Curs 6 – Relatii de cointegrare

Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme sau mai tarziu se va intoarce la medie (mean reversion). Intuitiv inseamna ca cele doua serii de timp sunt intr-o relatie de echilibru relativ pe termen lung.

1. Integrare si cointegrare

Notiunile de integrare si cointegrare sunt folosite

indeosebi in finantele cantitative dar si in cosmologie sau in

biologie (exemplu: echilibrul pe termen lung intre anumite

elemente climatice si dinamica populatiei unei specii dintr-o

regiune geografica). Tehnicile de detectie a acestor relatii de

echilibru insa se pot aplica oricarei perechi de semnale, atata

timp cat existenta unei astfel de proprietati de tip “long term

equillibrium” merita investigata.

Tipul de intrebari la care putem raspunde cautand

aceste relatii sunt:

• In perioada 1780 – 1850, ce a cauzat revolutia

industriala in Marea Britanie ? a) Exporturile; b)

Demografia; c) Progresul tehnologic sau d) alti factori.

• Exista vreo legatura intre temperatura apei si

concentratia de plancton dintr-o anumita regiune a

oceanelor ?

• Exista o relatie de cointegrare intre pretul aurului si

pretul argintului ? Dar intre pretul aurului si pretul

diamantelor ?

Raspundem acestor intrebari legate de existenta unui

echilibru pe termen lung intre doua semnale (serii de timp)

dar si de perspectiva unei relatii de cauzalitate in acest curs,

urmand ca problema cauzalitatii sa fie detaliata in cursul

urmator.

Integrare

Spunem ca o serie de timp x[n] este integrata de ordin 0

daca:

(1)

In general spunem ca o serie este integrata de ordin p

daca seria de timp

(1-L)Px[n] (2)

este integrata de ordin 0, unde L este operatorul lag

(intarziere):

(1-L) x[n] = x[n]-x[n-1] (3)

Cum se creaza o serie integrata de ordin p ?

Fie aceasta serie z[n]. Ca sa fie integrata de ordin p,

trebuie ca z[n]-z[n-1] sa fie integrata de ordin p-1. Cea mai

simpla varianta de a satisface aceasta conditie este ca z[n] sa

fie o suma de n termeni ai unei serii de timp integrate de

ordin p-1, astfel incat z[n]-z[n-1] =x[n].

Asadar ca sa construim o serie integrata de ordin p,

intuitiv este necesar ca pornind de la o serie integrata de

ordin 0 sa construim iterativ serii integrate de ordin 1,2…p.

Sa luam un exemplu:

Fie x[n] o serie integrata de ordin 0 (stationara) si dorim

sa construim o serie integrata de ordin 2.

1) Construim

2) Aratam ca z[n] este integrata de ordin 0. Intr-adevar,

seria

(1-L)z[n] = z[n]-z[n-1] = x[n] este integrata de ordin 0.

3) Construim

Aratam ca (1-L)y[n] este integrata de ordin 1:

(1-L)y[n] = y[n]-y[n-1] = z[n] este integrata de ordin 1.

Am obtinut astfel y[n] integrata de ordin 2.

Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile

practice ?

Daca gasim ca doua serii de timp sunt integrate I(1),

atunci intre ele poate exista o relatie de echilibru pe termen

lung (cointegrare).

Cointegrare

Conceptul de cointegrare a fost introdus de Granger

(1983), Granger and Weiss (1983), Engle si Granger (1987).

Notiunea a fost larg acceptata si este o unealta de actualitate

folosita in finantele cantitative.

Cointegrarea este o proprietate a seriilor de timp non-

stationare (care nu sunt integrate de ordin 0, intuitiv: care au

trend). Spunem ca doua serii de timp integrate de ordin 1

sunt cointegrate daca o combinatie liniara a celor doua este

stationara (integrata de ordin 0), desi fiecare din ele nu este

stationara. Fie x[n]si y[n] doua serii de timp non-stationare

integrate de ordin 1.

Cele doua serii sunt cointegrate daca

z[n]= a x[n] + b y[n] (4)

are medie C si deviatie standard σ. De obicei in aplicatii se

aleg a si b astfel incat C sa aiba medie 0.

