Probleme rezolvate de Mecanica II (Itul-Haiduc)

1

O bară (d) se roteşte în jurul articulaţiei cindrice O cu viteza unghiulară constată ω . Pe bară se deplasează cursorul M cu viteza constantă u . Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului M, precum şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sale absolute. ------------------------------------------------- Se identifică mişcarea absolută, relativă şi de transport conform definiţiilor acestora, se întocmeşte schema vitezelor şi acceleraţiilor şi se utilizează legile lor de compunere. a) –pentru viteze:

tra vvv += unde

uv r = , tuxv t ⋅⋅=⋅= ωω .

Rezultă

( )2222 tuuvvv tra ⋅⋅+=+= ω 221 tuva ⋅+⋅= ω .

b) –pentru acceleraţii : ctra aaaa ++=

unde 0=ra deoarece ctv r = ,

tuxa t ⋅⋅=⋅= 22 ωω deoarece ct=ω , uva rc ⋅⋅=⋅⋅= ωω 22 .

Rezultă

( ) ( )22222 2 utuaaa cta ⋅⋅+⋅⋅=+= ωω 224 tuaa ⋅+⋅⋅= ωω .

Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute se înregistrează poziţia punctului în sistemul fix şi se exprimă aceste mărimi ca funcţii de timp:

⋅=⋅=

ϕϕ

sin

cos

1

1

xy

xx.

Deoarece, conform legii de mişcare circulară t⋅=ωϕ ,

rezultă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute în coordonate carteziene:

⋅⋅=⋅⋅=

ttuy

ttux

ωω

sin

cos

1

1 .

Ecuaţia traiectoriei absolute se găseşte prin eliminarea timpului între ecuaţiile parametrice. Obs. În cazul de faţă, o variantă mai elegantă pentru determinarea traiectoriei

absolute constă în utilizarea ecuaţiilor parametrice de mişcare în coordonate polare de forma

==

)()(

t

trr

ϕϕ,

unde:- r-raza polară; -ϕ -unghiul polar. Rezultă

⋅=⋅==ttuxr

ωϕ .

Eliminând timpul între cele două ecuaţii se obţine ecuaţia traiectoriei absolute în coordonate polare

ϕω

⋅= ur ,

sau sub forma ϕ⋅=kr

reprezentând o spirală arhimedică în coordonate polare.

M

(d)

0

Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.

http://www.e-pdfconverter.com

2

Să se calculeze lucrul mecanic efectuat în timp de o perioadă de o forţă ce variază armonic după legea ( )ϕω +⋅= tFF sin0 ,

asupra unui punct material care are o mişcare definită de legea txx ωsin0 ⋅= .

---------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia de definiţie a lucrului mecanic elementar:

dzFdyFdxFrdFdL zyx ⋅+⋅+⋅=⋅= .

Mişcarea este rectilinie, oscilatorie armonică. În expresia lucrului mecanic elementar, avem deci:

( )ϕω +⋅= tFFx sin0 ; 0=yF ; 0=zF ,

iar dttxdx ⋅⋅⋅= ωω cos0 .

Rezultă ( ) dtttxFdl ⋅⋅+⋅⋅⋅= ωϕωω cossin00

Perioada mişcării oscilatorii armonice este

ωπ⋅= 2T

unde ω reprezintă pulsaţia. Prin urmare, lucrul mecanic finit efectuat de forţa F în timpul unei perioade se obţine prin integrare

( ) ( )∫∫

⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅=ωπ

ωπ

ωϕωωϕωωωϕωω

2

000

2

000 cossincoscoscossincossin dtttttxFdtttxFL

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∫∫

⋅⋅ωπ

ωπ

ωϕωωϕω

2

0

2

2

000 cossincossincos dttdtttxFL

⋅+⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= ∫

⋅⋅ ω

π

ωπ

ωϕωω

ϕω

2

0

2

02

00 22cos1sinsin

21cos dtttxFL

ωπϕωω

ωϕω ω

πωπ

⋅⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

sin2sin21

21

21sin 00

2

0

2

000 xFttxFL

ϕπ sin00 ⋅⋅⋅= xFL .

Un tub este îndoit în formă de cerc având ecuaţia 222 ayx =+ . În tub se mişcă o bilă sub acţiune aunei forţe având proiecţiile: 2ykFx ⋅= şi yxkFy ⋅⋅= , k fiind o

constantă. Să se determine lucrul mecanic al forţei când bila se deplasează între punctele A(0,a) şi B(a,0). -------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia de definiţie a lucrului mecanic elementar:

dzFdyFdxFrdFdL zyx ⋅+⋅+⋅=⋅= .

Rezultă: dyyxkdxykdyFdxFdL yx ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅= 2

unde 222 xay −=

iar din 022 =⋅⋅+⋅⋅ dyydxx

se obţine dxxdyy ⋅−=⋅ .

Astfel urmează: ( ) dxxkdxakdxxkdxxakdL ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅−⋅= 22222 2

∫ ∫ ⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅=−

a a

BAakakdxxkdxakL

0 0

3322

322

3

31 akL BA ⋅⋅=−

t(M )

Ox

t(M )

O

A

Br



3

O greutate G aşezată pe un resort face ca acesta să se deformeze cu 0d . Care va fi comprimarea maximă a resortului d în cazul în care aceeaşi greutate este lăsată să cadă liber, fără viteză iniţială, de la înălţimea h? Forţa elastică din resort este proporţională cu comprimarea. ---------------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a energiei

cinetice sub forma finită între poziţiile (0), (1) şi (2)

1001 −=− LEE CC , 2112 −=− LEE CC

unde 020 == CC EE deoarece sistemul se află în repaus în aceste poziţii. Rezultă astfel:

hGEC ⋅=1 , dFdGE emedC ⋅−⋅=− 1 .

Forţa elastică variază liniar cu deformaţia (factorul de proporţionalitate fiind constanta elastică a arcului k), de la valoarea 0 în poziţia (1) la valoarea maxeF în poziţia (2). Rezultă

dkF

Femed ⋅⋅=+

=21

2

0 max .

Prin urmare,

ddkdGEC ⋅⋅⋅−⋅=−21

1

Constanta elastică k se determină din condiţia precizată în enunţ, conform căreia sub greutatea G arcul se deformează cu 0d :

0dGk= .

Rezultă astfel 2

021 d

dGdGhG ⋅⋅+⋅−=⋅

sau 022 00

2 =⋅⋅−⋅⋅− dhddd . Rădăcinile acestei ecuaţii de gradul doi în d sunt

⋅+±⋅=0

02,1211d

hdd .

Deoarece 1210

>⋅+d

h , soluţia care convine este

⋅++⋅=0

0211d

hdd

Obs. Se constată că pentru 0=h ( adică greutatea este lăsată să cadă brusc chiar de pe capătul arcului), rezultă 02 dd ⋅= .

hd

d

h

d

1

2

0

F



4

O bară omogenă de lungime l şi greutate G se poate roti în jurul capătului său O, într-un plan vertical. Bara porneşte din repaus, dintr-o poziţie dată de unghiul α . Să se determine viteza unghiuală ω a barei în momentul în care bara trece prin poziţia verticală. -------------------------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice sub

forma finită: 2112 −=− LEE CC

unde 01 =CE deoarece sistemul pleacă din repaus şi

astfel rezultă 212 −=LEC

unde: 2

22

02 321

21 ωω ⋅⋅⋅=⋅⋅= ∆

lgG

JEC ,

⋅−⋅=− αcos22

21ll

GL .

Egalând cele două expresii se obţine

( )αω cos1232

1 22

−⋅⋅=⋅⋅⋅ lG

lgG

de unde

( )αω cos13

−⋅⋅

=l

g

Să se determine reculul x∆ al unei arme de foc, dacă se neglijează frecările. Se cunosc masa M a armei şi poziţia centrului său de greutate, masa m a glonţuluişi poziţia d a acestuia înainte de a apăsa pe trăgaci, precum şi lungimea l a ţevii armei. ----------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a impulsului sub forma teoremei mişcării centrului maselor

( ) BAC NNgmgMamM ++⋅+⋅=⋅+ Prin scalarizare pe axa Ox , deoarece toate forţele sunt verticale în acest caz, se obţine

( ) 0=⋅+ CxmM && . Masa sistemului fiind diferită de zero, rezultă că ecuaţia diferenţială scalară de mişcare pe axa Ox este

0=Cx&& .

Prin integrare succesivă rezultă 1CxC =& ,

21 CtCxC +⋅= . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul

0=t având 0CC xx = şi 0=Cx& ; rezultă 01 =C şi 02 CxC = . Se obţine astfel

legea de mişcare a centrului maselor ctxx CC == 0 .

Dacă centrul maselor rămâne pe loc, problema revine la a calcula poziţia acestuia în cele două stări ale sistemului: - în poziţia iniţială:

mMdmMxC +

⋅+⋅= 0 ;

- în poziţia finală: ( ) ( )

mM

xdlmxMxC +

∆−+⋅+∆−⋅= .

Egalând cele două expresii se obţine mărimea x∆ a reculului:

Mmmlx+

⋅=∆

O

O

12

l/2 c

os

l/2 l

C

C

C

d

C

C

x x

A

B

A

B

xx x

C

C

d



5

O roată de rază r, care se roteşte cu viteza unghiulară 0ω constantă în jurul axei Oz perpendiculară pe planul roţii, este apăsată de un sabot de frână cu forţa radială F . După timpul 1t roata se opreşte datorită frecării. Să se determine valoarea coeficientului de frecare µ dintre sabot şi frână şi numărul de rotaţii pe care îl face roata până la oprire. Momentul de inerţie al roţii în raport cu axa de rotaţie este J. ---------------------------------------------------------------------------------------- Se izolează roata şi se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară

extC dLdE = .

unde: 2

21 ω⋅⋅= JEC

ωω dJdEC ⋅⋅= , iar lucrul mecanic elementar este efectuat numai de către forţa de frecare T :

ϕµ drFdLext ⋅⋅⋅−= . Se obţine astfel

ϕµωω drFdJ ⋅⋅⋅−=⋅⋅ dt:

dt

drF

dtdJ

ϕµωω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ .

Deoarece εω =dtd iar ω

ϕ=

dt

d, rezultă ecuaţia diferenţială de mişcare a roţii

ActJ

rF==

⋅⋅−==

µϕε && .

Mişcarea este, deci, uniform încetinită. Prin integrare succesivă avem: 1CtA +⋅==ωϕ& ,

21

2

2CtCtA +⋅+⋅=ϕ .

Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t având 0=ϕ şi 0ωϕ =& ; rezultă 01 ω=C şi 02 =C . Se obţine astfel viteza

unghiulară şi legea de mişcare a roţii 0ωωϕ +⋅== tA& ,

ttA ⋅+⋅= 0

2

2ωϕ

În momentul opririi 1tt = şi 0=ω , deci există relaţia

010 ω+⋅= tA de unde se găseşte

1

0

trF

J

⋅⋅⋅

=ω

µ .

Unghiul la care se opreşte roata după timpul 1tt = este 1ϕϕ =

ntttA

⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅

= πωωϕ 221

2 1010

21

1 .

Din ultima egalitate rezultă numărul de rotaţii al roţii până la oprire

πω

⋅⋅

=4

10 tn

rO

rO

d



6

Un disc omogen orizontal, având masa M şi raza R, aflat în repaus, se poate roti fără frecare în jurul axei sale verticale de simetrie. La un moment dat, pe circumferinţa disculuiîncepe să se deplaseze cu cu viteza relativă constantă u un punct material de masă m. Să se determine viteza unghiulară ω a discului. ----------------------------------------------------------- Se aplică teorema momentului cinetic în raport cu axa de rotaţie

∆∆ = MK& . Deoarece toate forţele ce acţionează discul sunt fie paralele cu axa de rotaţie, fie o intersectează, rezultă că

0=∆M . Prin urmare, în raport cu această axă

momentul cinetic se conservă

∆∆ = KK 0 .

Deoarece sistemul pleacă din repaus, momentul cinetic în momentul iniţial este nul

00 =∆K .

În timpul mişcării momentul cinetic este format din punctdisc KKK ∆∆∆ += .

Se consideră pentru viteza unghiulară a discului un sens de rotaţie ca în figură şi rezultă:

ωω ⋅⋅=⋅= ∆∆ 2

2RMJK disc ,

( ) ( )RumRvvmRvmRK trapunct ⋅+⋅⋅=+⋅⋅=⋅⋅=∆ ω ,

02

22

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ωω RmuRmRM .

Se obţine astfel

( )mMRum⋅+⋅

⋅⋅−=2

2ω

Obs. Semnul (-) arată că discul se roteşte în sens contrar celui considerat iniţial, adică în sens orar.

O barcă de lungime l şi masă M se află în repaus având capătul A lipit de debarcader. În mijlocul bărcii se află, tot în repaus, un om cu masa m. Să se determine cu cât se deplasează barca atunci când omul se deplasează în capătul A, dacă se neglijează frecările. --------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a

impulsului sub forma teoremei mişcării centrului maselor

( ) NgmgMamM C +⋅+⋅=⋅+ Prin scalarizare pe axa Ox , deoarece toate forţele sunt verticale în acest caz, se obţine

( ) 0=⋅+ CxmM && .

Masa sistemului fiind diferită de zero, rezultă că ecuaţia diferenţială scalară de mişcare pe axa Ox este

0=Cx&& .

Prin integrare succesivă rezultă 1CxC =& ,

21 CtCxC +⋅= . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la

momentul 0=t având 20lxx CC ==

şi 0=Cx& ; rezultă 01 =C şi 22lC = . Se obţine astfel legea de mişcare a

centrului maselor

ctlxC ==2

.

Dacă centrul maselor rămâne pe loc, problema revine la a calcula poziţia acestuia în starea finală:

2

2 lMm

lxMxm

xC =+

+∆⋅+∆⋅

=

de unde Mm

mlx+

⋅=∆2

.

A B

/2

A B

A B

C

C

C

C

C

C

x

x

x x /2

R

O

C

R



7

Un punct material )(mM este lansat din punctul fix O, în aer şi în plan

vertical cu viteza iniţială 0v înclinată sub unghiul α faţă de orizontală.

Considerând rezistenţa aerului proporţională cu viteza vmkRa ⋅⋅−= , să se determine:

a) ecuaţiile parametrice de mişcare; b) ecuaţia carteziană a traiectoriei; c) coordonatele punctului D de înălţime

maximă. ------------------------------------------------------ Forţa de rezistenţă a aerului este tangentă la traiectorie şi are sensul invers vectorului viteză. Se aplică ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării absolute

Ram =⋅ , unde R reprezintă rezultanta forţelor ce acţionează punctul, adică:

gmRam a ⋅+=⋅ , gmvmkam ⋅+⋅⋅−=⋅ .

Deoarece jyixra ⋅+⋅== &&&&&& ;

jyixrv ⋅+⋅== &&& ; jgg ⋅−= ,

prin scalarizarea ecuaţiei fundamentale se obţin ecuaţiile diferenţiale scalare de mişcare:

⋅−⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅

gmymkymxmkxm

&&&

&&&

sau

−=⋅+=⋅+

gykyxkx&&&

&&& 0 .

care se integrează separat. Ecuaţia caracteristică este 02 =⋅+ λλ k

şi are soluţiile: 01 =λ ; k−=2λ . Soluţiile generale ale ecuaţiilor diferenţiale de mişcare sunt:

⋅−⋅+=

⋅+=

⋅−

⋅−

tk

geCCy

eCCx

tk

tk

43

21

.

Prin derivarea lor în raport cu timpul se obţin componentele vitezei punctului, sub forma generală:

−⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅−

⋅−

k

gekCy

ekCx

tk

tk

4

2

&

&

.

Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale. La momentul 0=t

având

==

00

yx respectiv

⋅=⋅=

αα

sin

cos

0

0

vy

vx&

&, rezultă:

⋅⋅+=⋅+⋅=−=

⋅=−=

2

0043

021

sin1)sin(

cos

k

vkg

kk

gvCC

k

vCC

αα

α

.

Se obţin astfel ecuaţiile parametrice de mişcare ale punctului material:

( )( )

⋅−−⋅⋅⋅+

=

−⋅⋅

=

⋅−

⋅−

tk

ge

k

vkgy

ek

vx

tk

tk

1sin

1cos

2

0

0

α

α

,

respectiv componentele de viteză:

−⋅⋅⋅+

=

⋅⋅=

⋅−

⋅−

k

ge

k

vkgy

evx

tk

tk

αα

sin

cos

0

0

&

&

.

Traiectoria de mişcare se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice

αcos1

0 ⋅⋅=− ⋅−

vxke tk

αcos11

0 ⋅⋅−==

⋅⋅−

vxk

ee

tk

tk

αcos1

1

0 ⋅⋅−

=⋅

vxk

e tk

⋅⋅−−=

⋅⋅−

⋅=α

αcos

1ln1ln

cos1

1ln1

0

0

vxk

vxkk

t

⋅⋅−⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅⋅+=

ααα

cos1ln1

cos

sin

002

0

vxk

kk

g

vxk

k

vkgy

⋅⋅−⋅+

⋅⋅⋅

+⋅=αα

αcos

1lncos 0

20 v

xk

k

g

vk

xgtgxy

Timpul necesar deplasării punctului din A în D (punctul de înălţime maximă) se determină din condiţia ca 0=y& .

m,t(M )

O

y D

x D

D

m,t(M )

O

y D

x D

D

FC



8

0sin0 =−⋅

⋅⋅+= ⋅−

k

ge

k

vkgy Dtk

D

α&

αsin1

0 ⋅⋅+==

⋅⋅−

vkg

g

ee

D

D

tk

tk

g

vkge Dtk αsin0 ⋅⋅+

=⋅

g

vkg

kt D

αsinln1 0 ⋅⋅+

⋅= .

Cu acest rezultat introdus în ecuaţiile parametrice de mişcare se deduc coordonatele punctului de înălţime maximă:

( )

⋅⋅+−⋅

⋅=

−⋅

⋅=−⋅

⋅=

⋅⋅−

g

vkgk

v

ek

ve

k

vx

D

D

tk

tkD α

αααsin

11cos11

cos1

cos

0

000

;

ααα

ααα

αα

sin

sincos

sin

sincos

sin1

cos

0

00

0

00

0

0

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅+

−⋅⋅+⋅

⋅=

⋅⋅+−⋅

⋅=

vkg

vk

k

v

vkg

gvkg

k

v

vkg

g

k

vxD

ααα

sin

cossin

0

20

⋅⋅+

⋅⋅=

vkg

vxD .

( ) DtkDtk

D tk

g

ek

vkgt

k

ge

k

vkgy

D

D ⋅−

−⋅

⋅⋅+=⋅−−⋅

⋅⋅+=

⋅⋅− 11

sin1

sin2

0

2

0 αα;

g

vkg

kk

g

g

vkgk

vkgy D

αα

α sinln1

sin11

sin 0

02

0 ⋅⋅+⋅⋅−

⋅⋅+−⋅

⋅⋅+= ;

g

vkg

k

g

vkg

gvkg

k

vkgy D

αα

αα sinln

sin

sinsin 0

20

0

2

0 ⋅⋅+⋅−

⋅⋅+−⋅⋅+

⋅⋅⋅+

=

g

vkg

k

g

k

vy D

αα sinln

sin 0

2

0 ⋅⋅+⋅−

⋅=

Obs. Traiectoria prezintă o asimptotă verticală a cărei ecuaţie se deduce făcând ∞→t în ecuaţiile parametrice de mişcare şi rezultă:

k

vxx F

αcos0 ⋅== .



