8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

1/8

 Liceul Pedagogic „Carmen Sylva”   Timişoara

 Probleme de aritmetică

Fişă de lucru recapitulativăClasa a VIIIa

  Propunători! Colectivul Catedrei de matematică "ir#ad$#pro%#Ionu& Cristescu

  'esponsabil Catedră pro%# Simona Staicu  pro%#(ărioara )abişca  pro%#*%rodita )e+a,et- 

  pro%#Valerica .egru  pro%# Cristina /iroveanu

  pro%#*na Poştaru

Tipuri de probleme propuse!-  Probleme care se re-olvă cu metoda %alsei ipote-e-  Probleme care se re-olvă cu metoda reducerii la unitate-  Probleme care se re-olvă cu metoda %igurativă-  Probleme care se re-olvă cu metoda compara&iei -  Probleme care se re-olvă cu metoda mersului invers-  Probleme de mişcare

 )ibliogra%ie!- Florin C0r$an1 2+id metodic de pregătire intensivă prin autoinstruire la

matematică1 3d#Paralela 451 6776-  Ion Petrică1 V# 8te%ănescu1 Probleme de aritmetică pentru clasele IVI1 3d#

 Petrion1 9::7

 Probleme care se re-olvă prin metoda %alsei ipote-e

  Metoda falsei ipoteze constă în formularea de către rezolvitor a unei noi ipoteze (saumai multe), ajungându-se la o nepotrivire cu enunţul, nepotrivire ce ne duce ladeterminarea necunoscutelor.

 Problemă: Într-o ogradă sunt fazani şi iepuri, în total fiind 100 picioare şi 36 capete!"#i fazani şic"#i iepuri sunt $

Rezolvare !acă în ogradă ar fi doar fazani am avea "# de capete $i %& de picioare de fazan.

'um prolema spune că avem ** de picioare, oţinem că &+ de picioare sunt aleiepurilor care au patru picioare. !eci &+&, adică avem iepuri. !in "#-&&oţinem că în ogradă sunt && fazani.

 %ăspuns: 1& iepuri şi '' fazani

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

2/8

 Problemă:(n biciclist urcă cu 6 )m*+ şi coboară aceeaşi pantă cu '0 )m*+ tiind că drumul urcat  şi cobor"t a durat 3+ şi 1 minute, să se afle lungimea drumului

Rezolvare resupunem că lungimea pantei este de #*/m. 0n aza ipotezei făcutetimpul de urcare va fi t u   #* /m # /m12 * ore iar timpul de coorâre va fi t   c #* /m &* /m12 " ore,timpul total în acest caz fiind t " 2.

'omparăm timpul total ipotetic cu cel real din prolemă $i avemt 

t real   

)"

-1)"-

).

!acă real t   este de patru ori mai mic decât timpul ipotetic rezultă că drumul real este maimic de patru ori decât drumul ipotetic (#* /m) adică d 3 /m.   %ăspuns: 1 )m 

 Problemă: .a un depozit s-au adus &/ saci cu orez, unii de 0 )g, al#ii de & )g şi al#ii de 63 )g ă se afle c"#i saci au fost de fiecare fel ştiind că numărul sacilor de 0 )g era cu / mai micnumărul celor de &)g şi că în total s-au adus '' )g orez

Rezolvare !acă s-ar mai adăuga + saci de 3* /g (adică **/g) atunci datele noii proleme ar fi4-au adus 3# saci de câte 3*/g, 3/g, #"/g, în total &53& /g orez. 6umărul celor de 3*/geste triplul celor de 3 /g.

resupunem că ar fi "* saci de 3* /g.  7vem 3** /g în cei "* saci de câte 3*/g fiecare, 3* /g în * saci de 3/g fiecare

