1

Semnale si sisteme

Facultatea de Electronica siTelecomunicatii, octombrie 2010

OBIECTIVELE CURSULUI

Disciplina îşi propune să familiarizeze studentul cu noţiunile de semnal şi de sistem, care stau la baza tuturor disciplinelor pe care acesta le va parcurge în continuare. Studentul este învăţat să judece şi în domenii alternative domeniului timp, ca de exemplu domeniul frecvenţă. Este antrenat să lucreze cu aparate specifice domeniului frecvenţă, ca de exemplu: voltmetre selective şi analizoare de spectru.

2

SUBIECTELE CURSULUI1. Definiţii şi clasificări.2. Determinarea răspunsului unui sistem liniar şi invariant în timp la un semnal specificat, Convoluţia semnalelor în timp discret, Convoluţia semnalelor în timp continuu, Metoda armonică.3. Analiza de fecvenţă a semnalelor periodice, Seria Fourier şi transformata Fourier folosite pentru analiza semnalelor în timp continuu, Seria Fourier în timp discret şi transformata Fourier în timp discret pentru analiza semnalelor în timp discret.4. Analiza de frecvenţă a semnalelor aperiodice în timp continuu, Transformarea Fourier.5. Analiza de frecvenţă a semnalelor aperiodice în timp discret. Transformarea Fourier în timp discret.

3

BIBLIOGRAFIE

Naforniţă Ioan, Gordan Cornelia, Isar Alexandru, “Semnale şi Sisteme”, http://shannon.etc.upt.ro/cercetare/carti.htmlhttp://shannon.etc.upt.ro/teaching/

1.1. Semnale

Un fenomen fizic, variabil in timp, care poarta cu sine o informatie este un exemplu de semnal.

Tipuri de semnale:biologice, acustice, chimice, optice, electronice,…

4

a)

b)

5

6

Modelul matematic

Functia, avand ca variabila independenta timpul,

( ) [ ]310 2 10 Vx t sin t= ⋅ π⋅ ⋅

Semnale in timp discret

Esantionand x(t) cu pasul Te=0,05 ms

n=t/Te – timp normat

( ) ( )[ ]

3 310 2 10 0 05 10

10 0 1 V ex̂ t x nT sin , n

sin , n n Z

−= = ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅π ⋅ ∈

[ ] ( ) ; ex n x nT n Z= ∈

7

Cateva semnale mai importantepentru un inginer

i) Semnalul sinusoidal( ) ( )0

0 0 02 , x t Acos tA, f , T

= ω +ϕω = π ϕ

8

Semnalul sinusoidal este periodic

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0

0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

00 0

si

2

1 2

x t T x t , t

x t nT x t , t n Z

Acos t T Acos t ; t

cos t T cos t , tT

Tf

+ = ∀

+ = ∀ ∀ ∈

⎡ ⎤ω + +ϕ = ω +ϕ ∀⎢ ⎥⎣ ⎦ω +ϕ+ω = ω +ϕ ∀

ω = ππ= =

ω

ii) Semnalul sinusoidal in timpdiscret

[ ] ( )

[ ] [ ][ ]

[ ] ( )( ) ( )

0

0 0

00 0

e

0

0 0

=2 - frecventa in timp discret

2

e

e e

e

x n Acos T nradT T s rad

sfTf

x n Acos n

cos n cos n

= ω +ϕ

ω = ω = =

Ω = ω π

= Ω +ϕ

⎡ ⎤Ω + π +ϕ = Ω +ϕ⎣ ⎦

9

Frecventa in timp discret[ ] 0x n cos n= Ω

“Confuzii” datorate esantionarii( )0 1

20 =0,1,...ke

; x t Acos k t; kT+πΩ = =

10

( ) ( )2 1 =0,1,...ke

x t Acos k t; kTπ= +

Trecerea din timp continuu in timp discret prinesantionare poate produce “confuzii”.

Peridicitatea dupa n a semnaluluisinusoidal in timp discret

Fie numarul natural N perioada dupa n a acestuisemnal.

11

Exemplu

Valoarea minima a lui k pentru care N esteun intreg este k=2. Rezulta N=7, perioadasemnalului .

Semnalul nu esteperiodic dupa n.

00

4 7 2 7 77 4 4 2

N k kπ π ⋅Ω = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅Ω

[ ] 47

x n Acos nπ⎛ ⎞= + ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] ( )2x n Acos n= +ϕ

iii) Semnalul treapta unitara in timpcontinuu( ) 1 0

0 0, t

t, t

≥⎧σ = ⎨ <⎩

Acesta este doar un model neputand fi generat in practica.