9

R

M 0

m,t(M )

Un punct material M de masă m este lansat de pe suprafaţa din figură având raza R cu viteza iniţială orizontală 0v .

Să se determine valoarea vitezei punctului într-o poziţie dată de unghiul ϕ şi unghiul α sub care punctul părăseşte suprafaţa, dacă se neglijează frecarea. ------------------------------------------------- Se izolează punctul şi se proiectează pe axele sistemului intrinsec în care

viteza v şi reacţiunea normală N sunt evidenţiate direct. Traiectoria fiind bine definită, se poate determina viteza ca funcţie de ϕ . Dat fiind că

( )tϕϕ = , rezultă ( )ϕvv= , adică

( )tvv= . Se utilizează ecuaţia fundamentală a dinamicii

Rrm =⋅ && care se proiectează pe axele sistemului ales:

−⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

NgmR

vm

gmdtdvm

ϕ

ϕ

cos

sin

2 .

Prima ecuaţie se înmulţeşte cu ϕd

ϕϕ dgdtdv ⋅⋅= sin

ϕϕϕ

dgdvdt

d⋅⋅=⋅ sin

unde Rv

dt

d==ϕ

ϕ& .

Rezultă ϕϕ dRgdvv ⋅⋅⋅=⋅ sin

∫∫ ⋅⋅⋅=⋅ ϕϕ dRgdvv sin

CRgv +⋅⋅−= ϕcos2

2

Constanta de integrare C se determină din condiţiile ini ţiale privind pozitia şi

viteza, la momentul 0=t având

==

0

0vv

ϕ . Rezultă Rg

vC ⋅+=

2

20 cu care se

obţine expresia vitezei punctului

( )ϕcos1220 −⋅⋅⋅+= Rgvv .

Condiţia de desprindere este ca reacţiunea normală N să se anuleze, moment la care unghiul ϕ se notează cu α , iar viteza are valoarea

( )αcos12201 −⋅⋅⋅+= Rgvv .

Din a doua ecuaţie, punând condiţia 0=N şi înlocuind αϕ = , rezultă:

( )αα cos12cos 201 −⋅⋅⋅+=⋅⋅= RgvRgv

de unde seobţine unghiul de desprindere α :

Rg

v

⋅⋅+=

332cos

20α .

Obs. 1) Pentru obţinerea vitezei se poate aplica şi teorema energiei cinetice în formă

finită 2112 −=− LEE CC

unde: ( )20

212

21 vvmEE CC −⋅⋅=− ,

( )ϕcos121 −⋅⋅⋅=− RgmL . Egalând cele două expresii rezultă aceeaşi relaţie a vitezei punctului. Pentru a determina unghiul de desprindere α , este necesar să se scrie

ecuaţia diferenţială de mişcare pe direcţia normalei principale în care să fie impusă condiţia 0=N . 2) Se poate utiliza, de asemenea, teorema momentului cinetic OO MK =& ,

unde kRvmK O ⋅⋅⋅−= ,

kdtdvRmK O ⋅⋅⋅−=& ,

iar momentul rezultant este dat de forţa de greutate

kRgmM O ⋅⋅⋅⋅−= ϕsin . Egalând cele două expresii conform teoremei, se ajunge la aceeaşi ecuaţie diferenţială

ϕsin⋅= gdtdv ,

după care se continuă pe calea prezentată anterior.

R

M 0

m,t(M )

R

M 0

m,t(M )

1

2

R

M 0

m,t(M )



10

Un punct M de masă m descrie un cerc de rază R cu centrul în 1O , sub acţiunea unei forţe centrale având polul situate pe cerc în punctul O. Cunoscând viteza iniţială Ov a punctului în

poziţia A, diametral opusă polului O, să se determine:

a) expresia forţei centrale în funcţie de raza polară;

b) viteza punctului în funcţie de raza polară.

----------------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează ecuaţia lui Binet care rezolvă determinarea, sub formă explicită, a ecuaţiei traiectoriei punctului material aflat în mişcare centrală, în

coordonate polare:

222

2

uCm

Fud

ud

⋅⋅−=+

ϕ,

unde: - u este o notaţie reprezentând

inversul razei polare r

u 1= ;

- ϕ reprezintă unghiul polar; - F reprezintă forţa centrală sub

acţiunea căreia se mişcă; - m reprezintă masa punctului; - C reprezintă constanta ariilor.

a) În cazul de faţă, traiectoria în coordonate polare sub formă explicită ( )ϕrr = poate fi definită, constanta ariilor C se poate determina din condiţiile

iniţiale date în enunţ, masa m constituie dată de intrare şi astfel poate fi calculată forţa centrală F sub acţiunea căreia se mişcă punctul. - ecuaţia polară a traiectoriei:

ϕsin2 ⋅⋅== ROMr , ⇒ ϕsin2

11⋅⋅

==Rr

u .

Urmeză:

ϕ

ϕϕ 2sin

cos

21 ⋅⋅

−=Rd

du,

ϕ

ϕ

ϕ 3

2

2

2

sin

cos1

21 +

⋅⋅

=Rd

ud ;

- constanta ariilor C reprezintă modulul produsului vectorial vr × şi se determină cu relaţia:

000 sinα⋅⋅= vrC

unde condiţiile ini ţiale (în punctual A) la momentul 20πϕ = sunt: Rr ⋅=20 ;

20πα = . Prin urmare,

02 vRC ⋅⋅= . Din ecuaţia lui Binet rezultă forţa centrală:

+⋅⋅⋅−= u

d

uduCmF

2

222

ϕ

5

20

432

r

vRmF

⋅⋅⋅−=

Obs. Semnul (-) arată că forţă centrală este de atracţie. b) În mişcarea centrală, componentele vitezei raportate la un sistem de coordonate polare, sunt:

ϕϕ ddu

Crd

dCrv R ⋅=

⋅== 1& ; uC

rCrv N ⋅=⋅=⋅= 1ϕ& .

Rezultă: 22

202

2

sin21

sin

cos

212

⋅⋅+

⋅

⋅−⋅⋅⋅=+

⋅=

ϕϕ

ϕϕ RR

vRuddu

Cv

2

024

r

vRv

⋅⋅= .

m,t(M )

O1

A

Rm,t(M )

r

O1

A

R



11

La ce altitudine trebuie plasat şi ce viteză trebuie să aibă un satelit geostaţionar? Se cunoaşte masa kgM 24106⋅= a Pământului, raza R=6378 km a

Pământului şi constanta 221110672,6 −− ⋅⋅⋅= kgmNk a atracţiei universale. ------------------------------------------------------------------------------------- Un satelit geostaţionar se află pe o orbită circulară, situată în planul ecuatorial al Pământului, la o altitudine h şi are viteza unghiulară ω egală cu viteza unghiulară a Pământului.

Se utilizează ecuaţia fundamentală a dina-micii mişcării absolute

Fam =⋅ , unde m reprezintă masa satelitului ce se mişcă cu acceleraţia a sub acţiunea unei forţe F , considerată a fi forţa de atracţie universală. Aceasta prezintă expresia

( )2hR

MmkF+⋅⋅−= ,

în care: - k – constanta atracţiei universale; - M – masa Pământului; - R – raza Pământului; - h – altitudinea la care este plasat satelitul.

Viteza satelitului va fi ( )hRv S +⋅=ω .

Proiecţia ecuaţiei fundamentale pe direcţia normalei principale a unui sistem intrinsec de coordonate este:

ϑϑ Fam =⋅ sau

( ) 2

2

hR

Mmk

hR

vm S

+⋅⋅=

+⋅ .

Înlocuind expresia lui Sv , rezultă înălţimea h la care trebuie plasat satelitul

RMkh −⋅= 32ω

.

Considerând valorile numerice - R=6378 km, - kgM 24106⋅= ,

- 221110672,6 −− ⋅⋅⋅= kgmNk ,

- [ ][ ]sec360024

2 rad

⋅⋅= πω ,

rezultă

kmh 924.35= , respectiv skmvS 076,3= .

O

S

R

h

ecuator



12

Un satelit artificial se mişcă pe o orbită circulară la înălţilea h deasupra Pământului. Să se calculeze viteza şi perioada de revoluţie ale satelitului artificial. -------------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează ecuaţia lui Binet care rezolvă determinarea, sub formă explicită, a ecuaţiei traiectoriei punctului material aflat în mişcare centrală, în coordonate polare:

222

2

uCm

Fud

ud

⋅⋅−=+

ϕ,

unde: - u este o notaţie reprezentând

inversul razei polare r

u 1= ;

- ϕ reprezintă unghiul polar; - m reprezintă masa satelitului; - C reprezintă constanta ariilor. - F reprezintă forţa centrală sub acţiunea căreia se mişcă satelitul, considerată a fi forţa de atracţie universală. Aceasta prezintă expresia

( )2hR

MmkF+⋅⋅−= ,

în care: - k – constanta atracţiei universale; - M – masa Pământului; - R – raza Pământului; - h – altitudinea la care este plasat satelitul.

a) În cazul de faţă raza polară r este o mărime constantă, deci

cthRr

u =+

== 11 .

Prin urmare,

0=ϕd

du respectiv 02

2

=ϕd

ud

şi ecuaţia lui Binet devine:

( )22

2

2

1

1

C

Mk

hRCm

hR

Mmk

hR⋅=

+

⋅⋅

+⋅⋅−

−=+

,

de unde ( )hRMkC +⋅⋅= .

Constanta atracţiei universale k se poate determina observând că, la suprafaţa Pământului unde h=0, forţa de atracţie este egală cu greutatea:

gmGF ⋅== , g reprezentând acceleraţia gravitaţională. Prin urmare se poate scrie relaţia:

gmR

Mmk ⋅=⋅⋅2

de unde rezultă

M

gRk

⋅=

2

.

Înlocuind în expresia constantei ariilor C, se obţine ( )hRgRC +⋅⋅= .

