Pages From Mecanica_B5

Dorel STOICA MECANIC. NOIUNI DE CURS I APLICAII

Editura NAPOCA STAR Cluj-Napoca este acreditat de

Consiliul Naional al Cercetrii tiinifice din nvmntul Superior (CNCSIS)

Tehnoredactor: Cornelia Catrina

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei STOICA, DOREL Mecanic : noiuni de curs i aplicaii / Dorel Stoica. - Cluj-Napoca : Napoca Star ; Braov : Mecatrin, 2013 Bibliogr. ISBN 978-973-647-988-5 ISBN 978-606-93135-4-1 621(075.8)

Editura Mecatrin Braov

Tel: 0727 535 298 www.editura.mecatrin.ro

e-mail: [email protected]

Editura NAPOCA STAR Cluj Napoca

Dorel STOICA

MECANIC. NOIUNI DE CURS I APLICAII

Braov, 2013

5

CUPRINS CUPRINS............................................................................................................... 5 PREFA ............................................................................................................... 9 1. INTRODUCERE................................................................................................ 11

1.1. Generaliti.......................................................................................................11 1.2. Scurt istoric al mecanicii ....................................................................................11 1.3. Obiectul mecanicii .............................................................................................14 1.4. Sisteme i uniti de msur..............................................................................15

CAPITOLUL 2 ...................................................................................................... 17 2.1. Noiuni de calcul vectorial..................................................................................17 2.2. Operaii cu vectori.............................................................................................18

2.2.1. Adunarea a doi vectori a i b . ...................................................................18 2.2.2. Produsul scalar a doi vectori a i b . ...........................................................20 2.2.3. Produsul vectorial a doi vectori liberi a i b . ...............................................21 2.2.4. Produsul mixt a trei vectori a , b i c .........................................................22 2.2.5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi a , b i c ....................................23 2.2.6. Descompunerea unui vector dup trei direcii. ..............................................24

CAPITOLUL 3 ...................................................................................................... 25 3.1. Statica punctului ...............................................................................................25

3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legturi ...............................25 3.1.2. Echilibrul punctului material liber .................................................................25 3.1.3. Probleme rezolvate .....................................................................................26

3.2. Punctul material supus la legturi ......................................................................29 3.2.1. Axioma legturilor. Legturile punctului material...........................................29 3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legturi fr frecare .............................30 3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legturi cu frecare................................33

3.3. Probleme rezolvate ...........................................................................................37 3.4. Probleme propuse.............................................................................................46

CAPITOLUL 4 ...................................................................................................... 49 4.1. Statica rigidului.................................................................................................49

4.1.1. Caracterul de vector alunector al forei ce acioneaz un rigid......................49 4.1.2. Momentul unei fore n raport cu un punct. ..................................................50 4.1.3. Momentul unei fore n raport cu o ax. .......................................................52 4.1.4. Cupluri de fore ..........................................................................................53 4.1.5. Caracterizarea unui vector alunector. .........................................................54 4.1.6. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon). .............................................55 4.1.7. Sisteme de fore echivalente. Operaii elementare de echivalen. .................56 4.1.8. Reducerea unei fore aplicat ntr-un punct al unui rigid................................56 4.1.9. Reducerea unui sistem de fore aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaia torsorului cu punctul de reducere. Invariani. .........................................................57 4.1.10. Torsorul minimal. Axa central...................................................................59 4.1.11. Cazurile de reducere ale unui sistem de fore oarecare................................60

4.2. Reducerea sistemelor particulare de fore...........................................................61 4.2.1. Reducerea sistemelor de fore concurente....................................................61

Dorel STOICA

6

4.2.2. Reducerea sistemelor de fore coplanare ..................................................... 61 4.2.3. Reducerea sistemelor de fore paralele ........................................................ 62 4.2.4. Reducerea forelor paralele, distribuite ........................................................ 65

4.3. Probleme rezolvate .......................................................................................... 67 4.4. Probleme propuse ............................................................................................ 74 4.5. Centre de greutate (centre de mas) ................................................................. 76

4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale................................. 76 4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor.................................................................. 77 4.5.3. Teoremele Pappus - Guldin ......................................................................... 80

4.6. Centre de mas pentru corpuri uzuale ............................................................... 81 4.7. Probleme rezolvate ........................................................................................... 83 4.8. Probleme propuse ............................................................................................ 96

CAPITOLUL 5 Echilibrul rigidului ...................................................................... 99 5.1. Echilibrul rigidului liber ....................................................................................99 5.2. Echilibrul rigidului supus la legturi fr frecare ...............................................101

5.2.1. Generaliti .............................................................................................101 5.2.2. Legtura rigidului ....................................................................................102 5.2.3. Cazurile particulare de echilibru ................................................................109

5.3. Echilibrul rigidului spus la legturi cu frecare ...................................................113 5.3.1. Generaliti asupra fenomenului de frecare ...............................................113 5.3.2. Frecare de alunecare ...............................................................................114 5.3.3. Frecarea de rostogolire ............................................................................116 5.3.4. Frecarea de pivotare ............................................................................... 120 5.3.5. Frecarea n lagrul radial (articulaia cilindric) ..........................................122

5.4. Probleme rezolvate ........................................................................................125 5.5. Probleme propuse .........................................................................................132

CAPITOLUL 6 Statistica sistemelor materiale ..................................................135 6.1. Echilibrul sistemelor materiale ........................................................................135

6.1.1. Sistemul material .....................................................................................135 6.1.2. Torsorul forelor intercalare ......................................................................135 6.1.3. Teoreme i metode pentru studiul echilibrului sistemelor materiale .............136 6.1.4. Sisteme static determinate i static nedeterminate .....................................138

6.2. Probleme rezolvate ........................................................................................139 6.3. Probleme propuse .........................................................................................155 6.4. Grinzi ci zbrele .............................................................................................158

6.4.1. Ipoteze simplificatoare .............................................................................158 6.4.2. Eforturi de bare .......................................................................................159 6.4.3. Grinzi cu zbrele static determinate ...........................................................160 6.4.4. Metode pentru determinarea eforturilor din bare ....................................... 161

6.5. Probleme rezolvate ........................................................................................162 6.6. Probleme propuse .........................................................................................175 6.7. Statica firelor ................................................................................................176

CAPITOLUL 7 Cinematica punctului .................................................................185 7.1. Noiuni fundamentale ....................................................................................185

7.1.1. Legea de micare ....................................................................................185 7.1.2. Traiectoria ..............................................................................................185 7.1.3. Viteza .....................................................................................................186

Mecanic. Noiuni de curs i aplicaii

7

7.1.4. Acceleraia ..............................................................................................187 7.1.5. Viteza i acceleraia unghiular .................................................................188

7.2. Studiul micrii punctului n sistemele de coordonate cartezian i natural............189 7.2.1. Sistemul de coordonate cartezian .............................................................189 7.2.2. Cinematica punctului material n coordonate polare ...................................190 7.2.3. Sistemul de coordonate intrinseci .............................................................192

7.3. Micarea circular ..........................................................................................194 7.3.1. Studiul micrii circulante n coordonate carteziene ...................................194 7.3.2. Studiul micrii circulante n coordonate naturale ......................................195


CAPITOLUL 8. Cinematica rigidului .................................................................213 8.1. Micarea general a rigidului ..........................................................................213

8.1.1. Mobilitatea rigidului .................................................................................213 8.1.2. Distribuia de viteze .................................................................................214 8.1.3. Distribuia de acceleraii ...........................................................................216

8.2. Micarea de rotaie ........................................................................................217 8.2.1. Distribuia de viteze .................................................................................218 8.2.2. Distribuia de acceleraii ...........................................................................219

8.3. Micarea plan paralel ...................................................................................220 8.3.1. Distribuia de viteze .................................................................................222 8.3.2. Centrul instantaneu de rotaie ..................................................................222 8.3.3. Distribuia de acceleraii ..........................................................................224

8.4. Micarea rigidului cu un punct fix ....................................................................225 8.4.1. Generaliti .............................................................................................225 8.4.2. Studiul vitezelor ......................................................................................226 8.4.3. Studiul acceleraiilor ................................................................................231

8.5. Micarea general a rigidului ..........................................................................232 8.5.1. Generaliti .............................................................................................232 8.5.2. Studiul vitezelor ......................................................................................232 8.5.3. Studiul acceleraiilor ................................................................................234

8.6. Probleme rezolvate........................................................................................235 8.7. Probleme propuse..........................................................................................254

CAPITOLUL 9 Micarea relativ........................................................................257 9.1. Micarea relativ a punctului material .............................................................257

9.1.1. Derivata absolut i relativ (local) a unui vector .....................................257 9.1.2. Studiul vitezelor ......................................................................................258 9.1.3. Studiul acceleraiilor ................................................................................259

9.2. Micarea relativ a rigidului ............................................................................261 9.2.1. Generaliti .............................................................................................261 9.2.2. Studiul vitezelor ......................................................................................261


CAPITOLUL 10 Dinamica punctului material ..................................................271 10.1. Noiuni fundamentale ..................................................................................271

10.1.1. Lucrul mecanic .....................................................................................271 10.1.2. Funcia de for ....................................................................................272

Dorel STOICA

8

10.1.3. Puterea ................................................................................................273 10.1.4. Randamentul mecanic ...........................................................................274 10.1.5. Impulsul .............................................................................................. 274 10.1.6. Momentul cinetic ..................................................................................275 10.1.7. Energia mecanic ................................................................................. 275