12

Semnalul treapta unitara discreta

[ ] ( ) 1 00 0e, n

n nT, n

≥⎧σ = σ = ⎨ <⎩

Semnalul impuls unitar in timpcontinuu. Impulsul lui Dirac.

( )

( )0

0

1

00 0

k

k

k

kk

f t dt

, tlim f t

, t

∞

−∞

→∞Δ →

Δ →

=

∞ =⎧= ⎨ ≠⎩

∫

( )

( )

00 0

1

, tt

, t

t dt∞

−∞

∞ =⎧δ = ⎨ ≠⎩

δ =∫

13

O proprietate remarcabila( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0

0

0

0

0 0 1 0

k k

k k

k k

t f t f t

lim t f t lim f t

t t t

t t dt t dt

t dt

Δ → Δ →

∞ ∞

−∞ −∞∞

−∞

ϕ ≅ ϕ

ϕ = ϕ

ϕ δ = ϕ δ

ϕ δ = ϕ δ =

= ϕ δ =ϕ ⋅ = ϕ

∫ ∫

∫

( ) ( ) ( )0t t dt∞

−∞ϕ δ =ϕ∫

Proprietatea de filtrare a impulsului Dirac

Legatura intre impulsul unitar sitreapta unitara

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

0

k

k k

k

k

'k k

'k k

'

k

lim g t t

g t f t

lim g t lim f t t

lim g t t

' t t

Δ →

Δ → Δ →

Δ →

= σ

=

= = δ

⎛ ⎞= δ⎜ ⎟

⎝ ⎠σ = δ

14

( )

( ) ( )

1 00 0

t

t

, td

, t

d t

−∞

−∞

>⎧δ τ τ = ⎨ <⎩

δ τ τ = σ

∫

∫

Impulsul unitar in timp discret

[ ] 1 00 0, n

n, n

=⎧δ = ⎨ ≠⎩

[ ]nδn

… -3 -2 -1 0 1 2 3…

15

Legatura intre impulsul unitar sitreapta unitara in timp discret

[ ] [ ]

[ ][ ]

[ ] [ ]

1 0 0

2 sau 3. 1

n

kS n k

. n S n

. S n

S n n

=−∞= δ

< =

=

= σ

∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 1

1 1

1 ; - 1

- 1

- 1

n n n

k k kn n

k k

k n k k n n

k n k n n

n n n

− −

=−∞ =−∞ =−∞− −

=−∞ =−∞

δ = σ − δ − δ = σ σ −

δ + δ − δ = σ σ −

σ σ − = δ

∑ ∑ ∑

∑ ∑

n

Alte proprietati ale impulsuluiunitar in timp discret

[ ] [ ] [ ] [ ]0x n n x nδ = δ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ]

2 2 1 1 0

1 1 1 1 1 1

k

k

x k n k ... x n x n x n

x n ... x n n n x n n n x n n n ...

x n x k n k

∞

=−∞

∞

=−∞

δ − = + − δ + + − δ + + δ +

+ δ − + + − δ − − + δ − + + δ − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= δ −

∑

∑

n

x[0]δ[n]

x[1]δ[n-1]x[2]δ[n-2] x[3]δ[n-3]

x[-1]δ[n+1]x[-2]δ[n+2]

-2 -1 0 1 2 3 …

16

vii) Semnalul rampa in timpcontinuu

( ) ( )

( )

( ) ( )

00

0 0

0

0 0

tt d t , t

r t d

, t

t , tr t

, t

r t t t

−∞

⎧τ = ≥⎪= σ τ τ = ⎨

⎪ <⎩≥⎧

= ⎨ <⎩= σ

∫∫

r(t)

t t

viii) Semnalul rampa in timpdiscret

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ]⎩⎨⎧

σ+=<≥+

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥+==σ= ∑ ∑−∞=

=

nnnrnnn

nr

n

nnknrn

k

n

k

1 0,00,1

0,0

0,110

17

ix) Semnalul exponential definit in timp continuu

0

0

0 ; 0 ; ; 1

0 ; ; 0 ; 1

at att t

at att t

a lim e lim e e

a lim e lim e e→−∞ →∞

→−∞ →∞

> = = ∞ =

< = ∞ = =

( ) 7182,2 , , ≅∈= eRaetx at

eat, a>0 eat, a<0

Exponentiala cauzala( ) ( )

( )

; 0

00 0

at

at

x t e t a

e , tx t, t

= σ <

⎧⎪ ≥= ⎨<⎪⎩

eatσ(t), a<01

t0

18

Semnalul exponential definit in timp discret

[ ] [ ]

