1 Semnale digitale

5/10/2018 1 Semnale digitale - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/1-semnale-digitale 1/40

5

SEMNALE DIGITALE

Se pot transmite mesaje prin aprinderea de focuri (la români),cu

fum (la amerindieni), cu fanioane (sistem folosit încă la comunicaŃiaîntre nave), cu oglinzi, cu lumină de diferite culori (vezi semnalizareaauto), cu biciul (la tracŃiunea animală) şi .... pot fi imaginate tot felulde modalităŃi pentru transmiterea mesajelor.Există o ramură a ştiinŃei care are drept obiectiv comunicarea însisteme tehnice şi o altă ramură privind comunicarea interumană.Omul comunică atât verbal cât şi nonverbal (prin mimică, gesturi,

poziŃie a corpului, prin modul de a se îmbrăca, ş.a.).În cadrul sistemelor tehnice comunicarea are loc prin

intermediul semnalelor, care sunt purtătoare ale mesajului.

Prin semnal se înŃelege o mărime fizică, de orice tip ar fi, carese modifică în timp pentru a transmite un mesaj. Semnalul analogic este un semnal a cărui variaŃie în timp estecontinuă (poate fi exprimat prin mărimi electrice, hidraulice,

pneumatice, mecanice sau orice alte mărimi). Trecerea de la o valoarela alta a semnalului se face printr-o infinitate de valori. Altfel spusdacă luăm două momente de timp în care semnalul are valori precizate,

pentru un timp (oricare ar fi acesta) între cele două vom găsi o valoarea semnalului.

Un semnal analogic spunem că este semnal continuu dacă în oricemoment de timp are aceeaşi valoare. În caz contrar este semnal variabil (în timp).Un semnal variabil în timp )(t v este semnal periodic, de perioadăT [s], dacă pentru orice moment de timp t , avem îndeplinită egalitatea

)t ( v )T t ( v =+ .

11



6

Altfel spus, după T secunde regăsim aceeaşi valoare a semnalului.Preluând valori ale unui semnal analogic la momente de timp discrete,ca în figura 1.1, (proces numit eşantionare) obŃinem un semnal discret.

Valoarea semnalului la un moment de timp se numeşte eşantion.În figura 1.1 semnalul variabil în timp este reprezentat cu linie

punctată iar eşantioanele sunt dreptunghiuri de lăŃime egală cu perioada T de eşantionare şi înălŃime egală cu valoarea eşantionului.Astfel al doilea eşantion are valoarea V 2 iar al treilea are valoarea V 3.Momentele de timp la care se preiau eşantioane sunt distanŃate între ele

cu un interval de timp T . Semnalul discret, obŃinut în urmaeşantionării, este un semnal periodic cu frecvenŃa dependentă de perioada semnalului

][1

Hz T

f =

numită frecvenŃa de eşantionare.

1.1. Semnale numerice

Un semnal discret este o mulŃime formată din valori alesemnalului la diferite momente de timp (perechi timp – valoare asemnalului).Spre exemplu, în cazul semnalului din figura 1.1, semnalul discret esteformat din perechi (t 1,V 1), (t 2,V 2), (t 3,V 3), ş.a.m.d. Momentele de timpsunt în relaŃia

Fig 1.1.

T

t

v(t)

V 3

V 2



7

T t t k k +=+1 ,

iar valorile semnalului sunt exprimate prin intermediul unui număr dindomeniul de variaŃie a amplitudinii semnalului ],[ maxmin V V V ∈ .