10.2. Teoreme generale n dinamica punctului material ..........................................276 10.2.1. Teorema impulsului ...............................................................................276 10.2.2. Teorema momentului cinetic ................................................................. 277 10.2.3. Teorema energiei cinetice ..................................................................... 277

10.3. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material ........................................278 10.3.1. Generaliti ..........................................................................................278 10.3.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material .................................279

10.4. Probleme rezolvate ......................................................................................281 CAPITOLUL 11 Dinamica sistemelor de puncte materiale i a rigidului ..........289

11.1. Noiuni fundamentale ..................................................................................290 11.1.1. Momente de inerie mecanice ...............................................................290

11.2. Probleme rezolvate .....................................................................................298 11.3. Probleme propuse ......................................................................................302 11.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de fore care acioneaz asupra

unui rigid ............................................................... .................................. 303 11.4.1. Cazul general ..................................................................................... 303 11.4.2. Cazuri particulare ............................................................................... 304 11.4.3. Impulsul ............................................................................................ 304 11.4.4. Momentul cinetic ................................................................................ 305 11.4.5. Energia cinetic ...................................................................................309

11.5. Teoreme generale n dinamica sistemelor de puncte materiale i a rigidului.... 314 11.5.1. Teorema impulsului ............................................................................. 314 11.5.2. Teorema momentului cinetic ................................................................ 317 11.5.3. Teorema energiei cinetice .................................................................... 320

11.6. Probleme rezolvate .................................................................................... 323 11.7. Probleme propuse ..................................................................................... 335

BIBLIOGRAFIE................................................................................................. 337

9

PREFA

Prezenta lucrare: Mecanica. Noiuni de curs si aplicaii are la baz volumul Mecanic

realizat de domnul academician Radu Voinea mpreun cu domnii profesori Voiculescu D. i Ceauu V., editat de Editura Didactic i Pedagogic n anul 1983, fiind completate diverse aplicaii.

Cartea are n primul rnd o destinaie didactic, adresndu-se celor aflai la nceputul descifrrii tainelor ingineriei mecanice. Pentru acetia, este esenial n aceast etap formarea unui mod de gndire specific ingineresc. n acest scop, la elaborarea lucrrii s-a urmrit ca tratarea teoretic s fie ct mai clar, cu enunarea unor ipoteze de lucru i evidenierea concluziilor.

Pe parcursul lucrrii sunt introduse o serie de noiuni i aplicaii necesare unei documentri corespunztoare n domeniu.

De asemenea, elementele de calcul prezentate n cadrul lucrrii sunt utilizate la rezolvarea unor aplicaii exemplificatoare, cu scop didactic, n vederea nelegerii i fixrii noiunilor prezentate.

Lucrarea, la elaborarea creia s-a utilizat o bogat bibliografie de specialitate (cri, prospecte, site-uri de internet) ofer un material documentar extrem de util studenilor, att pentru culegerea de informaii n domeniu, ct i pentru ntocmirea proiectelor de an i elaborarea unor teme de cas.

Autorul mulumete tuturor celor care prin sugestii i observaii competente, au contribuit la definitivarea elaborrii lucrrii.

11

1. INTRODUCERE

1.1. GENERALITI

Materia, micarea, spaiul i timpul fac parte din noiunile cele mai generale ale

cunoaterii umane. Materia este categoria filozofic care desemneaz realitatea obiectiv, dat omului prin

simurile sale. Prima modalitate de existen a materiei, sesizat de cunoaterea uman este substana,

aspectul ei cantitativ fiind masa. Substana are o structur discret fiind constituit din particule (electroni, protoni, neutroni) care formeaz ansambluri relativ stabile, numite corpuri.

O alt form de existen a materiei este cmpul fizic (gravitaional, electromagnetic) conceput ca un mediu material continuu, aspectul cantitativ fiind caracterizat de intensitatea cmpului.

Micarea ca mod de existen a materiei cuprinde toate schimbrile, transformrile i procesele care au loc n univers. Micarea este conceput n spaiu i timp care sunt forme fundamentale, universale i obiective de existen a materiei.

Spaiul este o reprezentare generalizat a dimensiunilor corpurilor i a distanelor dintre ele.

Timpul reprezint imaginea generalizat a intervalelor dintre evenimente i a duratei fenomenelor.

1.2. SCURT ISTORIC AL MECANICII Ca tiin, Mecanica apare odat cu acumularea i generalizarea experienei n epoca

crerii primelor mijloace de producie. n primul rnd a aprut Statica, dezvoltarea ei fiind legat de arta construciilor nc din antichitate.

Arhitas din Tarent (430 365 .H) filozof din coala lui Platon s-a ocupat de primele probleme teoretice ale mecanicii; atribuindu-i-se descoperirea scripetelui i a urubului.

Aristotel (384 322 .H) a fcut multe observaii juste asupra Staticii, ndeosebi asupra echilibrului, fiind preocupat de problema cderii verticale a corpurilor grele dei a tratat-o metafizic, elabornd o teorie dup care corpul tinde spre locul su din natur. Tot el este primul filozof care abordeaz problema relativitii micrii.

Arhimede (287 212 .H), mare geometru i mecanician, adevratul ntemeietor al Staticii rezolv aproape toate problemele mecanicii care s-au pus n timpul su. n lucrrile sale, Despre prghii, Cartea reazemelor i Despre echilibrul suprafeelor d teoria prghiilor, rezolv echilibrul sistemului format din dou greuti suspendate pe o bar care se poate roti n jurul unui punct, elaboreaz regulile compunerii i descompunerii forelor paralele, d definiia centrului de greutate, stabilete unele legi de baz ale hidrostaticii i face referiri la ceea ce mult mai trziu va fi numit momentul forelor.

Dorel STOICA

12

n timpul Renaterii, odat cu nflorirea artelor i a celorlalte tiine, Mecanica ia un avnt considerabil, fcndu-se saltul de la Static la Dinamic, studiul micrii i al forelor fiind n prim plan.

Marelui nvat i artist Leonardo da Vinci (1452 1518) i datoreaz Mecanica, multe dintre ideile originale i ndrznee care i-au trasat cile de dezvoltare n viitor. Leonardo da Vinci execut primele cercetri experimentale asupra cderii libere a unui corp greu, introduce noiunea de moment sub denumirea de momento sau prghie potenial. La Leonardo da Vinci gsim unele indicaii cu privire la principiul deplasrilor virtuale, legile echilibrului, egalitatea aciunii cu reaciunea, etc.; el studiaz ciocnirile i stabilete unele reguli privitoare la frecare.

Evenimentul cel mai revoluionar al acestei epoci l constituie apariia concepiei lui N. Copernic (1473 1543) asupra sistemului heliocentric i tot acum apar lucrrile lui Johan Kepler (1571 1630) cu privire la micarea planetelor n jurul Soarelui celebrele trei legi ale lui Kepler.

ntreaga epoc e dominat de lucrrile lui Galileo Galilei (1564 1642), unul din cei mai mari nvai ai epocii, lupttor nenfricat mpotriva nvturii geocentriste i a scolasticii, descoperitor al multor legi de baz ale Mecanicii clasice. Galileo Galilei formuleaz noiunile principale ale Cinematicii (viteza i acceleraia) i stabilete formula cderii corpurilor; introduce noiunea de for ca agent mecanic i emite ideea relativitii micrii. Se poate spune c istoria Dinamicii ncepe de la Galilei. El formuleaz legea ineriei aproape sub forma n care este cunoscut astzi, teoria micrii corpului greu pe un plan nclinat, legile micrii corpului lansat. Sub forma regulii de aur a Mecanicii, el arat c, n ceea ce privete mainile mecanice, ct se ctig n for, se pierde n vitez.

Cr. Huygens (1629 1695) a formulat sub o form incipient, noiunile de acceleraie centrifug i centripet i de moment de inerie. A studiat micrile oscilatorii, centrul de oscilaie al pendulului fizic, ciocnirea corpurilor elastice.

Isaac Newton (1643 1727) n lucrarea sa fundamental Principiile matematice ale filozofiei naturale a formulat cele trei principii fundamentale ale Mecanicii clasice pe a cror baz se pot studia micrile tuturor corpurilor, inclusiv micarea corpurilor cereti. Newton descoper legea atraciei universale, a aprofundat studiul forelor, a studiat i descoperit legile fundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal (diferenial i integral).

V. Varignon (1654 1722) este cunoscut prin metodele sale geometrice aplicate n mecanic, prin definirea complet a noiunii de moment i prin teorema momentelor.

L. Euler (1707 1783) a dezvoltat dinamica punctului material utiliznd calculele analitice i difereniale. El este creatorul Mecanicii corpului solid, studiind primul, metoda micrii corpului solid, n special a solidului cu un punct fix, cu ajutorul celor trei unghiuri cunoscute sub numele de unghiurile lui Euler. El este fondatorul Hidrodinamicii i al Teoriei stabilitii barelor elastice.

M. L. Lomonosov (1711 1765) este primul care formuleaz principiul conservrii energiei, studiaz problema interaciunii ntre corpuri, propagarea cldurii, etc.

C. A. Coulomb (1736 1806) a stabilit legile experimentale ale frecrii de alunecare i rostogolire, a studiat torsiunea firelor stabilind legile torsiunii.

