PROVOCAREA LUI

WILHELM TELL

Profesor Cătălina Stanca

Colegiul Naţional „Alexandru Ioan Cuza”, Galaţi

„Provocarea lui Wilhelm Tell” se doreşte, o incursiune experimentală în studiul mişcării

corpurilor, în observarea fenomenelor care apar ca urmare a acţiunii forţei de rezistenţă cu aerul

şi nu numai. În experimente propuse accentul cade pe observarea şi interpretarea fenomenelor

urmărindu-se raportarea elevului la mediul în care trăieşte.

Scurtă introducere

Figura atât de populară a lui Wilhelm Tell, din care istoria, legenda şi literatura au făcut un simbol al eroismului revoluţionar şi patriotic, constituie centrul unui episod care a dat naştere naţiunii elveţiene. Prin actul său rebel, Tell a provocat revolta cantoanelor rurale împotriva dominaţiei austriece, revoltă ce a stat la originea independenţei şi unificării lor. Wilhelm Tell era un vânător ce a trăit în timpul imperiului Habsburgic. Ţinutul în care locuia familia Tell era condus de lordul Guessler. Acesta era un conducător aspru şi orice greşeală săvârşită de vreo persoană din ţinut era cumplit pedepsită. Conducătorul obişnuia să dea ordine tututor supuşilor săi şi aceştia erau nevoiţi să le execute fără să se opună. Existau oameni, puţini cei drept, care nu se supuneau orbeşte. Un astfel de exemplu ni-l oferă chiar Wilhlem Tell.

2

În cadrul unei întreceri cu arcul, vânătorul nu a vrut să respecte regulile greşite impuse de lordul Guessler, motiv pentru care a fost arestat şi trimis în închisoare. Demn de remarcat au fost vorbele ce au ajuns la urechile lui Guessler cum că Wilhelm ar fi foarte priceput în arta mânuirii arcului. Speriat de faptul că cineva l-ar putea întrece pe conducătorul ţinutului şi să-i submineze în acest fel autoritatea, lordul a decis să poarte o discuţie cu prizonierul. Wilhelm, fiind din fire un om foarte mândru nu a negat vorbele care circulau pe baza iscusinţei lui, ba din contră chiar a recunoscut acest lucru. Aceast lucru l-a iritat şi mai mult pe Guessler, dar totodată i-a dat o idee privind pedeapsa pe care trebuia să o îndure Wilhelm. Aşadar, lordul i-a propus un „joc” : să ţintească un măr de la o distanţă foarte mare. Însă, „surpriza” acestuia a fost faptul că, acel măr se afla chiar pe capul mezinul lui Wilhelm Tell, Walter. La inceput el a refuzat acest lucru cu încăpăţânare, dar s-a lăsat convins datorită ameninţării lordului: orice refuz din partea lui Wilhelm, ar fi dus la încercarea de a ţinti din partea ostaşilor lordului. Astfel, a doua zi, dimineaţa, Wilhelm Tell a fost nevoit să ţintească mărul de pe capul lui Walter. Nu era sigur de reuşita sa, dar soarele care strălucea pe cer i-a dat curaj alungându-i toate temerile. Lordul Guessler nu s-a oprit aici. A aşezat băiatul la 150 de paşi, pentru că, aşa spuneau oamenii din ţinut, când vorbeau de distanţa la care putea ajunge săgeata. Legenda povesteşte că o mare de oameni s-a adunat atunci în piaţă să vadă isprava lui Wilhelm Tell. Şi mare le-a fost mirarea când au văzut că iscusitul vânător reuşeşte să ţintească mărul, fără să provoace niciun rău copilului. Această poveste ne-a atras atenţia şi ne-a captivat. Wilhelm Tell trebuia să arunce săgeata sub un anumit unghi pentru ca aceasta, în mişcare, să lovească exact locul în care se afla ţinta. Aşa am început să analizăm câteva aspecte care să ne ajute să pătrundem în explicaţia mişcării săgeţii prin aer.