Un semnal digital este un semnal discret la care valoarea

semnalului se află într-o mulŃime finită max32min ,...,,, V V V V V ∈ .Elementele mulŃimii se numesc eşantioane ale semnalului.Dacă ne interesează cât de repede se poate face eşantionarea într-unanumit sistem (circuitul care realizează eşantionarea se cheamăconvertor analog – numeric CAN) atunci trebuie să precizăm perioadaT de eşantionare - adică trebuie să precizăm intervalele de timp la caresunt prelevate eşantioanele semnalului.Există convertoare analog – numerice care au nevoie de un interval detimp pentru eşantionare de 10 s şi altele care au nevoie numai de

10 ns pentru conversia semnalului analogic în semnal numeric.De fapt timpul de conversie este format din timpul necesar preluării eşantionului din semnalul analogic la care se adună timpulnecesar convertirii eşantionului într-o valoare numerică.Timpul de conversie depinde de domeniul semnalului analogic şi de

precizia cu care semnalul este exprimat în valori numerice. Astfeltimpul de conversie este mai mic dacă domeniul de valori numericeeste 0,..., 16 decât dacă domeniul de valori este 0,..., 256. Primuldomeniu poate fi exprimat cu 4 biŃi iar al doilea cu 8 biŃi. Pentruidentificarea unui bit este necesar un interval de timp, care timp este

proporŃional cu numărul de biŃi. În primul caz precizia reprezentăriieşantionului (analogic) printr-un semnal numeric este de V ∆

16

1 iar în

al doilea caz V ∆256

1 , unde V ∆ este domeniul de variaŃie al semnalului

analogic.

Spre exemplu pentru un interval de variaŃie al semnalului analogic deV ∆ = 1600 mV , dacă reprezentarea se face cu 4 biŃi (exprimând

numerele 0,...,15), avem o precizie de .100161600 mV mV =

Unei tensiuni din domeniu 0,...,99 mV îi corespunde semnalul numeric0000, iar unei tensiuni din domeniul 1000,...,1099 mV îi corespundesemnalul numeric 1010 în exprimarea binară (10 în sistem zecimal).Altfel spus dacă la ieşirea CAN avem semnalul numeric 1010 atunci laintrarea convertorului poate fi o tensiune de 1 V = 1000 mV sau una de



8

1,1 V = 1.099 mV sau oricare altă tensiune din domeniul 1.000,...,1.099mV .

În condiŃiile când conversia s-ar face pe 8 biŃi ( precizia este

mV mV

25,6256

1600= ) domeniul de incertitudine în care se află

semnalul analogic de intrare ar scădea de 16 ori. Semnalul numeric1010 0000 = A0H (H de la hexazecimal )= 160Z (Z de la zecimal)reprezintă semnalul analogic mV mV 100025,6*160 = care corespundeunui semnal de intrare din domeniul 1.000,...,1.006 mV .

Dacă semnalul digital nu este prelucrat de acelaşi circuit (convertorulanalog – numeric) atunci semnalul digital trebuie transmis, prinintermediul unui canal de comunicaŃie , până la circuitul care vaefectua prelucrările.

Transmiterea semnalului numeric se face printr-un mediu decomunicaŃie care poate fi:

- o configuraŃie de conductori electrici,- fibra optică,- un mediu lichid, solid sau un mediu gazos (spre exemplu prin

atmosferă).Observăm faptul că mediul de comunicaŃie reprezintă un element fizic

prin care se propagă semnalele de la sursă (emiŃător) la receptor.Printr-un mediu de comunicaŃie pot fi transmise semnale provenind

de la diferite surse, ceea ce înseamnă că în cadrul unui mediu decomunicaŃie se definesc mai multe canale de comunicaŃie.

Spre exemplu prin intermediul a doi (sau patru) conductoritorsadaŃi pot fi transmise multe convorbiri telefonice.

Un alt exemplu se referă la cablul coaxial prin intermediul căruia setransmit mai multe canale de televiziune la foarte mulŃi abonaŃi .

