PERSPECTIVELE ȘI PROBLEMELE INTEGRĂRII ÎN SPAȚIUL … · tugarev laura, cadru de constituire a...

Conferința științifică internațională „Perspectivele și Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie 2015, Volumul II

1

UNIVERSITATEA DE STAT

„BOGDAN PETRICEICU HASDEU”

DIN CAHUL

CONFERINŢA ŞTIINŢIFICĂ

INTERNAȚIONALĂ

PERSPECTIVELE ȘI PROBLEMELE

INTEGRĂRII ÎN SPAȚIUL EUROPEAN

AL CERCETĂRII ȘI EDUCAȚIEI

5 IUNIE 2015

Volumul II

Atelierul IV. Științe exacte și inginerești

Atelierul V. Științe pedagogice şi psihologice

Atelierul VI. Științe istorice şi ştiinţe sociale

Atelierul VII. Științe filologice: limba și literatura română

Atelierul VIII. Științe filologice: limbi moderne

CAHUL


2

Descrierea CIP ″Perspectivele și problemele integrării în spațiul european al cercetării și educației″, conferința științifică internațională (2015 ; Cahul). Conferința științifică internațională ″Perspectivele și problemele integrării în spațiul european al cercetării și educației″, 5 iunie 2015 / com. șt.: Ioan-Aurel Pop [et al.]. – Cahul : US Cahul, 2015 (Tipogr. "Centrografic"). – ISBN 978-9975-914-98-7. Vol. 2 : Atelierul 4 : Științe exacte și inginerești ; Atelierul 5 : Științe pedagogice și psihologice ; Atelierul 6 : Științe istorice și științe sociale ; Ateliereul 7 : Științe filologice: limba română ; Atelierul 8 : Științe filologice: limbi moderne. – 2015. – 451 p. – Antetit.: Univ. de Stat "Bogdan Petriceicu Hasdeu" din Cahul. – Texte : lb. rom., rusă. – Bibliogr. la sfârşitul art. – 100 ex. – ISBN 978-9975-88-000-8. 082:378=135.1=161.1 P 52

ISBN 978-9975-914-98-7.

978-9975-88-000-8.

CZU 082:378=135.1=161.1

P 52

Universitatea de Stat „Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul

Conferința științifică internațională

„Perspectivele și Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și Educației”,

5 iunie 2015

Volumul II

Atelierul IV. Științe exacte și inginerești

Atelierul V. Științe pedagogice şi psihologice

Atelierul VI. Științe istorice şi ştiinţe sociale

Atelierul VII. Științe filologice: limba și literatura română

Atelierul VIII. Științe filologice: limbi moderne

Materialele incluse în prezenta ediţie sunt recomandate de catedrele de profil şi aprobate spre

publicare de către Senatul Universităţii de Stat „B. P. Hasdeu” din Cahul (proces verbal nr. 01

din 03 septembrie 2015).

ISBN 978-9975-914-98-7.

978-9975-88-000-8.

Universitatea de Stat „Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul


3

COMITETUL ȘTIINȚIFIC

Ioan-Aurel Pop, prof.univ., dr., academician al Academiei Române, rector, Universitatea

„Babeș-Bolyai” din Cluj-Napoca

Iulian Gabriel Bîrsan, prof.univ., dr. ing., rector, Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați

Andy Pușcă, prof.univ., dr., rector, Universitatea „Danubius” din Galați

Daniel Valer Breaz, prof.univ., dr., rector, Universitatea „1 Decembrie 1918”, Alba Iulia

Lilia Pogolșa, conf. univ., dr. hab., director, Institutul de Științe ale Educației

Elena Bulatova, prof.univ., dr.hab., prorector, Universitatea de Stat din Mariupol

Ion Șișcanu, prof.univ., dr.hab., vicedirector, Institutul de Istorie al AȘM

Florin Tudor, prof. univ., dr., decan, Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați

Tudorel Toader, prof.univ., dr., decan, Universitatea „Al.I. Cuza” din Iași

Vladimir Guțu, prof. univ., dr. hab., decan, Universitatea de Stat din Moldova

Dmitrii Parmacli, prof.univ., dr.hab., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Andrei Popa, prof.univ., dr.hab., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Victor Axentii, conf.univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Ioana Aurelia Axentii, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Ludmila Balțatu, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Ion Certan, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Svetlana Bîrlea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Valentina Cornea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Sergiu Cornea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Irina Todos, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Oxana Miron, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

Oleg Bercu, lect. sup., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu” din Cahul

COMITETUL ORGANIZATORIC

Oleg Bercu Științe politice

Maxim Todorov Științe juridice

Irina Todos Științe economice

Liliana Ceclu Științe exacte și inginerești

Corina Radu Științe pedagogice şi psihologice

Grosu Liliana Științe istorice și științe sociale

Daniel Gălățanu Științe filologice

Stela Banu Serviciul Știință


4

CUPRINS

Atelierul IV. ȘTIINȚE EXACTE ȘI INGINEREȘTI

BAGRIN Dumitru, CALCULUL DIFERENȚIAL ȘI CALCULUL INTEGRAL ÎN INGINERIE................................ 7

MACRIȚCHI Natalia, DEPĂŞIREA DIFICULTĂŢILOR MATEMATICE ÎN PROCESUL REZOLVĂRII

PROBLEMELOR DE FIZICĂ……………………………………………………………………………………………………

34

POPOVICI Ilona, INFORMATICA CREATIVĂ CU SCRATCH ... ȘI NU NUMAI.................................................... 42

MOCANU Anastasia, ROLUL ȘI IMPORTANȚA SOCIO – ECONOMICĂ A CERCETĂRII STATISTICE A

VENITURILOR POPULAȚIEI DIN REPUBLICA MOLDOVA................................................................................. ...

48

Atelierul V. ȘTIINȚE PEDAGOGICE ȘI PSIHOLOGICE

СЕМЕНЮК Евгений, О НЕОБХОДИМОСТИ УГЛУБЛЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА

СИСТЕМАТИКИ НИЗШИХ РАСТЕНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ЦИКЛОВ НА

БИОЛОГО-ПОЧВЕННОМ ФАКУЛЬТЕТЕ...............................................................................................................

52

MELNIC Natalia,TIMPUL STUDENTULUI; RELAŢIA DINTRE TIMPUL DE STUDII, EXTRACURRICULAR

ŞI TIMPUL LIBER…………………………………………………………………………………………………...…………..

54

BUGA Oleg, MELNIC Natalia, TACTUL PEDAGOGIC-ASPECT ESENŢIAL AL RELAŢIILOR EDUCATOR –

EDUCAT…………………………………………………………………………………………………………………………….

57

BUGA Oleg, MELNIC Natalia, DESPRE EDUCAŢIA ESTETICĂ ŞI PSIHO-FIZICĂ A PERSONALITĂŢII

AESTHETIC EDUCATION AND PSYCHO-PHYSICAL OF PERSONALITY.............................................................

60

GÎDEI Silvia, RISCUL DE RECIDIVĂ ȘI STRATEGIILE MOTIVAȚIONALE PENTRU SCHIMBAREA

COMPORTAMENTULUI DELINCVENȚILOR………………………………………………………………..……………...

62

NICORICI Maria, MIJLOACELE DE ÎNVĂŢĂMÂNT – SUPORT DIDACTIC ÎN REALIZAREA ORELOR DE

BIOLOGIE..................................................................................................................... ................................................

67

PAVLOV Zinaida, EDUCAȚIA PENTRU CARIERĂ A ADOLESCENȚILOR REALIZATĂ ÎN

PARTENERIAT EDUCAȚIONAL ȘCOALĂ-COMUNITATE………………………………………………...............

72

БУРАГА (НАСТАУШЕВА) Наталья, РОЛЬ ЛИЧНОСТНЫХ РЕСУРСОВ В ПОДДЕРЖАНИИ

УВЛЕЧЕННОСТИ РАБОТОЙ ПЕДАГОГОВ.................................................................................................................

77

POPOV Valeriu, COJOCARU Natalia, STRATEGII DE MOTIVARE NON-FINANCIARĂ LA ANGAJAŢII DIN

SECTORUL FINANCIAR BANCAR……………………………………………….…………………………………………...

84

PANIŞ Aliona, COORDONATE ALE MANAGEMENTULUI RELAŢIILOR ÎN CLASA DE ELEVI………………... 85

MATAS Viorica, INTEGRAREA ŞCOLARĂ: ANALIZA COMPARATĂ A TINERILOR ABSOLVENŢI AI

GIMNAZIILOR INTERNAT ŞI TINERI ELEVI AI ŞCOLILOR DIN COMUNITATE.....................................................

90

VASILACHI Ludmila, ANALIZA TEORETICO-CONCEPTUALĂ A CONTROLULUI CIVIL ASUPRA

FORŢELOR ARMATE....................................................................................................................... ............................

93

AFANAS Aliona, FORMAREA PROFESIONALĂ CONTINUĂ A CADRELOR DIDACTICE: VIZIUNI

COMPARATIVE....................................................................................................................................................................

97

LEANCĂ Viorica, DACIN Octavian, AUTORITATEA COMANDANTULUI ÎN COLECTIVUL MILITAR......... 101

AXENTII Ioana, PREMISE ALE ABORDĂRII EDUCAȚIEI ȘI SOCIALIZĂRII INDIVIDULUI ÎNTR-O EPOCĂ

A MARILOR SCHIMBĂRI.................................................................................................................... .........................

106

LUCHIAN Teodosia, FACTORII DETERMINANȚI AI SUCCESULUI ACADEMIC ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL

UNIVERSITAR.................................................................................................................. ............................................

