Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf

8/17/2019 Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf

1/34

Ciocotişan Radu

ii vectoriale de coliniaritateii vectoriale de coliniaritateţţ3.1 Condi3.1 Condiia 1.ia 1.ţţPropoziPropozi

Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numărul real α astfel încât AC AB

ieieţţemonstraemonstraDD

1) Dacă A,B,C sunt coliniare atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari deci există numărul real α şi AC AB

2) Dacă AC AB atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari,deci dreptele AB şi AC coincid,adică punctele A,B,C sunt coliniare

n cazurile î işia este adevăratăţ: propoziieţObserva AB AC BC AC AC AB ,,

Punctele A,B,C sunt coliniare

există numărul real α ,astfel încât AC AB


2/34

Ciocotişan Radu

ia 2.ia 2.ţţPropoziPropoziPunctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale x,y,cu x+y=1, astfel încât pentru orice punct O din plan avem

OB yOA xOC

Punctele A,B,C sunt coliniare . astfelastfel î î ncât pentru orice punctncât pentru orice punct O din plan avem

1,, y x R y x OB yOA xOC

a) b)ieieţţemonstraemonstraDD

a)→b) A

B

C

O

Fie OB yOA xOBOAOBOAOC CB

CA

11

1

1

1

x y

b)→a) avem

CB x

yCACB yCA x

CB yCA xOC CB yCA xOC y xCBOC yCAOC xOB yOA xOC

0 iar din Prop.1 A,B,C sunt coliniare

ăăţţConsecinConsecin Cum x+y=1 avem y=1-x şi atunci

OB xOA xOC )1( * R x

Punctele A,B,C sunt coliniare


3/34

Ciocotişan Radu

Problema 1Problema 1

Într-un trapez mijloacele bazelor,punctul de intersecţie al diagonalelor şi punctul de intersecţie al laturilor neparalelesunt 4 puncte coliniare

AB

CD

O

E

F

I

RezolvareRezolvare

,O,F sunt coliniareArătăm că E1)

,2

,2

OBOAOF

OC ODOE

E,F mijloace

Notămk

OD

OB

OC

OA

OE k OBOC k OBk OC k OBOAOF

OC k OA

222

,

ceea ce exprimă că O,E,F sunt coliniare( Prop.1)

,F,I sunt coliniareArătăm că punctele E2)

2,

2

IB IA IF

IC ID IE

E,F mijloace

IF k

IB IAk

IE k IB

IC

k IA

ID

k OA

OC

AB

DC OABODC

AB

DC

IB

IC

IA

ID IAB IDC

2

1

2

11,

1

1

ceea ce exprimă că I,E,F sunt coliniare( Prop.1)


4/34

Ciocotişan Radu

22ProblemaProblema

În triunghiul ABC ,fie D,E mijloacele laturilor AB,AC.Fie C’ situat pe AB şi B’ situat pe AC astfel ca

A B

A B

AC

BC

'

'

'

' Arătaţi că punctele D,E şi I ,mijlocul lui B’C’ sunt coliniare.

RezolvareRezolvare A

B C

D E

I

B’

C’

12

'' AC AB AI

Avem

2,1

1'

'''''

AB AC

AC AB BC AB AC AC BC

Avem 3,1''' AC ABC B A B

Înlocuind 2 şi 3 în 1 avem AE AD AI

11

1

x y

şi x+y=1 deci D,E,I coliniare( Prop.2)


5/34

Ciocotişan Radu

33ProblemaProblema

Fie triunghiul ABC şi G centrul său de greutate.O dreaptă d care trece prin G,intersectează AC în P şi BC în Q. Arătaţi că 1

QC

BQ

PC

AP

RezolvareRezolvare

Notăm nQC BQm

PC AP ,

C

B A

G

P

Q

atunciCA

mCP

mCA

CP

1

1

1

1

analog CB

nCQ

1

1

De asemenea avem CBCACC CG

2

1

3

2'

3

2

Cum punctele P,Q,G sunt coliniare,există numărul real nenul t,astfel încât CQt CPt CG )1( consecinţă

