Curs Electrotehnica Bun

8/20/2019 Curs Electrotehnica Bun

1/246

PREFAŢĂ

Energia electrică şi, deci, aplicaţiile acesteia în activităţilecotidiene, reprezintă elementul de bază, de importanţă strategică îndezvoltarea social-economică şi durabilă a oricărei societăţi moderne.

Înţelegerea şi utilizarea cu succes a aplicaţiilor energiei electrice,impune necesitatea cunoaşterii principalelor fenomene şi instalaţiielectromagnetice. Autorul în lucrarea de faţă, îşi propune să r ăspundă doar într-o anumită măsur ă acestui deziderat, abordând numai o parte aimplicaţiilor acestui domeniu. Materialul prezentat în această carte seadresează cu precădere studenţilor de la facultăţile de profil ne-electric,dar poate fi utilă şi studenţilor de la facultăţile de profil electric cât şicelor interesaţi în cunoaşterea problematicelor de bază ale fenomenelorelectrice şi ale aplicaţiilor acestora.

Lucrarea de faţa este structurat pe 6 capitole.Capitolele doi şi patru tratează problemele de bază ale teoriei

circuitelor electrice. In material se prezintă principalele legi şi teoremeale circuitelor electrice în curent continuu şi curent alternativ, precum şicele mai practice metode de rezolvare ale acestora. Pentru o înţelegeremai uşoar ă a fenomenelor electrice, materialul este însoţit şi de o serie deaplicaţii specifice.

Capitolul trei tratează cele mai uzuale aspecte legate de teoriacircuitelor electromagnetice, prezentând principalele legi şi teoreme cât şiaplicaţii ale acestora.

Capitolul patru „Măsur ări electrice” încearcă să pună la îndemânacititorului cele mai clasice căi de măsurare a principalelor mărimi şi parametri electrici.

Capitolul cinci abordează aspectele principale legate defuncţionarea transformatoarele electrice şi a celor mai utilizate maşinielectrice, cât şi de aplicaţilor acestora.

În capitolul şase se prezintă chestiuni legate de: instalaţiileelectrice de iluminat; instalaţii de protecţie împotriva electrocutărilor şiinstalaţii de acţionări electrice.

Autorul mulţumeşte tuturor celor care l-au sprijinit în finalizarealucr ării şi r ămâne veşnic recunoscător acelora ce vor veni cu observaţii şisugestii utile îmbunătăţirii lucr ării.


2/246

Electrotehnică si maşini electrice4


3/246

Circuite de curent continuu 5

CuprinsCAP.1. Circuite de curent continuu…………...………….........……...9

1.1. Noţiuni generale …………….…………………………………..91.2. Surse de energie (generatoare)….…………………………......101.3. Curentul electric. Tensiunea electromotoare...………………131.4. Legile si teoremele fundamentale ale circuitelor de curent

continuu………………………………………………………….161.4.1. Legea conducţiei electrice (Legea lui Ohm)………………..161.4.1.1. Legea lui Ohm în formă locală.………….…..………….161.4.1.2. Legea lui Ohm în formă integrală.....................................171.4.1.3. Dipol electric........... .........................................................19

1.4.2. Legea transformării energiei în conductoare (Joulle-Lenz)...201.4.3. Teoremele lui Kirchhoff.................................. ....................211.4.3.1.. Teorema I-a a lui Kirchhoff.............................................211.4.3.2. Teorema a II-a a lui Kirchhoff..........................................22

1.4.4. Teorema conservării puterilor electrice………………..........231.4.5. Teorema transferului maxim de putere………………..........24

1.5. Transformarea schemelor circuitelor liniare de curentcontinuu……………………………………….............…….…25 1.5.1. Conexiunile rezistoarelor. Rezistenţe echivalente….........…25 1.5.2. Teoremele lui Kennelly de transformare a circuitelor

pasive…………………………………….........……………….301.5.3. Conexiunile laturilor active de circuit……….........………...31

1.6. Analiza circuitelor liniare de curent continuu ……………....321.6.1. Metode de analiză a circuitelor de curent continuu....……...33

CAP. 2. Circuite magnetice...................................................................492.1. Câmpul magnetic. Forţă electromagnetică…………………. 492.2. Intensitatea câmpului magnetic……………………………….522.3. Fluxul câmpului magnetic…………………………………….542.7. Magnetizaţia temporară. Legea magnetizaţiei temporare…..552.5. Magnetizarea materialelor magnetice. Fenomenul de

histerezis………………………………………………………..572.6. Legea fundamentală a circuitului magnetic (legea curentului

total)…………………………………………………………...602.7. Circuite magnetice……………………………………………..652.8. Inducţia eletromagnetică………………………….…………...682.9. Fenomenul de autoinducţie …………………………...………732.10. Fenomenul de inducţie mutuală…………………………...…752.11. Curenţii Foucault (turbionari)………………………….… ...782.12. Energia câmpului magnetic…………………………………. 802.13. Electromagneţi.Forţă portantă……………………………....81


4/246


CAP.3. Circuite de curent alternativ....................................................833.1. Circuite de curent alternativ monofazat................................... 83

3.1.1. Producerea curentului alternativ monofazat..........................833.1.2. Perioada şi frecvenţa curentului alternativ.............................843.1.3. Faza şi decalajul fazelor.........................................................863.1.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale.................87

3.1.4.1. Reprezentarea fazorială.....................................................873.1.4.2. Reprezentarea în complex.................................................903.1.5. Valorile medii şi eficace ale curentului alternativ.................923.1.6. Legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff în c.a....................943.1.7. Circuite fundamentale în curent alternativ.............................953.1.7.1. Circuite cu rezitenţă ohmică.............................................953.1.7.2. Circuite cu inductanţă.......................................................953.1.7.3. Circuite cu condensatoare.................................................97

3.1.8. Circuite serie în curent alternativ...........................................983.1.9. Circuite derivaţie în curent alternativ...................................1003.1.10. Circuite mixte în curent alternativ.....................................1013.1.11. Relaţii dintre rezistenţe şi conductanţe echivalente...........1023.1.12. Puterea în c.a. monofazat...................................................1053.1.13. Îmbunătăţirea factorului de putere.....................................1063.1.14. Rezonanţa în circuitele electrice........................................1083.1.14.1. Rezonanţa circuitelor serie (rezonanţa tensiunilor)......1083.1.14.2. Rezonanţa circuitelor derivaţie (rezonanţa curenţilor)..111

3.2. Circuite electrice trifazate........................................................112 3.2.1. Sisteme de mărimi polifazate...............................................1123.2.2. Sisteme trifazate...................................................................1133.2.2.1. Conexiunea în stea..........................................................1163.2.2.2. Conexiunea în triunghi....................................................119

3.2.3. Puterile electrice în circuite trifazate...................................1203.2.4. Conectarea receptoarelor la reţelele electrice trifazate........1213.2.4.1. Conectarea în stea...........................................................1213.2.4.2. Conectarea în triunghi.....................................................123

CAP.4. Măsurări electrice ………………………………………..…125 4.1. Noţiuni generale…………………………….………………...1254.2. Măsurarea mărimilor electrice………………… …………...127

4.2.1. Măsurarea intensităţii curenţilor..........................................1274.2.2. Măsurarea tensiunilor………………...……………………1274.2.3. Măsurarea rezistenţelor………………………………...….1284.2.3.1 Metoda ampermetrului şi voltmetrului…………………1284.2.3.2 Măsurare rezistenţelor cu ohmmetru…………………. 1304.2.3.3. Punţi pentru măsurarea rezistenţelor……………..…….131


5/246


4.2.4. Măsurarea puterilor electrice…………...………………... 1324.2.4.1. Măsurarea puterilor în c.c………………………….….1324.2.4.2. Măsurarea puterilor în c.a.monofazat………………....1334.2.4.3. Măsurarea puterii active în c.a.trifazat………….……..1354.2.4.4. Măsurarea puterii reactive în c.a. trifazat……….……..138

4.2.5. Măsurarea energiei electrice……………………………....140

4.2.5.1. Măsurarea energiei electrice în circuitele de c.c.… …..1404.2.5.2. Măsurarea energiei electrice active în circuite de c.a....1414.2.5.3. Măsurarea energiei reactive………………………… ..142

4.2.6. Măsurarea impedanţelor (inductivităţi şi capacităţi)…...….1434.2.6.1. Metode de punte …………………………………...….1434.2.6.2. Metoda ampermetrului şi voltmetrului………..……....145

CAP. 5. Transformatoare şi maşini electrice……………….....…....1475.1. Transformatoare electrice…………………………………..1475.1.1. Transformatorul monofazat……………………….……….147

5.1.1.1. Generalităţi…………………………………….………1475.1.1.2. Elemente constructive………………………….……...1485.1.1.3. Principiul de func

ţionare ……….……………………..150

5.1.1.4. Funcţionarea transformatorului monofazat f ăr ă pierderi…………………………………………………..…...151

5.1.1.5. Funcţionarea transformatorului monofazat ţinând seamade pierderile de energie…………………………………..…..153

5.1.1.6. Caracteristicile transformatorului. Randamentul….......1565.1.2. Transformatoare trifazate……………………………..…...1595.1.3. Autotransformatoare…………………………………..…..1615.1.4. Transformatoare de măsur ă……………………………..…162

5.1.4.1. Transformatoarele de tensiune…………..…………….1635.1.4.2. Transformatoarele de intensitate…….………………...163

5.1.5. Transformatoarele de sudur ă……………….……………...1655.2. Maşina asincronă…………………………………...……..…167

5.2.1. Elemente constructive ale maşinii asincrone trifazate…….1675.2.2. Funţionarea în regim de motor a maşinii asincrone……….1705.2.3. Cuplul electromagnetic al maşinii asincrone………….…..1735.2.4. Caracteristicile motorului asincron trifazat………………..1775.2.5. Pornirea motorului asincron trifazat……………………....1785.2.6. Reglaj de viteză şi inversarea sensului de rotaţie………….1825.2.7. Motorul asincron monofazat……………………………....183