110

STANCIUC Zinaida, ANALIZA CURRICULUMULUI DE EDUCAŢIE TIMPURIE DIN ROMÂNIA...................... 114

COJOCARI-LUCHIAN Snejana, IURESCU Diana, PARTICULARITĂȚI METODOLOGICE ALE

PROCESULUI DE PROIECTARE STRATEGICĂ CALITATIVĂ A INSTITUȚIEI DE ÎNVĂȚĂMÂNT......................

118

MALDUR Inga, EVOLUŢIA ÎN CARIERĂ – PREMISĂ A EDUCAŢIEI PERMANENTE A ADULŢILOR............... 121

DUMINICĂ Stella, ANALIZA PRACTICILOR INTERNAȚIONALE DE ELABORARE/ DEZVOLTARE A

STANDARDELOR EDUCAȚIONALE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PREȘCOLAR................................................................

126

MIHAILOV Veronica, GESTIONAREA EMOŢIILOR ŞI SENTIMENTELOR LA ADOLESCENŢI ÎN

CONTEXTUL ÎNVĂŢĂRII PE TOT PARCURSUL VIEŢI……………………………………………………………….…..

129

COMAN Liliana, DEZVOLTAREA PRTENERIATULUI PĂRINTE-COPIL PENRTU EFICIENTIZAREA

PROCESULUI DE EDUCAŢIE..................................................................................................................... .........

133

STRAISTARI-LUNGU Cristina, CADRUL LEGAL EUROPEAN CU REFERIRE LA STUDIEREA LIMBILOR

STRĂINE ÎN GRĂDINIŢĂ.................................................................................................................... .........................

137

ŞLEAHTIŢCHI Mihail, VÎRLAN Maria, PARTICULARITĂŢILE DE COMUNICARE ALE TINERILOR

DELINCVENŢI......................................................................................................................................................................

141

FRUNZE Olesea, MATURITATEA ŞCOLARĂ A COPIILOR CU DEFICIENŢE SEVERE DE VEDERE................ 145

GOLOVEI Lilia, ASPECTE PSIHOLOGICE ALE DEPISTĂRII ȘI SOLUȚIONĂRII PROBLEMELOR

COMPORTAMENTALE LA ADOLESCENȚI DIN PERSPECTIVA ÎNVĂȚĂRII PE TOT PARCURSUL VIEȚII.......

148

BATOG Mariana,VALORIFICAREA RESURSELOR INTERNE A PSIHOLOGILOR: MODALITATE DE

EFICIENTIZARE A CALITĂȚII ASISTENȚEI PSIHOLOGICE IN SISTEMUL EDUCATIONAL..............................

153

ILICCIEV Maxim, RELAȚIA DINTRE NIVELUL INTELIGENȚEI SOCIALE ȘI REUȘITA ACADEMICĂ LA

STUDENȚI………………………………………………………………………………………………………………………….

157

ZOLOTARIOV Elena, CĂI VIABILE PENTRU A STIMULA INTELIGENŢA SPIRITUAL-MORALĂ LA ELEVII

TREPTEI PRIMARE DE STUDII....................................................................................................................... ...........

161

VASIAN Tatiana, SPRE O EDUCAȚIE TIMPURIE INCLUZIVĂ DE CALITATE.................................................... 165


5

RACU Jana, ASPECTELE PSIHOLOGICE ALE MATURITĂŢII ŞCOLARE................................................................................. 169

LOSÎI Elena, DIFERENȚE DE GEN ÎN PERCEPEREA CLIMATULUI PSIHOLOGIC AL ORGANIZAȚIEI.......... 172

CHIREV Larisa, DEZVOLTAREA RESPECTULUI DE SINE................................................................................... 177

CERNEI Cristina, CAZAC Viorica, DESCRIPTORII DE PERFORMANŢĂ – NECESITATE ACTUALĂ DE

CUANTIFICARE A CUNOŞTINŢELOR LA LIMBA ENGLEZĂ ÎN CONTEXTUL INTEGRĂRII EUROPENE……..

180

USACI Doina, FRUNZE Lilia, CAZACU Tamara, INTEGRAREA EUROPEANĂ LA NIVEL EDUCAȚIONAL:

PROVOCĂRI ŞI AVANTAJE........................................................................................................... ..............................

188

DIȚA Maria, STRATEGII ȘI METODE DE LUCRU A ASISTENTULUI SOCIAL CU EX-DEȚINUȚII ÎN

VEDEREA RESTABILIRII LEGĂTURII CU FAMILIA………………………………………………………………………

192

ISAC Ştefania, PROMOVAREA DIMENSIUNILOR EUROPENE ÎN EDUCAȚIE ȘI FORMARE

PROFESIONALĂ ÎN REPUBLICA MOLDOVA………………………………………………………………………………

196

CHETRARI Viorica, IMPORTANȚA DEZVOLTĂRII STIMEI DE SINE ÎN PROCESUL PROIECTĂRII

CARIEREI..............................................................................................................................................................................

203

HADÎRCĂ Maria, MODELUL COMUNICATIV-FUNCŢIONAL DE STUDIERE A LIMBILOR: FACTOR

DE COERENŢĂ ŞI DE COMPATIBILIZARE EUROPEANĂ A EDUCAŢIEI LINGVISTICE...............................

207

IUZU Iulianna, PETROVSCHI Nina, ABORDAREA PERSONALITĂŢII ELEVILOR DE VÎRSTĂ ȘCOLARĂ

MICĂ ÎN CONTEXTUAL EDUCAȚIEI SOCIALE......................................................................................... ..............

211

VRABIE Silvia, TEHNICI MODERNE DE INTERVENŢIE ÎN RECUPERAREA AUTISMULUI……………………. 215

ТЮТЮННИК Лариса, ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ…...................... 220

RADU Corina, EFECTUL PROCESULUI DE MIGRAȚIE ASUPRA CALITĂȚII RELAȚIEI PĂRINTE-COPIL….. 224

BARBĂ Maria, MIJLOACELE DE ÎNVĂȚĂMÂNT ÎN CADRUL INSTRUIRII ȘI EDUCAȚIEI COPIILOR DE

VÂRSTĂ TIMPURIE ȘI PREȘCOLARĂ................................................................................................ ........................

229

SILISTRARU Nicolae, CERCETAREA ȘTIINȚIFICĂ ÎN EDUCAȚIE...................................................................... 234

CULICOVSCHI Galina, RĂDĂCINILE ISTORICE ALE PSIHODIAGNOZEI VIZUALE.................................... 237

CULICOVSCHI Galina, ABORDĂRI CONTEMPORANE ALE DIAGNOZEI PERSONALITĂŢII......................... 241

BALTAGA Nadejda, BĂTÎNEŢEA- PARTICULARITĂŢI SPECIFICE DE VÎRSTĂ................................................. 243

ONOFREI Aliona, SPECIFICUL DISFUNCŢIILOR COMPORTAMENTALE LA COPII RĂMAŞI TEMPORAR

FĂRĂ ÎNGRIJIRE PĂRINTEASCĂ CA REZULTAT AL MIGRĂRII PĂRINŢILOR LA MUNCĂ ÎN STRĂINĂTATE..

246

RACU Igor, RACU Iulia, ANXIETATEA LA COPIII DE DIFERITĂ VÎRSTĂ.......................................................... 251

BÂLICI Veronica, VALORIFICAREA RELAȚIEI VALOARE-EDUCAȚIE ÎN CONTEXTUL ITEGRĂRII

NAȚIONAL-EUROPENE..................................................................................................................... .........................

254

BULAT Valeriu, PRINCIPIILE ȘI FUNCȚIILE MANAGEMENTULUI EDUCAȚIONAL ÎN SISTEMUL DE

ÎNVĂȚĂMÎNT MILITAR………………………………………………………………………………………………………….

257

PAVLENKO Lilia, DEZVOLTAREA COMPETENŢELOR SOCIALE DIN PERSPECTIVA INTEGRĂRII

EUROPENE..................................................................................................................... .............................................

267

SLOBODANIUC Alina, IMPORTANȚA FORMĂRII COMPETENȚEI DE EXPRIMARE ORALĂ ÎN LIMBA

STRĂINĂ DE SPECIALITATE LA VIITORUL FUNCȚIONAR PUBLIC.....................................................................

270

PISCUNOV Nicolai, PISCUNOV Alexandra, ÎNVĂTAREA BAZATĂ PE PROBLEME (PROBLEM BASED

LEARING)………………………………………………………………………………………………………………………...

275

Atelierul VI Științe istorice și științe sociale

CHICIUC Liudmila, SECVENȚE DIN ACTIVITATEA ILUSTRULUI ECONOMIST, PROF.UNIV., TEODOSIE AL. ȘTIRBU, ÎN CADRUL INSTITUTULUI SOCIAL ROMÂN DIN BASARABIA (1934-1940)……………………….

280

CERNOV Alexei, CONFLICTUL DIN TRANSNITRIA ŞI IMPACTUL ASUPRA RELAŢIILOR ECONOMICE

DINTRE REPUBLICA MOLDOVA ŞI FEDERAŢIA RUSĂ (2001-2006)...................................................................

288

COVALSCHI Stanislav, CRIVENCHII Alexei, EVOLUŢIA INSTITUŢIEI DOMNIEI ÎN ŢARA MOLDOVEI

(SEC. XIV-XIX)…………………………………………………………………………………………………………………….

294

GHERASIM Cristina, ÎNCADRAREA ALOGENILOR ÎN RÂNDURILE NOBILIMII DIN BASARABIA ÎN

SECOLUL AL XIX-LEA.......................................................................................................................... .......................

297

IEŞANU Irina, IMPLEMENTAREA ȘCOLILOR RUSEȘTI ÎN RSSM – UN PROCES EFICIENT DE

DEZNAȚIONALIZARE ȘI RUSIFICARE A TINEREI GENERAȚII (1944-1953)........................................................