CBn

t CA

m

t CBCACG

1

1

13

1

Atunci

Cum vectorii CA şi CB sunt necoliniari avem

cctd nm

nmn

t

m

t

n

t

m

t

,13

1

13

1

3

1

1şi3

11

1

3

1şi

13

1


6/34

Ciocotişan Radu

SYLVESTERSYLVESTERia luiia luiţţRelaRela

În orice triunghi ABC avem

( notăm O-centrul cercului circumscris,G-centrul de greutate,H-ortocentrul)

OH OC OBOA

ieieţţDemonstraDemonstra

triunghi dreptunghic1.Cazul

A

B C

O

H=A OH OA OH OC OBOA evident

triunghi oarecare.Cazul2

A

B

C

O

D

H

P

BH CD ABCH AB DB

DC BH AC DC AC BH

// ,

// ,

deci BHCD este paralelogram

Fie P mijlocul lui BC

În ΔAHD, OP este linie mijlocie OP AH 2

De asemenea în ΔOBC,OP este mediană OC OBOP 2 AH OC OB

În ΔAOH avem OAOH AH

OH OC OBOA


7/34

Ciocotişan Radu

))Dreapta lui EULERDreapta lui EULER((TeoremăTeoremă

i avemşi H sunt coliniarei H sunt coliniareşşO,GO,Gn orice triunghi ABC,puncteleÎ OGOH 3ieieţţDemonstraDemonstra

Folosim relaţia lui LEIBNIZ PC PBPAPG 3 cu P=O OC OBOAOG 3

OH OC OBOA dar

OGOH 3

ceea ce exprimă că O,G,H sunt coliniare(Prop.1)

ia lui LEIBNIZţrela

G

A

B C

B’

P

3

2

'2,'

1

1

PC PBPAPG

PC PAPB' dar

GB

GBPBPBPG

ieţObserva


8/34

Ciocotişan Radu

MENELAUSMENELAUSTeorema luiTeorema lui

Fie un triunghi ABC şi punctele A’,B’,C’ distincte de vârfurile triunghiului.

Punctele A’,B’,C’ sunt coliniare 1

'

'

'

'

'

'

BC

AC

A B

C B

C A

B A

A

B C

A’

B’C’

Notăm

C A

B A

'

'= m

A B

C B

'

'= n

BC

AC

'

'= p

(←)ieieţţDemonstraDemonstra

Presupunem mnp = 1. Din BAn BC n

BB A BnC B

1

1'''

Avem

'11''1'''' BAm

B A B Am

BAC A B AC A BC

'1'''' BC p BC p BC AC BC BA

(*)

'1

)1(

')1(

1

' BC n

pn

BAnm

m

BB

x y

Se verifică că x+y = 1

Deci A’,B’,C’ sunt coliniare(Prop.2)(→) Presupunem prin absurd că A’,B’,C’ sunt coliniare şi mnp≠1 Notăm 1mnqpq,

1

mnq

Construim unicul punct Q astfel ca qQB

QA

Cum mnq= 1 avem A’,B’,Q coliniareAtunci dreptele A’B’ şi AB au în comun 2 puncte distincte C’ şi Q,deci ele coincid.

3.23.2

A’B’C’ se numeşteTRANSVERSALĂ


9/34

Ciocotişan Radu

VAN AUBELVAN AUBELia luiţRelaFie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ ,diferite de vârfurile triunghiului,astfel încât AA’,BB’,CC’ sunt concurente în P.Atunci avem relaţia:

BC

AC

C B

A B

PA

PA

'

'

'

'

'

A

B C

P

A’

B’C’ sau

A

B CA’

C’

PB’

ieieţţDemonstraDemonstra

Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’PC

BC

C A

PA

PA

CB

CA

PA

PA

BC

AC

PA

PA

CA

CB

BC

AC '

'

'

''

'1

'

''

'

Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’PB

BC

BA

PA

PA

C B

A B

PA

PA

BA

BC

C B

A B '

''

'1

'

''

'

+

''

''

''

'

'

'

PA

PA

BC

BC

PA

PA

BC

BA

BC

C A

PA

PA

BC

AC

C B

A B


10/34

Ciocotişan Radu


Fie triunghiul ABC şi punctul D, situat pe segmentul BC ,astfel încât BC = 3DC.Fie C’ şi E mijloacele segmentelor AB şi CC’.Arătaţi că punctele A,E şi D sunt coliniare.

RezolvareRezolvare

))MenelausMenelaus.(T.(T Metoda 1 Metoda 1

A

B CD

C’E

ΔBCC’ şi ‘’transversala’’ A,E,D 11

21

2

1

'

'

DC

DB

EC

EC

AB

AC

Metoda 2. Metoda 2.