$i **+ /g în cei # saci de #"/g, deci în total "*+ /g.  8servăm că a crescut cantitatea de orez cu "*+-&53&5#/g.  9mitem o nouă ipoteză asupra numărului de saci de 3*/g în loc de "* saci luăm&%saci sau "" saci(multiplu de "). :ie "" saci de 3*/g. 0n acest caz am avea #3*/g în cei"" saci de 3*/g, 35/g în cei saci de 3/g, %3#/g în cei & saci de #" /g fiecare, deciîn total "*** /g.  8servăm că dacă s-a mărit cu " numărul sacilor de 3*/g (de la "* la "") atuncicantitatea totală a scăzut cu "*+ ; "*** +/g.  6oi avem &53& /g, deci mai treuie mic$orată cantitatea cu +/g. 7tunci, dacă,mărind cu " numărul sacilor de 3* cantitatea a scăzut la +, pentru a avea &53& /g maimărim cu încă " numărul sacilor de 3*/g. 7$adar avem "# saci de 3*/g, & saci de 3/g

$i + saci de #"/g.7vând în vedere că am mai adăugat la început + saci de 3*/g avem &+saci de 3*/g,& saci de 3 /g $i + saci #" /g.

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

3/8

 Probleme care se re-olvă prin metoda reducerii la unitate

  7ceastă metodă prezintă avantajul că este foarte accesiilă putând fi folosită de oriceelev într-o gamă variată de proleme. 4ingura dificultate este de a reu$i să se staileascăfelul dependenţei între mărimi(direct sau invers proporţionale). Problemă:  ece muncitori termină o lucrare în 6 zile

a2 În c"te zile ar termina lucrarea 1' muncitori lucr"nd în aceleaşi condi#ii$b2 acă după ' zile de lucru pleacă ' muncitori c"te zile sunt necesare pentru

 finalizarea lucrării$c2 acă după 3 zile 4in încă / muncitori în c"te zile se 4a finaliza lucrarea$

Rezolvarea) * muncitori termină lucrarea în # zile, atunci  muncitor va termina lucrarea într-un timp de * ori mai mare, adică în #* zile, iar   & muncitori vor termina lucrarea într-un timp de & ori mai mic decât #*, adică în 3

zile. ) * muncitori.....................................................# zile  * muncitori.....................................................#-& zile  muncitor......................................................* zile  *-& + muncitori............................................* + 3 zile.c) * muncitori.....................................................# zile  * muncitori.....................................................#  entru +1&* = este nevoie de + zile în condiţiile în care lucrează 3 muncitori.  entru 1&*=......................... zi................................................. 3 muncitori  entru &1&*=......................"* zile............................................. )3)& ⋅   "*#muncitori.'âţi muncitori au plecat pe alt $antier> 3 ; # 5 muncitori.

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

4/8

 %ăspuns: 7 muncitori Problemă:  Prin trei robinete, fiind desc+ise timp de & zile c"te 8 ore pe zi, curg 30'&0 litri apă În c"te zile, prin & robinete cu acelaşi debit, fiind desc+ise c"te 3 ore pe zi, curg '1600litri apă$

Rezolvare" roinete@@@@@@@@..&+ ore( zile cu %ore pe zi)@@@@@@@"*&* litri" roinete@@@@@@@@.. oră@@@@@@@@@@@@"*&*&+*+* litri roinet@@@@@@@@. oră@@@@@@@@@@@@.....*+* ""#* litri roinete............................... oră.....................................................   )--*"#*-   =⋅ litri roinete..............................." ore....................................................   -"&*")--*   =⋅ litri!acă prin acela$i număr de roinete în " ore curg "&* litri, în câte zile zile vor curge&#** litri>  &#** "&* 3 (zile)

 %ăspuns: zile

 Probleme care se re-olvă cu metoda %igurativă

  'aracteristica acestei metode constă în reprezentarea necunoscutelor prolemei $i arelaţiilor dintre acestea , cu ajutorul unor desene (de regulă segmente de dreaptă).