Spre mijlocul secolului al XVIII-lea ncep s fie formulate i principiile variaionale ale Mecanicii.

P. Maupertuis (1698 1759) formuleaz n 1744 Principiul minimei aciuni, pe care l aplic la explicarea legilor reflexiei i refraciei luminii i la teoria ciocnirilor. Demonstraia matematic a acestui principiu a fost dat ns de Euler, iar generalizarea a fost fcut ntr-o prim form de Lagrange i n form complet de Jukovski.


13

J. dAlembert (1717 1783) public Trait de Dynamique unde este formulat celebra sa metod cinetostatic utilizat la rezolvarea problemelor de dinamic.

J. L. Lagrange (1736 1813) a fost acela care a dezvoltat ns considerabil partea teoretic a Mecanicii, ndeosebi n lucrarea sa Mecanica analitic. Lagrange a creat Mecanica analitic pe baza principiului deplasrilor virtuale, ncercnd s demonstreze analitic, att ct era posibil, Principiul deplasrilor virtuale. El a demonstrat analitic Principiul dAlembert i a rezolvat problema oscilaiilor mici ale unui sistem de corpuri.

M. V. Ostrogradski (1801 1861) studiaz legturile dependente de timp, introduce noiunea de legturi exprimate analitic prin inegaliti i aplic pentru astfel de legturi, principiul deplasrilor virtuale. Ostrogradski a dat o nou form ecuaiei generale a Dinamicii, ecuaie care integrat n raport cu timpul, conduce la expresia cea mai general a Principiului Hamilton-Ostrogradski.

W. R. Hamilton (1805 1865) aplic calculul variaional n Mecanic i formuleaz principiul care-i poart numele.

Din nevoia de a explica numeroase fenomene care n Mecanica clasic apreau ca inexplicabile, n secolul al XX-lea se reexamineaz multe dintre tezele i principiile Mecanicii newtoniene. Ca o consecin apar: Mecanica relativist, Mecanica cuantic, Mecanica ondulatorie, Mecanica statistic. Numele savanilor A. Einstein, Max Plank, L. de Broglie, Fok, Vasilov, etc. sunt legate de aceste mecanici noi.

Albert Einstein (1879 1955) a artat c se poate construi o teorie fizic, perfect consecvent considernd rezultatul experienei lui Michelson (constanta vitezei de propagare a luminii n vid, indiferent de sistemul de referin) ca un principiu. Acceptarea acestui principiu cerea n schimb s se renune la noiunile de spaiu absolut i timp absolut ale mecanicii newtoniene. n cadrul noii teorii, denumit de el teoria relativitii, distanele i duratele erau relative, depinznd de sistemul de referin n care erau msurate. Totul se petrece ca i cum s-ar desfura ntr-o varietate cu patru dimensiuni, trei dimensiuni fiind spaiale i una temporal, cunoscut sub numele de universul lui Minkowski, matematician lituanian care a dat aceast interpretare geometric, teoriei relativitii. Unul dintre rezultatele teoriei relativitii l reprezint legea de variaie a masei n funcie de vitez.

2

0

)c/v(1

mm

= (1.1)

unde m0 este masa de repaus, v este viteza i c reprezint viteza de propagare a luminii n vid.

Aceast lege a dat natere multor discuii filozofice, deoarece pornind de la definiia masei dat de Newton, ca fiind o msur a cantitii de materie, rezulta c materia se putea crea sau distruge dup cum viteza v a corpului cretea sau descretea.

A trebuit corectat i aceast definiie a lui Newton, n sensul c masa este doar o msur a ineriei corpului i nu a cantitii de materie. De remarcat c, dei ecuaiile mecanicii relativiste sunt diferite de ecuaiile mecanicii newtoniene, tind ctre acestea cnd vitezele relative ale corpurilor sunt neglijabile n raport cu viteza de propagare a luminii n vid.

n ara noastr, trebuie s menionm pentru activitatea lor, n domeniul Mecanicii teoretice, pe Spiru Haret (1851 1912), Andrei Ioachimescu (1868 1913) i Dimitrie Pompei (1873 1954) care au lsat importante studii de Mecanic teoretic iar n cel al Mecanicii aplicate pe Anghel Saligny (1854 1925), Ion Ionescu (1870 1946), G. E. Filipescu (1885 1937), valoroi ingineri care au executat importante lucrri inginereti i au lsat studii de seam n domeniul mecanicii teoretice i aplicate.

Dorel STOICA

14

1.3. OBIECTUL MECANICII Mecanica este tiina care studiaz una din cele mai simple forme de micare a materiei

cunoscut sub numele de micare mecanic. Micarea mecanic se definete ca modificare a poziiei unui corp sau a unei pri a acestuia, n raport cu un alt corp considerat reper sau sistem de referin.

Micarea mecanic raportat la un sistem de referin fix se numete micare absolut iar cea raportat la un sistem de referin mobil se numete micare relativ. ntruct n univers nu exist corpuri (repere) fixe, micarea mecanic este relativ.

Repausul este starea unui corp sau a unor sisteme de corpuri a cror poziii, fa de un sistem de referin rmn neschimbate. Repausul fiind un caz particular al micrii are un caracter relativ ca i aceasta.

S-au ntmpinat mari dificulti n gsirea unor sisteme de referin absolute. ncepnd cu sistemul geocentric al lui Ptolemeu care considera Pmntul fix, continund cu sistemul heliocentric al lui Copernic care considera Soarele fix, s-a acceptat, mai trziu, un nou sistem de referin (care constituie la ora actual, cel mai preferabil reper), cu originea n centrul de mas al galaxiei din care face parte Soarele i axele orientate ctre stele extrem de ndeprtate, n raport cu care legile mecanicii se verific experimental. Primul model al mecanicii a fost definitivat de Isaac Newton n opera sa fundamental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicat n 1686 i reprezint mecanica clasic. Mecanica clasic sau newtonian studiaz micarea corpurilor materiale macroscopice, avnd viteze mici n comparaie cu viteza luminii.

Noiunile fundamentale ale mecanicii clasice - spaiul, timpul i masa - sunt considerate ca fiind complet independente, iar proprietile lor sunt absolute.

Spaiul este o reprezentare generalizat a dimensiunilor corpurilor, a poziiilor reciproce i a distanelor dintre ele. n mecanica clasic, spaiul este considerat tridimensional, infinit, continuu, omogen (diferite poriuni ale sale nu se deosebesc ntre ele) i izotrop (proprietile dup diferitele direcii care pleac din acelai punct nu se deosebesc ntre ele).

Timpul este o form obiectiv de existen a materiei. Noiunea de timp oglindete timpul real existent n mod obiectiv. n mecanica clasic, timpul este nelimitat, continuu, omogen i ireversibil (se scurge ntr-un singur sens).

Masa este conceput ca o mrime fizic scalar strict pozitiv, care msoar dou proprieti importante ale materiei, existent sub form de substan: ineria i cmpul atraciei universale (n particular, cmpul gravitaional).

Ineria este proprietatea materiei de a-i conserva starea de micare mecanic pe care o are la un moment dat.

Cmpul atraciei universale se manifest prin fora gravitaiei universale care se exercit ntre dou corpuri materiale.


15

1.4. SISTEME I UNITI DE MSUR ntruct ntre mrimile fizice exist o serie de relaii, se poate alege un numr restrns

de mrimi fizice, independente numite mrimi fundamentale, n funcie de care se pot exprima celelalte mrimi numite mrimi derivate.

Unitile de msur ale acestor dou categorii de mrimi se numesc uniti de msur fundamentale i uniti de msur derivate.

n ara noastr se utilizeaz Sistemul internaional de uniti de msur (SI) care are 7 uniti fundamentale: metrul (m), pentru lungime, kilogramul (kg), pentru mas, secunda (s), pentru timp, amperul (A), pentru intensitatea curentului electric, kelvinul (K), pentru temperatura termodinamic, candela (cd), pentru intensitatea luminoas i molul (mol), pentru cantitatea de substan.

Unitile de msur fundamentale utilizate n mecanic sunt: metrul, kilogramul i secunda.

Metrul este lungimea egal cu 1 650 763, 73 lungimi de und n vid ale radiaiei care corespunde tranziiei atomului de kripton 86 ntre nivelele sale 2p10 i d5.

Kilogramul este masa prototipului internaional de platin iridiat adoptat n anul 1889 de Conferina General de Msuri i Greuti i pstrat la Svre n Frana.

Principalele uniti de msur derivate, utilizate n mecanic sunt: newtonul (N), pentru for, joule-ul (J), pentru lucru mecanic, wattul (W), pentru putere i pascalul (Pa), pentru presiune.

