Problema echilibrului s, iaplicat, ii

Doctorand:Burjan-Mosoni Boglárka

Universitatea Babeş-BolyaiFacultatea de matematică s, iinformatică

Conducător de doctorat:Prof. Dr. Kassay Gábor

Universitatea Babeş-BolyaiFacultatea de matematică s, i

informatică

FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013 Axa prioritară 1. Educaţia şi formarea profesională ı̂n sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazatepe cunoaştere Domeniul major de intervenţie 1.5. Programe doctorale şi postdoctorale ı̂n sprijinul cercetării Contract nr:POSDRU/6/1.5/S/3:

”STUDII DOCTORALE: PRIN ŞTIINŢĂ SPRE SOCIETATE”

Autoarea dores,te să mult,umească pentru suportul financiar din Programul co-finant,at de Operat,ional Sectorial pen-

tru Dezvoltare Resurselor Umane 2007 - 2013, Contract POSDRU 6/1.5/S/3 -”STUDII DOCTORALE: PRIN ŞTIINŢĂ

SPRE SOCIETATE”

Cluj-Napoca

2012

Cuprins

1 Not, iuni s, i rezultate preliminare 7

2 Problema de echilibru 82.1 Problema scalară de echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Problema vectorială de echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Problema de echilibru multivoc . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Problema de echilibru well posed 133.1 Tikhonov well posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Problemă vectorială de echilibru B-well posed s, i M-well posed 15

Aplicat, ii: 16

4 Jocuri necooperative s, i cooperative 174.1 Jocuri necooperative de două persoane cu suma zero s, i punctele

s,a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Exemple de jocuri necooperative . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Jocuri cooperative obt, inute din jocuri necooperative . . . . . . 184.4 Jocuri cooperative ı̂n formă de funct, ie caracteristică . . . . . . 194.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristică s, i funct, ia in-

directă a jocului UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Maximal monotonia sumei generalizate a doi operatori max-imal monotoni 245.1 Operatori s, i funct, ii reprezentative maximal monotoni . . . . . 245.2 Dualitatea tare stabilă s, i infimal convolut, ii generalizate . . . . 255.3 Maximal monotonia operatorului S + A∗TA . . . . . . . . . . 275.4 Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliography 31

CUPRINS 2

Introducere

Una dintre cele mai importante probleme ı̂n analiza neliniară este as,anumita problemă de echilibru scalar (prescurtat (EP)), care se poate formula,după cum urmează: fie A s, i B două mult, imi nevide s, i f : A×B → R o funct, iedată. Problema constă ı̂n găsirea unui element ā ∈ A, astfel ı̂ncât

f(ā, b) ≥ 0, pentru orice b ∈ B. (1)

Elementul ā care satisface (1) se numes,te punctul de echilibru al lui f peA×B.

(EP) a fost intens studiat ı̂n ultimii ani (de ex. [27], [28], [29], [30], [31],[82], [83], [84], [88] respectiv lucrările de referint, ă citate ı̂n cele amintite).Pe lângă semnificat, ia teoretică, apar tot mai multe probleme din domeni-ile economiei, mecanicii, electronicii s, i ale altor s,tiint,e aplicate care sust, instudierea (EP). Problemele de echilibru includ cazuri particulare ca prob-leme de optimizare scalară s, i vectorială, problema punctului s,a (minimax),inegalităt,i variat,ionale, problema de echilibru Nash, etc.

Din câte s,tim, denumirea ”equilibrium problem” a fost stabilită ı̂n [31],ı̂nsă problema propriu-zisă fusese studiată ı̂n urmă cu mai mult de douăzecide ani ı̂ntr-un articol scris de Ky Fan [69] ı̂n legătură cu as,a numitele ”in-tersection theorems” (rezultate care stabilesc caracterul nevid al unei familiide mult, imi). Ky Fan a studiat (EP) ı̂n cazul special când A = B este osubmult, ime compactă s, i convexă a unui topologic spat, iu vectorial Hausdorffs, i pentru acesta a folosit termenul ”minimax inequality”. La scurt timpdupă acest articol (̂ın acelas, i an) Brézis, Nirenberg s, i Stampacchia [50] auı̂mbunătăt, it rezultatul lui Ky Fan, extinzându-l la o mult, ime nu neaparatcompactă automat ı̂ndeplinită atunci când mult, imea este compactă.

Rezultatele recente privind existent,a solut, iilor (EP) apar ]n multe lucr[ridintre care amintim [27], [28], [29], [120]. Noi condit, ii necesare (s, i ı̂n unelecazuri suficiente) pentru existent,a solut, iilor ı̂n cazul spat, iilor infinit dimen-sionale au fost propuse ı̂n [83], acestea fiind ulterior simplificate s, i analizatemai departe ı̂n [82].

Primul concept de bază ı̂n domeniul well posedness ı̂s, i are originea ı̂n ideeaclasică a lui J. Hadamard, formulată ı̂n 1922. Aceasta presupune existent,aunei solut, ii optimale unice, ı̂mpreună cu o continuă dependent, ă fat, ă de dateleproblemei.

La ı̂nceputul anilor 60, A. Tikhonov a introdus un nou concept de well

CUPRINS 3

posedness impunând convergent,a tuturor s, irurilor de minimizare către punc-tul de minim bine definit.

Fie problema de optimizare scalară (D, h)

minh(a), a ∈ D

unde h : D → R, s, i D este o mult, ime nevidă. Problema este Tikhonovwell posed dacă s, i numai dacă există exact o solut, ie a0 ∈ D, astfel ı̂ncâth(a0) ≤ h(a) pentru orice a ∈ D s, i

h(an)→ h(a0)

implică an → a0.

Exemplul 0.0.1. Fie D = Rn s, i funct,ia h(a) = |a| (orice normă).Atunci 0 = argmin(D, h) s, i este evident că (D, h) este Tikhonov well

posed.

Exemplul 0.0.2. Fie D = R s, i

h(a) =

{a pentru a > 0

|a+ 1| pentru a ≤ 0 ,

ı̂n acest caz (D, h) nu este Tikhonov well posed (spunem că problema esteTikhonov ill posed). Într-adevăr, singurul punct de minim este a0 = −1, dars, irul de minimizare an = 1/n nu converge către a0.

Dattoro [59] spune că dualitatea este un instrument puternic s, i des folositı̂n matematica aplicată din mai multe motive. Primul motiv este că problemaduală este ı̂ntotdeauna convexă, chiar dacă cea primală nu este convexă.Motivul al doilea este că numărul variabilelor ı̂n problema duală este egală cunumărul constrângerilor ı̂n cea primală, iar acest număr este deseori mai micdecât numărul variabilelor ı̂n problema primală. În al treilea rând, valoareamaximă dată de problema duală este de multe ori egală cu cea minimă ı̂ncazul problemei primale.

Lucrarea de fat, ă este organizată, după cum urmează. Pentru ı̂nceput,reamintim câteva definit, ii care facilitează ı̂nt,elegerea sect, iunilor următoare.

Capitolul 2 se bazează pe problema de echilibru s, i generalizările acesteia.Prezentăm câteva rezultate de existent, ă pentru solut, iile problemelor scalares, i vectoriale de echilibru. În anii trecut, i problemele vectoriale de echilibrus, i cele de formă multivocă au fost intens studiate (de exemplu [51], [80]).Aceste probleme pot fi formulate ı̂n felul următor: fie A o mult, ime nevidă aunui topologic spat, iu vectorial X,B o mult, ime nevidă, Z un topologic spat, iu

CUPRINS 4

vectorial, C ⊂ Z un con convex s, i solid s, i f : A×B → Z o funct, ie de valoarevectorială. Problema vectorială slabă de echilibru este

găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât f(ā, b) /∈ − intC pentru orice b ∈ B. (2)

În ultima parte a capitolului extindem rezultatele problemelor vectorialede echilibru pentru as,a numitele probleme slabe de echilibru multivoc. Dacăf : A× B → 2Z , o metodă de a defini problema slabă de echilibru multivoceste următoarea:

găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât f(ā, b) * − intC pentru orice b ∈ B. (3)

Este de ret, inut faptul că această problemă se reduce la o problemă slabă deechilibru multivoc. Redăm aici câteva teoreme de existent, ă pentru problemaslabă de echilibru multivoc, precum s, i unele consecint,e ale acestor rezultat.

Capitolul 3 este dedicat calităt, ii unor probleme de echilibru de a fi well-posed. Stabilim aici o relat, ie ı̂ntre Tikhonov well posedness pentru prob-leme de echilibru s, i Tikhonov well posedness pentru jocuri necooperative,apoi demonstrăm echivalent,a acestui tip de well posedness cu problemele deechilibru s, i jocurile necooperative. Folosind aceste rezultate, ı̂n partea a douăa acestui capitol deducem relat, ia ı̂ntre proprietăt, ile de diametru. Apoi, ex-tindem câteva dintre rezultatele obt, inute de Bianchi, Kassay s, i Pini ı̂n [26] laproblema vectorială tare de echilibru. De asemenea, studiem problema vec-torială slabă de echilibru s, i enunt, ăm definit, iile pentru B-well posedness s, i M-well posedness pentru cazul slab. Relat, ia dintre aceste tipuri de well posed-ness este stabilită aici, apoi definim condit, ii suficiente pentru echivalent,anot, iunilor well posedness.

Ultima parte a prezentei lucrări se ocupă de aplicat, ii. Capitolul 5 sebazează pe jocurile necooperative s, i cooperative. La ı̂nceput prezentăm bine-cunoscutul joc de două persoane cu suma zero s, i punctele s,a, oferind exemple.Apoi, se arată modalitatea de a obt, ine un joc cooperativ pornind de la un jocnecooperativ (Bătălia sexelor). Sect, iunea următoare prezintă jocuri precum”Economie cu mos, ieri s, i t, ărani, bazată pe product, ie” ”Economie cu negustoride două tipuri, bazată pe schimb”, ”Aeroportul”, ”Falimentul”, ”Dezvoltareacooperativă a resurselor de apă ı̂n Japonia”, ”Jocul simplu”. În majoritateaacestor cazuri, elementele mult, imii de jucători sunt, as,a cum le arată s, i de-numirile, persoane reale, de exemplu mos, ieri s, i t, ărani, negustori, creditorisau votant, i, dar mult, imea jucătorilor poate fi alcătuită s, i din obiective, as,acum se ı̂ntâmplă ı̂n cazul aterizărilor pe aeroporturi, asociat, iilor agricole sauserviciilor municipale de apă s, i canalizare.

În ultima sect, iune deducem reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristicăs, i funct, ia indirectă a jocului cu utilităt, i transferabile.

CUPRINS 5

În final, dăm o condit, ie de regularitate de tip ı̂nchidere care asigură max-imal monotonia sumei generalizate S +A∗TA, utilizând operatori monotonitare reprezentabili s, i arătăm că ipoteza noastră este mai slabă decât celement, ionate mai sus. Dăm a aplicat, ie utilă pentru dualitatea tare stabilăutilizând funct, ia f + g ◦ A, unde f s, i g sunt funct, ii convexe, proprii s, i in-ferior semicontinue, iar A este un operator liniar s, i continuu. Introducemde asemenea unele formule de inf-convolut, ie generalizată s, i stabilim câtevarezultate referitoare la conjugatele lor Fenchel. În ultima parte tratăm câtevaexemple ı̂n care sunt utilizate rezultatele generale pentru maximal monotonialui S + A∗TA.

