29

LUCRAREA NR. 3

DETERMINAREA DISTANEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE

Tema lucrrii: 1) Determinarea distanei focale a unei oglinzi concave 2) Determinarea distanei focale a unei oglinzi convexe 3) Studiul aberaiei de astigmatism la oglinda concava

Aparate: Surs de lumin, obiect luminos, oglind concav, oglind convex, oglind plan, lentil convergent, vizor, banc optic cu bra mobil, cavaleri.

30

Consideraii teoretice:

Oglinzile sunt suprafee reflecttoare. Cele mai utilizate sunt oglinzile sferice (suprafaa reflecttoare are forma unei calote sferice) i oglinzile plane (suprafaa reflecttoare este plan). Oglinzile sferice sunt de dou feluri: concave (convergente), au faa reflecttoare ndreptat spre centrul de curbur i convexe (divergente) au faa reflecttoare spre exterior.

n continuare considerm c razele de lumin se propag astfel nct toate unghiurile sunt mai mici de 5 o . n acest caz spunem c suntem n aproximaia Gauss.

Fig. 3.1 Reflexia razelor paralele cu axa optic pe a) oglinda concav, b) oglinda convex

n cazul unei oglinzi concave, un fascicul de lumin, paralel cu axa optic, se reflect astfel nct toate razele emergente trec prin focarul oglinzii F (fig. 3.1.a). n cazul unei oglinzi convexe, un fascicul de lumin paralel cu axa optic, se reflect n aa fel nct prelungirile tuturor razelor emergente trec prin focarul virtual al

oglinzii F (fig. 3.1.b). Distana dintre vrf i focar se numete distan focal i depinde de raza sferei

din care face parte calota, conform relaiei 2Rf = .

ntre distana obiect p1, distana imagine p2 i distana focal a oglinzii f exist

relaia: 21 p

1p1

f1

+= (3.1)

Am notat VA1 = p1, VA2 = p2 i VF = f (fig. 3.2, 3.3). Efectund calculele se

obine: 21

21

ppp.pf

+= (3.2)

V F F C C V

a b

31

Prin convenie se iau cu semnul plus segmentele orientate n faa oglinzii

(naintea feei reflecttoare) i cu semnul minus cele din spatele oglinzii.

Fig. 3.2 Construcia imaginii unui obiect ntr-o oglind concav

Fig. 3.3 Construirea imaginii unui obiect ntr-o oglind convex

Menionm c razele de lumin se reprezint cu linie continu, iar prelungirile lor cu linie punctat. Obiectele i imaginile reale se reprezint cu linie continu, iar cele virtuale cu linie punctat.

Aberaia de astigmatism Pentru ca un sistem optic s realizeze o imagine corect a obiectului, este necesar ca aceast imagine s fie:

- stigmatic: unui punct obiect s-i corespund un singur punct imagine; - ortoscopic: imaginea s fie asemenea cu obiectul din punct de vedere geometric; - aplanatic: pentru un obiect plan aezat perpendicular pe axa optic s se obin o imagine plan, situat tot perpendicular pe axa optic.

Dac razele de lumin monocromatic ce cad pe un sistem optic sunt limitate la domeniul paraxial, cum este cazul aproximaiei Gauss, imaginile obinute pot fi considerate c satisfac condiiile de mai sus.

n cazul aproximaiei Gauss, unghiurile sunt suficient de mici pentru a putea neglija termenii superiori din dezvoltarea n serie a funciei sinus:

....