Newtonul (N) reprezint fora care imprim unei mase de 1 kg, o acceleraie de 1 m/s2. Joule-ul (J) reprezint lucrul mecanic efectuat de o for de 1 N care se deplaseaz cu 1

m pe propriul su suport. Wattul (W) reprezint lucrul mecanic de 1 J efectuat ntr-o secund. Pascalul (Pa) reprezint presiunea exercitat de 1 N pe 1 m2. Mrimile fundamentale utilizate n mecanic fiind: lungimea L, masa M i timpul T,

mrimile derivate se obin din acestea cu ajutorul ecuaiei de dimensiuni: TMLD =][ (1.2)

unde , , sunt numere pozitive, negative, ntregi, fracionare sau nule. Principalele mrimi utilizate n mecanic sunt date n Tabelul 1.1

Dorel STOICA

16

Tabelul 1.1

Mrimea Simbolul Ecuaia de definiie

Dimensiunile n SI

Unitatea de msur

n SI Lungimea l - L m Masa m - M kg Timpul t - T s Aria A A = l2 L2 m2 Volumul V V = l3 L3 m3

Unghiul plan = l/R - -(rad) Perioada T T = 2/ T s Frecvena f f = 1/T T-1 Hz Viteza v rv &= LT-1 m/s Acceleraia a ra &&= LT-2 m/s2 Viteza unghiular &= T-1 s-1 Acceleraia unghiular &&= T-2 s-2 Masa specific = m/V L-3M kg/m3 Greutatea specific = G/V L-2MT-2 N/m3 Momentul de inerie J 2

ii lmJ = L2M kgm2

Fora F amF = LMT-2 N Momentul forei M FxrM = L2MT-2 Nm Impulsul H vmH = LMT-1 kgm/s Momentul cinetic K HxrK = L2MT-1 kgm2/s Energia cinetic E E = mv2/2 L2MT-2 J Lucrul mecanic L = rdFL L

2MT-2 J

Puterea P P = dL/dt L2MT-3 W Percuia P = dtFP LMT

-2 Ns

Presiunea p F/A L-1MT-2 Pa

17

Fig. 2.1: Elementele unui vector

CAPITOLUL 2

2.1. NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL n studiul mrimilor fizice se deosebesc: - mrimi scalare sau scalari, care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric (care este un numr pozitiv sau negativ), urmat de unitatea de msur.

Exemple: distanta ntre dou puncte, intervalul de timp, temperatura, energia, etc. - mrimi vectoriale sau vectori, care sunt complet determinate prin valoarea lor numeric, prin direcia i sensul lor. Spre deosebire de scalari, vectorii sunt mrimi

orientate (dirijate). Un asemenea vector, reprezentat printr-un segment de dreapt orientat, se numete

vector liber. Exemple: deplasarea i viteza unui corp n micare de translaie. n unele cazuri este necesar s se precizeze punctul de aplicaie, caz n care vectorul se numete vector aplicat sau legat. Exemplu: fora care acioneaz asupra unui punct material.

n alte cazuri este necesar s se precizeze suportul, caz n care vectorul se numete vector alunector sau glisant. Exemplu: fora care acioneaz asupra unui rigid. Se va face referire n continuare la vectorii liberi.

Notaia vectorilor se face printr-o liter cu o bar deasupra de exemplu a , F sau prin dou litere deasupra crora se pune o bar, prima liter marcnd originea vectorului, iar a doua liter extremitatea; de exemplu BA .

Aadar vectorul este segmentul de dreapta orientat (fig.2.1), cu patru elemente caracteristice: origine sau punct de aplicaie A, direcie sau dreapt suport , sens i modul (mrime, intensitate, urm) v.

Versorul este vectorul de modul unitar i este dat de relaia 2.1:

v

v

v

vu == (2.1)

Definim componentele pe axele Ox , Oy i Oz ale versorului din relaia 2.1 astfel:

Dorel STOICA

18

B

a

b

c

O

C

A

Fig.2.2: Regula paralelogramului

a

upri Ox= ; uprj Oy= ; uprk Oz= . (2.2) Un vector oarecare se scrie n funcie de componentele pe axe ale versorului su astfel:

kvjvivv zyx ++= (2.3) unde:

vprv Oxx = ; vprv Oyy = ; vprv Ozz = (2.4)

2.2. OPERAII CU VECTORI

2.2.1. Adunarea a doi vectori a i b . Se presupune cei doi vectori aplicai n acelai punct O. Suma sau rezultanta celor doi

vectori este prin definiie vectorul c , definit ca valoare numeric, direcie i sens de diagonala OC a paralelogramului construit cu vectorii a i b ca laturi (fig.2.2.a). Vom scrie:

bac += (2.5) Modulul vectorului c fiind:

cos222 abbac ++= (2.6)

Expresia analitic. Considernd c vectorii a i b definesc planul Oxy, vectorul rezultant c va fi situat n acelai plan, cei trei vectori putnd fi exprimai prin proiecii pe axele sistemului menionat, dup cum urmeaz (fig.2.2.b):

jciccjbibbjaiaa yxyxyx +=+=+= ;; (2.7) Conform relaiei (2.5) putem scrie:

)()( jbibjaiajcic yxyxyx +++=+ (2.8) Rezult componentele pe axe ale vectorului rezultant c :

yyyxxx bacbac +=+= ; (2.9)


19

c

Fig.2.3: Adunarea vectorilor

Mrimea vectorului rezultant este:

2222 )()( yyxxyx babaccc +++=+= (2.10)

iar direcia este dat de unghiul dintre suportul vectorului rezultant i axa Ox:

xx

yy

x

y

ba

ba

c

ctg

++

== (2.11)

Regula paralelogramului poate fi extins la compunerea unui numr oarecare de vectori

concureni 1V , 2V ,. nV , ajungndu-se la o construcie grafic numit regula poligonului vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii din sistem.

O latur Vi a poligonului se obine prin construirea unui vector echipolent cu vectorul iV

avnd ca origine, extremitatea vectorului 1iV i ca extremitate, originea vectorului 1+iV .

Rezultanta sistemului de vectori este definit ca suma vectorial a vectorilor iV :

=

=+++=n

iin VVVVV

121 ... (2.12)

Construcia grafic reprezint segmentul de dreapt care unete originea primului

vector 1V , cu extremitatea ultimului vector nV din acest poligon (fig.2.2a). Regula poligonului, pentru cazul particular de compunere a doi vectori concureni se numete regula triunghiului (fig.2.2b).

Expresia analitic. Suporturile vectorilor din sistem fiind orientate n spaiu se va considera un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz fa de care vor fi exprimate

componentele pe axe ale acestor vectori (fig.2.2c). Notnd proieciile pe axe ale vectorului iV cu Vix, Viy, Viz i ale vectorului rezultant V , cu Vx, Vy, Vz, conform relaiei (2.12) se va putea scrie:

=

++=++n

iiziyixzyx kVjViVkVjViV

1

)( (2.13)

Dorel STOICA

20

Analog raionamentului anterior, rezult valorile componentelor pe axe ale vectorului rezultant:

=

=n

iixx VV

1

, =

=n

iiyy VV

1

, =

=n

iizz VV

1

(2.14)

Mrimea vectorului rezultant este:

222zyx VVVV ++= (2.15)

iar direcia dat prin cosinusurile directoare:

V

Vx=cos , V

Vy=cos , V

Vz=cos . (2.16)

2.2.2. Produsul scalar a doi vectori a i b . Este prin definiie un scalar care se obine multiplicnd modulele celor doi vectori cu

cosinusul unghiului dintre ei. Vom scrie:

cosbaba = (2.17)

Dac vectorul a este definit prin componentele kajaiaa zyx ++= i vectorul b este definit prin componentele kbjbibb zyx ++= atunci produsul scalar dintre vectorii a i b va fi dat de relaia 2.17.

zzyyxx babababa ++= (2.18) Se observ c:

1=== kkjjii ; 0=== ikkjji Din aceasta definiie rezult o serie de proprieti: - produsul scalar este comutativ

baababab === cos)cos( (2.19)

- pentru doi vectori a i b diferii de zero condiia de originalitate este:

0=ba (2.20)


21

apr u

a

Fig.2.4: Proiecia unui vector pe o axa

a

b

c

O

Fig.2.5: Reprezentarea produsului vectorial

b

h

a O

c

- cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecia unui vector a pe o axa . Fiind dat o axa () orientat de versorul u i un vector a, proiecia acestui vector i versorul axei (fig.2.4):

uaaapr == cos (2.21)

- produsul scalar este distributiv

fa de adunare

( ) cbcacba +=+ (2.22)

2.2.3. Produsul vectorial a doi vectori liberi a i b .

Este prin definiie un vector c normal pe planul definit de cei doi vectori a i b , presupui aplicai n acelai punct O, avnd ca valoare numeric aria paralelogramului

construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel nct vectorii a ,b , c s formeze n aceast ordine un triedu drept (fig.2.5).

bac = ; sin= bac (2.23) Produsul vectorial este egal cu aria

paralelogramului determinat de cei doi vectori (fig.2.6).

babaAA

bahaA

trpar

tr

===

==

sin2

sin2

1

2

1

(2.24)

unde: Atr reprezint aria triunghiului determinat de cei doi vectori;

Apar reprezint aria paralelogramului determinat de cei doi vectori

Dorel STOICA

22

n urma definiiei produsul vectorial are urmtoarele proprieti: - produsul vectorial este anticomutativ adic:

abba = (2.25)

- dac vectorii a i b sunt diferii de zero, iar produsul lor vectorial este egal cu zero atunci cei doi vectori sunt coliniari

0a ; 0b i 0=ba (condiia de coliniaritate) (2.26)

- produsul vectorial este distributiv fa de adunare

( ) cbcacba +=+ (2.27)

Dac vectorul a este definit prin componentele kajaiaa zyx ++= i vectorul b este definit prin componentele kbjbibb zyx ++= atunci produsul vectorial dintre vectorii a i b va fi dat de relaia 2.19.