Contribut, iile autoarei la această teză se bazează pe cinci articole, la patrudintre acestea fiind coautoare. Unul [52], având ca subiect problema slabăde echilibru multivoc, a apărut ı̂n The Special Volume in Honour of BorisMordukhovich, Springer Optimization and its Application ı̂n 2010, un altul[47] online ı̂n Set-Valued and Variational Analysis ı̂n 2011, iar celelalte trei[46], [45], [78] au fost trimise spre publicare la jurnale ISI.

Rezultatele noastre originale sunt formulate ı̂n următoarele definit, ii, teo-reme, propozit, ii s, i corolare:

Capitolul 2: Lema 2.3.1, Definit, ia 2.3.2, Teorema 2.3.3, Corolarul 2.3.4,Corolarul 2.3.5.

Capitolul 3: Teorema 3.1.9, Teorema 3.1.20, Propozit, ia 3.2.11, Propozit, ia3.2.12, Definit, ia 3.2.13, Definit, ia 3.2.14, Observat, ia 3.2.15, Definit, ia 3.2.16,Propozit, ia 3.2.17, Propozit, ia 3.2.18.

Capitolul 4: Observat, ia 4.5.5, Teorema 4.5.7, Corolarul 4.5.8, Teorema4.5.10, Corolarul 4.5.11, Teorema 4.5.13, Corolarul 4.5.14, Teorema 4.5.15,Corolarul 4.5.16, Teorema 4.5.17, Observat, ia 4.5.18, Observat, ia 4.5.19, Observat, ia4.5.20, Observat, ia 4.5.21.

Capitolul 5: Teorema 5.2.1, Observat, ia 5.2.3, Teorema 5.2.4, Observat, ia5.2.5, Corolarul 5.2.6, Corolarul 5.2.7, Teorema 5.2.8, Observat, ia 5.2.9, Coro-larul 5.2.10, Teorema 5.3.1, Teorema 5.3.3, Corolarul 5.4.1, Corolarul 5.4.2,Corolarul 5.4.3, Corolarul 5.4.4.

Mult,umiriÎn primul rând doresc să-mi exprim recunos,tint,a fat, ă de Prof. Dr. Kassay

Gábor, conducătorul meu de doctorat. Sunt recunoscătoare pentru s,ansa dea fi făcut studiile doctorale sub ı̂ndrumarea sa, ı̂i mult,umesc pentru ajutorulacordat, supravegherea s, i asistent,a sa constantă ı̂n studiile s, i cercetările mele.T, in să-i mult,umesc pentru răbdarea, cuvintele motivatoare, entuziasmul s, i

CUPRINS 6

vastele sale cunos,tint,e de care am beneficiat ı̂n ultimii trei ani. Mă simtprivilegiată că pot participa ı̂n proiectul său CNCS, cod PN-II-ID-PCE-2011-3-0024.

Doresc să mult,umesc, de asemenea, Prof. Dr. Marc Uetz de la Universityof Twente pentru posibilitatea de a lucra ı̂n grupul sau de cercetare pe pe-rioada mobilităt, ii s, i Dr. Theo Driessen pentru ı̂ndrumarea sa s, i conversat, iilefructuoase purtate la Enschede.

Adresez multe mult,umiri Facultăt, ii de Matematică s, i Informatică a Uni-versităt, ii Babes, -Bolyai pentru asigurarea unui mediu propice activităt, ilor decercetare s, i Institutului pentru Studii Doctorale pentru suportul financiaracordat prin proiectul POSDRU Studii doctorale: prin s,tiint, ă spre societate(POSDRU 6/1.5/S/3).

Sunt recunoscătoare pentru prietenia Dr. Szilárd Csaba László. Atâtcooperarea noastră, cât s, i sfaturile sale au adus o contribut, ie semnificativăla munca mea, sper să putem lucra ı̂mpreună s, i ı̂n viitor.

Nu ı̂n ultimul rând, sincere mult,umiri sunt adresate familiei mele pentruı̂nt,elegerea, ı̂ncurajările, suportul moral s, i dragostea sa.

Cuvinte cheie: problema slabă multivocă de echilibru, tikhonov wellposedness, B-well posedness, M-well posedness, problema vectorială slabăde echilibru, jocuri necooperative, jocuri cooperative, funct, ia caracteristică,funct, ia indirectă, joculuri cu utilităt, i transferabile, operatori monotoni, op-eratori reprezentabile, funct, ia de reprezentare.

Capitolul 1

Not, iuni s, i rezultate preliminare

Acest capitol cont, ine not, iunile matematice utilizate pe parcursul prezenteiteze de doctorat. Atât definit, iile conceptelor folosite des ı̂n domeniul nostru,cât s, i observat, iile, respectiv propozit, iile aferente acestor concepte sunt dateı̂n această sect, iune.

Capitolul 2

Problema de echilibru

2.1 Problema scalară de echilibru

Fie A s, i B două mult, imi nevide. Fiind dată o bifunct, ie ϕ : A × B → R,problema echilibrului este următoarea:

(EP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ϕ(ā, b) ≥ 0 pentru orice b ∈ B.

În cele ce urmează, prezentăm câteva rezultate de existent, ă pentru prob-lema de echilibru (EP). Kassay s, i Kolumbán prezintă un rezultat de existent, ăgeneral [89].

Teorema 2.1.3. Fie A un topologic spat,iu compact, B o mult,ime nevidă s, ifie dată funct,ia f : A×B → R astfel ı̂ncăt

(i) pentru fiecare b ∈ B, funct,ia ϕ : A→ R este semicontinuă superior;

(ii) pentru fiecare a1, ..., am ∈ A, b1, ..., bk ∈ B, λ1, ..., λm ≥ 0 astfel ı̂ncât∑mi=1 λi = 1, are loc inegalitatea

min1≤j≤k

m∑i=1

λif(ai, bj) ≤ supa∈A

min1≤j≤k

f(a, bj)

(iii) oricare ar fi b1, ..., bk ∈ B, µ1, ..., µk ≥ 0 astfel ı̂ncât∑k

j=1 µj = 1, areloc

supa∈A

k∑j=1

µjf(a, bj) ≥ 0.

Atunci problema echilibrului (EP) admite o solut,ie.

2.2 Problema vectorială de echilibru 9

2.2 Problema vectorială de echilibru

Fie ϕ : A×B → Z o funct, ie dată, unde A s, i B sunt două mult, imi nevide, Zeste un topologic spat, iu vectorial ordonat part, ial de conul convex C ⊆ Z cuintC 6= ∅. Considerăm as,a-numita problemă vectorială de echilibru ı̂n douăfeluri:

(V EP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ϕ(ā, b) /∈ −C\ {0} ∀ b ∈ B

s, i

(WVEP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ϕ(ā, b) /∈ −intC ∀ b ∈ B.

Prima problemă se numes,te problemă vectorială tare de echilibru, iar adoua problemă vectorială slabă de echilibru.

Fie A o submult, ime nevidă a spat, iului X, B o mult, ime nevidă s, i fieϕ : A× B → Z. Următorul rezultat oferă condit, ii suficiente de existent, ă alesolut, iilor problemei (WVEP).

Teorema 2.2.4. [51] Fie A o mult,ime compactă s, i ϕ : A×B → Z o funct,ieastfel ı̂ncât:

(i) pentru orice b ∈ B, funct,ia ϕ(·, b) : A→ Z este semicontinuă superiorpe A;

(ii) pentru orice a1, a2, . . . , am ∈ A, λ1, λ2, . . . , λm ≥ 0 cu∑m

i=1 λi = 1,b1, . . . , bn ∈ B există u∗ ∈ C∗\ {0} astfel ı̂ncât

min1≤j≤n

m∑i=1

λiu∗(ϕ(ai, bi)) ≤ sup

a∈Amin1≤j≤n

u∗(ϕ(a, bj));

(iii) oricare ar fi b1, . . . , bn ∈ B s, i z∗1 , . . . , z∗n ∈ C∗ nu toate nule, are loc

supa∈A

n∑j=1

z∗j (ϕ(a, bj)) ≥ 0.

Atunci problema (WVEP) admite o solut,ie.

2.3 Problema de echilibru multivoc

Fie A o submult, ime nevidă a unui topologic spat, iu vectorial real X, B omult, ime nevidă, Z un spat, iu normat, C ⊆ Z un con convex solid s, i ϕ :A×B → 2Z este o multifunct, ie.

2.3 Problema de echilibru multivoc 10

Problema slabă de echilibru multivoc este:

(WWMEP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ϕ(ā, b) * −intC ∀ b ∈ B.

Prin C(Z) notăm mult, imea submult, imilor compacte ale spat, iului Z.Primul rezultat este unul tehnic, iar demonstrat, ia sa se bazează pe teo-

rema de separare.

Lema 2.3.5. (A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni [52]) Fie următoarelecondit,ii ı̂ndeplinite de bifunct,ia ϕ : A×B → C(Z)

(i) dacă familia {Ub,k | b ∈ B, k ∈ intC} acoperă mult,imea A, atunci eacont,ine o subacoperire finită, unde

Ub,k = {a ∈ A|ϕ(a, b) + k ⊆ −intC};

(ii) oricare ar fi a1, . . . , am ∈ A, λ1, . . . , λm ≥ 0 cu∑m

i=1 λi = 1, b1, . . . , bn ∈B, pentru orice dij ∈ ϕ(ai, bj) unde i ∈ {1, . . . ,m} s, i j ∈ {1, . . . , n}, existău∗ ∈ C∗ \ {0} astfel ı̂ncât

min1≤j≤n

m∑i=1

λiu∗(dij) ≤ sup

a∈Amin1≤j≤n

max u∗(ϕ(a, bj)),

(iii) pentru orice b1, . . . , bn ∈ B s, i z∗1 , . . . , z∗n ∈ C∗ nu toate nule, are loc

supa∈A

n∑j=1

max z∗j (ϕ(a, bj)) ≥ 0.

Atunci problema slabă de echilibru multivoc admite o solut,ie.

Introducem un nou concept de convexitate pentru mulitfunct, iile de douăvariabile.

Definit, ia 2.3.6. (A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni [52]) Fie T : X×Y →2Z o mulifunct,ie, C ⊂ Z un con convex solid. Funct,ia T este asemănătorC-subconvexă ı̂n prima variabilă dacă, pentru orice θ ∈ intC, x1, x2 ∈ X s, it ∈ (0, 1) există un x3 ∈ X, astfel ı̂ncât

θ + tT (x1, y) + (1− t)T (x2, y) ⊂ T (x3, y) + intC pentru orice y ∈ Y.

Spunem că T este asemănător C-subconcavă ı̂n prima variabilă dacă −Teste asemănător C-subconvexă ı̂n prima variabilă.

Următorul rezultat oferă condit, ii suficiente de existent, ă ale solut, iilorproblemei ı̂n ipoteze de convexitate s, i continuitate.

2.3 Problema de echilibru multivoc 11

Teorema 2.3.7. (A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni [52]) Fie A o mult,imecompactă s, i fie ı̂ndeplinite următoarele condit,ii de bifunct,ia ϕ : A × B →C(Z) :

(i) ϕ(·, b) este −C-continuă superior pentru orice b ∈ B;(ii) ϕ este asemănător C-subconcavă ı̂n prima variabilă;(iii) pentru orice b1, . . . , bn ∈ B s, i z∗1 , . . . , z∗n ∈ C∗ nu toate nule

supa∈A

n∑j=1

max z∗j (ϕ(a, bj)) ≥ 0.

Atunci problema slabă de echilibru multivoc admite o solut,ie.

Considerăm un caz particular al problemei: Z = R s, i C = R+. Atunciϕ : A× A→ 2R s, i (WWMEP ) devine:

(MEP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ϕ(ā, b) * − intR+ ∀ b ∈ A.

