Optimizari in Ingineria Electrica

OPTIMIZĂRI ÎN INGINERIA ELECTRICĂ

19

Capitolul 1

Aplicarea cercetării operaţionale în electroenergetică. Rezolvarea problemelor optimizabile care apar în sistemele energetice se face cu ajutorul modelelor şi metodelor cercetării operaţionale. În acest capitol se vor prezenta termeni specifici, istoricul, principiile şi legătura dintre cercetarea operaţionala şi sistemele energetice. a. Fenomene artificiale. Totalitatea fenomenelor observate poate fi împărţită în: fenomene naturale şi fenomene artificiale. Fenomenele artificiale se datorează activităţii omului; ele iau naştere în mari sisteme formate din oameni, maşini şi produse [1].

Fenomenele artificiale pot fi fenomene economice sau fenomene de organizare. Mai jos se dau câteva exemple de fenomene de organizare: a) ansamblul operaţiilor pe o linie de montaj, într-o fabrică; b)variaţia unui stoc de mărfuri, de exemplu combustibilul; c) repartizarea puterilor active între centralele unui sistem electroenergetic sau repartiţia vagoanelor într-un sistem de căi ferate; d) gospodărirea investiţiilor, repartiţia investiţiilor pentru obiectivele unui sistem energetic; e) lansarea spre vânzare a loturilor de produse; f) situaţia strategică; g) elaborarea economică a unui amestec de produse; determinarea reţelei de combustibili solizi pentru căile ferate sau a reţetei a unui combustibil gazos; h) evoluţia unei cozi (şir de aşteptare); i) organizarea unui convoi maritim în timp de război; j) dezvoltarea unei anumite producţii de exemplu producţie de energie electrică. k) amplasarea unităţilor de producţie: fabrici, centrale electrice. b. Decizie. Datorându-se activităţii oamenilor, fenomenului de organizare îi este caracteristică luarea unei hotărâri, a unei decizii asupra modului de desfăşurare a acestei activitate. Cele mai importante probleme ale luării deciziei în sistemele în care apar fenomene de organizare sunt: analiza activităţii sistemului, fixarea scopului activităţii, alegerea soluţiilor care sa conducă la atingerea scopului propus. c) Istoric. Modul de observare şi influenţare a fenomenelor de organizare a parcurs două etape. Prima etapă a avut caracter empiric: fenomenul este cunoscut pe baza experienţei personale iar decizia este luată în funcţie de instituţia factorului de decizie. A doua etapă are un caracter ştiinţific: fenomenul este cunoscut prin informaţie cifrică obiectivă iar decizia este luată în urma unui raţionament ştiinţific. Luarea deciziilor pe baza experienţei personale şi a intuiţiei poate duce la decizii eronate. Exemplu:


20

Să se repartizeze sarcina active de 155MW între două turbogeneratoare de 105MW funcţionând astfel ca să se obţină consumul total minim de combustibil. Expresiile caracteristicilor de consum a celor doua turbogeneratoare sunt: 11 P 2,0100B (1-1) 22 P 2,425B (1-2) unde: B - este consumul de combustibil exprimat în Gcal/h; P - puterea activă debitată de generator exprimată în MW. Caracteristicile de consum specific se exprimă prin:

,100

0,211

11 PP

Bbsp (1-3)

.25

4,222

22 PP

Bbsp (1-4)

Unde:

spb - consumul specific de combustibil exprimat în Gcal/MWh

P - puterea exprimata în MW. Cele două feluri de caracteristici sunt reprezentate în figura 1-1. Conform figurii rezultă că valoarea consumului specific de combustibil este mai mare pentru agregatul 1 şi mai mică pentru agregatul 2. Ştim că agregatele cu consum specific mai mic consumă mai puţin combustibil decât agregatele cu consum specific mai mare. Am fi înclinaţi, deci să afirmăm că soluţia problemei constă în încărcarea completă a agregatului 2 la puterea lui nominală de 105 MW şi încărcarea agregatului 1 cu diferenţa de 50 MW. Aceasta este însa o soluţie greşită.

Unde este greşeala? Se foloseşte o mărime care caracterizează funcţionarea individuală independentă a unui agregat –

consumul specific – pentru a caracteriza funcţionarea în grup, dependenţă a mai multor agregate. Consumul specific serveşte la compararea a două agregate


21

(sisteme) funcţionând independent dar realizând aceeaşi producţie orară (în cazul de faţă consumul specific corespunzător puterii - P ). Soluţia exacta se găseşte ţinând seama tocmai de funcţionarea în grup, dependentă, adică de funcţionarea în paralel a celor două agregate. Deoarece se cere soluţia de funcţionare care corespunde consumului total minim de combustibil, se va scrie expresia consumului total de combustibil.

P 2,4P 2,0125P 2,425P 2,0100BBB 212121 (1-5)

Condiţiile de funcţionare se exprimă făcând abstracţie de puterea minimă tehnic, care în cazul de faţă nu influenţează soluţia problemei - prin:

MW 155PP ;105MW P ;105MW P 2121 (1-6)

Pentru a obţine minimul lui B trebuie să minimizăm partea variabilă 21 4,20,2 PP cu observarea condiţiile (1-6). Aceasta se obţine dacă MWP 1051

iar MWP 502 . În cazul funcţionarii în paralel a agregatelor cu caracteristici de consum liniare, stabilirea agregatului care încarcă nu se face ca în cazul funcţionării independente a agregatelor după consumul specific minim, ci după creşterea minimă a consumului de combustibil (în exemplul dat, coeficientul 2,0). În etapa de tratare ştiinţifică a fenomenului de organizare se disting două subetape : în prima, în locul experienţei personale sunt folosite datele statistice, iar decizia se ia tot pe baza intuiţiei; în cea de a doua asupra datelor statistice se aplică raţionamentul ştiinţific. Primele încercări de la aplicare a raţionamentului ştiinţific pentru stabilirea unei decizii pe baza datelor statistice, se fac în studiile de econometrie (matematică în economie) efectuare în jurul anului 1930. d) Cercetarea operaţională – Disciplina care cercetează în mod ştiinţific fenomenele de organizare şi permite pregătirea ştiinţifică a deciziilor poartă denumirea de cercetare operaţională. Ea este o ramura a matematicii. Raportul dintre disciplina optimizării în sistemele energetice şi funcţionarea sistemelor energetice şi bazele electrotehnicii. În ambele cazuri avem de-a face cu o disciplină tehnică care foloseşte în special rezultatele obţinute în cadrul unei discipline fundamentale în vederea rezolvării unor probleme practice. e) Terminologie. Termenul original, englezesc, Operaţional Research, înseamnă cercetarea pentru înţelegerea unui fenomen în vederea acţiunii. Termenul a fost tradus cu acelaşi sens în diferite limbi de circulaţie mondială: Operation Research - termen folosit în literatura americană – Recherche operationnelle, Isledovaniie operaţii, Unternehmensforschung sau Operationsforschung. f) Istoricul cercetării operaţionale. S-a spus în mod justificat că o ştiinţă nu ia naşte dintr-o dată. Fiecare ştiinţă apare ca urmare a existenţei simultane a unui interes în creştere pentru o anumită clasă de probleme şi a unui nivel de dezvoltare a principiilor, metodelor şi mijloacelor ştiinţifice cu ajutorul cărora este posibil să


22

se rezolve aceste probleme [3]. Problemele cercetării operaţionale sunt tot atât de vechi ca problemele ştiinţei şi ale conducerii administrative. În timpul celui de al doilea război mondial, nevoile de apărare făceau necesară rezolvarea unor probleme ca: programarea zborului bombardierelor în vederea obţinerii maximului de distrugeri la sol, determinarea mărimii optime a convoaielor maritime pentru a reduce la minimum riscurile de torpilare. Totodată datorită progreselor făcute de matematică existau metode pentru rezolvarea cazurilor practice în timp util. Denumirea de cercetarea operaţiilor a fost dată acestei discipline în Anglia în anul 1940. Aplicată la început pentru rezolvarea problemelor militare, cercetarea operaţională a fost aplicată după război la rezolvarea problemelor financiare, industriale şi administrative căpătând o largă răspândire în diferitele ţări. Ca orice disciplină ştiinţifică, cercetarea operaţională se caracterizează prin aceea ca are un domeniu propriu de cercetare – domeniul fenomenelor de organizare – elaborează teorii proprii şi foloseşte metode specifice. Teoriile proprii cercetării operaţionale au un caracter de generalitate, reducând la tipuri comune, problemele care se pun în domenii diverse: economic, administrative, militare etc. Tipurilor generale de probleme le corespund modelele matematice şi metode de calcul (teorii) care poartă aceleaşi denumiri. Întâlnim deci problema modelului matematic şi metoda: programării liniare, programării neliniare, programării discrete şi combinatorii, programării dinamice, programării stohastice, metode de reţea etc. g) Modelul matematic – este metoda specifică cercetării operaţionale este metoda modelării matematice. După cum modelele conţin funcţii sau repartiţii de probabilităţi ele se numesc deterministe (formale) sau probabiliste. Spre deosebire de fenomenele naturale, fenomenele artificiale au ca scop şi un ansamblu de obiective ce trebuie realizate, cum ar fi de pildă limitările de natură tehnică ale sistemului studiat. Modelul matematic al unui fenomen de organizare reprezintă exprimarea matematică a obiectivelor ce trebuie realizate şi a ţelului pe care ni-l propunem în funcţionarea sistemului. Obiectivele se exprimă în modelul matematic prin restricţiile matematice care pot fi egalităţi şi inegalităţi. Scopul funcţionării sistemului, exprimat prin calitatea acţiunii sau operaţiei respective,se măsoară prin valoarea unei mărimi aleasă după anumite criterii. De exemplu, calitatea funcţionării sistemului electroenergetic se poate exprima prin cheltuielile toate anuale sau prin consumul anual de combustibil convenţional. Mărimea care corespunde calităţii unei acţiuni poartă denumirea de funcţie economică (funcţie scop, funcţie obiectiv, funcţie de criteriu, funcţie de valoare, funcţie de evaluare). Deci, modelul matematic al unui fenomen de organizare este format din funcţia economică şi din restricţiile matematice. h) Optimizare. Funcţionarea sistemului trebuie să decurgă astfel încât mărimea care corespunde calităţii acestei funcţionări să ia o valoare extremă (minimă sau maximă, după scopul urmărit) cu condiţia respectării celorlalte obiective ale sistemului. Se vorbeşte despre optimizarea fenomenului sau procesului, adică despre minimizarea sau maximizarea funcţiei obiectiv în


23

condiţiile impuse de restricţiile matematice. Decizia pe baza căruia se obţine acţiunea optima poartă denumirea de decizie optimă. Calitatea acţiunii, corespunzătoare deciziei optime, reprezintă limita calităţii acţiunii respective în condiţiile descrise de modelul matematic. Putem astfel afla care poate fi durata minimă a unei construcţii, care poate fi consumul total minim de combustibil şi deci consumul specific minim, care pot fi cheltuielile totale minime. Aceasta est unul din rezultatele folositoare ale calculelor de optimizare deoarece arată care sunt rezervele, reale , posibile, de îmbunătăţire a unei acţiuni. i) Unicitatea funcţiei obiectiv. În timp ce obiectivele funcţionarii sistemului pot fi mai multe, funcţia economică nu poate fi decât una singură. Revenind la funcţionarea sistemului electroenergetic, aceasta nu poate fi optimizată simultan din punctul de vedere al cheltuielilor totale şi al consumului de combustibil. Deci, nu poate fi găsită, în general, o soluţie de funcţionare care să conducă în acelaşi timp la cheltuieli totale minime şi la consum de funcţionare care să conducă în acelaşi timp la cheltuieli totale minime, dar consumul de combustibil este mai mare decât cel minim posibil, fie sistemul electroenergetic funcţionează astfel, încât să realizeze consumul minim de combustibil convenţional, dar cheltuielile totale sunt mai mari decât cele minime posibile. Există cazuri particulare, în care soluţiile de funcţionare optimă ale sistemului după diferite criterii, coincid printr-o constantă sau reprezintă un raport constant. Un asemenea caz îl reprezintă sistemul electroenergetic în care, pentru toate centralele sistemului, costul specific al combustibilului convenţional este acelaşi. j) Politică. Obiectivelor exprimate prin restricţiile modelului matematic le corespund valori determinate, de exemplu: puterea cerută unei anumite centrale trebuie să fie cel mult egală cu puterea sa disponibilă, consumul de combustibil al sistemului energetic trebuie să fie cel mult egal cu cantitatea de combustibil de care se dispune, suma puterilor electrice furnizate unui consumator de diferite surse trebuie să fie egală cu puterea cerută de consumator ş.a.m.d. Decizia optimă privind fenomenul de organizare, corespunzătoare unor valori determinate ale obiectivelor, poartă denumirea de politică. Există tot atâtea politici câte sisteme de valori ale obiectivelor sunt posibile.

k) Suboptimizare. Stabilirea deciziei optime este cu atât mai dificilă, cu cât sistemul este mai complex. Când stabilirea deciziei optime pentru întregul sistem nu e posibilă, se face acest lucru pentru sistemele parţiale, mai simple, în care se poale descompune sistemul iniţial. în acelaşi mod se procedează când, neputând optimiza funcţionarea unui sistem pe un interval de timp mare, se stabilesc deciziile optime pentru intervalele de timp în care poate fi descompus intervalul iniţial. Metoda de înlocuire a unei optimizări complete prin optimizări parţiale se numeşte suboptimizare. Calitatea acţiunii conformă unei optimizări complete reprezintă limita superioară către care tinde calitatea acţiunii dusă conform suboptimizărilor.

1. Diversitatea modelelor. Stabilirea modelului matematic al unui fenomen de organizare reprezintă un proces de abstractizare. Abstractizând în mod diferit, apreciind felurit diverse aspecte ale fenomenului, obţinem modele diferite care reprezintă variate moduri de aproximare ale unei realităţi unice.


24

Aceasta este explicaţia varietăţii modelelor matematice care sunt prezentate pentru a descrie un fenomen de organizare dat. Opţiunea pentru un model sau altul se face în funcţie de precizia de descriere a fenomenului, volumul de calcule necesar in vederea stabilirii deciziei optime, durata după care se obţine decizia optimă din momentul punerii problemei, cheltuielile implicate etc. Astfel, considerând bilanţul funcţionării sistemului electroenergetic ai R. S. România pentru anul 1975 (fig. 1-2) se observă că pierderile de energie prilejuite de producerea energiei electrice în centrale sunt mult mai mari decât pierderile de energic datorate transportului si distribuţiei energiei electrice până la consumatori.

De aceea, există modele matematice ale funcţionării sistemului electroenergetic, care consideră pierderile de energie datorate transportului ca fiind constante, independent de modul de încărcare cu putere a instalaţiilor generatoare. Partea din bilanţ: care intra în procesul de optimizare este consumul de energie primara. în cazul considerării pierderilor de energie la transport constante, dacă în procesul de optimizare se introduc pierderile de energie la producere în loc de consumul de energie primară, se obţine aceeaşi valoare a consumului minim de energie primara deoarece unde:

PTPPEP EP este consumul de energie primară; PP -pierderile de energie la producere; PT -pierderile de energie la transport, constante.

Daca însă se consideră variabile şi pierderile de energie la transport, numai folosirea în procesul de optimizare a consumului de energie primară poate conduce la consumul de energie primară minim. Folosirea ca mărime pentru aprecierea funcţionării sistemului fie numai a pierderilor de energie la producere, fie numai a pierderilor de energie la transport, conduce la un consum de energie primară mai mare ca cel minim posibil.

m) Etapele rezolvării unei probleme de optimizare. Etapele importante ale rezolvării unei probleme de optimizare sunt: culegerea informaţiilor referitoare la procesul studiat, întocmirea modelului matematic, verificarea modelului matematic, determinarea soluţiei optime şi aplicarea soluţiei optime. Prin culegerea informaţiilor privitoare la procesul studiat înţelegem atât culegerea de date statistice cât şi a informaţiilor ce descriu procesul respectiv. Această etapă este


25

legală de cea a întocmirii modelului matematic deoarece acesta din urmă poate indica ce date statistice trebuie culese. De corecta culegere a informaţiilor privind procesul studiat depinde însăşi rezolvarea problemei de optimizare. Cercetătorul „ . . . va constata . . . că partea cea mai delicată a oricărei cercetări şi analize în întreprindere este culegerea datelor. . . " [4].

La întocmirea modelului matematic trebuie, aşa cum s-a mai arătat, să se facă abstracţie de aspectele considerate neesenţiale. Alegerea judicioasă a aspectelor modelate constituie principala problemă atunci când se întocmeşte modelul matematic.

Verificarea modelului matematic se face prin simulare. Se verifică astfel, dacă folosind date iniţiale corespunzătoare unei situaţii date rezultatele obţinute cu ajutorul modelului sunt similare celor corespunzătoare procesului studiat. În caz afirmativ, modelul este considerat plauzibil, până când noi informaţii privind procesul studiat contrazic rezultatele obţinute cu ajutorul modelului. În această situaţie modelul trebuie corectat.

Modul de determinare a soluţiei optime - metoda matematica folosită - poate influenţa structura modelului matematic. Astfel, unei probleme rezolvată cu metoda clasică de determinare a optimului - metoda multiplicatorilor lui Lagrange - îi va corespunde un model Format numai din egalităţi. Dacă situaţia reală impune şi folosirea restricţiilor sub formă de inegalitate, modelul matematic format din egalităţi este potrivit numai situaţiilor în care soluţia optimă respectă în mod natural şi condiţiile exprimate prin inegalităţi.

Aplicarea soluţiei optime poate releva particularităţi care Împiedică apli-carea ei. în acest caz, modelul matematic trebuie astfel completat sau modificat, încât soluţia optimă să poală fi aplicată.

Toate etapele enumerate mai sus se influenţează reciproc. O problemă de optimizate se poate considera rezolvată atunci Când au fost parcurse toate aceste etape.

n) Probleme de optimizare. Dintre problemele importante de optimizare în proiectarea, construirea şi exploatarea sistemelor energetice amintim: a) repartiţia investiţiilor între diversele tipuri de centrale; b) stabilirea configuraţiei reţelei electrice; c) programul construcţiei şi montajului obiectivelor energetice; d) repartiţia fluxurilor de putere; e) compunerea grupurilor în funcţiune; f) planificarea reviziilor şi reparaţiilor capitale. Capitolele căiţii sunt consacrate acestor probleme.


26

BIBLIOGRAFIE LA CAPITOLUL 1

1. K a u f m a n n, A„ Metode şi modele ale cercetării operaţionale (Matematica întreprinderilor) Vol. I, Editură ştiinţifică, Bucureşti, 1967. 2. G o r e n s t e i n, V. M.. Repartiţia optimă a sarcinilor pe centralele electrice interconectate. Editura energetică de stat. Bucureşti, 1953. 3. C h R m a n, C. W., A c k o f l, R. !.., A r n o I f, 1£. 1.., Introduction to Operation Research, John Wiley, New York, 19.J7. 4. K a u f m a n n, A., Metode şi modele ale cercetării operaţionale (Matematica Întreprinderilor). Voi. II, Editura ştiinţifică, Bucureşti, 1967.


27

Capitolul 2

Repartiţia investiţiilor între diverse tipuri de centrale electrice.

2.1 Descrierea procesului

Planul investiţiilor trebuie astfel făcut încât să se realizeze cheltuielile minime

şi în acelaşi timp să fie îndeplinite anumite obiective de natură tehnică şi economică.

Obiective posibile: a) puterea disponibilă totală a centralelor care se construiesc trebuie să fie cel puţin

egală cu puterea cerută medie orară; b) puterea totala in regim de suprasarcină a centralelor care trebuie sa fie cel puţin

egala cu puterea ceruta la vârful de sarcina de iarnă; c) energia anuala debitate de aceste centrale, ţinând seama de opririle planificate

sau revizii si reparaţii capitale, trebuie sa fie mai mare sau cel puţin egala cu energia electrica consumata anual;

d) investiţiile mari nu trebuie sa depăşească un anumit plafon.

2.1 Modelul matematic – Restricţiile

Folosim următoarele notaţii:

J – mulţimea tipurilor instalaţiilor; j – tipul instalaţiei, Jj ;

jdP – puterea disponibilă a instalaţiei j;

jvP – puterea instalaţiei j în regim de suprasarcină;

jdW – energia anuală pe care o poate livra instalaţia j ;

jI – cheltuielile pentru investiţii corespunzătoare

instalaţiei j ;

jx – numărul de instalaţii de tip j , jx este un număr

întreg pozitiv;

jmC – cheltuielile de întreţinere anuală pentru instalaţia

j ;

jcC – cheltuielile cu combustibilul consumat la

funcţionarea instalaţiei ;j


28

0C – cheltuielile cu combustibil pentru unitatea de energie electrică

produsă, ca valoarea medie pentru toate centralele termodinamice;

nT – termenul normat de recuperare a investiţiilor;

sP – puterea cerută medie orară în orele de lucru iarnă (fig. 2.1-1);

W – energia consumată anual în sistem;

dI - investiţiile disponibile;

Considerând j un element al mulţimii nJ ,.....,3,2,1 formată din toate

tipurile de instalaţii luate în considerare, restricţiile modelului matematic, exprimând obiectivele da,......., (paragraful 2.1),sunt:

Jj

sjd PxPj

, (2.1-1)

Jj

vjv PxPj

, (2.1-2)

Jj

jd WxWj

, (2.1-3)

Jj

jj IxI , (2.1-4)

0jx (2.1-5)

Cu ajutorul unor variabile auxiliare pozitive, denumită şi variabilă de

abatere sau de ecart, inegalităţile de mai sus se transformă în egalităţi: ss

Jjjd PxxP

j

(2.1-6)

Jj

vvjv PxxPj

(2.1-7)

Jj

wjd WxxWj

(2.1-8)

Jj

ijj IxxI (2.1-9)

0,,,, iwvsj xxxxx (2.1-10)


29

2.3 MODELUL MATEMATIC-FUNCŢIA ECONOMICĂ Ca funcţie economica se aleg cheltuielile anuale de calcul.

IT

CZMINn

1 (2.3-1)

unde: C – cheltuieli anuale de explorare; I – investiţiile. Valoarea investiţiilor este:

Jj

jj xII (2.3-2)

Pentru simplificarea expresiei cheltuielilor din funcţia economică, se consideră numai centralele termoelectrice (un singur tip) şi centralele hidroelectrice de diverse tipuri. Centralelor termoelectrice li se afectează indicele unu. În aceste ipoteze, în continuare se deduce expresia cheltuielilor anuale de exploatare. Cheltuielile datorate funcţionării centralelor termoelectrice depind de cantitatea de combustibil consumată şi deci, de energia electrică produsă. Cheltuielile prilejuite de funcţionarea centralelor hidro sunt aceleaşi indiferent de cantitatea de energie produsă. Pentru a obţine Z cât mai mic trebuie ca centralele hidroelectrice să dea întreaga cantitate de energie electrică pe care o pot da, iar restul să fie acoperit de centralele termoelectrice. Cantitatea de energie produsă de centralele termoelectrice este deci

1

1

jJj

jd xWWWj

(2.3-3)

Cheltuielile cu combustibil pentru această energie sunt :

1

0011

jJj

xdxcc jjWcWcCC (2.3-4)

Notând:

mC – cheltuielile anuale de întreţinere pentru toate centralele,

cC – cheltuielile anuale pentru combustibil pentru toate centralele,

cheltuielile anuale pentru toate centralele vor fi:


30

Jj

jJj

jdjmcm xWWcxCCCCjj

1

0 (2.3-5)

Revenind la funcţia economică, ţinând seama de observaţiile de mai sus,

vom avea:

Jj

jJj Jj

jjn

jdjmn

xIT

xWcWcxCIT

CZMINjj

1

00

11 (2.3-6)

Notând jmj CC pentru 1j şi

jj dmj WcCC 0' pentru 1, jJj , şi

înlocuind în (2.3-6) obţinem:

Jj Jj Jj

jjjjn

jj xCWcxIT

xCWcZMIN ''0

'0

1 (2.3-7)

Unde:

jn

jj IT

CC1'''

Deoarece funcţia este formată dintr-o constantă şi o parte variabilă, minimul ei are loc pentru aceleaşi valori jx , care fac minimă numai partea

variabilă:

Jj

jj xCZMIN ''' (2.3-8)

Problemă care constă în determinarea extremului unei funcţii liniare (2.3-7)

variabilele îndeplinind condiţiile exprimate prin sistemul de ecuaţii liniare (2.1-6,... 2.1-10), se numeşte problemă de programare liniară . Modelul obţinut pentru găsirea repartiţiei optime a investiţiilor între diverse tipuri de centrale electrice este deci, modelul matematic al unei probleme de programare liniară. Metoda de rezolvare a unei astfel de probleme se numeşte metoda programării liniare. Forma modelului în care restricţiile se exprimă prin egalităţi poartă denumirea de formă standard [4].


31

2.4. FORMA GENERALA A MODELULUI PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARA

Din cele de mai sus rezultă că problema de programare liniară poate fi formulata astfel: să se determine vectorial coloană nxxxX ,........., 21 (2.4-1)

care să facă maximă sau minimă funcţia liniară

],........,)[,.......,(........ 21212211 nnnn xxxcccxcxcxcf (2.4-2)

astfel încât să fie îndeplinite condiţiile funcţionale

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

......

..............................................

......

......

2211

22222121

11212111

(2.4-3)

unde m<n, şi condiţiile de nenegativitate 0,.......,, 21 nxxx (2.4-4) .

