Prelucrarea datelor experimentale

5/26/2018 Prelucrarea datelor experimentale

1/8

PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE

1. Erori de msur

a) Calculul erorilor n msurtorile directe

A msura o m r ime X nseamn a compara acea mr ime cu altade aceea i natur , [X], aleas pr in conven ie ca unitate de msur . Inurma acestei compara i i se poate scrie

X=x[X] (1)unde x este valoarea numeric a mr imii de msurat.

n general, valoarea adevrat a unei mr imi de msurat nupoate fi cunoscut . Opera i i le de msurare sunt afectate ntodeauna deerori. Din aceast cauz prezentarea rezultatului unei msur tor itrebuie s f ie nso i t de precizia cu care a fost ob inut.

Erorile de msur se pot clasif ica n dou categorii:- sistematice- ntmpltoare (aleatoare)Cele dinti, n general se repet identic la f iecare msurtoare;

ele sunt condi ionate de o aceea i cauz care ac ioneaz n acela i sens(de ex.etalonarea gre i t a instrumentului de msur) . n principiuacest gen de erori poate f i eli minat printr-o analiz atent a condi i i lor i metodelor de msurare.

Erorile ntmpl toare nu pot f i nl turate complet. Ele sedatoresc unor cauze diverse care ac ioneaz n sensuri difer ite de la omsur toare la alta.

Pe lng acestea, n t impul unor msur tor i pot aprea erorigrosolane: rezultatul msur tor ii afectate de o astfel de eroare difer mult de marea majoritate a celorlalte m surtor i . Ele sunt provocate deo cauz obiectiv care nu se repet sau de neglijen a cercettorului.

Aadar, estimarea preciziei unei msur tor i este legat destudiul erorilor ntmpltoare.

Dac x1,x2, . . . ,xn sunt rezultatele n cele n msur tor i efectuateasupra mr imii X, atunci se admite c valoarea medie

=n

ixn

x1

1 (2)

se apropie cel mai bine de valoarea adevrat x .

Se nume te eroare (abatere) absolut mr imeaxxx ii = (3)

Evident erorile absolute apar cu semnul + sau - i

=n

ix1

0 (4)

Se calculeaz valoarea medie a modulului erorii absolute pr in rela ia:

=

=n

i

ixn

x1

1 (5)

Eroarea relativ n msur toarea i se define te prin:

i

ir

x

xi

= (6)

iar eroarea relativ medie este:


2/8

xr

= (7)

i se exprim , de obicei, n procente. Inversul erorii relative reprezint precizia msur torii . Rezultatul unei msur tor i se va prezenta n

forma xxx = sau rxx = .Dac din cele n experien e, de n i (frecvena absolut) or i , se

ob ine valoarea x i , atunci frecvena relativ a acesteia este

n

nii = . (8 )

Cnd n t inde c tre infinit , f recven a i t inde la probabilitatea ip de

realizare a evenimentului ix .

Dac se efectueaz un set de n msur tor i (n destul de mare)atunci probabilitatea ca s se ob in de n i or i rezultate cuprinse ntrex i i x i+x este dat de

( ) xxfn

np i

ii =

= (9)

n care func ia )( ixf se nume te funcie de repartiie (sau de

distribuie) i reprezint densitatea de probabilitate , adic probabi litatea corespunztoare unit i i de interval a variabileialeatoare x . La limit , pentru x 0 i n rela ia se transform n

( ) xdxfn

dndp == . (10)

Probabilitatea de a gsi valori x n intervalul (x1 , x2) este dat de

( )=2

1

x

xxdxfp (11)

creia i corespunde aria ha urat pe f ig. 2.1. Probabilitatea camr imea msurat s ia valori ntre - i + devine certitudine, astfelc ar ia total de sub curb este egal cu unitatea.

x 1 2

(x)

Fig. 2.1


3/8

Cunoa terea func iei de distr ibu ie permite calculul valorilormedii ale unei mr imi. Intr-adevr , dac din cele n experien e, de n i or i se ob ine valoarea x i , atunci valoarea medie este

n

xnx

ii= (12)

care, pentru un numr mare de msur tor i i varia ia continu avariabilei aleatoare, devine

== dxxxfnxdn

x )( (13)

O distribuie normal (Gauss) a erorilor ntmpl toare secaracterizeaz pr in faptul c erorile absolute de acelai modul auaceeai f recven de apari ie cu semnul + ca i cu semnul - , iar erorile

de modul mare apar rar . Asemenea comportare este descris de ofunc ie de distr ibu ie de forma

