PERMUTARI

Prof. Fa lev ic i Aure l iaLiceul Teoretic “Ion

Neculce”B u c u r e s t i

Pn=n!

CUPRINS

1. Scopul lectiei

2. Valori si atitudini

3. Definitie

4. Teorema

5. Exemple

6. Aplicatii

7. Teste

8. Tema

Valori şi atitudini

•Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune.•Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare.•Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme.•Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.•Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

Scopul lectiei

•Obtinerea si demonstratia formulei de calcul a permutarilor de n elemente•Deprinderea utilizarii permutarilor•Aplicatii

PERMUTARIFie A o multime finita cu n elemente.Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri. Se obtin, astfel, multimi ordonate diferite, care se deosebesc intre ele numai prin ordonarea elementelor.

Definitie Daca A este o multime cu n elemente, fiecare din multimile ordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A se numeste permutare a acestei multimi.

Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau, inca, o permutare de n elemente.Numarul permutarilor de n elemente se noteaza cu Pn si se citeste”permutari de n”.

1. O multime cu un singur element poate fi ordonata intr-un singur mod.

2. O multime cu doua elemente poate fi ordonata in doua moduri.3. O multime cu trei elemente poate fi ordonata in sase moduri

{a, b, c} {a,c b} {b, a, c} {b, c, a} {c, a, b} {c, b, a}Multimea vida se poate ordona intr-un singur mod 0!= 1

Exemple

Teorema: Daca n ≥ 1 este numar natural, atunci Pn = n! (1)

Demonstratie Teorema se demonstreaza prin metoda inductiei matematice. Se noteaza cu P(n) egalitatea (1).1.P(1) este adevarata (vezi exemplul 1).2.Se arata ca P(k) implica P(k+1). Se ordoneaza in toate

modurile posibile o multime cu ( k+1) elemente, Oricare din cele( k+1) elemente ale multimii poate ocupa ultimul loc, al (k+1)-lea. Se obtin astfel (k+1) moduri diferite de a ocupa ultimul loc. Se considera unul din ele, in care un element ales al multimii va avea rangul (k+1).Elementele ramase .care sunt in numar de k, trebuie sa ocupe peimele k locuri, iar aceasta se poate face in k! moduri diferite. Se obtin, asadar, (k+1)k!=(k+1)! moduri de a ordona o multime care are (k+1) elemente, deci P(k+1) este adevarata. Conform metodei inductiei matematice, teorema este demonstrata.

F1B1

F3

F2

B3 B2

F1 B1F3

B3B2F2

……….

2.In jurul unei mese se aseaza 6 persoane,3 baieti si 3 fete.In cate moduri se pot aseza aceste persoane astfel incat sa nu fie alaturi doua persoane de acelasi sex?R: 2.3!.3!=72 moduri

Aplicatii1.Cate numere diferite se pot forma cu cifrele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 asfel ancat orice numar sa contina toate cifrele si doar o

singura data fiecare cifra?

R: Din numarul multimilor ordonate care au ca elemente cele 10 cifre , trebuie sa scadem pe cele care au pe primul loc cifra 0. Deci obtinem: 10!-9!=9.9!=3265920 numere.

Test 1Rezolvati ecuatiile:

a) 3(n+1)!=(n+3)!b) 5n!+(n+1)!=40(n-

1)!c) n(n+1)!+(n+1)n!

=96

Test 2Un numar de 6 persoane se aseaza la o masa cu 6

locuri.In cate moduri se pot aseza

aceste persoane daca:a) scaunele sunt dispuse in

linie dreapta?b) scaunele sunt dispuse

circular?

Tema

1. Cate numere de 5 cifre cu cifre diferite se pot forma cu cifrele: 1, 2 , 3, 4, 5 ?

Cate din ele sunt divizibile cu 5 ?2. In cate feluri se pot aseza 10 persoane in jurul unei mese rotunde ? 3. Cum se pot aseza pe un raft 10 carti, 7 de autori diferiti si 3 de acelasi autor, astfel incat cele de acelasi autor sa fie una dupa alta ?4. Afla valorile numarului natural n pentru care: (2n)!/2n!<500