Separarea canalelor de comunicaŃie între ele , în cadrul mediuluidat, se face prin mai multe procedee (în timp, în frecvenŃă, în fază sau

în spaŃiu) [5,7,28].• Separarea canalelor în frecvenŃă - se poate face alocândfiecărui canal un alt domeniu de frecvenŃe. Spre exemplu în cazulteleviziunii prin cablu se alocă fiecărui canal 6 MHz (standard USA) îndomeniul de frecvenŃe 55,..., 997 MHz , obŃinând astfel 158 canale TV.În cazul UPC – România canalele sunt distanŃate între ele cu 7 MHz începând cu 112,25 MHz şi terminând cu 727,25 MHz – unde, spreexemplu, PRO TV are alocat canalul 189,25 MHz . De notat că



9

alocarea canalelor pentru diferite programe TV o face operatorul decablu, care poate schimba alocarea după cum îi vine mai bine.

• Separarea canalelor în fază - se poate face alocând fiecăruio altă fază semnalului. Două canale folosesc o aceeaşi frecvenŃă dar faza este diferită. Spre exemplu pentru transmiterea semnalelor binare,

în cazul modulaŃiei digitale BPSK( Binary Phase Shift Keying ) , sefoloseşte un semnal sinusoidal care are faza

2

π − pentru a transmite

zero logic şi faza2

π + pentru a transmite unu logic.

• Separarea canalelor în timp – în sensul că un utilizator vafolosi canalul (pentru a-şi transmite propriile semnale) un interval detimp, apoi face o pauză prestabilită (când alŃi utilizatori folosesccanalul), după care utilizatorul preia canalul pentru a-şi transmitesemnalele încă un interval de timp ş.a.m.d. Spre exemplu fiecare

frecvenŃă din cadrul sistemului GSM, permite definirea a 8 canale decomunicaŃie. Fiecare utilizator foloseşte frecvenŃa (pentru comunicare)un interval de 577 s , face o pauză de s s µ µ 039.4577*7 = (cândfolosesc frecvenŃa ceilalŃi utilizatori) şi preia frecvenŃa un nou intervalde 577 s pentru comunicare, ş.a.m.d.

• În cadrul transmisiunilor terestre şi a transmisiilor prinsateliŃi ale semnalului există şi o separare spaŃială a canalelor însensul că se folosesc antene directive care trimit semnalul în altădirecŃie a spaŃiului, către un alt utilizator. Comunicarea este posibilă

pentru că semnalul destinat altui utilizator ajunge la receptor cu valorimult mai mici ale puterii decât semnalul destinat receptorului în cauză.De fapt toate procedeele descrise pot fi privite ca tehnici de acces a

utilizatorului la mediul de transmisie (la un canal de comunicaŃie dincadrul mediului de transmisie dat).

Dacă avem de transmis semnale digitale printr-un canal decomunicaŃie nu ne mai interesează perioada T şi nici frecvenŃa, ci neinteresează cât de multe semnale (simboluri) putem transmite înunitatea de timp.

Se defineşte debitul (rata) semnalelor transmise printr-un canal decomunicaŃie (de al emiŃător la receptor)

T R s

1= [ simboluri/secundă ].

ca invers al timpului necesar transmiterii unui simbol.



10

Dacă fiecare simbol este reprezentat cu m – biŃi atunci debitul (rata) de

bit a semnalelor este de m ori mai mare

T

m Rb

= [biŃi/secundă = b/s =bps ].

Spre exemplu dacă avem un debit de download, din reŃeaua Internet,de 54 kBps ( Bytes), presupunând că simbolurile sunt reprezentate pe 8

biŃi, rezultă că avem un debit de bit de kbps x 432854 = .

Digit provine din limba latină (digitus) fiind tradus prin deget.În matematică şi în cadrul ştiinŃei calculatoarelor termenul digit a intratca neologism în limba română tehnică (nu se traduce) desemnând unsimbol prin intermediul cărora se reprezintă, în sistem poziŃional,numerele.

Deoarece mâna are zece degete s-a adoptat, în majoritatea

zonelor geografice, drept bază de numeraŃie baza 10, cu simbolurile0,...,9. În alte zone coexistă sistemul de numeraŃie în baza 12.