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac == (2.28)

prin dezvoltarea acestuia, rezultnd componentele pe cele trei axe ale vectorului c :

===

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babac

babac

babac

(2.29)

Se observ c:

0=== kkjjii ; kji =

2.2.4. Produsul mixt a trei vectori a , b i c . Reprezint mrimea fizic scalar egal cu produsul scalar dintre un vector i produsul

vectorial al celorlali doi.

( ) ( ) ( ) ( )acbbaccbacbacbaw ===== ,,,, (2.30) Din punct de vedere geometric produsul mixt a trei vectori reprezint volumul

paralelipipedului determinat de cei trei vectori (fig.2.7)


23

H

v

h

a

b

c O

Fig.2.7: Interpretarea geometric a produsului mixt a trei vectori

( ) ( ) VHAavvavacbaw par ====== coscos (2.31) unde V reprezint volumul paralelipipedului. Expresia analitic a produsului mixt a trei vectori este dat de relaia 2.32.

( )zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba = (2.32)

2.2.5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi a , b i c .

Este prin definiie un vector d egal cu produsul vectorial dintre vectorul a i produsul vectorial ( )cb . Vom scrie:

( )cbad = (2.33) Din aceast definiie rezult c dublul produs vectorial este un vector situat n planul

vectorilor b i c , existnd relaia:

( ) ( ) ( )cbabcacba = (2.34)

Fiind dai trei vectori a , b i c subzist identitatea: ( ) ( ) ( ) 0=++ bacacbcba . (2.35)

Dorel STOICA

24

X

Z

Y

O

V

Fig. 2.8: Descompunerea unui vector dup trei direcii ortogonale

2.2.6. Descompunerea unui vector dup trei direcii. Notnd cu , i unghiurile pe care un vector V le face cu axele xO , yO i zO (fig.

2.8) ale unui triedru ortogonal xyzO , proieciile sale sunt:

cosVX = ; cosVY = ; cosVZ = . (2.36) ceea ce permite scrierea vectorului V sub forma:

kZjYiXV ++= (2.37)

unde i , j i k sunt versorii axelor xO , yO i zO .

n baza teoremei proieciilor potrivit

creia proiecia pe o ax a rezultantei R a unui sistem de vectori liberi este egal cu suma proieciilor, rezult pentru proieciile rezultantei pe axele xO , yO i zO expresiile:

= iXX ; = iYY ; = iZZ (2.38)

unde iX , iY , iZ snt proieciile pe aceste axe ale unui vector iV .

Modulul rezultantei va fi 222 ZYXR ++= , iar direcia i sensul ei vor fi date prin cosinusurile directoare:

222cos

ZYX

X

++= ,

222cos

ZYX

Y

++= ,

222

cosZYX

Z

++= .

25

CAPITOLUL 3

3.1. STATICA PUNCTULUI

3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legturi Un punct material este liber atunci cnd poate ocupa orice poziie n spaiu, nefiind

stnjenit de nici o obligaie geometric. Poziiile pe care le ocup punctul material snt determinate numai de forele ce acioneaz asupra lui. n general, poziia punctului se definete prin trei parametrii scalari, independeni ntre ei, spre exemplu coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare punctul material liber are trei grade de libertate.

n cazul n care un punct material este obligat, geometric s ocupe numai anumite poziii n spaiu se spune c este supus la legturi. De exemplu punctul material poate fi obligat s rmn pe o suprafa, pe o curb sau ntr-un punct fix n spaiu.

Un punct material obligat s rmn pe o suprafa are dou grade de libertate, deoarece, aa cum este cunoscut din geometria diferenial, snt necesari doi parametri pentru a-i defini poziia: coordonatele sale curbilinii; un punct material obligat s rmn pe o curb are un singur grad de libertate, iar un punct material obligat s rmn ntr-un punct fix din spaiu nu are nici un grad de libertate.

3.1.2. Echilibrul punctului material liber Condiia necesar i suficient ca un punct material liber care se afl n repaus (sau n

micare rectilinie i uniform) s rmn n aceeai stare mecanic sub aciunea unui sistem

de fore concurente, adic s fie n echilibru este ca rezultanta R a acestor fore s fie nul. Aceast condiie rezult din aplicarea principiilor ineriei i aciunii forei. Condiia de

echilibru se scrie sub forma ecuaiei vectoriale: 0=R (3.1)

Sub form scalar, ecuaiile de echilibru se scriu: - n spaiu:

= 0ixF ; = 0iyF ; = 0izF (3.2) - n plan:

= 0ixF ; = 0iyF (3.3) Din punct de vedere grafic condiia de echilibru impune condiia c poligonul forelor

trebuie s se nchid. n problemele de echilibru punctului material de urmresc dou categorii de probleme i anume:

a) se dau forele care acioneaz asupra punctului i se cere poziia acestuia; b) se d poziia punctului i se cer forele care l acioneaz.

Dorel STOICA

26

3.1.3. Probleme rezolvate Problema 3.1.

Punctul material M este acionat de forele: PF =1 , ( )

2

32

PF = , PFF 243 == ,

coplanare (fig. 3.1). Cunoscndu-se unghiurile: = 601 i == 4543 , se cere s se determine rezultanta acestor fore (modul i direcia).

Rezolvare Se cunoate c:

4321 FFFFR +++=

Considernd sistemul de referin din figur, proieciile

rezultatei sunt:

22

22

2

22

2

1

coscoscos 4433114

1

PPPP

FFFFRi

ixx

=+=

=+== =

222

3

2

22

2

22

2

3

sinsinsin 24433114

1

PPPPP

FFFFFRi

iyy

==

=== =

Modulul rezultatei (fig. 3.1.a) este:

332

22 PRRR yx =+=

iar unghiul este:

== 8024arctgR

Rarctg

x

y

Fig. 3.1

Fig. 3.1.a


27

Problema 3.1.2.

Se consider un punct material M solicitat de trei fore: PF 21 = , 22 PF = , PF 23 = , ca

n figura 3.2. S se determine o for 4F astfel nct rezultanta forelor s fie nul. Rezolvare

Se consider fora cerut 4F de forma:

jFiFF yx 444 +=

unde xF4 , yF4 reprezint proieciile pe axele Mx i My

ale forei cerute.

Proieciile forelor 1F , 2F , 3F sunt:

iPF 21 = , jPiPjPiPF +=+= 45sin245cos22

jPiPjPiPF 360sin260cos23 == Punnd condiia ca rezultata celor patru fore s fie nul:

( )13 0

04

4

4321

4

11 =

==+++==

= PF

FFFFFFR

y

x

i

,

Deci,

( ) jPF 134 = i ( )134 = PF Problema 3.1.3. Punctul material M este acionat de sistemul de fore concurente din fig. 3.3 cu modulele

forelor PFF 241 == , PF = 542 , 293 PF = , 1325 PF = . Poziia n spaiu a forelor este

precizat cu ajutorul unui paralelipiped de muchii aMA 2= , aMB 3= , aMC 4= . S se determine rezultata R (modul i direcie). Rezolvare

Se cunosc modulele forelor 1F , 2F , 3F , 4F , 5F i

direciile lor MA , MH , ME , MB , MD . Se scriu vectorii

forelor folosind versorii 1u , 2u , 3u , 4u , 5u .

( )iP

a

iaP

MA

MAPuFF ==== 2

2

222

2111,

( ) ( )kPiP

aa

kaiaP

MH

MHPuFF +=

+

+=== 8442

425454

22222

Fig. 3.2

Fig. 3.3

Dorel STOICA

28

( ) ( ) ( )kPjPiP

aaa

kajaiaP

ME

MEPuFF

++=

=++

++===

432

432

4322929

222333 ,

( )jP

a

jaP

MB

MBPuFF ==== 2

3

322

2444,

( ) ( )jPiP

aa

jaiaP

MD

MDPuFF +=

+

+=== 6432

32132132

22555

Rezultanta este:

++++== =

54321

5

11 FFFFFFR

i

kPjPiPR ++= 121112 , 409PR = .

Direcia rezultantei este dat de cosinusurile directoare:

409

12cos ==

R

Rx ;

409

11cos ==

R

Ry ;

409

12cos ==

R

Rz

Problema 3.1.4. Un punct material M de greutate neglijabil, este atras

n plan vertical de punctele ( )0,0A ; ( )0,aB i

2

3,

2

aaC .

Forele de atracie sunt proporionale cu distanele de la M la A, B i C, cu coeficienii de proporionalitate k1, k2, k3. Se cere s se afle poziia de echilibru a lui M fa de sistemul de referin dat.