3

Capitolul 1: Problema mişcării săgeţii

Pentru început analizăm mişcarea unui corp de masă m lansat oblic. În ipoteza

neglijării rezistenţei aerului mingea este supusă doar acţiunii propriei greutăţi. Mişcarea

se efectuează în plan vertical, de aceea o putem raporta la un sistem de 2 axe (xOy) a

cărui origine coincide cu poziţia iniţială a corpului.

La momentul iniţial viteza mobilului face unghiul α cu orizontala, proiecţiile sale pe axe fiind:

cos0vvox şi sin0vvoy .

Ecuaţiile proiecţiilor vitezei la un moment oarecare t se obţin ţinând cont de caracterul rectiliniu şi

uniform al deplasării pe orizontală şi uniform variat pe verticală:

cos0vvv oxx

gtvv y sin0

Figura 1 Traiectoria mobilului

în mişcarea pe oblică

iar coordonatele poziţiei momentul t vor fi:

cos)( 0tvtx

2

sin)(2

0

gttvty , eliminând t între cele 2 ecuaţii obţinem ecuaţia traiectoriei descrisă de corpul

aflat în mişcare pe oblică:

2

22

0 cos2x

v

gxtgy

, care reprezintă o porţiune de parabolă conţinută în planul determinat de x

şi y.

Ştiind că timpul total scurs din momentul aruncării până la atingerea solului este g

vt

sin2 0 putem

calcula înălţimea maximă la care ajunge corpul şi distanţa parcursă de acesta pe orizontală – bătaia.

g

vh

2

sin 22

0max

şi

g

vb

2sin2

0

După cum reiese din ultima ecuaţie, bătaia depinde de mărimile iniţiale v0 şi α.

4

Am încercat să analizez în continuare două aspecte pornind de la legendă:

Dacă lordul Guessler nu dorea ca Wilhelm Tell să nimerească ţinta a aşezat-o la o

distanţă foarte mare, ceea ce presupunea că trebuia să ţintească sub un anumit unghi pentru

ca distanţa parcursă pe orizontală să fie mare, deci maximă. Legenda spune chiar că Walter

era aşezat în capătul celălalt al pieţii. În ce condiţii obţinem bătaie maximă?

Există şi rezistenţa întâmpinată de corp din partea aerului, ceea ce duce la

modificarea formei traiectoriei. Cum influenţează rezistenţa aerului forma traiectoriei?

1. Pentru o viteză iniţială dată v0, bătaia va avea cea mai mare valoare când sin2α = 1, deci când

α = 450. Valoarea distanţei va fi

g

vb

2

0max . Pe de altă parte, pentru unghiuri diferite de 45

0, deoarece

sin2α = sin2(900-α), rezultă că pentru aceeaşi viteză iniţială dată, bătaia are aceeaşi valoare pentru 2

unghiuri complementare. Sunt deci două traiectorii pe care se poate deplasa corpul pentru a ajunge la

aceeaşi distanţă de locul de aruncare.

Figura 2 Traiectoriile celor două

mişcări având aceeaşi viteză iniţială

2. Datorită rezistenţei aerului bătaia şi înălţimea de zbor se micşorează. Traiectoria mişcării nu mai

este o parabolă, ci o curbă numită curbă balistică. Caracteristicile curbei balistice depind de forma

şi dimensiunile corpului aruncat.

Figura 3 Traiectorii de mişcare

(fără să luăm în discuţie

rezistenţa aerului/ cu rezistenţa

aerului)

5

Verificarea experimentală a ipotezelor presupune mai multe etape.

Identificarea unei metode pentru determinarea vitezei iniţiale a corpului.

Obţinerea unui set de valori (unghi de aruncare, bătaie) pentru aceeaşi viteză iniţială.

Realizarea unui grafic pentru aceste valori.

1.1 Determinarea vitezei iniţiale a corpului (săgeţii)

Determinarea vitezei iniţiale a corpului, presupune utilizarea dispozitivului numit „Photogate”.