Limitările tehnologice de implementare a simbolurilor şicriteriile de funcŃionare fără erori au impus, în cadrul circuitelor digitale, numai sistemul binar (numit şi boolean) cu simbolurile 0 şi 1.

Exemplul 1. Sistemul de numeraŃie fiind poziŃional fiecărei poziŃii îi este alocată o pondere. Astfel numărul 127, citit una sutădouă zeci şi şapte unităŃi, specifică ponderile alocate

127= 1*102 + 2*101 + 7*100

Constatăm că ponderea este o putere a bazei şi creşte de la dreapta sprestânga.

Prin gruparea a patru cifre binare pot fi evidenŃiate 16combinaŃii, care definesc sistemul hexazecimal, cu simbolurile0,1,....,9,A,B,C,D,E,F (unde A este 10, B este 11 ş.a.m.d.).

Acelaşi număr zecimal se exprimă în hexazecimal127 (zecimal) = 7*161+ 15*160 = 7F (hexazecimal)

Exemplul 2. Ponderea în sistem binar fiind o putere a bazei 2combinaŃia 1101 se poate converti în zecimal, folosind putericrescătoare de la dreapta spre stânga, astfel

1101=1*20+0*21+1*22+1*23= 1+4+8= 13.

În sistem hexazecimal cifra 13 se exprimă prin litera D.



11

Cel mai mare număr care poate fi exprimat cu 4 cifre binare este

1111=1*20+1*21+1*22+1*23= 1+2+4+8= 15,

care în sistem hexazecimal se exprimă prin litera F .

Constatăm că prin intermediul a patru cifre binare (n=4) putemexprima numere până la 15 ( 15 = 2n-1=24 -1 =16-1= 15).Generalizând – cel mai mare număr care poate fi exprimat prin

intermediul an cifre binare este 12n − .

Cu 8 cifre binare obŃinem numere din domeniul 0,..., 255. Înhexazecimal, fiind două grupuri de câte patru cifre binare (digiŃi),celmai mare număr exprimat este FF (255 în sistem zecimal).Pentru exemplul 1 exprimarea în binar a numărului

127 Z (zecimal) = 7F H (hexa),se obŃine comod plecând de la numărul exprimat în hexazecimal şicodificând în binar fiecare cifră (hexazecimală). Cifra 7 este 0111 iar cifra F este 1111 ceea ce conduce la 7F H = 0111 1111 (binar).

În cazul sistemelor de transmisie a datelor (în comunicaŃii, întransferul de date dintre calculatoare, ş.a.) se folosesc şi alte baze,având 3, 4, 8, 16 şi chiar mai multe simboluri (spre exemplu 256simboluri pentru accesul la Internet prin cablu CATV). Numai că o

creştere exagerată a numărului de simboluri creşte probabilitatea demodificare de către perturbaŃii, a mesajului.Din acest punct de vedere, al transmiterii informaŃiei, alfabetul poate ficonsiderat un sistem de transmitere a informaŃiei cu 28 de simboluri.

Există chiar o codificare (propusă în anul 2006 de un student dela Columbia University) folosind simboluri grafice de tipul linii,

pătrate, dreptunghiuri ş.a. care conduc la o comprimare eficientă atextelor – în sensul că un text scris cu caractere latine (eventualcodificate ASCII) ocupă mult mai mult spaŃiu tipografic (sau spaŃiu

pentru memorarea mesajului) decât prin reprezentarea textului cusimbolurile grafice propuse.

În circuitele digitale valorile zero „0” şi „1” logic pot aveadiferite reprezentări, în funcŃie circuitele (mecanice, pneumatice,hidraulice, electomecanice, electronice ş.a.) cu care se implementează.

De cele mai multe ori, adică atunci când circuitul este electronic,cele două valori logice sunt domenii de tensiune delimitate de nivele



12

impuse de standardul adoptat - tensiuni având drept referinŃă punctulde masă al circuitului. În cazul sistemelor de automatizare electronice,cele două valori logice sunt reprezentate uneori şi prin nivele decurent.

