Operaiile aritmetice cu tablouri

Operaiile cu tablouri sunt operaii aritmetice (nmulire, mprire, ridicare la putere, etc.) ntre elementele situate n aceeai poziie a tablourilor, cunoscute sub numele de operaii element cu element.Pentru efectuarea operaiilor cu tablouri se folosesc aceiai operatori ca n operaiile cu scalari, precedai de semnul punct ., semn ce indic efectuarea operaiilor n ordinea element cu element. Pentru a putea fi efectuate operaii element cu element, trebuie ca dimensiunile tablourilor cu care se opereaz s fie identice. Dac unul dintre operanzi este un scalar, acesta opereaz cu fiecare element al tabloului.

1.1 Adunarea i scderean cazul operaiilor de adunare i scdere, operatorul nu va mai fi precedat de punct.Exemplu:Fie: A = [2 2 5;1 4 7], B = [3 4 1;2 5 3], p = 2S se calculeze: C = A + B, D = B - A, E = p - A, F = B - p, G =p + A

Secvena MATLAB va fi:A = [2 2 5;1 4 7]; B=[3 4 1;2 5 3]; p=2; C = A + BD = B - A E = p - A F = B - p G = p + A

Rezultatul returnat va fi:C=5 6 6 3 9 10D=1 2 -4 1 1 -4 E=0 0 -3 1 -2 -5 F=1 2 -1 0 3 1 G=4 4 7 3 6 9

1.2 nmulirea tablourilorPentru a preciza c nmulirea se efectueaz element cu element, ntre componentele a dou matrici de aceleai dimensiuni, se utilizeaz operatorul de nmulire precedat de punct (.*)

Instruciunea este de forma: C = A .* BExemplu: Fie A = [1 3 2], B = [3 4 6] , p = 3.S se calculeze, folosind calculul element cu element, nmulirea matricelor A i B, nmulirea scalarului p cu matricea A i nmulirea matricei B cu scalarul p.Secvena MATLAB va fi: A = [1 3 2] ; B = [3 4 6] ; p = 3;Rezultatul returnat va fi:C = [3 12 12]D = [3 9 6]E = [9 12 18]1.3 mprirea la dreaptaOperaia de mprire la dreapta, element cu element, ntre dou tablouri este simbolizat cu operatorul punctslash (./). Instruciunea este de forma: C = A ./ Bi reprezint mprirea la dreapta, element cu element, a tablourilor A i B, cu aceleai dimensiuni, rezultnd elementele: C (i,j) = A(i,j) / B(i,j)

1.4 mprirea la stngaOperaia de mprire la stnga, element cu element, ntre dou tablouri este simbolizat cu operatorul punctbackslash (.\).Instruciunea este de forma: C = A.\Bi reprezint mprirea la stnga, element cu element, a tablourilor A i B, cu aceleai dimensiuni, rezultnd un tablou cu elementele: C(i,j)=A(i,j)\B(i,j)=B(i,j)/A(i,j)Prin urmare: C = A .\ B = B ./ A

1.5 Ridicarea la putereOperaia de ridicare la putere, element cu element, ntr-un tablou este simbolizat cu operatorul punct-^ (.^).Instruciune este de forma: C = A.^B i reprezint ridicarea fiecrui element din tabloul A la puterea indicat de valoarea elementului din aceeai poziie a tabloului B, adic:C(i,j)=A(i,j)^B(i,j) Dac A e un scalar, se las un blanc ntre scalar i operatorul de ridicare la putere.

1.6 Transpunerea tablourilorOperaia de transpunere a unui tablou este simbolizat de operatorul punct-apostrof.Instruciunea este de forma: B=A.' i liniile tabloului A vor deveni coloanele tabloului transpus B. Acest lucru face ca un tablou A , cu dimensiunea m n , s devin un tablou B cu dimensiunea n m .2. Operaii aritmetice cu matriciOperaiile uzuale de algebr liniar cu matrici sunt simbolizate cu semnele grafice: *,/,\,^,, i se efectueaz dup regulile cunoscute din calculul matricial.2.1 Adunarea i scdereaOperaia de adunare a dou matrici este simbolizat cu operatorul plus (+).Instruciunea este de forma: C = A + B i reprezint adunarea matricilor A i B, rezultnd elementele: C(i,j) = A(i,j) + B(i,j)Matricile A i B trebuie s aib aceleai dimensiuni, n afara cazului cnd A sau B este un scalar ( care va fi notat cu a sau b). Un scalar poate fi adunat cu orice matrice, rezultnd elementele:C(i,j) = a+ B(i,j) Sau C(i,j) = A(i,j) + bOperaia de scdere a dou matrici este simbolizat cu operatorul minus (-).Instruciunea este de forma: C = A B i reprezint scderea matricei B din matricea A, rezultnd elementele: C(i,j) = A(i,j) - B(i,j)