Pentru acest caz particular obt, inem următorul rezultat:

Corolarul 2.3.8. (A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni [52]) Fie ϕ : A×B →C(R) o funct,ie multivocă, astfel ı̂ncât următoarele condit,ii să fie satisfăcute:

(i) dacă familia {Ub,k | b ∈ B, k > 0} acoperă mult,imea A, atunci eacont,ine o subacoperire finită unde

Ub,k = {a ∈ A|ϕ(a, b) + k ⊆ −intR+};

(ii) pentru orice a1, . . . , am ∈ A, λ1, . . . , λm ≥ 0 cu∑m

i=1 λi = 1, b1, . . . , bn ∈B, pentru orice dij ∈ ϕ(ai, bj) unde i ∈ {1, . . . ,m} s, i j ∈ {1, . . . , n}

min1≤j≤n

m∑i=1

λidij ≤ sup

a∈Amin1≤j≤n

max ϕ(a, bj);

(iii) pentru orice b1, . . . , bn ∈ B s, i z∗1 , . . . , z∗n ≥ 0 nu toate nule are loc

supa∈A

n∑j=1

max z∗j (ϕ(a, bj)) ≥ 0.

Atunci problema (MEP ) admite o solut,ie.

Corolarul 2.3.9. (A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni [52]) Fie A o mult,imecompactă s, i ϕ : A×B → C(R) o funct,ie astfel ı̂ncât

(i) ϕ(·, b) este −R+-continuă superior pentru orice b ∈ B;(ii) ϕ este asemănător R+-subconcavă ı̂n prima variabilă;

2.3 Problema de echilibru multivoc 12

(iii) pentru orice b1, . . . , bn ∈ B s, i z∗1 , . . . , z∗n ≥ 0 nu toate nule are loc

supa∈A

n∑j=1

max z∗j (ϕ(a, bj)) ≥ 0.

Atunci problema (MEP ) admite o solut,ie.

Fie A o submult, ime nevidă ı̂nchisă s, i convexă a unui spat, iu real localconvex s, i presupunem că ϕ(a, b) o submult, ime compactă a spat, iului R pentruorice a, b ∈ A. Observăm că problema (MEP ) este echivalentă cu următoareaproblemă:

găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât max ϕ(ā, b) ≥ 0 pentru orice b ∈ A,

cu alte cuvinte

(EP ) găsit, i ā ∈ A astfel ı̂ncât ψ(ā, b) ≥ 0 pentru orice b ∈ A,

unde ψ : X × X → R ∪ {+∞}, cu A × A ⊆ dom f este funct, ia dată deψ(a, b) = maxϕ(a, b) pentru orice a, b ∈ A. Presupunem că maxϕ(a, a) = 0oricare ar fi a ∈ A. Fie a ∈ X. Conform [4], (EP ) poate fi redusă la problemade optimizare

P (a) infb∈A

ψ(a, b).

Este simplu de verificat că ā ∈ A este o solut, ie a problemei de echilibru(EP ) dacă s, i numai dacă este o solut, ie pentru P (ā).

Capitolul 3

Problema de echilibru wellposed

3.1 Tikhonov well posedness

Fie D o mult, ime nevidă s, i fie F : D×D → R o funct, ie. Atunci problemă deechilibru constă ı̂n găsirea unui element a ∈ D astfel ı̂ncât

F (ā, b) ≥ 0, oricare ar fi b ∈ D. (1)

În cele ce urmează funct, ia F este dată astfel ı̂ncât F (a, a) = 0 pentruorice a ∈ D.

Fie funct, ia gap G : D → [−∞,+∞) definită prin

G(a) = infb∈D

F (a, b),

care este nepozitivă pe mult, imea D, s, i G(ā) = 0 dacă s, i numai dacă ā este osolut, ie a problemei de echilibru.

Definit, ia 3.1.1. [25] Problema de echilibru este Tikhonov well posed dacă(i) există o singură solut,ie a ∈ D pentru EP,(ii) pentru orice s, ir {an} ⊂ D astfel ı̂ncât G(an)→ 0, este an → a.

Definit, ia 3.1.2. Jocul necooperativ G = (X, Y, f, g) este Tikhonov well poseddacă

(i) există un singur echilibru Nash (x̄, ȳ) s, i(ii) orice echilibru Nash asimptotic (xn, yn) converge către (x̄, ȳ).

Putem enunt,a următorul rezultat:

3.1 Tikhonov well posedness 14

Teorema 3.1.3. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni) [45]) Fie X, Y topolog-ice spat,ii Hausdorff s, i G = (X, Y, f, g) jocul cu două persoane aferent, cufunct,iile utilitare reale f, g.

Jocul G este Tikhonov well posed dacă s, i numai dacă problema de echili-bru EP(F,X × Y ) este de asemenea Tikhonov well posed, unde F (a, b) =f(x, y) − f(u, y) + g(x, y) − g(x, v) pentru orice a = (x, y) ∈ X × Y andb = (u, v) ∈ X × Y.

Relat, ia ı̂ntre diametre este următoarea:

Teorema 3.1.4. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni) [45]) Dacă există un echili-bru Nash pentru jocul G = (X, Y, f, g) s, i

lim�→0,k→∞

diam Ωk� = 0,

atuncidiam(�− argmin(EP ))→ 0, unde �↘ 0.

Mai mult, s, i reciproca este adevărată dacă a → F (a, b) este semicontinuăsuperior pentru orice b ∈ D s, i oricare ar fi � > 0 s, i dacă funct,iile de profit fs, i g sunt mărginite superioare.

3.2 Problemă vectorială de echilibru B-well posed s, i M-well posed 15

3.2 Problemă vectorială de echilibru B-well

posed s, i M-well posed

Fie X, Y două topologice spat, ii vectoriale s, i C un con ı̂nchis s, i convex ı̂n Ycu interior nevid. Fie f : X ×X → Y o funct, ie cu f(x, x) = 0, pentru oricex ∈ X, problema vectorială slabă de echilibru este: găsit, i x̄ ∈ X astfel ı̂ncât

f(x̄, y) /∈ −int C, pentru orice y ∈ X (2)

Introducem funct, ia multivocă Φ : X → 2Y definită prin:

Φ(x) = w-minC

(f(x,X)), (3)

unde pentru oriceA ⊂ Y,mult, imea elementelor minimal este: w-minC(A) ={a′ ∈ A : (A− a′) ∩ (−int C) = ∅}.

Elementul x̄ apart, ine mult, imii dacă s, i numai dacă 0 ∈ Φ(x̄), unde S estemult, imea solut, iilor s, i ı̂n cele ce urmează presupunem că este nevidă.

Propozit, ia 3.2.1. Următoarele afirmat,ii sunt adevărate:

1. Φ(x) ∩ int C = ∅, for all x ∈ X;

2. x̄ ∈ S ⇔ 0 ∈ Φ(x̄);

3. x̄ ∈ S ⇒ Φ(x̄) ∩ C 6= ∅;

4. x̄ ∈ S ⇔ Φ(x̄) ∩ C ′ 6= ∅;

unde C ′ = (int C) ∪ {0}.

Propozit, ia 3.2.2. Dacă f(x, y) = F (y)− F (x), atunci {xn} este un s, ir demaximizare dacă s, i numai dacă

F (xn) ⇀H w-minC F (X).

Definit, ia 3.2.3. Problema vectorială (2) este M-well-posed dacă:(i) există cel put,in o solut,ie, e.g. S 6= ∅;(ii) pentru orice s, ir de maximizare s, i pentru orice VX ∈ VX(0), există n0

astfel ı̂ncât xn ∈ S + VX , pentru orice n ≥ n0.

Definit, ia 3.2.4. Dacă � ∈ C, atunci mult,imeaS(�) = {x ∈ X : Φ(x) ∩ (C − �) 6= ∅} este mult,imea solut,iilor �-

aproximative pentru problema (2).

Este de notat că S(0) = S.

3.2 Problemă vectorială de echilibru B-well posed s, i M-well posed 16

Observat, ie 3.2.5. Putem stabili o legătură ı̂ntre această definit,ie s, i not,iuneade solut,ii �-slab-minimal

wQ(�) = ∪y∈w-minC F (X){x ∈ X : F (x) ∈ y + �− C}.

În cazul problemelor vectoriale de optimizare unde f(x, y) = F (y) − F (x),este us,or de remarcat că S(�) = wQ(�) pentru orice x ∈ X.

Definit, ia 3.2.6. Problema de echilibru vectorial (2) este B-well-posed dacă(i) există cel put,in o solut,ie, adică S 6= ∅;(ii) proiect,ia S(·) : C → 2X este Hausdorff continuă superior ı̂n � = 0,

adică pentru orice VX ∈ VX(0) există VY ∈ VY (0) astfel ı̂ncât S(�) ⊂ S + VXpentru orice � ∈ VY ∩ C.

Propozit, ia 3.2.7. Orice problemă slabă de echilibru vectorial B-well-posedeste ı̂n acelas, i timp s, i M-well-posed.

Propozit, ia 3.2.8. Presupunem că problema slabă de echilibru vectorial esteM-well-posed s, i pentru orice VY ∈ VY (0) există ṼY ∈ VY (0) astfel ı̂ncât

Φ(X\cl(S)) ∩ (C + ṼY ) ⊆ VY .

Atunci problema este B-well-posed.

Capitolul 4

Jocuri necooperative s, icooperative

4.1 Jocuri necooperative de două persoane

cu suma zero s, i punctele s,a

Punctele s,a (teorema minimax)Fie X, Y două mult, imi nevide s, i h : X×Y → R o funct, ie dată. Perechea

(x̄, ȳ) ∈ X × Y este un punct s,a pentru funct, ia h pe mult, imea X × Y dacă

h(x, ȳ) ≤ h(x̄, ȳ) ≤ h(x̄, y), ∀(x, y) ∈ X × Y. (1)

Fie A = B = X × Y s, i fie funct, ia f : A×B → R definită prin

f(a, b) := h(x, v)− h(u, y), ∀a = (x, y), b = (u, v). (2)

Atunci orice solut, ie a problemei (EP) este punct s,a pentru funct, ia h, s, i vice-versa.

Punctul s,a poate fi caracterizat ı̂n felul următor. Presupunem că pentruorice x ∈ X există miny∈Y h(x, y), s, i pentru orice y ∈ Y există maxx∈X h(x, y).Atunci are loc propozit, ia următoare.

Propozit, ia 4.1.9. Funct,ia f admite un punct s,a pe mult,imea X×Y dacă s, inumai dacă există maxx∈X miny∈Y f(x, y) s, i miny∈Y maxx∈X f(x, y) s, i suntegale.

În această sect, iune enumerăm următoarele exemple:Jocuri de două persoane cu suma zeroDualitate ı̂n optimizare

4.2 Exemple de jocuri necooperative 18

Această problemă generală are multe cazuri particulare importante, deexemplu: problema de optimizare cu restrict,ii de inegalitate s, i de egalitate,problema de programare liniară, problema de programare conică.

4.2 Exemple de jocuri necooperative

Pentru a sublinia important,a (EP), prezentăm ı̂n această sect, iune câteva din-tre cazurile sale particulare, intens studiate ı̂n literatura de specialitate. Celemai multe modelează probleme reale ale viet, ii, având originiea ı̂n mecanică,economie, biologie, etc.