5.3. Maşina sincronă……………………………………………...1865.3.1. Noţiuni generale…………………………………….……..1865.3.2. Principii constructive ale maşinii sincrone trifazate….…...1865.3.3. Funcţionarea maşinii sincrone ca generator………….……187


6/246


5.3.4. Caracteristicile generatorului sincron………………….….1895.3.5. Funţionarea în paralel a generatoarelor sincrone……….…1915.3.6. Funcţionarea maşinii sincrone ca motor …....………….…1925.3.7. Caracteristicile motorului sincron ………………………...1935.3.8. Pornirea motorului sincron trifazat………………………..194

5.4. Maşina de curent continuu………………………………… 196

5.4.1. Noţiuni generale…………………………………….……..1965.4.2. Construcţia maşinii de c.c………………………………....1965.4.3. Funcţionarea maşinii de c.c. în regim de generator…….…1975.4.4. Caracteristicile generatorului de c.c....................................200

5.4.4.1. Caracteristicile generatoarelor de c.c. cu excitaţiederivaţie şi independentă…………………………………..201

5.4.4.2 Caracteristicile generatorului de c.c. cu excitaţie mixtă ..………………………………………………………………..203

5.4.5. Funţionarea maşinii de c.c. în regim de motor…………....2055.4.6. Turaţia şi momentul cuplului motor…………………...….2065.4.7. Caracteristicile motorului de c.c………………………….207

5.4.7.1. Caracteristicile motorului de c.c. cu excitaţia în derivaţieşi cu excitaţia independentă……….………………………207

5.4.7.2. Caracteristicile motorului de c.c. cu excitaţia în serie..2095.4.7.3. Caracteristicile motorului de c.c. cu excitaţie mixtă….211

5.4.8. Pierderile şi randamentul maşinii de c.c............................212CAP.6. Instalaţii şi acţionǎri electrice …………….……………......215

6.1. Instalaţii electrice de iluminat…………………………...….2156.2. Îmbunătăţirea factorului de putere…………………...……219

6.2.1. Dezavantajele unui factor de putere redus……………......2196.2.2. Măsuri de îmbunătăţire a factorului de putere…………....220

6.3. Tehnica securităţii muncii în instalaţiile electrice…………222 6.3.1. Protecţie împotriva atingerilor accidentale a păr ţilor

conductoare care în mod normal, nu sunt sub tensiune……….2246.3.2. Protecţia împotriva supratensiunilor apărute ca urmare a

descărcărilor electrice…….……………………………………2276.4 Acţionări electrice…………………....………………………227

6.4.1. Bazele dinamicii sistemelor de acţionare electrică..……...227 6.4.2. Alegerea tipului de motor electric………………………...2306.4.3. Alegerea puterii motorului electric……………………….2326.4.4. Echipamente şi scheme electrice de acţionare…………....236


7/246


CAP. 1. CIRCUITE DE CURENT CONTINUU

1.1. Noţiuni generale

Se numeşte circuit electric, totalitatea mediilor conductoare ceformează o cale de curent sau un ansamblu de generatoare şi receptoare,cu legături conductoare între ele. Se numeşte re ţ ea electrică, unansamblu de circuite cu legătur ă electrică între ele. Elementele unuicircuit de c c sunt: sursele de energie şi rezistoarele electrice. Mărimilecare intervin sunt: t. e. m., căderile de tensiune sau tensiunea electrică (u), intensitatea curentului (i) şi puterea electrică (p). Rezistoarele suntcaracterizate prin parametrul R, numit rezistenţă electrică.

Structura circuitelor este caracterizată prin: laturi (ramuri), nodurişi ochiuri (sau bucle).

Se numeşte latur ă o por ţiune de circuit ce conţine cel puţin osursă sau o rezistenţă şi nu are ramificaţii de-a lungul acesteia. Numărulde laturi se notează cu l (L).

Se numeşte nod al unei reţele un punct al reţelei în care seîntâlnesc cel puţin trei laturi. Numărul nodurilor se notează cu n (N).

Se numeşte ochi al unei reţele (sau buclă) un traseu conductorînchis al acesteia. Numărul de bucle se notează cu o (B).

Structura unei reţele este complet determinat ă (cunoscută) dacă secunosc: numărul de laturi (l ), numărul de noduri (n) şi numărul de ochiuriindependente (o).

Se numeşte ochi (buclă) independentă acel ochi care conţine cel puţin o latur ă necomună cu alte ochiuri. În baza teoremei lui Euler, (o) secalculează cu relaţia:

o=l-n+1 (1.1)Circuitele electrice se clasifică după mai multe criterii:

a) după natura elementelor avem: circuite liniare, circuiteneliniare şi circuite parametrice. În circuitele liniare, parametriicircuitelor (spre exemplu, rezistenţele) nu depind nici de curent, nici detimp, la circuitele neliniare depind de curent, iar la cele parametricedepind de timp;

b) după regimul de func ţ ionare avem: circuite de curentcontinuu (c.c.), caracterizate de regimul staţionar şi numai de curentul deconducţie în conductoare; circuite de curent alternativ (c.a.),caracterizate de regimul cvasistaţionar, existând curent de conducţie în


8/246


conductoare şi curent de deplasare în dielectricul condensatoarelor(curentul variază în timp, sinusoidal sau nesinusoidal);

c) în raport cu sursele pot exista: circuite active (conţin surse) şicircuite pasive (nu conţin surse);

d) după localizarea parametrilor pot exista: circuite cu parametri concentra ţ i şi circuite cu parametri distribui ţ i;

e) după leg ătura cu exteriorul se deosebesc: circuite izolate (nuau borne de acces cu exteriorul), circuite neizolate (au borne de acces cuexteriorul);

f) după structura geometrică pot exista: circuite filiforme,circuite masive;

g) după complexitate pot exista: circuite simple (care nu conţinmai multe surse pe laturi diferite, ci conţin grupări numai serie, paralelsau mixt), circuite complexe (restul circuitelor);

Circuitul care conţine numai două borne de acces cu exteriorul senumeşte dipol; circuitul care are patru borne de acces cu exteriorul senumeşte cuadripol , etc..

1.2. Surse de energie (generatoare)

In instalaţiile electrice se întâlnesc ca surse de energie,generatorul de tensiune şi generatorul de curent.

Generatorul ideal de tensiune este un element activ bipolar, carese bucur ă de proprietatea că tensiunea la bornele sale este rigurosconstantă şi ea nu depinde de valoarea curentului debitat.

Simbolul său este dat in Fig. 1.1 a, iar caracteristica sa în Fig. 1.1 b. În realitate nu poate exista generator ideal, deoarece când R ar fi zero,curentul ar tinde câtre infinit (i =U/R ) şi deci puterea ( p=ui) devine la

rândul ei infinită.

Fig. 1.1.


9/246


10/246


caracteristica reală se apropie de cea ideală cu atât mai mult cu cât Ri estemai mare, conform relaţiei (1.4).

(1.4)

Laturile unui circuit pot fi laturi receptoare sau generatoare.

Latura este receptoare dacă puterea consumată este pozitivă, adică: p=ui>0 (1.5)

Aceasta impune ca sensurile lui u şi i să coincidă, figura 1.6. Latura estegeneratoare dacă puterea consumată este negativă adică:

p=ui


11/246


Pentru Fig. 1.6 legea lui Ohm se scrie:

U+e=RI . (1.7)

Pentru Fig. 1.7 legea lui Ohm se scrie:

e-U=RI , e=U+RI . (1.8)

1.3. Curentul electric. Tensiunea electromotoare

Curentul electric reprezintă deplasarea ordonată a purtătorilor desarcini electrice printr-un mediu adus în stare de conducţie. După naturamediului prin care circulă purtătorii de sarcină, curentul electric poate fi:de conduc ţ ie, de deplasare, de convec ţ ie şi curentul Röntgen teoretic.

a.) Curentul de conducţie. Mediile, cum ar fi metalele şicărbunii, care conţin sarcini libere în stare naturală şi care nu sunt însoţitede transformări chimice când sunt parcurse de curenţi electrici, se

numesc conductoare de speţa I-a. Circulaţia curentului prin metale esteînsoţită întotdeauna de degajare de căldur ă. Trecerea curentului prinelectroliţi, pe lângă degajarea de căldur ă, este însoţită şi de fenomenechimice. Asemenea medii se numesc conductoare de speţa a-II-a.

Circulaţia purtătorilor de sarcină prin mediile conductoareformează curentul de conduc ţ ie.

b.) Curentul de deplasare apare prin materialele dielectrice cândacestea sunt plasate în câmpuri electrice.

c) Curentul de convecţie şi curentul Röntgen teoretic aparenumai în conductoare parcurse de curenţi de conducţie, aflate în mişcare.

Deoarece importanţa în practică a curenţilor de deplasare şi a

curenţilor de convecţie şi Röntgen teoretic este redusă, în cele ceurmează se va face referire numai la curentul electric de conducţie.Observaţie: întotdeauna starea electrocinetică este însoţită de

câmp magnetic.Electronii liberi dintr-un conductor metalic şi/sau ionii unui

electrolit sunt în permanenţă într-o mişcare continuă dezordonată.Cantitatea de electricitate care str ă bate orice secţiune transversală aconductorului în condiţii normale, este în medie, egală cu zero. Dacă însă asupra acestor electroni liberi acţionează for ţe într-un anumit sens(de exemplu for ţele unui câmp electric), la viteza lor se adaugă componenta vitezei orientată în sensul for ţei de acţiune. În acest caz în

orice secţiune transversală a conductorului trece o cantitate determinată


12/246


de electricitate, adică, în conductor ia naştere un curent electric, numitcurent de conduc ţ ie.

Intensitatea curentului . Pentru caracterizarea deplasării dirijatea particulelor de sarcină electrică se utilizează noţiunea de intensitatea acurentului, care este egală cu cantitatea de electricitate care trece printr-osecţiune transversală a conductorului în timp de o secundă.

