Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentareAsa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.Reprezentare

Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:-muchiile bazei: AB, AC, BC-muchiile laterale: VA, VB, VB-planul bazei (ABC)-fetele laterale Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa  .Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).

Problema1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de  .

Daca  , aflati aria triunghiului VAB.Ip:VABC piramida triunghiular regulata

Cl:

Dem:

Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi

echilateral este  ,iar pentru triunghiul din problema

noastra  cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt

triunghiuri isoscele, stiind   isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema   sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.

Daca aplicam Teorema   nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de  , deci aplicam functiile trigonometrice

cm.Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema  , noi o sa aplicam Teorema  , iar voi incercati cu teorema lui Pitagora

deci   cm.Deci aria triunghiului VAB este:

 cm.Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.

Piramida regulataDespre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam  sa calculam Aria laterala, Aria totala si Volumul  unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata:

Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al poligonului de baza.

Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.

Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei.

Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei.

Baza piramidei triunghiulara regulata este triunghi echilateral.

 se numeste apotema piramidei

 se

numeste apotema bazeiVO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei.AB- lungimea muchiei bazei piramidei

 se numeste perimetrul bazei se numeste aria laterala se numeste aria bazei se numeste aria totala a piramidei.

Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem:

Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem

.In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin

sau

.AplicatieO piramida patrulater regulata are  , iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza.Calculatia) lungimea inaltimii piramidei

b) Demonstratie

Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica

b) Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara din C pe VB, astfel gasim

In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora

.Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora

Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza VB, iar apoi le egalam

.La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui

Pitagora  .

Ducem si perpendiculara din A pe TC siaplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam

Acum putem aplica

.

Trunchiul de piramida regulata

Dupa ce am invatat sa calculam aria laterala, aria totala si volumul unei piramide a venit vremea sa invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul la trunchiul de piramida regulata.

Astfel prin sectionarea unei piramide triunghiulare VABC cu planul (A’B'C’) paralel cu planul bazei (ABC)  se obtine o piramida VA’B'C’ asemenea cu piramida VABC.

Poliedrul obtinut prin indepartarea piramidei VA’B'C’ se numeste

trunchiul de piramida triunghiular.

In cazul in care  piramida initiala este regulata , trunchiul obtinut se numeste triunchi de piramida regulata.

Astfel pentru a calcula aria laterala intr-un trunchi de piramida

regulata aplicam formula 

unde   este perimetrul bazei mici al trunchiului de piramida

 este perimetrul bazei mari a trunchiului de piramida

Observati ca acum avem doua baze, baza mare si baza mica, a trunchiului de piramida regulata.

 este apotema triunchiului  (reprezinta distanta dintre muchiile celor doua baze).

Acum   unde   este aria  bazei mici al trunchiului de piramida care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula:  , unde   este lungimea apotemei bazei  mici   este aria bazei mari a trunchiului de piramida, care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula:

, unde   este lungimea apotemei bazei  mari

Acum sa enuntam formula pentru  volumul unui trunchi de piramida :

unde h= inaltimea in trunchiul de piramida

Iar  apotema trunchiului putem sa o aflam cu formula:

Prezentam o problema prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

Un trunchi de piramida patrulatera regulata provine din piramida P si are  . Calculati:

a) lungimea laturii bazei mari

b) apotema trunchiului

c) aria laterala

d) Volumul piramidei intiale

Demonstratie:

Stim volumulDeci 

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea, deci calculam

Acum

Iar

Si cum lungimea unui segment nu poate fi mai mica ca 0 rezulta ca L=12 cm.b) Din formulele de mai sus In cazul figurii de mai sus MM’ este apotema trunchiului dar sa aflam

Iar

Acum putem afla apotema trunchiului

c) Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei mari

Astfel

d)   volumul piramidei

Dar noi nu stim inaltimea piramidei ,astfel avem:

Astfel au loc relatiile

Din primele doua relatii obtinem

Astfel

Astfel

Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si volumul

Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala,aria totala si volumul, dar si distanta de la un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane:

1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati:

a) Aria totala a tetraedrului

b) Volumul tetraedrului

c) 

d) 

Demonstratie:

Calculam aria laterala a tetraedrului

Acum calculam apotema piramidei:Stim ca fetele laterale ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale, deci apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi

echilateral este  .

Deci Si astfel aria laterala este

cm.Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral,

deci  cm.Iar aria totala este

.Acum sa aflam volumul TetraedruluiDar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei

Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui

Pitagora  ,

.

b)Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfelStim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan.

Observam ca

Acum sa afla lungimea segmentului BN.Stim ca AB=6 cm,  , deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral BCD.Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM.

Acum aflam

Acum daca egalam cele doua arii gasim ca

.

d) Masura unghiului a doua planeObservam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe AC si astfel gasim ca

Si astfel gasim

Acum trebuie sa aflam ce valoare are sinusul unghiului.Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca

Stim ca BD=6 cmDeci triunghiul BPD este isoscel.Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului:Fie

,Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQAstfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica Acum calculam PF

.

Stim ca BF=3 deoarece   (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare bazei coincide), deci BF este si mediana.Acum putem afla

Acum calculam si aria

Egalam cele doua arii si gasim:

Deci gasim ca Acum putem aplica functiile trigonometrice

.

AstfelAria laterala a unui tetraedru regulat este

.Aria totala

.

.Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida.Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.