Pentru că „1” logic este reprezentat printr-un nivel mare de

tensiune, un circuit aflat în această stare, spunem că este în starea „ H ”(high), altfel este în starea de valoare joasă a tensiunii „ L” (low). Nivelele de tensiune până la care un circuit se află într-o stare

binară depind de valoarea sursei de curent continuu, de tehnologia derealizare a porŃilor (circuitelor) şi de punctul din care privim circuitul(de la intrarea acestuia sau de la ieşirea lui).

Circuitele digitale primesc la intrare şi furnizează la ieşiresemnale dreptunghiulare care se modifica cu o frecvenŃă dată.

Se consideră, prin convenŃie, nivelul de tensiune mică drept „0logic”, iar palierul impulsului este „1 logic”.

Tot prin convenŃie se poate considera „1 logic” tranziŃia H L → şi „0 logic” tranziŃia L H → . Numai că semnalul dreptunghiular este o idealizare, deoarece

semnalul nu poate ajunge instantaneu la nivelul de valoare mare H (high), îi trebuie un timp numit timp de creştere T r . Nu poatescădea instantaneu la nivelul corespunzător lui „0 logic” L (low) , îitrebuie un timp de cădere T f , ca în figura 1.2.[16]

Fig 1.2.

0,1V

0,9V

V

T r T

f T

1=

t



13

Cum vom stabili, în cele ce urmează, timpul de creştere alsemnalului de la intrarea unui circuit impune anumite caracteristicicircuitului.[2,4]

Un semnal periodic )(t av cu pulsaŃia ω , oricare ar fi forma

acestuia, poate reconstituit din mai multe semnale sinusoidale

∑ ++=n

k ak a t k V V t v1

0 )sin()( ϕ ω

cu amplitudinea Vak şi faza k ϕ , calculate conform relaŃiilor

tg ϕ k = K

K

A

B; V ak =

22 K K B A + .

Termenii Ak şi Bk provin din dezvoltarea în serie Fourier

A K = ∫ tdt k t vT

a ω sin)(2 , B K = ∫ tdt k t v

T a ω cos)(

2 .

În cadrul sumei termenul corespunzător valorii k = 1, având pulsaŃia semnalului original, se numeşte fundamentală. Altfel spusfundamentala este o sinusoidă a cărei frecvenŃă este egală cu frecvenŃasemnalului original )(t va .

Termenul V 0 este componenta de curent continuu (valoareamedie a semnalului).Celelalte sinusoide din dezvoltare au frecvenŃe multiplu al

frecvenŃei fundamentalei ( 2 f , 3 f ,..., nf ) şi se numesc armonici alesemnalului.

Exemplu: Să calculăm primii termeni ai dezvoltării în serie Fourier pentru un semnal dreptunghiular cu amplitudinea de 3 V , factorul deumplere k =20% ,frecvenŃa f = 100 Hz (perioada T =10 ms = 0,01 s),reprezentat în figura 1.3.[3]Folosind formulele

∫ =002.0

0)1002sin(3

01.0

2dt t k Ak π ,

∫ =002.0

0)1002cos(3

01.0

2dt t k Bk π



14

obŃinem pentru k=1 şi k=2 următoarele valori

A1=0,6599 , B1=0,9082 ⇒ V 1 = 1,1226 V A2=0,8637 , B2=0,2806 ⇒ V 2 = 0,9081 V V 0 = 0,6 V .

Ceea ce înseamnă că forma de undă dreptunghiulară, cuamplitudinea de 3 V, se poate descompune într-o componentă decurent continuu şi o sumă de două sinusoide una cu frecvenŃa de 100

Hz , amplitudine de 1,1226 V şi alta cu frecvenŃa de 200 Hz ,amplitudine de 0,9081 V , la care se adaugă alŃi termeni cu frecvenŃemari (300 Hz , 400 Hz,..., ş.a.m.d.) şi amplitudini mai mici.