Dacă într-un interval de timp oarecare, intensitatea curentului nuîşi schimbă valoarea şi nici sensul, curentul se numeşte continuu. Înacest caz se poate scrie relaţia:

I =t

q (1.9)

unde q reprezintă cantitatea de electricitate care trece prin secţiuneatransversală a conductorului în timpul t. Dacă consider ăm un element desuprafaţă ds prin care trece cantitatea de electricitate dq întimpul dt , atunci:

i =d

d

q

t (1.10)

Curentul electric este o mărime scalara.Densitate de curent . Fie, ds, un element de suprafaţă dintr-o

suprafaţă oarecare, S, a unui mediu conductor, prin care circulă un curentelectric (figura 1.8). Se poate presupune că direcţia curentului, adică direcţia mişcăriisarcinilor electrice este aceeaşi în toate punctele elementului. Raportul dintre curentulelementar di , ce trece prin elementul desuprafaţă ds (perpendicular pe direcţiacurentului) şi aria acestui element se numeştedensitate de curent, J, şi se exprimă cu relaţia:

dsdi J (1.11)

Densitatea de curent este o mărime vectorială a cărei direcţie coincide cudirecţia de mişcare a sarcinilor electrice pozitive în punctul respectiv.

Dacă vectorul J şi normala pozitivă la suprafaţă formează unghiul , atunci:

cos

ds

di J sau, ds J ds J di cos

Integrând, vom obţine valoarea curentului ce trece prin întreaga suprafaţă S, adică:

Fig. 1.8


13/246


S

ds J i (1.12)

Dacă densitatea de curent are aceeaşi valoare în toate punctelesuprafeţei şi formează cu normala la suprafaţă, pretutindeni, acelaşiunghi, se poate scrie:

coscos S J ds J iS

Dacă unghiul 0 , adică direcţia curentului este perpendicular ă pe suprafaţă, vom avea:

S J i (1.13)Relaţia (1.13) este valabilă pentru un curent constant în timp şi în

cazul conductoarelor liniare, care au dimensiunile transversale mici înraport cu lungimea lor.

În sistemul internaţional, unitatea de măsur ă pentru intensitateacurentului electric este amperul, iar pentru densitatea de curentamperul/mp (A/m2).

Deplasarea purtătorilor de sarcini electrice este întotdeauna

însoţită de dezvoltarea unei energii în mediile prin care circulă. Spredeosebire de regimul electrostatic al câmpului electromagnetic, energiadezvoltată se poate transforma în alte forme de energie. Prezenţacurentului electric este însoţită de căldur ă, energie mecanică, chimică,magnetică etc..

În regim electrocinetic conductoarele nu sunt în echilibru electric,întrucât în interiorul conductorului câmpul electric este diferit de zero.Starea electrocinetică a câmpului electromagnetic poate fi menţinută numai dacă se cheltuieşte o anumită cantitate de energie, de altă natur ă decât electrică. Câmpul electric obţinut prin consumul unei energii dealtă natur ă decât cea electrică (câmp care imprimă purtătorilor de sarcină

electrică o mişcare ordonată), se numeşte câmp electric imprimat. Câmpul electric imprimat are două aspecte:- câmp electric imprimat propriu-zis care generează curent

electric constant în timp;- câmp electric solenoidal care generează curent electric variabil

în timp .Câmpul electric imprimat se defineşte prin relaţia:

i E =q

F i (1.14)

unde: i F este for ţa imprimată purtătorului de sarcină q.


14/246


Spre deosebire de câmpul electrostatic, circulaţia câmpului electricimprimat pe o curbă Γ închisă aste diferită de zero. Această circulaţie senumeşte tensiune electromotoare a sursei de energie electrică:

edlE i

(1.15)

unde: e - este tensiunea electromotoare (t.e.m).Câmpurile imprimate se pot obţine prin diverse procedee:a.) Reacţii electrochimice între metale şi soluţii, principiu ce stă

la baza construirii pilelor electrochimice şi a acumulatorilor.Aceste câmpuri imprimate se mai numesc şi câmpuri galvanice.

b.) Prin încălzirea contactului dintre două metale diferite(termocuplul). Pe acest principiu se obţin câmpuri imprimatetermoelectrice.

c.) Prin iradierea unei joncţiuni semiconductor-metal. Pe acest principiu se obţin câmpuri imprimate fotoelectrice.

1.4. Legile si teoremele fundamentale ale circuitelor decurent continuu

1.4.1. Legea conducţiei electrice (Legea lui Ohm )1.4.1.1. Legea lui Ohm în formă locală

Considerând o por ţiune de circuit electric str ă bătută de un curentelectric, se poate demonstra că densitatea de curent prin conductor este

direct propor ţională cu intensitatea câmpului electric rezultant E + i E

adică :

i E E J (1.16)

în care: γ - conductibilitatea electrică a materialului.

E - intensitatea câmpului electric

i E - intensitatea câmpului electric imprimat.

Relaţia (1.16) exprimă legea lui Ohm în forma local ă . Conductibilitatea electrică depinde de natura, structura şi

temperatura materialului conductor. Unitatea de măsur ă pentruconductibilitate este (m)-1.


15/246


1.4.1.2. Legea lui Ohm în formă integrală Această lege se refer ă la conductori în formă de fir (filiformi),

conductori la care dimensiunile secţiunii sunt mult mai mici ca lungimea.

Pentru conductoare avem i E =0.

Considerând că direcţia câmpului coincide cu direcţia deplasăriisarcinilor electrice, pentru un mediu izotrop, putem scrie:

l l l

J U E dl E dl dl

Însă:ds

dI J şi deci l dl ds

dI U

Curentul elementar dI , care trece prin secţiunea transversală ds, poate fi considerat constant, deci se poate scoate de sub semnul deintegrare întrucât conform principiului continuităţii curentului, acestfactor este identic în orice secţiune transversală de-a lungul drumului deintegrare, de lungime l. Deci avem:

l ds

dl dI U

(1.17)

Diferenţa de potenţial U între capetele conductorului considerateste aceeaşi pentru toţi curenţii elementari dI şi calculând curentul I întot conductorul prin însumarea curenţilor dI în diferite elemente desuprafaţă ds, ajungem la concluzia că intensitatea curentului este propor ţională cu tensiunea U, adică:

U = R I (1.18)unde R, se numeşte rezistenţă electrică a por ţiunii de conductorconsiderată şi se calculează cu relaţia (1.11):

R=l

dl

γ ×ds (1.19)

Rezistenţa electrică se măsoar ă în Ohmi ( ). Mărimea inversă rezistenţei se numeşte conductanţă electrică şi se notează cu G: G=1/R.Unitatea de măsur ă pentru conductanţă este -1 (siemens).

Relaţia (1.19), exprimă legea lui Ohm cu aplicare la o por ţ iunede conductor . Dacă consider ăm cazul cel mai simplu, al unui conductorliniar de secţiune constantă ds, pe toată lungimea l , se poate scrie relaţiasub forma:

l dl

ds

dI U

Dacă conductorul este omogen şi γ este constant atunci avem:


16/246


l

ds

dI dl

ds

dI U

l sau S l U

dsl

U dI

I

o S

deci:

S

l

U I

R

U

Prin urmare, expresia rezistenţei electrice are forma:sau

l l R R

S S

(1.20)

unde

1

reprezintă rezistenţă specifică sau rezistivitate şi reprezintă

rezistenţa unui conductor cu lungimea de 1m şi secţiunea de 1 mm2.Unitatea de măsur ă pentru rezistivitate este mmm /2 .

În cazul conductoarelor masive, de exemplu în cazul solului seutilizează unitatea ·cm sau, în cazul izolanţilor, ·m.

Să examinăm acum un circuit electric închis, care conţine o sursă

de t.e.m. „e”. Sub acţiunea t.e.m în circuit apare curentul I. Câmpulelectric total în acest caz este: E=Es+Ei, unde Es este câmpul de natur ă electrostatică şi Ei este câmpul electric imprimat.

Scriind integrala de linie a intensităţii câmpului de la bornanegativă B, de-a lungul drumului n în interiorul sursei (Fig. 1.9), spre borna pozitivă A, obţinem:

. . .i s BnA BnA BnA

E dl E dl E dl (1.21)

Ultima integrala reprezintă t.e.m. a sursei. Integrala BnA

dl E . nu

depinde de alegerea drumului de integrare şi prin urmare:

. . . ( ) s s s A B BnA BmA AmB

E dl E dl E dl V V

Egalitatea (1.13) se poate scrie deci

sub forma: . . s BnA AmB

E dl E dl e

sau . . s AmB BnA

e E dl E dl .Fig. 1.9


17/246


Prima integrală reprezintă diferenţa de potenţial la bornele sursei,respectiv tensiunea la borne, care este egală, conform legii lui Ohm cu produsul între intensitatea curentului şi rezistenţa circuitului exterior. Adoua integrală reprezintă căderea de tensiune pe circuitul electric interioral sursei, pe care îl notăm cu uo. Deci:

e = U + uo = RI + uo (1.22)

Căderea de tensiune uo este datorată rezistenţei interioare r asursei şi se poate scrie, conform legii lui Ohm aplicată unei por ţiuni decircuit: I r u 0 .

Relaţia (1.22) se mai poate scrie şi sub forma:

rI RI e saur R

e I

(1.23)

Relaţiile (1.23) reprezintă legea lui Ohm în formă integral ă sau legealui Ohm aplicat ă unui circuit întreg . În cazul când în circuitul închisacţionează mai multe surse de t.e.m. diferite, prin „e” trebuie să seînţeleagă suma algebrică a t.e.m. ale tuturor surselor. Legea lui Ohm esteo lege ce depinde de proprietăţile materialului şi poartă denumirea de

lege de material.

1.4.1.3. Dipol electric O por ţiune de circuit cu 2 borne, între care se află o tensiune

electrică, se numeşte dipol electric. Dacă dipolul conţine surse este activ, iar dacă nu conţine este pasiv. Relaţia (1.16) integrată pe conturul închis j - r jk - e jk - k - U jk - j ale unui dipol (Fig. 1.10) ne dă :

V j –Vk + e jk = r jk I jk (1.24)

Relaţia (1.24) mai poate fi scrisă şi sub formele: U jk + e jk = r jk I jk sau

I jk = g jk (U jk + e jk ) (1.25)

j

jk

k

I jk

I jk r jk a)

b)

Ujk

Ujk

Fig 1.10

r jk

e jk r jk a) j

jk

kI jk e jk

I jk r jk b)

Fig 1.11

Ujk

Ujk

Fig. 1.10 Fig. 1.11


18/246


Relaţia (1.25) reprezintă o formă general ă a legii lui Ohm pentru un dipol activ figura 1.10 a, dacă I jk , U jk şi e jk au acelaşi sens.