[ ] +∈=

=

==

Raanx

ae

eenx

n

bT

nbTbnT

e

ee

,-1<a<0

a<-1

0<a<1

a>1

Exponentiala cauzala in timpdiscret

[ ] [ ] 00 0

nn a , nx n a n

, n

⎧⎪ ≥= σ = ⎨<⎪⎩

anσ[n]

0<a<1

19

Oscilatie cu anvelopa exponentialain timp continuu

1>a 10 << a

( )

( )

( ) ( )

0

00

00

21 ; ;

1 ; 2 1 ;

- anvelopa semnalului

k

l

at

atk k k

atl l l

at

x t e cos t

cos t t k x t e

cos t t l x t e

e

= ωπω = = =

ωπω = − = + = −ω

Oscilatie cauzala cu anvelopaexponentiala in timp continuu

( ) ( )0

0 00 0

at

at

x t e cos t t

e cos t , t, t

= ω σ =

⎧⎪ ω ≥= ⎨<⎪⎩

20

Oscilatie cu anvelopa complexa in timp discret[ ] 0

nx n a cos n= Ω

Exercitiu

Trasati graficulsemnalului pentrucazul a>1.

10 << a

1.3. Semnale complexe. Fazori

{ } { }

;

; 2 2

;

j j

j j j j

j j

e cos j sin e cos j sin

e e e ecos sinj

cos Re e sin Im e

θ − θ

θ − θ θ − θ

θ θ

= θ+ θ = θ− θ

+ −θ = θ =

θ = θ =

21

i) Semnalul sinusoidal real( )

( ){ } ( )( ){ } ( ) +ωϕ

+ϕ+ω

∈ϕ+ω=

∈ϕ+ω=

ϕ+ω

RAtAeAe

RAtAAe

tA

tjj

tj

;cosRe

;cosRe

cos

0

0

0

0

0

( ) { }tj

tj

j

j

tj

eA

eAtA

AeA

Ae

e

0

0

0

~

~Recos

~

0ω

ω

ϕ

ϕ

ω

=ϕ+ω

=

-

- partea oscilanta a semnalului

amplitudinea complexa

- fazor care se roteste cu viteza unghiulara ω0.

22

Pentru φ=0, varful fazorului descrie o elice infasurata pe un cilindru de raza A.

t

0T 02T

Frecventa negativa

23

ii) Semnalul real, oscilant, cu anvelopa exponentiala, definit in

timp continuu

In planul real-imaginar varful vectorului ce se roteste cu vitezaunghiulara descrie o spirala.0ω

( ) ( )( )( ){ } { } ( )( )-

tA

tAeeeAeetA

eAetA

RtAetx

ttjtjtj

tj

t

~cosRe~Re

~,cos

0

00

0000

0

0

ϕ+ω==

=

∈σϕ+ω=

σωσϕω

σϕ

σ

anvelopa complexa a lui x(t).

iii) Prin esantionare se obtine[ ] ( ) ( )

( )

[ ] { } [ ]{ }[ ]

[ ]

0

0

0 0

0 0

0

- fazor atasat

- anvelopa complexa

Daca 0 anvelopa complexa este constanta.Vectorul care se roteste cu

eT n ne

j nn

j n j nn j

j

x n Ae cos T n Aa cos n

Aa e

x n Re Aa e e Re A n e

A n

A n Ae

σ

Ω +ϕ

Ω Ωϕ

ϕ

= ω +ϕ = Ω +ϕ

= =

σ = =

%

%

%

0 0

0

0

viteza unghiulara are lungimea constanta.

Daca 0 [ ]2 2

Frecventa negativa in timp discret

j n j nA A, x n Acos n e eΩ − Ω

Ω

ϕ = = Ω = +

24

Prima tema de curs

1.4. Transformari simple ale semnalelor

i) Multiplicarea cu o constanta

Permite amplificarea sauatenuarea semnalului.

25

26

ii) Deplasarea in timp( ) ( )0

0

0

reprezinta versiunea deplasata a lui spre dreapta daca 0stanga daca 0

x t t x tt

t

−>

<

27

iii) Reflectarea semnalului

( ) ( )x t x t= −(

x(t)

x( -t)

x(-t-3)

x(-t+6)

t

t

t

t

[ ] [ ]x n x n= −(

x[n]

n

n

n

n

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

x[-n]

x[-n-3]

x[-n+6]

28

iv) Scalarea timpului pentrusemnale analogice

x(t)

x(2t)

x(0,5t)

( ) ( ) Raatxty ∈= ,