ONM 2014 Solutii_6
2
Societatea de S ¸tiint ¸e Matematice din Romˆania Ministerul Educat ¸iei Nat ¸ionale Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Nat ¸ional˘ a, Sibiu, 8 Aprilie 2014 SOLUT ¸II S ¸I BAREME ORIENTATIVE, CLASA a VI-a Problema 1. Se consider˘a mult ¸imea A a numerelor de patru cifre cel mult egale cu 2014. Determinat ¸i num˘ arul maxim de elemente al unei submult ¸imi a lui A care cont ¸ine numai p˘ atrate perfecte, oricare dou˘a primeˆ ıntre ele. Solut ¸ie. Dac˘ a n 2 ∈ A, atunci n ∈{32, 33, 34, ..., 44} .................................. 3p Pentru a ˆ ındeplini condit ¸iile din enunt ¸, dintre elementele p˘atrate perfecte ale lui A, vom p˘ astra un p˘ atrat perfect multiplu de 4, un p˘atrat perfect multiplu de 9, dar nu ¸ si de 4, un p˘ atrat perfect multiplu de 25, care nu este multiplu de 4 sau 9 etc ........................ 3p Un exemplu poate fi: 32 2 , 33 2 , 35 2 , 37 2 , 41 2 ¸ si 43 2 . Num˘ arul maxim de elemente este 6 ................................................... 1p Problema 2. Un num˘ ar natural n> 1 se nume¸ ste p-periodic dac˘ a 1 n se poate scrie sub forma unei fract ¸ii zecimale periodice simple, a c˘ arei cea mai scurt˘a perioad˘a este format˘a din p cifre. Spre exemplu, num˘arul 9 este 1-periodic, deoarece 1 9 =0, (1), iar num˘arul 11 este 2- periodic, ˆ ıntrucˆ at 1 11 =0, (09). a) Determinat ¸i numerele naturale p-periodice n care au proprietatea c˘ a prima cifr˘ a a pe- rioadei num˘ arului 1 n este nenul˘ a. b) Determinat ¸i cel mai mare num˘ ar prim care este 4-periodic. Solut ¸ie. a) Deoarece 1 n ≥ 1 10 ,rezult˘a n ≤ 10 ¸ si (n, 10) = 1 ............................... 2p ˆ Inseamn˘ a c˘ a n ∈{3, 7, 9} ............................................................. 1p b) 1 n = m 9999 , unde 1 ≤ m ≤ 9998 ...................................................... 1p Deci n · m = 9999 = 3 2 · 11 · 101 n este num˘ ar prim ¸ si cel mai mare ˆ ın condit ¸iile date, rezult˘a n = 101 ˆ Intr-adev˘ ar, 1 101 = 99 9999 =0, (0099) .................................................... 3p Problema 3. Se consider˘ a un num˘ar natural n. Spunem c˘ a un triplet de numere naturale nenule, nu neap˘ arat distincte (x, y, z ) este de tip n dac˘ a x + y + z = n ¸ sinot˘amcu s(n) num˘ arul tripletelor de tip n. a) Ar˘ atat ¸i c˘a nu exist˘a niciun num˘ ar natural n pentru care s(n) = 14. b) Determinat ¸i cel mai mic num˘ ar natural n pentru care s(n) > 2014. Solut ¸ie. a) Trei numere diferite dou˘ acˆatedou˘ a genereaz˘a 6 triplete. Dac˘ a numai dou˘ a dintre numerele tripletului sunt egale se pot forma 3 astfel de triplete. Nu se poate forma decˆat cel mult un triplet cu toate componentele egale. Rezult˘ a c˘ a num˘ arul tripletelor este de forma 3k sau 3k + 1, k ∈ N, iar 14 este de forma 3k + 2. ˆ In concluzie nu exist˘a numere naturale care s˘a verifice condit ¸ia .......................................................................... 3p b) Pentru x = 1 rezult˘ a y + z = n - 1¸ si avem n - 2 triplete. Pentru x = 2 rezult˘ a y + z = n - 2¸ si avem n - 3 triplete. ..........................................................................................
-
Upload
lusienopop -
Category
Documents
-
view
216 -
download
1
description
ONM 2014 Solutii_6
Transcript of ONM 2014 Solutii_6
Societatea de StiinteMatematice din Romania Ministerul Educatiei Nationale
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Nationala, Sibiu, 8 Aprilie 2014
SOLUTII SI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a VI-a
Problema 1.Se considera multimea A a numerelor de patru cifre cel mult egale cu 2014. Determinati
numarul maxim de elemente al unei submultimi a lui A care contine numai patrate perfecte,oricare doua prime ıntre ele.
