Prof. dr. ing. Vasile Mircea Popa

ELECTROTEHNICĂ

partea a II-a

- Probleme -

Sibiu – 2007

CAP. 5 PROBLEME

Problema 1

Valorile complexe a doi curenţi de linie dintr-o reţea trifazată fără fir neutru sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21j

236I1 ; j6I3 −=

Să se determine curentul 2I , verificându-se dacă sistemul de curenţi este simetric şi să se

stabilească succesiunea fazelor. Să se calculeze componentele simetrice ale sistemului de curenţi.

Soluţie

Avem: 0III 321 =++ .

Rezultă: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

21j

236I2 .

Sistemul este simetric de succesiune inversă.

Avem: 0Ih = ; 0Id = ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21j

236Ii .

Problema 2

Cunoscându-se tensiunile unui sistem nesimetric de tensiuni V120U1 = ; Ve120U 6j

2

π

= ;

Ve120U 65j

3

π

= , să se calculeze componentele simetrice hU , dU , iU .

Soluţie

Aplicând formulele cunoscute, se obţine:

( )j140U h +=

( )j140Ud +=

( )j2140Ui +=

Problema 3

Să se calculeze curenţii printr-un receptor trifazat, cunoscându-se componentele simetrice ale

acestuia: Aj6Ih = , ( )Ai333Id −−= , ( )Aj333Ii +−= .

Soluţie Aplicând formulele cunoscute, se obţin: ( )Aj16I1 +−=

( )Aj16I2 +−=

Aj36I3 −=

Problema 4 Se consideră sistemul trifazat nesimetric:

tsin2300u 1 ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω=3

tsin2300u 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω=3

tsin2300u3

a) să se reprezinte în complex şi fazorial mărimile 1u , 2u , 3u

b) să se calculeze componentele simetrice ale sistemului şi să se reprezinte fazorial c) să se calculeze gradul de disimetrie şi gradul de asimetrie pentru sistemul considerat. Soluţie

Se folosesc relaţiile:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

2

2

i

d

0

UUU

aa1aa1111

31

UUU

[ ]%100UU

d

ii ⋅=ε

[ ]%100UU

d

00 ⋅=ε

Problema 5 Să se calculeze curenţii din reţeaua de mai jos prin metoda componentelor nesimetrice:

I1

I2

I3

IN

ZN

Z1

Z2

Z3

1

2

3

0

U10 U20 U30

Date numerice:

Ω= 2Z ; Ω= 1ZN ; V4U10 = ; Va4U 220 = ; aV6U30 .

Soluţie

Calculăm componentele simetrice:

( )a6a4431U 2

0 ++= 3

14Ud = ( )2i a6a44

31U ++=

37

ZU

I dd == ( )2i

i a6a4461

ZU

I ++==

( )a6a44151

Z3ZU

I 2

N

00 ++=

+=

5a10I1

−=⇒ 5a1110I2

−−=

5a14I3 =

5a2IN =

Problema 6

Pentru cuadripolul din figură se cunosc:

Ω= k10X1 ; Ω= k5R 2 ; Ω= k5X 2 ; Ω= k10R3 .

Să se calculeze:

a) impedanţele de mers în gol şi de scurtcircuit, primare şi secundare

b) parametrii fundamentali

c) impedanţa de intrare primară când la bornele secundare se cuplează sarcina Ω= k10R .

Soluţie

a) Ω+= kj155Z10

Ω+= kj124Z SC1

Ω+= kj515Z20

Ω+= kj412Z SC2

b) 20

j1C −=

j2A +=

j2020B +=

j2D −=

c)13

j17060DZCBZAZ

S

S1e

+=

++

=

1

1’

2

2’

R R2

R3 I1

I1’’

I1’jX1

jX2

Problema 7

Pentru cuadripolul din figură să se calculeze:

a) parametrii fundamentali ( )D,C,B,A

b) impedanţele imagini.

Se cunosc: Ω= k1R ; F21

C μπ

= ; kHz1f = .

Soluţie

a) Calculăm 10Z , SC1Z , 20Z

j6001200Z10 −= j5001500Z SC1 −= j600200Z20 −=

( )SC11020 ZZZ

1C−

=

CZA 10= CZZB 20SC1= CZD 20=

Problema 8

Pentru cuadripolul din figură să se determine:

a) parametrii fundamentali ( )D,C,B,A

b) impedanţa caracteristică ( )CZ

c) constanta de propagare, constanta de atenuare şi constanta de fază, dacă la bornele secundare se

cuplează o impedanţă egală cu CZ .

R R

C C

1

1’

2

2’

R R1

1’

2

2’

R

Soluţie

a) R1C = R3B = 2A = 2D =

b) 3RCBZC ==

c) ( )CBAlng += ; ( )32lng += .

Problema 9

Să se determine elementele schemei echivalente în T ale unui cuadripol pentru care se dau:

j4,08,0A +=

j6,02,2B +=

j3,01,0C +=

Soluţie

Schema echivalentă în T este:

Avem relaţiile:

YC = YZ1A 1+= YZZZZB 2121 ++= YZ1D 2+=

Obţinem:

1j3,01,0CY −Ω+==

Ω+=−

= j1Y

1AZ1

Ω−=+−

= j1YZ1

ZBZ1

12

Z1 Z2 1

1’

2

2’

Y

Problema 10

Să se găsească banda de trecere şi frecvenţa de tăiere pentru filtrul nedisipativ din figură.

Să se dimensioneze L şi C astfel încât Hz100f0 = .

Soluţie

Filtrul este de tipul trece-jos.