Matricile A i B trebuie s aib aceleai dimensiuni, n afara cazului cnd A sau B este un scalar. Un scalar poate opera cu orice matrice, rezultnd elementele:C(i,j) = a - B(i,j) sau C(i,j) = A(i,j) - b2.2 nmulirea matricilorOperaia de nmulire a dou matrici este simbolizat cu operatorul stelu (*).Instruciunea este de forma: C = A * B i reprezint matricea produs a celor dou matrici avnd elementele:C (i , j ) = A(i , k )B (k , j )Produsul matricial este posibil dac numrul coloanelor matricei A este egal cu numrul liniilor matricei B, elementul C(i,j) fiind suma produselor dintre elementele liniei i (din matricea A) cu elementele corespondente din coloana j (a matricei B).Produsul matrice-vector este un caz special al cazului general al produsului matrice-matrice. De asemenea, un scalar poate fi nmulit cu orice matrice, realizndu-se nmulirea cu fiecare element al matricei: C(i,j) = a*B(i,j)2.3 mprirea la dreaptaOperaia de mprire la dreapta a dou matrici este simbolizat cu operatorul slash (/).Instruciunea este de forma: C = A / B i reprezint mprirea la dreapta a matricilor A i B i este identic cu A*B-1 (B-1 este inversa matricei B).

2.4 mprirea la stngaOperaia de mprire la stnga a dou matrici este simbolizat cu operatorul backslash (\).Instruciunea este de forma: C = A \ B i reprezint mprirea la stnga a matricelor A i B i este identic cu A-1*B (A-1 este inversa matricei A).2.5 Ridicarea la putereOperaia de ridicare la putere a unei matrici este simbolizat cu operatorul (^).Instruciunea este de forma: C = A^b i reprezint ridicarea la puterea b a matricei A. Expresia A^b are sens doar pentru A matrice ptrat i b scalar.Dac b este un numr ntreg pozitiv , ridicarea la puterea b este obinut prin nmulirea repetat (de b ori) a matricei A.C=A^b=A*A*A*A.....*A, pentru orice b ntreg i pozitiv.Dac b este un numr ntreg negativ, atunci matricea A va fi mai nti inversat i apoi inversele se nmulesc de b ori: C=A^b=inv(A)*inv(A)*inv(A)*...*inv(A) , pentru orice b ntreg i negativ.2.6 Transpunerea matricilorOperaia de transpunere a unei matrici este simbolizat cu operatorul apostrof.Instruciunea este de forma: B=A' i astfel liniile matricei A devin coloanele matricei transpuse B. Acest lucru face ca pentru o matrice A cu dimensiunea m n s se obin o matrice B cu dimensiunea n m . Dac elementele matricei A sunt numere reale, operaia de transpunere face ca: B(i,j)=A(j,i)Dac elementele matricei A sunt numere complexe, operaia de transpunere returneaz conjugata transpusei, adic B(i,j)=conj(A(j,i) )=real(A(j,i))-i imag(A(j,i)

Reprezentri graficeReprezentarea curbelor n plan se face cu funciile din Tabelul 15:

FunciaTipul graficului

plot scar liniar pe ambele axe

loglogscar logaritmic pe ambele axe

semilogxscar logaritmic pe axa x

semilogy scar logaritmic pe axa y

polar coordinate polare

stem grafic cu linii terminate cu cercuri

stairs grafic n scar

bar grafic cu bare

Tabelul 15. Funcii pentru reprezentarea curbelor plane.Funciile au ca parametri perechi de vectori x1, y1, , xn, yn. Vectorii x1, x2, ..., xn conin abscisele curbelor, iar vectorii y1, y2, ..., yn conin ordonatele curbelor. Forma funciei plot esteplot(x1, y1, , xn, yn)Proprietile liniilor cu care se traseaz graficele sunt: culoarea (graficele pot fi trasate cu diverse culori), stilul (continu, etc.) i simbolurile de marcaj (punctele de pe grafic pot fi marcate cu diverse simboluri). Aceste trei proprieti (culoare, simbol de marcaj i stilul liniei) se specific utiliznd simbolurile din Tabelul 16 printr-un ir de caractere, cte unul pentru fiecare proprietate.