301

PĂDUREAC Lidia, MEMORII BASARABENE DESPRE REABILITAREA DEPORTAŢILOR................................. 305

TOMULEŢ Valentin, CONTRIBUŢII ISTORIOGRAFICE PRIVIND STATUTUL MAZILILOR ŞI RUPTAŞILOR

DIN BASARABIA ÎN PRIMA JUMĂTATE A SECOLULUI AL XIX-LEA.....................................................................

310

LUNGU Polina, OPERA LUI ALEXANDRU BOLDUR PRIVIND ISTORIA BASARABIEI: APRECIERI………..…. 319

Atelierul VII. ȘTIINȚE FILOLOGIE: LIMBA ȘI LITERATURA ROMÂNĂ

AXENTII Victor, TIPOLOGII ALE SITUAŢIILOR DE ELIPSĂ ÎN LIMBA ROMÂNĂ............................................. 325

BALŢATU Ludmila, OPERA ŞI PERSONALITATEA LUI DUMITRU MATCOVSCHI ÎN CONTEXTUL

LITERATURII EUROPENE……………………………………………………………………………………………………...

329

ARSENII Andriana, VIBRAŢIILE SUFLETULUI FEMININ ÎN LITERATURA ARTISTICĂ………………………… 334

BOBU Daniela, VALORI TRADIŢIONALE ALE EDUCAŢIEI ÎN FAŢA EXIGENŢELOR INTEGRĂRII EUROPENE… 339

DAVID Ala, TEXTUL MEDICAL ÎN CONTEXTUL STUDIILOR PE TEXT ACTUALE………………………………. 342

DERMENJI-GURGUROV Svetlana, AXAREA FORMĂRII PROFESIONALE INIŢIALE LA LIMBA ŞI

LITERATURA ROMÂNĂ PE FUNDAMENTE PSIHOPEDAGOGICE ŞI LINGVISTICO-LITERARE.......................

345

GĂLUŞCĂ Lilia, TEHNICI DE ÎMBOGĂŢIRE A VOCABULARULUI LA STUDENŢII STRĂINI........................... 350

GOLUBIȚCHI Silvia, METODOLOGIA FORMĂRII CONCEPTELOR GRAMATICALE ÎN CLASELE PRIMARE... 353

GROSU Liliana, TEORII ALE IMAGINĂRII ŞI IMAGINARULUI ÎN REALITATEA POETICĂ.................................... 357


6

IORGA (LUNGEANU)Violeta-Teodora, SERGE DOUBROVSKY ŞI EXTENSIILE CONCEPTULUI DE

AUTOFICŢIUNE…………………………………………………………………………………………………………………….

362

LUCHIANCIUC Natalia, PROFUNZIME ŞI FORŢĂ EXPRESIVĂ ÎN LIMBAJUL MAXIMELOR LATINEŞTI...... 366

NEAGA Liliana, METODOLOGIA PREDĂRII GRAMATICII FUNCŢIONALE STUDENŢILOR STRĂINI

(însuşirea cazului acuzativ)………………………………………………………………………………………………………

369

PETCU Valeriana, FĂNUŞ NEAGU – EXPRESIE A REALITĂȚII ROMÂNEŞTI.......................................................... 373

PETRENCO Liuba, DEZVOLTAREA COMPETENŢEI DE SCRIERE LA LECŢIILE DE LIMBA ROMÂNĂ ÎN

ŞCOLILE CU INSTRUIRE ÎN LIMBA RUSĂ………………………………………………………………………………….

377

TECUCI Alexandru, NICOLAE TODOSĂ ŞI DRAGOSTEA DE BAŞTINĂ (Recenzie la cărțile ,,Valea Dragă’’

și ,,Valea Dragă – vale-n șușumele’’)................................................................................................... ........................

380

TUGAREV Laura, CADRU DE CONSTITUIRE A TEORIILOR MODERNE PRIVIND ART JURNALISMUL........... 384

UNTILĂ Tatiana, STRATEGII DE PREDARE-ÎNVĂŢARE A VERBELOR REFLEXIVE DIN LIMBA RUSĂ.......... 388

VICOL Nelu, BARNA Iulia, CÂMPUL LIMBAJULUI CA FUNDARE PSIHOLINGVISTICĂ A COMUNICĂRII.. 391

VIZIRU-STEGARESCU Ana, ROLUL LIBERULUI ACCES LA INFORMAŢIE PENTRU DEMOCRATIZAREA

SOCIETĂŢII................................................................................................................... ...............................................

394

Atelierul VIII. ȘTIINȚE FILOLOGICE: LIMBI MODERNE

BABÂRĂ Eugenia, TÎRSÎNĂ Daniela, THE OSMOSIS OF COMMUNICATIVE COMPETENCES – THE

PROCESS OF ACQUISITION OF KNOWLEDGE…………………………………………………………………………...

399

BOICO Dorina, ANALYZING COMPOUND WORD PROCESSING THROUGH THE PERSPECTIVE OF

LINGUISTICS………………………………………………………………………………………………………………………

402

CHIRDEACHIN Alexei, UNITAŢI FONETICO-FONEMATICE ÎN CONTEXTUL GLOTODIDACTICII:

CORAPORT ÎNTRE ASPECTELE CURRICULAR ŞI COMUNICATIV.......................................................................

406

COLODEEVA Liliana, THE MODERNIST PSYCHOANALYTIC APPROACH………………………………………. 409

GĂLĂŢANU Daniel, MADAME DE STAËL ET LES DEBUTS DU ROMANTISME EN FRANCE……………….. 413

MAXIM Natalia, LA REVOLUTION FRANÇAISE ENVISAGEE DANS L’ŒUVRE LITTERAIRE DE

VICTOR HUGO……………………………………………………………………………………………………………………

418

MORARU Ecaterina, LES EMPRUNTS. PROBLEMES D’INTEGRATION DES ANGLICISMES………………….. 422

BABÂRĂ Nicanor, SANDU Tatiana, PARTICULARITĂȚI ȘI CONSIDERAȚIUNI INTEGRALE STATUTARE

ALE DIFTONGULUI CENTRAL ENGLEZ /ˊeə/ (varianta britanică).........................................................................

428

PAŞALÎ Nadejda, IMPORTANCE OF ENGLISH LOANWORDS IN ROMANIAN LANGUAGE…………………... 432

PUŞNEI Irina, TEACHING WITH HUMOUR-AN APPROACH TO EFFICIENT LANGUAGE LEARNING…… 435

PINTILII Alina, THE NOVELTY OF THE VICTORIAN MOVEMENT………………………………………………… 438

СУЛАК Софья, МИЛКАН Елена, ЯЗЫКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЦЕЛЕЙ КАК ПОРОЖДЕНИЕ НОВЫХ

ОТНОШЕНИЙ В ЕВРОИНТЕГРАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ.................................................................................

441

USATÂI Larisa, ORTOGRAFIA ENGLEZĂ ÎN FORMAREA COMPETENŢILOR DE PRONUNŢIE:

CORELAŢIA ROSTIRE-SCRIERE.................................................................................................. ..............................

445

BOZBEI Valentina, BUSINESS ENGLISH – GENERAL FEATURES AND DIFFICULTIES IN TRANSLATING… 448


7

Atelierul IV. ȘTIINȚE EXACTE ȘI INGINEREȘTI

CALCULUL DIFERENȚIAL ȘI CALCULUL INTEGRAL ÎN INGINERIE

BAGRIN Dumitru, lector superior universitar,

Universitatea de Stat ”Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul

The extent of the application of mathematics in various Sciences is diverse and depends on

many circumstances. The math is everywhere and, in principle, the scope of its possibilities and

mathematization of science are not limited. These possibilities depend, firstly, on the level of

development of mathematics, or the "maturity" of that domain, taking into account the extent to which

it has gone from a qualitative research to formulation of quantitative language’s equality, but the

structure of this science. If the foundation they contain a relatively small number of original principles

(axioms), from which can be deduced many non-trivial consequences (theorems), thus we have a

childbearing scope of mathematics, as examples of such sciences we can mention mechanics,

astronomy and physics, ect.

1. Funcţii derivabile de o singură variabilă. Derivate. Diferenţiale. Aplicaţii

1.1 Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct

Sunt cunoscute noţiunile de creştere a argumentului x , creşterea funcţiei

)).()(,( 00 xfxffxxxf De asemenea se cunosc problemele care conduc la noţiunea de

derivată: tangenta la graficul unei funcţii y = f(x) în punctul (x0 , y0); viteza instantanee a unui mobil,

ce se mişcă conform legii s = s(t), în momentul de timp t0 .

Definiţie. Se spune că funcţia f : ER, y = f(x) are derivată în punctul de acumulare

REEx ,0 , dacă există limita raportului creşterii funcţiei către creşterea argumentului când

creşterea argumentului tinde spre zero x

xfxxf

x

)()(lim 00

0.

Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0 şi se notează )( 0xf .

Dacă, în plus, )( 0xf este finită, funcţia f se numeşte derivabilă în punctul x0 .

Aşadar: x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00 (1)

Observații.

1. În punctele izolate ale mulţimii nu se pune problema existenţei derivatei sau derivabilităţii funcţiei.

2. Funcţia f nu este derivabilă în punctul x0, dacă x

xfxxf

x

)()(lim 00

0 există şi este

infinită sau nu există.

3. Derivabilitatea funcţiei, similar cu limita şi continuitatea funcţiei, este o proprietate locală a acesteia (valorile funcţiei se cercetează doar într-o vecinătate a punctului x0)

1.

Revenind la exemplele din geometrie şi fizică, deducem:

a) mxf )( 0 este panta tangentei la graficul funcţiei y = f(x) în punctul ),( 000 yxM cu

ecuaţia )())(( 000 xfxxxfy .

1 Ministerul Educaţiei al R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică” manual cl. XI, Editura Prut Internaţional, 2003, 304 pagini.