* ix este de fapt un număr întreg. Petru a putea rezolva însă problema pusă, prin metoda

programării liniare, se face abstracţie într-o primă etapă de faptul că ix este număr întreg ; valorile

obţinute pentru ix se rotunjesc apoi până la cele mai apropiate numere întregi. Rezolvarea aceleiaşi

probleme cu numere întregi este un caz de programare neliniară şi se rezolvă cu metode mai complicate decât cele ale programării liniare. [2].

*1 În afară de această formă, există şi alte forme, echivalente, de prezentare

a problemei de programare liniară, forme expuse mai jos. Notând cu J mulţimea necunoscutelor şi cu j un element al acestei

mulţimi, iar cu I mulţimea condiţiilor funcţionale şi cu i un element al mulţimii, problema de programare liniară constă în determinarea valorilor Jjx j , care fac

maximă sau minimă funcţia.

Jj

jj nJxcf ,.....,2,1; (2.4-5)

îndeplinindu-se condiţiile


32

Jj

ijij bxa ; ;Ii mI ,.....,2,1 şi .;0 Jjx j (2.4-6)

Folosind notaţiile

],,.......,(

],,......,[

),,......,(

],[

21

21

21

m

n

n

ij

bbbb

xxxX

cccc

aA

(2.4-7)

problema de programare liniară se poate prezenta aslfel

0

][

X

bAX

cXfMIN

(2.4-8)

În fine, intoducând notaţia ],.........,[ 21 mjjjj aaaa (2.4-9)

aceeaşi problemă de programare liniară mai poate fi srisă ca

0

..........

][

2211

X

baxaxaxax

cXfMIN

nnjj (2.4-10)

La ultimele două forme simbolul ][MIN poate fi înlocuit în funcţie de natura problemei cu ][MAX .

Folosirea diferitelor forme ale modelului matematic al problemei de progra-mare liniară se face in funcţie de necesităţile de tratare teoretică sau de calcul.


33

2.5. METODA SIMPLEX DE REZOLVARE A PROBLEMEI DE

PROGRAMARE LINIARĂ. NOŢIUNI Ş1 TEOREME

Metoda simplex, elaborată de George Dantzig, a fost expusă într-un memoriu în anul 1947. .

Această metodă foloseşte noţiuni ţi teoreme din algebra liniara şi analogiile geometrice corespunzătoare [6]. În continuare se reamintesc aceste noţiuni şi teoreme. Astfel, vectorul m -dimensional este un sistem ordonat de m numere reale.

]..,.........,[ 21 mxxxX (2.5-1)

denumite componentele vectorului. Suma vectorilor X şi Y , YX este un nou vector ale cărui componente sunt egale cu suma componentelor respective ale celor doi vectori: ]..,.........,[ 2211 mm yxyxyxYX . (2.5-2)

Produsul vectorului X prin scalarul ;k kX ,are componentele egale cu

componentele lui x înmulţite fiecare prin k ].,.........,[ 21 mkxkxkxkX (2.5-3)

Prin spaţiul vectorial m - dimensional se înţelege mulţimea tuturor vectorilor m - dimensionali, în care s-a definit operaţia de adunare a vectorilor şi înmulţirea lor cu scalari.

Produsul scalar al vederilor ],....,,[ 21 mxxxX şi ],.....,,[ 21 myyyY este

nu număr real YX .' : mm yxyxyxYX ...... 2211

' (2.5-4)

Proprietăţile produsului scalar sunt:

0.2' XXX pentru ,0X 00.0 ; (2.5-5)

;.. '' XYYX (2.5-6)

);()( '' YXcYcX (2.5-7)

YXYXYXX '2

'1

'21 )( (2.5-8)

Spaţiul vectorial m dimensional în care s-a definit produsul scalar a doi vectori oarecare ai spaţiului, se numeşte spaţiu euclidian m - dimensional ( mE ).

Între spaţiul euclidian cu m dimensiuni şi spaţiul punctual cu m dimensiuni se stabileşte o corespondenţă biunivocă. Vectorul |0, 0.....0] corespunde originii axelor de coordonate iar fiecărui punct îi corespunde un vector ale cărui componente sunt coordonatele punctului.


34

Distanţa YX între două puncte (vectori) X şi V se determină astfel:

2/1

1

22/1' ])([)]()[(

m

iii yxYXYXYX (2.5-9)

Lungimea sau mărimea absolută X a vectorului X se numeşte distanţa de

la începutul axelor de coordonate la punctul .0: XXX

Pe Fisura 2.5-1 se arată legăturile logice între noţiunile şi teoremele pe baza cărora se poate înţelege metoda simplex. Se observă că ele se pot grupa în două fluxuri, unul orientat de la stânga la dreapta — jos. iar celălalt orientat de la dreapta sus la dreapta — jos. Noţiunile şi teoremele vor fi expuse în această ordine.

O soluţie a problemei de programare liniară este orice sistem de, valori pentru nxxx .,,........., 21 care satisface condiţiile funcţionale.

Soluţia posibilă este soluţia care satisface atât condiţiile funcţionale cât şj condiţiile de nenegativitate.


35


36

Soluţia optimă este soluţia posibilă care face maximă sau minimă funcţia obiectiv.

Spaţiul soluţiilor ( K ) este mulţimea punctelor corespunzătoare soluţiilor posibile ale problemei de programare liniară. Combinaţie convexă. Se dau punctele nXXX ,......,, 21 şi scalarii

.,....., 21 n Scalarii îndeplinesc condiţiile

0,.....,

;1.....

21

21

n

n

(2.5-10)

Punctul nn XXXX .....2211 (2.5-11)

se numeşte combinaţia convexă a punctelor nXXX ,......,, 21 .

Mulţime convexă de puncte. Mulţimea C de puncte din mE formează o mulţime convexă dacă la orice pereche de puncte 1X şi 2X din acest spaţiu, orice combinaţie convexă a acestor puncte - X - aparţine de asemenea lui C. Acest lucru se exprimă astfel:

21 )1( XXX (2.5-12) unde .0 Dacă mulţimea C este convexă, combinaţia convexă a unui număr oarecare de puncte aparţinând mulţimii C , aparţine de asemenea mulţimii C . ;21

' XXX ;1 ;0 ,, 21 CXX (2.5-13) aparţine Iui C prin definiţie. ;3

''' XXX ;1 ;0 ,3 CX (2.5-14)

aparţine deci, tot prin definiţie lui C. Dar 321321

'' )( XXXXXXX (2.5-15)

este o combinaţie convexă a vectorilor ,,, 321 XXX deoarece

;1)( , , 0 . (2.5-16) Punct extrem sau punct vârf. Punctul X aparţinând unei mulţimi convexe se numeşte punctul ei extrem dacă în mulţimea respectivă nu există două puncte diferite 1X şi 2X astfel ca ,)1( 21 XXX 10 .


37

Înveliş convex )(SC a oricărei mulţimi S se numeşte totalitatea combinaţiilor convexe posibile formate din punctele mulţimii S . )(SC este cea mai mică combinaţie convexă care o conţine pe S . Dacă S este format din cele opt vârfuri ale cubului atunci )(SC coincide cu tot cubul; dacă S reprezintă circumferinţa atunci )(SC este întreg cercul. Poliedru convex. Dacă mulţimea S este formata dintr-un număr finit de puncte, învelişul său convex )(SC se numeşte poliedru convex. De exemplu cubul fiind învelişul convex al celor opt vârfuri ale sale este un poliedru convex.

Orice punct al unui poliedru convex poale fi reprezentat printr-o combinaţie convexă anumită a punctelor sale extreme.

Simplex se numeşte un poliedru convex n - dimensional care are exact 1n vârfuri. Graniţa simplexului conţine simplexuri de ordine inferioare numite

edre . Simplex de ordinul zero — punctul; de ordinul unu — segmentul; de ordinul doi — triunghiul; de ordinul trei — tetraedru [8|.

Teoremă (1). Spaţiul soluţiilor este o mulţime convexă. Fie 1X şi 2X două soluţii posibile. Atunci bAX 1 şi ,2 bAX cu 01 X şi 02 X . (2.5-17)


38

O combinaţie convexă a celor două soluţii posibile este 21 )1( XXX (2.5-18)

unde 01 şi 0X .Dar X reprezintă de asemenea o soluţie posibilă deoarece

bAXAXAX 21 )1( (2.5-19) Deci, spaţiul soluţiilor este o mulţime convexă.

Mulţimea soluţiilor problemei de programare liniară este un poliedru con-vex. Exemple: )a cbxax 21

,0, 21 xx

)b ,0,, 321

321

xxx

dcxbxax

)c

,0,, 321

2323222121

1313212111

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa


39

Funcţionala liniară. Funcţia )(X cu valori reale care, la orice pereche de

vectori 1X şi 2X din mE permite să se scrie )()()( 22112211 XXXX (2.5-20)

unde 1 şi 2 sunt scalari se numeşte funcţională liniară. Forma liniară este o funcţională liniară. În adevăr,

)()(

)()(

)(

2211

221122112211

XX

cXcXXXcXX

XcXf

(2.5-21)

(2.5-22) Teoremă (2) Soluţia optimă a problemei de programare liniară corespunde unuia dintre punctele extreme ale spaţiului soluţiilor.

Spaţiul soluţiilor este un poliedru convex. Orice punct al unui poliedru convex poate fi reprezentat ca o combinaţie convexă a punctelor sale extreme.

Fie rXXX ,......, 21 punctele extreme ale spaţiului soluţiilor. Conform celor de mai sus un punct oarecare al acestui spaţiu poate fi exprimat ca rr XXXX .......2211 (2.5-23)

unde 0i şi r

i1

1 .

Pentru acest punct scriem funcţia liniară )(.........)()()( 2211 rr XXXXf (2.5-24) să fie )}(....),........(),(min{)( 21 ri XXXX (2.5-25)

Atunci avem )()(.........)()()( 21 iiri XXXiXXf (2.5-26)

Deci, oricare ar fi ,X ),()( iXX şi în consecinţă iX reprezintă soluţia

optimă. Aşadar, soluţia optimă corespunde unuia dintre punctele extreme. Parcurgem figura 2.5-1 de la dreapta sus la dreapta jos începând cu noţiunea de sistem de vectori liniar independenţi. Sistemul de vectori },......,,{ 21 nXXX este,

prin definiţie, liniar independent dacă 0.......2211 nn XXX (2.5-27)


40

este satisfăcută pentru 0....21 n unde n ,....., 21 sunt scalari. Dacă cel

puţin una din valorile diferă de zero sistemul se numeşte liniar dependent Teoremă (3). În spaţiul euclidian cu m dimensiuni nu există mai mult

decât m vectori liniar independenţi. Se va arăta că cei m vectori unitari ai unui spaţiu cu m dimensiuni formează un sistem liniar independent. Dacă notăm

],0........,0,0,0,1[1 e

]1..,.........0,0,0[..,],........0........,0,0,1,0[2 mee (2.5-28)

atunci din

0.......2211 mmeee (2.5-29)

rezultă 0,....., 21 m şi deci. Deci. coi m vectori unitari ai spaţiului sunt

liniar independenţi. Dar un vector oarecare poate li prezentat ca o combinaţie liniară a vectorilor unitari: mmexexexX .......2211 (2.5-30)

Luăm m vectori în spaţiul cu m dimensiuni:

,0..........

],,.........,[

.........................................

],.,,.........,[

],.,,.........,[

2211

21

222212

112111

mm

mmmmm

m

m

XXX

xxxX

xxxX

xxxX

(2.5-31)

numai dacă 0,.....,, 21 m În adevăr,

],.........

.....,..................................................

,..........

,..........

211

22221212

12121111

mmmemmm

mm

mm

exexexX

exexexX

exexexX

(2.5-32)


41

şi înlocuind avem (2.5-33)

mmmmmmmmmm

mmmm

exexexexex

exexexexXXX

..............................

................

2211222222

121211212111112211

Expresia este egală cu 0 numai dacă

.0........

.....,..................................................

,0..........

,0..........

221

2222122

1212111

mmmmmm

mm

mm

xxx

xxx

xxx

(2.5-34)

Rezolvând sistemul rezultă 0.....21 m .Deci, expresia este nulă

numai dacă 0.....21 m . Deci, cei m vectori sunt liniar independenţi.

Dacă avem 1m vectori sistemul (2.5-34) este de m ecuaţii cu 1m necunoscute şi deci, poate fi satisfăcut şi pentru ,,....., 21 m 01 m . Deci,

1m vectori în spaţiul cu m dimensiuni sunt liniar dependenţi. Un sistem },.....,,{ 21 mXXX de m vectori din spaţiul mE liniar

independenţi,formează o bază a spaţiului. Întrucât în spaţiul mE există o infinitate de sisteme de câte m vectori liniar independenţi avem o infinitate de baze în mE .

Considerând vectorul X din mE şi baza },.....,,{ 21 mXXX sistemul de

vectori },.....,,{ 21 mXXX este liniar dependent. Deci,

mm XXXX ..........2211 (2.5-35)

Scalarii m ,......,, 21 se numesc coordonatele vectorului V în baza

},.....,,{ 21 mXXX , ele fiind unice. Se spune că un vector oarecare al spaţiului

se exprimă în mod univoc ca o combinaţie liniară o vectorilor bazei. Teorema (4). Daca punctul ),......,,( 21 nxxxX este un punct extrem al

spaţiului K al soluţiilor atunci vectorii ja — (2.4-9) — care corespund compo-

nentelor x , strict pozitive formează un sistem liniar independent. Demonstraţia se obţine prin reducere la absurd. Presupunem primele k

componente ale vectorului X ca strict pozitive. Atunci

bxaxaxa kk ......2211 (2.5-36)


42

Dacă sistemul de vectori kaaa ,......, 21 formează un sistem liniar dependent avem

0......2211 kkaaa (2.5-37)

unde conform definiţiei cel puţin una dintre valorile k ,......,, 21 diferă de zero.

Înmulţind cu expresia (2.5-37) şi adunând-o respectiv scăzând-o din expresia (2.5-36) obţinem: bxaxaxa kkk )(......)()( 222111 (2.5-38)

bxaxaxa kkk )(......)()( 222111 (2.5-39)

Valoarea lui a fost astfel aleasă, încât valorile jjx respectiv jjx să fie

pozitive. Au fost astfel obţinute două noi soluţii ale problemei şi anume: ]0,.....,0),(),......,(),[( 12211

'mkkkxxxX (2.5-40)

şi ]0,.....,0),(),......,(),[( 12211

''mkkkxxxX (2.5-41)

Dar

.5,05,0)(2

1 '''''' XXXXX (2.5-42)

Ar rezulta de aici că un punct extrem )(X poate fi reprezentat drept o combinaţie liniară convexă a două puncte din spaţiul soluţiilor, ceea ce contrazice definiţia punctului extrem. Deci, ipoteza admisă este falsă, iar sistemul de vectori ja care

corespunde componentelor jx strict pozitive formează un sistem liniar

independent. Consecinţă. Deoarece în spaţiul mE doar cel mult m vectori pot fi liniar

independenţi rezultă că un punct extrem poate avea cel mult m componente strict pozitive.

Concluzie. Conform teoremei (2) şi consecinţei teoremei (4) soluţia optimă va avea cel mult m valori pentru nxxx ,......,, 21 diferite de zero.

Prin soluţie de bază se înţelege vectorul X corespunzând unui punct extrem al spaţiului soluţiilor. Dacă numărul componentelor acestui vector, diferite de zero este m soluţia se numeşte nedegenerată. Dacă numărul componentelor diferite de zero este mai mic decât m soluţia se numeşte degenerată. Soluţia optimă trebuie deci căutată printre soluţiile de bază ale problemei. Numărul de încercări care ar trebui făcut este m

nC . Pentru probleme cu dimensiuni


43

)( nm mari, acest număr este foarte mare. Metoda simplicială sau simplex ]5[

oferă posibilitatea de a urma un drum mai scurt în găsirea soluţiei optime.

2.6. ALGORITMUL SIMPLEX

Algoritmul sau metoda de calcul simplex este o metodă de calcul iterativă bazată pe concluziile la care s-a ajuns în paragraful precedent. Ea permite ca plecând de la o soluţie de bază să se determine o soluţie de bază îmbunătăţită (cu valoarea funcţiei obiectiv mai mică).

Pentru a explica această metodă se foloseşte ultima formă a modelului de programare liniară expusa în paragraful 2.4. Deci se caută*

eXfMIN ][ (2.6-1 ) în condiţiile

,......2211 baxaxaxax nnjj 0X (2.6-2 )

unde ja şi b sunt vectori ai mE .

A găsi o soluţie de bază este echivalent cu a găsi coordonatele vectorului b într-o bază formată din m vectori ja , coordonatele fiind toate pozitive.

Variabilele jx care corespund vectorilor ja din bază se numesc variabile

din bază spre deosebite de restul variabilelor care se numesc variabile afară din bază. Într-o soluţie de bază variabilele din bază au valori pozitive iar cele din afara bazei sunt nule. Notăm mulţimea vectorilor şi variabilelor din bază K cu elementul

Kk , iar a celor din afara bazei L , cu elementul Ll . Aranjăm vectorii ja astfel

ca primii m si fie din bază iar ultimii mn din afara bazei. Deci,

;,...,, 21 mk aaaa (2.6-3)

;,...,, 21 nmml aaaa (2.6-4)

Pentru soluţia de bază avem

Kk

kk xcf0 (2.6-5)


44

Kk

kk bax (2.6-6)

unde, prin definiţie, 0kx (dacă soluţia de bază este nedegenerată).

Folosind scrierea matricială şi notând Baaa m ),...,,( 21 (2.6-7)

Bm xxxx ],...,,[ 21 (2.6-8)

avem bBxB (2.6-9) .

În cele ce urmează ne vom referi la găsirea minimului, problema care intervine cel mai frecvent în calculele energetice. Găsirea maximului se face pe aceeaşi cale.

de unde se obţine valoarea variabilelor din bază, singurelele care diferă de zero.

bBxB1 (2.6-10)

În mod analog se pot determina coordonatele unui vector din afara bazei la

în funcţie de vectorii bazei. Notând cu l vectorul format cu aceste coordonate

],...,,[ 21 lmlll (2.6-11)

se poate scrie l

Kkklkl Baa

(2.6-12)

de unde rezultă ll aB 1 (2.6-13)

În cele ce urmează se presupune determinată o soluţie de bază, deci cunos-cute valorile ,11 x ,22 x …, mmx pentru această soluţie.

Dacă în această situaţie una din variabile din afara bazei, l , ia valori pozitive şi diferite de zero, expresiile (2.6-5) şi (2.6-6) se modifică. Modificările pot fi însă astfel făcute încât să se poată folosi valorile m ,...,, 21 din soluţia de

bază determinată anterior. Dacă notăm cu l valoarea variabilei din afara bazei

care ia valori pozitive, atunci ţinând seama de (2.6-12) şi (2.6-6), (2.6-2) se poate scrie

Kk Kk

kklllkk baaa ;)( , (2.6-14)


45

Kk

llkkllk baa ;)( , (2.6-15)

Kk

llkk baa ;' (2.6-16)

În expresiile (2.6-15) şi (2.6-16) notaţiile semnifică: k - valoarea variabilei din bază, în soluţia de bază deja determinată;

l - o valoare pozitivă a variabilei lx din afara bazei, astfel aleasă ca pentru

orice k , ;0, kllk (2.6-17)

'k - valoarea variabilei din vechea bază în noua soluţie.

Se poate observa că sistemul de valori ,1 ,1,1 ll ,2,2 ll …,

,,mllm reprezintă o soluţie posibilă a problemei, determinată odată cu

alegerea unei valori pentru l .

Valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare noii soluţii este (2.6-1)

Kk Kk

kklllkkKk

llkkllk cccccf )()( ,, (2.6-18)

Ţinând seama de (2.6-5), noua valoare a funcţiei obiectiv este

Kk

kklll ccff )( ,0 (2.6-19)

Deci, când dăm o valoare pozitivă unei variabile din afara bazei, respectând condiţia (2.6-17), valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare noii soluţii, diferă de valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare soluţiei de bază de la care s-a plecat cu )( ,111

Kk

kk cc (2.6-20)

Dorind să micşorăm funcţia obiectiv (se caută minimul), scăderea acesteia ar fi cu atât mai rapida cu cât

Kk

kk cc )( ,11 este mai negativ. Deci, pentru ca

pornind de la o soluţie de bază să obţinem o scădere mai rapidă a funcţiei obiectiv, este necesar să dăm valori pozitive acelei variabile din afara bazei căreia căreia îi corespunde cea mai negativă valoare pentru

Kk

llkk fccc .,11 (2.6-21)

Cea mai mare scădere pentru f corespunde valorii maxime pe care o poate lua , astfel încât să rămânem în domeniul soluţiilor posibile - condiţia (2.6-16)-. Această valoare este


46

.0, ,,

0, min

klkl

k

Kkl

(2.6-22)

Pentru această valoare una din expresiile kllk , (2.6-23)

devine zero, obţinându-se astfel din nou o soluţie de bază. Procedeul se repetă până când, pentru o anumită soluţie de bază, pentru orice l avem .0)( 11 fc În cazul acesta, nici o nouă modificare a bazei nu mai poate micşora funcţia obiectiv. Ultima soluţie de bază este soluţia optimă.

2.7 OBŢINEREA UNEI SOLUŢII DE BAZĂ INIŢIALĂ

În consideraţiile de mai sus, s-a presupus că se cunoaşte o anumită soluţie de bază, începând cu care se aplică procedeul iterativ arătat. Soluţia de bază de la care se pleacă poartă denumirea de soluţie de bază iniţială, iar baza cores-punzătoare — bază iniţială.

O bază iniţială poale fi obţinută prin introducerea în modelul problemei de programare liniară a unor variabile denumite variabile artificiale, cărora li se afectează în funcţia obiectiv nişte coeficienţi de valoare foarte mare (dacă problema originală este de minim). Noul model are forma

Jj Ii

ijj MyxcfMIN ,][ (2.7-1)

Jj

iijij byxa ;1 mIi ,........,2,1 (2.7-2)

;0jx Jj şi ;0iy Ii (2.7-3)

Se observă că iy , Ii formează o soluţie de bază, iar matricea vectorilor

din bază este o matrice unitate. În adevăr, dacă ,0jx Jj atunci

.,.......,, 2211 mm bybyby Dacă se alege M suficient de mare, atunci în

iteraţiile următoare variabilele iy , vor fi succesiv scoase din bază, deoarece

)( lfM va fi pozitiv. Ele vor fi înlocuite prin variabilele problemei iniţiale. După


47

obţinerea unei baze în variabilele problemei iniţiale, rezolvarea poate fi continuată pe modelul originar. Metoda poarta denumirea de metoda penalizărilor mari sau metoda ""M .

În concluzie, metoda simplex consta în parcurgerea următorilor paşi [7]: Pasul 1. Se determină o soluţie de bază iniţială. Pasul 2. Se încearcă dacă dând valori pozitive diferite de zero unei variabile

din afara bazei soluţia se îmbunătăţeşte. Dacă acest lucru nu este posibil calculul se încheie, soluţia de la care s-a pornit reprezentând însăşi soluţia optimă. Dacă este posibilă îmbunătăţirea soluţiei iniţiale se trece la pasul 3.

Pasul 3. Variabila nou introdusă în bază ia valoarea pozitivă maximă posibilă. Atunci, una din variabilele din baza precedentă ia valoarea zero. Această variabilă iese din bază.

Pasul 4. Se calculează valorile k ale variabilelor din bază rezolvând un

sistem de m ecuaţii cu m necunoscute. Se calculează kl , . Se revine la pasul al

doilea.

2.8 PROCEDURĂ DE CALCUL: TABLOUL LUI CHARNES, COOPER, HENDERSON

Din paragraful precedent rezultă că, pentru determinarea variabilei care trebuie să intre în baza şi a celei care trebuie să iasă din baza, este necesar să fie cunoscute coordonatele fiecărui vector din afara bazei în funcţie de vectorii bazei. Aceste mărimi au fost notate cu kl , (2.6-12).

Forma modelului de programare liniară prezentată mai jos are avantajul că permite determinarea directă a valorilor variabilelor din bază iar vectorii care înmulţesc variabilele din afara bazei reprezintă tocmai vectorii :l

mnmnmmmmmmm

nnmmmm

nnmmmm

bxaxaxax

bxaxaxax

bxaxaxax

......

......................................................................

......

......

2211

222221122

112211111

(2.8-1)

În condiţiile funcţionale astfel exprimate mxxx ,........,, 21 formează o soluţie

de bază dacă mbbb ,........,, 21 sunt valori pozitive.

Orice model de programare liniară poate fi pus sub această formă, după ce se aranjează ecuaţiile astfel ca obi . Pentru aceasta se pleacă de Ia forma

bAX (2.8-2)


48

în care vectorii au fost astfel aranjaţi, încât primii m să aparţină bazei.

Notând B — matricea vectorilor din bază;

I — matricea vectorilor din afara bazei;

BX — vectorul variabilelor din baza;

IX — vectorul variabilelor din afara bazei, avem: ),.........,( 21 maaaB (2.8-3)

)21 ,.........,( nmm aaaI (2.8-4)

],.........,[ 21 mB xxxX (2.8-5)

],.........,[ 21 nmmI xxxX (2.8-6)

),( IBA (2.8-7)

][ IB XXX (2.8-8) Expresia (2.8-2) se va scrie )( IB bXX IB ][ (2.8-9) obţinându-se prin efectuare înmulţirii bIXBX IB (2.8-10) După înmulţire la stânga cu 1B se obţine forma ,1

11 bBIXBX B

(2.8-11) adică forma (2.8-1). Dar conform (2.6-13) ll aB 1 (2.8-12)

şi deci, ),........,,(),.......,,( 2121

11nmmnmm aaaBIB

(2.8-13)

Aşadar vectorii care înmulţesc variabilele din afara bazei, în modelul de programare liniară de forma (2.8-1), sunt chiar vectorii l . Pentru a determina

variabila care intră în bază, lf se calculează prin suma (2.6-21):


49

Kk Kk

kklkkll ccf ;,, },.......,2,1{ mK (2.8-14)

Pentru a determina variabila care trebuie să iasă din bază se calculează raportul (2.6-22).