Pentru dipolul pasiv figura 1.10 b, avem relaţia:

U jk = r jk I jk (1.26)

Dacă una din mărimi are sens opus, se va lua în relaţie cu semnul

minus. Astfel pentru figura 1.11 a şi 1.11 b, avem relaţiile:I jk = g jk (-U jk + e jk ) (1.27)

r jk I jk =- U jk (1.28)

1.4.2. Legea transformării energiei în conductoare (Legea Joule – Lenz)

Să consider ăm un conductor prin care trece un curent electric deintensitate i şi fie dq, cantitatea de electricitate ce traversează secţiuneaîn intervalul de timp dt. Lucrul mecanic efectuat de for ţele câmpuluielectric într-o por ţiune oarecare a conductorului, pentru menţinereacurentului în circuit la capetele căruia există o diferenţă de potenţial U,va fi:

dqU dL (1.29)Acest lucru mecanic consumat se transformă în căldur ă şi conductorul seva încălzi. Puterea necesar ă pentru menţinerea curentului în conductoreste:

UI dt

dqU

dt

dL P (1.30)

Înlocuind tensiunea U, din relaţia lui Ohm se obţine relaţia:2 RI P (1.31)

Puterea se măsoar ă în waţi (1 1 1W V A ).Energia electrică care se va transforma în căldur ă va fi:

t RI QW 2 (1.32)Această relaţie a fost determinată experimental în anul 1844 de

savantul rus Lenz şi de savantul englez Joule, fapt pentru care poartă denumirea de legea Joule – Lenz.

Fenomenul de transformare a energiei electrice în căldur ă pe bazaefectului termic al curentului electric, este utilizat atât în industrie cât şiîn funcţionarea aparatele de uz casnic. Există şi unele situaţii când acestfenomen este şi dăunător. În industrie se construiesc cuptoare electrice,ciocane de lipit electrice, instrumente de măsur ă termice şi alte aparate ceau la bază acest fenomen. Printre aparatele de uz casnic, a căror


19/246


funcţionare se bazează pe efectul termic, distingem: sobe electrice,aragazuri electrice, ceainice electrice, perne electrice, fierul electric decălcat, radiatoare electrice etc.

Efectul dăunător al transformării energiei electrice în căldur ă esteîntâlnit, îndeosebi, la transformatoare şi maşinile electrice. Încălzireaconductoarelor electrice şi a miezurilor feromagnetice conduc la

reducerea randamentului şi deteriorarea izolaţiei. Evitarea acestor efectese poate face folosind relee termice şi alte dispozitive electrice şielectronice, ce întrerup alimentarea cu energie electrică a circuitelor,atunci când curentul depăşeşte valoarea maximă admisă.

1.4.3. Teoremele lui Kirchhoff 1.4.3.1. Teorema I-a a lui Kirchhoff

Prima teoremă a lui Kirchhoff (T.K.1) rezultă din legeaconservării sarcinii electrice libere:

dqi = -

dt

(1.33)

Dacă suprafaţa Σ înconjoar ă un nod al unui circuit (Fig. 1.12) se poate scrie :(1.34)

dar:(1.35)

Derivând relaţia (1.35) se obţine:

sau

S-au luat cu minus curenţii care intr ă înnod deoarece sensul lor este contrar direcţiei pozitive a normalei la suprafaţă, n.

Prima teoremă a lui Kirchhoff se poateformula astfel: Suma curenţilor care intr ă într-un nod este egală cu suma curenţilor care iesdin acel nod, sau, suma algebrică a curenţilorlaturilor ce trec printr-un nod, este egală cu

zero.

ct qqk

k

ct qqqqqq nk ...)(...)( 321

Fig. 1.12

1 2 ... ... 0 (1.36)k ndq dqdq dq dq

idt dt dt dt dt

1 2 3( ) ... ( ) ... 0 1.37k ni i i i i


20/246


(1.38)

1.4.3. 2. Teorema a II-a a lui Kirchhoff Această teoremă se aplică circuitelor închise (ochiurilor de reţea).Teorema a doua a lui Kirchhoff se demonstrează plecând de la

legea lui Ohm sau aplicând:(1.39)

Se consider ă un ochi decircuit care cuprinde nodurile1,2,3,…,m şi n (Fig. 1.13).Considerând o latur ă a buclei (k )care conţine elementele Rk şi ek ,tensiunea uk , curentul ik şi aplicândlegea lui Ohm se obţine:

(1.40)

iar k m nu V V . Pe conturul Γ,care este chiar bucla considerată acircuitului, rezultă:

(1.41)

folosind relaţia 1.40 avem: k k k k u R i e 0 ,

sau (q=1,2,…,l-n+1) (1.42)

Relaţia (1.42) reprezintă teorema a doua a lui Kirchhoff şi seenunţă astfel: într-un contur închis a unui circuit, suma algebrică acăderilor de tensiune Rk ik din laturile conturului considerat este egală cusuma algebrică a tensiunilor electromotoare (t.e.m.) ek . În relaţia (1.42) seiau cu semnul plus: căderile de tensiune la care sensul curentului prinrezistor coincide cu sensul de parcurgere a conturului şi t.e.m care sunt parcurse în acelaşi sens cu sensul sursei (sau sunt parcurse de la bornanegativă spre borna pozitivă), iar cu minus în caz contrar.

,0qk

k i nq ,1

0 E dl

Fig. 1.13

0...121 V V V V V V u nnmk

k k k k i Reu

k k k

k q k q

R i e


21/246


In cazul în care se cunosc t.e.m. şi rezistenţele laturilor unei reţeleelectrice şi se cer intensităţile curenţilor din laturi, prin aplicareateoremelor lui Kirchhoff, este suficient să se aplice T.K.1 pentru (n-1)noduri şi T.K.2 pentru (o=l-n+1) ochiuri independente. Se obţine astfelun sistem de l ecuaţii liniare şi independente, care prin rezolvare permiteobţinerea curenţilor prin laturi.

1.4.4. Teorema conservării puterilor electriceSă consider ăm o reţea neizolată (Fig. 1.14), pe la bornele căreia

se comunică energie. Se alege un nod de referinţă 0. Aplicând primateoremă a lui Kirchhoff unui nod oarecare j :

j j0 j1 jk i i i ... i (1.43)

Înmulţind relaţia (1.43) cu u jo şi însumând după j, se obţine:

n n

j0 j j0 j0 j1 jk j 1 j 1

u i u i i ... i

(1.44)

dezvoltând membrul al doilea din relaţia (1.44) se poate scrie:n

10 10 12 13 14 20 20 21 2n n0 n0 n1 nn 1 j0 j j 1

u (i i i ... i ) u (i i ... i ) ... u (i i ... i ) U i

Ţinând cont că ikj = -i jk vom obţine:

n

j0 j 10 10 20 20 n0 j0 10 20 12 20 30 23 j 1

u i u i u i ... u i (u u ) i (u u ) i ...

j0 k0 jk ... (u u ) i ... (1.45)

Un termen oarecare al membruluidrept se poate scrie:

j0 k0 jk jk jk (u u ) i u i (1.46)

Înlocuind în relaţia (1.44) se obţine:n n n

j0 j jk jk j 1 j 0 k 1

j k

u i u i

(1.47)

Această relaţie reprezintă teorema conservării puterilor şi seenunţă astfel: într-o re ţ ea, suma puterilor primite pe la borne (u jo i jo )

se consumă pe laturi (u jk i jk ).Pentru o reţea izolată (f ăr ă borne de acces cu exteriorul) puterea

primită pe la borne este nulă, şi deci relaţia (1.47) devine:

Fig. 1.14


22/246


n n

jk jk j 0 k 1

j k

U i 0

(1.48)

Aplicând legea lui Ohm pentru o latur ă (fig. 1.13) cu convenţia dela receptoare, vom avea:

jk jk jk jk U e R i (1.49)

şi introdusă în relaţia (1.47) se obţine:

n n n n2

jk jk jk jk j 0 k 1 j 0 k 1

j k j k

e i R i

(1.50)

Relaţia (1.50) se interpretează astfel, într-o reţea izolată, putereadebitată de sursă ( jk jk e i ) se consumă pe rezistenţele din laturile reţelei

( 2 jk jk R i ).

1.4.5. Teorema transferului maxim de putere

Legile şi teoremele stabilite până acum pentru circuite, suntvalabile şi în curent continuu şi în curent alternativ. Teorema transferuluimaxim de putere în curent alternativ are o formă puţin modificată. Se

consider ă un circuit închis de curent continuuca în Fig. 1.15.

Înmulţind relaţia (1.51) cu I , se obţine:

(1.52)Relaţia (1.52) reprezintă relaţia de bilanţ al

puterilor electrice într-un circuit închis decurent continuu. E I - reprezintă puterea electrică debitată de generator; Ri I

2- reprezintă pierderile de putere pe rezistenţa interioar ă ageneratorului de curent continuu;

R I 2 - reprezintă puterea transmisă receptorului (rezistorului R),

deci puterea utilă:

(1.53)

Puterea maximă se obţine din condiţia:

(1.54)

Fig. 1.15

, I R I R E i 1.51i

E I

R R

2 2i E I R I R I

22

22

R R

E R I R P

i

02 R P


23/246


adică generatorul transmite puterea maximă unui receptor, atunci cândrezistenţa de sarcină (a receptorului) este egală cu rezistenţa interioar ă a

sursei. Puterea maximă ce se transmite este dată de relaţia:

iar cea furnizată de relaţia:

Randamentul transmisiei în această ipoteză (a transferului maximde putere) este:

(1.55)

În Fig. 1.16 estereprezentată variaţia puterii P 2 în funcţie de valoarea rezistenţeide sarcină R (rel.1.53).