LjZZ 21 ω== CjY ω=

LC1YZ1A 21 ω−=+=

⇒= 1A 2 01 =ω

LC2

2 =ω

C,LLC2f2 0 ⇒=π

Problema 11

Se consideră următoarea tensiune nesinusoidală:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈−

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈

=T,

2Ttpentru,U

2T,0tpentru,U

tu

m

m

Să se determine:

a) dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei ( )tu

b) valoarea efectivă ( )U

c) reziduul deformant ( )dU

d) valoarea efectivă a componentei alternative ( )~U

e) coeficientul de distorsiune ( )dk .

L L1

1’

2

2’

C

Soluţie

a) 0U0 = ; 0Bn =

( ) ( ) ( )π+=ω+= ∫+ 1n2

U4dtt1n2sintuT2A mT

01n2

b) mUU = (direct din definiţie)

c) mm221

20

2d U435,0U81UUUU =

π−=−−=

d) m~ UU =

e) 435,0UU

k~

dd ==

Problema 12

Se dă curentul nesinusoidal:

t7sin4,1t5sint3sin3tsin55i ω+ω+ω+ω+=

Să se determine:

a) valoarea efectivă

b) valoarea efectivă a componentei alternativă

c) valoarea efectivă a armonicilor superioare (reziduul deformant)

d) coeficientul de distorsiune

Soluţie

a) ...IIII 22

21

20 +++= , se obţine: A5,61

21

29

22525I =++++=

b) ...III 22

21~ ++= , se obţine: A3,41

21

29

225I~ =+++=

c) ...III 23

22d ++= , se obţine: A45,21

21

29Id =++=

d) 57,03,445,2

II

k~

dd ===

Problema 13

Aplicând la bornele unui condensator C fără pierderi o tensiune de valoare efectivă

V100U1 = sinusoidală, se obţine un curent A10I1 = . Dacă tensiunea conţine şi armonica a 3-a,

curentul este de A12 .

Care este raportul dintre valorile efective ale celor două armonici?

Soluţie

CUI 11 ω= V100U1 = A10I1 =

C3UI 33 ω⋅=

23

21 III += A12I = A112I3 =

22,0II

31

UU

1

3

1

3 ≈⋅=

Problema 14

Se dă circuitul din figură.

Să se determine valoarea instantanee a curentului din circuit, puterile consumate de acesta şi

tensiunea 2u , în cazul alimentării cu tensiunea:

t3sin2100tsin2100u1 ω+ω= .

Date numerice: Ω= 1R ; mH10Lπ

= ; F10C4

μπ

= ; Hz50f =

Soluţie

Se foloseşte metoda superpoziţiei:

( )'o1053t3sin230tsin250i −ω+ω=

VA172000S = W6800P = VAR2400Q = VAD4000D =

( ) ( )'oo2 3571t3sin52045tsin100u −ω+−ω=

...PPPP 210 +++= ...QQQ 21 ++= ...QQQ 21 ++= 222 QPSD −−=

1

1’

2

2’

u2 u1

i R L

R

C

Problema 15

Circuitului din figură i se aplică la intrare tensiunea:

Vt3sin250tsin2100u1 ω+ω= .

Care este tensiunea 2u dacă:

1

1 C1L

ω=ω ;

C31L3ω

=ω ?

Soluţie

Aplicăm principiul superpoziţiei, lucrând pe fiecare armonică în parte. Se obţine:

Vt3sin250u 2 ω= .

Problema 16

La momentul 0t = se deschide întrerupătorul a.

Se cer:

a) expresia ( )tii =

b) durata regimului tranzitoriu ( )tt

Se va utiliza metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale.

Soluţie

( ) ( )Tt

212

1

21

eRRR

ERRR

Eti−

⋅+

++

=

21 RR

LT+

=

R1 R2 i L

E a

(t=0)

1

1’

2

2’

u2 u1

CL

L1

C1

Problema 17

La momentul 0t = se deschide întrerupătorul a.

Se cere expresia ( )tii = prin metoda operaţională.

Soluţie

Schema operaţională este:

unde ( )2R

E0i = .

Obţinem:

( ) ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++

=++

⋅+=

LRRs

Rs

RRRR

EsLRR

REL

sE

sI21

12

21221

2

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+=

⋅+

− tL

RR

12212

21

eRRRRR

Eti

Notând: TRR

L

21

=+

, avem:

( ) ( )Tt

212

1

21

eRRR

ERRR

Eti−

⋅+

++

=

R1 R2 i L

E a

(t=0)

I(s) R1 R2 sL Li(0)

sE

Problema 18

La momentul 0t = se închide întrerupătorul a.

Să se determine curentul ( )ti prin metoda operaţională.

Soluţie

( )s

LR

RRE

sI2

21

+

+=

( ) tL

R

21

2

eRR

Eti⋅−

⋅+

= ; 2R

LT =

Problema 19

La momentul 0t = comutatorul a este trecut din poziţia 1 în poziţia 2.

Să se determine curentul ( )ti prin metoda operaţională.

Soluţie

( )

RC1s

RE

sI+

=

( ) Tt

eREti

−⋅= ; RCT =

R1 R2 i(t) L

E a (t=0)

E

1 2 i

CR

(t=0)

uC

+

−

R2

I(s)

sL

( )21 RR

EL0Li+

=

R

I(s)

–

+ sC1

sE

Problema 20

La bornele circuitului din de derivare din figură, aflat în condiţii iniţiale de zero, se aplică al

momentul 0t = semnalul în formă de rampă: ( ) tKtu1 ⋅= .

Să se determine răspunsul ( )tu 2 al circuitului utilizând metoda răspunsului tranzitoriu

(integrala lui Duhamel).

Soluţie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dzztfzxtf0xtxt

0

'iie −+= ∫

( ) Tt

etf−

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

RLT

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒

−Tt

2 e1KTtu

R

L u2(t)u1(t)

u1

t 0

u1(t)=Kt

i

t

KT