Problema de minimizare convexăProblema punctului fixProblema complementarităt,iiProblema de echilibru Nash la jocuri necooperativeProblema de minimizare vectorială

4.3 Jocuri cooperative obt, inute din jocuri neco-

operative

Să ne amintim jocul ”Bătălia sexelor” pentru care strategiile sunt date. Ma-tricea aferentă este:

L :=

((1, 4) (0, 0)(0, 0) (4, 1)

)Definit, ia 4.3.10. Fie G2 un joc de două persoane (necooperativ) cu mult,imifinite ale strategiilor S1 s, i S2 s, i fie operatorul L = (L1, L2). Astfel, operatoruljocului cooperativ corespunzător acestuia este:

L̂ : ∆S1×S2 → R× R

∑i,j

λij(si, s̃j) 7→∑i,j

λijL(si, s̃j)

unde ∆S1×S2 = {∑

i,j λij(si, s̃j)|∑

i,j λij = 1, λij ∈ [0, 1]} este simplexul con-struit pe perechile de strategii pure (si, s̃j).

Definit, ia 4.3.11. Fie G2 un joc de două persoane s, i operatorul L̂ joculuicooperativ corespunzător. Perechea de pierderi (u, v) ∈ im(L̂) este perechesubdominată de (u′, v′) ∈ im(L̂) dacă u′ ≤ u s, i v′ ≤ v s, i (u′, v′) 6= (u, v).Perechea (u, v) este Pareto optimală dacă nu este pereche subdominată.

4.4 Jocuri cooperative ı̂n formă de funct, ie caracteristică 19

Definit, ia 4.3.12. Fie G2 un joc de două persoane s, i operatorul L̂ joculuicooperativ corespunzător. Mult,imea

B := {(u, v) ∈ im(L)|u ≤ u∗, v ≤ v∗ s, i (u, v) Pareto optimală }

este mult,imea de negociere.

4.4 Jocuri cooperative ı̂n formă de funct, ie

caracteristică

Definit, ia 4.4.13. Fie n ∈ N. Jocul cooperativ de n-persoane ı̂n formă defunct,ie caracteristică este perechea (N, v), unde N este o mult,ime de n ele-mente s, i v : 2N → R este o funct,ie pe mult,imea 2N s, i pentru care v(∅) = 0.

Elementele mult, imiiN sunt numite jucători, iar funct, ia relevantă v funct, iacaracteristică a jocului. O submult, ime S din mult, imea de jucătoriN (S ⊂ N)se numes,te coalit, ie, iar v(S) valoarea (puterea) coalit, iei S ı̂n joc. În multecazuri, elementele din mult, imea de jucători N reprezintă clase sociale reale,de exemplu proprietari de terenuri agricole s, i t, ărani, negustori, creditori sauvotant, i, dar mult, imea de jucători poate fi alcătuită din obiectivele binecunos-cutelor cazuri TVA, pistele aeroporturilor, asociat, ii agricole sau serviciilemunicipale de apă s, i canalizare.

4.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia carac-

teristică s, i funct, ia indirectă a jocului UT

Stabilim mult, imea de jucători N s, i mult, imea P(N) = {S|S ⊆ N} alcătuitădin submult, imile lui N (inclusiv mult, imea vidă ∅). Un joc cooperativ cuutilităt, i transferabile este definit prin as,a numita funct, ie caracteristică v :P(N) → R pentru care v(∅) = 0. As,adar, jocul UT alocă fiecărei coalit, iiS ⊆ N valoarea (puterea) v(S) ı̂nsumând beneficiile (monetare) realizateprin cooperarea membriilor lui S.

Definit, ia 4.5.14. ( [100], pagina 292) Pentru orice joc UT de n-persoanes, i v : P(N)→ R, considerăm funct, ia indirectă πv : RN → R, definită prin

πv(~y) = maxS⊆N{v(S)−

∑k∈S

yk} pentru oricare ~y = (yk)k∈N ∈ RN , (3)

unde, pentru orice S ⊆ N (inclusiv mult,imea vidă, ∅), excesul ev(S, ~y) =v(S)−

∑k∈S

yk.

4.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristică s, i funct, ia indirectă ajocului UT 20

Observat, ie 4.5.15. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B.Mosoni [78]) Fie X ⊆ Rn o submult,ime s, i fie funct,ia f : X → R ∪{+∞,−∞} Atunci funct,ia conjugată Fenchel-Moreau f ∗X : Rn → R∪{+∞,−∞}este definită prin

f ∗X(~y) = sup[< ~y, ~x > −f(~x) | ~x ∈ X] pentru orice ~y ∈ Rn.

În contextul unui joc UT de n-persoane v : P(N) → R cu v(∅) = 0, fieX = {−1S ∈ Rn | S ⊆ N} s, i funct,ia f v : X → R definită de f v(~x) = −v(S)pentru orice ~x = −1S, conjugata Fenchel-Moreau f ∗v,X : Rn → R corespundecu funct,ia indirectă πv definită prin (3).

Teorema 4.5.16. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Fie jocul UT de n-persoane v : P(N) → R 1-convex. Atunci funct,iaindirectă πv : RN → R satisface proprietăt,ile următoare:

(i) πv(~y) = max[0, v(N) −∑k∈N

yk] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN cu

yi ≤ bvi oricare ar fi i ∈ N .

(ii)

πv(~y) = max[0, v(N\{`})−∑

k∈N\{`}

yk]

= max[0, v(N)−∑k∈N

yk + y` − bv` ]

pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există unicul ` ∈ N cuy` > b

v` s, i yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N , i 6= `.

Corolarul 4.5.17. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Oricare ar fi jocul UT de n-persoane 1-convex cu funct,ia v : P(N)→ R,următoarele trei afirmat,ii sunt echivalente (~y = (yk)k∈N ∈ RN)

(i) ~y ∈ Core(v), adică ~y(N) = v(N) s, i ~y(S) ≥ v(S) pentru oriceS ⊆ N , S 6= ∅

(ii) ~y(N) = v(N) s, i πv(~y) = 0

(iii) ~y(N) = v(N) s, i ~y ≤ ~bv, i.e., yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N

În cele ce urmează ı̂nlocuim 1-convexitatea cu 2-convexitatea ı̂n jocul den-persoane.

4.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristică s, i funct, ia indirectă ajocului UT 21

Teorema 4.5.18. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Fie jocul UT de n-persoane v : P(N) → R 2-convex. Atunci, funct,iaindirectă πv : RN → R satisface proprietăt,ile următoare:

(i) πv(~y) = max[0, v(N)−∑k∈N

yk, (v({i})−yi)i∈N ] pentru orice ~y ∈ RN

cu ~y ≤ ~bv.

(ii) πv(~y) = max[0, v(N\{`}) −∑

k∈N\{`}yk] = max[0, v(N) −

∑k∈N

yk +

y` − bv` ] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există un singurelement ` ∈ N cu y` > bv` ≥ v({`}) s, i v({i}) ≤ yi ≤ bvi pentru oricei ∈ N , i 6= `.

(iii) πv(~y) = max[v(N)−∑k∈N

yk, v({j})− yj] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈

RN astfel ı̂ncât există un singur element j ∈ N cu yj < v({j}) ≤ bvj s, iv({i}) ≤ yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N , i 6= j.

(iv) πv(~y) = max[v(N\{`}) −∑

k∈N\{`}yk, v({j}) − yj] = max[v(N) −∑

k∈Nyk + y` − bv` , v({j}) − yj] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN ast-

fel ı̂ncât există un singur j, ` ∈ N cu y` > bv` ≥ v({`}), yi ≤ bvi pentruorice i ∈ N , i 6= `, s, i yj < v({j}) ≤ bvj , yi ≥ v({i}) pentru orice i ∈ N ,i 6= j.

Corolarul 4.5.19. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Oricare ar fi jocul UT de n-persoane 2-convex cu funct,ia v : P(N)→ R,următoarele trei afirmat,ii sunt echivalente (~y = (yk)k∈N ∈ RN)

(i) ~y ∈ Core(v), i.e., ~y(N) = v(N) s, i ~y(S) ≥ v(S) pentruorice S ⊆ N , S 6= ∅

(ii) ~y(N) = v(N) s, i πv(~y) = 0

(iii) ~y(N) = v(N) s, i v({i}) ≤ yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N

Teorema 4.5.20. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Fie jocul UT de n-persoane cu funct,ia v : P(N) → R un joc big boss,unde jucătorul 1 este big boss-ul. Atunci, funct,ia indirectă πv : RN → Rsatisface proprietăt,ile următoare:

(i) πv(~y) = max[0, v(N) −∑k∈N

yk] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN cu

0 ≤ yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\{1}.

4.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristică s, i funct, ia indirectă ajocului UT 22

(ii) πv(~y) = max[0, v(N\{`}) −∑

k∈N\{`}yk] = max[0, v(N) −

∑k∈N

yk +

y` − bv` ] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există un singur` ∈ N\{1} cu y` > bv` ≥ 0 s, i 0 ≤ yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\{1, `}.

(iii) πv(~y) = max[−y`, v(N) −∑k∈N

yk] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN

astfel ı̂ncât există un singur ` ∈ N\{1} cu y` < 0 ≤ bv` s, i 0 ≤ yi ≤ bvipentru i ∈ N\{1, `}.

(iv) πv(~y) = max[−yj, v(N\{`})−∑

k∈N\{`}yk] = max[−yj, v(N)−

∑k∈N

yk+

y` − bv` ] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există un singurj, ` ∈ N\{1} cu y` > bv` ≥ 0, yj < 0 ≤ bvj , s, i 0 ≤ yi ≤ bvi pentru oricei ∈ N\{1, j, `}.

Corolarul 4.5.21. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Pentru orice joc big boss cu funct,ia v : P(N)→ R, unde jucătorul 1 estebig boss-ul, următoarele trei afirmat,ii sunt echivalente (~y = (yk)k∈N ∈ RN)

(i) ~y ∈ Core(v), i.e., ~y(N) = v(N) s, i ~y(S) ≥ v(S) pentruorice S ⊆ N , S 6= ∅

(ii) ~y(N) = v(N) s, i πv(~y) = 0

(iii) ~y(N) = v(N) s, i 0 ≤ yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\{1}

Teorema 4.5.22. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Fie jocul UT de n-persoane cu funct,ia v : P(N) → R un joc clan,coalit,ia T ⊆ N cu cel put,in doi jucători este clanul. Atunci, funct,ia indi-rectă πv : RN → R satisface proprietăt,ile următoare:

(i) πv(~y) = max[0, v(N) −∑k∈N

yk] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN cu

yi ≥ 0 pentru orice i ∈ N s, i yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\T .

(ii) πv(~y) = max[0, v(N\{`}) −∑

k∈N\{`}yk] = max[0, v(N) −

∑k∈N

yk +

y` − bv` ] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există un singur` ∈ N\T cu y` > bv` ≥ 0, yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\T , i 6= `, s, i yi ≥ 0pentru orice i ∈ N .

(iii) πv(~y) = max[−y`, v(N) −∑k∈N

yk] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN

astfel ı̂ncât există un singur ` ∈ N cu y` < 0, yi ≥ 0 pentru oricei ∈ N\{`}, s, i yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\T .

4.5 Reprezentarea duală ı̂ntre funct, ia caracteristică s, i funct, ia indirectă ajocului UT 23

(iv) πv(~y) = max[−yj, v(N\{`})−∑

k∈N\{`}yk] = max[−yj, v(N)−

∑k∈N

yk+

y` − bv` ] pentru orice ~y = (yk)k∈N ∈ RN astfel ı̂ncât există un sin-gur j ∈ N , ` ∈ N\T cu yj < 0, yi ≥ 0 pentru orice i ∈ N\{j}, s, iy` > b

v` ≥ 0, yi ≤ bvi pentru orice i ∈ N\T , i 6= `.

