REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf ·...

385
Gheorghe FRUNZĂ REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂ 2005

Transcript of REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf ·...

Page 1: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Gheorghe FRUNZĂ

REZISTENŢA MATERIALELOR

cu aplicaţii în

INGINERIA FORESTIERĂ

2005

Page 2: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 1

INTRODUCERE ÎN MECANICĂ

1.1 OBIECTUL DE STUDIU

Termenul de mecanică provine de la cuvântul grecesc Mechanike şi a fost introdus de

Aristotel, în secolul al IV–lea î.Hr.

Mecanica este una dintre ştiinţele naturii care studiază legile obiective ale mişcării

mecanice a corpurilor materiale şi interacţiunea dintre acestea.

Prin mişcare mecanică se înţelege schimbarea în timp a poziţiei corpului sau a unei părţi

a acestuia în raport cu un alt corp, ales ca sistem de referinţă.

În accepţiunea actuală, prin mişcare, în general se înţelege orice schimbare a stării

corpurilor materiale, a organismelor vii, a societăţii etc., mişcare care este universală şi

constituie obiectul de studiu al diferitelor ştiinţe precum chimia, biologia, ştiinţe sociale etc.

Cercetările experimentale şi teoretice privind mişcarea particulelor din interiorul

moleculelor şi atomilor au condus la o nouă orientare a mecanicii spre studiul mişcării

microparticulelor. Astfel, mecanica a devenit o ştiinţă cu un spectru larg de cercetare care are

ca obiect de studiu mişcarea mecanică a sistemelor materiale.

In fapt, mecanica este una din ştiinţele fundamentale ale matematicii alături de fizică,

chimie şi biologie - ştiinţe ce studiază forme de mişcare ale materiei, respectiv mişcarea

fizică, chimică, biologică şi socială.

În mecanică nu se ia în considerare structura corpurilor, ele considerându-se ca medii

continue, adică, într-un element oricât de mic al corpului continuă să se mai găsească

substanţă.

În decursul timpului mecanica s-a diferenţiat în mai multe ramuri, Figura 1.

Page 3: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

9

Figura 1. Ramificaţiile mecanicii

Mecanica solidului, cunoscută sub denumirea de mecanica clasică, a fost fondată de

Galileo Galilei (1564-1642) şi de fizicianul, matematicianul şi astronomul Isac Newton

(1642-1727). Această disciplina include legile corpurilor a căror viteză este mult mai mică

decât viteza undelor electromagnetice în vid, c = =1 2997930 0ε µ m/s. Este considerată

prima ştiinţă fundamentală a naturii.

Mecanica solidului rigid se ocupă de sistemele materiale formate din corpuri a căror

deformaţii sunt neglijabile, corpul fiind considerat rigid. Bazele ei au fost puse în secolul al

XVIII-lea, de L. Euler şi J. Lagrange.

Mecanica corpului deformabil cunoscută sub denumirea de mecanică aplicată,

utilizează legile mecanicii teoretice, studiază mişcarea sistemelor materiale având în vedere

deformaţiile mici şi mari ale corpurilor şi include mai multe direcţii funcţie de domeniul de

aprofundare, Figura 1.

Un mod special de abordare a mecanicii clasice este realizat de mecanica analitică.

Aceasta se bazează pe principiile mecanicii newtoniene, dar, cu ajutorul unor principii proprii.

Include metode de mare generalitate în studiul oricăror categorii de modele ale corpurilor

materiale nedeformabile, utilizând pentru toate aceleaşi ecuaţii generale. Trebuie precizat că

Mecanica

Mecanica solidului

Mecanica relativistă

Mecanica cuantică

Biomecanica

Mecanica socială

nedeformabil (rigid)

deformabilmecanica mediilor continue;mecanica fluidelor;mecanica ruperii;mecanica contactului;

biocibernetica;bioingineria;biomatematica;bionica;biometeorologia;biotehnologia;

Page 4: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

10

mecanica analitică nu ţine seama de frecările care intervin la interfaţa corpurilor aflate în

contact.

Mecanica relativistă a fost creată de Albert Einstein (1879-1955) şi cuprinde legile

mişcării sistemelor materiale care posedă viteze comparabile cu viteza undelor

electromagnetice în vid. Teoria relativităţii generalizate descrie gravitaţia ca fiind efectul

interacţiunii materiei asupra proprietăţilor spaţiu-timp. La baza acestei teorii stă principiul de

echivalenţă potrivit căruia un câmp gravitaţional local este echivalent cu câmpul unei forţe de

inerţie.

Mecanica cuantică rezultată din îmbinarea mecanicii cuantice matriciale concepută de

fizicianul german Werner Karl Heissnberg (1840-1905) cu mecanica ondulatorie a

fizicianului austriac Erwin Schrödinger (1887-1961) şi a fizicianului francez Louis Victor de

Broglie (1892-1987). Cuprinde legile mişcării microparticulelor (molecule, atomi, particule

elementare) şi sistemele cuantice formate de acestea.

Legile mecanicii cuantice au permis explicarea structurii atomilor, naturii legăturilor

chimice, sistemului periodic al elementelor, proprietăţilor particulelor elementare. Actualele

tehnologii se bazează pe mecanica cuantică; se menţionează laserul, reactorul nuclear ş.a.

Un loc aparte îl ocupa Mecanica moleculară care se ocupă cu studiul fenomenelor şi

proprietăţilor corpurilor determinate de caracteristicile moleculelor existente precum şi de

interacţiunile lor. Sunt studiate fenomenele capilare şi de transport precum difuzia, frecarea,

tranziţiile de fază, termodifuzia.

Existenţa moleculelor a fost pusă în evidenţă indirect, prin studierea mişcării browniene,

a cărei dinamică a fost studiat de către A. Enstein în perioada 1904-1906.

In final, se pot stabili relaţii corecte între lumea microscopică şi cea macroscopică.

În abordarea unor fenomene şi procese întâlnite în biologie, medicină şi biotehnologie

cunoştinţele de mecanică moleculară sunt indispensabile.

Biomecanica este ştiinţa care aplică legile şi modurile de raţionament ale mecanicii la

studiul organismelor vii şi în particular, la om. Biomecanica este mecanica aplicată în

biologie. Primele lucrări de biomecanică au fost ale lui Galilei; Fundamentarea

experimentală şi teoretică a analizei mişcării. Borelli (1608-1679), elevul lui Galilei, publică

primul tratat de biomecanică modernă întitulat De Motu Animale - Analiza locomoţiei

animale. Această lucrare cuprinsă în două volume include o analiză a mişcărilor musculare şi

a dinamicii corpurilor la om şi animal, fondată pe principii mecanice. Se găsesc prezentate

zborul păsărilor, înotul peştilor, poziţia centrului de greutate al elementelor corpului,

probleme de echilibru, relaţii ale diverselor braţe de pârghii, de momente ale articulaţiilor etc.

Page 5: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

11

Combinând matematica, fizica şi anatomia, autorul se plasează la originea unei părţi

importante a biomecanicii actuale.

Mulţi dintre cercetătorii care au dat primele lucrări de biomecanică şi-au lăsat numele

legat de marile etape ale istoriei ştiinţelor exacte precum Galilei, Decartes, Hooke, Bernoulli,

Euler, Coulomb, Young, Poiseuille.

În fapt, biomecanica se ocupă de ţesuturile vii, iar acestea au o proprietate majoră, care

le lipseşte tuturor materialelor folosite în diverse ramuri ale inginerie şi anume capacitatea de

a creşte sau de a se resorbi. Ţesutul viu poate să-şi schimbe dimensiunea şi, uneori

proprietăţile mecanice. Aceste modificări sunt legate de solicitările exterioare, ca şi de

anumite procese biochimice, biofizice şi metabolice care pot schimba, cu timpul, în ţesutul

viu, câmpurile de tensiuni - proprietate esenţială a vieţii.

Din cauza acestui efect, nu putem fi siguri nici de absenţa solicitărilor reziduale din

organism - solicitări care rămân după înlăturarea forţelor exterioare aplicate. Trebuie găsită o

metodă care să ne ajute la determinarea acestor solicitări, pentru a fi capabili să determinăm

distribuţia tensiunilor în organism. Cercetările în această direcţie sunt de mare interes şi

continuă la ora actuala în marile laboratoare din lume.

Specificul sistemelor biologice constă în faptul că la baza organizării şi funcţionării lor

stă informaţia genetică conţinută în genom, apărută ca rezultat al evoluţiei. Această

informaţie se manifestă în funcţionarea specifică a sistemelor biologice şi în structura lor

ordonată, aperiodică şi de neechilibru din punct de vedere termodinamic. Aceste proprietăţi

se manifestă la toate nivelele, precum macromolecular, celular, al ţesuturilor, organelor şi

întregului organism. Sistemele biologice pot fi studiate din punct de vedere genetic şi

structural. Ca urmare, se poate întâlni biomecanica moleculară, biomecanica celulei şi

biomecanica sistemelor complexe.

În general biomecanica este un domeniu care se dezvoltă rapid şi are un câmp vast

începând cu medicina, agricultura, silvicultura etc.

Mecanica socială este o încercare de aplicare a metodelor ştiinţifice din mecanica

generală la cercetarea problemelor sociale. Prima lucrarea de mecanică socială apare în anul

1906 în limba franceză scrisă de Spiru Haret şi în limba română în 1910. Cunoscutul sociolog

francez Gaston Richard afirma în 1936 că această lucrare este una din cele mai viguroase

opere ale sociologiei europene. Autorul introduce în sociologie conceptele generale ale

mecanicii precum statica şi dinamica socială, echilibrul şi mişcarea, stabilitatea, forţele şi

fenomenele sociale.

Page 6: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

12

Fenomenele sociale au fost, în toate timpurile, subiecte de studii profunde şi variate,

ceea ce explică interesul cu privire la problemele legate de evoluţia sistemelor sociale şi

politice ale societăţilor umane.

În fapt, scopul mecanicii este de a determina legile obiective ale diverselor tipuri de

mişcări mecanice a corpurilor materiale şi sistemelor în vederea folosirii lor în scopuri

practice, în interesul omului.

Se pot întâlnii următoarele forme de mişcare, Figura 2.

Moduri de mişcare

Fizică

Megafizică

Biologică

Socială

- macroscopică;- moleculară;- atomică;- cuantică;- subcuantică.

- geologică;- stelară;- galactică;- metagalatică.

la nivel elementar

la nivel ecologic

- moleculă;- celulă; - ţesut;- organ.

- populaţie;- specie;- biocenoză;- ecosistem;- biosferă;- biocosmos.

la nivelul structurilor şiproceselor

- ideale;- reale.

Figura 2. Tipuri de mişcare

Pentru studiul mişcării mecanice a corpurilor materiale este necesar să se cunoască

condiţiile iniţiale ale mişcării precum poziţia şi vitezele tuturor punctelor sale în raport cu un

sistem de referinţă presupus fix în anumite situaţii.

Page 7: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

13

1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII

Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica îşi bazează teoria pe câteva noţiuni şi principii

fundamentale, stabilite pe baza unei îndelungate experienţe, verificate de practică, dar pe care

nu le mai putem readuce. Aceste noţiuni fundamentale sunt: spaţiul, timpul şi masa.

Spaţiul în mecanica clasică este considerat ca fiind infinit, tridimensional, continuu,

omogen şi izotrop permiţând aplicarea legilor similitudinii. El este privit ca un spaţiu absolut.

Unitatea de măsură este metrul. Aceste proprietăţi nu sunt valabile când mişcarea se produce

cu viteza luminii, 300.000 m/s şi când intervin legile mecanicii relativiste. Din punct de

vedere matematic spaţiul se poate modela ca un sistem euclidian, adică este guvernat de

axioma lui Euclid potrivit căreia dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură

paralelă la acesta.

În fapt, existenţa mişcării în afara timpului este o absurditate tot atât de mare ca şi cea în

afara spaţiului.

Timpul este forma obiectivă de existenţă a materiei, ce caracterizează istoria corpurilor

şi poziţia lor relativă. În mecanica clasică este considerat universal, infinit, continuu,

omogen, inreversibil, independent de natura evenimentelor şi de localizarea lor în spaţiu,

durata fenomenelor măsurându-se de la o origine aleasă arbitrar. Timpul absolut se poate

reprezenta ca un spaţiu euclidian unidimensional. Unitatea de măsură este secunda.

Masa corpurilor măsoară inerţia lor. Ca noţiune fundamentală, masa este ireductibilă şi

se măsoară prin raportul dintre mărimea forţei care pune în mişcare corpul şi variaţia de viteză

pe care o imprimă acestuia. În mecanica relativistă, se demonstrează că masa corpurilor este

variabilă, ea depinde de viteza cu care se mişcă acestea. Această variaţie devine sensibilă

numai atunci când viteza corpurilor se apropie de viteza luminii. Din această cauză, la viteze

mult inferioare vitezei luminii se poate accepta ipoteza constanţei masei. Este o mărime fizică

scalară strict pozitivă şi prezintă proprietatea de aditivitate. Unitatea de măsură pentru masă

este kilogramul.

În legătură cu noţiunea de masă este cea de forţa. Forţa măsoară transmiterea mişcării

unui corp asupra altui corp; ea caracterizează direcţia şi intensitatea acţiunii unui corp

material asupra altuia şi reprezintă cauza modificării unei anumite stări a corpului material.

Trebuie precizat că în studiul mişcării mecanice se ia în considerare masa corpului,

spaţiul şi timpul.

Page 8: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

14

1.3 PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE MECANICII CLASICE-

NEWTONIENE

Sunt cunoscute în literatura de specialitate sub numele de postulate sau axiome. Sunt

legi ce nu pot fi complet dovedite teoretic şi nu pot fi reduse la altele mai simple. Sunt

adevăruri nedemonstrabile matematic. Prezentate sub formă simplă sunt următoarele:

Principiul inerţiei descoperit de G. Galileo şi formulat corect de I. Newton “Un corp

material îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă atâta timp

cât nu intervin acţiuni exterioare care să-i modifice această stare”. Se bazează pe

constatarea experimentală că atât timp cât asupra unui corp nu intervine o cauză exterioară,

corpul îşi păstrează o mişcare rectilinie şi uniformă sau starea de repaus şi că forţa este cauza

modificatoare a mişcării mecanice.

Principiul independenţei acţiunii forţelor potrivit căruia “Efectul unei forţe asupra

unui corp este independent de viteza lui, precum şi de acţiunea altor forţe”.

Pe lângă aceste principii Newton a formulat o serie de corolare, unele având valoare de

principiu precum regula paralelogramului forţelor, potrivit căruia când asupra unui punct

material acţionează simultan două sau mai multe forţe având suporturile concurente şi direcţii

diferite, efectul lor este acelaşi ca şi când asupra punctului ar acţiona o forţă unică, numită

rezultantă şi care are ca mărime, direcţie şi sens diagonala paralelogramului construit pe cele

două forţe ca laturi, Figura 3.

Figura 3. Paralelogramul forţelor

Formularea matematică a acestui principiu este:

F ma=r r

, (1)

care constituie ecuaţia fundamentală a dinamicii.

1Fr

Rr

2Fr

Page 9: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

15

Este evident că exprimarea dată principiului nu reprezintă o definiţie a regulii de

însumare a doi vectori, aşa cum se cunoaşte din algebra vectorială. Este un principiu care

include corolarul independenţei acţiunii forţelor. În Figura 3 este reprezentată imaginea

grafică a principiului paralelogramului forţelor, pentru care ecuaţia dată de algebra vectorială

este:

1 2R F F= +r r r

. (2)

Prin extinderea principiului la un număr n finit de forţe care acţionează asupra unui corp

material, se poate înlocui efectul întregului sistem, cu efectul rezultantei tuturor forţelor.

Dacă asupra punctului material acţionează două forţe egale şi direct opuse, efectul lor

mecanic este nul.

Efectul mecanic implică existenţa acceleraţiei care conduce la modificarea stării de

mişcare a corpului material.

În cazul în care forţele sunt aplicate unui corp deformabil, chiar dacă ele sunt în

echilibru, pot produce corpului deformaţii, acestea reprezentând efecte nemecanice ale

acţiunii forţei.

Principiul acţiunii şi reacţiunii, formulat de Newton conform căruia „La orice

acţiune corespunde totdeauna o reacţiune egală şi contrară” sau acţiunile reciproce a

două puncte materiale sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar. Principiul acţiunii

şi reacţiunii mai este cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de principiul

egalităţii acţiunilor reciproce.

1.4 CONŢINUTUL GENERAL AL MECANICII

Un fenomen mecanic poate fi studiat în condiţii statice şi dinamice. Aceasta din urmă

implică cunoaşterea parametrilor geometrici ai mişcării funcţie de timp. Astfel, mecanica în

general include trei componente: statica, cinematica şi dinamica.

Statica studiază transformarea sistemelor de forţe în sisteme cât mai simple, dar cu

acelaşi efect mecanic, precum şi condiţiile de echilibru ale acestora, luând în considerare

interacţiunea cu mediul înconjurător, prin legăturile geometrice realizate cu elementele care se

găsesc în afara zonei interesate.

Page 10: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în mecanică

16

Cinematică studiază mişcarea corpurilor din punct de vedere geometric, fără a lua în

considerare forţele care acţionează. Din această cauză se numeşte şi geometria mecanicii.

Aici se studiază o serie de mărimi fizice, care pot furniza informaţii complete asupra mişcării

unui corp material, denumite caracteristici cinematice.

Dinamica cunoscută şi sub denumirea de cinetică, studiază mişcarea corpurilor

materiale considerate ca solide rigide sau deformabile sub acţiunea forţelor care acţionează.

Cu ajutorul datelor oferite de cinematică, se poate efectua un studiu complex privind mişcarea

mecanică, inclusiv sub aspectul cauzal. Statica este un caz particular al dinamicii, respectiv al

mişcării mecanice.

Ca urmare, dinamica este partea cea mai generală a mecanicii.

În general, în mecanică se lucrează cu simboluri şi modele, iar în aplicaţiile practice se

efectuează calcule numerice. În acest scop este utilizat sistemul internaţional SI de unităţi de

măsură care are ca mărimi fizice de referinţă lungimea l , masa m şi timpul t, adică:

[ ] [ ] [ ]SI SI SI1m, m 1kg, t 1s= = =l . Toate celelalte unităţi de măsură din mecanică sunt

derivate, obţinându-se pe baza unor relaţii de definiţie.

Studiul mecanicii este necesar pentru înţelegerea interacţiunilor din lumea materială,

reprezintă punctul de plecare în abordarea tuturor problemelor de inginerie şi dă posibilitatea

înţelegerii cursurilor care intervin în pregătirea unui inginer silvic precum rezistenţa

materialelor, corectarea torenţilor, construcţiile, transporturile, mecanizarea lucrărilor silvice,

studiul lemnului ş.a

Page 11: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 2

MODELE MECANICE, OMOGENITATE ŞI SIMILITUDINE

2.1 GENERALITĂŢI

Orice problemă de mecanică începe cu observarea aprofundată a fenomenului, stabilirea

cât mai exactă a proprietăţilor fizice ale corpului sau sistemului studiat şi construirea, pe

această bază a unui model fizico-matematic. Realizarea corectă a modelului conduce la

elaborarea unei teorii ale cărei concluzii vor fi în strictă conformitate cu ipotezele admise.

Valabilitatea teoriei nu poate avea însă un caracter definitiv decât dacă rezultatele obţinute se

verifică experimental în limitele acceptabile. Dificultatea cea mai mare constă în elaborarea

unei teorii proprii, verificată de practică. Ca ştiinţă logică, deductivă, Mecanica şi-a conturat

conţinutul şi teoria sa pe o durată foarte îndelungată în timp, începând cu Aristotel (384 î.Hr.-

322 î.Hr.) şi până la I. Newton (1643-1727).

Mecanica nu poate lua în atenţie întregul Univers şi, pe de altă parte, nu poate reţine

toate proprietăţile şi particularităţile corpurilor materiale implicate în procesul de mişcare.

Fizic se recurge la o partiţie a universului, rezultând mai multe subsisteme. Fiecare

susbsistem poate fi tratat ca un sistem care are legaturi cu mediul exterior, adică, cu celelalte

subsisteme din univers prin schimb de energie şi substanţă. Final, pentru sistemul analizat se

reţin numai acele elemente ale căror proprietăţi sunt relevante. O astfel de procedură se

numeşte modelare şi se ajunge astfel la un model fizic care urmează să fie studiat.

Conceptul de sistem a apărut într-o formă embrionară în filozofia antică Greacă.

Aristotel (384-322 î.Hr.) a dat o primă definiţie “întregul este mai mult decât suma părţilor

componente”. În 1942, Ludwig von Berthalanffy, defineşte sistemul ca o reuniune de

elemente sau fenomene între care există anumite relaţii de interacţiune sau de

interdependenţă.

Page 12: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

18

Un studiu calitativ asupra evoluţiei sistemului fizic trebuie să apeleze la anumite

mijloace matematice, adică la utilizarea unui model matematic. Acesta reprezintă un

ansamblu de noţiuni şi axiome din care rezultă o serie de ecuaţii şi funcţii matematice

capabile să descrie într-un mod adecvat comportarea sistemului în condiţii cât mai reale.

Sistemul care are legături cu exteriorul este un sistem deschis şi relaţiile se numesc

extrinseci; în caz contrar sistemul este închis iar relaţiile între diferite părţii se numesc

intrinseci, Figura 1.

Figura 1. Sistemul general

Un sistem S poate fi descris de relaţia:

S F x y s at= ( , , , ) , (1)

unde: x - mulţimea intrărilor (cauze); y - mulţimea ieşirilor (efecte); st - mulţimea stărilor la

momentul t; a - mulţimea operaţiilor sau transformărilor care se efectuează asupra mulţimii x

pentru a le transforma în mulţimea y.

2.2 MODELE MECANICE

Corpurile reale prezintă configuraţii şi însuşiri dintre cele mai diverse. Mecanica în

general nu operează cu corpuri reale, făcând abstracţie de însuşirile care nu interesează,

rezultând astfel un corp schematizat denumit modelul mecanic.

Modelul mecanic păstrează configuraţia şi caracteristicile esenţiale ale corpului real,

căruia i se poate aplica calculul matematic. Justeţea unui model este probată de

corespondenţa între rezultatele calculului matematic şi cele obţinute experimental.

În mecanica se pot întâlni următoarele modele: particulă materială şi mediu continuu.

x y

Sistem fizic

Frontiera sistemului Mediul exterior

e1

e2e3

e4e5

e6

Page 13: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

19

Modelul de particulă materială – conceput ca un punct geometric, căruia i se ataşează

masa corpului respectiv. Poate fi întâlnit în literatura de specialitate şi sub denumirea de

punct material. Este utilizat pentru modelarea corpurile macroscopice ale căror dimensiuni au

implicaţii irelevante asupra mişcării lor mecanice. Ca exemplu, Pământul poate fi modelat

printr-o un punct material atunci când se studiază mişcarea sa în cadrul sistemului solar ( raza

medie a Pământului, 6104,6R ⋅≈ m, iar distanţa medie Pământ-Soare, 11d 1,5 10= ⋅ m.).

Modelul mediului continuu este bazat pe ipoteza simplificatoare că întregul domeniu

ocupat de corp conţine substanţă, deşi este cunoscută structura atomică discontinuă a

corpurilor. Funcţie de anumite proprietăţii ale sale este întâlnit în unele aplicaţii ca model de

corp material propriu-zis. Acest model este utilizat atunci când toate dimensiunile corpului

natural prezintă importanţă fizică, sunt de acelaşi ordin de mărime. Are ca elemente corpul

geometric în configuraţie naturală sau redusă la scară, căruia i se ataşează o masă distribuită

în volum. Funcţie de modul cum se comportă la acţiunea forţelor exterioare acest model

poate fi considerat rigid sau deformabil.

Modelul lui Euclid cunoscut sub numele de solid nedeformabil sau rigid, se

caracterizează prin absenţa deformaţiilor, δ ≡ 0 . Fizic, distanţa dintre două puncte oarecare

ale sale rămâne invariabilă la acţiunile exterioare, adică, corpul îşi păstrează configuraţia

iniţială.

Modelul lui Euclid este un model ideal valabil în anumite domenii şi acceptat pentru a

da posibilitatea simplificării relaţiilor matematice. În fapt, toate corpurile se deformează sub

acţiunea sarcinilor exterioare.

Modelul de corp deformabil este întâlnit în studiul mişcărilor mecanice atunci când se

ţine seama de prezenţa unor interacţiuni. Ca urmare, corpul suferă variaţii faţă de configuraţia

de referinţă. Răspunsul corpului deformabil poate fi:

- elastic - dacă după înlăturarea forţelor exterioare corpul revine la configuraţia iniţială,

cunoscut în literatura tehnică de Modelul Hooke. Din punct de vedere fizic, modelul Hooke

se poate reprezenta printr-un arc de constantă K, Figura 2. Acest model este complet lipsit de

memorie, adică în orice moment starea sa este complet independentă de ceea ce s-a petrecut

anterior atât la încărcare, cât şi la descărcare.

F FK

Figura 2. Modelul Hooke – MH.

Page 14: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

20

- plastic - dacă după înlăturarea forţelor exterioare corpul nu revine sau revine parţial la

configuraţia de referinţă, adică el rămâne cu deformaţii iniţiale. Aceste corpuri prezintă

deformaţii importante peste o anumită valoare a solicitărilor numit prag al tensiunilor,

cunoscute în literatură sub diferite denumiri, funcţie de natura materialului. Deformaţiile

plastice se pot produce cu viteză constantă în momentul depăşirii pragului tensiunilor.

-fluid – dacă, corpul ia forma recipientului în care este plasat. Acest model poate fi

întâlnit pentru lichide - atunci când îşi conservă volumul şi gaze - atunci când ocupă orice

domeniu al spaţiului care le este accesibil.

Caracteristic pentru lichide este Modelul Pascal sau perfect incompresibil. Dacă se

acţionează asupra unui lichid cu o presiune hidrostatică şi volumul nu se micşorează, rezultă

că lichidul este incompresibil.

În fapt, se pot întâlni cele două stări limită: Modelul Euclid şi Modelul Pascal.

Corpurile care se apropie de starea lichidă prezintă deformaţii foarte mari. După modul de

comportare în timpul curgerii astfel de corpuri se pot asimila prin modelele newtoniene şi

nenewtoniene.

Modelul Newtonian sau liniar vâscos se poate utiliza când vâscozitatea unui corp este

constantă în raport cu viteza sau tensiunea de forfecare. Corpurile perfect vâscoase se

deformează continuu sub acţiunea forţelor, deformaţia obţinută păstrându-se după

îndepărtarea cauzei care a produs-o.

Modelul mecanic pentru un corp vâscos, la care deformaţiile sunt proporţionale cu

solicitările, este alcătuit dintr-un cilindru, în interiorul căruia se află un lichid vâscos şi un

piston, Figura 3. Deformaţiile δ , cresc în timp, ele nu se produc instantaneu, sunt

proporţionale cu sarcina aplicată şi se păstrează integral la înlăturarea ei. Energia creşte

continuu cu sarcina şi nu este restituită la descărcare.

În fapt, se poate afirma că modelul are memorie perfectă, adică reţine integral toate

evenimentele produse asupra lui.

Figura 3. Modelul Newton – MN.

hF F

Page 15: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

21

Modelul Nenewtonian sau neliniar vâscos, se poate utiliza când vâscozitatea unui corp

depinde de viteza sau de tensiunea de forfecare.

Vâscozitatea unui fluid poate fi liniară sau neliniară şi depinde de presiune şi

temperatură. Ea scade puternic cu creşterea temperaturii şi creşte mult cu presiunea, mai ales

în domeniul presiunilor mari.

Modelul perfect plastic. Când valoarea tensiunii aplicate este sub cea de prag, corpul

plastic nu se deformează, peste această valoare corpul se deformează cu viteză constantă, fără

a fi nevoie să crească tensiunea şi fără variaţie de volum. Dacă se înlătură brusc încărcarea,

corpul păstrează deformaţia pe care a avut-o în acel moment, când s-a produs descărcarea.

Modelul fizic pentru corpuri cu o astfel de comportare a fost propus de Saint Venant,

reprezentat schematic în Figura 4, adică cu un corp care se află plasat pe suprafaţa altui corp,

fără să existe lubrifiant la interfaţă. Fenomenul mecanic este similar cu frecarea de alunecare,

adică mişcarea nu poate avea loc decât în momentul în care forţa care acţionează asupra

corpului depăşeşte o anumită valorare de prag F0 .

F FFo

Figura 4. Modelul Saint Venant – MSV.

Cele trei modele simple sunt evidenţiate în Figura 5, obţinându-se prin combinarea lor

modelele: vâscoelastic, elastoplastic, vâscoplastic, ş.a.

Modelul Hooke MH

Modelul Newton MN

Modelul Saint- Venant MSV

Vâscoelastic Elasto-plastic

Vâscoplastic

Figura 5. Modele simple fundamentale.

Page 16: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

22

Modele complexe

Pentru a studia comportarea unor materiale cât mai aproape de realitate se utilizează

modele generalizate, obţinute prin legarea în serie, paralel sau mixt a modelelor simple

prezentate. Rezolvarea unor astfel de probleme implică utilizarea unor metode numerice de

calcul asistate.

2.3 OMOGENITATE ŞI SIMILITUDINE

Pe baza legilor naturii se pot stabilii relaţii între mărimile fizice, dar şi între valorile

numerice ale acestor mărimi. Se consideră că o astfel de relaţie este de forma:

if (x ) 0, i 1,n= = , (2)

unde:

- f - este un operator;

- ix - reprezintă valorile numerice ale mărimilor fizice iniţiale care intervin în

enunţarea legii respective.

Relaţia 2 trebuie să fie independentă de unităţile de măsură utilizate. Dacă se schimbă

unităţile de măsură pentru mărimile primitive, relaţia 2 devine:

i i if (y ) f ( x ) 0, i 1, n= α = = , (3)

unde iα sunt coeficienţi numerici.

Pentru ca relaţia 3 să fie echivalentă cu relaţia 2 este necesar şi suficient ca:

i i if ( x ) C f (x ) 0, i 1, nα = ⋅ = = . (4)

Ca urmare, se poate spune că relaţia 2 trebuie să fie omogenă în ix .

Din punct de vedere fizic dacă o relaţie poate fi exprimată sub forma A B= , atunci în

baza omogenităţii rezultă că A şi B trebuie să aibă aceeaşi ecuaţie dimensională.

Pe baza proprietăţii de omogenitate putem obţine:

- Verificarea corectitudinii unei relaţii care pot exprima legi fizice;

- Determinarea naturii unei mărimi;

- Stabilirea unei formule.

Page 17: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

23

În practică este necesar a se realiza studii experimentale la nivel de laborator, pentru a

confirma modul de comportare a unui corp real şi al cărui model teoretic este neclar. Acest

lucru se poate efectua prin utilizarea unui model obţinut prin reproducerea la o scară redusă a

obiectului real. În aceste condiţii o anumită mărime fizică S, se consideră importantă. Se

notează cu realS - valoarea mărimii pentru corpul real şi cu modelS - valoarea aceleiaşi mărimi

pentru model. Aceste valori sunt proporţionale, exprimate prin relaţia:

reals

model

S kS

= ,

(5)

unde sk este un coeficient de similitudine corespunzător mărimii S.

Un model se consideră ideal dacă are acelaşi coeficient k pentru orice mărime fizică

monitorizată. Fizic, nu se poate realiza un model perfect; ca urmare, se caută a se realiza un

raport pentru mărimile care sunt importante în aplicaţia respectivă.

Fie ik , i , m, t= l , coeficienţi de similitudine pentru mărimile fundamentale:

L-lungime, M-masă şi T- timp, definite prin rapoartele:

real

model

L kL

= l , realm

model

M kM

= , realt

model

T kT

= .

(6)

Dacă se pune condiţia ca o anumită mărime fizică, care prezintă un interes să aibă

aceiaşi valoare pentru corpul real şi pentru model, se obţine o relaţie între coeficienţi

ik , i , m, t= l .

Dacă modelul se realizează din acelaşi material ca şi corpul real atunci se mai obţine o

relaţie. Cele două relaţii permit să se exprime doi coeficienţi funcţie de celălalt.

Principale modele de similitudine întâlnite în literatura de specialitate sunt evidenţiate în

Tabelul 1.

Găsirea coeficienţilor adimensionali, conduc în general la probleme dificile şi reclamă

studiul amănunţit al fenomenului mecanic, pe baza ecuaţiilor generale de mişcare. Totuşi,

aceste simple consideraţii de omogenitate aruncă o privire generală asupra fenomenului,

orientează cercetarea şi permite verificarea din punct de vedere dimensional al rezultatului.

În final, se pot pune în evidenţă în mod direct unii parametrii adimensionali în funcţie

de care se exprimă fenomenul luat în studiu.

Page 18: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Modele mecanice, omogenitate şi similitudine

24

Tabelul 1. Modele de similitudine.

Denumirea modelului

Specificaţii Relaţii între coeficienţii de similitudine

Modelul mecanic a lui Froude

Constă în realizarea aceloraşi acceleraţii a, atât pentru corpul real cât şi pentru model,

real

model

a 1a

= sau 2

real real2

model model

L T 1L T

− = .

2t tk k 1 k k− = ⇒ =l l

Modelul elastic a lui Cauchy

Se impune condiţia ca în model şi corpul real să se realizeze aceleaşi tensiuni normale σ ,

real

model

1σ=

σ sau

1 2real real real

1 2model model model

M L T 1M L T

− −

− − = .

1 2m tk k k 1− − =l

Modelul hidraulic a lui Reynolds

Se bazează pe obţinerea aceluiaşi coeficient de vâscozitate cinematică ν , pentru corpului real cât şi pe model,

real

model

1ν=

ν sau

2 1real real

2 1model model

L T 1L T

− = .

2 1 2t tk k 1 k k− = ⇒ =l l

Modelul lui Weber

Se bazează că tensiunea superficială a modelului să fie egală cu cea a lichidului real,

( )( )

s real

s model

sau 2

real real2

model model

M T 1M T

− = .

2 2m t m 2k k 1 k k− = ⇒ =

Condiţie valabilă pentru toate modele

Corpul real şi modelul sunt realizate din acelaşi material sau fluid, cu densitatea ρ , adică

real

model

1ρ=

ρ sau

3real real

3model model

M L 1M L

− = .

3 3m mk k 1 k k− = ⇒ =l l

Page 19: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 3

SISTEME DE FORŢE

3.1 CONCEPTUL DE FORŢĂ

Încă de la apariţia mecanicii ca ştiinţă s-a impus necesitatea introducerii unor mărimi

cantitative care să măsoare mişcarea mecanică. Una dintre aceste mărimi este şi forţa.

Cuvântul forţă îşi are originea în limba greacă, unde denumirea de dyna înseamnă forţă.

Iniţial forţa, s-a definit în sens calitativ ca fiind cauza care intervine la schimbarea stării

de mişcare a unui corp, apoi Newton, a introdus această noţiune. El a arătat că fiecare corp

are un element caracteristic intrinsec, denumit masă, iar forţa este funcţie de acest element şi

de acceleraţia care i se imprimă corpului.

În mecanica newtoniană forţa poate fi scrisă funcţie de masa m, vectorul de poziţie r ,

de viteza v sau acceleraţia a şi explicit de timpul t, adică:

F F(m, r,a, t)= . (1)

Forţa definită de relaţia 1 este cunoscută sub denumirea de forţă newtoniană. Un caz

particular este acela în care forţa depinde exclusiv de masă şi vectorul de poziţie, cunoscută

sub denumirea de forţă poziţională,

F F(m, r)= . (2)

Din această categorie se pot menţiona forţele conservative precum greutatea proprie,

forţa elastică, forţa de atracţie universală ş.a.

Page 20: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

26

Forţa apare sub o formă abstractă, prin care se exercită interacţiunea dintre corpuri. În

acest fel expresia principiului fundamental, pe lângă caracterul de lege a naturii, îl are şi pe

acela de definiţie dinamică pentru orice tip de forţă. Ca urmare, principiul fundamental

trebuie completat cu legi experimentale ale forţelor, legi care sunt independente faţă de acest

principiu. Astfel, legea lui Hooke pentru forţe elastice, legea atracţiei universale, legile

forţelor de frecare şi ale forţelor de rezistenţă din fluide, împreună cu principiul fundamental

constituie un sistem teoretic care este studiat în dinamică.

Noţiunea de forţă dă senzaţia de efort care apare atunci când ridicăm sau ţinem greutăţi,

când tragem sau împingem un corp. O dată cu această senzaţie de efort apare şi ideea

orientării în spaţiu a forţei. Astfel, această mărime caracterizează direcţia şi intensitatea

acţiunii unui corp material asupra altui corp, iar din punct de vedere fizic prin abstractizare se

formează caracterul vectorial al forţei.

Prin intermediul forţelor corpurile acţionează unele asupra altora transmiţând mişcarea

mecanică. Forţele pot fi măsurate cu dinamometrul. Acesta include elemente elastice, ale

căror deformaţii sunt proporţionale cu forţele exterioare care acţionează asupra lui.

Forţele produc efecte statice de deformare şi efecte dinamice de accelerare; ca urmare,

forţa este cauza acceleraţiei şi deformaţiei. Ca exemple se pot aminti: greutatea, forţa de

presiune dintr-un fluid, forţa elastică, forţa de frecare, forţa de rezistenţă ş.a.

Principiul doi, denumit şi principiul fundamental, descoperit de Newton, stabileşte

legătura mecanică dintre forţă şi efectul său dinamic - acceleraţia.

F ma= . (3)

Această relaţie nu spune nimic despre natura forţei care, poate fi de orice fel:

gravitaţională, elastică, de frecare, electrică, magnetică, nucleară, biologică etc.

Definiţia forţei poartă caracterul unei interacţiuni, în sensul că întotdeauna apar două

forţe egale şi de sens contrar, fiecare acţionând asupra unui corp, conform principiului trei,

21 FF −= . (4)

Având în vedere că forţele se pot reprezenta printr-un vector, operaţiile întâlnite în

algebra vectorială cu exprimare liniară, matricială sau tensorială se consideră valabile şi în

cazul acesta.

Page 21: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

27

În concluzie, forţa este cauza care modifică starea mecanică a corpurilor sau a unui

sistem mecanic, adică mişcarea sau repausul. Este o mărime care caracterizează transmiterea

mişcării de la un corp material la altul; astfel, se poate spune că forţa este măsura interacţiunii

dintre corpuri. Forţa poate fi caracterizată printr-un vector, ca urmare este o mărime

vectorială, reprezentată printr-un segment de dreaptă orientat şi caracterizată prin modul sau

intensitate, direcţie şi sens.

3.2 CLASIFICAREA FORŢELOR

Totalitate forţelor care acţionează asupra unui corp sau sistem mecanic poartă

denumirea de sistem de forţe. Există mai multe criterii de clasificare a forţelor; în schema

din Figura 1 sunt cuprinse tipurile de forţe întâlnite în mecanică.

3.2.1 Forţe fundamentale

După îndelungate cercetări s-a ajuns la concluzia că toate fenomenele naturii pot fi

explicate cu ajutorul a patru forţe cunoscute sub denumirea de forţe fundamentale.

Forţa gravitaţională a fost prima forţă explicată ştiinţific de către Newton prin teoria

atracţiei universale.

Legea lui Newton arată că, deşi intensitatea forţei gravitaţionale scade cu pătratul

distanţei, efectele sale se resimt la orice distanţă în univers. Gravitaţia ţine universul în forma

în care există, astfel încât la scară astronomică forţa gravitaţională este dominantă în natură.

Forţa gravitaţională este universală astfel încât întregul cosmos nu scapă acţiunii sale.

Forţa gravitaţională este individualizată şi prin proprietatea ei unică de atracţie. Nu a fost

observat în universul accesibil o acţiune de respingere gravitaţională.

Intensitatea acestei forţe la nivel micro este extrem de mică. La nivel cosmic forţa

gravitaţională este dominantă datorită maselor cosmice mari.

Teoria newtoniană a gravitaţiei nu mai este valabilă în cazul unor câmpuri

gravitaţionale intense create în jurul stelelor neutronice şi a găurilor negre când curbura

spaţiu-timp creşte nelimitat.

Atracţia gravitaţională este mai uşor de înţeles dacă se ataşează noţiunea de câmp

gravitaţional. Câmpul gravitaţional este asociat cu existenţa undelor gravitaţionale.

Undele gravitaţionale au fost prevăzute de teoria relativităţii generalizate a lui Einstein.

După cum undele electromagnetice sunt produse prin variaţia sarcinilor electrice, tot astfel

Page 22: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

28

undele gravitaţionale trebuie să apară ca urmare a variaţiei masei unor sisteme gravitaţionale

astronomice.

Clasificareaforţelor

funcţie denatura lor

forţe interioare (eforturi secţionale)

funcţie de modulde aplicare forţe distribuite

uniformeliniareparabolicesinusoidalecurbiliniioarecare etc.

funcţie de modul de generare

forţe realeforţe fictive

funcţie de lucrul mecanic pe care-l pot efectua

forţe conservative

forţe neconservative

forţe gravitaţionaleforţe elasticeforţe electrice

forţe de frecare

forţa coriolisforţa axipetă

forţe exterioareforţe activeforţe pasive (legătură)

forţe concentrate

forţe volumice

Forţe speciale

forţe impulsiveforţe reactiveforţe magnusforţe în mecanica relativistă

Forţe fundamentale

forţa gravitaţionalăforţa electromagneticăforţă slabăforţă tare

după modul cumacţionează în timp

statice dinamice variabile

după poziţia sarcinifixemobile

Figura 1. Clasificarea forţelor.

Page 23: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

29

Modificarea masei gravitaţionale a unui sistem astronomic implică modificarea

câmpului gravitaţional creat, iar dacă fenomenul este periodic apar unde gravitaţionale care se

propagă în spaţiu cu o viteză egală cu viteza luminii.

Undele gravitaţionale sunt unde energetice, adică unde care transportă energie. Prin

analogie cu radiaţia electromagnetică, undele gravitaţionale ar trebui să fie formate din

particule - cuante gravitaţionale numite gravitoni. Cunoaşterea caracteristicilor specifice, a

energiei şi vitezei de propagare a gravitonilor, ar ajuta înţelegerea existenţei curburii spaţiu-

timp. Undele gravitaţionale rezultă şi din modelul de univers, bazat pe o structură având ca

element principal stringul cosmic.

Stringul cosmic, introdus de fizicianul A. Vilenkin este definit prin teoria spaţiilor

fibrate ca o entitate exotică, sub forma de fire sau suprafeţe rămase din ţesătura universului

apărut în urma big-bang-ului. Stringurile sunt presupuse foarte dense cu energii mari, se

deplasează cu viteza lumini şi produc o curbură a spaţiului din jurul lor.

Cercetările efectuate de M. Nieto, în anul 1987, a pus în evidenţă trei tipuri de forţe

gravitaţionale:

forţa gravitaţională newtoniană cu rază de acţiune nelimitată şi cuantificată de

particula numită graviton;

forţa gravitaţională de respingere cu o rază de acţiune foarte mică faţă de scara

macroscopică, cuantificată de particula numită gravifoton;

forţă gravitaţională atractivă suplimentară cu o rază mică de acţiune, cuantificată de

particula numită graviscalar.

Forţa electromagnetică a fost sesizată încă de Thales din Milet. Sunt cunoscute forţele

electrice de atracţie sau de respingere.

Legătura dintre fenomenele electrice şi cele magnetice a fost făcută de Faraday care

demonstrează că un flux magnetic variabil produce o tensiune electromotoare şi un curent

electric. Maxwell, în 1865, unifică cele două tipuri de fenomene în cadrul teoriei

electromagnetismului. Aceasta reprezintă prima teorie de unificare a forţelor naturii, iar în

1967 a avut loc un nou proces de unificare a forţelor.

Forţa gravitaţională are ca zonă de acţiune spaţiul infinit; forţa electromagnetică se

referă la fenomene până la nivelul atomului. În cadrul nucleului atomic se manifestă alte

tipuri de forţe.

Forţa slabă are o rază foarte mică de acţiune, aproape punctiformă, 10 18− m, deci

cuprinde zone şi particule nucleare. După mărime, forţa slabă se plasează între forţa

gravitaţională şi forţa electromagnetică.

Page 24: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

30

Forţa tare acţionează doar între nucleoni precum protoni şi neutroni, nefiind sesizată de

către electroni, neutrini şi fotoni, adică de particule foarte uşoare. Este o forţă atractivă dar

care permite dezintegrarea unor nuclee instabile; este responsabilă de eliberarea unei cantităţi

mari de energie în urma dezintegrării nucleului.

3.2.2 Forţe speciale

Forţele impulsive apar în procesul de ciocnire dintre două corpuri macroscopice într-un

timp relativ mic de10 104 18− −− s şi sunt mult mai mari decât forţele exterioare. Se întâlnesc

două tipuri de forţe impulsive: de comprimare şi destindere. Aceste forţe nu modifică

impulsul total al sistemului, care se conservă.

Forţele reactive apar într-un sistem fizic cu masă variabilă prin creşterea sau scăderea

masei corpului.

Forţa magnus apare atunci când un corp de revoluţie se deplasează şi se roteşte printr-

un fluid, producerea acestei forţe este justificată de legea lui Bernoulli.

Forţele relativiste apar în mişcarea relativistă la viteze comparabile cu viteza luminii.

Funcţie de natura lor, întâlnim:

- Forţe active - reprezintă acţiunea mediului exterior exercitat asupra unui corp sau

sistem mecanic;

- Forţe pasive - apar în legăturile dintre corpuri care interacţionează între ele, adică la

interfaţa dintre contactul a două corpuri, sunt cunoscute şi sub denumirea de forţe de

legătură.

- Forţe interioare - apar ca urmare a acţiunii forţelor exterioare în urma deformării

corpului; sunt forţe de interacţie, specifice mecanicii corpului deformabil (rezistenţa

materialelor) şi sunt menţionate în literatura de specialitate sub denumirea de eforturi

secţionale.

După modul de aplicare, întâlnim:

Forţe concentrate care se consideră că acţionează şi se aplică într-un singur punct al

unui solid, Figura 2. Ele pot fi fixe sau mobile.

F

Figura 2. Forţă concentrată

Page 25: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

31

Forţe distribuite sau repartizate, care se consideră că se aplică şi acţionează pe o

anumită lungime, suprafaţă, funcţie de modelul mecanic utilizat. Repartizarea poate fi

uniformă, liniară, curbilinie, parabolică, sinusoidală, oarecare etc., Figura 3.

q 2q

a - sarcini uniforme b – sarcini cu variaţie liniară

q=q(x)

x

c – sarcini distribuite după o lege oarecare

Figura 3. Tipuri de forţe distribuite

Foarte frecvent în mecanică forţele distribuite sunt denumite sarcini. După caracterul

lor, sarcinile care acţionează asupra unui sistem mecanic se pot clasifica astfel:

permanente;propriu zise utile;

accesorii.Dupã caracterul sarcinilor accidentale

seismice;extraordinare

inundaţii.

⎧ ⎧⎪⎪ − ⎨⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪

⎨⎪ ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩⎪⎪⎩

Sarcini propriu-zise sunt acele sarcini care trebuie luate în considerare în calculele de

rezistenţă, deoarece ele nu pot lipsi niciodată.

Sarcini permanente sunt acele sarcini care acţionează asupra oricărui sistem mecanic,

atât timp cât acesta funcţionează. Din această categorie se poate menţiona greutatea proprie a

sistemului mecanic.

Sarcini utile sunt acelea pentru care este destinat sistemul mecanic.

Page 26: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

32

Sarcini accesorii sunt acele sarcini care apar în condiţii speciale de exploatare a

sistemului mecanic. Din această categorie fac parte forţele inerţiale şi forţele care provin din

frânarea bruscă ş.a.

Sarcini accidentale sunt acele sarcini care nu sunt utile pentru un sistem mecanic, dar

ele acţionează şi au un caracter intermitent. Din această categorie fac parte sarcinile datorate

mişcărilor seismice, cele provenite din inundaţii, incendii ş.a.

Forţe volumice sunt repartizate în tot volumul corpului, precum greutatea acestora.

Aceste forţe pot fi întâlnite în aplicaţii precum calculul barajelor şi construcţiilor hidrotehnice.

După modul de producere, deosebim:

Forţe reale, sunt acele forţe care apar prin interacţie conform principiului 3 al

dinamicii, în sensul că apar perechi acţionând fiecare asupra altui corp.

Forţe fictive aparente sau pseudoforţe, sunt forţe introduse de sistemul de referinţă

neinerţial (accelerat) pentru a asigura valabilitatea principiului fundamental în aceste sisteme.

Aceste forţe nu sunt produse prin interacţie şi acţionează asupra corpului considerat tot ca o

forţă reală. Ele se mai numesc şi forţe complementare, putând fi complementare de translaţie

sau complementare de rotaţie (forţa complementară axipetă, forţa complementară Coriolis,

forţa complementară relativă).

Funcţie de lucrul mecanic pe care-l pot efectua, întâlnim:

- Forţe conservative al căror lucru mecanic nu depinde de drum (traiectorie) şi derivă

dint-o funcţie de forţă, (energie potenţială), precum forţele gravitaţionale, elastice, electrice.

Forţele conservative conservă energia mecanică (cinetică + potenţială), deoarece lucrul

mecanic se transformă reversibil în energie,

dW dUcons = − dar − =dU dE c sau d U E c( )+ = 0 sau cU E cons tan t+ = . (5)

În acest caz forţa poate fi definită prin relaţia:

U U UF gradU i j kx y z

∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂.

(6)

În Tabelul 1 sunt prezentate câteva exemple de astfel de forţe:

Page 27: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

33

Tabelul 1. Exemple de forţe conservative

Denumirea forţei conservative Funcţia de forţă din care derivă Greutatea proprie U mgz= − Forţa elastică 2 2 2 21 1U kr k(x y z )

2 2= − = − + + ,

k - constantă elastică Forţa atracţiei universale

2 2 2

mM mMU f fr x y z

= =+ +

f - constanta atracţiei universale

- Forţe neconservative al căror lucru mecanic depinde de traiectorie, iar pe un drum

închis nu este zero. Aceste forţe nu conservă energia mecanică iar dacă un corp se află

simultan sub acţiunea unei forţe conservative şi a unei forţe neconservative, atunci energia sa

mecanică scade.

dW dW dEcons nec+ = , ⇒ − + =dU dW dEnec , ⇒ dW d E U dEnec c= + =( ) . (7)

Dar dWnec < 0 , deoarece Fnec acţionează în sens contrar deplasării, deci energia totală

mecanică scade. Un exemplu de forţe neconservative este cel al forţelor de frecare între

corpuri solide sau între solide şi fluide.

După variaţia în timp deosebim:

- Forţe constante în timp, sunt cunoscute şi sub denumirea de forţe statice, Figura 4a.

Ele devin constante după stabilizarea încărcării;

- Forţe oscilante cu variaţie periodică a intensităţii între două valori pozitive, una

maximă şi una minimă, Figura 4b;

- Forţe pulsante care au variaţie periodică între o valoare maximă şi zero, Figura 4c;

- Forţe alternante cu variaţie periodică între o valoare negativă şi una pozitivă,

[ ]F F, F∈ − , Figura 4d.

Funcţie de viteza de aplicare, se întâlnesc:

- Forţe statice, se aplică în mod lent şi îşi păstrează intensitatea constantă în timp sau au

o variaţie lentă de la zero la o valoare finală. Din punct de vedere fizic forţa de inerţie este

neglijabilă.

- Forţe dinamice, sunt caracterizate de variaţia bruscă a intensităţii. Astfel de forţe sunt

frecvent întâlnite la ciocnirea dintre două corpuri.

Page 28: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

34

Figura 4. Evidenţierea forţelor funcţie de variaţia în timp a intensităţii

3.3 CARACTERUL DE VECTOR ALUNECĂTOR AL FORŢEI

Dacă în punctele A şi B care aparţin unui corp rigid se aplică două forţe F şi respectiv

F− , egale în modul, F F F= − = şi de sens contrar, având ca suport dreapta AB, Figura 5,

atunci sistemul de forţe aplicat nu va avea nici un efect asupra solidului. Fizic, dacă corpul se

află în repaus el va continua să rămână în repaus, iar dacă era în mişcare va continua să se

mişte ca şi când nu ar fi intervenit nici o acţiune asupra sa.

Se consideră că asupra unui solid rigid acţionează numai forţa F , aplicată în punctul A,

Figura 6a. Fie un punct oarecare B, plasat pe suportul acestei forţe în care aplicam două forţe

egale în modul, cu cea din punctul A şi opuse ca sens, F F F= − = , având ca suport dreapta

AB, Figura 6b. Evident forţa F din A şi forţa F− din B pot fi suprimate, conform

observaţiilor anterioare, ele neavând nici un efect asupra corpului. În final, rămâne o singură

forţă aplicată în punctul B, Figura 6c. Situaţia din Figura 6c este echivalentă cu situaţia din

Figura 6a.

F

F

t

F

t

F

t

F

t

a - forţă constantă b - forţă cu variaţie periodică

d-forţă cu variaţie alternantă simetrică

-F

+F

minF

maxF

maxF

c-forţă pulsantă

Page 29: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

35

B

AA

BF−

F

F−

Figura 5. Sistem de forţe egale în modul, care acţionează asupra unui solid

A A

BB

A

a b c

Figura 6. Evidenţierea forţei ca vector alunecător

Ca urmare, se poate afirma că efectul unei forţe aplicate unui solid considerat rigid nu

se schimbă dacă punctul ei de aplicaţie se deplasează pe suportul forţei.

Concluzie: Forţele care acţionează asupra unui corp rigid pot fi considerate vectori

alunecători.

3.3.1 Caracterizarea forţei

Se cunoaşte că un vector liber poate fi caracterizat cu ajutorul a trei mărimi scalare

precum proiecţiile pe axele unui sistem cartezian, iar un vector aplicat este caracterizat prin

şase mărimi scalare - proiecţiile pe axele sistemului cartezian şi coordonatele punctului său de

aplicaţie, Anexa 1.

Page 30: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

36

Forţă poate fi caracterizată dacă se cunosc proiecţiile pe axe ale vectorului

x y zF F i F j F k= + + şi dreapta suport, ∆ pe care alunecă acesta, Figura 7. Această dreaptă

poate fi definită faţă de un sistem de referinţă normat prin parametrii directori:

yx zFF Fcos , cos , cos

F F Fα = β = γ = .

(8)

O

z

x

y

1y

F

2y

1x

2z

1z

2x

Figura 7. Caracterizarea forţei

3.4 MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORT CU UN PUNCT

Se consideră o forţă F , de modul şi direcţie cunoscute, caracterizată prin vectorul de

poziţie r , faţă de un sistem de referinţă Oxyz, Figura 8.

Momentul forţei F, în raport cu punctul (polul) O este prin definiţie egal cu produsul

vectorial dintre vectorul de poziţie şi forţă.

Matematic se poate scrie următoarea relaţie vectorială:

( ) ( ) ( )0 z y x z y x

x y z

i j kM r F x y z yF zF i zF xF j xF yF k

F F F

⎡ ⎤⎢ ⎥

= × = = − + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(9)

Page 31: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

37

F

A(x,y,z)

y

x B

O d

α

M

r

z

Figura 8. Momentul unei forţe faţă de un punct, O.

Evident momentul forţei este un vector, având direcţia perpendiculară pe planul

determinat de suportul forţei şi vectorul de poziţie, Figura 7.

Modulul acestui vector, rezultă prin aplicarea normei ecuaţiei 9,

0M r F sin= α , (10)

sau

0M Fd= , (11)

unde segmentul OB b= , reprezintă perpendiculara dusă din punctul O pe suportul forţei şi se

numeşte braţul forţei.

Momentul unei forţe poate fi egal cu zero când:

F 0= , cazul banal al neexistenţei forţei;

r 0= , cazul în care punctul 0 coincide cu A;

r || F , când punctul O se găseşte pe suportul lui F.

Momentul unei forţe nu se schimbă când punctul de aplicaţie al forţei alunecă pe

suportul său din punctul A în punctul B, Figura 9. Afirmaţia poate fi demonstrată scriind

expresia analitică a momentului unei forţe F faţă de punctul B:

( )1 0M r F r AB F r F AB F M= × = + × = × + × = . (12)

Page 32: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

38

A

B

F

1r Fr

M

Figura 9. Momentul unei forţe când forţa F alunecă pe suportul său.

Momentul oM este un vector alunecător caracterizat prin 5 mărimi scalare independente.

Rezultă că între cele 6 mărimi scalare existente, Tx y z[F] F , F , F⎡ ⎤= ⎣ ⎦ şi

TTx y z[M] M , M , M⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ,

există o relaţie scalară identic satisfăcută. Ea exprimă perpendicularitatea celor doi vectori F

şi M , care se poate scrie:

x x y y z zF M F M F M F M 0⋅ = + + = . (13)

Această relaţie se poate verifica uşor dacă se ţine seama de componentele scalare ale

momentului, date de ecuaţiile:

[ ]z yx

y x z

y xz

yF zFMM M zF xF

xF yFM

−⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

(14)

care introduse în relaţia 9, exprimată sub formă matricială, rezultă:

( ) ( ) ( )z y

x z x y z x z y y x z z y x

y x

yF zF

zF xF F F F F yF zF F zF xF F xF yF 0xF zF

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − + − + − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

(15)

Page 33: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

39

3.5 MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORT CU O AXĂ

Momentul unei forţe F , în raport cu o axă ∆, este o mărime scalară definită ca fiind

proiecţia pe această axă a momentului forţei calculat faţă de un punct oarecare O al axei.

Se consideră forţa F şi o axă ∆ de versor u , Figura 10. Exprimarea analitică a

proiecţiei momentului pe axa ∆, poate fi scrisă astfel:

( ) ( ) ( )0 0M M F cos M F u r F u r,F,u∆ ⎡ ⎤= α = ⋅ = × ⋅ = ⎣ ⎦ .

(16)

0M

0M

M∆

u

M∆

F

r

1r

1O

O

Figura 10. Momentul unei forţe în raport cu o axă, ∆

Momentul unei forţe în raport cu o axă este produsul mixt dintre vectorii r , F şi

versorul u al axei ∆,

Momentul unei forţe faţă de o axă are următoarele proprietăţii:

- Este nul dacă forţa şi axa sunt coplanare, adică atunci când suportul forţei este

paralel cu axa, întâlneşte axa sau coincide cu axa;

- Nu depinde de punctul O ales pe axă;

- Este egal cu scalarul momentului proiecţiei forţei F pe un plan normal pe axă, în

raport cu punctul în care axa intersectează planul, Figura 11.

Page 34: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

40

A

P

0

M

r

1r

1F2F

1F

Fu

B

Figura 11. Momentul unei forţe F în raport cu axa ∆

3.6 OPERAŢII ELEMENTARE DE ECHIVALENŢĂ

Într-un sistem de forţe se pot face unele operaţii simple astfel încât sistemul rezultat, să

fie echivalent cu sistemul iniţial.

Din punct de vedere matematic, un sistem de forţe poate fi transformat în altul

echivalent prin utilizarea operaţiilor de echivalenţă.

Două sisteme de forţe i iF , P , i n= 1, sunt echivalente, dacă aplicate pe rând asupra

aceluiaşi corp, ele se pot transforma din unul în celălalt prin aplicarea următoarelor operaţii de

echivalenţă:

- alunecarea unor forţe pe suporturile lor;

- înlocuirea unor forţe concurente aparţinând sistemului dat cu alte forţe concurente

aplicate în acelaşi punct şi având aceeaşi rezultantă;

- adăugarea sau suprimarea unui sistem echilibrat de forţe.

Prin sistem echilibrat de forţe se înţelege un sistem echivalent cu zero. Dacă un sistem

de forţe este echivalent cu o singură forţă atunci această forţă se numeşte rezultanta

sistemului.

Page 35: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

41

3.7 FORŢA REZULTANTĂ ŞI MOMENTUL REZULTANT AL UNUI

SISTEM DE FORŢE

Prin sisteme de forţe se înţelege un ansamblu de forţe, iF , i 1,n= , care acţionează

asupra unui corp sau sistem de corpuri.

Mărimile denumite forţă rezultantă şi moment rezultant caracterizează orice sistem

de forţe şi poartă numele de torsorul forţelor. Ele se pot obţine prin generalizarea

rezultatelor obţinute în cazul unei singure forţe prin următoarele expresii matematice:

1 2 n iR F F ... F F= + + + = ∑ ,

0 1 1 2 2 n n i iM r F r F ... r F r F= × + × + + × = ×∑ .

(17)

Torsorul unui sistem de forţe se poate scrie astfel:

x y zF

0 0x 0y 0z

R R i R j R kT

M M i M j M k

⎧ ⎫= + +⎪ ⎪= ⎨ ⎬= + +⎪ ⎪⎩ ⎭

.

(18)

Evident forţa rezultantă R a sistemului de forţe iF este un invariant în raport cu

operaţiile elementare de echivalenţă. Dacă o forţă oarecare iF , alunecă pe suportul său,

poligonul forţelor rămâne, evident neschimbat.

Vectorul moment rezultant al sistemului 0M este de asemenea un invariant în raport cu

operaţiile elementare de echivalenţă. Operaţia de echivalenţă, alunecarea unui vector oarecare

iF pe suportul său nu schimbă vectorul moment rezultant.

Ca urmare, vectorii 0R, M sunt invarianţi în raport cu operaţiile elementare de

echivalenţă.

Prin operaţiile propuse se poate reduce sistemul de forţe, în punctul O, la o forţă

rezultantă şi la un moment rezultant. Această metodă este cunoscută în literatura de

specialitate ca metoda lui Poinsot.

Page 36: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

42

3.8 VARIAŢIA MOMENTULUI REZULTANT CÂND SE SCHIMBĂ POLUL

Fie o forţă oarecare iF , care aparţine sistemului de forţe, caracterizată faţă de un sistem

de referinţă Oxyz prin vectorul de poziţie ir . Se consideră un punct P ca un al doilea pol,

Figura 12.

O

z

x

y

P

*ir

1F

2F

nF

iF

ir

Figura 12. Variaţia momentului rezultant la schimbarea polului

Momentul rezultant al sistemului de forţe, va avea faţă de cei doi poli expresiile:

O i iM r F= ×∑ , (19)

şi

P i iM r F∗= ×∑ . (20)

Evident se poate scrie expresia vectorială:

*

i ir r OP= − . (21)

Prin înlocuirea relaţiei 21 în relaţia 20, rezultă:

Page 37: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

43

( )P i i i i i iM r F r OP F r F OP F∗= × = − × = × − ×∑ ∑ ∑ ∑ . (22)

Ţinând seama de relaţia 19 şi relaţiile 17, expresia 22 devine:

p oM M OP R= − × . (23)

Analizând relaţia 23, rezultă o serie de proprietăţi:

1. Dacă oM 0= şi R 0= , atunci pM 0= oricare ar fi polul P; altfel spus, dacă într-

un punct O cei doi invarianţi R şi oM sunt nuli, ei sunt nuli în orice punct P;

2. Dacă R 0= , rezultă p oM M= . Dacă un sistem de forţe are rezultanta nulă, atunci

momentul rezultant al sistemului este acelaşi în orice punct din spaţiu. Momentul

rezultant este în acest caz un vector liber;

3. Dacă OP||R , rezultă p oM M= . Pe drepte paralele cu vectorul R , momentul

rezultant al sistemului este acelaşi;

4. Produsul scalar p 0R M R M acelaşi⋅ = ⋅ = , oricare ar fi polul P. Demonstraţia

matematică este evidentă dacă se ţine seama de relaţia 23, adică

o 0 x ox y oy z ozR (M OP R) R M R M R M R M⋅ − × = ⋅ = + + . Această expresie este

denumită şi trinom invariant;

5. Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei este aceiaşi în orice punct

din spaţiu, Figura 13,

0 0R M R M cos⋅ = ⋅ α ; p pR M R M cos⋅ = ⋅ β .

(24)

Figura 13. Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei R .

pM cosβ

0M

β

RR

pM

α

Page 38: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

44

În baza proprietăţii 4, rezultă: 0 pR M cos R M cos⋅ α = ⋅ β . Dacă R 0≠ atunci

0 pM cos M cosα = β , ceea ce confirmă teorema enunţată mai sus. Dacă se notează cu RM

valoarea comună a celor două proiecţii, atunci se poate scrie:

0 x ox y oy z oz0R 0 2 2 2

x y z

R M cos R M R M R MR MM M cosR R R R R

⋅ α + +⋅= α = = =

+ +.

(25)

3.9 AXA CENTRALĂ A UNUI SISTEM DE FORŢE

Momentul rezultant variază la schimbarea polului; se pune problema, de a determina

valoarea minimă a modulului acestui vector. În acest scop, se consideră cunoscute proiecţiile

forţei rezultante şi ale momentului rezultant definite de relaţiile 26 şi coordonatele (x,y,z) ale

punctului P, în care modulul momentului rezultant este nul.

ox

0 oy

0z

MM M

M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, x

y

z

RR R

R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(26)

Expresia momentului pM este dată de relaţia:

p o 0x 0y 0z

x y z

i j kM M OP R M i M j M k x y z

R R R

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − × = + + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(27)

După dezvoltarea determinantului se poate calcula modulul vectorului pM , care este

funcţie de variabilele x,y,z.

( ) ( ) ( )2 2 22

p 0x z y 0y x z 0z y zM M yR zR M zR xR M xR yR f (x, y,z)= − + + − + + − + = .

(28)

Pentru a calcula minimul funcţie f(x,y,z) se impun condiţiile:

f f f0, 0, 0x y z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂.

(29)

Page 39: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

45

După efectuarea derivatelor parţiale rezultă:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0y x z z 0z y z y

0z y x x 0x z x z

0x x y x 0y x z x

2 M zR xR R 2 M xR yR R 0

2 M xR yR R 2 M yR zR R 0

2 M yR zR R 2 M zR xR R 0

⎧ − + − − + =⎪⎪ − + − − + =⎨⎪

− + − − + =⎪⎩

.

(30)

Ecuaţiile 30 nu sunt independente, lucru uşor de verificat. Dacă se multiplică prima cu

xR , a doua cu yR , a treia cu zR şi se adună, se obţine 0 0≡ . Ca urmare, numai două dintre

aceste ecuaţii sunt independente. Prin împărţirea cu y zR R a primei ecuaţiei, cu z xR R a celei

de-a doua ecuaţie şi cu x yR R a celei de-a treia ecuaţie, sistemul poate fi pus sub forma a trei

rapoarte egale:

0x z y 0y x z 0z y x

x y z

M yR zR M zR xR M xR yRR R R

− + − + − += = .

(31)

Aceste ecuaţii reprezintă o dreaptă plasată în spaţiu, denumită axa centrală a unui

sistem de forţe. Această axă este paralelă cu suportul forţei rezultante. Pe această axă forţa

rezultantă R şi momentul rezultant pM au aceeaşi direcţie, direcţia axei centrale.

Deducerea acestei ecuaţii se poate face şi pe altă cale ţinând seama că vectorul

momentul rezultant este coliniar cu forţa rezultantă. Ca urmare proiecţiile vectorilor 0R, M ,

în sistemul de referinţă ales sunt proporţionale.

3.10 ECHIVALENŢA A DOUA SISTEME DE FORŢE. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE

Două sisteme de forţe sunt echivalente dacă au acelaşi torsor faţă de un punct, fie acesta

O, ales convenabil. În baza teoremei de echivalenţă, reducerea unui sistem de forţe reprezintă

înlocuirea acelui sistem cu cel mai simplu sistem care are acelaşi torsor. Ca urmare, studiul

sistemelor de forţe poate fi redus la studiul elementelor torsorului:

F0

RT

M

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

.

(32)

Page 40: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

46

În aplicaţii practice se pot întâlni patru cazuri, prezentate în Tabelul 2.

Tabelul 2. Cazuri particulare de reducere

Cazul de reducere

Elementele torsorului

Specificaţie Observaţii

Cazul 1 F

0

R 0T 0

M 0

⎧ ⎫=⎪ ⎪= =⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭

Sistem echilibrat de forţe Acesta este un caz de

mare importanţă, el exprimă situaţia când sistemul este egal cu zero, adică se află în echilibru static.

Cazul 2 F

0

R 0T

M 0

⎧ ⎫=⎪ ⎪= ⎨ ⎬≠⎪ ⎪⎩ ⎭

Sistem echivalent cu un cuplu

Cazul 3 F

0

R 0T

M 0

⎧ ⎫≠⎪ ⎪= ⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭

Sistem echivalent cu o forţă care trece prin originea sistemului.

Cazul 4. a F

0

R 0T

M 0

⎧ ⎫≠⎪ ⎪= ⎨ ⎬≠⎪ ⎪⎩ ⎭

MR0MR ⊥⇒=⋅

Sistem echivalent cu o forţă ce nu trece prin originea sistemului.

Forţa este situată pe axa

centrală.

Cazul 4. b F

0

R 0T

M 0

⎧ ⎫≠⎪ ⎪= ⎨ ⎬≠⎪ ⎪⎩ ⎭

R M 0 R M⋅ ≠ ⇒ ≠⊥

Sistem echivalent cu o forţă plasată pe axa centrală şi un cuplu situat într-un plan perpendicular pe această axă.

Aplicaţie. Se consideră sistemul de forţe care acţionează asupra modelului mecanic din

Figura 14. Se cere:

1. Să se reducă sistemul în punctul O;

2. Să se precizeze cazul de reducere;

3. Momentul minim;

4. Ecuaţiile axei centrale.

Soluţie

1. Evident asupra modelului acţionează forţe concentrate şi distribuite, deci trebuie

făcută echivalenţa din punct de vedere static a forţelor distribuite.

Sarcina distribuită uniform de intensitate q este echivalenta cu forţă concentrată 1F qa= ,

iar cea distribuită liniar pe lungimea ramurii 2a este echivalentă cu forţă concentrată

2F 2qa 2 qa= = . Ca urmare, modelul din Figura 14a este echivalent cu cel reprezentat în

Figura 14b.

Page 41: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

47

2a

a

a

1F 3qa=

a 2a

2F 2qa=

qq

2a

a

1F 3qa=

a

2F 2qa=

3F qa=

a 2

4a 3

4F qa=

O O

x

y

z

a b

Figura 13. Modelul simplu al unui arbore

Expresiile vectoriale ale forţelor concentrate care acţionează asupra modelului sunt:

1F 3qak= − , 2F 2qaj= , 3F qak= − ; 4F qak= − .

Momentele acestor forţe calculate faţă de originea sistemului Oxyz sunt:

1 1 1M r F 0= × = , deoarece suportul forţei 1F trece prin originea sistemului;

22 2 2

i j kM r F 0 0 4a 8qa i

0 2qa 0= × = = − ;

23 3 3

i j k1 1M r F 0 a 3a qa i2 2

0 0 qa

= × = − =

;

Page 42: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Sisteme de forţe

48

24 4 4

i j k4 4M r F a 0 2a qa j3 30 0 qa

= × = − = −

.

Vectorii, forţa rezultantă şi momentul rezultant se pot calcula cu relaţiile:

1 2 3 4R F F F F 2qaj 5qak= + + + = − ;

2 20 1 2 3 4

15 4M M M M M qa i qa j2 3

= + + + = − − .

2. Produsul scalar 0R M⋅ considerat ca un invariant, are expresia:

2 2 2 30

15 4 8R M 0 ( qa ) (2qa) ( qa ) ( 5qa) 0 q a2 3 3

⋅ = ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ = − .

Evident sistemul de forţe aplicat modelului din Figura 13 este de forma,

F0

R 0T

M 0

⎧ ⎫≠⎪ ⎪= ⎨ ⎬≠⎪ ⎪⎩ ⎭

, adică este echivalent cu o forţă rezultantă situată pe axa centrală şi cu un

moment minim, situat într-un plan normal la axa centrală.

3. Momentul minim are expresia:

20min

M R 8M qa3 29R

⋅= = − .

4. Ecuaţiile axei centrale calculate cu relaţia 31, devin:

22 415 qa 5qaxqa 5qay 2qaz 2qax320 2qa 5qa

− −− + + −= =

−.

Page 43: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 4

ECHILIBRUL SISTEMELOR MECANICE - STATICĂ

4.1 INTRODUCERE

În capitolul 3 s-a arătat că atunci când forţele care acţionează asupra unui corp se reduc

la un torsor cu elemente nule, sistemul de forţe aplicat este în echilibru iar corpul rămâne în

repaus. Importanţa unui astfel de studiu este capitală pentru ingineri, deoarece fără o

cunoaştere temeinică a condiţiilor de echilibru nu este posibilă proiectarea nici unui element

mecanic sau de construcţie.

Rezolvarea problemelor de mecanica solidului presupune cunoaşterea condiţiilor de

echilibru în regim static şi/sau dinamic. În studiul echilibrului pot fi întâlnite două situaţii

posibile:

- Solid liber - atunci când poziţia în spaţiu a unui corp este determinată numai de

forţele ce acţionează asupra sa;

- Solid supus la legături sau solid legat – atunci când poziţia sa este determinată atât

de forţele ce îi sunt aplicate, dar şi de alte constrângeri de natură geometrică sau

cinematică.

Majoritatea corpurilor întâlnite în aplicaţii practice sunt solide legate care îndeplinesc

un anumit rol funcţional.

4.2 SOLIDUL LIBER

Dacă asupra unui corp liber, aflat în repaus, acţionează un sistem de forţe, condiţia

necesară şi suficientă pentru ca solidul să continue să rămână în repaus este ca torsorul

forţelor să fie nul,

Page 44: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

50

F0

R 0T 0

M 0

= = = =

r

r .

(1)

Dacă se ţine seama de expresiile componentelor torsorului,

i 0 i iR F , M r F= = ×∑ ∑r r r rr , (2)

condiţiile 1 se pot scrie analitic astfel:

x

y

z

R 0R 0 R 0

R 0

= = ⇒ = =

r,

ox

0 oy

0z

M 0M 0 M 0

M 0

= = ⇒ = =

r.

(3)

Pentru poziţionarea unui corp în spaţiu este necesară cunoaşterea a şase parametri

scalari. Se spune că un solid liber are şase grade de libertate, trei de translaţii după axele Ox,

Oy, Oz şi trei de rotaţii după aceleaşi axe. În aplicaţii practice se pot întâlni următoarele

cazuri particulare:

1. Dacă forţele care acţionează asupra solidului sunt coplanare, adică se găsesc în

acelaşi plan, fie acesta Oxy, relaţiile 3 se reduc la forma,

x

y

R 0R 0

= =

şi 0zM 0= .

(4)

2. Dacă forţele care acţionează asupra solidului sunt paralele; presupunem că

suporturile lor sunt paralele cu axa Oz, atunci condiţiile de echilibru sunt:

zR 0= şi x

y

M 0M 0

= =

.

(5)

3. Dacă forţele care acţionează asupra solidului sunt concurente, şi considerăm

sistemul de referinţă plasat în punctul de concurenţă al suporturilor forţelor,

rezultă condiţiile de echilibru:

x

y

z

R 0R 0R 0

= = =

.

(6)

Page 45: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

51

4. Dacă asupra solidului acţionează numai cupluri, ecuaţiile de echilibru sunt de

forma:

ox

oy

0z

M 0M 0M 0

= = =

.

(7)

4.3 LEGĂTURI MECANICE

In aplicaţii practice corpurile nu sunt libere, ele se află în contact cu alte corpuri prin

diferite legături mecanice. Orice mişcare a unui corp poate fi considerată compusă dintr-o

mişcare de translaţie pe o direcţie oarecare şi o mişcare de rotaţie în jurul unei axe oarecare.

Ca urmare, legătura mecanică împiedică efectuarea unei mişcări.