 Problemă:  9ie trei numere naturale acă se împarte primul număr la al doile, se ob#ine c"tul 3 şi restul 3, iar dacă se împarte al treilea la al doilea se ob#ine c"tul şi restul ' tiind cădiferen#a dintre al treilea şi primul număr este 1'1, afla#i cele trei numere

Rezolvare

  "A

AA  &AAA

  &

• (&

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

5/8

 Probleme care se re-olvă cu metoda compara&iei 

  Metoda comparaţiei se utilizează de regulă în prolemele în care mărimile care

treuie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. 4e încearcă aducereaunei mărimi la aceea$i valoare , simplificîndu-se astfel prolema iniţială, ajungându-se lafinal la o singură necunoscută.

 Problemă: acă '0 de cosaşi au cosit în 1 zile 1 +ectare, afla#i c"te +ectare 4or cosi 30 de cosaşiîn 30 de zile

Rezolvare

&* cosa$i @@@.3 zile @@@.3 2ectare

"* cosa$i @@@."* zile @@@. > 2ectare BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 

&* cosa$i @@@.3 zile @@@.3 2ectare&* cosa$i @@@."* zile @@@."* 2ectare* cosa$i @@@."* zile @@@.3 2ectare"* cosa$i @@@."* zile @@@.3 2ectare

 %ăspuns: & +ectare

 Probleme care se re-olvă cu metoda mersului invers

  0n unele proleme relaţiile dintre mărimi sunt date într-o ordine succesivă. !acă s-araplica ordinea naturală a calculelor raţionamentele devin greoaie. Metoda mersului inversconstă în folosirea datelor prolemei în ordine inversă.

 Problemă:  (n ele4 are o sumă de bani din care c+eltuieşte astfel: Pentru a cumpăra o uniformă şcolară c+eltuieşte 1*3 din sumă şi încă 1/ lei, pentrucaiete 1*3 din suma rămasă şi încă 1/ lei, pentru rec+izite 1*3 din rest şi încă 1/ lei lacofetărie 1*3 din noul rest şi îi mai răm"n '/ lei !"#i lei a c+eltuit pentru fiecare

cumpărătură şi ce sumă a a4ut ini#ial$

Rezolvare=a cofetărie a c2eltuit 1" din restul rămas după cumpărarea rec2izitelor $i i-au rămas &+lei. !eci, cei &+ lei corespund la &1" di anii răma$i după cumpărarea rec2izitelor. !eci anii c2eltuiţi la cofetărie sunt 1" din rest, ceea ce corespunde la lei. =a cofetărie ac2eltuit lei $i i-au rămas &+ lei, a$adar restul rămas după cumpărarea rec2izitelor a fost

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

6/8

de &+lei

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

7/8

*%."#* (/m)'âţi /m a parcurs al doilea în două ore>

*%.+* (/m) sau-

" .d&#*/m⇒ d&#*".+* (/m)

'are a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din 7>

#*&"* (/m12)'are a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din E>

+*&* (/m12) sau -

" .v&"*/m12⇒ v&"*".*(/m12)

Rezolvare ( metoda algeric ă )

ăstrăm notaţiile de mai sus. !acă d&v  $i d&&v&, i a r v-

"v&  ⇒

&vunge din urmă motociclistul$

 Rezolvare ( metoda aritmetic ă ) Reprezentarea grafică poate fi

→

moto v"*/m127 auto v&#*/m12 E'A A→

'âţi /m parcurge motociclistul în cele ore>."*&*/m

'ând autoturismul s-a pus în mi$care, motociclistul avea un avans de &* /m (seafla în punctul E).

entru ca autoturismul să ajungă motociclistul, el treuie să recupereze distanţa de

&* /m.'ând autoturismul pleacă la drum, motociclistul î$i continuă mi$carea spre punctul '.

9ste posiil ca autoturismul să ajungă iciclistul> !a, deoarece viteza ma$inii eramai mare.

'ât recuperează într-o oră>#*-"*"*/m12F

An cât timp autoturismul recuperează &* /m>

8/16/2019 Probleme de Aritmetica. Fisa de Lucru Cls VIII

8/8

&*"* ore

Rezolvare ( metoda algeric ă )

4e $tie că dvt. !eci 7'#*t, E'"*t de unde 7'-E'#*t-"*t."* de unde

t2.