PROBLEME REZOLVATE

PROBLEME REZOLVATE

GEOMETRIESEMESTRUL II

CLASA a VII-a

Profesor TIT CUPRIAN

.

.

ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

Realizat de prof. TIT CUPRIAN

.

PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC, AB = 12cm, BC = 18cm, AC = 15cm, MN = 12cm, MN||BC, M[AB] si N[AC]. Aflati lungimile segmentelor AM si AN.

Rezolvare: A

B C

M N

Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:

BC

MN

AC

AN

AB

AM

Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:

3

2

18

12

1512

ANAM

AM = 122:3 = 8cm

AN = 152:3 = 10cm


.

PROBLEMA 2Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 12cm si CD = 6cm. Diagonalele ACBD={O}; daca BD = 15cm, aflati lungimile segmentelor BO si OD.

Rezolvare:

A B

CD

O

ODCOBA (cazul U.U.)

AB

CD

AO

OC

BO

OD

Daca notam OD = x, atunci BO = 15 –x.x

15-xInlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:

2

1

12

6

15

AO

OC

x

x

2x = 15 – x 3x = 15 x = 15:3 = 5cm.

Asadar OD = 5cm si BO = 15 – 5 = 10cm.Realizat de prof. TIT CUPRIAN

PROBLEMA 3Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 6cm si CD = 5cm; AD = 2cm; BCAD={O}. Se cere sa aflati lungimea lui AO.Rezolvare:

A B

CD

O

5

6

2

Daca DC||AB atunci ODCOAB si rezulta:

AB

DC

OB

OC

OA

OD

Daca notam OD = x, atunci OA = 2 +x

xx+2

6

5

2

OB

OC

x

xInlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:

6x = 5x + 10 x = 10OD = 10cm si AO = 10 + 2 = 12cm.

.Realizat de prof. TIT CUPRIAN

PROBLEMA 4Fie ABC cu AB = 15cm; MN||BC, M[AB], N[AC]. Aflati lungimea segmentului AM astfel incat aria AMN sa fie 44,(4)% din aria ABC.Rezolvare:

A

B C

M N

Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:

;)1(2iA

A

ABC

AMN

unde i este raportul de asemanare;

Notam AM = x;x 15

x

AB

AMiAvem

Din relatia (1) rezulta:

22515100

)4(,44 22xx

100100

9

400225

2

x

.101002 x.

x =

10


PROBLEMA 5Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm si BC = 15cm. BE este perpendiculara pe AC, E[CD]. Aflati lungimea segmentului [CE].

Rezolvare:

A B

CD E

20

15

In conditiile in care unghiul BACunghiul CBE (sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare, si triunghiurile ABC si BCE sunt

dreptunghiceatunci avem: ABCBCE din care rezulta:

BE

AC

CE

BC

BC

AB

Inlocuim in sirul de rapoarte egale lungimile segmentelor:

CE

15

15

20

.25,1220

1515

CE


PROBLEMA 6Fie ABC un triunghi dreptunghic in A; daca AB = 30cm, AC = 40cm, BC = 50cm sa se afle lungimea lui AD, unde ADBC.Rezolvare:

A

B C

30 40

50D

Daca ADBC si BAAC atunci <BAD <BCA

ABD ABC

4050

30 AD

AC

AD

BC

AB

.2450

4030cmAD

Mai cunoasteti si o alta metoda de rezolvare?


PROBLEMA 7Fie ABC dreptunghic in A, AB = 10cm, AC = 24cm si BC = 26cm. In mijlocul O a lui BC se ridica o perpendiculara pe aceasta care taie pe AC in N. Aflati lungimea lui ON.Rezolvare: A

B CO

N

10 24

26

ONCABC

comununghiesteC

cedreptunghisunt

OB = OC = BC/2 = 26:2 = 13cm.

13 AC

OC

AB

ON

24

13

10

ON

12

65

24

130

24

1310 2(

ON


PROBLEMA 8Fie triunghiul ABC dreptunghic in A cu AB = 8cm; ADBC, D[BC]. Daca BD = 4cm sa se afle lungimile laturilor BC, AC si AC. Rezolvare:

A

B CD

8 cm

4 cm

ABDBCAAC

AD

AB

BD

BC

AB

8

48

BC

.164

88

BC

16 cm

CD = 16 – 4 = 12cm.

12 cm

ADCABC AC

DC

BC

AC

AB

AD

AC

ACAD 12

168 AC2 = 192

AC = 192 AC= 83.

83 cm

ABDACD AD

BD

DC

AD

AC

AB AD

AD 4

1238

8

.343

312

3

12

38

128

AD

cm34


PROBLEMA 9Avem triunghiul isoscel ABC, AB = AC, AD = 8cm si BC = 12 cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului prin metoda asemanarii triunghiurilor.Rezolvare: A

B C

O

D

E

.

