ≠

• , , 0n

nn

a a a b bb b= ∈ ≠

• ( ) , ,m

mnn a a a m= ∈ ∈

• , ,n m n ma a a m⋅= ∈ ∈

• ,m n mn a a a m⋅ = ∈ ∈

• m n m nn m m n n mn ma b a b a b⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ • , ,nn na b a b a b= ∈ • n na b a b< ⇒ <

Reţinem: • adunarea şi scăderea se efectuează numai cu radicali asemenea • înmulţirea şi impărţirea se efectuaează numai dacă radicalii au acelaşi

indice Radicali compuşi

2 2, , 0, 0, 02 2

a c a ca b c a b a b a b+ −± = ± = − ≥ ≥ − ≥

Observaţie: • este indicat să observăm o restrângere a unui binom sub radical şi să

aplicăm formula ( )2p r p r± = ± Raţionalizarea numitorului

T R A I A

N

3

Dacă E este o expresie care conţine radicali vom spune că expresia F este conjugata expresiei E dacă produsul E F⋅ nu conţine radicali. Expresiile E şi F se vor numi expresii conjugate.

Observaţie: • raţionalizarea numitorului se efectuează prin amplificarea fracţiei cu

expresia conjugată numitorului

Exemple de expresii conjugate:

Puteri cu exponent raţional

• p

pn na a= Inegalitatea mediilor

• , ,2

a b ab a b ++

≥ ∀ ∈

• 3 , , ,3

a b c abc a b c ++ +

≥ ∀ ∈

• 1 21 2 1 2

... ... , , ,...,n nn n

x x x x x x x x xn +

+ + +≥ ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈

Exerciţii: 1. Scrieţi următori radicali ca puteri cu exponent raţional :

a) 23) 3i 3) 7ii 3 10) 11iii 3 2011) 4iv

b) 24) 5i 4) 4ii 114) 11iii 20114) 3iv

c) 25)i x 6)ii x 7 11)iii z 20114)iv y 2. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) 2) 4i x = 2) 3 5ii x = 2) 10iii x = 2) 1iv x = −

E F E.F mn a n mn a − a

a k b− a k b+ 2 2a k b− k a b− k a b+ 2 2k a b− a k b− a k b− 2a k b−

3 3a b+ 2 23 33a ab b− + a b+ 3 3a b− 2 23 33a ab b+ + a b−

3 a k+ 2 23 3a k a k− + 3a k+ 3 a k− 2 23 3a k a k+ + 3a k−

3k b+ 2 233k k b b− + 3k b+ 3k b− 2 233k k b b+ + 3k b−

n na b− 1 2 3 2 2 1...n n n n nn n n n na a b a b ab b− − − − −+ + + + + a b− n na b+ 1 2 3 2 2 1...n n n n nn n n n na a b a b ab b− − − − −− + − − + a b+ , n impar

T R A I A

N

4

b) 4) 81i x = 6 1)64

ii x = 22) 1iii x = 2012) 5 1iv x = −

c) 4 8)625

i x = 8) 6ii x = 24) 11iii x = 2012) 2011iv x =

3. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) ( )2) 1 9i x + = ( )2) 1 25ii x − = ( )2) 2 3iii x − = ( )2) 3 1iv x − = −

b) ( )4) 2 1 256i x − = ( )6) 3 729ii x− = 2012

) 5 12xiii − =

( )2012

) 3 1iv x = −

c) ( )4) 1 16i x − = ( )8) 2 6ii x = ( )24) 1 10iii x − = ( )2012) 1 2iv x− = 4. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) 3) 8i x = 3) 2 54ii x = 3) 8iii x = − 3) 125iv x = −

b) 5) 32i x = 7) 128ii x = − 23) 1iii x = − 2011) 1iv x = −

c) 3 8)27

i x = − 9) 6ii x = − 23) 11iii x = 2011) 2012iv x = −

5. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) ( )3) 1 64i x + = − ( )3) 1 125ii x − = − ( )3) 2 216iii x − = ( )3) 3 1iv x − = −

b) ( )5) 2 1 32i x − = − ( )5) 3 243ii x− = 2011

) 1 12xiii − =

( )2011) 7 1iv x = −

c) ( )11) 1 2048i x − = ( )5) 2 6ii x = ( )27) 1 10iii x − = ( )2011) 1 2iv x− = − 6. Aflaţi valorile lui x pentru care radicalii următori sunt definiţi :

a) ) 3i x − ) 5ii x− ) 2 3iii x− 1)ivx

b) ( )( )4) 1 3i x x− + 26) 9ii x − 210) 3 2iii x x− + 3 33) 2 1iv x x− − +

c) 2)