!5!3sin

53

++=iiii

B1 A2

B2 V

A1 C F

A1

B1

V A2

B2

F C A2

B2

V A1 F C

B1

32

n acest caz lum n considerare doar primul termen (sin i = i) deci legea refraciei (n1sin i2= n2sin i2) devine:

n1i1=n2i2

Dac unghiurile de inciden sunt mai mari, imaginile nu mai sunt stigmatice i apar aberaiile. Limitnd problema la cazul sistemelor cu deschidere mic, pentru care unghiurile de inciden nu sunt prea mari, astfel ca n dezvoltarea n serie a sinusului s se poat pstra numai primii doi termeni:

!3sin

3iii =

se realizeaz aproximaia de ordinul trei a lui Seidel. n aceast aproximaie, abaterile de la reprezentarea perfect a imaginii pot fi exprimate prin 5 termeni de corecie. Aceti termeni definesc cele 5 aberaii ale lui Seidel; aberaia de sfericitate, coma, astigmatismul, curbura imaginii i distorsia, numite n general aberaii geometrice. n cazul incidenelor mai mari, n care nu se mai pot neglija termenii de ordin superior din dezvoltarea n serie a sinusului, apar i alte aberaii. Astfel, de exemplu, n aproximaia de ordin 5 apar 9 aberaii distincte, n cea de ordinul 7 se observ 14 etc. Aberaia care apare n cazul fasciculelor nguste, nclinate fa de axa optic a sistemului, poart numele de astigmatism. n cazul unui obiect punctiform astigmatismul const n apariia a dou imagini sub form de dou segmente de dreapt perpendiculare una pe alta i situate la distane diferite fa de sistem (fig. 3.4.). Pentru obinerea acestor dou imagini razele de lumin se grupeaz n dou moduri: 1. Razele care sunt coninute ntr-un plan meridian al dioptrilor (plan determinat de axa optic a sistemului i obiect) se strng ntr-un punct T dup traversarea sistemului (numai n cazul fasciculelor nguste).

33

Fig. 3.4. Aberaia de astigmatism la o lentil

Grupnd razele n planele paralele cu planul meridian, locul geometric al punctelor de intersecie T este un segment de dreapt T1T2 perpendicular pe planul meridian. Acest segment de dreapt reprezint imaginea tangenial n cazul unui punct obiect situat la distan finit, sau focarul tangenial pentru fascicule paralele. 2. Razele care sunt coninute ntr-un plan perpendicular pe planul meridian i care trec prin punctul obiect i centrul optic al sistemului, se strng ntr-un punct S dup traversarea sistemului. Grupnd razele n plane paralele cu acest plan, punctul S descrie un segment de dreapt S1S2 coninut n planul meridian. Acest segment de dreapt reprezint imaginea sagital n cazul unui punct obiect situat la distan finit, respectiv focarul sagital pentru fascicule paralele.

Distana dintre punctul T i S se numete distan de astigmatism i depinde de

unghiul dintre fasciculul incident i axa optic.

Mersul lucrrii:

1) Determinarea distanei focale a unei oglinzi concave

a) Metoda direct Se aeaz pe bancul optic n ordine, sursa de lumin, obiectul luminos O,

Ocularul (vizorul) OC, oglinda concav Og (fig. 3.5). Vizorul cu care se fac observaiile este alctuit dintr-o prism cu reflexie total

i un ocular pozitiv (fig. 3.6).

lentila

T1

T2 S2

S1 S

T

A

O

34

Oglinda concav i obiectul luminos se centreaz, astfel nct centrul oglinzii s fie bine iluminat. Vizorul se aeaz ceva mai jos pentru a nu mpiedica complet trecerea luminii de la obiect la oglind. Se regleaz vizorul deplasnd ocularul (se modific distana dintre prism i ocular) pn se vd clar firele reticulare cu ochiul relaxat (acomodat pentru infinit). Apoi se deplaseaz vizorul pe bancul optic (ntre oglind i obiectul luminos) pn cnd se obine o imagine clar a obiectului luminos n planul firelor reticulare.

Fig. 3.5

Aceasta se poate verifica astfel: dac planul reticulului nu coincide exact cu planul imaginii, la o uoar micare a capului spre stnga sau spre dreapta se vede c reticulul pare a se mica fa de imagine, (deplasare de paralax). Cnd ambele plane coincid, la o deplasare a capului imaginea i reticulul se mic simultan n acelai sens.