( )( )

2

2

2

2

1

xx

exf

= (14)

Constanta din func ia de distr ibu ie f reprezint eroarea mediep tratic (abaterea standard) :

( ) ( )+

= xdxfxx22

(15)

Pentru un numr f init , n , de msur tor i ea se calculeaz cu rela ia:

( )

11

2

=

n

xxn

i

(16)

Abaterea standard a mediei

( )

( )11

2

=

nn

xxn

i

m (17)

permite s se af irme cu probabilitate de cca 68% c valoarea adevrat x este situat n jurul valorii medii nu mai departe n plus sau nminus dect cu m .

b) Calculul erorilor pentru mrimile msurate indirect .

Fie o mr ime y care rezult dintr-un calculefectuat cu ajutorulunor mr imi directmsurabile x1, x2, ,xN:

),...,,( 21 Nxxxfy= (18)Erorile comise la msurarea variabilelor x i afecteaz valoareacalculat a mr imii y . Se poate ar ta c eroarea cea mai mare, nvaloare absolut , pentru y este dat de

N

N

xx

fx

x

fx

x

fy

++

+

= ...2

21

10 (19)

iar eroarea relativ


4/8

N

N

xx

fx

x

fx

x

f

y

y

++

+

=

)(ln...

)(ln)(ln2

21

1

0 (20)

Valoarea real a mr imii y va satisface condi ia 00 yyyyy +

unde ),...,,( 21 Nxxxfy= (21)Teoria arat c n cazul n care asupra f iecrei mr imi care intr

n (18) se face un numr mare de msur tor i , eroarea medie p tratic amediei ar itmetice (abaterea standard a mediei) este dat de rela ia:

22

22

2

11

...

++

+

= mN

N

mmmx

f

x

f

x

f (22)

n care mi se calculeaz cu rela ia (17) iar n derivatele par iale se

nlocuiesc, n calcule, variabilele x i pr in valorile lor medii ix .

2. Reprezentri grafice

In f izica experimental se folosete adesea reprezentarea grafic

a datelor msurate experimental. Reprezentarea datelor prin graficepermi te stabili rea dependen ei func ionale dintredou mr imi i a unor caracteristici cum ar f i punctele de intersec ieale curbei experimentale cu axele, punctele de maxim i de minim,punctele de inflexiune, panta curbei, caracteristici de periodicitate etc.

S consider m cazul n care se cerceteaz dependen a uneimr imi y de o anumit mr ime x , adic func ia y(x). Pentru un ir de valori alese de experimentator pentru variabila x

se ob ine un set de valori pentru mr imea y , care se aranjeaz , deobicei, ntr-un tabel de date .

Se traseaz un sistem de axe rectangulare xOy; pe f iecare ax seprecizeaz ce mr ime se reprezint i unit i le de msur folosite(f ig. 2.2) .

Se aleg scrile de reprezentare pe cele dou axe astfel nct hrtiamilimetr ic util izat s poat cuprinde ntregul domeniu de varia ieal mr imilor msurate. Dac mr imile msurate variaz cu maimulte ordine de mr ime, ceea ce ar face imposibil reprezentarea lao scar l iniar , se recurge la reprezentarea logaritmului acestorm r imi, adic se alege o scar logaritmic ( f ie pe o singur ax , f iepe amndou) . Scara aleas pe o ax nu condi ioneaz n nici un felscara de pe cealalt ax , mr imile reprezentate pe cele dou axefiind, n general chiar de naturi difer ite.

Pe axe, la intervale de obicei egale ( la 1 sau 2 cm) se scriu valorilenumerice corespunz toare mr imii reprezentate ( care exprim scara) i nu coordonatele punctelor experimentale.

Se reprezint perechile de valori din tabelul de date prin puncte decoordonate (x,y) . In cazul n care se pot aprecia erorile absolutecomise n f iecare msur toare, acestea se pot reprezenta grafic, nf iecare punct experimental, pr in bare verticale i or izontale(corespunznd mr imilor de pe f iecare ax) , de lungimepropor ional cu eroarea respectiv .

Datorit erorilor de msur , punctele experimentale nu se aaz peo curb neted dar este recomandabil s se traseze o curb printrepuncte, sugerat de ansamblul punctelor; pr in aceasta se ob ine omediere a erorilor experimentale. Nu se unesc punctele printr-olinie frnt!