3i

x −

5)3

xiix

−−

2

41)2

xiiix−+

3

1)8

xivx−−

7. Aduceţi expresiile la o forma mai simplă :

a) ( ) ( ) ( )2 2) 2 3 , 3,2i x x x− + + ∈ − ( ) ( ) ( )2 44) 1 2 , 2,1ii x x x− + + ∈ −

b) ( ) ( ) ( )2 2) 2 5 , 5, 2i x x x+ + + ∈ − − ( ) ( ) ( )2 66) 5 4 , 4,5ii x x x− + + ∈ −

c) ( ) ( )8 22 1058) 1 1 1i x x x x x+ + − − − > ( ) ( )162 8416) 3 2 , 1,2ii x x x x− + − + ∈

8. Introduceţi factori sub radicali : a) ) 3 2i ) 2 3ii − 4) 3 2iii − 3) 2 3iv

b) 5) 2 3i 6) 2 5ii − 3) 3 2iii − ) 3 3iv

c) ) 3i x 4) 2ii x 3) 5iii x )iv x x 9. Scoateţi factori de sub radicali :

a) ) 20i 3) 40ii 4) 2500iii 3) 81iv

T R A I A

N

5

b) 5) 625i 6) 128ii 3) 432iii 5) 96iv

c) 6) 320i 4) 100000ii 3) 2250iii 5) 486iv 10. Aduceţi la acelaşi indice radicalii::

a) 4) 3, 4i 3) 3, 7ii 4 6) 2, 3iii 4 6) 2, 3iv

b) 63) 5, 4i 4) 4, 2ii 3 6) 4, 7iii 5 4) 2, 3iv

c) 8) 2, 8i 124) 3, 4ii 12 6) 2, 10iii 43 6) 3, 4, 6iv 11. Scrieţi în ordine crescătoare numerele::

a) 8) 2, 1, 8i 3 4) 4, 3, 5ii 34 6) 2, 4, 10iii 3 64) 2, 3, 5iv

b) 3 6) 3 2, 9, 8i 43) 3, 4, 2ii 3 64) 5, 4, 7iii 3 64) 20, 30, 50iv

c) 5 3) 2, 2, 2i 3 4) 4, 3, 5ii 34 6) 2, 4, 10iii 3 64) 2, 3, 5iv 12. Calculaţi:

a) 3) 2 4i ⋅ 3) 4 : 2ii 4) 2 2iii ⋅ 46) 32 : 2iv

b) 3 6) 4 : 8i ( )254) 3 243ii ⋅ 3 6) 20 : 100iii 5 10) 96 : 48iv

c) 36) 320 : 4i 4 12) 6 : 216ii 6 3) 2250 : 15iii 15 5) 486 : 3iv 13. Calculaţi :

a) 3 3 34 4 4. 48 243 2 3 . 16 40 2 250i ii− + − +

b) 345 5 3 3. 64 486 2 . 81 24 375i ii− + − +

c) 4 3 3 34 4. 162 32 2 . 40 135 1080i ii− + − + 14. Calculaţi :

a) ( )( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3 3. 1 7 1 7 49 . 81 72 64 9 8i ii− + + − + +

b) ( )( ) ( )( )3 3 3 33 3 3 3. 1 2 1 2 4 . 25 20 16 5 4i ii− + + − + +

c) ( )( ) ( )( )3 3 33 3 3 3 3. 1 3 1 3 9 . 4 12 36 6 2i ii+ + + + + −

15. Calculaţi :

a) . 6 20 . 5 2 6i ii− + . 3 8 . 30 12 6iii iv− +

b) 4 4. 17 288 . 28 16 3i ii+ − 4. 56 24 5iii +

c) 26 6 13 4 8 2 6 2 5 26 6 13 4 8 2 6 2 5+ − + − + − + − +

16. Arătaţi că yz ∈ ştiind că , ,x y z∈ şi:

a) 2 3 2 3 2 0x y z+ − − − =

b) 4 15 4 15 6 0x y z+ − − − =

c) 6 35 6 35 10 0x y z+ − − − = 17. Arătaţi că:

a) [ ]2 1 2 1 2 1,2x x x x x+ − + − − = ∀ ∈

b) [ ]4 4 4 4 4 0,4x x x x x+ − + + + = ∀ ∈

T R A I A

N

6

c) [ ]3 4 1 8 6 1 1 5,10x x x x x+ − − + + − − = ∀ ∈ 18. Arătaţi că:

a) 3 3. 2 5 2 5 1i + + − = 3 3. 7 5 2 7 5 2 2ii + + − =

b) 3 3. 9 80 9 80 3i + + − = 3 3. 10 6 3 10 6 3 2ii + + − =

c) 3 3 3 3. 5 2 13 5 2 13 1 . 26 15 3 26 15 3 4i ii+ + − = + + − = 19. Calculaţi valorile reale ale expresiei E dacă:

a) 3 3

3 33 3

5 53 9 3 93 3

E = + + − − + +

b) 3 35 52 5 52E = + − − +

c) 3 39 4 5 9 4 5E = + + − 20. Calculaţi E(t) dacă:

a) ( ) 3 3 2 3E x x x= + + şi 3 32 3 2 3t = − − +

b) ( ) 3 12E x x x= + şi ( ) ( )3 34 5 1 4 5 1t = + − −

c) ( ) 3 6 2011E x x x= − + şi ( ) ( )3 32 2 2 2 2 2t = − + +

21. Determinaţi conjugatele următoarelor expresii : a) ) 3 2i E = − ) 5 2 3ii E = + ) 2 5 3 2iii E = − ) 3 2 2 3iv E = −

b) 33) 6 2i E = − 33) 7 2ii E = + 3) 5 9iii E = + 33) 2 5 2iv E = −

c) 3 3 3) 4 6 9i E = − + 3 3 3) 16 20 25ii E = + + 3 3) 4 2 11 121iii E = + + 22. Raţionalizaţi :

a) 2)2

i 3)3

ii 5)5

iii 6)6

iv 9)

2 3v

3)5 6

vi

b) 3

1)5

i 3

5)7

ii 3

1)3

iii 23

1)7

iv 4

1)2

v 5 3

1)2

iv

c) 3

3)2 3

i 3

5)3 2

ii 3

2)5 5

iii 23

1)3 5

iv 4

1)3 2

v 5 3

1)2 2

iv

23. Raţionalizaţi :

a) 5)

3 2i

+

8)7 3

ii−

3)

5 2iii

−

6)10 2 3

iv+

b) 7)

3 2i

+

37)7 2 3

ii−

3)

5 2iii

−

6)7 2 3

iv+

c) 7)

3 5 2i

+

2)7 2 2 3

ii−

3)

2 5 3 2iii

−

6)3 2 2 3

iv+

24. Raţionalizaţi :

a) 33

1)5 2

i+

33

5)7 2

ii−

3 3

1)2 3

iii−

3 3

1)2 5 3

iv+

T R A I A

N

7

b) 3

1)1 2

i+

3

5)3 2

ii−

3

1)2 3

iii−

3

1)2 5 3

iv+

c) 33

1)2 3 3 2

i+

33

1)3 3 2 2

ii−

3 3

1)2 5 3 3

iii+

3 3

1)3 5 2 3

iv−

25. Raţionalizaţi :

a) 32 23 3

1)5 10 2

i+ +

32 23 3

1)7 14 2

ii− +

2 23 33

1)5 15 3

iii+ +

b) 3 3 3

1)4 6 9

i+ +

3 3 3

1)16 20 25

ii− +

33 3

1)49 42 36

iii− +

c) 3 3

1)1 3 9

i+ +

3 3

1)1 5 25

ii− +

3 3

1)4 2 5 25

iii− +

Ecuaţii iraţionale

26. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :. a) . 1 2 2 0 . 2 4 2 0i x x ii x x− + − = − + − =