În mişcarea centrală, componentele vitezei raportate la un sistem de coordinate polare, sunt:

ϕϕ dduC

rddCrvR ⋅=

⋅== 1

& ; uCr

Crv N ⋅=⋅=⋅= 1ϕ& .

Rezultă:

( )hR

hRgRuCuCudduCv

+⋅+⋅⋅=⋅=+⋅=+

⋅= 10 22

2

ϕ

hR

gRv

+⋅= .

b) Perioada de revoluţie reprezintă timpul necesar pentru a parcurge o circumferinţă. Viteza fiind constantă, perioada va fi:

( )v

hRT

+⋅⋅=

π2;

( )g

hR

RT

32 +

⋅⋅= π .

Obs. Perioada mişcării de revoluţie se poate calcula şi pornind de la definirea constantei ariilor:

( )dt

dhRrC

ϕϕ ⋅+=⋅= 22& .

Rezultă

O

S

r

Rh



13

( ) ϕdhRdtC ⋅+=⋅ 2 . Prin integrare obţinem

( ) ∫∫⋅

⋅+=⋅π

ϕ2

0

2

0

dhRdtCT

de unde, ( ) ( )

g

hR

RC

hRT

32222 +

⋅⋅=+⋅

= ππ.

Să se determine poziţiile de echilibru relativ şi corespunzător forţele de legătură, ale unui punct material greu de masă m, care poate aluneca fără frecare pe un cerc de rază R ce se roteşte în jurul diametrului său vertical AB cu viteza unghiulară constantă ω . ----------------------------------------------------------------- În lipsa mişcării relative ( 0=rv şi 0=ra ), ecuaţia

fundamentală a dinamicii mişcării relative

jcjtr FFRam ++=⋅

se transformă în condiţia de repaus relativ 0=+ jtFR

unde: ( ) kgmNiNgmNR ⋅⋅−⋅+⋅⋅−=⋅+= αα cossin ,

iRmamF tjt ⋅⋅⋅⋅=⋅−= αω sin2

Scalarizând condiţia de echilibru relativ se obţin ecuaţiile:

=⋅−⋅=⋅⋅⋅+⋅−

0cos0sinsin 2

gmNRmN

ααωα .

Din a doua ecuaţie se obţine

αcos

gmN

⋅=

care se introduce în prima şi rezultă

0sinsincos

2 =⋅⋅⋅+⋅⋅

− αωαα

Rmgm

( ) 0cossin 2 =−⋅⋅⋅ gR αωα . Pentru 0sin =α rezultă poziţiile

01 =α şi πα =2 ,

iar pentru 0cos2 =−⋅⋅ gR αω ,

R

g

⋅±=

24,3 arccosω

α

cu condiţia ca 12

<⋅R

g

ω, adică

R

g>ω .

Corespunzător acestor poziţii se obţin reacţiunile normale:

gmN ⋅=1 ; gmN ⋅−=2 ;

R

g

gmN

⋅

⋅=

2

4,3

cosω

B

A

R

m(M )

O

B

A

Rr

m(M )

O



14

Un punct material greu de masă m se poate mişca între două plane verticale lucii, foarte apropiate, care la rândul lor se rotesc cu viteza unghiulară constantă ω în jurul unei axe verticale situată în planul median al celor două plane. Dacă la momentul iniţial punctul se află în repaus relativ în raport cu planele, la distanţa 0x , să se

determine: a) ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sale

relative; b) ecuaţia carteziană a traiectoriei relative; c) reacţiunea normală a planelor.

-------------------------------------------------------------------------------- În prealabil se izolează punctul şi se întocmeşte schema forţelor date, de

legătură şi inerţiale ce acţionează asupra lui, având în vedere relaţiile de definiţie cunoscute pentru acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Pentru sensul de rotaţie considerat, punctul apasă asupra planului ( )1P . Se utilizează ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării relative

jcjtr FFRam ++=⋅

în care: kzixa r ⋅+⋅= &&&& ,

jNkgmNgmR ⋅+⋅⋅=+⋅= ,

ixmamF tjt ⋅⋅⋅=⋅−= 2ω ,

( ) jxmkzixkmvmamF rcjc ⋅⋅⋅⋅−=⋅+⋅×⋅⋅⋅−=×⋅⋅−=⋅−= &&& ωωω 222 .

Scalarizând această ecuaţie vectorială, se obţin ecuaţiile diferenţiale:

⋅=⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅=⋅

gmzmxmNxmxm

&&

&

&&

ωω

20

2

.

Pentru prima ecuaţie pusă sub forma 02 =⋅− xx ω&&

ecuaţia caracteristică este 022 =−ωλ , de unde ωλ ±=2,1 . Soluţia ecuaţiei

diferenţiale este deci tt eCeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅= ωω

21

tt eCeCx ⋅−⋅ ⋅⋅−⋅⋅= ωω ωω 21& . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t

având

==

00

xxx

&. Rezultă 2

021

xCC == cu care se obţine legea de mişcare şi

componenta de viteză după axa Ox: tchxx ω⋅= 0 , tshxx ωω ⋅⋅= 0& .

Din a doua ecuaţie diferenţială rezultă reacţiunea normală tshxmN ωω ⋅⋅⋅⋅= 0

22 . Cea de a treia ecuaţie diferenţială, prin integrare,conduce la

3Ctgz +⋅=& ,

43

2

2CtC

tgz +⋅+

⋅= .

Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t

având

==

00

zz&

. Rezultă 043 ==CC cu care se obţine legea de mişcare după axa

Oz:

2

2tgz

⋅= .

Prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii parametrice de mişcare se obţine ecuaţia carteziană a traiectoriei:

⋅⋅⋅=gzchxx 2

0 ω .

x0

m,t(M )

Ox

0

x

r

z

m,t(M )



15

Planul înclinat din figura alăturată (pană) se deplasează pe direcţia orizontală cu acceleraţia 0a constantă. Pe planul înclinat se află un punct material de

masă m legat de un resort de constantă elastică k şi lungime 0l în stare

neîntinsă. Cosiderând că punctul se deplasează pe planul înclinat cu frecare, coeficientul frecării de alunecare fiind µ , să se determine:

a) legea de mişcare relativă a punctului pe planul înclinat, presupunând că la momentul iniţial arcul este nedeformat şi viteza relativă faţă de plan este nulă;

b) momentul 1t al primei opriri;

c) coordonata 1x în momentul primei opriri;

d) valoarea minimă a acceleraţiei 0a pentru

care punctul nu coboară după prima oprire. -------------------------------------------------------------

a) Se consideră că punctul, care are faţă de pană o mişcare relativă, în prima fază urcă pe planul înclinat. În prealabil se izolează punctul şi se întocmeşte schema forţelor date, de legătură şi inerţiale ce acţionează asupra lui, având în vedere relaţiile de definiţie cunoscute pentru acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Se utilizează ecuaţia fundamentală

a dinamicii mişcării relative

jcjtr FFRam ++=⋅

în care: ixar ⋅= && ;

( )[ ] ( ) jgmNiNlxkgmTNFgmR e ⋅⋅⋅−+⋅⋅+−+⋅⋅−=+++⋅= αµα cossin 0 ; jamiamamF tjt ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−= αα sincos 00 ;

0=jcF .

După scalarizare pe axele sistemului considerat, se obţin ecuaţiile diferenţiale scalare de mişcare relativă

( )

⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅+⋅−−⋅−⋅⋅−=⋅

αααµα

sincos0

cossin

0

00

amgmN

amNlxkgmxm &&.

În prima ecuaţie se înlocuieşte valoarea reacţiunii normale din a doua ecuaţie şi

se introduce notaţia mkp= . Se ajunge astfel la forma

( ) ( )αµααµα cossinsincos0022 ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅=⋅+ galpxpx&& .

Soluţia acesteia este

( ) ( )αµααµα cossinsincossincos22

0021 ⋅+⋅−⋅−⋅++⋅+⋅=

p

g

p

alptCptCx ,

ptpCptpCx cossin 21 ⋅⋅+⋅⋅−=& . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t

având

==

00

xlx

&. Rezultă ( ) ( )

⋅+⋅−⋅−⋅−= αµααµα cossinsincos

22

01

p

g

p

aC , 02 =C

cu care se obţine legea de mişcare relativă la urcare:

( ) ( ) ( )ptp

g

p

alx cos1cossinsincos

22

00 −⋅

⋅+⋅−⋅−⋅+= αµααµα .

La coborâre sensul forţei de frecare se inversează şi ecuaţia diferenţială de mişcare relativă capătă forma

( ) ( )αµααµα cossinsincos0022 ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=⋅+ galpxpx&&

b) La momentul 1t al primei opriri se anulează viteza relativă, adică 0=x& şi

rezultă 0sin 1 =pt adică

pt π=1 .

c) La acelaşi moment 1t punctul ajunge în poziţia 1x

( ) ( ) ( )

⋅+⋅−⋅−⋅⋅+== αµααµα cossinsincos2

22

0011

p

g

p

altxx .

d) Pentru a afla valoarea minimă a acceleraţiei 0a la care punctul nu coboară

după prima oprire din poziţia 1x , se impune condiţia

0== xar && sau condiţia de repaus relativ în această poziţie:

0=+ jtFR ,

care conduce la ecuaţiile scalare ( )

=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅+⋅+−⋅−⋅⋅−

0sincos

0cossin

0

001

αααµα

amgmN

amNlxkgm

de unde ( ) ( ) 0cossincossin 0001 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+−⋅−⋅⋅− αααµα amamgmlxkgm .