Rezolvare

Se noteaz forele de atracie AF , BF , CF ,

corespunztoare punctelor A, B, C i se consider punctul ( )yxM , cu x, y necunoscute. Condiia de echilibru este:

003

1

=++==

CBAi

i FFFF

Rezult:

( )jyixkMAkFA == 11 ,

Fig. 3.4


29

'R

NR

R

TR

N

TM

( )P

( )S

Fig. 3.5: Punct material aflat n echilibru

( )[ ]jyixakMBkFB == 22

== jyaixakMCkFC 23

233

Coordonatele punctului M aflat n echilibru sunt:

( )( )321

32

2

2

kkk

kkax

+++= i ( )213

3

2

3

kkk

aky

=

3.2. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGTURI

3.2.1. Axioma legturilor. Legturile punctului material Se consider un punct material aflat n echilibru pe o suprafa (S) i acionat de forele

exterioare a cror rezultant este R (fig. 3.5). Se observ c pentru acest punct nu se mai

poate scrie aceeai ecuaie de echilibru ca pentru punctul material liber, adic 0=R . Aceasta este o urmare a existenei

legturilor, care exercit asupra punctului respectiv anumite constrngeri mecanice reprezentate prin fora de legtur (reaciunea). Pentru a rezolva problema punctului material supus la legturi este necesar s se foloseasc axioma legturilor.

n baza axiomei legturilor orice legtur poate fi suprimat i nlocuit cu elemente mecanice (fore, momente) cores-punztoare. Ca urmare corpul considerat este liber i n consecin echilibrul su se studiaz cu ecuaiile stabilite pentru corpul liber.

n cazul punctului material, legtura se nlocuiete cu reaciune R . Condiia necesar i suficient ca un punct material supus la legturi s fie n echilibru este ca rezultanta forelor direct aplicate i a forei de legtur s fie nul, adic:

0=+ RR (3.4) Sau proiectat pe axe:

0=+ xx RR ; 0=+ xy RR ; 0=+ zz RR (3.5) Pe baza relaiei (3.4) se observ c rezultanta Ra forelor direct aplicate i a forelor de

legtur R trebuie s fie egale i de semn contrar. Legturile punctului sunt rezemarea pe o suprafa, rezemarea pe o curb (n spaiu i n plan) i prinderea cu fire, care poate fi considerat echivalent cu o legtur unilateral pe o sfer a crei raz este tocmai lungimea firului respectiv.

Dorel STOICA

30

Legturile punctului pot fi legturi cu frecare (aspre) i legturi fr frecare (lucii, ideale). O legtur este cu frecare cnd suprafaa sau curba de reazem aparine unor corpuri reale i ca urmare, printre alte proprieti, au la suprafa asperiti care se opun micrii punctului material, dnd astfel natere forei de frecare.

O legtur este fr frecare cnd se presupune c suprafaa sau curba snt corpuri ideale, perfect lucioase i ca urmare nu se poate nate fora de frecare. n realitate astfel de legturi nu exist, dar unele legturi pot fi aproximate ca fiind lucii cnd fora de frecare este mic i neglijabil.

3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legturi fr frecare Se nelege prin legturi fr frecare (ideale) legturile pentru care 0=T . Asemenea legturi nu exist n realitate. Exist ns i suprafee la care fora de frecare

este att de mic, nct poate fi neglijat ntr-o prim aproximaie. La aceste legturi NR = , adic reaciunea este normal. n cazul unei suprafee, reaciunea are direcia normalei la suprafa, iar n cazul unei curbe, ea are o direcie oarecare n planul normal la curb.

Condiia de echilibru a unui punct material supus la o legtur ideal va fi:

0=+ NR (3.6) sau proiectat pe axe:

0=+ xx NR ; 0=+ yy NR ; 0=+ zz NR . (3.7)

innd seama c n punctul curent parametrii directori ai normalei la o suprafa dat de ecuaia:

( ) 0,, =zyxf (3.8)

sunt z

f

y

f

x

f

,, , ecuaiile (3.6) i (3.7) se pot scrie:

0=

+

+

+ k

z

fj

y

fi

x

fR

0;0;0 =+=

+=

+

z

fR

y

fR

x

fR zyx (3.9)

n cazul unui punct material M rezemat pe o curb (C) (fig. 3.6), raionnd n mod analog, apar forele R i R care n cazul echilibrului sunt egale i opuse. Rezultanta R a forelor direct aplicate se descompune n componenta tangenial TR dirijat dup tangenta

la curb n M i n componenta normal NR dirijat dup dreapta ce rezult din intersecia

planului (), normal la curba C n M cu planul determinat de tangenta n M la curb i fora R . Reaciunea R se descompune dup aceleai direcii n reaciunea normal N i n fora de frecare T .


31

Ca i n cazul punctului material rezemat pe o suprafa, fora normal NR caut s se ndeprteze punctul M de curb i este anihilat de reaciunea normal N . Deci, pentru echilibrul aceste dou fore NR i N , trebuie fie egale i de sens opus.

n cazul unor legturi fr frecare, fora de frecare T nu poate s apar i n consecin pentru echilibru n acest caz, este necesar ca 0=TR .

n cazul legturii cu frecare forele TR i T trebuie s fie egale i de semn contrar. Pentru ca un punct material sub aciunea unui sistem de fore s rmn n echilibru pe o curb fr frecare este necesar ca:

- rezultanta forelor exterioare R s fie cuprins n planul normal la curb n punctul respectiv;

- reaciunea este o for N situat n acelai plan normal. Ecuaia de echilibru se scrie:

0=+ NR (3.10)

Dac curba este dat prin ecuaiile:

( ) 0,,1 =zyxf ; ( ) 0,,2 =zyxf (3.11)

planul normal la curb poate fi considerat ca fiind determinat de normalele la cele dou suprafee date prin ecuaiile (3.11), luate fiecare separat. n acest caz ecuaia (3.10) se scrie:

02222111

1 =

+

+

+

+

+

+ k

z

fj

y

fi

x

fk

z

fj

y

fi

x

fR

Proiectnd pe axe se obine sistemul:

=+

+

=+

+

=+

+

0

0

0

22

11

22

11

22

11

z

f

z

fR

y

f

y

fR

x

f

x

fR

z

y

x

(3.12)

Cnd curba este dat prin ecuaiile parametrice:

)(txx = , )(tyy = , )(tzz = (3.13)

M

NR

()

N 'R

T

R

TRtang

Fig.3.6: Punct material rezemat pe o curb

Dorel STOICA

32

Condiia de echilibru se exprim cu relaia de ortogonalitate dintre rezultanta forelor

exterioare R (cuprins n planul normal) i tangent, ai crei parametrii directori, sunt dt

dx,

dt

dy,

dt

dz, adic:

0=++dt

dzR

dt

dyR

dt

dxR zyx (3.14)

Cu ajutorul acestei relaii se determin poziia de echilibru. Problemele ce pot apare n studiul echilibrului punctului material supus la legturi fr

frecare sunt redate centralizat n tabelul 3.1 din acre se vede c problemele sunt static determinate.

Necunoscute

Felul legturii Referitoare la poziie

Referitoare la reaciune

Ecuaii de echilibru

Rezemare pe o suprafa

2 (coordonatele u, v)

1 (scalarul reaciunii)

3 ecuaii

=

=

=

0

0

0

z

y

x

F

F

F

Rezemare pe o curb n spaiu

1 (coordonata curbilinie s)

2 (scalarul i direcia reaciunii sau 2 componente ale reaciunii n planul normal

3 ecuaii

=

=

=

0

0

0

z

y

x

F

F

F

Rezemare pe o curb n plan

1 (coordonata curbilinie s)

1 (scalarul reaciunii)

2 ecuaii

=

=

0

0

y

x

F

F

Punct fix Niciuna

3 (proieciile reaciunii pe trei direcii n spaiu

3 ecuaii

=

=

=

0

0

0

z

y

x

F

F

F


33

3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legturi cu frecare. Legile frecrii uscate n cazul curbelor i suprafeelor aspre nu se poate neglija componenta tangenial T a

reaciunii R , aa cum s-a procedat n cazul legturilor ideale. Experiena arat c modulul componentei tangeniale T denumit for de frecare de

alunecare este limitat. Redus la forma cea mai simpl, o asemenea experien se realizeaz astfel (fig.3.7,a): un

corp asimilabil cu un punct material de greutate G este aezat pe un plan orizontal i acionat cu o for orizontal F , care poate varia continuu. Se constat c pn la o anumit valoare

maxF a forei orizontale corpul nu se pune n micare.

Aceasta dovedete c reaciunea Reste nclinat cu unghiul fa de normal i prin urmare poate fi descompus n dou componente, reaciunea normal N i fora T , numit for de frecare de alunecare (fig.3.7,b). Fora de frecare de alunecare acioneaz n planul tangent la suprafaa de reazem i se opune tendina de micare. n figura 3.7,c este prezentat cazul la limit

cnd forele F i T iau valori limit i unghiul capt, de asemenea, valoarea limit , numit unghi de frecare. Fora de frecare poate varia ntre valorile zero i cea limit maxT .

Din figura 3.7 se poate scrie:

tgNT =

i la limit

tgNT =max i cum se poate restrnge:

tgNT = (3.15)

F

()

T

G

N 'R

(b) F

G

(a)

( )

maxT

G

maxF

N 'R

(c) Fig.3.7: Punct material supus la legturi

Dorel STOICA

34

Dintre experienele fcute asupra forelor de frecare de alunecare se remarc cele fcute de Coulomb, care au condus la legile frecrii uscate i anume:

1. valoarea forei maxime de frecare nu depinde de mrimea suprafeei n contact dintre cele dou corpuri (n cazul experienei, suprafaa dintre corp i planul orizontal) iar dac se produce micarea, fora de frecare nu depinde nici de viteza relativ;

2. valoarea forei maxime de frecare depinde de natura corpurilor i a suprafeelor n contact (de exemplu gradul de prelucrare);

3. valoarea forei maxime de frecare este proporional cu modul N al reaciunii

normale. Pe baza acestor legi, fora de frecare de alunecare are expresia:

NT =max (3.16) respectiv:

NT (3.17) unde este coeficientul de frecare de alunecare, care este o mrime adimensional ce

depinde de natura i starea suprafeelor n contact. Analiznd relaiile (3.15) i (3.17) se observ c:

tg= (3.18) Dup Coulomb forele de frecare i au originea n existena la suprafaa corpurilor a

unor asperiti care n cazul a dou corpuri n contact se ntreptrund. Cnd unul dintre corpuri se pune n micare, aceste asperiti sunt strivite, fora de

frecare de alunecare fiind fora care se opune acestor striviri. Extinznd domeniul experienelor fcute de Coulomb se constat variaia coeficientului

de frecare la alunecare , cu viteza, anume el scade odat cu creterea vitezei. Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile n repaus (coeficientul de aderen 0) este mai mare (fig.3.8) dect pentru cele n micare (coeficientul de frecare dinamic ).