Arătăm că există numărul real α cu DE AE

22

1

2

' AC AB AC AC AE

221

6

1

12

2

12

3

12

3

432

'

3

34 AC AB AC AB AC AC BACA BC CBCA BC CC BC

CE DC DE

Atunci DE AE 3 A,D,E coliniare (Prop.1)


11/34

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC echilateral şi punctele D,E astfel încât avem CA AE BC CD , Notăm DE∩AB= {F}. Arătaţi că AB AF 3

1

A

B C D

E

F

))MenelausMenelaus.(T.(T Metoda 1 Metoda 1ΔBFD cu transversala EAC

ED

EF

AB

AF

CD

CB

EF

ED

AB

AF 1

ΔECD cu transversala BAF

3

1

2

11

ED

FE

FD

FE

AE

AC

BC

BD

FD

FE

Metoda 2. Metoda 2.

Notăm 0 x AB

AF atunci A împarte în raportul -xFB EB x EF

x EA

1

1

Punctul E împarte în raportul AC

BC BA BC BA BE 22

1

211

1

2

1

AB BC EB 2

(1)

(2)

Cum vectorii ED EF şi sunt coliniari,există )2()(, BC AC k CD EC k EDk EF Rk (3)Avem

BC AB AC EA (4) Înlocuind 2,3,4 în 1 obţinem BC xk AB xk

x BC AB

322

1

1

Cum vectorii AB şi BC sunt necoliniari avem simultan

31

11

311

22

xk

x

xk x

xk

Metoda 3. Metoda 3.

Ducem CM // AB

M

T.Thales în ΔACM AF CM EF FM EF

FM

EA

AC 2 (1)

Analog se arată că FM=MD,deci în ΔBDF BF=2CM (2)

Din 1 şi 2 avem AB+AF=2(2AF),deci AB=3AF


12/34

Ciocotişan Radu


Fie triunghiul ABC,A’mijlocul laturii BC şi N situat pe (AA’).Notăm BN∩AC={E},CN∩AB={D}.Arătaţi că DE // BC.

RezolvareRezolvare A

B CA’

N ED

Aplicăm T.Menelaus în ΔAA’C cu transversala B,N,E

'2

11

'

' NA

NA

EC

EA

EC

EA

NA

NA

BA

BC

Aplicăm T.Menelaus în ΔBAA’ cu transversala D,N,C

'2

11

'

' NA

NA

DB

DA

DB

DA

NA

NA

CA

CB

Reciproca T.Thales DE // BC


13/34

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi un punct D situat pe dreapta AB astfel încât BD A

Fie [AF, CDF bisectoarea unghiului


14/34

Ciocotişan Radu


Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale AC şi BD.O dreaptă mobilă care trece prin O taie dreptele AB,DC,în punctele M,N(diferite de vârfurile patrulaterului)Arătaţi că produsul

k

NC

ND

MB

MA

A

B C

D

MN

ORezolvareRezolvareAplicăm T.Menelaus în ΔABD cu transversala L,M,O

L

OB

OD

LD

LA

MB

MA

MA

MB

OB

OD

LD

LA 1

Aplicăm T.Menelaus în ΔACD cu transversala L,N,O

OC

OA

LA

LD

ND

ND

NC

ND

OA

OC

LD

LA

1

·

k OC

OA

OB

OD

NC

ND

MB

MA


15/34

Ciocotişan Radu

CEVACEVA3.3 Teorema lui3.3 Teorema lui

Fie untriunghi ABC şi A’,B’,C’ situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ,diferite de vârfuri.Atunci AA’,BB’,CC’ sunt concurente sau paralele

1'

'

'

'

'

'

BC

AC

A B

C B

C A

B A

ieieţţDemonstraDemonstraAA’,BB’,CC’ sunt concurente în M.

A

B CA’

B’C’

MAplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’,C,M

1'

''

'

MA

MA

CA

CB

BC

AC

Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’,B,M

1'

''

'

MA

MA

BA

BC

C B

A B1

'

'

'

'

'

'

'''

'''

CB

BC

A B

BA

CA

C B

BC

AC

BA

BC

C B

A B

CA

CB

BC

AC

AA’,BB’,CC’ sunt paralele.