Înlocuind 1x , rezultă

αµααµα

sin3cos

cos3sin0 ⋅⋅−

⋅⋅+⋅= ga .

a0

0(µ)

mg

Fjt

NT0

x-

Fe

a0

mg

Fjt

N

T

Fe

α

0

0x-

O

a =at 0

ar



16

Se consideră sistemul din figură, compus din bara omogenă AB de lungime 2l şi masă mM ⋅=3 şi punctele materiale A şi B de mase egale mmm BA == . Sistemul pleacă din repaus din poziţia definită de unghiul α . Se cere:

a) momentul de inerţie mecanic al sistemului în raport cu centrul de masă al acestuia;

b) ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului în funcţie de parametrul ϕ ;

c) viteza unghiulară ϕω &= în funcţie de unghiul ϕ ; d) valoarea unghiului ϕ pentru care bara se

desprinde de pe peretele vertical. ------------------------------------------------------------------- a) Se însumează momentele de inerţie pentru cele trei elemente componente

ale sistemului material şi rezultă ( ) ( ) 2

222

2

212

23

12

2lm

lmlmlm

lMJ BAC ⋅⋅+

⋅⋅⋅=⋅+⋅+

⋅⋅=∆

23 lmJ C ⋅⋅=∆ . b) Se izolează sistemul şi se întocmeşte schema forţelor date, şi de legătură ce acţionează asupra lui. Se aleg sistemele de referinţă ca în figură, astfel încât axele Cx şi Cy ale sistemului mobil reprezintă axe principale şi

centrale de inerţie. În aceste condiţii sistemul ecuaţiilor diferenţiale scalare de mişcare plană este:

⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅

=⋅⋅

∆ ϕϕϕ cossin

55

5

1

1

lNlNJ

gmNym

Nxm

ABC

BC

AC

&&

&&

&&

.

Conform figurii, se exprimă coordonatele centrului de greutate al barei în funcţie de unghiul de mişcare ϕ şi se derivează succesiv în raport cu timpul:

⋅=⋅=

ϕϕ

cos

sin

1

1

ly

lx

C

C ;

⋅⋅−=⋅⋅=

ϕϕϕϕ

sin

cos

1

1

&&

&&

ly

lx

C

C ;

⋅−⋅−=

⋅−⋅⋅=

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

cossin

sincos2

1

21

&&&&&

&&&&&

lly

llx

C

C .

Cu ajutorul acestor expresii, se exprimă reacţiunile normale în punctele A şi B din primele două ecuaţii diferenţiale de mişcare şi se înlocuiesc în cea de a treia. Astfel se obţine ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului în funcţie de parametrul ϕ :

0sin85 =⋅⋅− ϕϕ

l

g&& .

c) Relaţia de mai sus se înmulţeşte cu ϕd şi se integrează:

ϕϕϕϕ

dl

gd

dt

d⋅⋅⋅=⋅ sin

85&

;

ϕϕωω dl

gd ⋅⋅⋅=⋅ sin

85 ;

Cl

g+⋅⋅−= ϕω cos

452 .

Constanta de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t

având

==

0ωαϕ

. Rezultă αcos45 ⋅⋅=

l

gC , cu care se obţine viteza unghiulară

ϕω &= în funcţie de unghiul ϕ :

( )ϕαω coscos2

5 −⋅⋅=l

g.

d) Condiţia de desprindere este ca 0=AN , de unde rezultă: 01 =Cx&&

adică ϕϕϕϕ sincos 2 ⋅⋅=⋅⋅ &&& ll ,

( ) ϕϕαϕϕ sincoscos45cossin

85 ⋅−⋅=⋅⋅⋅

l

g

l

g,

ϕαϕ coscoscos21 −=⋅ ,

⋅= αϕ cos32arccos .

α

2ϕ

B

A

ϕ

5mg

A

B

C

x C1

yC1

ϕ

O1

NA

NB



17

Pentru sistemul de corpuri din figură se cunoaşte: - corpul (1) este articulat cilindric în O, are masa MM ⋅= 41 şi momentul de

inerţie mecanic în raport cu punctul O, 21 10 RMJ O ⋅⋅= ;

- corpul (2) este un disc omogen de rază Rr ⋅=22 şi masă MM =2 , articulat cilindric în C de corpul (3) şi este legat prin intermediul unei transmisii cu fir de corpul (1); - corpul (3) are masa MM =3 şi poate aluneca cu frecare pe o suprafaţă

orizontală, coeficientul frecării de alunecare fiind µ . Considerând corpul (1) acţionat de un cuplu

RgMM O ⋅⋅⋅= 4 , să se

determine acceleraţia corpului (3) şi tensiunile în cele două ramuri ale firului. -------------------------------------------------------------------------- Se izolează corpurile ca în figură, se introduc forţele date şi de legătură

exterioare şi interioare ale sistemului, după care se utilizează teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic, separat pentru corpul (1), respectiv pentru corpurile (2) şi (3) împreună.

RaM C =⋅ ; OO MK =& . -corpul 1- -corpurile 2-3

⋅−⋅+=⋅⋅⋅−=−+=

RSRSMJ

gMV

HSS

OO 3

40

0

1211

21

ε;

⋅−⋅=⋅−⋅⋅=−+=⋅⋅

RSRSJ

NgM

TSSaM

C 22

20

2

2122

213

ε.

Sistemul prezintă un singur grad de libertate şi legătura între parametrii cinematici 3a , 1ε şi 2ε se poate face analizând tipul de mişcare executat de

către fiecare corp: - (1) execută o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 1ω în jurul punctului O;

- (2) execută o mişcare plană cu viteza Cv a centrului său de masă şi viteza

unghiulară 2ω , sau o mişcare relativă de rotaţie cu 2ω faţă de axa din C care asigură mişcarea de transport;

- (3) execută o mişcare de translaţie rectilinie cu viteza Cvv =3 .

Astfel, pot fi scrise relaţiile: BA vRv =⋅= 31ω

ED vRv =⋅= 1ω Pe de altă parte

⊕⋅=⋅=IEv

IBv

E

B

2

2

ωω

( )IEIBvv EB +⋅=+ 2ω sau

RRR 43 211 ⋅=⋅+⋅ ωωω de unde rezultă

12 ωω = . De asemenea, se observă că

RRRvvvv

v DAEBC ⋅=

⋅−⋅=

−=

−= 1

11

2

3

22ω

ωω,

deci Rvv C ⋅== 13 ω .

Prin urmare,

R

v321 ==ωω .

Derivând în raport cu timpul rezultă

R

a321 ==εε .

Cu acest rezultat şi având în vedere că

NT ⋅=µ iar ( )2

2 2

2RM

J C

⋅= ,

din cele şase ecuaţii scalare se obţin:

ga ⋅−

=7

23

µ; gMS ⋅⋅

⋅+=

14

1161

µ; gS ⋅

⋅+=

14

1322

µ.

OR

3R

MO

1

2R

C

3

2

A

D

B

E

(µ)

OR

3R

MO

4Mg1

V

H

S1

S2

ε1

2R

C

NT

3

22Mg

S1

S2

ε2

A

D

B

E

a =a3

OR MO

1

ω1 C

2

E

B

ω2

A

D

B

E

I

2RR

R

D

A

2R3R

= 3



18

Se consideră sistemul de corpuri omogene din figură, alcătuit dintr-un disc de rază R şi greutate G de care este articulată o bară OA de greutate P . Discul se poate rostogoli fără alunecare pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală, coeficientul frecării de rostogolire fiind s, iar cel al frecării de alunecare µ . Bara se sprijină cu capătul A pe planul înclinat, coeficientul frecării de alunecare fiind tot µ şi închide unghiul α cu planul înclinat. Să se determine acceleraţia centrului O al discului şi reacţiunile exterioare şi interioare ale sistemului. ------------------------------------------------ Se aplică principiul lui d’Alembert. În prealabil se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele date şi de legătură exterioare şi interioare sistemului material. În continuare, se introduc elementele torsorului forţelor de inerţie în centrul de greutate al fiecărui corp tinând seama de modul în care se

mişcă sistemul, după care se stabilesc relaţiile de legătură între

parametrii cinematici cu care se mişcă

diversele elemente. În final, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare

element component al sistemului, din care se determină mărimile cerute în problemă. -corpul 1- -corpul 2-

⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=+⋅−=−−⋅+

AA

AA

A

jA

NT

lN

lT

lH

lV

NPV

RTPH

µ

αααα

αα

0cos2

sin2

sin2

cos2

0cos

0sin 1

,

⋅≤⋅≤

=⋅−+=+−⋅−

=−−−⋅

Br

BB

Brj

B

jB

NsM

NT

RTMM

NVG

RTHG

µ

αα

0

0cos

0sin

2

2

.

Elementele torsorului forţelor de inerţie sunt:

agPR j ⋅=1 , a

gGR j ⋅=2 , εε ⋅⋅=⋅= ∆ 2

2

2R

gGJM Oj .

Legătura între parametrii cinematici se stabileşte astfel:

Rv=ω ,

Ra

Rv === &

&ωε .

Rezultă în final:

( ) ( )

PG

ctgRs

Pctg

Rs

PRsG

ga+⋅

+⋅

−⋅+

+

−−⋅⋅−⋅+

⋅−⋅

⋅=

23

2sin1cossincossin

αµ

µ

ααµ

µαµααα

;

( )

( )αµ

αµαα

ctg

PPagP

V+⋅

⋅−⋅⋅−+⋅=

2

cossin2sin

; ( )αµαµ cossin ⋅−⋅−⋅−⋅= PVagPH ;

VPN A −⋅= αcos ; ( )VPTA −⋅⋅= αµ cos ; VGN B +⋅= αcos ; ( )VGTB +⋅⋅= αµ cos .

