Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Proba E c)

Probă scrisă la MATEMATICĂ Varianta 9

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.

Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

♦ Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. ♦ Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în

limitele punctajului indicat în barem. ♦ Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea punctajului obŃinut la 10.

SUBIECTUL I 30 de puncte 1. ( )( )( ) ( )4 4

1 1 2i i i− − = =

16=

3p

2p

2. ( ) 3

ln3

xf x

x

+− = =

−

13 3

ln ln3 3

−− − = = − = + +

x x

x x

( )= − f x

2p

2p

1p 3. ( )( )2 2 8 2 4x x x x+ − = − +

( )4,2x∈ −

( ) { }4;2 3, 2, 1,0,1− ∩ = − − −ℤ

2p

1p

2p

4. 25 de numere sunt divizibile cu 4

20 de numere sunt divizibile cu 5 5 numere sunt divizibile cu 4 şi cu 5 Deci 40 de numere sunt divizibile cu 4 sau cu 5

1p 1p 1p 2p

5. Fie ( ),Q a b . Avem ( ) ( )1 2 şi 2 3MQ a i b j NP i j= − + + = +����� � � ���� � �

MNPQ este paralelogram 1 2 şi 2 3MQ NP a b⇔ = ⇔ − = + =����� ����

Punctul căutat este ( )3, 1Q

2p

2p

1p

6. 2 14ABCA =

4 14

5AD =

3p

2p

SUBIECTUL II 30 de puncte 1.a) det ( ) 0A =

1 27

3 1

−= (sau orice alt minor de ordinul 2 nenul), deci rangul matricei A este 2

3p

2p

b) Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat

De exemplu, luând = αz necunoscută secundară se obŃine 2 3, 31 3 ,= α − = − α = αx y z 2p 3p

c) 2 3 0, 31 3 0, 0x y z= α − ≥ = − α ≥ = α ≥ ⇒

3 31

2 3≤ α ≤

{ }2,3,4,...,10α∈

Sunt 9 soluŃii în × ×ℕ ℕ ℕ

1p

2p

1p

1p

2.a) 5,a b∈ℤ şi card 5 5=ℤ

Deci mulŃimea A are 25 de elemente

2p 3p

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

2

b) ˆ3 1 3 3

1̂ 3 3 3

a b a b b a

b a a b b a

− + ⋅ = − − − − − +

ɵ ɵ ɵ

ɵ ɵ ɵ

ˆ ˆ3 3 0 0

ˆ ˆ0 03 3

a b b a

a b b a

− + = − − − +

ɵ ɵ

ɵ ɵ dacă 3a b=ɵ şi 3b a= −ɵ

Un exemplu: 1 3

3 1M

= −

ɵ ɵ

ɵ ɵ

2p

1p

2p

c) Dacă

x yX

y x

= −

atunci

2 22

2 2 2

ˆ ˆ ˆ2 1 0

ˆ ˆˆ 0 12

x y xyX I

xy x y

− = ⇔ = ⇔

− −

2 2 1̂x y− = şi 0̂xy =

Dacă ɵ ɵ{ }20̂ 4 2;3x y y= ⇒ = ⇒ ∈ ɵ ; dacă ɵ{ }2ˆ ˆ ˆ0 1 1;4y x x= ⇒ = ⇒ ∈

ObŃinem matricele ɵ

ɵ

ɵ

ɵ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 0 3 1 0 4 0, , ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 12 0 3 0 0 4

− −

ɵ

ɵ

1p

2p

2p

SUBIECTUL III 30 de puncte 1.a)

lim ( )4x

f x→∞

π=

Deci 4

yπ

= este asimptota orizontală spre .+∞

3p

2p

b) ( )

2

1'

2 2 1f x

x x=

+ +

22 2 1 0x x+ + > pentru orice x real, deci ( ) { }' 0, \ 1f x x> ∀ ∈ −ℝ

FuncŃia f este strict crescătoare pe ( ), 1−∞ − şi pe ( )1,− +∞

2p

2p

1p

c) ( ) ( )

( )22

2 2 1'' , 1

2 2 1

xf x x

x x

− += ≠ −

+ +

( ) 1'' 0

2f x x= ⇔ = −

Din tabelul de variaŃie rezultă că 1

2x = − este punct de inflexiune al funcŃiei f

2p

1p

2p

2.a) ( )

1 11 12 2 ln 2 ln

n

n

n

n nI dx x x

nx n

+ + + = − = − = − ∫

1

1 2ln ln

1n n

n nI I

n n+

+ +− = − =

+

( )( )

2 2

2 2

1 2 1 1ln ln ln 1 0,

2 2 2

n n nn

n n n n n n

∗+ + + = = = + > ∀ ∈ + + +

ℕ , deci şirul este strict crescător

2p

1p

2p

b) 1 11 2 0 ln 1n n

en n

+ +< ≤ < ⇒ < <

11 2 ln 2

n

n

+< − <

1 2,nI n ∗< < ∀ ∈ℕ , deci şirul este mărginit

2p

2p

1p

c) ( ) 1

lim 2 lim lnnn n

nn I n

n→∞ →∞

+− = = 2p

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

3

1lim ln 1 ln 1

n

ne

n→∞

= + = =

3p