1.5. Transformarea schemelor circuitelor liniare de curentcontinuu.

Pentru simplificarea studiului şi rezolvarea circuitelor complexede curent continuu, se re curge la transformarea şi înlocuirea schemelorcomplicate cu altele mai simple, dar echivalente. Pentru ca două circuitesa fie echivalente, este necesar ca tensiunile nodurilor şi curenţii ce intr ă în noduri să r ămână neschimbaţi.

1.5.1. Conexiunile rezistoarelor. Rezistenţe echivalente.Există mai multe moduri de conectare a rezistoarelor: conectarea

în serie, conectarea în paralel, conectarea mixtă.

i R

E P

4

2

max2

i R

E I E P

2

2

1

2max

1

% 50% P

P

i

i

i

i

ii R R R R

R R E

R R

R R R R R E

R

P

0

23

24

222

Fig. 1.16


24/246


a.) Conectarea în serie a rezistoarelor . Se spune că elementeleunui circuit electric sunt legate în serie, dacă toate aceste elemente suntstr ă bătute de acelaşi curent. Fie circuitul din figura 1.17, format din treirezistoare legate în serie. Aceste rezistoare pot fi aşezate ca în figurile1.17a, 1.17b sau 1.17c. Rezistenţa echivalentă a grupării este egală cusuma rezistenţelor tuturor rezistoarelor din care este compusă gruparea,

adică: 321 r r r R

În cazul general, când avem n rezistoare legate în serie (fig. 1.18),relaţia se scrie sub forma:

(1.56)

b) Conectarea în parale a rezistoarelor. Un grup de rezistenţesunt conectate în paralel dacă tensiunea aplicată la bornele fiecăruirezistor este aceeaşi cu tensiunea aplicată întregii grupări (Fig. 1.19).Rezistoarele pot fi aşezate ca în figurile 1.9 a, b, sau c. Rezistenţaechivalentă a grupării este dată de relaţia:

321

1111

r r r R .

In cazul când avem n rezistoare legate în paralel (fig. 1.20),relaţia se scrie sub formă generală:

Fig. 1.17

Fig. 1.18

nR = R e

k k=1


25/246


adică conductanţa echivalentă, la o grupare în paralel, este egală cu sumaconductanţelor par ţiale.

c.) Conexiunea mixt ă a rezisten ţ elor se caracterizează prin aceeacă are rezistoare legate şi în serie şi în paralel.

În figura 1.21 este reprezentată o grupare mixtă în care, r 1 şi r 2 sunt în serie, rezistenţa echivalentă r 12 este în paralel cu r 3 şi r 123 este înserie cu r 4. Rezistenţa echivalentă dintre r 123 şi r 4 este în paralel cu r 5.Rezistenţa echivalentă a întregii grupări, va fi :

r (r + r )3 1 2r r +5 4 r + r + r 1 2 3R =e r (r + r )3 1 2r + r +5 4 r + r + r 1 2 3

În figura 1.22 estedată o grupare mixtă

compusă din 11 rezistoare. Rezistenţa echivalentă între bornele A si B se

deduce astfel: rezistoarele 6, 7 şi 8 sunt legate în serie; rezistenţa lor

Fig. 1.21

Fig. 1.19

n n1 1G = G sau = (1.57)e k R R k=1 k=1k k

Fig. 1.20


26/246


echivalentă este legată în paralel cu R 2; rezistoarele 9, 10 si 11 suntlegate în serie şi rezistenţa lor echivalentă în paralel cu R 4. Se reduceastfel gruparea la o legare în serie. Între bornele C si D, rezistentaechivalentă este formată din rezistoarele 7 şi 8 legate în serie, 6 si 2 legate tot în serie (R 1 nuintervine), 4, 10, 11 legate tot în serie (R 5 nu intervine). R 78 este în

paralel cu R 26 şi R 9 în paralel cu R 4,10,11 şi deci gruparea se reduce la olegare în serie.

d) Divizorul de tensiune (Fig. 1.23) permite obţinerea uneifracţiuni dorite dintr-o tensiune dată U 0. Dacă bornele de tensiune aledivizorului sunt în gol rezultă:

, deci: (1.58)

Atunci când raportul

este dat, stabilirea elementelor divizorului detensiune se face astfel: se alege o rezistenţă, iar

cealaltă se calculează cu relaţia (1.58).e) Divizorul de curent (fig. 1.24). permite obţinerea unei fracţiuni

dorite dintr-un curent dat, i0 . Tensiunea U la bornele divizorului decurent este:

deci, curentul I 1 va fi: (1.59)

iar

Fig. 1.22

2u R I

21 R R

U I

21

10

R R

RU U

10

U

U k

21

210

R R

R R I U

21

20

11

R R

R I

R

U I

1

2 02 1 2 (1.60)

U R

I I R R R

Fig. 1.23

Fig. 1.24


27/246


10

k I

I Dacă I=I 1 şi raportul este dat, stabilirea elementelor

divizorului se face prin alegerea unei rezistenţe R1 sau R2 , şi calcululceleilalte cu relaţia (1.58). Relaţiile divizorului de tensiune şi curent potfi utilizate în rezolvarea circuitelor electrice de curent continuu după

următoarea procedur ă: se calculează rezistenţa echivalentă la bornele sursei; se determină curentul debitat de sursă cu ajutorul legii lui Ohm; se aplică succesiv formula divizorului de curent şi prima teoremă

a lui Kirchhoff determinându-se curenţii prin rezistenţelecircuitului.

Aplicaţie: Se dă circuitul din figura 1.25, unde se cunosc

rezistenţele R1, R2, R3, R4, R5, R6 şitensiunea electromotoare e şi se cerintensităţile curenţilor prin rezistoare

şi tensiunile U AB, U BC , U BD şi U AE..Mai întâi se calculează rezistenţaechivalentă la bornele sursei:

; ; ;

1 ; BCE BDE

e AE

BCE BDE

R R R R R

R R

3 42 2

3 4

, BCE CE R R

R R R R R R

5 6; BDE R R R

3 4

2 5 63 41

3 42 5 6

3 4

;e AE

R R R R R

R R R R R

R R R R R

R R

3 434

3 4

; R R R R R

r R

e I I

e 1

5 62 1

3 42 5 6

3 4

; R R

I I R R

R R R R R

2165 I I I I

43 2

3 4

; R I I R R

4 2 3

; I I I

1 1 AB BE ABU R I U e U rI

2

2 34

; BC BE R

U U R R

Fig. 1.25

.CE BE DE U U U


28/246


1.5.2. Teoremele lui Kennelly de transformare a circuitelorpasive

Această teoremă, în cazul general, se refer ă la transfigurarea unuicircuit electric cu laturile conectate în stea (Fig. 1.26a) într-un alt circuitechivalent în care laturile sunt conectate în poligon complet (Fig. 1.26b).

Dacă circuitul are n+1 noduri şi n laturi conectate în stea, la conectareaîn poligon circuitul va avea n noduri şi 2nC laturi. Transfigurarea stea-

poligon este posibilă întotdeauna, invers (poligon-stea) nu este posibilă decât pentru cazul când cele două figuri au aceleaşi număr de laturi(adică n=3), deci numai când poligonul este triunghi.

În cazul transfigur ării stea-triunghi (Fig. 1.27), pentru a păstraaceiaşi curenţi în noduri, precum şi aceleaşi tensiuni între noduri, estenecesar ca rezistenţele echivalente între noduri, în cazul conectării în steacât şi în cazul conectării în triunghi, să fie aceeaşi. Pentru îndeplinirea

acestor condiţii este necesar ca rezistenţele între două puncte, cândlegătura spre al treilea punct este întreruptă, să fie aceeaşi în cele două scheme, adică:

R × R + R 12 23 31R + R = (1.61)10 20 R + R + R 12 23 31 R × R + R 123 31 12R + R = (1.62)20 30 R + R + R 212 23 31 R × R + R 31 12 23R + R = (1.63)30 10

R + R + R 12 23 31

Fig. 1.26

Fig. 1.27


29/246


La transformarea triunghiului în stea se presupun cunoscuterezistenţele R 12, R 23, R 31. Din sistemul de ecuaţii (1.61), (1.62), (1.63)rezultă:

R × R R × R R ×R 12 31 31 2323 12R = ; R = ; R = (1.64)10 20 30R +R +R 12 23 31R + R + R R + R + R 12 23 31 12 23 31

În cazul transfigur ării stea triunghi se presupun cunoscuterezistenţele R 10, R 20, R 30 şi se cer rezistenţele R 12, R 23, R 31. Dinrezolvarea sistemului de ecuaţii (1.61), (1.62), (1.63) sau a sistemului(1.64) se obţin relaţiile:

1.5.3. Conexiunile laturilor active de circuit a) Conexiunea în serie (Fig. 1.28a). Aplicând legea lui Ohm

pentru fiecare latur ă activă în parte, se obţin relaţiile:

U1=-E1+R1I , U2=-E2+-R 2I , U3=-E3+R 3I , … , Un=-En+R nI (1.66)

Ţinând cont de egalitatea U=U1+U2+U3+…+Un prin însumarearelaţiilor (1.66) se obţine:

U=E1+E2+E3+…+En - I(R 1+R 2+R 3+…+R n) (1.67)

Problema care se pune este să înlocuim gruparea serie a n dipoliactivi cu un singur dipol activ echivalent (Fig. 1.28).

Din (Fig. 1.28b) rezultă:U= -Ee+R eI (1.68)

R ×R 10 20R = R + R + ;12 10 10 R 30R ×R 20 30R = R + R + ; (1.65)23 20 30 R 10R ×R 30 10R = R + R +31 30 10 R 20

.


30/246


Prin identificarea relaţiilor (1.67) şi (1.68) se obţin relaţiile:n

e k k 1

R R

şin

e k k 1

E E

(1.69)În relaţiile (1.69) însumarea t.e.m. se face algebric, atribuindu-se

sensul plus, sursele care sunt parcurse de curentul I de la borna minus la borna plus (prin interior) şi minus celorlalte.

b)

Conexiunea în paralel (Fig. 1.29). Aplicând legea luiOhm, pentru fiecare latur ă a circuitului din Fig. 1.25 se obţin relaţiile:

1 2 n1 2 n

1 2 n

E U E U E UI , I ,..., I

R R R

şi ee

e

E UI

R

(1.70)

Folosind teorema I a lui Kirchhoff rezultă: 1 2 nI I I ... I

e e 1 1 2 2 n nE U G E U G E U G ... E U G (1.71)

unde: k k

1G .