b) 2 2. 1 1 0 . 2 4 0i x x ii x x− + − = − + − =

c) 2 264. 3 9 0 . 2 1 4 1 0i x x ii x x− + − = − + − = 27. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) . 5 4 0 . 3 2 0i x x ii x x− + = − + =

b) . 10 9 0 . 4 3 0i x x ii x x+ + = + + =

c) . 4 1 4 0 . 9 1 7 0i x x ii x x− + + = − − + = 28. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) . 3 6 3 7 0i x x− − − + = . 1 4 1 3 0ii x x+ − + + =

b) . 1 1 2 0i x x+ + + − = . 1 9 1 8 0ii x x− − − + =

c) . 2 13 3 12 0i x x− − − + = . 2 19 2 18 0ii x x− − − + = 29. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) ( )( ). 2 3 2 0i x x x− − + = ( )( ). 3 1 5 6 0ii x x x− − + =

b) ( )( ). 1 2 13 12 0i x x x− − + = ( )( ). 5 2 7 12 0ii x x x− − + =

c) ( )( ). 3 1 13 36 0i x x x− − + = ( )( ). 2 1 7 10 0ii x x x− − + =

30. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) 3 2 3 25 5 7 75 7. 1 0 . 2 2 0i x x x ii x x x− + − = − + − =

b) 3 38 48 4. 3 2 0 . 2 0i x x ii x x− + = + − =

c) 3 38 48 4. 3 4 0 . 2 3 0i x x ii x x+ − = + − = 31. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) . 3 2 2 0i x− + = . 2 3 2 1ii x− + =

T R A I A

N

8

b) . 3 8 1i x − − = . 3 2 7 1ii x − − = −

c) 2. 3 2 2 0i x x− + − = 2. 5 6 2 0ii x x− + − = 32. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) . 10 4 1 . 7 5i x x ii x x− = − − = −

b) . 4 2 0 . 9 3i x x ii x x− + − = − + =

c) . 8 2 4 0 . 9 3 2 1i x x ii x x− − − = − − + = 33. Rezolvaţi următoarele ecuaţii în :

a) i. 2 3 2 0x x x− + − = 2. 5 6 0ii x x x− + − =

b) i. 24 3 1 0x x x− − + − = 2 2. 6 3 1 0ii x x x x− + − + + =

c) i. 225 2 0x x− − − = 2 2. 2 6 1 0ii x x x x− − − − + = 34. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 24 4 12 2 2 16x x x x+ + − + = + −

b) 25 5 6 2 25x x x− + + + = −

c) 21 3 4 2 2 2 3x x x x x− + + − = − − + − 35. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 6 1 2 16 1

x x xx x+ + +

= −+ − +

b) 3 2 1

5 23 2x x

xx x− + −

=−− − −

c) 2

2

2 3 9 4 532 3 9 4

x x xx x+ + −

=+ − −

36. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 2 23 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + =

b) 2 22 13 2 6 1x x x x+ + − + + =

c) 2 23 3 3 6 3x x x x− + − − + = 37. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 2 2 24 3 3 2x x x x x x− + + − + − = −

b) 2 2 22 3 2 2 3 2 7 8x x x x x+ + + − + = +

c) 2 22 3 5 2 3 5 3x x x x x+ + + − + = 38. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 4 2 1 4x x+ = + +

b) 2 1 2 3x x− = + +

c) 5 3 7 1x x− = + + 39. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 22 3 2 1 1x x x− + = − +

b) 23 5 4 2 2x x x− − = − +

T R A I A

N

9

c) 22 3 2 1 1x x x− − = + + 40. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) . 2 3 1 . 2 3 3 0i x x ii x x− + − = + + − =

b) . 3 2 1 5 . 4 6 2i x x ii x x+ − + = − − − =

c) . 1 3 2 2 . 4 4 1i x x ii x x− − + = − − − = 41. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) . 2 14 4 26 . 3 9 2i x x x ii x x x+ + + = + − − + = +

b) . 2 1 1 2 5 . 1 3 2i x x x ii x x x− − − = − − − + = −

c) . 2 3 5 . 2 2 2 3 2 5i x x x ii x x x− + − = + − + − = + 42. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 2 2