8

b) )()( 00 tstv – viteza instantanee a unui mobil în momentul de timp t0 este valoarea derivatei

vitezei în t0.

c) )()( 00 tvta – acceleraţia instantanee a unui mobil la momentul t0 este valoarea derivatei

vitezei în t0.

În continuare vom studia derivata funcţiei pe un interval I.

Definiţie. Se spune că funcţia f : IR, unde intervalul IR este derivabilă pe mulţimea M(M I), dacă ea este derivabilă în orice punct din M1.

În acest caz, funcţia f : MR, care asociază fiecărui punct Mx (M I), numărul real f (x)

se numeşte derivata funcţiei f pe mulţimea M. Operaţia prin care din f se obţine f se numeşte derivare2.

Observaţie. Derivata funcţiei y = f(x) se notează: dy, df, d(f), y , f . Şi se exprimă prin:

x

xfxxf

x

yxf

xx

)()(limlim)(

00(2)

Definiţie. Fie funcţia f : DR. Mulţimea punctelor în care funcţia f este derivabilă se numeşte domeniul de derivabilitate a funcţiei f, se notează: ., DDD ff

Exemple.

Să se arate că funcţia f : RR este derivabilă pe mulţimea R şi să se calculeze derivata ei3:

a) 13)( xxf ; b) xxxf 23)( .

Rezolvare.

a) conform definiţiei (2) calculăm

x

xxx

x

xfxxf

xx

)13(1)(3lim

)()(lim

00 .3

3lim

0

x

x

x

Aşadar funcţia 13)( xxf este derivabilă în orice punct din R şi .313)( xxf b) Avem

x

xxxxxx

x

xfxxf

xx

)3()()(3lim

)()(lim

22

00

x

xxxxxxxx

x

222

0

3363lim

.16

316lim

0

x

x

xxx

x

Funcţia xxxf 23)( este derivabilă în orice punct din R şi .163)( 2 xxxxf

1.1.1 Derivabilitate şi continuitate

Cunoaştem, că dacă 0lim0

yx

, atunci funcţia y = f(x) se numeşte continuă în punctul x;

funcţia y = f(x) se numeşte diferenţiabilă în punctul x, dacă există derivata ei în acest punct, adică dacă

există limita )(lim0

xfx

y

x

.

Noţiunile de derivabilitate (diferenţiabilitate) şi continuitate sunt legate reciproc prin

următoarea teoremă.

Teoremă: Dacă funcţia y = f(x) este diferenţiabilă într-un punct oarecare, atunci ea este

continuă în acelaşi punct. Afirmaţia reciprocă este o condiţie necesară (funcţia continuă într-un punct

poate să nu aibă derivată în acest punct).

Demonstraţie.

1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С. Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509 с. 3 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1, Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с.


9

Fie f : DR şi Dx un punct în care funcţia f este derivabilă, adică există limita

)(lim0

xfx

y

x

.

Scriem identitatea 0,

xx

x

yy . Trecem la limită, când 0x :

.00)(limlimlim000

xfy

x

yy

xxx

Prin urmare funcţia f este continuă în acest punct.

Consecinţă. Dacă funcţia este discontinuă într-un punct oarecare, atunci în acest punct funcţia

nu-i derivabilă.

Drept exemplu de funcţie continuă într-un punct dar nederivabilă în el serveşte funcţia

xy .

Fig. 1

În punctul x = 0 funcţia este continuă dar nederivabilă, fiindcă în acest punct nu există tangenta

la graficul ei.

1.1.2 Derivate laterale

Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga pentru mulţimea E şi funcţia f :

ER. Limita 0

0)()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx

(dacă există), finită sau infinită, se numeşte derivata la stânga a

funcţiei în punctul x0 . Se notează: ).( 0xfs

.)()(

lim)(0

00

0

0 xx

xfxfxf

xxxx

s

(3)

Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la dreapta pentru mulţimea E şi funcţia

f : ER. Limita 0

0)()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx

(dacă există), finită sau infinită, se numeşte derivata la dreapta a

funcţiei în punctul x0 1. Se notează: ).( 0xfd

.)()(

lim)(0

00

0

0 xx

xfxfxf

xxxx

d

(4)

Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga (respectiv la dreapta) pentru

mulţimea E. Funcţia f : ER se numeşte derivabilă la stânga (respectiv, la dreapta) în punctul x0,

1 Ministerul Educaţiei al R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică” manual cl. XI, Editura Prut Internaţional, 2003, 304 pagini.


10

dacă limita (3) (respectiv, (4)) există şi este finită1.

Astfel, funcţia f : ER, xxf )( , este derivabilă la stânga şi la dreapta în punctul x0 = 0:

1)0(,1)0( ds ff . Dar fiindcă )0()0( ds ff , funcţia xxf )( nu-i derivabilă în punctul x = 0.

Criteriul derivabilităţii funcţiei f în punctul Ex 0 este expus în următoarea teoremă2.

Teoremă. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga şi la dreapta pentru mulţimea

E. Funcţia f : ER este derivabilă în punctul x0, dacă şi numai dacă ea este derivabilă la stânga şi la

dreapta în x0 şi )()()( 000 xfxfxf ds .

Demonstrarea acestei teoreme reiese nemijlocit din teorema despre existenţa limitei unei funcţii

în punctul dat3.

1.2 Interpretarea geometrică a derivatei

Fie că pe intervalul (a, b) este definită funcţia y = f(x) derivabilă cu graficul său Gf.

Fig. 2

Fixăm pe Gf. punctul A(x, f(x)) şi vom determina tangenta la graficul funcţiei în punctul dat,

pentru aceasta mai luăm pe Gf. un punct B( )(, xxfxx ) , unde 0x (pe fig. 1 0x , iar

pe fig. 2 0x ). Dreapta (AB) o vom numi secantă şi o vom nota cu litera S. Unghiul format de

secantă îl vom nota prin . Socotim că 22

. În ambele cazuri avem

x

ytg

(fig. 1:

BCyACx , , fig. 2: CByCAx , )4.

Dacă 0x , atunci 0y şi punctul B, mişcându-se pe Gf, tinde către punctul A. Dacă în

acest caz unghiul tinde către valoarea oarecare , diferit de 2

şi

2

, atunci există limita:

tgtgy

x

x

limlim

0(1)

Care reprezintă derivata funcţiei în punctul x:

tgxf )( (2)

Reciproc, dacă există derivata (finită) )(xf , atunci )(xfarctg .

Când , secanta S tinde să ocupe poziţia tangentei T, ce trece prin punctul A şi formează

atunci unghiul cu direcţia pozitivă a axei absciselor. Dreapta orientată T se numeşte tangentă la graficul funcţiei Gf. în punctul de tangenţă A.

Definiţie. Se numeşte tangentă la graficul funcţiei y = f(x) în punctul A(x, f(x)), dreapta

1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С. Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509 с. 3 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1, Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с. 4 Ministerul Educaţiei al R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică” manual cl. XI, Editura Prut Internaţional, 2003, 304 pagini.


11

orientată T către care tinde secanta S, ce trece prin punctele A şi B, când 0x . Astfel am demonstrat, că funcţia y = f(x) este derivabilă în punctul ),( bax , atunci graficul

Gf. în acest punct are tangentă cu coeficientul unghiular

22),(

xftg . Reciproc

din existenţa limitei

22,lim

, rezultă existenţa derivatei )(xf şi a relaţiilor (1)

şi (2).

Să determinăm ecuaţia tangentei în punctul ))(,( 00 xfx al graficului funcţiei derivabile f în x01.

Ecuaţia dreptei cu coeficientul unghiular )( 0xf este de forma bxxfy )( 0 . Ordonata b

o calculăm din condiţia că tangenta trece prin punctul ))(,( 00 xfx :

.)()()()( 000000 xxfxfbbxxfxf

Atunci: 0000 )()()( xxfxfxxfy

)())(( 000 xfxxxfy (3)

ecuaţia în ))(,( 00 xfx la graficul funcţiei continue y = f(x).

Exemple.

1. Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctele de abscisă specificate şi să se interpreteze geometric rezultatul obţinut:

Rf ),0(: , 1lg)( xxf , x0 = 10.

Rezolvare:

Cum

10,lg1

10,1lg1lg)(

xx

xxxxf ,

10ln

11lg)(

xxxfd

,

10ln10

1)10( df ,

10ln

1lg1)(

xxxfs

, 10ln10

1)10( sf .

)10()10( ds ff .

Funcţia nu este derivabilă în x0 = 10. A – fiind punct de întoarcere.

Fig. 3

2. Să se scrie, utilizând definiţia derivatei, ecuaţia tangentei la graficul funcţiei2:

]1,1[: Rf , xxf sin)( în 3

0

x .

Rezolvare.

Ecuaţia tangentei în punctul ))(,( 00 xfx este de forma

1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С. Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509 с.


12

)())(( 000 xfxxxfy ,

2

3

3sin)( 0

xf .

Conform definiţiei derivatei

x

xxx

x

yxf

xx

sin)sin(limlim)(

00

2

cos

2

2sin

lim2cos

2sin2

lim00

xx

x

x

x

xxxxxx

xx.coscos1 xx

Deci 2

1

3cos)( 0

xf .

Ecuaţia tangentei în 3

0

x la graficul funcţiei xxf sin)( este:

.6

33

2

1

2

3

62

1

2

3

32

1

xyxyxy Răspuns:

6

33

2

1 xy .

3. Să se afle coeficienţii Rcb , , ştiind că în punctul (-1, -2), parabola cbxxxf 2)(

are ca tangentă dreapta de ecuaţie xy 2 .

Rezolvare.