CuloareSimbolMarkerSimbolStil linieSimbol

albastru bpunct .continu-

verde gcerc o punctat :

rou rx xntrerupt --

mov c plus +

roz m asterisc *

galben y ptrat s

negru k

Tabelul 16. Culori, tipuri de linii i de puncte pentru grafice.Pentru a utiliza o anumit culoare, tip de linie sau simbol la curba (xi, yi), perechea de vectori xi, yi este urmat de un ir de caractere din tabelul de mai sus de forma cml ce precizeaz culoarea, markerul i simbolul cu care se traseaz curba. De exemplu, funciaplot(x, y, 'b')traseaz curba (x, y) cu culoarea albastru.Reprezentarea curbelor n mai multe ferestre se face cu instruciuneasubplot(m, n, p)Aceast instruciune mparte ecranul ntr-o matrice de m*n ferestre i traseaz axele n fereastra p, unde p = 1, ..., m * n. Instruciunea plot urmtoare reprezint curba n fereastra p.Funcia xlabel(sir) scrie eticheta axei x (un text sub axa x). Funcia ylabel(sir) scrie eticheta axei y (un text dealungul axei y). Funcia title(sir) scrie un text ca titlu al figurii. Instruciunile precedente pot avea i ali parametrii, care s modifice tipul, dimensiunea, stilul sau culoarea fontului. Un parametru util este FontSize ce d dimensiunea fontului. De exemplu, funcia xlabel('sir', 'FontSize', 14) scrie eticheta axei x cu dimensiunea fontului 14.Afiarea unei legende pentru cele n curbe dintr-o figur se face cu instruciunilelegend(sir1, sir2, ..., sirn)saulegend(sir1, sir2, ..., sirn, pos)Prima instruciune scrie legenda n colul dreapta sus. A doua instruciune scrie legendele n poziia specificat de argumentul pos, ce are valorile din Tabelul 17.posPoziia

0cea mai bun poziie

1colul dreapta-sus

2colul stnga-sus

3colul stnga-jos

4colul dreatpa-jos

-1n afara graficului

Tabelul 17. Specificarea poziiei legendei.Legenda arat tipul, markerul i culoarea folosite pentru a reprezenta curba, plus textul specificat.Menionm c, figura, aria de desenare, curba, etichetele axelor, etc., sunt obiecte grafice cu proprieti, create de funciile plot, xlabel, ylabel, etc. Toate funciile grafice au ca rezultat un handle al obiectului grafic creat, curb, eticheta axei, legenda, titlul, etc. Acest handle poate fi memorat ntr-o variabil i poate fi utilizat pentru a obine sau prescrie proprieti ale obiectului grafic. De exemplu, pentru a afia legenda la figuri unde s-a utilizat instruciunea subplot, se utilizeaz variabila handle a instruciunii plot ca mai josh = plot(t, x)legend(h, sir)Funcia grid traseaz o gril pe figur. Limitele axelor se pot specifica cu instruciunea axis(xmin, xmax, ymin, ymax)Selectarea automat a axelor se face cu instruciunea axis auto

Grafice de functii:1.Cercult=0:2*pi;x0=0;y0=0;x=x0+r*cos(t);y=y0+r*sin(t);plot(x,y,'b', 'LineWidth',4)2.Elipsaa=2;b=1; x=-a:0.001:a;y=(b/a)*sqrt(a^2-x.^2);y1=-(b/a)*sqrt(a^2-x.^2);plot(x,y,'b',x,y1,'b','LineWidth',4)3. Reprezentari 3D -plot3- conula=4;b=3;c=2;u=linspace(0,2*pi,200);v=linspace(0,50,200);x=a*cos(u)'*v;y=b*sin(u)'*v;z=c*ones(size(u))'*v;z1=-c*ones(size(u))'*v;plot3(x,y,z,x,y,z1,LineWidth,8)4.Surfz=(x.^2-y.^2).*exp(-x.^2-y.^2);surf(z)

5. Elipsoidul>> ellipsoid(3,-2,1,9,4,1)6.Sferap=0:100;teta=0:pi;fi=0:2*pi;x=p*sin(teta)*cos(fi);

y=p*sin(teta)*sin(fi);z=p*cos(teta);surf(x,y,z)