Legătura mecanică este forma de interacţiune care impune anumite restricţii

parametrilor de poziţie ai unui solid, uneori şi derivatelor în raport cu timpul ale acestor

parametri. Restricţiile introduse de legăturile mecanice se numesc condiţii de legătură.

Din punct de vedere al comportării cinetice legăturile mecanice se pot clasifica în:

- Legături geometrice, care introduc restricţii numai pentru parametrii de poziţie,

ecuaţiile de legătură având forma generală:

j i if (x , , t) 0, i 1,3, j 1, nω ≥ = = , (8)

unde i ix , ω reprezintă translaţii respectiv viteze de rotaţii după axele de coordonate ale

unui sistem de referinţă Oxyz.

- Legături cinematice, care introduc restricţii atât pentru parametrii de poziţie cât şi

pentru derivatelor lor în raport cu timpul, ecuaţiile de legătură având forma generală dată de

ecuaţia:

j i i i if (x , , x , , t) 0, i 1,3, j 1, nω ω ≥ = =&& , (9)

unde i ix , ω&& reprezintă derivatele în raport cu timpul t.

Dacă ecuaţiile de legătură sunt integrabile, legăturile corespunzătoare se numesc

olonome, iar dacă ecuaţiile sunt neintegrabile legăturile se numesc neolonome.

Page 46: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

52

Dacă ecuaţiile de legătură nu conţin în mode explicit, timpul t, legăturile se numesc

staţionare sau scleronome, iar dacă conţin în mod explicit timpul t, se numesc nestaţionare

sau reonome.

Absenţa timpului din ecuaţiile de legătură indică menţinerea fără modificări în timp a

legăturii mecanice. Prezenţa timpului indică o modificare, determinată în timp, a legăturii

mecanice respective.

Din punct de vedere al modului de realizare, în practica inginerească legăturile

mecanice se grupează în două categorii:

- legături pasive, realizate cu elemente rigide precum reazemul simplu, articulaţia,

legătura prin fir sau bară rigidă, încastrarea;

- legături active, realizate cu elemente elastice.

Din punct de vedre al forţelor de frecare de la interfaţă, legăturile mecanice se clasifică

în:

- legături ideae, în care nu apar forţe de frecare la interefaţă, la deplasare sau la

tendinţa de deplasare a corpurilor componente;

- legături reale, în care apar forţe de frecare la interfaţă, la deplasarea sau la tendinţa

de deplasare a unui corp în raport cu altul din componenţa legăturii.

Forţa sau sistemul de forţe cu care legătura acţionează asupra corpului material,

împiedicând anumite mişcări ale acestuia se numeşte forţă de legătură sau reacţiune.

Dacă legătura la care este supus corpul împiedică mişcarea unuia din punctele corpului

într-o anumită direcţie, atunci reacţiunea legăturii va fi o forţă aplicată în acest punct, pe

direcţia mişcării împiedicate a se efectua şi în sens opus. Ca efect, translaţia corpului în

direcţia respectivă este imposibilă.

Dacă legătura la care este supus corpul împiedică rotaţia lui în jurul unei axe, atunci

reacţiunea legăturii va fi un moment situat într-un plan perpendicular pe axa respectivă, în

sens contrar cu sensul mişcării de rotaţie împiedicate a se efectua. Momentul este un vector

situat pe direcţia axei de rotaţie.

Ca urmare, reacţiunea unei legături la care este supus un solid poate fi o forţă, un

moment sau un torsor compus dintr-o forţă şi un moment.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele de legătură sunt de sens contrar faţă

de elementele torsorului forţelor active calculate în acelaşi punct. Reacţiunea depinde de felul

legăturii mecanice şi de sistemul de forţe care acţionează asupra solidului considerat rigid.

Cele mai uzuale legături mecanice fără frecare sunt: reazemul simplu, articulaţia şi

încastrarea.

Page 47: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

53

Reazemul simplu este legătura ce obligă solidul să rămână cu un punct al său pe

suprafaţa altui corp, Figura 1. Acest tip de legătură împiedică bilateral deplasarea după

normala nr la suprafaţa de rezemare, introduce o singură forţă de legătură denumită reacţiune,

dirijată după această normală, cu punctul de aplicaţie în punctul de contact dintre cele două

corpuri şi de mărime necunoscută. Simbolic, acest reazem se reprezintă prin modul indicat în

Figura 2c.

Figura 1. Model de reazem simplu.

a b c

Figura 2. Reprezentarea simbolică a reazemului simplu

Un corp care se sprijină pe un reazem simplu are cinci grade de libertate. Din punct de

vedere fizic un reazem simplu poate fi înlocuit cu o forţă normală N, la suprafaţa de sprijin S,

neglijând efectul frecării la interfaţă. Sunt cazuri în care suprafaţa are în A un punct singular,

N

R

1Fr

2Fr

3Fr

nFr

n 1F −

r

nr

S A

punct teoretic de contact

Page 48: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

54

adică un punct în care normala la suprafaţă nu este definită; atunci suportul reacţiunii este

determinat de normala la suprafaţa corpului pe care se sprijină, Figura 3. Tot în categoria

reazemului simplu intră legăturile cu fire sau bare rigide.

bRr

aRr

A

B

aNr

aNr

Gr

A

B

Figura 3. Exemple de reazeme simple

Articulaţia împiedică deplasarea relativă a celor două corpuri după orice direcţie,

permiţând numai rotirea în jurul punctului de reazem, Figura 4a. O astfel de legătură

introduce o singură reacţiune aplicată în punctul de reazem, de direcţie şi mărime

necunoscută.

a b

z

x

y

2Fr1F

r

3Fr

Rr

Mr

Fr

zR

xRyR

Figura 4. Articulaţie

În aplicaţii practice se întâlnesc două tipuri de articulaţii: sferice şi cilindrice.

Page 49: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

55

Legătura care constrânge ca un solid să rămână în contact permanent cu un punct fix din

spaţiu se numeşte articulaţie sferică, iar legătura care restricţionează ca un solid să rămână

contact permanent cu o axă fixă din spaţiu se numeşte articulaţie cilindrică.

Când se aplică sisteme spaţiale de forţe, unde intervine articulaţia sferică, reacţiunea Rr

,

se poate înlocui prin trei componente de mărimi necunoscute, dirijate după direcţii

convenabile alese, Figura 4b. Din punct de vedere geometric articulaţia sferică privează

solidul de trei grade de libertate, iar din punct de vedere mecanic este echivalentă cu trei

reazeme simple.

Exemple de articulaţii sferice: suportul pentru stilou, articulaţia de la schimbătorul de

viteze de la un autovehicul, articulaţia de la antena de radio ş.a.

Când forţele exterioare se găsesc în acelaşi plan, se utilizează articulaţii cilindrice a

căror reacţiune necunoscută se poate descompune după două direcţii oarecare, alese uzual ca

în Figura 5. Din punct de vedere geometric articulaţia cilindrică privează solidul de cinci

grade de libertate. Solidul are în acest caz o axă fixă care trece prin articulaţie. Simbolizarea

articulaţiei cilindrice se face prin modelul indicat în Figura 5b.

Exemple de articulaţii cilindrice: Balamalele de la uşă, balamalele de la capotă şi

portbagajul unui automobil.

x

y

z

yR

xR

a b

Figura 5. Articulaţie cilindrică

Încastrarea este legătura care constrânge solidul să rămână cu o extremitate a sa fixată

într-un alt corp rigid, Figura 6. Din punct de vedere geometric, încastrarea împiedică atât

deplasările cât şi rotirile relative între cele două corpuri aflate în contact şi ca urmare

introduce şase necunoscute scalare: trei forţe R R Rx y z, , şi trei momente M M Mx y z, , ,

dirijate după axele unu sistem de referinţă ortogonal, Figura 6.

Page 50: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

56

Figura 6. Încastrare solicitată spaţial

Dacă forţele exterioare se găsesc în acelaşi plan, încastrarea conţine numai trei

necunoscute scalare două forţe şi un moment dirijate după axele unui sistem de referinţă, fie

aceste forţe R Rx y, şi momentul M, perpendicular pe planul forţelor, Figura 7.

Din punct de vedere geometric, încastrarea privează solidul de toate gradele sale de

libertate.

Figura 7. Încastrare solicitată cu forţe plasate în acelaşi plan

4.4 AXIOMELE STATICII

A1. Pentru ca un corp să se afle în echilibru static sub acţiunea a două forţe este necesar şi

suficient ca aceste forţe să fie egale în modul, să aibă aceeaşi direcţie şi sensuri contrare.

q

F

q

F

Rx

Ry

M

z

y

x

Rr

Mr

1Fr

2Fr

4Fr

1Fr

2Fr

4Fr

3Fr

yR

zR

xR

yM

zMxM

Page 51: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

57

A2. Fiind dat un sistem de forţe care acţionează asupra unui solid rigid, adăugarea sau

suprimarea unui sistem echilibrat de forţe la sistemul iniţial nu modifică starea mecanică a

corpului. Prin stare mecanică se înţelege starea de echilibru sau de mişcare în care se află un

corp sub acţiunea unui sistem de forţe.

A3. Forţele care apar ca urmare a acţiuni unui corp asupra altui corp sunt întotdeauna egale

în modul şi de sensuri contrare. Această axiomă reprezintă principiul al treilea al mecanicii

formulat de Newton şi este cunoscut de principiul acţiuni şi reacţiunii.

A4 Dacă un sistem dat de forţe este în echilibru atunci când acţionează asupra unui corp, el

este echilibru şi atunci când acţionează asupra oricărui corp.

A5. Dacă un corp deformabil sau un sistem mecanic este în echilibru sub acţiunea unui

sistem de forţe, el rămâne în echilibru şi când se solidifică.

A6. Legătura este aşadar restricţia geometrică ce se opune poziţiei corpului la un moment

dat, cunoscută şi sub denumirea de axioma legăturilor. Orice legătură a unui corp poarte fi

înlocuită printr-o forţă de legătură numită reacţiune.

4.5 TORSORUL SARCINILOR DISTRIBUITE

Torsorul forţelor distribuite se poate calcula numai dacă sarcinile sunt echivalate din

punct de vedere static cu forţe concentrate, aplicate virtual în centrul de greutate al

configuraţiei geometrice pe care acestea se distribuie.

În Tabelul 1 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru forţe distribuite frecvent întâlnite

în unele aplicaţii inginereşti.

În aplicaţii tehnice întâlnite la baraje sau construcţii hidrotehnice se pune problema să se

determine forţa de presiune care acţionează asupra unei feţe laterale şi punctul de localizare a

acesteia.

Ca aplicaţie se consideră un element de volum cubic, de latura l , în care se află un

lichid de densitate ρ , Figura 8. Se pune problema să se determine forţa de presiune care

acţionează asupra unei feţe laterale şi punctul ei de localizare.

Pentru un element de suprafaţă dS dh= l , situat la adâncimea h, forţa elementară dF şi

momentul elementar dM, se pot calcula cu relaţiile:

dF p(h)dS gh dh= = ρ l ;

( ) ( )dM h dF h gh dh= − = − ρl l l ,

(10)

Page 52: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

58

unde p(h) h gh= γ = ρ , reprezintă presiunea coloanei de lichid asupra suprafeţei dS.

Prin integrare relaţiilor 10, se obţine:

3

0

1 GF g hdh g2 2

= ρ = ρ =∫l

l l ;

2 2 4

0 0

1M g hdh g h dh g6

= ρ −ρ = ρ∫ ∫l l

l l l .

(11)

Figura 8. Modelul de calcul

Momentul forţei F poate fi calculat cu relaţia:

03

0 hg21FhM lρ== , unde

3h 0

l= .

(12)

În cazul când sarcinile distribuite acţionează pe o anumită lungime şi în acelaşi plan,

precum cele evidenţiate în modelele din Tabelul 1, rezultanta F a sarcinilor elementare q,

poate fi caracterizată prin:

- sens – care este dat de sensul sarcinilor elementare q;

- modul - calculat ca fiind aria suprafeţei pe care se distribuie sarcina elementară q;

- punct de aplicaţie - se consideră plasat în centrul de greutate al suprafeţei pe care se

distribuie sarcina elementară q.

Page 53: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Echilibrul sistemelor mecanice - statică

59

Tabelul 1. Echivalenţa sarcinilor distribuite cu forţe concentrate

Denumirea Modelul real Modelul echivalent Relaţii de calcul 0 1 2 3

Sarcină distribuită după o lege oarecare

0

F q(x)dx= ∫l

0g

0

xq(x)dxx

q(x)dx=∫

l

l

Sarcină distribuită uniform, de intensitate q

q(x) q=

F q= l

gx2

=l

Sarcină distribuită liniar, q(x) ax b= + , a, b sunt constante

qq(x) x=l

qF2

=l , g

2x3

= l

Sarcină distribuită parabolic,

2q(x) ax bx c= + + , a ,b, c - constante

22

q qq(x) x 2 x= − +l l

2F q3

= l , g5x8

= l

Sarcină distribuită parabolic,

2q(x) ax bx c= + + ,

a ,b, c - constante

22

qq(x) x=l

1F q3

= l , g3x4

= l

Sarcina distribuită sinusoidal, q(x) A sin(Bx )= +ϕ

q(x) qsin x2π =

l

F q2π

= l , g2x =πl

Sarcina distribuită cosinusoidal, q(x) A cos(Bx )= +ϕ

q(x) q cos x2π =

l

F q2π

= l

g2x (1 )= −πl

Page 54: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 5

ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR

5.1 MOMENTE STATICE. CENTRE DE GREUTATE

Momentele statice sunt mărimi care definesc modul de distribuţie a masei unui corp sau

sisteme de corpuri materiale şi sunt calculate faţă de un reper de referinţă dat.

Fie un corp de masă m, modelat printr-un punct material, caracterizat prin vectorul de

poziţie, rr r r

r x i zj zk= + + , faţă de un sistem de referinţă ortogonal cartezian Oxyz, Figura 1.

Faţă de acest sistem de referinţă momentul static rSo reprezintă mărimea vectorială egală cu

produsul dintre masa corpului şi vectorul de poziţie rr :

r rS mro = . (1)

Figura 1. Punct material caracterizat prin vectorul de poziţie, rr .

m

x

y

z

O

(x,y,z)

rr

Page 55: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

61

Dacă se proiectează relaţia vectorială 1 pe axele sistemului de coordonate Oxzy, se

obţin momentele statice faţă de planele de coordonate:

SSS

mxmymz

y z

z x

x y

0

0

0

=

.

(2)

Momentul static al unui sistem de particule materiale de mase m i ni , ,= 1 , plasate

discret şi caracterizate faţă de sistemul de referinţă Oxzy prin vectori de poziţie rr i ni , ,= 1 ,

reprezintă suma algebrică a momentelor statice parţiale,

r rS m ro i ii

n

==∑

1.

(3)

Faţă de planele de coordonate momentele statice se obţin prin proiectarea relaţiei 3 pe

axele sistemului de referinţă Oxyz,

SSS

m xm ym z

y z

z x

x y

i i

i i

i ii

n0

0

01

=

=

∑ .

(4)

Momentul static al unui corp solid omogen de masă M, raportat la sistemul de referinţă

Oxyz, Figura 2, se defineşte matematic prin relaţia vectorială,

r rS rdmoM

= ∫ . (5)

x

y

z

O

dm

M

(x,y,z)

rr

Figura 2. Model de corp solid - pentru definirea momentului static.

Page 56: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

62

Dacă se proiectează relaţia 5 pe axele sistemului de referinţă se obţin momentele statice

planare:

SSS

xdmydmzdm

y z

z x

x yM

0

0

0

=

∫ .

(6)

Momentele statice ale unor corpuri modelate prin linie materială sau suprafaţă materială

sunt utilizate în rezistenţa materialelor la studiul unor solicitări simple sau complexe, dar sunt

folosite şi în mecanica teoretică pentru calculul poziţiei centrului de masă sau a centrului de

greutate precum şi în dinamică.

Centrul de masă sau centrul de greutate al unui sistem mecanic sau corp solid se

defineşte ca fiind punctul în raport cu care momentul static este nul.

Pentru a determina poziţia centrului de masă C, se consideră un sistem de particule

materiale, reprezentate prin punctele A i , raportat la un sistem de referinţă Oxyz, ales arbitrar.

În punctul C se consideră un alt sistem de referinţă Cx y zo o o , Figura 3. Între vectorii de

poziţie ce caracterizează punctele A i şi C faţă de reperele menţionate, există următoarea

relaţie evidentă:

r r rr r ri c= +0 . (7)

Figura 3. Model pentru determinarea poziţiei centrului de masă

C

x

y

z

O

crr

0rr

irr

iA

0x

0z

0y

Page 57: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

63

Prin multiplicarea relaţiei 7 cu masa mi şi însumând pentru toate punctele sistemului se

obţine:

m r m r m ri ii

n

i ci

n

ii

nr r r

= = =∑ ∑ ∑= +

1 10

1.

(8)

Termenul m rii

n r0

1=∑ reprezintă momentul static faţă de centrul de masă, care conform

definiţiei este nul. Ca urmare relaţia 8 devine:

m r m r r m r Mi ii

n

i ci

n

c ii

n

cr r r r

= = =∑ ∑ ∑= = =

1 1 1,

(9)

unde M reprezintă masa întregului sistem.

Expresia matematică dată de relaţia 9 este cunoscută în literatura de specialitate sub

denumirea de teorema momentelor statice, care poate fi interpretată astfel:

Momentul static al unui sistem de puncte materiale este egal cu momentul static al

centrului de masă, considerat ca un punct în care s-a concentrat întreaga masă a

sistemului.

Poziţia centrului de masă, rezultă din relaţia 9:

=

== n

1ii

n

1iii

c

m

rmr

r

r .

(10)

Coordonatele centrului de masă pot fi obţinute prin proiectarea relaţiei 10 pe axele

sistemului de referinţă ales:

=

∑∑∑

∑ii

ii

ii

ic

c

c

zm

ym

xm

m1

zyx

.

(11)

Pentru corpuri solide de masă M, ecuaţiile 10 şi 11 devin:

Page 58: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

64

r

r

rrdm

dmc

M

M

=∫

∫, ⇒

=

M

M

M

Mc

c

c

zdm

ydm

xdm

dm1

zyx

.

(12)

Relaţiile 12 capătă forme particulare funcţie de modelul utilizat prin înlocuirea

elementului de masă dm funcţie de densitate ρ , astfel:

- Pentru corpuri modelate prin linii materiale omogene se defineşte densitatea liniară

ρl = dm ds. Relaţiile 12 capătă forma:

r

r

rrds

dsc

L

L

=∫

∫, ⇒

=

L

L

L

Lc

c

c

zds

yds

xds

ds1

zyx

,

(13)

în care ds reprezintă elementul liniei materiale, iar L lungimea acesteia.

- Pentru corpuri modelate prin suprafeţe materiale omogene se defineşte o densitate

superficială ρs dm dA= . În acest caz relaţiile 12 devin:

r

r

rrdA

dAc

A

A

=∫

∫, ⇒

xyz dA

xdA

ydA

zdA

c

c

c A

A

A

A

=

1,

(14)

unde dA reprezintă elementul de arie, iar A domeniul suprafeţei materiale.

- Pentru corpuri spaţiale omogene se defineşte o densitate de volum ρv dm dV= ,

relaţiile 12 devin:

Page 59: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

65

r

r

rrdV

dVc

V

V

=∫

∫, ⇒

xyz dV

xdV

ydV

zdV

c

c

c V

A

A

A

=

1,

(15)

unde dV este elementul de volum, iar V domeniul volumului corpului.

Pentru corpurile neomogene se pot utiliza aceleaşi modele, dar densitatea nu se mai

consideră constantă, ca urmare (x, y, z)ρ = ρ . Astfel de cazuri se pot întâlni la materiale

compozite precum lemnul care este un compozit natural, la materiale stratificate pe bază de

lemn, la îmbinarea unor materiale oţel-lemn, beton-oţel ş.a. În aceste cazuri vectorul de

poziţie al centrului de masă se poate calcula cu relaţia:

(V)c

(V)

r (x, y, z)dVr

(x, y, z)dV

ρ

r

r .

(16)

Determinarea poziţiei centrului de masă poate fi mult simplificată prin alegerea

convenabilă a sistemului de referinţă.

5.1.1 Particularităţile centrelor de masă

1. Dacă un corp sau un sistem mecanic are un plan, o axă sau un centru de simetrie, atunci

centrul de masă se va afla în acel plan, pe acea axă sau în acel centru.

2. Dacă un corp sau un sistem mecanic se compune dintr-un număr de corpuri simple ale

căror centre de masă sunt cunoscute, centrul de masă al sistemului se obţine considerând

că masele individuale s-ar concentra în centrele de masă ale corpurilor simple,

r

r

rm r

mc

i cii

n

ii

n= =

=

∑1

1

sau r

r

rr dm

dmc

ciM

M

=∫

∫.

(17)

3. Dacă la un corp sau sistem mecanic, format din n elemente de mase im ale căror centre

de masă sunt caracterizate prin vectorii de poziţie irr , s-a eliminat una sau mai multe

Page 60: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

66

porţiuni la care se cunoaşte poziţia centrului de masă, jrr , atunci centrul de masă al

sistemului poate fi calculat cu relaţia:

pn

i i j ji 1 j 1

c pn

i ji 1 j 1

m r m rr

m m

= =

= =

−=

∑ ∑

∑ ∑

r r

r .

(18)

Pentru secţiuni plane relaţia 18 poate fi exprimată funcţie de configuraţia geometrică a

fiecărui element din sistem, astfel:

pn

i i j ji 1 j 1

c pn

i ji 1 j 1

A x A xx

A A

= =

= =

−=

∑ ∑

∑ ∑ ,

pn

i i j ji 1 j 1

c pn

i ji 1 j 1

A y A yy

A A

= =

= =

−=

∑ ∑

∑ ∑ ,

(19)

unde:

i jA , A - Aria suprafeţelor geometrice ale elementelor componente;

i ix , y - coordonatele centrelor de masă ale elementelor geometrice faţă de sistemul de

referinţă ales.

5.1.2 Teoremele lui Guldin-Pappus

Aceste teoreme permit calculul rapid al centrului de masă atunci când se cunoaşte

suprafaţa laterală, respectiv volumul corpului de revoluţie. Ele sunt atribuite lui Pappus din

Alexandria, care a trăit în secolul al treilea după Hristos, dar sunt revendicate şi de Paul

Guldin (1577-1643).

Teorema I. Aria suprafeţei generate de o curbă plană care se roteşte în jurul unei axe

din planul său pe care nu o intersectează este egală cu produsul dintre lungimea arcului de

curbă L şi lungimea cercului descris de centrul de masă al ei, Figura 4.

A ydsL

= ∫2π . (20)

Dacă se ţine seama de relaţiile 13, se obţine:

Page 61: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

67

A y Lc= 2π . (21)

y

ds

A B

x

y

0

Figura 4. Modelul de calcul

Teorema II. Volumul generat de o suprafaţă care se roteşte în jurul unei axe din planul

său pe care nu o intersectează este egal cu produsul dintre aria suprafeţei şi lungimea cercului

descris de centrul de masă al acesteia, Figura 5,

V ydAA

= ∫2π . (22)

Ţinând seama de relaţiile 14, rezultă:

V y Ac= 2π . (23)

dA

x

y

0dx

dy

Figura 5. Modelul de calcul

Page 62: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

68

Centre de greutate ale unor corpuri uzuale, frecvent întâlnite în mecanica solidului sunt

prezentate în Tabelul 1.

Tabelul 1. Centre de greutate pentru unele corpuri simple.

Specificaţie Reprezentare grafică Relaţii de calcul Rezultat Bară omogenă de grosime constantă, de forma unui arc de cerc

α α

dϕds

ϕ

x

y

yc

CR

y

Sc

S

ydSy

dS=∫

dS Rdy R cos

= ϕ= ϕ

cx 0=

cR siny α

Placă omogenă de forma unui sector circular

Ac

A

ydAy

dA=∫

21dA R d2

2y R cos3

= ϕ

= ϕ

cx 0=

c2R siny

Corp spaţial sub forma unui con circular drept

yx

z

zdz

hdV

R

r

2dV r dz= π

Rr zh

=

22

2

RdV z dzh

= π

cx 0=

cy 0=

c3hz4

=

Corp spaţial sub forma unei semisfere omogene de rază R z

dz

R

z

y

x

r

2dV r dz= π

2 2 2r R z= −

22

2

RdV z dzh

= π

cx 0=

cy 0=

c3Rz8

=

x

y

yc

dϕϕ

ds

α α

CR

dA

y

Page 63: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

69

5.2 MOMENTE DE INERŢIE

In aplicaţii practice se întâlnesc două tipuri de momente de inerţie: masice notate cu J şi

geometrice notate I. Acestea nu sunt independente, între ele există o relaţie de legătură.

5.2.1 Momente de inerţie masice

Sunt mărimi care caracterizează distribuţia masei unui sistem mecanic şi pot fi folosite

în studiul dinamicii precum şi în rezistenţa materialelor.

Definiţie. În general vom denumi moment de inerţie al unui sistem de particule

materiale în raport cu un plan, cu o axă sau cu un punct suma produselor dintre masele

particulelor materiale ale sistemului şi pătratele distanţelor de la aceste puncte respectiv la

acel plan, la acea axă sau la acel punct.

Se consideră un sistem de particule materiale, reprezentat prin punctul iA , i 1,n= , cu

masa mi , caracterizat faţă de sistemul de referinţă Oxyz, prin vectorul de poziţie rri , Figura 6.

x

y

z

O

irr

im

i i i iA (x , y , z )

Figura 6. Model pentru definirea momentului de inerţie

Faţă de un sistem de referinţă convenabil ales, se pot defini momentele de inerţie masice

prezentate în Tabelul 2. În cazul unui corp solid de masă M, relaţiile 25-28 din Tabelul 2 pot

fi transformate în integrale, după cum se evidenţiază în Tabelul 3.

Între mărimile prezentate în Tabelele 2 şi 3 există relaţii de legătură, adică ele nu sunt

independente, de forma:

Page 64: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

70

( )J J J Jx y z0

12

= + + ,

−+

−+

−+

=

yxz

xzy

zyx

z0y

x0z

y0x

JJJJJJ

JJJ

21

JJ

J

.

(24)

Tabelul 2. Momente de inerţie masice pentru un sistem de puncte materiale.

Specificaţie Relaţia de calcul Nr. relaţieMoment de inerţie polar, calculat faţă de originea sistemului de referinţă, O

( )J m r m x y zi i i i i i02 2 2 2= = + +∑ ∑

(25)

Momente de inerţie axiale, calculate faţă de axele de coordonate

+

+

+

=

)yx(m)xz(m

)zy(m

JJJ

2i

2ii

2i

2ii

2i

2ii

z

y

x

(26)

Momente de inerţie planare, calculate faţă de planele de coordonate

JJJ

m zm xm y

x y

y z

z x

i i

i i

i i

0

0

0

2

2

2

=

(27)

Momente de inerţie centrifugale sau produse de inerţie

JJJ

m x ym y zm z x

xy

yz

zx

i i i

i i i

i i i

=

(28)

Tabelul 3. Momente de inerţie masice pentru corpri solide.

Specificaţie Relaţia de calcul Nr. relaţieMoment de inerţie polar, calculat faţă de originea sistemului de referinţă, O

( )2 2 2 20

M M

J r dm x y z dm= = + +∫ ∫

(29)

Momente de inerţie axiale, calculate faţă de axele de coordonate

JJJ

y z dmz x dmx y dm

x

y

zM

=

+

+

+

∫( )( )( )

2 2

2 2

2 2

(30)

Momente de inerţie planare, calculate faţă de planele de coordonate

JJJ

z dmx dmy dm

x y

y z

z xM

0

0

0

2

2

2

=

(31)

Momente de inerţie centrifugale sau produse de inerţie

JJJ

xydmyzdmzxdm

xy

yz

zxM

=

(32)

După modul cum au fost definite, rezultă că momentele de inerţie planare, axiale şi

polare, sunt mărimi întotdeauna pozitive, ele putând fi nule numai când punctele sistemului

Page 65: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

71

sau corpului sunt conţinute în planul, pe axa sau sunt concentrate în punctul în raport cu care

se calculează momentul de inerţie. În schimb, momentele de inerţie centrifugale sau

produsele de inerţie pot fi pozitive, negative sau nule.

Raze de inerţie

Momentele de inerţie mecanice mai pot fi exprimate şi prin relaţii de forma:

J i M= 2 , (33)

unde M este masa întregului corp, i raza de inerţie sau raza de giraţie, reprezentând distanţa de

la particula materială în care ar trebui să fie concentrată întreaga masă a corpului, la un plan, o

axă sau un punct.

Din relaţia 33 rezultă:

iJM

= , respectiv: iJM0

0= .

(34)

Ca urmare, se pot calcula raze de inerţie faţă de axele sistemului de coordonate, fie

acesta Oxyz,

xx

yy

zz

JiMJJi i

M MJiM

=

= ⇒ =

=

.

(35)

În cele mai multe probleme de rezistenţa materialelor, nu intervin momentele de inerţie

mecanice, ci momentele de inerţie geometrice, calculate funcţie de configuraţia geometrică a

solidului.

Variaţia momentelor de inerţie Se presupune cunoscut momentul de inerţie J∆ în raport cu axa ∆. Se cere să se

calculeze momentul de inerţie în raport cu axa ∆1 . Sunt posibile următoarele cazuri:

Page 66: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

72

axele ∆ şi ∆1 sunt coplanare - în acest caz pot fi paralele sau concurente;

axele ∆ şi ∆1 nu sunt coplanare - în acest caz se calculează momentul de inerţie în raport

cu o axă ∆ 2 paralelă cu ∆1 , dar concurentă cu ∆. Apoi se calculează momentul în raport

cu axa ∆.

Stabilind formulele pentru variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele şi

concurente se pot scrie momentele de inerţie pentru orice caz.

Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor

Se presupun cunoscute momentele de inerţie masice ale corpului de masă M, în raport

cu axa ∆ ce trece prin centrul de masă al solidului considerat. Se cere să se determine

momentele de inerţie în raport cu axa 1∆ , plasată la distanţa d, Figura 7.

C

d

∆1

Μ

dm

y

Figura 7. Model de calcul al momentelor de inerţie masice, la translaţia axelor

Se consideră un element de masă dm, plasat la distanţa y, faţă de axa ∆ . Conform

definiţiei momentului de inerţie masic se poate scrie:

2 2 2 2

1M M M M

I (d y) dm y dm d dm d ydm I d M∆ ∆= + = + + = +∫ ∫ ∫ ∫ .

(36)

Momentul static faţă de axa ∆ este nul, A

ydm 0=∫ , deoarece s-a considerat că această

axă trece prin centru de greutate al corpului.

Dacă axele ∆ şi 1∆ reprezintă pe rând axele uni sistem de referinţă Oyz, plasat în centru

de greutate al unui corp, respectiv Oy z1 1 un reper oarecare translat faţă de primul cu vectorul

c c cr y j z k= +r rr , prin analogie cu relaţia 30, se pot scrie următoarele expresii matematice:

Page 67: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

73

2

y1 y cJ J y M= + ;

2z1 z cJ J z M= + .

(37)

Momentul de inerţie polar are expresia:

( )2 2 201 y1 z1 y z c c 0 cJ J J J J y z M J r M= + = + + + = + . (38)

O relaţie asemănătoare se poate scrie şi pentru momentul centrifugal:

y1z1 yz c cJ J y z M= + . (39)

În cazul cel mai general pentru un corp 3D momentele de inerţie la translaţia axelor se

pot calcula în mod similar. Relaţiile 36-39 sunt cunoscute în literatura de specialitate sub

denumirea de formulele lui Steiner.

Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor.

Se consideră un corp 3D raportat la un sistem de referinţă Oxyz, Figura 8, se cere să se

calculeze momentul de inerţie faţă de dreapta D care trece prin originea sistemului.

D

rd

ψ

y

z

x

O

Figura 8. Model de calcul la rotaţia axelor

Page 68: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

74

Se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale şi centrifugale faţă de axele de

coordonate. Momentul de inerţie faţă de această dreaptă, se poate calcula, conform definiţiei

cu relaţia:

J d dmM

= ∫ 2 .

(40)

Distanţa d se poate fi obţinută geometric astfel:

d r sin r 1 sin r u sin r u= ψ = ⋅ ⋅ ψ = ⋅ ψ = ×r r . (41)

Prin dezvoltarea produsului vectorial,

i j kr u x y z

cos cos cos

× = α β β

r r ,

(42)

se poate calcula pătratul distanţei d,:

( ) ( ) ( )d y z z x x y2 2 2 2= − + − + −cos cos cos cos cos cosγ β α γ β α . (43)

Introducând această valoare în relaţia de definiţie 40, se obţine:

J J J J J J JD x y z xy yz zx= + + − − −cos cos cos cos cos cos cos cos cos2 2 2 2 2 2α β γ α β β γ γ α . (44)

Relaţia 44 are o forma mai simplă pentru un corp bidimensional pentru care se presupun

cunoscute dimensiunile sale geometrice:

J J J JD x y xy= + −cos cos cos cos2 2 2α β α β . (45)

Dacă se ţine seama că β = α , rezultă:

α−α+α=αα−α+α= 2sinJsinJcosJsincosJ2sinJcosJJ xy2

y2

xxy2

y2

xD . (46)

Page 69: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

75

Dacă axa D devine axa 1Ox respectiv 1Oy şi după unele transformări elementare în

funcţie de pătratele funcţiilor trigonometrice, relaţia 46 capătă forma:

x y x yx1 xy

J J J JJ cos 2 J sin 2

2 2+ −

= + α − α ;

x y x y

y1 xy

J J J JJ cos 2 J sin 2

2 2+ −

= − α + α .

(47)

Procedând similar se poate obţine şi momentul centrifugal faţă de noile axe:

x yx1y1 xy

J JJ sin 2 J sin 2

2−

= α + α .

(48)

Pentru a afla valorile unghiului α pentru care momentele de inerţie au valori maxime,

se impune condiţia:

x1J 0∂=

∂α ⇒ , ( )x y xyJ J sin 2 2J cos 2 0− α − α = , ⇒ xy

y x

2Jtg2

J Jα =

−.

(49)

Soluţiile date de relaţia 49 sunt unghiurile dintre vechile axe şi direcţiile principale de

inerţie.

Momente de inerţie principale

Indiferent de configuraţia unui corp se pune problema determinării direcţiei axei D

pentru care momentul de inerţie DJ are un extrem. Această problemă poate fi rezolvată

apelând la cunoştinţe de analiză matematică precum metoda multiplicatorilor Lagrange sau

prin utilizarea calculului valorilor proprii ale unui tensor de ordinul al doilea.

Necunoscutele în această problemă sunt parametrii directori ai direcţiei dreptei

considerate. Se cunoaşte că între parametrii directori ai unei drepte există o relaţie de legătură

de forma:

1coscoscos 222 =γ+β+α . (50)

Momentele de inerţie axiale şi cele centrifugale formează un tensor de ordinul doi,

exprimat matematic prin matricea:

Page 70: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

76

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

JJJJJJJJJ

J .

(51)

Valorile proprii ale acestui tensor se pot calcula similar cu valorile proprii ale unei

matrice de tipul 3 x 3, unde necunoscuta este λ .

0JJJ

JJJJJJ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=λ−

λ−λ−

.

(52)

Prin dezvoltarea acestui determinant se obţine o ecuaţie de gradul trei de forma:

3 2

1 2 3I I I 0λ − λ + λ − = , (53) unde 1 2 3I , I , I sunt invarianţii tensorului J, definit de relaţia 51.

Soluţiile reale ale ecuaţiei 53 reprezintă momentele de inerţie principale, 11 J=λ ,

,J 22 =λ 33 J=λ . În acest caz tensorul momentelor de inerţie principale are forma:

=

3

2

1

J000J000J

J .

(54)

Introducând pe rând aceste valori ale lui λ în sistemul de ecuaţii 55 şi rezolvând în

funcţie de parametrii directori, se obţin trei seturi de valori ale acestor necunoscute, care

definesc direcţiile principale de inerţie.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

J J J cosJ J J cos 0J J J cos

− λ α − λ β = − λ γ

.

(55)

Momentele centrifugale sunt nule faţă de direcţiile principale de inerţie, lucru ce se

poate uşor verifica.

Pentru un corp bidimensional, precum o placă, ecuaţia 52, devine:

Page 71: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

77

x xy

yx y

z

J J 0J J 0 00 0 J

−λ−λ =

−λ.

(56)

Prin dezvoltare se obţine o ecuaţie de forma:

2 2

z x y x y xy(J )[ (J J ) J J J ] 0−λ λ − + λ + − = . (57)

Rădăcinile acestei ecuaţii sunt:

( )2x y 21,2 x y xy

J J 1J J J 4J2 2+

= ± − + , 3 z x yJ J J J= = +

(58)

Ea poate fi obţinută şi pe altă cale, utilizând particularităţile tensorului de ordinul întâi şi

a ecuaţiei 53, aspecte care sunt prezentate în anexa 1.

Elipsoid de inerţie

Se consideră o dreaptă D care trece prin originea unui sistem de axe Oxyz, Figura 9. Pe

această dreaptă se află plasat un punct P(x, y, z) , astfel încât:

D

COPJ

= ,

(59)

unde C este o constantă arbitrară iar DJ este momentul de inerţie în raport cu axa D, dat de

ecuaţia 44.

x

y

z3

12

O

D

P(x,y,z)

Figura 9. Elipsoid de inerţie

Page 72: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

78

Parametrii directori pot fi exprimaţi ca funcţii de coordonatele punctului P,

D D Dx J y J z Jcos , cos , cos

C C Cα = β = γ = .

(60)

Locul geometric al punctului P, atunci când dreapta D se roteşte în jurul originii, este

suprafaţa unui elipsoid, care se poate obţine introducând cos , cos , cosα β γ din ecuaţiile 60

în relaţia 44. După efectuarea calculelor elementare rezultă:

2 2 2 2

x y z xy yz zxJ x J y J z 2J xy 2J yz 2J zx C+ + − − − = . (61)

Dacă axele sistemului de referinţă sunt axe principale de inerţie, ecuaţia elipsoidului de

inerţie se simplifică şi devine:

2 2 2 2

1 2 3J x J y J z C+ + = . (62)

Coeficienţii acestei ecuaţii reprezintă momentele de inerţie principale.

Pentru un corp bidimensional, cu axele de coordonate dirijate după direcţiile principale

de inerţie, elipsoidul degenerează într-o elipsă de inerţie, a cărei ecuaţie este:

2 2 21 2J x J y C+ = . (63)

Uzual, în plan se poate lua 2

1 2C J J M= , iar în acest caz ecuaţia elipsei de inerţie are

forma:

2 2

2 21 2

x y 1i i

+ = ,

(64)

în care 1 2i , i sunt razele de inerţie principale.

Momente de inerţie masice ale unor corpuri uzuale, frecvent întâlnite în mecanica

solidului sunt prezentate în Tabelul 4.

5.2.2 Momente de inerţie geometrice

Momentele inerţie geometrice se definesc funcţie de elementele geometrice ale

configuraţiei corpului. Dacă se cunosc momentele de inerţie masice se pot calcula uşor

momentele de inerţie geometrice şi invers.

Page 73: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

79

Tabelul 4. Calculul momentelor de inerţie masice pentru unele corpuri uzuale

Specificaţie Reprezentare grafică Relaţii de calcul Rezultat

x

z

y

2l 2l

2 2zJ (x y )dm= +∫

y 0Mdm dx

=

=l

2

zMJ12

=l

Bară omogenă de lungime l , masă M şi secţiune A

z

yx

y1

z12l 2l

2

z1 zJ J M2

= + l

2

z1MJ

3=

l

Sferă omogenă de rază R şi masă M

r

dr

Rx

y

z

20J r dm= ∫

Mdm dAV

=

sau

23

3Mdm r drR

=

20

3J MR5

=

x y zJ J J= =

x 02 2J J MR3 5

= =

Con omogen de masă M, raza bazei R şi înălţime h

dz

x

y

z

z

R

r

h

dV

0

20J r dm= ∫

Mdm dAV

=

sau

22

3Mdm r dzR h

=

2

03MRJ

5=

z 01J J2

=

sau

2z

3J MR10

=

Trecerea de la momentele de inerţie masice la cele geometrice Se consideră unui corp omogen plan, pentru care se cunosc momentele de inerţie

masice:

2

x2

yM

xy

y dmJJ x dm

xydmJ

=

∫ .

(65)

Pentru corpurile omogene de densitate ρ ,

Page 74: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

80

dm dA= ρ , (66)

iar relaţiile 65 devin:

22

Ax x2 2

y yM A

xy xy

A

y dAy dmJ I

J x dm x dA IxydmJ I

xydA

= = ρ = ρ

∫ ∫

.

(67)

Rezultă că între momentele de inerţie mecanice şi cele geometrice există relaţia de

legătură de forma:

J I= ρ . (68)

Această relaţie are caracter general, adică este valabilă şi pentru corpuri spaţiale,

bidimensionale şi unidimensionale. Ca urmare, atunci când se calculează momentul de inerţie

masic al unui corp sau sistem mecanic, se poate calcula iniţial momentul de inerţie geometric

şi apoi se multiplică cu densitatea acestuia. Momentele de inerţie geometrice pentru astfel de

corpuri pot fi scrise sub forma:

2

V

I r dV= ∫ , 2

A

I r dA= ∫ , 2

L

I r dL= ∫ . (69)

Ţinând seama de relaţiile 69, razele de giraţie funcţie de dimensiunile geometrice se pot

calcula cu formulele:

I I Ii , i , iV A L

= = = .

(70)

Pentru corpurile bidimensionale, razele de giraţie funcţie de dimensiunile geometrice au

expresia:

iIA

iIA

iIA

xx

yy

= →=

=

.

(71)

Page 75: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

81

Relaţiile lui Steiner 36-39 privind variaţia momentelor de inerţie masice la translaţia

axelor, capătă următoarea formă pentru momentele de inerţie geometrice, Figura 10.

2 2 2 2

1A A A A

I (d y) dA y dA d dA d ydA I d A∆ ∆= + = + + = +∫ ∫ ∫ ∫ . (72)

C

d

∆1

Α

dA

y

Figura 10. Model de calcul al momentelor de inerţie geometrice, la translaţia axelor

Momentul static faţă de axa ∆ este nul, yAA

=∫ 0 , deoarece s-a considerat că această

axă trece prin centru de greutate al corpului.

Dacă axele ∆ şi 1∆ reprezintă pe rând axele uni sistem de referinţă Oyz plasat în

centrul de greutate al unui corp, respectiv Oy z1 1 un reper oarecare, prin analogie cu relaţia 72,

se pot scrie următoarele relaţii:

I I y Ay y c12= + ;

I I z Az z c1

2= + .

(73)

Momentul de inerţie polar are expresia:

( )I I I I I y z A I r Ay z y y c c c01 1 12 2

02= + = + + + = + . (74)

O relaţie asemănătoare se poate scrie şi pentru momentul centrifugal:

I I y z Ay z1 yz c c1 = + , (75)

unde c cy , z reprezintă coordonatele centrului de greutate faţă de sistemul de referinţă ales.

Page 76: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

82

Relaţiile 44-47 privind variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor, rămân valabile şi

în acest caz, cu precizarea că J I→ , adică:

I I I ID x y xy== + −cos sin sin2 2 2α α α . (76)

Dacă axa D devine axa 1Ox respectiv 1Oy , Figura 11 şi după unele transformări

elementare în funcţie de pătratele funcţiilor trigonometrice, relaţia 76 capătă forma:

II I I I

Ixx y x y

xy1 2 22 2=

++

−−cos sinα α ;

II I I I

Iyx y x y

xy1 2 22 2=

+−

−+cos sinα α .

(77)

Figura 11. Model de calcul la rotaţia axelor cu unghiul α

Procedând similar se poate obţine şi momentul centrifugal faţă de noile axe:

II I

Ix1yx y

xy1 22 2=

−+sin sinα α .

(78)

Pentru a afla valorile unghiului α pentru care momentele de inerţie geometrice au

valori maxime, se impune condiţia:

tgI

I Ixy

y x2

2α =

−.

(79)

rx

y

dAα

α

1y1x

O

Page 77: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

83

Soluţiile date de relaţia 79 sunt unghiurile dintre vechile axe şi direcţiile principale de

inerţie. Cele două valori ale unghiului α diferă între ele cu 2π .

Momentele de inerţie geometrice principale pot fi calculate cu relaţia:

( )2x y 21,2 x y xy

I I 1I I I 4I2 2+

= ± − + , 3 z x yI I I I= = + .

(80)

În problemele curente, în special cele de rezistenţa materialelor, interesează momentele

de inerţie principale centrale – corespunzătoare axelor principale care trec prin centrul de

greutate al suprafeţei.

Momentele de inerţie ale unor suprafeţe simple, întâlnite frecvent in aplicaţiile

inginereşti, sunt evidenţiate în Tabelul 5.

5.3 MOMENTE DE INERŢIE ALE SUPRAFEŢELOR COMPUSE

Suprafeţele compuse întâlnite în aplicaţii practice sunt formate din configuraţii simple

de formă dreptunghiulară, pătrată, triunghiulară, circulară, inelară ş.a.

Momentul de inerţie al unei suprafeţe compuse în raport cu o axă este egal cu suma

momentelor de inerţie ale tuturor suprafeţelor simple care o compun în raport cu acea axă.

Pentru elucidare în continuare se prezintă două exemple, Figurile 12 şi 13.

Aplicaţii

Exemplu 1. Se consideră secţiunea din Figura 12. Se cere să se calculeze:

a. Centrul de greutate al secţiunii;

b. Momentele de inerţie geometrice centrale;

c. Tensorul moment de inerţie;

d. Momentele principale de inerţie;

e. Razele de giraţie.

Rezolvare

Se descompune suprafaţa considerată în două dreptunghiuri 1 şi 2, a căror centre de

greutate sunt cunoscute.

Se calculează poziţia centrului de greutate al secţiunii compuse în raport cu un sistem de

referinţă, convenabil ales, Oyz, cu ajutorul relaţiilor 81:

Page 78: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

84

Tabelul 5. Momentelor de inerţie geometrice centrale pentru unele suprafeţe uzuale

Specificaţie Reprezentare grafică Relaţii de calcul Rezultat Suprafaţă dreptunghiulară de lăţime b şi înălţime h.

2y

A

I z dA= ∫ ,

sau

h / 22

yh 2

I z bdz−

= ∫

3

ybhI12

=

prin analogie

3

zhbI12

= .

Suprafaţă pătrată cu latura a.

Sunt valabile relaţiile de la secţiunea dreptunghiulară, dar h b a= =

Pentru secţiune pătrată h b a= =

4

y zaI I12

= = .

Suprafaţă circulară de rază R sau cu diametrul d.

2p

A

I r dA= ∫ ,

unde dA 2 rdr= π dR2

=

p y zI I I= + , sau

p y zI 2I 2I= =

4 4

pR dI2 32

π π= =

4

py z

I dI I2 64

π= = =

Suprafaţă inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d

Se utilizează relaţiile de la suprafaţa circulară

p pe piI I I= −

4 4

pD dI32 32π π

= −

sau

( )4

4y z

DI I 164π

= = −α

unde dD

α =

Suprafaţă triunghiulară, obţinută prin tăierea dreptunghiului b x h pe o diagonală

3

y1bhI24

=

3

z1hbI24

=

Se utilizează relaţiile lui Steiner

23

ybh bh hI24 2 6

= −

sau 3

ybhI36

=

similar 3

zhbI36

=

a

a

z

y

h z

dz

y

z

C

b

h

b

yh/3C

b/3z1

y1

h/2

dr

r

R

y

z

0

r

R

y

z

0

Page 79: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

85

Figura 12. Suprafaţă compusă.

2 2

i i 1 1 2 2c 2 2

i 1 2

A y A y A y 10a 2,5a 6a 0,75ay 1,844aA A A 10a 6a

+ ⋅ + ⋅= = = =

+ +∑∑

;

2 2

i i 1 1 2 2c 2 2

i 1 2

A z A z A z 10a a 6a 4az 2,125aA A A 10a 6a

+ ⋅ + ⋅= = = =

+ +∑∑

.

(81)

Se calculează momentele de inerţie geometrice faţă de axele centrale ale suprafeţei

compuse, 1 1Cy z , considerând că este formată din două dreptunghiuri şi ţinând seama de

relaţiile lui Steiner,

( ) ( ) ( ) ( )3 3

2 22 2 4y1 c c

5a 2a 1,5a 4aI 10a z a 6a 4a z 45,083a

12 12= + − + + − = ;

( ) ( ) ( ) ( )

3 32 22 2 4

z1 c c

2a 5a 4a 1,5aI 10a 2,5a y 6a y 0,75a 33, 443a

12 12= + − + + − = .

(82)

Momentul de inerţie centrifugal în raport cu axele centrale se calculează cu relaţia 75,

ţinând seama că yzI 0= , în final rezultă:

z

y1

2

2a

1,5a

5a

6a

yc

zc

C

0

1y

1z

Page 80: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

86

2 2 4y1z1 c c c cI 10a (2,5a y )(z a) 6a (y 0,75a)(4a z ) 19,687a= − − + − − = . (83)

Tensorul moment de inerţie are forma:

4 4y1 y1z1

4 4z1y1 z1

I I 45,083a 19,687aI

I I 19,687a 33,443a

= =

.

(84)

Momentele de inerţie principale se pot calcula cu relaţia:

2 21,2 y1 z1 y1 z1 y1z1

1 1I (I I ) (I I ) 4I2 2

= + ± − + .

(85)

După efectuarea calculelor, rezultă:

4 41 2I 59,793a , I 18,733a= = . (86)

Se calculează direcţiile principale de inerţie cu relaţia:

y1z1

y1 z1

2Itg(2 ) 3.383

I Iα = =

−.

(87)

Implică:

0 01 236 8 , 126 8′ ′α = α = . (88)

Razele principale de inerţie au valorile:

1 21 2

I Ii 1,933a, i 1,082aA A

= = = = .

(89)

Exemplu 2. Să se determine momentele de inerţie axiale pentru secţiunea din Figura 13.

Rezolvare

Secţiunea este formată dintr-un dreptunghi care conţine un gol de formă circulară.

Etapele de calcul sunt similare cu cele prezentate la exemplul 1.

Page 81: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de geometria maselor

87

Figura 13. Secţiune care prezintă un gol de formă circulară

Coordonatele centrului de greutate se pot calcul cu relaţiile:

cy 0= , deoarece secţiunea este simetrică faţă de axa Oz,

2 21 1 2 2

c 2 21 2

A z A z 24a 3a a 4a 18z 4a 2,849aA A 24a a 24

− ⋅ − π ⋅ π−= = = =

− − π π−.

(90)

Momentele de inerţie axiale centrale pot fi calculate cu relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )23 4

22 2 4y1 c c

4a 6a 2aI 24a 3a z a 4a z 67,6a

12 64

π= + − − + π − =

;

( ) ( )3 44

z1

6a 4a 2aI 32,785a

12 64π

= − = .

(91)

Momentul de inerţie centrifugal este nul y1z1I 0= .

Tensorul moment de inerţie are forma:

4

y1 y1z14

z1y1 z1

I I 67,6a 0I

I I 0 32,785a

= =

.

(92)

Evident, în acest caz y1I şi z1I sunt momente de inerţie principale.

2aa

4a

6a

zcy

z

0

C 1y

1z

Page 82: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 6

FRECAREA

6.1 CONSIDERAŢII GENERALE

În orice situaţie, la interfaţa dintre două corpuri în contact apare fenomenul de frecare.

În funcţie de intensitatea acestui fenomen, existenţa frecărilor poate fi neglijată sau nu.

Efectul frecării constă într-o diminuare a mişcării relative dintre două corpuri în contact.

Frecarea este prezentă la interfaţa dintre:

- două corpuri solide;

- un corp solid şi unul fluid;

- două corpuri fluide.

Forţele de rezistenţă care se opun deplasării sau tendinţei de deplasare a unui corp în

raport cu altul din componenţa aceleiaşi legături mecanice sunt forţe de interacţiune a

suprafeţelor corpurilor numite forţe de frecare.

Pentru studiul acestor interacţiuni în ultimii ani s-a dezvoltat o nouă ştiinţă numită

tribologie (tribos-frecare), care studiază fenomenele de ferecare, uzare şi lubrificaţie.

6.2 SCURT ISTORIC

Primele studii în domeniul frecării au fost făcute de Leonardo da Vinci (1452-1519),

pictor, sculptor, arhitect şi om de ştiinţă italian, care are contribuţii în domeniul mecanic, în

optică şi cosmologie. În mecanică are studii asupra frecării, căderii corpurilor şi fluidelor. A

proiectat paraşuta, maşini de săpat, cuptoare pentru topirea metalelor ş.a.

Page 83: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

89

Experimental el a constatat că forţele de frecare manifestate la interfaţa dintre două

corpuri în regim static sau la viteze mici, sunt proporţionale cu greutăţile acestora, dar sunt

independente de suprafaţa geometrică de contact. De asemenea el remarcă micşorarea frecării

prin lustruirea suprafeţelor sau prin ungerea acestora cu diferiţi lubrifianţi.

Meritul lui Leonardo da Vinci este remarcabil dacă se are în vedere că descoperirile sale

au fost făcute cu aproape două secole înainte de elaborarea conceptului calitativ şi cantitativ

de forţă de către Newton în 1687.

În 1699 inginerul francez G. Amontons regăseşte printr-o serie de studii experimentale

(experienţe) legile frecării.

În 1734 fizicianul francez Dezaquillet consideră pentru prima dată că frecarea este o

consecinţă a existenţei forţelor de interacţie dintre moleculele celor două corpuri aflate în

contact.

Meritul principal în stabilirea legilor frecării îi revine savantului francez Charles A.

Coulomb (1737-1806), care a pus în evidenţă pentru prima dată deosebirea calitativă şi

cantitativă dintre frecarea statică şi cea cinetică. El a descoperit în 1785 legile electrostaticii,

a inventat balanţa de torsiune.

S-a ajuns la concluzia că forţa de frecare este efectul cumulării forţelor intremoleculare

de atracţie. Această ipoteză este preluată şi dezvoltată de fizicieni precum Ewing (1892),

Hardy (1919), Bowden şi Tabor (1938).

Studii în domeniul frecării dintre corpurile solide au mai fost efectuate de G.V.

Bartenov în special pentru polimeri, Ming Feng care în 1951 a dezvoltat un model în care

consideră că suprafeţele suferă deformaţii elastice şi plastice iar în timpul deplasării apar noi

tipuri de microdeformaţii.

Barwell şi Dokos formulează un mecanism prin care materialul supus frecării se

deformează şi se rupe în profunzime până la aproximativ 0,5 mm.

Caubet propune un model cuprinzând mai multe straturi, cu grade diferite de deformare,

situate în ordine de la suprafaţa corpului spre interior.

6.3 FORŢE DE FRECARE ÎNTRE CORPURI SOLIDE

Practic s-a evidenţiat că între două corpuri solide aflate în contact prin apăsare, care pot

fi în repaus sau mişcare relativă, apar forţe de frecare. Cauza principală a apariţiei forţelor

de frecare constă în existenţa pe suprafaţa celor două corpuri a unor microdenivelări denumite

Page 84: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

90

neregularităţi, asperităţi, rugozităţi, care pot fi de diferite forme precum sferice, cilindrice,

conice, oarecare.

Forţele de frecare depind de forţelor exterioare care acţionează asupra corpurilor solide

care pot avea o comportare elastică, plastică, vâscoelastică, vâscoplastică etc.

6.3.1 Legile frecării

Coulomb publică în anul 1821, la Paris, legile frecării, cunoscute în literatură şi sub

denumirea de legile lui Coulomb. Acestea sunt:

1. Forţa de frecare nu depinde de mărimea suprafeţei de contact;

2. Forţa de frecare este direct proporţională cu modulul reacţiunii normale N;

coeficientul de proporţionalitate µ se numeşte coeficient de frecare care, depinde de

natura corpurilor în contact şi de condiţiile de lucru, F Nf = µ ;

3. Pentru viteze mici de alunecare, forţa maximă de frecare este independentă de viteza

de alunecare.

Remarcă. Frecarea este un fenomen foarte complex, de natură mecano-energetico-

fizico-chimică, care se manifestă printr-o forţă ce se opune tendinţei de mişcare relativă a

două suprafeţe apăsate una peste cealaltă.

Forţa de frecare este o forţă de reacţiune, ea se dezvoltă între două corpuri în contact

numai dacă există o forţă activă. În legătură cu forţa de frecare se pot preciza următoarele:

direcţia ei corespunde cu cea a tendinţei de deplasare a corpului, conţinută în planul

tangent comun al celor două corpuri în contact;

sensul ei este invers tendinţei de mişcare;

punctul de aplicaţie al forţei se consideră plasat în punctul teoretic de contact;

pentru ca un corp să se găsească în echilibru static este necesar ca modulul acestei

forţe să rămână inferior valorii maxime, F Nf ≤ µ ;

Forţa de frecare necesară pentru a menţine corpul în echilibru, poartă numele de forţă

de frecare statică, iar forţa de frecare care se manifestă atunci când corpurile se află

în mişcare se numeşte forţă de frecare cinetică. Uzual, forţa de ferecare cinetică este

mai mică decât cea statică;

O problemă cu frecare introduce o necunoscută în plus faţa de problema considerată

fără frecare şi anume componenta tangenţială, fF .

Page 85: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

91

Ca urmare, problemele cu frecare sunt în general nedeterminate, în sensul că există o

infinitate de poziţii de echilibru fără frecare. Dacă se consideră că echilibru are loc la limita

mişcării, inegalitatea F Nf ≤ µ se transformă într-o egalitate şi problema devine determinată.

6.3.2 Frecarea de alunecare

Studiile experimentale ale fenomenului de frecare pun în evidenţă existenţa pe

suprafeţele corpurilor a unor microneregularităţi sau asperităţi de diferite dimensiuni,

ajungând până la câteva mii de diametre moleculare. Chiar o suprafaţă bine lustruită, privită

la microscop, Figura1, prezintă o multitudine de astfel de microdenivelări de diverse forme.

Prin apăsarea celor două corpuri, microdenivelările se întrepătrund reciproc, iar o deplasare a

unei suprafeţe pe cealaltă, implică apariţia forţelor de frecare la interfaţă.

Acesta este un mecanism fenomenologic care trebuie perfecţionat prin luarea în

considerare şi a altor factori care intervin în fenomenul frecării, precum forţele de atracţie

moleculară, mai ales atunci când suprafeţele sunt foarte bine prelucrate prin rectificare şi

lustruire, iar forţele de frecare devin deosebit de intense.

O teorie prin care frecarea ar putea fi explicată prin luarea în considerare a forţelor de

atracţie moleculară împreună cu distrugerea denivelărilor este desigur mai rezonabilă, dar nu

va fi prezentată în această lucrare.

Se consideră un sistem de corpuri în contact, cu luarea în considerare a greutăţii proprii,

Figura 1, şi acţionăm asupra corpului 2 cu o forţă orizontală F care poate fi oricât de mare.

Reprezentarea grafică a forţei de tracţiune funcţie de timp este evidenţiată în Figura 2.

Figura 1. Model pentru frecarea de alunecare

v = 0

v >0

F privire microscopică

1

2

G

Page 86: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

92

În momentul în care fsF F= , corpul superior 2, începe să se deplaseze accelerat. Pentru

ca mişcarea să devină uniformă, forţa exterioară trebuie micşorată până la valoarea fcF F= ,

care reprezintă forţa de frecare de alunecare, sau cinetică. Între cele două tipuri de forţe de

frecare există relaţia:

F Ffc fs< . (1)

Figura 2. Variaţia forţei de frecare

Experimental s-a arătat că ambele tipuri de forţe de frecare nu depind de mărimea

suprafeţei de contact dintre cele două corpuri. Suprafaţa da contact a corpurilor este

caracterizată prin rugozitate, starea fizico-mecanică, microstructura stratului superficial şi

tensiunile iniţiale produse prin prelucrări mecanice sau tratamente termice anterioare.

Suprafeţele de contact ale cuplelor cu frecare fabricate pentru anumite aplicaţii tehnice se

obţin prin tehnologii speciale, în urma cărora rezultă un anumit profil final.

Abaterile acestui profil faţă de o suprafaţă plană ideală pot fi:

abateri de formă - macrogeometrice sau de ordinul întâi;

ondulaţii - abateri microgeometrice sau de ordinul doi;

rugozităţi, sau abateri de ordinul trei.

Rugozităţile pot fi striaţii, rizuri periodice sau neperiodice, dislocaţii locale, urme ale

sculelor folosite la prelucrare, precum şi goluri neperiodice având un pas mic faţă de

adâncime.

F

v = constantfsF

fcF

t0

Page 87: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

93

Rugozitatea suprafeţelor de contact, precum şi proprietăţile lor fizico-mecanice, sunt

determinate de următorii factori: deformaţii elastoplastice ale materialului, deformaţii datorate

sistemului piesă-maşină de prelucrat, precum şi interacţii dintre piesă şi scula de prelucrat.

Starea suprafeţei de frecare este influenţată în timp de agenţii fizico-chimici.

Suprafeţele metalice iniţial curate, aflate în aer, se acoperă într-un timp suficient de mic cu un

strat de oxid şi molecule de oxigen, azot, sau apă, prin mecanismul de adsorbţie. Este posibilă

şi o contaminare cu alte molecule polare.

Menţinerea unei suprafeţe date curate se poate face numai în vid sau în atmosferă de

gaze precum argon, neon ş.a.

Fenomenul de frecare influenţează micro şi macrogeometria suprafeţei, cu consecinţe

defavorabile precum apariţia uzurii, gripajului.

În urma deformabilităţii, suprafeţele de frecare suferă modificări şi în adâncimea

materialului, astfel încât pot fi delimitate mai multe straturi distincte:

stratul superficial, cu o grosime de până la 100 A0

- cu structură cristalină sau amorfă

practic distrusă;

startul intermediar, cu o grosime de până la 50 µm - cu structură deformată;

stratul profund, cu o grosime de până la 1 mm şi cu structură afectată sau predispusă

deformării prin frecare.

Cuplele de frecare sunt întâlnite în diferite aplicaţii precum maşini, mecanisme şi

aparate, asigurând legăturile mobile dintre elementele în mişcare.

Legăturile dintre elementele cuplelor cu frecare se pot realiza prin contact iniţial

punctual (sferă/sferă, sferă/plan, cilindru/cilindru cu axe încrucişate), linar (cilindru/cilindru

cu axe paralele, cilindru/plan) sau pe suprafaţă.

Se consideră două corpuri solide A şi B simplu rezemate în punctul O, Figura 3. Sub

acţiunea forţelor exterioare iF , i 1, n= cele două corpuri se deformează reciproc, contactul

iniţial punctual se transformă într-un contact pe o mică suprafaţă. O astfel de problemă este

foarte complexă şi face obiectul unei discipline denumită mecanica contactului.

În punctul teoretic de contact O, forţele elementare care apar la interfaţă se reduc la un

torsor format dintr-o forţă rezultantă R şi un moment rezultant, M . Aceste componente se

pot descompune în următoarele mărimi fizice:

Forţa de reacţiune normală N ;

Forţa de legătură T, plasată în planul tangent şi corespunzătoare frecării de alunecare;

Page 88: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

94

Momentul Mp , orientat după normala Oz şi căruia îi corespunde frecarea de pivotare -

opusă mişcării de rotaţiei a corpului în jurul normalei;

Momentul Mr , cuprins în planul tangent comun, Oxy, căruia îi corespunde frecarea de

rostogolire - opusă mişcării de rotaţie în jurul axei Ox.

Componenta tangenţială T, apare chiar dacă solidul A nu alunecă pe corpul B şi se

datoreşte rugozităţii suprafeţelor. Tendinţa acestei forţe este de a se opune unei forţe

tangenţiale de tracţiune şi reprezintă forţa de frecare de aderenţă. Dacă solidul A începe să

alunece pe suport datorită unei forţe de tracţiune mărite, atunci componenta T devine forţa de

frecare de alunecare, fT F= .

Figura 3. Corpuri solide în contact cu frecare

Exprimarea cantitativă a forţelor de frecare de alunecare este pusă în evidenţă

experimental. Astfel, cele două forţe de frecare statică şi cinetică sunt proporţionale cu forţa

normală de reacţiune N,

F Nfs s= µ , F Nfc c= µ , (2)

z

x

yO

A

B

M

R

1FiF

nF

pM

rMT

N

Page 89: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

95

unde µ s şi µ c sunt respectiv, coeficientul de frecare statică şi coeficientul de frecare cinetică.

Valorile lor numerice pentru frecarea în aer sunt subunitare şi apropiate între ele, primul

coeficient fiind puţin mai mare,

µ µs c> . (3)

Cei doi coeficienţi de frecare se schimbă odată cu schimbarea naturii şi a stării de

lustruire a suprafeţelor cuplurilor de frecare. Prin natura suprafeţei se înţelege şi starea ei de

impurificare cu substanţe străine pulverizate precum oxizi metalici, praf etc.

La viteze mici µ c şi forţa Ffc nu depind de viteza relativă a celor două corpuri.

La viteze mari, de peste 10 m/s, forţa de frecare totală creşte datorită adiţionării la forţa

de frecare de alunecare a unei forţe de frecare cu fluidul precum aer, apă, care întotdeauna

depinde de viteză.

În procesul de ferecare se degajă căldură datorită deformaţiilor plastice ale denivelărilor,

ceea ce determină dilatarea corpurilor, accentuarea rugozităţii şi creşterea coeficientului de

frecare de alunecare cu temperatura. Aerul sau alt fluid existent între suprafeţele cuplului de

frecare menţine forţa de frecare între limite finite.

Dacă, cele două corpuri au suprafeţele bine lustruite şi se introduc într-o incită vidată, se

constată că forţa de frecare creşte foarte mult; corpurile se comportă ca şi cum ar fi sudate.

Absenţa filmului de lubrifiant dintre suprafeţe determină o apropiere a moleculelor

cuprinse în straturi superficiale ale corpurilor, mărind frecarea prin creşterea aderenţei.

Deplasarea vehiculelor pe pernă de aer confirmă acest model mecanic.

Dacă aerul existent în golurile suprafeţelor reduce frecarea, cu atât mai mult se reduce

acest fenomen dacă la interfaţă se află ulei sau un alt lubrifiant.

Forţa de frecare de aderenţă depinde şi de timpul în care suprafeţele se află în contact,

deoarece moleculele celor două corpuri difuzează reciproc, producându-se un fel de sudură

naturală.

Cunoaşterea coeficienţilor de frecare prezintă o importanţă practică deosebită şi în

principiu, se pot determina din legile frecării. O metodă simplă de determinare a

coeficienţilor de frecare este metoda tribometrului prin care se identifică unghiurile, numite

unghiuri de frecare, corespunzătoare stărilor de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă

atunci când un corp este plasat pe un plan înclinat, Figura 4,

µ ϕs stg= , µ ϕc ctg= . (4)

Page 90: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

96

Figura 4. Principiul tribometrului

În Tabelul 1 sunt prezentate câteva valori informative ale coeficientului de frecare de

alunecare, µ .

Tabelul 1. Valorile coeficientului de frecare la alunecare în condiţii uscate

Natura corpului Valorile lui µ Natura corpului Valorile lui µ Oţel pe oţel 0,15-0.9 Cauciuc pe beton 0,57 Oţel pe gheaţă 0,01 Lemn pe beton 0,45 Bronz pe bronz 0,2 Lemn pe lemn 0,4-0,7

6.3.3 Frecarea de rostogolire

Fie două corpuri A şi B în contact direct şi dacă A se roteşte în raport cu B în jurul unei

axe paralelă cu planul tangent comun, se spune că A se rostogoleşte peste B, Figura 5a.

a b c

Figura 5. Model pentru frecarea de rostogolire

Impunând condiţia de echilibru, rezultă ecuaţiile:

G=mgϕ

NfF

G

N

FG

Ne

N

F

G

N

F

fF fF fF

rM

A

B

A

B

A

B

C

ω ωω

Page 91: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

97

N G 0− = , FR 0= , (5)

în care R este raza discului A.

Din ecuaţiile 5, rezultă că F 0= ; fizic nu este posibil, deoarece corpul A este pus în

mişcare în prezenta forţei F; rezultă că modelul din Figura 5a nu este corect, adică nu s-a ţinut

seama de fenomenele care apar la interfaţa corpurilor în contact.

Contactul dintre cele două corpuri poate fi iniţial punctual sau liniar, funcţie de

configuraţia exterioară a corpurilor.

Studiul fenomenului de frecare la rostogolire nu este încă lămurit în totalitate.

Experimental s-a dovedit că apare un moment rezistent care se opune mişcării de rostogolire,

adică este opus vitezei unghiulare ω . Se poate deduce o expresie globală a momentului de

frecare la rostogolire, dacă se ţine seama de faptul că deformaţia corpurilor şi distribuţia de

forţe elementare care apar la interfaţa de contact este asimetrică faţă de normala ce trece prin

punctul iniţial de contact, Figura 5b.

Datorită distribuţiei asimetrice, reacţiunea N acţionează în punctul C, plasat la o distanţă

e, faţă de punctul teoretic de contact. Deplasarea suportului forţei fF este foarte mică, practic

neglijabilă, ca urmare, se consideră că trece prin punctul teoretic de contact. Componenta

normală N , creează un moment rezistent Mr , în raport cu punctul teoretic de contact, dat de

relaţia:

M Nee = . (6)

Ecuaţia de echilibru static a discului, evidenţiat în modelul din Figura 6b, se poate scrie:

FR Ne− = 0. (7)

Valorii maxime a momentului prin care corpul se opune rostogolirii îi corespunde o

valoare maximă a deplasării suportului reacţiunii, N. Se notează această valoare cu s, astfel se

poate scrie:

M Nsr max = . (8)

Condiţia de echilibru la rostogolire a corpului se poate scrie,

rM Ns≤ . (9)

Page 92: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

98

Mărimea s, cu dimensiuni de lungime, poartă numele de coeficient de frecare de

rostogolire. Modelul mecanic este reprezentat fizic în Figura 6c.

Ca aplicaţii privind frecarea rostogolire se va studia frecarea la vehiculele cu roţi

precum şi frecarea în lagăre şi articulaţii.

6.3.4 Frecarea de pivotare

Frecarea de pivotare se manifestă printr-un moment de frecare de pivotare ce se opune

tendinţei de rotire a corpului în jurul normalei de sprijin. Mărimea acestui moment depinde

de coeficientul de frecare la alunecare, de forma, de dimensiunile suprafeţei de contact dintre

corpuri şi se determină ţinând seama de distribuţia forţelor elementare care apar la interfaţă.

În cazul strict al unui contact punctual elastic, problema se poate rezolva ţinând seama de

forma ariei de contact, de distribuţia forţelor elementare care apar la interfaţă ca urmare a

forţelor exterioare aplicate - problemă cunoscută în literatura de specialitate sub denumirea de

problema lui Hertz.

Fenomenul de frecare prin pivotare întâlnit în aplicaţiile practice apare atunci când cele

două corpuri se află în contact prin apăsare, existând posibilitatea unei rotaţii în jurul unei axe.

Datorită apăsării reciproce, apăsare produsă în particular şi de greutatea proprie a corpului

superior, contactul se face pe o anumită suprafaţă. Există însă unele situaţii practice în care

corpurile fac contact pe suprafeţe mai mari, uzual de formă circulară, precum în cazul

ambreiajelor sau frânelor.

Se admite cazul a două corpuri în contact, simetrice faţă de axa care trece prin punctul

teoretic de contact, apăsate unul spre celălalt cu o forţă de modul F. Interacţiunea dinamică

dintre corpuri se poate reduce la reacţiunea N şi la un moment pM , ambele componente fiind

orientate după normala la suprafaţa de contact, Figura 6.

Dacă momentul cuplului depăşeşte o anumită valoare minimă, corpul superior va începe

să execute o mişcare de rotaţie în jurul normalei, păstrându-se neschimbată suprafaţa de

contact.

Mişcarea de pivotare (spin) constă deci într-o alunecare a suprafeţei de contact a

corpului superior, pe suprafaţa corpului suport, considerat fix. Această mişcare este însoţită

de apariţia unei forţe de frecare de pivotare situată în planul suprafeţei de contact.

Forţă elementară de frecare poate fi scrisă astfel:

dF dN p a dAf = =µ µ ( ) , unde dNp(a)dA

= ,

(10)

Page 93: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

99

în care p(a) este reacţiunea normală elementară, iar µ coeficientul de frecare de alunecare

asociat forţei de frecare la pivotare.

Figura 6. Model pentru frecarea de pivotare

Forţa totală de frecare la pivotare se obţine prin integrarea pe suprafaţă de contact, deci

F p a dAfAp

= ∫∫ µ ( ) . (11)

Mişcarea de pivotare este de fapt o alunecare pe loc a suprafeţei de contact, evidenţiată

în Figura 7. Momentul elementar de frecare la pivotare, calculat faţă de punctul teoretic de

contact O prin care trece axa de rotaţie, are forma:

p fdM rdF r p(a)dA= = µ . (12)

F

N

ω

dN

0

ν

fdFpA r

α

dA

pM

Page 94: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

100

Momentul total se calculează prin integrare:

pA

M r p(a)dA= µ∫∫ . (13)

Dacă forţa de apăsare F este repartizată uniform pe suprafaţa de contact, iar coeficientul

de frecare de alunecare este constant pe această suprafaţă, atunci şi p aN

Aconst

p( ) .= = Ca

urmare se poate scrie:

p p

p ppA A A

NM r p(a)dA p(a) rdA rdA NA

= µ = µ = µ = µ∫∫ ∫∫ ∫∫ ,

(14)

unde p

pp A

rdAAµ

µ = ∫∫ are dimensiunile unei lungimi.

Coeficientul de frecare la pivotare depinde de natura suprafeţei de contact, prin

intermediul mărimii µ, de geometria suprafeţei de contact, dar nu depinde de mărimea acestei

suprafeţe.

6.4 FORŢE DE FRECARE ÎNTRE SOLIDE ŞI FLUIDE

Aceste forţe se numesc forţe de rezistenţă şi apar la deplasarea unui corp solid printr-un

fluid real. Se manifestă prin apariţia unor forţe de frecare între diferitele straturi de fluid sau

între fluid şi pereţii vecini. Fluidele la care apar astfel de forţe se numesc fluide vâscoase.

Vâscozitatea unui fluid este caracterizată cu ajutorul coeficientului de vâscozitate

dinamică η .

Se consideră modelul din Figura 7, în care stratul din vecinătatea peretelui A are viteza

v 0= , iar cel din vecinătatea peretelui B are viteza v 0≠ . Între cele două straturi, fluidul se

mişcă cu o viteză cuprinsă între 0 şi v. O astfel de mişcare în care straturile de fluid se mişcă

paralel se numeşte curgere laminară. O curgere care nu este laminară este turbulentă.

Între diferitele straturi apare un gradient de viteză dv dr în direcţie perpendiculară pe

direcţia de mişcare. Ca urmare, forţa de frecare este dată de legea curgerii laminare a lui

Newton,

Page 95: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

101

dvF Sdrη = η ,

(15)

unde S este suprafaţa comună a celor două straturi vecine aflate în mişcare relativă.

Figura 7. Modelul privind frecarea dintre straturile unui fluid

Ţinând seama că deplasarea are loc după direcţia z relaţia 15 capătă forma:

Fdvdz

Sη η= .

(16)

Dacă 2S 1 m= şi dv dz 1= , rezultă Fη

η = , deci se poate defini vâscozitatea dinamică

ca fiind mărimea fizică numeric egală cu forţa de frecare internă care se exercită între două

straturi de fluid paralele, având suprafaţa de contact egală cu unitatea şi între care există un

gradient de viteză egal cu unitatea.