Fig. 3.6 Schema ocularului.

Fie aob, ao i aog diviziunile de pe bancul optic n dreptul crora se afl obiectul luminos, vizorul, respectiv oglinda. Se calculeaz distanele:

p1 = aob - aog

p2 = ao - aog

ocular

fire reticulare

p2

p1

Og Oc

O

S

aob

ao

aog

35

Pstrnd fix poziia obiectului aob, se fac cel puin trei determinri pentru poziia

imaginii ao, apoi se calculeaz p2, respectiv valoarea medie 2p .

Cu perechea de valori p1 i 2p se calculeaz distana focal f cu ajutorul relaiei (3.2). Deoarece mrimile p1 i p2 pe care le utilizm n formula (3.2) sunt experimentale, deci se determin fiecare cu o anumit eroare, atunci i mrimea calculat f este afectat de o eroare. n cazul bancului optic divizat n milimetri, eroarea cu care se determin distana obiect este p1 = + 1 mm. Determinarea valorii

distanei imagine nu se poate face cu aceeai precizie. La determinarea distanei imagine mai intervine eroarea de punere la punct, adic de apreciere a poziiei celei mai clare imagini.

Eroarea de punere la punct este determinat de starea ochiului observatorului, de calitatea imaginii, de profunzimea de cmp, etc., factori ce nu pot fi evaluai cu precizie apriori. Din aceast cauz pentru a evalua eroarea de punere la punct, implicit eroarea asupra mrimii p2, se procedeaz experimental. Din cele trei determinri efectuate se calculeaz valoarea medie

3pppp

''

2'

222

++= i erorile absolute individuale p2.

Pentru a obine eroarea absolut n cazul determinrii distanei focale f, se difereniaz relaia (3.1) i se obine succesiv:

))pp(pp)pp(

pp(f 221

21

2221

22

1+

++

= (3.3)

)pp

pp(ff 2

2

221

12 += (3.4)

n concluzie eroarea absolut maxim n cazul determinrii distanei focale, fmax se obine din relaia (3.4) unde pentru p1 se consider valoarea stabilit, pentru p2 valoarea medie 2p iar pentru p1, valoarea erorii de citire, adic + 1 mm. Pentru p2 se

consider cea mai mare dintre erorile absolute individuale calculate. Se modific distana obiect prin deplasarea obiectului luminos fa de oglind i se repet experiena ca mai sus.

36

Experiena se repet pentru cel puin trei valori diferite ale lui p1. Se calculeaz de fiecare dat valorile distanei focale corespunztoare f, valoarea medie a distanei

focale f , erorile absolute individuale f i eroarea absolut medie f .

Erorile individuale f trebuie s fie mai mici sau cel mult egale cu eroarea

absolut maxim fmax calculat cu ajutorul relaiei (3.4). Rezultatele experimentale i erorile calculate se trec n tabelul 3.1.

Tabelul 3.1

aob aog ao p1 p2 2p p1 p2 f f f fmax f ff

cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm % Rezultatele obinute pot fi sintetizate cu ajutorul formulei: ( )cmfff = .

b) Metoda fasciculului paralel Distana focal a unei oglinzi concave se poate determina direct dac fasciculul

care cade pe oglind este paralel. n acest caz dup reflexie razele de lumin converg n focar.

Metoda autocolimaiei Dac plasm un obiect luminos A1B1 n planul focal al unei lentile convergente

L, atunci fasciculul luminos emergent va fi paralel. n spatele lentilei, perpendicular pe axa optic principal, plasm o oglind plan. Fasciculul paralel de lumin se reflect pe oglinda plan, trece din nou prin lentil i formeaz imaginea A2B2 n planul focal al lentilei. Imaginea este real, egal cu obiectul i rsturnat. Aceast metod se numete autocolimaie, deoarece aceeai lentil colimeaz (paralelizeaz) fasciculul i l focalizez pentru a forma imaginea A2B2 (fig. 3.7).