0, .,,

klkl

k

kl

k

(2.8-15)

unde mk ,.....,2,1 Pentru a folosi în continuare avantajele formei (2.8-1) este necesar ca după determinarea noii baze, problema să fie pusă din nou sub această formă. În acest scop, se elimină variabila introdusă în bază, între ecuaţia care conţine variabila care conţine variabila care este scoasă din bază şi celelalte 1m ecuaţii. Cele de mai sus se ilustrează pe următorul exemplu: (2.8-16)

41 x

41 x

41 x

41 x Să presupunem că se introduce în bază variabila 5x şi se scoate din bază

variabila 3x . Aşa cum s-a arătat, se elimină 5x între ecuaţia a treia (care conţine

variabila ce trebuie scoasă din bază) şi celelalte ecuaţii. Ecuaţia a treia, singura care păstrează variabila introdusă în bază, se împarte cu coeficient 35x denumit pivot

[3]. Noul sistem de ecuaţii se prezintă astfel:

(2.8-17)

44646545

33636535

22626525

11616515

.....................

.....................

.....................

......................

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nn

nn

nn

nn

335

4543

35

454636

35

4546543

35

4521

33535

36

35

36543

3521

335

2523

35

252636

35

2526543

35

2521

335

1513

35

151636

35

1516543

35

1524

)(....)(0100

1....10

100

)(.....)(0010

)(.....)(0001

ba

aba

a

aaxa

a

aaxxx

a

axx

ba

xa

ax

a

axxx

axx

ba

abxa

a

aaxa

a

aaxxx

a

axx

ba

abxa

a

aaxa

a

aaxxx

a

axx

nn

nn

nnn

nnn


50

Se desprind următoarele reguli: a) pentru linia care conţine variabila care iese din bază, noile valori ale

coeficienţilor provin din cei iniţiali, prin împărţire cu pivotul; b) vectorii care înmulţesc variabile care au rămas în bază, rămân neschimbaţi; c) vectorul care înmulţeşte variabila care a intrat în bază este identic cu

vectorul iniţial corespunzător variabilei care a ieşit din bază. d) elementele noului vector al variabilei care a ieşit din bază (cu excepţia

elementului de pe linia pivotului ), rezultă din elementele vectorului care a intrat în bază, prin împărţire cu pivotul şi schimbarea semnului;

e) elementele celorlalţi vectori (inclusiv vectorul b ), cu excepţia elementului de pe linia pivotului, se obţin din elementele iniţiale, scăzând produsul dintre elementele vectorului intrat în bază cu coeficientul variabilei, de pe linia pivotului. Calculele se efectuează în cadrul unui tabel (tab.2.8-1)

Tabelul 2.8 – 1

Pentru vectorii din bază, coordonatele corespunzătoare aceleiaşi baze sunt toate nule cu excepţia coordonatei care corespunde vectorului respectiv şi care este egala cu unu. De aceea, pentru vectorii din bază kk cf şi deci 0 kk fc

jc 1c 2c 3c 4c 5c ncc ...6

kc Vectorii b 1a 2a 3a 4a 5a naa ...6

1c

2c

3c

4c

1a

2a

3a

4a

1b

2b

3b

4b

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

15a

25a

35a

4a

naa 116 ...

naa 226 ...

naa 336 ...

naa 446 ...

1f 1c 2c 3c 4c 5f nff ...6

11 fc 0 0 0 0 55 fc nn fcfc ...66


51

2.9 EXEMPLU Fie de rezolvat următoarea problema de programare liniară:

54321 523][ xxxxxfMAX (2.9-1)

4

123

33

532

421

531

xxx

xxx

xxx

(2.9-2)

Pusă sub forma standard (2.8-2) condiţiile funcţionale devin:

0

1

3

1

1

0

1

0

1

0

3

0

1

0

1

4

12

3

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

(2.9-3)

Se da ca bază iniţială ,,, 543 aaa . Pentru a aduce problema la forma (2.8-1)

se calculează IBB 11 , şi bB 1 .

1

0

1

B

0

3

0

1

0

1

(2.9-4)

2/1

0

2/11B

0

3/1

0

2/1

0

2/1

2/1

0

2/11IB

0

3/1

0

2/1

0

2/1

0

1

3

2/3

3/1

2/3

1

1

0

2/1

3/1

2/1

(2.9-5)

2/1

0

2/11bB

0

3/1

0

2/1

4

2/7

4

12

3

2/1

0

2/1

(2.9-6)

Tabelul corespunzător soluţiei iniţiale de bază este tabelul 2.9-1.


52

Variabila care se introduce în bază este 1x deoarece are ,0 ll fc , iar cea

care iese din bază este ,3x , deoarece este singura cu coeficient 13a , pozitiv.

Tabelul corespunzător iteraţiei a doua este în tabelul 2.9-2 Deoarece toate valorile

ll fc sunt negative sau zero soluţia ultimă este soluţia optimă.

Tabelul 2.9 – 1

Un exemplu de repartiţie optimă a investiţiilor, adaptat după [1], cu valori

orientative pentru constante, este prezentat mai jos. În tabelul 2.9-3 se prezintă datele primare pentru cinci tipuri de centrale şi valorile mărimilor prelucrate conform paragrafului 2.3. În acest caz prin instalaţie s-a înţeles MW-ul instalat, corespunzător unui anumit tip de centrală. Ca urmare celelalte mărimi sunt mărimi raportate la MW-ul instalat.

Modelul matematic corespunzător problemei de repartiţie optimă a in-

vestiţiilor pe cele cinci tipuri de centrale este (2.9-8), politica fiind caracterizată prin valorile ,1692MWPs ,2307MWPv GWhW 7200 şi 9105,2 I lei.

Anumite aspecte ale problemei pot fi discutate şi fără rezolvarea ei com-pletă. Astfel, de exemplu, dacă cererea de putere se acoperă numai din centrale termoelectrice

,2000

15,1

2307

,0

1

5432

MWMWx

xxxxx v

(2.9-7)

jc 3 2 1 1 5

kc Vectorii

b 1a 2a 3a 4a 5a

1

1 5

3a

4a

5a

7/2

4 1/2

3/2

-1/3 -3/2

1/2

-1/3 1/2

1

0 0

0

1 0

0

0 1

1f -6,33 2,67 1 1 5

11 fc

9,33 -0,67 0 0 0


53

Tabelul 2.9 – 2

jc 3 2 1 1 5 kc Vector

ii b

1a 2a 3a 4a 5a

3 1 5

1a

4a

5a

7/3 43/9 4

1 0 0

1/3 -2/9

1

2/3 2/9 1

0 1 0

0 0 1

1f 3 52/9 1 1 5

11 fc

0 -

24/9-56/9 0 0


54


55

.10560,10194097,0

,30866

1 leixleix

MWx

I

s

Aceasta soluţie de bază a problemei )0,,,( 31 IW xxxx se caracterizează

printr-o rezervă de putere în timpul orelor de lutru de 15% şi de o solicitare a investiţiilor disponibile mai mică cu 610560 lei.

Se poate face un studiu al problemei considerând investiţiile - I - drept un parametru. Teoria programării liniare parametrice oferă metodele de rezolvare ale acestui caz.

2.10. APLICAŢII LA CAPITOLUL 2

2.1. Să se arate că vectorii 3,2/3,2/3,0,3,1,0,1,2 321 aaa sunt liniar

independenţi. Cifrele din paranteză reprezintă coordonatele yx, şi respectiv z : într-un sistem de referinţă tridreptunghic.

2.2. Să se arate că vectorii 1,5,3,2,7,4,6,6,2 321 aaa sunt liniar

dependenţi; justificare geometrică. Să se exprime coordonatele vectorului 1a ca o

combinaţie liniară a coordonatelor vectorilor 2a şi 3a .

2.3. Se consideră un triunghi ale cărui vârfuri sunt 2211 ,,, yxByxA şi

33 , yxC .Să se demonstreze că un punct oarecare yxM , din interiorul tri-

unghiului poate fi exprimat ca o combinaţie convexă a vârfurilor triunghiului. Aplicaţie numerică 2,2,2,5,4,2,1,1 MCBA

2.4. Să se demonstreze că un punct oarecare din interiorul unui tetraedru poate fi exprimat ca o combinaţie convexă a vârfurilor tetraedrului.

2.5. Restricţiile unei probleme de programare liniară sunt următoarele:

.0,,,

11245

13223

13232

4321

321

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

Să se determine coordonatele vectorului 4a , într-o bază formată de vectorii

21 , aa şi 3a .

2.6. Se consideră un sistem electroenergetic în care pentru instalarea unei puteri disponibile în trei tipuri de centrale: centrale termoelectrice (CTE), centrale hidroelectrice cu lac de acumulare cu reglaj zilnic {CHEZ) şi centrale hidroelectrice cu lac de acumulare cu reglaj anual (CHEa), se dispune de o investiţie plafon


56

900pI milioane lei. Sistemul are puterea medie orară maximă, în ziua cea mai

încărcată, iarna, MWPs 500 . Puterea cerută de sistem la vârful de seară iarna este

MWPsv 700 . Energia cerută de sistem în timpul unui an este GWhW 1000

Valorile pentru jdv IWPjj,, şi jC '' sunt prezentate în tabelul A.2.6-1

(v. paragrafele 2.2 şi 2.9). Tabel A. 2.6-1

jvP jdW jI jC

j

Tipul de centrală -

MW

GWh

MW

lei610 MW

lei610

1j CTE 1 7 1 0,10 2j 2CTE 3 7 3 0,08 3j aCTE 3 5 2 0,06

Numărul de MW instalaţi în centrale de tipul j se va nota )3,2,1( jx j

Să se determine care este numărul de MW instalaţi în fiecare tip de centrală în ipoteza minimizării cheltuielilor de calcul pentru puterea instalată în centrale.

Problema va fi rezolvată prin următoarele metode: a) metoda încercării soluţiilor din punctele de extreme ale spaţiului soluţiilor; se va reprezenta grafic spaţiul soluţiilor; b) metoda algoritmului Simplex.

2.7. Să se rezolve aplicaţia numerica din paragraful 2.9. al cărţii.


57


1. K a n uf m a n n. A., Metode şt modele ale cercetării operaţionale (Matematica întreprinderilor) [traducere din lb. franceză]. Vol. I, Editura ştiinţifică, Bucureşti, 1967. 2. Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Progiamming [traducere în lb. rusă). Reading, Massachusetts - Palo Alto - London, Addison-Wesley Publishing Company,Inc., 1964. 3. Mihoc, G h. şi Iouescu, H,., Bazele matematice ale programării liniare. Editura ştiinţifică. Bucureşti, 1965. •1. Mih o c. Gh. şi Nădejde, I„ Programarea matematică. Programarea parametrică ţi neliniară. Editura ştiinţifică, Bucureşti, 1966. 5. Faure, R., Kautmann, A. şi Denis-Papin, M., Îndreptar de matematică modernă. Editura ştiinţifică. Bucureşti, 1969. 6.***, Matematica, conţinutul, metodele şi importanţa ei [traducere din lb. rusă}, vol. III, Editura ştiinţifică, Bucureşti, 1961. 7. Wa gner, H. W., Principles of Operations Research [traducere în lb. rusă], vol, I, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1969. 8. Gass. S. I., Linear Programming. Methods and Applications [traducere în lb. rusă]. New York, Toronto» London, Mc Graw-Hill Book Company, Inc., 1958.


58

CAPITOLUL 3

DETERMINAREA REZERVEI DE PUTERE OPTIMĂ

3.1. PUNEREA PROBLEMEI

Valoarea siguranţei în funcţionare este univoc determinată de valoarea rezervei de putere. Reamintim că prin siguranţă se înţelege „probabilitatea ca sistemul să îndeplinească o funcţie dată într-un interval de timp determinat" [l]. În cazul sistemului energetic prin siguranţă se înţelege deci, probabilitatea ieşirii din funcţiune a unei puteri cel mult egală cu puterea de rezervă [2], [3].

Într-un sistem format din n agregate identice din care m formează rezerva de putere, valoarea siguranţei este egală cu suma primilor 1m termeni din dezvoltarea binomului:

1 nqp (3.1-1) unde p este probabilitatea de avariere a unui agregat; pq 1 - probabilitatea de funcţionare fără avarie a unui agregat.

Astfel pentru un sistem de cinci agregate identice având 1,0p şi 9,0q , probabilităţile corespunzătoare tuturor evenimentelor posibile se regăsesc în suma (3.1-2)

00001,000045,000810,007290,0

32805,059049,05101051 543223455

pqppqpqpqqqp

în care 5q este valoarea probabilităţii ca cinci agregate să fie simultan în funcţiune,

pq 45 este valoarea probabilităţii ca patru agregate să fie simultan în funcţiune iar unul în avarie ş.a.m.d.

Dacă sarcina sistemului este egală cu puterea a trei agregate - rezerva de putere fiind deci de două agregate 2m - valoarea siguranţei sistemului este

99144,0105 2345 pqpqq (3.1-3)

La o putere unitară a agregatului dată şi la o valoare dată pentru siguranţa

sistemului, valoarea absolută a rezervei de putere creşte cu numărul agregatelor sistemului, iar valoarea relativă a rezervei de putere scade cu acelaşi


59

număr. În figura 3.1-1 este prezentată această variaţie pentru un sistem format din agregate identice, valoarea probabilităţii de funcţionare fără avarie a unui agregat fiind 0,93, iar valoarea siguranţei sistemului 0,97 [4].

Odată cu creşterea valorii siguranţei creşte şi valoarea rezervei de putere şi invers. Implicaţiile economice ale unei rezerve de putere dată sunt reprezentate de daunele datorate întreruperilor în alimentarea cu energic electrică şi de investiţiile in agregatele rezervei de putere. O valoare ridicată a siguranţei sistemului şi deci a rezervei de putere implică daune scăzute dar investiţii importante. Unei valori scăzute a siguranţei sistemului şi deci a rezervei de putere ii corespund daune ridicate dar investiţii reduse. Rezerva de putere optimă şi deci siguranţa optimă în funcţionarea sistemului trebuie să rezulte aşadar dintr-un calcul tehnico-economic care să ia în consideraţie valoarea diurnelor şi a investiţiilor în rezerva de putere [5]. În continuare sunt prezentate elementele importante ale acestui calcul.


60

3.2. METODA DE DETERMINARE A VALORII OPTIME A REZERVEI DE PUTERE

Rezolvarea problemei se obţine prin căutarea variantei optime. O variantă se caracterizează printr-o valoare a rezervei de putere şi prin tipul şi puterea unitară a agregatelor care compun această rezervă.

Cheltuielile anuale de calcul ale sistemului corespunzătoare unei anumite variante a rezervei de putere reprezintă valoarea funcţiei-obiectiv. Mulţimea variantelor rezervei de putere formează deci, domeniul de definiţie al funcţiei-obiectiv, domeniul căutării.

Funcţia obiectiv este o funcţie discretă ale cărei valori se calculează cu relaţia )()()()( iDiCiIpiZ en

unde i este un element al mulţimii variantelor;

nP coeficientul normat de eficienţă economică;

)(iI investiţiile în varianta i ;

)(iCe cheltuielile anuale de exploatare pe sistem în varianta i ;

)(iD daunele datorate întreruperilor în alimentarea cu energie electrică i ;

Valoarea cheltuielilor anuale de exploatare pe sistem în varianta )(iCi e

corespunde funcţionării optime pe un an de zile luând în considerare şi opririle agregatelor pentru revizii şi reparaţii. Planificând opririle pentru revizii şi reparaţii, trebuie să se asigure în fiecare moment acea valoare a rezervei de putere care face minimă suma )()( iDiCe .

Determinarea variantei optime - varianta pentru care valoarea funcţiei-obiectiv este minimă - se poate face printr-o procedură iterativă de căutare locală pe reţeaua ale cărei noduri corespund mulţimii variantelor [6] . Reţeaua, este bidimensională corespunzând puterii agregatelor de rezervă şi valorii rezervei de putere. Procedura iterativă de căutare locală constă în următoarele. Se pleacă de la o variantă aleasă arbitrar de exemplu zero agregate de MW100 (fig. 3.2-1) pe care o numim varianta 1. Vecinele ei la dreapta şi stânga, în sus şi în jos, sunt variantele 2 şi 3. Valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare variantei 2 este egală cu cea corespunzătoare variantei 1, dar presupunem că pentru varianta 3 ea este mai mică. Verificăm dacă varianta 3 este optimă făcând calculul valorii funcţiei-obiectiv pentru variantele vecine 4 şi 5. Să presupunem că valoarea mai mică corespunde variantei 5. Continuăm în acelaşi mod căutarea soluţiei optime găsind că aceasta corespunde puterii de rezervă de MW75 formată din grupuri de MW25 . În cazul de faţă au fost calculate zece valori ale funcţiei obiectiv faţă de 16 câte ar fi trebuit să calculăm dacă nu aplicăm procedeul iterativ de căutare locală. Numărul de


61

iteraţii parcurse depinde de punctul de plecare. Varianta de plecare poate fi aleasă pe baza experienţei dobândită în proiectare.

Construirea reţelei trebuie astfel făcută încât între două noduri vecine variaţia valorii funcţiei-obiectiv să fie mică. Din acest motiv a doua dimensi-une a reţelei a fost aleasă rezerva de pu-tere şi nu numărul de agregate. Variaţia valorii funcţiei-obiectiv pentru varian-tele „două agregate de MW500 " şi „un agregat de MW100 " este mai mică decât pentru variantele „un agregat de

MW50 " şi „un agregat de MW100 ". Se poate construi însă o reţea multidimensională în care fiecare dimensiune corespunde unui anumit tip de agregat, pasul reţelei fiind de data aceasta numărul de agregate.

Procedura iterativă de căutare locală permite determinarea minimului local şi nu a celui global. Dacă domeniul de căutare nu este prea mare, aşa cum este cazul în problema determinării rezervei de putere, extremul local este unicul extremum în acest domeniu.

În continuare se prezintă diferite aspecte legale de calculul valorii funcţiei-obiectiv.

3.3. PROBABILITATEA DE AVARIERE Şl PROBABILITATEA DE FUNCŢIONARE FĂRĂ AVARIE

După cum s-a arătat în paragraful 3.1 un rol important în calculul rezervei de putere îl joacă mărimile p şi q . Valoarea acestor mărimi poate fi calculată dacă se cunosc:

nat - durata de nefuncţionare datorită avariei;

fpt - durata de funcţionare planificată in intervalul de timp considerat;

npt - durata de nefuncţionare planificaţi (necesara reviziilor, iar în cazul

centralelor atomoelectrice şi pentru înlocuirea materialului combustibil); Mt - durata intervalului de timp considerat. Folosind notaţiile de mai sus avem:


62

.1

,

fp

nanpM

fp

nafp

npM

na

fp

na

t

ttt

t

ttpq

tt

t

t

tp

(3.3-1)

La determinarea duratei nat trebuie să se ţină seama şi de situaţiile în care

un agregat în rezervă rece nu ar putea fi pornit, dacă acest lucru ar deveni necesar, datorita unei defecţiuni.

Valorile probabilităţii de avariere pentru agregatele turbogeneratoare se află în limitele %8.......2 . Pentru centralele atomoelectrice aceste valori sunt mai mici.

În calculul rezervei de putere se admite ipoteza că toate generatoarele debitează pe o bară unică, bara sistemului. Această ipoteză, care exprimă faptul că reţeaua este sigură, este justificată prin aceea că probabilităţile de avariere ale elementelor de reţea sunt cu un ordin de mărime mai mici decât probabilităţile de avariere pentru agregatele generatoare [7].

3.4. CALCULUL ENERGIEI ELECTRICE NELIVRATĂ ÎN MEDIE

S-a arătat că unul din elementele cheltuielilor anuale de calcul corespunză-

toare funcţionării sistemului într-o variantă de realizare a să îl constituie daunele, adică cheltuielile datorate energiei electrice nelivrată.

Modul de determinare al energiei electrice nelivrată este descris mai jos. Starea unui sistem corespunde

anumitor agregate indisponibile şi anumitor agregate disponibile. Notăm cu I mulţimea stărilor posibile, cu i un element al mulţimii şi cu iP

puterea disponibilă în starea i . În figura 3.4-1 este reprezentată curba de sarcină anuală clasată preliminată a sistemului - )(tPS - având drept punct

caracteristic puterea de vârf SMP .

Puterea disponibilă maximă a centralelor sistemului - MP - şi puterea

disponibilă în starea iPi sunt reprezentate pe aceeaşi figură prin paralele la axa

absciselor.


63

Cantitatea de energie nelivrată când sistemul se găseşte în starea NIWi

este proporţională cu aria triunghiului curbiliniu DPP SMi . În această stare puterea

agregatelor în avarie este: iMai PPP (3.4-1)

Probabilitatea acestei stări este iA .

Cantitatea de energie electrică nelivrată în medie - NW - este egală cu suma

ponderată a cantităţilor de energic nelivrată în toate stările posibile, ponderile fiind probabilităţile stărilor:

Ii

NiN iWAW (3.4-2)

Fig.3.4-2


64

Tabelul 3.4-1

Starea Generatori avariaţi

iP

[MW] it

[h/an] iNW

[MWh/an] iA

1 0 3300 0 0 874665,093,095,00,99 2 1 2700 1000 80691 008835,093,095,00,01 3 2 2100 4930 2042446 046035,093,005,00,99 4 3 1800 6080 3682022 065835,007,095,00,99 5 1, 2 1500 8340 5869292 000465,093,005,00,01 6 1, 3 1200 8760 8434290 000665,007,095,00,01 7 2, 3 600 8760 13690290 003465,007,005,00,99 8 1, 2, 3 0 8760 18946290 000035,007,005,00,01

Exemplu [8]. Sunt date trei agregate cu puterile disponibile ,6001

MWPd

MWPd 12002 şi MWPd 1500

3 . Probabilităţile de avarie sunt respectiv

01,01 p 05,02 p 07,03 p . Cele trei agregate acoperă o curbă de sarcină

(fig. 3.4-2) cu o putere maximă cerută de GW3 . În tabelul 3.4-1 sunt trecute datele necesare calculului cantităţii de energic

electrică nelivrată în medie. Valoarea acestei mărimi pentru exemplul dat este:

8

1

/393580i

NiN anMWhWAWi


65

3.5.DURATA DE AVARIE

În vederea luării deciziei privind rezerva de putere, sunt analizate şi variantele apropiate de varianta optimă din punct de vedere tehnico-economic. Unul dintre criteriile care pot fi luate în consideraţie în acest scop este durata de avarie. Prin durata de avarie se înţelege suma ponderată a duratelor de avarie corespunzătoare stărilor i , pon-derile fiind probabilităţile stărilor respective:

Ii

iia tAt (3.5-1)

Pentru exemplul prezentat în paragraful 3.4 durata de avarie este de 676,43 [h].

3.6.CONSIDERAREA AVARIILOR

SIMULTANE

Cea mai mare parte a energiei nelivrate se datorează avariilor simultane. În figura 3.6-1 este reprezentată energia electrică nelivrată probabilă, cumulată pentru cele opt stări corespunzătoare exemplului expus în paragraful 3.4 (tab. 3.4-1 şi 3.6-1).

Din examinarea figurilor si a tabelului rezultă că trebuie luată în considerare scoaterea din funcţiune prin avariere a cel mult două agregate simultan (în exemplul considerat). Limitarea numărului stărilor corespunzătoare avariilor simultane considerate, permite reducerea volumului de calcule. Tabelul 3.6-1

3.7.INFLUENŢA CARACTERULUI ALEATORIU

Starea

i

iA iNW

[MWh/an] iNiWA

[MWh/an]

i

iNi i

WA1

[MWh/an] 1 874665,0 0 0 0 2 008835,0 80691 711 711 3 046035,0 2042446 94000 94711 4 065835,0 3682022 242500 337211 5 000465,0 5869292 2730 339941 6 000665,0 8434290 5610 345551 7 003465,0 13690290 47400 392951 8 000035,0 18946290 630 393581


66

AL PROGNOZEI CURBEI DE SARCINĂ

Curba trasată în figura 3.4-1 este o curbă medie. Prognoza curbei de sarcină

se exprimă mai precis printr-o zonă în care fiecărui punct

tP

P ,2

îi este

ataşată o probabilitate de realizare. În practică curba clasată anuală se construieşte din curbele de sarcină

zilnică reprezentate prin paliere de putere (fig.3.7-1). Să considerăm separat un astfel de palier şi să presupunem că prognoza acestui palier este reprezentată de o repartiţie normală cu un coeficient de variaţie :

02,0P

v PP

(3.7-1)

unde

P este abaterea medie pătratică a prognozei puterii cerute de sistem;

P valoarea medie a prognozei puterii cerută de sistem (fig. 3.7-2). În acest caz, se poate afirma aproape cu certitudine că, valorile reale de

putere nu vor depăşi zona 06,0P P .

În figura 3.7-3 este reprezentat un palier de putere şi probabilitatea ca puterea reală să se afle într-un interval P dat.

Dacă se ia în considerare valoarea medie a prognozei, puterea nelivrată corespunzătoare acestui palier este

iN PPP (3-7-2)

Dacă considerăm caracterul aleatoriu al prognozei, atunci valoarea puterii nelivrată în medie este: (3-7-3)

)(.....)(......0.....0)( 1010443

10

11 ii

jijjN PPpPPpppPPpP

unde jp , este probabilitatea ca ji PPP .