R Din identificarea relaţiilor (1.71) se obţin relaţiile:

n

e k e nk 1 e

k k 1

1 1G R , R (1.72)G

G

În relaţia (1.73) însumarea termenilor E k Gk se face algebric. Se

vor lua cu plus aceia la care sensul lui E k coincide cu sensul lui E e şi cuminus ceilalţi.

1.6. Analiza circuitelor liniare de curent continuu

A rezolva sau a analiza un circuit electric de curent continuu presupune a cunoaşte structura circuitului (laturi şi noduri), parametriicircuitului (rezistenţele Rk ), sursele (generatoare de tensiune sau decurent) şi a determina: curenţii prin laturi, tensiunile între noduri, puterileconsumate sau furnizate de către laturi.

Fig. 1.29

n

k k k 1

e n

k k 1

E GE 1.73

G


31/246


1.6.1. Metode de analiză a circuitelor de curent continuu1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff este o metodă generală care

este valabilă atât în circuitele liniare, cât şi în circuitele neliniare, înregim staţionar, cât şi în regim cvasistaţionar. În circuitele liniare,ecuaţiile care rezultă din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff sunt liniare.Metodologia de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff:

a) Se fixează arbitrar în laturi reţelei sensurile de referinţă alecurenţilor prin laturi şi se aleg sensurile de parcurgere ale ochiurilorindependente;

b) Se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff pentru n-1 nodurifolosind relaţiile generale:

k k nod

I 0

. (1.74)c)Se aplică a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru o=l-n+1

ochiuri independente (l =numărul de laturi) folosind relaţiile:

k k k k ochi k ochi

R I E

(1.75)d) Se rezolv

ă sistemul liniar format din l ecua

ţii cu l necunoscute

şi se află curenţii prin laturi I k , k =1,2,…,l. Dacă prin rezolvareaecuaţiilor apar curenţi cu semnul minus, sensul real al acestora esteinvers sensului ales arbitrar.

Aplicaţie:Fie circuitul din Fig. 1.30 în care se dau tensiunile electromotoare

e1 şi e5, rezistenţele R1, R2, … , R8 şi se cer: intensităţile curenţilor I 1, I 2, … , I 8 şi tensiunile U BF

şi U AC . Numărul de laturi

al circuitului este optdeoarece (DC) nu estelatur ă.

Numărul denoduri este egal cu cinci,întrucât punctele D şi Cformează un singur nod.

Numărul deochiuri independente esteo=8-5+1=4.

Se aplică primateoremă a lui Kirchhoff

Fig. 1.30

e1


32/246


pentru patru noduri şi a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru patruochiuri.

Astfel, putem scrie:(A) I2+I3=I1 (I) e1=R 1

.I1+R 2.I2+R 6

.I6 (B) I4=I3+I5 (1.76) (II) 0 =R 2

.I2 –R 3.I3 –R 4

.I4 (1.77)(C) I2+I4=I7+I6 (III) e5=R 5

.I5+R 4.I4+R 7

.I7

(D) I1+I8=I6 (IV) 0 =R 6.I6+R 8.I8 –R7.I7

Ecuaţiile (1.76) şi (1.77) formează un sistem cu opt ecuaţii cu 8necunoscute care se poate rezolva prin metoda lui Kramer. Dacă circuituldin figura 1.30 se simplifică prin transformarea triunghiurilor ABD şiDEF în două stele, rezolvarea va fi mult mai uşoar ă.

În figura (1.31) este prezentat circuitul din figura (1.30) după aplicarea transformărilor amintite mai sus.

unde:2 3

232 3 4

R R R

R R R

3 4

342 3 4

R R R R R R

2 424

2 3 4

R R R

R R R

6 767

6 7 8

R R R

R R R

6 868

6 7 8

R R R

R R R

6 7

676 7 8

R R R

R R R

În acest caz l =3; n=2; o=2. Aplicând Teoremele lui Kirchhoffobţinem:

(O1) I24=I1+I5(I) e1=I1(R 1+R 68+R 23)+I24(R 24+R 67) (1.78)(II) e5=I5(R 5+R 34+R 78)+I24(R 24+R 67)

Sistemul de ecuaţii (1.78) are numai 3 ecuaţii faţă de sistemulformat din ecuaţiile (1.76) şi (1.77) care are 8 ecuaţii. După rezolvareasistemului (1.78) şi aflarea curenţilor I1, I24 şi I5, ceilalţi curenţi aicircuitului se pot determina aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff, pe

circuite închise ale circuitului dat cu o singur ă transfigurare Δ→λ

Fig. 1.31


33/246


aplicată. Apoi aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff se deduc toţicurenţii circuitului. Tensiunile UBF şi UAC se deduc aplicând a douateoremă a lui Kirchhoff pe contururile închise BFmB şi ABCnA.

e5=R 5I5+UBF → UBF=e5-R 5I5

0=R 3I3+R 4I4-UAC → UAC=R 3I3+R 4I4

2. Metoda suprapunerii efectelor. Are la bază următorul principiu: dacă în aceeaşi reţea se suprapun două sau mai multe regimuride echilibru, se obţine tot un regim de echilibru. Conform acestui principiu, curentul într-o latur ă a unui circuit poate fi considerat ca sumă algebrică a curenţilor produşi în acea ramur ă de fiecare t.e.m. în parte,când ar lucra în circuit independent de celelalte tensiuni electromotoare.Acest principiu al suprapunerii efectelor permite, deci, ca un circuitcomplex să fie descompus în mai multe circuite simple în care să nu

acţioneze surse decât pe o singur ă latura, pe celelalte laturi sursele seînlocuiesc cu rezistenţele lor interioare, iar în cazul când acestea nu sunt

specificate (fiind înglobate în rezistenţele laturilor), sursele sescurtcircuitează.Fie circuitul din figura 1.32. Aplicând principiul suprapunerii

efectelor acestui circuit, obţinem două circuite mai simple de rezolvat,reprezentate în figurile 1.33 şi 1.34.

Curenţii din cele două circuite se pot calcula, cu uşurinţă, cuajutorul relaţiilor de mai jos:

Fig. 1.32

;

432

32465

432

32465

1

1'1

r r r

r r r r r

r r r

r r r r r

r

ei

;

51

5164

51

5164

32

2''1

r r

r r

r r

r r

r r r r

r r

ei


34/246


;

432

32465

432

3246

'1

'5

r r r

r r r r r

r r r

r r r r

ii

;

51

5164

51

516

''2

''4

r r

r r r r

r r

r r r

ii

;'5'1

'6 iii ;

''4

''2

''6 iii

;432

32'6

'4

r r r r r ii

;'4'6

'2 iii ;

51

1''6

''5

r r r ii

''5

''6

''1 iii

Curenţii reali, în laturi, în cazul când funcţionează ambele sursede t.e.m. e1 şi e2, ţinând seama de sensul curenţilor din figura 1.32, 1.33şi 1.34, sunt:

;''1'11 iii ;

'2

''22 iii ;

''4

'44 iii ;

''5

'55 iii .

'6

''66 iii

Dacă într-un circuit complex există trei t.e.m., aplicând principiulsuprapunerii efectelor, vom avea de rezolvat trei circuite simple.

Calculând curenţii care circulă prin laturile circuitului,determinaţi de fiecare sursă în parte şi însumându-i algebric, vom obţinecurenţii reali din fiecare latur ă .

După cum se vede, această metodă de rezolvare a circuitelorcomplexe de curent continuu este simplă însă laborioasă.

3. Metoda circuitelor independente (metoda curen ţ ilor de ochiuri sau de contur)

Această metodă se recomandă rezolvărilor de circuite complexece au numărul de ochiuri independente mai mic sau egal cu numărul denoduri minus unul (o ≤n-1).Sistemul de ecuaţii format în acest caz are

dimensiunea o. Circuitul complex se consider ă ca o suprapunere de

Fig. 1.33 Fig. 1.34

i”1 i”6 i

”2

i”4i”5i’4 i

’5 r 5 r 4 r 5 r 4

i’1 i’6 i

’2

i”3=i”2 i’3=i

’2


35/246


circuite simple, separate. Se consider ă că fiecare din aceste circuite estestr ă bătut de un curent propriu (curent circular sau de contur), care circulă numai prin laturile circuitului. Numărul de circuite simple în care se poate descompune circuitul complex, este egal cu numărul de ecuaţiiindependente date de teorema a II-a a lui Kirchhoff, adică este egal cu o.Prin laturile comune a doua circuite simple alăturate, circulă cei doi

curenţi de contur ai celor două circuite. Prin laturile ne comune circulă numai curentul propriu al conturului. Curenţii reali din laturile circuituluicomplex sunt daţi: - fie de curenţii proprii în cazul laturilor ne comune;- fie de suma algebrică a curenţilor circulari ce trec prin laturilerespective, în cazul laturilor comune.

Dacă se notează cu I j curenţii circulari şi cu i k curenţii reali avemrelaţiile:

i = I jk j k (1.79)

Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff circuitelor simple(sensurile de parcurgere a contururilor poate orar sau arbitrar) şi ţinând

cont de suprapunerea efectelor, se obţine sistemul de ecuaţii de formă generală:R 11I1+R 12I2+R 13I3+…+ R 1oIo=E11R 21I1+R 22I2+R 23I3+…+ R 2oIo=E22

………………………………….. (1.80)…………………………………..R o1I1+R o2I2+R o3I3+…+ R ooIo=Eoo

în care: R ii= k k i

R

, cu i=1,o , adică reprezintă suma rezistenţelor tuturor

laturilor circuitului independent i, iar R ij=R ji= k k ik j

R

, cu i,j=1,o , se

obţine prin însumarea rezistenţelor laturilor comune contururilor j şi j. Încalculul numeric, termenii R iiIi sunt totdeauna pozitivi, iar termenii R ijIjsunt pozitivi atunci când curenţii Ii şi I j trec prin rezistenţa R ij în acelaşisens şi negativi în caz contrar. Eii reprezintă suma algebrică a t.e.m. dinconturul i, când acesta este parcurs în sensul de parcurgere al curentuluide contur.