A

B C

B’C’

A’Aplicăm T.Thales

''

'

AC

AB

C A

B AΔBCC’

BA

BC

A B

C B ''' ΔBAB’cu CC’

·

BA

AB

AC

BC

A B

C B

C A

B A

BA

BC

AC

AB

A B

C B

C A

B A

'

'

'

'

'

'

'

'

''

'

'

'

-1Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.

1'

'

'

'

'

'

BC

AC

A B

C B

C A

B Asau


16/34

Ciocotişan Radu

GergonneGergonnePunctul luiPunctul lui

Dacă în ΔABC notăm M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile BC,CA,AB,))GergonneGergonneun punct (-ntr î atunci dreptele AM,BN,CP sunt concurente

A

B CM

NP1

PB

PA

NA

NC

MC

MBieieţţDemonstraDemonstra

Avem AM,BN,CP concurente ( nu pot fi paralele)


17/34

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi M mijlocul lui BC.Considerăm [MP bisectoarea unghiului


18/34

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi î nălţimea CD,mediana AM şi bisectoarea BE.Dacă 1

BA

BD

BC

BDatunci dreptele CD, AM şi BE sunt concurente.

A

B C

D

M

E

RezolvareRezolvare

Este suficient să verificăm T.Ceva 1 DB DA

EA EC

MC MB (1)

a

bc

a

c

DB

DA

DB

DA

c

a

DB

DA

c

a

a

a

DB

DA

EA

EC

MC

MB

12 /

2 /

(2)

sau

darca

ac BD

ca BD BA

BD

BC

BD

1111

Atuncica

c BDc AD

2

... Şi avema

c

ac

ca

ca

c

DB

DA

2


19/34

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi punctele A’, B’şi C’ situate respectiv pe segmentele (BC), (AC) şi (AB) astfel încât cevienele AA’, BB’, CC’sunt concurente în M. Atunci

6''')

'''2

''')

MC

MC

MB

MB

MA

MAb

MC

MC

MB

MB

MA

MA

MC

MC

MB

MB

MA

MAa

(cu ‘’= ‘’ M este centrul de greutate)

RezolvareRezolvare

A

B CA’

B’C’ M

Notăm p BC

AC n

A B

C Bm

C A

B A

'

',

'

',

'

'atunci mnp=1

Aplicăm relaţia lui Van Aubel

mn

A B

C B

B A

C A

MC

MA

pm

AC

BC

C A

B A

MB

MB

n p

C B

A B

BC

AC

MA

MA

1

'

'

'

'

'

1''

''

'

1

'

'

'

'

'

a)

cctd m

n p

mn

p

mn

pm

n p

MC

MC

MB

MB

MA

MA

1112

...111

'''

b) cum 21

x

x avem cctd.

1

...01

021

21

21

6111

2

pnm

p

nnmm p p

mn

pm

n p

adică AA’,BB’,CC’ sunt mediane


20/34

Ciocotişan Radu

Probleme propuse pag192/193Probleme propuse pag192/193

Problema 1/192Problema 1/192

Fie 2 drepte secante şi d∩d’=O. Considerăm punctele B, C situate pe d şi punctele A, D situate pe d’ astfel încât AB // CD.Fie I, J mijloacele segmentelor AB şi CD. Arătaţi că punctele I, J şi O sunt coliniare.

O

d

d’

A D

BC

IJ

ie:ie:ţţindicaindica

2;

2

OC ODOJ

OBOAOI

Din asemănare avem OC k OBODk OAk OC

OB

OD

OA ,

Atunci

OJ k

OC OD

k

OBOA

OI

22 ceea ce exprimă că punctele O,I,J sunt coliniare


21/34

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC şi punctele AC F AB E , astfel încât EF // BC.Considerăm punctele 0cu,

NC

NB

MF

ME BC N EF M

Arătaţi că punctele M, N şi A sunt coliniare.

A

B C

E F

M

N


Din T.Thales avem AC k AF ABk AE k AC

AF

AB

AE ;

Dar

NC NB

MF ME

de unde exprimând vectorii de poziţiecu originea A avem:

AC AB AN

1

1

şi

AN k AC ABk AF AE AM

11

1

Ceea ce exprimă că punctele A,M,N sunt coliniare.