Pentru corpurile sferice forţa de frecare este definită de legea lui Stokes,

F rvη πη= 6 . (17)

Alt mecanism este cel al formării vârtejurilor sau turbioanelor, iar exprimarea forţei în

acest caz este dată de legea curgeri turbulente a lui Newton:

F CSv

r nfluid=

ρ 2

2,

(18)

unde:

C- factor de proporţionalitate ce depinde de forma geometrică a obstacolelor;

Sn - secţiunea aparentă.

v 0≠

v 0=A

B

x

z

y

Page 96: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

102

6.5 APLICAŢII ALE FRECĂRII

6.5.1 Frecarea de alunecare la baraje şi ziduri de sprijin

În cadrul lucrărilor de amenajare a bazinelor torenţiale, de terasamente la drumuri şi căi

ferate forestiere, se pune curent problema asigurării stabilităţii la răsturnare şi alunecare a

barajelor de retenţie şi a zidurilor de sprijin.

Se consideră o secţiune printr-o astfel de construcţie, Figura 8, rezemată pe suprafaţa de

contact AB, asupra căreia acţionează următoarele forţe:

sarcini verticale a căror rezultantă este Fv , provenite practic din greutatea proprie,

frecarea materialului pe spatele zidului şi greutatea coloanei de apă în cazul

barajelor;

sarcini orizontale Fh , cu efect destabilizator, provenite din împingerea pământului, a

apei cu materiale în suspensie;

forţele de frecare la alunecare prezente la interfaţa de contact AB a construcţiei,

materializate prin forţa Ff ;

Reacţiunea N, ca răspuns al terenului asupra construcţiei;

Rezultanta 2 2h vR F F= + .

Figura 8. Forţele care pot acţiona asupra unui zid de retenţie

N

R

A

B

a

α

b

C

hF

vF

fF

Page 97: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

103

Stabilitatea construcţiei la răsturnare este asigurată dacă suportul rezultantei R,

intersectează suprafaţa de sprijin AB, în punctul C. Pierderea stabilităţii la răsturnare se poate

produce prin rotirea construcţiei în jurul muchiei ce trece prin punctul A. Se pot defini drept

mărimi de stabilitate şi răsturnare momentele calculate faţă de punctul A,

M F astab v= ⋅ , M F brast h= ⋅ . (19)

Practic, stabilitatea la răsturnare a elementului de construcţie este asigurată dacă este

satisfăcută condiţia:

MM

F aF b

stab

rast

v

h= ≥ 1 5, .

(20)

Pierderea stabilităţii construcţiei se poate produce prin alunecare în lungul suprafeţei de

sprijin AB. Stabilitatea la alunecare poate fi asigurată dacă componenta forţelor active în

lungul suprafeţei de sprijin nu depăşeşte valoarea forţei maxime de frecare fF , care apare la

interfaţa elementului de construcţie şi teren, practic trebuie satisfăcută condiţia:

( )h vf max

x x h v

F sin F cosF N 1,5F F F cos F sin

µ α + αµ= = ≥

α + α.

(21)

Utilizarea unei baze de sprijin executată în contrapantă, adică înclinată cu unghiul ∝

faţă de orizontală, prezintă avantajul măririi stabilităţii faţă de cazul bazei plasată orizontal,

prin micşorarea forţei destabilizatoare xF .

Barajele de retenţie şi zidurile de sprijin fiind construcţii de lungime mare, calculul se

face luând în considerare o porţiune de lungime unitară. Detalii asupra unor astfel de

probleme pot fi găsite în literatura de specialitate.

6.5.2 Pana

Pana este un element mecanic utilizat în diferite aplicaţii tehnice precum la îmbinarea

unor piese, la despicare, Figura 9.

Din condiţia de echilibru static, rezultă:

fF 2N sin 2F cos 0− + α + α = , ⇒ F 2N sin 2 N cos 0− + α + µ α = . (22)

Page 98: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

104

Figura 9. Forţele care acţionează asupra unui element tip pană

Valoarea reacţiunii N se poate calcula cu relaţia:

FN2(sin cos )

=α +µ α

.

(23)

Dacă in relaţia 23 se înlocuieşte tgµ = ϕ , rezultă:

F FcosN2(sin tg cos ) 2sin( )

α= =

α + ϕ α α +ϕ.

(24)

Pentru ca pana să nu iasă singură, trebuie ca F 0> , adică să se autofrâneze, ceea ce

implică ϕ > α .

6.5.3 Forţe de frecare ale vehiculelor care se deplasează pe roţi

În cazul mobilelor care se deplasează pe roţi (vehicule) sau prin paşi, -oameni, animale

sau roboţi pe suprafeţe rigide şi rugoase, apar forte de frecare statice de aderenţă sau contact.

Mecanismul apariţiei lor se referă tot la existenţa denivelărilor, dar şi la cel al forţelor de

atracţie moleculare. Aceste forţe de frecare se includ în categoria generală a forţelor de

frecare de alunecare, dar nu se exprimă prin relaţia de proporţionalitate cu forţa normală de

reacţiune.

N NfF

fF

F

Page 99: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

105

Cu toate că se mai fac încă cercetări privind legile de variaţie ale forţelor de frecare în

cazul contactelor cu rostogolire, s-a stabilit că aceste forţe sunt limitate superior de către forţe

de frecare de alunecare dintre aceleaşi suprafeţe,

F Ffcontact falunecare≤ , F Nfcontact ≤ µ . (25)

Atât timp cât roţile nu alunecă pe suprafaţa de rulare, asupra lor acţionează forţele de

frecare la rostogolire, iar mişcarea este de rotaţie.

Dacă F Nfcontact = µ , atunci mişcarea de rotaţie trece în mişcare de translaţie, printr-un

regim tranzitoriu; fenomenul este cunoscut în dinamica autovehiculelor sub numele de

derapaj, care nu este dorit în practică. Apariţia derapajului este determinată în principal de

către coeficientul de frecare. Acesta trebuie deci să fie cît mai mare şi pentru aceasta, roţile se

confecţionează din materiale speciale precum cauciucurile care, rulează pe suprafeţe uzual

acoperite cu asfalt.

Dacă un vehicul rulează pe o suprafaţă cu polei, gheaţă, zăpadă sau alte substanţe,

derapajul poate să apară la valori mici ale forţelor de frecare prezente la interfaţă. Datorită

acestui mecanism, capacitatea de tracţiune a vehiculelor cu roţi motoare este limitată.

La deplasarea mobilelor pe roţi sau paşi se pot întâlni două situaţii cinematice şi

dinamice distincte: roţi nemotoare şi roţi motoare.

Roţi nemotoare. În acest caz nu mai există cuplu motor antrenant, iar rotaţia se face

prin tragere sau împingere. Ca urmare, între roată şi suprafaţa de rulare apare o forţă de

frecare la rostogolire, care practic este o forţă de frânare, Figura 10a.

În cazul deplasării oamenilor şi animalelor prin paşi, suportul este împins înapoi, iar mobilul

înainte. La oprire, suportul este împins înainte, iar mobilul înapoi de către forţa de frecare,

care este o forţă de frânare.

a b

Figura 10. a- Roată nemotoare; b- Roată motoare

G

N

tracţiuneF

a v

G

N

fF

F F mM

rMrM

a v

Page 100: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

106

Roţi motoare. Motorul unui automobil nu creează direct forţă, ci un cuplu de forţe,

care provoacă apariţia forţei de frecare la rostogolire, ca răspuns la rotaţie; Figura 10b.

În acest caz, roata având o viteză unghiulară impusă de cuplul exterior, mM , produce o

reacţie din partea suprafeţei, care se materializează printr-o forţă de frecare la mişcarea de

rostogolire, denumită forţă de tracţiune. Aceasta este forţa care deplasează mobilul.

6.5.4 Frecarea în articulaţii şi lagăre

Lagărele care susţin arbori în mişcare de rotaţie funcţionează în regim lubrifiat.

Frecarea la interfaţă depinzând de sarcina aplicată, de vâscozitatea lubrifiantului şi de viteza

de rotaţie a arborelui. Determinarea momentului de frecare se face în aceste cazuri printr-o

apreciere globală sau prin utilizarea relaţiilor din teoria lubrificaţiei. În acest paragraf vom

aborda prima problemă; astfel, se consideră fusul unui arbore de rază r, care se roteşte într-un

lagăr cu viteza unghiulară ω , relativ mică şi la care regimul de ungere poate fi unul uscat sau

limită. Iniţial, între cele două corpuri este un contact de tip liniar, Figura 11.

Figura 11. Lagăr de alunecare

Datorită mişcării fusului, punctul de contact se deplasează din punctul iniţial A, în

punctul B. Aceasta se explică prin aceea că datorită rotaţiei, fusul urcă până apare alunecarea,

realizându-se stabilitatea mişcării. Această poziţie este caracterizată prin unghiul α , dintre

suportul reacţiunii R şi al componentei normale N, ca fiind unghiul cinematic de frecare dintre

cele două suprafeţe, α ϕ= c . Impunând condiţia de echilibru prin scrierea momentului faţă de

punctul B, rezultă:

AB

R

NfF α

ω

Page 101: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

107

M Rrf − =sinα 0 . (26)

Pentru valori mici ale unghiului de frecare, sinα α µ≈ =tg , relaţia 26 devine:

fM rR= µ . (27)

Această valoare reprezintă momentul necesar pentru a menţine viteză de rotaţie

constantă a fusului. O relaţie similară poate fi găsită şi în cazul lagărelor cu rostogolire

precum rulmenţii.

6.5.5 Frecarea de înfăşurare a firelor, cablurilor şi benzilor

În aplicaţii tehnice se întâlnesc situaţii când elementele flexibile precum firele,

cablurile, benzile transportoare, curele late sau în V şi altele sunt înfăşurate pe diferite

elemente precum role, tamburi, cilindri; astfel încât, fie cilindrul de înfăşurare este fix şi

elementul flexibil este în mişcare relativă faţă de acesta, sau invers.

În toate situaţiile, după cum rezultă din experienţe, eforturile care apar la capetele

elementului flexibil nu sunt aceleaşi, diferenţa între ele este rezultatul forţelor de frecare care

iau naştere la interfaţa de contact dintre cele două elemente.

Pentru a stabili relaţia care există între aceste forţe se consideră un fir înfăşurat peste o

suprafaţă cilindrică, cu un unghi la centru α , Figura 12a.

a b

Figura 12. Fir înfăşurat pe o rolă

T1 T2

D

E

DE dN

ω

α

dϕϕ

x

T

T+dTfdF

y

Page 102: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

108

Se notează cu T1 şi T2 forţele care apar la cele două capete ale firului. Se izolează un

element de fir de lungime ds, situat la un unghi oarecare ϕ , căruia i se aplică o creştere

elementară dϕ . La extremităţile firului acţionează eforturile T şi T+dT, iar la interfaţa

reacţiunea normală dN şi forţa elementară de frecare dF dNf = µ .

Alegând un sistem de coordonate evidenţiat în Figura12b şi impunând condiţia de

echilibru static, rezultă:

( )

( )

fd dT dT cos T cos dF 0;2 2

d ddN T dT sin T sin 0.2 2

ϕ ϕ + − + = ϕ ϕ − + − =

(28)

Ţinând seama că unghiul dϕ este foarte mic, adică dϕ→ 0 , adică,

cosdϕ2

1→ şi sind dϕ ϕ2 2

→ ,

(29)

şi neglijând termeni care conţin derivatele de ordin superior, ecuaţiile 28 devin:

fdT dF 0;dN Td 0.

+ = − ϕ =

(30)

Prin integrare rezultă:

dTT

dT

T

1

2

0∫ ∫= −

α

µ ϕ , ⇒ lnTT

2

1= −µα sau

TT

2

1= −exp( )µα .

(31)

Condiţia de echilibru pentru mişcări ale rolei în ambele sensuri poate fi exprimată sub

forma:

exp( ) exp( )− ≤ ≤µα µαTT

2

1.

(32)

Evident, prin mărirea unghiului de înfăşurare poate fi micşorat foarte mult efortul 1T

necesar echilibrării forţei 2T .

Page 103: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

109

6.5.6 Frecarea între două discuri

Ca aplicaţii ale frecării de pivotare se pot menţiona funcţionarea ambreiajelor sau a

frânelor cu discuri, Figura 13.

In cazul particular când suprafaţa de pivotare este circulară cu raza interioară r şi raza

exterioară R, problema se poate studia în două situaţii: când presiunea de la interfaţă se

consideră constantă, sau când uzura se consideră constantă.

Figura 14. Model de ambreiaj sau frână

În primul caz, presiunea este dată de relaţia:

p aF

R r( )

( )=

−π 2 2 .

(33)

Momentul de frecare la pivotare dat de relaţia 13 devine,

M FR rR rp =

−−

23

3 3

2 2µ .

(34)

În al doilea caz, s-a constatat experimental că uzura este mai pronunţată spre periferia

discurilor, acolo unde viteza este mai mare; ca urmare, ea este proporţională cu viteza deci,

implicit, cu raza suprafeţelor în contact. Cum uzura este proporţională şi cu presiunea

normală, aceasta din urmă se poate considera proporţională cu raza, p kr= .

Momentul de frecare la pivotare dat de relaţia 13 devine,

M k R rp = −12

4 4µ π( ) .

(35)

FF

Page 104: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Frecarea

110

După cum rezultă din analiza relaţiilor 34 şi 35, momentul de pivotare transmis prin

frecare între cele două corpuri poate fi mărit prin mai multe căi:

- creşterea forţei de apăsare;

- creşterea ariei de contact, deci a razei exterioare a suprafeţei;

- creşterea coeficientului de frecare.

Primele două căi de mărire a momentului transmis nu sunt avantajoase, prima duce la

creşterea uzurii şi a pierderilor prin frecare în lagăre, iar a doua la creşteri ale gabaritului.

Ultima modalitate de mărire a momentului transmis depinde de natura materialelor celor

două corpuri în contact şi nu se poate ajunge la valori oricât de mari ale coeficientului de

frecare.

Creşterea ariei de contact prin mărirea numărului de suprafeţe este uzual aplicată în

practică mai ales la construcţia ambreiajelor, având avantajul gabaritului relativ mic şi creşteri

însemnate ale momentului transmis.

Page 105: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 7

CINEMATICA

7.1 GENERALITĂŢI

Cinematica studiază mişcarea mecanică a unui mobil modelat ca un punct material, corp

solid sau sistem mecanic fără a lua în considerare masele şi forţele care acţionează asupra lui.

Cinematica utilizează noţiuni fundamentale precum spaţiul şi timpul.

Spaţiul s, se presupune a fi un spaţiu euclidian, tridimensional, absolut, omogen,

izotrop, independent de materie şi mişcarea ei.

Timpul t, se presupune absolut, continuu, unidimensional, crescător, independent de

materie şi de mişcarea ei.

Mişcarea se defineşte ca fiind schimbarea poziţiei corpului studiat în raport cu alte

corpuri, considerate ca referinţă. Uniformitatea mişcării este impusă de condiţiile reale în care

mobilul nu poate ocupa simultan mai multe poziţii în spaţiu.

Corpul de referinţă se poate considera în mod convenţional fix, în care se plasează

sistemul de coordonate SC, pentru localizarea mobilului studiat. Sistemul de coordonate

poate fi cartezian, cilindric, sferic, natural sau generalizat, Tabelul 1.

7.2 CINEMATICA PARTICULEI MATERIALE

Scopul cinematicii constă în metodologia de a determina funcţiile vectoriale exprimate

prin ecuaţiile:

r r(t); v v(t); a a(t)= = = . (1)

Page 106: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

112

Tabelul 1. Principalele sisteme de coordonate, SC. Nr. crt.

Denumirea sistemului

Parametrii de poziţie

Schema de principiu Specificaţie

1

SC cartezian

)t(zz)t(yy)t(xx

===

x, y şi z sunt coordonatele vectorului de poziţie r xi yj zk= + +

2

SC cilindric

r r(t)

(t)z z(t)

=ϕ = ϕ=

ρ - raza polară; ϕ - unghiul polar; z- cota.

3

SC polar

r r(t)

(t)=

ϕ = ϕ

ρ - raza polară; ϕ - unghiul polar; z = 0 .

4

SC sferic

r r(t)

(t)(t)

=θ = θϕ = ϕ

r - raza vectoare; θ - unghiul azimutal ϕ - unghiul polar sau ecuatorial

5 SC natural sau Frenet

s s t= ( ) Figura 2 Explicaţii în text subcapitolul 7.2

6

SC generalizat )t(qq

)t(qq)t(qq

33

22

11

===

q q q1 2 3, , sunt

coordonate generalizate

x

y

z

O

ΓM(x,y,z)

r

x

y

z

O

ϕ

z

M(ρ,ϕ,z) v

ρ

r

x

yO

ϕM

ρ

x

y

z

O

ϕ

θ

M(ρ,ϕ,θ) v

ρ

r

O

1 2 3M(q ,q ,q )

3q

2q

1q

r

Page 107: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

113

Cu ajutorul ecuaţiilor 1 se pot defini poziţia, viteza şi acceleraţia funcţie de timpul t, a

unui mobil modelat ca un punct material, corp solid sau sistem mecanic.

Cunoaşterea poziţiei este echivalentă cu determinarea celor trei funcţii scalare care

reprezintă componentele vectorului de poziţie în sistemele de coordonate - SC, prezentate în

Tabelul 1.

Traiectoria mişcări reprezintă locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupă

mobilul în mişcarea sa. Grupurile funcţiilor scalare date, reprezintă totodată şi ecuaţiile

parametrice ale traiectoriei. Dacă se cunoaşte traiectoria mobilului în sensul că este o curbă

continuă, rectificabilă şi cu o tangentă unică în orice punct al ei, atunci mişcarea poate fi

descrisă printr-o singură funcţie,

)t(ss = , (2)

care reprezintă coordonata curbilinie a mobilului în raport cu o origine şi cu un sens pozitiv de

parcurgere arbitrar şi apriori ales. Ecuaţia 2 se numeşte ecuaţia orară a mişcării.

La schimbarea unui SC considerat fix cu un altul tot fix, se constată că derivatele

vectorului de poziţie r , în raport cu timpul sunt invariante faţă de această schimbare.

Se consideră un mobil definit prin vectorul r r(t) x(t) i y(t) j z(t)k= = + + faţă de un

SC. Se aplică o schimbare prin translaţia originii cu vectorul .constr0 = , atunci noua poziţie

va fi dată prin funcţia,

01 r)t(r)t(r += . (3)

Prin eliminarea parametrului variabil timp t, din ecuaţiile parametrice ale mişcării, se

poate obţine ecuaţia traiectoriei care este de forma,

0)z,y,x(ff 11 == , 0)z,y,x(ff 22 == . (4)

Prima şi a doua derivată în raport cu timpul reprezintă viteza 1v , respectiv acceleraţia

1a :

011

drdr drvdt dt dt

= = + , ⇒ 1v v= , deoarece drdt

0 0= .

(5)

Page 108: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

114

22 2

011 1 2 2 2

d rd r d ra vdt dt dt

= = = + ⇒ 1dv dvdt dt

= ⇒ a a1 = .

(6)

La schimbarea unui SC fix cu altul tot fix, parametrii cinematici precum viteza şi

acceleraţia unui punct material sunt invarianţi. Viteza instantanee a punctului material este un

vector tangent la traiectorie şi indică direcţia şi sensul mişcării.

Parametrii cinematici în diferite sisteme de coordonate sunt prezentaţi în Tabelul 2.

Tabelul 2. Componentele vitezei şi acceleraţiei în diferite SC

Denumirea Parametrii cinematici Relaţii Sistemului de coordonate

Componentele vitezei

Componentele acceleraţiei

generale absolute

SC cartezian

xvx =

yv y= zvz =

xva xx == yva yy == zva zz ==

2 2 2v x y z= + +

2 2 2a x y z= + +

SC cilindric

rv =ρ ϕ=ϕ rv

zvz =

2rrva ϕ−== ρρ ϕ+ϕ== ϕϕ rr2va

zva zz ==

2 2 2 2v r r z= + ϕ +

2 2 2 2a (r r ) (r 2r ) z= − ϕ + ϕ+ ϕ +

SC polar

rv =ρ

ϕ=ϕ rv

2rrva ϕ−== ρρ

ϕ+ϕ== ϕϕ rr2va

2 2 2v r r= + ϕ

2 2 2a (r r ) (r 2r )= − ϕ + ϕ+ ϕ

SC sferic

rv r=

v rθ = θ

v r sinϕ= ϕ θ

2 2 2

ra r r r sin= − θ − θϕ 2a r 2r r sin cosθ = θ+ θ− ϕ θ θ

a r sin 2r cos2r sin

ϕ = ϕ θ + ϕθ θ +

+ ϕ θ

2 2 2rv v v vθ ϕ= + +

2 2 2ra a a aθ ϕ= + +

SC Frenet Sunt prezentate în paragraful 7.3

Pentru a da o interpretare grafică mai intuitivă acceleraţiei totale, la momentul t se

defineşte noţiunea numită hodograful vitezei ca fiind locul geometric descris de vârful

vectorului viteză dus dintr-un punct fix, Figura 1a. Altfel spus, hodograful vitezei este

traiectoria punctului material în spaţiul vitezelor. Acceleraţia totală instantanee este tangentă

la hodograful vitezei în punctul considerat, Figura 1b.

Page 109: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

115

a b

Figura 1. Hodograful vitezei

7.3 PARAMETRII CINEMATICI ÎN COORDONATE INTRINSECI

În anumite probleme de mecanică este mai simplu să se aleagă, în locul unui SC fix, un

sistem de axe mobil, având originea în punctul M, a cărui mişcare se studiază. Cele trei

direcţii perpendiculare care definesc triedrul mobil sunt tangenta, normala principală şi

binormala, aplicate în punctul considerat al traiectoriei. Acest sistem este caracterizat prin

baza ortonormată ( ), ,τ ν β , Figura 2 şi cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de

sistem de coordonate naturale (intrinseci) sau pe scurt, triedul lui Frenet.

Figura 2. Triedrul lui Frenet

x

y

z

O

Ms(t)traiectorie

plan normal

plan osculator

plan rectificat

r

βτ aτ

vνaν

a Γ

1M

xyO

v(t)

z0v(t )

iv(t )

xyO

v(t)

z0v(t )

iv(t )ia(t )

Page 110: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

116

Poziţia punctului material M, pe curba Γ , la un moment dat, este definită de coordonata

curbilinie 1s MM= , reprezentând arcul curbă măsurat din punctul fix M până la punctul 1M ,

în sensul creşterii arcelor. În fapt, traiectoria se consideră cunoscută, mişcarea punctului M,

poate fi definită când se cunoaşte legea orară a mişcării, dată de ecuaţia 2.

Viteza punctului M se obţine prin derivarea în raport cu timpul a funcţiei compuse

r r(s(t))= . Se cunoaşte că viteza este un vector tangent la traiectorie, dirijat în sensul de

mişcare,

v v s= τ = τ . (7)

Acceleraţia se obţine prin derivarea vitezei în raport cu timpul:

2v 1a v v v v v v= τ + τ = τ + ν = τ + νρ ρ

,

(8)

unde ρ este raza de curbură a traiectoriei în punctul considerat.

Dacă se proiectează vectorul acceleraţie pe axele sistemului de coordonate, se pot obţine

componentele scalare, respectiv acceleraţia tangenţială, a τ şi acceleraţia normală a ν ,

a a aτ ν= τ + ν , (9)

în care a vτ = şi av

ν ρ=

2

.

Mărimea acceleraţiei este dată de relaţia:

a a a= +τ ν2 2 . (10)

În sistemul natural de referinţă acceleraţia are două componente, una tangenţială şi una

normală. Ca urmare, acceleraţia totală este un vector îndreptat întotdeauna spre concavitatea

curbei care reprezintă traiectoria mobilului.

Se pot enunţa următoarele concluzii:

când v > 0 , arcul s creşte, adică mobilul se mişcă în sensul pozitiv de parcurgere a

traiectoriei;

Page 111: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

117

dacă a τ > 0 , viteza creşte, mişcarea purtând numele de accelerată, iar dacă a τ < 0

viteza scade, mişcarea devine întârziată sau decelerată;

dacă a τ este constantă în timp, mişcarea poartă numele de uniform variată, care

poate fi accelerată sau decelerată;

- dacă a τ = 0 , viteza are mărime constantă iar mişcarea se numeşte uniformă;

- acceleraţia normală nu se poate anula decât în cazul în care raza de curbură este

infinită, ceea ce înseamnă că traiectoria este rectilinie;

- acceleraţia poate fi nulă numai dacă ambele componente ale sale se anulează

simultan, lucru posibil numai în cazul unei mişcări uniforme pe o traiectorie

rectilinie;

- componenta tangenţială a acceleraţiei indică variaţia vectorului viteză în mărime,

iar cea normală, în direcţie.

Mişcările particulare ale unei particule materiale sunt determinate de traiectoria acesteia

care poate fi o dreaptă, un cerc, o elice, o cicloidă, ş.a.

Mişcarea rectilinie. Apare atunci când traiectoria unui punct material este o linie

dreaptă, Figura 3.

Figura 3. Mişcare rectilinie

Ecuaţia de mişcare este de forma,

x x(t)= . (11)

Viteza şi acceleraţia au expresiile:

MoO

x

Mx0v a

0x

Page 112: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

118

x xv v x, a a x= = = = . (12)

Se întâlnesc două tipuri de mişcări rectilinii:

- uniformă, în care ecuaţia mişcării este de forma, 0 0x x v t= + ;

- uniform variată, în care ecuaţia mişcării are forma, 20 0 0

1x x v t a t2

= + + .

Mişcarea se numeşte uniform accelerată dacă viteza şi acceleraţia au acelaşi sens şi

uniform încetinită în caz contrar.

Mişcarea circulară. Se consideră un mobil aflat în mişcare pe o traiectorie circulară.

Poziţia acestuia pe traiectorie este determinată de lungimea arcului de curbă )t(ss = sau de

mărimea unghiului la centru θ , corespunzător arcului s, Figura 4.

Între mărimile s şi θ există relaţia:

s R= θ , (13)

unde R este raza cercului, constantă în timp.

Figura 4. Mobilul M în mişcare circulară

Mărimea vitezei mobilului M, este dată de relaţia:

ΜΟθ

ϕ

a

τ

ν

v

1M

s

Page 113: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

119

v s R R= = =θ ω , (14)

unde ωθ

θ= =ddt

poartă numele de viteză unghiulară.

Componentele acceleraţiei sunt date de relaţiile:

a v s R R Rτ θ ω ε= = = = = ;

av v

RR

ν ρω= = =

2 22 ,

(15)

unde εω θ

= =ddt

ddt

2

2 , reprezintă acceleraţia unghiulară a mobilului M.

Mărimea acceleraţiei devine:

a R= +ε ω2 4 . (16)

În mişcarea circulară uniformă viteza unghiulară a mobilului este constantă, ca urmare

ε = 0 şi deci a a R= =ν ω 2 .

Între mişcarea rectilinie şi cea circulară este o anumită analogie, prezentată în Tabelul 3.

Tabelul 3. Analogie între mişcarea rectilinie şi circulară

Tipul mişcării Ecuaţiile mişcării uniforme variate

Mişcare rectilinie

0 0x x v t= +

0v v cons tan t= = a 0=

20 0 0

1x x v t a t2

= + +

0 0v v a t= +

0a a cons tan t= = Mişcare circulară, studiată funcţie de elementul unghiular, f ( )θ

0 0 tθ = θ + ω

0 cons tan tω = ω = 0ε =

20 0 0

1t t2

θ = θ + ω + ε

0 0 tω = ω + ε

0 cons tan tε = ε = Mişcare circulară, studiată funcţie de elementul de arc, f (s)

0 0s s v t= +

0v v cons tan t= = a 0τ =

20 0

1s s v t a t2 τ= + +

0v v a tτ= +

0a a cons tan tτ τ= =

Page 114: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

120

7.4 APLICAŢII PRIVIND CINEMATICA PARTICULEI MATERIALE

Exemplul 1. Să se studieze mişcarea unei particule materiale ştiind ca vectorul de

poziţie este definit prin ecuaţia vectorială,

r a cos t i bsin t j c k= ω ⋅ + ω ⋅ + ⋅ , (17) unde a, b şi c sunt constante pozitive.

Soluţie:

Mişcarea particulei este cunoscută dacă se determină traiectoria, viteza, şi acceleraţia sa.

Pentru determinarea traiectoriei se pun în evidenţă ecuaţiile parametrice, ca proiecţii ale

vectorului de poziţie pe axele unui sistem cartezian ortogonal Oxyz,

x a cos t, y bsin t, z c= ω = ω = . (18)

Eliminând timpul t din ecuaţiile parametrice 18, prin ridicare la pătrat şi adunare, se

obţine:

x ya cos t, bsin t, z ca b= ω = ω = ,

(19)

sau 2 2

2 2

x y 1a b

+ = şi z c= .

(20)

Ecuaţia 20 defineşte o elipsă de semiaxe a şi b cu centrul plasat pe axa Oz la distanţa

z c= , Figura 5.

x

z

y

M

O

r

Page 115: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

121

Figura 5. Traiectoria mobilului M definit prin vectorul r .

Parametrii cinematici de ordinul întâi şi doi se obţin prin derivarea vectorului de poziţie

r , în raport cu timpul t,

v r a sin t i b cos t j= = − ω ω ⋅ + ω ω ⋅ ;

2 2a v r a cos t i b sin t j= = = − ω ω ⋅ − ω ω ⋅ .

(21)

Modulul vitezei respectiv al acceleraţiei se poate calcula cu relaţiile:

2 2 2 2v a sin t b cos t= ω ω + ω ω ;

2 2 2 2 2a a cos t b sin t= ω ω + ω .

(22)

Exemplul 2. Fiind dat mecanismul din Figura 6, se cere să se găsească parametrii

cinematici ai punctului M, care aparţine elementului AB.

Se consideră cunoscute: [ ]AMOA AB , k, k 0,1 , (t)AB

= = = ∈ ϕ = ϕ .

Figura 6. Mecanismul bielă-manivelă

Soluţie:

y

xϕ=ϕ(t)

A

BO

M

y

Page 116: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

122

Se calculează parametrii de poziţie ai punctului M, faţă de sistemul de coordonate Oxy,

funcţie de parametrul ϕ .

x( ) (1 k) cosϕ = + ϕ ;

y( ) (1 k) sinϕ = − ϕ ;

z 0= .

(23)

Pentru determinarea traiectoriei punctului M se elimină timpul t, adică variabila

(t)ϕ = ϕ din ecuaţiile parametrice 23. Prin efectuarea calculelor rezultă:

2 2

2 2 2 2

x y 1, z 0(1 k) (1 k)

+ = =+ −

.

(24)

Ecuaţia 24 reprezintă din punct de vedere geometric o elipsă cu centrul în originea O, de

axe Ox şi Oy. Evident, semiaxele elipsei sunt (1 k)+ şi (1 k)− .

Componentele vitezei punctului M sunt date de relaţiile:

Mxv x( ) (1 k) sin= ϕ = − + ϕ ϕ ;

Myv y( ) (1 k) cos= ϕ = − ϕ ϕ .

(25)

Modulul vitezei punctului M este dat de relaţia:

2 2 2M Mx Myv v v 1 2k 2k cos 2= + = ϕ + − ϕ . (26)

Componentele acceleraţiei punctului M sunt:

2

Mx Mxa v (1 k) ( cos sin )= = − + ϕ ϕ+ϕ ϕ ;

2My Mya v (1 k) ( sin cos )= = − −ϕ ϕ+ϕ ϕ .

(27)

Modulul acceleraţiei punctului M este dat de relaţia:

2 2M Mx My

2 4 2 2 2

a a a

(1 k 2k cos 2 ) (8k sin cos ) (1 k 2k cos 2 )

= + =

= + + ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ+ + − ϕ ϕ.

(28)

Page 117: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

123

În anumite cazuri ne interesează parametrii cinematici în punctele A sau B; aceştia se

pot obţine din relaţiile de mai sus prin particularizare, adică:

În punctul A parametrul k 0= ; ca urmare, rezultă:

- Traiectoria: 2 2 2x y , z 0+ = = ;

- Viteza absolută: Av = ϕ ;

- Acceleraţia absolută: 4 2Aa = ϕ +ϕ .

În punctul B parametrul k 1= ; ca urmare, rezultă:

- Traiectoria: y 0, z 0= = , mişcare de translaţie pe direcţia axei Ox;

- Viteza absolută: Bv 2 sin= ϕ ϕ ;

- Acceleraţia absolută: 2Ba 2 cos sin= ϕ ϕ+ϕ ϕ .

Exemplul 3. Pentru încărcarea sau descărcarea unor materiale precum cele lemnoase, în

anumite depozite se utilizează echipamente moderne de tipul manipulator-robot; actual

procesul de lucru este asistat de un calculator. Schema cinematică a unui astfel de

manipulator–robot este prezentată în Figura 7.

Ca date iniţiale se consideră cunoscute: r r(t); (t); (t); h= α = α ϕ = ϕ .

Se cere viteza şi acceleraţia punctului M.

Soluţie

Ecuaţiile parametrice ale punctului M sunt:

Mx r cos cos= α ϕ ;

My r sin cos= α ϕ ;

Mz h r sin= + ϕ

(29)

Utilizând relaţiile din Tabelul 2 se pot calcula componentele vitezei punctului M:

Mx Mv x r cos cos r sin cos r cos sin= = α ϕ− α α ϕ− ϕ α ϕ ;

My Mv y r sin cos r cos cos r sin sin= = α ϕ+ α α ϕ− ϕ α ϕ ;

Mz Mv z r sin r cos .= = ϕ+ ϕ ϕ .

(30)

Page 118: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

124

Figura 7. Schema cinematică a unui manipulator utilizat pentru încărcare-descărcare

Viteza absolută are forma finală,

2 2 2 2 2 2Mv r r cos r= + ϕ ϕ+ ϕ . (31)

Componentele acceleraţiei punctului M pot fi calculate cu relaţiile,

Mx Mxa v= , My Mya v= , Mz Mza v= . (32)

7.5 CINEMATICA CORPULUI SOLID

M

M1

M2

x

y

z

h

r

α

ϕ

O

Page 119: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

125

7.5.1 Sisteme de referinţă

Mişcarea unui corp se desfăşoară în spaţiu şi timp. Pentru măsurarea timpului se poate

utiliza un ceas, un cronometru, etc. Ansamblul format dintr-un sistem de coordonate, SC plus

instrumentul de măsurare a timpului formează un sistem de referinţă SR,

SC t SR+ = . (33)

Alegerea SR este în principiu arbitrară. Practic se alege acel sistem în care mişcarea

studiată să fie descrisă de ecuaţii cât mai simple.

Conceptul de sistem de referinţă a apărut odată cu studiul mecanicii, având în vedere

componenta spaţio-temporală, pentru orice fenomen fizic sau orice corp material.

În concepţia actuală, spaţiul şi timpul nu pot fi concepute în afara materiei.

Spaţiul fizic se consideră omogen, izotrop, tridimensional şi descris de geometria

euclidiană.

Timpul se scurge la fel în orice punct al spaţiului - dacă se utilizează două instrumente

de măsurare a timpului, sincronizate într-un punct din spaţiu, vor indica acelaşi timp şi după

ce unul din ele va fi mutat în alt punct al spaţiului.

Proprietăţile enunţate despre spaţiu şi timp arată că mişcarea unui corp trebuie să

decurgă la fel în orice punct al spaţiului şi în orice moment al timpului.

Principalele SR folosite în mecanică sunt:

sisteme de referinţă inerţiale - SRI;

sistemul centrului de masă - SCM;

sistemul de referinţă propriu - SRP;

sisteme de referinţă accelerate sau neinerţiale - SRA.

Particularităţile SR, în general, nu sunt determinate numai de proprietăţile spaţiului şi

timpului, ci şi de proprietăţile inerţiale ale corpurilor care sunt funcţie de proprietăţile interne

ale acestora, precum masa lor.

SRI- formează o clasă specială a SR, a căror importanţă poate fi regăsită atât în

mecanica clasică, cît şi în mecanica relativistă.

Un SRI este acel sistem în care este valabil principiul inerţiei, descoperit, ca şi celelalte

principii de către I. Newton în 1687, pe baza constatărilor făcute de G. Galilei.

Principiul întâi după care corpurile preferă repausul sau mişcarea rectilinie şi uniformă,

se bazează pe o consecinţă a unei proprietăţii interne fundamentale a corpurilor numită

inerţie, care reprezintă tendinţa corpurilor de a se opune accelerării.

Page 120: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

126

Starea naturală a unui corp este repausul relativ sau mişcarea rectilinie şi uniformă.

Aceste două stări cinematice sunt privilegiate în natură.

Deoarece principiul inerţiei s-a formulat fără să se precizeze SR ales, trebuie menţionat

că cele două stări se menţin în raport cu un SRI, adică cu un sistem aflat în repaus sau în

mişcare rectilinie şi uniformă faţă de altul. Dacă un SRI este în repaus, toate celelalte corpuri

au o mişcare rectilinie şi uniformă faţă de acesta.

Omogenitatea şi izotropia spaţiului euclidian pot fi exprimate prin două criterii de

invarianţă, din care decurg două legi de conservare:

Invarianţa la translaţii – spaţiul este omogen - adică nu apare nici o modificare a

mărimi sau proprietăţilor lui geometrice. Se admite prin extensie că proprietăţile sale fizice

precum inerţia şi forţele dintre particule nu se schimbă prin această translaţie. Invarianţa la

translaţie conduce la legea conservării impulsului.

Invarianţa la rotaţii rezultă din evidenţe experimentale, spaţiul fiind considerat izotrop

– adică nu se schimbă proprietăţile unui corp, dacă reorientăm corpul în spaţiu. Această

proprietate conduce la legea conservării momentului cinetic.

SRA – sunt sisteme în care repausul, mişcarea rectilinie şi uniformă nu se mai menţin.

SRP- sunt sisteme de referinţă în general accelerate, legate de corpul studiat. Tot SRP

se consideră şi sistemele care se deplasează rectiliniu şi uniform faţă de SRP al corpului

considerat.

7.5.2 Relaţiile lui Poisson

Se consideră un mobil M, care se mişcă pe o traiectorie circulară cu viteza unghiulară

ω . Poziţia mobilului este caracterizată faţă de un SC cartezian, Oxyz prin vectorul de poziţie

ρ şi faţă de centrul de curbură al traiectoriei prin vectorul R(t) , Figura 8.

(∆)z

x

yO

Mv

ω

r

R(t)

Page 121: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

127

Figura 8. Model pentru deducerea relaţiilor lui Poisson

Modulul vectorului R(t) se poate calcula cu relaţia:

αρ= sin)t(R , (34)

unde ρ este modulul vectorului de poziţie ρ , iar α este unghiul dintre vectorul ρ şi axa ∆ .

Viteza mobilului M se poate calcula cu utilizând relaţiile:

ρ=Mv , (35) sau

αωρ=ω= sin)t(RvM , ⇒ Mv = ρ×ω . (36)

Viteza mobilului M, calculată cu relaţiile 35 şi 36 este aceeaşi; ca urmare se poate scrie:

ρ = ω×ρ . (37)

Dacă axa ∆ , evidenţiată în Figura 8, ocupă succesiv axele unui SC cartezian Oxyz, se

pot obţine din relaţia 37 expresiile:

kk;jj;ii ×ω=×ω=×ω= . (38)

Relaţiile 38 sunt cunoscute în literatura de specialitate sub denumirea de formulele lui

Poisson.

7.5.3 Parametrii cinematici ai unui corp solid

Mişcarea unui corp solid este determinată dacă se cunosc poziţia, viteza şi acceleraţia ca

funcţii de timp ale unui punct oarecare A care aparţine unui solid S, în raport cu un SR fix, fie

acesta 111 zyOx , Figura 9.

Se alege un SR Oxyz, fixat de corpul solid S, caracterizat prin vectorul de poziţie 0r faţă

de 111 zyOx . Punctul A este caracterizat faţă de sistemul Oxyz prin vectorul de poziţie r care

Page 122: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

128

rămâne constant în timpul mişcării şi prin vectorul de poziţie 1r faţă de SR 111 zyOx , variabil

în timp.

Între vectorii de poziţie evidenţiaţi în Figura 9, există relaţia:

1 0r r r= + . (39)

Figura 9. Modelul pentru studiul cinematicii corpului solid.

Viteza şi acceleraţia

Expresia vitezei se obţine prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei 39, ţinând seama

de relaţia lui Poisson 37, adică r r= ω× ,

rvrrrv 001 ×ω+=+== . (40)

Relaţia 40 este cunoscută sub denumirea de formula lui Euler pentru distribuţia de

viteze la un corp solid. Cu această relaţie se determină distribuţia de viteze în mişcarea cea

mai generală a solidului considerat rigid.

Expresia acceleraţiei se poate obţine prin derivarea relaţiei 38 în condiţii similare; ca

urmare, se obţine,

x

y

z

O1

A(x,y,z)

O

1x

S

1z

1y1O

0r

r

1r

Γ

Page 123: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

129

( )0 0a v v r r a r r= = +ω× +ω× = + ε× +ω× ω× . (41)

Relaţia 41 este cunoscută sub numele de formula lui Rivals.

Parametrii cinematici ai unui solid în cazul unor mişcări particulare sunt evidenţiaţi în

Tabelul 4.

Tabelul 4. Cazuri particulare de mişcare ale unui corp solid

Specificaţie - definiţie Parametrii cinematici Viteza Acceleraţia Mişcarea de translaţie, caracterizată prin aceea că o dreaptă oarecare care, aparţine solidului rămâne în timpul mişcării acestuia paralelă cu ea însăşi.

0v v=

0a a=

Mişcarea de rotaţie a unui solid apare atunci când are două puncte fixe în timpul mişcării. Dreapta care uneşte cele două puncte fixe este axă de rotaţie.

0r 0= ;

0v 0= ; zk kω= ω = ω ;

v r= ω× .

0a 0 = ; zk kε = ε = ε ;

( )a r r= ε× +ω× ω× .

Mişcarea elicoidală. Un solid are o mişcare elicoidală dacă există o dreaptă solidară cu el care îşi păstrează suportul fix în timpul mişcării. Această dreaptă este numită axa mişcării elicoidale.

0 0r z k= ; 0 z0v v k= ;

zk kω= ω = ω ;

0v v r= +ω× .

0 0a a k= ; zk kε = ε = ε ;

( )0a a r r= + ε× +ω× ω× .

Mişcarea plan-paraleleă. Un solid are o mişcare plan-paralelă dacă trei puncte necoliniare ale sale sunt conţinute în tot timpul mişcării într-un plan fix din spaţiu. Punctele solidului care au v 0= , se găsesc pe o dreaptă paralelă cu axa Oz, numită axă instantanee de rotaţie. Punctul de intersecţie al axei instantanee de rotaţie cu planul Oxy se numeşte centru instantaneu de rotaţie, CIR.

0v v r= +ω× , în care:

0 0 0r r x i y j= = + ;

0 x0 y0v v i v j= + ;

zk kω= ω = ω ; v 0= , rezultă coordonatele

ω=η

ω−=ξ arbitrar,

v,

v x0y0

( )0a a r r= + ε× +ω× ω× , în care:

0 x0 y0a a i a j= + ;

kkz ε=ε=ε ; Există puncte pentru care a 0= . Aceste puncte se află pe o dreaptă paralelă cu Oz. La intersecţia acestei drepte cu planul Oxy se obţine un punct care poartă numele de polul acceleraţiilor.

Page 124: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

130

Mişcarea solidului cu punct fix. Se consideră un solid căruia i se fixează un singur punct în spaţiu, prin intermediul unei articulaţii sferice. Cele două sisteme de referinţă, fix şi mobil se aleg cu originea în acest punct. Solidul are în acest caz trei grade de libertate.

x y z

i j kv r

x y z

= ω× = ω ω ω

Există o infinitate de puncte care au viteză nulă la un moment dat, ele fiind situate pe axa instantanee de rotaţie.

( )a r r= ε× +ω× ω×

x y zi j kε = ε + ε + ε Există un singur punct cu acceleraţie zero, respectiv punctul fix. Ca aplicaţie importantă se menţionează giroscopul utilizat în sistemul de pilotaj automat, în structura girobusolei ş.a.

7.5.4 Cinematica în sisteme de referinţă accelerate sau neinerţiale - SRA

Mişcarea unei particule materiale sau a unui corp în SRI reprezintă un caz particular al

mişcării generale. Aceasta include o deplasare faţă de un SRA, aflat la rândul său într-o

mişcare accelerată faţă de un SRI.

Se menţionează cazul unui corp aflat în mişcare pe suprafaţa Terei care se deplasează

faţă de Soare. Pentru a preciza caracterul mişcării este necesar să se definească mişcarea

absolută, mişcarea relativă şi mişcarea de transport, noţiuni introduse de E. Mariotte (1620-

1684), fizician care a efectuat studii de statică, mecanica fluidelor şi elasticitate.

Mişcarea absolută este mişcarea faţă de un SRI presupus fix. Pământul, pentru mişcări

restrânse pe suprafaţă sau în apropierea sa, poate fi considerat un SRI fix. Pentru mişcări

extraterestre în sistemul solar, se alege soarele, sau centrul de masă a sistemului solar ca SRI.

Pentru alte mişcări se aleg stele din univers, considerate fixe.

Mişcarea relativă este mişcarea faţă de un SR mobil, care, în general, este accelerat.

Acesta poate fi un vapor, tren, avion, ş.a. pentru mişcări terestre sau chiar pământul pentru

mişcări extraterestre.

Mişcarea de transport este mişcarea unui SR mobil, împreună cu toate corpurile legate

rigid de el, faţă de un SRI fix. Aceasta se mai numeşte şi mişcare de antrenare, sau incipientă.

Ca exemplu, se poate menţiona că deplasarea unui călător într-un tren mobil este o

mişcare absolută faţă de pământ, relativă faţă de tren, iar a trenului faţă de pământ, de

transport. Mişcarea unui satelit în jurul pământului este absolută faţă de soare, relativă faţă de

pământ, iar a pământului faţă de soare, de transport.

Page 125: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

131

Caracterul de absolut, relativ şi de transport al mişcărilor, se extinde în acelaşi fel şi

asupra poziţiilor (deplasărilor), vitezelor şi acceleraţiilor. Trebuie făcută precizarea că

trecerea de la un SR la altul, unele mărimi fizice sunt invariante, iar altele, nu.

Spaţiul şi timpul se consideră măsurate cu instrumente aparţinând SR respectiv. În

mecanica clasică, se consideră că spaţiul şi timpul nu depind de viteza corpurilor măsurate sau

a instrumentelor folosite. Lungimile şi duratele măsurate în diferite SR sunt egale, invariante

sau absolute.

În teoria relativităţii restrânse se arată că la viteze mari, comparabile cu viteza luminii,

c = ⋅3 108 m s , intervalul spaţial şi cel temporal nu mai sunt invariante.

Viteza şi acceleraţia în SRA

Se consideră un SRI Oxyz, un SRA 1 1 1 1O x y z şi un mobil redus la o particulă materială

M, care se mişcă faţă de ambele sisteme, descriind o traiectorie în spaţiu Γ . Sistemul SRA se

roteşte în jurul unei drepte ∆ , cu viteza unghiulară ω , în general variabilă. În acest model

particula M nu este legată de nici un SR, având o mişcare independentă în spaţiu.

Poziţia punctului material faţă de SRI este definită prin vectorul de poziţie r şi prin 1r

faţă de SRA. Originea SRA este definită prin vectorul 0r faţă de SRI, Figura 10.

Figura 10. Modelul pentru studiul cinematicii unui corp în SRA.

x

O y

z

M Γ

r

0r

1r 1y

1z

1x

1O

Page 126: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

132

Baza ortonormată ( )i , j, k reprezintă vectori de modul constant egal cu unitatea,

direcţie şi sens invariabile. Baza ( )1 1 1i , j , k sunt vectori de modul constant, dar de direcţie şi

sens variabile,

0 1r r r= + sau abs tr relr r r= + . (42)

Prin derivare în raport cu timpul şi ţinând seama de relaţiile lui Poisson, se obţine viteza

absolută,

0 1dr drdrdt dt dt

= + , 0 1 1v v r v= +ω× + ,

sau

abs 0 rel rel tr relv v r v v v= +ω× + = + ,

(43)

unde:

tr 0 1 0 rel 0 rotv v r v r v v= +ω× = +ω× = + ;

rel 1v v= ,

în care rot relv r= ω× .

În concluzie, viteza de transport se compune din viteza de rotaţie rotv , datorită rotaţiei

SRA cu viteza unghiulară ω .

Viteza de transport poate fi definită ca fiind viteza unui mobil faţă de un SRI, dacă s-ar

opri faţă de SRA şi ar fi antrenată în mişcare de translaţie cu viteza 0v şi în mişcare de rotaţie

cu viteza unghiulară ω pe care le efectuează SRA.

Acceleraţia absolută se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vitezei absolute

ţinând seama de relaţiile lui Poisson,

a v= sau absa v= , adică

( )0 1 1 1 1 1v v r r r v v= +ω× +ω× +ω× + +ω× ,

( )1 0 1 1 1a a a r r 2 v= + + ε× +ω× ω× + ω× ,

sau ( )rel 0 rel rel rela a a r r 2 v= + + ε× +ω× ω× + ω× .

(44)

Page 127: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

133

În final, se poate scrie,

abs rel tr cora a a a= + + , (45)

unde:

rel 1a a= ;

( )tr 0 rel rela a r r= + ε× +ω× ω× ;

cor rela 2 v= ω× .

În fapt, acceleraţia absolută a unui mobil este egală cu suma dintre acceleraţia relativă

rela , acceleraţia de transport tra şi acceleraţia coriolis cora . Aceasta din urmă a fost introdusă

în anul 1831 de matematicianul francez Gashpar Coriolis (1792-1843). Este menţionată în

literatura de specialitate şi sub numele de acceleraţie complementară, deşi nu este decât una

dintre acceleraţiile complementare ale unui mobil în mişcare generală.

În mişcarea SRA apar două acceleraţii suplimentare faţă de mişcarea în SRI şi anume:

acceleraţia relativă ca efect al mişcării unui mobil faţă de un SRA;

acceleraţia relativă ca efect de interferenţă între mişcarea relativă şi mişcarea de

transport.

Acceleraţia coriolis este perpendiculară pe axa de rotaţia instantanee a vectorului ω şi

pe viteza relativă relv . Ca urmare, acceleraţia coriolis apare dacă există rotaţie, adică 0ω ≠ , şi

dacă viteza relativă nu este paralelă cu viteza unghiulară ω .

Exemplu: Să se studieze mişcarea unui mobil M, care se deplasează pe generatoarea

unui cilindru circular drept, Figura 11, aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei sale de simetrie,

cu viteza unghiulară ω .

ω

relv

M

Page 128: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Cinematica

134

Figura 11. Mobil în mişcare de translaţie pe generatoarea unui cilindru care se roteşte

Soluţie: Este evident că,

ω||vrel ⇒ cora 0= . (46)

Din studiul cazului general de compunere a acceleraţiei se pot obţine diferite cazuri

particulare care pot fi evidenţiate distinct. Se menţionează două cazuri limită:

a. SRA - mobil în mişcare de rotaţie uniformă şi fără translaţie, adică:

cons tan tω = şi 0v 0= .

Ca urmare, 0a 0= ; 0ε = ; 1a r 0ε = ε× = .

Acceleraţia absolută devine:

abs rel cora a a aω= + + , sau

( )abs rel rel rela a r 2 v= +ω× ω× + ω× .

(47)

b. SRA are mişcare de translaţie neuniformă cu viteza 0v , fără rotaţie 0ω = .

În acest caz: 0ε = ω = , a 0ω = ; a 0ε = , cora 0= .

Acceleraţia absolută devine:

abs rela a aω= + . (48)

Dacă SRA are o mişcare de translaţie rectilinie şi uniformă, atunci 0v cons tan t= şi

0a 0= iar abs rela a= , deci SRA devine SRI.

Acceleraţia unui mobil nu se schimbă la trecerea de la un SRI considerat fix, la altul

aflat în mişcare rectilinie şi uniformă. Ca urmare, se regăseşte indirect principiul inerţiei.

Acceleraţia este invariantă la schimbarea unui SRI cu alt SRI. Dacă un SR este inerţial

toate SR aflate în mişcare rectilinie şi uniformă faţă de el sunt inerţiale, aşa cum rezultă şi din

principiul relativităţii clasice.

Page 129: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Anexa 1

ELEMENTE DE MATEMATICĂ APLICATĂ

A.1 ELEMENTE DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ

Modelarea diferitelor fenomene întâlnite în mecanică şi rezistenţa materialelor impune utilizarea mărimilor scalare, vectoriale şi tensoriale. Mărimile scalare pot fi complet determinate printr-un singur număr real, care este acelaşi în orice sistem de coordonate. Se pot menţiona: distanţa, intervalul de timp, densitatea, temperatura, masa, energia, ş.a. Aceste mărimi sunt cunoscute şi sub denumirea de scalari. Mărimile vectoriale nu se pot reprezenta printr-un singur număr. Mărimile de acest tip sunt complet caracterizate dacă se cunoaşte punctul de aplicaţie, direcţia, sensul şi mărimea sau modulul. Spre exemplu pentru deplasarea unui mobil între două poziţii, A şi B, trebuie precizate punctul din care pleacă mobilul - punctul A, direcţia pe care se deplasează - dreapta AB, sensul în care se face deplasarea - de la A către B precum şi mărimea deplasării - lungimea segmentului AB. Ca urmare, unei mărimi vectoriale i se asociază un segment orientat numit vector.

Un vector este o entitate matematică a cărui imagine geometrică este un segment orientat, Figura 1, cu punctul de aplicaţie în punctul A şi extremitatea B. Sensul vectorului se precizează printr-o săgeată aplicată în extremitatea sa. Pentru caracterizarea mărimii din punct de vedere grafic trebuie să se aleagă o scară de reprezentare. Scara de reprezentare este egală cu numărul de unităţi de măsură ale mărimii vectoriale reprezentate, raportată la numărul de unităţi de lungime de pe desen. Reprezentarea pe o schiţă a unui unei mărimi vectoriale fixează automat scara la care se vor reprezenta toate mărimile vectoriale de aceeaşi natură. De aici concluzia imediată că între dimensiunile mărimilor vectoriale de aceeaşi natură şi vectorii reprezentativi de pe desen trebuie să existe o proporţionalitate.

A - originea sau punctul de aplicaţie; ∆ - direcţia, suportul sau linia de acţiune; BA → sensul; ur - versorul dreptei ∆ .

AB v=r

- modulul sau valoarea numerică care reprezintă lungimea segmentului AB la scara aleasă.

Figura 1. Reprezentarea unui vector

A

B

vr

ur

Page 130: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

322

Notaţia vectorilor se face printr-o literă cu o bară sau săgeată deasupra, exemplu v , vr . În literatura de specialitate se poate întâlni şi notaţia prin două litere deasupra cărora se plasează o bară sau săgeată precum AB sau AB ; prima literă indică originea vectorului, iar a doua literă extremitatea acestuia.

În această lucrare vectorii vor fi notaţi printr-o singură literă vr sau prin două litere ABuuur

. Axa este o dreapta oarecare ∆ , la care s-a ales un sens de parcurs numit sens pozitiv,

Figura 1. Versorul axei ∆ este un vector ur de modul egal cu unitatea, u 1=r , care are ca origine un punct oarecare al axei, direcţia şi sensul acesteia. Se numeşte axă o dreaptă pe care s-a ales un versor.

Orice vector vr , paralel sau coliniar cu axa ∆ se poate exprima prin produsul dintre un scalar λ şi versorul ur :

v u= λr r . (1)

În cazul în care vectorul vr are acelaşi sens cu vectorul ur , scalarul λ este pozitiv, iar

dacă vectorul vr are sensul contrar versorului ur , scalarul λ este negativ. Mecanica, în general, operează cu trei clase de vectori:

- vectori liber, care pot avea punctul de aplicaţie oriunde în spaţiu; - vectori alunecători sau glisanţ, care pot fi translaţi pe o dreaptă denumită şi suportul vectorului. Un exemplu tipic este forţa ce acţionează asupra unui corp rigid; - vectori legaţi sau aplicaţ, care au punctul de aplicaţie bine precizat ca exemplu caracteristic se pot menţiona forţele ce acţionează asupra unui solid deformabil sau vitezele particulelor unui lichid în mişcare.

Egalitatea vectorilor se defineşte funcţie de clasa în care sunt încadraţi vectorii, astfel: Se spune că doi vectori liberi sunt egali dacă au aceeaşi mărime, sunt paraleli şi au

acelaşi sens, Figura 2. În acest caz ei poarta denumirea de vectori echipolenţi.

Figura 2. Egalitatea a doi vectori liberi

Doi vectori alunecători sunt egali dacă au aceeaşi mărime, acelaşi suport şi acelaşi sens.

Vectorii respectivi se numesc vectori echivalenţi. Doi vectori legaţi sunt egali dacă au aceeaşi mărime, acţionează pe aceeaşi dreaptă, au

acelaşi sens şi acelaşi punct de aplicaţie. Aceşti vectori coincid şi deci se numesc vectori identici.

În cele ce urmează, dacă nu se face nici o precizare, vectorii în discuţie vor fi consideraţi vectori liberi. Matematic se scrie că doi vectori sunt egali, astfel:

a b=

rr sau AB A B′ ′=

uuur uuuur. (2)

ar

br

A

B

1A

1B

Page 131: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

323

În calculul vectorial sistemul de referinţă utilizat în mod obişnuit este sistemul drept numit şi sistem cartezian, notat cu Oxyz. Axele Ox, Oy şi Oz sunt caracterizate prin versorii i , jr r

şi respectiv kr

, astfel încât:

i j k 1= = =r r r

. (3)

A.1.1 Adunarea vectorilor

Suma a doi vectori ar şi br

este prin definiţie un vector cr reprezentat în modul, direcţie şi sens prin diagonala paralelogramului construit pe cei doi vectori, Figura 3.

c a b= +

rr r . (4)

Figura 3. Evidenţierea grafică privind adunarea a doi vectori

Relaţia 4, exprimă regula triunghiului de adunare a doi vectori. Suma a doi vectori este un vector care are originea în acelaşi punct cu primul vector iar extremitatea în vârful celui de-al doilea, după ce acesta a fost aşezat cu originea în extremitatea primului. Această definiţie a sumei poartă denumirea şi de regula paralelogramului. Dacă pentru a aduna doi vectori se utilizează regula paralelogramului se observă că nu se face nici o ipoteză asupra ordinii. Concluziile sunt evidenţiate în Tabelul 1.

Tabelul 1. Proprietăţile adunării a doi vectori.

Specificaţie Relaţia matematică Nr. relaţieAdunarea vectorilor este comutativă a b b a+ = +

r rr r (5) Adunarea vectorilor este asociativă a (b c) (a b) c+ + = + +

r rr r r r (6) Există element neutru faţă de adunarea vectorilor. Acesta se numeşte vectorul nul.

a 0 a+ =rr r

(7)

Orice vector a are un vector opus a−r a ( a) 0+ − =rr r (8)

Demonstraţia relaţiei 6 din Tabelul 1 poate fi evidenţiată grafic în Figura 4. Această

relaţie permite ca adunarea a trei vectori să se facă în orice ordine. Modalitatea de calcul grafic a vectorului rezultant bazată pe regula triunghiului poate fi generalizată pentru un număr oarecare de vectori, construindu-se poligonul vectorilor echipolenţi, astfel ca fiecare vector să aibă originea în extremitatea vectorului precedent.

Pentru a aduna n vectori, se aşează vectorii într-o ordine oarecare astfel încât originea unuia să coincidă cu vârful celui precedent. Vectorul sumă este vectorul ce uneşte originea primului cu extremitatea ultimului, Figura 5.

Din modul de definire al elementului neutru rezultă că direcţia şi sensul acestuia nu sunt definite. Se poate demonstra că atât elementul neutru cât şi vectorul opus al unui vector dat sunt unice.

arbr

crar

br

cr

Page 132: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

324

Figura 4. Adunarea a trei vectori a, b, c

rr r

Figura 5. Adunarea a n vectori, ka , k 1, n=

r

Mulţimea vectorilor înzestrată cu operaţia de adunare are o structură de grup comutativ denumită şi grup abelian.

Observaţii a) Dacă în poligonul vectorilor echipolenţi originea primului vector coincide cu

extremitatea ultimului vector, atunci vectorul rezultant este nul; b) Diferenţa a doi vectori se obţine adunând primul vector cu cel de al doilea luat cu

semn schimbat; c) În cazul unui sistem de vectori coliniari, vectorul rezultant are aceeaşi direcţie cu

cea a vectorilor componenţi.

A.1.2 Înmulţirea unui vector cu un scalar Produsul dintre un vector ar şi un scalar R∈λ este un vector notat aλr care este paralel cu ar , are mărime egală cu produsul dintre mărimea vectorului şi modulul scalarului, iar sensul coincide cu al lui ar dacă λ > 0 şi sens contrar lui ar dacă λ < 0 . Pentru λ = 0 se obţine vectorul nul. Proprietăţile înmulţirii unui vector cu un scalar sunt evidenţiate în Tabelul 2.

Mulţimea vectorilor înzestrată cu operaţiile de adunare a vectorilor şi de înmulţire a unui vector cu un scalar formează un spaţiu vectorial.

arbr

cr

a b+rr

b c+r ra b c+ +

rr r

1ar

2arn 1a −

r

narn

kk 1

a=∑ r

Page 133: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

325

Tabelul 2. Proprietăţile înmulţirii unui vector cu un scalar. Specificaţie Relaţia matematică Nr. relaţie

Există element neutru notat cu 1 1a a=r r (9)

Asociativitatea înmulţirii scalarilor faţă de înmulţirea unui vector cu un scalar.

( a) ( )aλ µ = λµr r ,

unde R, ∈µλ

(10)

Distributivitatea adunării scalarilor faţă de înmulţire unui vector cu un scalar.

( )a a aλ +µ = λ +µr r r

(11)

Distributivitatea adunării vectorilor faţă de înmulţirea unui vector cu un scalar.

(a b) a bλ + = λ + λr rr r

(12)

Pot exista şi următoarele relaţii:

( 1)a a; 0a 0; 0 0− = − = λ =r r rr r r

au ; u 1a

= =r

r rr

(13)

A.1.3 Produsul scalar a doi vectori Prin definiţie produsul scalar a doi vectori ar şi b

r este numărul notat p a b= ⋅

rr egal cu produsul mărimilor celor doi vectori şi cosinusul unghiului dintre ei, relaţia 14, Figura 6.

p a b a b cos( )= ⋅ = θ

r rr r. (14)

ar

br

θ

Figura 6. (a,b)θ = θrr

Din definiţie rezultă că produsul scalar este pozitiv când unghiul θ este ascuţit, negativ

când θ este obtuz şi nul când θ este unghi drept. Ca urmare, doi vectori sunt perpendiculari dacă produsul lor scalar este nul şi reciproc.

Proprietăţile produsului scalar sunt prezentate în Tabelul 3. Tabelul 3. Proprietăţile produsului scalar.

Specificaţie Relaţia matematică Nr. relaţieComutativitatea a b b a⋅ = ⋅

r rr r (15) Asociativitatea faţă de înmulţirea unui vector cu un scalar

( a)b (a b)λ = λ ⋅r rr r , R∈λ

(16) Distributivitatea faţă de adunarea vectorilor (a b) c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅

r rr r r r r (17) Pătratul unui vector este egal cu pătratul normei sale

2a a a .⋅ =r r (18)

Cu ajutorul produsului scalar se poate determina unghiul dintre doi vectori ar şi br

. Din relaţia 14, rezultă:

a bcos( )a b⋅

θ =rr

rr .

(19)

Page 134: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

326

A.1.4 Proiecţia unui vector pe o axă. Proiecţia unui vector pe o axă poate fi exprimată prin utilizarea produsului scalar. Se

consideră un vector ar şi o axă ∆ de versor ur . Proiecţia vectorului pe axa ∆ , reprezintă lungimea segmentului care are capetele în punctele obţinute prin proiectarea extremităţilor vectorului pe axă, Figura 7.

pr a a cos( a 1 cos( ) a u∆ = θ) = ⋅ ⋅ θ = ⋅

r r r r ; în care u 1=r . (20)

Conform relaţiei 20, pentru a proiecta un vector pe o axă se înmulţeşte scalar vectorul

cu versorul axei.

Figura 7. Proiecţia unui vector pe o axă

A.1.5 Produsul vectorial Definiţie: Produsul vectorial a doi vectori ar şi b

r consideraţi în această ordine, notat

v a b= ×rrr este un vector cu următoarele proprietăţi:

- este perpendicular pe planul determinat de vectorii ar şi br

; - sensul este dat de regula unui şurub drept rotit astfel ca primul vector ar să se

suprapună peste cel de-al doilea br

, pe drumul cel mai scurt, Figura 8; - mărimea este egală cu aria paralelogramului construit cu cei doi vectori, consideraţi

ca laturi, adică:

v | a b | a b sin( )= × = θr rr rr

. (21)

O altă regulă utilă pentru determinarea sensului produsului vectorial este cea a

observatorului potrivit căreia sensul produsului vectorial este înspre capul unui observator care, aşezat pe planul vectorilor ar , b

r vede rotaţia primului peste al doilea, pe drumul cel mai

scurt, în sens invers rotaţiei acelor unui ceasornic, Figura 8. Proprietăţile produsului vectorial sunt prezentate în Tabelul 4.

ar

ur

θ∆

pr a∆r

Page 135: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

327

Figura 8. Regula şurubului drept pentru determinarea sensului produsului vectorial Tabelul 4. Proprietăţile produsului vectorial.

Specificaţie Relaţia matematică Nr. relaţieAnticomutativ. a b b a× = − ×

r rr r (22) Asociativ în raport cu înmulţirea vectorilor cu scalari.

( a) b (a b)λ × = λ ×r rr r

(23)

Distributiv faţă de adunarea vectorială: (a b) c a c b c+ × = × + ×r rr r r r r (24)

Produsului vectorial se anulează când unul din vectori este nul sau când

sin( ) 0 0θ = ⇒ θ = sau π=θ . În fapt, rezultă: Condiţia necesară şi suficientă ca doi vectori sa fie paraleli este ca

produsul lor vectorial să fie nul. A.1.6 Componentele carteziene ale unui vector

Se numeşte sistem cartezian de coordonate un ansamblu de trei axe reciproc perpendiculare care au un punct comun O. Fie i , j, k

r r r versorii celor trei axe notate cu Ox, Oy

şi Oz. Vectorii i , j, kr r r

satisfac relaţiile:

i j j k k i 0⋅ = ⋅ = ⋅ =r r r r r r

; i j k2 2 2 1= = = ,

i i 0; j j 0; k k 0; i j k; j k i ; k i j× = × = × = × = × = × =r r r r r r r r r r r r r r r

.

(25)

Un sistem de referinţă triortogonal drept se obţine prin considerarea a doi versori

perpendiculari ir

şi jr

, iar versorul kr

se alege în aşa fel încât să coincidă cu i j×r r

, Figura 9a. Un sistem care nu este drept este stâng, Figura 9b

Şurub drept

br

ar

θ

v a b= ×rrr

Page 136: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

328

a - sistem de referinţă drept

b - sistem de referinţă stâng

Figura 9. Sistem de referinţă drept şi stâng

În continuare dacă nu se face o precizare specială, toate sistemele de referinţă vor fi apriori considerate drepte.

Versorii i , j, kr r r

formează o bază ortogonală sau normată, mai pe scurt ortonormată. Un vector ar va putea fi exprimat cu ajutorul acestei baze astfel:

1 2 3a a i a j a k= + +r r rr

, (26)

unde 321 a,a,a sunt proiecţiile vectorului ar pe axele sistemului, Figura 10.

Figura 10. Proiecţia vectorului ar pe axele sistemului Oxyz.

Multiplicând scalar ecuaţia 26 cu versorii celor trei axe şi având în vedere

perpendicularitatea lor reciprocă se obţin expresiile proiecţiilor:

1 2 3a a i; a a j; a a k= ⋅ = ⋅ = ⋅r r rr r r

. (27)

ir

jr

k i j= ×r r r

ir

jr

k i j= − ×r r r

O

z

x

y

αkr

jr

ir

1a

2a

ar

3a

γ

β

Page 137: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

329

Un vector liber este complet determinat dacă se cunosc proiecţiile sale pe axele unui sistem de coordonate cartezian. Pentru aceasta trebuie precizate mărimea vectorului iar direcţia şi sensul vor rezulta dacă sunt cunoscute unghiurile pe care vectorul le formează cu axele de coordonate, Figura 10. Modulul şi cosinusurile unghiurilor se pot calcula cu relaţiile:

2 2 2 2

1 2 3a a a a a a a= = ⋅ = + +r r

;

31 2

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

aa acos( ) ; cos( ) ; cos( ) .a a a a a a a a a

α = β = γ =+ + + + + +

(28)

Mărimile cos( )α , cos( )β şi cos( )γ se numesc parametrii directori ai direcţiei

vectorului ar . Cele trei mărimi nu sunt independente, ele sunt legate prin relaţia:

cos( ) cos( ) cos(α β γ2 2 2 1+ + ) = . (29)

Reprezentarea vectorilor în sistemul cartezian prin componentele lor scalare prezintă

avantajul că se pot exprima analitic operaţiile algebrice precum adunarea, produsul scalar şi produsul vectorial.

Dacă doi vectori 1 2 3a a i a j a k= + +r r rr şi 1 2 3b b i b j b k= + +

r r r r sunt daţi prin proiecţiile lor

carteziene, atunci adunarea lor, produsul scalar, unghiul dintre cei doi vectori şi produsul vectorial se pot calcula cu relaţiile din Tabelul 5.

Tabelul 5. Operaţii elementare cu vectori.

Specificaţie Relaţia matematică Nr. relaţie

Adunarea şi scăderea 1 1 2 2 3 3a b (a b )i (a b ) j (a b )k± = ± + ± + ±

r r r rr (30)

Produsul scalar 3

1 1 2 2 3 3. i ii 1

p a b a b a b a b a b=

= ⋅ = + + =∑rr

(32)

Unghiul dintre cei doi vectori

1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a b a b a ba bcos( )a b a a a b b b

+ +⋅θ = =

+ + + +

rr

rr

(33)

Produsul vectorial

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

i j kv a b a a a (a b a b ) i (a b a b ) j (a b a b )k

b b b= × = = − + − + −

r r r

r r r rrr

(34)

Între produsul scalar şi cel vectorial există o relaţie de legătură cunoscută sub denumirea

de identitatea lui Lagrange

2 2 2 2(ab) (a b) a b+ × =r rr r

. (35)

A.1.7 Dublul produs vectorial Fiind daţi vectorii ar , b

r şi cr , se pot forma următoarele două produse vectoriale duble

(a b) c× ×rr r şi a (b c)× ×

rr r :

Page 138: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

330

(a b) c (ac)b (bc)a× × = −r r rr r rr r r

;

a (b c) [(b c) a] [(ab)c (ac)b] (ac)b (ab)c× × = − × × = − − = −r r r r r rr r r r r r rr rr r r

.

(36)

Din relaţiile 36 rezultă o regulă generală de dezvoltare a dublului produs vectorial:

Dezvoltarea dublului produs vectorial conţine doi termeni: primul este factorul de la mijloc multiplicat cu produsul scalar al celorlalţi doi, iar al doilea este celălalt factor din paranteză multiplicat cu produsul scalar al celorlalţi doi luat cu semn schimbat.

A.1.8 Produsul mixt a trei vectori

Produsul mixt al vectorilor a, brr şi cr se obţine prin înmulţirea scalară a vectorului a b×

rr cu vectorul cr , Figura 11.

Mărimea produsului mixt este egală cu volumul paralelipipedului ce are ca laturi cei trei vectori. Acest fapt este evidenţiat în Figura 11. Produsul mixt se poate scrie:

M (a b) c | a b | | c | cos( )= × ⋅ = × ⋅ θ

r rr r r r. (37)

cr

br

a b×rr

ar

θ

Figura 11. Reprezentarea geometrică a produsului mixt Modulul | a b |×

rr reprezintă aria paralelogramului de laturi ar şi br

iar | c | cos( )θr reprezintă proiecţia vectorului c pe perpendiculara la planul primilor doi vectori, adică înălţimea paralelogramului. Rezultatul este afectat de semnul (+) sau (-) după cum unghiul θ este ascuţit sau obtuz. Dacă semnul produsului mixt este pozitiv se spune că triedrul format de cei trei vectori este un triedru drept, iar dacă produsul mixt este negativ rezultă un triedru stâng. Proprietăţile produsului mixt sunt evidenţiate în Tabelul 6.

Interpretarea geometrică a produsului mixt permite exprimarea condiţiei de cooplanaritate a trei vectori:

Condiţia necesară şi suficientă ca trei vectori să fie coplanari este ca produsul lor mixt să fie nul.

Page 139: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

331

Tabelul 6. Proprietăţile produsului mixt. Specificaţie Relaţia matematică Nr.

relaţie Într-un produs mixt se poate schimba semnul de înmulţire vectorială cu cel de înmulţire scalară, astfel că în final se poate renunţa la acestea

(a b) c a(b c) a b c× = × =

r r rr r r r r r

(38)

Dacă într-un produs mixt se schimbă doi factori între ei produsul mixt îşi schimbă semnul.

ba c (b a) c (a b) c a b c= × = − × = −r r r rr r r r r r r r

(39)

O permutare circulară a factorilor nu schimbă semnul produsului mixt.

abc bca cab= =r r rr r rr rr

(40)

Înmulţirea unuia din factorii produsului cu un scalar λ conduce la multiplicarea produsului cu scalarul respectiv.

[ (a) b]c (a b) c (abc)λ × = λ × = λ

r r rr r r r r r

(41)

Exprimarea produsului mixt cu ajutorul componentelor celor trei vectori se face înmulţind scalar vectorul v a b= ×

rrr cu vectorul 1 2 3c c i c j c k= + +

r r rr

M (a b) c v c= × ⋅ = ⋅

rr r rr

(42)

Produsul mixt se poate exprima matematic sub forma de determinant.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aa b c b b b

c c c=

rr r

(43)

A.1.9 Ecuaţii cu vectori Ecuaţiile cu vectori care se pot forma sunt de următoarele tipuri, Tabelul 6 Tabelul 6. Tipuri de ecuaţii cu vectori

Tipul ecuaţiei Soluţia ecuaţiei Nr. relaţie

x aα =rr , cu α ≠ 0 ax =

α

rr

(44)

a x p=r r

2

px a b; ab 0, Ra

= +ρ = ρ∈r rr rr

(45)

a x b× =rr r , a b 0⋅ =

rr 2

a bx aa×

= + λrr

rr , 2

a xa

λ =r r

- un scalar oarecare

(46)

A.1.10 Dependenţă şi independenţă lineară. Fiind daţi n vectori 1 2 na ,a ,...., ar r r , diferiţi de vectorul nul, spunem că aceşti vectori sunt

linear independenţi dacă relaţia de forma 46 este îndeplinită dacă şi numai dacă 1 2 n... 0λ = λ = = λ = ,

1 1 2 2 n na a .... a 0;λ + λ + + λ =r r r

i R, i 1, nλ ∈ = . (47)

Dacă relaţia 47 poate avea loc fără ca toate numerele λ λ λ1 2, ,..., n să fie nule, vectorii

iar se numesc linear dependenţi.

Page 140: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

332

A.1.11 Dimensiunea unui spaţiu vectorial Se spune că un spaţiu vectorial are dimensiunea n dacă oricare n vectori sunt lineari independenţi şi oricare n 1+ vectori sunt linear dependenţi.

Dimensiunea unui spaţiu vectorial este egală cu numărul maxim de vectori lineari independenţi.