Fig. 3.7 Metoda autocolimaiei

A1

B1

A2

B2

L

Og

37

Pe bancul optic se aeaz n ordine: sursa de lumin S, obiectul luminos O, lentila convergent L, vizorul OC i oglinda concav Og (fig. 3.8).

Pentru

a obine un fascicul paralel cu metoda autocolimaiei se procedeaz n felul urmtor: n planul obiectului luminos se fixeaz o foaie de hrtie alb, care acoper jumtate din obiectul luminos. Se aeaz o oglind plan perpendicular pe axa optic a lentilei. Se deplaseaz lentila fa de obiectul luminos pn cnd se obine n planul obiectului (pe o bucat de carton) o imagine clar, egal cu obiectul i rsturnat. Conform celor spuse mai sus, n acest caz att obiectul ct i imaginea se gsesc n planul focal al lentilei. Se ndeprtez oglinda plan i se las astfel ca fasciculul paralel de lumin s cad pe oglinda concav.

Fig. 3.8

Deplasm vizorul pe bancul optic pentru a obine, n planul firelor reticulare, o imagine clar a obiectului luminos. Fasciculul incident fiind paralel, imaginea dat de oglind se formeaz n focarul acesteia. Se citete pe bancul optic poziia vizorului ao i poziia oglinzii aog . Distana focal va fi n acest caz:

f = o - aog (3.5) Pentru aceeai valoare aog se fac cel puin trei determinri pentru ao i se

calculeaz valoarea medie 0a care se introduce de fapt n expresia (3.5) pentru a calcula distana focal. Rezultazele experimentale se trec n tabelul 3.2.

Tabelul 3.2.

aog a0 0a f f f f cm cm cm cm cm cm cm

Rezultatele obinute pot fi sintetizate cu ajutorul relaiei: f = ff + (cm).

f

Og

Oc O

S L

aog ao

38

2) Determinarea distanei focale a unei oglinzi convexe Se aeaz n ordine pe bancul optic: sursa de lumin S, obiectul luminos O,

lentila convergent L i pe braul mobil (care se gsete n prelungirea braului fix), vizorul OC (fig. 3.9).

Fig. 3.9

Se deplaseaz lentila convergent pn cnd se obine o imagine clar a obiectului luminos n vizor (pe ct posibil ct mai aproape de locul unde se va aeza oglinda convex). Fie a1 poziia vizorului. Se determin de cel puin trei ori poziia a1 i se calculeaz valoarea medie 1.

ntre lentila convergent (de pe braul fix) i vizorul (de pe braul mobil) se aeaz oglinda convex Og. Imaginea dat de lentil servete drept obiect virtual pentru oglinda convex. Dac obiectul virtual se gsete ntre vrful oglinzii convexe i focar, imaginea final va fi real (3.3). Fie aog poziia oglinzii convexe.

Distana obiect este: p1 = aog 1 Se aeaz vizorul pe braul fix ntre oglinda convex i lentil, apoi se

deplaseaz pn cnd se obine o imagine clar a obiectului luminos n planul firelor reticulare, acestea fiind imaginea real dat de oglinda convex. Fie noua poziie a vizorului a2.

Se repet experiena (lsnd poziia lentilei i a oglinzii fixe) fcnd cel puin trei determinri pentru a2 i se calculeaz apoi valoarea medie 2. Se calculeaz distana imagine: p2 = 2 aog

Cu aceste valori p1 i p2 se calculeaz distana focal a oglinzii convexe cu relaia (3.2). Experiena se repet pentru cel puin trei poziii 1 diferite ale obiectului virtual.

