Cursul 3

1.5 Analiza procesului de laminare

Procesul de laminare reprezintă un proces termodinamic în care presiunea agentului frigorific sau termodinamic (în general un fluid gaz sau lichid) scade la trecerea printr-o secțiune îngustată, spre exmplu conducte sau canale care prezintă micşorări importante de secţiune. Un astfel de proces este caracterizat întotdeauna de scăderea presiunii și este însoţit de o variație a temperaturii în sensul creşterii, scăderii sau păstrării constante a acesteia. Exemplu: trecerea aerului prin supapele de admisie de la motor. Acest efect a fost pus în evidenţă experimental de către Joule şi Thomson care au constatat că la trecerea aerului având o anumită presiune prin dopuri poroase temperatura scade cu 0,24 grd/at. Procesul de laminare este prezentat schematic în Fig. 1.5.

Fig. 1.5 Procesul termodinamic de laminare

Plecăm de la expresia principiul I al termodinamicii pentru sisteme deschise scrisă in mărimi specifice (atenție raportate la kg)

gdzwdwldhdedeldhq tpct +++=+++= δδδ

Ipoteze:

1. Deoarece procesul se desfăşoară cu viteză mare, se consideră că agentul nu schimbă căldură cu mediul exterior sistemului δq=0.

2. Nu se consumă şi nu se produce lucru mecanic tehnic δlt=0. 3. Datorită vitezelor mici de cugere la intrare și ieșirea în/din elementul în care

se face laminarea și a faptului că au valori comparabile una cu alta w1≈w2

2

atunci variația energiei potențiale se neglijează. Pentru viteze w<25 m/s,

02

2

≅∆

=∆w

ec . Rezultă: dec=0.

4. Deoarece intrarea și ieșirea din elementul în care are loc laminarea se face la aceeași cotă z1=z2 rezultă că dz=0.

În aceste condiţii expresia matematică a primului principiu a termodinamicii

aferentă procesului de laminare devine:

cthdh

dz

dw

l

q

gdzwdwldhq

t

t

=⇒=⇒

=

=

=

=

+++=

0

0

0

0

;0

δ

δ

δδ

.00

12cthhhhdh =→=⇒=∆≅=

Concluzie: Procesul de laminare ireversibilă a unui fluid este un proces izentalpic, adică un proces în care entalpia gazului (sau a fluidului) rămâne constantă. Se defineşte efectul diferenţial Joule-Thomson:

0=><

∂∂

=h

hp

Tα .

Pornind de la αh se definește efectul integral de laminare:

02

1

=><⋅=∆ ∫p

p

h dpT α .

Pentru a stabili expresia lui αh trebuie să se stabilească în primul rând ecuația

generală a entalpiei, pentru aceasta se consideră că fluidul are două grade de libertate: h=h(p,T). Rezultă că variația entalpiei este determinată de variația temperaturii și de variația presiunii ceea ce matematic se poate scrie:

dpp

hdT

T

hdh

Tp

⋅

∂∂

+⋅

∂∂

= (*)

Suntem interesați să obținem o expresie a entalpiei care să fie doar o funcție de parametrii de stare p, T și v parametrii care în practică pot fi măsurați sau determinați.

Dacă prelucrăm primul termen în condițiile în care se observă că presiunea se menține constantă dp=0, plecând tot de la expresia principiului I în care termenii în energie cinetica și energie potențială sunt zero (vezi explicația anterioară), se obține:

3

=

=⇒⋅−=

+=

0dp

dhqdpvl

ldhq

t

t

δδ

δδ

Din expresia anterioara rezultă că variația de entalpie într-un proces în care presiunea rămăne constantă o regăsim în variația de entalpie. Însă schimbul de căldură într-un proces izobar este dTcq p ⋅=δ înlocuind în

relația (*) rezultă:

dpp

hdTcdh

T

p ⋅

∂∂

+⋅= (**)

Așa cum se observă primul termen a fost explicitat doar ca functie de p, v și T el fiind funcție doar de temperatură și căldură specifică, urmează prelucrarea celui de-al doilea termen din ecuația (*).

Din expresia reunită a celor două principii ale termodinamicii pentru procese reversibile:

t

tldhdsT

dsTq

ldhqδ

δ

δδ+=⋅⇒

⋅=

+=

în care introducem expresia lucrului mecanic de proces dpvlt ⋅−=δ rezultă

dpvdhdsT ⋅−=⋅

Diferențiind în raport cu dp cei trei termeni rezultă în condițiile în care păstrăm temperatura constantă rezultă:

vp

h

p

sT

TT

−

∂∂

=

∂∂

⋅⇒

Din expresia obținută extragem variația entalpiei cu presiunea în condițiile în care temperatura este constantă și rezultă termenul al doilea din ecuația (**)

vp

sT

p

h

TT

+

∂∂

⋅=

∂∂

Ecuația (**) devine

dpvp

sTdTcdh

T

p ⋅

+

∂∂

⋅+⋅= (***)

Apare o nouă provocare în realizarea obiectivului inițial de a exprima entalpia

în funcție de p, T și v și anume de a exprima termenul T

p

s

∂∂

de p, T și v.