A.1.12 Coordonatele unui vector într-o bază oarecare Se numeşte bază a unui spaţiu vectorial n-dimensional un număr de n vectori lineari

independenţi. Consecinţă: Într-un spaţiu fizic cu trei dimensiuni există cel mult trei vectori linear

independenţi. Într-un spaţiu n-dimensional, în care se consideră un vector b

r şi o bază formată din

vectorii 1 2 ne , e ,...., er r r , se poate scrie relaţia:

1 1 2 2 n ne e .... e b 0λ + λ + + λ + λ =rr r r

, (48)

în careλ ≠ 0, altfel toţi vectorii din expresia 48 ar fi linear independenţi şi spaţiul vectorial ar fi (n+1) - dimensional. În aceste condiţii vectorul b poate fi scris:

1 2 n1 2 nb e e .... eλ λ λ = − + − + + − λ λ λ

r r r r.

(49)

Prin relaţia 49 se pune în evidenţă faptul ca într-un spaţiu vectorial n-dimensional orice

vector poate fi exprimat printr-o combinaţie liniară a vectorilor unei baze. Coeficienţii vectorilor bazei − − −λ λ λ λ λ λ1 2/ , / , ....., /n din expresia 48 se numesc coordonatele vectorului b

r în baza 1 2 ne , e ,...., er r r . Ca particularizări se consideră mulţimea vectorilor

coliniari şi mulţimea vectorilor coplanari. Mulţimea vectorilor coliniari are dimensiune unu şi oricare doi vectori vor fi liniar dependenţi. Rezultă că doi vectori a, b

rr să fie coliniari între ei trebuie să existe o relaţie de forma:

a b 0λ +µ =

rr, (50)

în care λ şi µ nu sunt simultan nuli.

În cazul vectorilor din acelaşi plan dimensiunea spaţiului vectorial este doi şi atunci oricare trei vectori coplanari a, b

rr şi cr sunt lineari dependenţi între ei, existând o relaţie de forma:

a b c 0λ +µ + ν =

rr r, (51)

în care λ , µ şi ν nu sunt simultan nuli.

A.1.13 Schimbarea bazei Se consideră un vector ar şi o baza carteziană { }i , j, k

r r r. Presupunem cunoscute

componentele scalare ( )1 2 3a ,a ,a ale vectorului ar în această bază. Dorim să transferăm acest

vector în altă bază carteziană, fie aceasta { }1 2 3e , e , er r r , Figura 12.

Page 141: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

333

x

y

z

O

P

A

ar

ir

kr

jr

rr

αr

3er

1z

1x

2er

1er

1y

Figura 12. Schimbarea bazei unui vector

Vectorul ar în baza de referinţă { }i , j, k

r r rare expresia:

1 2 3a a i a j a k= + +r r rr

. (52)

În noua bază { }1 2 3e , e , er r r vectorul ar poate fi scris:

1 1 2 2 3 3a e e e= α +α +α

r r r r, (53)

unde ( )1 2 3, ,α α α sunt componentele scalare în noua baza { }1 2 3e , e , er r r , considerate necunoscute şi care pot fi determinate cu relaţiile:

1 1 1 1 2 1 3 1

2 2 1 2 2 2 3 2

3 3 1 3 2 3 3 3

a e a i e a j e a k e ;

a e a i e a j e a k e ;

a e a i e a j e a k e .

α = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

α = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

α = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

r r rr r r r r

r r rr r r r r

r r rr r r r r

(54)

Această transformare este convenabil a fi scrisă sub forma matricială:

[ ] [ ] [ ]Q aα = ⋅ , (55)

unde:

[ ]α este matricea componentelor vectorului ar în baza { }1 2 3e , e , er r r ;

[ ]a este matricea componentelor vectorului ar în baza { }i , j, kr r r

;

[ ]Q este matricea de rotaţie.

Page 142: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

334

[ ] [ ] [ ]1 1 11 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

e i e j e ka; a a ; Q e i e j e k

a e i e j e k

⋅ ⋅ ⋅α α = α = = ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅

r r rr r r

r r rr r r

r r rr r r.

(56)

Elementele matricei [ ]Q reprezintă din punct de vedere fizic cosinusurile dintre versorii

axelor între care se efectuează produsul scalar, de exemplu 1e i cos⋅ = θrr , unde θ este unghiul

dintre versorii 1er şi ir

. În mod similar se pot defini şi ceilalţi cosinuşi. A.2 ELEMENTE DE ANALIZA VECTORIALĂ

A.2.1. Vectori variabili Un vector poate avea doua elemente variabile: modulul şi direcţia. Dacă unul dintre

aceste elemente sau ambele variază, vectorul se consideră variabil. Se pot menţiona ca exemple vectorii de poziţie, viteză şi acceleraţie a unui punct material care descrie o anumita traiectorie.

Fie vectorul x y za a i a j a k= + +r r rr

, raportat la un sistem de referinţa cu baza { }i , j, kr r r

fixată, independentă de timp, el este un vector variabil dacă va avea cel puţin una din proiecţiile sale o funcţie de timp:

( ) ( ) ( )x x y y z za a t ; a a t ; a a t= = = . (57)

Vectorul ar este denumit funcţie vectorială de variabilă t.

A.2.2 Derivata unui vector variabil Se consideră un vector variabil, a a(x)=

r r care, la valorile x respectiv (x+∆x), ocupă poziţiile ( )a xr respective ( )a x x+ ∆

r . Derivata vectorului ar este limita raportului dintre variaţia vectorială a vectorului şi creşterea corespunzătoare a variabilei independente, când aceasta din urmă tinde către zero:

x 0 x 0

a(x x) a(x) a dalim limx x x x dx∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆= =

+ ∆ − ∆

r r r r

.

(58)

În cazul când variabila independenta x este timpul t, derivata se notează cu un punct

deasupra barei, adică:

da a(t)dt

=r

r& ,

(59)

unde x y za a (t) i a (t) j a (t)k= + +r r rr& & & & .

Reguli de derivare a vectorilor variabili. Regulile de derivare din analiza scalară se

menţin şi în analiza vectorială. Principalele formule de derivare a vectorilor variabili sunt date în Tabelul 7.

Page 143: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

335

Tabelul 7. Principalele reguli de derivare în raport cu timpul t. Nr. crt. Specificaţie Formula de derivare 1 Derivata unui vector constant. c 0=

r& 2 Derivata unei sume sau diferenţe de

vectori. 1 2 1 2d (a a ) a adt

± = ±r r r r& &

3

Derivata produsului dintre un scalar şi un vector.

d [m(t)a(t)] m(t)a(t) m(t)a(t)dt

= +r r r&&

d [ma(t)] ma(t), dacă m cons tan tdt

= =r r&

4 Derivata unui produs scalar de vectori.

d [b(t)a(t)] b(t)a(t) b(t)a(t)dt

= +r r rr r r& &

5 Derivata unui produs vectorial. d [a(t) b(t)] a(t) b(t) a(t) b(t)dt

× = × + ×r r rr r r &&

A.2.3 Gradientul unui câmp scalar. Gradientul este un operator diferenţial de ordinul întâi de forma:

grad i j kx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

r r r.

(60)

În literatura de specialitate acest operator vectorial se mai notează şi cu nabla ∇ .

Fie un câmp scalar φ , într-un spaţiu tridimensional. Gradientul acestui câmp este un vector notat cu φgrad( ) sau ∇φ .

Dacă se consideră câmpul scalar definit prin funcţia ( )x, y, zφ = φ , unde x, y, z sunt

componentele scalare ale unui vector de poziţie r x i yj zk= + +r r rr , atunci expresia matematică a

gradientului în baza carteziană { }i , j, kr r r

este:

grad( ) i j kx y z∂φ ∂φ ∂φ

φ = + +∂ ∂ ∂

r r r.

(61)

A.2.4 Gradientul unui câmp vectorial Fie un câmp vectorial rv , într-un spaţiu tridimensional. Gradientul acestui câmp este un

tensor notat cu grad(v) sau v∇ . Dacă se consideră câmpul vectorial definit prin ( )1 2 3v=v x , x , xr r , unde 1 2 3x , x , x sunt componentele scalare ale unui vector de poziţie

1 2 3r x i x j x k= + +r r rr , atunci expresia matematică a gradientului în baza { }i , j, k

r r r este:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

v v vx x xv v vgrad(v)x x xv v vx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

(62)

Page 144: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

336

A.2.5 Divergenţa unui câmp vectorial. Fie un câmp vectorial vr , într-un spaţiu tridimensional. Divergenţa acestui câmp este un

scalar notat cu ( ) = ∇⋅rr rdiv v v .

Dacă se consideră câmpul vectorial definit prin ( )1 2 3x x xv=v , ,r r , unde 1 2 3x , x , x sunt

componentele scalare ale unui vector de poziţie 1 2 3r x i x j x k= + +r r rr , atunci expresia

matematică a divergenţei reprezintă produsul scalar dintre operatorul gradient şi vectorul rv ,

31 2

1 2 3

vv vdiv( ) gradx x x

v v ∂∂ ∂= ⋅ = + +

∂ ∂ ∂r r

.

(63)

A.2.6 Rotorul unui câmp vectorial Fie vr un câmp vectorial plasat într-un spaţiu tridimensional. Rotorul acestui câmp este

un vector notat cu = ∇×r rrot(v) v .

Dacă se consideră câmpul vectorial definit prin ( )1 2 3x x xv=v , ,r r , unde 1 2 3x , x , x sunt

componentele scalare ale unui vector de poziţie 1 2 3r x i x j x k= + +r r rr , atunci expresia

matematică a rotorului reprezintă produsul vectorial dintre operatorul gradient şi vectorul vr ,

3 32 1 2 1

1 2 3 2 3 3 1 1 2

1 2 3

i j kv vv v v vgrad v i j k

x x x x x x x x xv v v

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂× = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r

r r rr.

(64)

A.2.7 Teorema de divergenţă Fie D un domeniu închis mărginit de suprafaţa S, plasat într-un spaţiu tridimensional.

Se notează cu nr versorul normalei întrun-un punct de pe suprafaţa S, Figura 13. Se consideră un câmp vectorial U

r, care este continuu şi are derivatele parţiale de ordinul întâi continue pe

acest domeniu, astfel încât se poate scrie:

(V) (S)

div(U)dV U ndA= ⋅∫ ∫r r r

. (65)

S

x

y

znr

D

Figura 13. Domeniul D plasat într-un spaţiu 3D

Page 145: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

337

A.2.8 Derivata totală a unui vector In anumite aplicaţii practice întâlnite în dinamica mişcării relative sau dinamica

atmosferei, un câmp vectorial poate fi descris prin v v(x, y, z, t)=r r . Variaţia totală a

vectorului v(x, y, z, t)r într-un punct fix, faţă de un sistem de referinţă dat se poate exprima într-o primă aproximaţie, prin diferenţiala vectorului vr :

v v v vdv dt dx dy dzt x y z

∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂

r r r rr

.

(66)

sau dacă împărţim la dt, rezultă:

dv v v v vv u v wdt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= = + + +

∂ ∂ ∂ ∂

r r r r rr& ,

(67)

unde udxdt

= , vdydt

= , wdydt

= , reprezintă derivatele în raport cu timpul t ale

coordonatelor vectorului r r(x, y, z)=r r în sistemului cartezian considerat.

Relaţia 67 mai poate fi scrisă sub forma:

dv vv v grad(v)dt t

∂= = + ⋅

r rr r& .

(68)

Ca urmare se poate introduce operatorul

d v grad(v)dt t

∂= + ⋅∂

r.

(69)

Acest operator are sens numai dacă este aplicat unei funcţii continue şi diferenţiale în

raport cu x, y, z şi t. Variaţia totală a unei proprietăţi oarecare P a unui câmp scalar, de exemplu temperatură sau a unui câmp vectorial, precum viteza unui fluid în mişcare relativă, se poate exprimă:

dP P v grad(P)dt t

∂= + ⋅∂

r,

(70)

unde ∂ ∂P t reprezintă variaţia locală a proprietăţii P, într-o poziţie fixă rr , datorată variaţiei temporale a proprietăţii P, iar termenul v grad(P)⋅

r reprezintă variaţia conectivă a proprietăţii P, asociată cu deplasarea elementului de volum considerat într-o altă poziţie.

A.2.9 Diferenţială totală exactă a unui vector Pentru a studia mişcarea unui corp plasat într-un sistem de referinţă, aflat în rotaţie cu

viteza unghiulară ωr , este necesar să stabilim o relaţie între derivata totală a unui vector reprezentat într-un sistem de referinţă inerţial şi derivata totală corespunzătoare vectorului, reprezentat în sistemul de referinţă aflat în mişcare de rotaţie.

Fie un vector oarecare Fr

, plasat într-un sistem de referinţă inerţial, Figura 14, exprimat prin componentele carteziene,

x y zF F i F j F k= + +r r rr

. (71)

Page 146: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

338

Faţă de un sistem de referinţă neinerţial, Figura 14, care se roteşte cu viteza unghiulară constantω=

r , în raport cu primul, vectorul Fr

se poate exprima cu relaţia:

1 1 2 2 3 3F Fe F e F e= + +r r r r

. (72)

z

x

yOir j

rkr

SRI

O1er

3er

2errr

1rr

Fr

1z

1x

1y

cons tan tω=r

SRA

Figura 14. Vector plasat într-un sistem inerţial şi într-un sistem neinerţial

Derivata totală a vectorului F

r în sistemul inerţial, adică într-un sistem fixat, se poate

calcula cu relaţia:

yx zdFdF dFdF i j k

dt dt dt dt= + +

rr r r

,

(73)

Derivata totală a vectorului F

r în sistemul de referinţă neinerţial, se poate calcula cu

relaţia:

3 31 2 1 21 2 3 1 2 3

dF dedF dF de dedF e e e F F Fdt dt dt dt dt dt dt

= + + + + +r rr r

r r r,

(74)

în care 31 2 dede de, ,dt dt dt

rr r

reprezintă vitezele liniare ale versorilor 1 2 3e , e , er r r , datorită rotaţiei

acestora cu viteza unghiulară ωr , în care

31 21 2 3

dede dee , e , edt dt dt

= ω× = ω× = ω×rr r

r r r r r r.

(75)

Folosind aceste relaţii în 74, se obţine:

31 2

1 2 3 1 1 2 2 3 3dFdF dFdF Fe e e ( e )F ( e )F ( e )F F

dt dt dt dt t∂

= + + + ω× + ω× + ω× = +ω×∂

r rrr r r r r r r r r r .

(76)

Page 147: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

339

A.3 ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL O matrice [ ]A este un tablou de elemente ( )m n× , aranjate în m linii şi n coloane de

forma:

[ ]11 12 1n

21 22 2nij

m1 m2 mn

a a ... aa a ... a

A a

a a ... a

= =

M M M M.

(77)

În aplicaţiile practice se pot întâlnii forme particulare de matrice, care sunt menţionate

în Tabelul 8. Tabelul 8. Tipuri particulare de matrice

Tipuri de matrice Specificaţie Matrice pătrată Numărul de linii este egal cu numărul de coloane m n= . Matrice coloană O matrice de forma ( )1 n× . Matrice linie O matrice de forma ( )m 1× . Matrice diagonală Este o matrice pătrată cu elementele ija 0= pentru i j≠ şi cel puţin

unul din elementele iia 0≠ . Matrice unitate, [ ]I Este o matrice diagonală în care toate elementele diagonale iia 1= Matrice simetrică Matrice pătrată cu elementele ij jia a= . Matrice antisimetrică

Matrice pătrată cu elementele ij jia a= − .

A.3.1 Operaţii cu matrice Adunarea. Fie două matrice [ ] ijA a = şi [ ] ijB b = , astfel că

[ ] [ ] [ ] ij ij ijC A B a b c = ± = ± = . (78)

Înmulţirea cu un scalar. Fie matricea [ ] ijA a = şi k un scalar,

[ ] [ ]ijk A ka D = = . (79)

Produsul a două matrice este posibil numai dacă numărul de coloane al matricei

[ ] ijA a = este egal cu numărul de linii ale matricei [ ] ijB b = . Dacă matricea [ ]A este de

forma ( )m n× şi matrice [ ]B este de forma ( )p q× , atunci produsul [ ] [ ]A B⋅ este definit dacă

n p= şi are forma ( )m q× , adică,

[ ] [ ] [ ]n

ij ik ikk 1

C A B c a b=

= ⋅ ⇒ = ∑ .

(80)

Page 148: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

340

Observaţie. Produsul matricial este distributiv şi asociativ, dar nu este comutativ,

[ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ] [ ][ ]A B C A B A C+ = + , [ ] [ ][ ]( ) [ ][ ]( )[ ]A B C A B C= ,

[ ][ ] [ ][ ]A B B A≠ .

(81)

Produsul dintre o matrice şi un vector este o operaţie particulară importantă, întâlnit

frecvent în aplicaţii. Se consideră doi vectori br

şi cr cu n componente, cărora li se poate ataşa o matrice coloană de forma ( )1 n× şi matricea [ ]A de forma ( )m n× , astfel:

1

2j

n

bb

b= b

b

=

M, [ ]

1

2i

n

cc

c= c

c

M, [ ]

11 12 1n

21 22 2nij

m1 m2 mn

a a ... aa a ... a

A a

a a ... a

= =

M M M M.

Înmulţirea dintre [ ]A b⋅ poate fi scrisă astfel:

[ ]n

i ij jj 1

c A b c a b=

= ⋅ ⇒ =∑ .

(82)

A.3.2 Transpusa unei matrice Se numeşte transpusa unei matrice [ ]A de forma ( )m n× matricea [ ]TA , de forma

( )m n× , care se obţine înlocuind în matricea [ ]A elementele jia cu ija , ceea ce revine a schimba liniile în coloane şi coloanele în linii,

[ ]

T11 12 1n 11 21 n1

TT 21 22 2n 12 22 n2ij

m1 m2 mn 1m 2m nm

a a ... a a a ... aa a ... a a a ... a

A a

a a ... a a a ... a

= = =

M M M M M M M M.

(83)

O matrice pătrată simetrică în raport cu diagonala principală se bucură de proprietatea

că [ ] [ ]TA A= , iar o matrice pătrată antisimetrică se bucură de proprietatea că [ ] [ ]TA A= − O proprietate importantă este evidenţiată de ecuaţia 84,

[ ][ ]( ) [ ] [ ]T T TA B B A= .

(84) A.3.3 Determinantul unei matrice Se defineşte numai pentru matrice pătrate. Fie matricea [ ]A de forma ( )m m× ,

determinantul ei se notează cu [ ]det A sau A . Pentru exemplificare se consideră matricea

de forma ( )2 2× ,

Page 149: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

341

[ ] 11 1211 22 12 21

21 22

a adet A det a a a a

a a

= = −

.

(85)

Final se prezintă determinantul unei matrice transpuse şi a unui produs de matrice,

[ ] [ ]Tdet A det A= , [ ][ ]( ) [ ] [ ]det A B det A det B= . (86)

A.3.4 Matricea inversă. Inversa unei matrice pătate [ ]A de forma ( )m m× , se notează cu [ ] 1A − şi are

proprietatea că,

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]1 1A A A A I− −= = . (87)

Inversa unei matrice [ ]A , se poate obţine astfel:

- se calculează matricea transpusa [ ]TA ;

- se înlocuieşte fiecare element din matricea [ ]TA cu minorul acestuia divizat prin

determinantul matricei [ ]A .

În final elementele matricei [ ] 1A − sunt exprimate funcţie de elementele matricei

[ ] ijA a = , cu relaţia:

[ ] [ ]1

ij1A ,

det A− = α

(88)

unde ij ijmin or(a )α = .

Evident, matricea inversă se poate calcula numai dacă [ ]det A 0≠ . O matrice care nu admite matrice inversă se numeşte matrice singulară.

Pentru exemplificare să calculăm inversa unei matrice de forma ( )2 2× ,

111 12 22 12

21 22 21 1111 22 12 21

a a a a1a a a aa a a a

− − = −−

.

(89)

In practică, este importantă proprietatea,

[ ][ ]( ) [ ] [ ]1 1 1A B B A− − −= . (90)

A.3.5 Exprimarea matricială a produsului scalar Fiind daţi doi vectori, ar şi b

r, cărora li se ataşează matricele coloană,

[ ] [ ]1 1

2 2

3 3

a ba a , b b

a b

= =

,

(81)

Page 150: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

342

produsul lor scalar se poate calcula cu relaţia:

[ ] [ ] [ ]1

T1 2 3 2 1 1 2 2 3 3

3

bp a b a b a a a b a b a b a b

b

= ⋅ = = = + +

rr

(92)

Evident, produsul scalar este comutativ, adică [ ] [ ] [ ] [ ]T Ta b b a= . A.3.6 Exprimarea matricială a produsului vectorial Se consideră vectorii ar şi b

r, exprimaţi matriceal prin relaţiile 89, produsul vectorial se

poate calcula cu relaţia:

[ ][ ]3 2 1 2 3 3 2

3 1 2 3 1 1 3

2 1 3 1 2 2 1

0 a a b a b a bv a b a b a 0 a b a b a b

a a 0 b a b a b

− − = × = = − ⋅ = − − −

rr% .

(93)

Se poate uşor verifica anticomutativitatea acestui produs

[ ][ ] [ ] [ ]T

a b b a b a = − = % %% , (94)

unde [ ]a% este matricea antisimetrică ataşată vectorului ar .

A.3.7 Valori proprii

Se consideră ecuaţia vectorială

[ ]A = λx x , (95)

unde:

x este o matrice coloană ( )n 1× de forma [ ]ix x , i 1, n= = ;

A este o matrice pătrată ( )n n× de forma ijA a , i, j 1, n = = , elementele ija sunt constante, iar λ un scalar care poate fi şi complex

Prin prelucrarea ecuaţiei 82 rezultă:

[ ] [ ]( )A I 0x=− λ , (96)

unde I este matricea unitate de tip ( )n n× .

Ecuaţia matricială 94 reprezintă un sistem de ecuaţii algebrice liniare şi omogene având ca necunoscute elementele ix ale matricei-coloană. Acest sistem are întotdeauna soluţia banală 0x = , adică [ ]ix 0x = = . Se cunoaşte că un asemenea sistem ca să admită soluţii diferite de cea banală este necesar şi suficient ca determinantul format din coeficienţii necunoscutelor ix să fie nul, adică:

Page 151: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

343

[ ] [ ]( )det A I 0− λ = . (97)

Prin detalierea ecuaţiei 97, se obţine:

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... aa a ... a

0... ... ... ...a a ... a

−λ−λ

=

−λ

.

(98)

Prin dezvoltarea determinatului din 98 se obţine o ecuaţie algebrică de ordinul n, de

forma 99, denumită ecuaţia caracteristică a matricei [ ]A :

n n 1 n 20 1 2 n 1 na a a ... a a 0− −

−λ + λ + λ + + λ + = . (99)

Rădăcinile ecuaţiei 99, i , i 1,nλ = , pot fi reale, imaginare sau complexe şi poartă numele de valorii proprii ale matricei [ ]A .

Pentru exemplificare se consideră o matrice ( )2 2× , de forma:

[ ] 11 12

21 22

a aA

a a

=

. (100)

Valorile proprii ale matricei se pot determina din ecuaţia:

[ ] [ ]( ) ( ) ( )11 1211 22 12 21

21 22

a adet A I det a a a a 0

a a− λ

− λ = = − λ − λ − = − λ .

(101)

Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin rădăcinile 1,2λ , adică:

( ) ( ) ( )1

2 21,2 11 22 11 22 11 22 12 21

1 1a a a a 4 a a a a2 2

λ = + + − − m . (102)

A.4 ELEMENTE DE CALCUL TENSORIAL În mecanică se pot întâlnii pe lângă mărimile scalare şi vectoriale, mărimile tensoriale

de diferite ordine. Noţiunea de tensor a fost introdusă de A.L. Chauchy. Se numeşte tensor de ordinul n o mărime caracterizată prin n3 scalari, care se schimbă

atunci când se schimbă sistemul de referinţă. Un tensor de ordinul zero este o mărime care nu variază atunci când se schimbă

sistemul de referinţă. Frecvent în mecanică se întâlneşte tensorul de ordinul al doilea. Acesta este o entitate

matematică caracterizată prin nouă scalari şi este practic un operator liniar T, care face să

Page 152: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

344

corespundă unui vector rv din spaţiul euclidian un vector ru al aceluiaşi spaţiu. El poate fi privit ca o funcţie liniară T, definită pe spaţiul euclidian, cu valori în acelaşi spaţiu:

r r ru=T(v)=Tv (103) Numerele ijS se numesc componentele tensorului în sistemul de coordonate ales. Aceste

componente pot fi aranjate într-o matrice pătratică având forma:

11 12 13

ij 21 22 23

21 22 23

S S SS S S S

S S ST=

=

.

(104)

Un tensor T se numeşte simetric dacă elementele ij jiS S= , antisimetric dacă ij jiS S= −

şi nul dacă ii jjS S 0= = . Un tensor antisimetric are numai trei componente esenţial distincte, dacă ne limităm la spaţiul tridimensional.

Orice tensor T poate fi descompus într-un tensor simetric ST şi un tensor antisimetric AT :

S AT T T= + , (105)

unde ( ) ( )A1 1S T TT T+T , T T-T2 2

= = poartă numele de partea simetrică, respectiv partea

antisimetrică a tensorului T, în care TT este tensorul transpus. Determinatul unui tensor de ordinul al doilea, det T , este determinantul matricei componentelor tensorului:

ijdet det S T= . (106)

A.4.1 Valori şi vectorii proprii. Invarianţii unui tensor Un număr λ se numeşte valoare proprie a tensorului T dacă există un vector nenul, ru ,

numit vector propriu, astfel încât:

λr rTu= u . (107)

O valoare proprie se numeşte valoare caracteristică sau principală. Un vector propriu de

mărime unitară, deci un versor propriu, defineşte o direcţie principală. Ecuaţia 94 poate fi scrisă sub formă vectorială astfel:

) 0λr(T- 1 u= . (108)

Ecuaţia 108 admite o soluţie nebanală, dacă şi numai dacă determinantul principal al

acestui sistem este nul, respectiv dacă λ satisface ecuaţia algebrică de gradul trei:

11 12 13

21 22 23

21 22 23

S S Sdet S S S 0

S S S

−λ −λ = −λ

.

(109)

Page 153: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de matematică aplicată

345

Ecuaţia 109 furnizează valorile proprii ale unui tensor simetric definit pe un spaţiu euclidian tridimensional. Prin dezvoltarea determinantului se obţine:

3 2

1 2 3I I I 0λ − λ + λ − = , (110)

unde 1 2I , I şi 3I se numesc primul, al doilea, respectiv al treilea invariant şi sunt daţi de relaţiile:

1 11 22 33I S S S= + + ;

( )2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 31I S S S S S S S S S= + + − + + ;

3 ijI det det S = = T .

(111)

Rezolvarea ecuaţiei 111 permite să se găsească cele trei valori proprii 1 2 3λ ≥ λ ≥ λ ale unui tensor simetric de ordinul al doilea, de componente cunoscute, care are forma:

[ ]1

i 2

3

0 00 00 0

λ λ = λ λ

T= .

(112)

Valorile proprii ale unui tensor nu depind de alegerea bazei ortonormate utilizată pentru

scrierea ecuaţiei caracteristice şi, ca urmare, coeficienţii acestei ecuaţii sunt invarianţii faţă de schimbarea bazei, adică:

1 1 2 3I = λ + λ + λ ;

2 1 2 2 3 3 1I = λ λ +λ λ + λ λ ;

3 1 2 3I det= = λ λ λT .

(113)

Un tensor principal de ordinul întâi are forma:

[ ] 1i

2

00λ

λ = λ T= .

(114)

Invarianţii acestui tensor sunt:

1 1 2I =λ +λ ;

2 1 2I = λ λ .

(115)

Page 154: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 1

INTRODUCERE IN REZISTENŢA MATERIALELOR

1.1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

Corpurile aflate în starea lor naturală se pot deforma sub acţiunea forţelor exterioare, iar

când deformaţiile depăşesc anumite limite, pot să apară deteriorări sau se pot rupe. S-a văzut

că în mecanica teoretică corpurile se consideră rigide şi în baza acestei ipoteze nu se pot

explica fenomenele care au loc atunci când corpurile se deformează sau se rup. Explicarea

acestor fenomene este făcută de discipline precum elasticitate şi plasticitate, rezistenţa

materialelor şi mecanica ruperii.

Rezistenţa materialelor este ştiinţa care studiază rezistenţa, rigiditatea şi stabilitatea

elastică a elementelor mecanice şi de construcţie, luând în calcul proprietatea corpurilor de a

se deforma. În final se stabilesc condiţiile pe care trebuie să le satisfacă astfel de elemente

pentru a rezista sub acţiunea sarcinilor aplicate, fără a se rupe sau deforma exagerat.

Rezistenţa materialelor oferă bazele de calcul funcţie de proprietăţile fizice ale

materialelor din care sunt realizate şi forţele care apar în interiorul corpurilor sub acţiunea

sarcinilor aplicate acestora.

Forţele de interacţiune care apar în interiorul corpului determină starea de tensiune, iar

deformaţiile care apar definesc starea de deformaţie. Determinarea stării de tensiune şi

deformaţie dintr-un corp depinde, în special, de forma geometrică a acestuia cât şi de felul

forţelor exterioare.

Problemele practice care apar sunt: dimensionarea, determinarea capacităţii

portante şi verificarea.

Dimensionarea constă în stabilirea dimensiunilor principale ale elementelor mecanice

şi de construcţie în funcţie de forţele aplicate şi materialul din care se realizează.

Determinarea capacităţii portante, adică a sarcinii maxime pe care o poate suporta un

element de dimensiuni date şi material cu proprietăţi cunoscute.

Verificarea, prin care se stabileşte dacă un element de geometrie dată şi material cu

proprietăţi cunoscute poate prelua în deplină siguranţă sau nu forţele ce acţionează asupra lui.

Page 155: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în rezistenţa materialelor

8

Cele trei tipuri de probleme menţionate mai sus se pot rezolva prin respectarea unuia

sau mai multora dintre criteriile de calcul ale rezistenţei materialelor. Uzual dimensionarea se

poate face pe baza unuia dintre criterii, iar verificarea să se facă pentru celelalte două.

În rezolvarea problemelor de rezistenţa materialelor se pot pune trei tipuri de condiţii:

condiţia de rezistenţă - în baza căreia se limitează forţele interioare la valori care

exclud posibilitatea apariţiei curgerii sau ruperii;

condiţia de rigiditate - care limitează valorile deformaţiilor admise;

condiţia de stabilitate elastică - are în vedere determinarea unor rapoarte între sarcina

de lucru, dimensiunile şi proprietăţile materialului pentru a asigura stabilitatea

elastică a configuraţiei de referinţă.

La rezolvarea tuturor problemelor de rezistenţa materialelor se urmăresc două principii

fundamentale: economia şi îndeplinirea rolului funcţional. Pe baza acestor principii

elementele mecanice trebuie realizate în soluţia cea mai avantajoasă din punct de vedere

economic şi anume cost minim de material, manoperă şi energie. Varianta constructivă

adoptată fiind pe deplin corespunzătoare rolului pe care elementul îl are în structura din care

face parte.

Dezvoltarea rapidă pe care a avut-o rezistenţa materialelor a făcut ca o serie de direcţii

de preocupare ale sale să devină în scurt timp noi discipline precum teoria elasticităţii, teoria

plasticităţii, teoria stabilităţii, mecanica ruperii, ş.a.

Criteriile fundamentale care stau la baza calculelor de rezistenţa materialelor sunt:

- siguranţa operaţională;

- îndeplinirea rolului funcţional;

- economia de material, manoperă şi transport.

1.2. CONSTRUCŢII REALE ŞI SCHEME DE CALCUL

Datorită funcţiilor pe care le îndeplinesc, elementele mecanice şi de construcţii au forme

geometrice mai simple sau complexe. Pentru simplificarea calculelor, acestea se

schematizează renunţându-se la o serie de detalii, păstrându-se pe cât posibil numai forma

generală şi trăsăturile esenţiale. La alegerea schemei de calcul a elementelor trebuie să se

facă un compromis între simplificarea la maximum a calcului şi obţinerea unei concordanţe

cât mai bune între rezultatele acestuia şi realitate.

Sub forma lor schematizată, rezistenţa materialelor operează cu trei tipuri de modele:

bare, plăci şi corpuri masive.

Page 156: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în rezistenţa materialelor

9

Barele sunt corpuri care au o dimensiune predominantă în raport cu celelalte două. Pot

fi caracterizate prin secţiunea transversală şi forma axei. Axa barei poate fi dreaptă, o linie

frântă sau curbă, Figura 1. Secţiunea transversală poate avea orice formă geometrică,

constantă sau variabilă. În această categorie se pot menţiona:

Tiranţi – bare supuse la tracţiune;

Stâlpi – bare supuse la compresiune;

Grinzile – bare solicitate la încovoiere.

Figura 1. Model de bare

Plăcile sunt corpuri cu două dimensiuni mari în raport cu a treia. Acestea se

caracterizează prin suprafaţa mediană şi prin grosime. Suprafaţa mediană poate fi plană sau

curbă, iar grosimea poate fi constantă sau variabilă, Figura 2. În categoria plăcilor intră

planşeele, învelişurile, cupolele, carcasele, membranele ş.a.

Page 157: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în rezistenţa materialelor

10

Figura 2. Placă dreaptă

Corpurile masive numite şi blocuri au toate dimensiunile a, b, c de acelaşi ordin de

mărime; Figura 3. În această categorie intră barajele, fundaţii, bile, role, tuburi cu pereţi

groşi, etc.

Din punct de vedere matematic, studiul stării de tensiuni şi deformaţii în blocuri este

complicat, ca urmare se aplică metode simplificate de calcul.

Figura 3. Bloc masiv

1.3. IPOTEZELE UTILIZATE ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR

Studiul solicitărilor la care sunt supuse corpurile reale se realizează în baza unor

ipoteze, care ţin seama de structura materialelor, de comportarea lor sub sarcinile aplicate ş.a.

Aceste ipoteze sunt evidenţiate în Tabelul 1.

Page 158: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în rezistenţa materialelor

11

Tabelul 1. Ipoteze ale rezistenţei materialelor

Denumirea ipotezei Specificaţie Ipoteza mediului continuu

Materialul din care este alcătuit un corp ocupă în mod continuu tot spaţiul reprezentat de volumul său

Ipoteza omogenităţii perfecte

Un corp prezintă la nivel de structură macroscopică sau microscopică aceeaşi valoare a unei anumite constante fizice.

Ipoteza izotropiei sau anizotropiei

Dacă materialul unui corp are aceleaşi proprietăţii fizico-mecanice, electrice, magnetice pe toate direcţiile se spune că este izotrop, în caz contrar se consideră anizotrop. Exemple: metalele, aliajele, betonul se pot considera izotrope, iar lemnul şi materialele pe bază de lemn precum stratificatele sunt considerate anizotrope.

Ipoteza elasticităţii perfecte

Dacă un corp este solicitat până la limita de elasticitate, iar după înlăturarea sarcinilor exterioare revine instantaneu la configuraţia de referinţă se spune că este perfect elastic.

Ipoteza lui Hooke Se acceptă o proporţionalitate între tensiuni şi deformaţii în baza legii lui Hooke. Nu toate materialele utilizate în aplicaţii tehnice au o comportare de tip Hooke.

Ipoteza deformaţiilor mici

Ca urmare a solicitării până la limita elastică, deformaţiile corpurilor rezultate sunt mici în comparaţie cu dimensiunile lor. În baza acestei ipoteze corpurile pot fi considerate rigide şi nedeformabile. Această ipoteză este utilizată la calculul reacţiunilor, construirea diagramelor de eforturi secţionale ş.a.

Ipoteza lui Saint Venant

Conform căreia în secţiunile suficient de depărtate de punctele de aplicaţie a sarcinilor nu se mai resimte modul efectiv de repartizare. Se consideră două modele cu aceleaşi dimensiuni solicitate ca în Figura 4. În cazul a cu sarcină concentrată şi în cazul b cu sarcină distribuită, echivalentă din punct de vedere static cu prima. Efectul local este diferit la cele două modele. La distanţă însă de locul de aplicare (în încastrare) legea de repartiţie a tensiunilor pe secţiune şi valoarea lor este aceeaşi

Ipoteza lui Bernoulli Potrivit căreia secţiunile plane şi normale la axa barei înainte de deformaţie, Figura 5a, rămân plane şi normale la axa barei şi după deformaţie, Figura 5b

q

a

+a/2

F=qa

B

B

B1

B1

a

b

F

Figura 4. Modelul ipotezei lui Saint Venant Figura 5. Modelul ipotezei lui Bernoulli

Page 159: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Introducere în rezistenţa materialelor

12

1.4. TENSIUNEA ADMISIBILĂ ŞI COEFICIENŢI DE SIGURANŢĂ

Metoda de calcul frecvent utilizată în rezistenţa materialelor se bazează pe utilizarea

tensiunii admisibile. În baza acestei metode condiţia de rezistenţă a unei structuri este

îndeplinită dacă tensiunea maximă din punctul cel mai solicitat nu depăşeşte o anumită

valoare limită pentru un anumit tip de material, numită rezistenţă admisibilă.

Prin rezistenţă admisibilă aρ , se înţelege tensiunea limită pe care o poate suporta un

material aflat într-o anumită stare de tensiune, astfel încât elementele realizate din acel

material să-şi îndeplinească rolul funcţional în deplină siguranţă.

Rezistenţa admisibilă se alege în funcţie de o serie de factori constructivi sau se

determină ca o fracţiune din tensiunea limită. Fracţiunea respectivă se numeşte coeficient de

siguranţă şi se notează cu c. Ca urmare tensiunea admisibilă se poate defini prin relaţia:

lima c

ρρ = ,

(1)

unde :

{ }a a a,ρ = σ τ ; iar { }{ }{ }

lim

lim

lim

e c re c r

e c r

, , ;, ,

, , ,

⎧σ = σ σ σ⎪ρ = ρ ρ ρ ⇒ ⎨τ = τ τ τ⎪⎩

în care:

eρ - tensiunea limită până la care materialul se comportă elastic;

cρ - tensiunea limită de curgere;

rρ - tensiunea limită de rupere.

Factorii importanţi care trebuie luaţi în considerare sunt: precizia de calcul sau de

determinare a sarcinilor; modelul de calcul; precizia cunoaşterii proprietăţilor fizice şi chimice

ale materialului.

Pentru stabilirea coeficientului de siguranţă trebuie avut în vedere şi următorii factori:

- Natura materialului;

- Procedeele tehnologice de realizare a structurii mecanice sau construcţiei;

- Durata de utilizare a structurii;

- Modul de acţiune a sarcinilor în timp;

- Felul solicitării;

- Nivelul temperaturii;

- Tratamentele termice, chimice şi mecanice folosite.

Indicaţii cu privire la alegerea tensiunilor admisibile şi a coeficienţilor de siguranţă se

dau în diferite îndrumare de specialitate sau în norme şi STAS-uri.

Page 160: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 2

STATICA BAREI

2.1. FORŢE EXTERIOARE ŞI FORŢE INTERIOARE

Forţele exterioare

Cu ajutorul noţiunii de forţă se defineşte interacţiunea dintre corpuri. Dacă un element

dintr-o structură mecanică este considerat izolat de restul elementelor componente, acţiunea

asupra lui produsă de acestea din urmă poate fi înlocuită prin forţe. Întrucât aceste forţe sunt

rezultatul suprimării legăturilor exterioare ale elementului studiat ele se numesc forţe

exterioare. Acestea includ atât sarcini - forţe şi cupluri care trebuie preluate de elementul

studiat, cât şi reacţiunile din punctele de rezemare ale acestora.

Sarcinile aplicate elementelor pot fi:

de suprafaţă - sunt aplicate pe suprafeţele corpurilor şi caracterizează interacţiunea

directă de la interfaţa corpurilor în contact;

de volum - greutatea, forţele de interacţiune magnetică, respectiv toate forţele care se

aplică fiecărei particule materiale.

După caracterul repartiţiei lor sarcinile pot fi concentrate - aplicate într-un punct ori

distribuite după o anumită lege, Figura 1.

a b

Figura 1. a – forţă concentrată, b - sarcină distribuită după o lege oarecare

Sarcinile concentrate pot fi transmise elementului din structură, prin puncte, Figura 1a.

Transmiterea prin contact punctual constituie o ipoteză simplificatoare, admisibilă numai dacă

F

q=q(x)

x

Page 161: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

14

valoarea forţei transmise este mare în raport cu suprafaţa de contact. Fizic, corpurile sunt

deformabile şi ca urmare un contact iniţial punctual sau liniar se va transforma într-un contact

pe o anumită suprafaţă.

Dacă intensitatea sarcinii diferă de la un punct la altul al suprafeţei de contact,

distribuţia este oarecare. Se pot întâlni distribuţii uniforme – dreptunghiulare, liniare-

triunghiulare sau trapezoidale, parabolice, sinusoidale, cosinusoidale. La precizarea unei

distribuţii oarecare este necesar să se cunoască legea de variaţie a sarcinii. Aceasta poate fi

determinată analitic sau experimental.

În Figura 2 s-a reprezentat un caz de distribuţie liniară a sarcinii, atunci când asupra

unui zid de retenţie acţionează presiunea apei, a cărei distribuţie se consideră liniară dacă se

neglijează presiunea atmosferică.

h

p h= γ Figura 2. Distribuţia liniară a sarcinii asupra unui zid de retenţie

După viteza de variaţie a intensităţii sarcinile pot fi:

- constante în timp - statice;

- variabile în timp - dinamice.

Se consideră că aplicarea sarcinilor statice se face lent, valorile lor crescând progresiv

de la zero la valoarea finală, într-un interval de timp cunoscut.

Forţele interioare - eforturi secţionale

Sub acţiunea forţelor exterioare aplicate corpurilor, acestea se deformează, iar în

interiorul lor apar forţe interioare denumite eforturi secţionale. Funcţie de tipul acestora

corpul este supus la solicitări mecanice care pot fi simple sau complexe.

Prezenţa solicitărilor mecanice este datorată interacţiei dintre particulele componente

ale corpului precum atomi, ioni, molecule sau macromolecule, datorită aplicării sarcinilor

exterioare. In stare nedeformată particulele corpului efectuează doar oscilaţii mici în jurul

Page 162: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

15

unor poziţii fixe care formează în spaţiu structuri ordonate - cristaline, sau dezordonate-

amorfe. În stare neperturbată forţele de interacţie dintre particulele corpului sunt saturate,

astfel încât energia potenţială este minimă. Prin deformare sub acţiunea forţelor exterioare,

particulele corpului sunt deplasate din poziţiile lor de echilibru, poziţii care tind să revină la

locul iniţial, dezvoltând astfel forţe interne. Dacă particulele sunt îndepărtate peste o anumită

poziţie corespunzătoare minimului energiei potenţiale, forţele sunt atractive, iar dacă sunt

apropiate sub această poziţie, forţele sunt repulsive. Energia corespunzătoare unei astfel de

stări este de forma unei gropi de potenţial.

Dacă forţele exterioare dispar, corpul tinde să-şi refacă configuraţia iniţială şi să-şi

micşoreze deformaţiile. Deformaţiile care dispar în totalitate după încetinirea acţiunii forţelor

exterioare se numesc deformaţii perfect elastice, iar cele care se menţin şi după încetarea

acţiunii forţelor externe se numesc deformaţii perfect plastice.

Fizic, pot să apară ambele tipuri de deformaţii, din care una dintre ele este

predominantă, solidul are în acest caz o comportare elasto-plastică.

Eforturi secţionale

Se consideră corpul din Figura 3a, aflat în echilibru static sub acţiunea forţelor

exterioare aplicate. Forţele interioare care se produc în elementul de bară pot fi puse în

evidenţă prin secţionarea virtuală a acestuia cu un plan transversal imaginar P, separând astfel

corpul în două părţi. Pentru a păstra echilibrul fiecărei părţi, pe suprafaţa secţiunii

transversale trebuie introduse forţele interioare. Acestea înlocuiesc interacţiunea dintre

particulele materiale situate de-o parte şi de alta a planului de secţiune, care încetează să mai

funcţioneze în momentul secţionării corpului.

În baza principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele interioare de pe cele două feţe ale

secţiunii sunt reciproce; ele satisfac condiţiile de echilibru atât pentru elementele izolate din

bară cît şi pentru bara luată în întregime. Ca urmare, forţele interioare de pe suprafaţa A1 sunt

egale şi de semn contrar cu cele de pe suprafaţa A2, ele reprezintă acţiunea forţelor exterioare

aplicate părţii 1 asupra părţii 2, Figura 3a.

Forţele interioare pot fi însumate după legile staticii şi reduse în centrul de greutate al

secţiunii la un torsor, caracterizat printr-o forţă rezultantă R , şi un moment rezultant M ,

Figura 4.

R pdA; M r pdA= = ×∫ ∫ . (1)

Page 163: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

16

Figura 3. Element de bară secţionat transversal cu un plan virtual P

Echilibrul celor două corpuri separate, în urma secţionării, se poate restabili prin

introducerea în centrele de greutate ale celor două feţe a unor torsori, Figura 2. Potrivit

principiului acţiunii şi reacţiunii, cei doi torsori au componentele egale în modul şi de sens

contrar. Se face convenţia că aceste componente să fie considerate pozitive pe faţa din

dreapta şi negative pe faţa din stânga a secţiunii considerate.

q

dA

r r

dAp

00

R

R

M

M

3F

1F2F

Figura 4. Torsorul ( )R, M al forţelor elementare interioare

Page 164: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

17

Ca urmare, componentele ( R,M ) din secţiunea considerată pot fi calculate în două

moduri, obţinându-se practic acelaşi rezultat:

1. Se pot calcula componentele torsorului ( R,M ) prin luare în considerare a tuturor

forţelor exterioare care acţionează pe elementul din stânga, A1;

2. Se pot calcula componentele torsorului ( R,M ) prin luare în considerare a tuturor

forţelor exterioare ce acţionează pe elementul din dreapta A2, schimbând semnul.

Se raportează elementul de bară situat la stânga planului de secţiune la sistemul de

referinţă Oxyz, evidenţiat în Figura 5. Acest sistem are originea în centrul de greutate al

secţiunii, axa Ox este dirijată în lungul barei, iar axele Oy şi Oz sunt conţinute în planul

secţiunii transversale şi dirijate după direcţiile principale de inerţie ale acesteia, din care cauză

ele se numesc axe principale de inerţie.

Descompunând elementele torsorului (R,M) după axele sistemului de referinţă

considerat se obţin următoarele componentele scalare:

forţa axială N şi momentul de răsucire M Mx t= , dirijate în lungul axei Ox;

forţele tăietoare, Ty şi Tz , momentele încovoietoare M y şi M z , toate conţinute în

planul secţiunii, dirijate după axele Oy respectiv Oz.

Componentele scalare N, Ty , zT , M Mx t= , M y şi M z sunt cunoscute în literatura de

specialitate sub denumirea de eforturi secţionale.

F1

F3

x

z

y

N

T

TzTy

O

F1

F3

z

Mx=Mt

Mz

My

O

M

R

x

y

Descompunerea rezultantei R , Descompunerea momentului rezultant M

Figura 5. Descompunerea elementelor torsorului

Page 165: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

18

Ca urmare, elementele torsorului au următoarea formă vectorială:

y zR Ni T j T k= + + ;

t y zM M i M j M k= + + .

(2)

În anumite aplicaţii se vorbeşte de o singură forţă tăietoare T, şi un singur moment

încovoietor M i , care se pot exprima în modul astfel:

T T Ty z= +2 2 ;

2 2i y zM M M= + .

(3)

Fiecare dintre aceste eforturi, dacă acţionează separat, produce asupra elementului de

bară o solicitare simplă şi anume:

Forţa axială N, produce solicitarea de întindere sau de compresiune, după cum valoarea

ei este pozitivă sau negativă.

Forţele tăietoare Ty şi Tz produc solicitarea de tăiere sau de forfecare după direcţia Oy,

sau Oz;

Momentul de răsucire, M Mx t= , produce solicitarea de răsucire sau de torsiune;

Momentele încovoietoare, M y şi M z , dacă acţionează singure produc solicitarea de

încovoiere pură, iar dacă acţionează împreună cu forţa tăietoare produce solicitarea de

încovoiere simplă.

Dacă există simultan, în secţiunea barei, două sau mai multe solicitări simple, se

produce o solicitare compusă.

În cazul particular, când forţele exterioare sunt coplanare, denumită şi starea plană de

solicitare, sensurile pozitive ale celor trei eforturi secţionale, pe ambele feţe ale secţiunii sunt

evidenţiate în Figura 6.

Mî Mî

T

TN N

1 2

Figura 6. Caz particular când forţele exterioare sunt coplanare

Page 166: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

19

Se precizează că forţa axială, N, şi momentele încovoietoare M y şi M z sunt eforturi

simetrice, iar Momentul de torsiune M Mx t= şi forţele tăietoare Ty şi Tz sunt eforturi

antisimetrice. Această observaţie este evidenţiată în Figura 7.

TN

T

Mî Mî

N

Figura 7. Eforturi secţionale simetrice şi antisimetrice

Atunci când se cunosc eforturile secţionale se pot determina componentele vectorului

tensiune σ şi τ din vecinătatea unui punct al solidului.

Există bare sau sisteme de bare la care determinarea eforturilor secţionale este posibilă

prin scrierea ecuaţiilor cunoscute din statică. Asemenea sisteme se numesc static

determinate.

Sistemele la care ecuaţiile staticii nu sunt suficiente pentru determinarea eforturilor

secţionale, se numesc sisteme static nedeterminate. Aceste probleme vor fi tratate într-un

capitol special din această lucrare.

Pe baza acestor proprietăţi se pot enunţa următoarele reguli de determinare a eforturilor

secţionale:

Forţa axială N este egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe axa barei a tuturor forţelor

situate de o parte a secţiunii normale pe axă sau de cealaltă parte, dar luate cu semn schimbat.

Forţa axială se consideră pozitivă dacă produce întinderea elementului de bară asupra căreia

este aplicată, Figura 8a. În caz contrar, când comprimă elementul de bară, se consideră

negative, Figura 8b

xF

xF

a b

Figura 8. Solicitarea de întindere sau compresiune

Page 167: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

20

Forţele tăietoare Ty şi Tz reprezintă suma algebrică a proiecţiilor tuturor forţelor pe

normalele la axa barei, Oy respectiv Oz care acţionează de o parte a secţiunii sau de cealaltă

parte, dar considerate cu semn schimbat. Forţele tăietoare se consideră pozitive dacă tind să

rotească elementul de bară considerat în sens orar faţă de secţiunea în care se calculează,

Figura 9a. În caz contrar se consideră negative, Figura 9b.

xF

F

x

a b

Figura 9. Solicitarea de forfecare prin forţe tăietoare

Momentele încovoietoare M y şi M z sunt egale cu suma algebrică a momentelor, în

raport cu axa Oy, respectiv Oz, ale tuturor forţelor, inclusiv a cuplurilor de forţe, situate la

stânga secţiunii sau a celor aflate la dreapta acesteia, dar luate cu semn schimbat. Momentele

încovoietoare se consideră pozitive atunci când tind să comprime fibra superioară a barei,

Figura 10a. În caz contrar se consideră negative, Figura 10b.

x

x

M

Mfibră superioară

fibră inferioarăfibră inferioară

fibră superioară

a b

Figura 10. Solicitarea de încovoiere pură

Momentul de răsucire M Mx t= este egal cu suma momentelor faţă de axa

longitudinală Ox a barei, Figura 11, ale tuturor forţelor, inclusiv a cuplurilor, situate la stânga

secţiunii considerate sau a celor de la dreapta acesteia, dar luate cu semn schimbat. x

Mt

Figura 11. Solicitarea de răsucire

Page 168: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

21

La barele curbe plane, solicitate prin forţe conţinute în planul axei, se produc simultan

eforturile secţionale N, T, M i . Aceste eforturi au definiţii similare cu cele de la bara dreaptă,

cu observaţia că axele pe care se proiectează forţele sunt tangenta t şi normala n, la axa barei

curbe, în secţiunea considerată, Figura 12. Într-o secţiune curentă de unghi α , eforturile

secţionale se definesc astfel:

Forţa axială N este egală cu suma algebrică a forţelor situate la stânga secţiunii,

proiectate pe tangentă sau suma proiecţiilor pe tangentă a forţelor aflate la dreapta secţiunii,

luate cu semn schimbat;

Forţa tăietoare T este egală cu suma proiecţiilor pe normală a forţelor situate la stânga

sau a celor de la dreapta secţiunii, luate cu semn schimbat;

Momentul încovoietor M i este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor şi

cuplurilor de forţe situate la stânga secţiunii considerate sau a celor de la dreapta acesteia

luate cu semn schimbat.

Sensurile pozitive ale eforturilor N, T şi M i se definesc similar ca la barele drepte

F

M

n

tR

α

Ο

Figura 12. Bară curbă solicitată de forţa F şi momentul M

2.2. RELAŢII DIFERENŢIALE DINTRE ÎNCĂRCĂRI ŞI EFORTURI SECŢIONALE

Se consideră un element de lungime ds, având unghiul la centru dα şi raza de curbură

R, extras dintr-o bară curbă solicitată de sarcini coplanare uniform distribuite q, dirijate pe

direcţie radială, Figura 13. Pe feţele celor două secţiuni transversale de la capete acţionează

eforturile secţionale evidenţiate în Figura 14. Sarcina uniform distribuită care acţionează pe

elementul ds poate fi înlocuită cu o forţă concentrată, qds, plasată la mijlocul deschiderii. Sub

acţiunea tuturor forţelor care acţionează asupra elementului ds, acesta trebuie să fie în

Page 169: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

22

echilibru. Ca urmare, se pot scrie relaţiile 4 din care două ecuaţii de proiecţii pe direcţia t

respectiv n şi o ecuaţie de momente faţă de secţiunea din capătul din dreapta al elementului de

bară,

dN (N dN)cos d (T dT)sin d qdssin 02α

− + α + + α + = ;

dT (T dT) cos d (N dN)sin d qds cos 02α

− + α − + α − = ;

dM (M dM) TR sin d NR(1 cos d ) qdsR sin 02α

− + + α − − α − = .

(4)

R

ds

α

q

O

Figura 13. Bară curbă solicitată de sarcini uniform distribuite pe direcţie radială

dα/2dα/2

n

t

q

NN+dN

T T+dT

M+dM

M

O Figura 14. Element de bară curbă solicitat de forţe exterioare şi interioare

Page 170: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

23

Deoarece unghiul dα este mic se poate scrie sin d d , cos d 1α ≈ α α ≈ , ecuaţiile 4

devin:

ddN (T dT)d qds 02α

− + + α + = ;

dT (N dN)d qds 0− − + α − = ;

ddM TRd qdsR 02α

− + α − = .

(5)

Prin neglijarea infiniţilor mici de ordinul doi, ecuaţiile 5 se reduc la forma:

dN Td 0− + α = ;

dT Nd qds 0− − α − = ;

dM TRd 0− + α = .

(6)

Utilizând substituţia ds Rd= α , se obţine:

dN T dT N dM; q; Tds R ds R ds

= = = − = .

(7)

Relaţiile 7 reprezintă ecuaţiile diferenţiale între încărcări şi eforturi secţionale la bare

curbe. Dacă în relaţiile 7 se înlocuieşte ds prin dx şi R →∞ se obţin relaţiile diferenţiale 8

pentru barele drepte, care pot fi deduse impunând aceleaşi condiţii modelului din Figura 15,

ca şi la barele curbe.

2

2

dT dM d M dTq; T q(x)dx dx dx dx

= − = ⇒ = = − .

(8)

dx

TT+dT

M M+dM

q

Figura 15. Modelul de calcul pentru barele drepte

Page 171: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

24

Relaţia 8 permite construirea diagramelor de variaţie a eforturilor în lungul axei barei.

Din examinarea acestor relaţii diferenţiale rezultă următoarele:

- valoarea sarcinii uniform distribuite q(x) dă informaţii cu privire la panta curbei forţei

tăietoare. Pe intervalele în care q(x) 0= , forţa tăietoare este constantă;

- valoarea forţei tăietoare într-o secţiune dă panta curbei de variaţie a momentului

încovoietor în acea secţiune;

- pe intervale unde forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor creşte şi invers;

- în secţiunea unde forţa tăietoare este nulă, T 0= , corespunde pe diagrama de momente

încovoietoare unui punct de extrem (minim sau maxim);

- pe orice interval al unei bare, expresia analitică a momentului încovoietor este cu un

grad mai mare decât cea a forţei tăietoare şi cu două grade mai mare decât a sarcinii

distribuite;

- în dreptul unei forţe concentrate, normală pe axa barei, diagrama de forţe tăietoare are

un salt egal cu valoarea absolută a forţei concentrate;

- în dreptul unui moment concentrat aplicat pe bară, diagrama de momente încovoietoare

are un salt egal cu valoarea absolută a momentului respectiv.

Aceste observaţii sunt valabile şi pentru barele curbe.

2.3. TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECŢIONALE

Pentru construirea diagramelor de eforturi secţionale se utilizează definiţiile şi realaţiile

stabilite mai sus, parcurgând următoarele etape:

1. Se calculează reacţiunile, utilizând noţiuni de echilibru static;

2. Se alege un sens de parcurs al barei, în general de la stânga spre dreapta;

3. Se scriu expresiile eforturilor secţionale în funcţie de variabila aleasă, pentru

fiecare interval de pe bară pentru care se schimbă legea de variaţie. Dacă aceste legi sunt

cunoscute se poate obţine direct diagramele prin calculul valorilor eforturilor în secţiunile de

trecere de la un interval la altul;

4. Se fixează linia de referinţă, de aceiaşi configuraţie cu axa barei sau a sistemului

de bare, pentru fiecare efort secţional care se cere reprezentat;

5. Se reprezintă grafic, la o anumită scară, funcţiile ce dau legea de variaţie pentru

fiecare efort cu următoarele convenţii: forţele axiale, tăietoare şi momentele de răsucire

pozitive se reprezintă deasupra liniei de referinţă. Momentele încovoietoare pozitive se

reprezintă sub linia de referinţă.

Page 172: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

25

Metoda de construcţie a diagramelor de eforturi secţionale poate fi aprofundată prin

rezolvarea unor aplicaţii, care vor fi prezentate în continuare.

2.4 APLICAŢII

2.4.1 Diagrame de eforturi axiale

Să se traseze diagramele de eforturi secţionale la modelul din Figura 16.

2a 2a

F2F

+

-

F

-F

H

N

Figura 14. Bară dreaptă solicitată axial de forţele F şi 2F

Din ecuaţia de proiecţii de forţe pe direcţia axei barei se poate obţine reacţiunea H,

xR 0 H F= ⇒ = . (9)

Bara include două intervale, în care se fac secţiuni virtuale în fiecare şi se scrie forţa

axială N,

1N(x ) F= ;

2N(x ) F 2F F= − = − .

(10)

Se consideră o linie de reper paralelă cu axa barei şi se reprezintă valorile pozitive

deasupra, iar cele negative sub axă, aşa cum este evidenţiat în Figura 14. Se constată că bara

este solicitată pe prima porţiune la întindere, iar pe a doua porţiune la compresiune.

Page 173: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

26

2.4.2 Diagrame de forţe tăietoare şi momente încovoietoare la bare drepte

A1. Să se traseze diagramele de eforturi secţionale la o grindă simplu rezemată pe

reazemele A şi B, încărcată cu o forţă concentrată F, plasată între reazeme, Figura 17.

Soluţie

Folosind ecuaţiile de echilibru se calculează reacţiunile din reazemele A şi B.

Din condiţia:

y A BR 0 V V F= ⇒ + = . (11)

a b

F

A B

AVBV

1x 2x

BVAV

T

M

maxabM F=

F+

-

+

Figura 17. Bară simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină concentrată

Relaţia 11 va fi utilizată pentru verificarea rezultatelor privind calculul reacţiunilor.

Acestea se pot determina, dacă se scriu ecuaţiile de momente faţă de punctele A şi B,

A B BaM 0 V Fa 0, V F= ⇒ − = ⇒ = .

(12)

B A AbM 0 V Fb 0, V F= ⇒ − = ⇒ = .

(13)

Page 174: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

27

Evident, bara prezintă două zone; se fac secţiuni şi se scriu relaţiile eforturilor

secţionale:

Pentru intervalul A-1

1 AaT(x ) V F= = ;

[ ]1x 0,a∈

1 A 1 1aM(x ) V x F x= = .

(14)

Pentru intervalul B-1

2 BbT(x ) V F= = − ;

[ ]2x 0,b∈

2 B 2 2bM(x ) V x F x= = .

(15)

Comentariu:

pentru 1 Ax 0 T(0) V , M(0) 0= ⇒ = = ;

pentru 2 Bx 0 T(0) V , M(0) 0= ⇒ = − = ;

pentru 1x a= sau 2x b= , abM(a) M(b) F⇒ = = .

Evident forţa tăietoare este constantă pe cele două intervale şi are discontinuităţi în

dreptul forţei F, saltul fiind egal cu valoarea acestei forţe. Momentul încovoietor are o

variaţie liniară pe ambele intervale, iar în capetele barei are valoarea zero.

Pentru cazul când a b 2= = , adică forţa F este plasată la mijlocul deschiderii,

momentul încovoietor maxim are valoarea: maxM F 4= .

Remarcă

În baza relaţiilor diferenţiale 8 şi a diagramelor evidenţiate în Figura 15, rezultă că:

- pe porţiunile de bară unde forţa tăietoare este constantă, momentul încovoietor

variază liniar;

- panta pe diagrama de momente încovoietoare se schimbă, în dreptul forţei

concentrate.

A2. Să se traseze diagramele de eforturi secţionale la o bară simplu rezemată la

capete, încărcată cu sarcină uniform distribuită, de intensitate q, Figura 18. AA

V xAV

T 2 2max qM 8=+ --

q

Page 175: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

28

Soluţie

Datorită simetriei reacţiunile sunt egale şi au ca valoare jumătate din sarcinile

exterioare aplicate, adică

A BqV V2

= =

(16)

A B

AV BVx

BVAV

T

M +

2

2

maxqM8

=

+

--

q

Figura 18. Bară simplu rezemată încărcată cu sarcină uniform distribuită

Bara prezintă un singur interval, iar în secţiunea x, eforturile secţionale au expresiile:

AqT(x) V qx qx2

= − = − ;

[ ]2x 0,∈ 2 2

Aqx q qxM(x) V x x

2 2 2= − = − .

(17)

Comentariu:

pentru Ax 0 T(0) V , M(0) 0= ⇒ = = ;

pentru Bx T( ) V , M( ) 0= ⇒ = − = ;

pentru x2

= , T 02

⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, iar 2

maxqM M

2 8⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 176: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

29

Diagrama T are o variaţie liniară, se deschide cu reacţiunea AV , trece prin zero la

x 2= şi se închide cu valoarea reacţiunii BV . Funcţia moment încovoietor este o parabolă

de gradul doi şi are valoarea maximă în secţiunea unde forţa tăietoare trece prin zero, T 0= .

Remarcă

Din aspectul diagramelor de eforturi secţionale se observă că pe segmentul de bară

încărcat cu sarcină uniform distribuită, forţa tăietoare variază liniar, iar momentul încovoietor

parabolic.

La sistemele care prezintă simetrie geometrică şi de încărcare cu sarcini exterioare,

diagrama T este antisimetrică, iar diagrama M este simetrică.

A3. Se consideră o bară simplu rezemată la un capăt şi articulată în celălalt capăt,

încărcată cu un moment concentrat 0M , Figura 19. Se cere să se traseze diagramele de

eforturi secţionale.

a b

Mo

A B

AV

BH1x 2x

BVAV

T

M

0bM−

+

+

-

0aM

BV

Figura 19. Bară simplu rezemată la un capăt şi articulată la celălalt capăt, încărcată cu un

moment concentrat Soluţie

Din condiţia de echilibru rezultă:

B

y A B A B

Rx 0 H 0;R 0 V V 0 V V ;

= ⇒ == ⇒ + = ⇒ = −

(18)

Page 177: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

30

Pentru calculul reacţiunilor se scriu momentele faţă de reazemele A şi B,

0A B 0 B

MM 0 V M 0, V= ⇒ + = ⇒ = − .

(19)

0B A 0 A

MM 0 V M 0, V .= ⇒ − = ⇒ =

(20)

Bara conţine două intervale, în care se scriu ecuaţiile eforturilor secţionale în secţiunile

1x respectiv 2x .

Pentru intervalul de lungime a, eforturile secţionale sunt date de expresiile:

01 A

MT(x ) V= = ;

[ ]1x 0,a∈

01 A 1 1

MM(x ) V x x= = .

(21)

Pentru intervalul de lungime b,

02 B

MT(x ) V= − = .

[ ]2x 0,b∈

02 B 2 2

MM(x ) V x x= = − .

(22)

Comentariu:

Diagrama de forţe tăietoare este constantă pe toată lungimea barei. Momentul

încovoietor are o variaţie liniară şi prezintă în dreptul momentului concentrat aplicat un salt

egal cu valoarea absolută a acestuia.

A4. Se consideră o bară simplu rezemată încărcată cu un moment concentrat 0M ,

aplicat în reazemul A, Figura 20. Să se traseze diagramele de eforturi secţionale.

Soluţie

Ca şi la exemplul prezentat în Figura 17, reacţiunile din reazemele A şi B sunt egale şi

de sensuri contrare,

0 0A B B

M MV , V , H 0= − = = .

(23)

Page 178: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

31

Ecuaţiile eforturilor secţionale într-o secţiune curentă x, sunt:

0B

MT(x) V= − = − ;

[ ]x 0,∈

0B

MM(x) V x= = .

(24)

MoA B

AV

BH1x

BVAV

T

M

-

+

BV

Mo

Figura 20. Bară simplu rezemată, încărcată cu moment concentrat într-un reazem

Comentariu:

Forţa tăietoare este constantă în lungul axei barei, iar momentul încovoietor variază

liniar, acesta are valoare maximă în reazemul A, max 0M M= .

A5. Se consideră o bară simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină distribuită

liniar, Figura 21. Se cere să se traseze diagramele de eforturile secţionale. Soluţie

Iniţial se determină intensitatea sarcinii distribuite la o distanţă oarecare x faţă de

reazemul A:

xq(x) q= .

(25)

Impunând condiţia de echilibru, rezultă:

Page 179: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

32

y A BqR 0 V V2

= ⇒ + = .

(26)

Pentru calculul reacţiunilor se scriu momentele faţă de reazemele A şi B,

A B Bq 2 qM 0 V 0, V2 3 3

= ⇒ − ⋅ = ⇒ = ;

B A Aq qM 0 V 0, V2 3 6

= ⇒ − ⋅ = ⇒ = .

(27)

A B

AV BVx

BV

AV

T

M

+

3

2

maxqM9 3

=

+

q(x)

-

q

Figura 21. Bară simplu rezemată, încărcată cu sarcină distribuită liniar.

Expresiile analitice ale eforturilor secţionale în secţiunea x, sunt:

2

Aq(x)x q qxT(x) V

2 6 2= − = − ;

[ ]x 0,∈ ,

3A

q(x)x x q qM(x) V x x x2 3 6 6

= − ⋅ = − .

(28)

Page 180: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

33

Forţa tăietoare variază după o lege parabolică, iar momentul încovoietor variază după o

parabolă de gradul trei.

Forţa tăietoare se anulează, T(x) 0= , la distanţa x 3= . Pentru construcţia

diagramelor eforturilor secţionale este nevoie să se cunoască concavitatea curbelor. Aceasta

se obţine din analiza semnului derivatei a doua, care la ambele funcţii este negativ.

Momentul încovoietor este maxim unde forţa tăietoare se anulează, adică:

3 2

maxq q qM M6 63 3 3 9 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= == − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

(29)

A6. Diagrame de eforturi secţionale la bare în console

Bara în consolă este o bară liberă la un capăt şi încastrată la celălalt capăt. La aceste

tipuri de bare eforturile secţionale se pot calcula fără a fi necesar să se determine iniţial

reacţiunile. Secţiunea curentă se poate alege având originea în capătul liber al barei. Câteva

exemple sunt evidenţiate în Figurile 20, 21 şi 22.

Exemplu 1. Bară în consolă încărcată cu o forţă concentrată

FAV

AM

A

+

-

F

B

M

T

x

-Fl

Figura 20. Bară în consolă încărcată cu o forţă concentrată

Eforturile secţionale în secţiunea curentă x au expresiile:

T(x) F= ;

[ ]x 0,∈ , M(x) Fx= − .

(30)

Page 181: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

34

Bara este formată dintr-o singură zonă, forţa tăietoare fiind constantă iar momentul

încovoietor variază liniar cu valori la capetele intervalului AM 0= , BM F= − .

Observaţie: Reacţiunile pot fi calculate pe baza diagramelor, A AV F, M F= = .

Exemplu 2. Bară în consolă încărcată cu moment concentrat, Figura 21.

Mo

AM

A

+ Mo

B

M

T

x

Figura 21. Bară în consolă încărcată cu moment concentrat

Eforturile secţionale în secţiunea x, au expresiile:

T(x) 0= ; [ ]x 0,∈ ,

0M(x) M= .

(31)

Forţa tăietoare pe toată lungimea barei este zero, iar momentul încovoietor este constant

şi are valoare 0M . Reacţiunile se pot determina din diagrama de momente, A 0M M= .

Exemplu 3. Bară în consolă încărcată cu sarcină uniform distribuită, Figura 22.

Eforturile secţionale în secţiunea curentă x, sunt:

T(x) qx= ; [ ]x 0,∈ ,

2x qxM(x) qx2 2

= − ⋅ = − .

(32)

Forţa tăietoare în lungul axei barei are o variaţie liniară, iar momentul încovoietor

variază parabolic şi atinge valoarea maximă în încastrare,

( )2

maxqM M2

= == .

(33)

Page 182: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

35

A B

AVx

q

T

M

+

-

AM

2q2

Figura 22. Bară în consolă încărcată cu sarcină uniform distribuită

Reacţiunile pot fi calculate cu ecuaţiile de echilibru sau prin analiza diagramelor de

eforturi secţionale,

2

A AqV q , M2

= = .

(34)

A7. Diagrame de eforturi secţionale la bare drepte cu încărcare complexă

Pentru realizarea diagramelor de eforturi secţionale se determină valorile acestora în

diferite secţiuni ale barei. Legile de variaţie se stabilesc în funcţie de încărcarea barei pe

fiecare interval al său. Ca exemplu, se consideră o bară simplu rezemată în punctul B şi

articulată în A, Figura 23. Consola BC este încărcată cu o forţă concentrată aplicată în

punctul C.

Reacţiunile se pot calcula din condiţiile de echilibru:

y A B3qR 0 V V2

= ⇒ + = ;

2

2A B B

3 q 17M 0 V 2q 0, V q2 8 12

= ⇒ − − = ⇒ = ;

2

2B A A

3 5 q 1M 0 V q 0, V q2 8 2 12

= ⇒ − + = ⇒ = .

(35)

Page 183: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

36

Bara din Figura 23, prezintă trei regiuni. Pentru prima regiune se face o secţiune din

stânga la abcisa 1x , iar pentru regiunea a treia se face o secţiune pornind din dreapta la

distanţa 2x .

-

+

A B

AV BV

1x

2x

2

BVAV

T

M

2q288

F

2

q

+

1 q12

12

2q2

−+

-

25 q24

F q=

Figura 23. Bară articulată în A, simplu rezemată B şi consolă în stânga

Ecuaţiile eforturilor secţionale pe regiunea întâia sunt:

1 A 1 11T(x ) V qx q qx

12= − = − ;

[ ]x 0, 2∈ , 2 21 1

1 A 1 1qx qxqM(x ) V x x

2 12 2= − = − .

(36)

Pentru regiunea a treia:

3T(x ) q= ;

[ ]x 0, 2∈ ,

3 3M(x ) q x= − .

(37)

Page 184: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

37

Pe porţiunea de bară de lungime , se aplică regulile de trasarea diagramelor, ştiind

faptul că forţa tăietoare are o variaţie constantă, iar momentul încovoietor are o variaţie

liniară. Cunoscând valorile la capetele intervalului, se poate uşor trasa diagramele de eforturi

secţionale.

2.4.3 Diagrame de momente de torsiune

Se spune că o bară este solicitată la torsiune sau răsucire când în orice secţiune torsorul

forţelor interioare se reduce la un vector moment dirijat după axa barei. Valoarea momentului

de torsiune se poate reprezenta grafic, luând ca referinţă axa barei. Momentele de torsiune

sunt considerate pozitive dacă pe faţa din dreapta a secţiunii sensul lor coincide cu cel al axei

şi negativ atunci când sunt de sens opus. Ca exemplu, se consideră modelul din Figura 24.

Mt 2Mt Mt

Mt

Mt

a a 3a a

+

Figura 24. Bară solicitată la torsiune

Alte detalii vor fi prezentate la solicitarea de torsiune.

2.4.4 Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane

Eforturile secţionale la barele curbe, într-o secţiune oarecare, marcată prin unghiul α se

determină respectând regulile stabile la barele drepte, cu condiţia ca bara curbă să fie privită

de un observator plasat în centrul de curbură. Faţă de barele drepte există o serie de

particularităţi:

Definirea unei secţiuni oarecare se face printr-un arc de curbă sau printr-un unghi

determinat de normala la secţiune şi o linie de reper. Dacă bara este un arc de cerc se

foloseşte sistemul de coordonate polare;

Proiecţiile forţelor din stânga sau din dreapta secţiunii se fac pe tangenta la axa barei –

pentru forţa axială şi pe normala la axa barei – pentru forţa tăietoare. Când bara curbă nu este

Page 185: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

38

privită din centrul de curbură, momentul încovoietor se consideră pozitiv când măreşte raza

de curbură;

Liniile de referinţă sunt linii curbe şi reprezintă axa barei;

Reprezentarea eforturilor secţionale N, T, M se face în direcţia razei de curbură;

Pentru barele compuse din bare drepte şi curbe diagramele de acelaşi fel şi semn se

trasează de aceeaşi parte a liniei de referinţă.

Pentru a înţelege cele prezente mai sus, se consideră exemplul o bară curbă de rază R,

încărcată cu o forţă concentrată F, conţinută în planul barei, Figura 25.

F

A

B

C

t

n

R

AV

CH

α

CV

β

Figura 25. Bară curbă încărcată cu forţă concentrată

Ca şi la barele drepte se calculează iniţial reacţiunile. Din condiţia de echilibru static

rezultă:

x CR 0 H 0= ⇒ = ;

y A CR 0 V V F= ⇒ + = ;

A C CFM 0 V 2R FR 0, V2

= ⇒ − = ⇒ = ;

C A AFR FM 0 V 2R 0, V2 2

= ⇒ − = ⇒ = .

(38)

Dat fiind faptul că reacţiunea CH 0= , sistemul poate fii considerat simetric.

Page 186: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

39

Eforturile secţionale pe intervalul AB se pot calcula cu relaţiile:

FN( ) cos2

α = − α ; FT( ) sin2

α = − α ;

[ ]0, 2α∈ π , FRM( ) (1 cos )2

α = − α .

(39)

Pe intervalul CB, forţa axială şi momentul încovoietor au o variaţie simetrică, iar forţă

tăietoare are o variaţie antisimetrică. Ca urmare a acestor precizări, nu mai este nevoie să se

scrie ecuaţiile eforturilor secţionale în secţiunea curentă de unghi β .

Reprezentarea grafică a eforturilor secţionale este prezentată în Figurile 26, 27 şi 28.