αα B

A

R(µ,s)

(µ)

1

2

O

P

G

C

G

P

V

H

HV

N

T

A

A

NB

TB

M r

A

B

O

O

CM j2

R j1

R j2

αa aC

a

a

ω

R

ε

α



19

O placă triungiulară omogenă OAB de masă M şi catete de lungime l, se poate roti în jurul catetei verticale cu viteza unghiulară constantă ω . Placa este articulată cilindric în O şi simplu rezemată în B. Să se determine valoarea vitezei unghiulare ω pentru care reacţiunea din B se anulează. Se neglijează frecările şi rezistenţa aerului. ----------------------------------------------------------------- Se aplică principiul lui d’Alembert. În prealabil se izolează corpul şi se introduc forţele şi momentele

date şi de legătură , precum şi forţele de inerţie. ce acţionează rigidul. Pentru calculul forţei de inerţie se consideră un element de arie

dxydS ⋅= aflat la distanţa x faţă de axa de rotaţie. Forţa de inerţie elementară, corespunzătoare acestuia, va fi

xdSl

MxdSxdmdF Sj ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 2

2

22

2

ωωρω ,

xdxyl

MdF j ⋅⋅⋅⋅⋅= 2

2

2 ω .

Ecuaţia dreptei AB în sistemul de referinţă Oxy este xly −= şi astfel rezultă

( ) dxxxll

MdF j ⋅⋅−⋅⋅⋅=2

22 ω .

Forţa de inerţie totală se calculează ca rezultantă a forţelor de inerţie elementare

( )∫⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅=

l

jlMdxxxl

l

MF0

2

2

2

32 ωω .

Pentru a determina distanţa h la care acţionează forţa de inerţie totală, se observă ca forţele de inerţie elementare sunt paralele şi au o rezultantă unică, prin urmare este valabilă teorema Varignon conform căreia

∫ ⋅=⋅ jj dFy

Fh2

,

de unde

( )

4

3

2

2

02

2

l

lM

dxxxll

M

h

l

=⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

=∫

ω

ω

.

În continuare, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru din care se determină mărimea cerută în problemă.

=⋅−⋅−⋅⋅

=⋅+=+−

03

0

0

hFlNlgM

gMV

FHN

j

j

.

Din a treia ecuaţie se calculează N

⋅−⋅=⋅⋅−⋅

=43433

22 lgMlMgMN ωω

iar din condiţia ca N=0 rezultă valoarea vitezei unghiulare ω pentru care reacţiunea din B se anulează:

l

g⋅=2ω .

Obs. Din celelalte două ecuaţii pot fi calculate componentele reacţiunii din O în funcţie de viteza unghiulară. Astfel rezultă:

gMV ⋅−= ;

343

22 ωω ⋅⋅+

⋅−⋅=+= lMlgMFNH j

43

2 lMg

MH ⋅⋅+⋅= ω .

dFj

Mg

Fj

ω

A

HC

h y

x dx

B

V

H

N

dS

O

ω

A O

B



20

Bara omogenă OA de greutate P este articulată plan în O iar la capătul A este prinsă cu un fir perfect flexibil şi inextensibil petrecut peste un scripete mic B. La capătul firului este agăţată o greutate Q . Se cunosc lungimile OA=OB=a şi lungimea firului l. Să se determine unghiul ϕ pentru poziţia de echilibru. --------------------------------------------------------------- Se aplică principiul lucrului mecanic virtual în cazul

echilibrului static ( )∑ ∑ =⋅+⋅+⋅=⋅= 0iiziiyiixii zFyFxFrFL δδδδδ .

În situaţia de faţă jQQ ⋅−= ; jPP ⋅−= ;

jyixr QQQ ⋅+⋅= ⇒ jyixr QQQ ⋅+⋅= δδδ ;

jyixr PPP ⋅+⋅= ⇒ jyixr PPP ⋅+⋅= δδδ . Înlocuind rezultă

0=⋅−⋅−= PQ yPyQL δδδ .

Conform datelor problemei,

⋅⋅−−= 2sin2 ϕalayQ ⇒ δϕϕδ ⋅⋅= 2cosayQ ;

ϕcos21 ⋅⋅= ay P ⇒ δϕϕϕδϕϕδ ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= 2cos2sinsin

21 aayP .

Se obţine astfel ecuaţia

02sin2cos =

−⋅⋅ QP ϕϕ

cu soluţiile:

02cos =ϕ ⇒ πϕ =1 - echilibru instabil;

02sin =−⋅ QP ϕ ⇒ P

Qarcsin22 ⋅=ϕ - cu condiţia PQ≤ .

Q

PO

A

B

ϕ

Q

PO

A

B

ϕ

δyP

δyQ

y P

y Q

a



21

Barele omogene OA şi OB de lungimi 1l şi 2l

având greutăţile G şi Q , articulate plan în O şi A, sunt activate în A şi B de forţele orizontale de modul constant 1F şi 2F .

Să se determine unghiurile 1ϕ şi 2ϕ corespunzătoare configuraţiei de echilibru a sistemului. ---------------------------------------------------------- Se aplică principiul lucrului mecanic virtual

în cazul echilibrului static

( )∑ ∑ =⋅+⋅+⋅=⋅= 0iiziiyiixii zFyFxFrFL δδδδδ .

În situaţia de faţă jGG ⋅= ; jQQ ⋅= ;

iFF ⋅= 11 ; iFF ⋅= 22 ; jyixr GGG ⋅+⋅= ⇒ jyixr GGG ⋅+⋅= δδδ ; jyixr QQQ ⋅+⋅= ⇒ jyixr QQQ ⋅+⋅= δδδ ;

jyixr FFF ⋅+⋅=111

⇒ jyixr FFF ⋅+⋅=111

δδδ ;

jyixr FFF ⋅+⋅=222

⇒ jyixr FFF ⋅+⋅=222

δδδ .

Înlocuind rezultă 0

21 21 =⋅+⋅+⋅+⋅= FFQG xFxFyQyGL δδδδδ .

Conform datelor problemei,

11 cos2

ϕ⋅=l

yG ⇒ 111 sin2

δϕϕδ ⋅⋅−=l

yG ;

22

11 cos2

cos ϕϕ ⋅+⋅=l

lyQ ⇒ 222

111 sin2

sin δϕϕδϕϕδ ⋅⋅−⋅⋅−=l

lyQ ;

11 sin1

ϕ⋅=lxF ⇒ 111 cos1

δϕϕδ ⋅⋅=lxF ;

2211 sinsin2

ϕϕ ⋅+⋅= llxF ⇒ 222111 coscos2

δϕϕδϕϕδ ⋅⋅+⋅⋅= llxF .

Se obţine astfel ecuaţia

0cossin2

coscossinsin2

222222

11121111111

=⋅

⋅⋅+⋅⋅−+

+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−

δϕϕϕ

δϕϕϕϕϕ

lFl

Q

lFlFlQl

G

Impunând condiţiile 01 ≠δϕ şi 02 =δϕ , respectiv 01 =δϕ şi 02 ≠δϕ , rezultă sistemul

=⋅⋅+⋅⋅−

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−

0cossin2

0coscossinsin2

22222

1121111111

ϕϕ

ϕϕϕϕ

lFl

Q

lFlFlQl

G,

din care se găsesc valorile unghiurilor pentru poziţia de echilibru:

QG

FFtg

+

+=

2

211ϕ ,

Q

Ftg 2

2

2⋅=ϕ .

Q

G

C1

C2

A

B

F1

F2

ϕ1

ϕ 2

O

1

2

Q

G

C1

C2

A

B

F1

F2

ϕ1

ϕ 2

y Q

x

y G

x

O

F1

F2



22

O

A

O bară omogenă articulată în O este îndepărtată de verticală cu unghiul α şi este lăsată să cadă liber, fără viteză iniţială. După ce loveşte piedica din A, bara se depărtează de verticală cu unghiul β . Să se determine coeficientul de restituire la ciocniri. ------------------------------------------------------------------------------

Pentru calculul coeficientului de restituire se utilizează relaţia

21

12

vv

uue

−−

= ,

în care: - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit; - cu v sunt notate vitezele înainte de ciocnire; - cu u sunt notate vitezele după ciocnire. Bara intră în ciocnire cu viteza unghiulară 1ω şi iese

din ciocnire cu viteza unghiulară 2ω . Cu notaţiile din figură şi având în vedere că cele două viteze unghiulare au

sensuri contrare, coeficientul de restituire are expresia

1

2

1

1

ωω

=−=v

ue .

Pentru aflarea vitezelor unghiulare 1ω şi 2ω se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice înainte şi după ciocnire:

2112 −=− LEE CC . a) înainte de ciocnire bara porneşte de la unghiul α , fără viteză iniţială, şi ajunge în A cu viteza unghiulară 2ω . Prin urmare 01 =CE şi rezultă

212 −=LEC

b) după ciocnire bara porneşte din A cu viteza unghiulară 2ω şi se opreşte la unghiul β .

Astfel, 02 =CE şi rezultă

211 −=− LEC Coeficientul de restituire este deci

2sin

2sin

cos1

cos1

α

β

αβ

=−−

=e

O bilă cade de la o înălţime h pe un plan orizontal fix.După a doua ciocnire cu planul bila, sărind, atinge înălţimea 2/h . Să se determine coeficientul de restituire la ciocniri. ------------------------------------------------------------------------------- Pentru calculul coeficientului de restituire se utilizează relaţia

21

12

vv

uue

−−

= ,

în care: - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit; - cu v sunt notate vitezele înainte de ciocnire; - cu u sunt notate vitezele după ciocnire. Vitezele înainte şi după ciocnire se determină cu ajutorul teoremei de variaţie a energiei cinetice

2112 −=− LEE CC . a) înainte de prima ciocnire bila pleacă din repaus de la înălţimea h, prin urmare 01 =CE şi rezultă

212 −=LEC b) după prima ciocnire bila pleacă cu viteza 1u şi

ajunge în repaus la înălţimea x, prin urmare 02 =CE şi

rezultă 211 −=− LEC

Asemănător, bila intră în a doua ciocnire cu viteza 1/1 uv = şi iese cu viteza

22/1

hgu ⋅⋅= .

Prin urmare, pentru prima ciocnire coeficientul de restituire este

hg

xge

⋅⋅

⋅⋅−=

2

2

iar pentru a doua ciocnire acelaşi coeficient este

hge

hg

xg

hge

⋅⋅⋅−

⋅−=

⋅⋅

⋅−=

22,

de unde 2

12 =e ; ⇒ 4 2

1=e .