Se reiau ecuaţiile celor două principii şi se aplică transformarea Legendre: dpvdhdsTq ⋅−=⋅=δ

din transformarea Legendre aplicată produsului Ts rezultă: ( ) dTsdsTsTd ⋅+⋅=⋅

se extrage termenul ( ) dTssTddsT ⋅−⋅=⋅ pentru a fi înlocuit în ecuația reunită a celor

două principii:

4

( ) dpvdhdTssTd ⋅−=⋅−⋅

și rezultă

( ) dpvdTssThd ⋅+⋅−=⋅−

Notăm sTh ⋅−=ϕ , care reprezintă entalpia liberă sau potenţialul chimic

Gibbs în care T∙s reprezintă energia liberă. dpvdTsdsTh ⋅+⋅−=⇒⋅−= ϕϕ

Așa cum rezultă din expresia anterioară entalpia liberă este o funcție de cei doi parametrii de stare p și T ( )pT ,ϕϕ =⇒ matematic se poate scrie că:

dpp

dTT

dTp

⋅

∂∂

+⋅

∂∂

=ϕϕ

ϕ

Prin identificarea celor doua ecuații anterioare rezultă că:

pTs

∂∂

=−ϕ

;T

pv

∂∂

=ϕ

Se aplică legea lui Scwartz legată de valoarea drivatei a doua a unei funcţii de două variabile care are forma generală:

xy

z

yx

z

∂⋅∂∂

=∂⋅∂

∂ 22

Și entalpiei libere și rezultă:

TppT ∂⋅∂∂

=∂⋅∂

∂ ϕϕ 22

Derivând cele două ecuații anterioare ale entropiei pT

s

∂∂

=−ϕ

și volumului

specific T

pv

∂∂

=ϕ

rezultă:

Tp

s

pT

∂∂

−=∂⋅∂

∂ ϕ2

și pT

v

Tp

∂∂

=∂⋅∂

∂ ϕ2

Prin identificare rezultă:

pTT

v

p

s

∂∂

=

∂∂

care de fapt este expresia a IV-a a relaţiilor diferenţiale ale lui Maxwell (vezi cursul de anul trecut termotehnică).

Înlocuid in ecuația (***) rezultă expresia diferenţială a entalpiei:

dpT

vTvdTcdh

p

p ⋅

∂∂

⋅−+⋅= (****)

5

Practic ne-am atins obiectivul pe care ni l-am propus să obținem o ecuție a entalpiei funcție doar de parametrii de stare p, v și T valabilă pentru orice agent termic sau frigorific in stare gazoasă sau de vapori. Intorcându-ne la procesul de laminare acesta este caracterizat de h=ct, dh=0 practic expresia (****) devine:

0=⋅

∂∂

⋅−+⋅ dpT

vTvdTc

p

p

Din această expresie se determină efectul diferenţial Joule-Thomson:

−

∂∂

⋅⋅=

−

∂∂

⋅

=

∂∂

= vT

vT

cc

vT

vT

p

T

ppp

p

h

h

1α (*****)

Dacă analizăm ecuația se observă că efectul diferențial depinde de natura gazului prin căldura specifică cp de zona termică în care evoluează gazul prin parametrii temperatură T și volum v și de modul în care variază volumul specific cu temperatura în domeniul de lucru al agentului frigorific.

Analizând expresia hα se disting trei situaţii:

a) 00 >⇒>−

∂∂

⋅ h

p

vT

vT α cum ( )↓< pdp 0 rezultă ( )↓< TdT 0

b) 00 >⇒<−

∂∂

⋅ h

p

vT

vT α cum ( )↓< pdp 0 rezultă ( )↑> TdT 0

c) ( ) ( )ctTdTpdpvT

vT h

p

==↓<→=⇒=−

∂∂

⋅ 0;000 α - punct de inversiune.

Observatii:

I) Punctele de inversiune

p

invv

TvT

∂∂

⋅= sunt stări punctuale în care gazul real se

comportă ca un gaz perfect II) În cazul gazului perfect utilizând ecuația de stare pentru gaze perfecte TRvp ⋅=⋅

rezultă că p

TRv

⋅= iar derivata volumului specific în raport cu temperatura rezultă

p

R

T

v

p

=

∂

∂ dacă se înlocuiește în (*****) ecuația efectului diferenţial Joule-Thomson

rezultă 0=−⋅

=p

hc

vp

RT

α rezultă ca laminarea unui gaz perfect are ca efect menținerea

constantă a temperaturii acestuia ceea ce și Joule a determinat experimental. III) În reprezentarea grafică a procesului de laminare linia sau curba de variație se reprezintă punctat deoarece in cazul acestui proces nu se cunosc stările intermediare ci doar stărea inițială și finală.

6

Fig. 1.6 Efectul diferenţial Joule-Thomson în diagrama T-s.

In figura 1.6 este reprezentat procesul de laminare in diagrama T-s cu cele trei variante de rezultat:

- în care temperatura crește, în urma laminării gazul se încălzește starea 2c situție utilizată la pornirea turbinelor cu abur;

- în care temperatura scade, în urma laminării gazul se răcește starea 2f situție utilizată în instalațiile frigorifice;

- în care temperatura rămâne aceeași, în urma laminării gazul nu se încălzește nu se răcește starea 2 situție specifică gazului perfect și al stărilor de inversiune; Procesul de laminare este un proces tipic ireversibil ceea ce face ca in acest

proces entropia să crescă. Pentru cazul particular al gazului perfect creșterea de entropie în acest proces se determină plecând de la pr I și ecuația de stare a gazului perfect:

⇒

⋅=⋅

⋅−⋅=→⋅−=

TRvp

T

dpv

T

dTcdsdpvdhq pδ

1

2ln

00p

pRs

dT

p

dpR

T

dTcds

ir

h

p ⋅−=∆⇒

=→=

⋅−⋅=

α