--

N

-F/2 -F/2

T

F/2

-F/2

+

-

Figura 26. Diagrama de forţe axiale N Figura 27. Diagrama de forţa tăeitoare, T

+

FR2

M

Figura 28. Diagrama de momente încovoietoare, M

Tot în categoria barelor curbe intră şi arcele static determinate. Acestea sunt bare sau

sisteme de bare cu axa curbă plană, solicitate de forţe acţionând în acelaşi plan. Se utilizează

ca elemente portante principale la hale, poduri, construcţii social-culturale de mare

Page 187: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

40

deschidere. Arcele static determinate au un număr de legături mecanice minim pentru

asigurarea invariabilităţii geometrice şi fixare la o bază fixă. Tipurile utilizate sunt arcul cu

trei articulaţii Figura 29 şi arcul tirant, Figura 30.

CCH

CV

F1 F2

AV

AHA

B

y

x

Figura 29. Arcul cu trei articulaţii

Caracteristica principală a arcului cu trei articulaţii constă în faptul că dezvoltă

împingeri laterale mari asupra rezemărilor, chiar dacă este încărcat numai cu sarcini verticale.

Datorită împingerilor laterale, se obţine o reducere importantă a momentelor încovoietoare

faţă de grinda simplu rezemată de aceeaşi deschidere. Se folosesc la construcţii având

deschideri mari.

Împingerile laterale sunt preluate de elementele de rezemare ale arcului precum ziduri,

stâlpi, fundaţii şi în cazul în care acest lucru nu este posibil, se utilizează arcul tirant.

Introducerea tirantului AC este compensată de transformarea unei articulaţii în simplă

rezemare, astfel încât structura rămâne static determinată.

CCH

CV

F1 F2

AV

AH A

B

y

x

Figura 30. Arcul cu tirant

Page 188: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

41

2.4.5 Diagrame de eforturi la sisteme de bare static determinate

Sistemele de bare static determinate sunt formate din două sau mai multe bare drepte

sau curbe, îmbinate rigid sau prin articulaţii, la care se pot calcula reacţiunile şi eforturile

secţionale. Sistemele de bare se pot grupa astfel, Tabelul 1.

Tabelul 1. Clasificarea sistemelor de bare

Denumirea Specificaţie Exemplificare grafică Bare cotite

Bare cu articulaţii

Cadre

Sisteme cu contur deschis

Bare ramificate

Grinzi cu zăbrele

Sistem cu contur închis

Cadre articulate

2F F

F

qF

F F

F

F 2F 2F 2FF

F

F

2 F

Page 189: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

42

Barele cotite sunt formate din două sau mai multe bare drepte şi/sau bare curbe legate

între ele prin noduri rigide. Axa unei asemenea bare este o linie frântă şi/sau curbă în plan sau

în spaţiu, ca urmare barele cotite pot fi plane sau spaţiale.

Barele cotite plane au axa o linie frântă sau ramificată în plan şi pot fi încărcate cu

sarcini care acţionează în planul lor sau perpendicular pe acesta.

Cadrele articulate plane sunt formate din bare drepte sau curbe legate prin noduri rigide

sau articulate şi încărcate cu sarcini care se află în echilibru. Pentru a fi static determinate

trebuie să existe pe fiecare contur închis trei articulaţii.

Grinzile cu zăbrele sunt sisteme de bare articulate între ele şi încărcate cu sarcini

aplicate în noduri. Aceste sisteme de bare sunt static determinate dacă este satisfăcută relaţia:

b 2n 3= − , (40)

unde b este numărul de bare şi n numărul de noduri. În barele grinzilor cu zăbrele există

numai forţe axiale de mărime constantă în lungul lor.

Pentru construirea diagramelor de eforturi secţionale, se folosesc regulile stabilite la

barele drepte, ţinând seama de o serie de particularităţi:

- liniile de reper ale diagramelor de eforturi secţionale vor avea configuraţia sistemului

de bare;

- se alege un sens de parcurs, uzual de la stânga la dreapta, dar nu este obligatoriu;

- la determinarea momentelor încovoietoare şi de răsucire se va avea în vedere efectul

de nod: suma algebrică a momentelor dintr-un nod rigid, în care se întâlnesc mai multe bare,

este nulă;

- în orice articulaţie, indiferent dacă este la capăt de bară, ca reazem, sau între bare,

momentul încovoietor este nul.

Exemplul 1. Se consideră sistemul plan din Figura 31, încărcat cu forţe concentrate.

Se cere să se traseze diagramele de eforturi secţionale N, T, M.

Rezolvare

Se calculează reacţiunile prin impunerea condiţiilor de echilibru static:

x BR 0 H F= ⇒ = ;

y A BR 0 V V F= ⇒ + = ;

A B B BM 0 V 2a H 2a Fa Fa 0, V 0= ⇒ + − − = ⇒ = ;

B A AM 0 V 2a Fa Fa 0, V F= ⇒ − − = ⇒ = .

(41)

Page 190: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

43

F

F

a

a

a a

A

B

AV

BH

BV

Figura 31. Sistem de bare plan

Diagramele de eforturi secţionale sunt evidenţiate în Figura 32.

--F-

TN

-

-

-F

-F-Fa

-Fa

M

-

-

Figura 32. Diagramele de eforturi secţionale

Exemplul 2. Se consideră bara cotită din Figura 33. Se cere să se traseze

diagramele de eforturi secţionale.

Page 191: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

44

Fa

3a

Figura 33. Bară cotită încărcată cu forţă concentrată

Ca mod de rezolvare se aplică metodologia de la bare în consolă. Diagramele de

eforturi secţionale sunt prezentate în Figura 34.

-+

F

-F

NT

--Fa

-Fa

-M

Figura 33. Diagramele N, T şi M ale sistemului din Figura 33.

Bare cotite spaţial

Pentru astfel de bare se construiesc diagramele de eforturi secţionale luând pe fiecare

bară un sistem de axe ortogonale, Oxyz, cu axa Ox în lungul barei şi axele Oy şi Oz în

secţiune. Se păstrează definiţiile şi convenţiile de semne de la barele drepte. Pentru

exemplificare se alege sistemul spaţial din Figura 35.

F

a

3a

Figura 35. Sistem de bare plasat spaţial

Page 192: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

45

Diagramele de eforturi secţionale sunt evidenţiate în Figura 36.

T

Mt

M

F

F

3Fa Fa

Fa +

Figura 36. Diagramele de eforturi secţionale

2.4.6 Trasarea diagramelor de eforturi secţionale prin metoda suprapunerii efectelor

La barele încărcate cu mai multe tipuri de sarcini ce acţionează simultan, diagramele de

eforturi secţionale se obţin mai uşor aplicând principiul superpoziţiei. În acest scop se

studiază separat diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale pentru fiecare sarcină

componentă. Diagrama finală se obţine însumând grafic diagramele parţiale de pe fiecare

interval de variaţie.

2.4.7 Eforturi secţionale produse de sarcini mobile

În multe cazuri întâlnite în practică sarcinile nu au puncte fixe de aplicaţie pe elemente,

ele se pot deplasa în lungul barei. Ca exemplu, se menţionează sarcinile transmise de roţile

unui vehicul la grinzile unui pod, roţile unui pod rulant pe grinda de rulare ş.a.

Sistemele de forţe care se deplasează pe elemente de tip bară, păstrând neschimbate

ordinea, mărimea şi distanţele dintre ele, poartă numele de convoi de sarcini mobile.

Când astfel de forţe se deplasează, eforturile secţionale şi reacţiunile sistemului

mecanic îşi modifică valoarea. Ca urmare, secţiunile în care apar eforturile secţionale

maxime se schimbă. Rezultă că pentru sarcini mobile momentul încovoietor maxim este o

mărime variabilă, care poate avea un extrem, numit moment maxim maximorum.

În aplicaţii practice pot să apară două tipuri de probleme:

- determinarea poziţiei convoiului pe o grindă, atunci când într-o secţiune apar eforturi

secţionale maxime;

- determinarea momentului încovoietor maxim maximorum din grindă, când convoiul de

sarcini se deplasează.

Page 193: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

46

Exemplu: Pe grindă simplu rezemată la capete cu deschiderea , Figura 37,

acţionează două sarcini mobile 1F şi 2F cu module diferite, plasate la distanţa invariabilă d,

d < .

d

A B

AVBV

1F1d

M

maxM

+

x

2FR

2d

BH

Figura 37. Grindă cu sarcini mobile

Cele două forţe se pot înlocui cu o rezultantă R,

1 2R F F= + . (42)

Poziţia rezultantei se determină cu ajutorul teoremei lui Varignon, adică:

2 11 2

F d Fdd , dR R

= = .

(43)

Dacă admitem că 1 2 1 2F F d d> ⇒ < , în aceste condiţii reacţiunile au valoarea:

A 1 B 1R RV ( d x), V (x d )= − − = + , BH 0= .

(44)

Forţa tăietoare maximă este egală cu reacţiunea din A, deci:

max A 1RT V ( d x)= = − − .

(45)

Valoarea maximă a Forţei tăietoare maximă se obţine în reazemul A, pentru x 0= .

Page 194: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

47

max max 1RT ( d )= − .

(46)

Expresia momentului încovoietor, în punctul de aplicaţie a forţei 1F , este:

1 A 1RM V x ( d x)x= = − − .

(47)

Evident momentul are o distribuţie parabolică. Valoarea maximă se poate afla din

condiţia:

11

dM R ( d 2x) 0dx

= − − = ⇒ 1dx

2−

= .

(48)

Ca urmare, momentul maxim în acest punct este,

21max max max 1

RM M ( d )4

= = − .

(49)

Calculăm momentul maxim în punctul de aplicaţie al forţei 2F ,

2 B 1RM V ( d x) (x d )( x d)= − − = + − − .

(50)

Locul unde acest moment este maxim se obţine din condiţia:

2 11

dM d dR ( 2x d d ) 0 xdx 2

− −= − − − = ⇒ = .

(51)

Dacă calculăm, rezultă:

212max 2 2

d d RM M ( d )2 4

− −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(52)

Ţinând seama că 1 2 1max 2 maxd d M M< ⇒ > .

În cazul unui sistem de două sarcini mobile, momentul maxim maximorum se apare în

punctul de aplicaţie al forţei mai mari. Evident că valoarea momentului max maxM se obţine

pentru cea mai mică valoare a lui 1d .

Page 195: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Statica barei

48

Problema prezentată mai sus poate fi întâlnită în practică şi în cazul când cele două forţe

sunt egale, adică 1 2F F F= = şi R 2F= . Ca rezultat, 1 2d d d 2= = . Eforturile secţionale

maxime maximorum au valorile:

( )max maxFT 2 d= − ,

2

1max 2 max max maxF dM M M2 2

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(53)

În situaţia când grinda este încărcată cu o singură forţă concentrată mobilă, Figura 38,

adică 1 2F F, F 0= = şi R F= , rezultă 1 2d d d 0= = = . Ca rezultat se obţine:

max maxT F= , max maxFM4

=

(54)

A B

AVBV

F

M

maxM

+

x

BH

/ 2

+

Figura 38. Bară simplu rezemată încărcată cu o forţă mobilă F

Problema prezentată poate fi generalizată pentru o grindă simplu rezemată încărcată cu n

forţe concentrate mobile, iF , i 1, n= , Figura 37.

A B

AVBV

1F

1d

x

R

2d

BH

nFn 1F −

n 1d −

d

kF

Figura 39. Bară solicitată cu un convoi de n forţe mobile

Page 196: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 3

ELEMENTE DE MECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL

3.1 VECTORUL TENSIUNE. TENSORUL TENSIUNILOR

După cum s-a prezentat în capitolul anterior, un corp real se deformează sub acţiunea

sarcinilor exterioare. Între particulele sale componente apar interacţiuni suplimentare numite

forţe interioare care se opun deformaţiei şi care tind să readucă corpul la configuraţia de

referinţă. Aceste forţe au o mare importanţă, deoarece atunci când ele ating valori limită,

dependente de material, apare deteriorarea ireversibilă a corpului prin deformaţii plastice sau

rupere.

Pentru evitarea deteriorării trebuie să se estimeze forţele interioare şi să caută ca acestea

să rămână mai mici decât valorile lor limită pentru un material considerat. În acest scop, se

consideră un corp solid solicitat de un sistem de forţe, iF , i 1,6= , Figura 1. Pentru a

caracteriza forţele interioare iq care apar în punctele unei secţiuni plane, se face o secţiune

virtuală cu un plan P, care trece printr-un punct oarecare M al solidului, Figura 1.

M

P

2F

1F

4F

5F

6F

3F

Figura 1. Secţiune virtuală printr-un corp solid solicitat de forţe exterioare

Page 197: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

50

Pentru a putea determina legea de distribuţie a forţelor interioare pe suprafaţa secţiunii

transversale se introduce o mărime care să caracterizeze cantitativ forţele interioare locale.

Această mărime se numeşte tensiune şi se defineşte în felul următor. Se consideră un punct

de pe suprafaţa secţiunii transversale în vecinătatea căruia se delimitează un element de arie

A∆ , asupra căruia acţionează rezultanta forţelor interioare iF q A∆ = ∆ , Figura 2. Tensiunea

medie din punctul respectiv se defineşte cu ajutorul relaţiei:

MFpA∆

=∆

.

(1)

Tensiunea medie este un vector aplicat în M şi orientat pe direcţia lui F∆ . Limita

raportului dat de relaţia 1, când A 0∆ → se numeşte vector tensiune în vecinătatea punctului

M, pe secţiunea plană de normală υ ,

x

F dFp limA dA→∞

∆= =

∆.

(2)

∆AΜC

1F

2F

3F

4F

5F

6F

iq

F∆

iq

Figura 2. Forţe interioare pe o secţiune plană

Mărimea vectorială p a fost numită tensiune pentru că este componenta unui vector

generalizat numit tensorul tensiune. Vectorul tensiune nu poate fi definit decât în acele

puncte şi pe acele secţiuni plane pentru care limita relaţiei 2 există şi este finită.

Page 198: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

51

Tensiunea totală se poate descompune în două componente prin proiectare pe normala

la secţiunea transversală şi pe planul acesteia, Figura 3.

Μ

Cp

τσ

1F

2F

3F

υ

Figura 3. Componentele vectorului tensiune

Componenta perpendiculară pe planul secţiunii transversale se numeşte tensiune

normală şi se notează cu simbolul σ , iar cea conţinută în planul secţiunii este denumită

tensiune tangenţială şi se notează cu simbolul τ . Între valorile acestor componente există

relaţia:

2 2 2p = σ + τ . (3)

Tensiunea normală tinde să smulgă sau să apese punctul M în corp, după cum este

îndreptată în acelaşi sens cu normala exterioară sau cu cea interioară, având astfel fie un efect

de tracţiune, fie unul de compresiune. Tensiunile normale de tracţiune se consideră

convenţional pozitive, iar cele de compresiune negative.

Tensiunea tangenţială imprimă particulelor corpului o alunecare relativă în lungul

planului de secţiune, având astfel un efect de forfecare. Semnul ei este funcţie de orientarea

faţă de direcţiile pozitive ale sistemului de axe ales din planul de secţiuni. Se va urmări

utilizarea aceleiaşi convenţii de semn pentru toate componentele tensorului tensiune.

Valoarea tensiunii totale, ca şi valorile componentelor sale { },ρ = σ τ , variază odată cu

poziţia punctului din secţiune, precum şi cu poziţia acesteia din urmă, în lungul corpului

studiat.

Din punct de vedere dimensional tensiunile se măsoară în unităţi de presiune, respectiv

în Pascali: 21Pa N m= . Dacă în aplicaţii practice rezultă valori numerice prea mari pentru

Page 199: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

52

tensiuni, atunci se utilizează multipli ai Pascalului precum MegaPascali, 61MPa 10 Pa= , sau

GigaPascali, 91GPa 10 Pa= .

Se precizează că un vector tensiune este definit într-un punct dat şi pe o secţiune plană,

caracterizată prin versorul normalei υ . Deoarece printr-un punct dat, M, trece o infinitate de

plane, în acesta se poate defini o infinitate de vectori tensiune, câte unul pe fiecare secţiune

plană. Prin urmare, pentru a identifica corect un vector tensiune, este necesar să se specifice

punctul şi secţiunea plană în care acesta se defineşte.

În multe cazuri este convenabil să se descompună vectorul tensiune după axele unui

sistem de coordonate ortonormat, Oxyz, cu axa Ox paralelă cu normala la secţiune, Figura 4.

În acest caz apar trei componente ale tensiunii: una normală pe direcţia axei Ox notată cu xσ

şi două tangenţiale paralele cu axele Oy şi Oz, notate cu xyτ , respectiv xzτ . Simbolizarea

acestor componente se face după următoarea regulă: Tensiunile normale se notează cu un

singur indice care reprezintă axa normală la secţiune, iar tensiunile tangenţiale cu doi indici,

din care primul reprezintă normala la secţiune, iar al doilea indice axa cu care este paralelă

tensiunea considerată.

Μ

Cp

τ

x

y

zxσ

1F

2F

3F

xyτ

xzτ

Figura 4. Descompunerea vectorului tensiune după axele unui sistem Oxyz

Între componentele vectorului tensiune şi tensiunea totală există o relaţie de dependenţă

de forma:

2 2 2 2

x x xy xz x x xy xzp i j k, p= σ + τ + τ ⇒ = σ + τ + τ . (4)

Page 200: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

53

În mod similar se pot scrie relaţiile pentru componentele yp şi zp ,

2 2 2 2

y yx y yz y yx y yzp i j k, p= τ +σ + τ ⇒ = τ +σ + τ .

2 2 2 2z zx zy yz z zx zy zp i j k, p= τ + τ +σ ⇒ = τ + τ +σ .

(5)

Pentru a caracteriza starea de tensiune din jurul punctului M care aparţine unui corp

solid, Figura 4, se izolează imaginar un paralelipiped elementar având unul din vârfuri în

punctul considerat. Laturile paralelipipedului au lungimile elementare dx, dy şi dz.

Interacţiunea paralelipipedului elementar cu materialul din vecinătatea sa se concretizează

prin componentele vectorului tensiune ce acţionează pe feţele plane ce trec prin punctul M.

Pe fiecare faţă a elementului de volum acţionează câte trei tensiuni, una normală şi două

tangenţiale, Figura 5.

x

y

z

M

xyτxσ

xzτ

yzτ

yxτ

zxτzyτ

dydx

dz

Figura 5. Componentele tensorului tensiune

Totalitatea tensiunilor care acţionează asupra elementului de volum definesc starea de

tensiune din vecinătatea punctului considerat. Starea de tensiune este definită, în caz general,

prin nouă componente, trei normale şi şase tangenţiale. O astfel de stare de tensiune se poate

reprezenta matematic prin tensorul tensiunilor,

x xy xz

ij yx y yz

zx zy z

⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥⎡ ⎤= ρ = τ σ τ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦

.

(6)

Page 201: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

54

Acţiunea individuală sau simultană a componentelor vectorului tensiune determină

solicitarea materialului în punctul şi pe secţiunea considerată. Solicitarea se numeşte simplă

dacă vectorul tensiune se reduce la o singură componentă a sa şi compusă dacă acest vector

are cel puţin două componente. Ca urmare, starea de tensiuni poate fi spaţială, plană, şi

monoaxială.

În concluzie, componentele diagonale i , (i x, y, z)σ = , ale acestui tensor se numesc

tensiuni normale, deoarece acţionează perpendicular pe suprafaţă, iar componentele

ij , (i, j x, y, z şi i j)τ = ≠ se numesc tensiuni tangenţiale, deoarece se află în planul pe care

acţionează.

Dacă se consideră simultan tensiunile din toate punctele corpului se obţine starea de

tensiuni din corpul dat.

Un corp care nu este solicitat, dar prezintă tensiuni, se spune că are tensiuni iniţiale sau

se află în stare naturală. Când un astfel de corp este solicitat apar tensiuni de încărcare care

se pot suprapune peste tensiunile iniţiale. Dacă corpul nu are tensiuni iniţiale, el este denumit

corp neutru.

Intre componentele tensorului tensiune Tρ şi componentele vectorului tensiune p care

acţionează pe o secţiune plană de normală i mj nkυ = + + , există următoarea relaţie

matriceală:

[ ] [ ]T pρ⎡ ⎤ υ =⎣ ⎦ , (7)

sau

x xy xz x

yx y yz y

zx zy z z

pm pn p

⎡ ⎤σ τ τ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ σ τ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⇒ x xy xz x

yx y yz y

zx zy z z

m n pm n pm n p

⎧ σ τ τ =⎪ τ σ τ =⎨⎪ τ τ σ =⎩

.

(8)

Dacă sarcinile exterioare sunt nule, atunci ecuaţia 6 devine:

[ ] [ ]T 0ρ⎡ ⎤ υ =⎣ ⎦ , (9)

Valorile proprii ale tensorului definit de relaţia 6 se pot calcula similar cu valorile

proprii ale unei matrice de tipul 3 x 3, unde necunoscuta este λ ,

Page 202: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

55

x xy xz

yx y yz

zx zy z

0σ −λ τ ττ σ −λ τ =τ τ σ −λ

.

(10)

Prin dezvoltarea acestui determinant se obţine o ecuaţie de gradul trei de forma:

3 2

1 2 3I I I 0λ − λ + λ − = , (11) unde 1 2 3I , I , I sunt invarianţii tensorului Tρ , care au forma:

1 x y zI = σ +σ +σ ;

( )x xy y yz x xz 2 2 22 x y y z z x xy yz zx

yx y zy z zx z

Iσ τ σ τ σ τ

= + + = σ σ +σ σ +σ σ − τ + τ + ττ σ τ σ τ σ

;

( )3I det Tρ= . Soluţiile reale ale ecuaţiei 11 reprezintă tensiunile normale principale, 1 1λ = σ , 2 2 ,λ = σ

3 3λ = σ . Ca urmare, tensorul Tρ , poate fi exprimat în funcţie de tensiunile normale principale

care apar pe direcţiile proprii sau principale în punctul considerat, astfel:

[ ] [ ]1

i 2

3

0 0T 0 0

0 0σ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ = σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

,

(12)

unde 1 2 3σ > σ > σ .

Introducând pe rând aceste valori ale lui λ în sistemul de ecuaţii 13 şi rezolvând în

funcţie de parametrii directori, se obţin trei seturi de valori ale acestor necunoscute, care

definesc direcţiile principale ale tensiunilor. Planele perpendiculare pe direcţiile principale se

numesc plane principale.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

m 0n

⎡ ⎤σ −λ τ τ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ σ −λ τ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ −λ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

(13)

Page 203: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

56

Pentru ca sistemul de ecuaţii 13 să admită soluţii diferită de soluţia banală trebuie

adăugată relaţia: 2 2 2m n 1+ + = .

Tensorul definit prin relaţia 6 se poate descompune în doi tensori: un tensor sfericSσ şi

unul deviator, Dρ . Fizic se separă starea izostatică,

T S Dρ ρ ρ= + , (14)

unde:

h

h

h

0 0S 0 0

0 0ρ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

; x h xy xz

yx y h yz

zx zy z h

⎡ ⎤σ −σ τ τ⎢ ⎥= τ σ −σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ σ −σ⎣ ⎦

,

în care ( )h x y z 13 I 3σ = σ +σ +σ = , reprezintă tensiunea hidrostatică sau tensiunea medie.

În mod similar poate fi descompus şi tensorul principal definit prin relaţia 12,

T S Dσ σ σ= + , (15)

unde:

h

h

h

0 0S 0 0

0 0ρ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

; 1 h

2 h

3 h

0 0D 0 0

0 0σ

σ −σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ −σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ −σ⎣ ⎦

,

în care ( )h 1 2 3 13 I 3σ = σ +σ +σ = .

Tensorul sferic are drept componente numai tensiunea hidrostatică plasată pe prima

diagonală. Evident, el conţine numai acele componente care determină modificări de volum

fără modificări de formă.

Tensorul deviator dimpotrivă conţine acele componente ale stării de tensiune care

determină modificări de forma fără modificări de volum.

Pe lângă tensiuni normale principale, în teoria elasticităţii se utilizează şi tensiuni

tangenţiale principale care reprezintă valorile extreme ale tensiuni tangenţiale plastă pe o

secţiune de normală υ . Mărimea tensiunilor tangenţiale principale este egală cu

semidiferenţa tensiunilor normale principale ce acţionează pe planele principale bisectate,

Page 204: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

57

1 212 2

σ −στ = ± , 2 3

23 2σ −σ

τ = ± , 3 131 2

σ −στ = ±

(16)

În planele egal înclinate faţă de cele trei direcţii de solicitare, denumite plane

octoedrice, se dezvoltă tensiuni normale şi tangenţiale octoedrice, Figura 6, date de relaţiile:

1 2 31oct h

I3 3

σ +σ +σσ = = = σ ,

1 22 2 2oct 1 2 2 3 3 1

1 ( ) ( ) ( )3⎡ ⎤τ = ± σ −σ + σ −σ + σ −σ⎣ ⎦

(17)

3

1

2

M

octυ

octτoctσ

Figura 6. Tensiuni normale principale şi tensiuni octoedrice

Condiţia de echilibru a elementului de volum izotrop de densitate ρ , Figura 5, atunci

când asupra lui acţionează elementele tensorului tensiune şi componentele forţei volumice

v x y zF F i F j F k= + + , este ca torsorul forţelor să fie nul,

F0

R 0T 0

M 0

⎧ ⎫=⎪ ⎪= =⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭

, adică x

y

z

R 0R 0R 0

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

, ox

oy

0z

M 0M 0M 0

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

.

(18)

Prin efectuarea calculelor se obţine:

[ ]vdiv T F 0ρ⎡ ⎤ + =⎣ ⎦ ;

ij jiτ = τ .

(19)

Prima ecuaţie furnizează ecuaţiile de echilibru Cauchy,

Page 205: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

58

x xy xz x

yx y yz y

zx zy z z

Fdiv F 0

F

⎡ ⎤σ τ τ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ σ τ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ ⎣ ⎦⎣ ⎦

,

(20)

sau

xyx xzx

yx y yzy

zyzx zz

F 0;x y z

F 0;x y z

F 0.x y z

∂τ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =∂ ∂ ∂

∂τ∂τ ∂σ+ + + =

∂ ∂ ∂

(21)

A doua ecuaţie, cea de momente scrise faţă de centrul de masă el elementului de volum,

ne furnizează principiul dualităţii tensiunilor tangenţiale,

ij jiτ = τ , ⇒ xy yx

yz zy

zx xz

;

;

.

τ = τ⎧⎪τ = τ⎨⎪τ = τ⎩

(22)

În multe situaţii forţele masice lipsesc sau se neglijează, în aceste condiţii ecuaţia lui

Chauchy devine:

div T 0ρ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . (23)

3.2. RELAŢIILE INTEGRALE DINTRE TENSIUNI ŞI EFORTURI SECŢIONALE

Operaţiile caracteristice vectorilor, nu se pot aplica tensiunilor decât dacă acţionează în

acelaşi punct şi sunt definite pentru aceiaşi secţiune. În caz contrar, tensiunile trebuie

transformate în forţe, prin înmulţire cu ariile pe care acţionează, urmând a se opera vectorial

cu aceste forţe. Ca urmare, tensiunile x xy xz, ,σ τ τ , înmulţite cu elementul de arie dA, se pot

reduce în centrul de greutate al secţiunii, Figura 7 la un torsor elementar de forma:

y zdR dNi dT j dT k= + + ;

t y zdM dM i dM j dM k= + + .

(21)

Page 206: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

59

unde:

x y xy z xzdN dA; dT dA; dT dA= σ = τ = τ ;

z y

y z

i j kdM r dR 0 y z ( ydT zdT ) i zdNj ydNk

dN dT dT= × = − − = − + − + .

(25)

dA

C

x

y

z rdTy

dNdTz

1F

3F

2F

Figura 7. Evidenţierea eforturilor secţionale elementare

Eforturile secţionale, funcţie de componentele vectorului tensiune, se obţin prin

integrarea relaţiilor 26, pe domeniul A.

xA

N dA= σ∫ ; y xyA

T dA= τ∫ ; z xzA

T dA= τ∫ ;

( )x t xy xz

A

M M z y dA= = τ − τ∫ ; y xA

M z dA= − σ∫ ; z xA

M y dA= σ∫ .

(26)

Relaţiile 26 sunt utilizate în rezistenţa materialelor pentru calculul eforturilor

secţionale.

Page 207: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

60

3.3. VECTORUL DEPLASARE. TENSORUL DEFORMAŢIILOR SPECIFICE

Toate corpurile care există în natură sunt deformabile, sub acţiunea forţelor exterioare,

ele îşi modifică mai mult sau mai puţin configuraţia de referinţă. Aceasta afectează în mod

esenţial legea de distribuţie a forţelor interioare, deci a stării de tensiune, însă variaţia formei,

în general, este foarte mică şi nu poate fi sesizată decât cu instrumente foarte sensibile.

Se consideră un solid elastic raportat la un sistem de coordonate în care se alege un

punct M, caracterizat prin vectorul de poziţie r . Solidul este supus unui sistem de forţe

exterioare, iF , i 1, n= , sub acţiunea căruia el rămâne în echilibru macroscopic, dar în

realitate se deformează, adică punctul M trece în 1M caracterizat de vectorul de poziţie 1r . Ca

urmare, corpul va avea o nouă configuraţie, Figura 8.

Vectorul 1MM r= ∆ se numeşte deplasare totală a punctului M, definit prin relaţia:

1r r r= + ∆ ⇒ 1r r r U∆ = − = , (27)

în care, U este vectorul de deplasare a punctului curent M.

x

y

z

Configuraţiede refererinţă

Configuraţiesolicitată

M

O

1M

r 2F

nF

1F1r

r∆

Figura 8. Evidenţierea vectorului deplasare

Proiecţia acestuia pe axele sistemului cartezian Oxyz, se numesc deplasări după axe sau

componentele scalare ale vectorului deplasare,

U ui vj wk= + + , (28)

Page 208: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

61

unde u, v şi w sunt deplasări ale punctului pe direcţiile x, y şi z.

Vectorul de deplasare este o funcţie care depinde de punct şi poate fi scris sub forma:

( )U U(r) U x, y, z= = ⇒ u u(x, y, z)= , v v(x, y, z)= , w w(x, y, z)= (29)

Dacă se cunoaşte vectorul U se pot determina toate tensiunile din solidul solicitat.

Deformaţii specifice

Dacă se consideră iniţial două puncte vecine M şi N, plasate la distanţa ; în urma

solicitării corpului, acestea trec în 1M şi 1N , distanţa între ele fiind + ∆ , Figura 9.

Diferenţa + ∆ − = ∆ se numeşte alungire sau scurtare a lui MN după cum este 0∆ > sau

0∆ < . Pentru a lucra în coordonate adimensionale alungirea se raportează la lungimea

iniţială obţinându-se deformaţia specifică medie pe direcţia segmentului MN,

m+ ∆ − ∆

ε = =

(30)

Limita acestei deformaţii medii când 0→ se numeşte alungire specifică sau

deformaţie specifică liniară în M, pe direcţia MN,

i m0 0lim lim→ →

∆ε = ε =

(31)

x

y

z Configuraţiede refererinţă

Configuraţiesolicitată

M

O

1M

r 2F

nF

1F1r

r∆1N+ ∆

N

Figura 9. Deformaţia specifică liniară

Page 209: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

62

În particular, se poate alege direcţia lui MN paralelă cu una din axele unui sistem de

coordonate şi ca urmare, rezultă trei deformaţii specifice liniare. Dacă în locul lungimii , se

vor considera exclusiv lungimile dx, dy şi dz ale unui element de volum elementar, se pot

obţine deformaţiile specifice liniare de forma:

x dx 0

(dx)limdx→

∆ε = , y dy 0

(dy)limdy→

∆ε = , z dy 0

(dz)limdz→

∆ε = .

(32)

Ţinând seama de variaţia componentelor scalare u a vectorului deplasare U , se obţine:

x

uu dx u(dx) uxdx dx x

∂+ −∆ ∂∂ε = = =

∂.

(33)

In fapt, deformaţiile specifice liniare 34, se pot defini prin analogie cu relaţia 33:

x y zu v w, ,x y z∂ ∂ ∂

ε = ε = ε =∂ ∂ ∂

.

(34)

Lunecarea sau deformaţia specifică unghiulară

Se consideră în configuraţia de referinţă, în apropierea punctului M două puncte P şi Q

situate pe direcţii reciproc perpendiculare, Figura 10. În uram solicitării corpului, cele trei

puncte M, P şi Q ajung în poziţiile 1 1 1M , P , Q . Unghiul iniţial drept dintre direcţiile MP şi

MQ se modifică şi devine în configuraţia solicitată α . Variaţia unghiului drept se numeşte

lunecare sau deformaţie specifică unghiulară din punctul M, între direcţiile MP şi MQ.

Aceasta se calculează ca diferenţă între unghiul drept şi unghiul α şi se notează prin γ ,

( )MP,MQ2 2π π

γ = −α = − ≺ .

(35)

Practic direcţiile MP şi MQ se pot alege astfel încât fie paralele cu două, oricare dintre

axele unui sistem de coordonate. În acest caz lunecarea specifică se simbolizează prin ijγ , cu

i j≠ şi i, j x, y, z= . Ca urmare, vom avea trei deformaţii specifice unghiulare,

xy yz zx, ,γ γ γ . (36)

Lunecările specifice pot fi pozitive sau negative, după cum unghiul drept scade,

2α < π , respectiv creşte, 2α > π .

Page 210: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

63

Deformaţiile specifice unghiulare pot fi exprimate funcţie de componentele scalare ale

vectorului deplasare U ,

xy yz zxu v v w w u, ,y x z y x z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

γ = + γ = + γ = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

(37)

Demonstraţia relaţiilor 37 poate fi găsită în literatura de specialitate precum mecanica

mediilor continue, [Di95].

x

y

zConfiguraţiede refererinţă

Configuraţiesolicitată

M

O

1M

2F

nF

1F

Q 1Q

Pπ/2 1Pα

r1r

Figura 10. Definirea deformaţiei specifice unghiulare

Cele 6 deformaţii specifice x y z xy xz yz, , , , ,ε ε ε γ γ γ definite în raport cu sistemul de

referinţă Oxyz determină complet starea de deformaţie a elementului de volum din jurul unui

anumit punct. Starea de deformaţie este o mărime tensorială. Tabloul componentelor

deformaţiilor specifice ale unui paralelipiped elementar în vecinătatea unui punct se numeşte

tensor al deformaţiilor specifice şi se scrie:

xy xzx

yx yzij y

zyzxz

2 2

T2 2

2 2

δ

γ⎡ ⎤γε⎢ ⎥

⎢ ⎥γ γ⎢ ⎥⎡ ⎤= δ = ε⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

γγ⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(38)

Page 211: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

64

Dacă aceste componente nu variază de la punct la punct în solid atunci starea se

numeşte omogenă şi neomogenă în caz invers.

În concluzie, în vecinătatea unui punct care aparţine unui corp solicitat se pot defini trei

tipuri de deformaţii specifice:

- liniare denumite şi alungiri specifice, i (i x, y, z)ε = ;

- unghiulare denumite şi lunecări specifice; ij (i, j x, y, z şi i j)γ = ≠ ;

- volumice, vε .

Aceste deformaţii împreună cu deplasările definesc starea de deformaţii din vecinătatea

punctului considerat. Starea de deformaţie a întregului corp este dată de stările de deformaţie

din toate punctele sale.

Similar ca la tensorul tensiunilor şi în acest caz se poate admite un tensor principal al

deformaţiilor specifice,

[ ] [ ]Tε εε

εε

= =

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

i

1

2

3

0 00 00 0

,

(39)

unde ε ε ε1 2 3> > , sunt soluţiile ecuaţiei,

3 2

1 2 3E E E 0λ − λ + λ − = , (40)

în care 1 2 3E ,E ,E sunt invarianţii tensorului Tδ ,

1 x y zE = ε + ε + ε ;

( )2 2 22 x y y z z x xy yz zx

1E4

== ε ε + ε ε + ε ε − γ + γ + γ ;

( )3E det Tδ= .

Ca orice tensor şi acesta se poate descompune într-un tensor sfericSδ şi un tensor

deviator Dδ ,

T S Dδ δ δ= + , (41)

unde:

Page 212: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

65

m

m

m

0 0S 0 0

0 0δ

ε⎡ ⎤⎢ ⎥= ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

;

x m xy xz

yx y m yz

zx zy z m

1 12 2

1 1D2 21 12 2

δ

⎡ ⎤ε − ε γ γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= γ ε − ε γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥γ γ ε − ε⎢ ⎥⎣ ⎦

,

în care x y zm 3

ε + ε + εε = , este deformaţia specifică liniară medie.

Componentele tensorului sferic produc numai modificarea volumului, fără modificarea

formei.

Tensorul principal al deformaţiilor specifice poate fi descompus la fel într-un tensor

sferic şi unul deviator,

T S Dεε ε= + , (42)

unde:

m

m

m

0 0S 0 0

0 0ε

ε⎡ ⎤⎢ ⎥= ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

; 1 m

2 m

3 m

0 0D 0 0

0 0ε

ε − ε⎡ ⎤⎢ ⎥= ε − ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε − ε⎣ ⎦

,

în care ( )m 1 2 3 13 E 3ε = ε + ε + ε = .

3.4 DEFORMAŢIA SPECIFICĂ VOLUMICĂ

În vecinătatea M mai apare o deformaţie specifică volumică care se poate defini ca

raportul dintre variaţia elementului de volum, V∆ şi volumul iniţial al elementului, V.

x y zv x y z 1

(1 )(1 )(1 )dxdydzV EV dxdydz

+ ε + ε + ε∆ε = = = ε + ε + ε = ,

(43)

unde s-a neglijat infiniţii mici de ordin superior.

Ţinând seama de relaţiile 34 deformaţia specifică volumică devine:

( )v x y zu v w div Ux y z∂ ∂ ∂

ε = ε + ε + ε = + + =∂ ∂ ∂

.

(44)

Page 213: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

66

3.5. DEPENDENŢA REALĂ ÎNTRE STAREA DE DEFORMAŢIE ŞI STAREA

DE TENSIUNE

Tensiunile şi deformaţiile au un caracter tensorial şi au fost prezentate fără a lua în

considerare proprietăţile fizico-mecanice ale corpului deformabil. Pentru a putea aprecia

modul în care corpul deformabil răspunde la solicitarea mecanică, trebuie găsită legătura

dintre deformaţii şi tensiuni, denumită în literatura de specialitate lege fizică. Configuraţia

curbei tensiune-deformaţie, ρ−δ şi constantele care intervin sunt determinate prin încercări

experimentale. Uzual se utilizează încercarea la tracţiune.

3.5.1 Încercarea la tracţiune. Legea simplă a lui Hooke

Pentru stabilirea relaţiei dintre tensiuni şi deformaţii specifice, se examinează în

laborator comportarea unei epruvete, realizată din materialul studiat şi apoi supusă la

solicitarea uniaxială de întindere. Secţiunea epruvetei este de formă circulară, Figura 11,

realizată conform Standardului Românesc SR EN 10002-1/1994, identic cu Standardul

European EN 10002+1:1990. Geometria epruvetei este astfel stabilită încât pe lungimea 0

marcată prin două repere să se poată realiza o stare deformaţie şi de tensiune omogenă.

Epruveta se fixează în sistemul de prindere a unei maşini speciale de încercat la tracţiune şi se

aplică la capete o forţă F lent crescătoare în timp, urmărindu-se răspunsul în deformaţie,

măsurat cu aparate speciale. Practic se urmăresc modificările de dimensiuni pe care le suferă

epruveta supusă încercării.

0

0d 0AReper marcat Reper marcat

F F

Figura 11. Forma epruvetei

Dat fiind caracterul omogen al stării de tensiuni, tensiunea normală pe o secţiune

perpendiculară pe axa epruvetei se poate determina utilizând prima ecuaţie din relaţiile

integrale dintre tensiuni şi eforturi secţionale,

Page 214: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

67

A

N dA= σ∫ , (45)

unde N F, cons tan t= σ = , rezultă A

F dA A= σ = σ∫ .

În practică 0A A= ,

0

FA

σ = .

(46)

Cu dispozitive speciale se măsoară şi lungimea dintre repere, corespunzătoare

creşterii lente a lui F, 0> . Deformaţia specifică medie pe direcţia axei se poate calcula,

0m

0 0

−∆ε = = ,

(47)

fizic putem aprecia că: m xε = ε .

Practic cunoscând 0A şi 0 se înregistrează valorile lui şi F. Corespunzător se

calculează cu relaţiile 46 şi 47 tensiunile normale σ şi alungirile specifice ε . În final, se

obţin perechi de valori ( , )ε σ , care reprezentate grafic, ne furnizează caracteristica mecanică a

materialului la tracţiune f ( )σ = ε . Pentru un material elasto-plastic curba caracteristică la

tracţiune are forma din Figura 12.

Caracteristica obţinută experimental diferă de cea dedusă teoretic. Acesta este motivul

pentru care se preferă să se construiască experimental curbele f ( )σ = ε pentru fiecare

material.

Pe prima porţiune OP curba caracteristică prezintă o dependenţă liniară între tensiunea

normală σ şi deformaţia specifică liniară ε , factorul de proporţionalitate fiind E tg= α ,

numit modul de elasticitate longitudinal şi cunoscut şi sub denumirea de modulul lui Young,

E tg σ= α =

ε.

(48)

Deoarece ε este adimensional, rezultă că E are aceleaşi unităţi de măsură ca şi tensiunea,

adică 2N m Pa= .

Relaţia

Page 215: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

68

Eσ = ε , (40)

reprezintă legea simplă a lui Hooke pentru solicitarea uniaxială.

pε eεrε

α

ε

PE

C H

M

R

Diagramaconvenţională

Diagramă reală

eσcσ

O

Q

A B

α

σ σ

Figura 12. Caracteristica mecanică a materialului la tracţiune, f ( )σ = ε

Valoarea maximă a tensiunii σ pentru care curba caracteristică are un caracter liniar se

numeşte limită de proporţionalitate, pσ . Peste această limită dependenţa tensiune-deformaţie

capătă o formă neliniară păstrându-se însă caracterul elastic, în sensul că, la eliminarea

solicitării procesul de descărcare se realizează până la configuraţia de referinţă, fără apariţia

unor deformaţii remanente. Punctului E îi corespund o tensiune eσ numită limită de

elasticitate, care se defineşte convenţional ca tensiunea căreia îi corespunde o deformaţie

remanentă egală cu 0 10000 , adică r 0,0001ε < . Se mai notează cu 0,01% 0 , iar tensiunea

e p0,01Rσ = .

Caracterul elastic al deformaţiilor dispare în punctul E când apar deformaţii remanente.

Crescând tensiunea peste limita de elasticitate cresc deformaţiile elastice şi plastice până la

valoarea cσ , când alungirile cresc foarte mult ca şi când materialul ar curge. Acest fenomen

se numeşte curgerea materialelor iar tensiunea cσ este numită limită de curgere. Deoarece

Page 216: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

69

palierul curgere CH nu este evident la toate materialele, tensiunea limită cσ se defineşte

convenţional drept tensiunea care produce o alungire remanentă egală cu 0 500

( r 0.002ε = ), adică r 0, 2%ε = . Limita de curgere se mai notează p0.02R .

Acest palier de curgere se datoreşte alunecării relative a straturilor de atomi unul faţă de

celălalt. Evident că în cazul curgerii deplasarea straturilor de atomi înseamnă forfecarea

materialului. Limita de curgere poate fi calculată teoretic cu relaţia:

cG2

σ =π

,

(49)

unde G este modul de elasticitate transversal.

Aceasta se întâmplă în mod ideal, în realitate limita de curgere are valori mult mai mici.

După punctul H începe un nou traseu ascendent, obişnuit neliniar numit zonă de întărire a

materialului, traseu care atinge un maxim în punctul M, apoi curba caracteristică prezintă o

porţiune descendentă, ruperea epruvetei producându-se în punctul Q materialul se rupe.

Valoarea tensiunii r mRσ = , corespunzătoare tensiunii din M, este numită limită de rupere,

care se defineşte convenţional ca,

r0

FA

σ = .

(50)

Înainte ca solicitarea să atingă limita de rupere, pe porţiunea de epruvetă dintre repere

apare o gâtuire, care prin evoluţie îşi reduce diametrul în această zonă până la rupere.

Caracteristica reală are traseul MR, practic se preferă să se traseze caracteristica

convenţională.

Evident tensiunilor limită p e c r, , ,σ σ σ σ le corespund deformaţii specifice limită

conform diagramei.

Lungirea specifică de rupere se poate calcula cu relaţia 47, aplicată în punctul Q. Pe

diagrama σ− ε , valoarea rε , se obţine ducând din Q o paralelă la porţiunea liniară OP,

r 0r

0

−ε = ,

(51)

unde r reprezintă lungimea dintre cele două repere măsurată după aşezarea cap la cap a celor

două porţiuni de epruvetă rezultate în urma ruperii.

Page 217: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

70

Gâtuirea specifică la rupere rψ se poate calcula cu relaţia:

0 r 00

0

A A 100A−

ψ = ⋅ ,

(44)

în care rA este aria secţiunii din dreptul gâtuirii.

Porţiunea descendentă a curbei caracteristice este determinată de modul de calcul al

tensiunii σ care utilizează secţiunea iniţială 0A , deşi încă din zona de întărire a curbei

caracteristice secţiunea reală rA se micşorează corespunzător cu evoluţia gâtuirii. Dacă

pentru fiecare punct se raportează forţa aplicată la secţiunea reală, se obţine tensiunea

efectivă. Reprezentarea dependenţei dintre tensiunea efectivă şi alungirea specifică va

determina curba caracteristică reală.

Caracteristica reală coincide cu caracteristica convenţională până în zona de curgere,

după care curba caracteristică reală se situează deasupra celei convenţionale, Figura 12.

Pentru materiale la care este valabilă legea lui Hooke, modul de elasticitate este acelaşi

la tracţiune şi compresiune, deci au caracteristică mecanică asemănătoare, dar palierul de

curgere nu este aşa de evident.

Asemănător se poate studia comportarea materialelor la răsucire sau forfecare, trasând

curbe caracteristice în coordonate τ − γ , curbe care au, în general, aceeaşi alură cu cele

obţinute la tracţiune. Ca urmare, se pot defini aceleaşi mărimi caracteristice, p e c r, , ,τ τ τ τ , iar

legea lui Hooke are expresia:

Gτ = γ , (53)

unde G este modulul de elasticitate transversal al materialului.

În concluzie, diagrama tensiune-deformaţie ρ−δ , poate fi obţinută pentru un corp

deformabil când este supus la o solicitare simplă, impunând ca tensiunea ρ să crească după o

anumită lege şi măsurarea deformaţiilor specifice δ care rezultă. Ca urmare, se poate trasa

curba tensiune - deformaţie cu tensiune impusă. Dacă corpul este supus la o deformaţie δ

variabilă în timp după o anumită lege şi se urmăreşte răspunsul în tensiune, atunci se poate

obţine diagrama tensiune-deformaţie cu deformaţie impusă. Când diagrama este o dreaptă sau

o curbă unică, atunci corpul este denumit elastic liniar, respectiv elastic neliniar, iar de

studiul acestor corpuri se ocupă elasticitatea liniară, respectiv neliniară.

Page 218: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

71

Remarcă. Caracteristicile mecanice sunt influenţate de natura materialului,

temperatură, ecruisare, timp ş.a.

În cazul lemnului aceste caracteristici mecanice depind de specia lemnoasă, densitatea,

umiditatea şi temperatura acestuia, de poziţia inelelor anuale şi de direcţia fibrelor faţă de

direcţia de solicitare, precum şi de timp. În Figura 13 se prezintă diagrama σ− ε pentru lemn

de molid supus la compresiune perpendicular pe direcţia fibrelor.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

2 .106

4 .106

6 .106

8 .106

1 .107

σ

ε

Figura 13. Diagrama σ− ε pentru lemn de molid, solicitat pe direcţia fibrelor

Pentru unele materiale diagrama ρ−δ poate avea palier de curgere evident, iar alte

materiale nu au acest palier.

Toate mărimile determinate prin încercarea materialelor la tracţiune sau compresiune,

forfecare sau răsucire împreună cu alte mărimi ce se pot determina prin alte încercări

mecanice, se numesc caracteristici mecanice şi sunt utilizate în studiul comportării mecanice

a materialelor.

Materialele care au deformaţii plastice mari se numesc materiale tenace, iar materialele

care au deformaţii plastice mici se numesc materiale fragile. Dacă s-ar trasa pentru acelaşi

material caracteristica la compresiune s-ar constata că la materialele tenace tensiunile limită la

compresiune sunt egale cu cele de la tracţiune. Materialele fragile au limite mult mai ridicate

decât la tracţiune.

Caracteristica liniară este prezentă la unele oţeluri şi specii lemnoase, toate celelalte

materiale nu prezintă zonă de proporţionalitate, deci caracteristica este curbă chiar de la

Page 219: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

72

început, putând avea unul din următoarele aspecte, Figura 14 a sau b. Evident modulul E nu

are valoare fixă ci o zonă de valori.

α

σ

ε

α

σ

ε

A

a b

a) curbă caracteristică pentru fonte, materiale neferoase şi aliajele lor;

b) curbă caracteristică pentru materiale fibroase

Figura 14. Diagrame σ− ε neliniare

În general nu se mai poate scrie proporţionalitatea între σ şi ε. Aceste curbe pot fi

descrise de ecuaţia:

n

0Eσ = ε , (54)

unde 0E – constantă cu unităţi de tensiune la n, iar n un exponent supraunitar pentru a) şi

subunitar pentru b).

Aceste constante depind material şi se pot determina experimental. Pentru simplificare

în calcule caracteristica σ− ε se poate liniariza şi ca urmare s-au definit următoarele module

de elasticitate:

- modulul de elasticitate în origine, 0E ;

- modulul tangent, tE ;

- modulul secant, sE ,

00

dEd ε=

σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠, t

dEdσ

, tdEdσ

.

(47)

Page 220: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

73

Evident E nu are o valoare fixă ci un interval de valori.

3.5.2. Ecruisarea

Se consideră un material tenace, care are caracteristica evidenţiată în Figura 11.

Materialul este solicitat peste limita elastică până în punctul H. În acest punct începe

descărcarea lentă a epruvetei. Forţa scade lent şi se înregistrează deformaţia corespunzătoare;

HA este curba liniară de descărcare, care face acelaşi unghi α cu axa Oε ca şi partea iniţială.

Deformaţia specifică în punctul H este compusă componenta din elastică eε , care dispare la

îndepărtarea sarcinii şi componentă plastică sau permanentă pε , care se menţine,

e pε = ε + ε . (56)

Dacă reîncărcăm epruveta astfel descărcată am vedea că perechile (σ, ε) se înscriu pe

aceeaşi linie AH parcursă în sens invers. Dacă se continuă încărcarea se obţine traseul

obişnuit al curbei HMQ.

Dacă această operaţie se face înainte de darea în folosinţă a elementului mecanic putem

muta axa Oσ cu originea în A. În sistemul de coordonate Aεσ caracteristica mecanică va fi

AHMR. Până în punctul H nu mai apar noi deformaţii plastice, tensiunea corespunzătoare

devine noua limită de curgere pentru epruveta deja deformată.

Acest fenomen de modificare a limitei de curgere prin deformaţie plastică la rece se

numeşte ecruisare. Prin acest procedeu se măreşte domeniul de liniaritate a caracteristicii şi

tensiunile din material; ca efect apare câştigul la limita de curgere, c∆σ .

Dacă epruveta ecruisată prin tracţiune este supusă la compresiune, se constată că limita

de curgere scade cu acelaşi c∆σ , adică are valori mai mici decât a materialului neecruisat.

Fenomenul este cunoscut sub numele efect Bauschinger.

Ecruisarea este posibilă numai dacă în timpul funcţionării apar în elementul mecanic

tensiuni cu acelaşi semn cu cele ale ecruisării. La tensiuni de semn opus comportarea este

înrăutăţită. Deci ecruisarea se aplică la elementele la care tensiunea nu-şi schimbă semnul în

timpul funcţionării (sârme, cabluri, tiranţi).

Ecruisarea se poate produce voit, dar apare şi în cursul unor procese tehnologice

intensive, mai ales în straturile superficiale. Dacă este defavorabilă, efectul ecruisării se

îndepărtează prin detaşarea stratului ecruisat sau prin recoacere de recristalizare.

Page 221: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

74

3.5.3 Contracţia transversală

Considerăm o epruvetă supusă la tracţiune. Pe măsură ce creşte forţa, se măsoară cu

precizie mare diametrul epruvetei, d. Se constată că diametrul se micşorează. Această

concluzie poate fi verificată experimental şi se constată că deformaţia transversală se poate

calcula cu relaţia:

0t

0

d dd−

ε = ,

(57)

unde d0 – diametrul iniţial al epruvetei în zona calibrată, iar d este diametrul la un moment

dat.

Deformaţia transversală este întotdeauna o fracţiune din deformaţia specifică

longitudinală, ε,

tε = −νε . (58)

Semnul minus ţine seama de faptul că deformaţia transversală este de semn opus

deformaţiei longitudinale, iar ν este coeficient constant, numit coeficient de contracţie

transversală sau coeficientul lui Poisson. Se poate demonstra că valoarea lui ν variază în

intervalul (0–0,5), limita superioară de 0,5 este atinsă de materiale incompresibile.

În Tabelul 1 sunt prezentate caracteristicile mecanice şi elastice ale unor materiale

Tabelul 1. Caracteristicile mecanice pentru unele materiale uzuale

Materialul cσ [MPa] rσ [MPa] 5E 10⋅ [MPa] ν Oţel carbon 360-400 620-660 2-2,1 0,24-0,28 Fontă cenuşie şi albă 100-400 1,15-1,60 0,23-0,27 Duraluminiu 340 540 Lemn de răşinoase în lungul fibrelor

50-105 0,09-0,12

Beton 10-20 0,15-0,23 0,16-0,18 Cauciuc 0,47

Valorile din Tabelul 1 sunt orientative, practic se determină experimental în laborator

pentru fiecare tip de material cu ajutorul unor maşini speciale care pot fi asistate complet de

calculator, obţinându-se inclusiv caracteristica tensiune-deformaţie.

Page 222: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

75

3.6. LEGEA LUI HOOKE GENERALIZATĂ PENTRU MATERIALE

ANIZOTROPE ŞI IZOTROPE

Un corp se numeşte izotrop dacă proprietăţile sale elastice sunt identice în orice punct şi

anizotrop dacă aceste proprietăţi diferă de la un punct la altul. Dacă corpul în structura sa

prezintă o simetrie internă atunci şi în proprietăţile sale elastice se constată o astfel de

simetrie, denumită în general, simetrie elastică, manifestată prin aceea că, în fiecare punct al

corpului se pot identifica direcţii denumite echivalente pentru care proprietăţile elastice sunt

identice.

Din acest punct de vedere lemnul este un compozit natural, fiind un material cu

proprietăţi mecanice speciale, datorită anizotropiei şi higroscopicităţii sale.

Pentru a uşura calculele se consideră că lemnul, datorită structurii sale, este un material

compozit natural ortrotop, adică poate fi considerat că are trei plane şi trei axe de simetrie

elastică. Acestea sunt: LOR, ROT şi TOL, respectiv axa longitudinală L, radială R şi

tangenţială T, Figura 15.

T

L

RM

TLτ

TσTRτ

RLτ

RTτ

LTτLRτ

M

L

RT

Figura 15. Lemnul - compozit natural Ortrotop

Deşi aceste axe sunt numai aproximativ perpendiculare între ele, planele lor

determinând o construcţie rombică, dar în cele ce urmează vor fi considerate ortogonale.

Page 223: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

76

Starea de tensiune este reprezentată de tensorul tensiunilor care are nouă componente:

tensiunile normale iσ , paralele cu direcţiile de anizotropie L, R şi T şi tensiunile tangenţiale

ijτ , conţinute în cele trei plane de simetrie,

L LR LT

RL R RT

TL TR T

σ τ τ⎡ ⎤⎢ ⎥= τ σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦

.

(59)

Starea de deformaţie din jurul unui punct M din interiorul materialului lemnos, Figura

15, este reprezentată în cazul cel mai general, de către tensorul deformaţiilor specifice:

L LR LT

RL R RT

LT RT T

1 12 2

1 1T2 21 12 2

ε

⎡ ⎤ε γ γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= γ ε γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥γ γ ε⎢ ⎥⎣ ⎦

,

(60)

în care Lε , Rε şi Tε sunt deformaţiile specifice după direcţiile longitudinală, radială şi

tangenţială, iar LRγ , RTγ , TLγ , lunecările specifice în planul LOR, ROT şi TOL.

În cazul în care Lσ , Rσ şi Tσ sunt tensiuni principale, tensorul tensiunilor şi cel al

deformaţiilor, devin tensori principali definiţi prin relaţiile:

L

R

T

0 0T 0 0

0 0σ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

, L

R

T

0 0T 0 0

0 0ε

ε⎡ ⎤⎢ ⎥= ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

.

(61)

Între cei doi tensori ai tensiunilor şi deformaţiilor există o relaţie de legătură dată de

legea lui Hooke generalizată,

ij iT f (T , ,E )δ ρ= ν , (54)

unde ijν sunt coeficienţi de contracţie transversală din planele de simetrie, iar iE moduli de

elasticitate pe direcţiile de simetrie.

Page 224: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

77

Pentru a deduce legea lui Hooke generalizată, se aplică principiul suprapunerii efectelor

legii simple a lui Hooke. Această aplicare este permisă datorită dependenţei liniare între

tensiuni şi deformaţie. Conform , acestui principiu se determină deformaţiile produse pe o

anumită direcţie de către toate componentele tensorului tensiune, considerate că ar acţiona

singure, respectiv că solicitarea ar fi simplă. Deformaţiile produse într-un punct oarecare, pe

o anumită direcţie, de către toate componentele tensorului tensiune, se însumează apoi

algebric.

Luăm ca exemplu tensiunea normală Lσ care va produce pe direcţia longitudinală L

alungirea specifică longitudinală L LEσ iar pe cele două direcţii radială şi tangenţială,

contracţiile transversale LR L LE−ν σ , respectiv LT L LE−ν σ . Efectele similare ale

componentelor tensorului tensiune sunt evidenţiate în Tabelul 2.

Tabelul 2. Deducerea legii generalizate a lui Hooke pentru materiale anizotrope Lσ Rσ Tσ LRτ RTτ TLτ Sumare algebrică

Lε L

LEσ R

RLRE

σ−ν T

TLRE

σ−ν

0 0 0 L R TL RL TL

L R TE E Eσ σ σ

ε = −ν ⋅ − ν

Rε LLR

LEσ

−ν R

REσ T

TRTE

σ−ν

0 0 0 L R TR RL TR

L R TE E Eσ σ σ

ε = −ν + −ν

Tε LLT

LEσ

−ν RRT

REσ

−ν T

TEσ

0 0 0 L R TT LT RT

L R TE E Eσ σ σ

ε = −ν −ν +

LRγ 0 0 0 LR

LRGτ 0 0 LR

RLLRG

τγ =

RTγ 0 0 0 0 RT

RTGτ 0 RT

RTRTG

τγ =

RTγ 0 0 0 0 0 TL

TLGτ TL

TLTLG

τγ =

Corelaţia dintre componentele tensorului deformaţie şi a tensorului tensiune este

evidenţiată în ultima coloană, care exprimă legea generalizată a lui Hooke pentru un compozit

natural ortrotop precum lemnul:

Page 225: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

78

L R TL RL TL

L R T

R L TR RL TR

R L T

T L RT LT RT

T L R

LR RT TLRL RT TL

LR RT TL

;E E E

;E E E

;E E E

; ; ,G G G

σ σ σ⎧ε = −ν ⋅ − ν⎪⎪

σ σ σ⎪ε = −ν −ν⎪⎪⎨ σ σ σ⎪ε = −ν −ν⎪⎪

τ τ τ⎪γ = γ = γ =⎪⎩

(63)

în care LRν ,. RTν , TLν sunt coeficienţii contracţiei transversale, primul indice arată direcţia

tensiunii, al doilea direcţia deformaţiei, iar GLR, GRT şi GTL sunt moduli de elasticitate

transversală în planele LR, RT şi TL.

Evident lemnul masiv are nouă constante sau indici de elasticitate. Curtu afirmă că în

practică rar se întâlnesc situaţii în care direcţiile tensiunilor să coincidă cu direcţiile principale

elastice, în acest caz legea generalizată a lui Hooke poate fi scrisă faţă de un nou reper rotit cu

un anumit unghi faţă de direcţiile elastice principale, L, R, şi T.

Legea generalizată a lui Hooke pentru materiale izotrope se obţine uşor din relaţiile

4 dacă: LR RT TLν = ν = ν = ν , L R TE E E E= = = şi LR RT TLG G G G= = = . Se face observaţia

că la astfel de corpuri reperul OLTR este înlocuit cu sistemul Oxyz, Figura 5. În final se

obţine:

x x y z

y y x z

z z x y

xy yz zxxy yz zx

1 ( ) ;E1 ( ) ;E1 ( ) ;E

; ; .G G G

⎧ ⎡ ⎤ε = σ −ν σ +σ⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎡ ⎤ε = σ −ν σ +σ⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ ⎡ ⎤ε = σ −ν σ +σ⎣ ⎦⎪⎪ τ τ τ⎪γ = γ = γ =⎪⎩

(64)

Dacă se adună deformaţiile specifice liniare definite de relaţiile 64 se obţine:

( )x y z x y z1 2

E− ν

ε + ε + ε = σ +σ +σ .

(65)

Membrul stâng al ecuaţiei 6 reprezintă deformaţia specifică volumică, iar paranteza din

membrul drept este primul invariant al stării de tensiuni. Ca urmare, se poate scrie:

Page 226: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

79

v h3(1 2 )

E− ν

ε = σ sau h vE

3(1 2 )σ = ε

− ν

(66)

Evident, între tensiunea hidrostatică şi deformaţia specifică volumică este o

proporţionalitate de forma:

h vKσ = ε , (67)

unde EK3(1 2 )

=− ν

.

Ecuaţia 67 reprezintă legea lui Hooke pentru deformaţii specifice volumice.

În cazul solidelor liniar elastice, modulul de elasticitate volumic este constant. La

solide neliniar elastice el depinde de nivelul tensiunii, astfel încât modulul volumic se

defineşte local ca derivata tensiunii hidrostatice în raport cu deformaţia specifică volumică.

h

v

K ∂σ=∂ε

.

(68)

Acest modul se mai numeşte şi modul volumic tangent de elasticitate, spre deosebire de

modulul volumic secant, definit ca raport între tensiunea hidrostatică şi deformaţia specifică

volumică.

3.7 ENERGIA POTENŢIALĂ ELASTICĂ

Lucrul mecanic al forţelor exterioare se regăseşte înmagazinat conform principiului

conservării energiei în corpul solicitat sub formă de energie potenţială elastică. Dacă ne

referim la unitatea de volum, din jurul punctului curent din solidul tensionat, această energie

se numeşte energie specifică şi se notează cu w. Energia totală se poate calcula cu relaţia:

V

W wdv= ∫ (69)

Lucrul mecanic înmagazinat în elementul de volum sub formă de energie potenţială de

deformaţie, se poate calcula funcţie de elementele tensorilor tensiune şi deformaţie:

ij ij1dL dW dV2

= = ρ δ

(70)

Page 227: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

80

energia specifică w se poate calcula cu relaţia:

ij ijdW 1wdV 2

= = ρ δ

(71) Ţinând seama de componentele tensorilor tensiune şi deformaţie, rezultă:

( )ij ij x x y y z z xy xy yz yz zx zx1 1w2 2

= ρ δ = σ ε + σ ε +σ ε + τ γ + τ γ + τ γ .

(72)

Energia specifică se poate calcula funcţie de componentele tensorilor principali ai

tensiunilor şi deformaţiilor,

( )1 1 2 2 3 31w2

= σ ε + σ ε + σ ε

(73) Ţinând seama de legea lui Hooke generalizată pentru materiale izotrope, se obţine:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2x y z x y y z z x xy yz zx

1 1w2E E 2G

ν= σ +σ +σ − σ σ +σ σ +σ σ + τ + τ + τ

(74)

sau funcţie numai de componentele principale ale tensorului tensiune, se obţine:

( ) ( )2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1w2E E

ν= σ +σ +σ − σ σ +σ σ +σ σ

(75)

Cu ajutorul relaţiilor 74 sau 75 se poate evidenţia contribuţia tensorului sferic şi

deviator ai stării de tensiuni în energia specifică. Energia corespunzătoare tensorului sferic se

numeşte energie modificatoare de volum, doarece tensorul sferic produce modificarea locală

de volum, fără o modificare de formă. Energia produsă de tensorul deviator se numeşte

energie modificatoare de formă. Ca urmare energia specifica totală are două componente,

v fw w w= + , (76)

unde vw este energia modificatoare de volum, care se poate obţine atunci când

1 2 3 hσ = σ = σ = σ ,

( )2 2v 1 2 3 1

1 2 1 2w I6E 6E− ν − ν

= σ +σ +σ = ,

(77)

Page 228: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

81

iar fw este energia modificatoare de formă, definită ca diferenţă dintre energia totală şi

energia modificatoare de formă,

2 2 2f v 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1w w w ( )3E+ ν ⎡ ⎤= − = σ +σ +σ − σ σ +σ σ +σ σ⎣ ⎦ ,

(78)

sau

( ) ( ) ( )2 2 2f 1 2 2 3 3 1

1w3E+ ν ⎡ ⎤= σ −σ + σ −σ + σ −σ⎣ ⎦

(79)

Evident, energia modificatoare de formă este proporţională cu pătratul primului

invariant al stării de tensiuni, respectiv cu tensiunea normală octaedrică, pe când energia

modificatoare de formă este proporţională cu pătratul tensiunii tangenţiale octaedrice.

3.8. RELAŢIA DINTRE E ŞI G

Între modulul de elasticitate transversal G şi cel longitudinal E există o relaţie de

legătură, deci aceste două module nu sunt independente. Pentru a demonstra acest lucru

considerăm o stare plană de forfecare pură, definită prin tensorul:

0

T0τ

τ⎡ ⎤= ⎢ ⎥τ⎣ ⎦

(80)

Energia specifică dată de acest tensor este de forma:

21w2 2G

τ= τγ =

(81)

Tensorul definit de relaţia 80 poate fi exprimat funcţie de componentele principale, adică:

1

2

0 0T

0 0τ

σ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ −τ⎣ ⎦⎣ ⎦

(82)

Energia specifică în acest caz se poate calcula cu relaţia:

( ) 21 1 2 2

1 1w2 E

+ ν= σ ε + σ ε = τ

(83)

Energiile specifice obţinute în cele două situaţii sunt egale,

Page 229: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

82

221

2G Eτ + ν

= τ ⇒ EG2(1 )

=+ ν

.

(84)

3.9. STĂRI PARTICULARE DE TENSIUNE ŞI DEFORMAŢIE

În aplicaţii practice pot să apară stări de tensiune şi deformaţie mai simple prin lipsa

unor componente, ca urmare, tensorul capătă o formă mai simplă, iar starea de tensiune

devine una particulară şi are o anumită denumire, Tabelul 3 .

Tabelul 3. Stări particulare de tensiune şi deformaţie

Tipul stării Exprimarea matematică a tensorului

Specificaţii

Tracţiunea sau compresiunea uniformă

h

h

h

0 0T 0 0

0 0σ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

Când tensiunile normale sunt egale între ele x y zσ = σ = σ = σ , iar tensiunile tangenţiale

sunt nule. Tensorul tensiune se reduce numai la tensorul sferic

Forfecare pură

0T

τ⎡ ⎤= ⎢ ⎥τ⎣ ⎦

Solicitarea de forfecare pură este o stare plană de tensiuni, la care tensiunile normale sunt nule. Deformarea specifică volumică, v 0ε =

Starea monoaxială de tracţiune sau compresiune

x 0

T0 0σ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Este posibil ca la o stare plană de tensiuni să se anuleze toate componentele cu excepţia unei tensiuni normale

Stare plană de tensiune

x xy

yx yT

σ τ⎡ ⎤= ⎢ ⎥τ σ⎣ ⎦

Tensiunile normale principale pot fi calculate cu relaţia:

( )2x y 21,2 x y xy

1 42 2

σ +σσ = ± σ −σ + τ . Unei stări plane de tensiuni îi corespunde o stare spaţială de deformaţie

Forfecare triaxială

0T 0

τ τ⎡ ⎤⎢ ⎥= τ τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ⎣ ⎦

Starea de forfecare triaxială apare când tensorul tensiune are componentele normale nule

Stare plană de deformaţie

xyx

yxy

2T

2

δ

γ⎡ ⎤ε⎢ ⎥

⎢ ⎥=γ⎢ ⎥

ε⎢ ⎥⎣ ⎦

Deformaţiile specifice principale se pot calcula cu relaţia:

x y 2 21,2 x y xy

1 ( )2 2

ε + εε = ± ε − ε + γ

Unei stări plane de deformaţie îi corespunde o stare spaţială de tensiuni

Page 230: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

83

3.10. PROPRIETĂŢILE ELASTICE ŞI PLASTICE ALE LEMNULUI

După cum s-a menţionat în paragraful anterior, lemnul este un compozit natural şi are o

anumită comportare în sistemul viu, controlată de mecanismele biologice şi o altă comportare

după tăiere, când aceste mecanisme încetează.

Lemnul, ca orice solid, se deformează sub acţiunea sarcinilor exterioare. Dacă la

încetarea acţiunii forţelor exterioare, deformaţia dispare, adică corpul revine la configuraţia

iniţială, se spune că materialul are o comportare elastică. Dacă corpul revine parţial sau

rămâne cu deformaţii permanente, se spune că materialul are o comportare elastoplastică,

respectiv plastică. Deformaţiile care rămân după înlăturarea forţelor exterioare poartă

denumire de deformaţii remanente sau reziduale şi pot fi considerate deformaţii iniţiale

pentru solicitarea următoare la care este supus corpul.

Elasticitatea şi plasticitatea lemnului este studiată în ţară la Universitatea din Braşov de

colectivul condus de profesorul Curtu; cercetările lor sunt materializate în lucrările [Cu81,

Cu84, Cu93]. Sintetic se prezintă câteva aspecte importante pentru un inginer silvic.

Lemnul, cu structura sa cristalină şi amorfă, cu părţi afânate aşezate în mod diferenţiat,

prezintă un fenomen de suprapunere a deformaţiilor elastice cu cele plastice, iar fenomenul

deformării elastice şi cel al curgerii variază în timp.

Explicarea şi înţelegerea acestor proprietăţi se bazează pe modele reologice, care în

cazul lemnului sub acţiunea sarcinilor exterioare se produc trei feluri de deformaţii: elastice,

cu elasticitate întârziată şi plastice. Deformaţia totală va fi compusă din suma acestora.

Deformaţiile cele mai mari ale lemnului apar pe direcţie tangenţială, apoi pe direcţie

radială. Deformabilitatea cea mai mică se înregistrează pe direcţie longitudinală sau axială.

Lemnul mai uşor (mai puţin dens) este mai elastic. Elasticitatea depinde în mare

măsură şi de umiditatea lemnului, unghiul fibrei şi temperatură.

După Curtu, [Cu93] în studiul plasticităţii lemnului trebuie să se ia în considerare

următoarele aspecte:

în partea amorfă a celulozei va apărea întotdeauna o deformaţie plastică, indiferent de ceea

ce se întâmplă în zona cristalină;

după încetarea acţiunii exterioare, elementele ce formează structura anatomică a lemnului

vor tinde să se regrupeze din nou, mai repede sau mai încet (lemnul nu este un material

plastic prin excelenţă, deformaţiile plastice în lemn apar mai mult ca fenomene reologice

decât ca fenomene de sine stătătoare).

Page 231: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

84

Pentru a caracteriza capacitatea plastică a lemnului trebuie să se ţină cont de

următoarele fenomene: fenomenul deformaţiilor ascunse şi remanente; fenomenul de curgere

şi elasticitatea întârziată şi fenomenul de relaxare.

Lemnul prezintă întotdeauna deformaţii ascunse şi remanente. Deformaţiile elementelor

din structura anatomică a lemnului nu sunt întotdeauna traduse prin deformaţii proporţionale

ale elementului studiat. Aceste deformaţii din interiorul său care nu se pot determina se

numesc deformaţii ascunse.

Deformaţiile remanente sau reziduale apar atunci când solicitarea atinge o aşa-numită

valoare de cedare, care este în strânsă legătură cu umiditatea şi temperatura lemnului. La

valori mari ale umidităţii, proprietăţile plastice ale lemnului devin mai importante, iar

temperaturile mari coboară nivelul valorii de cedare (punctul critic este la 160°C, când începe

descompunerea celulozei), deci vor mări posibilitatea de apariţie a deformaţiilor remanente.

Atunci când mărimea forţei ce acţionează asupra lemnului rămâne constantă, iar

deformaţia continuă să crească, se spune că a apărut starea de curgere, care este asociată cu

deranjamente serioase în structura materialului. Curgerea lemnului este diferită de cea a

materialelor izotrope. În cazul lemnului apar două fenomene combinate:

o curgere intercristalină (intermicelară, interfibrilară) a zonelor cristaline de celuloză şi

hemiceluloze;

o curgere vâsco-plastică a ligninelor, substanţelor pectice şi a celulozei amorfe.

La creşterea constantă a forţei, deformaţia nu creşte nelimitat, ci ajunge la o valoare

limită; iar după înlăturarea forţei, părţile deformate elastic îşi revin instantaneu, pe când cele

ce au suferit o oarecare curgere, fără să-şi fi pierdut total proprietăţile elastice, îşi vor reveni

cu întârziere din starea de deformare creată. Acesta este fenomenul elasticităţii întârziate,

care se manifestă într-un mod evident la lemn. În lemn nu se pot crea stări perfect elastice,

care să nu deranjeze structura sa anatomică. Prin urmare, orice deformaţie în lemn se va găsi

între limitele fenomenului de elasticitate întârziată.

Deformarea lemnului sub acţiunea unei forţe se produce neproporţional în timp,

manifestând o tendinţă de creştere dacă mărimea forţei a întrecut o anumită limită. Pentru a

se menţine lemnul într-o stare de deformaţie constantă este nevoie de o micşorare continuă a

forţei. Descreşterea tensiunilor din material pentru a-1 menţine într-o stare de deformaţie

constantă poartă numele de relaxare. Fenomenul elasticităţii întârziate şi al relaxării arată că

în procesele de deformare a lemnului factorul timp are un rol foarte important, deci este

necesară abordarea acestui material din punct de vedere reologic.

Page 232: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

85

După cum se cunoaşte reologia se ocupă cu studiul legilor care guvernează dezvoltarea

deformaţiilor în timp, sub acţiunea sarcinilor exterioare.

În cazul elementelor din lemn masiv, datorită neuniformităţii structurii anatomice în

cadrul inelului anual, situaţia se complică. Porii (vasele) cu diametrul mare reduc valoarea

modulului de elasticitate. Un lemn cu diametrul porilor variabil sau cu grosimi diferite ale

pereţilor celulari în cuprinsul inelului anual este greu de caracterizat prin modele reologice

simple.

Cunoaşterea proprietăţilor reologice ale lemnului este importantă la uscare (dezvoltarea

tensiunilor în timp pot să producă fenomenul de colaps), la fabricarea produselor compozite

pe bază de lemn (de exemplu, la plăcile din aşchii de lemn, adezivii folosiţi trebuie să aibă

proprietăţi plastice şi elastice corelate cu cele ale lemnului), dar şi în calculele de rezistenţă

pentru piesele din lemn folosite în construcţii de lungă durată (fenomenul oboselii lemnului).

În funcţie de tipul solicitărilor statice sau dinamice se pot executa următoarele tipuri de

încercări pentru a determina caracteristicile mecanice ale lemnului:

Încercarea la: compresiune, întindere, flambaj, încovoiere, răsucire, forfecare, rezilienţă,

rezistenţă la despicare, duritate şi la oboseală.