5/8

10

20

30

40

50

60

I(A)

2 4 6 8 10 12 U(V)

U

I

Fig. 2.2

Curb neted astfel ob inut reprezint f i tarea (potrivirea) graf ic ( to f it=a potr ivi) a dependen ei y(x) i poate folosi la g sireafunc iei y(x).

De exemplu, dac punctele determinate experimental conduc la

un grafic sub forma unei drepte, atunci se caut o func ie de formabmxy += (23)

n care constantele m i b se determin din grafic. Pentru determinareapantei m , se aleg pe dreapta ob inut experimental dou puncte ( ngeneral, altele dect cele ob inute experimental) , ct mai ndepr tateunele de altele pentru a diminua erorile relative, i se citesc pe graficvaria i i le x i y corespunz toare acestor puncte; atunci xym = / .Ordonata la origine b se ob ine citind pe grafic ordonata punctului ncare dreapta taie axa ordonatelor . Aten ie! Spre deosebire de cazuldin geometrie, constantele m i b din formulele f izice au, n

general, unit i de msur !

Dac curba experimental nu este o dreapt , atunci gsireafunc iei care s o descrie este o problem mai complicat , dar n multecazuri rezolvabil .

3. Metoda celor mai mici ptrate

Dup cum s-a ar tat mai sus, reprezentarea grafic adeterminr ilor experimentale poate sugera forma func iei dedependen a mr imii y de mr imea x , y(c1,c2, . . . ,c k, x) , dar r mnedeschis problema gsir ii constantelor care intr n func ie ( n


6/8

formul) . Pentru rezolvarea acestei probleme se folosete metoda celormai mici p trate.

Formulele de forma y= y(c1,c2, . . . ,c k, x) , deduse pe cale teoretic ( ra ional) , care con in constante ce depind de parametri f izici binedetermina i , se numesc formule raionale (de exemplu, formula devaria ie a densit i i unui corp solid cutemperatura, ( )t += 1/0 n care constanta 0 este densitatea

corpului la 0o

C iar este coeficientul de dilatare volumic almaterialului corpului) . Dac o astfel de formul rezult numai n urmaexperien ei, care stabilete doar valorile numerice ale constantelor ,atunci vorbim de o formul empiric (de exemplu, dependen a detemperatur a coeficientului de dilatare pentru mercur

t84 10210801.1 += ) .

Pentru a vedea n ce const metoda celor mai mici p trate, s consider m c erorile comise la msurarea mr imilor x i suntneglijabile fa de erorile care afecteaz valorile y i ( i=1,2,. . . ,n ; n num rul de msurtor i) . Urmr im s gsim valorile constantelor ckastfel nct func ia y(c1,c2, . . . ,c k, x) s reproduc cel mai bine datele

experimentale. Fie abaterile ( )ikii xcccyyy ,,...,, 21= (24)o msur a devia iei valorilor func iei cutate fa de dateleexperimentale.Vom spune c func ia cutat reproduce cel mai binedatele experimentale dac suma p tratelor acestor abateri

( )[ ]=

=n

i

iki xcccyyS1

221 ,,...,, (25)

este minim . Impunnd condi ia de minim pentru S, adic anulareaderivatelor sale n raport cu constantele ck, se ob ine un sistem de kecua i i din care se pot ob ine constantele cutate. Vom exemplif icaaplicarea metodei celor mai mici p trate, referindu-ne , din nou, lacazul dependen ei l iniare de forma (23). In acest caz, suma p tratelor

abaterilor se scrie

( )=

=n

i

ii bmxyS1

2 (26)

iar minimul su se realizeaz dac se anuleaz derivatele:

( )[ ] 021

==

=

n

i

iii bmxyxm

S (27)

( )[ ] 021

==

=

n

i

ii bmxyb

S (28)

Din ecua i i le (27) i (28) ob inem sistemul:

= =

=+n

i

n

i

ii ynbxm1 1

(29)

== =

=+n

i

ii

n

i

n

i

ii yxxbxm11 1

2 (30)


7/8

din care rezult constantele cutate b i m. Dac se ine seam c

xxn

n

i

i ==1

1 (31)

i

yy

n

n

i

i ==1

1 (32)

sunt valorile medii ale variabilelor respective, atunci solu iasistemului (29)+(30) se poate scrie:

( )

( )

=

=

==

===

=

=n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xx

yxx

xxn

yxyxn

m

1

2

12

11

2

111 (33)

xmyb = (34)Dup cum se vede, aplicarea metodei celor mai mici p trate

necesit anumite calcule care pot descuraja experimentatorul, de aceea

este de preferat s se determine panta dreptei m i ordonata la origineb din grafic, aa cum s-a ar tat la sfr i tul paragrafului precedent.