1 1 12 2x x x x

− =− − + −

b) 2 2

1 1 3x x x x x x

− =− − + −

c) 2 2 2 2

2 2 2 2x x

x x+ −

+ =+ + − +

43. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 5 4 1 10 6 1 1x x x x+ − + + + − + =

b) 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =

c) 2 1 2 1 1x x x x x+ − + − − = − 44. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 11 11 4x x x x+ + − − + =

b) 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − =

c) 2 2 2x x x x− − + + − = 45. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 1 2

1x x

x x+

− =+

b) 12 3

1x x

x x+

− =+

c) 9 4 4

9x x

x x+

+ =+

46. Rezolvaţi următoarele ecuaţii : a) 3 32 1 1 1x x− + − =

b) 3 37 2 1x x− − + =

c) 3 31 7 2x x+ + − = 47. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) ( )3 3 32 3 12 1x x x+ − = −

T R A I A

N

10

b) 3 3 31 1 5x x x+ + − =

c) 3 3 37 2 0x x x− − + + = 48. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) ( ) ( ) ( )( )2 23 3 32 7 2 7 3x x x x− + + − − + =

b) ( ) ( ) ( )( )2 23 3 38 27 8 27 7x x x x− + + − − + =

c) ( ) ( ) ( )( )2 23 3 37 2 7 2 7x x x x− + + + − + = 49. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 3 3. 24 12 6 . 1 8 1i x x ii x x+ + − = − − − =

b) 3 3. 2 1 3 . 1 6 3i x x ii x x− + + = + − − =

c) 233. 5 3 2 . 1 2 1 2i x x ii x x x− + − = + + + + = 50. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 236 3. 1 1 0x xi x x− −− + + =

b) 2 2 21 2 1 2 1 2 8 3x y y z z x x y z xyz+ − + − + − + + =

c) ( ) 53 1 8 3 2x xx x x x− − − =

51. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) ( )11 22

x y x z y z− + − + − = +

b) 3 2 8 6 14x y x y+ + − + − =

c) 2 3 10 2 7 17x y x y+ + − + − = 52. Demonstraţi inegalităţile :

a) *3 , , ,x y z x y zy z x ++ + ≥ ∀ ∈

b) *4 , , , ,x y z t x y z ty z t x ++ + + ≥ ∀ ∈

c) *1 2 3 2010 20111 2 2011

2 3 4 2011 1

... 2011 , , ,...,x x x x x x x xx x x x x ++ + + + + ≥ ∀ ∈

53. Demonstraţi inegalităţile : a) 3 3 2 ,x x x +≥ − ∀ ∈

b) 6 6 5 ,x x x +≥ − ∀ ∈

c) 2010 2010 2009 ,x x x +≥ − ∀ ∈ 54. Demonstraţi inegalităţile :

a) ( )( )3 3 2 24 , ,x y x y x y x y ++ + ≥ ∀ ∈

b) ( )( )2 2 2 9 , , ,x y z x y z xyz x y z ++ + + + ≥ ∀ ∈

c) ( )( )3 3 3 3 16 , , , ,x y z t x y z t xyzt x y z t ++ + + + + + ≥ ∀ ∈

55. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

T R A I A

N

11

a) 22 2 1x y z x y yz x− − + − + = − unde , ,x y z +∈

b) 2 33 2 1x y z t x t yzt x− − − + − + = − unde , , ,x y z t +∈

c) 2 44 2 1x y z t p x p yztp x− − − − + − + = − unde , , , ,x y z t p +∈

56. Rezolvaţi următoarele ecuaţii ştiind că ,x y +∈ :

a) ( )3 33 1 2x xy y− − + =

b) ( )13 1313 1 2x xy y− − + =

c) ( )2011 20112011 1 2x xy y− − + = 57. Rezolvaţi următoarele ecuaţii :

a) 3 33 1xy x y− − = , ,x y +∈

b) 4 4 44 1xyz x y z− − − = , , ,x y z +∈

c) 5 5 5 55 1xyzt x y z t− − − − = , , , ,x y z t +∈