Aplicând sensul geometric al derivatei avem: 2)1( f , unde

bxcbxxxf 2)()( 2 , .42)1(2 bb

Cum ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(x) în punctul ))(,( 00 xfx este de forma

)())(( 000 xfxxxfy ,

0000 )()()( xxfxfxxfy ,

atunci comparând cu ecuaţia xy 2 , primim

30)1(210)()( 000 cbcbxxfxf

.4,1 bc

Aşadar pentru 1,4 cb are loc afirmaţia dată.

1.3. Sensul mecanic al derivatei

Fie că punctul material se mișcă rectiliniu conform legii 𝑠 = 𝑓(𝑡), t-timpul, s (t)- deplasarea.

Atunci viteza medie a punctului pe intervalul de timp [𝑡𝑜,𝑡𝑜 + ∆𝑡] este 𝑣𝑚 =∆𝑓(𝑡0)

∆𝑡

Viteza instantanee 𝑣(𝑡𝑜) în momentul de timp 𝑡𝑜 se numește limită (dacă există), spre care tinde viteza medie 𝑣𝑚 în timpul ∆𝑡 cînd ∆𝑡 → 0, adică

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0 𝑣 𝑚 = lim∆𝑡→0∆𝑓(𝑡0)

∆𝑡= 𝑠′(𝑡0)

Așadar viteza momentară a mișcării rectilinii a punctului material este derivata deplasării s în

raport de timpul t:

𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Acesta și este sensul mecanic al derivatei de ordinul unu.

La rîndul său viteza 𝑣(𝑡) deasemenea este o funcție de timp. Atunci derivata vitezei 𝑣(𝑡) =

(𝑠′(𝑡))′

= 𝑠"(𝑡) este derivata de ordinul doi a deplasării 𝑠"(𝑡), care în mecanică se numește


13

accelerația punctului material în mișcarea rectilinie: (𝑎(𝑡)):

𝑎(𝑡) =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

Exemplu: Corpul se mișcă rectiliniu după legea 𝑠(𝑡) = 3 − 4𝑡 + 2𝑡3 (𝑚) . De determinat viteza și accelerația corpului în momentul de limp 𝑡 = 3(𝑠).

Rezolvare.

Viteza mișcării copului:

𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = (3 − 4𝑡 + 2𝑡3)′ = −4 + 6𝑡2 𝑣(3) = −4 + 6 ∙ 9 = 50(𝑚 𝑠⁄ )

Accelerația mișcării:

𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = (−4 + 6𝑡2) = 12𝑡

𝑎(3) = 12 − 3 = 36 (𝑚𝑠2⁄

)

1.4 Diferenţiala unei funcţii de o singură variabilă

Fie RIf : )( RI , o funcţie derivabilă pe intervalul I şi Ix 0 (x0 –

punct interior lui I).

Atunci, conform definiţiei derivatei unei funcţii într-un punct,

.)()(

lim)( 000

0x

xfxxfxf

x

(1)

Din (1) şi definiţia limitei unei funcţii într-un punct rezultă că

),()()()(

000 xxf

x

xfxxf

(2)

unde .0)(lim0

xx

Folosind relaţia (2), obţinem

xxxxfxfxxf )()()()( 000 sau

xxxxfxf )()()( 00 (3)

Din relaţia (3) rezultă că creşterea )( 0xf a unei funcţii f derivabile într-un punct x0 se exprimă ca o

sumă de doi termeni: termenul xxf )( 0 , care este direct proporţional cu creşterea argumentului, şi

termenului xx )( , unde )( x este un infinit mic.

Definiţie. Funcţia RRg : , xxfxg )()( 00 , se numeşte diferenţiabila funcţiei f în

punctul x0 şi se notează )( 0xdf . Deci:

.)()( 00 xxfxdf (4)

Exemplu. Să calculăm diferenţiala funcţiei RRf : , f(x) = x.

Cum 1)( 0 xf , obţinem xdx . Atunci din relaţia (4) rezultă că .)()( 00 dxxfxdf

Dacă funcţia f este derivabilă în orice punct din I, obţinem formula:

.,)()( 00 Ixdxxfxdf (5)

Exemple.

1. Pentru funcţia xxfRf sin)(],1,1[: , obţinem

.cos)(sin)(sin)( xdxdxxxdxdf

2. Pentru funcţia xxgRg 8log)(,),0(: , avem .8ln8ln

1)(

x

dxdx

xxdf

Interpretarea geometrică a diferenţialei unei funcţii f derivabile într-un punct x0 este prezentată

în Fig. 4.


14

Fig. 4

Trasăm tangenta la graficul Gf în punctul A( )(, 00 xfx ). Avem AB

BCxftgABx )(, 0

(vezi ABC cu m 090B ). Atunci ABxfBC )( 0 sau )()( 00 xdfxxfBC . Deci, interpretarea geometrică a diferenţialei unei funcţii f în punctul x0 este următoarea:

)( 0xf reprezintă creşterea „ordonatei funcţiei f ”, ce corespunde creşterii x a agrementului ei, iar

)( 0xdf reprezintă creşterea „ordonatei tangentei” la graficul Gf în punctul ( )(, 00 xfx ), ce

corespunde aceleiaşi creşteri x a argumentului funcţiei f (fig. 9). Formulele (3) şi (4) implică următoarea relaţie de aproximare:

)()()( 000 xdfxfxxf (6)

sau BCBD .

Cum ecuaţia tangentei la graficul Gf în punctul A( )(, 00 xfx ) este ))(()( 000 xxxfxfy ,

din relaţia (6) rezultă

xxfxfxxf )()()( 000 . (7)

Atunci pentru x suficient de mic avem yxxf )( 0 . Cu alte cuvinte, în vecinătatea

punctului A, pe o porţiune suficient de mică a graficului funcţiei f, arcul de curbă este aproximat cu un

segment al dreptei tangente la graficul Gf în punctul A.

Formula (7) se aplică deseori la calculul aproximativ al valorilor unei funcţii într-un punct

indicat.

Exemplu. Să se calculeze cu aproximaţie valoarea funcţiei 154)( 2 xxxf în punctul x =

1,1.

Rezolvare.

x = 1,1 = 1+0,1 = x0 + x . Atunci x0 = 1, x = 0,1. Calculăm f(1) şi )1(f :

1215114)1( 2 f ;

18)( xxf şi .7118)1( f

Substituind în (7), obţinem:

.3,111,07121,0)1()1()1,1( fff

Valoarea exactă a funcţiei f în acest punct este: f(1,1) = – 11,26.

2. Rolul derivatei întâi în studiul funcţiilor.

2.1 Intervalele de monotonie ale unei funcţii

În studiul variaţiei unei funcţii este important să cunoaştem în ce condiţii funcţia este constantă

sau monotonă pe un interval dat. Am stabilit deja că derivata unei funcţii constante pe un interval dat

este egală cu zero. Va fi utilă şi reciproca acestei afirmaţii.

Teorema 1. Fie REf : )( RE o funcţie derivabilă. Dacă derivata funcţiei f este egală

cu zero pe un interval EI , atunci funcţia f este constantă pe acest interval.


15

Observaţii.

1. Dacă 0)( xf , Ix , atunci funcţia f este strict crescătoare pe I.

2. Dacă 0)( xf , Ix , atunci funcţia f este strict descrescătoare pe I.

3. Din faptul că funcţia f este strict crescătoare (strict descrescătoare) pe I, nu rezultă că f nu

se anulează în nici un punct din I. De exemplu, fie RRf : , 3)( xxf . Avem 0)0( f , funcţia

f fiind strict crescătoare pe R.

Concluzie. O funcţie derivabilă este strict monotonă pe intervalele pe care derivata sa păstrează

semn constant. Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile, determinăm

intervalele pe care derivata sa îşi păstrează semnul.

2.2 Puncte de extrem ale unei funcţii

Definiţii.

Fie RIf : (intervalul RI ). Un punct Ix 0 se numeşte punct de maxim local al

funcţiei f dacă există o vecinătate )( 0xV a lui x0, astfel încât )()( 0xfxf , IxVx )( 0 . În

acest caz valoarea )( 0xf se numeşte maxim local al funcţiei f.

Un punct Ix 0 se numeşte punct de minim local al funcţiei f dacă există o vecinătate

)( 0xV a lui x0, astfel încât )()( 0 xfxf , IxVx )( 0 . În acest caz valoarea )( 0xf se

numeşte minim local al funcţiei f.

Punctele de maxim local şi de minim local ale unei funcţii se numesc puncte de extrem local ale acestei funcţii.

Valorile unei funcţii în punctele ei de extrem local se numesc extremele locale ale acestei funcţii.

Definiţii.

Fie RIf : (intervalul RI ). Un punct Ix 0 se numeşte punct de maxim global al

funcţiei f dacă )()( 0xfxf , Ix , iar valoarea lui )( 0xf se numeşte maximul global al funcţiei

f pe I.

Un punct Ix 0 se numeşte punct de minim global al funcţiei f dacă )()( 0 xfxf ,

Ix , iar valoarea lui )( 0xf se numeşte minimul global al funcţiei f pe I.

Punctele de maxim global şi minim global ale unei funcţii se numesc puncte de extrem global ale acestei funcţii pe I.

Concluzii: Fie funcţia RIf : (intervalul RI ) derivabilă pe intervalul I şi x0 un punct

interior lui I în care 0)( 0 xf .

1. Dacă 0)( xf , Ix , x < x0, şi 0)( xf , Ix , x > x0, atunci x0 este punct de

maxim local al funcţiei f (se notează: ).

2. Dacă , , x < x0, şi , , x > x0, atunci x0 este punct de

minim local al funcţiei f (se notează: ).

3. Dacă derivata unei funcţii are acelaşi semn la stânga şi la dreapta lui x0, atunci x0 nu este un punct de extrem al acestei funcţii.

Definiţie. Fie funcţia (intervalul ) derivabilă pe intervalul I. Punctele în care

ia valoarea zero se numesc puncte critice ale funcţiei f.