Spectrul de frecvenŃă al unui semnal este o diagramă în care pe

abscisă sunt marcate frecvenŃa fundamentală şi frecvenŃele armonicilor k f iar pe ordonată sunt marcate valorile amplitudinii ak V .

Dacă reprezentarea este în scară logaritmică obŃinem o diagramăBode, ca în figura 1.4.

f 1 f 2 ) f log(

)V

V log( ak

1

0 dB -20dB/dec

-40dB/dec

Fig 1.4.

Fig 1.3.



15

FrecvenŃa f 2 este frecvenŃa la care armonica are o amplitudine

scăzută cu 20 dB faŃă de amplitudinea fundamentalei

121

1

2

1

2

10

1102020 V V

V

V )

V

V log( =⇒=⇒−= − ,

adică amplitudinea armonicei este de 10 ori mai mică decâtamplitudinea fundamentalei. Pentru frecvenŃe mai mari (ca f 2)amplitudinile armonicilor vor fi de 100 ori mai mici decâtamplitudinea fundamentalei (scăderea fiind de 40 dB/dec).

Notă: Raportul a două mărimi de acelaşi fel, spre exempluraportul a două tensiuni, este o mărime adimensională

1

2

V

V AV = .

Dacă valoarea amplificării este mare raportul a două tensiuni în dB

se exprimă prin logaritmul valorii, astfel

][)log(201

2 dBV

V AV = .

Se foloseşte dB pronunŃat “decibel ”.De notat că o scădere de 3 dB corespunde la un raport de 709,0

2

1= ,

adică avem relaŃia 12 709,0 V V = .În cazul raportului de puteri o scădere de 3 dB corespunde la un

raport de 5,02

1= , adică avem relaŃia 12 5,0 P P = , pentru că, prin

definiŃie, raportul de puteri în dB este

][)log(101

2 dB P P A P =

Exemplul 1: Un factor de amplificare de 40 dB al unui sistem,exprimă faptul că semnalul de la ieşirea acestuia este de 100 = 102 orimai mare decât valoarea semnalului aplicat la intrare



16

12

22

1

2

1

2

1

2 1010)(2)log(40)log(20 V V V

V

V

V dB

V

V =⇒=⇒=⇒= .

Exemplul 2: Undele sonore sunt unde de presiune.Pentru a exprima în dB sunetul se foloseşte ca referinŃă pragul de

audibilitate, care poate fi reprezentat de presiunea sonoră minimă şianume , astfel

][][)log(100

SILdBdB p

p p ==

unde SIL (Sound Intensity Level ) întăreşte faptul că se referă la sunete.Presiunea acustică minimă (de referinŃă) este 20 Pa , şi corespunde

presiunii care acŃionează asupra timpanului datorită zboruuil unui ŃânŃar aflat la 3 m de ascultător .Câteva alte puteri acustice:

- 40 dB, liniştea nopŃii;- 95 dB, zgomot puternic, nesănătos;- 120 dB, perforează timpanul;- 163 dB, sparge geamurile.

Valoarea frecvenŃei f 2 , la care avem o cădere de 20 dB acaracteristicii, se calculează în funcŃie de timpul de creştere astfel:

r r T T

f

14.3

112 ==

π

.

Ca idee, dacă timpul de creştere este de 2 ns impulsul trapezoidal vaavea armonici cu amplitudini semnificative până la 160 MHz .[2]

Energia semnalului se distribuie pe componentele spectrale aleacestuia (pe fundamentală şi armonici) în funcŃie de valoareaamplitudinii componentei.

Se defineşte frecvenŃa de tăiere f k ca fiind acea frecvenŃă (a

armonicii) sub care se afla majoritatea energiei semnalului. Altfel spusenergia armonicilor cu frecvenŃa mai mare ca f k este prea mică şi poate fi neglijată în calculul energiei totale.FrecvenŃa de tăiere

r r

k T T

f 2

15,0==



17

depinde de timpul de creştere al semnalului T r şi nu depinde defrecvenŃa semnalului.