Og

Oc O

S L

p2 p1

Oc

a2 a1

aog

39

Rezultatele experimentale i calculele se trec n tabelul 3.3. Tabelul 3.3

a1 1a aog a2 2a p1 p2 f f f f ff

cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm % Rezultatele obinute pot fi sintetizate cu ajutorul relaiei: f = ff +

Observaie: Pentru determinarea distanei focale n cazul oglinzii convexe se poate proceda i n felul urmtor:

Se determin mai nti distana imagine p2. Se aeaz pe bancul optic sursa de lumin S, obiectul luminos O, lentila convergent L, vizorul OC i oglinda convex Og. Se deplaseaz vizorul i lentila pn cnd se obine o imagine clar a obiectului luminos. Se determin poziia imaginii a2 de cel puin trei ori. Se nltur oglinda convex de pe bancul optic, se rotete braul mobil pn cnd ajunge n prelungirea braului fix. Se aeaz vizorul pe braul mobil i se deplaseaz pn cnd se obine din nou o imagine clar. Se determin poziia obiectului virtual a1 de cel puin trei ori. Se repet msurtorile n ordinea descris de cel puin trei ori.

3) Studiul aberaiei de astigmatism la oglinda concava Metoda fasciculului paralel Pe bancul optic se aeaz n ordine: sursa de lumin S, obiectul luminos O,

lentila convergent L, vizorul OC (aezat pe braul mobil) i oglinda concav Og (fig. 3.10).

Atenie: obiectul luminos trebuie aezat astfel nct liniile caroiajului s fie pe direcia vertical, respectiv orizontal.

Se centreaz dispozitivul experimental. Cu ajutorul lentilei convergente se obine un fascicul paralel prin metoda autocolimaiei.

Rotim braul mobil (pe care se afl vizorul) n plan orizontal pn cnd ntre braul fix (fasciculul incident) i braul mobil (fasciculul emergent) se realizeaz un unghi 2 = 60, msurat pe discul gradat al dispozitivului. Se rotete oglinda concav n jurul axei verticale pn cnd fasciculul reflectat se propag de-a lungul braului mobil. n acest caz, unghiul dintre fasciculul incident i normala la oglind (respectiv unghiul dintre normala la oglind i fesciculul reflectat) este = 30.

Deplasnd vizorul pe braul mobil al bancului optic se observ c nu se poate

40

obine, n planul firelor reticulare, o imagine clar a obiectului luminos, dar se obine imaginea clar a liniilor verticale i imaginea clar a liniilor orizontale. Fasciculul

incident fiind paralel, imaginea dat de oglind se formeaz n focarul acesteia.

Fig. 3.10

Poziia vizorului pentru care este clar imaginea liniilor verticale (focala tangenial) se noteaz cu at, iar poziia vizorului pentru care este clar imaginea liniilor orizontale (focala sagital) se noteaz cu as. Se modific unghiul de la valoarea de 30 la 10 din 5 n 5 . Pentru fiecare valoare a unghiului se deplaseaz vizorul pe bancul optic pn ce n planul firelor reticulare se obine imaginea clar a liniilor verticale (imaginea tangenial at) i imaginea clar a liniilor orizontale (imaginea sagital at). La sfrit se fac msurtori pentru unghiul = 0 i se citete poziia oglinzii concave aOg.

Distana focal tangenial este dat de relaia: ft = at aOg

iar distana focal sagital este: fs = as aOg

Pentru fiecare valoare a lui se fac cel puin trei determinri i se calculeaz

valorile medii tf i sf . Cu aceste valori medii se calculeaz distana de astigmatism

pentru fiecare valoare a lui :

ts ffa =

Not: Pentru = 0 se obine distana de astigmatism diferit de zero doar in cazul n care ochiul observatorului este afectat de astigmatism. n cazul unui ochi

Og

Oc

O S

L

aog

at, as

2

41

normal, poziia imaginii sagitale coincide cu poziia imaginii tangeniale (pentru = 0).

Rezultatele experimentale se trec n tabelul 3.4. Tabelul 3.4

aOg as at fs sf ft tf a

cm (0) cm cm cm cm cm cm cm

Se reprezint pe acelai grafic funciile: (ft) = f(); (fs) = f() i a = a().