Oboseala este proprietatea materialelor de a se deteriora atunci când sunt supuse unor

sarcini variabile în timp, chiar când tensiunile sunt sub cele limită. În urma solicitărilor

repetate, prin depăşirea limitei de elasticitate, în lemn se produc deformaţii permanente ce

cresc în timp şi provoacă în final cedarea acestuia la tensiuni mai mici decât cele la care în

mod normal ar fi putut rezista în condiţii statice. Oboseala poate fi rezultatul unor solicitări

de compresiune, tracţiune, încovoiere statică sau torsiune.

Rezistenţa la oboseală scade odată cu creşterea umidităţii şi a temperaturii şi se măreşte

odată cu creşterea densităţii lemnului şi a gradului de şlefuire a suprafeţelor pieselor.

Suprafaţa aspră a pieselor neşlefuite constituie o sursă de amorsare a fisurilor în timpul

solicitărilor variabile.

Proprietăţile tehnologice ale lemnului

Proprietăţile tehnologice descriu capacitatea lemnului de a se opune factorilor externi

fizici, mecanici, chimici sau biotici care acţionează asupra însuşirilor sale atunci când este

supus prelucrării sau introdus în operă (construcţii).

Rezistenţa la uzură este importantă în cazul elementelor din lemn supuse frecării:

precum scări, duşumele, platforme de vagoane. Prin uzură se înţelege fenomenul de roadere şi

mărunţire a lemnului ca urmare a strivirii şi desprinderii fibrelor.

Page 233: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Elemente de elasticitate

86

Secţiunile radiale sunt de 2-5 ori mai rezistente la uzură decât cele transversale şi de

până la 2 ori mai rezistente decât cele tangenţiale. Printre speciile cele mai rezistente la uzură

se numără salcâmul, fagul, stejarul, gorunul, frasinul şi carpenul, iar printre cele mai puţin

rezistente se găsesc molidul, teiul, plopul şi pinul strob.

Rezistenţa la uzură creşte odată cu mărirea densităţii şi a durităţii pieselor din lemn şi

scade la mărirea umidităţii. Încercarea la uzură se face prin suflaj cu nisip ori folosind hârtie

sau discuri abrazive, iar în final se determină modificarea dimensiunii sau a greutăţii

epruvetelor.

Rezistenţa îmbinărilor cu cuie, şuruburi şi adezivi este foarte importantă la şarpante,

lăzi, mobilă etc. si depinde de următorii factori: densitatea şi umiditatea lemnului, diametrul şi

poziţia de pătrundere a cuiului sau şurubului în raport cu structura lemnului, rezistenţa

lemnului la despicare, forma secţiunii (circulară, pătratică) şi natura suprafeţei cuiului (netedă,

striată), adâncimea de pătrundere în lemn a cuiului sau şurubului, defectele lemnului. Cuiele

bătute în lemn se smulg mai uşor decât şuruburile, datorită rezistenţei suplimentare a lemnului

la forfecare ce apare în zona filetului.

Capacitatea de reţinere a cuielor şi şuruburilor variază destul de mult de la o specie la

alta. Lemnul cu densitate mai mare are o capacitate mai ridicată de reţinere a cuielor şi

şuruburilor. Lemnul umed reţine momentan mai bine cuiele şi şuruburile, dar odată cu

scăderea umidităţii în timp, situaţia se modifică. Cuiele bătute paralel cu fibrele se smulg mai

uşor decât cele bătute perpendicular pe fibre. Cuiele bătute în direcţie radială se smulg mai

uşor decât cele bătute în direcţie tangenţială. Cuiele bătute paralel cu fibrele într-un lemn

verde se extrag mai uşor după ce trece o oarecare perioadă de timp şi mai greu dacă se scot

imediat după ce au fost bătute. Cuiele bătute perpendicular pe fibre într-un lemn parţial uscat

se scot mai greu dacă se extrag după câteva luni de la baterea lor şi mai uşor dacă se scot

imediat. Cuiele şi şuruburile care ruginesc în lemn se smulg mai uşor.

Rezistenţa îmbinărilor cu adezivi se cercetează la tracţiune, despicare, forfecare,

încovoiere etc. şi depinde foarte mult de tipul adezivilor.

Rezistenţa la tăiere cu cuţite este foarte importantă pentru prelucrarea mecanică a

lemnului. Această rezistenţă depinde de geometria tăişului, poziţia de atac a cuţitului asupra

lemnului, gradul de ascuţire a cuţitului, viteza de tăiere, duritatea, structura anatomică,

anizotropia şi umiditatea lemnului.

Rezistenţa la atacul acizilor şi bazelor. Lemnul rezistă bine la acţiunea acizilor şi

bazelor în concentraţii slabe. Rezistenţa bună a lemnului în medii slab alcaline este utilă

pentru folosirea acestuia în industria textilă şi chimică, acolo unde alte materiale (fier, beton)

Page 234: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

87

sunt corodate. În medii acide lemnul este distrus dacă pH-ul coboară sub 2. Sărurile de

natriu, calciu şi potasiu duc la reducerea rezistenţelor mecanice ale lemnului, mai ales la

tracţiune şi încovoiere în regim static.

Lemnul de foioase, în raport cu lemnul răşinoaselor, este mai puţin rezistent la acţiunea

acizilor si bazelor. Dintre speciile de răşinoase rezistă cel mai bine lemnul de pin.

Duramenul este mai rezistent decât alburnul.

Curbarea este o proprietate tehnologică a lemnului importantă pentru realizarea unor

sortimente de mobilă şi ambarcaţiuni. Încercarea la curbare se face pe direcţie tangenţială faţă

de inelele anuale. Dintre speciile cu proprietăţi bune de curbare se remarcă: frasinul, castanul,

salcâmul, fagul, stejarul, paltinul de munte, ulmul. Dintre speciile de răşinoase, bradul are

proprietăţi remarcabile (raza minimă de curbură de 160-250 mm), iar molidul este inapt

pentru curbare (raza minimă peste 500 mm).

Durabilitatea este însuşirea lemnului de a rezista în timp la acţiunea de distrugere a

factorilor chimici, fizici sau biologici.

Stabilitatea dimensională la uscare mai mare sau mai mică este dată de fenomenele de

contragere şi umflare a lemnului şi depinde de direcţia fibrelor, prezenţa defectelor etc.

Lemnul cel mai stabil la uscare este cel cu structura anatomică fină precum părul, cireşul,

teiul.

Page 235: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 4

ÎNTINDERE SAU COMPRESIUNE

4.1. INTRODUCERE

Întinderea sau compresiunea sunt solicitări simple produse numai de prezenţa în

secţiune a efortului secţional FN = , Figura 1. Dacă acest efort secţional tinde să îndepărteze

sau să apropie cele două părţi secţionate imaginar, adică este dirijată după normala exterioară

sau interioară la planul secţiunii, solicitarea este de întindere sau compresiune.

a - tracţiune b – compresiune

Figura 1. Solicitarea de tracţiune sau compresiune

Se poate spune că un corp este solicitat la întindere sau compresiune dacă torsorul

forţelor calculat în raport cu centru de greutate al unei secţiuni normale la axa corpului se

reduce numai forţă axială N.

În cazul barelor drepte, forţa de tracţiune tinde să lungească bara, iar cea de

compresiune să o scurteze. Convenţional forţele de întindere se consideră pozitive, N 0> , iar

cele de compresiune negative, N 0< .

Studiul tensiunilor şi deformaţiilor este acelaşi pentru ambele solicitări dar, în funcţie de

sensul forţei axiale, comportarea materialului poate fi diferită.

Page 236: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

89

4.2. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII

Se consideră o bară dreaptă, Figura 2, de secţiune constantă, solicitată la întindere de

forţele F, aplicate pe capete şi dirijate în lungul axei barei. Evident efortul secţional N este

constant.

a - diagrama efortului secţional N b - alungirea barei cu 01 −=∆

Figura 2. Bară solicitată la întindere

Pentru acest studiu se acceptă următoarele ipoteze:

I1. Ipoteza mediului continuu, omogen şi izotrop;

I2. Ipoteza lui Bernoulli;

I3. Ipoteza lui Saint Venant;

I4. Ipoteza lui Hooke;

I4. Forţele masice se consideră nule.

Acceptând ipoteza lui Bernoulli conform căreia secţiunile plane şi normale la axa barei

înainte de deformaţie, rămân plane şi normale la axa barei şi după deformaţie, Figura 3. Dacă

secţiunea plană A se deplasează din poziţia x în poziţia x x+ ∆ , toate punctele din secţiune au

aceeaşi deformaţie ∆x , deci aceeaşi alungire specifică xx∆

ε = . Conform legii lui Hooke

constant kxxEExx ==

∆=ε=σ , pe secţiune transversală A.

Figura 3. Element de bară dreaptă solicitat la întindere axială

Page 237: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

90

Luând în considerare şi ipoteza lui Saint Venant, conform căreia în secţiunile suficient

de depărtate de punctele de aplicaţie a sarcinilor, nu se mai resimte modul efectiv de

repartizare. În acest caz starea de tensiuni de pe feţele frontale ale tronsonului de bară

considerat, se poate determina, presupunând că efortul secţional N, se repartizează uniform

sub forma unui tensiuni constante de forma:

kx =σ=σ . (1)

Acceptând ipotezele menţionate mai sus, se pune problema să verificăm dacă sunt

respectate ecuaţiile de echivalenţă mecanică, adică ecuaţiile integrale dintre tensiuni şi

eforturi secţionale.

Se consideră elementul de bară, Figura 4 şi impunând condiţia ca torsorul tuturor

forţelor ce acţionează pe secţiunea A, calculat în raport cu centrul de greutate al ei să fie nul,

utilizând relaţiile 26 din capitolul 3, rezultă:

xy xzx y z( A ) ( A ) ( A )

dA N; dA T 0; dA T 0σ = τ = = τ = =∫ ∫ ∫ ;

şi x z

( A ) ( A )

x y( A ) ( A )

x y x z t( A )

y d A yd A M 0;

z d A zd A M 0;

(z y )d A M 0 .

− σ = −σ = =∫ ∫

σ = σ = =∫ ∫

τ − τ = =∫

(2)

σdA

x

yz

N

dA

o

A

Figura 4. Model de calcul

În relaţiile 2 înlocuim pe xσ cu expresia 1 şi avem în vedere că axele Oy şi Oz trec prin

centrul de greutate al secţiunii A, ca urmare momentele statice în raport cu aceste axe sunt

nule, iar din relaţia NdA)A(

x =σ∫ deducem NkA = , deci,

Page 238: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

91

AN

x =σ=σ ,

(3)

formulă fundamentală utilizată în calculul de rezistenţă la întindere, compresiune.

În ipoteza că forţele masice sunt nule starea de tensiune trebuie să verifice ecuaţiile lui

Cauchy şi condiţiile pe contur, adică relaţiile 7 şi 23 din capitolul 3.

Componentele tensorului tensiune într-o secţiune curentă se reduc numai la o singură

componentă normală,

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=σ=σ=

ANT x .

(4)

Deformaţiile specifice pot fi calculate aplicând legea lui Hooke generalizată pentru

materiale omogene şi izotrope.

x y z; ;E E Eσ σ σ

ε = ε = −ν ε = −ν ;

x y y z z x

x y y z z x0 ; 0 ; 0G G Gτ τ τ

γ = = γ = = γ = = .

(5)

Deoarece deformaţiile specifice unghiulare pe secţiunea transversală sunt nule, 0=γ ,

rezultă că starea de deformaţie este o stare principală dată de tensorul:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

σν−

σν−

σ

E00

0E

0

00E

T .

(6)

Pentru un element de bară de lungime dx, lungirea este:

dxEANdx

Edx)dx( =

σ=ε=∆ ,

(7)

iar pentru o bară de lungime

∫=∆EANdx .

(8)

Page 239: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

92

Dacă bara este prismatică cu secţiunea A = constantă, iar E şi N sunt de asemenea

constante pe toată lungimea , atunci lungirea este:

EAN

EANdx

0

==∆ ∫ .

(9)

Pentru o bară a cărei secţiune variază în trepte sau în lungul căreia forţa axială are valori

diferite de la un interval la altul, lungirea totală rezultă din însumarea lungirilor tuturor

intervalelor:

∑=∆i ii

ii

AEN

.

(10)

Produsul EA poartă denumirea de modul de rigiditate la întindere sau compresiune.

Energia de deformaţie specifică pentru un element de bară, supus la tracţiune sau

compresiune se poate calcula cu relaţia:

E21

21w

2σ=σε= .

(11)

Energia totală acumulată în bară poate fi calculată cu relaţia:

EAN

21Adx

EAN

21dv

E2wdvW

2

02

2

)V( )V(

2

∫∫ ∫ ==σ

== .

(12)

Energia pentru bare cu secţiune variabilă se poate calcula cu relaţia:

∫=0

2

AEdxN

21W

(13)

Cele două criterii de calcul prezentate în capitolul introductiv pot fi concretizate la

solicitarea de întindere sau compresiune astfel:

- Criteriul de rezistenţă:

cAN lim

amax

maxσ

=σ≤=σ .

(14)

Page 240: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

93

- Condiţia de deformaţie sau de rigiditate:

aNEA

∆ = ≥ ∆ .

(15)

În relaţiile 14 şi 15 maxN reprezintă efortul secţional maxim din elementul de bară, limσ

tensiunea limită caracteristică materialului utilizat în aplicaţia dată, c coeficientul de

siguranţă, care se acceptă de proiectant pe baza prescripţiilor specifice aplicaţiei, iar a∆

reprezintă alungirea sau scurtarea admisibilă în aplicaţii operaţionale.

Cele două criterii pot fi utilizate pentru calcule de verificare, dimensionare şi

determinarea capacităţii portante, Tabelul 1.

Tabelul 1. Problemele practice întâlnite în aplicaţii inginereşti

Categorii de probleme

Criteriul de rezistenţă

Criteriul de rigiditate

Criteriul mixt

Verificare cA

N limaefc

σ=σ≤=σ aefc EA

N∆≥=∆

Îndeplinirea ambelor criterii simultan

Dimensionare

lima1nec

NcNAσ

= a

2nec ENA∆

= ( )2nec1necnec A,AmaxA =

Determinarea capacităţii portante

cAAN lim

a1capσ

=σ= a2capEAN ∆= )N,Nmin(N 2cap1capcap =

Dacă unui element mecanic solicitat la tracţiune sau compresiune i se impune atât

condiţia de rezistenţă cât şi condiţia de rigiditate, calculele se efectuează după ambele criterii

şi se alege soluţia care le asigură pe ambele.

4.3. INFLUENŢA GREUTĂŢII PROPRII ASUPRA BARELOR PLASATE VERTICAL

În anumite aplicaţii tehnice greutatea proprie a unor elemente nu mai poate fi neglijată,

în special atunci când aceasta este de acelaşi ordin de mărime cu cel al sarcinilor exterioare

aplicate.

Pentru stabilirea relaţiilor de calcul se consideră modelul din Figura 5, unde forţa axială

N variază continuu în lungul axei barei, având într-o secţiune oarecare la distanţa x, expresia:

AxF)x(N γ+= . (16)

în care γ este greutatea volumică a materialului şi A - aria secţiunii barei.

Page 241: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

94

Figura 5. Bară plasată vertical sub acţiunea forţei F şi a greutăţii proprii

Tensiunea normală în această secţiune poate fi calculată cu relaţia:

xAF

A)x(N

x γ+==σ .

(17)

În capătul liber al barei, pentru x 0= , tensiunea normală are valoarea:

AF

0 =σ .

(18)

Tensiunea maximă se înregistrează la partea superioară pentru x = , adică:

γ+=σAF

max

(19)

Deformaţia specifică variază liniar şi este dată de relaţia:

Ex

AEF

Ex

+=σ

(20)

Pentru calculul deformaţiei totale ∆ , se consideră un element de bară de lungime

foarte mică, dx, Figura 5, a cărui greutate proprie este neglijabilă, astfel încât forţa axială este

constantă. Alungirea acestui element este:

Page 242: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

95

dx)dx( xε=∆ . (21)

Deformaţia totală a barei se poate obţine prin integrare:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

γ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

+=ε=∆ ∫∫ 2GF

AEE2AEFdx

Ex

AEFdx0

2

00x ,

(22)

în care G A= γ .

Dacă bara nu ar fi solicitată de forţa exterioară, 0F = , atunci asupra ei ar acţiona numai

greutatea proprie, iar deformaţia se calculează cu relaţia:

AE2G

=∆ .

(23)

Impunând condiţia de rezistenţă şi rigiditate se pot obţine probleme curent întâlnite în

rezistenţa materialelor, evidenţiate în Tabelul 2.

Tabelul 2. Problemele practice întâlnite în aplicaţii inginereşti

Categorii de

probleme

Criteriul de

rezistenţă

Criteriul de

rigiditate

Criteriul mixt

Verificare cAF limσ

≤γ+ aefc 2GF

AE∆≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

Îndeplinirea ambelor

criterii simultan

Dimensionare γ−σ=

lim1nec

FcA

2a

2nec E2F2A

γ−∆=

( )2nec1necnec A,AmaxA =

Determinarea capacităţii portante

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ γ−σ

=c

AF lim1cap

2G

2AE

F a2cap −

∆=

)N,Nmin(N 2cap1capcap =

Lungimea de rupere

În cazul barei de secţiune constantă solicitată la întindere de o forţă F şi greutatea

proprie, tensiunea maximă este dată de relaţia 19.

Dacă asupra barei nu se aplică o forţă concentrată 0F = , atunci relaţia 19 devine:

γ=σmax . (24)

Page 243: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

96

Este evident că în acest caz, tensiunea este independentă de secţiune. Se poate calcula

lungimea pentru care elementul mecanic să poată rezista sub greutatea proprie impunând

criteriul de rezistenţă:

γσ

=γσ

=c

lima .

(25)

Înlocuind în această relaţie tensiunea normală limită, prin rezistenţa de rupere, se poate

calcula lungimea de rupere:

rr c

σ=

γ.

(26)

Lungimea de rupere depinde numai de material, Tabelul 3, iar valoarea ei arată

caracteristica pe care o prezintă materialul de a rezista în raport cu greutatea proprie.

Materialul care are o lungime mare de rupere va putea fi ales pentru construcţiile obligatoriu

uşoare, însă rezistente.

Tabelul 3. Lungimea de rupere pentru unele materiale uzuale.

Materialul γ 3N m⎡ ⎤⎣ ⎦ rσ [ ]MPa r [ ]m

Oţel OL37 78500 370 4700 Oţel aliat 25MoCr10 78500 650 8300

Aluminiu 27000 150 5500 Duraluminiu 27000 450 16700

Nylon 11000 83 75000 Brad 4500 8,5 19000 Pin 5200 10,4 20000 Fag 7200 13,5 19000

4.4. SOLID DE EGALĂ REZISTENŢĂ

Bara din Figura 5 are secţiune constantă, obţinută prin utilizarea criteriului de rezistenţă.

Materialul din care este realizată această bară nu este utilizat raţional, deoarece tensiunea are

valoarea maximă numai în zona de încastrare, iar la capătul liber valoarea tensiunii este dată

de relaţia 18. Ca urmare, se recurge la utilizarea unei bare de secţiune variabilă, care să aibă

aceeaşi tensiune în orice secţiune transversală. Acest tip de bară se numeşte solid de egală

rezistenţă la întindere.

Page 244: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

97

Pentru determinarea legii de variaţie a ariei secţiunii, se consideră modelul din Figura

6a, şi se izolează un element de lungime dx, Figura 6b. Se consideră că pe ambele secţiuni ale

elementului separat tensiunile au aceeaşi valoare, climσ=σ . Impunând acestui element de

volum condiţia de echilibru static rezultă:

[ ] 0dx)x(A)x(A)x(dA)x(A =γ−σ−+σ (27)

Prin reducerea termenilor asemenea şi prin separarea variabilelor în ecuaţia 27, se

obţine:

dx)x(A)x(dA

σγ

=

(28)

Integrând ecuaţia 28, rezultă:

Cx)x(Aln +σγ

= .

(28)

F

Ao

ldx

xA(x)

A(x)+dA(x)

σ

A(x)+dA(x)

A(x)dG

σ

σ

F

dx

a b c

Figura 6. Model de calcul - solid de egală rezistenţă

Constanta de integrare C se determină din condiţia că pe capătul liber, la 0x = , aria

secţiunii transversale are valoarea 0A)x(A = ; rezultă:

Page 245: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

98

lim0

FclnAlnCσ

==

(30)

În final, se poate scrie expresia de variaţie a secţiunii transversale:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σγ

σ=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛σγ

= xcexpFcxcexpA)x(Alim0limlim

0

(31)

unde:

lim0

FcAσ

= secţiunea din capătul liber al barei,

iar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σγ

=lim

0cexpA)(A secţiunea în încastrare.

Lungirea barei - solid de egală rezistenţă se obţine uşor deoarece tensiunea şi deformaţia

specifică sunt constante pe toată lungimea , adică:

cElimσ

=ε=∆ .

(32)

Realizarea unei bare ca solid de egală rezistenţă la întindere, a cărei secţiune

transversală variază după legea exponenţială dată de relaţia 31, ridică probleme tehnologice.

De aceea, soluţia practică cea mai uzuală este ca bara să fie realizată din mai multe tronsoane,

fiecare cu secţiune constantă, după cum este evidenţiat în Figura 6c. Aria fiecărui tronson se

alege astfel încât la capătul său superior tensiunea normală să fie egală cu cea admisibilă,

clima σ=σ .

4.5. PROBLEME STATIC NEDETERMINATE LA ÎNTINDERE SAU

COMPRESIUNE

Problemele inginereşti întâlnite în practică pot fi analizate funcţie de numărul

reacţiunilor, r, considerate ca necunoscute şi numărul ecuaţiilor de echilibru static

independente, e.

Dacă:

Page 246: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

99

er = - problemele sunt static determinate care pot fi rezolvate aplicând numai condiţii

de echilibru static;

er ≤ - problemele sunt static nedetrerminate, iar pentru rezolvarea lor trebuie stabilite

noi ecuaţii între necunoscute.

Diferenţa, ner =− , se numeşte grad de nedeterminare statică şi indică numărul

condiţiilor de deformaţie care trebuie impuse pentru rezolvarea problemei. Ecuaţiile rezultate

din condiţiile de deformaţie se pot exprima în funcţie de eforturile secţionale şi împreună cu

ecuaţiile de echilibru static, permit rezolvarea problemei.

Ca procedură de rezolvare trebuie să se ţină seama de următoarele aspecte:

Aspectul static - se evidenţiază necunoscutele corespunzătoare legături mecanice şi se

exprimă condiţiile de echilibru static independente;

Aspectul geometric al deformaţiilor – condiţiile de compatibilitate geometrică a

deformaţiilor. Funcţie de natura legăturilor mecanice se reprezintă configuraţia geometrică

deformată a sistemului mecanic şi se stabilesc un număr de relaţii geometrice între deplasările

sistemului, egal cu gradul de nedeterminare statică.

Aspectul fizic – se exprimă, în domeniul elastic, relaţiile dintre deplasări şi eforturile

secţionale ce le produc.

Din sinteza celor trei aspecte rezultă necunoscutele problemei.

Bară cu secţiune neomogenă

În practică se utilizează elemente alcătuite din două sau mai multe materiale, dispuse

simetric faţă de axa elementului, cu caracteristici mecanice şi elastice diferite. Se pot

menţiona betonul armat – reprezintă un ansamblu de două materiale precum beton şi oţel.

Bara rezultată are o comportare favorabilă în cazul solicitării de compresiune, încovoiere, etc.

Ansamblu oţel şi cupru poate fi întâlnit în structura cablurilor electrice suspendate. În

acest caz oţelul serveşte ca elemente de rezistenţă, iar cuprul la transmiterea energiei electrice.

Bară formată din fag şi brad întâlnită în structura de rezistenţă a unor construcţii din

lemn. Caracteristic acestor elemente este modul lor de fixare împreună, astfel încât să

formeze un singur corp denumit bară cu secţiune neomogenă.

Calculul de rezistenţă al unei astfel de bare necesită determinarea modului de repartizare

a forţei axiale pe elementele componente ale secţiunii. În Figura 7 se prezintă schematic o

bară cu secţiune neomogenă, formată din trei elemente fixate între ele, având modulele de

rigiditate 3,1i,AE ii = , solicitate de forţa axială F.

Page 247: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

100

Figura 7. Bară cu secţiune neomogenă, formată din trei elemente diferite

În cele trei elemente apar eforturile secţionale 3,1i,Ni = , astfel încât se poate scrie:

FNNN 321 =++ , (33)

la această ecuaţie se adaugă condiţia de deformaţie care exprimă faptul că cele trei elemente

se deformează cu aceeaşi cantitate, ∆ :

321 ∆=∆=∆ sau 321 ε=ε=ε (34)

rezultă:

33

3

22

2

11

1

AEN

AEN

AEN

==

(35)

După simplificarea cu şi aplicarea unei proprietăţi cunoscute ale rapoartelor egale, în

care se ţine seama de relaţia 33, se obţin eforturile secţionale, iN :

FAEAEAE

AEN

332211

111 ++= ;

FAEAEAE

AEN

332211

222 ++= ;

FAEAEAE

AEN

332211

333 ++= .

(34)

Relaţiile 35 pot fi generalizate pentru o bară cu secţiune neomogenă compusă din n

elemente. Sarcina preluată de elementul i se poate calcula cu relaţia:

Page 248: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

101

FAE

AEN

ii

iii ∑= .

(37)

Condiţia de rezistenţă pentru elementul i este:

c)(

)(FAE

EAN ilim

iaii

i

i

ii

σ=σ≤==σ

∑.

(38)

Evident tensiunile din elemente sunt proporţionale cu modulele de elasticitate ale

materialelor respective, care în general nu sunt proporţionale cu tensiunile limită. Ca urmare,

nu se pot dimensiona la limită conform relaţiei 38, simultan toate elementele barei.

Uzual se dimensionează la limită numai elementul din materialul cu preţ de cost ridicat,

urmând ca celelalte să fie supradimensionate, adică vor fi solicitate sub rezistenţa admisibilă.

Pentru exemplu de mai sus se poate scrie:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σσσ≤

++ 3

3lim

2

2lim

1

1lim

332211 cE)(

,cE

)(,

cE)(

minAEAEAE

F

(39)

Practic este necesar să se cunoască rapoartele 12 AA şi 13 AA .

Un asemenea calcul este recomandat a se face asistat de calculator prin utilizarea

aplicaţiei informatice Mathcad. Bară dreaptă articulată la capete

Se consideră o bară de secţiune constantă .constEA = , Figura 8, articulată la ambele

capete şi solicitată axial de forţa concentrată F, aplicată în punctul B.

1 2BN1 N2

a b

F

EA

N+N1

N2-

Figura 8. Bară articulată la ambele capete, solicitată axial de forţa F

Page 249: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

102

Soluţie

Pentru a rezolva o astfel de problemă, static nedeterminată, este necesar să se cunoască

reacţiunile din articulaţie 1N şi 2N , care sunt două necunoscute.

Din punct de vedere static se poate scrie ecuaţia de echilibru:

0FNN 21 =−+ . (40)

A doua ecuaţie se obţine din aspectul geometric al deformaţiilor şi anume că deformaţia

totală a barei între punctele 1 şi 2 este nulă, 021 =∆ − . Această deformaţie reprezintă suma

algebrică a deformaţiilor parţiale pe cele două intervale, 02BB121 =∆+∆=∆ −−− .

Prin exprimarea fizică a acestei relaţii, se obţine:

0EA

b)FN(EA

aN 1121 =

−+=∆ − ,

(41)

de unde:

FbN1 = .

(42)

Dacă se schimbă originea în punctul 2, deformaţia 01BB212 =∆+∆=∆ −−− , capătă

expresia:

0EA

a)FN(EA

bN 2212 =

+−+−=∆ − ,

(43)

de unde:

FaN 2 =

(44)

Reacţiunea 2N se poate obţine şi din ecuaţia de echilibru 47 sau prin analogie cu 1N .

Deplasarea punctului B se poate calcula cu relaţia:

EAabF

EAaN1

B ==∆

(45)

Page 250: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

103

Dimensionarea pentru o astfel de bară trebuie făcută pe tronsonul unde forţa axială este

maximă, utilizând condiţia:

cA)N,Nmax( lim

a21

maxσ

=σ≤=σ .

(46)

Ca urmare, apare un tronson, cu lungimea cea mai mare, care este supradimensionat.

Observaţie. Acest mod de rezolvare este valabil şi pentru o bară încastrată la ambele

capete, Figura 9 sau pentru cazul când rigiditatea se schimbă pe diferite intervale ale barei.

1 2BN1 N2

a b

F

EA

N

+N1

N2-

Figura 9. Bară încastrată la ambele capete, solicitată axial de forţa F

Sistem de bare paralele

Se consideră o bară rigidă OB, Figura 10, articulată în punctul O, încărcată cu forţa F şi

legată prin două tije verticale de lungime şi aceeaşi rigiditate. Se pune problema să se

determine reacţiunea din articulaţie şi eforturile secţionale 1N şi 2N din cele două tije.

Soluţie

Problema este static nedeterminată şi se poate rezolva apelând la cele trei aspecte.

Din punct de vedere static se pot scrie ecuaţiile de echilibru:

1 2 1 2H 0; V N N F 0; aN 2aN 3aF 0= + + − = + − = . (47)

Problema are trei necunoscute, deci mai este necesar încă o ecuaţie. În acest scop

trebuie precizată condiţia de deformaţie. O rezolvare simplă a problemei se obţine când bara

OB are o rigiditatea mare, adică se poate considera că rămâne rectilinie atunci când sistemul

Page 251: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

104

se deformează, Figura 10c. Ca urmare, se poate scrie că deformaţiile barelor, notate pe desen,

sunt proporţionale cu distanţele a, 2a măsurate faţă de articulaţia O.

α=δ atg1 , α=δ atg22 . (48)

OF

Ba a a

EA EA

F

NNVH O B

OB

a

b

c

1 2

Figura 10. Sistem de bare paralele

Prin exprimarea fizică a deformaţiilor 1δ şi 2δ se obţine:

α= atgEAN1 , α= atg2

EAN 2 .

(49)

S-au obţinut 4 ecuaţii, a căror rezolvare permite determinarea celor trei necunoscute

iniţiale şi a necunoscutei suplimentare αtg . Exemplul prezentat este un caz particular. În

acelaşi mod se tratează şi alte variante ale problemei precum bară nearticulată în punctul O

suspendată prin trei tije de rigidităţi diferite.

Sistem de bare concurente

Un sistem de bare concurente este static nedetrminat dacă numărul barelor este mai

mare decât numărul ecuaţiilor de echilibru. Pentru exemplificare se consideră un sistem de

trei bare concurente, solicitat prin forţa F. Sistemul este simetric din punct de vedere

Page 252: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

105

geometric şi mecanic, barele laterale au acelaşi modul de rigiditate 11AE , iar bara centrală are

modulul de rigiditate 22AE , Figura 11. Se pune problema să se determine eforturile din cele

trei bare precum şi deplasarea punctului M.

Rezolvarea acestei probleme se poate face scriind ecuaţiile echilibru rezultate din

izolarea nodului M:

1 3

1 3 2

N sin N sin 0;N cos N cos N F 0.− α + α =

α + α + − =

(50)

Din prima ecuaţie rezultă că NNN 31 == . Această relaţie se poate scrie direct în baza

simetriei problemei.

A doua ecuaţie capătă forma:

0FcosN2N 2 =−α+ . (51)

l

A B C

α α

Μ

Ε1Α1 Ε2Α2 Ε1Α1

F

P

Q ∆l2

F

α−∆α

∆l1

N1 N2

N3

Figura 11. Sistem de trei bare concurente

Sistemul fiind static nedeterminat este necesară încă o ecuaţie, care se obţine din

condiţia de deformaţie. Din triunghiul MPQ rezultă:

)cos(MPPQ α∆−α= sau )cos(21 α∆−α∆=∆ . (52)

Page 253: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

106

Prin exprimarea fizică a relaţie 52 şi neglijând variaţia de unghi α∆ , se obţine:

22

2

11 AEcosN

cosAEN α

.

(53)

Rezolvând sistemul de ecuaţii 51 şi 53, se găsesc eforturile din bare, respectiv tensiunile

normale:

FAEcosAE2

cosAENNN

223

11

211

31 +αα

=== ; FAEcosAE2

cosE

223

11

21

31 +αα

=σ=σ ,

FAEcosAE2

AEN

223

11

222 +α= ; F

AEcosAE2E

223

11

22 +α=σ .

(54)

Deplasarea punctului M se determină din relaţia 52..

Tensiuni cauzate de variaţia de temperatură

Lungimea iniţială a unei bare este considerată în momentul montării acesteia într-un

sistem mecanic. Modificarea temperaturii implică modificări ale dimensiunilor iniţiale. Dacă

temperatura creşte faţă de temperatura din momentul montajului provocă dilatări, iar dacă

temperatura scade apar contracţii.

Se cunoaşte că o bară care se poate dilata liber, supusă la o variaţie de temperatură t∆ ,

îşi modifică lungimea cu:

t∆α=∆ , (55)

unde α este coeficientul de dilatare termică liniară.

Dacă dilatarea sau contracţia este împiedicată parţial sau total, în bară apar tensiuni care

pot avea valori mari. Ca exemplu, se consideră un caz simplu, cel al barei încălzite uniform şi

parţial împiedicată, Figura 12.

δ

Ν1 N2EA, ∆t

Figura 12. Bară supusă la variaţie de temperatură cu dilatare parţial împiedicată

Page 254: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

107

În acest caz bara se va dilata liber până la eliminarea jocului δ , după care apare

dilatarea împiedicată. În acest moment în încastrare apare reacţiunea axială N care solicită

bara la compresiune.

Din condiţia de echilibru rezultă că NNN 21 ==

Condiţia de deformaţie poate fi exprimată astfel:

δ=∆+∆ mecanictermic . (56)

Prin înlocuirea deformaţiilor în ecuaţia 56, se obţine:

δ=−∆αEANt .

(57)

Din ecuaţia 57 rezultă forţa axială N, respectiv tensiunea din bară:

EAtEAN δ−∆α= , EtE δ−∆α=σ .

(58)

Dacă jocul 0=δ , întâlnim o dilatare total împiedicată, de tipul bară încastrată la ambele

capete supusă la o variaţie de temperatură t∆ , Figura 13. Efortul secţional N şi tensiunea

σ din bară se obţin prin particularizarea relaţiilor 58:

tEAN ∆α= , tE∆α=σ . (59)

Ν1 N2EA, ∆t

Figura 13. Bară supusă la variaţie de temperatură cu dilatare total împiedicată

Evident prezenţa jocului diminuează tensiunea din bară, care depinde şi de lungimea ei.

Dacă din calcul rezultă o tensiune negativă 0<σ , înseamnă că jocul încă nu a fost preluat

total şi dilatarea se desfăşoară liber.

Page 255: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

108

Condiţia de rezistenţă pentru un element de bară supus la variaţii de temperatură cu joc

sau fără joc este:

cEtE lim

=σ≤δ−∆α=σ ; c

EtE lima

σ=σ≤δ−∆α=σ .

(60)

Pentru evitarea efectelor nefavorabile ale dilatării împiedicate, în sistemele mecanice

supuse la variaţii de temperatură se prevăd uzual rosturi de dilatare sau compensatori, sub

forma unor segmente de bară curbă înserate pe elementul de bară a cărei dilatare este

împiedicată.

Sisteme de bare cu defecte de execuţie

În sistemele de bare static nedeterminate, chiar şi în absenţa sarcinilor exterioare, pot

exista tensiuni datorate montajului forţat al barelor cu abateri de la dimensiunea prescrisă.

Valorile acestor tensiuni depind de configuraţia geometrică a sistemului, de proprietăţile

mecanice ale materialului şi de valoarea abaterii dimensionale.

Se consideră sistemul din Figura 14, la care bara 2 este mai scurtă cu δ decât lungimea

necesară pentru a fi montată în sistem.

O

a b

EA EA

M

1 2

O

N1

ΝM

M1

a b

a b

1∆2∆

Figura 14. Sistem mecanic cu defect de execuţie

Prin realizarea forţată a montajului, bara ON se deplasează în poziţia 1ON , tija 1 se

scurtează iar tija 2 se lungeşte. Relaţia între deplasările punctelor M şi N este:

Page 256: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Întindere sau compresiune

109

baNN

aMM 11

+= .

(61)

Efectuând înlocuirile fizice, rezultă:

baa21

+∆−δ

=∆

, sau ba

EAN

EAaN

2

1

+

−δ= .

(62)

Prin utilizarea relaţiei 62 şi a ecuaţiei de echilibru 0)ba(NaN 21 =+− , se obţin

eforturile 21 N,N din tijele sistemului.

Rezultă că defecţiunile de montaj introduc în sistemele static nedetrminate tensiuni

iniţiale care se suprapun peste cele produse de sarcinile exterioare, din care cauză trebuie avut

în vedere valoarea lor.

Remarcă: Calculul barelor supuse la compresiune se face analog cu a celor solicitate la

întindere, dacă lungimea barei depăşeşte de cinci ori dimensiunea cea mai mică a secţiunii

transversale. În caz contrar apar solicitări suplimentare datorită fenomenului de flambaj.

Din evidenţele experimentale rezultă că pentru oţeluri caracteristicile mecanice obţinute

prin încercări statice sunt aceleaşi la întindere şi compresiune. Unele materiale precum fonta,

piatra, betonul, rezistă mai bine la compresiune decât la întindere.

Page 257: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 5

FORFECAREA

5.1. INTRODUCERE

Forfecarea este solicitarea care apare într-o secţiune al unui corp atunci când acţionează

numai forţa tăietoare T, Figura 1. În acest caz: 0T,0M,0M,0N tî ≠=== .

x

y

T yT

zT

z

Figura 1. Solicitarea de forfecare

Relaţiile de echivalenţă între eforturi secţionale şi tensiuni sunt:

dATA

xyy ∫ τ= dATA

xzz ∫ τ= . (1)

Forţa tăietore T poate fi apreciată printr-o forţă globală calculată funcţie de cele două

componente yT şi zT cu relaţia:

2z

2y TTT += .

(2)

Page 258: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

111

În aplicaţiile tehnice forfecarea pură este rareori întâlnită. Uzual forfecarea apare

însoţită şi de alte solicitări precum încovoierea, întinderea sau compresiunea excentrică.

Astfel la îmbinările metalice prin buloane, nituri, suduri, deformarea prin alunecare poate

conduce la forfecarea elementelor structurii, iar în cazul lemnului sau betonului această

deformare poate produce despicarea grinzilor.

5.2. CALCULUL LA FORFECARE AL BARELOR DE SECŢIUNE MICĂ

Se consideră modelul din Figura 2, solicitat de forţele tăietoare T plasate la distanţa dx.

Momentul încovoietor pe distanţa dx, la care se aplică forţele se consideră neglijabil. Dacă

secţiunea bazelor solicitate la forfecare este mică, se poate face un calcul simplificat al

acestora pornind de la ipoteza că tensiunile tangenţiale produse în secţiune de forţa tăietoare

sunt uniform repartizate:

τ =TA

.

(3)

T

dx

Figura 2. Solicitarea de forfecare pură

Relaţia 3, serveşte la calculul la forfecare al tablelor, buloanelor, niturilor, sudurilor,

cuielor, penelor şi al altor elemente auxiliare care servesc la îmbinarea diferitelor elemente ale

unei structuri mecanice utilizate în diferite domenii precum industrie, construcţii civile şi

forestiere, ş.a.

Condiţia de rezistenţă:

limef a

TA c

ττ = ≤ τ = .

(3)

Page 259: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

112

Relaţia 4 poate fi utilizată pentru dimensionare, verificare şi determinarea capacităţii

portante adică a forţei maxime care poate fi preluată de elementele asamblate, Tabelul 1. Tabelul 1. Problemele practice întâlnite în aplicaţii inginereşti

Categorii de probleme

Verificare Dimensionare Determinarea capacităţii portante

Criteriul de rezistenţă cA

T limaefc

τ=τ≤=τ

limanec

TcTAτ

= c

AAT limacap

τ=τ=

În general toate materialele prezintă o rezistenţă la forfecare inferioară celei de tracţiune

sau compresiune, astfel încât, pentru oţeluri, tensiunea tangenţială limită se exprimă faţă de

cea normală limită prin relaţia ( )lim lim0,6 0,8τ = − σ .

Lemnul, material anizotrop, prezintă rezistenţe diferite la forfecare, în funcţie de

orientarea forţei faţă de fibre, esenţă, umiditate. În Tabelul 2 se prezintă tensiunile tangenţiale

de rupere pentru diferite esenţe de lemn.

Forfecarea produce o deformaţie unghiulară legată de tensiunea tangenţială prin legea

lui Hooke, γ=τ G :

GAT

G=

τ=γ ,

(5)

în care G este modulul de elasticitate transversal, iar produsul AG este numit modul de

rigiditate la forfecare. Această deformaţie nu prezintă interes pentru calcule practice.

Prin analogie cu solicitarea de tracţiune sau compresiune, energia specifică de

deformaţie acumulată într-o bară solicitată la forfecare, în ipoteza comportării liniar elastice a

materialului, are expresia:

G22w

2τ=

τγ= .

(6)

Solicitarea de forfecare este, în general, însoţită şi de strivire.

Strivirea este o solicitare de compresiune locală între două elemente apăsate unul către

celălalt. Pe suprafeţele plane în contact, presiunea poate fi considerată uniform repartizată.

Pe elemente cu alte configuraţii precum cele cilindrice, legea de repartiţie a presiunii este

studiată la disciplina de mecanica contactului. La luarea în considerare a solicitării de strivire

se face în ipoteza că presiunea de interfaţă este repartizată uniform nu pe suprafaţa strivită ci

pe un plan perpendicular pe direcţia forţei de apăsare.

Page 260: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

113

Tabelul 2. Tensiunea tangenţială de rupere prin forfecare pentru diferite esenţe de lemn

Nr. crt.

Tipul solicitării Direcţia Modelul Tensiunea tangenţială de rupere, rτ [MPa], umiditate 15%

Brad Molid Fag Stejar1

Forfecare

Radială

T

T

27,4

24,5

48,3

36,7

2 transversală Tangenţială

T

T

24,8

24,6

43,0

40,6

3 Forfecare

Radială

T

T

5,5

5,4

11,0

10,9

4 longitudinală paralelă

Tangenţială

T

T

5,8

5,5

14,3

12,8

5 Forfecare

Radială

T

T

1,7

1,9

6,5

5,8

6 longitudinală perpendiculară

Tangenţială

T

T

1,8

2,0

6,8

7,1

Page 261: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

114

Secţiunile de calcul la solicitarea de forfecare sunt secţiuni periculoase şi dimensiunile

lor se determină ţinând seama de solicitările de forfecare şi de strivire. Cu stabilirea

dimensiunilor elementelor se ocupă disciplina de organe de maşini şi construcţii metalice.

5.3. APLICAŢII LA CALCULUL ÎMBINĂRILOR

5.3.1 Îmbinările elementelor metalice

În cadrul structurilor mecanice este necesar ca două sau mai multe elemente să fie

fixate. Fixarea poate fi făcută cu îmbinări demontabile precum cele cu şuruburi, buloane şi

pene sau nedemontabile precum cele realizate cu nituri sau sudură.

Caracteristic tuturor îmbinărilor este faptul că în zona fixării elementele sunt slăbite fie

prin găuri sau prin modificarea structurii materialului. Ca urmare, transmiterea forţei de la un

element la altul se face pe secţiuni mici, prin elemente ajutătoare supuse la tensiuni mari.

Solicitările care apar în aceste secţiuni sunt forfecarea şi strivirea.

Îmbinări cu nituri. Îmbinările cu nituri sunt folosite de mult timp deşi sudura ca

procedeu de îmbinare este foarte des folosită în prezent. Nitul, având un singur cap şi

diametrul 1d mai mic cu 0,5-1 mm decât diametrul d al găurii în care se introduce. Prin

operaţia de nituire, diametrul nitului se măreşte astfel încât corpul cilindric umple gaura.

Diametrele găurilor de nit sunt standardizate sau normalizate, alegându-se în funcţie de

dimensiunile tablelor sau laminatelor utilizate.

Practic nitul este supus la solicitări compuse de forfecare, încovoiere şi strivire. Pentru

grosimi reduse a elementelor nituite, valorile momentelor încovoietoare sunt mici şi se pot

neglija. Fizic se neglijează forţele de frecare de la interfaţa elementelor nituite şi consideră că

forfecarea este solicitarea principală.

Se consideră o îmbinare a două table de aceeaşi grosime h, cu un nit, Figura 3. Tablele,

tinzând să alunece una peste alta, solicită nitul la forfecare. Tensiunea tangenţială de

forfecare se determină cu relaţia:

2dF4

AT

π==τ .

(7)

După cum s-a prezentat, pe lângă forfecare, nitul este solicitat la strivire cu tabla.

Presiunea de strivire se poate calcula cu relaţia:

Page 262: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

115

dhFpstr = .

(8)

FF

h

Secţiune de fofecare

FF

h

Figura 3. Îmbinare nituită

S-a considerat suprafaţa de strivire convenţională ca fiind suprafaţa dreptunghiului de

lăţime d şi înălţime h, Figura 4.

d d

p p

Distribuţie reală Distribuţie convenţională

Figura 4. – Suprafaţa reală şi convenţională de strivire

Făcând raportul relaţiilor 7 şi 8 se obţine:

dh4

pstr

(9)

Considerând cazul la limită, adică clima τ=τ=τ şi cppp limastrstr == , rezultă

diametrul nitului în funcţie de grosimea tablei.

lim

limph4dτ

= ,

(10)

unde limp este presiunea limită la strivire şi limτ este tensiunea tangenţială limită la forfecare.

Page 263: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

116

Valoarea lui d calculată cu relaţia 10 trebuie rotunjită la o dimensiune standardizată sau

normalizată. Uzual, diametrul nitului nu se calculează ci se adoptă din standarde sau norme,

în funcţie de grosimea tablelor ce trebuie îmbinate.

În cazul în care sunt mai mult de două table de îmbinat, Figura 5, atunci nitul se foarfecă în

mai multe secţiuni, tensiunea tangenţială se calculează cu relaţia:

2diF4

π=τ ,

(11)

unde i reprezintă numărul secţiunilor de forfecare.

F/2F

h/2h

h/2F/2

F/2F

h/2h

h/2F/2

Figura 5. Îmbinare cu mai multe secţiuni de forfecare

În general, o îmbinare nituită include mai multe nituri. În aceste condiţii, dacă F este

forţa pentru care se dimensionează o îmbinare nituită, iar cap1F este forţa capabilă a unui

singur nit, numărul de nituri n, necesar îmbinării, se calculează cu relaţia:

cap1FFn = ,

(12)

se admite valoarea întreagă superioară care se măreşte cu circa 20% pentru a ţine seama de

imperfecţiunile tehnologice.

În calcule se admite că forţa totală transmisă prin intermediul niturilor se repartizează

uniform acestora şi ca urmare toate niturile din îmbinare se încarcă la fel.

Capacitatea de încărcare a unui nit se calculează luând în considerare cele două tipuri de

solicitări: forfecare şi strivire, în felul următor:

La forfecare c4

diiAT lim2

afcapτπ

=τ= ;

La strivire c

phdpAP lim

astrsstr == .

Page 264: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

117

Forţa care poate fi admisă să acţioneze asupra unui nit de diametru d, reprezintă

valoarea cea mai mică dintre strcap P,T , adică:

[ ]strcapnit P,TminT = (13)

Elementele de îmbinare se dimensionează la întindere utilizând relaţia:

limanec

FckFkAσ

= ,

(14)

unde k este un coeficient care ţine seama de slăbirea produsă de găurile de nit, 1k > , limσ este

tensiunea normală limită la întindere, iar c coeficientul de siguranţă.

Îmbinările cu şuruburi sau buloane au în prezent o largă utilizare la montajul

elementelor din structura construcţiilor metalice şi din lemn, asigurând o prindere uşoară şi

rapidă în condiţii diferite.

Şuruburile obişnuite sunt alcătuite dintr-o tijă cilindrică şi un cap de formă hexagonală,

extremitatea liberă a tijei este filetată pentru a se putea înşuruba o piuliţă, Figura 6.

Figura 6. Şurub metalic

Calculul îmbinărilor du şuruburi obişnuite este asemănător cu cel al îmbinărilor nituite.

Trebuie precizat faptul că la şuruburi diametrul de calcul este diametrul tijei.

Îmbinări sudate

Sudarea este un procedeu tehnologic prin care se îmbină două piese din metal de aceiaşi

compoziţie sau de compoziţie apropiată, ale căror suprafeţe de îmbinare au fost aduse, prin

încălzire locală, în stare plastică, cu sau fără adaos de metal de compoziţie corespunzătoare.

Îmbinările prin sudură au o serie de avantaje faţă de celelalte tipuri de îmbinări şi anume:

elementele nu se slăbesc, datorită găurilor necesare trecerii niturilor sau buloanelor,

ca urmare rezultă o utilizare economică a acestora;

prelucrarea se face uşor şi deci preţul este mai redus;

Page 265: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

118

construcţiile sudate reclamă o întreţinere mai uşoară decât cele nituite;

permite îmbinarea unui număr mare de elemente.

Dezavantajele sudurii sunt legate de faptul că prin răcire se produc tensiuni iniţiale.

Controlul sudurilor necesită o aparatura specială . Le executarea sudurii este necesară o

calificare superioară faţă de nituire.

Clasificarea sudurilor este prezentată în STAS 5555/2-80, astfel:

Sudură cap la cap – Figura 7a;

Sudură cu margini suprapuse – Figura 7b;

Sudură de flanc – Figura 7c;

Sudură în colţ – Figura 7d.

t

FF

F Fb

a

t

FF

F Fb

b

t

t1

l

a

F F

FF

a

dc Figura 7. Tipuri de suduri conform STAS 5555/2-80

Calculul sudurilor depinde de tipul de sudură şi de natura solicitării care poate fi de

întindere sau forfecare. Tensiunile admisibile ale sudurilor au fost stabilite pe cale

experimentală şi ele depind de natura materialului pieselor de sudat, de felul sudurii şi de

natura solicitării, Tabelul 3.

În calcule lungimea cordonului de sudură, s este mai mică decât lungimea sudată

efectiv, , deoarece pot să apară imperfecţiuni de sudare la capetele cordoanelor. Lungimea

de calcul este:

Page 266: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

119

a2s −= , (15)

unde a reprezintă grosimea sudurii.

Tabelul 3. Tensiuni admisibile pentru calculul la sudură.

Tipul solicitării Întindere Compresiune Încovoiere Forfecare Tensiunea admisibilă

aas 8,0 σ=σ aas σ=σ aas 85,0 σ=σ aas 65,0 σ=τ

aσ - tensiunea admisibilă a materialului din care se face electrodul

Sudura cap la cap, Figura 7a, solicitată la întindere. Grosimea sudurii este egală cu

grosimea elementului t. Verificarea rezistenţei cordonului de sudură se face cu relaţia:

a8,0t)t2b(

Fσ≤

−=σ

(16)

Sudura cu margini suprapuse, Figura 7b. Grosimea sudurii este egală cu înălţimea

triunghiului de sudură considerat un triunghi dreptunghic isoscel. Deoarece grosimea t a

piesei este chiar latura triunghiului, grosimea sudurii se poate calcula cu relaţia:

t7,0t22a ==

(17)

Forţa f care solicită sudura poate fi descompusă în două componente 21 F,F , Figura 8:

F7,0F22FF 21 === .

(18)

FF

a

t

F2

F2

Figura 8. Model de calcul pentru sudura cu margini suprapuse

Page 267: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

120

Sudura este solicitată la întindere de forţa 1F şi la forfecare de către forţa 2F .

Convenţional se face un calcul acoperitor numai la forfecare, considerând că întreaga forţă F

ar forfeca sudura. Calculul tensiunii în cele două cordoane frontale de sudură se face cu

relaţia:

)t4,1b(t4,1F

)a2b(a2F

a2F

−=

−==τ .

(19)

Sudura de flanc, Figura 7c. Calculul sudurii se face la forfecare considerând o

repartiţie uniformă a tensiunii în lungul cordonului. Tensiunea se calculează cu relaţia:

ast4,1F

a2F

τ≤==τ .

(20)

Dacă se impune grosimea sudurii, se poate calcula lungimea cordonului de sudură:

t4,1t4,1Fa2

ass +

τ=+=

(21)

5.3.2 Îmbinările elementelor de lemn

La executarea unor construcţii din lemn apare necesitatea realizării îmbinării a două sau

mai multe elemente care se pot intersecta între ele sub diferite unghiuri, formând aşa numitele

noduri. Îmbinările pot fi realizate prin chertare, cu pene, buloane, cuie, scoabe ş.a.

Îmbinările prin chertare. La aceste îmbinări transmiterea efortului se realizează direct

prin suprafeţele de contact între elementele prelucrate corespunzător, Figura 9 a şi b. Pentru

solidarizare se folosesc buloane sau scoabe care au rolul de a menţine contactul între

suprafeţele care transmit efortul şi de a împiedica deplasările relative dintre piese.

Aceste tipuri de îmbinări se întâlnesc în cazul fermelor denumite şi grinzi cu zăbrele,

realizate prin mijloace tipice de dulgherie. Calculul de rezistenţă a barelor presupune

stabilirea secţiunilor periculoase şi a solicitărilor produse în aceste secţiuni. Solicitările

principale din îmbinare sunt forfecarea şi strivirea.

La strivire cbh

cosN limssa

p

2s

σ=σ≤

α=σ ;

La forfecare cb

cosN lima

p

2 τ=τ≤

α=τ .

Page 268: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

121

Şurub metalic

V

N2

N1C

αhp

V

hp1

hp2 CN1

b

b

N2

b

a

h

h

p

p1

p2

Figura 9. Îmbinări prin chertare

Din relaţiile de mai sus rezultă înălţimea şi pragul chertării:

sa

2p b

cosNh

σα

≥ ; a

2p b

cosNτ

α≥ ,

(22)

unde saσ şi aτ reprezintă tensiunea admisibilă de calcul la strivire şi forfecare ale lemnului

utilizat.

Evident în calculul de rezistenţă al îmbinării nu se ţine seama de rezistenţa bulonului,

acesta are rolul numai de solidarizare.

Deoarece lemnul prezintă o rezistenţă mică la forfecare în lungul fibrelor, lungimea

pragului rezultată din calcul este mare. Se poate micşora gabaritul îmbinării adoptând soluţia

îmbinării prin chertare cu prag dublu, Figura 9b. Prin acest procedeu se obţine o mărire a

Page 269: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

122

suprafeţelor de contact între elemente, concomitent cu mărirea ariei secţiunii de forfecare,

fenomenul producându-se simultan în ambele plane.

Îmbinări cu pene. Penele se utilizează pentru realizarea unor elemente cu secţiune

compusă, fiind montat în locaşuri special amenajate, Figura 10 a şi b. Ele împiedică

deplasarea reciprocă a elementelor componente, fiind solicitate în principal la strivire şi

forfecare. Calculul de rezistenţă se face funcţie de cele două tipuri de solicitări:

La strivire: cnbh

F limssa

cs

σ=σ≤=σ ;

La forfecare: cnb

F lima

p

τ=τ≤=τ ,

unde n reprezintă numărul penelor utilizate în îmbinarea ce transmite forţa F.

hc

hc

lp

F

F

b

hp

FF

a

b

Figura 10. Tipuri de îmbinări cu pene

Utilizarea unor pene înclinate; Figura 10b, permite micşorarea numărului de pene

utilizate într-o îmbinare, prin mărirea suprafeţei de strivire şi forfecare.

Îmbinări cu tije. În această categorie intră îmbinarea elementelor de lemn cu:

- buloane, Figura 11a,

- cuie, Figura 11b

- tije lamelare sau plăcuţe, Figura 11c.

Distrugerea unei îmbinări cu tije poate fi cauzată fie prin forfecarea tijei, dacă aceasta

este realizată dintr-un material cu rezistenţă mică, fie prin forfecarea lemnului, dacă tijele sunt

plasate la distanţe prea mici. Trebuie avut în vedere şi posibilitatea strivirii lemnului pieselor

îmbinate.

Page 270: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Forfecare

123

c

F/2F

F/2

a b

Figura 11. Tipuri de îmbinări

Relaţiile de calcul pentru asemenea îmbinări sunt identice cu cele prezentate la calculul

îmbinărilor metalice cu nituri şi buloane. În literatura de specialitate se găsesc precizări

asupra modului de alegere a dimensiunilor de calcul pentru elementele utilizate.

În aplicaţiile practice se pot folosi şi îmbinării de lemn de tipul celei din Figura 12. În

acest caz se pune problema dimensionării dinţilor.

FF1F1

αα

Figura 12. Îmbinare de lemn în formă de dinţii

Page 271: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 6

TORSIUNEA

6.1. INTRODUCERE

Torsiunea sau răsucirea este solicitarea care apare într-o secţiune a unui solid elastic

atunci când, dintre eforturile secţionale, acţionează numai momentul normal la planul

secţiunii, Figura 1. Acesta se numeşte moment de torsiune sau de răsucire. Celelalte eforturi

secţionale se consideră nule:

x tM M= şi N = 0; T = 0 ; 0M î = . (1)

x

y

z

Mt

Mt

tM

tM

a – reprezentare spaţială b - reprezentare plană

Figura 1. Solicitarea de torsiune a barelor drepte

Se poate spune că un corp este solicitat la torsiune dacă torsorul forţelor calculat în

raport cu centrul de greutate al unei secţiuni normale la axa corpului se reduce la un cuplu al

cărui moment x tM M= are direcţia normală la secţiune.

Din punct de vedere fizic, solicitarea de torsiune este prezentă în osii, arbori, la arcurile

elicoidale, la elemente din structura construcţiilor spaţiale, etc.

În Figura 2 este evident că elementul de bară AB este supus la solicitarea de torsiune cu

momentul M Fat = .

Page 272: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

125

Fa

A B

C Figura 2. Bara AB – solicitată la torsiune

Un alt exemplu este întâlnit la arborele cardanic care transmite mişcarea de rotaţie de

la priza de putere a unui tractor la o maşină de lucru, Figura 3.

Tractor

Maşină delucru

Arbore cardanic

Figura 3. Transmiterea mişcării de rotaţie între două maşini

La arborii de transmisie încărcarea exterioară este dată prin puterea P [Kw] şi turaţia n

[rpm]. Se cunoaşte că în mişcarea de rotaţie puterea este dată de expresia:

tP M= ω , (2)

în care tM este momentul de torsiune aplicat arborelui, iar ω este viteza unghiulară.

Dacă arborele de transmisie se roteşte cu turaţia n, atunci relaţia 2 devine:

P Mn

t=π30

.

(3)

În acest caz momentul de torsiune tM [Nm] se determină cu relaţia:

nPK

nP30M t =

π= ,

(4)

în care ωπ

=n

30 şi

π=

30K .

Cunoscând momentele de torsiune care solicită o bară dreaptă, se trasează diagramele

tM , după cum s-a precizat în capitolele anterioare.

Page 273: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

126

6.2. TORSIUNEA BARELOR DE SECŢIUNE CIRCULARĂ SAU INELARĂ

Pentru a studia starea de tensiune şi deformaţie se presupun acceptate următoarele

ipoteze:

- secţiunile iniţial plane şi normale la axa barei rămân şi după deformare plane şi

normale la axe conform ipotezei lui Bernoulli;

- nu se modifică distanţa dintre secţiunile transversale şi nici diametrul barei, dat fiind

faptul că deformaţiile sunt mici. Acest concept nu se poate aplica la alte secţiuni decât

circulară sau inelară.

Se consideră un element de bară cu secţiune circulară cu diametru d, supus la răsucire

pură, din care se izolează un cilindru de rază r şi lungime dx, Figura 4. Unul din capetele

elementului se consideră fixat. Datorită aplicării momentului de torsiune M t , punctul B de

pe generatoare se deplasează în B′ , astfel încât generatoarea BA ′ va face unghiul γ cu cea

iniţială AB. Acest unghi reprezintă chiar lunecarea specifică.

r

dA

τ

d

dϕγ

,B,

B

dx

OA

R

Figura 4. Element de bară supus la torsiune - model de calcul

Fie ϕd unghiul de rotire format de OB şi BO ′ . Evident:

rBOOB =′= şi γ=ϕ=′ dxrdBB . (5) Rezultă:

rrdxd

ω=ϕ

=γ ,

(6)

unde d dxω = ϕ este deplasarea specifică sau răsucirea specifică - deplasarea relativă a două

secţiuni plasate la distanţa dx.

Page 274: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

127

Datorită momentului de torsiune M t , se produc deformaţiile specifice unghiulare γ , iar

pe secţiunile transversale apar tensiunile tangenţiale τ . Conform legii lui Hooke:

rGG ω=γ=τ , (7)

unde G este modul de elasticitate transversal, sau ( )ν+=

12EG .

Tensiunea tangenţială dată de relaţia 7, poate fi descompusă pe axele Oy şi Oz, Figura

5, în două componente:

zGrzsinxy ω−=τ−=ατ−=τ ; yG

rycosxz ω=τ=ατ=τ .

(8)

y

z

x

α τrdA

(x,z)

tM

Figura 5. Model de calcul simplificat la torsiune

Relaţiile 8 trebuie să satisfacă ecuaţiile de echivalenţă mecanică, adică relaţiile

integrale dintre tensiuni şi eforturi secţionale:

0dANA

x =σ= ∫ ; 0dATA

xyy =τ= ∫ ; 0dATA

xzz =τ= ∫ ;

dA)zy(MM

Axyxztx ∫ τ−τ== ; 0zdAM

Axy =σ= ∫ ; 0ydAM

Axz =σ= ∫ .

(9)

Prin înlocuirea în relaţia tx MM = cu componentele tensiuni tangenţiale date de

relaţiile 8 şi 9 se obţine:

Page 275: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

128

p2

A

22t IGdArGdA)zy(GM ω=ω=+ω= ∫∫ ,

(10)

unde ∫=A

2p dArI este momentul de inerţie polar al secţiunii în raport cu centrul ei de

greutate.

Din relaţia 11, rezultă expresia răsucirii specifice:

p

t

GIM

=ω ,

(11)

în care produsul pGI are denumirea de modul de rigiditate la răsucire al barei de secţiune

circulară.

În aceste condiţii tensiunea tangenţială devine:

τ ω= =G rMI

rt

p,

(12)

în care [ ]R,0r ∈ sau rd

∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

02

; .

Relaţia 12 este fundamentală în studiul răsucirii pure a barelor cilindrice de secţiune

transversală circulară sau inelară. Ea reprezintă legea de variaţie a tensiuni tangenţiale pe

secţiune, Figura 6.

Mt +

-

Mt

d

+

-

d D-

maxτ

max−τ

maxτ

max−τ

a - secţiune circulară b - secţiune inelară

Figura 6. Variaţia tensiuni tangenţiale

Page 276: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

129

Pentru valorile particulare ale lui r, tensiunea tangenţială, τ are următoarele valori:

r Rd

= =2

τ τ= =MI

Rt

pmax ;

r Rd

= − = −2

τ τ= − = −MI

Rt

pmax .

La o secţiune circulară de diametru d, modulul de rezistenţă polar are expresia:

WIR

d

dd

pp

= = =

ππ

2

332

216

,

(13)

iar la o secţiune inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d, pW este:

( )43

44

pp 1

16D

2D

32d

32D

RI

W α−π

=

π−

π

== ,

(14)

în care α =dD

.

Evident )1,0[∈α , pentru 0=α , se obţine pW pentru secţiunea circulară.

Condiţia de rezistenţă pentru solicitarea de torsiune pură este:

τ ττ

maxlim= ≤ =

MW c

t

pa ,

(15)

unde ( )τ τ τ τlim , ,= e c r reprezintă tensiunea tangenţială limită pentru materialul barei şi c

reprezintă coeficientul de siguranţă.

Cu ajutorul relaţiei 17 se pot face calcule de: dimensionare, determinare a capacităţii

portante şi verificare.

Deformaţia la torsiune

Pentru calculul deformaţiei la torsiune se utilizează relaţia d dxω = ϕ , din care rezultă:

dxGIM

dx0 0 p

t∫ ∫=ω=ϕ .

(16)

Page 277: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

130

Dacă bara este de secţiune constantă şi tM îşi păstrează valoarea pe lungimea a barei,

se obţine:

t

p

MGI

ϕ = .

(17)

Criteriul de rigiditate la răsucire al barei, poate fi impus de cerinţe astfel:

ta

p

MGI

ϕ = ≤ ϕ

(18)

sau

ap

ta GI

M, ω≤⇒ω≤ω ,

(19)

unde aϕ şi aω reprezintă deformaţia admisibilă, respectiv rotirea specifică admisibilă.

Cu relaţiile 18 sau 21 se pot efectua cele trei tipuri de probleme: dimensionare,

determinarea capacităţii portante şi verificare.

În anumite aplicaţii practice se pot impune simultan condiţiile definite prin relaţiile 15 şi

18 sau 19.

O sinteză a problemelor întâlnite la solicitarea de torsiune prin utilizarea celor două

criterii este evidenţiată în Tabelul 1. Tabelul 1. Problemele practice întâlnite în aplicaţii inginereşti

Categorii de probleme

Criteriul de rezistenţă

Criteriul de rigiditate

Criteriul mixt

Verificare

τ ττ

maxlim= ≤ =

MW c

t

pa

ap

t

GIM

ϕ≤=ϕ sau

ap

t

GIM

ω≤=ω

Îndeplinirea ambelor criterii simultan.

Dimensionare

im

tpnec

cMW

τ=

a

t2pnec G

MI

ϕ= sau

a

t2pnec G

MI

ω=

( )2nec1necnec A,AmaxA =

Determinarea capacităţii portante

cWM lim

p1tcapτ

= ap2tcap

GIM

ϕ= sau

ap2tcap GIM ω=

)M,Mmin(M 2tcap1tcaptcap =

Page 278: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

131

Energia de deformaţie la răsucire

Pentru a calcula energia acumulată în corp în timpul solicitării de răsucire se utilizează

relaţia energiei specifice prezentată în capitolul 3,

G222w

2xyxy τ

=τγ

=γτ

= .

(20)

Energia totală de deformaţie acumulată într-o bară de volum V, solicitată la răsucire are

expresia:

dVI

rMG21dV

G2wdVW

2

p

t

V V V

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

τ== ∫ ∫ ∫ .

(21)

Dacă se înlocuieşte dAdxdV = şi integrala de volum se scrie ca un produs de două

integrale, una de arie şi alta de linie, se obţine:

∫∫∫ ==0

2t

A

22pV

2p

22t dxMdAr

GI21dV

GI2rM

W .

(22)

Deoarece ∫ =A

p2 IdAr , relaţia 24 devine:

∫=0 p

2t dx

GI2M

W .

(23)

Dacă momentul de torsiune şi rigiditatea sunt constante pe lungimea barei , atunci

relaţia 23, capătă forma:

p

2t

GI2M

W = .

(24)

Dacă elementele de bară prezintă tronsoane cu secţiuni constante, precum cele din

Figura7, energia poate fi scrisă astfel:

∑=3

1 pi

12ti

GI2M

W .

(25)

Page 279: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

132

1 2 3tM tM

1 2 3

Figura 7. Bară cu trei tronsoane supusă la torsiune

6.3. TORSIUNEA BARELOR DE SECŢIUNE OARECARE

Teoria prezentată anterior este valabilă numai pentru barele cu secţiune circulară sau

inelară. Studiul răsucirii barelor drepte de secţiune transversală oarecare a fost elaborat de

Bare de Saint-Venant. La solicitarea de răsucire a barelor de secţiune oarecare nu se mai

respectă ipoteza lui Bernoulli, în urma deformaţiei au loc deplasări inegale în lungul axei

barei, ceea ce duce la deplasarea secţiunii transversale.

Tensiunea tangenţială maximă şi unghiul de răsucire specifică pentru secţiunile

necirculare, se pot exprima prin relaţii asemănătoare cu cele stabilite în cazul secţiunilor

circulare, folosind rezultatele date de teoria elasticităţii.

În locul momentului de inerţie polar pI şi al modulului de rezistenţă polar pW din

relaţiile 15, 18 sau 19 se introduc alte caracteristici geometrice, tI şi tW denumite moment

de inerţie convenţional, respectiv modul de rezistenţă convenţional la răsucire, care depind de

dimensiunile secţiunii necirculare. Aceste caracteristici convenţionale pentru diferite forme

geometrice sunt date în Tabelul 2.

Ca urmare, relaţiile 15 şi 18 sau 19 pot fi scrise sub formă generală astfel:

cWM lim

at

tmax

τ=τ≤=τ ;

(26)

at

t

GIM

ϕ≤=ϕ ;

sau

at

t

GIM

ω≤=ω .

(27)

Similar ca la barele cu secţiune circulară, produsul tGI se numeşte modul de rigiditate

la răsucire.

Page 280: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

133

Tabelul 2- Relaţii de calcul ale tI şi tW pentru diverse forme de secţiuni

TIPUL SECŢIUNII RELAŢII DE CALCUL I t Wt Specificaţii

Eliptică

Ia b

a bt =+

π 3 3

2 2

Wab

t =π 2

2

2t

max abM2

π=τ , se

produce în punctele M

Dreptunghiulară

3t hbI β= ,

β =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

hb

,

valorile lui β sunt în tabelul 3

W hbt = α 2 ,

α =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

hb

,

valorile lui α sunt în tabelul 3

2t

zxmax hbM

α=τ=τ , se

produce în punctele M

Triunghi echilateral cu latura a

I at =3

804

20aW

3

t =

3t

max aM20

=τ , se

produce în punctele M

Profile subţiri închise

( )

IAds

s

tm

c

=

4 2

δ

W At m= 2δ min ,

mA - aria închisă de curba medie a profilului

mmin

tmax A2

=τ ,

se produce în dreptul lui minδ , )s(δ - grosimea peretelui în secţiunea curentă s

Profile deschise cu pereţi subţiri

∑= 3iit bh

31I

pot fi considerate compuse din mai multe dreptunghiuri cu raportul bh mare

max

tt b

IW =

)ba(M3

2t

max δ−+δ=τ ,

se produce la mijlocul laturii dreptunghiulare de grosime maximă

sh = , δ=b

3t s

31I δ= ,

δ=maxb

2t s

31W δ=

α== Rsh

αδ=τ

RM32

tmax ,

Coeficienţii α, β, γ se găsesc în Tabelul 3 şi sunt funcţie de raportul, ( )f h b .

Page 281: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

134

Tabelul 3. Valorile coeficienţilor α, β, γ pentru secţiunea dreptunghiulară

h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞

α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333

β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

γ 1,00 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,743 0,743 0,742 0,742 0,742

6.4 PROBLEME STATIC NEDETERMINATE

Sistemele static nedeterminate solicitate la răsucire se rezolvă, ca orice sistem static

nedeterminat, pe baza ecuaţiilor de echilibru static şi a condiţiilor de deformaţie.

Bară cu secţiune neomogenă

O bară formată din doi cilindri din materiale diferite, presaţi unul peste celălalt,

constituie o bară cu secţiune neomogenă, Figura 8. Dacă bara este solicitată la torsiune prin

momentul tM , atunci bara din metal preia momentul 1tM , iar cilindrul 2 preia momentul

2tM , astfel că:

M M Mt t t= +1 2 (28)

MM tt

Lemn

Metal

21

Figura 8. Bară cilindrică cu secţiune neomogenă

A doua ecuaţie se obţine din condiţia de deformaţie, ţinând seama că cele două

materiale se deformează împreună, ca urmare deformaţiile sunt egale:

ϕ ϕ1 2= , (29)

unde:

Page 282: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

135

t1 t21 2

1 p1 2 p2

M l M l,G I G I

ϕ = ϕ = .

(30)

Ţinând seama de relaţia 29, rezultă:

2p2

2t

1p1

1t

IGlM

IGlM

= ⇒ 2p2

1p1

2t

1t

IGIG

MM

= ⇒ 2p21p1

1p1

2t1t

1t

IGIGIG

MMM

+=

+

(31)

Prin rezolvare rezultă:

t2p21p1

1p11t M

IGIGIG

M+

= , t2p21p1

2p22t M

IGIGIG

M+

= .

(32)

Condiţiile de rezistenţă sunt:

t1 t2lim1 lim21 a1 2 a 2

p1 p2

M M;W c W c

τ ττ = ≤ τ = τ = ≤ τ = .

(33)

Bară încastrată la ambele capete, solicitată la torsiune

Bara cu secţiune dreptunghiulară din Figura 9, încastrată la ambele capete este solicitată

la torsiune prin momentul tM . În urma aplicării momentului tM , apar în reazeme reacţiunile

tAM şi tBM .

a b

CM tA BAMt BMt

Figura 9. Bară încastrată la ambele capete, solicitată la torsiune

Din condiţia de echilibru static se obţine:

0MMM tBttA =+− sau ttBtA MMM =+ . (34)

Page 283: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

136

Pentru rezolvare apelăm la condiţia de deformaţie, având în vedere că în încastrări bara

nu se poate roti, ca urmare deformaţia totală este nulă, adică:

0AB =ϕ sau 0CBAC =ϕ+ϕ . (35)

Prin explicitarea deformaţilor din relaţia 35 se obţine:

( )0

GIbMM

GIaM

t

ttA

t

tA =−

+ sau bM)ba(M ttA =+ .

(36)

Din relaţia 36 rezultă:

tA t tB tb aM M , M M

a b a b= =

+ +

(37)

Reacţiunile fiind cunoscute, se poate trasa diagrama de momente de torsiune. Condiţia

de rezistenţă poate fi scrisă astfel:

cW)M,Mmax( lim

at

tBtA τ=τ≤

(38)

Dacă bara se realizează cu secţiune constantă, ea este supradimensiontă pe un tronson şi

anume pe cel mai lung.

Pentru a utiliza în mod raţional materialul barei, este necesar să se realizeze tronsoane

cu secţiuni diferite, rezultând astfel un solid de egală rezistenţă la torsiune, Figura 10.

1

2

a b

Figura 10. Solid de egală rezistenţă la torsiune.

Page 284: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 7

ÎNCOVOIEREA

7.1. INCOVOIEREA PURĂ. RELAŢIA LUI NAVIER

Încovoierea este solicitarea care apare într-o secţiune plană a unui solid dacă eforturile

secţionale se reduc numai la momente încovoietoare şi forţe tăietoare. Altfel spus, torsorul

forţelor ce acţionează pe o secţiune curentă, calculat în raport cu centrul de greutate, se reduc

la un moment dirijat după una din axele principale de inerţie şi la o forţă tăietoare. Dacă în

secţiunea transversală există numai moment încovoietor, încovoierea se numeşte pură, Figura

1, intervalul de lungime . Dacă acţionează simultan atât momentul încovoietor cât şi forţa

tăietoare, încovoierea se numeşte simplă, Figura 1, consola de lungime a.

-

q q

a a

T

M

2qa2

−qa

qa

2qa2

dx

-

Figura 1. Bară dreaptă solicitată la încovoiere

7.1.1 Starea de tensiune la încovoiere pură

Se consideră modelul din Figura 1, solicitată la încovoiere pură între reazeme, unde

forţa tăietoare T 0= şi momentul încovoietor M cons tan t= . Sub acţiunea acestui efort

secţional, în secţiunea transversală a barei se produc tensiuni normale σ . Pentru studiul

încovoierii acestei bare se fac următoarele ipoteze simplificatoare:

Page 285: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

138

Materialul din care este realizată bara este omogen şi izotrop şi ascultă de legea lui

Hooke;

Sarcinile sunt plasate în planul vertical, Oxy; axa Oy fiind axă principală de inerţie;

Vectorul moment încovoietor M , este perpendicular pe planul forţelor şi se consideră

aplicat pe axa principală Oz;

Axa Ox - reprezintă axa barei nedeformate în configuraţia iniţială;

Înălţimea h sau diametrul secţiunii sunt relativ mici în raport cu lungimea ;

Se admite ipoteza lui Bernoulli, potrivit căreia, o secţiunea plană şi normală pe axa barei

înainte de deformare, rămâne plană şi normală şi după deformare. Această ipoteză poate fi

verificată experimental.