Cu ajutorul acestui senzor Vernier avem posibilitatea să efectuăm experimente de determinare a

vitezelor unor corpuri aflate în mişcare sau a vitezelor după ciocniri, să analizăm mişcări ale

pendulelor, să determinăm perioadele de rotaţie pentru diferite obiecte aflate în această stare de

mişcare şi nu în ultimul rând să calculăm valoarea acceleraţiei gravitaţionale.

Figura 4 Vernier Photogate

Modalitatea de înregistrare a valorilor se bazează pe un fascicul laser existent între cele două

laturii ale porţii.

Metoda de lucru este relativ simplă. Se montează fotogate-ul lângă lansatorul de proiectile, astfel

încât bila să treacă prin el (când se poziţionează trebuie avut grijă ca fasciculul laser să treacă exact

prin mijlocul bilei). Cunoscând diametrul bilei se poate afla viteza făcând raportul t

dv unde t

este timpul cât poarta este blocată de trecerea bilei.

Figura 5 Traiectoria bilei prin photogate

Odată identificată metoda de lucru, se pot calcula distanţele parcurse pe orizontală – bătaia- în

funcţie de unghiul de aruncare.

6

Figura 6 Dispozitivul experimental pentru studiul mişcării pe oblică a corpurilor

Valorile experimentale şi graficele obţinute sunt prezentate în cele de mai jos.

Tabelul 1 Valorile experimentale obţinute pentru o viteză iniţială de 3,45 m/s

7

Figura 7 Variaţia bătăii în funcţie de unghiul de aruncare b = b(α)

( pentru viteza iniţială de 3,45m/s)

Tabelul 2 Valorile experimentale obţinute pentru o viteză iniţială de 3,75m/s

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

10 20 30 35 40 45 50 55 60 65

Bataie(m) calculată Bataie(m) măsurată

8

Figura 8 Variaţia bătăii în funcţie de unghiul de aruncare b = b(α)

( pentru viteza iniţială de 3,75m/s)

Din măsurătorile pe care le-am efectuat am constat că indiferent de viteza de plecare bătaia este

maximă pentru unghiuri apropiate de 450, lucru valabil şi teoretic.

Aducându-ne aminte de poveste, am încercat să fac un mic calcul teoretic

1 pas = 0,96m

150 paşi = 144m,

în ipoteza în care unghiul de aruncare a fost α = 450, înseamnă că viteza cu care Wilhelm Tell a

lansat săgeata a fost de 53 m/s.

Capitolul 2: Problema rezistenţei aerului

Plecând de la povestea lui Wilhelm Tell şi urmărind graficele obţinute, am început

să ne întrebăm cum se manifestă rezistenţa aerului, atunci când corpurile cu care

aruncăm au dimensiuni mai mari: mingea de tenis, baseball sau mai mult chiar, cea

de bascket.

Studiile de specialitate sugerează o dependenţă a modulului forţei de rezistenţă de viteză sau de

pătratul vitezei: bvf r sau 2Dvf r , unde v este viteza relativă a corpului faţă de aer şi b,

respectiv D, sunt coeficienţi de rezistenţă cu aerul. Pentru a înţelege care din forme este mai

apropiată de realitate, am încercat să analizez căderea liberă a unei mingi de tenis şi a unei foi de

hârtie de la 2 metri. În timp ce mingea se mişcă încă accelerat când ajunge la suprafaţa solului, foaia

de hârtie nu va avea o mişcare accelerată prea multă vreme pentru că forţa de rezistenţă va egala

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

10 20 30 35 40 45 50 55 60 65

Bataie(m) calculată Bataie(m) măsurată

9

forţa de greutate şi mişcarea va deveni uniformă. Am ales ca obiect de studiu filtrele de cafea,

deoarece ele ating destul de repede viteza limită, corespunzătoare mişcării uniforme.

La limită ecuaţia devine: G = fr

deci ipotezele pe care le-am verificat au fost:

bvnmg sau 2Dvnmg unde n = numărul de filtre

m = masa unui filtru

În aceste condiţii, fie raportul .constn

v , fie raportul .