( )αω cos21 2

1 ⋅−⋅=⋅∆ llGJ O

( )OJ

lG

∆

−⋅⋅⋅=

αω

cos121

( )βω cos21 2

2 ⋅−⋅−=⋅− ∆ llGJ O

( )OJ

lG

∆

−⋅⋅⋅=

βω

cos122

12

l

A

v = 0 v = h2 1 1

u = 0 u = h2 1 2

h

hgmvm ⋅⋅=⋅ 212

1

hgv ⋅⋅= 21

xgmum ⋅⋅−=⋅− 212

1

xgu ⋅⋅= 21

h

h/2

h

x

h/2

v = 2 g h 1

u = 2 g x 11

2v = 02

u = 02

v = u 1

u = 2 g h/2 1

v = 02

u = 02

1



23

O bară omogenă de lungime l şi masă Mse poate roti într-un plan vertical în jurul articulaţiei O. Bara este lăsată să cadă liber din poziţia orizontală şi, când ajunge în poziţie verticală ciocneşte un corp de masă m aşezat pe un plan orizontal aspru. Cunoscând coeficientul de restituire la ciocnire e şi coeficientul frecării de alunecare µ dintre corp şi planul orizontal, să se determine vitezele unghiulare ale barei ω şi ω ′ înainte şi după ciocnire, viteza 2u a corpului după ciocnire şi distanţa x parcursă de acesta pe planul orizontal până la oprire. ----------------------------------------------------- Se notează:

- cu v vitezele înainte de ciocnire; - cu u vitezele după ciocnire; - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit.

a) Pentru aflarea vitezei unghiulare ω cu care bara intră în ciocnire, se aplică acesteia teorema de variaţie a energiei cinetice înainte de ciocnire:

2112 −=− LEE CC . Bara porneşte din repaus şi ciocneşte corpul cu viteza unghiulară ω . Prin urmare 01 =CE

şi rezultă 212 −=LEC .

de unde

l

g⋅=

3ω .

b) Pentru a afla viteza unghiulară ω ′ a barei după ciocnire se aplică teorema momentului cinetic în timpul ciocnirii, în raport cu articulaţia din O

∑=

×=−n

iiiOO HrKK

112 .

Percuţii exterioare date nu există, singura percuţie exterioară ciocnirii (de legătură) este OH al cărei moment în raport cu polul O este nul. Prin urmare,

după scalarizare pe axa Oz, perpendiculară în O pe planul mişcării, relaţia devine

012 =− zz KK .

La începutul ciocnirii corpul (2) stă pe loc, deci 1zK aparţine barei: ω⋅= ∆Oz JK 1 .

La sfârşitul ciocnirii ambele corpuri se află în mişcare, deci lumJK Oz ⋅⋅+′⋅= ∆ 22 ω .

Rezultă 02 =⋅−⋅⋅+′⋅ ∆∆ ωω OO JlumJ .

Viteza 2u a corpului (2) după ciocnire poate fi exprimată cu ajutorul coeficientului re restituire la ciocniri care este cunoscut. Astfel, din expresia acestuia

02

21

12

−⋅⋅′−

=−−

=l

lu

vv

uue

ωω

se obţine lleu ⋅′+⋅⋅= ωω2

cu care ( ) 0=⋅−⋅⋅′+⋅⋅⋅+′⋅ ∆∆ ωωωω OO JlllemJ

şi din care rezultă viteza unghiulară ω ′ a barei după ciocnire

l

g

mMemM ⋅

⋅⋅+

⋅⋅−=′3

33ω .

c) Viteza 2u a corpului (2) după ciocnire

⋅+

⋅⋅−+⋅⋅=⋅′+⋅⋅=mM

emMellleu3

32 ωωω

( )mM

eMlgu

⋅++⋅

⋅⋅⋅=3

132

d) Pentru a afla mărimea x a deplasării corpului pe planul orizontal se aplică acestuia teorema de variaţie a energiei cinetice după ciocnire:

2112 −=− LEE CC .

Corpul iese din ciocnire cu viteza 2u şi se deplasează până la oprire. Prin urmare 02 =CE şi rezultă

211 −=− LEC . Lucrul mecanic este efectuat de către forţa de frecare

gmNT ⋅⋅=⋅= µµ de unde

g

ux

⋅⋅=

µ2

22 ; ⇒

( ) 2

3

1

23

⋅++⋅

⋅⋅⋅=

mM

eMlxµ

x

ω ω

u2

O

(µ)

221 2 lgMJ O ⋅⋅=⋅∆ ω

xgmum ⋅⋅⋅−=⋅− µ222

1

Mgx

ω ω

u2

O

v = ω v = 01 2

u = ω u = ?1 2

1

2

1 2

NT

mg

Ho



24

Să se determine poziţia de prindere a cozii unui baros pentru ca în mână să nu apară percuţie. Coada barosului se consideră o bară omogenă de masă 1M şi lungime L, iar barosul propriuzis se consideră un paralelipiped cu dimensiunile bxhxc şi masa

2M . Prinderea cozii de către mână se asimilează cu o articulaţie plană.

Se dau: kgM 5,01 = ; kgM 5,72 = ; mL 8,0= ; mcb 08,0== ; mh 15,0= . ------------------------------------------------------------------------ Etapele rezolvării sunt următoarele:

a) Se raportează ansamblul barosului la două sisteme de referinţă, unul Oxy cu originea în centrul de greutate 1C al cozii

şi altul 111 yxO cu originea în punctul de prindere. b) Se notează cu 2C centrul de greutate al paralelipipedului. c) Se determină poziţia centrului de greutate al barosului, Cx , în sistemul de

referinţă Oxy şi expresia abscisei Cx1 a

aceluiaşi punct în sistemul 111 yxO în funcţie de abscisa Ax1 a punctului A de lovire, în acelaşi sistem:

−⋅=

+

⋅

−+⋅=

⋅=

∑

∑22

220

2

21

21bL

M

M

MM

MbLM

M

Mxx

i

iCiC ,

2211bxLxx CAC ++−= .

d) Se calculează momentul de inerţie al barosului în raport cu punctele C şi 1O : 2

2

22

22

1

21

221212

−−⋅++⋅+⋅+⋅

= bx

LM

hbMxM

LMJ CCC ,

211 CC xMJJ ⋅+= .

e) Se izolează barosul în poziţia de lovire în care apar percuţiile, poziţie considerată a fi cea orizontală. Se notează:

- ω şi ω ′ vitezele unghiulare la intrare şi ieşire din ciocnire; - 1P şi 2P impulsurile la intrare şi ieşire din ciocnire;

- AH percuţia din A considerată perpendiculară pe suprafaţa barosului deoarece se neglijează frecarea dintre acesta şi obiectul lovit;

- 1H percuţia din 1O considerată de asemenea perpendiculară pe axa 11 xO

deoarece şi impulsurile 1P şi 2P sunt perpendiculare pe aceasta. f) Se aplică teorema impulsului şi teorema momentului cinetic în timpul ciocnirii, în raport cu punctul 1O :

∑=

=−n

iiHPP

112 , ∑

=×=−

n

iiiOO HrKK

112 11

;

AHHPP +=− 112 ,

AOO HAOKK ×=− 112 11.

După scalarizare pe axele 11 yO , respectiv 11 zO , se obţin relaţiile:

ACC HHxMxM −−=⋅⋅−′⋅⋅ 111 ωω ,

AA HxJJ ⋅−=⋅−′⋅ 111 ωω .

Dacă 01 =H , rezultă: ( ) AC HxM −=−′⋅⋅ ωω1 ,

( ) AA HxJ ⋅−=−′⋅ 11 ωω . Prin împărţirea celor două relaţii se obţine expresia

CA xM

Jx

1

11 ⋅

= .

În acest caz, când 01 =H , punctul A se numeşte centru de percuţie. După înlocuire se obţine:

−−⋅

+−−=

22

221bxLM

JbxLx

C

CCA

şi în continuare distanţa la caretrebuie apucată coada pentru ca în mână să nu existe percuţie

211bxLd A −−=

−−⋅−+=

22

21bxlM

Jxld

C

CC .

Pentru valorile numerice precizate în enunţ rezultă valorile: mxC 3375,0= ; 210548,0 mkgJ C ⋅= ; mx A 6085,01 = ; mx C 586,01 = ; 2

1 8526,2 mkgJ ⋅= ;md 15,0= .

b

h

d =?1

L

C1

C2

C

b

b/2x C1

h

/2

O

HA

A

d

ω

ω

P1

H1

1 O

P2xC

x A1

L

L

1



25

Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RR din figură, în ipoteza neglijării frecărilor şi maselor elementelor sale. ------------------------------------------------------------- Sistemul mecanic are două grade de libertate care

pot fi definite prin unghiurile 1q şi

2q . Se urmăreşte aflarea relaţiilor dintre momentele motoare OM şi AM , aplicate în cuplele O şi

A şi coordonale generalizate 1q şi 2q . Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a

kk

c

k

c Qq

E

q

E

dtd =

∂∂

−

∂∂&

,

în care: - cE reprezintă energia cinetică a manipulatorului;

- kQ reprezintă forţa generalizată motoare;

- k reprezintă numărul gradelor de libertate ale manipulatorului. În cazul de faţă, pentru două grade de libertate ecuaţiile sunt:

111

Qq

E

q

E

dtd cc =

∂∂

−

∂∂&

;

222

Qq

E

q

E

dtd cc =

∂∂

−

∂∂&

.

Etapele rezolvării sunt următoarele: a) se calculează energia cinetică a manipulatorului; b) se calculează derivatele energiei cinetice; c) se determină forţele generalizate motoare aplicând principiul lucrului

mecanic virtual; d) se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcării.

a) Energia cinetică este dată de relaţia

( )222

21

21

BBBc yxmvmE && +⋅⋅=⋅⋅= .