Se izolează din bara considerată un element de lungime dx, mărginit de secţiunile 1A şi

2A , normale pe axa barei, Figura 2 a. După aplicarea momentului încovoietor M, bara se

deformează şi ia forma din Figura 2b. Axa barei 1 2O O care iniţial era o linie dreaptă, devine

o curbă, iar secţiunile 1A şi 2A rămân tot plane şi normale pe axa deformată a barei. Evident

în urma deformaţiei fibrele de deasupra se scurtează, iar cele de sub axă se lungesc. Fibra

identică cu axa Ox se curbează fără aş modifica lungimea. Ea este numită fibră medie

deformată. Arcul de curbă 1 2O O are aceeaşi lungime ca şi segmentul de dreaptă 1 2O O din

care provine, adică:

1 2O O dx d= = ρ α , (1)

unde ρ este raza de curbură a fibrei medii deformate, iar dα reprezintă unghiul format de

cele două secţiuni 1A şi 2A situate la distanţa dx una faţă de alta.

O fibră bd, paralelă cu axa barei, situată la distanţa z de fibra medie, în urma deformării

corpului, se lungeşte, devenind arcul 1 1b d ( y)d= ρ+ α . Variaţia lungimii fibrei este:

( )1 1 1 2(dx) b d O O y d d yd∆ = − = ρ+ α −ρ α = α . (2)

Lungirea specifică se poate calcula cu relaţia:

(dx) yd ydx d

∆ αε = = =

ρ α ρ.

(3)

Page 286: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

139

O 1O x z

y

y

MM

y

maxσ

minσ

dx

1d1b

2A1A

b d

y

ρ

1A 2A minσ

Figura 2. Model de calcul la încovoiere

Din relaţia 1 se poate scrie :

1 ddxα

= = ϕρ

,

(4)

unde ϕ este unghiul cu care se rotesc, una faţă de alta, două secţiuni aflate la o distanţă egală

cu unitatea de lungime şi se numeşte rotire specifică. Ca urmare, deformaţia specifică liniară

devine:

yε = ϕ . (5)

Această relaţie indică faptul că pe secţiune lungirea specifică variază liniar. Conform

legii lui Hooke acestei deformaţii îi corespunde o tensiune normală care variază tot liniar, dată

de relaţia:

E E yσ = ε = ϕ , (6)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului sau modulul lui Young.

Page 287: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

140

La y 0= , tensiunea normală 0σ = . Aceste fibre sunt conţinute într-o suprafaţă numită

suprafaţă neutră. În absenţa sarcinilor, suprafaţa neutră se confundă cu planul Oxz. Suprafaţa

neutră intersectează secţiunea transversală după axa Oz care are denumirea de axă neutră. Ea

reprezintă locul geometric al punctelor din secţiunea transversală în care tensiunea normală

0σ = .

Suprafaţa neutră împarte bara în două părţi. În cazul când momentul încovoietor este

pozitiv, fibrele situate sub suprafaţa neutră sunt solicitate la întindere, iar cele de deasupra la

compresiune. Datorită efectului de contracţie transversală, porţiunea superioară a secţiunii

transversale se lungeşte, cea inferioară se scurtează.

Expresia analitică a tensiunii normale σ , evidenţiată de relaţia 6, trebuie să verifice

ecuaţiile integrale dintre tensiuni şi eforturi secţionale:

A

N dA 0= σ =∫ ; zA

M ydA M= σ =∫ ; yA

M zdA 0= σ =∫ , (7)

unde A este aria secţiunii transversale.

Înlocuind în relaţiile 7, tensiunea normală σ cu expresia din relaţia 6 şi ţinând seama

că într-o secţiune curentă, ϕ este constant, se obţine:

A A

E ydA E ydA 0ϕ = ϕ =∫ ∫ ; 2 2

A A

E y dA E y dA Mϕ = ϕ =∫ ∫ ; A A

E yzdA E yzdA 0ϕ = ϕ =∫ ∫ . (8)

După efectuarea calculelor, din relaţiile 8 rezultă:

zA

zdA S 0= =∫ ; 2z

A

E y dA E I Mϕ = ϕ =∫ ; yzA

E zydA I 0ϕ = =∫ . (9)

Din relaţiile 9 şi 4 se poate obţine:

z

1 MEI

ϕ = =ρ

,

(10)

relaţie care este atribuită lui Euler-Bernoulli şi va fi utilizată la calculul deformaţiilor barelor

drepte solicitate la încovoiere.

Ca urmare, expresia tensiunii normale devine:

Page 288: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

141

z

M yI

σ = .

(11)

Relaţia 11, numită formula lui Navier, permite să se calculeze valoarea tensiunii în orice

punct al secţiunii. Ea exprimă legătura între tensiunea normală σ dintr-un punct al secţiunii,

momentul încovoietor M care acţionează pe acea secţiune şi forma şi dimensiunile secţiunii

date prin mărimea geometrică zI . Evident tensiunile normale sunt nule pe axa neutră, cresc

liniar cu distanţa y la axa neutră şi devin maxime pe fibrele extreme ale secţiunii.

Înlocuind pe maxy y= în relaţia 11, rezultă:

maxmax

zy z

max

My M MII W

y

σ = = = ,

(12)

unde

zz

max

IWy

= ,

(13)

este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale şi se numeşte modul de rezistenţă la

încovoiere al secţiunii faţă de axa Oz.

Dacă bara se plasează cu axa y pe direcţia vectorului moment încovoietor, modulul de

rezistenţă axial yW , se poate calcula prin analogie, utilizând relaţia:

yy

max

IW

z= ,

(14)

Expresiile modulelor de rezistenţă yW şi zW pentru unele secţiuni uzuale sunt

prezentate în Tabelul 1.

Precizare

Modulele de rezistenţă pentru profilele laminate standardizate sunt prezentate în

standarde sau tabele şi se pot găsi în literatura de specialitate. Obişnuit, aceste valori sunt

diferite pe cele două direcţii menţionate, ca şi în cazul dreptunghiului. În asemenea situaţii se

preferă dispunerea grinzii aşa încât momentul încovoietor să fie orientat în lungul axei

secţiunii faţă de care modulul de rezistenţă să fie maxim.

Page 289: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

142

Tabelul 1. Expresii ale modulelor de rezistenţă, yW şi zW

Denumirea secţiunii

Forma geometrică

3yW m⎡ ⎤⎣ ⎦ 3

zW m⎡ ⎤⎣ ⎦

Dreptunghiulară

b

ho

y

z

y

3

2

z

bhbh12W h 6

2

= =

2

yhbW6

=

Pătrată cu latura a

h b a= = 3

zaW6

= 3

yaW6

=

Circulară

y

z o d

4

3

z

dd64W d 32

2

ππ

= =

3

ydW

32π

=

Inelară

z

y

od

D

44

z

D 164W D

2

π ⎡ ⎤−α⎣ ⎦=

sau 3

4z

DW 132π ⎡ ⎤= −α⎣ ⎦

dD

α = , [0,1)α∈

z yW W=

În cazul utilizării unor materiale care se comportă identic la tracţiune şi compresiune nu

are importanţă în care fibră, întinsă sau comprimată, apare tensiunea maximă. Dacă se

utilizează materiale care au o comportare diferită la întindere şi compresiune, este necesar o

dispunere a barei, încât fibra cea mai îndepărtată de planul neutru să fie comprimată.

In fapt, pentru obţinerea unor module de rezistenţă mari este necesar nu numai să se

utilizeze secţiuni cu momente de inerţie axiale mari, dar şi cu distanţe mici între olanul neutru

şi fibrele extreme. De asemenea, trebuie precizat că modulele de rezistenţă pentru secţiuni

compuse, se pot calcula utilizând relaţiile 13 şi 14. Ca urmare, este necesar să se calculeze

momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa în lungul căreia acţionează momentul încovoietor

Page 290: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

143

şi distanţa de la planul neutru la fibra extremă şi apoi, în funcţie de acestea să se obţină

modulul de rezistenţă.

Probleme de calcul

Calculul de rezistenţă al barelor solicitate la încovoiere se face pentru secţiunea

periculoasă, adică în zona în care tensiunea normală σ are valoarea maximă.

Cu relaţia 12 se pot efectua cele trei tipuri de operaţii: dimensionare, determinarea

capacităţii portante sau verificare.

O sinteză a problemelor întâlnite la solicitarea de încovoiere pură prin utilizarea

criteriului de rezistenţă sunt evidenţiate în Tabelul 2. Tabelul 2. Problemele practice întâlnite în aplicaţii inginereşti

Categorii de probleme

Verificare Dimensionare Determinarea capacităţii portante

Relaţiile de calcul

limmax a

z

MW c

σσ = ≤ σ =

max

z neclim

M cW =σ

limcap zM W

=

Forme optime de secţiune la barele solicitate la încovoiere

La concepţia unei grinzi supuse la încovoiere nu este suficient a se efectua numai un

calcul de rezistenţă, ci trebuie stabilită forma optimă a secţiunii, adică realizarea cu un

consum minim de material. Forma unei secţiuni este cu atât mai avantajoasă din punct de

vedere al solicitării de încovoiere, cu cât , la aceeaşi arie a secţiunii transversale, grinda poate

prelua un moment încovoietor mai mare. Bara rezistă cu atât mai mult la solicitarea de

încovoiere cu cât zW are valoarea mai mare.

a b c d e f

z

Figura 3. Forme uzuale ale secţiunilor transversale, care au cel puţin o axă de simetrie

O secţiune poate fi considerată optimă după valoarea raportului dintre modulul de

rezistenţă zW şi aria secţiunii transversale A, adică zW A . Cu cât valoarea acesteia este mai

mare, cu atât secţiunea aleasă este mai economică.

Page 291: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

144

Dacă se consideră două secţiuni uzuale, fie acestea cele din Figura 3 b şi e, care au arii

egale, secţiunea în formă de I este mai avantajoasă decât cea dreptunghiulară, deoarece poate

prelua un moment încovoietor mai mare, deoarece o parte însemnată a secţiunii este plasată în

apropierea fibrelor extreme, unde tensiunea normală σ este maximă.

În fapt, la barele solicitate la încovoiere se recomandă forme de secţiuni la care

materialul este mai depărtat de axa neutră, precum sunt profilele I şi U din Figura 3 e şi f.

La secţiunile pătrată şi circulară, Figura 3 b şi d modulul de rezistenţă este relativ mic, în

secţiune există mult material în apropierea axei neutre, unde σ are valori mici, aproape de

zero. Secţiunea circulară are avantajul de a rezista la fel de bine pe orice direcţie. Acest

avantaj este exploatat în construcţia arborilor şi axelor din structura maşinilor şi utilajelor.

Secţiunea inelară este mai bună în acest caz, faţă de secţiunea circulară.

Secţiunile la care axa neutră este axă de simetrie se preferă la barele executate din

materiale care se comportă la fel la întindere şi la compresiune. La aceste secţiuni tensiunile

din fibrele extreme sunt egale în valoare absolută, max minσ = −σ .

La materiale care nu au comportare identică la tracţiune si la compresiune, dar rezistă

mai bine la compresiune faţă de întindere, se folosesc secţiuni care nu au simetrie faţă de axa

neutră. Se preferă secţiunile în formă de T sau de I cu tălpi neegale. Bara trebuie astfel

plasată încât tensiunile cele mai mari să fie de compresiune, adică negative.

Ca exemplu, se consideră un profil de tip T, Figura 4, realizat din fontă, la care raportul

tensiunilor limită de rupere, ( ) ( )r ri c2,5σ σ = . Ca urmare, bara trebuie concepută şi realizată

încât,

( )( )

maxmax c

min max t

y 2.5,y

σ= =

σ

(15)

deoarece tensiunile în fibrele extreme se pot calcula cu relaţiile:

( ) maxmax c

z

MyI

σ = , ( ) minmax t

z

MyI

σ = .

(16)

Profilele laminate pot fi realizate până la anumite limite. În cazul că la dimensionare

rezultă o valoare a lui zW mai mare decât valoarea limită standardizată, grinda se realizează

din mai multe elemente, rezultând o aşa numită grindă compusă. Dimensionarea grinzilor

Page 292: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

145

compuse constă în stabilirea formei şi dimensiunilor secţiunii transversale, astfel ca modulul

de rezistenţă să aibă valoarea apropiată din relaţia de dimensionare. La astfel de structuri se

pune problema dimensionării elementelor de îmbinare precum nituri, şuruburi, suduri ş.a.

Aceste elemente sunt solicitate la forfecare, datorită lunecării longitudinale.

Figura 4. Profil T

O aplicaţie practică specifică construcţiilor din lemn este aceea când trebuie realizată o

grindă de secţiune dreptunghiulară dintr-un buştean cu diametrul mediu d, astfel încât să aibă

cel mai mare modul de rezistenţă posibil, Figura 5.

b

h

dz

y

Figura 5. Secţiune dreptunghiulară extrasă dintr-un arbore cu diametrul d

Soluţie

Modulul de rezistenţă pentru o secţiune dreptunghiulară de dimensiuni b h× este:

2

zbhW6

= .

(17)

Page 293: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

146

Dat fiind faptul că acest dreptunghi trebuie obţinut dintr-un buştean cu diametrul d, între

b, h şi d în baza teoremei lui Pitagora există relaţia:

2 2 2 2 2 2h b d cons tan t, h d b+ = = ⇒ = − (18)

Înlocuind pe h din relaţia 18 în 17, rezultă:

2 2

zb(d b )W

6−

=

(19)

Pentru a obţine valoarea maximă a modulului zW f (d,b)== , se impune condiţia:

zdW 0db

= ⇒ 2 2

zdW d b 0db 6 2

= − =

(20)

In final rezultă:

d 3b3

= d 6h3

= sau h b 2=

(21)

În practică se utilizează h 1,5b= .

Energia elastică a barei supusă la încovoiere pură

Într-o bară supusă la încovoiere pură se înmagazinează o cantitate de energie potenţială

care se obţine prin integrarea energiei specifice w pe volumul v al barei:

2

V V V

W wdv dv dv2 2Eσε σ

= = =∫ ∫ ∫ .

(22)

Tensiunea normală σ din bară este dată de relaţia lui Navier, iar elementul de volumul

dv al barei poate fi calculat dv dx dA= ⋅ , final rezultă:

2 2 2

22 2z zA 0 A

M y 1 MW dxdA y dA2EI 2E I

= =∫ ∫ ∫ ∫

(23)

Page 294: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

147

Cum integrala pe aria A reprezintă momentul de inerţie axial zI al secţiunii, rezultă final

următoarea expresie a energiei elastice din bară:

2

z0

MW dx2EI

= ∫ .

(24)

În cazul particular când momentul este constant, această expresie capătă forma:

2

z

MW2EI

= .

(25)

7.2 ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ

În aplicaţiile practice, se întâlnesc bare drepte în a căror secţiune transversală este

prezent atât momentul încovoietor cât şi forţa tăietoare, solicitarea este cunoscută sub

denumirea de încovoiere simplă. Datorită acestui fapt într-un punct oarecare al secţiunii

există tensiuni normale σ şi tensiuni tangenţiale τ , Figura 6. Pe suprafaţă respectivă apar

deformaţii specifice liniare şi lunecări. Drept consecinţă, secţiunile iniţial plane, nu mai

rămân plane, ci se deplasează. Deplasarea este mai pronunţată în apropierea suprafeţei neutre

a barei şi este mai mică în vecinătatea fibrelor extreme. Ca urmare, la o bară supusă la

încovoiere simplă nu mai este valabilă ipoteza lui Bernoulli şi practic nici relaţia lui Navier,

dedusă în baza acestei ipoteze. Abaterile de la valoarea dată de această relaţie depind de

raportul dintre înălţimea secţiunii şi deschiderea barei.

x

y

zO

dA

τ

σT

M

τ

Figura 6. Solicitarea de încovoiere simplă

Page 295: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

148

Prezenţa forţei tăietoare face ca în secţiunea transversală a unei bare să apară tensiuni

tangenţiale, care nu sunt uniform distribuite, ca în cazul forfecării elementelor de dimensiuni

mici. În acest caz se poate aplica principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale, potrivit căruia

dacă pe un plan din interiorul unui corp există o tensiune tangenţială, atunci pe un plan

perpendicular pe această suprafaţă există o tensiune tangenţială de aceiaşi valoare, ambele

fiind simetric orientate faţă de muchia comună a planelor şi perpendicular pe ea.

7.2.1 Starea de tensiuni. Relaţia lui Juravski

Pentru a deduce expresia tensiunii tangenţiale xyτ , se consideră un element de volum de

lungime dx, izolat dintr-o bară simplu rezemată, de secţiune constantă, solicitată la

încovoiere, Figura 7. Se consideră că secţiunea transversală este simetrică faţă de axa Oy şi

că bara este realizată dintr-un material omogen, izotrop care ascultă de legea lui Hooke. Pe

cele două secţiuni acţionează eforturile secţionale T şi M, respectiv T şi M dM+ , Figura 8.

Aceste eforturi secţionale produc tensiunile normale σ , dσ+ σ şi xyτ . Dacă se secţionează

elementul de bară cu un plan longitudinal, paralel cu planul neutru, situat la distanţa y de

acesta, se obţine elementul de volum evidenţiat în Figura 9b. Pe acest plan acţionează

tensiunile xy yxτ = τ .

A B

AV BV

2x

2

BV

T

M

F+

x F

2F

-

dx

M M+dM

Figura 7. Bară solicitată la încovoiere simplă

Page 296: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

149

Figura 8. Element de bară extras din sistemul prezentat în Figura 7

dx

T T+dT

M M+dM1y

z

b(y)y

N

N+dN

y

dx

xyτ

yxτ

dA

b

a

A(y)

x

Figura 9. Element de volum extras din elementul de bară din Figura 9a

Se face ipoteza, a cărei valabilitate este justificată de rezultatele experimentale, că

tensiunile tangenţiale sunt paralele cu forţa tăietoare şi constante pe lăţimea secţiunii.

Elementul de volum evidenţiat în Figura 4b, trebuie să fie în echilibru, ca urmare se

poate scrie proiecţia forţelor care acţionează pe direcţia axei Ox,

xyN b(y)dx (N dN) 0− τ − + = , (26)

unde A(y)

N dA= σ∫ şi A(y)

N dN ( d )dA+ = σ+ σ∫ .

Page 297: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

150

Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia 26, rezultă:

xyA(y) A(y)

dA b(y)dx ( d )dA 0σ − τ − σ+ σ =∫ ∫ (27)

După efectuarea reducerilor evidente, rezultă:

xyA(y)

b(y)dx d dA 0τ + σ =∫ (28)

Apelând la relaţia lui Navier, în care 1z

dMd yI

σ = , se obţine:

A(y)xy

z

ydAdM 1dx b I

τ = ⋅ ⋅∫

(29)

Se cunoaşte că dM Tdx

= este forţa tăietoare din secţiune, iar 1 zA(y)

y dA S A(y) e= = ⋅∫ ,

este momentul static al suprafeţei A(y) în raport cu axa neutră Oz, relaţia 29 devine:

zxy

z

TSbI

τ = .

(30)

Relaţie 30 este cunoscută în literatura de specialitate sub numele de formula lui

Juravski. Mărimile pe care le conţine, au următoarea semnificaţie:

T - forţa tăietoare din secţiunea considerată;

zS (y) - momentul static al porţiunii din secţiunea transversală a barei care alunecă A(y)

calculat în raport cu axa neutră Oz;

b(y) - lăţimea secţiunii la distanţa y de axa neutră;

zI - momentul de inerţie al întregii secţiuni transversale a barei în raport cu axa neutră.

Deoarece în secţiune T şi zI sunt constante, rezultă că legea de variaţie a tensiunii

tangenţiale xyτ în secţiune, pe direcţia axei z, este dată de variaţia raportului zS b(y) .

Relaţia 30 este valabilă pentru orice secţiune, care are o axă de simetrie.

Page 298: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

151

Este evident că datorită variaţiei momentului încovoietor în lungul barei, care are ca

efect apariţia forţei tăietoare, între fibrele longitudinale ale grinzii apar tensiuni tangenţiale, al

căror efect este fenomenul numit lunecare longitudinală. Rezultanta tensiunilor tangenţiale

dintr-un plan paralel cu suprafaţa neutră a grinzii poartă numele de forţă de alunecare.

Trebuie ţinut seama de faptul că forţa de lunecare îşi schimbă semnul atunci când forţa

tăietoare îşi schimbă semnul.

Se consideră o secţiune cu contur curbiliniu precum unul circular, Figura 10, şi un

element de arie dA situat pe acest contur. Tensiunea tangenţială τ este tangentă la contur. Ca

urmare, pe acel element există componentele xyτ şi xzτ . Prin studierea în detaliu a acestei

probleme, se poate arăta că, componenta xzτ are valoarea maximă în vecinătatea conturului şi

nulă pe axele Oy şi Oz. Valorile componentei xzτ sunt destul de mici şi, de aceea în calcule,

nu vor fi luate în considerare.

o

dA

xyτ

xzτ

τ

z

y

T

Figura 10. Componentele tensiunii tangenţiale

In continuare se prezintă câteva exemple privind variaţia tensiunilor normale xσ şi

tangenţiale xyτ pentru unele secţiuni uzuale.

Exemplu 1. Fie secţiunea dreptunghiulară cu dimensiunile b x h din Figura 11. Se cere:

Variaţia tensiunilor normale şi tangenţiale;

Să se găsească componentele tensorului de tensiune în punctul B, şi să se calculeze

tensiunile normale principale.

Soluţie. Tensiunea normală într-o secţiune curentă este dată de relaţia lui Navier

xz

M(x) yI

σ = , care evident are o variaţie liniară.

Page 299: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

152

max min 2z

M(x) 6M(x)W bh

σ = −σ = =

(31)

-

+

y

z

b

h

ye

σ τ

h/4B

maxσ

minσ

maxτ

Figura 11. Variaţia tensiunii normale şi tangenţiale

Pentru a pune în evidenţă variaţia tensiuni tangenţiale xyτ , se consideră o fibră la

distanţa y, pentru care b(y) b= şi se aplică relaţia lui Juravski,

zxy

z

TS (y)b(y)I

τ =

(32)

unde:

3

zbhI12

= ;

2

2z

h 1 h b hS (y) A(y)e b y y y2 2 2 2 4

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(33)

Prin înlocuirea relaţiilor 33 în relaţia 32, se obţine:

2 2 22

xy 3 3 2

12T h 6T h 3 T y2y y 1 42bbh 4 bh 4 2 A h

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

(34)

Se notează: mediu mTA= τ = τ ,

Page 300: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

153

în care mτ tensiune de forfecare medie, iar A bh= .

Tensiunea de forfecare xyτ are variaţie parabolică, Figura 11. Analizând această

diagramă, se observă că tensiunea tangenţială are valoare maximă unde 0σ = , adică pe axa

Oz şi este nulă pe fibrele extreme, ( )h 2 0τ ± = , unde tensiunea normală σ este maximă.

xy max m3 T 32 A 2

τ = = τ .

(35)

Tensorul tensiune are forma:

m2x xy

yx ym

3M 9bh 8T9 08

ρ

⎡ ⎤τ⎢ ⎥σ τ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥τ σ ⎢ ⎥⎣ ⎦ τ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(36)

Tensiunile normale principale se pot calcula cu relaţia:

x y 2 2 2x1,2 x y xy x xy

1 1( ) 4 42 2 2 2

σ +σ σσ = ± σ +σ + τ = ± σ + τ .

(37)

unde:

( ) 2z

M 3Mx yI bh

σ = = ;

2 2

xy yx m3

6T h h 9( )bh 4 16 8

τ = τ = − = τ .

Exemplul 2. Se consideră o secţiune circulară de diametru d, Figura 12. Se cere să se

stabilească variaţia tensiunii normale şi tangenţiale.

Soluţie

Tensiunea normală variază liniar, conform relaţiei lui Navier. Valoarea maximă se poate

calcula cu relaţia:

max 2z

M 32MW d

σ = =π

, min maxσ = −σ .

(38)

Page 301: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

154

Figura 12. Variaţia tensiunilor normale şi tangenţiale

Tensiunea tangenţială este dată de relaţia lui Juravski

( )( )

Zxy

Z

S yTI b y

τ = ,

(39)

unde:

- ( )b y 2r sin d sin= θ = θ , în care dy cos2

= α ;

momentul static al suprafeţei haşurate se calculează ca o integrală pentru fâşiile de

suprafaţă dA b(y)dy= ,

- ( )0 3 3

2 3z

0 0

d dS y ydA ybdy sin cos d sin4 12

θ θ

θ

= = − = θ θ θ = θ∫ ∫ ∫ ;

- 4

zdI

64π

= .

Înlocuind în relaţia 39, se obţine:

2

2xy 2

4 T 4Tsinsind3 3A4

θτ = θ =

π,

(40)

în care 2d A

= .

Page 302: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

155

Se notează mTA= τ similar ca la secţiunea dreptunghiulară, în final rezultă:

2xy m

4 sin3

τ = τ α .

(41)

Tensiunea tangenţială variază după legea de variaţie a funcţiei 2sin θ . Ea este nulă în

fibrele extreme şi maximă în axa neutră, adică:

Pentru 0α = xy 0τ =

Pentru 2π

α = xy m43

τ = τ .

Exemplul 3. Se consideră o secţiune în formă de I, Figura 13, care poate fi considerată

ca formată din dreptunghiuri cărora li se aplică formula lui Juravski. Distribuţia tensiunii

tangenţiale este parabolică, dar din cauza variaţiei lăţimii b(y) de la inimă la tălpi, se produce

o discontinuitate în distribuţia tensiunii xyτ în această zona.

maxxyτ

5a

a

8a z

y

a

2xyτ1xyτ

a

Figura 13. Variaţia tensiunii tangenţiale pentru profilul I

Se calculează tensiunea tangenţială cu relaţia lui Juravski

( )( )

( )( )

Z Zxy

z Z

TS y S yTb y I I b y

τ = = .

(42)

Page 303: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

156

Pentru y 4a= , rezultă ( )b y 5a= şi 2 3ZS (y) 5a 4,5a 22,5a= ⋅ =

3

2xy1

Z z

22,5a T T4,5a5a I I

τ = = .

(43)

Trecând la secţiune îngustă y 4a= , ( ) 3ZS y 22,5a= este acelaşi, dar ( )b y a= , ca

urmare se obţine:

2xy2

Z

T22,5aI

τ = .

(44)

Pentru y 0= , rezultă ( )b y a= şi ( ) 3 2 3ZS y 22,5a 4a 2a 30,5a= = ⋅ + , implică:

2xymax

Z

T30,5aI

τ = .

(45)

În zona de trecere de la tălpi la inimă, raportul dintre cele două tensiuni are o valoarea

supraunitară,

2

xy22

xy1

22,5a 22,5 54,5a 4,5

τ= = =

τ.

(46)

7.3 SOLIDE DE EGALĂ REZISTENŢĂ LA ÎNCOVOIERE

Dacă se neglijează efectul tensiunii tangenţiale, dimensionarea unei bare solicitată la

încovoiere se face din condiţia de rezistenţă prin utilizarea momentului încovoietor maxim,

care rezultă de pe diagrama de momente încovoietore. Ca rezultat, bara va avea o secţiune

constantă pe toată lungimea şi reprezintă o soluţie neeconomică, deoarece materialul este

utilizat eficient numai în zona unde momentul încovoietor este maxim. În afara acestei zone

bara este supradimensionată.

Din acest motiv, în aplicaţiile practice se utilizează bare cu modul de rezistenţă variabil,

astfel încât tensiunea normală maximă din orice secţiune să fie constantă şi egală cu tensiunea

admisibilă. O astfel de bară este cunoscută sub denumirea de solid de egală rezistenţă la

încovoiere.

Page 304: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

157

Condiţia de rezistenţă pentru un astfel de solid este:

limx a c

σσ ≤ σ =

(47)

Dat fiind faptul ca se cunoaşte momentul încovoietor din secţiunea curentă , a cărei

formă se presupune cunoscută, relaţia 1 devine:

lima

z

M(x)W (x) c

σ≤ σ = .

(48)

Ţinând seama că relaţia 48 depinde de M(x) şi zW (x) , rezultă că forma solidului de

egală rezistenţă este funcţie de modul de rezemare, de modul de aplicare a sarcinilor şi de

forma secţiunii.

În stare naturală pot fi întâlnite solide de egală rezistenţă la arbori si în sistemul osos

uman şi animal precum trofeele cervidelor (coarne).

Pentru exemplificare se consideră modelul din Figura 14. Momentul încovoietor în

secţiunea curentă x, este:

M(x) Fx= − (49)

Fx

Figura 14. Bară în consolă

Modulul de rezistenţă al barei rezultă din ecuaţia 2 şi are expresia:

zlima lim

M(x) Fx FxcW (x)

c

= = =σσ σ

(50)

Forma solidului pentru modelul din Figura 14, când acesta are diferite secţiuni este

evidenţiată în Tabelul 1.

Page 305: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

158

Tabelul 1. Configuraţii de solide de egală rezistenţă la încovoiere

Forma secţiunii

zW (x)

Legea de variaţie a secţiunii

Configuraţia solidului de egală rezistenţă

Circulară cu diametru d

3

zd (x)W (x)32

π=

3

lim

32Fxcd(x) =πσ

Dreptunghiulară cu lăţime constantă

2

zbh (x)W (x)

6=

lim

6Fxch(x)b

Dreptunghiulară cu înălţime constantă h

2

zh b(x)W (x)

6=

2lim

6Fxcb(x)h

max 2lim

6Flcbh

Solidele de egală rezistenţă din Tabelul 1, primul are forma unui paraboloid de rotaţie,

la al doilea înălţimea variază parabolic, iar la al treilea înălţimea variază liniar. Primele două

sunt mai dificile de realizat tehnologic în comparaţie cu al treilea.

În cazul al treilea, pentru ca solidul să nu aibă lăţimi prea mari se procedează în practică

la secţionarea lui pe lungime în fâşii de lăţime 0b şi la suprapunerea acestora, astfel se obţine

aşa numitul arc cu foi, Figura 15.

Fizic se obţine o grindă compusă fără împiedicarea lunecării longitudinale. Modulul ei

de rezistenţă într-o secţiune oarecare se obţine prin însumarea modulelor de rezistenţă a

fâşiilor existente în secţiunea considerată. Pentru a uşura alunecarea longitudinală, la interfaţa

fâşiilor se introduce un lubrifiant consistent sau solid. O asemenea soluţie este întâlnită în

structura autovehiculelor.

Modelul din Figura 14 poate fi încărcat şi cu diferite sarcini distribuite, precum

uniformă, liniară sau parabolică.

Page 306: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

159

F

l

ob

F

maxb

2F

F

Figura 15. Arcul cu foi

În Figura 16 se prezintă o bară simplu rezemată, care prezintă simetrie geometrică şi de

încărcare, cu secţiune circulară. Se cere forma solidului de egală rezistenţă.

F

A BF 2 F 2

2 2

maxd

F

F

F 2 F 2

maxd

od

Figura 16. Model de solid de egală rezistenţă pentru un sistem rezemat

Page 307: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

160

Soluţie: Utilizând relaţia 49 rezultă,

zlima lim

F xM(x) Fxc2W (x)2

c

= = =σσ σ

.

(51)

Prin înlocuirea modulului de rezistenţă 3

zd (x)W (x)32

π= în relaţia 50, devine:

3

lim

16Fxcd(x) =πσ

.

(52)

Diametrul maxim se obţine în planul de simetrie al sistemului, adică la x 2= ,

3maxlim

8F cd d2

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ πσ⎝ ⎠.

(53)

Soluţia practică este reprezentată în Figura 16c. Diametrul 0d se determină din condiţia

de rezistenţă la forfecare,

lima

4 T3 A c

τ≤ τ = .

(54)

După efectuarea calculelor rezultă:

0lim

8Fcd3

=πτ

.

(55)

7.4. GRINZI COMPUSE

În unele aplicaţii practice de proiectare rezultă secţiuni de grinzi mai mari decât cele

standardizate. În aceste cazuri se alege soluţia realizării unor grinzii formate din mai multe

elemente, asamblate prin diferite procedee precum lipirea, sudarea, nituirea, fixarea cu

buloane ş.a. În Figura 17a se prezintă o grindă alcătuită din două elemente din lemn ecarisat

de secţiune pătrată aşezate una peste alta. Dacă asupra unei asemenea grinzi acţionează un

sistem de forţe normale la planul de separaţie, fiecare grindă se deformează separat, căpătând

câte o fibră proprie, Figura 17b. Modulul de rezistenţă al unei astfel de structuri se calculează

cu relaţia:

Page 308: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

161

3

z z1 z2aW W W3

= + = .

(57)

a

a

a

x

y

z

l

l

F F

4 4

maxσ

maxσ

-

-

+

+

a

b

Figura 4. Grindă alcătuită din două elemente cu secţiune pătrată

F F

4 4maxσ

-

+

element de fixare

c

F F

4 4maxσ

-

+

d

fixare cu adeziv

Figura 18. Moduri de fixare a grinzilor suprapuse

Page 309: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

162

La interfaţa celor două elemente apare o alunecare longitudinală, deoarece fibra

elementului superior se alungeşte, iar a celui inferior se comprimă. Dacă această alunecare

este împiedicată prin fixare cu şuruburi sau cu un adeziv, Figura 18, grinda se deformează ca

şi când ar fi un solid unitar, ca urmare modulul de rezistenţă are expresia:

2 3

zbh 2aW6 3

= = .

(57)

Evident, capacitatea portantă a grinzii compuse se dublează şi se recomandă

împiedicarea lunecării longitudinale.

Se pune problema dimensionării şuruburilor de fixare sau a alegerii adezivului. Forţele de

lunecare pe care le poate prelua adezivul se pot determina din relaţia de calcul la forfecare:

lim,adezivmax a,adeziv

3 T2 A c

ττ = ≤ τ = .

(58)

7.5. ÎNCOVOIEREA OBLICĂ

Încovoierea oblică este solicitarea care apare într-un corp, atunci când vectorul moment

încovoietor M , are o direcţie oarecare faţă de axele principale de inerţie ale secţiunii.

x

y

O

F

2F

x

a

z

y

O

M

-+

α

zM

yM

F( a)−

F

Figura 19. Bară de secţiune pătrată, solicitată la încovoiere oblică

Page 310: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

163

Bara din Figura 6, este solicitată de forţe plasate în plane diferite, deci pot fi construite

două diagrame de momente încovoietoare: una în plan vertical, zM şi alta în plan orizontal,

yM . Într-o secţiune oarecare momentul încovoietor are două componente. Direcţia

vectorului moment încovoietor rezultant face un unghi α , cu axa principală de inerţie, ca

urmare se produce o încovoiere oblică. Acest vector moment încovoietor, M poate fi

descompus după direcţia axelor principale de inerţie:

yM M sin= − α , zM M cos= α . (59)

Prin aplicarea relaţiei lui Navier, într-un punct curent (y, z) , al secţiunii transversale se

obţin expresiile tensiunilor normale:

z

z z

M M cosy yI I

α′σ = = y

y y

M M sinz zI I

− α′′σ = = .

(60)

Tensiunea rezultantă se poate calcula prin însumare algebrică:

yz

z y z y

MM ycos zsiny z MI I I I

⎛ ⎞α α′ ′′σ = σ +σ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(61)

Tensiunile maxime sunt în cadranele II şi IV unde ′σ şi ′′σ au aceleaşi semne.

Ecuaţia axei neutre se obţine pentru situaţia când 0σ = , de unde rezultă că:

z y

y cos zsin 0I I

α α− = .

(62)

Axa neutră face unghiul β cu direcţia axei Oz, care se poate calcula cu relaţia:

z

y

Iytg tgz I

β = = α .

(63)

Direcţia axei neutre nu coincide cu direcţia momentului încovoietor M , decât la

secţiunile pentru care y zI I= .

Page 311: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

164

Tensiunea maximă se produce în punctul cel mai depărtat de axa neutră şi se poate

calcula dacă se cunosc coordonatele acelui punct.

Pentru o secţiune dreptunghiulară de dimensiuni b x h, Figura 20, tensiunea normală

maximă se află în punctul b hC ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

y yz zmax

z y z y

M b MM h M2I 2I W W

σ = + = + .

(64)

z

y

O

M

α

zM

yM

b

h

+

-

axa neutra

σβ

BC

D E

II I

III IV

Figura 20. Variaţia tensiunii normale

Dacă secţiunea este pătrată de latura a, atunci tensiunea normală maximă este tot în

punctul C şi se poate obţine din relaţia 64 prin înlocuirea h b a= = ,

( )y yz zmax z y

z y z y Z

M a MM a M 1 M M2I 2I W W W

σ = + = + = +

(65)

Relaţia 6 se poate aplica pentru orice tip de secţiune cu două axe de simetrie la care

ambele coordonate ating în acelaşi punct valori absolute maxime, precum sunt profilele I şi în

general, secţiunile cu colţuri.

Page 312: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

165

7.6 ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE CU SECŢIUNE NEOMOGENĂ

În aplicaţii practice apar situaţii când trebuie realizate bare din două sau mai multe

materiale diferite precum grinzile din beton armat, grinzi din lemn consolidate cu platbande

sau profile metalice, grinzi din lemn alcătuite din mai multe elemente de esenţe diferite ş.a.

Pentru studiul tensiunilor se consideră modelul realizat din două materiale diferite

având modulele de elasticitate 1E , respectiv 2E , Figura 21. Se admit următoarele ipoteze

simplificatoare:

- Cele două materiale sunt solidarizate şi sunt supuse simultan la încovoiere pură;

- Materialele se deformează sub acţiunea sarcinilor exterioare şi respectă legea lui

Hooke;

- Sarcinile exterioare sunt plasate în planul de simetrie ale barei, fie acesta Oxy;

- Se acceptă ipoteza lui Bernoulli, a secţiunilor transversale plane şi normale pe axa

barei înainte şi după deformare.

2E1E

F F

x dxl

Figura 21. Model de calcul

Pentru studiu se izolează din bara considerată, un element de lungime dx. Prin aplicarea

momentului încovoietor M cele două secţiuni au deplasări unghiulare relative. În baza

ipotezei lui Bernoulli, deformaţiile specifice liniare a două fibre din cele două materiale aflate

la distanţele 1y şi 2y , de axa neutră, pot fi exprimate prin relaţiile:

1 2

1 2

dx dx dxy yε ε

= =ρ

sau 11

yε =

ρ 2

2y

ε =ρ

,

(66)

unde ρ este raza de curbură a suprafeţei neutre.

Page 313: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

166

Tensiunile normale din cele două materiale se pot calcula cu relaţia lui Hooke:

1 11 1 1

E yEσ = ε =ρ

şi 2 22 2 2

E yEσ = ε =ρ

.

(67)

Tensiunile normale de pe fiecare porţiune a secţiunii transversale variază liniar, Figura

4, considerând 1 2E E> .

dx

2E

1E

2A

1A

1y

2y

ρ

O

2e

1e e

σ

-

+

y

z

Figura 22. Variaţia tensiunilor normale pe secţiune

Dependenţa dintre momentul încovoietor M şi tensiunile normale se obţin din ecuaţiile

de echilibru ale secţiunii transversale:

A

dA 0;σ =∫ A

zdA 0;σ =∫ A

ydA Mσ =∫ . (68)

Integralele 68 se calculează pe ambele zone ale secţiunii transversale. Din prima

integrală rezultă:

1 2

1 1 2 2A A

dA dA 0σ + σ =∫ ∫ sau 1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2A A

E y dA E y dA E S E S 0+ = + =∫ ∫ , (69)

unde 1

1 1 1A

S y dA= ∫ , 2

2 2 2A

S y dA= ∫ .

Pentru barele executate din mai multe materiale k 1,n= , se poate scrie:

Page 314: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

167

n

k k1

E S 0=∑ ,

(70)

unde k

k k kA

S y dA= ∫ este momentul static calculat faţă de axa neutră a unei porţiuni oarecare,

de suprafaţă kA .

Cu relaţia 70 se poate determina poziţia axei neutre. Dacă se notează cu 1 2 ne ,e ,..., e ,

distanţele de la o bază de referinţă la centrele de greutate ale suprafeţelor de arie,

1 2 nA ,A ,...,A şi cu e distanţa de la baza de referinţă la axa neutră, relaţia 70 devine:

n

k k k1

E S (e e) 0− =∑ .

(71)

Din relaţia 71, rezultă poziţia axei neutre faţă de baza de referinţă:

n

k k k1

n

k k1

E A ee

E A=∑

∑.

(72)

Cea de-a doua integrală din relaţiile 68 este satisfăcută deoarece axa Oy este axă de

simetrie a secţiunii.

Dacă în a treia integrală din relaţiile 68, se înlocuieşte tensiunea normală cu expresiile

67, se obţine:

1 2

21 2 1 1 2 21 1 2 2

A A

E E E I E IM y dA y dA += + =ρ ρ ρ∫ ∫ .

(73)

Această relaţie poate fi generalizată pentru o bară din mai multe materiale şi permite

calculul razei de curbură, astfel:

n

k k1

1 M

E I=

ρ ∑,

(74)

Page 315: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

168

unde kI este momentul de inerţie faţă de axa neutră a unei suprafeţe kA din secţiunea

transversală. Suma n

k k1

E I∑ se numeşte modul de rigiditate la încovoiere al secţiunii

neomogene.

Dacă se elimină 1 ρ între relaţiile 74 şi 67 se obţin expresiile tensiunilor normale:

1 11 n

z1k k

1

ME y MWE I

σ = =

∑, 2 2

1 nz2

k k1

ME y MWE I

σ = =

(75)

Dacă 1 1maxy y= şi 2 2maxy y=

1 1max1 n

z1k k

1

ME y MWE I

σ = =

∑, 2 2max

1 nz2

k k1

ME y MWE I

σ = =

∑,

(76)

unde:

n

k k1

z11 1max

E IW

E y=∑

n

k k1

z12 2max

E IW

E y=∑

.

Aplicarea relaţiilor 76 este posibilă numai după stabilirea poziţiei axei neutre folosind

relaţia 72.

7.7. TENSIUNI ÎN BARE CURBE

Se consideră o bară curbă solicitată de forţe coplanare, Figura 23. În secţiunile

transversale ale barei curbe se produc eforturile secţionale N, T şi M.

Tensiunea dată de forţa axială N se consideră uniform repartizată pe secţiunea barei şi

se poate calcula cu relaţia:

σ =NA

.

(77)

Tensiunile tangenţiale produse de forţa tăietoare pot fi calculate cu relaţia lui Juravski

fără a face erori prea mari.

Page 316: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

169

x

z

y

x1

y1

RirRRe

e

O1

F

Figura 1. Bară curbă solicitată de o forţă concentrată F

Ca urmare, trebuie calculate tensiunile produse de momentul încovoietor M. În acest

sens se consideră o bară curbă solicitată la încovoiere pură. Se acceptă următoarele ipoteze

simplificatoare:

planul forţelor este un plan de simetrie al secţiunii barei;

vectorul moment încovoietor este aplicat pe axa Oz;

secţiunea barei este constantă, de arie A;

se admite ipoteza lui Bernoulli.

Din bara cu raza de curbură R se separă un element de lungime ds, Figura 24, care face

unghiul la centru dϕ , ds Rd= ϕ .

Se notează:

R Ri e, - razele fibrelor extreme, interioare respectiv exterioare;

R - raza de curbură a axei centrelor de greutate G;

r - raza fibrei neutre, care este diferită de axa barei;

e - distanţa de la axa ce trece prin centrul de greutate G la axa neutră Oz, numită

excentricitate. e R r= − .

O fibră oarecare situată la raza ρ faţă de originea sistemului Ox y1 1 are înainte de

deformaţie lungimea:

Page 317: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

170

ds d= ρ ϕ (78)

x1

y1

O1

B

B1

AA1

∆(dϕ)

C

C1ρ

Μ

z

y1 y

y

Rir

RρRe

dA

O

Figura 24. Element separat din bara curbă - Figura 1

Sub acţiunea momentului încovoietor, elementul de bară se deformează, secţiunile de la

capete se rotesc una faţă de cealaltă cu unghiul ∆( )dϕ , fibra DC se lungeşte cu

CC ds r d1 = = −∆ ∆( ) ( )ρ ϕ .

Deformaţia specifică ε a fibrei este:

ερ ϕ

ρ ϕ= =

−∆ ∆dsds

r dd

( ) ( ).

(79)

Conform legii lui Hooke, tensiunea normală care solicită fibra se calculează cu relaţia:

σ εϕϕ

ρρ

= = ⋅−

E Ed

dr∆( )

.

(80)

Relaţiile de integrale dintre tensiuni şi eforturi secţionale pe secţiunea considerată sunt:

N dAE d

dr

dAAA

= =−

=∫∫∫∫ σϕ

ϕρρ

∆( )0 ⇒ r

AdA

A

=

∫∫ ρ

;

(81)

Page 318: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

171

M y dA dAE d

dr dA

A A A

= = = −∫∫ ∫∫ ∫∫1σ ρσϕ

ϕρ

∆( )( ) .

(82)

Faţă de sistemul Oxzy distanţa ρ − =r y , ca urmare momentul M dat de ecuaţia 4

devine:

ME d

dydA

E dd

SE d

dAe

Az= = =∫∫

∆ ∆ ∆( ) ( ) ( )ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

,

(83)

unde Sz momentul static al secţiunii în raport cu axa neutră.

Din ecuaţia 83 rezultă:

E dd

MAe

∆( )ϕϕ

= .

(84)

Înlocuind relaţia 84 în 80 se obţine legea de variaţie a tensiunii normale

σ ερρ

= = ⋅−

EMAe

r,

(85)

dacă ρ = r ⇒ σ = 0

În secţiunea transversală aleasă, mărimile E, ∆( )dϕ , dϕ sunt constante; rezultă deci că

σ variază pe secţiune după o lege hiperbolică, Figura 3.

În concluzie, tensiunile variază pe secţiune după o lege hiperbolică, valorile extreme

fiind obţinute pentru ρ = R Ri e, ,

σ i ei e

i e

MAe

R rR,,

,= ⋅

−.

(86)

Condiţia de rezistenţă pentru materiale care se comportă identic la tracţiune şi

compresiune este:

( )max , limσ σ σσ

i e a c≤ = .

(87)

Page 319: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

172

Raza de curbură r a fibrei neutre se determină cu relaţia 83. În continuare se prezintă

relaţiile de calcul ale lui r pentru două secţiuni uzuale:

pentru secţiune dreptunghiulară de dimensiuni b x h

rAdA

bhbd

hRRA A

e

i

= = =

∫∫ ∫∫ρρρ

ln

(88)

pentru secţiune circulară de diametru d

( )2 2 2

2 2

A A A

A d d dr dA b( )d d cos d 4 2R 4R d4 42

π π= = = =

ρ ρ ϕ ρ − −ρ ρ ρ∫∫ ∫∫ ∫∫

(89)

În mod obişnuit în secţiunea barei există atât moment încovoietor cât şi forţă axială.

Tensiunea produsă de forţa tăietoare se poate neglija, dar trebuie luat în considerare efectul

produs de forţa axială. Tensiunea globală se apreciază prin suprapunerea efectelor.

σρρ

= + ⋅−N

AMAe

r.

(90)

Efectul forţei axiale constă în adăugarea unui termen constant N A , astfel încât pe axa

neutră tensiunea globală va avea valoarea N A , ceea ce implică o altă poziţie a axei neutre pe

secţiune. Pentru a găsi noua poziţie a cestei axe este necesar să se impună condiţia de anulare

a tensiunii globale, σ = 0 :

NA

MAe

r+ ⋅

−=

ρρ

0 sau NA

MAe

R y rR y

+ ⋅+ −+

= 0 ,

NA

MAe

rR y

+ ⋅ −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1 0 , sau 1−

+= −

rR y

NeM

⇒ ye NR MM Ne

=− +

+( )

(91)

Bare cu rază mare de curbură

Dacă raportul R h este mare se numesc bare cu rază mare de curbură. La aceste bare

apar o serie de simplificări care permit un calcul rapid în aplicaţiile practice. Dacă R este

mult mai mare faţă de h atunci rezultă că R y>> . În această situaţie y se poate neglija în

comparaţie cu R. Ca urmare, expresia tensiunii normale capătă expresia:

Page 320: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Încovoierea

173

σϕϕ

ρρ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

= ⋅−

= ⋅+ −+

= ⋅− +

= ⋅+

Ed

dr

Ed

dR y r

R yE

dd

R r yR

Ed

de y

R∆ ∆ ∆ ∆( ) ( ) ( ) ( )

.

(92)

Se apelează la relaţia de echilibru,

2 z

A A A A

IE (d ) e y E (d ) e 1 E (d )M y dA y dA ydA y dAd R d R R d R

⎡ ⎤∆ ϕ + ∆ ϕ ∆ ϕ= σ = = + =⎢ ⎥ϕ ϕ ϕ⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

sau

E dd

MRI z

∆( )ϕϕ

= .

(93)

Apelând la relaţia 93, rezultă:

σ = ⋅+MR

Ie y

Rz.

(94)

Când R h >> axa neutră definită de raza r se confundă cu axa de simetrie a barei, deci

e = 0 şi tensiunea normală devine σ = ⋅MI

yz

, care reprezintă relaţia lui Navier pentru barele

drepte.

Concluzii

La barele cu rază mare de curbură tensiunile de încovoiere se aproximează cu relaţia lui

Navier.

În fibrele extreme apar diferenţe de tensiuni şi anume: în fibra exterioară supraestimări

∆e şi la fibra interioară subestimări cu ∆i . Aceste erori depind de raportul R h . Cea mai

periculoasă diferenţă este subestimarea din fibra inferioară, deoarece duce la subdimensionări.

S-a constatat că dacă: Rh= 1 eroarea pe fibra inferioară este 35 %;

Rh= 5 eroarea pe fibra inferioară este 7 %;

Rh= 10 eroarea pe fibra inferioară este 3,2 %.

In fapt, se poate aprecia că dacă raportul R h > 10 distribuţia de tensiuni poate fi

apreciată cu relaţia lui Navier cu o eroare sub 3 %.

Page 321: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 8

DEFORMAŢII

8.1. DEFORMAŢIILE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

Datorită aplicării forţelor exterioare, barele solicitate la încovoiere se pot deforma, axa

longitudinală a barei îşi modifică forma geometrică. Dacă în configuraţia de referinţă această

axă era o linie dreaptă, după deformaţie aceasta devine curbă.

Deoarece axa barei aflată în stare deformată rezultă din intersecţia suprafeţei neutre cu

planul longitudinal al barei ce conţine forţele aplicate, aceasta mai este cunoscută în literatura

de specialitate şi de fibră medie deformată. Studiul fibrei medii deformate permite calculul

deformaţiilor precum deplasările şi rotirile pe care le suportă secţiunea transversală ca urmare

a solicitării barei.

8.1.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate

Se consideră o bară simplu rezemată asupra căreia acţionează un sistem de forţe

F i ni , ,= 1 , ca urmare bara se deformează iar axa barei capătă o formă curbă de rază ρ ,

Figura 1. Într-o secţiune oarecare la distanţa x faţă de origine starea deformată poate fi

caracterizată prin următoarele mărimi geometrice: ( )v x , ( )xϕ şi ( )xρ .

2F nF

O A

x

ϕ

ρ1F

v

y

x

axa barei după deformaţie

axa barei iniţială

Figura 1. Bară simplu rezemată deformată

Page 322: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

175

v(x) - deplasarea transversală produsă pe direcţia axei 0y, numită săgeată, ea reprezintă

ordonata v a fibrei medii deformate în secţiunea de abscisă x, v(x) f (x)= ;

( )xϕ - reprezintă unghiul pe care îl face în secţiunea x tangenta la fibra medie

deformată cu axa 0x;

( )xρ - raza de curbură a fibrei medii deformate sau curbura ρ−1 , dedusă la solicitarea de

încovoiere pură:( )1

ρ=

M xEI y

.

Din geometria analitică şi diferenţială se cunoaşte relaţia:

2

2

32 2

d v(v)1 dx

dv(x)1dx

=ρ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

(1)

Între săgeata v şi unghiul ϕ există relaţia:

dv(x)(x) tg (x)dx

ϕ ≈ ϕ = .

(2)

Deoarece deplasările sunt mici, tangenta unghiului (x)ϕ este foarte mică adică

dv(x)tg (x) 1dx

ϕ = , în relaţia 1 se poate neglija termenul 2 2d v dx în comparaţia cu unitatea,

astfel încât se poate scrie:

2

2

1 d v(x)dx

.

(3)

Ţinând seama de expresia razei de curbură dedusă la solicitarea de încovoiere pură,

rezultă:

2

2Z

d v(x) M(x)dx EI

= .

(4)

Page 323: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

176

În sistemul de axe ales derivata a doua este a funcţiei v este negativă, iar momentul

încovoietor M(x) este pozitiv. Ca urmare, trebuie introdus semnul minus în expresia 4

conform convenţiei de semne privind momentul încovoietor, şi rezultă ecuaţia:

2

2Z

d v(x) M(x)dx EI

= − , sau 2

2Z

d v dv M(x)dx dx EI

= = − ,

(5)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate.

Dacă se ţine seama de relaţiile care există între încărcări şi eforturi secţionale şi

derivând de două ori ecuaţia 4 se obţin următoarele ecuaţii diferenţiale, de ordin superior, ale

fibrei medii deformate:

3

3Z z

d v(x) d M(x) T(x)dx dx EI EI

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠;

4 2

4 2Z z z

d v(x) d M(x) d T(x) q(x)dx dx EI dx EI EI

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

(6)

Expresia zEI se numeşte rigiditate la încovoiere a barei.

Prin integrarea ecuaţiilor 4 se obţin deformaţiile precum săgeata şi rotirea,

1z

M(x)(x) dx CEI

ϕ = − +∫ ;

1 2z

M(x)v(x) dx C x CEI

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ .

(7)

În sistemul de referinţă ales, se consideră că săgeata v este pozitivă dacă are sensul

invers axei 0y, iar unghiul ϕ este pozitiv dacă secţiunea transversală se roteşte în sens orar.

8.1.2 Calculul deformaţiilor prin integrare directă

Relaţiile 7 sunt valabile pe un singur câmp al barei, adică pe intervalele unde momentul

încovoietor îşi păstrează ecuaţia şi secţiunea barei este constantă. Problema se complică

atunci când bara are mai multe câmpuri, ceea ce determină un număr mai mare de constante

de integrare, câte două pentru fiecare câmp.

Page 324: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

177

Aceste constante se determină impunând condiţiile de deformaţie din reazeme şi

articulaţii.

În reazeme simple şi articulaţii: v 0= , iar în încastrare v 0= şi 0ϕ = .

Condiţiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă continuitatea acestei curbe în

secţiunile de separaţie a două intervale având încărcări şi rigidităţi diferite. Continuitatea

fibrei medii implică egalitatea săgeţilor şi rotirilor la interfaţa a două intervale.

Aplicaţie. Fie sistemul din Figura 2, se cere să determine săgeata şi rotirea maximă.

F

maxv

maxϕ

x

Figura 2. Bară in consolă încărcată cu forţă concentrată

Soluţie: Utilizăm ecuaţia diferenţială 5,

2

2z

d v(x) d (x) M(x)dx dx EI

ϕ= = − ,

(8)

în care ( )M x Fx= −

Prin integrare rezultă,

2

1 1z z

F Fx(x) xdx C CEI 2EI

ϕ = − + = +∫ ;

3

2 1 2z

Fxv(x) dx C C x C6EI

= ϕ + = + +∫ .

(9)

Pentru x = ⇒ = =ϕ 0 0; v ;punând aceste condiţii, rezultă constantele C1 şi C2 .

Pentru x = 0 rezultă maxϕ = ϕ şi maxv v= , adică:

2

maxz

F2EI

ϕ = − ; 3

maxz

Fv6EI

= .

(10)

Page 325: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

178

Prin această metodă pot fi calculate deformaţiile de încovoiere şi alte modele, precum

cel din Figura 3.

A B

q

x

Figura 3. Bara în consolă încărcată cu sarcină distribuită

Practic se aplică acelaşi procedeu, cu precizarea că 2qxM(x)

2= − , rezultă:

3

maxz

q2EI

ϕ = − ; 4

maxz

qv8EI

= .

(11)

8.1.3 Calculul deformaţiilor prin metoda grinzilor conjugate

Metoda integrării directe are avantajul că stabileşte ecuaţia de variaţie a momentului în

lungul barei, ceea ce permite apoi calculul simplu al săgeţii şi înclinării din oricare punct al

grinzii. Dezavantajul acestei metode este calculul constantelor de integrare. Pentru a evita

aceste calcule laborioase se foloseşte metoda parametrilor iniţiali, în care intervin numai

două constante de integrare. Şi aceasta presupune un volum mare de calcul. O metodă mai

simplă este metoda grinzii conjugate care elimină complet constantele de integrare.

Această metodă se bazează pe analogia dintre următoarele ecuaţii diferenţiale:

- Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi încărcări, ( )2

2

d M(x) dT(x) q xdx dx

= = − ;

- Ecuaţiile diferenţiale ale fibrei medii deformate, ( )2

2z

M xd v(x) d (x)dx dx EI

ϕ= = − .

Folosind această analogie se stabileşte o metodă simplă de calcul a deformaţiilor. În

acest scop se ataşează o grindă conjugată grinzii date care este încărcată nu cu sarcina

( )z

M xq(x)

EI= .

Ecuaţia diferenţială dintre încărcări şi eforturi secţionale pentru grinda conjugată este de

forma:

Page 326: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

179

( ) ( )2

2z

M xd M(x) dT(x) q xdx dx EI

= = − = −

(12)

Atât momentul încovoietor cât şi forţa tăietoare au aceleaşi ecuaţii diferenţiale ca şi

săgeata şi înclinarea de pe grinda dată. Dacă cele două mărimi şi T , M, şi v, ϕ satisfac

aceleaşi condiţii în reazeme, atunci eforturile secţionale de pe conjugată reprezintă chiar

deformaţiile grinzii date,

v(x) M(x)= , (x) T(x)ϕ = (13)

Pentru a asigura valabilitatea relaţiilor 11 este necesar ca eforturile secţionale a grinzii

conjugate să satisfacă în reazeme condiţiile de deformaţie ale grinzii date. Ca urmare, rezultă

următoarele concluzii, prezentate în Tabelul 1.

Tabelul 1. Moduri de construire a grinzilor conjugate sau reciproce

Specificaţie Model iniţial Model conjugat Reciproca grinzii în consolă este tot o grindă în consolă cu inversarea modului de rezemare

A B

A B

Reciproca grinzii simplu rezemate este tot o grindă simplu rezemată

A B

A B

Reciproca grinzii cu două reazeme simple şi o consolă este o grindă simplu rezemată la un capăt şi încastrată în capătul liber, reazemul intermediar se transformă în articulaţie.

A B C

A BC

Pentru alte feluri de reazeme, grinda conjugată se construieşte cu respectarea condiţiilor

de mai sus.

Ca metodă de lucru, se parcurg următoarele etape:

- se trasează diagramele de moment încovoietor ale grinzii date;

- se construieşte grinda conjugată;

- se încarcă grinda conjugată cu sarcina q ;

- se trasează diagramele de eforturi secţionale pentru grinda conjugată, T şi M;

- deformaţiile grinzii date se apreciază cu ajutorul relaţiilor 11;

Page 327: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

180

- dacă se cer deformaţiile numai în anumite puncte ale barei nu mai este necesară

trasarea diagramelor de eforturi secţionale pentru grinda conjugată, fiind necesar numai

calculul acestor eforturi în secţiunile dorite.

Aplicaţie: Să se calculeze săgeata maximă şi înclinarea din reazemele A şi B la grinda

din Figură 4.

A B

F

/ 2 / 2

+

z

Fq4 E I

=

M

BA

F4

C

Figura 4. Calculul deformaţiilor prin metoda grinzii conjugate

Soluţie: Evident sistemul prezintă simetrie geometrică şi de încărcare, ca efect săgeata

maximă va fi în planul de simetrie, adică la mijlocul deschiderii. Etapele sunt evidenţiate

grafic în Figura 4. Reacţiunile sistemului conjugat sunt:

A BqV V4

= = .

(14)

Înclinările din reazemele A şi B sunt:

2

A A Az

q qT V4 16EI

ϕ = = = = , A Bϕ = −ϕ .

(15)

Săgeta maximă se obţine în punctul C, unde 0ϕ = ,

2 3

max c Az

q 1 q Fv M V2 4 3 2 12 48EI

= = − ⋅ = = .

(16)

Page 328: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

181

8.1.4 Aplicarea principiului suprapunerii efectelor

Aplicarea principiului suprapunerii efectelor la calculul deformaţiilor se poate face

deoarece relaţiile care exprimă deplasările ϕ şi v sunt funcţii liniare şi omogene de sarcinile

care le produc.

Utilizând acest principiu, determinarea deplasării unui punct oarecare al fibrei medii

deformate la o bară încărcată cu mai multe tipuri de sarcini se face însumând deplasările

produse de fiecare sarcină, în punctul respectiv, ca şi când aceasta ar acţiona separat,

( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕc c c cq M F= + + ;

( ) ( ) ( )v v q v M v Fc c c c= + + ,

(17)

în care s-a considerat bara încărcată numai cu sarcina distribuită q, cu momentul concentrat M

şi cu forţa concentrată F.

Aplicaţie: Se consideră bara din Figură 5, încărcată cu sarcina distribuită q şi forţa

concentrată F. Să se calculeze săgeata şi rotirea din punctul B.

A

q F

B

Figura 5. Bară în consolă încărcată cu sarcina distribuită q şi forţa concentrată F

Soluţie: Se aplică principiul suprapunerii efectelor, deoarece se cunoaşte Bϕ şi Bv

pentru q şi F aplicate independent,

( ) ( )ϕ ϕ ϕB B Bq F= + , ⇒ 3 2

Bz z

q F6EI 2EI

ϕ = − − ;

( ) ( )B B Bv v q v F= + , ⇒ 4 3

Bz z

q Fv8EI 3EI

= + .

(18)

În cazul particular când F q= , rezultă:

3

Bz

2 q3 EI

ϕ = − , 2

Bz

11qv24EI

= .

(19)

Page 329: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

182

8.2 METODE ENERGETICE DE DETERMINARE A DEFORMAŢIILOR

8.2.1 Introducere

În acest capitol se va utiliza termenul de forţă generalizată F, înţelegând o forţă sau un

moment concentrat aplicate solidelor elastice. Sub acţiunea lor corpul se deformează şi apare

o deplasare generalizată δ pe direcţia forţei F:

- în dreptul şi pe direcţia forţei F concentrate deplasarea generalizată δ este o

deplasare liniară numită săgeată sau lungire;

- în dreptul şi într-un plan perpendicular pe direcţia momentului concentrat

deplasarea generalizată δ este o deplasare unghiulară numită înclinare sau unghi de răsucire.

Datorită acestei deplasări forţa generalizată execută din momentul aplicării până în

momentul atingerii echilibrului elastic un lucru mecanic egal cu lucrul mecanic al forţei

exterioare, notat cu L.

În solid apare o stare de tensiuni şi deformaţii care se înmagazinează sub formă de

energie potenţială de deformaţie W care se poate utiliza în calculul deformaţiei, procedeu

cunoscut sub denumirea de metode energetice de calcul a deformaţiilor.

8.2.2 Energie de deformaţie

Atunci când un corp deformabil trece dint-o stare de deformaţie în alta, variaţia energiei

cinetice este egală cu suma dintre lucrul mecanic efectuat de forţele exterioare şi lucrul

mecanic al forţelor interioare.

∆E E E L Le i= − = +0 , (20)

unde:

E 0 - este energia cinetică iniţială;

E - energia cinetică a sistemului mecanic la momentul t;

Le - lucrul mecanic produs de forţele exterioare;

Li - lucrul mecanic produs de forţele interioare.

Pentru corpurile aflate în echilibru sub acţiunea unor sisteme de forţe aplicate static ,

variaţia energiei este nulă adică:

∆E = 0 L Le i+ = 0 . (21)

Page 330: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

183

Se cunoaşte că lucrul mecanic Li produs de forţele interioare este egal şi de semn

contrar cu lucrul mecanic produs de eforturile secţionale L Li ef t= − sec . Ca urmare, se obţine:

L Le ef t= sec . (22)

Lucrul mecanic produs de eforturile secţionale, ca urmare a deformării corpului, este

numit energie de deformaţie şi se notează W.

eL W= . (23)

Din punct de vedere matematic relaţia 23 exprimă teorema lui Clapeyron care se enunţă

astfel: Dacă un corp elastic se găseşte în repaus, lucrul mecanic al forţelor exterioare este

egal cu energia potenţială de deformaţie acumulată în corp.

8.2.3 Lucrul mecanic al forţei exterioare

Sub acţiunea forţei generalizate ce se aplică solidelor elastice apar deformaţii care sunt

proporţionale cu F şi între care există relaţii liniare de forma:

δ = ⋅k F , (24)

unde k este un factor de proporţionalitate.

Dacă solidul este liniar elastic, atunci pe porţiunea liniară a diagramei Hooke, factorul

de proporţionalitate este coeficientul de elasticitate şi este egal cu deformaţia produsă de o

forţă unitară generalizată.

Lucrul mecanic produs prin deplasarea punctului de aplicaţie al forţei generalizate

căreia i se aplică o creştere elementară dF va da naştere unei deplasări generalizate

elementare dδ şi se calculează ca fiind produsul dintre valorile medii ale forţelor pe intervalul

de creştere şi deplasarea elementară produsă:

Pe intervalul ( )F F dF, + avem:

dLF F dF

d=+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2δ sau dF dFddL F d Fd

2 2δ⎛ ⎞= + δ = δ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(25)

Ultimul termen fiind foarte mic, se poate neglija ⇒ =dL Fdδ .

Page 331: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

184

Ţinând seama că între F şi dδ este o relaţie liniară, putem scrie dL kFdF= .

Integrând obţinem:

L kFdFkF FF

= = =∫2

0 2 2δ

.

(26)

Ţinând seama că δ este o deformaţie generalizată, relaţia 26 poate fi particularizată

pentru cazul când avem o forţă propriu – zisă F sau un moment M, Figura 6.

v

F

ϕ

Figura 6. Modele de încărcare cu forţa F şi momentul M.

LFv

=2

, respectiv LM

2.

(27)

8.2.4 Energia potenţială de deformaţie acumulată în corp

Se cunoaşte din capitolul 3 că energia totală acumulată într-un corp elastic este dată de

relaţia:

( )W wdv

v

= ∫ , (28)

în care wE

=σ2

2 pentru cazul când sunt prezente tensiunile normale şi w

E=τ2

2 pentru cazul

când sunt prezente tensiunile tangenţiale.

Energia potenţială de deformaţie în cazul unor solicitări simple se poate calcula cu

relaţiile:

- la tracţiune - compresiune: ( )( )i

2

c

N xW dx

2EA x=∑∫ ;

- la încovoiere: ( )( )i

îz

M xW dx

2EI x=∑∫ ;

Page 332: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

185

- la torsiune: ( )( )i

2t

tp,t

M xW dx

2GI x=∑∫ ;

- la forfecare ( )( )i

2

t

aT xW dx

2GA x=∑∫ ,

în care a =coeficientul ce ţine seama de distribuţia tensiunii de forfecare, coeficientul

Juravski, ( a 10 9= - secţiune circulară plană, a 6 5= - secţiune dreptunghiulară).

Energia totală este suma energiilor parţiale prezentate mai sus atunci când corpul ar

suferi o solicitare complexă de tracţiune, compresiune, torsiune şi forfecare,

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )i i i i

2 2 2 2î t

z p,t

N x M x M x aT xW dx dx dx dx

2EA x 2EI x 2GI x 2GA x= + + +∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ .

(29)

Se mai poate adăuga energia dintr-un plan şi celălalt, atunci când T sau M acţionează în

câte 2 plane. În calculele practice se ţine seama că energia acumulată prin forţele tăietoare

sau axiale este foarte mică în raport cu energia acumulată prin momentul de torsiune sau forţa

tăietoare.

8.2.5 Folosirea principiului conservării energiei la calculul deformaţiilor

Vom utiliza teorema lui Clapeyron, L=W sau 2W Fδ = pentru următoarele solicitări,

Tabelul 2

Tabelul 2. Calculul deformaţiilor prin utilizarea principiului conservării energiei

Denumire Model de calcul Relaţii de calcul Bara solicită la întindere

NEA

2NW2EA

= , 2WF

δ = ,

2W NN EA

∆ = =

Bară solicitată la răsucire de secţiune circulară

MtpGI

2t

p

MW2GI

= , t

2WM

δ = ,

t

t p

M2WM GI

ϕ = =

Bară supusă la încovoiere

ϕ

2 2

z z0

M (x) MW dx2EI 2EI

= =∫ ,

z

2W MM EI

ϕ = =

Page 333: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

186

8.2.6 Teorema lui Castigliano

Se consideră un sistem elastic asupra căruia acţionează un sistem de forţe

generalizate F F F Fn1 2 3, , … cărora le corespund pe direcţia şi în dreptul lor deformaţii

generalizate:δ δ δ δ1 2 3, , … n .

Aceste forţe efectuează un lucru mecanic al forţei exterioare care se înmagazinează în

sistem sub formă de energie potenţială de deformaţie W. Să considerăm că asupra corpului

acţionează două stării succesive de încărcare.

Prima stare de încărcare este reprezentată de forţele iF , i 1, n= , sub acţiunea cărora

energia acumulată de corp este W.

A doua stare de încărcare se consideră ca fiind creşterea unei forţe cu idF , care produce

o variaţie a energiei de deformaţie egală cu ii

W dFF

∂∂

.

Energia de deformaţie totală va fi:

t ii

WW W dFF

∂= +

(30)

Se aplică cele două stări de încărcare în ordine inversă. Energia de deformaţie datorită

creşterii idF , aplicată iniţial este i idFd2δ , unde idδ este deformaţia produsă pe direcţia forţei

idF . Celelalte forţe iF , i 1, n= , care se aplică ulterior vor produce o energie i iW dF+ δ .

Energia totală acumulată în solidul elastic va fi:

i i

t i idFdW W dF

= + δ +

(31) Cele două energii obţinute in cele două cazuri de aplicare a sistemelor de forţe sunt

egale. Prin egalarea relaţiilor 30 şi 31, se obţine:

i i

i i ii

dFdWW dF W dFF 2

δ∂+ = + δ +∂

,

(32)

neglijând infinitul mic de ordin superior şi efectuând calculele, rezultă:

ii

WF

∂δ =

∂.

(33)

Page 334: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

187

Relaţia 33 este cunoscută în literatura de specialitate sub denumirea de teorema lui

Castigliano, cu următorul enunţ: deplasarea în dreptul şi pe direcţia unei forţe generalizate

exterioare este egală cu derivata parţială a energiei totale de deformaţie a unui solid elastic

în raport cu forţa generalizată considerată.

Precizare

Pentru calculul deplasării într-un punct unde nu este aplicată o forţă generalizată

exterioară, se introduce o forţă fictivă 0F . După efectuarea derivatei parţiale, în expresia

deplasării δ , se consideră 0F 0= .

Dacă, sistemul are forţe exterioare identice dar aplicate în puncte diferite, în calcul este

necesar să se facă o notaţie distinctă pentru forţa unde se doreşte a se afla deplasarea. După

calcule se revine la notaţia iniţială.

8.2.7 Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda Mohr-Maxwell

Într-o secţiune curentă a unei bare drepte, solicită la încovoiere, momentul încovoietor

se poate exprima sub forma:

iM(x) m(x)F k= + , (34)

unde primul termen reprezintă contribuţia forţei iF , iar cel de al doilea termen arată

contribuţia celorlalte sarcini aplicate. Dacă se calculeazeă derivata în raport cu iF ,

i

M(x) mF

∂=

(35)

Conform teoremei lui Castigliano, la o bară cu secţiune constantă, deplasarea

generalizată pe direcţia unei forţe iF este:

liz

W M(x) M(x) dxF F EI

∂ ∂δ = =

∂ ∂∑∫

(36)

Înlocuind relaţia 35 în 36, rezultă:

liz

M(x)m(x) dxEI

δ =∑∫

(37)

Page 335: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

188

Această relaţie este cunoscută sub denumirea de teorema Mohr-Maxwell.

Dacă iF 1= şi k 0= , rezultă M(x) m(x)= şi deci m(x) reprezintă momentul

încovoietor într-o secţiune a unui sistem care are aceeaşi rezemare ca şi sistemul iniţial, dar

este solicitat de o singură forţă egală cu unitatea, aplicată în punctul şi pe direcţia pe care se

calculează deformaţia.

8.2.8 Regula de integrare a lui Vereşceaghin

Rezolvarea integralei din relaţia lui Mohr-Maxwell se poate face grafo-analitic prin

procedeul lui Vereşceaghin.

Plecăm de la relaţia lui Mhor-Maxwell pentru calculul deformaţiilor. În relaţia 32

intervine întotdeauna o funcţie oarecare M(x) f (x)= şi o funcţie liniară de forma

m(x) ax b= + .

Dacă înlocuim aceste funcţii în relaţia 32 se obţine:

z z z

1 1 1m(x)M(x)dx f (x)(ax b)dx a xf (x)dx b f (x)dxEI EI EI

⎡ ⎤δ = = + = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ,

(38)

în care f (x)dx A=∫ este suprafaţa diagramei de momente încovoietoare M a încărcării cu

sarcini reale, iar xf (x)dx Ae=∫ reprezintă momentul static al suprafeţei diagramei de

momente M în raport cu ax Oy.

Prin efectuarea calculelor rezultă:

( ) i ciz

1 A(ae b) A yEI

δ = + = ,

(39)

unde ciae b y+ = este mărimea ordonatei în diagrama unitară m(x)

Pentru cazul general se poate scrie:

i ciliz z

M(x) 1m(x) dx A yEI EI

δ = =∑ ∑∫ ,

(40)

unde:

iA - reprezintă aria diagramei de momente încovoietoare M;

Page 336: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

189

ciY - reprezintă ordonata de pe diagrama m a forţei unitare, iF 1= , măsurată în dreptul

centrului de greutate al suprafeţei diagramei M.

Se precizează că această metodă se poate aplica numai la bare drepte, la care diagrama

m este liniară. Dacă diagrama m are porţiuni cu înclinări diferite, relaţia se poate aplica pe

intervale cu pantă constantă.

Aplicaţii

1. Fie sistemul din Figura 7, se cere să se determine săgeata în capătul liber al

consolei. Bara se consideră că are rigiditate constantă, zEI .

F

v

a

AB

AVBV

1x 2x

Figura 7. Bară simplu rezemată cu o consolă la un capăt

Soluţie: Evident bara este solicitată numai la încovoiere şi neglijăm efectul forţei

tăietoare.

Reacţiunile sistemului sunt: AFaV = − , B

F( a)V += .

Pentru rezolvare aplicăm teorema lui Castigliano,

liz

W M(x) M(x)v dxF F EI

∂ ∂δ = = =

∂ ∂∑∫ ,

(41)

Sistemul este format din două zone, ca urmare relaţia 35 devine:

a1 1 2 2

1 2z z0 0

M(x ) M(x ) M(x ) M(x )v dx dxF EI F EI

∂ ∂= +

∂ ∂∫ ∫ ,

(42)

unde 1 A 1 1FaM(x ) V x x= = − şi 2 2M(x ) Fx= .

