Geometrie - clasa a VIII-a prof. Silvia Doandeş

1

Proiecţii ortogonale pe plan

Se numeşte proiecţie ortogonală a unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

Proiecţia unui segment pe un plan este un punct dacă segmentul este perpendicular pe plan, iar în celelalte cazuri este tot un segment.

Proiecţia unei drepte pe un plan este un punct dacă dreapta este perpendicular pe plan, iar în celelalte cazuri este tot o dreaptă.

prα M = M’ prα [AB] = [A’B’] prα [CD] = C’ prα EF = E’F

Exerciţii 1) În tetraedrul ABCD, ştim că: pr BC A = B şi pr AB D = B. Aflaţi:

a) pr (BCD) A =

b) pr (BCD) AC = c) pr (BCD) AD =

2) ABCDA’B’C’D’ este paralelipiped dreptunghic. Aflaţi:

a) pr (ABC) A’ =

b) pr (BCC’) A’ =

c) pr (BCD’) A’ =

d) pr (ABC) [A’C] =

e) pr (ABC) [CC’] =

f) pr (ABC) [A’B’] =

g) pr (ABC) A’C =

h) pr (ABC) A’C =

i) pr (ABC) A’C =

j) pr (ABC) A’C =

i) pr (ABC) A’C =

j) pr (ABC) A’C =

3) În piramida patrulateră regulată VABCD notăn cu O centrul bazei. Aflaţi: a) pr (ABC) V =

b) pr (ABC) [VA] = c) pr (VBD) A =

d) pr (VBD) VA =

e) pr (VBD) AB = f) pr (VBD) AC =

g) proiecţia triunghiului VBC pe planul (ABC) = h) proiecţia triunghiului VBD pe planul (ABC) =

Geometrie - clasa a VIII-a prof. Silvia Doandeş

2

Unghiul unei drepte cu un plan

Dacă dreapta este inclusă în plan sau este paralelă cu planul, atunci măsura unghiului dintre dreaptă şi plan are 0o. Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, atunci măsura unghiului dintre dreaptă şi plan are 90o.

a α => m[<(a, α)] = 0o; bα => m[<(b, α)] = 0o; c α => m[<(c, α)] = 90o

Dacă dreapta este concurentă cu planul(dar nu este perpendiculară pe plan), atunci măsura unghiului este egală cu măsura unghiului dintre dreapta dată şi proiecţia ei pe plan.

m[<(a, α)] = m[<(a, a’)], unde a’ este proiecţia dreptei a pe planul α. Exemple

ABCDA’B’C’D’= cub

a) m[<(AC, (ABCD)] = 0o; b) m[<(D’B’, (ABCD)] = 0o; c) m[<(AD’, (ABCD)] = 45o;

d) m[<(A’C’, (BDD’)] = 90o; e) m[<(BD’, (BCC’)] = m[<(BD’, BC’)] = m[<(D’BC’)];

tg[<(D’BC’)] = 1 2 1, 4 0,72 22 2

aa

m[<(D’BC’)] ≈ 35o

α

Geometrie - clasa a VIII-a prof. Silvia Doandeş

3

Exerciţii 1) ABCA’B’C’ este o prismă triunghiulară regulată cu muchiile laterale de 18 cm şi muchia bazei de 12 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. Calculează măsura unghiului dintre:

a) dreapta AM şi planul (ABC); c) dreapta A’A şi planul (ABC). b) dreapta B’C’ şi planul (ABC); d) dreapta A’M şi planul (ABC).

2) VABCD este o piramidă patrulateră regulată care are toate muchiile de 10 cm. Calculează măsura unghiului dintre:

a) dreapta VA şi planul (BCD); b) dreapta AB şi planul (VCD). 3) ABCDA’B’C’D’ este un cuboid în care: AB = 8 dm, AD = 6 dm, AA’ = 10 dm. Calculează măsurile unghiurilor dintre o diagonală şi feţele cuboidului.

Indicaţie a) m[<(BD’, (ABC)]; b) m[<(BD’, (ABA’)]; c) m[<(BD’, (BCC’)].

Geometrie - clasa a VIII-a prof. Silvia Doandeş

4

4) ABCDA’B’C’D’ este un cub. Calculează măsura unghiului dintre: a) dreapta A’ D’ şi planul (DBB’); b) dreapta A’C şi planul (DBB’).

5) VABC este o piramidă triunghiulară regulată care are muchia bazei de 30 cm. O muchie laterală face cu planul bazei un unghi de 30o. Află înălţimea piramidei. 6) ABCDA’B’C’D’ este o prismă patrulateră regulată în care diagonala face cu planul bazei un unghi de 45o. Aproximează măsura unghiului dintre dreapta A D’ şi planul (ABC). Pentru a putea răspunde, foloseşte tabele trigonometrice. 7) ABCDA’B’C’D’ este cub. Calculează măsura unghiului dintre:

a) dreapta B’D’ şi planul (BC’D); b) dreapta AB şi planul (BC’D); c) dreapta AC şi planul (BC’D);

Geometrie - clasa a VIII-a prof. Silvia Doandeş

5

Lungimea proiecţiei unui segment