In sensul general, extindem definitia pentru serii de timp

integrate de ordin p:

Definitie: Doua serii de timp x[n] si y[n] integrate de

ordin p sunt cointegrate daca exista o combinatie liniara

z[n] = a x[n] + b y[n] integrata de ordin mai mic decat p.

Intuitiv, daca doua serii de timp sunt cointegrate, atunci

exista factori fundamentali care le afecteaza componenta

non-stationara (trend) pe termen lung in mod egal, si atunci

cele doua serii de timp sub influenta aceluiasi factor

fundamental se vor ajusta la un echilibru relativ (combinatia

lor liniara se va intoarce la 0).

Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile

practice ?

Fie pretul aurului : x[n] si pretul argintului: y[n].

De obicei pretul acestor metale se exprima in dolari:

x[n] = 98

y[n]= 105

Daca exista o combinatie liniara care ‘scaleaza’ x[n] in

raport cu y[n] astfel incat diferenta (mai este numita si

spread) este stationara:

Spread[n] = x[n]*a - y[n]

sa aiba medie 0 si deviatie standard constanta, atunci

aceasta relatie va exprima supra-evaluarea sau sub-evaluarea

pretului argintului relativ la pretul aurului. Spre exemplu: sa

presupunem ca in 2014 se vor demara operatiuni de

extragere a argintului de pe fundul oceanelor din globuli

metalici. Cu o viteza destul de mare piata va reactiona si

pretul argintului x[n] va scadea brusc fata de pretul aurului, la

un minim de diferenta relativa astfel incat

Spread[n] la un moment dat sa fie -100$, fata de

deviatia standard istorica σ=50$.

Acest eveniment este destul de rar sa se intample, dar

se poate intampla. Probabilitatea ca Spread[n] sa depaseasca

(in modul) valoarea 2σ este:

P(|spread[n]|>2σ)= 1 - 0.9544997 = 0.0455, adica sub

4.55%.

(v. http://mathworld.wolfram.com/ConfidenceInterval.html)

Ulterior acestei scaderi dramatice a pretului argintului,

urmeaza o perioada de disipare a informatiei la nivel global.

Participantii la piata realizeaza ca s-ar putea ca sa se gaseasca

intr-o buna masura si zacaminte de aur, deci pretul aurului

incepe sa scada si el, si Spread[n] creste inapoi spre 0. Este

doar o chestiune de timp pana cand cererea si oferta vor face

ca pretul celor doua metale sa se ajusteze astfel incat

Spread[n] sa se apropie de 0.

De notat ca pretul in general este integrat de ordin 1,

deci Spread[n] va fi stationar cu medie 0 (daca constantele

din expresia sa se aleg corect) si deviatie standard σ.

Cointegrare si cauzalitate

Engle si Granger (1987) demonstreaza ca daca doua serii

de timp sunt I(1) integrate si intre ele exista o relatie de

cointegrare de ordin 1, atunci variatia unei serii de timp intr-

o anumita directie va cauza o variatie in cealalta serie de timp

in aceeasi directie. Engle si Granger insa nu specifica directia

cauzalitatii : x[n] cauzeaza y[n] sau invers.

Daca insa cele doua serii de timp x[n] si y[n] sunt I(1) dar

intre ele nu exista relatie de cointegrare, atunci relatiile de

cauzalitate se pot determina daca:

1) Aplicam (1-L)x[n] si (1-L) y[n] astfel incat sa

transformam seriile de timp in serii cu diferente, adica

serii stationare

2) Testam ipoteze de tip daca X=a atunci Y=b, unde X si Y

sunt vectorii de stare in phase space-ul reconstruit al

seriilor (1-L)x[n] si (1-L)y[n].

Acest tip de cauzalitate (in lipsa relatiei de cointegrare)

poate fi determinata doar pentru un numar finit de situatii si

se numeste cauzalitate “intamplatoare” (spurious causality).

Existenta relatiei de cointegrare poate stabili relatia de

cauzalitate peste intreg domeniul de variatie al celor doua

serii de timp.