probabilitati

coala nr. 30, Timioara prof. Silvia Doande

1

POSIBILITI DE TRATARE

A NOIUNILOR DE PROBABILITI

N GIMNAZIU

La mijlocul secolului al XVIII-lea, B.Pascal i P.Fermat au pus bazele unuia dintre cele mai

originale capitole ale matematicii: calculul probabilitilor. Linia trasat de ei a fost continuat de

numeroi matematicieni, n frunte cu C.Huygens, A.Moivre, P.Laplace, K.F.Gaus, S.D.Poisson,

P.Cebev, A.Marcov i alii care, pn la nceputul secolului al XX-lea, reuiser s creeze o

matematic a hazardului. Calculul probabilitilor a avut ca origine jocurile de noroc. Progresul

aplicaiilor acestei teorii a depit ns curnd dezoltarea ei teoretic. nc de la sfritul secolului

al XVII-lea au aparut asigurrile de persoane i de obiecte, care au cptat repede o importan

primordial n lumea comerului i finanelor. Astronomii au aplicat teoria probabilitilor la

determinarea gradului de mrime al observaiilor pe care se bazau calculele lor. I.Bernoulli a

elaborat modelul probabilistic al mortalitii, inaugurnd seria de succese a statisticienilor. n

fizic, teoria probabilitiilor a devenit un instrument de calcul de baz odat cu crearea

termodinamicii. n monumentala lui oper Teoria analitic a probabilitilor aprut n 1812,

Laplace expunea ntinsa gam a aplicaiilor probabilitilor, care nc de pe timpul lui nu se limita

numai la tiinele naturii, ci cuprindea i tiinele sociale.

Dar uriaa dezvoltare a teoriei probabilitilor i a aplicaiilor sale s-a realizat n secolul al

XX-lea. n lumea nconjurtoare, n toate aciunile omeneti, fenomenele deterministe ocup o

mic parte. Imensa majoritate a fenomenelor din natur i societate sunt stocastice. Studiul lor nu

poate fi fcut pe cale determinist i, de aceea, tiina hazardului a aprut ca o necesitate. Aproape

nu exist domenii ale tiinei n care s nu se aplice teoria probabilitiilor. n epoca noastr au

aprut noi discipline tiinifice de natur probabilist: teoria informaiei, teoria fiabilitii, teoria

programrii, teoria deciziei etc. n tiinele experimentale, verificarea ipotezelor pe baza datelor

observate se face prin procedee probabiliste. Importantele aplicaii ale teoriei probabilitilor n

tehnic, medicin, biologie, statistic, economie, psihologie, etc. fac astzi din teoria

probabilitilor una dintre cele mai importante ramuri ale tiinei. Pentru acest motiv sunt studiate

n coal noiuni de probabiliti nc din clasele mici.


2

Secvena, din programa colar de clasa a IV-a, corespunztoare acestui capitol:

2. Dezvoltarea capacitilor de explorare/investigare i rezolvare de probleme

Obiective de referin Exemple de activiti de nvare 2.10 s aprecieze valoarea de

adevr a unei afirmaii i s cunoasc sensul implicaiei dac-atunci pentru exemple simple, eventual din cotidian

verificarea validitii unor afirmaii generale in cazuri particulare; exemplificarea i exprimarea relaiilor cauzale; recunoaterea i utilizarea operatorilor logici i, sau, nu, a expresiilor cel mult, cel puin n ct mai multe situaii; estimarea i justificarea probabilitii producerii unui eveniment; formularea unor predicii bazate pe experien; deducerea unor consecine posibile (previzibile) ce decurg dintr-un set de ipoteze sau din efectuarea unui experiment (fr a folosi aceast terminologie i utiliznd exemple simple);

Atenie! Fr a folosi aceast terminologie i utiliznd exemple simple. Secvena, din programa colar de clasa a VIII-a, corespunztoare acestui capitol:

Obiectivul cadru: 1. Cunoaterea i nelegerea conceptelor, terminologiei i procedurilor de calcul specifice matematicii

Obiective de referin Exemple de activiti de nvare La sfritul clasei a VIII-a

elevul va fi capabil: Pe parcursul clasei a VIII-a se recomand

urmtoarele activiti: 1.11

s utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistic i de probabiliti n modelarea unor fenomene

- analiza unor exemple de evenimente aleatoare legate de domenii diferite ale matematicii (divizibilitate, geometrie etc.); exerciii de apreciere a ansei de producere a unor evenimente, n raport cu altele i reprezentarea lor pe o scal (de exemplu: eveniment sigur, foarte posibil, probabil, imposibil); compararea anselor de realizare a dou evenimente ale cror probabiliti sunt cunoscute;

- calculul probabilitii unui eveniment ce const din reuniunea unor evenimente elementare egal probabile, utiliznd raportul: nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile.

STANDARDE CURRICULARE DE PERFORMAN , la sfritul clasei a VIII-a

Standardul 12: nregistrarea, prelucrarea i prezentarea datelor pe baza unor elemente de statistic i probabiliti.