Corolarul 4.5.23. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Pentru fiecare joc clan cu proprietăt,ile numite, următoarele afirmat,iisunt echivalente:

(i) ~y ∈ Core(v), i.e., ~y(N) = v(N) s, i ~y(S) ≥ v(S) pentruorice S ⊆ N , S 6= ∅

(ii) ~y(N) = v(N) s, i πv(~y) = 0

(iii) ~y(N) = v(N) s, i yi ≥ 0 pentru orice i ∈ N s, i yi ≤ bvi pentruorice i ∈ N\T

În cele ce urmează dăm caracterizarea geometrică a jocului clan cândcoalit, ia T ⊆ N este clanul.

Teorema 4.5.24. (D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni[78]) Fie v : P(N)→ R un joc UT de n-persoane s, i ~x = (xk)k∈N ∈ RN sat-isface proprietatea de eficient,ă ~x(N) = v(N).

(i) Pentru orice pereche de jucători i, j ∈ N , i 6= j, funct,ia indirectăπv : RN → R satisface πv(~xijδ) = svij(~x) + δ, dacă δ ≥ 0 este suficientde mare.

(ii) ~x ∈ K∗(v) dacă s, i numai dacă pentru orice pereche de jucători i, j ∈ N ,i 6= j, funct,ia indirectă satisface πv(~xijδ) = πv(~xjiδ) pentru δ suficientde mare.

Capitolul 5

Maximal monotonia sumeigeneralizate a doi operatorimaximal monotoni

În cele ce urmează X s, i Y să fie spat, ii Banach s, i notăm cu X∗, Y ∗ dualeleacestora. Fie S : X → 2X∗ , T : Y → 2Y ∗ doi operatori monotoni. Maimult, considerăm operatorul A : X → Y liniar s, i continuu s, i notăm cu A∗operatorul adjunct a lui A. Reamintim că suma generalizată (vezi [130]),operatorilor monotoni S, s, i T este definită ı̂n modul următor:

M : X → 2X∗ , M(x) = (S + A∗TA)(x).

Evident, dacă X = Y s, i A ≡ idX , suma va fi suma operatorilor monotoni,aceasta ı̂nsemnând că

M : X → 2X∗ , M(x) := (S + T )(x),

iar dacă S(x) = 0 pentru orice x ∈ X, obt, inem operatorul de compunere

M : X → 2X∗ , M(x) = A∗TA(x).

5.1 Operatori s, i funct, ii reprezentative maxi-

mal monotoni

Reamintim aici not, iunile s, i teoremele ce urmează să fie folosite ı̂n următoareasect, iune. În cele ce urmează considerăm X spat, iul Banach netrivial, X∗

spat, iul dual s, i X∗∗ spat, iul bidual. Un operator multivoc S : X → 2X∗

estemonoton dacă

〈y∗ − x∗, y − x〉 ≥ 0, când y∗ ∈ S(y) s, i x∗ ∈ S(x).

5.2 Dualitatea tare stabilă s, i infimal convolut, ii generalizate 25

Operatorul monoton S este maximal monoton, dacă graficul lui S,

G(S) = {(x, x∗) : x∗ ∈ S(x)} ⊆ X ×X∗

nu este inclus ı̂n ı̂ntregime ı̂n graficul vreunui operator monoton S ′ : X →2X

∗. Pentru S luăm ı̂n considerare domeniul D(S) = {x ∈ X : S(x) 6= ∅} =

prX(G(S)) s, i raza R(S) = ∪x∈XS(x) = prX∗(G(S)) a acestuia.

5.2 Dualitatea tare stabilă s, i infimal convo-

lut, ii generalizate

Fie X s, i Y spat, ii reale local convexe separate s, i dualele X∗ s, i Y ∗.

Teorema 5.2.25. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) Fie f :X → R s, i g : Y → R funct,ii convexe, proprii s, i inferior semicontinui s, iA : X → Y un operator liniar s, i continuu, iar A∗ : Y ∗ → X∗ operatoruladjunct al lui A. Presupunem că dom(f) ∩ A−1(dom(g)) 6= ∅.

(a) Fie U o submult,ime nevidă a lui X∗. Următoarele afirmat,ii sunt echiva-lente:

(i) supx∈X{〈x∗, x〉−(f+g◦A)(x)} = miny∗∈Y ∗{f ∗(x∗−A∗y∗)+g∗(y∗)}pentru orice x∗ ∈ U.(ii) Mult,imea {(x∗ + A∗y∗, r) : f ∗(x∗) + g∗(y∗) ≤ r} este ı̂nchisă cuprivire la mult,imea U × R ı̂n topologia (X∗, w∗)× R.

(b) Dacă X s, i Y sunt spat,ii Fréchet s, i

0 ∈ ic(dom(g)− A(dom(f))),

atunci afirmat,iile (i) s, i (ii) sunt valabile pentru orice U ⊆ X∗.

Observat, ie 5.2.26. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Se ob-servă că dacă X s, i Y sunt spat, ii Fréchet atunci condit, ia că mult, imea {(x∗+A∗y∗, r) : f ∗(x∗) + g∗(y∗) ≤ r} este ı̂nchisă ı̂n topologia (X∗, w∗) × R estemai slabă decât condit, ia 0 ∈ ic(dom(g)− A(dom(f))).

Teorema 5.2.27. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Presupunem că A(prX(dom(f))) ∩ (prY (dom(g))) 6= ∅.

a) Afirmat,iile următoare sunt echivalente:

(i) Mult,imea {(x∗+A∗y∗, x∗∗, y∗∗, r) : f ∗(x∗, x∗∗)+g∗(y∗, y∗∗) ≤ r} esteı̂nchisă cu privire la mult,imea X∗ ×∆A

∗∗X∗∗ × R ı̂n topologia (X∗, w∗)×

(X∗∗, w∗)× (Y ∗∗, w∗)× R, unde ∆A∗∗X∗∗ = {(x∗∗, A∗∗x∗∗) : x∗∗ ∈ X∗∗}.

5.2 Dualitatea tare stabilă s, i infimal convolut, ii generalizate 26

(ii) (f4A2 g)∗(x∗, x∗∗) = (f ∗4A1 g∗)(x∗, x∗∗) s, i f ∗4A1 g∗ este exactă ( infi-mumul din definit,ia funct,iei f ∗4A1 g∗ este atins) pentru orice (x∗, x∗∗) ∈X∗ ×X∗∗.

b) Dacă0 ∈ ic(prY dom(g)− A(prXdom(f)))

atunci afirmat,iile (i) s, i (ii) sunt adevărate.

Observat, ie 5.2.28. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Considerăm ipoteza Teoremei 5.2.27 s, i respectând notat, iile folosite ı̂n

demostrat, ie, avem

ic(dom(G)−N(dom(F ))) = ri(dom(G)−N(dom(F ))),

sau echivalentic(prY dom(g)− A(prXdom(f)))

= ri(prY dom(g)− A(prXdom(f))).

Fie X s, i Y spat, ii Banach reflexive. Atunci, putem scrie Teorema 5.2.27ı̂n forma următoare:

Corolarul 5.2.29. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Considerăm funct, ia proprie, convexă s, i inferior semicontină f : X×X∗ →

R s, i g : Y × Y ∗ → R. Dacă A(prX(dom(f))) ∩ (prY (dom(g))) 6= ∅ atunciurmătoarele condit, ii sunt echivalente:

(i) Mult, imea {(x∗ + A∗y∗, x, y, r) : f ∗(x∗, x) + g∗(y∗, y) ≤ r} este ı̂nchisăcu privire la X∗×∆AX ×R ı̂n topologia (X∗, ‖ · ‖∗)× (X, ‖ · ‖)× (Y, ‖ · ‖)×R,unde ∆AX = {(x,Ax) : x ∈ X}.

(ii) (f4A2 g)∗(x∗, x) = (f ∗4A1 g∗)(x∗, x) s, i f ∗4A1 g∗ este exactă pentru orice(x∗, x) ∈ X∗ ×X.

Fie X, Y spat, ii Banach reflexive, cu bidualele indentice cu aceleas, i X s, iY. În cazul acesta avem f ∗4A1 g∗ : X∗ ×X → R,

(f ∗4A1 g∗)(x∗, x) = inf{f ∗(x∗ − A∗y∗, x) + g∗(y∗, Ax) : y∗ ∈ Y ∗}.

Teorema 5.2.30. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) Pre-supunem că A(prX(dom(f

∗))) ∩ (prY (dom(g∗))) 6= ∅.

a) Afirmat,iile următoare sunt echivalente:

(i) Mult,imea {(x∗ +A∗y∗, x, y, r) : f(x, x∗) + g(y, y∗) ≤ r} este ı̂nchisăcu privire la X∗×∆AX×R ı̂n topologia (X∗, ‖·‖∗)×(X, ‖·‖)×(Y, ‖·‖)×Runde ∆AX = {(x,Ax) : x ∈ X}.(ii) (f ∗4A1 g∗)∗(x, x∗) = (f4A2 g)(x, x∗) s, i (f4A2 g) este exactă pentruorice (x, x∗) ∈ X ×X∗.

5.3 Maximal monotonia operatorului S + A∗TA 27

b) Dacă0 ∈ ic(prY dom(g∗)− A(prXdom(f ∗)))

atunci afirmat,iile (i) s, i (ii) sunt adevărate.

Observat, ie 5.2.31. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Considerăm ipoteza Teoremei 5.2.30 s, i respectând notat, iile folosite ı̂n

demostrat, ie, obt, inem

ic(dom(G)−N(dom(F ))) = ri(dom(G)−N(dom(F ))),

sau echivalentic(prY dom(g

∗)− A(prXdom(f ∗)))

= ri(prY dom(g∗)− A(prXdom(f ∗))).

Fie X = Y s, i A ≡ idX ı̂n Teorema 5.2.30 atunci obt, inem corolarulurmător.

Corolarul 5.2.32. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Presupunem că prX(dom(f

∗)) ∩ prY (dom(g∗)) 6= ∅.

a) Afirmat, iile următoare sunt echivalente:

(i) Mult, imea {(x∗+ x∗, x, x, r) : f(x, x∗) + g(y, y∗) ≤ r} este ı̂nchisă cuprivire la X∗×∆X×R ı̂n topologia (X∗, ‖·‖∗)×(X, ‖·‖)×(X, ‖·‖)×R,unde ∆X = {(x, x) : x ∈ X}.(ii) (f ∗�1g∗)∗(x, x∗) = (f�2g)(x, x∗) s, i f�2g este exactă pentru orice(x, x∗) ∈ X ×X∗.

b) Dacă0 ∈ ic(prXdom(g∗)− prXdom(f ∗))

= ri(prXdom(g∗)− prXdom(f ∗))

atunci afirmat, iile (i) s, i (ii) sunt adevărate.

5.3 Maximal monotonia operatorului S+A∗TA

În această sect, iune dăm câteva condit, ii suficiente, care să asigure maximalmonotonia lui S + A∗TA, unde S s, i T sunt operatori maximal monotoni detip Gossez (D).