22/34

Ciocotişan Radu


Fie un paralelogram ABCD.Notăm cu I mijlocul laturii AB şi considerăm punctul E situat pe [ID] astfel încât ID IE 3

1

Arătaţi că punctele A, E, C sunt coliniare.

A B

CD

I

E


Deoarece IE este o treime din ID avem

AC AB AD AI AD AE EI ED

3

1

3

12

21

1

2

adică punctele A,E,C sunt coliniare


23/34

Ciocotişan Radu


Fie paralelogramul AMNO şi punctele B, C astfel încât avem .2*,1

11

n N ; nOM

nOC ;ON

nOB

Arătaţi că A, E şi C sunt puncte coliniare.


A M

NOB

C

ABn

n

OAOBn

nOAON

nn

nON OA

nOAOM

nOAOC AC

OC AO AC

1

1)

1(

11

1

1

1

adică punctele A,C,B sunt coliniare


24/34

Ciocotişan Radu


Fie două triunghiuri ABC şi A’B’C’.Considerăm punctele ',',' CC C BB N AA M

astfel încât ',',' PC PC NB NB MA MA

Arătaţi că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,A’B’C’ şi MNP sunt puncte coliniare.

ie:ie:ţţindicaindica Notăm centrele de greutate respectiv cu G,G’ şi Q.

Exprimând vectorii de poziţie (LEIBNIZ) avem:

OPON OM OQ

OC OBOAOG

OC OBOAOG

3

1

'''

3

1'

3

1Din ipoteză avem :

'11

'1

1

'1

1

OC OC OP

OBOBON

OAOAOM

Fie O , un punct oarecare din plan.

Atunci :

'11

'''33

1

1

1

'1

1'

1

1'

1

1

3

1

OGOGOC OBOAOC OBOA

OC OC OBOBOAOAOQ

Alegem O = Q şi avem'QGQG adică G,G’ şi Q sunt coliniare.


25/34

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC şi punctele M, N astfel încât avem Rr NC r NB AC AB AM ,;2

Determinaţi r astfel încât punctele A, M şi N să fie coliniare.

ie:ie:ţţindicaindicaExprimăm vectorul de poziţie al lui N în raport cu originea A )(

1

1 AC r AB

r AN

A,M,şi N să fie coliniare AM AN ,

AC AB AC r ABr 2)(1 1

2

1

1

21

1

r

r

r r


26/34

Ciocotişan Radu


Fie un paralelogram ABCD.Considerăm punctele E, F astfel încât AD AF AB BE 3,2

1

Arătaţi că punctele E, F şi C sunt coliniare.


AB E

CD

F

Arătăm că: CF EC 2 care exprimă coliniaritatea E,F şi C.

BC AB AD AB AD AF CD DF CDCF

BC AB BC EB EC

22

2

1

cctd


27/34

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC unde notăm centrul cercului circumscris cu O şi ortocentrul cu H. Arătaţi că : HO HC HB HA 2


Scriem relaţia lui Sylvester OH OC OBOA

A

B CO

H

Avem :

HC OH OC

HBOH OB

HAOH OA

+

HOOH HC HB HA HC HB HAOH OH 223


28/34

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC. Considerăm punctele 3

1cu',

2

1

'

'cu'

SA

SA' AAS

B A

C A BC A şi notăm CS ∩AB = {M}

Arătaţi că M este mijlocul laturii [AB].

ie:ie:ţţindicaindica A

B C

M

A’

S

Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu M, S, C.

MB MACA

CA

MB

MA

CA

CB

SA

SA

MB

MA 1

313'31

''

3

1


29/34

Ciocotişan Radu


Fie ABC un triunghi. Notăm cu M mijlocul lui [BC],notăm cu N mijlocul lui [AM] şi CN ∩ AB = {P}.Arătaţi că a) BP = 2AP şi b) PC = 4PN.


BC

M

NP

a) T.Menelaus în ΔABM cu P, N, C. PBPACM

CB

NA

NM

PB

PA21

1 2

b) T.Menelaus în ΔBPC cu A, N, M.

411

PC

PN

PC

PN

AP AB

AP

CN

NP

AB

AP

MC

MB

NP

NC

AB

AP

1

11/193P bl 11/193


30/34

Ciocotişan Radu


Fie triunghiul ABC dreptunghic în A şi C=30°.Considerăm bisectoarea BT,T situat pe segmentul AC şi î nălţimea AE, E situat pe segmentul BC. Paralela prin C la BT taie AB în F. Arătaţi că punctele F, E şi T sunt coliniare.