Observaţie. Concluziile 1–3 rămân adevărate şi în cazul în care funcţia f continuă în x0 nu este

derivabilă în x0. Astfel de puncte de asemenea se numesc punct critice ale lui f.

De exemplu, funcţia , , nu este derivabilă în x0 = 0, însă x0 = 0 este

)( 0xf

0)( xf Ix 0)( xf Ix

)( 0xf

RIf : RI

f

RRf : xxf )(


16

punct de minim al acestei funcţii. Într-adevăr, şi derivata îşi schimbă

semnul în punctul x0 = 0 din „–” în „+”.

Reţineţi: Intervalele de monotonie şi punctele de extrem ale unei funcţii ( ),

derivabile pe mulţimea E, pot fi determinate aplicând algoritmul:

o Se calculează .

o Se rezolvă ecuaţia ; soluţiile acestei ecuaţii (zerourile funcţiei ) sunt eventualele

puncte de extrem ale funcţiei f.

o Se determină semnul funcţiei pe intervalele pe care ea nu se anulează.

o Se stabilesc intervalele pe care funcţia are semn constant, acestea fiind intervalele de

monotonie ale lui f.

o Se determină punctele de extrem.

3. Aplicații ale derivatelor în rezolvarea problemelor de optimizări.

Rezultatele teoretice privind aplicarea derivatelor la determinarea punctelor de extrem ale unei

funcții pot fi aplicate la rezolvarea unor probleme cu conținut concret, probleme de fizică, geometrie și

economie, în conținutul cărora se cercetează optimizările. În acest caz se procedează în felul următor:

mărimea cercetată se exprimă printr-o funcție de o singură variabilă care fiind cercetată la extreme ne

dă rezolvarea problemei concrete.

Exemple de probleme de optimizări

1. Dintr-o bucată de tablă de formă dreptunghiulară cu laturile a și b )0( ab se

decupează în fiecare colț un pătrat și apoi se îndoaie marginile formate. Se obține o cutie forma unui

paralelipiped dreptunghic fără capac. Să se determine înălțimea cutiei, astfel încât volumul ei să fie

maxim.

Rezolvare:

Notăm cu x lungimea laturii pătratului decupat și obținem volumul V(x) al cutiei:

abxxbaxxbxaxxV 23 24)2)(2()( ,

Fig. 5

Unde x variază pe intervalul

2,0a

. Astfel problema se reduce la determinarea celei mai mari

valori a funcției Ra

V

2,0: , abxxbaxxV 23 24)( . Aflăm extremele funcție V.

Avem abxbaxxV 412)( 2 . Rezolvăm ecuația 0)( xV și obținem că pe intervalul

2,0a

ea are o soluție unică: 6

22

0

abbabax

. Cum 0

2)0(

aVV , rezultă că în

punctul 0x funcția V ia cea mai mare valoare.

),0(,1

)0,(,1)(

xdaca

xdacaxf

REf : RE

f

0)( xf f

f

f


17

Răspuns: Cubul are volum maxim dacă înălțimea ei este 6

22 abbaba .

2. Să se determine coordonatele punctului graficului funcție 3)(,: 2 xxfRRf

aflat la distanța minimă de punctul )5,10(M .

Rezolvare:

Orice punct A al graficului funcție f are abscisa x și ordonata 32 x , Rx . Notăm cu )(x

distanța dintre punctele M și A și obținem:

104203)53()10()( 24222 xxxxxx .

Problema se reduce la determinarea minimului funcției

104203)(,: 24 xxxxRR Avem:

.20104203

1032)(

24

3

x

xxx

xxx Punctul 20 x este punct de minim local pentru

funcția , deoarece 0 , dacă 2x . Atunci 732)2( 2 f Deci coordonatele punctului A sunt 2 și 7.

1. Cererea de piață la un produs este descrisă de funcția

,012720)( 2xxxp unde x este numărul de unități de produs, iar p – prețul (în lei).

Să se determine venitul brut maxim din vînzarea produsului, dacă cheltuielile medii pentru a

produce o unitate se descriu de funcția xx

xC 25001000

)( . (Funcția cererii și funcția

cheltuielilor medii se determină în baza datelor statistice.)

Să se determine valoarea prețului pentru care venitul brut este maxim.

Rezolvare:

Venitul brut

xxxxxCxxpxV )1,02780()()()( 2

.10001,0428025001000 32

xxxxx

x

Derivata .3,08280)( 2xxxxV Din 0)( xV obținem ecuația 028083,02 xx ,

cu soluțiile 6,0

28,20 21 xx (care nu corespunde condiției problemei). Deoarece 0)20( V ,

avem în punctul 20x maxim. Astfel, obținem venitul brut maxim

22001000201,020420280)20( 32 V (lei) și prețul respectiv

700201,0202780)20( 2 p (lei).

Răspuns: 2200 lei; 700 lei.

4. Calculul integral în inginerie

4.1 Aplicaţiile mecanice ale integralei definite.

4.1.1 Calcularea lucrului mecanic

Fie )(xFF

o forţă care este considerată ca o funcţie continuă pe [a,b] şi M sub acţiune forţei

F . Reieşind din sensul mecanic al integralei definite, avem că lucrul mecanic, efectuat de forţa

F (care acţionează în direcţia mişcării) pentru deplasarea punctului material M din poziţia x=a în poziţia

x=b de-a lungul acestui segment, este egal cu:


18

b

a

dxxFA )( (10)

În calitate de forţa

F poate fi considerată: Forţa de acţiune a unui arc elastic;

Forţa de acţiune a unei surse magnetice asupra unui corp magnetic;

Forţa de interacţiune între două încărcături electrice;

Forţa de atracţie universală între două corpuri; Exemplu. Să se afle lucrul mecanic efectuat de forţa de elasticitate a unui resort, fixat cu un

capăt, la deplasarea corpului dat din punctul b al axei 0x în punctul a al acestei axe, b>a:

Fig. 6

Conform legii lui Cokke, avem

F =-kx, unde k – coeficientul de elasticitate a resortului,

semnul minus arată că forţa

F este orientată în sensul negativ al axei 0x.

Obţinem: b

a

b

a

abk

a

bxkxdxkdxxFA .

22)( 22

2

Exemplu. Forţa de acţiune reciprocă între două încărcături reciproce q1 şi q2 situate la distanţa

x una de alta, se determină după formula:

2

21

x

qqkF

, k=const

Presupunem că sarcina q1 este situată în originea 0 a axei 0x. Să se determine lucrul mecanic al

forţei

F la deplasarea sarcinii q2 din punctul M1 situat la distanţa r1 de sarcina q1 în punctul M2 care este situat la distanţa r2 > r1 de sarcina q1. Conform formulei (10), avem:

b

a

r

rrr

qqkr

r

xqqkdx

x

qqkdxxFA

21

21

1

2

212

21 111)(2

1

Exemplu. Să se calculeze lucrul necesar pentru lansarea unui corp cu masa m de pe suprafaţa

pământului vertical în sus la înălţimea h.

Conform legii atracţiei universale forţa care acţionează asupra corpului dat este:

2x

mmkF

p , unde mp este masa pământului iar x este distanţa de la corp pînă la centrul

pământului.

Deci: 22 xx

mmkF

p

, hrrx , unde r – raza pământului, iar h – orice număr real

pozitiv. Dacă x=r, adică corpul se găseşte pe Pământ, atunci forţa 2

)(r

rF

este egală cu greutatea

acestui corp, adică P=mg, unde g este acceleraţii căderii libere. Prin urmare, ,2

mgr

2mgr , şi 2

2

)(x

mgrxF , hrrx , 1.

1 I. C. Şcerbaţchi, „Analiza matematică”(probleme), Vol. I şi II, Editura „Tehnica” 1998, 308, 362 p.


19

Aşadar, conform formulei (10) obţinem:

hr

mgrh

hrr

hmgr

hrrmgr

r

hr

xmgr

x

dxmgrdxxFA

hr

r

hr

r

)(

11

1)(

22

2

2

2

4.1.2. Centrul de greutate al liniei plane materiale (numită cablu)

Din cursul de fizică este cunoscut că dacă în planul x0y avem un sistem de n puncte materiale

μ1(x1,y1), μ2(x2,y2),...,μn(xnyn) ale căror mase sunt respectiv m1,m2,…,mn, atunci coordonatele

centrului de greutate C(xc,yc) al sistemului se calculează după formula:

n

i

i

n

i

ii

c

m

mx

x

1

1 ,

n

i

i

n

i

ii

c

m

my

y

1

1 , unde

n

i

imM1

se numeşte masa sistemului, iar mărimile

n

i

iiy mxM1

0 , şi

n

i

iix myM1

0 se numesc momentele statice ale sistemului în raport cu axele

de coordonate 0y şi 0x. În fizică se mai întîlnesc şi expresii de forma:

n

i

iiy mxI1

2

0 ,

n

i

iix myI1

2

0 ,

n

i

iii myxI1

22

0

care se numesc momente de inerţie ale sistemului în raport cu axele de coordonate şi de originii

x0y.

Dacă aceste puncte materiale reprezintă arce de curbe plane omogene, atunci masele lor

mi(i=1,…,n) sunt proporţionale cu cu lungimile arcelor lor.

Fie BA

un arc de curbă materială neomogenă caracterizată prin graficul funcţiei y=f(x), care

este continuă cu derivata sa pe [a,b] şi densitatea liniară γ=γ(x) care este o funcţie pozitivă şi continuă

pe [a,b].