Trecând la limită

iP

iN PPdPP )()(

(3.7-4) unde )(P este funcţia diferenţială de repartiţie a prognozei puterii. Dezvoltând avem:

ii P

i

P

N dPPPdPPP )()( (3.7-5)


67

În mod analog, dezvoltând expresia NP avem:

i

iii

i

i

P

P

i

P

Ni

P

i

P

P

iN

dPPPdPPPPdPPPdPPP

dPPPdPPPdPPPPdPPPPPP

)()()()(

)()()()(1

(3.7-6)

Dar expresia:

i ii P P

ii

P

dPPPPdPPPdPPP )()()()( (3.7-7)

este negativă deoarece 0 iPP În consecinţă,

.NN PP (3.7-8)

Deci, cantitatea de energie electrică nelivrată, determinată pe baza reparti-

ţiei prognozei, este mai mare decât cea care ar fi determinată pe baza valoni medii a prognozei. Diferenţa este cu atât mai mare cu cât rezerva de putere este mai mică (fig. 3.7-4).


68

Pentru o determinare corectă a cheltuielilor de calcul aferente unei variante trebuie să se determine corect energia medie nelivrală, prin considerarea caracterului probabilistic al prognozei.

Abaterile puterii de la valoarea medie a prognozei fac ca valoarea reală a duratei de avarie să fie şi ea modificată faţă de cea determinată pe baza valorii medii a prognozei. Această modificare depinde de dispersia valorilor realizate de putere. Pe figura 3.7-5 au fost reprezentate paliere de putere prognozate împreună cu zona de dispersie a valorilor reale de putere.

În starea i , durata de avarie probabilă pentru palierul 1 este )1(t , pentru

palierul )2()2(2 tAi unde )2(A este probabilitatea ca pe palierul 2 valoarea

realizată a puterii să fie mai mare ca iP , iar pentru palierul 3 , care conform valorii

medii a prognozei nu ar contribui la durata de avarie, durata de avarie reală este )3()3( tAi .Deci, conform valorii medii a prognozei, durata de avarie

în starea i este ii tA , dar ţinând seama de dispersia valorilor de putere realizate,

această durată este ][ )3()3()2()2()1()1( tAtAtAA iiii (pentru exemplul corespunzător

figurii, )1(iA este practic egal cu unitatea).

Durata de avarie a sistemului pe un an de zile, ţinând seama de abaterile de la prognoza curbei de sarcină este în medie egală cu:

Jj

jj

Iiia tAAt i

)()( (3.7-9)

unde J este mulţimea palierelor de putere.


69

3.8.INFLUENŢA DESCĂRCĂRII DE SARCINĂ

Pentru a menţine în funcţiune sistemul, la parametrii tensiune şi frecvenţă normali, după avarierea unui număr de agregate, trebuie întreruptă alimentarea unor consumatori, a căror putere absorbită egalează puterea deficitară (descărcarea de sarcină). Această operaţie poate fi făcută manual sau automat. De remarcat, ca deconectarea consumatorilor nu poate fi făcută decât în trepte, pe grupe de consumatori. Cu cât treptele de putere la care se deconectează consumatorii sunt mai apropiate, operaţia este mai complicată.

Datorită caracterului discontinuu al valorii puterii deconectate se va de-conecta, în general, o putere mai mare decât deficitul de putere. Prin urmare operaţia de descărcare a sarcinii, datorită impreciziei ei, conduce la o mărire a cantităţii de energie electrică nelivrată.

În figura 3.8-1 se poate observa cum, datorită deconectării unei puteri mai mari decât deficitul de putere, suprafaţa proporţională cu energia nelivrată

creşte (fâşie dublu haşurată). Cantitatea suplimentară de energie electrică nelivrată este aproximativ egală cu k ii tP unde k este un coeficient cu valoarea de ordinul

sutimilor sau zecimilor. Expresia energiei electrice nelivrată în medie, ţinând seama de imprecizia

descărcării de sarcină, este:

Ii

iiNiiDSN tkPWAW )()( (3.8-1)


70

Tabelul 3.8-2

Starea

i

iA iiN tPW

i1,0

[MWh/an]

1 874665,0 0 2 008835,0 350691 3 046035,0 3077746 4 065835,0 4776422 5 000465,0 7120292 6 000665,0 9485490 7 003465,0 14215890 8 000035,0 18946290

Valorile coeficientului k sunt, în practică, cuprinse în limitele

20,0....01,0k valorile mici corespunzând descărcării automate a sarcinii iar cele mari descărcării manuale.

Pentru exemplul din paragraful 3.4, imprecizia de 10% în descărcarea de sarcina duce la o creştere a energiei nelivrate cu 32% (tab. 3.8-1).

32,1393580

518778

/518778

)(

)(

N

DSN

DSN

W

W

anMWhW

Cantitatea de energie electrică nelivrată în medie creşte cu scăderea rezervei de putere şi cu creşterea lui k (fig. 3.8-2). Cheltuielile necesare automatizării operaţiei de descărcare de sarcină cresc odată cu scăderea lui k . Deci, pentru o variantă dată de realizare a rezervei de putere, există o valoare optima din punct de vedere economic pentru k .

Imprecizia în descărcarea de sarcină determină şi o creştere a duratei de avarie. În formula 3.5-1 valorile it , sunt înlocuite de valorile mai mari it '

(fig. 3.8-1).


71

3.9.INFLUENŢA AUTOREGLĂRII SARCINII

Ca urmare a ieşirii din funcţiune a unor agregate, tensiunea şi frecvenţa în sistem scad. Atunci când aceste scăderi nu depăşesc o anumită limită inferioară, funcţionarea consumatorilor este posibilă în continuare fără a se recurge la deconectarea unei părţi a consumatorilor. În noile condiţii, puterea absorbită de eonsiimatori este mai mică (fig. 3.9-1[9]). Funcţionarea consumatorilor are loc la o putere absorbită mai mică decât puterea lor nominală, puterea absorbită fiind egală cu puterea disponibilă a agregatelor rămase în funcţiune după avarie. Fenomenul poartă denumirea de efect de autoreglaj al sarcinii.

Efectul de autoreglaj al sarcinii nu modifică cantitatea de energie electrică nelivrată. Aceasta corespunde diferenţei dintre puterea pe care ar absorbi-o

Tabelul 3.9-1

Satrea i )( iPt

1 0 2 280 3 4360 4 5730 5 8160 6 8660 7 8760 8 8760


72

consumatorii în funcţiune la tensiune şi frecvenţă nominală (puterea nominală) şi puterea disponibilă a agregatelor rămase în funcţiune.

Durata de avarie a sistemului se micşorează, deoarece duratele luate în considerare pentru diferite stări, corespund unor puteri mai mari decât puterea stării i ARii PPP '

unde

ARP - cantitatea cu care a scăzut puterea absorbită de consumatori prin efectul de autoreglare a sarcinii (fig. 3.9-2).

Dacă presupunem că ARP poate atinge 5% din puterea absorbită în condiţii de funcţionare nominală, atunci, pentru exemplul din paragraful 3.4, durata de avarie a sistemului este de 620,63 [h] (tab. 3.9-1). Aceasta reprezintă o valoare cu 9,17% mai scăzută în comparaţie cu valoarea care face abstracţie de efectul de autoreglaj al sarcinii.

3.10. APLICAŢll LA CAPITOLUL 3

3.1. Se consideră o centrală electrică cu cinci grupuri generatoare identice. Probabilitatea de avarie a unui grup este. 1,0p . Care este probabilitatea de realizare a stării în care sunt în funcţiune grupurile nr.1 .şi nr.3 şi în avarie grupurile nr.2, nr.4şi nr.5?

3.2. O centrală electrică cu trei grupuri gene-ratoare având puterea disponibilă MWPd 400 fiecare

şi probabilitatea de avarie a unui grup 1,0p alimentează un consumator a cărui curbă clasată a puterii anuale poate fi aproximată ca în figura A. 3.2-1.

Să se determine valoarea medie a energici electrice nelivrate - NAW - în starea în care este în

funcţiune grupul nr.1, grupurile nr.2 şi nr. 3 fiind în avarie.

3.3. Se consideră o centrală electrică echipată cu patru agregate identice, având fiecare puterea disponibilă MWPd 400 durata de funcţionare

8000ft ore/an si durata de avarie 160at ore/an.

Centrala, trebuie să alimenteze un consumator a cărui curbă clasată a puterii anuale poale fi aproximată ca în figura A.3.3-1.

Să se calculeze:


73

a) probabilitatea de apariţie a stării în care sunt în funcţiune două grupuri, celelalte două fiind în avarie; b) valoarea medie a energiei electrice nelivrate în această stare - NAW -

c) valoarea medie a energiei electrice nelivrate, în această stare, în cazul în care intervine descărcarea automată de sarcină (D.A.S) ştiind că coeficientul de imprecizie al D.A.S este ;1,0k ; d) cu cât creşte în procente valoarea medie a energici electrice nelivrate, faţă de cazul analizat la punctul b).

3.4. Se consideră trei grupuri generatoare care alimentează un consumator izolat. Caracteristicile grupurilor sunt arătate în tabelul A. 3.4. Tabelul A. 3.4

Puterea disponibilă )( dP

Timpul de avarie )( at

Timpul de funcţionare )( ft

Nr. grup

MW anore / anore / 1 600 80 8000 2 1200 400 8000 3 1500 560 8000

Curba clasată a puterii anuale a consumatorului este aproximată ca în figura A.3.4-1.

Să se determine: a) probabilitatea de avarie şi cea de funcţionare a

fiecărui agregat; b) valoarea medie a energiei electrice nelivrate

în timpul unui an; c) care este creşterea cantităţii medii de energie

electrică nelivrată datorită impreciziei descărcării automate de sarcină (D.A.S) dacă coeficientul de imprecizie al D.A.S este 1,0k . (Rezultatul va fi dat în TWb şi în procente).

3.5. Se considera trei grupuri funcţionând în paralel şi având puterea disponibilă MWPd 400

fiecare, iar probabilitatea de avarie a unui grup este 1,0p . Cele trei grupuri trebuie să acopere un palier

de putere ca cel din figura A.3.5-1. Să se determine valoarea medie a energiei

nelivrate în starea în care sunt în funcţiune două grupuri iar unul în avarie, în următoarele două ipoteze:

a) palierul de putere este de 1000MW;


74

b) prognoza palierului de putere are valoarea medie 1000MW şi abaterea medie pătratică este MWP 20 (Legea de repartiţie a puterii este considerată a fi normala).

3.6. Trei grupuri generatoare alimentează un consumator. Grupurile au următoarele caracteristici:

Tabelul A. 3.6

Puterea disponibilă )( dP

Timpul de avarie )( at

Timpul de funcţionare )( ft

Nr. grup

MW anore / anore / 1 600 80 8000 2 1200 400 8000 3 1500 560 8000

Curba clasată a puterii anuale a consumatorului (valorile medii ale

prognozei) este aproximată ca în figura A.3.6-1: Să se determine: a) probabilitatea de avarie şi cea de funcţionare a fiecărui grup; b) energia medie nelivrată într-un an; c) energia medie nelivrată într-un an ţinând seama de abaterea curbei de

sarcină de la prognoză. Se consideră că densitatea de probabilitate a puterii este:

2

2

2

)(

2

1)(

PP

eP

Coeficientul de variaţie a

puterii, p

v p

, se consideră acelaşi

pentru întreaga curbă de sarcină şi anume

%.2pv


75

3.7. O centrală electrică industrială, echipată cu patru grupuri generatoare, alimentează un consumator izolat. Grupurile din centrală au următoarele caracteristici:

Tabelul A. 3.7

Curba clasată a puterii anuale a consumatorului (valorile medii ale prog-

nozei) este aproximată ca în figura A.3.7-1. Să se calculeze:

a) probabilitatea de avarie şi cea de funcţionare a fiecărui grup; b) probabilitatea de realizare a stării în care sunt în funcţiune grupurile doi

si trei şi în avarie grupurile unu si patru; c) energia electrică medie nelivrată în această stare - NAW -;

d) energia electrică medie nelivrată în această stare, ţinând seama de carac-terul probabilistic al prognozei curbei de sarcină. Se consideră densitatea de probabilitate a puterii:

Puterea disponibilă dP

Timpul de avarie at

Timpul de funcţionare

ft

Nr. grup

MW ore/an ore/an 1 100 80 8000 2 300 324 8100 3 300 324 8100 4 250 480 8000


76

2

2

2

)(

2

1)(

PP

eP

Coeficientul de variaţie 02,0P

v p

şi se consideră că este acelaşi pentru

întreaga curbă de sarcină.


1. Sandler, G. H., System Reliability Engineering (traducere în lb. rusă). Prentice-Hall. Inc., Englewood Clifs, New-York, 1966 2. Kuţenov, V. A., Steingauz, E. O., Voprosi tehniko-ekonomiceskovo proektirovaniia krupnih ghidrostanţii v senergosistemah. Gosenergoidat, Moskva, Leningrad, 1953. 3. * * * Elektriceskie sistemi[.] v semi tomah [.]Matematiceskie zadaci elektroenerghetiki. Tom.1, Vîsşaia şkola, Moskva. 1970. 4. Begent, H. H., Power System Pfanning and Risk Calculation. Electrcal Revue, nr.18, 1971. 5. Niţu. V., Influenţa siguranţei în alimentarea cu energie electrică şi căldură asupra calculelor economice în domeniul energetic. Energetica, nr. 9, 1970. 6. Pervozvanski, A. A.. Căutarea deciziei optime (traducere din 11). rusă). Editura Enciclopedică Româna, Bucureşti. 1974. 7. ***Normativ privind elementele de calcul al siguranţei în funcţionarea instalaţiilor energetice. Centrul de documentare energetică. Bucureşti, 1973. 8. Theilsiefje, K., Wagner, H., Digitale Berechnungsverfahren fur optimale Reservehaltung im Verbundbetrieb. Elektrotechnische Zeilsehrift, nr. 17, 1968. 9. Markovici, I. M., Sisteme energetice. Regimuri de funcţionare (traducere din lb. rusă) Editura tehnică, Bucureşti, 1960.


77

CAPITOLUL 4

DETERMINAREA CONFIGURAŢIEI OPTIME A REŢELEI


Alimentarea unui număr de consumatori cu energie electrică de la câteva surse

se poate face după mai multe variante. Datele cunoscute sunt amplasamentele pentru surse şi consumatori, disponibilul de putere la fiecare sursă şi puterea cerută la fiecare consumator. Pentru alegerea variantei care se va realiza se efectuează calculul tehnico-economic corespunzător câtorva variante şi se alege varianta cu caracteristica tehnico-economică cea mai favorabilă.

În cazul unui număr mare de surse şi consumatori, numărul variantelor posibile este atât de mare, încât numai un număr limitat dintre ele poate fi luat în considerare. Experienţa proiectantului este hotărâtoare în alegerea variantelor reţinute pentru a fi calculate. Nu există însă siguranţa, că printre variantele selecţionate se află şi varianta optimă.

Aceleaşi aspecte apar la alegerea schemei de alimentare cu căldură. În continuare se prezintă un model matematic care ţine seama de toate

posibilităţile de alimentare a consumatorilor de la surse, eliminând astfel caracterul subiectiv al alegerii schemei de alimentare. Graful reţelei tuturor posibilităţilor de alimentare a trei consumatori de la trei surse este arătat în figura 4.1-1 cu linie întreruptă. Metoda folosită permite ca din acest graf complet să se reţină numai unele laturi, astfel ca mărimea aleasă pentru a caracteriza o schemă de alimentare să ia o valoare extremă. Graful corespunzător este reprezentat prin linie — două puncte, în figura 4.1-1.

Graful obţinut ca rezultat al procesului de optimizare reprezintă trăsăturile esenţiale ale reţelei optime. Pentru a obţine graful reţelei de realizat se aduc corecturi care, fără a modifica substanţial schema de alimentare, duc la creşterea gradului de siguranţă a acesteia. Aceste corecturi constau în confundarea laturilor corespunzătoare unor trasee apropiate (în fig. 4.1-1 graful reprezentat prin linie plină).

Drept criteriu de apreciere a configuraţiei reţelei este folosită valoarea pierderilor de putere activă. Pentru o linie, expresia pierderilor de putere activă este

KPlPlU

j

U

Pl

S

IlI

S

II

SRIp

cos3

cos333

133 22


78

Surse graful reţelei complete Consumatori graful reţelei optime graful reţelei reale Fig. 4.1-1

Presupunând durata anuală de utilizare a puterii maxime şi factorul de putere având valori apropiate pentru toţi consumatorii rezultă că pierderile de putere pe fiecare linie sunt proporţionale cu produsul Pl , factorul de proporţionalitate fiind acelaşi.

În consecinţă, configuraţia optima a reţelei este cea căreia îi corespunde valoarea minima a sumei produselor Pl - suma momentelor sarcinilor.

Pentru rezolvarea unei astfel de probleme se parcurg următoarele etape: a) se verifica bilanţul puterilor - suma puterilor disponibile este mai mare ca suma puterilor cerute la care se adaugă valoarea estimată a pierderilor de putere în reţea - şi se calculează distanţele sursă-consumator; b) se determină schema optimă de alimentare căreia îi corespunde suma minimă a momentelor sarcinilor. Graful obţinut este format numai din laturi radiale centrală-consumator; c) din schema obţinută se construieşte graful reţelei reale prin unificarea traseelor care au aproximativ aceeaşi direcţie; d) se alege tensiunea reţelei; e) variantele obţinute se compară pe baza unui calcul tehnico-economic complex.


79

4.2. MODELUL MATEMATIC

Notăm: mI ,.......2,1 mulţimea centralelor );( Ii ;

nJ ,....,2,1 - mulţimea consumatorilor ( Jj );

iP este puterea disponibilă la centrala i ;

jP - puterea cerută la centrul de consum;

ijl - distanţa dintre sursa i şi consumatorul j ;

ijP - valoarea, necunoscută, a puterii transportată de la sursa i la

consumatorul j . Această valoare este negativă. Rezolvând modelul matematic se vor obţine valori Pis pozitive şi valora Pi}

nule. Valorilor pozitive le corespund laturi ale grafului reţelei care vor trebui realizate, iar valorilor nule — laturi care nu se vor realiza în reţeaua reală.

Conform algoritmului descris în paragraful precedent funcţia obiectiv a modelului matematic este

Ii Jj

ijij IPMMIN (4.2-1)

Restricţiile modelului matematic trebuie să exprime verificarea celor două condiţii de bilanţ şi anume: a) condiţia ca, pentru fiecare sursă, suma puterilor trimise tuturor consumatorilor să fie cel mult egală cu puterea disponibilă a sursei; b) condiţia ca, pentru fiecare consumator, suma puterilor primite de la toate centralele să fie egală cu puterea consumatorului respectiv.

Ipoteză. Pentru a ţine seama de pierderile de putere activă, a căror valoare este iniţial necunoscută, puterile consumatorilor se suplimentează cu o cantitate care corespunde valorii medii cunoscute a pierderilor de putere. Restricţiile corespunzătoare condiţiei a) sunt:

Jj

iij mIiPP ,...,2,1; (4.2-2)

Analog, restricţiile ce corespund condiţiei b) se scriu:

Ii

jij nJjPP ,...,2,1; (4.2-3)

Modelul matematic având această structură poartă denumirea de model

matematic al problemei de transport.


80

4.3. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE TRANSPORT

În cercetarea operaţională problema de transport se defineşte astfel: se cere să se facă repartiţia unui produs omogen de la m centre de producţie la n centre de consum astfel, încât cheltuielile la transport să fie minime. Se cunosc cantităţile de care dispune fiecare centru de producţie iai, cantitatea cerută în fiecare centru de

consum jbj, cheltuiala pentru transportul unităţii de produs din i în ijcj, .Nu se

cunosc cantităţile ce se transportă pe diferite rute, ijx astfel ca totalul cheltuielilor

ocazionate de transport să fie minime. Prin natura problemei rezultă că .0,,, ijijji xcba

Notăm cu I mulţimea centrelor de producţie - mI ,...,2,1 - şi cu J mulţimea centrelor de consum - nJ ,.....,2,1 şi Jj . Facem ipoteza că întreaga cantitate produsă este repartizată. Atunci

Ii Jj

ji Aba (4.3-1)

În aceste condiţii modelul matematic al problemei de transport este:

Ii Jj

ijij xcfMIN (4.3-2)

Jj

iij mIiax ,.....,2,1; (4.3-3)

Ii

jij nJjbx ,.....,2,1; (4.3-4)

0ijx (4.3-5)

Verificăm condiţia (4.3-1):

Ii Jj Ii

iij ax

Jj Ii Jj

jij bx deci

Ii Jj

ji ba

O problemă al cărei model are structura de mai sus poartă denumirea de

problemă de transport, în sensul programării matematice, chiar dacă problema propriu-zisâ nu constă în transportul unui produs.


81

Problema determinării configuraţiei optime a reţelei se poate reduce la o problemă de transport transformând inegalităţile ce reprezintă bilanţurile de putere la surse în egalităţi cu ajutorul unor variabile de abatere. Acest lucru se va arăta detaliat într-un paragraf următor.

Pentru o problemă de transport se poate întocmi tabelul 4.3-1, în care liniile corespund surselor iar coloanele consumatorilor.

Teoremă. O problemă de transport admite întotdeauna o soluţie posibilă. Demonstraţie. Soluţia

A

bax ji

ij (4.3-6)

Tabelul 4.3-1

1a

2a

ia

ma

1b 2b jb nb

Tabelul 4.3-2 1a

2a

3a

1b 2b

1

2

j

n

1

11x

12x

jx1

nx1

2

21x

22x

jx2

nx2

i

1ix

2ix

ijx

inx

m

1mx

2mx

mjx

mnx

11x

12x

21x

22x

31x

32x


82

este o soluţie a problemei de transport deoarece satisface condiţiile (4.3-3). (4.3-4) şi (4.3-5). Înlocuind în (4.3-3) avem:

Jj

iJj

j

iij aA

b

ax (4.3-7)

deoarece:

Jj

j Ab

Analog:

Ii

jIi

i

jij bA

abx (4.3-8)

Condiţia (4.3-5) este îndeplinită deoarece ji ba , şi A sunt pozitive.

Tabelul 4.3-2 corespunde problemei de transport având restricţiile: 1211 xx 1a

2221 xx 2a

3231 xx 3a (4.3-9)

11x 21x 31x 1b

12x 22x 32x 2b

Datorită ipotezei

Jj

jIi

i ba , una din ecuaţii este o consecinţă a

celorlalte patru. De exemplu, prima ecuaţie se poate obţine adunând ecuaţiile patru şi cinci şi scăzând ecuaţiile doi şi trei. Una din ecuaţii este deci de prisos. Această concluzie este valabilă pentru orice problemă de transport.

Restricţiile unei probleme de transport formează deci un sistem de 1 nm ecuaţii liniare cu nm necunoscute.

O problemă de transport se poate pune sub forma cXfMIN ][ (4.3-10) bAX (4.3-11) 0X (4.3-12) În cazul problemei de transport corespunzătoare tabelului 4.3-2 avem:


83

),,,,,( 323122211211 ccccccc (4.3-13)

],,,,,[ 323122211211 xxxxxxX (4.3-14)

],,,,,[ 21321 bbaaab şi (4.3-15)

A= (4.3-16) (Prima dintre restricţiile problemei a fost abandonată din motivele arătate mai înainte. Elementele din căsuţele libere ale matricei A au valoarea 0).

Problema de transport este deci o problemă de programare liniară cu 1 nm ecuaţii şi nm necunoscute. Datorită dimensiunilor mari ale problemei

de programare liniară echivalentă (pentru zece surse şi 100 consumatori, de exemplu, problema are 109 ecuaţii şi 1000 necunoscute) şi datorită caracterului particular al matricei A , s-au elaborat metode de calcul destinate în mod special rezolvării problemelor de transport.

4.4. DETERMINAREA UNEI SOLUŢII DE BAZĂ INIŢIALA

Problema de transport este un caz particular al problemei de programare liniară. De aceea soluţia sa optimă se găseşte printre soluţiile sale de bază şi are cel mult 1 nm variabile cu valori diferite de zero. Ca şi în cazul problemei de programare liniară, în rezolvarea problemei de transport trebuie parcurse următoarele etape: a) se determină o soluţie de bază, iniţială; b) se verifică dacă soluţia de bază determinată este soluţia optimă; c) dacă soluţia de bază, determinată nu este soluţia optimă, se determină o nouă soluţie de bază ş.a.m.d.

Mai departe se arată cum se determină soluţia de bază iniţială.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1


84

TEOREMĂ. Orice problemă de transport admite o soluţie, ce conţine 1 nm valori pozitive pentru variabilele ijx . Sistemul de vectori din A

corespunzători soluţiei formează un sistem liniar independent. Demonstraţia teoremei este reprezentată în figura 4.4-1. Condiţia problemei

de transport este exprimată prin egalitatea sumei ariilor contururilor închise de acelaşi fel. Săgeţile indică ordinea în care se face acoperirea unui consum sau distribuirea unei surse. La fiecare operaţie de acest fel o variabilă capătă o valoare pozitivă egală cu cantitatea care s-a distribuit.