Minim: Calculul probabilitii unui eveniment. Maxim: Utilizarea elementelor de statistic i probabiliti n rezolvarea unor probleme.


3

PREZENTAREA FIELOR DE LUCRU

Fia nr. 1 (clasa a VI-a)

are ca scop folosirea ideii intuitive de ans pentru a introduce conceptul de probabilitate. conine exerciii:

- de apreciere a ansei de producere a unor evenimente, n raport cu altele i reprezentarea lor pe o scal (eveniment sigur, foarte posibil, probabil, imposibil);

- de comparare a anselor de realizare a dou evenimente ale cror probabiliti sunt cunoscute.

Exemplu de scal folosit:

Fia nr. 2 (clasa a VI-a)

are ca scop determinarea teoretic i experimental a probabilitilor i folosirea lor pentru a face predicii. materiale folosite: o pung de hrtie, 8 bile verzi, 8 bile albastre i 8 bile galbene. mod de lucru: n perechi. conine exerciii cu:

- reprezentarea pe o scal a probabilitilor; - alegerea cuvintelor care descriu cel mai bine ansa ca un anumit eveniment s se ntmple: imposibil, aproape imposibil, cu puine anse, probabil, cu multe anse, aproape sigur, sigur; - folosirea rezultatelor de la o simulare anterioar pentru a determina experimental unele probabiliti; - compararea probabilitilor experimentale cu cele teoretice; - folosirea probabilitilor experimentale pentru a face predicii.

Fia nr. 3 (clasa a VII-a)

are ca scop folosirea unor tabele pentru determinarea teoretic a probabilitilor. mod de lucru: individual sau n perechi. conine exerciii de calcul a probabilitii unui eveniment ce const din reuniunea unor evenimente

elementare egal probabile, utiliznd raportul: nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile.

Fia nr. 4 (clasa a VII-a)

are ca scop folosirea unor tabele pentru determinarea teoretic a unor probabiliti din geometrie. mod de lucru: individual sau n perechi. conine exerciii de calcul a probabilitii unui eveniment utiliznd raportul:

nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile. Fia nr. 5 (clasa a VIII-a)

are ca scop folosirea diagramelor arbore i a triunghiul lui Pascal pentru determinarea teoretic a unor probabiliti. mod de lucru: n perechi. conine exerciii de calcul a probabilitii unui eveniment utiliznd raportul:

nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile.


4

O problem cu probabiliti

Avem o bar format din 12 buci, ca cea din imagine: Bara se rupe, la ntmplare, n dou locuri. Calculai probabilitatea ca din cele trei buci obinute s se poat forma un:

1. triunghi; 2. triunghi isoscel; 3. triunghi ascuitunghic; 4. triunghi dreptunghic; 5. triunghi obtuzunghic.

Exemplificare grafic Dac bara se rupe, de exemplu, astfel: atunci avem cazul: 1-2-9, caz n care nu putem forma un triunghi din cele trei buci. Putem obine un triunghi ( isoscel) de laturi 2, 5, 5, dac bara se rupe astfel:


5

Soluie Cazurile posibile sunt prezentate mai jos:

1-1-10 2-1-9 3-1-8 4-1-7 5-1-6 6-1-5 7-1-4 8-1-3 9-1-2 10-1-1

1-2-9 2-2-8 3-2-7 4-2-6 5-2-5 6-2-4 7-2-3 8-2-2 9-2-1

1-3-8 2-3-7 3-3-6 4-3-5 5-3-4 6-3-3 7-3-2 8-3-1

1-4-7 2-4-6 3-4-5 4-4-4 5-4-3 6-4-2 7-4-1

1-5-6 2-5-5 3-5-4 4-5-3 5-5-2 6-5-1

1-6-5 2-6-4 3-6-3 4-6-2 5-6-1

1-7-4 2-7-3 3-7-2 4-7-1

1-8-3 2-8-2 3-8-1

1-9-2 2-9-1

1-10-1

Total 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Numrul cazurilor posibile este: 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ( 10 + 1) 10 : 2 = 55. Suma lungimilor celor mai scurte laturi trebuie s fie mai mare dect lungimea laturii a treia. Toate cazurile n care una din laturi este mai mare sau egal cu 6 nu convin, deci rmn cazurile: 2, 5, 5; 3, 4, 5; 4, 4, 4.

2 + 5 > 5 triunghi cu laturile 2, 5, 5. 3 + 4 > 5 triunghi cu laturile 3, 4, 5. 4 + 4 > 4 triunghi cu laturile 4, 4, 4.

Numrul cazurilor favorabile este: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Probabilitatea ca din cele trei buci obinute s se poat forma un:

1. triunghi: p=112

5510 =

2. triunghi isoscel: p=554

3. triunghi ascuitunghic: p=554

4. triunghi dreptunghic: p=556

5. triunghi obtuzunghic: p= 0550 = ( eveniment imposibil ).

1. Cunoaterea i nelegerea conceptelor, terminologiei i procedurilor de calcul specifice matematicii Soluie Total10

probabilitati

Documents

Transcript of probabilitati