Solutie. Daca n2 ∈ A, atunci n ∈ {32, 33, 34, ..., 44} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pPentru a ındeplini conditiile din enunt, dintre elementele patrate perfecte ale lui A, vom
pastra un patrat perfect multiplu de 4, un patrat perfect multiplu de 9, dar nu si de 4, unpatrat perfect multiplu de 25, care nu este multiplu de 4 sau 9 etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p
Un exemplu poate fi: 322, 332, 352, 372, 412 si 432.Numarul maxim de elemente este 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Problema 2. Un numar natural n > 1 se numeste p-periodic daca1
nse poate scrie sub
forma unei fractii zecimale periodice simple, a carei cea mai scurta perioada este formata din
p cifre. Spre exemplu, numarul 9 este 1-periodic, deoarece1
9= 0, (1), iar numarul 11 este 2-
periodic, ıntrucat1
11= 0, (09).
a) Determinati numerele naturale p-periodice n care au proprietatea ca prima cifra a pe-
rioadei numarului1
neste nenula.
b) Determinati cel mai mare numar prim care este 4-periodic.
Solutie. a) Deoarece 1n≥ 1
10, rezulta n ≤ 10 si (n, 10) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Inseamna ca n ∈ {3, 7, 9} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pb) 1
n= m
9999, unde 1 ≤ m ≤ 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deci n ·m = 9999 = 32 · 11 · 101n este numar prim si cel mai mare ın conditiile date, rezulta n = 101Intr-adevar, 1
101= 99
9999= 0, (0099) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p
Problema 3. Se considera un numar natural n. Spunem ca un triplet de numere naturalenenule, nu neaparat distincte (x, y, z) este de tip n daca x+y+z = n si notam cu s(n) numarultripletelor de tip n.
a) Aratati ca nu exista niciun numar natural n pentru care s(n) = 14.
b) Determinati cel mai mic numar natural n pentru care s(n) > 2014.
Solutie. a) Trei numere diferite doua cate doua genereaza 6 triplete. Daca numai doua dintrenumerele tripletului sunt egale se pot forma 3 astfel de triplete. Nu se poate forma decat celmult un triplet cu toate componentele egale. Rezulta ca numarul tripletelor este de forma 3ksau 3k + 1, k ∈ N, iar 14 este de forma 3k + 2. In concluzie nu exista numere naturale care saverifice conditia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
b) Pentru x = 1 rezulta y + z = n− 1 si avem n− 2 triplete.Pentru x = 2 rezulta y + z = n− 2 si avem n− 3 triplete.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pentru x = n− 2 rezulta y + z = 2 si avem 1 triplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pNumarul total de triplete este 1 + 2 + ... + (n− 2) = (n−2)(n−1)
2
Din conditia (n− 2)(n− 1) ≥ 4030 si n cel mai mic numar natural, rezulta n = 65 . . . . 2p
Problema 4. In triunghiul ABC consideram punctele M,N ∈ (AB), P,Q ∈ (BC) siS,R ∈ (AC) astfel ıncat AM = CR, AN = CS, ^MQB ≡ ^RQC si ^NPB ≡ ^SPC.Aratati ca daca MQ + QR = NP + PS, atunci triunghiul ABC este isoscel.
Solutie.
Fie R′ simetricul punctului R ın raport cu dreapta BC. Rezulta ca 4QRC ≡ 4QR′C.
Deducem ca CR′ = CR, QCR′ ≡ QCR si R′QC ≡ RQC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deoarece R′QC ≡ MQB rezulta ca punctele M, Q, R′ sunt coliniare, prin urmare MR′ =MQ + QR′ = MQ + QR (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Analog, daca S ′ este simetricul punctului S ın raport cu dreapta BC, punctele N, P, S ′
sunt coliniare si NS ′ = NP + PS ′ = NP + PS (2).Din (1) si (2) rezulta MR′ = NS ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
Deoarece R′CQ ≡ RCQ ≡ PCS ′ rezulta ca punctele C, R′, S ′ sunt coliniare. Prin urmareS ′R′ = S ′C −R′C = SC −RC = AN − AM = MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
4MNS ′ ≡ 4S ′R′M (L.L.L.) implica NMS ′ ≡ MS ′R′, de unde AB ‖ S ′C. Inseamna ca
ABC ≡ BCS ′ ≡ ACB, asadar 4ABC este isoscel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
2