Două semnale diferite, chiar de aceeaşi frecvenŃă, au alteamplitudini ale armonicilor (energia semnalului este altfel repartizată) .Rezultă că dacă schimbam amplitudinea unei armonici, sau eliminam o

parte din armonici (cum este cazul în majoritatea situaŃiilor) semnalulnu va mai fi identic cu semnalul original, va fi altul, cu alta formă devariaŃie în timp.

Se impune ca circuitul electronic (digital sau nu) prin care trecesemnalul sa nu distorsioneze forma acestuia. Aceasta se realizeazădacă respectivul circuit permite trecerea frecvenŃelor cel puŃin până lafrecvenŃa de tăiere f k .

Daca circuitul are frecvenŃă de trecere mai mică decât f k (trec

numai armonicile cu frecvenŃe joase) vor fi afectate semnalele cu

viteza mare de variaŃie in timp, adică vor fi afectate fronturile

semnalului (la creşterea şi descreşterea acestuia - în sensul că viteza devariaŃie scade ).

Daca circuitul nu permite trecerea frecvenŃelor joase se va

modifica modul de procesare a semnalelor lent variabile in timp, lalimită va fi afectată componenta continuă (respectiv palierul impulsurilor din figura 1.2.).

Analiza circuitelor digitale se poate face în frecvenŃă cutransformata Fourier, prin intermediul transformatei Laplace, folosindecuaŃiile diferenŃiale ale circuitului sau pe baza răspunsului în timp a

circuitului la aplicarea unui semnal treaptă.Deoarece semnalele sunt de regulă dreptunghiulare şi cum un

semnal dreptunghiular poate fi realizat cu ajutorul a două semnaletreaptă, analiza circuitelor digitale se face la semnal treaptă - sedetermină răspunsul sistemului la aplicarea unui semnal treaptă.

De remarcat că se utilizează semnalul treaptă real, adicăsemnalul care are o viteză de creştere finită (creşte într-un timp T r dela zero la valoarea finală).

Din acest punct de vedere elementele de circuit pot fi privite astfel:- rezistorul, este elementul de circuit care, după aplicarea unui

semnal treaptă de tensiune, menŃine valoarea finală asemnalului până la o nouă schimbare a stării semnalului aplicat;

- inductivitatea, la aplicarea treptei îşi creşte rapid tensiunea apoi tensiunea scade până la zero şi aşa rămâne;

- capacitatea, după aplicarea semnalului îşi creşte valoareatensiunii de la zero până la valoarea finală a semnalului treaptă,



18

într-un timp dependent de valoarea capacităŃii şi de valorilecelorlalte elemente de circuit, după care tensiunea rămâneconstantă.

Spre exemplu un condensator de trecere (de conectare a sursei

de semnal la circuitul digital), având capacitatea C = 500 pF , are oreactanŃă diferită la diferite momente de timp de la aplicarea unuisemnal de tip treaptă, vezi circuitul din figura 1.5.Se calculează tensiunea care ajunge la circuitul digital, reprezentat prinimpedanŃa de intrare cu R = 10 Ω , căruia i se aplică un semnal treaptăcu V i = 1 V pentru un timp de creştere T r = 1 ns.

Tabelul 1.

Conform divizorului de tensiune avem expresia tensiunii

i

C

io V X R

RV

Z

RV

22 +== ,

C f C X

k

C π ω 211 == ,

cu care se obŃin valorile din tabelul 1.FrecvenŃa f k , la care se calculează reactanŃa condensatorului,

este frecvenŃa de tăiere (T

f k

5.0= ).

t [ns] f k [MHz ] X C [Ω ] V o [V ]1 500 0,6 1,00

5 100 3,2 0,9525 20 15,9 0,5390 6 57,3 0,17200 2,5 127,4 0,08

Vo

Vi

C

R

Fig 1.5.