Cu ajutorul acestei metode se reduce numărul ecuaţiilor derezolvat de la l (numărul laturilor) la o= l-n+1 (n – numărul de noduri).Dimensiunea sistemului de ecuaţii este cu atât mai mic cu cât numărul denoduri este mai mare.


36/246


Să aplicăm, spre exemplu, această teoremă pentru rezolvareacircuitului reprezentat în figura 1.32. În acest caz avem: l =5; n=2; o=3,deci trei circuite simple (trei ochiuri) str ă bătute de curenţii circulari II, III şi IIII. Aplicăm teorema II-a a lui Kirchhoff acestor ochiuri, ţinând seamade cele spuse mai sus. Vom avea:

(I) 1551 )( e I r I r r II I (II) 0)( 45654 III I II I r I r I r r r

(III) 24432 )( e I r I r r r II III

Curenţii reali, în funcţie de curenţii circulari, vor fi:

I I I i ; II I i 6 ; III I i 2

II I I I i 5 ; II III I I i 4

4. Metoda tensiunilor între noduri. În cazul în care un circuitcomplex are un număr mic de noduri (este îndeplinită relaţia n-1 < o ),

rezolvarea este mult mai rapidă aplicând metoda tensiunilor între noduri.Vom trata această metodă numai pentru cazul când circuitulcomplex are numai două noduri. Să consider ăm, pentru aceasta, circuituldin figura 1.35. Aplicând teorema I-a a lui Kirchhoff - la unul din noduri- găsim relaţia: 04321 iiii (1.81)

Folosind relaţiile (1.25) şi (1.27) şi notând cu U jk =U, se obţine:

Fig. 1.35

UBA


37/246


44

4333

33

222

2211

1

11

UGr

Ui;GUe

r

Uei

GUer

Uei;GUe

r

Uei

Înlocuind aceşti curenţi în relaţia (1.81), găsim:

(e1 - U)G1 + (e2 - U)G2 + (e3 - U)G3-UG4 = 0

sau e1G1 + e2G2 + e3G3 = U(G1 + G2 + G3+G4)

de unde 1 1 2 2 3 3

1 2 3 4

e G e G e GU

G G G G

În cazul general, relaţia se scrie sub forma:

e Gk k k=1

U =Gk k=1

l

l

(1.82)

unde l reprezintă numărul de laturi ale circuitului.Circuitul reprezentat în figura 1.32 poate fi rezolvat şi cu ajutorul

metodei tensiunilor între noduri dacă triunghiul compus din rezistoareler 4, r 5 şi r 6 este înlocuit prin rezistoarele cu rezistenţele echivalente legateîn stea r 45, r 56 şi r 46. În felul acesta ajungem la un circuit numai cu două noduri (Fig. 1.36), cu tensiunea între noduri dată de relaţia:

454632561

4632

2

561

1

111 r r r r r r

r r r

e

r r

e

U AB

Fig. 1.36

i1i2 i3


38/246


Calculând valoarea lui U, putem găsi pe i1 şi i2 din relaţiile:

561

11

r r

U ei

şi

4632

22

r r r

U ei

Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff pe ochiul de reţeareprezentat în figura 1.32 găsim valoarea lui i5, adică:

55111 ir ir e şi deci

51115 / r ir ei Cunoscând pe i1 şi i5, aplicăm teorema I-a a lui Kirchhoff în nodul

1 şi găsim pe i6. Aplicând teorema I-a a lui Kirchhoff în nodul 2, găsim pe i4.

În general, pentru rezolvarea unui circuit trebuie să se aleagă metoda care duce cel mai repede la rezultatul final.

5. Metoda generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin).

Această metodă se aplică în situaţia când, într-o reţea, ne interesează numai curentul dintr-o singur ă latur ă. Procedeul constă în următoarele:- se înlătur ă rezistorul din latura respectivă (bornele r ămân

desf ăcute);- se calculează în aceste condiţii tensiunea reţelei 0abU între bornele

a şi b (considerată drept cădere de tensiune), unde a şi b sunt bornele la care a fost conectat rezistorul;

- se scot t.e.m. din reţea şi se înlocuiesc cu rezistenţele lor interioare(acolo unde rezistenţele interioare nu sunt specificate se înlocuiesccu un conductor);

- se calculează rezistenţa echivalentă a reţelei (f ăr ă rezistorul

eliminat) R ab0, văzută dinspre nodurile a şi b;- cu aceste elemente se construieşte circuitul cu generatorul

echivalent care are t.e.m. egală cu 0abU , rezistenţa interioar ă R ab0 şi

ca circuit exterior rezistorul eliminat anterior. Dacă această latur ă are rezistenţa R, atunci curentul prin latura este dat de relatia:

(1.83)

Pentru a exemplifica modul de aplicare ateoremei generatorului echivalent, să luăm ca exemplu circuitulreprezentat în figura 1.32 şi să calculăm intensitatea curentului i6. Pentru

R R

U I

ab

ab

0

0


39/246


aceasta să calculăm rezistenţa R ab0. Schema echivalentă este reprezentată în figura 1.37. Se deduce uşor că:

432

432

51

510

r r r

r r r

r r

r r Rab

Pentru a calcula U12, respectiv0ab

U , când înlătur ăm pe r 6,

aplicăm circuitului din figura 1.38 teorema a II-a a lui Kirchhoff şigăsim: 024150 I r I r U ab . Tensiunea 0abU , in acest caz, are caracter

de cădere de tensiune.

Curenţii I1 şi I2 se determină din relaţiile:

51

11

r r

e I

şi

432

22

r r r

e I

deci:51

15

432

240 r r

er

r r r

er U ab

.

R abà şi0ab

U fiind calculaţi, se determină i6 cu relaţia:

66

0

r R

U i

abo

ab

Să calculăm acum intensitatea curentului care str ă bate laturaactivă, de exemplu I1. În acest caz bornele a şi b vor fi cele din figura1.39.

Fig. 1.37

Fig. 1.38


40/246


Pasivizând circuitul, R ab0 va fi dat de relaţia:

4 2 35 6

2 3 40

4 2 35 6

2 3 4

;ab

r r r r r

r r r R

r r r r r

r r r

Tensiunea 0abU se poate calcula, aplicând teorema a II-a a lui

Kirchhoff pe circuitul închis format din sursa cu t.e.m. şi rezistorul r 5, dinrelaţia:

0

'

551 abU I r e ,

'5 I fiind dat de relaţia de la divizorul de curent.

654

4'3

'5

r r r

r I I

şi

654

65432

2'3 )(

r r r

r r r r r

e I

Intensitatea curentului I1 se poate deci calcula cu relaţia:

10

01

r R

U I

ab

ab

(1.84)

432

32465

432

32465

0 )(

)(

r r r

r r r r r

r r r

r r r r r

Rab

Fig. 1.39


41/246


Aplicaţii.Fie reţeaua electrică din figura 1.40 unde se cunosc:

R 1=R 3= 10 Ω; R 4=R 5=R 6= 150 Ω; R 2==15 Ω; r 2 = 5Ω;E1==100 V; E2==120V; E3==80V.

1. Să se determine intensităţile curenţilor electrici prin laturile reţeleifolosind metoda teoremelor lui Kirchhoff .REZOLVARE: Numărul de noduri, n=4; numărul de laturi, l=6; numărul de ochiuri, o=l -(n-1)=3.

Dacă se aplică metoda teoremelor lui Kirchhoff pentru circuituldat, f ăr ă al simplifica, va rezulta un sistem cu 6 ecuaţii şi cu 6necunoscute.

Se observă că rezistenţele R 4, R 5, R 6 formează un triunghi.Triunghiul format de rezistenţele R 4, R 5, R 6 se poate înlocui cu steaua

formată de rezistenţele R 45, R 56, R 46, figura 1.41.

Fig. 1.40

(4)

(2)(3)(1)

E1

I6R 6

R 3

R 1 R 2

R 4R 5

E1

E2 r 2I1 I2

I4I5

I3


42/246


R R R

R R R

654

5445

;

R R R

R R R

654

5656

;

R R R

R R R

654

6446

.

Efectuând calculele se obţine: R 45 = R 56 = R 46 =50 . In acest cazavem n=2; l =3; o=2.

Aplicând în nodul (2), teorema I-a lui Kirchhoff şi în ochiurile[I] şi [II], teorema II-a lui Kirchhoff, obţinem relaţiile:

(2) -I1-I2 +I3=0[I]: E R R I R R I 3145335611 )()(

[II]: E R I r 32453346222 )()(

Se observă că în urma transfigur ării triunghiului în stea a rezultato reducere a ordinului sistemului de ecuaţii de la 6 la 3. Deci acum avemde rezolvat un sistem cu 3 ecuaţii şi cu 3 necunoscute (I1, I2, I3). Celelaltenecunoscute I4, I5, I6 se pot determina aplicând teorema II-a lui Kirchhoff pentru ochiurile [I], [II] sau [III], sau se aplică teorema II-a lui Kirchhoff pentru un singur ochi şi apoi cu ajutorul teoremei I-a lui Kirchhoff seobţin celelalte necunoscute..

In urma calculelor numerice se obţin următoarele valori ale curenţilor:

Fig. 1.41

R 56 R 45 R 46


43/246


=>I1=0,85A ; I2=1,1A; I3=1,95A; I4=1.057A; I5=0.893A, I6=0.043A.

2. Să determine intensităţile curenţilor electrici prin laturile reţeleifolosind metoda curenţilor de contur.

Presupunem că Ic1 şi Ic2 sunt curenţii de contur ai ochiurilor [I] şi[II], figura 1.41. Dacă se aplică teoremelor lui Kirchhoff figurii 1.42 şiţinând cont şi de suprapunerea efectelor, obţinem sistemul:

I c11 ; c 22 ; I I I cc 213 [I]: E E R R I R R R R I cc 3145323455611 )()(

[II]: E R I r R cc 32453134546222 )()(

-Ic2=I2=1.1A; Ic1=I1=0.85; I3=1.95A.

