PROBLEME PROPUSE

1.Să se dovedească inegalităţile :

Soluţie: voi arăta că au loc inegalităţile

(1)

Pentru aceasta consider funcţia dată prin

Avem: f(0)=0

cu

Rezultă f si f’ descrescătoare şi negative de unde obţinem că

Consider apoi funcţia ,dată prin:

Expresia de gradul al doilea de la numărătorul raportului ce exprimă funcţia g’’’ are discriminantul = 7<0 , deci este strict pozitivă:

Şi atunci funcţiile g’’ , g’ si g sunt strict crescătoare şi pozitive , deoareceg’’(0)=g’(0)=g(0)=0.Prin integrarea relaţiilor (1) se obţin inegalităţile din enunţ.

2. Se consideră şirul .

Să se arate că şirul este convergent şi să se afle limita sa . Soluţie :Voi dovedi inegalităţile :

1

(1)

Consider funcţia dată prin :

Calculul derivatelor conduce la :

Se obţine si Consider apoi funcţia dată de :

Din relaţia anterioară şi se obţine Deoarece h’(0)=h’’(0)=0 rezultă că funcţiile h’ şi h sunt pozitive pe [0,2).Cu aceasta am demonstrat inegalităţile din (1).Voi calcula limita şirului .

Avem

Notând cu observăm că pentru şi putem utiliza

succesiv în inegalităţile (1) aceste numere şi apoi să le adunăm :

Se poate scrie echivalent :

de unde prin trecere la limită când rezultă :

de unde

2

sau

3.Să se dovedească inegalităţile :

Soluţie : încercăm o aproximare cu ajutorul inegalităţilor Hermite –Hadamard :

Semnul ,,<’’ are loc dacă f este concavă pe [a,b] iar semnul ,,>’’ dacă f este convexă pe [a,b] .Studiem semnul derivatei a doua a funcţiei f .Calculul derivatelor conduce la :

Dacă notăm :

Se interpretează expresia funcţiei g’ ca trinom de gradul al doilea în x având coeficientul termenului dominant : pentru

, iar discriminantul : ,

pentru

Se obţine astfel

Rezultă g strict descrescătoare şi cum g(0)=0 rezultă g(x)<0 şi deci

Datorită faptului că funcţia f este strict concavă vom alege semnul ,,<’’în inegalitatea H-H şi obţinem :

3

Prin înmulţirea inegalităţilor de mai sus cu se ajunge la inegalităţile din

enunţ . 4.Să se calculeze limitele şirurilor :

a)

b)

Soluţie : pentru a arăta că şirul este convergent, voi demonstra inegalităţile :

(1)

Inegalitatea din stânga este cunoscută. Pentru cea din dreapta folosesc faptul că funcţia tg este convexă şi atunci

dacă mă limitez la intervalul graficul ei se află sub coarda ce uneşte

punctele de pe grafic de coordonate (0,0) si .

Ecuaţia coardei va fi de unde rezultă :

Atunci aplicând succesiv inegalităţile (1) pentru

dacă obţinem :

Deci de unde cu criteriul

cleştelui se obţine :

.

b)Pentru a calcula limita şirului voi obţine prin integrarea

inegalităţilor din (1) pe intervalul cu , inegalităţile :

(2)

Vom găsi mai înainte limita şirului ln :

4

Pentru şi putem lua succesiv în inegalităţile (2)

şi apoi să le adunăm membru cu membru :

Deoarece (Cesaro-Stolz) va rezulta :

.

5.Să se calculeze : , unde p>0.

a) Considerăm funcţia ;

Aplicând teorema creşterilor finite pentru funcţia f care este derivabilă pe (n,n+1) si continuă pe [n,n+1] obţinem :

,unde

Avem

Obţinem

Dacă facem atunci şi avem :

Distingem cazurile : a) Dacă 0<p<2 atunci şi

b) Dacă

În concluzie obţinem :

6. Calculaţi : ,unde .

5

Soluţie : considerăm funcţia , şi atunci limita se

transformă în :

Aplicând teorema creşterilor finite asupra funcţiei f derivabilă pe (n,n+1) şi continuă pe [n,n+1] obţinem :

Însă (1)

(2)

Dacă facem atunci şi avem :

=

Dar şi

7. Să se calculeze :

So luţie .Se demonstrează inegalităţile :

De exemplu pentru a demonstra inegalitatea din dreapta considerăm funcţia cu f(0)=0

Cum f(0)=0 şi f- descrescătoare rezultă că .

Punem în inegalităţile (1) succesiv şi apoi

însumăm după :

Facem şi obţinem :

6

Se obţine :

8. Dacă este o funcţie integrabilă pe [0,1] şi

astfel ca cu p număr real pozitiv, atunci are loc :

Soluţie . Limita se rescrie astfel :

Demonstrez inegalităţile :

Pentru cea din stânga avem folosind notaţiile :

Deoarece

Alegem succesiv , (n fixat) în aceste inegalităţi şi obţinem :

Dacă însumăm după k şi apoi trecem la limită când obţinem :

Conform criteriului cleştelui rezultă cerinţa din enunţ .

7

APLICAŢIE : dacă p=1 ; se regăseşte problema 21120 din GM5/1987 :

10.Să se calculeze limita :

Soluţie.

Dacă notez ;

avem ; .

Avem

Am utilizat mai sus regula lui L Hospital.

Se obţine :

POP SEVERPROFESOR GR.IBAIA MARESC. NR. 5 ,TEL:0262278881MOBIL:0746014867

8