De asemenea, dac N ia valori mari, mrimea forei de frecare de alunecare T nu mai variaz liniar cu mrimea reaciunii N .

Dac se reduc nlimile asperitilor, conform teoriei lui Coulomb, fora de frecare de alunecare ar urma s scad. n realitate fora de frecare de alunecare la un moment dat cretere datorit interveniei altor fenomene, cum ar fi forele de adeziune intermoleculare, care n acest caz devin importante.

Revenind la experiena prezentat la nceputul acestui paragraf se poate ajunge imediat la aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.

Considernd punctul rezemat pe o suprafa i schimbnd direcia forei F n planul tangent, reaciunea R , respectiv rezultanta R , vor descrie n

acest caz un con, numit con de frecare, care are vrful n punctul considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafa i unghiul la vrf 2 (fig. 3.9).

0

O v

Fig. 3.8: Variaia coeficientului de frecare

la alunecare , cu viteza


35

Punctul material se gsete n echilibru cnd reaciunea Rse afl n interiorul conului sau la limit pe mantaua acestui con. n cazul punctului material rezemat cu frecare (ca n cazul rezemrii pe o suprafa), generatoarele extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig. 3.10) au ca ax de simetrie tangenta la curb n punctul respectiv i

unghiul la vrf

2

2 .

Punctul material se afl n echilibru cnd reaciunea R se gsete n afara conurilor complementare de frecare, sau la limit pe mantaua acestora.

n problemele de echilibru cu frecare ale punctului material, de obicei soluia nu mai este unic, aa ca n cazul echilibrului fr frecare i se exprim de obicei printr-o inegalitate.

n cazul punctului pe o suprafa, studiul analitic se face exprimnd unghiul dintre rezultanta R i un vector 1n coliniar cu versorul normalei n n punctul considerat. Suprafaa

este dat prin ecuaia 0),,( =zyxf . Astfel:

1

1cosnR

nR= (3.19)

unde vectorul 1n este:

+

+

= k

z

fj

y

fi

x

fn 11 . (3.20)

Pentru simplificare putem alege 11 = . Pentru echilibru este necesar ca , adic

coscos (3.21) Dar

.1

1

1

1cos

22

+=

+=

tg (3.22)

n

R

M

R

)(S

M

)(

R

R

)(C

2

2

Fig. 3.9: Con de frecare Fig. 3.10. Punct material rezemat pe o curb.

Dorel STOICA

36

Deci rezult condiia de echilibru:

21

1

1

1

+

nR

nR

respectiv

2222222

1

1

+

+

+

++

+

+

z

f

y

f

x

fRRR

z

fR

y

fR

x

fR

zyx

zyx

(3.23)

n cazul punctului pe o curb a stabili o expresie analitic, se presupune curba dat prin

ecuaiile parametrice: )(txx = , )(tyy = , )(tzz = (3.24)

Un vector 1u dirijat dup tangent are expresia:

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxu ++=1 (3.25)

Unghiul dintre rezultanta R i vectorul 1u este dat de:

1

1cosuR

uR= . (3.26)

Pentru echilibru s-a vzut c este necesar ca 2

, adic

2

coscos (3.27)

sau sincos . Dar

.11

sin22

+

=+

=tg

tg (3.28)

Deci condiia de echilibru este:

21

1

1 +

uR

uR

respectiv

2222222 1

+

+

+

++

++

dt

dz

dt

dy

dt

dxRRR

dt

dzR

dt

dyR

dt

dxR

zyx

zyx

. (3.29)


37

3.3. PROBLEME REZOLVATE Problema 3.3.1. Un punct material de greutate G poate aluneca fr frecare pe un cerc. Asupra punctului

acioneaz fora orizontal F (figura 3.11). S se determine poziia de echilibru a punctului i reaciunea cercului.

Rezolvare Se elibereaz punctul material de legtura sa cu cercul i

se introduce reaciunea normal N . Se proiecteaz ecuaia vectorial de echilibru.

0=++ NGF Pe axele de coordonate se obin:

( )( ) 0sin0

0cos0

==

==

GNF

NFF

y

x

de unde rezult:

==

GN

FN

sin

cos

Calculnd raportul dintre cele dou relaii de mai sus, se

obine: F

Gtg = ; 22 FGN +=

Discuie: cnd F ; 0=tg ; 0= ;

cnd 0=F ; =tg ; 2

= ;

cnd GF = ; 1=tg ; 4

= ;

Problema 3.3.2 O roat de raz R i greutate G , se afl n faa unui prag

de nlime h (figura 3.12). S se determine nclinarea dat de unghiul , pentru ca roata s treac peste prag.

Rezolvare Se elibereaz roata de legturi, forele care acioneaz

asupra sa fiind: greutatea G , reaciunile AN i BN . n momentul n care roata ncepe s se rostogoleasc peste prag, reaciunea BN este nul. Se proiecteaz ecuaia

vectorial de echilibru 0=+ GN A pe axele de coordonate: ( )( ) 0cossin0

0sincos0

==

==

GNF

GNF

Ay

Ax

R

hR=sin

Se elimin AN ntre aceste dou ecuaii i se obine:

==22

tgtgctgtg

Fig. 3.11

Fig. 3.12

Dorel STOICA

38

Problema 3.3.3 Un punct M de greutate G , care se reazem cu frecare

de coeficient pe o suprafa cilindric, este prins prin intermediul unui fir ce se reazem fr frecare, un corp de greutate P (figura 3.13). Poziia de echilibru a punctului este dat de unghiul .

Se cere s se determine valoarea lui P pentru echilibru.

Rezolvare:

Se izoleaz punctul M i se scriu relaiile de echilibru (figura 3.13.a):

( )( ) 0cos0

0sin0

==

=+=

QNF

QPTF

y

x

NT

Determinnd pe T i N din cele dou ecuaii i nlocuind

n condiia de frecare, rezult: ( ) cossin + QP Lund n considerare ambele tendine de modificare a

echilibrului, se obine: ( ) ( )+ cossincossin QPQ

Problema 3.3.4. Pe un cadru circular de raz R, dispus ntr-un plan

vertical se afl un inel M de greutate G . De inel, prin intermediul a dou fire, sunt prinse greutile P i Q.

Firele trec peste doi scripei situai n centrul cercului, respectiv pe cerc (figura 3.14).

S se determine unghiul pe care l fac firele de legtur ntre ele pentru poziia de echilibru a inelului.

Fig.3.13

Fig.3.13.a

Fig. 3.14


39

Rezolvare

Se elibereaz inelul de legturi (fig. 3.14.a), si noteaz cu N reaciunea normal, iar cu

1S i 2S tensiunile din fire: PS =1 QS =2 Se scrie ecuaia vectorial de echilibru:

021 =+++ NSSG Se proiecteaz aceast ecuaie n sistemul de axe ales (tangenta i normala la cerc);

( )( ) 02cossin0

02sincos0

2

21

==

=++=

GSF

NGSSF

y

x

innd cont c QS =2 i =2sin212cos , din a doua ecuaie se determin unghiul .

Se obine astfel o ecuaie de gradul al II-lea: 0sinsin2 2 =+ GQG

G

GQQ

4

8sin

22 += ;

Deoarece 0sin90 > (n cadranul II). n acest caz, soluia este:

G

GQQ

4

8sin

22 ++=

G

QGQ

4

8arcsin

2 +=

Problema 3.3.5. Un corp M de greutate G se reazem cu frecare pe un plan ABCD nclinat fa de planul

orizontal cu unghiul , fiind prins cu un fir de punctul A al planului (fig. 3.15). Asupra corpului acioneaz i fora Q, coninut ntr-un plan paralel cu planul nclinat, for ce este orientat dup linia de cea mai mare pant a planului.

S se determine valoarea minim a forei Q pentru echilibru, dac coeficientul de frecare dintre planul nclinat i corp este , iar unghiul pe care firul AM l face cu latura AB a planului este .

Fig. 3.14.a

Dorel STOICA

40

Rezolvare

Se elibereaz punctul M de legturi (fig.3.15 a i fig.3.15.b) si se introduc urmtoarele notaii:

N - reaciunea planului nclinat, S - tensiunea din fir,

maxT - valoarea maxim a forei de frecare

Se proiecteaz ecuaia vectorial de echilibru: 0maxmin =++++ TQSNG pe axele de coordonate, se obine:

( )( )( ) 0cos0

0sinsincos0

0cossin0

max

maxmin

==

=+=

=+=

GNF

GSTF

STQF

z

y

x

NT =max Din ecuaiile de mai sus se determin valorile

reaciunii normale N, a tensiunii de fir S i a forei Qmin.