6 cm

8 cm

ABDBDE

lareperpendicurespectivlaturilecuDBEBAD

cedreptunghisuntiletriunghiur

DE

BD

BD

AD

DE

6

6

8 .5,4

8

36cmDE

AE = AD + DE = 8 + 4,5 = 12,5

R = AE:2 = 12,5:2 = 6,25 cm.

.

RELAŢII METRICE


PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD = 53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC.

Rezolvare:

A

B CD

10cm

53c

m1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD:

BD2 = AB2 – AD2 BD2 = 100 – 75 = 25 BD = 25 = 5cm.

5cm

2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC:

AB2 = BDBC 100 = 5BC BC = 100:5 = 20cm.

20cm

3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam teorema lui Pitagora in ABC:

AC2 = BC2 – AB2 AC2 = 400 – 100 = 300

AC = 100 = 103cm.

103cm

Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema inaltimii.


Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati lungimea lui [EC]. Rezolvare:

PROBLEMA 2

A B

CD

E

Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E.

F

G

In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.

10

5

GE2 = BE2 – BG2 GE2 = 100-25=75

.3575 cmGE

53FE = GF – GE = 10 - 53cm.

In CEF: CE2 = FE2 + FC2

310020053510 222 CE

.32103100200 cmCE


Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cm unde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale.Rezolvare:

PROBLEMA 3

A B

CD

E

25

10

4

In ADE aflam pe AE:

AE2 = AD2 – DE2 = 20 – 16 = 4.

AE = 4 = 2cm.

2

BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm.

8

In BDE aflam pe BD:

BD2 = BE2 + AD2 = 64 + 16 = 80.

BD = 80 = 45cm.

Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB:

F

BF = AE = 2cm.

2

CF = DE = 4cm.

4

In ACF avem: AC2 = AF2 + CF2 = 122 + 42 = 144+16=160.

.104160 cmAC


Fie triunghiul ABC isoscel, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului inscris triunghiului ABC. Rezolvare:

PROBLEMA 4

A

B CD

O E

Construim: ADBC; OEAC, O=centrul cercului inscris

In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.

10

12

6

Notam OD=OE= x;

x

x

Daca CD=6 atunci si CE=6; AE=AC-EC=4cm.

6

4 Daca AD=8 atunci AO = AD – OD = 8–x.

8-x

In AOE: AO2 = AE2 + OE2

(8 – x)2 = 42 + x2 64 – 16x + x2 = 16 + x2

16x = 64 – 16 16x = 48 x = 3cm.

Deci Rcercului inscris= 3 cm.Gasiti si o alta metoda de rezolvare!

.

Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului ABC. Rezolvare:

PROBLEMA 5

A

B C

O

D

10cm

Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm.

6cm

Notam AO=OB= x (raza cercului circumscris).

x

x

In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.Rezulta ca OD=AD-AO=8-x.

8-x

Aplicam teorema lui Pitagora in OBD:OB2 = BD2 + OD2

x2 = 62 + (8-x)2 16x = 100

cmx 25,616

100

Gasiti si o alta metoda de rezolvare!


Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea.

Rezolvare:

PROBLEMA 6

A B

CD

O

Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura.

N

a

b

a

b

M

1) Sa calculam linia mijlocie OM (media aritmetica):

2) Sa calculam ON=raza semicercului (media geometrica):AD2=BC2–(AB–CD)2=(a+b)2–(a–b)2=4ab.

.24 ababAD

22

baCDABOM

3) Sa calculam lungimea segmentului NP (media armonica):

P

.abON

E

NPOCEB BC

NO

CE

NP

ba

ab

ab

NP

2

.22

ba

ab

ba

ababNP


PROBLEMA 7Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare:A

B C D

O

Prelungim pe AD pana taie cercul in E.

E

Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE dreptunghic in C.

Aplicam teorema lui Pitagora in ADC:

10

8

AD2 = AC2 – CD2 = 100 – 64 = 36AD = 36 = 6cm. 6

Aplicam teorema catetei in ACE:

AC2 = ADAE 100 = 6AE AE = 100:6 = 16,(6) cm.

Raza=AO=AE:2=8,(3)cm.


PROBLEMA 8Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incat triunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE.

Rezolvare:

A

.

B

CD

E

F

12cmNotam pe BE = x.

x

Atunci AE = AF = 12 – x.

12-x

12-

x

Aplicam teorema lui Pitagora in BEC

CE2 = BC2 + BE2 = 144 + x2

Aplicam teorema lui Pitagora in AFE

FE2 = AE2 + AF2 = 2(12 – x)2

Dar FE = CE, asadar

2(12 – x)2 = 144 + x2 x2 – 48x + 144 = 0

31224 x.

Pentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II.Realizat de prof. TIT CUPRIAN

PROBLEMA 9Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor.

Rezolvare:

A B

CD

16

8

O

Daca trapezul este isoscel atunci si triunghiurile AOB si COD sunt isoscele.

.282

16

2

ABAO

.242

8

2

CDOC

.212 OCAOACAplicam teorema lui Pitagora in BOC

28

24

BC2 = BO2 + OC2 = 128 + 32 = 160

.104160 cmBC

.1082410428162 cmBCCDABPABCD


.

FUNCTII TRIGONOMETRICE


Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si masura unghiului cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare:

PROBLEMA 1

a

b

Construim inaltimea pe latura de lungime b.

O notam cu h.

h

In triunghiul din stanga avem:

h= asin si x = acos

x y

c Inseamna ca y = b – x = b - acos

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul din dreapta:c2 = h2 + y2 = (asin)2 + (b - acos)2

c2 = a2sin2 + b2 – 2abcos + a2cos2c2 = a2(sin2 + cos2)+b2 – 2abcos

Dar sin2 + cos2 = 1, asadar

( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ).

c2 = a2 + b2 – 2abcosRealizat de prof. TIT CUPRIAN

PROBLEMA 2Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750 si AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului.

Rezolvare: A

B C

600 450

8cm

m(<BAC) = 1800 – m(<B) – m(<C) = 1800 – 600 – 450 = 750.

D

In ABD: BD = ABcos60 = 80,5 = 4cm. AD = ABsin60 = 83/2 = 43cm.

In ADC: CD = AD = 43cm. (ADC=isoscel si dreptunghic.)

AC = CDsin45 = 432/2 = 26cm.

PABC = AB + AC + BC = = 8 + 26 + 43 + 4 = = 12 + 43 + 26cm.

.

.3382

34344

22cm

ADBCA ABC


PROBLEMA 3Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de 600 iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului.

Rezolvare:

A B

CD

4cm

3cm

8cm

600 300

E F

AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm.

DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm.

BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm.

BF = BCcos30=433/2=6cm.EF = CD = 3cm.

.34182363434 cmEAFEBFCBDCADPABCD

.314

2

32311

22cm

DECDABAABCD


PROBLEMA 4Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm si AC = b = 8cm. Sa se afle sinA, sinB si sinC.

Rezolvare:


A

B C

7cm

9cm

8cm

Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi:

cpbpappA Unde p = semiperimetrul triunghiului.

p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12

51291281271212 A

Folosim alta formula de calcul a ariei unui triunghi:

2

sin AACABA

7

53

87

51222sin

ACAB

AA

Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C.

Se poate aplica in continuare si teorema sinusului: C

c

B

b

A

a

sinsinsin

.

PROBLEMA 5Printr-un anume procedeu calculati tg150

Rezolvare:


Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare:A

B C

300

D

bisectoarea

150

Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = ACcos300 = 43/2 = 23.

Aplicam teorema bisectoarei:

232

432

DCBD

ACAB

DC

AC

BD

AB

63432

32

32

ABBD

.

3232

634150

AB

BDtg

Calculati singuri si sin150 si sin750.


PROBLEMA 6Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750.

Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450 si 600.

A

B C

7 50

450

600

D

Notam BD = 1

1

Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6.

2 3

3

6Aria triunghiului ABC:

2

33

2

331

2

ADBCAABC

Dar aria ABC cu formula sinusului este:

2

75sin62

2

75sin 00

ACABAABC

Asadar avem:

2

33

2

75sin62 0

4

26

12

2363

62

1863

62

3375sin 0

.


PROBLEMA 7Deduceti urmatoarea formula in trigonometrie: sin2 + cos2 = 1.Rezolvare:

A

B C

Scriem teorema lui Pitagora:

AB2 + AC2 = BC2

Impartim relatia de mai sus prin BC2 si obtinem:

.122

BC

AC

BC

AB

.cossin BC

ACsi

BC

ABDar Atunci rezulta:

.1cossin 22 .

CERCUL SI POLIGOANE REGULATE

.

PROBLEMA 1Fie un cerc de raza 6cm. Aflati lungimea cercului, aria cercului, lungimea arcului de cerc si aria sectorului de cerc de = 600.Rezolvare:

.

O

A

6cm

Lungimea cercului: L = 2R = 26 = 12 cm.

Aria cercului: A = R2 = 62 = 36 cm2.Lungimea arcului de cerc:

600

.2180

606

180 0

0

0cm

RLAB

B

Aria sectorului de cerc:

.6360

6036

3602

0

0

0

2

cmR

Asc

PROBLEMA 2Intr-un cerc este inscris triunghiul MNP cu m(<MPN)=450si MN = 82 cm. Se cere sa se afle raza cercului.Rezolvare:

.