Înpărţim arcul BA

în n arce parţiale cu ajutorul punctelor:

BMMMMMA nii ,...,,,...,, 110

Fig. 7

Şi notăm lungimile acestor arce respectiv prin ni llll ,...,,...,, 21 . Întrucît funcţia f(x),


20

],[ bax este continuă împreună cu derivata sa pe [a,b], lungimea ∆li a arcului ii MM 1 se exprimă

cu o mică eroare, prin lungimea coardei ii MM 1 . Deci:

212

11 )()( iiiiiii xfxfxxMMl

Aplicînd teorema Lagrange la funcţia f(x), continuă pe [xi-1xi] obţinem:

iiiii

iiiiii

xtfxxtf

xxtfxxl

2

1

2

2

1

2

1

)(1)(1

)(

unde ],[ 1 iii xxt

Dacă presupunem că arcul parţial ii MM 1 este omogen cu densitatea γ=γ(ti), atunci masa

acestui arc se exprimă prin formula aproximativă:

iiiii xtftltm 2

2 )(1)()(

Trecînd la limită cînd λ=max∆xi tinde la zero obţinem următoarele:

a) masa totală a arcului BA

este:

n

i

n

i

iiii xtftmM1 1

2)(1)( sau conform definiţiei integralei definite

Rienman:

b

a

n

i

iii dxxfxxtftM ;)(1)()(1)(lim2

1

2

0

(11)

b) momente statice:

b

a

y dxyxxM ;1)(2

0 (12)

b

a

x dxyxyM ;1)(2

0 (13)

c) momentele de inerţie ale liniei plane:

b

a

y dxyxxI ;1)(22

0 (14)

b

a

x dxyxyI ;1)(22

0 (15)

d) coordonatele centrului de greutate ale liniei plane:

b

a

b

ay

c

dxyx

dxyxx

M

Mx

;1)(

;1)(

2

2

0

(16)

b

a

b

axc

dxyx

dxyxy

M

My

;1)(

;1)(

2

2

0

(17)

Constatăm că dacă linia materială este omogenă, adică γ=const, atunci:


21

b

a

c dxyxL

x ;11 2

(18)

b

a

c dxyyL

y ;11 2

(19)

unde L este lungimea arcului liniei materiale.

Teoremă. (Guldin) Aria suprafeţei laterale a unui corp de rotaţie generat prin rotaţia unui arc

de curbă plană în jurul unei axe, care se află în planul ei şi nu se intersectează cu ea, este egală cu

produsul dintre lungimea arcului care se roteşte şi lungimea circumferinţei descrise în cursul acestei

rotaţii de centrul de greutate al arcului.

Demonstraţie: din formula (19) b

a

c dxyyL

y ;11 2

pentru f(x)≥0, 0)( xf ,

bax , înmulţind ambele părţi la numărul 2πL, obţinem:

b

a

c dxyyLy ;1222

b

a

x dxyy ;122

0 - aria suprafeţei laterale a corpului de rotaţie generat la rotaţia

arcului BA

în jurul axei 0x;

2πyc – lungimea circumferinţei descrise de centrul de greutate al arcului;

L – lungimea arcului BA

1.

Exemplu. să se calculeze coodonatele centrului de greutate al arcului circumferinţei x2+y2=r2,

situată în cadranele 1 şi 4 , dacă densitatea γ=const=1.

Lungimea arcului de circumferinţă este egal cu rr

L

2

2. Întrucît arcul este simetric în

raport cu axa 0x avem că centrul de greutate se află pe această axă, adică: yc=0

Aplicînd formula (18) avem:

Fig. 8


y

0

r

-r

r


22

y

x 0

r

r

C

dttrtrtdtxx

ytr

r

t

try

trx

dxyxL

x tt

t

b

a

c

2

2

22222

2

2

2cossincos

11cos

1

2,

2

sin

cos

11

rt

rtdt

r 2

2

2sincos

2

2

Prin urmare centrul de greutate al arcului are coordonatele:

rxc

2 , y=0.

Exemplu. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al arcului de circumferinţă

x2+y2=r2, situat în cadranul 1, considerînd γ=const=1.

Fig. 9

Rezolvare: Lungimea arcului este 24

2 rrL

, aplicăm teorema lui Guldin. Dacă luăm în

calitate de axă de rotaţie axa 0x atunci suprafaţa corpului de rotaţie este o semisferă de rază r cu aria:

22

0 242

1rrx deci Lycx 20 şi

r

r

r

Ly xc

2

22

2

2

2

0

Similar dacă considerăm că axa de rotaţie este 0x, atunci:

,20 Lrxcx

r

r

r

Lx

y

c

2

22

2

2

20

Deci centrul de greutate este punctul

rrC

2,

2.

Acelaşi rezultat se capătă aplicînd formulele (9) şi (10) (verificaţi).

Exemplu. Să se determine coordonatele centrului de greutate al primului arc al cicloidei: x=a(t-

sint), y=a(1-cost), 0 ≤ t ≤ 2π.

Lungimea primului arc al cicloidei este L=8a.


23

Întrucât primul arc al cicloidei este simetric în raport cu dreapta x=aπ, avem xc=aπ. Ordonata

centrului de greutate este:

dttatataadtyxy

ay tttc

2

0

2222

2

0

22sincos1cos1

8

1

8

1

2

0

2

0

23

2

0

2

0

22

2sin

2cos1

22sin

2

2sin2

2sin2

8

2cos12cos1

8

ttata

dttt

ta

dttta

aaaa

aa

t

at

at

dt

aa

dtta

3

4

3

2211

3

0

2

3

2cos

0

2

2cos

2cos

2cos

22sin

2

2

0

2

0

3

2

Aşadar centrul de greutate este

aaC

3

4, .

4.1.3. Centrul de greutate al figurii plane materiale (numită placă)

Fie D un domeniu plan material mărginit de dreptele x=a, x=b, şi graficele funcţiilor y=f1(x),

y=f2(x), care sunt nenegative, continue pe [a,b] şi f1(x)≤ f2(x), pentru orice bax , . Notăm prin γ=γ(x) densitatea de suprafaţă unde γ(x)>0 şi continuă pe [a,b] .

Fig. 10

Urmînd principiul general din punctul precedent, descompunem domeniul D în n fâşii verticale

D1,...,Di,...,Dn prin dreptele x=x0=a, x=x1,...,x=xi-1,x=xi,...,x=xn=b, paralele cu axa 0x. Înlocuim


24

fiecare fâşie Di printr-un dreptunghi, care are înălţimile f2(ti)- f1(ti), unde 2

1 iii

xxt

şi baza ∆xi=

xi-xi-1. Dacă presupunem că acest dreptunghi este omogen cu γ=γ(ti) atunci masa fâşiei Di (i=1,...,n)

este:

iiiii xtftftm )()()( 12 Deoarece centrul de greutate al dreptunghiului omogen coincide cu punctul de intersecţie al

diagonalelor lui, avem (xi)c=ti, 2

)()()( 21 iici

tftfy

. pentru a calcula centrul de greutate al

domeniului D, înlocuim fiecare fâşie prin centrul de greutate al dreptunghiului respectiv, considerînd

concentrată în el întreaga masă ∆mi.

Aplicînd formulele respective din punctul precedent obţinem următoarele:

n

i

iiii

n

i

iiiii

n

i

i

n

i

ici

c

xtftft

xtftftt

m

mx

x

1

12

1

12

1

1

)(

.

)()()(

)()()(2

1

)()()(

)()()()()(2

1

1

12

1

2

1

2

2

1

12

1

1212

1

1

n

i

iiii

n

i

iiii

n

i

iiii

n

i

iiiiii

n

i

i

n

i

ici

c

xtftft

xtftft

xtftft

xtftfttftf

m

my

y

În numărătorii şi numitorul comun ai acestor fracţiuni avem sume integrale ale funcţiilor

)()()( 12 xfxfxx , )()()( 2122 xfxfx , şi )()()( 12 xfxfx care sunt continue pe [a,b]. Trecînd la limita cînd λ=max∆xi→0 obţinem formulele:

b

a

b

ac

dxxfxfx

dxxfxfxx

x

)()()(

)()()(

12

12

(20)

b

a

b

ac

dxxfxfx

dxxfxfx

y

)()()(

)()()(2

1

12

2

1

2

2

(21)

Masa domeniului D este egală cu:

dxxfxfxMb

a

)()()( 12 (22)

Momentele statice ale figurii materiale D se calculează după formulele:


25

dxxfxfxMb

a

x )()()(21 2

1

2

20 (23)

dxxfxfxxMb

a

y )()()( 120 (24)

Dacă figura materială D este omogenă, adică γ=const, atunci coordonatele centrului de greutate

se calculează după formulele:

dxxfxfxS

x

b

a

c )()(1

12 (25)

dxxfxfS

y

b

a

c )()(21 2

1

2

2 (26)

unde S este aria domeniului D1.

Teorema 2: (Guldin) volumul corpului obţinut prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe

ce se află în planul ei şi nu o intersectează este egal cu produsul dintre aria figurii plane care se roteşte

şi lungimea circumferinţei descrisă în cursul acestei rotaţii de centrul ei de greutate.

Demonstraţie:

Considerăm în formula (26) că f2(x)> f1(x)≥0, atunci yc>0. înmulţim ambele părţi ale

egalităţii (26) cu numărul 2πS şi obţinem:

b

a

c dxxfxfSy2

1

2

22 unde

b

a

dxxfxfV 212

2 - Volumul corpului obţinut prin rotirea figurii D în jurul axei 0x.

2πyc- lungimea circumferinţei descrisă de rotaţia centrului de greutate al acestei figuri plane în

jurul axei 0x.

S – aria figurii D.

Exemplu. Să se calculeze centrul de greutate al semicercului omogen de rază r.

Rezolvare: Alegem sistemul de coordonate x0x.