E

A

B

F

T

C

30 30

3030 3030

c

ab

2

ac AB 3

4

3,

4

EB

EC a EC

a EB

T.bisectoarei

2

12 a

a

TC

TA

3

2

2

3,

FA

FBaFAaFB

Atunci:1

3

2

1

3

2

1

FA

FB

EB

EC

TC

TA R.T.Men.F,E şi T sunt coliniare

P bl 12/193P bl 12/193


31/34

Ciocotişan Radu


Fie T un punct în interiorul triunghiului ABC.Dreptele AT , BT şi CT intersectează [BC], [CA], [AB] respectiv în punctele M, N, P.Dacă T este centrul de greutate al triunghiului MNP,arătaţi că T este centrul de greutate al triunghiului ABC.


B CM

NP

C’

A’

B’T

T.Menelaus în ΔPMC cu B,B’;T )1(1'

'

TC

TP

BC

BM

TP

TC

M B

P B

BC

BM

T.Menelaus în ΔPNC cu A,A’;T )2(1'

'

TC

TP

AC

AN

TP

TC

N A

P A

AC

AN

AB MN AC

AN

BC

BM //

=1

=1

C’ mijloc P mijlocul ABanalog M,N



32/34

Ciocotişan Radu


Fie ABC un triunghi şi punctele coliniare .,, ABPCA N BC M Notăm M’, N’, P’ simetricele acestor puncte î n raport cu mijlocul laturii pe care se află fiecare.Arătaţi că punctele M’, N’, P’ sunt coliniare.


B

P’

P

MM’

C

N’N

Q

Avem'

'

'

'

BM

C M

BQQM

QM QC

QC MQ

MQ BQ

MC

MB

analog

AP

BP

PB

PA

C N

A N

NA

NC

'

''

'

T.Menelaus în ΔABC cu P,M,N.

1 NA

NC

MC

MB

PB

PA înlocuim 1

'

'

'

'

'

'

C N

A N

B M

C M

AP

BP

M’,N’,P’ sunt coliniare



33/34

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC şi punctele ABC AC B BC A ',',' astfel încât cevienele AA’,BB’ şi CC’ sunt concurente în M.Arătaţi că ,8

''' MC

MC

MB

MB

MA

MAcu egalitate M este centrul de greutate al triunghiului ABC.

ie:ie:ţţindicaindicaA

B C

A’

B’C’

M

Notăm p BC

AC n

A B

C Bm

C A

B A

'

';

'

';

'

'

Aplicăm relaţia lui Van Aubel:

mn

A B

C B

B A

C A

MC

MC p

m

AC

BC

C A

B A

MB

MB

n p

C B

A B

BC

AC

MA

MA

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

82222111

2...111

1'''

p p

mm

nn

mn

pm

n p

MC

MC

MB

MB

MA

MA

dacă

1....021

21

21

8111

2

pnm

p p

mm

nn

p p

mm

nn

adică A’,B’.C’ mijloace



34/34

Ciocotişan Radu


În triunghiul ABC bisectoarele AA’, BB’ şi CC’ se intersectează în punctul I. Arătaţi că sunt echivalente afirmaţiile:

8'''

)

6'''

)

)

IC

IC

IB

IB

IA

IAc

IC

IC

IB

IB

IA

IAb

lechilatera ABC a


B C

I

A’

B’C’

(a→b) Dacă a=b=c avem2

'

a

aa

IA

IA

c

ba

IC

IC

b

ca

IB

IB

a

cb

IA

IA

';

';

'

Ştim că:

b)

(a→c) analog

(b→a) cbac

a

a

c

c

b

b

c

b

a

a

b

c

a

c

b

b

c

b

a

a

c

a

b

...02226

(b→c)

82222...111'''

a

c

a

b

c

b

b

c

b

a

c

a

b

c

c

b

a

c

c

a

b

a

a

b

IC

IC

IB

IB

IA

IA

(c→a)

cbac

b

b

c

a

c

c

a

a

b

b

a

a

c

a

b

c

b

b

c

b

a

c

a

...0222811

Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf

Documents

Transcript of Probleme-Coliniaritate,concurenta.pdf