M

N

P 450

82

O

Fie O centrul cercului; daca m(<MPN) = 450, atunci m(<MON) = 900. Deci MON este dreptunghic isoscel.

.82

28

2cm

MNOM

Explicatii: <P = 450 rezulta ca arcul MN are masura de doua ori mai mare decat masura unghiului P, adica egala cu 900; unghiul MON, inscris in cerc cu varful in centrul cercului va avea masura egala cu masura arcului MN, adica 900.

PROBLEMA 3Perimetrul unui triunghi ABC este de 60 cm, iar latura [BC] are lungimea de 20 cm. Sa se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este punctul de tangenta al laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi.

Rezolvare:

.

A

B C

M

N

P

Daca cercul este inscris in triunghiul ABC atunci avem:

AM = AP = x; BM = BN = y; CN= CP = z.

x x

y

y z

z

Perimetrul = x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)=60

Rezulta ca x+y+z = 30

Dar y+z = BC = 20 cm.Rezulta ca x = AM = 10 cm.

R E Ţ I N E Ţ I !Pentru triunghiul echilateral este specific numarul: 3

R

l

3Rl

Pentru un patrat este specific numarul: 2

R

l

2Rl

Pentru hexagonul regulat este specific numarul: 11

R

l

.1 RRl

.

PROBLEMA 4Sa se afle latura, apotema si aria unui triunghi echilateral daca raza cercului circumscris triunghiului este de 6 cm.Rezolvare:

.

A

B C

O

D

R

R a

l

AO = OB = R (raza cercului)

AC = l = latura triunghiuluiOD = a = apotema triunghiului

.363 cmRl

.32

6

2cm

Ra

22

3274

3363

4

33cm

RA

22

3274

3108

4

3cm

lA sau

PROBLEMA 5Sa se afle apotema, aria triunghiului si raza cercului circumscris acestuia daca latura triunghiului este de 6 cm. Rezolvare:

.

A

B C

O

D

R

Ra

l

AO = OB = R (raza cercului)

AC = l = latura triunghiuluiOD = a = apotema triunghiului

.36

36

6

3cm

la

22

394

336

4

3cm

lA

.323

36

3

6

3cm

lR

PROBLEMA 6Daca raza cercului circumscris unui patrat este de 8 cm, aflati latura, apotema si aria patratului.

Rezolvare:

.

O

A B

CDE

l

R a

l = R2 = 82 cm.

.242

28

2

8

2cm

Ra

.128642822 222 cmRA

PROBLEMA 7Daca latura unui patrat este de 8 cm aflati apotema, aria patratului si raza cercului circumscris acestuia.Rezolvare:

.

O

A B

CDE

l

R a

a = l/2 = 8/2 = 4 cm.

A = l2 = 82 = 64 cm2.

.242

28

2

8

2cm

lR

PROBLEMA 8Daca raza cercului circumscris unui hexagon regulat este de 4 cm, aflati latura, apotema si aria hexagonului regulat.

Rezolvare:

.

A B

C

DE

F O

Ra l

l = R = 4 cm.

.322

34

2

3cm

Ra

.3242

348

2

343

2

33 222

cmR

A

PROBLEMA 9Daca latura unui hexagon regulat este de 6 cm, aflati apotema si aria hexagonului si raza cercului circumscris acestuia.

Rezolvare:

.

A B

C

DE

F O

Ra l

.332

36

2

3cm

la

.3542

3108

2

363

2

33 222

cml

A

R = l = 6 cm.

CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC

.

O

1. Construim un cerc;

2. Construim diametrul AP;

A

P

3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP;

MBC

4. Unim punctele A cu B si A cu C;

5. Daca nu avem nevoie de diametrul AP si de punctul M, le stergem.

CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC

.

O


2. Luam un punct pe cerc;

3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B;

A

B

4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F.C

D

E

F

5. Unim punctele A, C si E.6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.

.

CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS INTR-UN CERC


O

2. Construim un diametru;

3. Construim un alt diametru perpendicular pe primul;

A C

B

D

4. Unim consecutiv punctele A, B, C, D.

.

CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC

.

O


2. Construim diametrul AP;

A

P

3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP;

MB C

4. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OA;

ND E

5. Unim consecutiv punctele A, E, C, P, B, D;6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.

CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC

.

O


2. Luam un punct pe cerc;

3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B;

A

B

4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F.

C

D

E

F

5. Unim consecutiv punctele A, B, C, D, E, F, A.

6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.

PROBLEME REZOLVATE

Documents

Transcript of PROBLEME REZOLVATE