5.4 Cazuri particulare 28

Teorema 5.3.33. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) Fie A :X → Y un operator liniar s, i continuu s, i A∗ operatorul adjunct al lui A,iar A∗∗ biadjunctul lui A. Fie S : X → 2X∗ s, i T : Y → 2Y

∗doi operatori

monotoni tare-reprezentabili (strongly-representable monotone operators) cufunct,iile de reprezentare (strong representative functions) hS s, i hT astfel ı̂ncâtA(prX(dom(hS)))∩ (prY (dom(hT ))) 6= ∅. Considerăm funct,ia h : X ×X∗ →R, h(x, x∗) = cl‖·‖×‖·‖∗(hS4A2 hT )(x, x∗). Presupunem că următoarele condit,iisunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(prY dom(hT )− A(prXdom(hS)));

(b) mult,imea {(x∗ + A∗y∗, x∗∗, y∗∗, r) : h∗S(x∗, x∗∗) + h∗T (y∗, y∗∗) ≤ r} esteı̂nchisă cu privire la X∗×∆A∗∗X∗∗×R ı̂n topologia (X∗, w∗)× (X∗∗, w∗)×(Y ∗∗, w∗)× R, unde ∆A∗∗X∗∗ = {(x∗∗, A∗∗x∗∗) : x∗∗ ∈ X∗∗}.

Atunci h este funct,ie de reprezentare (strong representative function) a luiS+A∗TA s, i S+A∗TA este operatorul monoton tare-reprezentabil (strongly-representable monotone operator).

Dacă presupunem că X s, i Y sunt spat, ii Banach reflexive, atunci avemurmătorul rezultat:

Teorema 5.3.34. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) Fie A :X → Y un operator liniar s, i continuu s, i A∗ operatorul adjunct a lui A. FieS : X → 2X∗ s, i T : Y → 2Y

∗doi operatori maximal monotoni cu funct,ii de

reprezentare (representative functions) hS s, i hT , astfel ı̂ncât A(prX(dom(h∗S)))∩

(prY (dom(h∗T ))) 6= ∅. Considerăm funct,ia h : X × X∗ → R, h(x, x∗) =

(h∗S4A1 h∗T )∗(x, x∗). Presupunem că următoarele condit,ii sunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(prY dom(h∗T )− A(prXdom(h∗S)));

(b) mult,imea {(x∗+A∗y∗, x, y, r) : hS(x, x∗)+hT (y, y∗) ≤ r} este ı̂nchisă cuprivire la X∗×∆AX×R ı̂n topologia (X∗, ‖·‖∗)×(X, ‖·‖)×(Y, ‖·‖)×R.

Atunci h este funct,ia de reprezentare (representative function) a lui S+A∗TAs, i S + A∗TA este un operator maximal monoton.

5.4 Cazuri particulare

Fie X = Y s, i A ≡ idX , atunci suma generalizată S +A∗TA devine S + T s, i4A1 , 4A2 devin �1, �2, de aceea din Teorema 5.3.33 obt, inem:

5.4 Cazuri particulare 29

Corolarul 5.4.35. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47])Fie S, T : X → 2X∗ doi operatori monotoni tare-reprezentabili (strongly-

representable monotone operators) cu funct, iile de reprezentare (strong rep-resentative functions) hS s, i hT astfel ı̂ncât

(prX(dom(hS))) ∩ (prY (dom(hT ))) 6= ∅,

s, i considerăm funct, ia h : X ×X∗ → R,

h(x, x∗) = cl‖·‖×‖·‖∗(hS�2hT )(x, x∗).

Presupunem că următoarele condit, ii sunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(prXdom(hT )− prXdom(hS));

(b) mult, imea {(x∗ + y∗, x∗∗, y∗∗, r) : h∗S(x∗, x∗∗) + h∗T (y∗, y∗∗) ≤ r} esteı̂nchisă cu privire la X∗×∆X∗∗×R ı̂n topologia (X∗, w∗)× (X∗∗, w∗)×(X∗∗, w∗)× R unde ∆X∗∗ = {(x∗∗, x∗∗) : x∗∗ ∈ X∗∗}.

Atunci h este funct, ia de reprezentare (representative function) a lui S+T s, iS + T este un operator maximal monoton.

Acum presupunem că X este un spat, iu Banach reflexiv. Atunci obt, inemurmătorul corolar:

Corolarul 5.4.36. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) FieS, T : X → 2X∗ doi operatori monotoni tare-reprezentabili (strongly-representablemonotone operators) cu funct,iile de reprezentare (strong representative func-tions) hS s, i hT astfel ı̂ncât

prX(dom(h∗S)) ∩ prX(dom(h∗T )) 6= ∅.

Considerăm funct,ia h : X ×X∗ → R

h(x, x∗) = (h∗S�1h∗T )∗(x, x∗).

Presupunem că următoarele condit,ii sunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(prXdom(h∗T )− prXdom(h∗S));

(b) mult,imea {(x∗ + y∗, x, y, r) : hS(x, x∗) + hT (y, y∗) ≤ r} este ı̂nchisă cuprivire la X∗×∆X×R ı̂n topologia (X∗, ‖·‖∗)×(X, ‖·‖)×(X, ‖·‖)×R.

Atunci h este funct,ia de reprezentare (representative function) a lui S+T s, iS + T este operatorul maximal monoton.

5.4 Cazuri particulare 30

Din Teorema 5.3.33 obt, inem următorul

Corolarul 5.4.37. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) FieT : Y → 2Y ∗ un operator monoton tare-reprezentabil (strongly-representablemonotone operator) cu funct,ia de reprezentare (strong representative func-tion) hT s, i A : X → Y liniară s, i continuă astfel ı̂ncât (im A∩prY (domhT ) 6=∅). Presupunem că următoarele condit,ii sunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(im A− prY (domhT ));

(b) mult,imea {(A∗v∗, v∗∗, r) : r ∈ R, h∗T (v∗, v∗∗) ≤ r} este ı̂nchisă cu privirela X∗ × im A∗∗ × R ı̂n topologia (X∗, w∗)× (Y ∗∗, w∗)× R.

Atunci funct,ia h : X ×X∗ → R, h(x, x∗) = cl‖·‖×‖·‖∗hAT (x, x∗) este funct,ie dereprezentare (strong representative function) a lui A∗TA s, i A∗TA este opera-torul monoton tare-reprezentabil (strongly-representable monotone operator).

Fie X s, i Y spat, ii Banach reflexive. Atunci din Teorema 5.3.34 obt, inemcorolarul următor:

Corolarul 5.4.38. (B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László [47]) FieT : Y → 2Y ∗ un operator monoton tare-reprezentabil (strongly-representablemonotone operator) cu funct,a de reprezentare (strong representative func-tion) hT s, i A : X → Y liniară s, i continuă astfel ı̂ncât (im A∩prY (domhT ) 6=∅). Presupunem că următoarele condit,ii sunt satisfăcute:

(a) 0 ∈ ic(im A− prY (domhT ));

(b) mult,imea {(A∗v∗, v, r) : r ∈ R, hT (v, v∗) ≤ r} este ı̂nchisă cu privire laX∗ × im A× R ı̂n topologia (X∗, | · ‖∗)× (Y, | · ‖)× R.

Atunci funct,ia h : X×X∗ → R, h(x, x∗) = hAT (x, x∗) este funct,ie de reprezentare(representative function) a lui A∗TA s, i A∗TA este operatorul monoton reprezentabil(representable monotone operator).

Bibliografie

[1] Y.I. Alber: The penalty method for variational inequalities with nons-mooth unbounded operators in Banach space, Numer. Funct. AnalysisOptim. vol. 16, pp. 1111-1125, 1995

[2] A. Aleman: On Some Generalizations of Convex Sets and ConvexFunctions, Mathematica - Revue d’Analyse Numeriue et de la The-orie de l’Approximation, vol. 14, pp. 1-6, 1985

[3] C.D. Aliprantis, K.C. Border: Infinite dimensional analysis, Springer,Heidelberg, 1999

[4] L. Altangerel, R.I. Boţ, G. Wanka, On gap functions for equilibriumproblems via Fenchel duality, Pacific Journal of Optimization, vol. 2,pp. 667-678, 2006

[5] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: Semicontinuity of the solution set of parametricmultivalued vector quasiequilibrium problems, J. of Math. Analysis andAppl. vol. 294, pp. 699-711, 2004

[6] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: On the Hölder continuity of solutions to para-metric multivalued vector equilibrium problems, J. of Math. Analysisand Appl. vol. 321, pp. 308-315, 2006

[7] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: On the Stability of the Solution Sets of GeneralMultivalued Vector Quasiequilibrium Problems, J. Opt. Theory Appl.vol. 135, pp. 271-284, 2007

[8] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: Various kinds of semicontinuity and the solu-tion sets of parametric multivalued symmetric vector quasiequilibriumproblems, J. Global Optim. vol. 41, pp. 539-558, 2008

BIBLIOGRAFIE 32

[9] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: Uniqueness and Hölder continuity of the so-lution to multivalued equilibrium problems in metric spaces, J. GlobalOptim., DOI 10.1007/s10898-006-9062-8

[10] L.Q. Anh, P.Q. Khanh: Sensitivity analysis for multivalued quasiequi-librium problems in metric spaces: Hölder continuity of solutions, J.Global Optim., DOI 10.1007/s10898-007-9268-4

[11] Q.H. Ansari, I.V. Konnov, J.C. Yao: Characterization of solutions forvector equilibrium problems, J Optim Theory Appl vol. 113, nr. 3, pp.435-447, 2002

[12] Q.H. Ansari, I.V. Konnov, J.C. Yao: Existence of a solution and vari-ational principles for vector equilibrium problems, J. Optim. TheoryAppl. vol. 110, pp. 481-492, 2001

[13] J. Arin, V. Feltkamp: The nucleolus and kernel of veto-rich transferableutility games. Int J Game Theory vol. 26, pp. 61-73, 1997

[14] J.P. Aubin: Mathematical methods of game and economic theory, NorthHolland, Amsterdam, 1979

[15] J.P. Aubin, H. Frankowska: Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Boston,Massachusetts, 1990

[16] J.P. Aubin, H. Frankowska: Set-valued analysis, systems and control:foundations and applications, Birkhäuser, 1984

[17] M. Avriel, W.E. Diewert, S. Schaible, I. Zang: Generalized concavity,Plenum Press, New York, 1988

[18] T. Başar, G.J. Olsder: Dynamic noncooperative game theory (secondedition), SIAM, Philadelphia, 1999

[19] H.H. Bauschke: Fenchel duality, Fitzpatrick functions and the exten-sion of firmly nonexpansive mappings, Proceedings of the AmericanMathematical Society, vol. 135, pp. 135-139, 2007

[20] H.H. Bauschke, D.A. McLaren, H.S. Sendov: Fitzpatrick functions: in-equalities, examples and remarks on a problem by S. Fitzpatrick, Jour-nal of Convex Analysis, vol. 13, pp. 499-523, 2006

[21] E. Bednarczuk: An approach to well-posedness in vector optimization:consequences to stability, Control Ciber, vol. 23, pp. 107–122, 1994

BIBLIOGRAFIE 33

[22] E. Bednarczuk, J.P. Penot: Metrically well-set minimization problems,Applied Mathematics and Optimization, vol. 26, pp. 273–285, 1992

[23] E. Bednarczuk, J.P. Penot: On the positions of the notions of well-posed minimization problems, Bollettino dell’Unione Matematica Ital-iana, vol. 7, pp. 665–683, 1992

[24] M. Bianchi, N. Hadjisavvas, S. Schaible: Vector equilibrium problemswith generalized monotone bifunctions, J. Optim. Theory Appl. vol. 92,pp. 527-542, 1997

[25] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini: Well-posed equilibrium problems, Non-linear Analysis, vol. 72, pp. 460-468, 2010

[26] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini: Well-posedness for vector equilibriumproblems, Math. Meth. Oper. Res, vol. 70, pp. 171-182, 2009

[27] M. Bianchi, R. Pini: A Note on Equilibrium Problems with ProperlyQuasimonotone Bifunctions, Journal of Global Optimization, vol. 20,pp. 67-76, 2001