Page 337: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

190

Prin efectuarea calculelor, obţinem:

a2 2

21 2

z z0 0

F a Fa ( a)v xdx x dxEI 3EI

⎡ ⎤ += + =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

(43)

2. Să se calculeze săgeata şi rotirea în punctul B la modelul din Figura 8, utilizând

teorema lui Castigliano.

A

q M

B

Figura 8. Bară în consolă încărcată cu sarcină distribuită uniform q şi

un moment concentrat pe capătul liber, M

Soluţie. Evident în punctul B nu este forţa concentrată, există numai moment

încovoietor. Pentru calculul săgeţii este necesar să se introducă o forţă fictivă 0F ; Figura 9.

A

q

B

0F

Mx

Figura 9. Încărcarea modelului real cu forţă fictivă, 0F

Relaţiile de calcul devin:

0 z0

M(x) M(x)v dxF EI

∂=

∂∫ , z0

M(x) M(x) dxM EI

∂ϕ =

∂∫ ,

(44)

în care 2

0qxM(x) F x M2

= − − − , iar după efectuarea derivatei devine 2qxM(x) M

2= − − .

Page 338: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

191

Prin integrare se obţin rezultatele:

2 2 4

z z0

qx 1 1 M qv x M dx2 EI EI 2 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ;

2 3

z z0

qx 1 1 q1 M dx M2 EI EI 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = − − − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .

(45)

3. Să se calculeze săgeta şi înclinarea pentru modelul din Figura 10, utilizând

metoda Mhor-Maxwell. Bara cotită se consideră cu rigiditate constantă.

zEI const.=

ay

x

y

x0M 1=

y

xq0F 1=

a b c

Figura 10. Bară cotită încărcată cu sarcină uniform distribuită, q

Soluţie: Se calculează momentul încovoietor M pe cele două elemente de bară de

lungime a şi , pe modelul real Figura 10a,

2qxM(x)2

= − şi 2qaM(y)

2= − .

(46)

Pentru calculul săgeţii din capătul liber, se calculează momentul unitar m, utilizând

modelul din Figura 10b, în care s-a introdus o forţă 0F 1= ,

0m(x) F x x= − = − şi 0m(y) F a a= − = − . (47)

Page 339: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

192

Relaţia 37 se particularizează astfel:

a

z 0 0

1v m(x)M(x)dx m(y)M(y)dyEI

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ .

(48)

Prin înlocuire rezultă:

a 3 3 3

z z0 0

1 qx qa qa av dx dyEI 2 2 2EI 4

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ .

(49)

Pentru calculul înclinării din capătul liber, se calculează momentul unitar m, utilizând

modelul din Figura 10c, în care s-a introdus un moment concentrat 0M 1= ,

0m(x) M 1= − = − şi 0m(y) M 1= − = − (50)

Particularizarea relaţie 49 este asemănătoare, doar că diferă m(x). In final se obţine:

a 2 2 2

z z0 0

1 qx qa qa a dx dyEI 2 2 2EI 3

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ϕ = + = +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ .

(51)

4. Să se calculeze săgeata în capătul liber al modelului din Figură 11, utilizând

procedeul Vereşceaghin.

Soluţie: Aplicăm relaţia lui Vereşceaghin,

i ciz

1 A yEI

δ =∑

(52)

Evident sistemul în consolă are două câmpuri, dar la primul câmp momentul încovoietor

M, este nul. În final se obţine:

2 3

cz z z

1 1 F 2 5Fv AyEI EI 2 3 6EI

⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(53)

Page 340: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

193

F zEI const.=

A B

M

-

0F 1=

-

F−

2−m

cy

A

2 / 3

Figura 11. Bară în consolă, încărcată cu o forţă concentrată, F

Pentru calculul înclinării se procedează similar, dar este evident că cy 1= , deoarece m

este constant.

Înclinarea în capătul liber va fi:

2 2

cz z z

1 1 F FAy 1EI EI 2 2EI

ϕ = = ⋅ = .

(54)

Page 341: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 9

SOLICITĂRI COMPUSE

9.1. IPOTEZE DE ATINGERE A STĂRILOR LIMITĂ

Prin conceptul de stare limită a unui element mecanic se înţelege acea stare de tensiune

care corespunde fie începerii curgerii sau ruperii materialului din care este fabricat corpul, fie

începerii unui proces fizic care este considerat inadmisibil, cum ar fi de exemplu deformaţia

plastică. Starea de tensiune din vecinătatea unui punct este caracterizată simultan de mai

multe componente ale tensorului tensiune, aşa încât este foarte dificil de precizat momentul

apariţiei stării limită.

În funcţie de valorile sarcinilor aplicate elementelor, materialul se poate găsi în diferite

stări mecanice: stare elastică, stare plastică, stare de rupere. Aceste stări sunt determinate în

principal de starea de tensiune din vecinătatea punctului considerat şi reprezintă stări de

referinţă în activitatea inginerească.

În calculele de proiectare se urmăreşte să se determine starea de tensiune din punctul cel

mai solicitat. Dacă această stare de tensiune conduce la variaţia cantitativă a proprietăţilor

materialului, astfel încât acesta trece dintr-o stare mecanică în alta, ea se numeşte stare limită.

Prin stare limită se poate înţelege: limita de proporţionalitate, limita de curgere şi limita

de rupere. Prin urmare, starea limită poate fi considerată un criteriu de apreciere a

proprietăţilor de rezistenţă ale structurilor.

Problema stabilirii condiţiilor în care o stare de tensiuni oarecare devine limită, se poate

simplifica dacă se acceptă echivalarea stării de tensiune date cu o stare de tensiune

monoaxială (simplă).

Starea echivalentă monoaxială se construieşte pe baza unor ipoteze referitoare la

egalitatea unor mărimi caracteristice celor două stări de tensiune. Astfel, drept mărimi de

echivalenţă între cele două stări de tensiune se folosesc:

1. tensiunea normală principală maximă;

2. alungirea specifică principală maximă;

3. tensiunea tangenţială principală maximă;

4 energia specifică modificatoare de formă;

Page 342: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

195

Acestor patru mărimi le corespund patru ipoteze de atingere a stării limită. Punând

condiţia ca una din aceste mărimi să aibă aceeaşi valoare atât pentru starea de tensiuni dată,

cât şi pentru starea echivalentă, se obţin relaţiile de calcul pentru tensiunea echivalentă, notată

cu echivalent echivσ = σ , care înlocuieşte starea dată de tensiune.

Fenomenul limită se atinge când echiv limσ = σ ; ca urmare, condiţia de rezistenţă este de

forma:

limechiv a c

σσ ≤ σ = ,

(1)

în care c este coeficientul de siguranţă.

Ipoteza tensiunii normale principale maxime

Conform acestei ipoteze, starea monoaxială echivalentă de tensiune are aceeaşi valoare

cu tensiunea normală principală maximă σ1 .

O stare spaţială de tensiune definită prin 1 2 3σ > σ > σ , tensiunea normală principală

maximă σ1 este egală cu tensiunea echivalentă monoaxială.

limechiv 1 a c

σσ = σ ≤ σ = .

(2)

În cazul când starea de tensiune este plană, rezultă:

( )σσ σ

σ σ τ1 2

22

212

4, =+

± − +x y

x y xy ,

în care

( )σσ σ

σ σ τ1

22

212

4=+

+ − +x y

x y xy .

(3)

În cazul stării plane de tensiune se pot întâlni cazuri particulare când: σ y = 0 , x ;σ = σ

şi xyτ = τ , ca urmare, relaţia 2 devine:

2 2 limechiv a

1 42 2 c

σσσ = + σ + τ ≤ σ = .

(4)

Page 343: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

196

Această ipoteză este cea mai simplă, deoarece starea de tensiune este înlocuită printr-o

singură componentă, celelalte neglijându-se. Ipoteza nu este verificată în practică, ea

folosindu-se doar în unele aplicaţii particulare.

Ipoteza alungirii specifice principale maxime

Conform acestei ipoteze starea dată de tensiuni şi cea echivalentă au aceeaşi alungire

maximă. Pentru starea spaţială definită prin 1 2 3ε > ε > ε , alungirea echivalentă conform legii

lui Hooke este:

echiv1 echiv E

σε = ε = ,

(5)

unde ( )1 1 2 31E⎡ ⎤ε = σ −ν σ +σ⎣ ⎦ şi rezultă:

( ) limechiv 1 2 3 a c

σσ = σ −ν σ +σ ≤ σ = .

(6)

Evident că în relaţia 6, apar toate componentele stării principale de tensiune.

Pentru starea plană de tensiuni, tensiunea normală σ3 0= şi relaţia 6 devine:

( )2x y 2 limechiv 1 2 x y xy a

(1 ) 1 42 2 c

−ν σ +σ σ+νσ = σ −νσ = + σ −σ + τ ≤ σ = .

(7)

Pentru cazul când y 0σ = , xσ = σ , xyτ = τ şi 0,3ν =

2 2 limechiv a

(1 ) 1 42 2 c

σ−ν σ + νσ = + σ + τ ≤ σ = ;

sau 2 2 lim

echiv echiv0,35 0,65 4cσ

σ = σ+ σ + τ σ ≤ .

(8)

Ipoteza tensiunii tangenţiale maxime

Conform acestei ipoteze tensiunea tangenţială maximă 1τ este egală cu tensiunea

tangenţială maximă de la starea monoaxială τmax , adică:

Page 344: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

197

1 31 2

σ −στ = şi echiv

max 2σ

τ = ;

sau echiv 1 3

2 2σ σ −σ

= sau limechiv 1 3 a c

σσ = σ −σ ≤ σ = .

(9)

Această ipoteză este cunoscută în literatura de specialitate şi sub numele de criteriul lui

Tresca sau T şi a fost formulat în anul 1864. Evident, un asemenea criteriu face abstracţie de

influenţa tensiunii mijlocii, 2σ .

În cazul stării plane de tensiune se obţine:

( )2 2 limechiv 1 2 x y xy a4

σ = σ −σ = σ −σ + τ ≤ σ = .

(10)

Dacă y 0σ = , xσ = σ şi xyτ = τ , relaţia 10 devine:

2 2 limechiv a4

σ = σ + τ ≤ σ = .

(11)

Această relaţie simplă dă rezultate bune în proiectare.

Ipoteza energiei modificatoare de formă

Conform acestei ipoteze energia specifică totală a stării de tensiune este egală cu

energia specifică de deformaţie de la starea de tensiune monoaxială echivalentă.

Pornind de la ideea că deformarea unui solid înseamnă modificarea formei, s-a încercat

dacă nu se poate utiliza numai energia modificatoare de formă. Pentru o stare spaţială

principală de tensiuni σ σ σ1 2 3, , , energia modificatoare de formă este:

( ) ( ) ( )[ ]WEf =+

− + − + −16 1 2

2

2 3

2

3 1

2νσ σ σ σ σ σ .

(12)

Pentru o stare monoaxială: 2 3 0σ = σ = şi 2echiv echiv

1W 26E+ ν

= σ ,

f fechivW W= ⇒ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 3 3 1 echiv2σ −σ + σ −σ + σ −σ = σ . (13)

Page 345: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

198

Ca urmare, criteriul de rezisenţă devine:

( ) ( ) ( )2 2 2 limechiv 1 2 2 3 3 1 a

12 c

σσ = σ −σ + σ −σ + σ −σ ≤ σ = .

(14)

Această ipoteză a fost propusă de M.T. Huber în anul 1904, de R. von Mises în 1913 şi

de H. Hencky în 1924 şi este cunoscută în literatura de specialitate, sub denumirea de criteriul

Huber-Hencky-Mises sau în forma abreviată HMH,

În cazul stării plane când σ3 0= , rezultă:

2 2 limechiv 1 2 1 2 a c

σσ = σ +σ −σ σ ≤ σ = ;

sau 2 2 2 lim

echi x y x y xy a3cσ

σ = σ +σ −σ σ + τ ≤ σ = .

(15)

Pentru y 0σ = , xσ = σ , xyτ = τ .

σ σ τσ

echiv c= + ≤2 23 lim .

(16)

În calcule de proiectare se folosesc ultimele două ipoteze, celelalte având aplicabilitate

limitată la unele situaţii concrete.

Dacă considerăm ultimele două relaţii obţinute pe o stare simplă de tensiune

caracterizată de tensiunea normală σ şi tensiunea tangenţială τ , condiţiile de atingere a stării

limită devin:

σ τ σ2 2 24+ = echiv ; σ τ σ2 2 23+ = echiv . (17)

Relaţiile 16 pot fi puse sub forma:

2

echiv echiv

12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ τ+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 2

echiv echiv

13

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ τ+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

(18)

care reprezintă ecuaţiile unor elipse în coordonatele σ şi τ .

Page 346: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

199

9.2. TIPURI DE SOLICITĂRI COMPUSE

Am văzut că solicitările simple se împart în două mari grupe:

* solicitări care produc tensiuni normale σ (întinderea, compresiunea, încovoierea pură);

* solicitări care produc tensiuni tangenţiale τ (răsucirea, forfecarea)

Solicitarea compusă are loc atunci când două sau mai multe solicitări simple acţionează

simultan în aceeaşi secţiune.

Există posibilitatea ca solicitarea compusă să includă:

1. solicitările simple cu tensiuni de acelaşi fel, fie σ sau τ ;

2. solicitări simple cu tensiuni normale σ şi tensiuni tangenţiale τ .

În primul caz, tensiunea totală este suma algebrică a tensiunilor solicitărilor simple. În

al doilea caz, se procedează la calcularea tensiunii echivalente folosind una din ipotezele stării

de atingere a stării limită.

În concluzie, solicitarea spaţială este acea solicitare în care sunt prezente toate

elementele tensorului tensiune, iar în cazul solicitării plane sunt prezente numai o parte din

elementele tensorului tensiune.

9.2.1 Tracţiune sau compresiune excentrică

În diverse aplicaţii tehnice se întâlnesc situaţii când elementele unei structuri mecanice

sunt supuse la compresiune sau întindere, dar forţa nu este dirijată pe direcţia axei corpului ci

este plasată într-un anumit punct ce nu coincide cu centrul de greutate al secţiunii

transversale. O astfel de solicitare este cunoscută în literatura de specialitate sub denumirea de

tracţiune sau compresiune excentrică, dup cum efectul forţei este pozitiv sau negativ.

Se consideră că o forţă F este aplicată în punctul M de coordonate 0 0M(y , z )− , paralelă

cu axa de simetrie a corpului, Figura 1. Această forţă este caracterizată faţă de sistemul de

referinţă, Oxyz, aplicat în centrul de greutate al secţiunii prin vectorul de poziţie,

0 0r y j z k= − . (19)

Relaţiile de calcul întâlnite la solicitarea de tracţiune sau compresiune nu mai sunt

valabile. Ca urmare, aplicarea excentrică a forţei dă naştere la un torsor care include o forţă

rezultantă şi la un moment calculat în raport cu centrul de greutate al secţiunii. Elementele

torsorului pot fi calculate cu relaţia:

Page 347: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

200

F

R FT

M r F

⎧ =⎪= ⎨= ×⎪⎩

,

(20)

unde:

0 0 0 0

i j kM 0 y z Fz j Fy k

F 0 0= − = − − .

x

y

z

F

0 0M(y , z )−+

axaneutră

AB

C

D

0 r-

Figura 1. Schema de calcul la compresiune excentrică

Făcând analogia cu relaţia y zM M j M k= + , rezultă componentele scalare ale

momentului:

y 0

z 0

M Fz

M Fy

= −⎧⎪⎨

= −⎪⎩.

(21)

Analizând efectele componentelor scalare ale torsorului asupra corpului dat, este

evident că fiecare dintre ele produc solicitările:

1. Forţa F provoacă compresiunea definită de tensiunea ′ =−

σF

A;

2. Momentul M y provoacă încovoierea pe direcţia y ca urmare, apare tensiunea

y

y

Mz

I′′σ = , conform relaţiei lui Navier;

Page 348: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

201

3. Momentul M z provoacă încovoierea pe direcţia z, ca urmare apare o tensiune

′′′ =σMI

yz

z, calculată tot cu relaţia lui Navier.

Deoarece tensiunile care apar într-un punct oarecare, (z, y), a corpului considerat sunt

de acest fel, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor, adică se pot aduna algebric,

σ σ σ σ= ′ + ′′ + ′′′ = − + +FA

MI

zMI

yy

y

z

z;

sau

0 0 0 0 0 02 2

y z y z y z

Fz Fy z z y y z z y yF F Fz y 1 A A 1A I I A I I A i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − − − = − + + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

(22)

în care 2y yi I A= şi 2

z zi I A= reprezintă razele de inerţie sau de giraţie corespunzătoare,

Analizând ecuaţia 22 este evident că tensiunea rezultantă σ are o variaţie liniară pe

secţiune pentru că ′′σ şi ′′′σ au variaţie liniară, iar F A′σ = − este o tensiune constantă.

Tensiunea normală σ se anulează într-un punct care se găseşte pe o axă numită axă

neutră. Ca urmare, ecuaţia 22 devine nulă când,

0 02 2y z

z z y y1 0i i

+ + = .

(23)

Relaţia 23 reprezintă ecuaţia axei neutre, adică locul în care tensiunea normală se

anulează, 0σ = . Poziţia acesteia se determină prin intersecţia cu axele sistemului de

coordonate Oyz, rezultând punctele A şi B, Figura 1, astfel:

pentru z = 0 ⇒ 02z

y y1 0i

+ = sau 2z

0

iyy

= − ;

pentru y = 0 ⇒ 02y

z z1 0i

+ = sau ziz

y= −

2

0.

Punctul A are coordonatele, ( )2z 0A i y ,0− , iar punctul B are coordonatele,

( )2y 0B 0, i z− .

Evident, axa neutră trece în cadranul opus celui în care se aplică forţa de compresiune

excentrică F şi împarte secţiunea barei în două zone, una solicitată la întindere şi cealaltă

comprimată, Figura 1.

Page 349: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

202

De-o parte şi de alta a axei neutre, tensiunile variază liniar şi au semne contrare, de

aceea tensiunea maximă se atinge pe contur în punctele cele mai depărtate faţă de această axă.

Se pune problema în ce punct poate fi plasată forţa F, astfel încât întreaga secţiune să fie

solicitată fie la compresiune fie la întindere. Acest lucru s-ar întâmpla dacă axa neutră ar fi

tangentă într-un punct la conturul secţiunii.

Ca urmare, cunoscând poziţia axei neutre, se duc tangente la conturul secţiunii, paralele

cu ea şi se obţin punctele C şi D, Figura 1, unde tensiunea rezultantă σ are valori extreme.

Înlocuind în ecuaţia 23 coordonatele punctelor c cC(y , z ) şi apoi d dD(y , z ) se obţin valorile

cσ respectiv dσ . Tot în Figura 1 este reprezentată variaţia tensiunii normale rezultante pe

secţiunea transversală a barei considerate.

Dacă materialul se comportă identic la tracţiune şi compresiune, atunci condiţia de

rezistenţă poate fi scrisă sub forma:

( ) limc d amax ,

σ σ ≤ σ = .

(24)

Din cele prezentate mai sus rezultă următoarele:

Axa neutră trece prin cadranul opus celui în care se plasează forţa F;

Axa neutră se situează cu atât mai departe de centrul de greutate al secţiunii cu cât forţa

F este mai aproape de aceasta şi invers;

Dacă forţa F se deplasează pe o dreaptă ce trece prin centrul de greutate al secţiunii,

atunci axa neutră se mişcă paralel cu ea însăşi;

Dacă forţa F se deplasează pe o axă principală de inerţie, atunci axa neutră se mişcă

paralel cu cealaltă axă principală de inerţie. În particular dacă forţa este plasată pe axa Oz,

atunci ecuaţia axei neutre este:

02y

z z1 0i

+ = .

(25)

Tensiunea normală se calculează cu relaţia:

02y

zzF 1A i⎡ ⎤

σ = − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(26)

Dacă forţa F solicită bara la întindere atunci semnul minus din relaţia 22 dispare.

Page 350: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

203

Analizând tăieturile axei neutre adică punctele A şi B, se constată că au semne opuse

faţă de y0 , şi z0 , dar şi valori invers proporţionale cu y0 şi z0 . Pe măsură ce 0 0(y , z ) cresc,

coordonatele tăieturilor scad şi în caz particular, când y0 şi z0 tind la infinit, axa neutră trece

prin centrul de greutate al secţiunii; solicitarea barei în acest caz este de încovoiere pură.

Dacă 0y şi z0 tind la 0, atunci punctele A şi B vor fi plasate la infinit şi tensiunea

σ σ= Z , ca urmare, avem de-a face cu tracţiune pură.

Există situaţii practice când forţa F este plasată într-un punct 0 0(y , z ) , încât axa neutră

este tangentă la conturul secţiunii. În acest caz particular, în punctul de tangenţă σ = 0 , iar pe

întreaga secţiune are semn constant. Evident că există mai multe puncte 0 0(y , z ) care

determină ca axa neutră sa fie tangentă la contur. Locul geometric al acestor puncte se

numeşte sâmbure central al secţiunii şi el poate fi determinat în funcţie de configuraţia

acesteia.

Sâmburele central mai poate fi definit şi ca locul geometric în care se poate plasa forţa F

astfel încât tensiunea σ să-şi păstreze semnul constant pe întreaga secţiune.

Dacă forţa se aplică în interiorul sau pe conturul sâmburelui central, axa neutră este în

afara secţiunii sau cel puţin tangentă la ea. În acest caz tensiunea σ păstrează semn constant

pe toată secţiunea. Dacă forţa se aplică în afara sâmburelui central, axa neutră va tăia

secţiunea şi vor apărea tensiuni pozitive de tracţiune şi tensiuni negative de compresiune.

Anumite materiale, utilizate în construcţii, au o rezistenţă redusă la întindere, putând

prelua practic numai tensiuni de compresiune. Astfel de materiale sunt întâlnite în zidăriile de

piatră şi cărămidă, beton ş.a. Un caz special îl constituie terenul de fundaţie, care nu poate

prelua solicitări de întindere. La structurile mecanice în care elementele sunt supuse la

compresiune excentrică, realizate din astfel de materiale apare necesitatea ca tensiunile să fie

negative, cu efect de compresiune pe întreaga secţiune. Aceasta se concretizează practic prin

stabilirea sâmburelui central.

Modul de stabilire analitic a sâmburelui central este prezentat pentru o secţiune

dreptunghiulară de dimensiuni b h× şi circulară de diametru d, Figura 2.

Secţiunea dreptunghiulară are sâmburele central un romb cu dimensiunile,

3

2z

b

bh2i h12yh 2 h bh 6

= = =− ⋅

.

(27)

Page 351: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

204

Secţiunea circulară de diametru d, are ca sâmbure central un cerc de rază r d= 8 ,

4

2z

b 2

d2i d64r d d 8d2 4

π

= = =π−

.

(28)

hd

b

h 6

b 6

d 4

Figura 2. Forma sâmburelui central pentru secţiune dreptunghiulară şi circulară

Remarcă: Solicitarea de compresiune induce simultan în solidul deformabil solicitări

de întindere sau compresiune precum şi încovoiere în două plane. Fizic, reprezintă o

solicitare compusă cu tensiuni de acelaşi fel.

9.2.2 Alte tipuri de solicitări compuse

În Tabelul 1 se prezintă câteva tipuri de solicitări compuse întâlnite în aplicaţii practice. Tabelul 1. Tipuri de solicitări compuse

Tipul solicitării Relaţii de calcul Specificaţii Solicitarea de tracţiune şi încovoiere pură

max max limmax a

z

N MA W c

σσ = + ≤ σ =

Însumare algebrică, tensiuni de acelaşi fel

Solicitarea de forfecare şi torsiune τ τ

τmax

max max lim= + ≤ =TA

MW c

t

pta

Însumare algebrică, tensiuni de acelaşi fel

Solicitarea la întindere şi răsucire

22t lim

echiv ap,t

MN 4A W c

⎛ ⎞ σ⎛ ⎞σ = + ≤ σ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S-a utilizat ipoteza lui Tresca; secţiune oarecare

Solicitarea de încovoiere şi răsucire

22ti lim

echiv a2 2z p

MM 4W W c

σσ = + ≤ σ =

S-a utilizat ipoteza lui Tresca şi s-a acceptat o secţiune circulară de diametru d

Solicitarea de forfecare şi compresiune

2 2lim

echiv aN T4A A c

σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + ≤ σ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S-a utilizat ipoteza lui Tresca

Page 352: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 10

STABILITATEA ELASTICĂ - FLAMBAJUL

10.1. INTRODUCERE

La forţe prea mari un corp solicitat îşi poate schimba brusc forma. Dacă după

înlăturarea forţelor exterioare nu revine la configuraţia de referinţă, având o nouă formă de

echilibru, se spune că şi-a pierdut stabilitatea elastică. Cât timp nu îşi pierde acest echilibru se

spune că solidul are stabilitate elastică.

Fenomenul de pierdere bruscă a formei de echilibru a unui corp se numeşte flambaj.

Flambajul apare atunci când forţa, care acţionează asupra corpului depăşeşte o valoare limită

numită forţă critică de flambaj. Această forţă depinde de forma, de dimensiunile corpului şi

de modul de rezemare şi aplicare a sarcinilor.

Atingerea forţei critice de flambaj reprezintă o stare periculoasă pentru un element sau

structura mecanică, ca efect poate fi distrusă structura mecanică sau elementul.

Dacă tensiunile din material care apar în timpul flambajului rămân în domeniul elastic

– spunem că avem flambaj elastic - după îndepărtarea forţelor exterioare elementul mecanic

revine la configuraţia de referinţă.

Dacă tensiunile din material depăşesc limita elastică, iar după îndepărtarea forţelor

exterioare corpul revine parţial la configuraţia iniţială sau rămâne în stare deformată, avem de

a face cu un flambaj elasto-plastic.

Ambele situaţii trebuie evitate deoarece duc la pierderea capacităţii de îndepliniri a

rolului funcţional al elementului sau structurii mecanice. Pentru a asigura stabilitatea elastică

proiectantul trebuie să calculeze forţa critică de flambaj şi să asigure îndeplinirea condiţiei:

FFccritic

fmax ≤ ,

(1)

unde [ ]cf = 3 28... - coeficient de stabilitate la flambaj, care se alege funcţie de importanţa

elementului sau a structurii mecanice.

Page 353: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

206

Cercetările experimentale au pus în evidenţă că fenomenul de trecere a unui corp din

starea de echilibru stabil în cea de echilibru nestabil depinde de structura materialului şi

implicit duce la apariţia unei excentricităţi a forţei faţă de centrele de greutate a secţiunilor în

lungul corpului.

10.2. FLAMBAJUL ÎN DOMENIUL ELASTIC

Flambajul în domeniul elastic a fost studiat de Euler, care a determinat valoarea forţei

critice de flambaj. Pentru deducerea formulei lui Euler, se consideră o bară dreaptă, articulată

la ambele capete, solicitată la compresiunea de forţa F, care creşte lent de la 0 la o valoare

critică, criticF , Figura 1.

F F

y

xx

v

ll

Figura 1. Model de calcul la flambaj în domeniul elastic

Când forţa F atinge valoarea critică, bara îşi pierde stabilitatea elastică şi ocupă poziţia

curbată din Figura 1. Dacă se consideră o secţiune la distanţa x, un punct plasat pe fibra

medie deformată suferă o deplasare v. Evident bara astfel deformată este supusă la

compresiune excentrică, deci este solicitată la încovoiere şi compresiune. Dacă se ia în

considerare solicitarea de încovoiere, atunci se poate scrie ecuaţia diferenţială a fibrei medii

deformate:

2

2z

d v M(x)dx EI

= − ,

(2)

unde M(x) Fv= .

Ca urmare, ecuaţia 2 devine:

Page 354: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

207

2

2z

d v Fvdx EI

= − sau 2

2z

d v Fv 0dx EI

+ =

(3)

Se notează cu 2

z

FEI

α = şi ecuaţia 3 capătă forma:

22

2

d v v 0dx

+α = .

(4)

Aceasta este o ecuaţie diferenţială care are coeficienţi constanţi şi a cărei soluţie

generală este de forma:

v Asin( x) Bcos( x)= α + α , (5)

în care constantele A şi B trebuie determinate analizând modul de rezemare a modelului din

Figura 1, astfel:

pentru x 0, v 0= ⇒ = ;

pentru x , v 0= ⇒ = .

Rezultă sistemul de ecuaţii:

Asin(0) Bcos(0) 0Asin( ) Bcos( ) 0

+ =⎧⎨ α + α =⎩

.

(6)

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii 6 se obţin constantele A şi B,

B 0= şi Asin( ) 0α = . (7)

Se pot întâlni trei situaţii care satisfac această ecuaţie:

1. Situaţia A 0= ar rezulta v 0= , deci elementul nu flambează, ceea ce este contrar

formulării problemei;

2. Situaţia 0α = , care înlocuită în notaţia făcută implică F 0= , ceea ce nu corespunde

datelor iniţiale din problemă, deoarece criticF F= ;

3. Situaţia sin( ) 0α = şi A 0≠ , 0α ≠ cu soluţia:

kα = π sau κπα = .

(8

Page 355: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

208

Ţinând seama de notaţia făcută, rezultă relaţia:

2 2

zcritic 2

k EIF π= .

(9)

Formele fibrei medii deformate corespunzătoare acestor forţe critice se obţin înlocuind

kπα = , în expresia 4, a săgeţii v,

kv Asin xπ= , k 1,n=

(10)

Pentru valorile k 1= , k 2= şi k 3= s-au reprezentat în Tabelul 1 formele fibrei medii

deformate, care sunt de formă sinusoidală. Forma din Figura 1 se produce în mod natural, ea

corespunde sarcinii critice celei mai mici, pentru k 1= , respectiv,

2

zcritic 2

EIF π= .

(11)

Tabelul 1. Forme ale fibrei medii deformate prin pierderea stabilităţii elastice

Valorile lui k

Forma fibrei Forma constructivă

k=1

k=2

2 2

F F

2 2

k=3

3 3 3

F F

3 3 3

F F

Page 356: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

209

Teoretic o bară poate flamba pe orice direcţie cum este cazul secţiunii circulare, inelare

sau pătrată. Dacă o bară are momente de inerţie diferite pe diverse direcţii, flambajul se va

produce pe direcţia cu moment de inerţie minim, ca urmare expresia forţei critice de flambaj

poate fi scrisă sub forma:

2min

critic 2f

E IF π= ,

(12)

unde:

( )min y yI min I , I= ;

f k= , se numeşte lungime de flambaj şi poate fi definită ca distanţa dintre două

puncte de inflexiune succesive ale fibrei medii deformate a elementului mecanic.

Relaţia 12 reprezintă formula lui Euler pentru cazul fundamental de flambaj, prezentat

în Figura 1.

Celelalte soluţii ale ecuaţiei trigonometrice din care s-a determinat coeficientul α ,

reprezintă valori succesive ale forţei critice de flambaj, superioare celei date de formula 11.

Ca exemplu se consideră soluţia a doua 2α = π , care dă o forţă critică de 4 ori mai mare

decât cea precedentă. Această forţă prezintă doar interes teoretic, deoarece prima forţă critică

de flambaj este cea minimă la care elementul flambează sau poate fi distrus.

În aplicaţii practice se întâlnesc patru cazuri fundamentale de flambaj, solicitate prin

forţe aplicate la capete, care diferă între ele numai prin modul de rezemare. Euler a dedus

valoarea forţei critice de flambaj pentru cele patru moduri. Expresiile matematice ale forţei

critice de flambaj diferă prin valoarea lungimii de flambaj, f .

În calcule obişnuite de flambaj se admite încadrarea situaţiei concrete în unul din

următoarele modele fundamentale sau combinaţii ale acestora, evidenţiate în Tabelul 2.

10.3. DOMENIUL DE VALABILITATE AL RELAŢIEI LUI EULER

Forţa critică de flambaj produce în secţiunea transversală a barei comprimate o

tensiune critică de flambaj care se poate determina cu relaţia:

criticf

FA

σ = ,

(13)

unde A este aria secţiunii transversale.

Page 357: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

210

Tabelul 2. Modurile fundamentale de flambaj

Înlocuind în relaţia 13 expresia forţei critice de flambaj dată de relaţia 12, se obţine:

2min

f 2f

EIA

πσ = .

(14)

Dacă se exprimă raza de inerţie funcţie de momentul de inerţie al secţiunii: 2min mini I A= , rezultă:

2 2 2 2

minf 22 2

f f

min

Ei E E

i

π π πσ = = =

λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(15)

În această relaţie s-a notat cu λ raportul dintre lungimea de flambaj şi raza de inerţie a

secţiunii transversale,

f

miniλ = .

(16)

Moduri fundamentale

Modul I Modul II Modul III Modul IV

Schema de calcul

F

F

f

F

Ff

F

f

F

F

f

F

Lungimea de flambaj

f =

f 2= f2 0,7

2= = f

1 0,52

= =

Page 358: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

211

Acest raport este cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de coeficient de

zvelteţe, de subţirime sau de flambaj.

Relaţia 16 poate fi reprezentată grafic funcţie de λ , Figura 2 şi este numită hiperbola lui

Euler.

λ

oλ1λ

domeniul elastic

elasto-plastic

f f ( )σ = λ , hiperbola lui Euler

Figura 2. Limitele flambajului

Având în vedere că relaţia lui Euler a fost dedusă din ecuaţia diferenţială a fibrei medii

deformate, care are la bază legea lui Hooke, ea se poate aplica numai dacă tensiunea critică de

flambaj este mai mică decât tensiunea corespunzătoare limitei de proporţionalitate, pσ , adică,

2

f p2

Eπσ = ≤ σ

λ.

(17)

Cu relaţia 17 se poate calcula coeficientul de flambaj oλ , care delimitează domeniul de

valabilitate al relaţiei lui Euler,

2

op

Eπλ =

σ.

(18)

Valoarea lui oλ depinde numai de materialul solidului deformabil.

Page 359: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

212

Formula lui Euler este valabilă pentru valori ale tensiunii fσ situate în domeniul elastic

al curbei caracteristice a materialului. Domeniul hiperbolei pentru care f pσ ≤ σ şi oλ ≤ λ se

numeşte domeniul elastic.

Pierderea stabilităţii se produce şi în cazul când 0λ < λ ,acestui domeniu îi corespunde

flambajul elasto-plastic. În această zonă, relaţia între fσ şi λ a fost stabilită experimental.

Cele mai cunoscute sunt relaţiile Tetmajer-Iasinski, care stabilesc o relaţie liniară, de forma:

f a bσ = − λ , (19)

unde a şi b sunt coeficienţi ce depind de natura materialului.

Relaţia 19 este valabilă pentru valori ale lui fσ mai mici ca limita de curgere cσ , căruia

îi corespunde un coeficient de zvelteţe 1λ , Figura 2. Ca urmare, această relaţie este aplicabilă

pentru domeniul 1 0λ < λ < λ . Valoarea lui 1λ poate fi dedusă din relaţia 19 când f cσ = σ ,

f1

ab−σ

λ = .

(20)

Dacă 10 < λ < λ , se produce curgerea materialului înainte de apariţia flambajului. În

acest caz elementul de bară se calculează la compresiune simplă, conform capitolului 4.

Coeficienţii a, b, oλ şi 1λ pentru câteva materiale uzuale sunt evidenţiaţi în Tabelul 3.

Tabelul 3. Coeficienţi din formula lui Tetmajer- Iasinski

Materialul cσ [MPa] a b oλ 1λ Oţel OL37 240 304 1,12 105 60 Oţel OL52 440 577 3,74 100 60

Oţel cu 5% Ni 461 2,25 86 0 Duraluminiu 372 2,14 50 0

Lemn 28,7 0,19 100 0 10.4. CALCULUL LA FLAMBAJ AL BARELOR DREPTE

Calculul la flambaj se face urmărind cele trei probleme: dimensionare, verificare şi

determinarea capacităţii portante.

Prin calcul de verificare se determină coeficientul de siguranţă la flambaj, fc . Dacă

acest coeficient este mai mare decât cel prescris, elementul de bară este considerat stabil.

Page 360: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

213

Verificarea la flambaj se face parcurgând următoarea procedură:

1- Se calculează coeficientul de flambaj, λ ;

2- Se compară λ cu oλ ;

3- Dacă oλ ≥ λ , calculul se continuă folosind relaţia lui Euler;

4- Dacă 1 oλ < λ < λ se utilizează relaţia lui Tetmajer-Iasinscki, pentru domeniul

flambajului elasto-plastic;

5- Dacă 1λ < λ elementul de bară se calculează la compresiune.

Problemele de dimensionare la flambaj prezintă unele neajunsuri, deoarece nu se poate

aprecia din fază iniţială domeniul de flambaj în care se va situa bara după dimensionare. Ca

urmare, acest calcul se face după următoarea procedură:

1. Se calculează momentul de inerţie minI , impunând condiţia de stabilitate elastică,

dată de relaţia 1, 2

f fmin 2

FcIE

;

2. Se alege forma secţiunii. Pentru elementele la care există pericol de flambaj se

preferă o secţiune având acelaşi moment de inerţie pe toate direcţiile;

3. Se determină coeficientul de flambaj λ şi se compară cu oλ ;

dacă oλ ≥ λ , relaţia lui Euler a fost aplicată corect, iar dimensiunile secţiunii

calculate pot fi considerate bune;

dacă 1 oλ < λ < λ se verifică dimensiunile obţinute cu relaţiile de calcul din

domeniul flambajului elasto-plastic.

Dacă coeficientul de siguranţă la flambaj este mai mic decât cel prescris, atunci se

măresc dimensiunile secţiunii transversale şi se face calculul de verificare până când este

îndeplinită condiţia: efectiv fc (1 0,1)c= ± .

Determinarea capacităţii portante, se face după procedura:

- Se calculează valoarea coeficientului de flambaj λ şi se compară cu oλ ;

- Dacă oλ ≥ λ , calculul se face prin utilizarea formulei lui Euler;

- Dacă 1 oλ < λ < λ se calculează fσ cu relaţiile din domeniul plastic, apoi forţa F cu

formula, f fF A c= σ

- Dacă 1λ < λ se calculează forţa F din condiţia de rezistenţă la compresiune.

Page 361: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

214

Calculul la flambaj prin metoda coeficientului ϕ

În rezolvarea problemelor de flambaj apar dificultăţi cu privire la domeniul de

aplicabilitate, elastic sau plastic. Ca urmare, s-a recurs la o metodă care utilizează grafice sau

tabele, numită metoda coeficienţilor de flambaj ϕ . Cu această metodă calculul la flambaj se

transformă într-un calcul la compresiune simplă. Raţionamentul acestui calcul este următorul:

Dacă tensiunea de flambaj şi coeficientul de siguranţă sunt funcţii de λ , rezultă că şi

tensiunea admisibilă la flambaj depinde deλ ,

faf

f

f ( )cσ

σ = = λ .

(21)

Prin compararea tensiunii admisibile de flambaj afσ cu rezistenţa admisibilă la

compresiune acσ , pentru materialul din care este realizat elementul mecanic, rezultă un

coeficient ϕ - numit coeficient de flambaj:

af

ac

σϕ =

σ.

(22)

Coeficientul de flambaj ϕ , este adimensional, subunitar, funcţie de λ şi natura

materialaului. Practic este un coeficient de reducere a rezistenţei admisibile la compresiune:

af acσ = ϕσ . (23)

Prin acceptarea unui coeficient de flambaj ϕ din orice sursă precum tabele, grafice, lege

de variaţie, orice problemă de flambaj se reduce la o problemă de dimensionare, verificare sau

de determinarea forţei critice de flambaj.

Metodica de calcul privind cele trei probleme

Dimensionarea la flambaj, se face prin încercări, plecând de la relaţia : necac

FA =σ

,

care trebuie apoi mărită. Se extrage coeficientul ϕ din grafice sau tabele funcţie de λ şi

natura materialului, apoi se compară cu relaţia:

Page 362: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

215

necac

FA ≥ϕσ

(24)

Dacă nu este îndeplinită se măreşte secţiunea şi se reiau calculele.

Verificarea la flambaj presupune parcurgerea etapelor:

Se determină lungimea de flambaj f , funcţie de model prin utilizarea cazurilor

fundamentale;

Se determină momentul de inerţie minI , apoi se calculează raza de inerţie

minimă min mini I A= ;

Se calculează coeficientul de zvelteţă λ şi se determină ϕ pe baza graficelor sau tabele;

Se verifică relaţia:

ac afFA≤ ϕσ = σ .

(25)

Forţa critică de flambaj: In general se parcurg aceleaşi etape, dar în final trebuie

verificată relaţia: cr acF A≤ ϕσ .

Exemplul 1. Un stâlp de lemn de esenţă tare, cu secţiunea pătrată, articulat la ambele

capete, este solicitat la compresiunea axială cu o forţă F 15= KN. Să se dimensioneze stâlpul,

ştiind că are lungimea de 3= m. Coeficientul de siguranţă la flambaj fc 5= .

Soluţie: Modelul de calcul este cel fundamental, adică modul 1. Din literatura de

specialitate extragem caracteristicile mecanice: 10E 10= Pa, 0 100λ = .

Lungimea de flambaj în acest caz este f =

Pentru dimensionare utilizăm relaţia lui Euler, ca urmare rezultă:

2

f fmin 2

FcIE

sau 24

f f2

Fca12 E

, ⇒ 2

f f42

12FcaE

, a 0,095= m sau a 9,5= cm.

Se rotunjeşte la valoarea superioară, a 10= cm.

Se verifică aplicabilitatea relaţiei lui Euler, valabilă în domeniul elastic, prin calcularea

coeficientului de flambaj.

Page 363: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

216

minmin

I ai 0,0288A 12

= = = m, f

min

3 104,16i 0,0288

λ = = =

Deoarece 0λ > λ înseamnă că dimensionarea este bună.

Exemplul 2. Să se dimensioneze, prin metoda coeficientului ϕ , un stâlp din lemn cu

secţiune circulară de diametru d, solicitat la compresiune cu o forţă F 300= KN, având

lungimea 4= m. Stâlpul este încastrat la un capăt şi liber la celălalt. Coeficientul de

siguranţă al structurii

se acceptă c 1,5= , c 15σ = MPa.

Soluţie: Avem modul 2 de flambaj, deci f 2= .

Iniţial acceptăm o dimensionare din condiţia de rezistenţă la compresiune:

limef a c

σσ ≤ σ = ,

(27)

unde cσ este limita de curgere a lemnului, extrasă din caracteristicile mecanice ale lemnului.

Din relaţia 26, rezultă: c

4cFd =πσ

, sau d 0,195m= .

Se acceptă un diametru normalizat, d 20= cm.

Se calculează f

min

8i d

λ = = . Este indicat a se calcula coeficientul de flambaj funcţie de

diferite diametre, în cazul de faţă pentru d [20,25]∈ . Ca urmare, rezultă:

λ

160

152.381

145.455

139.13

133.333

128

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟

=

ϕ

0.55

0.609

0.644

0.705

0.712

0.750

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟

:=

Page 364: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

217

Se alege coeficientul f ( ,material)ϕ = λ , din tabel sau grafic. În cazul de faţă valorile

Matricei ϕ au fost preluate din literatura de specialitate.

Funcţie de variaţia diametrului d se calculează tensiunile cu relaţiile:

FA

σ = şi caf a c

σσ = ϕσ = ϕ ,

rezultatul este evidenţiat prin matricele:

d

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟

= σ

9.549 106×

8.661 106×

7.892 106×

7.221 106×

6.631 106×

6.112 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= σaf

5.5 106×

6.09 106×

6.44 106×

7.05 106×

7.12 106×

7.5 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

Pentru afσ < σ se alege diametrul corespunzător şi ca urmare putem considera

dimensionarea corespunzătoare. Evident se acceptă diametrul d 24= cm , dar poate fi

acceptat şi d 25= cm, deoarece condiţia este îndeplinită evident.

Această procedură de calcul este indicată a se realiza sub incidenţa aplicaţiei

informatice Mathcad.

Page 365: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

Capitolul 12

CALCULUL CABLURILOR, LANŢURILOR ŞI

GRINZILOR CU ZĂBRELE

12.1. FIRE ŞI CABLURI

Firele şi cablurile sunt menţionate de Aristotel (384-322 î.Hr.) ca elemente componente

al mijloacelor de ridicat şi transportat. Astăzi sunt utilizate pentru transportul energiei

electrice în telecomunicaţii, la funiculare, la poduri suspendate. Ele pot fi considerate perfect

flexibile şi torsionabile, deci nu pot prelua sarcini decât solicitări de tracţiune. În cazul firelor

interesează configuraţia de echilibru sub o anumită încărcare şi forţele interioare.

Spre deosebire de mecanica teoretică, care consideră firele inextensibile, rezistenţa

materialelor consideră că se alungesc sub acţiunea forţelor exterioare, comportându-se elastic.

Cablurile sunt supuse acţiunii greutăţii proprii, a greutăţii corpurilor pe care le

transportă sau pe care le susţin, a sarcinilor accidentale provenite din zăpadă, vânt şi polei. În

acelaşi timp ele sunt supuse acţiunii variaţiei de temperatură.

12.1.1 Ecuaţia generală a firelor

Se consideră un fir suspendat în punctele A şi B şi încărcat cu o sarcină distribuită pe

lungimea lui, q, Figura1.

Se izolează un element de fir de lungime ds şi impunem condiţia ca acesta să fie în

echilibru, rezultă ecuaţiile:

T(s) T(s ds) qds 0− + + + = ;

MN T(s) PN qds 0− × + × = .

(1)

Împărţind ecuaţiile 1 prin ds şi trecând la limită, rezultă:

Page 366: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

229

ds 0

ds 0

T(s ds) T(s)lim q 0;ds

NMlim T(s) PN q 0;ds

+ −+ =

× + × =

⇒ dT(s) p 0;

dsT 0,

+ =

τ× =

(2)

în care τ reprezintă în cest caz versorul tangentei la curbă în punctul respectiv.

Produsul vectorial T 0τ× = , indică că efortul T este întotdeauna pozitiv, în orice punct

tangent la curbă de echilibru, T T= τ , deci firele nu pot fi supuse la compresiune.

A

Bds

q

s

ds

T(s)−

T(s ds)+

M

qdsM

NP

z

x

y

0h

h

O

Figura 1. Fir suspendat încărcat cu o sarcină distribuită

Ecuaţia dT(s) p 0ds

+ = , poate fi proiectată pe axele unui sistem de coordonate cartezian

Oxyz, ţinând seama de cosinusurile directoare: dx dy dz, ,ds ds ds

. În final se obţine:

xd dxT q 0ds ds⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

; yd dyT q 0ds ds⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

; zd dzT q 0ds ds⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(3)

Page 367: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

230

Practic sunt trei ecuaţii diferenţiale şi patru funcţii necunoscute, x(s), y(s) , z(s) şi

T(s). Ecuaţia suplimentară se obţine din legătura care există între cosinusurile directoare,

. 2 2 2dx dy dz 1

ds ds ds⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4)

În practică se pot întâlni următoarele cazuri speciale de încărcare, Tabelul 1

Tabelul 1. Tipuri de încărcare a firelor şi cablurilor

Specificaţie Particularităţii Forma de echilibru

Fir neacţionat de sarcini exterioare q 0= , T cons t .= Linie dreaptă Fir acţionat de forţe concentrate cooplanare

Tensiunea este în punctele de suspendare maximă

Poligon funicular

Fir acţionat de sarcini distribuite. Se întâlneşte când firul este suspendat în două puncte şi lăsat liber sub greutate proprie

yq q= , T qy= ;

00

xS h sin hh

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ecuaţia lănţişorului

00

xy h cos hh

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Fir omogen greu puternic întins yq q= Se aproximează cu o parabolă

S - reprezintă lungimea efectivă a firului; 0h H q= parametrul lănţişorului, în care H const.= Remarcă: Calculul instalaţiei din componenţa funicularelor forestiere, a telefericelor

au ca suport teoria curbei funiculare, cunoscută sub denumirea de ecuaţia lănţişorului.

12.1.2 Calculul cablurilor suspendate, puternic tensionate

Echilibrul firelor perfect flexibile şi inextensibile, sub efectul sarcinilor cuprinse într-

un plan vertical iau forma curbei funiculare numite lănţişor.

Când săgeata curbei funiculare este relativ mică - cazul liniilor de funiculare,

teleferice, de telecomunicaţii şi transport de energie electrică, firul poate fi considerat cu

tensiuni mari, acţionat de greutatea proprie. Această sarcină poate fi considerată uniform

distribuită pe deschidere, având valoarea aproximativ constantă,

pqcos

,

(5)

unde p reprezintă greutatea proprie a firului în N/m, iar α este unghiul format de linia ce

uneşte punctele de fixare A şi B, Figura 2.

Page 368: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

231

A

B

/ 2

h

y

xmy

q

f

αH

BT

AT

H

Figura 2. Schema de calcul – cablu suspendat în două puncte

Aceasta însă corespunde cu distribuţia uniformă a greutăţii cablului pe proiecţia

orizontală a deschiderii şi nu pe coardă, Figura 2, în acest caz parametrul a se poate calcula cu

relaţia:

a Hq

= cosβ ,

(6)

unde:

q - reprezintă greutatea unităţii de lungime a firului;

H este proiecţia orizontală a efortului de întindere din fir. Se ştie că una din legile

curbelor funiculare este că efortul secţional H este acelaşi în orice secţiune. Acest efort poate

fi considerat aproximativ egal cu însuşi efortul de întindere N dirijat pe tangenta la fir;

β - este unghiul coardei.

12.1.3 Calculul principalelor elemente constructive de montaj

Deoarece cablul este foarte întins, rezultă că tensiunea din fir este foarte mare în raport

cu sarcina q, deci 0h H q= este foarte mare. În acest caz ecuaţia lănţişorului poate fi

înlocuită cu arc de parabolă. Matematic, înlocuirea lănţişorului cu arcul de parabolă, se obţine

prin dezvoltarea în serie Mac Laurian a ecuaţiei din Tabelul 1,

Page 369: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

232

0

0 0 0

hx x xy acosh exp exph 2 h h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦,

(7)

sau prin dezvoltare în serie, rezultă:

2 4

0 00 0 0

x 1 x 1 xy h cos h h 1 ...h 2! h 4! h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

,

(8)

Limitând seria la primii doi termeni, rezultă:

2

0 20

xy h2h

= + .

(9)

Dacă sistemul de axe se alege în punctul 0A(x, y h )− rezultă:

2

20

xy2h

= .

(10)

Evident, ecuaţia 10 reprezintă o parabolă. Dacă se cunoaşte distanţa dintre punctele de

suspendare şi săgeata y f= , la mijlocul deschiderii x / 2= , Figura 2, rezultă:

2 2

o

qf8h 8H

= = sau 22

4fy x= .

(11)

Tensiunea din fir, T qy= , fiind foarte mare, într-un punct oarecare unghiul α este mic,

rezultă că proiecţia pe axa orizontală a tensiunii este mult mai mare decât componenta

verticală şi deci:

2 2x y xT T T T= + sau

2

0qT H qh8f

= = .

(12)

Săgeata firului poate fi exprimată funcţie de lungimea efectivă L şi distanţa dintre

punctele de suspendare, .

Lungimea curbei funiculare L, se poate calcula cu relaţia:

Page 370: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

233

3 5

00 0 0

x 1 1L 2h sin h 2a ...2h 2a 3! 2h 5! 2h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(13)

Limitând şi în acest caz seria la primii doi termeni, se obţine:

3

20

L24h

= + sau 28fL

3= +

(14)

În final rezultă:

( )3f L8

= − .

(15)

Săgeţile curbei funiculare determinate după metoda parabolei sunt mai mici faţă de cele

determinate după metoda lănţişorului, diferenţa între ele fiind direct proporţională cu

lungimea şi panta deschiderii.

La întinderea unei linii aeriene trebuie să se ţină seama nu numai de solicitarea produsă

de forţa H, ci, mai ales, de variaţia acesteia cu temperatura. O linie întinsă prea mult în timpul

verii este în pericol să se rupă iarna, din cauza contracţiei produse de variaţia temperaturii.

Este deci necesar să se determine forţa de întindere din momentul montajului, în aşa fel

încât condiţiile cele mai grele din timpul iernii să se atingă, fără a depăşi limita admisibilă a

materialului firului. Variaţia practic permanentă a temperaturii aerului şi a vitezei vântului,

precum şi prezenţa sau absenţa chiciurii influenţează comportarea instalaţiei. Ca urmare,

rezultă alungirea sau contracţia cablurilor, respectiv mărirea sau micşorarea săgeţii acestora.

Aceste variaţii ale caracteristicilor mecanice ale cablurilor trebuie determinate încă din

faza de proiectare a liniei, pentru a se asigura buna funcţionare în condiţii reale. Examinarea

acestei probleme se face cu ajutorul ecuaţiei de stare, care va fi stabilită în cele ce urmează.

Remarcă: În anumite aplicaţii practice, ecuaţia curbei funiculare a unui cablu întins şi

suspendat între două reazeme poate fi considerată ca fiind un arc de parabolă.

12.1.4 Ecuaţia de stare a cablului

Sarcina care acţionează asupra firului în momentul montajului este q0 , egală cu

greutatea proprie, adică q q0 = . În momentul critic din timpul iernii, sarcina este qcritic .

Page 371: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

234

Aceasta poate fi egală cu q dacă nu se ţine seama de efectul vântului şi a chiciurii sau mai

mare decât q, dacă se ţine seama de efectele precizate, adică q q qcritic crt= ≥ .

Temperatura din ziua montajului, determinată prin măsurare este t0, iar cea critică

t tcritic crt= . Forţa de întindere în situaţia critică poate fi calculată cu relaţia:

H H Ac

Acritic crt a= = =σσ lim ,

(16)

unde: A secţiunea cablului, limσ tensiunea limită din cablu, iar c este coeficientul de siguranţă

acceptat de proiectant.

Se cunoaşte că variaţia de lungime a firului între situaţia critică şi ziua când se face

montajul este funcţie de variaţia de temperatură şi variaţia forţei de întindere. Dacă se acceptă

forma curbei funiculare de tip parabolă dată de ecuaţia 10, atunci săgeata maximă şi lungimea

curbei se pot calcula cu relaţiile:

Săgeata cablului 2qf

8H= ;

Lungimea cablului 2 3

2

qL24H

= + ,

(17)

unde reprezintă distanţa dintre două puncte de suspendare.

Variaţia de lungime se poate calcula ca diferenţă a lungimilor în cele două situaţii:

din ziua montajului şi în situaţia critică, ca urmare,

2 230 crt

0 crt 2 20 crt

q qL L L24 H H

⎛ ⎞∆ = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(18)

Dacă se ţine seama că variaţia de lungime poate fi scrisă funcţie de variaţiile de

temperatură şi efectul mecanic, se obţine:

0 crt0 crt

H HL (t t )EA−

∆ = α − + .

(19)

Este evident că în relaţia 19 primul termen din membrul al doilea este pozitiv, iar

celălalt negativ, adică, pe măsura creşterii temperaturii, cablul se lungeşte prin dilatare sau se

scurtează, în mică măsură prin scăderea forţei de întindere H.

Page 372: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

235

În relaţia 19 s-a făcut o aproximaţie considerând lungimea firului în loc de L.

Egalând relaţiile 18 şi 19 se obţine ecuaţia de stare

2 220 crt 0 crt

0 crt2 20 crt

q q H H(t t )24 H H EA

⎛ ⎞ −− = α − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(20)

În această relaţie toate mărimile, cu excepţia forţei de întindere H0 din ziua montajului

sunt cunoscute. Se obţine astfel o ecuaţie de gradul al treilea în H0 , cu o singură rădăcină

reală, care reprezintă valoarea forţei de întindere din ziua montajului. Mărimea acesteia se

determină cu un dinamometru. Dacă pe şantier nu există dinamometru, calculul de mai sus se

poate face în funcţie de săgeţi, în baza relaţiei 17.

Prin intermediul ecuaţiei de stare se obţin informaţii asupra cablului în două stări, fie

acestea m şi n , luând una din ele ca stare de referinţă sa de plecare precum m, se poate stabili

situaţia în care se va afla cablul în starea n.

Actualmente în practică se realizează un mic program pe un calculator şi se obţin date

tabelate pentru diferite deschideri , secţiuni de cablu A, temperaturi t şi materiale

(caracteristicile mecanice ala cablurilor) în care se determină valoarea H0 , corespunzătoare

temperaturii t 0 citită pe un termometru.

Sarcina q este greutatea proprie a cablului pe unitatea de lungime N/m. Pentru qcrt se

prevăd în general două situaţii critice în care se face calculul:

la temperatura de −300 C, acceptând q qcrt= , include greutatea proprie plus efectul

poleiului şi al vântului;

la temperatura de −50C, acceptând q q= 0.

Pentru ambele situaţii trebuie să rezulte un coeficient de siguranţă faţă de rezistenţa la

rupere cuprins între 2-2,5.

O altă informaţie care se poate obţine din ecuaţia de stare 20 este deschiderea critică,

l lcritic crt= . Dacă în această ecuaţie tensiunea normală din cele două stări se consideră maximă,

adică, σ σ σ0 = =crt max şi t t t tC crt0 50= =− ; min , se obţine:

( ) ( )0 0min min5 C 5 C

crt max max2 2 2 20 crt 0 crt

24 (t t ) 24 (t t )A H

q q q q− −

α − α −= σ =

− −

(21)

Page 373: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

236

Cunoaşterea deschiderii critice are o mare importanţă pentru calculul întinderii

instalaţiilor funiculare, deoarece pentru fiecare linie deschiderile reale trebuie comparate cu

deschiderea critică în scopul stabilirii situaţiei în care tensiunea normală din cablu este

maximă. Astfel, dacă deschiderea reală este mai mică decât deschiderea critică, efortul

maxim în cablu va apărea la temperatura minimă, iar dacă deschiderea reală este mai mare

decât cea critică, efortul maxim corespunde temperaturii maxime.

12.1.5 Calculul de rezistenţă al cablurilor

Datorită construcţiei, elementele cablurilor (sârmele) sunt supuse la o solicitare

complexă, ca urmare a apariţiei solicitărilor simple precum întinderea, încovoierea, răsucirea

şi solicitarea de contact. În timpul funcţionării cablurile sunt supuse la solicitări dinamice,

care pot duce la oboseala acestora.

Calculele uzuale sunt simplificate şi se referă la solicitarea compusă de întindere şi

încovoiere, precum şi la durabilitate. Practic nu se fac calcule de contact, acestea sunt

efectuate în cadrul studiilor de cercetare.

Dimensionarea este reglementată prin STAS, se face ţinând seama de condiţiile de

funcţionare prin încadrarea în grupele de funcţionare, solicitările din cablu şi materialul

cablului, cu relaţia:

d c Tq= max , (22)

în care:

d - diametrul exterior al cablului;

Tmax - forţa maximă din cablu;

cq - coeficient în funcţie de grupele de funcţionare şi construcţia cablului, tipul de

transport. Transporturile periculoase sunt cele de materiale incandescente, toxice, explozive,

acide ş.a.

Utilizarea coeficientului cq = 0 265, , pentru cabluri antigiratorii este admisă numai în

cazul în care cablul se înfăşoară direct pe tambur fără a mai trece peste role de cablu.

În cazul cablurilor cu inimă vegetală, este indicat ca diametrul cablului să se măsoare

după o prealabilă întindere a acestuia.

Tensiunea maximă din cablu se determină funcţie de forţa de tracţiune la care este supus

cablu, ţinând seama de forţele dinamice şi de randamentul transmisiei prin cablu.

Page 374: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

237

Calculul sârmelor din structura cablului din condiţia de rezistenţă la întindere se poate

face cu relaţia:

σπδ

σσ

maxmax=⋅

≤ =4

2

FN n ca

r , (23)

unde:

Fmax - forţa maximă din ramura de cablu;

δ - diametrul sârmei din structura cablului;

σ r - tensiunea normală de rupere a materialului sârmei;

c - coeficientul de siguranţă, c ∈[ . , . ]3 5 4 5 ;

n - numărul de sârme dintr-un toron;

N - numărul de toroane.

Cu relaţia 23 se poate determina diametrul sârmei din cablu, capacitatea portantă Fmax

sau se poate face un calcul de verificare.

Calculul la solicitări compuse

O asemenea solicitare apare atunci când un cablu este înfăşurat pe un organ de rulare precum

role, scripeţi, tambur, Figura 3.

d

O

D

NN

Figura 3. Cablu înfăşurat pe un organ de rulare

Page 375: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

238

Solicitarea compusă la care sunt supuse sârmele din structura cablului este de întindere

+ încovoiere şi calculul se face cu relaţia:

( ) ( )σ σ σ σσ

max max max= + ≤ =t î a

r

c,

(24)

în care:

( )σmax t - tensiunea datorată solicitării de tracţiune şi se poate calcula cu relaţia 23;

( )σmax î - tensiunea datorată solicitării de încovoiere a sârmelor, care se poate calcula cu

ajutorul relaţiei lui Navier:

( )σδ

max îî

z

î

z

MW

MI

= = ⋅2

,

(25)

unde:

Mî - momentul încovoietor al cablului datorat înfăşurării pe organul de ghidare sau

tambur;

Iz - momentul de inerţie al sârmei cablului.

Momentul de încovoiere se poate exprima funcţie de dimensiunile geometrice ale

organului de înfăşurare şi diametrul sârmei cablului, prin relaţia:

1 1 2ρ= = =

R DMEI

î

z

, (26)

Ţinând seama de relaţia 26, relaţia 25 devine:

( )σδ

max îE

D= ,

(27)

în care:

E - modulul de elasticitate longitudinal al materialului sârmei E = ⋅2 1 1011, Pa;

D - diametrul organului de ghidare sau de înfăşurare (rolă, tambur).

Această relaţie este valabilă când sârmele lucrează independent, Figura 1b, iar în cazul

unei toronări şi cablări perfect rigide, cablul se modelează ca o bară rigidă de diametru d,

Figura 1a, relaţia 27 capătă forma:

Page 376: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

239

( )σmax îE

dD

= ,

(28)

Cazul real de toronare şi cablare este plasat între cele două cazuri limită Figura 1 a şi b,

relaţia 28 se modifică prin introducerea unui coeficient de corecţie, astfel:

( )σ βδ

maxmin

îE

D= ,

(29)

unde:

β = 3 8 - coeficientul lui BACH;

Dmin - diametrul minim al organului de înfăşurare.

D

δ

δ

δ

a b Figura 4. Modelul de calcul

În baza relaţiilor 23 şi 28, expresia 24 devine:

σπδ

βδ

σσ

maxmax

min

=⋅

+ ≤ =4

2

FN n

ED ca

r ,

(30)

Remarcă

În anumite condiţii de exploatare cablurile pot fi plasate în poziţie verticală, atunci când

se ridică greutăţi, cazul ascensoarelor, etc. În astfel de cazuri este necesar să se ţină seama de

forţele de inerţie care sunt maxime în momentul punerii în mişcare. În acest caz forţa axială

din cablu se poate calcula cu relaţia:

aN (G q ) 1g

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

(31)

Page 377: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

240

unde G este greutatea plasată la un capăt al cablului, a - acceleraţia sistemului mecanic, q –

greutatea specifică a cablului, lungimea cablului măsurată pe verticală.

Verificarea la durabilitate a cablurilor se face cu relaţia:

L ZNu

r

an

= ,

(32)

unde:

Zr - numărul de flexionări până la rupere, determinat experimental şi dat funcţie de

coeficientul de siguranţă c, respectiv raportul D δ . Încercările se fac pe maşini de încercat

speciale, [Bo02];

Nan - numărul de flexionări pe an, al cablului în exploatare în funcţie de schema de

montaj şi durata funcţionării,

N Nr îndoiriciclu

Nr ciclurioră

Nr orezi

Nr zileanan = ⋅ ⋅ ⋅

. . . . .

(33)

Numărul de îndoiri se consideră:

- 1/2 la părăsirea tamburului;

- 1 la fiecare schimbare de direcţie în acelaşi sens, Figura 3;

- 2 la fiecare schimbare de direcţie în sens invers, Figura 4.

Materialul sârmelor de cablu, conform prevederilor standard, au rezistenţa minimă la

rupere de 1600 MPa.

12.2 CALCULUL LANŢURILOR DIN OŢEL ROTUND

Lanţurile sunt utilizate în diferite aplicaţii precum exploatările forestiere. Calculul

lanţurilor se face pe baza normelor şi standardelor.

Calculul pe baza sarcinii de rupere şi de utilizare

Calculul de dimensionare a lanţurilor se efectuează pentru alegerea din standardul de

dimensiuni, prin determinarea sarcinii de rupere rF , sau a sarcinii de utilizare, uF şi admiterea

unui coeficient de siguranţă, c:

Page 378: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

241

u1F Fc4

= .

(34)

în care F este forţa de tracţiune în timpul funcţionării din lanţ. Coeficientul de siguranţă este

stabilit prin norme ISCIB şi au aceleaşi valori ca cele evidenţiate în literatura de specialitate.

Calculul de verificare

Pentru verificarea lanţurilor se utilizează calculul în care se neglijează efectul formei

zalei şi nedeterminarea statică, admiţând o repartiţie uniformă a forţei de tracţiune în

secţiunile transversale:

lim0 at2

4Nd c

σσ = ≤ σ =

π, lim

0 at2

2Fd c

σσ = ≤ σ =

π.

(35)

în care:

F - forţa de tracţiune din lanţ, iar N F / 2=

D - diametrul zalei de lanţ;

atσ - rezistenţa admisibilă la tracţiune.

Calculul pe baza capacităţii de lucru. În normele germane DIN şi engleze BS se

utilizează determinarea capacităţii de lucru. Capacitatea de lucru se calculează cu relaţia:

2

r r r min rdA F2π

= δ = σ δ ,

(37)

unde:

d- diametrul zalei de lanţ;

r minσ - rezistenţa minimă de rupere a materialului zalei;

rδ - alungirea specifică la rupere.

Se poate determina capacitatea de lucru în domeniul elastic utilizând o relaţie

asemănătoare,

2

e e emin edA F2π

= δ = σ δ ,

(35)

în care toate mărimile corespunde limitei de elasticitate.

Page 379: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

242

Ca urmare, se poate face o generalizare a acestui calcul utilizând relaţia:

2

lim lim limmin limdA F2π

= δ = σ δ ,

(38)

în care mărimile corespund situaţiei limită precum elastic, plastic şi rupere.

Starea de tensiuni din zala de lanţ poate fi dedusă prin utilizarea relaţiilor de la barele

curbe şi mecanica contactului. Aceste probleme nu fac obiectul acestei lucrări, dar pot fi

găsite detalii în lucrarea, [Ba94].

12.3. GRINZI CU ZĂBRELE

Sunt structuri geometrice nedeformabile, alcătuite din bare drepte, de greutate

neglijabilă, asamblate între ele la extremităţi prin articulaţii fără frecare, supuse la forţe

exterioare care sunt plasate numai în noduri. Astfel de structuri fiind fixe, articulaţiile lor se

înlocuiesc cu îmbinări, nituite, filetate sau sudate, numite noduri. Elementul de care se

fixează barele este numit guseu.

Ca aplicaţii se pot întâlni în structura podurilor metalice, stâlpilor de susţinere, ferme

pentru acoperişuri, etc. Aceste structuri pot fi plane sau spaţiale. Când toate barele şi

nodurile structurii se află în acelaşi plan, grinda cu zăbrele este considerată plană, altfel se

consideră spaţială.

În aplicaţiile ingineriei forestiere se întâlnesc frecvent structuri plane; ca urmare,

structurile spaţiale nu vor fi abordate în această lucrare.

Condiţia de nedeformabilitate geometrică se poate exprima prin relaţia:

b r 2n+ = , (39)

în care b reprezintă numărul de elemente tip bară, r 3≥ numărul de legături simple, iar n

numărul de noduri.

Din punct de vedere static b r N+ = reprezintă numărul de necunoscute iar 2n E= ,

numărul de ecuaţii de echilibru – câte două pentru fiecare nod.

Când N E= , structura este static determinată;

Când N E> , structura este static nedeterminată;

Când N E< structura reprezintă un mecanism.

Page 380: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

243

Condiţia 1 este necesară , dar nu şi suficientă. Structurile care îndeplinesc această

condiţie, dar au grade de libertate se numesc structuri critice. Acestea nu trebuie admise ca

structuri de rezistenţă, deoarece eforturile secţionale în ele pot fi infinite, fie nedeterminate.

Pentru calculul grinzilor cu zăbrele se acceptă următoarele ipoteze simplificatoare:

1. Barele sunt articulate în noduri.

2. Forţele exterioare sunt aplicate în noduri. Sunt cazuri când sarcinile sunt distribuite

precum greutatea proprie a elementelor, încărcări cu zăpadă, apă ş.a., însă acestea

pot fi înlocuite convenţional cu forţe concentrate aplicate în noduri.

Ipotezele simplificatoare enunţate mai sus conduc la concluzia că elementele de tip bară

aflate în structura grinzii cu zăbrele pot fi supuse la solicitarea de întindere sau de

compresiune.

Pentru determinarea eforturilor secţionale se pot utiliza metode analitice sau grafice.

Dintre metodele analitice cele mai utilizate sunt metoda izolării nodurilor si metoda

secţiunilor. Astăzi, pentru rezolvarea unor astfel de structuri se utilizează aplicaţii informatice

specializate de tip CAD, dar este necesar şi în acest caz de analiza problemei care presupune

cunoştinţe de rezistenţa materialelor.

Metoda izolării nodurilor constă în izolarea tuturor nodurilor şi scrierea ecuaţiilor de

echilibru corespunzătoare. Se obţine un sistem de 2n ecuaţii cu tot atâtea necunoscute.

Metoda secţiunilor: constă în următoarele etape:

Se imaginează o secţiune completă prin structură care secţionează virtual elementul de

bară al cărui efort secţional se caută şi se introduc eforturile în toate barele secţionate,

considerate întinderi (pozitive). Secţiunea nu trebuie să taie mai mult de trei bare;

Se scriu ecuaţiile de echilibru pentru unul din corpurile obţinute prin secţionare.

Prin aplicarea combinată a celor două metode, poate duce la simplificarea calculului..

Remarcă pe barele cu sarcini transversale pot să apară în plus forţe tăietoare şi

momente încovoietoare, care se determină ca pe orice grindă simplu rezemată.

Exemplul 1. Structura evidenţiată în Figura 5 este utilizată la construcţia podurilor se

cere să se determine eforturile axiale. Asupra grinzii cu zăbrele acţionează forţele F şi 2F,

plasate în noduri. Sistemul este articulat în A şi simplu rezemat în nodul E.

Aplicaţie numerică: a 1,5m= , 060α = , F 10000N= .

Soluţie. Pentru rezolvare se va utiliza metoda izolării nodurilor.

Iniţial se calculează reacţiunile din reazemele A şi E, impunând condiţia de echilibru

static întregului sistem. Întregul modul de calcul este prezentat în Tabelul 1.

Page 381: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

244

Tabelul 1. Procedura de calcul.

Specificaţie Relaţii de calcul Relaţii finale Valori numerice

Calculul reacţiunilor

xi AR 0, H F= ⇒ =∑ ;

yi A ER 0, V V 2F= ⇒ + =∑ ;

AM 0=∑ ,

EV 2a 2Fa Fa sin 0⇒ − − α = .

AH F= ;

AsinV F 1

2α⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠;

EsinV F 1

2α⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

AH 10000N=

AV 5650N=

EV 14350N=

Izolam nodul A şi se impune condiţia de echilibru

AV

AH A

2N

α

1N

A2

VNsin

= −α

;

1 A 2N H N cos= − α .

1N 13270N=

2N 6550N= −

Izolam nodul B şi scriem ecuaţiile de echilibru

4N

2N

B

α

3N

3 2N N= − ;

4 2 3N (N N )cos .= − α

3N 6550N=

4N 6550N= −

Izolăm nodul C şi procedăm la fel

C

2F

α1N

6N

3N 5N

5 32FN N

sin= −

α;

4 1 3 5N N (N N )cos .= + − α

5N 16550N=

6N 8270N=

Izolăm nodul E. Acest nod oferă şi posibilitatea verificării dacă calculul a fost făcut corect

6N

EV

E

7N

α

E7

VNsin

= −α

;

6 7N N cos .= − α

7N 16550N= −

Precizare

Calculul de dimensionare se face din condiţia de rezistenţă la tracţiune sau compresiune,

conform celor prezentate în capitolul 4. Se va ţine seama de eforturile din fiecare element de

bară şi dacă structura va fi acceptată cu elemente identice sau diferite. In primul caz se

urmăreşte elementul de bară cu cea mai mare valoare în modul a efortului secţional şi se

Page 382: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

245

impune condiţia de rezistenţă. In final se face şi un calcul la flambaj după metodica

prezentată în capitolul 10, cu particularităţile acestor structuri mecanice.

AV

AH

EV

1 6

7

4

23

5

A

B

C

D

E

2F

F

a a

α α

Figura 5. Structură cu zăbrele

Exemplul 2. Să se determine eforturile secţionale din elementele structurii din Figura

3. Structura este simplu rezemată în punctele A şi B. Ca aplicaţie numerică, se poate

considera a 2m= , 030α = , F 10000N= .

AVBV

6

7

4

3

5

AB

C

D

E

2F

F

a a

/ 2π

α1

2

2F

F

Figura 6. Structură cu zăbrele

Page 383: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

246

Soluţie: se va utiliza metoda secţiunilor cunoscută şi sub denumirea de metoda Ritter.

Se calculează reacţiunile, rezultă:

2

AV F(1 3cos )= + α ,

2BV F(5 3cos )= − α

⇒ AV 32500N= , BV 27500N=

Pentru determinarea eforturilor axiale în barele 2, 3 şi 4., se face o secţiune virtuală prin

aceste elemente şi apoi se scriu ecuaţiile de echilibru ale porţiunii de grindă izolată partea

stângă secţiunea Figura 7.

AVBV

6

7

43

5

AB

C

D

E

2F

F

a a

/ 2π

α1

2

2F

F

3N

4N

2N

Figura 7. Secţiune virtuală prin elementele 2, 4 şi 3

Momentul faţă de nodul C: A 2V a Fa 2aN cos 0− + + α = ;

Momentul faţă de nodul D: A 3aV a Fa 2F N a sin 02

− + + − α = ;

Proiecţia de forţe pe direcţia Oy: A 4 3V F 2F N cos N sin 0− − − α − α = .

Prin efectuarea calculelor rezultă: 2N 13000N= ; 3N 25000N= − ; 4N 17300N=

Pentru determinarea eforturilor din barele 5 şi 6 se utilizează ecuaţiile de echilibru ale

porţiunii de grindă izolate Figura 8.

Momentul faţă de punctul E: 2B 6(V F)a cos N a sin cos 0− α − α α = ;

Momentul faţă de punctul B: 25N a cos 2Fa cos 0α + α = ;

Page 384: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

247

Prin efectuarea calculelor rezultă: 5N 17300N= − ; 6N 30300N= .

AVBV

6

7

43

5

AB

C

D

E

2F

F

a a

/ 2π

α2

2F

F1

3N

6N

5N

Figura 8. Secţiune prin elementele 3, 5 şi 6

Eforturile din barele 1 şi 7 pot fi calculate prin izolarea nodurilor A şi B; după

efectuarea calculelor se obţine:

1N 26000N= − ; 7N 35000N= .

În final, se poate impune condiţia de rezistenţă şi deformaţie a structurii.

Page 385: REZISTENŢA MATERIALELOR cu aplicaţii în INGINERIA FORESTIERĂsilvic.usv.ro/cursuri/mrm.pdf · 1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII Ca şi alte ştiinţe fundamentale, mecanica

248