2

constn

v

Figura 9 Reprezentarea schematică a

forţelor care acţionează asupra filtrelor

Figura 10 Dispozitivul experimental pentru studiul

rezistenţei aerului

Studiind mişcarea filtrului y = y(t), se observă că ea este neliniară la început şi apoi are o porţiune

liniară. Din panta graficului corespunzătoare porţiunii liniare se determină viteza.

Figura 11 y = y(t) corespunzătoare mişcării filtrelor

10

Am realizat experienţa cu cele 5 filtre şi am obţinut următorul set de valori.

Tabelul 3 Rezultate experimentale

obţinute pentru mişcarea filtrelor

Dacă urmărim tabelul de valori şi graficele realizate constatăm că raportul care rămâne o valoare

relativ constantă este .

2

constn

v , ceea ce ne arată că modelul forţei de rezistenţă care descrie

comportarea acesteia în raport cu mişcarea unui corp este 2Dvf r .

Figura 12 Dependenţa vitezei sistemului de filtre de numărul de filtre utilizat

v = v (număr filtre)

11

Figura 13 Dependenţa pătratului vitezei sistemului de numărul de filtre

v2 = v

2 (număr filtre)

Capitolul 3: Problema mişcării unui proiectil

Se pare că proporţionalitatea forţei de rezistenţă cu pătratul vitezei ilustrează mai bine

mişcarea mingiilor de tenis în aer, motiv pentru care am selectat această dependenţă ca

formulă de studiu. Ne-am ales acest tip de mingie deoarece se cunoaşte că viteza iniţială pe care o

poate avea o astfel de minge este de 50m/s, asemănătoare cu cea a săgeţii din legenda lui Wilhelm

Tell.

Direcţia forţei de rezistenţă este opusă vitezei, deci putem scrie:

iar componentele sale sunt: xx Dvvf şi yy Dvvf .

Figura 14 Reprezentare schematică a forţelor care

acţionaeză asupra mingiei

Componentele acceleraţiei care conţin efectul gravitaţiei şi cel al

rezistenţei aerului sunt:

xx vvm

Da şi yy vv

m

Dga .

12

Ceea ce este extrem de dificil constă în faptul că valorile acceleraţiei se schimbă continuu, deoarece

valorile componentelor vitezei sunt variabile.

Coeficientul de rezistenţă 2

CSD

unde ρ = 1,2 kg/m

3, densitatea aerului

S = aria suprafeţei mingii

C = constantă care depinde de forma mingiei şi care la

aceste tipuri variază de la 0,2 la 1.

Pentru mingea de tenis a cărei mişcare o analizăm r = 0,036m, aria 2rS şi m = 0,145kg, C = 0,5

pentru acest tip de minge.

Ecuaţiile proiecţiilor vitezei la un moment oarecare t sunt:

tavv xx cos0

tavv yy sin0

iar coordonatele poziţiei la momentul t vor fi:

2

cos2

0

tatvx x

2

sin

2

0

tatvy

y . Soluţiile acestor ecuaţii sunt extrem de greu de calculat, deoarece toate

elementele mişcării sunt mărimi variabile. Există programe de calculator care au permis analizarea

grafică a unei astfel de mişcării.

Figura 15 Traiectoriile corpului

13

Ce ne arată acest grafic? Că în cazul jocului de tenis şi nu numai, luarea în considerare a forţei de

rezistenţă din partea aerului este necesară.

Plecând de la o cunoscută legendă şi oferindu-i anumite puncte de analiză experimentală,

elevul are posibilitatea să se informeze, să lanseze ipoteze pe care ulterior să le verifice ezperimental

şi, în cele din urmă să interpreteze rezultatele obţinute. „Provocarea lui Wilhelm Tell” se doreşte o

exemplificare a modului în care investigaţia experimentală se împleteşte cu interdisciplinaritatea, o

propunere de abordare a unor teme cunoscute din istorie şi ştiinţe care să conducă elevul la realizarea

unor mici teme de cercetare.

Bibliografie:

A. Hristev - „Mecanică şi Acustică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982

Altay manual experimental – „Physics with computers”

http://en.wikipedia.org/wiki/William_Tell