Una din metodele care reproduc această schemă este metoda coltului de nord-vest [1]. Denumirea metodei provine de la faptul că operaţiile din:

3m 3n 51 nm Tabelul 4.4-1 Tabelul 4.4-2 Tabelul 4.4-3

figura 4.4-1 se fac în tabelul problemei de transport începând întotdeauna cu colţul din stânga sus. Exemplificăm metoda pentru problema de transport căreia îi


85

corespunde tabelul 4.3-2. După primul pas în ipoteza că 11 ba , tabelul

corespunzător este 4.4-1. Dacă 112 aba după pasul al doilea, problemei de transport îi corespunde tabelul 4.4-2. În fine, în tabelul 4.4-3 avem soluţia iniţială de bază.

Elementele tabelului problemei de transport pot fi legate între ele prin linii orizontale şi verticale formând o figură închisă denumită ciclu. Vectorii din matricea A corespunzătoare elementelor din vârfurile ciclului formează un sistem liniar dependent. De asemenea, unui sistem de vectori liniar dependent din A îi corespunde un ciclu în tabelul problemei de transport. Tabelul 4.4-4 Aceasta se datorează faptului că aceşti vectori au, câte doi, un element comun -1- coeficientul variabilei corespunzătoare vârfului ciclului.


86

În problema de transport al cărui tabel este 4.4-4 s-a reprezentat un astfel de ciclu. Suma vectorilor corespunzători variabilelor din vârfurile ciclului luaţi alternativ cu semnul plus şi minus este nulă:

Pentru ca să se poată forma un ciclu, trebuie să avem două elemente care sa intre în componenţa ciclului pe liniile şi coloanele respective. Metoda colţului de nord-vest nu reţine in bază pe prima linie sau coloană decât o singură variabilă. În consecinţă variabilele din baza iniţială obţinută prin metoda colţului de nord-vest nu pot forma cicluri şi deci vectorii corespunzători acestor variabile formează un sistem liniar independent.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

-

+

-

+

-

=


87

Exemplu. Se dă problema de transport 4m şi 5n din tabelul 4.4-5 care constă în stabilirea configuraţiei optime de alimentare a cinci centre de consum de la patru centrale. Puterea cerută - inclusiv pierderile - este egală cu puterea

Tabelul 4.4-5

40 28 24 39

15 30 25 43 18 disponibilă şi egală cu 131 MW . Soluţia de bază iniţială a problemei determinată prin metoda colţului de nord-vest este dată în tabelul 4.4-6 şi ea conţine

81541 nm variabile nenule. Tabelul 4.4- 6

40 25 0 28 23 0 24 22 0 39 18 0

75 30 25 43 16 0 5 2 21 0 0 0 0 0

11x

12x

13x

14x

15x

21x

22x

23x

24x

25x

31x

32x

33x

34x

35x

41x

42x

43x

44x

45x

15

25

5

23

2

22

21

18


88

4.5.METODA DISTRIBUTIVA DE DETERMINARE A SOLUŢIEI OPTIME (METODA STEPPING-STONE [2])

Să considerăm tabelul unei probleme de transport cu trei surse şi trei con-

sumatori şi să însemnăm cu un punct elementele care corespund soluţiei iniţiale de bază (tab. 4.5-1). Pentru a verifica dacă soluţia este optimă procedăm ca în cazul programării liniare. Vom analiza deci, efectul introducerii în soluţie a unei variabile din afara bazei, asupra funcţiei obiectiv.

Astfel, la introducerea variabilei 13x în soluţie cu valoarea 1 pentru a fi

respectate în continuare ecuaţiile de bilanţ, trebuie să scădem cu o unitate valoarea variabilei 11x din bază, să creştem cu o unitate valoarea variabilei 21x din bază ş.a.m.d. Valoarea funcţiei obiectiv a variat cu:

33322221111313 ccccccf (4.5-1)

Se desprinde regula de a forma ciclul pornind de la variabila de introdus în

bază, ciclu ale cărui vârfuri sunt căsuţele corespunzătoare variabilelor din bază (nu este obligatoriu ca ciclul să conţină toate variabilele din bază). La introducerea în soluţie a variabilei 12x ciclul este: ,1 ,22 ,22 ,11 ,1 şi deci, nu conţine locurile ,3 2 şi ,3 3 . Variaţia funcţiei obiectiv este egală cu suma costurilor corespunzătoare variabilelor din ciclu luate alternativ cu semnele plus şi minus.

Dacă 0f atunci variabila poate fi introdusă în bază. Se va prefera desigur

variabila căreia îi corespunde f - minim. Valoarea variabilei nou introdusă în bază se determină astfel: se stabilesc

variabilele din vechea bază a căror valoare scade la introducerea noii variabile şi se ia minimul dintre valorile respective. De exemplu:

},,,min{ 33221113 xxxx },min{ 221112 xxx sau },min{ 322131 xxx .Variabila căreia

îi corespunde minimul astfel determinat este variabila care iese din bază.


89

Tabelul 4.5-2

1 2 3 4 5 Tabelul 4.5-1

1

2

3

4

15 30 25 43 18

Regulile de mai sus sunt o expresie particulară a regulilor de introducere

respectiv de scoatere din bază a unei variabile, stabilite pentru problema de programare liniară.

Într-adevăr, am văzut că pentru problema de programare liniară condiţia introducerii în bază a unei variabile din afara bazei, l , în cazul căutării minimului este

kklkl cc 0, (4.5-2)

unde:

lc este costul corespunzător variabilei l ;

kc - costul corespunzător unei variabile din bază, k ;

kl , - coordonatele vectorului din matricea A , corespunzător variabilei din bază

formată de vectorii din A corespunzători variabilelor din bază. Variabila kx care va ieşi din bază rezultă din condiţia

0,min ,

klkl

kl

(4.5-3)

unde kl , sunt valorile variabilelor l şi .k

Aşa cum s-a arătat in paragraful 4.4, vectorii corespunzători variabilelor care compun un ciclu formează un sistem liniar dependent

165

84

108

103

68

166

63

93

84

63

135

78

68

60

103

60

155

135

145

155

11x 12x 13x

21x

22x 23x

31x

32x

33x


90

cicluj

jj a 0 (4.5-4)

cu valori 0,1j .De aici rezultă că pentru ciclul format din o variabilă din afara

bazei şi variabile din bază putem scrie:

cicluj Kk

klkjjl aaa (4.5-5)

Deci 0,1lk . Valorile 1 corespund variabilelor din bază care fac parte din

ciclu iar valorile nule variabilelor din bază care au rămas în afara ciclului. Pentru exemplul din tabelul 4.5-1 avem, deci:

)( 3333,133232,132232,132121,131111,13131313 ccccccfc (4.5-6)

şi deoarece:

;1)1(;1)1(

;1)1(;1)1(

3222,132222,13

2121,131111,13

(4.5-7)

,1)1(3313,33 avem

13333222211113

3332222111131313 ]1)1(1)1(1[

fcccccc

ccccccfc

(4.5-8)

În mod analog, pentru variabila 12x avem: ;0;0;1;1;1 23,1232,1222,1221,1211,12 şi deci, (4.5-9)

1222211112

3332222111121212 ]001)1(1[

fcccc

ccccccfc

(4.5-10)

Variabila care se scoate din bază la introducerea variabilei 13x este :

332211332211 ,,min1

,1

,1

xxxxxx

mnxk

(4.5-11)

iar în cazul variabilei 12x :

22112211 ,min1

,1

xxxx

mnxk

(4.5-12)


91

regăsind astfel rezultatele de la începutul paragrafului. În concluzie, metoda distributivă de trecere de la o soluţie de bază a proble-

mei de transport la o soluţie de bază îmbunătăţită constă în: a) formarea ciclului pentru fiecare variabilă ijx care nu face parte din bază:

b) calculul valorii ijf ;

c) stabilirea variabilei eu cel mai mic negativ ijf ;

d determinarea valorii ij a variabilei noi introdusă în bază şi stabilirea variabilei

care iese din bază. Dacă pentru toate variabilele din afara bazei 0 ijf ultima

soluţie este soluţia optimă. Numărul de iteraţii se poate reduce dacă pentru fiecare variabila din afara

bazei cu ijf negativ se calculează produsul,

ijij f

şi se introduce în bază variabila pentru care modul acestui produs are valoarea maximă.

Exemplu. Pentru problema din tabelul 4.4-5 distanţele dintre surse şi con-sumatori sunt prezentate în tabelul 4.5-2. Se verifică introducerea în bază a variabilei 31 plecând de la soluţia de bază determinată prin metoda colţului de nord-vest. Obţinem

16689363841651353323123131 ccccf (4.5-13)

pentru ciclul arătat în tabelul 4.5-3. Variabila 31 nu se introduce în bază. O soluţie de bază intermediară este cea prezentată în tabelul 4.5-4. În

continuare, sunt prezentate operaţiile de verificare în vederea introducerii Tabelul 4.5-3

1 2 3 4 5 1 2 3 4

15-1

25+1

5-1

23+1

+1

2-1

22

21

18


92

Tabelul 4.5-4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 în bază, pentru variabilele 21 şi 32 (tab. 4.5-5 şi 4.5-6). Pentru 21 avem: ,14860135931661443232121 ccccf (4.5-14)

iar pentru 32:

,5860145135936378344443233232 cccccf (4.5-15)

Deci variabilele 21 şi 32 nu trebuie introduse în bază.

22 18

8 20

24

15 5 19


93

Tabelul 4.5-5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 Tabelul 4.5-6

22

18

+1

8

20-1

24

15-1

5+1

19

22

18

8-1

20+1

+1

24-1

15

5-1

19+1


94

4.6.METODA DISTRIBUTIVĂ MODIFICATĂ (MODI)

Pentru reducerea volumului de calcule se foloseşte metoda distributivă

modificată [3]. Se atribuie fiecărei linii o necunoscută iu şi fiecărei coloane o necunoscută

jv .

Se scrie un sistem de ecuaţii ijji cvu bazaji , , (4.6-1)

obţinând astfel un sistem de nm necunoscute şi 1 nm ecuaţii. Pentru orice necunoscută din afara bazei avem

),( jiijij vucf ji, în afara bazei. (4.6-2)

Această proprietate rezultă din faptul ijf este egală cu suma costurilor

variabilelor din bază care formează ciclu, luate alternativ cu semnele plus şi minus (paragr. 4.5), şi din faptul ca pe o latură a ciclului se găsesc două variabile din bază, cele corespunzătoare vârfurilor. Vom avea deci, (4.6-3)

)()(............

)()()(........2111122111

jiijji

jijijiijjijijiijijij

vucvu

vuvuvuccccccf

k

k

S-a arătat că (4.6-1) formează un sistem nedeterminat de 1 nm ecuaţii

cu nm necunoscute. Deci, în funcţie de o variabilă aleasă arbitrar se pot determina cele 1 nm variabile rămase. Dar, aşa cum rezultă din (4.6-3),

)( ji vu este constantă deoarece ijf este constantă

cicluijij cf (4.6-4)

Deci, )( ji vu nu depinde de valoarea arbitrară pe care o primeşte una am cele

nm variabile. De aceea, de obicei se ia 01 u . Pentru rezolvarea problemei de transport prin metoda distributivă modi-

ficată se rezolvă sistemul (4.6-1) luând 01 u şi apoi se calculează ijf după

formula (4.6-2). Exemplu. Se calculează 31f , pentru problema din tabelul 4.5-2. Notând

variabilele ca în tabelul 4.6-1*, sistemul de ecuaţii (4.6-1) corespunzător problemei este:


95

;16511 vu ;8421 vu ;6322 vu

;9332 vu ;6833 vu ;6043 vu

;14544 vu .15554 vu (4.6-5)

Tabelul 4.6-1 1v 2v 3v 4v 5v

1u

2u

3u

4u

. * În căsuţa corespunzătoare variabilei ijx ,în stânga-sus sunt trecute valorile ijc ,iar în dreapta jos

valoarea variabilei ij .

Luând 01 u obţinem soluţia ;1651 v ;842 v ;212 u ;1143 v ;463 u

;1064 v ;394 u ;1165 v (4.6-6)

Deci .16)16546(135)( 133131 vucf (4.6-7)

165 15

84 25

108

103 68

166 63 5

93 23

84

63

133 78 68 2

60 22

103

60 155 135 145 21

155 18


96

4.7.CAZUL DEGENERĂRII PROBLEMEI DE TRANSPORT

Reamintim că în cazul problemei de programare liniara s-a înţeles prin soluţie de bază nedegenerată soluţia care conţine un număr de variabile diferite de zero egal cu numărul ecuaţiilor. Atunci când numărul variabilelor diferit de zero este mai mic decât numărul ecuaţiilor, soluţia de bază se numeşte degenerată.

La problema de transport o soluţie de bază degenerată conţine, mai puţin de 1 nm variabile diferite de zero.

Cu ocazia determinării soluţiei de bază iniţială prin metoda colţului de nord-vest degenerarea apare dacă suma disponibilului la primele câteva surse este egală cu suma cantităţilor cerute de primii câţiva consumatori.

Notăm cu 21, mm cele două grupe de surse şi cu 21 , nn cele două grupe de

consumatori. După ce s-au atribuit cantităţile disponibile la primele 1m surse,

primilor 1n consumatori, bilanţul s-a închis şi 111 nm variabile au valori diferite de zero. Reluând procesul de distribuţie obţinem la încheierea celui de al doilea bilanţ şi deci a problemei de transport 122 nm variabile cu valori diferite de zero. Soluţia iniţială a problemei de transport are:

)1( 11 nm ()1( 22 nm 22)() 2121 nmnnmm (4.7-1)

variabile diferite de zero şi este deci, o soluţie de bază degenerată. Exemplul pentru un asemenea caz este prezentul în tabelul 4.7-1. Metoda de

depăşire a degenerării constă în adăugarea unei cantităţi infinit mici pozitive, ultimului consumator sau ultimei surse dintre primele 1n sau 1m .

Tabelul 4.7-1 1 2 3 4 5 1 250 2 750 3 500 4 200 MW 200 300 500 400 300

200

50

250

500

400 100

200


97

Tabelul 4.7-2 1 2 3 4 5 1 250 2 750 3 500 4 200 200 300 500 400 300

şi aceeaşi cantitate, E, ultimei surse sau ultimului consumator din tabel [4]. În cazul acesta, soluţia de bază iniţială este cea din tabelul 4.7-2, Soluţia de bază este acum nedegenerată, în bază intrând şi variabila (2, 4).

200

50

250

500

400

100

200


98

4.8.SITUAŢIA CÂND DISPONIBILUL DEPĂŞEŞTE NECESARUL

Determinarea configuraţiei optime a unei reţele este o problemă în care, de obicei, puterea disponibilă la surse este mai mare decât puterea cerută de consumatori. Pentru a aduce această problemă la tipul unei probleme Tabelul 4.8-1 1 2 3 4 5 1 210 230 2 3 160 4 200

150 120 180 50 120 620 MW 800 MW

de transport, pentru care avem condiţia ca disponibilul să fie egal cu necesarul, se introduce un consum fictiv. Pentru a nu influenţa funcţia obiectiv, costurile specifice de transport corespunzătoare acestui consumator sunt nule. În problema de determinare a configuraţiei optime aceasta corespunde la distanţe nule între consumatorul fictiv şi centrale. Consumatorul fictiv înglobează deci, cantităţile de putere activă nedistribuite de centrale.

11x

12x

13x

14x

15x

21x

22x

23x

24x

25x

31x

32x

33x

34x

35x

41x

42x

43x

44x

45x


99

Tabelul 4.8-2 1 2 3 4 5 6 1 210 MW 2 230 3 160 4 200 150 120 180 50 120 180

Fie astfel, de exemplu, problema din tabelul 4.8-1 care se referă la o reţea eu patru surse şi cinci centre de consum. Problema de transport corespunzătoare împreună cu soluţia de bază iniţială este prezentată în tabelul 4.8-2. Problema de transport, corespunzătoare determinării configuraţiei optime a reţelei] din tabelul 4.8-1, este o problemă cu patru surse şi şase consumatori, consumatorul fictiv necesitând 800-620-180MW.

4.9. EXEMPLU [5]

Se cere stabilirea configuraţiei optime a reţelei de alimentare a opt consumatori de la trei centrale, amplasamentul lor fiind reprezentat în figura 4.9-1. Tabelul problemei de transport corespunzătoare, având trecute în căsuţe valorile distanţei centrală-consumator, este tabelul 4.9-1. Pierderile de putere la transport sunt incluse in puterile consumatorilor. Puterea cerută este egală cu puterea disponibilă.

Soluţia optimă, care corespunde minimului sumei momentelor puterilor este prezentată în tabelul 4.9-2. Această soluţie se atinge după un număr de şase iteraţii în care scăderea sumei momentelor sarcinilor are loc ca în figura 4.9-2 şi tabelul4.9-3.

150

60

60

170

10

50

100

20

180


100

Tabelul 4.9-1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Co7 Co8 Ce1 110 Ce2 100 Ce3 145 MW MW 50 100 40 50 30 30 25 30

Se constată că între soluţia iniţială şi cea finală, diferenţa este de circa 13%,

ceea ce corespunde constatării generale că economia obţinută prin calculele de optimizare este de circa 10%.

35

40

60

80

45

50

45

35

180

150

140

160

190

230

250

220

200

170

130

120

170

220

240

230


101

Tabelul 4.9-2

Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Co7 Co8 Ce1 110 Ce2 100 Ce3 145 MW MW 50 100 40 50 30 30 25 30

25 30 25 30

25 75

25 40 50 30


102

Se constată de asemenea, că variante apropiate de cea optimă - iteraţia a 5-a - diferă foarte puţin de aceasta, putând fi discutate la luarea deciziei, când se ţine seama şi de factori nemenţionaţi în model.

Graful reţelei radiale corespunzătoare soluţiei optime este redat în figura 4.9-3 (linie întreruptă).

Se constată vecinătatea traseelor Ce2- Co1 şi Ce2 - Co2, a traseelor Ce3—Co3 şi Ce3-Co2, şi a traseelor Ce3— Co4 şi Ce3-Co5. Prin unificarea acestor trasee se obţine configuraţia optimă a reţelei cercetate reprezentată cu linie plină în figura 4.9-3. Tabelul 4.9-3

Iteraţia

1

2

3

4

5

6

ijij lP

47150

44650

43700

41325

40975

40850


103


4.1. Se consideră trei centrale electrice 21 , SS şi 3S care alimentează cinci

consumatori 4321 ,,, CCCC şi 5C . Puterile disponibile ale centralelor )( dP în MW.

puterile cerute ale consumatorilor )( cP în MW, precum şi distanţele de la centrale

la consumatori în km sunt date în tabelul A 4.1-1. Tabelul A. 4.1-1 1C 2C 3C 4C 5C

1S

2S

3S

Să se determine soluţia optimă de alimentare a consumatorilor de către cele trei centrale în condiţiile minimizării costului transportului energiei electrice de la centrale la consumatorii ţinând seama de ipotezele făcute în paragraful 4.1. Se cere rezolvarea problemei prin metoda pantei maxime (metoda distributivă sau metoda Stepping – Stone).

4.2. Să se rezolve aplicaţia 4.1 prin metoda variaţiei maxime. 4.3. Să se rezolve aplicaţia 4.1 prin metoda distributivă modificată. 4.4. Se consideră patru centrale electrice 4321 ,,, SSSS care alimentează

patru consumatori 4321 ,,, CCCC . Puterile disponibile ale centralelor )( dP în MW,

puterile cerute ale consumatorilor )( cP în MW precum şi distanţele de la centrale la

consumatori în kilometri sunt date în tabelul de mai jos:

cP

dP

150

200

200

350

150

400

50

100

25

45

50

250

10

50

40

150

30

400

5

100

35

50

20


104

Tabelul A 4.4-1

cP

dP

300

400

100

500

200

20

80

70

80

500

30

50

90

100

200

80

100

100

40

400

30

90

110

30

Să se determine soluţia optimă de alimentare a consumatorilor de la cele

trei centrale, în condiţiile minimizării costului transportului energiei electrice de la centrale la consumatori. Se va alege soluţia de bază iniţială prin metoda colţului de nord-vest. 4.5. Se consideră trei centrale electrice 321 ,, SSS care alimentează patru

consumatori 4321 ,,, CCCC . Puterile disponibile ale centralelor )( dP în MW,

Tabelul A. 4.5-1

cP

dP

300

200

100

500

400

49

42

56

63

200

63

49

42

35

500

42

77

70

42


105

puterile cerule ale consumatorilor )( cP în MW precum şi distanţele de la centrale

la consumatori în kilometri sunt dale în tabelul A 4.5-1. Să se determine soluţia optimă de alimentare a consumatorilor de către cele

trei centrale în scopul minimizării costului transportului energiei electrice de la centrale la consumatori.

4.6. Se consideră pentru centrale electrice 4321 ,,, SSSS având puterile

disponibile .400,400,1000,200 4321 MWPMWPMWPMWP dddd Aceste

centrale alimentează patru consumatori ale căror puteri cerute sunt .500,500,700,300 4321 MWPMWPMWPMWP cccc Coordonatele poziţiei

centralelor şi consumatorilor pe hartă faţă de un sistem de axe rectangulare xOy cu

originea în 1S şi cu axa Oy trecând prin punctul în care este situată centrala 4S sunt date în tabelul A. 4.6-1. Tabelul A. 4.6-1

a) să se deseneze harta cu poziţia centralelor şi consumatorilor şi să se determine distanţele de la centrale la consumatori; b să se determine graful radial optim al reţelei de alimentare, în condiţiile minimizării costului transportului energiei electrice de la centrale la consumatori.

Centrala sau consumatorul

1S

2S

3S

4S

1C

2C

3C

4C

x km

0

70

80

0

10

50

100

20

y km

0

25

60

50

20

10

-10

80


106

BIBLIOGRAFIE LA CAPITOLUL 4 1. Altă r, M. Measnicov, I„ Rădulescu, M., Râdulescu, D. Th ., Aplicaţii ale metodelor matematice în probleme de repartiţie. Editura ştiinţifică, Bucureşti,1964. 2. Kaulmann, A., Metode şi modele ale cercetării operaţionale (Matematica întreprinderilor). Vol. I, Editura ştiinţifică. Bucureşti,1967. 3. * * * Operationsforschung in der Sozialistischen W'irtechaft [.] Mit bewahrten Medellen aus der Prakis. Dietz Verlag, Berlin, 1969. 4. Gass S. I, Linear Programming [.] Methods and Applications (traducere în lb. rusă). McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto l.ondon, 1958. 5. Voronţov, F. K, K voprosu primeneniia metodov lineinovo programmirovaniia v ucebnîh proektah elcktriceskih sistem. Izv. vuzov SSSR - Energhetika, nr.12,1963.


107

CAPITOLUL 5

OPTIMIZAREA CONSTRUCŢIEI Şl MONTAJULUI ECHIPAMENTULUI ENERGETIC

5.1. CONSTRUCŢIA UNEI LINII ELECTRICE AERIENE (LEA)

Se pune problema construcţiei unei LEA de 400 kV având doi conductori pe fază şi doi conductori de protecţie astfel ca durata de efectuare a lucrărilor sa fie minimă.

Se cunosc operaţiile în care constă construcţia liniei, durata operaţiilor, succesiunea şi condiţionarea lor. Se spune că operaţia B este condiţionată de operaţia A , atunci când operaţia B nu poate începe înainte ca operaţia A să se fi terminat. Aceste date pentru linia amintită sunt prezentate în tabelul 5.1-1 (pentru un stâlp) [1]. Tabelul 5.1-1

Denumirea operaţiei Simbol Durata [zile]

Operaţii condiţionate

direct Săparea gropilor SG 0,75 MF

Transportul materialului pntru fundaţii

TF 0,40 MF

Montarea fundaţiei MF 0,50 RS, MP

Transportul la pichet al stîlpului

TS 1,00 AS

Asamblarea stîlpului AS 0,66 RS

Ridicarea stîlpului RS 0,66 IC, VS

Întinderea conductorului IC 1,00 MD

Montarea distanţierilor MD 1,00 -

Montarea prizei de pamînt MP 0,50 -

Vopsitul stîlpului VS 1,00 -


108

Metoda clasică de întocmire a programului de execuţie a unei lucrări este

metoda graficului calendaristic obişnuit - metoda Gantt. Exemplu de astfel de grafic într-o lucrare de construcţii: modernizarea a patru kilometri de şosea incluzând construcţia unui podeţ la kilometrul 3 [2]. Operaţiile sunt: reprofilarea patului - R (durata: 12,5 zile/km), turnarea pavajului din beton - B (durata: 25 zile/km) şi construcţia podeţului — P (durata: 50 zile). Betonarea nu se poate executa decât după reprofilarea primilor 2 km, iar podeţul trebuie să fie gata înainte de încheierea betonării pe primii 3 km. Graficul Gantt corespunzător este reprezentat în figura 5.1-1. Dezavantajul unui astfel de grafic constă în aceea, că, nu evidenţiază condiţionările tehnologice, nu explică coincidenţele temporale şi nu indică clar posibilitatea decalării diferitelor operaţii.

Aceste dezavantaje se elimină prin înlocuirea graficului Gantt printr-un grafic în formă de reţea (fig. 5.1-2 pentru exemplul de mai sus) în care operaţiile sunt reprezentate prin linii pline, începutul şi sfârşitul lor prin cercuri iar legăturile tehnologice prin linii întrerupte. Un pas mai departe îl reprezintă suprimarea liniilor întrerupte, înlocuirea segmentelor ce simbolizează operaţiile prin linii frânte, sau arce, şi renunţarea la convenţia ca lungimea liniei să fie proporţională cu durata operaţiei. Se obţine astfel desenul din figura 5.1-3, adică un graf de program. În mod analog, graful de program al construcţiei LEA este prezentat în figura 5.1-4. Pentru simplificarea problemei, graful din figura 5.1-1 se referă la construcţia unui stâlp al unei LEA .În realitate, graful de construcţie al unei LEA este mai complex.