[28] M. Bianchi, R. Pini: Coercivity conditions for equilibrium problems,Journal of Optimization Theory and Applications vol. 124, pp. 79-92,2005

[29] M. Bianchi, S. Schaible: Generalized monotone bifunctions and equilib-rium problems, Journal of Optimization Theory and Applications vol.90, pp. 31-43, 1996

[30] G. Bigi, M. Castellani, G. Kassay: A dual view of equilibrium problems,Journal of Mathematical Analysis and Applications vol. 342, pp. 17-26,2008

[31] E. Blum, W. Oettli: From optimization and variational inequalities toequilibrium problems, The Mathematics Student vol. 63, pp. 123-145,1994

[32] J.M. Borwein: Maximality of sums of two maximal monotone operatorsin general Banach space, Proceedings of the American MathematicalSociety, vol. 135, pp. 3917-3924, 2007

[33] J.M. Borwein, A.S. Lewis: Partially finite convex programming, partI: Quasi relative interiors and duality theory, Mathematical Program-ming, vol. 57, pp. 15-48, 1992

BIBLIOGRAFIE 34

[34] J.M. Borwein, V. Jeyakumar, A.S. Lewis, H. Wolkowicz: Constrainedapproximation via convex programming, Preprint, University of Water-loo, 1988

[35] J.M. Borwein, R. Goebel: Notions of relative interior in Banach spaces,Journal of Mathematical Sciences, vol. 115, pp. 2542-2553, 2003

[36] R.I. Boţ: Conjugate duality in convex optimization, Springer, 2010

[37] R.I. Boţ, E.R. Csetnek: An application of the bivariate inf-convolutionformula to enlargments of monotone operators, Set-Valued Anal, vol.16, pp. 983-997, 2008

[38] R.I. Boţ, S.M. Grad, G. Wanka: Almost Convex Functions: Conjugacyand Duality. In: Konnov, I., Luc, D.T., Rubinov, A. (eds.) GeneralizedConvexity and Related Topics Lecture Notes in Economics vol. 583, pp.101-114, Springer-Verlag, Berllin Heidelberg, 2007

[39] R.I. Boţ, S.M. Grad, G. Wanka: Duality in Vector Optimization,Springer Berlin, Heidelberg, Germany, 2009

[40] R.I. Boţ, S.M. Grad, G. Wanka: Maximal monotonicity for the precom-position with a linear operator, SIAM Journal on Optimization, vol. 17,pp. 1239-1252, 2006

[41] R.I. Boţ, S.M. Grad, G. Wanka: Weaker constraint qualifications inmaximal monotonicity, Numerical Functional Analysis and Optimiza-tion, vol. 28, pp. 27-41, 2007

[42] R.S. Burachik, S. Fitzpatrick, On a family of convex functions associ-ated to subdifferentials, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, vol.6, pp. 165-171, 2005

[43] R.S. Burachik, B.F. Svaiter, Maximal monotonicity, conjugation andduality product, Proceedings of the American Mathematical Society,vol. 131, pp. 2379-2383, 2003

[44] R.S. Burachik, B.F. Svaiter, Maximal monotone operators, convexfunctions and a special family of enlargements, Set-Valued Analysis,vol. 10, pp. 297-316, 2002

[45] B. Burjan-Mosoni (Mosoni) Equilibrium problems, noncooperativegames and Tikhonov well posedness, submitted

BIBLIOGRAFIE 35

[46] B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László: Existence results and gapfunctions for a generalized equilibrium problem involving compositefunctions, submitted

[47] B. Burjan-Mosoni (Mosoni), S. László: About the Maximal Mono-tonicity of the Generalized Sum of Two Maximal Monotone Operators,Set-Valued and Variational Analysis, accepted, DOI: 10.1007/s11228-011-0202-z

[48] R. Branzei, D. Dimitrov, S.H. Tijs: Models in Cooperative Games The-ory 2nd edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008

[49] W.W. Breckner, G. Kassay: A Systematization of Convexity Conceptsfor Sets and Functions, Journal of Convex Analysis, vol. 4, pp. 1-19,1997

[50] H. Brézis, G. Nirenberg, G. Stampacchia: A remark on Ky Fan’s min-imax principle, Bollettino U.M.I. vol. 6, pp. 293-300, 1972

[51] A. Capătă, G. Kassay, On vector equilibrium problems and applications,Taiwanese Journal of Mathematics, vol 15, pp. 365-380, 2011

[52] A. Capătă, G. Kassay, B. Mosoni: On weak multifunctions equilib-rium problems, The Special Volume in Honour of Boris Mordukhovich,Springer Optimization and its Application, vol. 47, pp. 133-148, 2010

[53] E. Cavazzuti, J. Morgan J: Well Posed Saddle Point Problems in ”Opti-mization theory and algorithms“, Proc. Conf. Confolant, France, 1981,pp. 61-76, 1983

[54] O. Chadli, S. Schaible, J.C. Yao: Regularized Equilibrium Problemswith Application to Noncoercive Hemivariational Inequalities, J. Opt.Theory Appl. vol. 121, pp. 571-596, 2004

[55] O. Chadli, Y. Chiang, S. Huang: Topological pseudomonotonicity andvector equilibrium problems, J. Math. Analysis Appl. vol. 270, pp. 435-450, 2002

[56] S.S Chang, Y. Zhang: Generalized KKM theorem and variational in-equalities, Journal of Mathematical Analysis and Applications vol. 159,pp. 208-223, 1991

[57] Y. Chiang: Vector Superior and Inferior, Taiwanese Journal of Math-ematics, vol. 8, pp. 477-487, 2004

BIBLIOGRAFIE 36

[58] R.E. Csetnek, Overcoming the failure of the classical generalizedinterior-point regularity conditions in convex optimization. Applica-tions of the duality theory to enlargements of maximal monotone oper-ators, Logos Verlag Berlin GmbH, Berlin, Germany, 2010

[59] J. Dattorro: Convex Optimization and Euclidean Distance Geometry,Meboo Publishing USA, 2005

[60] M. Davis, M. Maschler: The Kernel of a Cooperative Game, NavalResearch Logistics Quarterly, vol. 12, pp. 223-259, 1965

[61] A.L. Donthchev, T. Zolezzi: Well-posed optimization problems, LectureNotes in Mathematics, vol. 1543, Springer-Verlag, Berlin, 1993

[62] T.S.H. Driessen: An Alternative Game Theoretic Analysis of aBankruptcy Problem from the Talamud: the Case of the GreedyBankruptcy Game, Memorandum N. 1286, Faculty of Applied Mathe-matics, University of Twente, 1995

[63] T.S.H. Driessen: Cooperative Games, Solutions, and Applications.Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1988

[64] T.S.H. Driessen: The greedy bankruptcy game: an alternative gametheoretic analysis of a bankruptcy problem. In: Game Theory and Ap-plications IV (L.A. Petrosjan and V.V. Mazalov, eds.), Nova SciencePubl. pp. 45-61, 1998

[65] T.S.H. Driessen, A. Khmelnitskaya, J. Sales: 1-Concave basis for TUgames. Memorandum No. 1777, Department of Applied Mathematics,University of Twente, Enschede, The Netherlands, 2005.

[66] T.S.H. Driessen, V. Fragnelli, A. Khmelnitskaya, Y. Katsev: Co-Insurance Games, 1-Convexity, and the Nucleolus. Memorandum, De-partment of Applied Mathematics, University of Twente, Enschede,The Netherlands, 2009

[67] T.S.H. Driessen, D. Hou: A note on the nucleolus for 2-convex n-personTU games. Int J Game Theory Vol. 39, pp. 185-189, 2010

[68] I. Ekeland, R. Temam: Convex Analysis and Variational Problems,North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 1976

[69] K. Fan: A minimax inequality and its application, In: ”Inequalities”(O. Shisha ed.), Academic Press, New York, vol. 3, pp. 103-113, 1972

BIBLIOGRAFIE 37

[70] K. Fan: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math.Ann., vol. 142, pp. 305-310, 1961

[71] C. Finet, L. Quarta: Vector-valued perturbed equilibrium problems, J.Math. Analysis Appl., vol. 343, pp. 531-545, 2008

[72] S. Fitzpatrick: Representing monotone operators by convex functions,in: Workshop/Miniconference on Functional Analysis and Optimiza-tion (Canberra, 1988), Proceedings of the Centre for MathematicalAnalysis, Australian National University, Canberra, vol. 20, pp. 59-65,1988

[73] M. Furi, A. Vignoli: A characterization of well-posed minimum prob-lems in a complete metric space, Journal of Optimization Theory andApplications, vol. 5, nr. 6, pp. 452–461, 1970

[74] M. Furi, A. Vignoli: About well-posed optimization problems for func-tionals in metric spaces, Journal of Optimization Theory and Applica-tions, vol. 5, nr. 3, pp. 225–229, 1970.

[75] J.-P. Gossez: Opérateurs monotones non lonéaires dans les espaces deBanach non réflexifs, J. Math. Anal. Appl., vol. 34, pp. 371-395, 1971

[76] N. Hadjisavvas, S. Schaible: From scalar to vector equilibrium problemsin the quasimonotone case, J. Optim. Theory Appl. vol. 96, pp. 297-309, 1998

[77] R.B. Holmes: Geometric Functional Analysis and its Applications,Springer-Verlag, Berlin, 1975

[78] D. Hou, T.S.H. Driessen, A. Meseguer-Artola, B. Mosoni Character-ization and Calculation of the Prekernel and Nucleolus for four Sub-classes of TU Games through its Indirect Function, submitted

[79] L. Huang: Existence of solutions on weak vector equilibrium problems,Nonlinear Analysis, vol. 65, pp. 795-801, 2006

[80] N.J. Huang, J. Li, S.Y. Wu: Gap Functions for a System of GeneralizedVector Quasi-equilibrium Problems with Set-valued Mappings, Journalof Global Optimization vol. 41, pp. 401-415, 2008

[81] N.J. Huang, X.J. Long, C.W. Zhao: Well-posedness for vector quasi-equilibrium problems with applications, Journal of Industrial and Man-agement Optimization, vol. 5, nr. 2, pp. 341–349, 2009

BIBLIOGRAFIE 38

[82] A.N. Iusem, G. Kassay, W. Sosa: On certain conditions for the exis-tence of solutions of equilibrium problems, Mathematical Programming,2007

[83] A.N. Iusem, W. Sosa: New existence results for equilibrium problems,Nonlinear Analysis, vol. 52, pp. 621–635, 2003

[84] A.N. Iusem, W. Sosa: Iterative algorithms for equilibrium problems,Journal of Optimization vol. 52, pp. 301-316, 2003

[85] V. Jeyakumar, A generalization of a minimax theorem of Fan via atheorem of the alternative, Journal of Optimization Theory and Appli-cations, vol. 48, pp. 525-533, 1986

[86] V. Jeyakumar, H. Wolkowicz, Generalizations of Slater’s constraintqualification for infinite convex programs, Mathematical ProgrammingSeries B, vol. 57, pp. 85-101, 1992

[87] A.J. Jones: Game theory: mathematical models of conflict, HorwoodPublishing, Chicester, 2000

[88] G. Kassay: The Equilibrium Problem and Related Topocs, Risoprint,Cluj-Napoca, 2000

[89] G. Kassay, J. Kolumbán: On generalized sup-inf problem, Journal ofOptimization Theory and Application, vol. 91, pp. 651-670, 1996