S-au obţinut aceleaşi rezultate ca şi prin metoda teoremelor luiKirchhoff.

Fig. 1.42

R 56 R 45 R 46

Ic1 Ic2


44/246


3. Să determinăm acum curentul I2 prin metoda generatorulechivalent de tensiune şi să confruntăm rezultatul cu cel obţinut princelelalte două metode.

Din figura 1.40 se scoate rezistenţa R 2 de pe latura 2 şi în loculacesteia se marchează tensiunea UABO, figura 1.43.

Pentru a afla curentul I2, prin metoda generatorul echivalent de

tensiune, se utilizează relaţia (1.39):

R AB

R AB

U AB

AB I I

0

02

- UABO reprezintă tensiunea reţelei între punctele A si B când latura ABeste întreruptă şi rezistenţa laturii este scoasă.- R ABO reprezintă rezistenţa echivalentă a reţelei pasivizate între puncteleA si B (văzută din punctele A şi B ) atunci când rezistenţa laturii AB estescoasă şi punctele A şi B r ămân libere.

O reţea se consider ă pasivizată atunci când sursele de tensiune seînlocuiesc cu rezistente lor interioare, când acestea sunt specificate, saucu un conductor când acestea nu sunt specificate.

Pentru aceasta trebuie să determinăm tensiunea UABO, furnizată de reţea când latura AB este întreruptă şi rezistenţa echivalentă a reţeleivăzută din punctele A şi B, în absenţa aceste laturi. Pentru determinareaUABO, se aplică teorema II-a lui Kirchhoff pentru conturul închis (1) R6(3) (2) E1 R1 (1) din figura 1.43.

R5 R4

R6

E1 E2

E3

[I][II]

[III]

UABOI11

I31

I41

I61

I51

(1)

(2) (3)

(4)

r 2

R3

R1

Fig. 1.43

AB


45/246


Rezultă relaţia: 1211

106

1

6 E E R I U R I AB ,de unde scoatem

tensiunea UABO. Se obţine: 61

61

1

1120 R I R I E E U AB .

Pentru a putea calcula UABO, trebuie să cunoaştem curenţii1

1 I şi1

6 I . Aceşti curenţi se determină rezolvând circuitul r ămas în urma

scoaterii laturii AB (fig. 1.44). In circuitul r ămas1

1 I =1

3 I iar1

4 I =-1

6 I .Pentru aceasta se aplică teoremele lui Kirchhoff.

In nodul (1) avem relaţia1

1 I =1

5 I +1

4 I , iar pentru contururile

închise: (1) R1 E1 (2) R3 E3 (4) R4 (3) R6 (1), adică ochiul [II] şirespectiv (1) R1 E1 (2) R3 E3 (4) R5 (1) , adică ochiul [I] avem relaţiile:

31)

64(1

4)

31(1

1 E E R R I R R I

3151

5)

31(1

1 E E R I R R I

Rezolvând sistemul se obţine: I11=1,5A şi I41=0,5A şiUABO=110V.Pentru calculul lui R ABO reţeaua din figura 1.44, pasivizată, capătă formadin figura 1.45. Transfigurând triunghiul format din rezistenţele R 4, R 5, R 6în stea formată din rezistenţele R 45, R 56, R 46, se obţine figura 1.46.

R5 R4

R6

E1 E2

E3

[I][II]

I31

I41

I61

I51

(1)(2)

(3)

(4)

r 2

R3

R1

Fig. 1.44

I11 AB


46/246


Rezistenţa echivalentă între A şi B, reprezintă rezistenţa R ABO.

453561

4535614620

))((R

R R R R

R R R R Rr AB

=85

A R

AB R

AB

U AB

AB I I 1,1

1585

110

0

02

.

S-a obţinut acelaşi rezultat ca şi prin celelalte două metode.

R 1

R 3

R 5

R 6

R 4

r 2 A B

(1)

(3)(2)

(4)

Fig. 1.45

(2)

R 1

R 3

r 2

R 45

R 46

R 56(1)

(4)

(3)A B

Fig. 1.46


47/246


48/246


figura 2.3.Liniile de câmp magnetic sunt întotdeauna linii închise, lipsite de

început şi sfâr şit, spre deosebire de cele de câmp electric care nu suntînchise (acestea pornesc din sarcinile electrice pozitive şi se termină însarcinile negative). Experimental, se dovedeşte că, odată cu schimbareasensului curentului prin conductor se schimbă şi sensul liniilor de câmp.

Legătura dintre sensul curentului şi sensul liniilor de câmp magnetic estedată de regula burghiului sau a tirbuşonului, care se enunţă în felulurmător: dacă se învârte burghiul (sau tirbuşonul), în aşa fel încât să înainteze în direcţia şi sensul curentului, atunci sensul de rotaţie a burghiului (sau a tirbuşonului) va indica sensul liniilor de câmpmagnetic. Dacă cunoaştem sensul liniilor de câmp, putem determinasensul curentului în conductor.

Câmpul magnetic într-un punctdat, este caracterizat printr-o mărimedirecţională numită inducţia câmpuluimagnetic, B . Inducţia câmpului

magnetic poate fi determinată fie prin

for ţa mecanică cu care câmpul magnetic acţionează asupra unui curentelectric, fie prin t.e.m. indusă într-un conductor care se mişcă în câmpulmagnetic.

Numim câmp magnetic omogen, acel câmp care în orice punct alsău, are aceeaşi inducţie magnetică (mărime, direcţie şi sens). Un câmpmagnetic acţionează asupra unui conductor rectiliniu de lungime l ,

parcurs de curentul I, cu o forţă electromagnetică F . Această for ţă estedirect propor ţională cu inducţia câmpului magnetic, cu lungimeaconductorului aflat în câmpul magnetic, cu sinusul unghiului dintredirecţiile curentului şi direcţia câmpului şi nu depinde de materialul şi

secţiunea conductorului. Direcţia for ţei F este totdeauna normală pe planul determinat de direcţia curentului şi direcţia câmpului magnetic.For ţa F este dată de relaţia:

F = B I l sin ( l ,B ) sau F = I l× B (2.1)

Fig. 2.2

S

I

N


49/246


în care B este inducţia câmpului magnetic, care caracterizează câmpul

magnetic. Sensul for ţei F este dat de regula mâinii stângi, care se enunţă astfel: se aşează palma mâinii stângi în aşa fel încât liniile de câmpmagnetic să intre în palmă, iar cele patru degete alăturate îndreptate după

direcţia curentului, degetul maredepărtat la 90o, indică direcţia şi

sensul for ţei.În figura 2.4 este

reprezentat un câmp magneticomogen, dat de doi poli magnetici,în care se află un conductor delungime l şi str ă bătut de curentulI. Aplicând regula mâinii stângi

găsim direcţia şi sensul for ţei F la care este supus conductorul.Dacă se inversează sensulcurentului în conductor şi se

menţine sensul câmpuluimagnetic, for ţa F îşi va schimbasensul. Acelaşi lucru se obţinedacă se menţine sensul curentuluişi se inversează sensul câmpuluimagnetic. Dacă însă se schimbă şisensul curentului şi sensul

câmpului magnetic, direcţia şi sensul for ţei vor r ămâne neschimbate.Această for ţă la care este supus un conductor str ă bătut de un

curent electric, aflat într-un câmp magnetic, se numeşte forţă electromagnetică sau forţă laplaceană.

Când direcţia inducţiei câmpului magnetic este perpendicular ă pedirecţia curentului electric relaţia for ţei devine:

l I B F (2.2)Relaţia (2.2) permite definirea inducţiei magnetice şi stabilirea

unităţii de măsur ă. Astfel l I F B / . Deci, inducţia magnetică poate ficonsiderată ca fiind egală cu valoarea for ţei cu care acţionează câmpulmagnetic asupra unui conductor prin care circulă un curent de 1 A, culungimea de 1 m. Mărimea inducţiei magnetice în sistemul internaţionalare ca unitate de măsur ă 2sec/ mV sau weber/m2, adică:

F

2 2 2

F N J V A sec V sec B = = = = =

I l A m A m A m m

Il

F

Fig. 2.4

B


50/246


însă 1V·1sec=1weber (prescurtat W b) şi deci inducţia câmpului magneticse măsoar ă în W b/m

2 (Tesla). Inducţia se mai măsoar ă şi în gauss(un gauss =10-4 W b/m

2).

For ţa care acţionează asupra unui conductor oarecare parcurs de

curent, poate fi descompusă în for ţe elementare F d . Relaţia (2.1) se

scrie sub forma:( x ) xdF I dl B I dl B

Această for ţă elementar ă acţionează asupra elementelor distinctede curent I dl . For ţa care acţionează asupra unui circuit închis, prin caretrece un curent, poate fi exprimată prin relaţia:

)x( Bdl I F (2.3)Un circuit închis mai poate fi supus din partea unui câmp magnetic şi

unui moment de rotaţie, care poate fi calculat cu uşurinţă în funcţie defor ţa laplaciană. Se demonstrează astfel că momentul cuplului care tindesă rotească un cadru, este dat de relaţia:

B p M x (2.4)unde S I p este momentul magnetic, S (aria cadranului) fiind modulul

lui S orientat în sensul câmpului magnetic al curentului din cadru.

2.2. Intensitatea câmpului magnetic

Inducţia câmpului magnetic depinde de proprietăţile fizice alemediului, de poziţia curenţilor electrici şi de mărimea curenţilor care daunaştere câmpului magnetic. Experienţa arată că într-un mediu omogen, în jurul unui conductor rectiliniu parcurs de un curent electric, se formează

un câmp magnetic circular. Inducţia câmpului magnetic a unui asemenea

Fig. 2.5 Fig. 2.6


51/246


curent într-un punct M situat la distanta r este propor ţională cuintensitatea curentului şi invers propor ţională cu distanţa de la conductor(vezi figura 2.5 şi

Curs Electrotehnica Bun

Documents

Transcript of Curs Electrotehnica Bun