109

deoarece o anumită operaţie terminală la un stâlp poate fi începută la un stâlp vecin, exist în d astfel condiţionări între operaţii de acelaşi tip la doi stâlpi sau două tronsoane învecinate. Graful de construcţie al unei LEA rezultă ca o înlănţuire de grafuri asemănătoare celui din figura 5.1-4 |3].


110

5.2.PREZENTAREA PROGRAMULUI IN VEDEREA TRATĂRII PRIN TEORIA GRAFELOR

Noţiunile utilizate sunt: operaţie, durata operaţiei, operaţie critică şi necritică,

operaţie fictivă, fază, program. În continuare se definesc aceste noţiuni. Operaţie: proces care poate fi tehnologic sau de altă natură, simplu sau

complex. Operaţia se reprezintă prin segment (drept, frânt, curb), orientat, marcat cu linie

plină. Mărimea segmentului nu arc legătură cu durata şi importanţa operaţiei (fig. 5.2-1).

Operaţia se desfăşoară în sensul arătat de săgeata. Durata de realizare nu este legată pe graf de o data calendaristică.

Operaţia se codifică cu un număr sau o literă marcat deasupra .segmentului reprezentativ.

Durata operaţiei (timp operator»: se exprimă în ore, zile, săptămâni. Se notează prin numere sub segmentul operaţiei. Stabilirea durai ei determină eficienţa metodei de determinare a duratei minime de efectuare a lucrărilor.

Operaţii critice, operaţii necritice: operaţii pentru efectuarea cărora avem Ia dispoziţie un interval de timp egal cu durata operaţiei (operaţii critice) sau mai mare decât aceasta (operaţii necritice).

Operaţii fictive: operaţiile fictive sunt operaţii de durată zero, care arată legăturile tehnologice dintre operaţii.

Fază (eveniment, împrejurare, nod): evenimentul începerii sau terminării uncia sau mai multor operaţii.

Se reprezintă pe graf printr-un cerc. O operaţie se găseşte cuprinsă între două faze. În faza iniţială nu converg

operaţii, iar din faza finală nu pleacă operaţii. Fazei corespunzătoare începutului unei operaţii i se atribuie un număr de

ordine inferior celei corespunzătoare terminării operaţiei (fig. 5.2-1). Program: o mulţime de operaţii care conduc la realizarea unui obiectiv

cunoscându-se pentru fiecare dintre operaţii durata sa şi relaţiile de ordine privitoare la aceasta.


111

5.3.ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR [1], [4]

Teoria grafelor s-a format ca ramură a matematicilor prin lucrările lui D. Konig (1936) şi Claude Berge (1958).

Graf. Fie mulţimea },........,{ 21 nXXXX (5.3-1)

Dacă fiecărui element din mulţimea X îi corespund zero, unul sau mai

multe elemente din X , se formează în sensul teoriei mulţimilor un graf. Vârf: un element al unei mulţimi care formează un graf. Arc: o pereche orientală de două vârfuri. Graful este deci, definit prin două elemente:

a) mulţimea X a vârfurilor; b) mulţimea U a arcelor (aplicaţii ale mulţimii X în ea însăşi) numită şi legea de corespondenţă a grafului.

Pentru graful din figura 5.3-1 avem:

},,,{ 4321 XXXXX (5.3-2)

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,( 44434241323121 XXXXXXXXXXXXXXU (5.3-3)


112

Reprezentarea grafului poale fi făcută sagital (ca în figura 5.3-1) sau matricial fiecare element al matricei are valoarea unu sau zero după cum există sau nu arcul unind vârful corespunzător liniei şi coloanei.

Drum: succesiunea de arce adiacente care permit trecerea de la un vârf la altul parcurgând arcele în sensul săgeţii.

Circuit: drum la care vârful iniţial coincide cu cel final. Lungimea unui drum este dată de numărul arcelor clin care este alcătuit. Buclă: circuit de lungime unu.

5.4. REPREZENTAREA UNUI PROGRAM PRIN GRAF

Programul de execuţie al unei lucrări se poate reprezenta prin graf de program sau graf de ordonanţare. Caracteristic acestui tip de graf este faptul că nu prezintă circuite sau bucle. Această caracteristică este o consecinţă a faptului real că la o operaţie faza iniţială şi cea finală nu pot coincide.

În figura 5.1-1 este reprezentat un astfel de graf de program. Fiecare arc reprezintă o operaţie şi fiecare vârf o fază. Numărul operaţiei este notat deasupra arcului iar durata, în paranteză, sub arc. Operaţiile şi fazele sunt numerotate în ordine crescătoare: operaţia sau faza următoare are un număr mai mare ca cele precedente.

Operaţiile paralele (care încep şi se termină cu aceeaşi fază) se pot reprezenta şi cu ajutorul unei operaţii virtuale (fictive) (fig. 5.1-2).


113

În graful din figura 5.1-3 operaţiile c şi d sunt condiţionate de operaţiile a

şi b . Pentru a reprezenta însă un program în care operaţia c este condiţionata de operaţiile a şi b iar operaţia d este condiţionată numai de operaţia b , se foloseşte graful din figura 5.4-4 în care s-a introdus o operaţie fictivă. Un astfel de caz a apărut pentru problema iniţială (fig. 5.1-4). Într-adevăr, montarea prizei - MP - este o operaţie condiţională numai de montarea fundaţiei - MP - în timp ce ridicatul stâlpului - RS - este condiţional atât de montarea fundaţiei cit şi de asamblarea stâlpului.

5.5. DURATA REALIZĂRII ANSAMBLULUI DE LUCRĂRI. DRUM CRITIC

Momentul unei faze - t - este momentul în care toate operaţiile care converg

spre acea fază sunt efectuate. El coincide cu momentul când operaţiile care pornesc din fază pot începe.

Momentul avansai al unei faze - 0t - este momentul fazei respective cel mai apropiat de momentul începerii programului. Fie faza jE . Operaţiile care converg

în faza jE - care se încheie cu faza jE - încep din fazele iE , unde conform

convenţiei avem ji (fig. 5.5-1). Durata operaţiei iE , jE este ijd . Operaţiile care

pleacă din faza j pot începe cel mai devreme în momentul. )( 00 max iji

ij dtt (5.5-1)


114

Momentul întârziat al unei faze - 1t - este momentul fazei respective cel mai

apropiat de momentul sfârşitului programului, durata programului fiind egală cu durata minimă. Pentru determinarea acestui moment serveşte

figura 5.5-2 în care notaţiile au semnificaţia de mai sus: operaţiile care converg în faza iE nu trebuie să se termine mai târziu ca:

)( 11 max iji

ij dtt (5.5-2)

În funcţie de momentele avansate sau intimate ale fazelor se determină momentele avansate şi întârziate, de începere si terminare ale operaţiei. Momentul avansat de începere, respectiv momentul întârziat de terminare al operaţiei coincide


115

cu momentul avansat al fazei din care pleacă operaţia, respectiv cu momentul întârziat al fazei în care se termină operaţia:

,, 110

jt

ijioiij tttt (5.5-3)

unde:

iijt 0 este momentul avansat de începere al operaţiei )(ij ;

tijt1 momentul intimat de terminare al operaţiei )(ij .

Notând ijd durata operaţiei )(ij rezultă că momentul avansat de terminare

al operaţiei este:

,0ij

iij

oiij dtt (5.5-4)

iar momentul întârziat de începere este: ,11

ijt

iji

ij dtt (5.5-5)

Interval de fluctuaţie pentru faza iti este intervalul 0

it , 1it în care se

poate deplasa evenimentul iE fără a modifica timpul total de execuţie al

ansamblului de lucrări (fig. 5.5-3). Noţiunile expuse mai sus sunt reprezentate în figura 5.5-4.

Evenimentul fără interval de fluctuaţie 0it poartă numele de

eveniment critic. Intervalului de fluctuaţie pentru evenimente îi corespund marjele

(marginile) pentru operaţii. Prin margine liberă a operaţiei )(ij se înţelege întârzierea la începerea

acestei operaţii, astfel ca să nu se perturbe data de realizare a evenimentului jE .

Avem deci, ijijl dttM 00 (5.5-6)

Se folosesc de asemenea, prin definire, noţiunile de margine totală, ijijt dttM 01 (5.5-7)


116

şi margine sigură (independentă): ijiji dttM 00 (5.5-8)

Marginile sunt ilustrate în figura 5.5-5. Se observă că dacă operaţia se găseşte între două evenimente critice, mar-

ginile totală, liberă şi sigură sunt egale. Dacă în acest caz marginea operaţiei este nulă, operaţia se numeşte operaţie critică.

Drumul de la începutul până la sfârşitul grafului corespunzător unui program, format numai din operaţii critice, se numeşte drum critic. Drumul critic este drumul căruia îi corespunde durata maximă în comparaţie cu toate celelalte drumuri din graf. Astfel, pentru graful din figura 5.5-6 drumurile dintre fazele 0-4 şi duratele lor sunt: Drumul: HC GC HEB GEB HEDA

Durata: 11 13 9 11 14

GEDA HFA GFA 16 13 15

Drumul cu durata cea mai mare este GEDA . Evenimentele 3,2,1

sunt evenimente critice iar operaţiile GEDA ,,, nu au marjă, deci sunt operaţii critice. Drumul critic este deci GEDA (linia întreruptă).

Realizând un program de lucrări dorim ca acesta să dureze cât mai puţin. Din cele de mai sus rezultă că, durata minimă a unui ansamblu de lucrări este durata corespunzătoare drumului critic, în consecinţă, determinarea duratei minime a unui program constă în stabilirea drumului critic şi a duratei aferente.


117

5.6. METODA DRUMULUI CRITIC

Metoda de determinare a duratei minime a unui program, durată care aşa cum s-a văzut corespund»; drumului critic, poartă denumirea de metoda drumului critic. Denumirea originala este Critical Path Method, prescurtat .CPM . Ea a fost aplicată în 1950 de două echipe de ingineri de la Du Pont şi Remington Road. Pentru metode apropiate s-au dat denumirile: Critical Path Analysis ),(CPA , Program Evaluation and Review Technique ),(PERT t Least Cost Estimating and Scheduling System )(.LESS . Resource Allocation Multi Project Scheduling

),(RAMPS , în practica din S.U.A. sau în Franţa: Optimisation de Planning Industriei (OPI asemenea cu LESS ), Optimisation de Planning Aleatoire (OPA asemenea cu PERT ), Ordonnancement des Travaux Critiques ).(OTC

Metoda drumului critic coristă în determinarea duratei totale a unui pro-gram (duratei minime), stabilirea drumului critic, stabilirea momentelor de începere şi de terminare a operaţiilor, determinarea intervalelor de fluctuaţie şi a marjelor de timp.

Prin stabilirea drumului critic şi a operaţiilor critice, metoda permite să se acorde o atenţie deosebită operaţiilor, pentru care nerespectarea duratei prevăzute, antrenează nerespectarea termenului final.

Durata corespunzătoare drumului critic, adică durata minimă a programului, depinde de duratele operaţiilor. Aceste durate depind la rândul lor de numărul de persoane care participă la efectuarea operaţiei şi de utilajele de care se dispune. Deci, fiecărei durate ii corespunde un anumit cost. Studiind diferitele variante de realizare a unui program, metoda drumului critic permite stabilirea costului programului, determinarea costului programului pentru o anumită durată impusă acestuia sau determinarea duratei programului astfel, încât să nu fie depăşit un anumit buget.

Aplicarea metodei drumului critic se poate face direct pe schema ce re-prezintă graful programului. Etapele de calcul sunt:

a) se calculează momentele avansate ale fazelor cu relaţia:

njdtt ijii

j ,......,3,2),( 11 max (5.6-1)

unde n este numărul de faze al programului, nE fiind faza finală şi 1E , faza

iniţială. Luând ca origine a timpului momentul începerii lucrărilor avem: ;00

1 t


118

b) se calculează momentele întârziate ale fazelor cu relaţia:

1,.......,3,2),( 11 max nidtt ijii

j (5.6-2)

Deoarece se doreşte ca durata lucrărilor să fie minimă, luăm momentul întârziat al ultimei faze simultan cu momentul avansat al ei, deci:

;01

nn tt (5.6-3)

c) se determină drumul critic. Drumul critic este format din operaţii

cuprinse intre faze critice, deci între faze la care momentul avansat şi cel întârziat coincid.

Exemplificăm cu ajutorul programului din figura 5.6-1 duratele fiind date în zile.

Calculul momentelor avansate ale fazelor: ;001 t

;15)014,78max(;1468;880 0

403

02 ttt

;301515;18414;1358 07

06

05 ttt

;30)030,713max(;34)318,430max( 09

08 tt

.5612448;44)534,638max(;38830 012

011

010 ttt


119

Valoarea momentului avansat se trece în căsuţa stângă din dreptul fazei respective.

Calculul momentelor intimate ale fazelor:

;30838;38644;441256;56 1

9110

011

012

112 ttttt

;36339;30)439,030min(;39544 16

17

18 ttt

;15)0145,436min(;151530;23730 13

14

15 ttt

.8)615,715,523min(12 t

Fazele critice sunt 12,11,10,9,7,4,2,1 . Drumul critic este format din

operaţiile critice PMLKGCA . Durata minimă a programului este deci de 56 de zile.

Dintre metodele menţionate la începutul paragrafului, metoda ,PERT se deosebeşte de metoda drumului critic, prin faptul că ţine seama de caracterul aleatoriu al duratei unei operaţii. Presupunând o repartiţie a duratelor operaţiei şi cunoscând durata minimă A , maximă B şi cea mai probabilă M se calculează valoarea medie şi dispersia duratei unei operaţii(fig. 5.0-2):

)4(6

1BMAd

(5.6-4)

22 )](6

1[ AB (5.6-5)

Cu aceste date se calculează valoarea medie şi dispersia duratei de realizare a unui program. În continuare se prezintă deducerea relaţiilor (5.6-4) şi (5.6-5). Repartiţia standard are densitatea de probabilitate [5].

)0,0(),10(,)1()()(

)(

)1,0(,0

)( 11

xxx

xx

x (5.6-6)


120

unde este funcţia lui Euler de speţa a-II-a.

Valoarea medie a repartiţiei este:

MX (5.6-7)

dispersia este dată de expresia,

)1()( 2

DX (5.6-8)

iar moda

)1,(,2

1

MoX (5.6-9)

Forma nestandardizată a repartiţiei este:

)(;)(

)()(

)()(

)(

),(,0

)(2

11

BtAAB

tBAt

BxAt

t

(5.6-10)

Făcând înlocuirea:

)()( xfxABAt (5.6-11)

obţinem:

)(1

)( xAB

t

(5.6-12)

şi deoarece dxABdt )( avem )()( xFtF unde F este funcţia de repartiţie. Folosind proprietăţile: ),(MXfMT (5.6-13)

,)]([ 2' DXMXfDT (5.6-14) )(MoXfMoT - evidentă în acest caz - (5.6-15) avem:

,)(

ABAMT (5.6-16)


121

,)()1()(

2

2ABDT

(5.6-17)

2

)1()1(

2

1)(

BA

ABAMoT (5.6-18)

Luând, pentru metoda ,PERT 23,23 (5.6-19) obţinem:

4

)22()22(

BAMMoT (5.6-20)

6

4

6

)23()23( BMABAdMT

(5.6-21)

22 )](6

1[ ABDT (5.6-22)


122

5.7. DURATA MINIMĂ A CONSTRUCŢIEI LEA

Pentru construcţia LEA din paragraful 5.1, graful este prezentat în figura 5.7-1.

Drumul critic calculat direct pe schema, trece prin fazele 1-4-5-6-7-10. Durata minimă a lucrărilor este de 4,32 zile. Operaţiile critice sunt: transportul stâlpului, asamblarea stâlpului, ridicarea stâlpului, întinderea conductorului şi montarea distanţierelor.


5.1 La montarea unui cazan cu circulaţie forţată de 610 t/h, operaţia de montare a macaralei portal de tf30 pe platforma 1 condiţionează nemijlocit începerea operaţiilor specificate în tabelul A. 5.1-1. Momentele întârziate ale fazelor jE se consideră rezultate din programul general

de montare a cazanului. Operaţiile din tabel nu se condiţionează între ele. Se cere: a) să se construiască graful de reprezentare a acestor operaţii; b) să se determine momentul întârziat al fazei 4E .

Tabelul A. 5.1-1

Faza iniţială a operaţiei

Denumirea operaţiei

Simbolul operaţiei

Faza finală,

jE , a

operaţiei

Duarata

operaţiei,

jd 4

[zile]

Momentul întîrziat

1jt al

fazei jE

[zile] Preîncălzitor aer

(identificare)

PA

5E

20

112

Preîncălzitor secţie pornire (identificare)

PP

6E 6

137

Verificări rame preîncălzitori

VR

7E

12

137

Asamblări conducte AC

8E

45

168

4E

Asamblări economizor AE

9E

15

225


123

5.2. La montarea unui cazan cu circulaţie forţată de 640 t/h, operaţia UV

efectuare a probelor hidraulice este condiţională nemijlocit de operaţiile specificate în tabelul A. 5.2-1:

Tabelul A. 5.2-1

Momentele avansate ale fazelor iE se consideră rezultate din programul

general de montare a cazanului. Operaţiile din tabel nu se condiţionează între ele. Se cere:

a) să se construiască graful de reprezentare a acestor operaţii; b) să se determine momentul avansat al fazei .20E

5.3. În tabelul A. 5.3-1 este dată lista operaţiilor şi condiţionarea operaţiilor

din cadrul programului de construire a instalaţiei de aer comprimat ce deserveşte întreruptoarele unei staţii de transformare de 110/6/15 kV .

Faza

iniţială,

iE ,a

operaţiei


Simbolul operaţiei

Faza finală, a operaţiei

Duarata

operaţiei,

ijd

[zile]

Momentul avansat

0it , al

fazei iE

[zile]

16E Montaj scări şi platforme MS 60

191

17E Montaj conducte MC 92

198

18E Montaj economizor ME 35

198

19E Transport echipament auxiliar

TE

20E

35

25


124

Tabelul A. 5.3-1

Cantitatea b

Durata

pentru o bucată

t

Numărul de oameni pentru

operaţie m


Simbolul operaţiei

[buc.] [ore/buc.] -

Simbolul operaţiei

condiţionate direct

Montarea compresoarelor

A 2 12 6 D, E, F

Montarea rezervoarelor tampon

B 4 10 5 D, E, F

Montarea reductoarelor de presiune

C 2 4 2 D, E, F

Montarea supapelor de siguranţă

D 6 0,6 1 I

Montarea manometrelor

E 6 2 1 I

Montat şi vopsit conducte intermediare

F 110 0,6 3 I

Montarea coductelor de aer comprimat din staţia de 6 – 15 kV

G

95

1,6

3

K

Montarea coductelor de aer comprimat din staţia de 110 kV

H

300

1,6

10

J

Încercarea compresoarelor

I 2 22 2 J, K

Încercarea conductelor din staţia de 110 kV

J 300 0,4 3 L

Încercarea conductelor din staţia de 6-15 kV

K 95 0,4 3 M

Vopsirea conductelor di staţia de 110 kV

L 300 0,16 1 -

Vosirea conductelor din staţia de 6-15 kV

M 105 0,16 1 -

Se cere: a) să se calculeze durata fiecărei operaţii în zile, durata operaţiei notată

simbolic X va fi notată cu xd iar valoarea rezultată pentru xd din calcule va fi

rotunjită după cum urmează:


125

1

5,0

x

xx d

dd pentru

.15,0

;5,0

xxx

xxx

ddd

ddd

[ xd ] reprezintă partea întreagă a numărului xd (de exemplu: [3,26]=3);

b) să se stabilească prin metoda drumului critic programul optim de con-struire a instalaţiei de aer comprimat.

5.4. Programul de execuţie al unei staţii de 6-15 kV cu celule prefabricate de interior este dat în tabelul A. 5.4-1. Staţia cuprinde 22 de celule de 6 kV cu bare duble şi 7 celule de 15 kV cu bare simple.

Tabelul A. 5.4-1

Denumirea operaţiei Simbolul operaţiei

Durata operaţiei

[zile]

Simbolul operaţiei condiţionate direct

Montarea celulelor prefabricate A 23 B, D, F, G, I, M Montarea şi încercarea conductelor de

aer comprimat B 14 C, K, L, N

Vopsirea conductelor din staţie C 2 - Montarea şi execuţia legăturilor la

aparatele de măsură, control şi relee D 15 E, K, L, N

Încercări, aparate de măsură şi relee E 36 - Montare izolatori de trecere şi bare

colectoare F 34 H

Montat întreruptoare 2500 A G 4 H Execuţie capete terminale circuite

secundare şi legare la cleme H 21 K, N, L

Montat izoltori support şi bare de întoarcere 6 kV

I 13 J

Vopsit construcţii metalice şi bare colectoare

J 7 K, N, L

Încercări celule de 6 kV K 69 - Încercări cabluri circuite secundare L 2 0

Execuţia, repararea şi încercarea instalaţiei de legare la pamînt

M 7 -

Încercarea apratelor şi releelor din camera de comandă

N 52 0

Încercarea panourilor din camera de comandă

O 30 -

Se cere: a) să se reprezinte printr-un graf programul de execuţie şi să se determine

momentul avansat şi momentul întârziat pentru fazele programului;


126

b) să se determine pentru operaţiile programului momentul avansat şi cel întârziat de începere şi momentul avansat şi cel intimat de terminare;

c) să se calculeze pentru operaţiile programului, marjele de timp totală, liberă şi sigură;

d) să se determine drumul critic; e) să se transpună graful pe un grafic Gantt (grafic calendaristic). Pe

graficul Gantt se va trece durata operaţiilor, cu linie plină şi marja totală cu linie punctată. Graficul va conţine numai zile lucrătoare. Numerotarea zilelor se va face cu ajutorul şirului numerelor naturale până la numărul de zile care cuprinde întreg programul de execuţie.

5.5. Să se stabilească prin metoda drumului critic programul optim de con-strucţie a unei linii de 400 kV .

Traseul liniei este împărţit în trei tronsoane limitate fiecare la cele două capete prin câte un stâlp de întindere, ceea ce face posibilă executarea pe fiecare tronson a tuturor operaţiilor ce intervin la executarea liniei pe tronsonul respectiv. Operaţiile necesare pentru executarea unui tronson sunt date în tabelul A. 5.5-1:

Tabelul A. 5.5-1

Durata operaţiei [zile]


Simbolul operaţiei

1i

2i

3i

Simbolul operaţiei

condiţionate direct

Transportul fundaţiilor prefabricate de beton

iA 5 5 4 iD

Transportul stîlpilor metalici iB 8 8 10

iF

Transportul materialelor pentru beton

iC 2 4 9 iD

Săpătura pentru fundaţii iD 19 19 21

iC , iH

Asamblarea stîpilor iF 20 10 22

iI

Turnarea betoanelor fundaţiilor stîlpilor de întindere

iG 3 6 15 iI

Montarea fundaţiilor prefabricate pentru stîlpii de susţinere

iH 24 21 17 iI

Ridicarea stîlpilor iI 15 15 17

iJ , iK

Executarea punerii la pămînt iJ 6 6 6

iL

Turnarea căciulilor iK 14 14 15

iL

Transportul conductoarelor iL 2 2 2

iM

Montarea conductoarelor iM 18 18 17

iN

Vopsirea stîlpului iN 9 9 11 -


127

Duratele diferă de la tronson la tronson, deoarece lungimile tronsoanelor sunt diferite şi numărul de stâlpi diferă de la un tronson la altul. Echipa de lucru care efectuează o operaţie la un tronson se mută la tronsonul următor pentru a efectua aceeaşi operaţie.

Se cere: a) să se construiască graful pentru reprezentarea programului de construcţie

a liniei; b) să se determine programul optim prin metoda drumului critic.

BIBLIOGRAFIE IA CAPITOLUL 5

1. M ă c r i ş, A., Metoda drumului critic şi aplicaţiile sale la lucrările energetice. MEE ODPT, Bucureşti, 1967. 2. A u r i a n , J., B o l d u r. Gh., L a z ă r, S„ Cercetarea operaţională în construcţii. Editura ştiinţifică. Bucureşti, 1967. 3. V i c o l. P„ Cer n e s c u, C, L a z ă r e s c u, S., M o r ţ u n, C., Construcţia liniilor electrice. Editura tehnică, 1975. 4. K a u f m a n n, A., D e s b a z e i 11 e, G., Metoda drumului critic (traducere din lb. franceză). Editura tehnică. Bucureşti. 1971. 5. K o r n, G. A., K o r n, T. M., Mathemalical Handbook for Scientists and Engineers [.] Definitions, Theorems and Formulas for Referance and Review (traducere în lb. rusă). Mc Graw Hill Book Company, Inc., New York, Toronto, London, 1961.


128

CAPITOLUL 6

OPTIMIZAREA REPARTIŢIEI PRODUCTIVITĂŢII ÎNTRE INSTALAŢIILE SISTEMULUI ELECTROENERGETIC


Problema a fost pusă şi rezolvat într-o primă formă, de N.A. Saharov (1927) şi E.I. Ivanov (1930) [1]. Pentru a lua în considerare şi variaţia pierderilor de putere în reţele, E.E. George, (1913) stabileşte prima formula a pierderilor totale de putere ale unui sistem în funcţie de puterile active ale centralelor [2|.

Din punct de vedere tehnic sunt posibile o infinitate de regimuri ale unor instalaţii electroenergetice funcţionând în paralel. Din punct de vedere economie exista un regim căruia îi corespunde eficienţa maximă (calitatea cea mai bună a acţiunii).