[90] B. Knaster, C. Kuratowski, S. Mazurkiewicz Ein Beweis des Fixpunk-tsatzes für n-dimensionale Simplexe, Fund. Math. vol. 14, pp. 132-138,1929

[91] I. Konnov: Generalized Monotone Equilibrium Problems and Varia-tional Inequalities. In: Hadjisavvas, N., Komlósi, S., and Schaible, S.(eds.) Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonic-ity, Springer, New York, vol. 76, chapter 13, pp. 559-618, 2005

[92] H.W. Kuhn: Lectures on the theory of games, Princeton UniversityPress, Princeton, 2003

[93] Z.F. Li: Benson proper efficiency in the vector optimization of set-valued maps, Journal of Optimization Theory and Applications vol.98, pp. 623-649, 1998

BIBLIOGRAFIE 39

[94] S.X. Li: Quasiconvexity and Nondominated Solutions in Multiple-Objective Programming, Journal of Optimization Theory and Appli-cations vol. 88, pp. 197- 208, 1996

[95] L.J. Lin, Z.T. Yu, G. Kassay: Existence of equilibria for multivaluedmappings and its application to vectorial equilibria, J. Optim. TheoryAppl. vol. 114, pp. 189-208, 2002

[96] D.T. Luc: Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, Berlin,1989

[97] R. Lucchetti: Convexity and Well-Posed Problems, CMS Books inMathematics, Canadian Mathematical Society, Springer, 2006

[98] R. Lucchetti, F. Patrone, S. Tijs Determinateness of two-person gameBollettino U.M.I., vol. 6, pp. 907-924, 1986

[99] M. Maschler, B. Peleg, L.S. Shapley, Geometric properties of the kernel,nucleolus, and related solution concepts. Mathematics of OperationsResearch, vol. 4, pp. 303-338, 1979

[100] J.E. Martinez-Legaz: Dual Representation of Cooperative Games Basedon Fenchel-Moreau Conjugation, Optimization, vol. 36, pp. 291-319,1996

[101] M. Margiocco, F. Patrone, L. Pusillo Chicco: A new approach toTikhonov well-posedness for Nash equilibria, Optimization, vol. 40, pp.385-400, 1997

[102] M. Margiocco, F. Patrone, L. Pusillo Chicco: Metric Characterizationsof Tikhonov Well-posedness in Value, J. Opt. Theory Appl. vol. 100,pp. 377-387, 1999

[103] M. Margiocco, L. Pusillo: (�, k) Equilibria and Well Posedness Inter-national Game Theory Review (IGTR), vol. 8, pp. 33-44, 2006

[104] J.E. Mart́ınez-Legaz, M. Théra: A convex representation of maximalmonotone operators, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, vol. 2,pp. 243-247, 2001

[105] J.E. Mart́ınez-Legaz, B.F. Svaiter: Monotone operators representableby l.s.c. convex functions, Set-Valued Analysis vol. 13, pp. 21-46, 2005

BIBLIOGRAFIE 40

[106] M. Marques Alves, B.F. Svaiter: Bronsted-Rockafellar property andmaximality of monotone operators representable by convex functions innon-reflexive Banach spaces, Journal of Convex Analysis, vol. 15, pp.693-706, 2008

[107] M. Marques Alves, B.F. Svaiter: A new old class of maximal monotoneoperators, Journal of Convex Analysis, vol. 16, pp. 881-890, 2009

[108] M. Marques Alves, B.F. Svaiter: On Gossez type (D) maximal mono-tone operators, Journal of Convex Analysis, vol. 17, 2010

[109] M. Maschler, B. Peleg, L.S. Shapley: Geometric Properties of the Ker-nel, Nucleolus, and Related Solution Concepts, Mathematics of Opera-tions Research, vol. 4, pp. 303-338, 1979

[110] M. Maschler, B. Peleg: A Characterization, Existence Proof and Di-mension Bounds for the Kernel of a Game, Pacific Journal of Mathe-matics, vol. 18, pp. 289-328, 1966

[111] A. Meseguer-Artola: Using the Indirect Function to Characterize theKernel of a TU-game, Working Paper, Department d’Historia Eco-nomica, Universitat Autonoma de Barcelona, 08193 Bellaterra, Spain,1997

[112] R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Series:Graduate Texts in Mathematics 183, Springer 1998.

[113] A. Moudafi, On the Stability of the Parallel Sum of Maximal MonotoneOperators, J. Of Math. Anal. And App., vol. 199, pp. 478-488, 1996

[114] J.J. Moreau, Fonctionnelles convexes, Seminaire sur les Équation auxDérivées Partielles, Collége de France, Paris, 1967

[115] E. Miglierina, E. Molho: Well-posedness and convexity in vector opti-mization Math Meth Oper Res, vol. 58, pp. 375–385, 2003

[116] E. Miglierina, E. Molho, M. Rocca: Well-posedness and scalarizationin vector optimization, J Optim Theory Appl vol. 126, pp. 391–409,2005

[117] S. Muto, M. Nakayama, J. Potters, S.H. Tijs: On big boss games,Economic Studies Quarterly, vol. 39, pp. 303-321, 1988

[118] J. Nash: Equilibrium points in n-person games, Proc. Natl. Acad. Sci.USA vol. 36, pp. 48-49, 1950

BIBLIOGRAFIE 41

[119] J. Nash: Non-cooperative games, Ann. of Math. vol. 54, pp. 286-295,1951

[120] W. Oettli: A remark on vector-valued equilibria and generalized mono-tonicity, Acta Mathematica Vietnamita, vol. 22, pp. 215-221, 1997

[121] G. Owen: Game Theory, 3rd edition, Academic Press, San Diego,United States of America, 1995

[122] M. Quant, P. Borm, H. Reijnierse, B. van Velzen: The core cover inrelation to the nucleolus and the Weber set. Int J Game Theory vol.33, pp. 491-503, 2005

[123] F. Patrone: Well Posedness for Nash Equilibria and Related Topocs in”Recent Developments in Well Posed Variational Problems“, Kluwer,Dordrecht, 1995

[124] S. Paeck: Convexlike and concavelike conditions in alternative, mini-max, and minimization theorems, Journal of Optimization Theory andApplications vol. 74, pp. 317-332, 1992

[125] J.B. Passty: The parallel sum of nonlinear monotone operators, Non-linear Anal. Theory Methods Appl., vol. 10, pp. 215-227, 1986

[126] J.P.Penot: Glimpses upon quasiconvex analysis, ESAIM: Proceedings,vol. 20, pp. 170-194, 2007

[127] J.P. Penot: Is convexity useful for the study of monotonicity?, in: R.P.Agarwal, D. O’Regan (eds.), “Nonlinear Analysis and Applications”,Kluwer, Dordrecht, vol. 1, 2, pp. 807-822, 2003

[128] J.P. Penot: A representation of maximal monotone operators by closedconvex functions and its impact on calculus rules, Comptes RendusMathématique. Académie des Sciences. Paris, vol. 338, pp. 853-858,2004

[129] J.P. Penot: The relevance of convex analysis for the study of mono-tonicity, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications vol. 58,pp. 855-871, 2004

[130] J.P. Penot, C. Zălinescu, Convex analysis can be helpful for the asymp-totic analysis of monotone operators, Math. Program., Ser. B, vol. 116,pp.481-498, 2009

BIBLIOGRAFIE 42

[131] J.P. Penot, C. Zălinescu, Some problems about the representation ofmonotone operators by convex functions, ANZIAM J. vol. 47, pp. 1-20,2005

[132] J. Potters, R. Poos, S. Muto, S.H. Tijs: Clan games, Games and Eco-nomic Behavior, vol. 1, pp. 275-293, 1989

[133] L. Pusillo: Well Posedness and Optimization Problems, VariationalAnalysis and Applications, Nonconvex Optimization and Its Applica-tions, vol. 79, part 2, pp. 889-904, 2005

[134] R.T. Rockafellar: Convex Analysis, Princeton University Press, Prince-ton, New Jersey, 1970

[135] R.T. Rockafellar: Conjugate duality and optimization, ConferenceBoard of the Mathematical Sciences Regional Conference Series inApplied Mathematics, Society for Industrial and Aplied Mathematics,Philadelphia, 1974

[136] R.T. Rockafellar: On the maximal monotonicity of subdifferential map-pings, Pacific Journal of Mathematics, vol. 33, pp. 209-216, 1970

[137] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, NewYork, 1976

[138] J. Schauder: Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. vol.2, pp. 171-180, 1930

[139] D. Schmeidler: The Nucleolus of a Characteristic Function Game,SIAM Journal of Applied Mathematics, vol. 17, pp. 1163-1170, 1969

[140] S. Simons: From Hahn-Banach to Monotonicity, Springer-Verlag,Berlin, 2008

[141] S. Simons: Minimax and Monotonicity, Springer-Verlag, Berlin, 1998

[142] S. Simons: The range os a monotone operator, J. Math. anal. Appl.,vol. 199, pp. 176-201, 1996

[143] S. Simons: Quadrivariate versions of the Attouch-Brezis theorem andstrong representability, submitted on 1 Sep 2008, last revised 22 Feb2011

[144] S. Simons, C. Zălinescu: Fenchel duality, Fitzpatrick functions andmaximal monotonicity, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, vol.6, pp. 1-22, 2005

BIBLIOGRAFIE 43

[145] M.D. Voisei: Calculus rules for maximal monotone operators in generalBanach spaces, Journal of Convex Analysis, vol. 15, pp. 73-85, 2008

[146] M.D. Voisei, C. Zălinescu: Linear monotone subspaces of locally convexspaces, Preprint, arXiv:0809.5287v1, posted 30 September, 2008

[147] M.D. Voisei, C. Zălinescu: Strongly-representable monotone operators,Journal of Convex Analysis, vol. 16, pp. 1011-1033, 2009

[148] M.D. Voisei, C. Zălinescu: Maximal monotonicity criteria for the com-position and the sum under minimal interiority conditions, Math. Pro-gram. Ser. B, vol. 123, pp. 265-283, 2010

[149] N.N. Vorob’ev: Game theory: lectures for economists and systems sci-entists, Springer, New York 1977

[150] G. Wanka, R.I. Boţ: On the Relation between Different Daul Problemsin Convex Mathematical Programming, Operations Research Proceed-ings 2001, Edited by P. Chamoni, R. Leisten, A. Martin, J. Minnemann,and H. Stadtler, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany, pp. 255-262,2002

[151] L. Yao: An affirmative answer to a problem posed by Zălinescu, Journalof Convex Analysis, vol. 18, pp. 621-626, 2011

[152] J. Yu, H. Yang, C. Yu: Well-posed Ky Fan’s point, quasi-variationalinequality and Nash equlibrium problems, Nonlinear Analysis, vol. 66,pp. 777-790, 2007

[153] C. Zălinescu: A comparison of constraint qualifications in infinite-dimensional convex programming revisited, J. Austral. Math. Soc. Ser.B, vol. 40, pp. 353-378, 1999

[154] C. Zălinescu: Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scien-tific, Singapore, 2002

[155] C. Zălinescu: Solvability results for sublinear functions and operators,Zeitschrift für Operations Research Series A-B, vol. 31, pp. A79-A101,1987

[156] C. Zălinescu: A new proof of the maximal monotonicity of the sumusing the Fitzpatrick function, in: F. Giannessi, A. Maugeri (eds.),Variational Analysis and Applications, Nonconvex Optimization andits Applications, Springer, New York, vol. 79, pp. 1159-1172, 2005

BIBLIOGRAFIE 44

[157] T. Zolezzi: Extended well-posedness of optimization problems, Journalof Optimization Theory and Applications, vol. 91, pp. 257–266, 1996