Pentru aplicarea metodei grafice ( trasarea dreptei prin puncteleexperimentale) , este util s se observe c rela ia (34) ne spune c punctul de coordonate ( ).,yx se af l pe dreapta care f iteaz cel maibine (satisface ecua ia dreptei bxmy += ).

4.Mrimi aproximative. Reguli de rotunjire a numerelor.

Prin msur tor i experimentale asupra mr imilor f izice, nu putemcunoate valoarea adevrat a acestora ci doar valoarea lor

aproximativ , afectat de o anumit eroare. Constantele f izice, date ntabele, sunt determinate, la rndul lor , cu o anumit precizie. S-a

ar tat c rezultatul unei msur tor i se exprim n forma xxx = . Deexemplu, n tabele de constante se gse te c sarcina elementar este

C)1046106021892,1( 2819 =e sau, cu un alt mod de scriere,

C10)46(6021892,1 19=e , acesta din urm ar tnd c eroarea absolut

medie este C1046 28=e . Se observ c n modul de scriere t i ini f ic, valoarea numeric a unei mr imi se exprim pr intr-un numr a crui

parte ntreag are una-dou cifre, nmul i t cu o putere corespunz toarea lui zece.

Rezultatele unor calcule matematice ( logaritmare, r dcinapatrat , mpr ire etc) reprezint valori cu un numr mare de zecimale i se impune, de asemenea, aproximarea rezultatelor . Necesitateaaproximr ii apare i n cazurile cnd intervin numere cum sunt sau e(baza logaritmilor naturali) .

De regul , ntr-o formul intervin mr imi cu precizii difer ite.Eroarea rezultatului f inal va depinde de eroarea de determinare atuturor mr imilor care intr n formul . Dac unele mr imi dintr-oformul f izic sunt determinate cu precizie mic , nu are sens cacelelate mr imi s f ie luate cu precizii mult mai mari, astfel c valorileacestor mr imi vor f i rotunjite . Trebuie ns ca eroarea relativ a


8/8

valorii rotunjite s nu fie mai mare ca eroarea relativ a mrimii

determinate cu precizia cea mai mic . Valoarea numeric a uneimr imi se exprim pr intr-un anumit numr de cifre semnificative .Cifrele 1,2, . . . ,9 ale unui numr sunt cifre semnificative; cifra 0 seconsider semnificativ dac se af l n inter iorul numrului sau ladreapta acestuia. De exemplu, coeficientul de dilatare liniar pentru

aluminiu sub forma -1K000024,0= este prezentat cu dou cifre

semnificative, primele cinci cifre de zero nu sunt cifre semnificative,iar scr ierea corect , n nota ie t i in if ic , este -15 K104,2 = . Dac ns , scr iem g=9,80 m/s2 , cifra zero este cifr semnificativ , ea arat acta zecimal este considerat exact n aproximarea valorii lui g.Dac un numr trebuie rotunjit la un anumit numr de cifresemnificative, aceasta se face dup urm toarele reguli:- Dac pr ima cifr care trebuie neglijat este mai mic dect cinci,

atunci cifra men inut rmne neschimbat ;01,230129,23

- Dac pr ima cifr care trebuie neglijat este mai mare ca cinci saueste urmat de cifre difer ite de zero, ultima cifr pstrat sem re te cu o unitate;

02,230153,2302,230173,23

- Dac cifra ce trebuie neglijat este cinci urmat numai de zerouri,numrul se rotunjete la cea mai apropiat valoare par .

02,230250,23

02,230150,23

n calcule se vor lua numai cifrele semnificative care pot f iconsiderate exacte. Cnd se nmul esc sau se mpart dou numere,rezultatul se va lua cu attea cifre semnificative cte are factorul cucele mai pu ine cifre semnificative. De exemplu, la nmul irea dintre4,7 i 5,93, din calcule se ob ine 27,871 dar rezultatul trebuie rotunjitla dou cifre semnificative, adic la 28. La adunare sau sc dere sepstreaz toate cifrele.

Prelucrarea datelor experimentale

Documents

Transcript of Prelucrarea datelor experimentale