Necesitatea determinării regimului optim din punct de vedere economic a apărut odată cu formarea sistemelor mari. Sistemele mari s-au format prin amplasarea centralelor electrice în apropierea surselor de energie şi prin transportul energiei electrice către centrele de consum pe distanţe relativ mari.

Regimul optim economic poale fi determinat la nivele diferite: sala cazanelor, sala maşinilor, centrala electrică şi sistem energetic. Pentru un sistem energetic efectul optimizării regimului de funcţionare este cu atât mai puternic - calitatea regimului optim diferă cu atât mai mult de calitatea celorlalte regimuri - cu cât sistemul este mai diversificat ca tipuri de centrale, condiţii de funcţionare ale centralelor, tipuri de combustibili.

Pentru întocmirea modelului matematic al procesului de producere a ener-giei electrice, în vederea determinării regimului optim, trebuie definite obiectivele şi funcţia economică.

Obiectivele procesului de producere a energiei electrice sunt: a) egalitatea dintre producţia şi consumul în unitatea de timp; b) respectarea condiţiilor tehnologice: nedepăşirea productivităţii dispo-

nibile, depăşirea productivităţii minime admisibile, raportul dintre diferiţi combustibili folosiţi simultan, nedepăşirea volumului de apă disponibil la hidrocentrale, respectarea normelor de revizii şi reparaţii capitale etc;

c) stabilitatea funcţionării în paralel; .

În cele ce urmează prin productivitatea unei instalaţiei înţelegem producţia acestei instalaţii

în unitatea de timp.


129

d) siguranţa alimentării consumato-rilor. Modelele matematice ale procesului de producere a energiei electrice diferă între ele după modul în care reflectă aceste obiective.

Funcţia economică măsoară calitatea acţiunii de producere a energiei electrice. Mărimea aleasă pentru a exprima calitatea acţiunii poate fi: cheltuieli totale în sistem, combustibil convenţional total consumat în sistem, consum total de energie pentru serviciile interne, pierderi de energie în reţelele sistemului. Primelor două mărimi le corespund indicii tehnico-economici de apreciere a funcţionării unui sistem: cheltuielile specifice de producere a energiei electrice - lei/kWh - şi consumul specific de combustibil convenţional - gr.c.c/kWh. Valorile realizate ale acestor indici pot fi pe deplin comentate doar în urma calculului de

optimizare. Intr-adevăr, în urma acestui calcul obţinem valoarea cheltuielilor specifice

minime sau a consumului specific minime de combustibil convenţional, valori care reprezintă limita naturală inferioară ce se poate realiza într-un sistem dat. Gradul de depăşire a acestor valori minim posibilei de către valorile realizate ale indicilor amintiţi, reprezintă o măsură a eficacităţii funcţionării.

Bilanţul funcţionării sistemului energetic într-un an se exprimă prin: PCSIPRcoc EEEEE (6.1-1)

unde:

CE este energia primară consumată;

COE - energia livrată consumatorilor;

PRE - energia pierdută în reţele;

SIE - energia consumată de serviciile interne ale instalaţiilor;

PCE - energia pierdută în centralele.

Pentru anul 1975, în R. S. România, bilanţul este reprezentat în figura 6.1-1 [3]. Se constată că valorile pierderilor în reţele şi a consumului serviciilor interne sunt mult mai mici decât valoarea pierderilor în centrale, într-o prima aproximaţie se poate deci considera ca variaţia consumului de energie primară, sau a


130

cheltuielilor, de la un regim la altul este determinat în principal de variaţia pierderilor din centrală, în consecinţă, se poate aprecia, într-o primă aproximaţie, că valorile pierderilor în reţele şi a consumului serviciilor interne sunt independente de regimul de funcţionare.

6.2. UNITĂŢI DE MĂSURĂ FOLOSITE IN INSTALAŢIILE TERMICE.

CARACTERISTICILE INSTALAŢIILOR

Prin putere calorifică inferioară se înţelege căldura degajată prin ardere de un kilogram de combustibil din care se scade căldura necesară vaporizării apei conţinută de combustibil sau formata în timpul arderii. Puterea calorifica inferioară serveşte la determinarea cantităţii de căldură codată prin ardere de un combustibil.

Prin combustibil convenţional (c.c.) se înţelege combustibilul având puterea calorifică inferioară de 7 000 kcal/kg. Prin ardere o tonă de combustibil convenţional (tcc) degajează o cantitate de căldură egală cu 7 Gcal. Din punctul de vedere al cantităţii de căldură, unitatea de combustibil convenţional (tcc) este deci echivalentă cu 7 Gcal.

Prin abur standardizat sau abur normal se înţelege aburul la temperatura de 100°C si presiunea 1 ata. Conţinutul de căldură (entalpia) aburului normal este de 010 kcal/kg. Din punctul de vedere al cantităţii de căldură, o tonă de abur normal este echivalentă cu 0,64 Gcal.

Cantitatea de căldură conţinută de o tonă de abur normal este egală aproximativ cu cantitatea de căldură cedată de tona de abur real independent de parametrii acestuia. Aceasta se datorează raptului că odată cu creşterea parametrilor aburului creşte entalpia sa, dar simultan creşte şi temperatura apoi Ia intrarea in cazan şi deci, entalpia apei la intrare. Cantitatea de căldură cedată de abur este dată de diferenţa celor două entalpii (a aburului viu şi a apei la intrarea în cazan):

,apaabur ii

iar aceasta diferenţa este aproximativ constantă şi egală cu 640 kcal/kg. Astfel, pentru parametrii aburului Ct o500 şi 120p ata, din diagrama IS , rezultă

800aburi kcal/kg. Entalpia apei la intrare, la temperatura de Co500 este de circa

150 kcal/kg. Cantitatea de căldură cedată de o tona de abur real este deci, de 0,650 Gcal sau 1,02 ori, cea corespunzătoare unei tone de abur normal. Considerând cantitatea de căldură conţinută de o tonă de abur normal egală numeric cu cantitatea de căldură cedată de o tonă de abur real, se face o eroare în minus de 2% în acest caz.


131

În tabelul 6.2-1 se prezintă coeficienţii de transformare pentru unităţile de energie şi căldură.

Tabelul 6.2-1

Pentru orice instalaţie — cazan, turbină, bloc, centrală - există relaţia:

(6.2-1) unde: este consumul de energie sau căldură al instalaţiei, în unitatea de timp; - pierderile de energie sau căldură în unitatea de timp; - producţia de energic sau căldură a instalaţiei în unitatea de timp (productivitatea instalaţiei) (fig. 6.2-1).

Cu aceste mărimi se determină următoarele caracteristici:

a) caracteristica de consum - )( - care exprimă variaţia consumului orar în funcţie de productivitate; b) caracteristica pierderilor - )( - care exprimă variaţia pierderilor în funcţie de productivitate; c) caracteristica creşterii relative a consumului, care reprezintă modul de variaţie al derivatei consumului în raport cu productivitatea, în funcţie de productivitate:

d

d

d

d 1)( (6.2-2)

Dacă se înmulţesc caracteristica de consum, respectiv caracteristica creşterii

relative a consumului, cu preţul combustibilului c , se obţin: caracteristica de cheltuieli )()( cC , respectiv caracteristica creşterii relative a cheltuielilor

d

dC)(

Coeficient de transformare în: Mărimea

Unitate Simbol de măsură

P Q convB normalD

Putere P MW 1,000 0,860 0,123 1,342

Sarcină termică Q hGcal / 1,161 1,000 0,143 1,561

Consum orar de combustibil convenţional

convB htcc / 8,140 7,000 1,000 10,920

Consum orar de abur normal

normalD ht / 0,744 0,640 0,915 1,000


132

Caracteristicile instalaţiilor se determină experimental. Măsurând şi se pot construi caracteristicile )( şi ţinând seama de (6.2-1), ).( Caracteristica creşterii relative se determină tot experimental, astfel:

1)( (6.2-3)

unde:

este intervalul între două valori ale productivităţii pentru care se fac măsurători ;1 ii

- creşterea pierderilor între cele două valuri ale productivităţii );()( 1 ii

- productivitatea corespunzătoare mijlocului intervalului cuprins între

productivităţile pentru care au fost făcute măsurătorile .2

1 ii

Determinarea caracteristicii creşterii relative se face experimental şi nu prin derivarea caracteristicii de consum, deoarece s-a constatat că determinarea prin derivare este imprecisă în acest caz [4].


133

Caracteristicile instalaţiilor pot fi determinate numai în domeniul

maxmin , AA , unde minA reprezintă limita inferioară iar maxA , limita superioară a

productivităţii instalaţiei. Intersecţia caracteristicii de consum cu axa ordonatelor corespunde consumului de mers în gol, 0 (fig. 6.2-2). Fiind în afara domeniului

de funcţionare al instalaţiei, valoarea consumului de mers în gol nu se determină direct, ci se aproximează prin extrapolarea caracteristicii determinată experimental între maxmin , AA

În cazul caracteristicii de consum liniare, creşterea relativă este constantă, între cele două mărimi existând relaţia:

0 (6.2-4)

Expresia pierderilor corespunzătoare acestui caz este: )1(0 (6.2-5)

6.3. REPARTIŢIA OPTIMĂ A PRODUCTIVITĂŢII ÎNTRE INSTALAŢIILE ELECTROENERGETICE

ÎN CAZUL CARACTERISTICILOR DE CONSUM LINIARE

Se fac următoarele ipoteze de calcul: a) regimul de funcţionare al instalaţiilor este constant (debit de abur

constant, sau puterea pe barele centralei constanta sau puterea ceruta de consumatori constantă);

b) structura instalaţiilor în funcţiune este constantă (nu intră şi nu ies din funcţiune noi instalaţii);

c) pierderile in reţea se consideră constante, independent de regimul de funcţionare al instalaţiilor.

Referitor la ipoteza a), dacă regimul este variabil, repartiţia optimă se determină considerând acest regim format dintr-o infinitate de regimuri constante. Experienţa nu a pus în evidenţă consumuri suplimentare datorate variaţiilor de regim [4]. Repartiţia productivităţii se pune pentru instalaţii funcţionând în paralel. Pentru instalaţiile până la nivel de centrală inclusiv, combustibilul sau purtătorii de energie folosit fiind de obicei acelaşi pentru toate instalaţiile funcţionând în paralel, rezultatul optimizării este acelaşi independent de faptul că funcţia economică este exprimată prin consum sau prin cheltuieli.

Fie n instalaţii funcţionând în paralel: nIi ,.....,2,1


134

O instalaţie are caracteristica de consum ,0 iiii (6.3-1)

iar productivitatea sa nu trebuie să iasă din intervalul

iiAA maxmin ,

iiAA i maxmin (6.3-2)

Cele n instalaţii trebuie să realizeze o productivitate dată . Modelul matematic corespunzător problemei este

i Ii Ii

iiiiMIN ;0 (6.3-3)

Ii

i ; (6.3-4)

iiAA i maxmin , Ii (6.3-5)

Modelul acesta este echivalent modelului de mai jos

Ii

iiMIN ' (6.3-6)

Ii Ii

i i;min (6.3-7)

,0 minmax iii Ii (6.3-8)

în care s-a notat

iii min . Funcţiile economice ale celor două modele

diferă printr-o constantă:

Ii

iIi

i imin0 (6.3-9)

Presupunem funcţia economică (6.3-6) ordonată după valorile crescătoare

ale lui .i Rezultă evident că pentru a obţine minimul lui ' trebuie ca să încărcăm

prima instalaţie (căreia îi corespunde minim) până la valoarea

,minmax iii apoi să încărcăm instalaţia cu imediat superior 2 , şi aşa

mai departe până când se îndeplineşte condiţia (6.3-7).


135

Ca rezultat al optimizării o parte din instalaţii vor fi încărcate la max ,o

instalaţie va fi încărcată cu o productivitate cuprinsă între ii

AA maxmin , iar restul

instalaţiilor vor funcţiona la min . Rezultatul este o generalizare a celui obţinut pentru exemplul din capitolul

1. Din relaţia

0sp (6.3-10)

se poate vedea că valoarea scăzută a consumului specific al unei instalaţii poale să o indice în mod eronat pentru încărcare.

În cazul exemplului considerat 21 spsp dar 21 şi deci Instalaţia 1

trebuie încărcată până la limita superioară. Ordonarea instalaţiilor, în vederea încărcării lor, în ordinea crescătoare a

creşterilor relative poartă denumirea de scara creşterilor.


136

Tabelul 6.3-1 Nr. bloc

tPmin

[MW] ecP

[MW] dP

[MW] 0C

[lei/h] 1

[lei/MWh] 2

[lei/MWh]1 38,75 70,0 77,5 660 81,5 93,3 2 87,00 130,0 145,0 1830 110,8 133,5 3 72,00 108,8 120,0 1515 111,3 153,5 4 52,50 105,0 105,0 1000 80,0 80,0 5 30,00 60,0 75,0 422 50,5 62,0

Exemplu. Pentru cete cinci blocuri din tabelul 6.3-1 mărimile corespund notaţiilor din figura 6.3-1.

Toate blocurile trebuie să fie încărcate cel puţin cu puterea minimă:

5

1minmin 25,280

itt MWPPi

.

Tabelul 6.3-2 Blocul care se încarcă

Limitele de putere între care se încarcă blocul [MW]

Limitele de putere pentru cele cinci blocuri în paralel [MW]

5 30-60 280,25-310,25 5 60-75 310,25-325,25 4 52,50-105 325,25-377,75 1 38,75-70 377,75-409,00 1 70-77,5 409,00-416,50 2 87-130 416,50-459,50 3 72-108,8 459,50-496,30 2 130-145 496,30-511,30 3 108,8-120 511,30-522,50

La puteri cerute mai mari ca 280,25MW, pentru a obţine cheltuielile

minime blocurile se încarcă conform scării creşterilor prezentată în tabelul 6.3-2


137

6.4. REPARTIŢIA OPTIMĂ A PRODUCTIVITĂŢII ÎNTRE INSTALAŢIILE ELECTROENERGETICE

ÎN CAZUL CARACTERISTICILOR DE CREŞTERI RELATIVE CONTINUI

Se admit aceleaşi ipoteze ca la paragraful 0.3. Caracteristicile de consum neliniare, sunt cunoscute ).( iii

Datorită metodei folosită pentru rezolvarea problemei de optimizare, modelul nu va exprima limitele productivităţii pentru fiecare instalaţie.

Modelul matematic este

Ii Ii

iiiMIN )( (6.4-1)

Ii

i . (6.4-2)

Acest model reprezintă o problemă clasică de găsire a unui extrem pentru o

funcţie supusă la legături. Metoda folosită, metoda multiplicatorilor lui Lagrange, permite rezolvarea problemelor în care legăturile sunt de tip egalitate (de aceea în model nu au fost exprimate condiţiile de tip (6.3-5)).

Pentru găsirea optimului se formează funcţia auxiliară

Ii Ii

iii )()( (6.4-3)

al cărui extremum are loc pentru aceleaşi valori i , care fac extremă funcţia .

Valorile i corespunzătoare extremului anulează derivatele parţiale ale funcţiei

,)()(

0

iii

ii

d

d Ii (6.4-4)

Deci, condiţia funcţionării optime a celor n instalaţii este: ,)(..............)()( 221 nni (6.4-5)

adică condiţia egalităţii creşterilor relative.

Ecuaţiile (6.4-4) împreună cu ecuaţia (6.4-2) formează un sistem de 1n ecuaţii care permite determinarea celor 1n necunoscute: ,,........, 21 nAAA .


138

Extremul obţinut poate fi însă un maxim sau un minim. Se ştie că dacă funcţia ),.......,,( 21 nxxxf are în vecinătatea punctului ),.......,,( 21 naaa derivate

parţiale de ordinul doi continui, şi dacă în acest punct se îndeplinesc condiţiile de extremum, atunci, dacă diferenţiala de ordinul doi

n

iki

n

kn

k

dxdxaaaxx

ffd

1 121

1

22 ,)..,,.........,( (6.4-6)

este o formă pătratică negativ determinată, funcţia ),.......,,( 21 nxxxf are în punctul

),.......,,( 21 naaa un maxim, iar când aceasta diferenţială este o formă pătratică

pozitiv determinată, funcţia ),.......,,( 21 nxxxf are în acest punct un minim (condiţia

suficientă pentru un extremum). În cazul problemei în discuţie avem (6.4-7)

n

i

n

iin

i

iiki

n

kn

ki

dd

dddx

fd

1 1

2212

2

121

22 ),.......,,(

)()..,,.........,(

deoarece

0)(2

ki

ii (6.4-8)

Pentru ca 2d să fie o formă pătratică pozitiv determinată este suficient ca:

.0)()(

2

2

i

ii

i

ii

d

d

d

d (6.4-9)

adică caracteristica de consum trebuie să fie o curbă convexă.

Determinarea repartiţiei optime a productivităţii conform relaţiei (6.4-5) se poale face grafic ca în figura 6.4-1. Construirea curbei )( - creşterea


139

relativă în funcţie de productivitatea total - ne permite ca la o productivitate totală dată să determinăm repartiţia optimă a productivităţii între instalaţiile în funcţiune.

Semnificaţia curbei )( rezultă din transformările armatoare:

d

d

d

d

d

d

d

d

Iii

Iii

IiI

Iii

i

i)( . (6.4-10)

Ea reprezintă deci, creşterea relativă a consumului total al instalaţiilor în

ipoteza ca acestea funcţionează în regim optim. Se observă că aceeaşi semnificaţie arc şi multiplicatorul lui Lagrange )( . Cunoscând )(),( ii şi )( ii se

poate construi caracteristica )(min .


140


141

Dacă am avea pentru o instalaţie 0/)( 22 iii dd această instalaţie ar

trebui să preia - pentru a avea consumul minim - toate variaţiile de sarcină, celelalte instalaţii rămânând cu sarcină fixă (fig. 6.4-2).

Pe diagrama )( ii se poate constata şi efectul abaterii regimului de la

regimul optim (fig. 6.4-3). Pentru aceeaşi valoare dacă se scade productivitatea unui agregat trebuie crescută productivitatea celuilalt. Variaţia consumului loial faţă de cel minim se calculează astfel:

opop 21 (6.4-11)

)()( 21 opop (6.4-12)

)( 11

1

1

1

1

SSdd ABCD

op

op

op

op

(6.4-13)

22

2

2

SSd ABCD

op

op

(6.4-14)

2121 SS (6.4-15)

În consecinţa, variaţia consumului total faţă de cel minim este cu atât mai mate cu cât derivatele de ordinul doi iiii dddd // 22 sunt mai mari.


142

6.5. METODA FUNCŢIILOR DE PENALIZARE PENTRU

DETERMINAREA REPARTIŢIEI OPTIME [5]

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange poate fi aplicată pentru cuprins în intervalul supinf (6.5-1)

unde )}({max mininf ii

Ii

(6.5-2)

şi )}({min maxsup ii

Ii

(6.5-3)

Pentru ,inf cel puţin pentru o instalaţie ii min iar pentru

,inf cel puţin pentru o instalaţie ii max ;

Pentru ea şi în acest caz să se poată aplica aceeaşi metoda de găsire a optimului se adaugă caracteristice! de consum o funcţie de penalizare )( i cu următoarele proprietăţi (fig. 6.5-1):


143

)()(

ii

i

d

d

(6.5-4)

,0)( i ,0)( i

ii i maxmin (6.5-5)

)()( min1 iii f ;min ii (6.5-6)

)()( max2 iii f ;max ii (6.5-7)

Dacă pentru )( i luăm o funcţie pătratică avem

,0)( i ,0)( i

ii i maxmin (6.5-8)

,)(2

)( 2min

1

iii

),()( max1 iii ;min ii (6.5-9)

,)(2

)( 2max

2

iii

),()( max2 iii ;max ii (6.5-10)

Cu ajutorul funcţiei de penalizare şi a derivatei sale se formează

caracteristica de consum şi caracteristica de creşteri relative, corectate (fig. 6.5-2):

ii

ii

*

*

(6.5-11)


144

Deoarece funcţia )( i este continuu, funcţia *i este şi ca continuă şi

deci, metoda prezentată în paragraful precedent poate fi aplicată.

6.6. REPARTIŢIA OPTIMĂ A PRODUCTIVITĂŢII INTRE INSTALAŢIILE ELECTROENERGETICE ÎN CAZUL

CARACTERISTICILOR DE CREŞTERI RELATIVE DISCONTINUI Şl A CARACTERISTICILOR

DE CONSUM CONVEXE SAU CONCAVE

În figura 6.6-l sunt reprezentate tipuri infinite de caracteristici de consum si caracteristicile de creşteri relative corespunzătoare.

Cazul (c) a fost tratat în paragraful 6.3. Pentru cazul (a), presupunem o instalaţie cu o astfel de caracteristică

funcţionând în paralel cu o instalaţie având caracteristica creşterii relative, continuă (fig. 6.6-2).


145

Se observă că pentru )1(

2)(

1 d sau )2(2

)(1 d repartiţia se face ca în

cazul carasteristicei de creşteri relative, continuă. Pentru )2(

2)(

1)1(

2)(

1 dd repartiţia este nedeterminată deoarece pentru instalaţia 1 poate, fi folosită fie ramura I fie ramura II a caracteristicii de creşteri relative. Intervalului productivităţii totale în care repartiţia este nedeterminată

)2(2

)(1

)1(2

)(1 dd (6.6-1)

îi corespunde, pentru instalaţia 1, intervalul )(

1)(

1 ........ si în care valorile de la capetele intervalului îndeplinesc condiţiile ,)1(

2)(

1)(

2)(

1 dii (6.6-2)


146


147

,)2(

2)(

1)(

2)(

1 dss Regimul optim dintre cele două regimuri posibile se determină prin calculul

consumului (fig. 6.6-3):

,)2(2

)1(2

)1(1

)2(1 (6.6-4)

),()( )1(22

)1(11

)1( (6.6-3)

),()( )2(22

)2(11

)2( (6.6-6)

21)2(

22)1(

22)1(

11)2(

11)1()2( )]()([)]()([ SS (6.6-7)

Dacă 0 , regimul (1) este regimul optim în caz contrar, este optim

regimul (2). Dacă 0 ambele regimuri corespund unui minim. Dacă în acest caz se funcţionează însă cu )2(

11)1(

1 regimul nu mai este optim, deoarece se încalcă principiul creşterilor relative egale.

Intervalul )(1

)(1 ........ si este în general suficient de mic. Abaterea

consumului faţă de cel optim, dacă nu se ţine seama de concluziile de mai sus, este de circa 1%.

Cazul caracteristicilor (b) este cazul caracteristicilor de consum concave. În acest caz, 0/ 22 ii dd şi, conform celor arătate în paragraful 6.4, criteriul

egalităţii creşterilor relative nu mai conduce la un minim, ci la un maxim. În figura 6.6-4 sunt reprezentate creşterile relative a două instalaţii cu

caracteristici de consum concave. În cazul egalităţii creşterilor relative, consumul este maxim, pentru o productivitate totală dată. La modificarea productivităţii unei instalaţii cu şi a celeilalte cu consumul se modifică astfel: 11 SS ABCD (6.6-8)

)( 22 SS ABCD (6.6-9)

)( 2121 SS (6.6-10)


148

Pentru a atinge consumul minim se scade în continuare productivitatea uneia din instalaţii crescând-o pe a celei de a doua până când, la un dat, se atinge mai întâi una din valorile 1min , 2min , 1max , 2max .

În concluzie, în cazul a doua instalaţii cu caracteristici de consum concave, pentru a obţine consumul minim se încarcă ambele instalaţii la min şi apoi

până la acea instalaţie pentru care

2min1min

min

d este minim (creşterea

relativă medie, minimă). În cazul a două instalaţii identice cu caracteristici de consum concave

funcţionând în paralel, pentru a obţine consumul minim se încarcă ambele


149

instalaţii la productivitatea minimă si apoi oricare din ele până când se atinge productivitatea totală cerută.

Dacă avem trei instalaţii identice cu caracteristici de consum concave funcţionând în paralel regimul optim îl demonstrăm astfel:

Caracteristica de consum minim a două instalaţii din cele trei este arătată în figura 6.6-5 căreia îi corespunde caracteristica de creşteri relative din figura 6.6-6 a). Funcţionarea în paralel a celor trei instalaţii o reducem la funcţionarea în paralel a instalaţiei echivalente cu două instalaţii funcţionând în regim optim şi a celei de a treia instalaţii. Se remarcă identitatea, pe porţiuni, a caracteristicii de creşteri relative. La creşterea productivităţii peste min3 se încarcă oricare din instalaţii

până se ating succesiv valorile max .


6.1. O centrală electrică are în funcţiune trei agregate. Agregatele au carac-teristica de consum aproximată prin două segmente de dreaptă. Valorile puterilor între care se liniarizează caracteristicile precum şi valorile creşterilor relative ale consumurilor orare de căldură, raportate la puteri sânt date în tabelul A. 6.1-1.


150

Tabelul A. 6.1-1

iPmin iecP iPmax i i Nr. grup

i

MW

MW

MW MWh

Gcal

MWh

Gcal

1 20 40 50 2,5 2,8 2 40 96 120 1,7 3 3 40 90 120 1,8 3,2

în care:

iPmin este puterea minimă a agregatului i;

iecP — puterea economică a agregatului i;

iPmax — puterea maximă a agregatului i;

i — creşterea relativă a consumului orar de căldură raportat la

putere pentru agregatul i în intervalul ];[ min ieci PP iar i în intervalul

];[ max iiec PP .