=

=

=

sincos

sin

cossin

cos

maxmin

max

TSQ

TGS

GN

innd cont de valoarea reaciunii normale i de

condiia de frecare, rezult:

( )

=

=

sincoscoscossin

sin

coscossin

min GctgGGQ

GGS

Fig. 3.15 Fig. 3.15.a

Fig.3.15.b


41

Problema 3.3.6 O sfer de greutate G este suspendat printr-

un fir de un punct situat pe linia de intersecie a doi perei verticali, care formeaz un unghi de 90, fiind rezemat pe acetia (figura 3. 16). S se determine tensiunea n fir i reaciunile celor doi perei, dac firul face cu verticala unghiul .

Rezolvare Se elibereaz sfera de legturi i se noteaz cu

1N i 2N reaciunile celor doi perei, iar cu S tensiunea din fir.

De asemenea, se noteaz cu = sin1 SS proiecia tensiunii n planul xOy (figura 3. 16.a).

Se scrie ecuaia vectorial de echilibru:

021 =+++ SNNG i se proiecteaz aceast ecuaie pe cele trei axe de coordonate:

( )( )( ) 0cos0

045sin0

045cos0

2

1

==

==

==

GSF

SNF

SNF

z

y

x

===

0cos

045sinsin

045cossin

2

1

GS

SN

SN

Din primele dou ecuaii se determin valorile

reaciunilor normale N1 i N2.

== sin2

221 SNN ,

iar din cea de a treia ecuaie, valoarea tensiunii din fir S:

=

cos

GS

n final, se obine:

== GtgNN2

221

Fig. 3.16

Fig. 3.16.a

Dorel STOICA

42

Problema 3.3.7 Pe un plan nclinat cu unghiul fa de orizontal,

este rezemat o sfer M de greutate P. Bila este legat prin intermediul a dou fire AM i BM, care fac unghiul cu planul vertical i unghiul ntre ele (figura 3.17). S se determine reaciunea planului nclinat i tensiunile n cele dou fire.

Rezolvare

Se elibereaz sfera de legturi i se noteaz cu

N reaciunea planului nclinat, 1S i 2S tensiunile din fire. Acestea se pot observa mai bine n proieciile din

figura 3.18. n acest caz, ecuaia vectorial de echilibru a sferei se va scrie:

021 =+++ NSSP

Se proiecteaz ecuaia vectorial pe cele trei axe:

( )

( ) ( )( ) ( ) 0sin90cos0

090sincos2

cos2

cos0

02

sin2

sin0

21

12

==

=+=

==

PNF

NPSSF

SSF

z

y

x

De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:

2

cos2 1

SR=

Din ecuaiile de proiecie se obine:

( )

+=

=

sin

sin

21

PN

SS

Tensiunile din fire vor fi:

( ) ( ) =

++

==

cossinsin

cos

2cos2

121

PPSS ( )

+

tg

P sincos

2cos2

Fig. 3.17

Fig. 3.18


43

Problema 3.3.8 Un inel M de greutate G, alunec fr

frecare pe un cerc de raz r, fiind respins de extremitatea A a diametrului orizontal i atras de extremitatea B a diametrului vertical, cu fore proporionale cu distanele respective.

S se determine poziia de echilibru a punctului pe cerc i reaciunea cercului (fig.ura 3.19).

Rezolvare

Ecuaia vectorial de echilibru este:

0=+++ NGFF BA Se obin ecuaiile de echilibru proiectate

pe axele sistemului de referin:

0cos24

cos2

cos =

+ GFF BA (a)

0sin24

sin2

sin =

+ GFFN BA (b)

unde:

2

sin2= krFA ,

=24

sin2krFB (c)

Din relaiile (a) i (c) se deduce:

1=kr

Gtg (d)

Din relaiile (b) i (c) se deduce: ( ) += cossin krkrGN (e) Din relaia (d) se obine:

( ) 222

sinrkkrG

krG

+

= , ( ) 222

cosrkkrG

kr

+=

Reaciunea normal N este: ( ) 222' rkkrGN ++=

Fig. 3.19

Dorel STOICA

44

Problema 3.3.9 Inelul M de greutate G, alunec cu frecare pe

o bar situat ntr-un plan nclinat cu unghiul , care face cu dreapta de intersecie a planelor nclinat i orizontal unghiul (figura 3.20). De inelul M este legat cu un fir care trece prin captul A al barei, printr-un inel fr frecare. La captul firului este o greutate Q. Se cere reaciunea normal N i valoarea coeficientului de frecare ntre inelul M i bara AB, pentru echilibru.

Rezolvare

Se consider planul nclinat care conine bara AB i se noteaz forele care apar pe axele sistemului x1My1 (fig. 3.20.a).

Rezult:

0sinsin;0 == GFQF fxi (a) 0cossin;0 2 == GNFyi (b)

NT (c)

Se realizeaz o seciune vertical prin cele dou planuri i inelul M i, alegnd sistemul de referin x2My2 (fig. 3.20.b), se scriu ecuaiile proieciilor de fore pe sistemul ales:

0sinsinsin;0 == GTQFxi (d)

0cos;0 1 == GNFyi (e)

unde: 22

21 NNN += (f)

Din (b), (e) i (f) rezult:

+= 222 cossincosGN Din (a) i (c) rezult:

+ 222 cossincossinsin GGQ

+

222 cossincos

sinsin

G

GQ

[ ]QGGQG

+

sinsin;sinsinmaxcossincos

1222

Fig. 3.20

Fig.3.20.a

Fig. 3.20.b


45

Problema 3.3.10

Pe semielipsa de ecuaie 14 2

2

2

2

=+a

y

a

x

( )0y aflat ntr-un plan vertical, alunec fr frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acioneaz o for orizontal F (figura 3.21). S se determine valoarea forei F i reaciunea normal N

pentru echilibru n cazul n care 3

ay = .

Rezolvare

Se scrie relaia vectorial:

0=++ VFG unde:

jGG = , iFF = nN =

se cunoate c: ( ) ( )

jy

yxfi

x

yxfn

,, += .

( ) 14

.2

2

2

2

+=a

y

a

xyxf .

Rezult:

+= ja

yi

a

xN

22

2

2 .

nlocuind n relaia vectorial, se obine:

=+

=+

02

02

2

2

a

yG

a

xF

Pentru 3

ay = din ecuaia elipsei, rezult: 2

3

4ax = . nlocuind n relaia anterioar, se

obine:

y

aG

2

2

= .

Rezult:

iGF = 2 .

( )jiGjyixy

GN +=

+= 3222

Fig. 3.21

Dorel STOICA

46

3.4. PROBLEME PROPUSE Problema 3.4.1 O sfer de greutate P se sprijin n punctele A i

B pe dou plane fixe, nclinate cu unghiurile i fa de orizontal. S se determine reaciunile n punctele A i B (figura 3.22).

Rspuns:

( )+=

sin

sinPNA ;

( )+=

sin

sinPNB

Problema 3.4.2 O bil de greutate P se reazem pe un plan

nclinat fa de orizontal cu unghiul . Bila este legat de punctul A printr-un fir inextensibil care face cu verticala unghiul (figura 3.23).

S se determine tensiunea n fir i reaciunea planului nclinat.

Rspuns:

( )+=

sin

sinPS

( ) ( ) +

+= cos

sin

sincos

PPN

Problema 3.4.3 Inelul M, de greutate neglijabil, alunec fr

frecare pe semielipsa 13 2

2

2

2

=+a

y

a

x ( )0y , aflat ntr-un

plan vertical. De inelul M sunt prinse dou fire care trec fr frecare prin inelele A i B (AB aparine semiaxei orizontale a elipsei) i au la capete greutile P i Q cunoscute (figura 3.24). S se determine reaciunea N a semielipsei asupra inelului n momentul n care ax = .

Rspuns:

( )jiQPja

yi

a

xQPN +

=

+

= 6

14

14

5

232

314

14

5

236

Fig. 3.22

Fig. 3.23

Fig. 3.24


47

Fig. 3.25

Problema 3.4.4 Printr-un inel M de greutate neglijabil, care se

reazem cu frecare de coeficient pe un cerc de raz r, sunt prinse dou fire ce trec fr frecare prin dou inele fixe A i B (figura 3.25). La capetele firelor sunt legate dou corpuri cu greutile G1 respectiv G2.

S se determine raportul 2

1

G

G, astfel nct punctul M

s rmn n repaus n poziia dat de unghiul , considerat cunoscut.

Rspuns:

Condiia final de echilibru este:

2sin

2cos

24sin

24cos

2sin

2cos

24sin

24cos

2

1

+

G

G

Problema 3.4.5

Pe semielipsa de ecuaie 1

4 2

2

2

2

=+a

y

a

x

( )0y aflat ntr-un plan vertical, alunec fr frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acioneaz o for orizontal F (figura 3.26). S se determine valoarea forei F i reaciunea normal N pentru echilibru n cazul n care

3

ay =

.

Rspuns:

iGF = 2 .

( )jiGjyixy

GN +=

+= 3222

Fig. 3.26

Pages From Mecanica_B5

Documents

Transcript of Pages From Mecanica_B5