Fig. 12

Deoarece figura este simetrică în raport cu axa 0x, avem yc=0 adică centrul de greutate se află

pe această axă. Pentru aflarea coordonatei xc aplicăm teorema 2 a lui Guldin. Corpul obţinut prin

rotirea prin rotirea semicercului în jurul axei 0x este mărginit de o sferă de rază r. Deci volumul



26

acestui corp este 3

3

4r . Aria S a figurii plane care se roteşte este

2

2r. Deci: Sxr c 2

3

4 3

3

4

22

3

4

2

3

r

r

r

xc

Deci:

0,

3

4

rC

Exemplu. Să se calculeze să se calculeze volumul torului omogen.

Fig. 11

Aplicăm teorema 2 a lui Guldin. SxV cx 20 aici xc=a, S=πr2 – aria figurii care se roteşte.

Deci: 2220 22 arraV x

Exemplu. Să se afle centrul de greutate al figurii plane omogene (γ=const=1) mărginită de

parabola y=x2, y=3x, x=1, (0≤ x ≤1

Fig. 13

Figura plană nu-i simetrică coordonatele centrului de greutate le aflăm după formulele (25) şi

(26).


27

Aria plăcii: 6

7

3

1

2

3

0

1

22

33

321

0

2

xxdxxxS

14

9

4

3

7

6

4

11

7

6

1

0

43

3

7

6

37

6)()(

1

43

1

0

32

12

xx

dxxxdxxfxfxS

x

b

a

c

2,15

6

5

14

14

6

5

13

14

6

0

1

53

9

14

6

927

6)()(

2

1

53

1

0

422

1

2

2

xx

dxxxdxxfxfS

y

b

a

c

Centrul figurii:

2,1;

14

9C .

4.1.4. Calculul forţei de presiune a lichidului pe suprafeţe verticale.

Conform legii lui Pascal forţa forţa de presiune

P asupra unei suprafeţe orizontale se calculează după formula:

ShgP

(27)

Unde ρ(kg/m3) – densitatea lichidului, g(m/s2)- acceleraţia căderii libere, S(m2)- aria

suprafeţei, h(m)- adîncimea lichidului deasupra suprafeţei.

Dacă suprafaţa S nu-i orizontală atunci nu se poate aplica formula (26), fiindcă presiunea

lichidului variază cu variaţia adîncimii.

Fie suprafaţa plană de orice formă este scufundată în lichidul cu densitatea ρ astfel (vezi fig. 14).

Fig. 14

Trebuie de calculat forţa de presiune asupra suprafeţei vectoriale. Pentru aceasta placa dată o

divizăm în n făşii elementare paralele cu suprafaţa lichidului.

h0 =H1,h1,...,hn=H2

La adîncimea hi precăutăm fâşia corespunzătoare (e haşurată) şi notăm prin f(hi) – lungimea ei,

iar prin ∆ hi – lăţimea. Socotind fâşia de formă dreptunghiulară aria ei cu anumită aproximare este:

iii hhfS Presupunem (deasemenea cu o anumită aproximare) că presiunea în orice punct ai fâşiei este


28

aceeaşi şi-i egală cu presiunea la adîncimea hi, presiunea, forţa de presiune a lichidului asupra făşiei

elementare de aria Si este:

iii ShgP sau iiii hhfhgP )(

Sumînd mărimile forţelor de presiune elementare şi trecînd la limită cînd ∆h=max∆hi tinde spre

zero, conform definiţiei integralei definite (după Rienman) vom avea:

i

n

i

iih

n

i

iiih

hhfhghhfghP

10

10

)(lim)(lim

Aşadar 2

1

)(

H

H

dhhfhgP (28) – forţa de presiune a lichidului cu densitatea ρ asupra

plăcii scufundată vertical în el.

Exemplu. O placă triunghiulară cu baza de 0,9 m şi înălţimea 0,12 este scufundată vertical în

apă astfel încît vîrful ei se află cu 0,03 m mai jos de nivelul apei, iar baza este paralelă lui. De calculat

forţa de presiune asupra plăcii.

Avem: (AB)=0,9m

H=0,12m

H1=0,03m

ρ=1000kg/m3 g=9,8m/s2

P - ?

Fig. 15

Separăm la adîncimea h o făşie subţire şi aflăm lungimea ei KM=f(h).

Din asemănarea triunghiurilor ∆ABC şi ∆KCM avem:

CD

CE

AB

KM ;

12,09,0

1HhKM ; 03,04

3

12,0

9,01 hHhKM

Deci avem: mHhhf 03,003,0,4

3)( 1 ;

H2=H1+H=0,15 şi după formula (28) avem:

N

hh

dhhhhdhhgP

61,5000014,000009,000034,00011,07350

2

03,0

3

03,0

2

15.003,0

3

15,07350

203,0

37350

03,08,910004

3

4

303,0

332323

15,0

03,0

2

15,0

03,0

E M

A D B

C

K


29

Exemplu. De calculat forţa de presiune asupra unui zăgaz vertical de forma trapezului isoscel:

AD=38 m, BC=20 m, H=12 m.

Nivelul apei coincide cu baza trapezului.

Rezolvare:

Fig. 16

hKM

hxBCAD

x

xBCKM

122

320

1212

9,

2

2

Forţa de presiune după formula (28) este egală cu:

MNN

hh

dhhhhhdhhgP

3456,181834560086427369800

2

1212199800

0

12

2

1

2389800

2

318208,9100012

2

320

323

2

12

0

2

12

0

5. Aplicaţiile integralei duble în mecanică

5.1. Masa unei plăci materiale Considerăm în planul Oxy o placă materială, adică o porţiune (D) (Fig.40) a planului, în care

este distribuită o masă m cu densitatea în fiecare punct (x,y) al ei egală cu ),( yxz - funcţie continuă pe (D). Să calculăm masa acestei plăci.

Pentru aceasta divizăm (D) arbitrar în n părţi elementare cu ariile

ni AAAA ,,,,, 21 .

Pe fiecare iA luăm arbitrar câte un punct ),( iii yxP , ni ,1 .

Fig. 17

M

A D

B C

K x

h


30

Considerăm densitatea pe iA egală cu densitatea în punctul Pi, ceea ce e cu atât mai exact cu

cât e mai mică aria iii yxA . Atunci pentru masa plăcii elementare iA obţinem valoarea

aproximativă

iiiiiii yxyxfAPfm ),()( , iar masa aproximativă a întregii plăci va fi

iiii

n

in yxyxfm

),(1

,(1)

valoarea ce e cu atât mai exactă, cu cât este mai mare n. Expresia (1) se numeşte sumă integrală

Riemann pentru funcţia ),( yxfz în domeniul (D); ea depinde de modul de divizare a domeniului

(D) de n şi de alegerea punctelor Pi. Masa exactă a plăcii va fi limita singurului numeric de sume

integrale ,...,...,,21 innn

mmm , alcătuite cu ajutorul funcţiei f(x,y) pentru domeniul (D) ca rezultat al

diverselor divizări ale acestui domeniu în domenii elementare.

Astfel,

iiii

n

i

yxyxfm

),(lim10

, (2)

unde - norma de divizare a domeniului (D), dacă această limită există şi este finită. Ea nu depinde de modul de divizare a lui (D), de n şi de alegerea punctelor Pi.

Aşadar masa plăcii materiale

)(

),(D

dxdyyxfm (3)

unde ),(),( yxyxf - densitatea în fiecare punct al plăcii.

5.1.1 Momentele statice ale plăcii materiale

Cunoscând relaţia dintre masa plăcii cu densitatea în fiecare punct ),( yx şi momentele

statice în raport cu axele de coordonate primim: )(

),(D

x dxdyyxyM - momentul static în

raport cu axa Ox; )(

),(D

y dxdyyxxM - momentul static în raport cu axa Oy.

5.1.2 Momentele de inerţie ale plăcii materiale

)(

2 ),(D

x dxdyyxyI - momentul de inerţie în raport cu axa Ox;

)(

2 ),(D

y dxdyyxxI - momentul de inerţie în raport cu axa Oy;

)(

220 ),(

D

dxdyyxyxI - momente

l de inerţie în raport cu originea de coordonate.

5.1.3 Coordonatele centrului maselor C(xc,yc) ale plăcii (D)

m

Mx

y

c , m

My xc . În caz particular, când 1),( yx , atunci formulele de calcul a

momentelor de inerţie se transformă în formulele de calcul a momentelor de inerţie ale figurii plane1.

Exemplul 1. Să se calculeze masa plăcii pătrate în fiecare punct al căreia densitatea de

suprafaţă este proporţională cu suma distanţelor lui până la diagonalele pătratului.



31

Fig. 18

Rezolvare. Alegem sistemul de coordonate, astfel ca diagonalele pătratului să coincidă cu

axele de coordonate, iar punctul lor de intersecţie să coincidă cu originea de coordonate1.

Conform condiţiilor, densitatea )(),( yxkyx . Masa plăcii

)(

)(4D

dxdyyxkm unde D:ΔOBC.

Dacă OB=a, atunci ecuaţia dreptei BC este 1a

y

a

x, ayx şi

aa xa

dxxaky

kxydyyxkdxm0

2

0 0 024)(4

a

dxxa

kxakx0

2

2

)()(4

a

dxkx

kaxka

kxkax0

222

224

a akxxkadx

kxka

0

32

22

03

22

224

kaka

ka 33

3

3

4

3

22 .

Exemplul 2. Să se calculeze coordonatele centrului maselor plăcii plane omogene mărginite

de cardioida ).cos1( a

Fig. 19

1 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1, Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с.

Conferința științifică internațională „Perspectivele și Pr

PERSPECTIVELE ȘI PROBLEMELE INTEGRĂRII ÎN SPAȚIUL … · tugarev laura, cadru de constituire a...

Documents

Transcript of PERSPECTIVELE ȘI PROBLEMELE INTEGRĂRII ÎN SPAȚIUL … · tugarev laura, cadru de constituire a...