Să se determine puterea cu care se încarcă fiecare agregat pentru a acoperi o cerere de putere 250cP MW la barele centralei, astfel încât consumul orar de

căldură al celor trei agregate să fie minim. 6.2. O centrală electrică are în funcţiune trei blocuri cazan turbină. Carac-

teristica de consum a fiecărui bloc este aproximată prin două segmente de dreaptă. Valorile puterilor între care se liniarizează caracteristicile precum şi valorile corespunzătoare ale consumului orar de combustibil sunt date în tabelul de mai jos:

Tabelul A. 6.2-1

iPmin,

iecP , i

Pmax, i

Bmin, iecB ,

iBmax, Nr.

blocului i

MW MW MW tcc/h tcc/h tcc/h

1 20 40 50 8,2 15,0 19,0 2 40 96 120 15,9 30,4 41,6 3 80 190 240 29,0 57,0 72,0

Se cere: a) să se reprezinte grafic caracteristicile de consum ale celor trei blocuri; b) să se reprezinte grafic caracteristica de creştere relativă a consumului

orar de combustibil, în funcţie de putere, pentru fiecare dintre cele trei blocuri; c) să se reprezinte grafic caracteristica de creştere relativă a consumului

orar total de combustibil, raportat la puterea totală a centralei, corespunzătoare consumului minim de combustibil;


151

d) cu ajutorul caracteristicilor determinate la punctele b şi c , să se deter-mine puterea cu care se încarcă fiecare bloc pentru a acoperi în mod optim o cerere de putere de 310 MW respectiv 390 MW.

6.3. O centrală electrică are în funcţiune patru blocuri cazan turbină. Caracteristica consumului orar de căldură a fiecărui bloc este aproximată prin două segmente de dreaptă. Valorile puterilor între care se liniarizează caracteristicile precum şi valorile corespunzătoare ale consumului orar de căldură sunt date în tabelul A.6.3-1.

Tabelul A.6.3-1

iPmin,

iecP , i

Pmax, i

Bmin, iecB ,

iBmax,

Nr. bloc i

MW MW MW

MWh

Gcal

MWh

Gcal

MWh

Gcal

1 20 40 50 61,3 111,8 139,9 2 40 96 120 105,6 222,9 295,9 3 40 96 120 111,4 212,4 291,4 4 80 192 240 205,0 398,0 509,0

Se cere: a) să se determine

valorile creşterilor relative ale consumurilor orare de căldură pentru cele patru blocuri;

b) să se determine puterile cu care se încarcă blocurile, pentru fiecare palier al curbei de sarcină, astfel ca să se obţină consumul minim de căldură. Puterea cerută la barele centralei în timp de 24 ore este cea din figura A 6.3-1;.

c) să se determine pentru fiecare palier al curbei de sarcină consumul orar de căldură, al fiecărui bloc, corespunzător repartiţiei optime a puterilor;

d) să se determine pentru centrala considerată consumul minim de com-bustibil convenţional pentru 1 kWh. Se consideră că 1 tonă de combustibil convenţional are 7 Gcal.

6.4. O centrală electrică are în funcţiune trei blocuri cazan turbină. Carac-teristica de consum a fiecărui bloc este aproximată prin două arce de parabolă.


152

În tabelul A.6.14 sunt date valorile puterilor şi ale consumului orar cores-punzător de căldură pentru cinci puncte de pe caracteristica de consum. Punctul al treilea este consumul pentru ambele arce ele parabolă.

Tabelul A. 6.4-1 Consumul orar de căldură (Gcal/h) pentru producerea

următoarelor puteri

Nr. grup i

iPmin,

MW i

Pmax,

MW

iP1 iP2 iP3 iP4 iP5

1 40 120 106 120 168 228,375 304,5

2 40 120 111 124 166 222,5 302,5

3 80 240 205 230 306 394,75 507,5 unde:

ii PP min1 ; ii PP max2 4,0 ; ii PP max3 6,0 ; ii PP max4 8,0 ; ii PP max5

Se cere: a) să se determine ecuaţiile arcelor de parabolă care reprezintă caracteristica

de consum; b) să se determine şi să se reprezinte grafic caracteristica de creştere relativă

a consumului orar de căldură, raportată la putere pentru fiecare din cele trei blocuri*; .

*) În cazul de faţă, caracteristica creşterii relative se deduce prin derivare din caracteristica de consum, deoarece numărul datelor experimentale este redus.

c) să se determine prin metoda grafică caracteristica de creştere relativă a consumului orar total de căldură raportat la puterea totală pentru centrală considerată;

d) să se determine caracteristica specifică la punctul c) al problemei printr-o metodă analitică;

e) să se determine care este puterea cu care se încarcă fiecare grup pentru a acoperi o cerere de putere de 450 MW.


153


1. Marcovici, I. M., Sisteme energetice [.] Regimuri de funcţionare (traducere din lb. rusa). Editura tehnică, Bucureşti, 1960.

2. George, E. E., Intrasystem Transmission Losses. Trans. AIEE, vol. 62, March. 1913.

3. * * * Anuarul statistic al Republicii Socialiste România. Direcţia Centrală de Statistică, Bucureşti, 1968.

4. Gornştein, V. M., Naivîgodneişie rejimî rabotî ghidrostanţii v energheticeskih sistemah. Gosenergoizdat, Moskva, Leningrad 1959.

5. Cypser, R. J., Computer Search for Economical Operation of a Hydrothermal Electric System. Trans. AIEE, p. III-B, 1954.

6. Gorenstein, V. M., Repartiţia optimă a sarcinilor pe centralele electrice interconectate. (traducere din lb. rusă). Editura energetică de stat, Bucureşti, 1953.


154

CAPIT0LUL 7

OPTIMIZAREA FUNCŢIONĂRII INSTALAŢIILOR UNEI CENTRALE ELECTRICE

7.1. REPARTIŢIA OPTIMĂ A PRODUCTIVITĂŢII

ÎNTRE CAZANELE UNEI CENTRALE TERMOELECTRICE

Caracteristica de consum a cazanului este foarte apropiată de o dreaptă. Abaterile de la dreapta se remarcă în domeniul sarcinilor mici sau al sarcinilor mari (fig. 7.1-1) [1]. Variaţia creşterii relative în funcţie de producţia orară de căldură este mai mare la cazanele de tip vechi şi la cazanele funcţionând cu combustibil cu conţinui redus de substanţe volatile, şi este mai mică la cazanele moderne cu randa-ment ridicat. În primul caz, variaţia creşterii relative în domeniul de funcţionare al cazanului poate atinge 50%, iar în al doilea caz, este de circa 20%, din creşterea relativă medie [2].

Pe caracteristica de consum se disting câteva puncte semnificative şi anume:

Sarcina nominală (normală) este productivitatea pentru care a fost construit cazanul. În condiţiile func-ţionării la parametrii nominali şi la sarcină nominală, se realizează randamentul garantat de constructor.

Sarcina maximă este productivitatea maximă de durată, care nu are ca urmare o uzură accentuată a cazanului. Sarcina maximă este cu circa 20% mai mare ca sarcina nominală. Randamentul la sarcina maximă este cu 2 . . . 3% mai scăzut decât la sarcina nominală.


155

Sarcina minimă este cea mai mică productivitate a cazanului la care arderea mai poate decurge stabil şi nu apar consecinţe dăunătoare pentru cazan. La sarcini mai mici ca sarcina minimă, arderea se poate opri iar circulaţia apei în cazan nu se mai face normal. Valoarea sarcinii minime depinde de natura combustibilului şi de modul de construcţie al cazanului. Pentru cazane funcţionând cu praf de cărbune, sarcina minimă este de 60 . . . 70% din sarcina nominală. La sarcini mai mici, intră în funcţiune injectoare de combustibil lichid. Pentru celelalte tipuri de cazane sarcina minimă este de 40 . . . 50% din sarcina nominală.

Sarcina economică este productivitatea cazanului la care randamentul este maxim. Deoarece există în general o plajă pentru care randamentul este practic constant, se vorbeşte de zona economică de funcţionare a cazanului.

Repartiţia optimă a sarcinii între cazane se face conform criteriului egalităţii creşterilor relative. Dacă instalaţiile de cazane sunt identice acestea se încarcă in mod egal. Rezultatele repartiţiei optime determinate după metodologia expusă în paragraful 6.4, se consemnează într-un tabel - tabelul creşterilor relative de forma:

unde:

iQ este productivitatea cazanului i ;

Q este productivitatea sălii cazanelor;

este creşterea relativă, .dQ

dB

dQ

dB

i

i

Valorile discrete ale creşterilor relative din tabel se aleg ţinând seama de

precizia de determinare a caracteristicii iiQ . Presupunem că pentru un i dat,

valoarea iQ reală nu iese din intervalul iQ)1( unde iQ este valoarea medie a

lui iQ la i dat, aşa cum rezultă din prelucrarea rezultatelor experimentale. În acest

caz, pentru un dat, productivitatea totală corespunzătoare condiţiei de funcţionare optimă se găseşte cuprinsă între limitele

Ii

iIi

i QQQ )1()1( , (fig. 7.1-2). (7.1-1)

În concluzie, treptele pentru trebuie astfel alese, încât diferenţa dintre cele două valori Q corespunzătoare să nu fie mai mică ca Q2 . Tot de aici, rezultă că pentru o valoare Q cuprinsă între două valori din tabel, repartiţia optimă pe cazane se obţine dacă acestea se încarcă între cele două valori corespunzătoare.


156

Tabelul creşterilor relative in particular coloana Q — este valabil pentru o structură dată a cazanelor în funcţiune. La schimbarea acestei structuri - pornirea sau oprirea unor cazane - tabelul creşterilor relative se modifică astfel: se elimină coloanele )( iiQ pentru cazanele scoase din funcţiune, se introduc coloanele

)( iiQ pentru cazanele introduse în funcţiune şi se modifică în mod corespunzător

coloanaQ . Rezultă, că trebuie întocmite atâtea tabele de creşteri relative, câte structuri

distincte de cazane în funcţiune pot exista. În cazul în care numărul structurilor distincte este ridicat se poale folosi o

metodă aproximativă pentru determinarea funcţiei )(Q corespunzătoare unei anumite structuri. Pentru a înţelege metoda aproximativă se tratează cazul instalaţiilor având caracteristici de creşteri relative identice. În această situaţie, numărul structurilor posibile este egal cu numărul instalaţiilor n . Pentru m instalaţii funcţionând în paralel, caracteristica de creşteri relative corespunzând întregii structurări este:

)()()()()()( )(

1

)( nii

m

ii

m Qn

mnQ

n

mQmQQf

,

nm (7.1-2)


157

Rezultă următorul procedeu de determinare a acestei caracteristici: se înmulţesc abscisele corespunzătoare funcţiei )( )(nQ cu rapoartele nm /

obţinându-se caracteristica de creşteri relative )( )(mQ . (fig. 7.1-3). Procedeul rămâne valabil şi în cazul în care cazanele centralei electrice au

caracteristici apropiate.

7.2. REPARTIŢIA OPTIMĂ A PRODUCTIVITĂŢII

ÎNTRE TURBINELE UNEI CENTRALE TERMOELECTRICE

Caracteristicile de consum ale turbinelor sunt influenţate de raportul dintre presiunea finală şi presiunea iniţiala a aburului - if pp / - şi de sistemul de reglaj al

aburului: prin laminare sau prin admisie. În toate cazurile caracteristicile de consum sunt caracteristici concave [1].

În cazul reglajului prin laminare (fig. 7.2-1) panta mare în domeniul sar-cinilor mici se datorează pierderilor mari. Pentru sarcini mai mari decât jumătate din sarcina nominală caracteristica de consum este aproximativ liniară. Domeniul


158

liniar se extinde asupra întregii caracteristici în cazul raportului if pp / foarte mic-

cazul turbinelor cu parametri ridicaţi [3]. Spre deosebire de reglajul prin laminare, când aburul ajunge la palete prin

ventilul de laminare, în cazul reglajului prin admisie aburul ajunge în turbine prin câteva grupe de supape aşezate radial pe circumferinţa primei trepte. Acest mod de reglaj urmăreşte reducerea pierderilor prin laminare la sarcini mici. Caracteristica de consum şi de creşteri relative sunt formate din caracteristicile corespunzătoare fiecărui grup de supape, rezultatul fiind o caracteristică de creşteri relative discontinuă (fig. 7.2-2).

În cazul turbinelor cu condensaţie datorită valorii foarte mici a raportului

if pp / caracteristica de consum este o dreaptă (fig. 7.2-3):

qPQQ 0 (7.2-1)

unde:

P este puterea electrică debitată de turbogenerator [MW]; Q - este consumul orar de căldură al turbinei [Gcal/h] ;

0Q - este consumul orar de căldură la mersul în gol;

q - este creşterea relativă a consumului orar de căldură raportat la puterea electrică produsă [Gcal/MWh].


159

La turbinele de putere mare, după ce supapele de admisie au fost deschise complet, se deschide un ventil numit ventil de ocolire sau ventil de suprasarcină care introduce aburul viu după prima treaptă. Secţiunea de trecere corespunzătoare este mărita. După deschiderea ventilului de ocolire, valoarea creşterii relative este mai mare (fig. 7.2-4). Puterea de la care începe deschiderea ventilului de ocolire poartă denumirea de putere economică, denumire a cărei justificare se dă mai jos.

Pentru puteri mai mici ca puterea economică ecuaţia caracteristicei de consum este (7.2-1). Pentru puteri mai mari decât puterea economică, avem următoarea ecuaţie a caracteristicei de consum: ))(()( 00 ecececec PPqqqPQPPqqPQQ , (7.2-2)

unde : q este creşterea relativă pentru ecPP ;

q este creşterea relativă pentru ecPP .

Puterea corespunzătoare punctului de frântură al caracteristicii poartă denumirea de putere economică deoarece consumul specific al turbinelor reale este minim pentru această putere. Consumul specific al turbinei are expresia:

,0 qP

Qqsp ecPP (7.2-3)

,)(

1)( 00

P

PqqQq

P

Pqqq

P

Qq ecec

sp

ecPP (7.2-4)


160

Distingem trei cazuri (fig. 7.2-5): a) pentru 0)(0 ecPqqQ , consumul specific rămâne constant şi egal

cu q , pentru puteri mai mari ca puterea economică;

b) pentru 0)(0 ecPqqQ , atunci când puterea creşte peste puterea

economică consumul specific scade continuu; c) pentru 0)(0 ecPqqQ , odată cu creşterea puterii peste puterea

economică consumul specific creşte. Deoarece, conform (7.2-3) pentru puteri mai mici ca cea economică consumul specific scade odată cu creşterea puterii, rezultă că în cazul c) consumul specific minim se obţine pentru puterea economică. Acesta este cazul turbinelor reale aşa cum se poate constata de exemplu din tabelul 7.2-1 corespunzător turbinelor de construcţie sovietică [4].

Tabelul 7.2-1

Parametrii

Tipul

[ata]

][0 C

qp

[kcal/kWh]

n

ec

P

P ))((0

ecPPqq

qpQQ

[Gcal/h] P-[MW]

ecPqqQ )(0

[Gcal/h]

AK-25 35 435 3030 0,8 6,65+2,67 P + +0,76 )( ecPP

6,65-0,76.0,8.25= =6,65-15,2<0

AK-50 35 435 2800 0,8 8,7+2,35 P + +0,43 )( ecPP

8,7-0,43.0,8.50= =8,7-17,2<0

VK-50 90 535 2280 0,7 5,5+2,06 P + +0,36 )( ecPP

5,5-0,36.0,9.50= =5,5-12,6<0

VK-100 90 535 2250 0,6 15+1,97 P + +0,34 )( ecPP

15-0,34.0,6.100= =15-20,4<0

PVK-150 130 565/565 2020 0,8 20+1,83 P + +0,31 )( ecPP

20-0,31.0,8.150= =20-37,3<0

PVK-200 130 580/565 2000 0,8 26+1,18 P + +0,30 )( ecPP

26-0,30.0,8.200= =26-48<0

SVK-300 240 580/565 1830 0,8 43+1,635 P + +0,27 )( ecPP

43-0,27.0,8.300= =43-64,7<0

SVK-500 240 580/565 1820 0,8 70+1,63 P + +0,27 )( ecPP

70,2-0,27.0,8.500= =70-108<0

SVK-600 240 580/565 1810 0,8 82+1,62 P + +0,27 )( ecPP

82-0,27.0,8.600= =82-130<0

SVK-800 240 580/565 1806 0,8 113+1,61 P + +0,25 )( ecPP

113-0,25.0,8.800= =113-160<0


161

Sarcina minimă a turbinei este determinată de condiţiile în care se rea-lizează ventilarea dorită a paletelor şi se evită supraîncălzirea lor. Sarcina minimă a turbinei este de 15...20% din puterea sa nominală.

Caracteristica turbinei corespunde unei presiuni date la condensator - fp - şi

deci unei anumite temperaturi a apei de răcire. La modificarea temperaturii apei de răcire trebuie modificată şi caracteristica turbinei conform noilor condiţii.

Ţinând seama de caracterul concav al caracteristicilor de consum ale tur-binelor, repartiţia sarcinii între turbine se face astfel:

a) în cazul turbinelor de condensaţie identice, încărcarea acestora se face succesiv, ordinea fiind indiferentă;

b) în cazul turbinelor de condensaţie cu caracteristici de consum diferite, încărcarea turbinelor se face în ordinea crescătoare a creşterilor relative;

c) în cazul turbinelor cu contrapresiune - fp ridicat -, încărcarea turbinelor

se face în ordinea crescătoare a creşterii relative medii între sarcina minimă şi sarcina maximă.

Caracteristica de creşteri relative şi de consum a sălii maşinilor se constru-ieşte pentru valori cuprinse între sarcina minimă admisibilă loială şi sarcina maximă totală. Pentru turbinele cu contrapresiune sarcina electrică minimă corespunde sarcinii termice.


162

Tabelul 7.2-2

Turbogeneratorul i TOTAL Turbogene- ratoare care se încarcă

Creşterea relativă

q

----- Limitele

P [MW] Limitele

Q [Gcal-h]

----- Limitele

P [MW] Limitele

Q [Gcal-h]

Când caracteristica sălii maşinilor se dă tabelar, valorile creşterilor relative

pentru sala maşinilor sunt chiar valorile discrete ale creşterii relative corespunzătoare diferitelor turbine (tab. 7.2-2 şi fig. 7.2-6 şi 7.2-7).


163

7.3. CARACTERISTICA DE CREŞTERI RELATIVE

Şl DE CONSUM (MINIM) A CENTRALEI ELECTRICE

Aceste caracteristici se determină cu ajutorul caracteristicilor corespun-zătoare pentru sala cazanelor şi sala turbinelor:

)(1 Qf — caracteristica creşterilor relative a sălii cazanelor;

)(2min QfB — caracteristica consumului minim de combustibil a sălii cazanelor;

)(3 Pfq — caracteristica creşterilor relative a sălii maşinilor;

)(4min PfQ — caracteristica consumului minim de căldură a sălii maşinilor.

Menţionăm că pentru un grup de instalaţii funcţionând în paralel caracteristica de consum şi caracteristica creşterii relative a consumului au sens numai în condiţiile funcţionării optime.

Modul de determinare al caracteristicilor pentru întreaga centrală se poate urmări pe figura

7.3-1. La o putere dată P se determină valorile q , Q pentru sala maşinilor. Cu

ajutorul valorii Q , din caracteristicile )(min QB şi )(Q se determină valorile

minB şi . Am obţinut deci, valoarea minimă a consumului de combustibil când centrala electrică debitează puterea P . Valoarea creşterii relative pentru întreaga centrală la aceeaşi putere, se determină astfel:

qdP

dQ

dQ

dB

dP

dBb minminmin , (7.3-1)

unde valorile şi q au fost deja determinate.

Caracteristicile de consum ale sălii cazanelor şi sălii maşinilor trebuie să includă consumul serviciilor interne şi pierderile în compartimentul respectiv.

Caracteristicile de consum şi de creşteri relative ale centralei se exprimă de obicei tabelar. Din motivele arătate în paragraful 7.1. valorile creşterii relative -b - nu trebuie să difere între ele cu mai puţin de 5% clin valoarea medie a creşterii relative.


164

Pentru a putea folosi tabelul la repartiţia sarcinii pe centralele sistemului, se folosesc pentru toate centralele aceleaşi valorib .

Pentru o centrală, tabelul corespunde unei anumite structuri a instalaţiilor în funcţiune.

7.4. CARACTERISTICILE TURBINELOR HIDRAULICE Şl ALE

CENTRALELOR HIDROELECTRICE

Se reaminteşte că prin bief se înţelege porţiunea de râu cuprinsă între două ecluze sau două baraje iar prin cădere se înţelege diferenţa de nivel între bieful amonte şi bieful aval.

Caracteristica de consum şi caracteristica de creştere relativă a consumului pentru turbina hidraulică sunt de forma arătată în figura 7.4-1. Aceste caracteristici depind de cădere.


165

Repartiţia sarcinii între hidrogeneratori se face pe aceleaşi principii ca între

turbogeneratori. De obicei, în centralele hidroelectrice turbinele sunt identice şi au caracteristicile ele consum convexe, şi de aceea, acestea se încărca uniform.

Ca şi pentru centrala termoelectrică, pentru centrala hidroelectrică cu agregate identice avem un număr de caracteristici de consum egal cu numărul agregatelor, corespunzând funcţionării cu una, doua, până la n agregate în paralel.

În cazul centralei termoelectrice, trecerea de la o caracteristică la alta şi deci, de la o structură a agregatelor în funcţiune la altă structură se face ţinând seama de consumul de pornire şi de condiţiile tehnologice impuse de pornirea unui agregat. De aceea, pentru a evita modele matematice prea complicate se consideră structura agregatelor în funcţiune dată şi invariabilă.

În cazul turbinelor hidraulice, consumul de apă necesar la pornire este foarte mic şi practic ponte fi neglijat. De aceea, la o anumita putere cerută centralei, reni raia va funcţiona cu structura căreia îi corespunde caracteristica de consum cea mai convenabilă. Caracteristica de consum a centralei corespunde deci, consumului minim de apă care se poale realiza alegând de fiecare data în mod corespunzător structura agregatelor în funcţiune (fig. 7.4-2).


166


7.1. Se consideră o centrală hidroelectrică echipată cu trei turbine identice. Caracteristica de consum a unei turbine poate fi aproximată prin două segmente de dreaptă de ecuaţii: 105,1)1(' PD pentru ]60,0[P şi 505,2)1('' PD pentru

]80,60[P în care )1('D şi )1(''D reprezintă consumul de apă în metri cubi pe secundă, iar P reprezintă puterea la bornele centralei în MW. Consumul total de apă al centralei poate fi calculat ca suma consumurilor de apă ale fiecărei turbine. Să se determine caracteristica de consuni minim de apă a centrală. Să se determine numărul de turbine în funcţiune şi consumul minim de apă pentru producerea unei puteri la bornele centralei MWPMWP 80,65 21 şi respectiv .1503 MWP .

7.2. O centrală hidroelectrică este echipată cu trei turbine identice. Caracteristica de consum a unei turbine poate fi aproximată printr-un arc de parabolă de ecuaţie smPPD /0125,075,010)1( 32 pentru MWP ]80,0[ . Consumul total de apă al centralei poate fi calculat ca suma consumurilor de apă ale fiecărei turbine. Să se determine caracteristica de consum minim de apă a centralei. Să se determine numărul de turbine în funcţiune şi consumul minim de apă pentru producerea unei puteri la borne: MWP 601 sau .1202 MWP

7.3. Caracteristica consumului orar de căldurii a unei turbine în funcţie de putere poate fi aproximată prin două segmente de dreaptă ale căror ecuaţii sunt:

22,663,2)(' PPQ hGcal / pentru MWP ]5,42;10[ 67,693,2)('' PPQ hGcal / pentru .]50;5,42[ MWP Turbina este alimentată de un cazan pentru care caracteristica consumului

orar al combustibilului în funcţie de cantitatea de căldură transmisă turbinei poale fi aproximată cu două segmente de dreaptă ale căror ecuaţii sunt următoarele:

12,0)(' QB htccQ /8,0 pentru hGcalQ /]110;60[

143,0)('' QB htccQ /7,1 pentru hGcalQ /]138;110[

se cere: a) să se determine caracteristica de creştere relativă a consumului orar de

căldură a turbinei iu funcţie de putere şi caracteristica de, creştere relativă a consumului orar de combustibil a cazanului în funcţie de cantitatea de căldură orară;


167

b) să se reprezinte pe acelaşi grafic caracteristica de consum şi cea de creştere relativă a consumului orar în funcţie de productivitate pentru fiecare din cele două instalaţii;

c) să se determine şi să se reprezinte grafic caracteristica consumului orar de combustibil în funcţie de putere şi caracteristica de creştere relativă a consumului orar de combustibil în funcţie de putere pentru agregatul cazan-turbină.


1. K a m e n s k i i, M. D., Elektriceskie sistemî. Gosenergoizdat, Leningrad Motkva,1952 2. G o r n s t e i n, V. M., Naivîgodneişie rejtmî rabotî ghidrostanţii v energheticeskih

sistemah, Gosenergoizdat, Moskva, 1959. 3. G o r ş c o v, A. S. S., Indicii tehnico-economici ai centralelor termoelectrice (traducere

din 1b. rusă). Editura energetică de stat, Bucureşti, 1953. 4. A r t i u g h i n a, I. M., V o l h i n a, V. K-, K o z i r e v a, L, D.,

Vozmojnostiispolzovania spriamlenîh energheticetskih haracteristik agregatoiv v rasciotah perpektivnîh rejimov energosistem. Akademia Nauk SSSR, Elektrooborundovanie i rejimî elektroenergheticeskih sistem, Izdatelistvo Nauka, Moskva-Leningrad, 1965.

Optimizari in Ingineria Electrica

Documents

Transcript of Optimizari in Ingineria Electrica