Conform figurii ( )( )

+⋅+⋅=+⋅+⋅=

21211

21211

qqslsqly

qqclcqlx

B

B ,

( ) ( )( ) ( )

+⋅+⋅+⋅⋅=++⋅−⋅⋅−=

21212111

21212111

qqcqqlcqqly

qqsqqlsqqlx

B

B

&&&&

&&&&,

( ) ( )[ ]2211212

2122

21

21 2

21 cqqqqllqqlqlmEc ⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅= &&&&&& .

b) În continuare se calculează derivatele energiei cinetice:

01

=∂∂

q

Ec ;

( ) ( )[ ]2212121221

21

1

2 cqqqllqqlqlmq

Ec ⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅=∂∂

&&&&&&

;

( ) ( ) ( )[ ]222121221212221

22

21

1

22 sqqqqllcqqqllqlqllmq

E

dtd c ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

∂∂

&&&&&&&&&&&&&

;

( ) 2211212

sqqqqllmq

Ec ⋅+⋅⋅⋅⋅−=∂∂

&&& ;

( )[ ]21212122

2

cqqllqqlmq

Ec ⋅⋅⋅++⋅⋅=∂∂

&&&&

;

( )[ ]2212121212122

2

sqqqllcqqllqqlmq

E

dtd c ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅=

∂∂

&&&&&&&&&

.

c) Se aplică principiul lucrului mecanic virtual pentru a determina forţele generalizate motoare:

( )[ ]212111

11

1

1

11 qqclcqlgmM

q

qq

ygmqM

q

LQ O

BO

+⋅+⋅⋅⋅−=⋅

∂∂

⋅⋅−⋅==

δ

δδ

δδ

;

( )2122

22

2

2

22 qqclgmM

q

qq

ygmqM

q

LQ A

BA

+⋅⋅−=⋅

∂∂

⋅⋅−⋅==

δ

δδ

δδ

.

d) Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării se obţin după înlocuire în ecuaţiile Lagrange:

( ) ( ) ( )[ ]+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅ 22221212221

221221

22

21 22 sqqqqllqcqlllqcqllllm &&&&&&&

( )[ ] OMqqclcqlgm =+⋅+⋅⋅⋅+ 21211

( )[ ] ( ) AMqqclgmsqqllmqlqcqlllm =+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 212221212

221221

22

&&&&&

Obs. Spunem că rezolvăm modelul dinamic direct dacă se dau OM , AM şi condiţiile ini ţiale ale mişcării (valorile coordonatelor şi vitezelor generalizate) şi se determină ecuaţiile de mişcare ( )tqq 11 = , ( )tqq 22 = . Dacă se dau ecuaţiile de mişcare şi determinăm momentele OM şi AM , spunem că rezolvăm modelul dinamic invers.

O

mg

A

B

1

2

MO

MA

q1

q2

O

mg

MO

MAA

B

q1

y B

xB

1

2

mxB yB,



26

Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RT din figură. Se neglijează masele elementelor mecanismului, iar obiectul manipulat se asimilează cu un punct material de masă m. ---------------------------------------------------------------- Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a

kk

c

k

c Qq

E

q

E

dtd =

∂∂

−

∂∂&

Energia cinetică este dată de relaţia

( )222

21 zyxmEc &&& ++⋅⋅== .

Conform figurii

=⋅=⋅=

1

12

12

lz

sqqy

cqqx

⇒

=⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅=

012112

12112

z

cqqqsqqy

sqqqcqqx

&

&&&

&&&

( )[ ]22

2122

1 qqqmEc && +⋅⋅⋅== .

Derivatele energiei cinetice sunt:

01

=∂∂

q

Ec ; 122

1

qqmq

Ec&

&⋅⋅=

∂∂

;

( )= ⋅+⋅⋅⋅⋅=

∂∂

⋅ 122122

1

2 qqqqqmq

E

dtd c

&&&&&

;

212

2

qqmq

Ec&⋅⋅=

∂∂

; 22

qmq

Ec&

&⋅=

∂∂

; 22

qmq

E

dtd c

&&&

⋅=

∂∂

⋅ .

Forţele generalizate motoare se calculează cu relaţiile:

11

11

1

11 M

q

qM

q

LQ =

⋅==

δδ

δδ

;

22

22

2

22 F

q

qF

q

LQ =

⋅==

δδ

δδ

.

După inlocuire în ecuaţiile Lagrange de speţa II-a rezultă ecuaţiile diferenţiale de mişcare:

( ) 11222122 Mqqqqqm =⋅+⋅⋅⋅⋅ &&&& ; ( ) 2

2122 Fqqqm =⋅−⋅ &&& .

Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RTT din figură. Se neglijează masele elementelor mecanismului, iar obiectul manipulat se asimilează cu un punct material de masă m. ------------------------------------------------------------ Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a

kk

c

k

c Qq

E

q

E

dtd =

∂∂

−

∂∂&

.

Energia cinetică este dată de relaţia

( )222

21 zyxmEc &&& ++⋅⋅== .

Conform figurii

=⋅=⋅=

2

13

13

qz

sqqy

cqqx

⇒

=⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅=

2

13113

13113

qz

cqqqsqqy

sqqqcqqx

&&

&&&

&&&

( )[ ]23

22

2132

1 qqqqmEc &&& ++⋅⋅⋅== .

Derivatele energiei cinetice sunt:

01

=∂∂

q

Ec ; 123

1

qqmq

Ec&

&⋅⋅=

∂∂

;

( )= ⋅+⋅⋅⋅⋅=

∂∂

⋅ 123133

1

2 qqqqqmq

E

dtd c

&&&&&

;

02

=∂∂q

Ec ; 22

qmq

Ec&

&⋅=

∂∂

; 22

qmq

E

dtd c

&&&

⋅=

∂∂

⋅ .

223

3

qqmq

Ec&⋅⋅=

∂∂

; 33

qmq

Ec&

&⋅=

∂∂

; 33

qmq

E

dtd c

&&&

⋅=

∂∂

⋅ .

Forţele generalizate motoare se calculează cu relaţiile:

11

11

1

11 M

q

qM

q

LQ =

⋅==

δδ

δδ

; gmFq

qgmqF

q

LQ ⋅−=

⋅⋅−⋅== 2

2

222

2

22 δ

δδδδ

;

33

33

3

33 F

q

qF

q

LQ =

⋅==

δδ

δδ

După inlocuire în ecuaţiile Lagrange de speţa II-a rezultă ecuaţiile diferenţiale de mişcare:

( ) 11233132 Mqqqqqm =⋅+⋅⋅⋅⋅ &&&& ; gmFqm ⋅−=⋅ 22&& ; ( ) 3

2133 Fqqqm =⋅−⋅ &&& .

mg

M1

F2

1 P

mg

M1

,q 1 q 1

,q 2 q 2

F2

q 1

q 2

x,y,zP m

y x

z

1

mg

M1

F3

P

F2

mg

M1

,q 1 q 1

,q 3 q 3

F3

q 1

q 3

x,y,zP m

q 2q 2

F2

q 2

y x

z



27

Se dă o bară cotită AOB, cu unghiul drept în O, articulată cilindric în acest punct. Barele omogene AO şi OB au lungimile a şi 2a şi greutăţile P , respectiv

P2 . În capătul A acţionează, perpendicular pe bara AO, un arc cu constanta elastică k. În poziţia de echilibru static bara OB formează cu orizontala unghiul α . Să se determine ecuaţia diferenţială a micilor oscilaţii şi perioada acestora. ------------------------------------------------------------------------- Se reprezintă bara într-o configuraţie dată de unghiul ϕ faţă de poziţia de

echilibru. Considerând cazul micilor oscilaţii, unghiul o5≤ϕ , situaţie în care

ϕϕ ≅sin iar 1cos ≅ϕ şi arcul poate fi considerat că rămâne perpendicular pe bara AO. Se aplică teorema momentului cinetic în raport cu axa de rotaţie:

zO MJ =⋅∆ ϕ&& .

( ) ( ) aFaPaPJ eO ⋅−+⋅⋅−+⋅⋅⋅=⋅∆ ϕαϕαϕ sin2

cos2&&

unde: ( ) 2

22

33

223

agPa

gPa

gPJ O ⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅=∆ ,

( ) αϕαϕαϕαϕα sincossinsincoscoscos ⋅−≅⋅−⋅=+ , ( ) αϕααϕϕαϕα cossincossincossinsin ⋅+≅⋅+⋅=+ ,

ϕ⋅⋅+= akFF stee .

Forţa elastică din arc în condiţii statice steF se determină scriind o ecuaţie de

momente în raport cu punctul O:

0sin2

cos2 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅ aFaPaP steαα ,

de unde

αα sin2

cos2 ⋅−⋅⋅= PPF ste .

După înlocuire în expresia obţinută în baza teoremei momentului cinetic, rezultă:

ϕαϕαϕϕ ⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅ 22 cos2

sin23 akaPaPag

p&&

0cos21sin2

3=⋅

+⋅⋅

+⋅⋅+ ϕααϕPk

aa

g&& .

Introducând notaţia

⋅+⋅+⋅⋅

⋅=

Pak

a

gp αα cos

21sin2

32 ,

ecuaţia diferenţială a mişcării devine 02 =⋅+ ϕϕ p&& .

Soluţia acesteia este de forma ptCptC sincos 21 ⋅+⋅=ϕ .

Perioada micilor oscilaţii este

⋅+⋅+⋅⋅

⋅

⋅=⋅=

Pak

a

gpT

αα

ππ

cos21sin2

3

22 .

αO

A

B

k

α

ϕ

2P

Fe

P

H

V

aϕ

a/2 sin a cos(α+ϕ) (α+ϕ)

ϕϕ

αFest

P

2P

H

V

a/2 sinα a cosα

O



Probleme rezolvate de Mecanica II (Itul-Haiduc)

Documents

Transcript of Probleme rezolvate de Mecanica II (Itul-Haiduc)