PROPRIETĂŢILEDETERMINANŢILOR

11 12 13

1 1 2 2 3 321 22 233

31 32 33

a a a

a a a a a aS

a a a

PROPRIETATEA 1.

det det tA A

P1: Determinantul unei matrici este egal cudeterminantul matricii transpuse adică :

Obs:Acesta propoziţie ne arată că orice proprietatevalabilă pentru linii este valabilă şi pentru coloane.

EXEMPLU

2 6 11 2 2

0 1 1

2 1 06 2 1 11 2 1

PROPRIETATEA 2

P2 :Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un

determinant sunt nule, atunci determinantul este nul.

EXEMPLU

2 3 10 0 0 02 3 1

0 3 10 2 5 00 3 1

PROPRIETATEA 3

P3:Dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau coloane) între

ele, atunci obţinem o un determinant egal cu opusuldeterminantului iniţial.

EXEMPLU

3 5 1det 5 2 5 19

0 5 1A

5 2 5det 3 5 1 19

0 5 1B

În B am schimbat liniile 1 şi 2 din A.

PROPRIETATEA 4

P4:Dacă un determinant are două linii (sau coloane) identice, atuncideterminantul este nul.

EXEMPLU

2 3 11 2 2 0

2 3 1

2 2 11 1 2 0

0 0 1

L1 identică cu L3 C1 identică cu C2

PROPRIETATEA 5

P5:Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-undeterminant sunt înmulţite cu un număr k, atunci obţinem undeterminant care este egal cu k înmulţit cu determinantul iniţial.

EXEMPLU

3 5 1det 0 2 5 6

0 0 1A

3 5 1det 0 8 20 24

0 0 1B

Dacă înmulţim elementele liniei 2 cu 4 obţinem :

Deci det 4 detA B

OBSERVAŢIE

Obs:LA DETERMINANT SE POATE SCOATE FACTOR COMUN NUMAI DEPE O LINIE SAU COLOANĂ DECI DETERMINANTUL CARE RĂMÂNEESTE MAI UŞOR DE CALCULAT.

EXEMPLU

24 16 401 2 2

2 3 1

3 2 58 1 2 2

2 3 1

PROPRIETATEA 6

P6:Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei determinant

sunt proporţionale, atunci determinantul este nul.

EXEMPLU

0131396132

Evident că liniile 1 şi 2 sunt proporţionale deci determinantul va fi nul.

PROPRIETATEA 7

P7:Dacă o linie (sau coloană) dintr-un determinant este o combinatie liniară a celorlalte linii (sau coloane), atunci determinantul este nul.

EXEMPLU

1 2 3det 4 5 6 0

7 8 9A

Observăm că coloana 2 este media aritmetică a coloanei 1 respectiv 3, deci determinantul este nul.

PROPRIETATEA 8

P8:Dacă la o linie (sau coloană) adunăm elementele

altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşinumăr nenul, atunci determinantul are aceeaşivaloare.

EXEMPLU

1 2

1 2 3det 0 3 1 3

0 0 1

1 2 3 5 2 3det 0 3 1 2 6 3 1 3

0 0 1 0 0 1

A

A c c

PROPRIETATEA 9

P9:

11 1 11 1 11 1

1 1 1 1

1 1

...... ...... ............ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .......

...... ...... ............ ...... ...... ...... ...... ...... ...

...... ......

n n n

i i in in i in i in

n nn n nn

a a a a a a

a b a b a a b b

a a a a

1

... ...... ............n nnb b

EXEMPLU

131324132

131411122132

2 3 12 1 11 3 1

131412132

REŢINEM

Dacă avem două linii(coloane) egale, atunci determinantul este egal cu zero;

Dacă toate elementele unei linii(coloane)sunt egale cu zero, atunci determinantul este nul;

Dacă o linie(coloană) este o combinaţie liniară a altor două linii(coloane), atunci determinantul este egal cu zero;

Dacă avem două linii(coloane) proporţionale, atunci determinantul este nul;