19

Se constată că la aplicarea treptei tensiunea de la intrarea circuitului sestabileşte la valoarea tensiunii de palier V V V i 0,10 == odată cu creştereatreptei (până la timpul T r = 1 ns) .

Cu trecerea timpului semnalul la intrarea circuitului tinde către zero,condensatorul blocând transferul semnalului, vezi figura 1.6.După 200 ns la intrarea circuitului a rămas numai 8% din valoareatensiunii de intrare.

De fapt tabelul 1 şi graficul din figura 1.6 exprimă soluŃia

ecuaŃiei diferenŃiale a circuitului

)t ( uV dt

dV RC )t ( uV Ri C

C C =+⇒=+ ,

obŃinută prin înlocuirea expresiei curentului şi a tensiunii

Se numeşte constantă de timp a circuitului produsul

][ s RC =τ .

SoluŃia ecuaŃiei diferenŃiale este

τ

t

CiCf Cf C eV V V t V −

−−= )()( ,

1 25 200

t [ns]

1

0,53

V o [V ]

Fig. 1.6.

.

,

RiV

dt

dV C i

C

C

=

=



20

unde V Cf este valoarea finală a tensiunii pe condensator iar V Ci estevaloarea iniŃială (la care era încărcat condensatorul în momentulaplicării semnalului de intrare).Tensiune pe sarcină este

C i V V V −=0

Pentru exemplul din figura 1.5 constanta de timp este

ns RC 510*510*500010*500*10 91212 ===== −−−τ ,iar

V Ci = 0 şi V Cf = 1 V .

Tensiunea pe condensator, după ce intrarea s-a stabilizat (după 1 ns,),are o variaŃie exponenŃială

τ τ

t t

C eet V

−−

−=−−= 1)01(1)( ,

tinzând către valoarea finală (adică spre 1,0 V ).

Timpul în care se atinge regimul permanent este, prin definiŃie,acel timp în care tensiunea pe condensator ajunge la 90% din valoareafinală (V Cf = 1 V ). Avem

⇒=⇒−=−−

1,019,0 τ τ

f f t t

ee τ τ τ 3,2)10ln()10ln( 1 ==−= −

f t

De obicei se aproximează considerându-se că s-a atins regimul permanent după un timp de

τ 3= f t ,

Pentru exemplul nostru t f = 3*5 = 15 ns.

Dacă se fac calculele pe baza reactanŃei condensatorului se obŃine untimp final mult mai mare decât cel determinat pe baza ecuaŃieidiferenŃiale a circuitului, vezi tabelul 2.

Forma de undă la intrarea unui circuit digital, cuplat princondensator la un generator de tensiune dreptunghiulară, depinde deconstanta de timp τ a circuitului RC şi de perioada T a semnalului dela intrare.



21

Tabelul 2.

În figura 1.7 este prezentat circuitul a) la creşterea impulsuluiaplicat la intrare (de la zero) şi b) la căderea în zero a semnalului de

intrare (de la valoarea E ).În primul interval de timp ( T u )condensatorul se încarcă cu

polaritatea din figură până la V C = E şi rămâne aşa până la căderea înzero a impulsului de intrare.

EcuaŃiile sunt exponenŃiale

)1()0()()( τ τ τ

t t t

CiCf Cf C e E e E E eV V V t V −−−

−=−−=−−= ,

τ

t

C C i R EeV E t V V t V −

=−=−= )()( .

t [ns] f k [MHz ] V o [V ]cu XC

V o [V ]cu ec. dif.

1 500 1,00 1,00

5 100 0,95 0,4512,5 40 0,78 0,115 33 0,72 0,0625 20 0,53 0,090 6 0,17 0,0200 2,5 0,08 0,0

R V R>0

V C

C

+ -

i V i=E

V C

C

+ -

i V i=0 R V R<0

a) b)Fig. 1.7



22

La căderea impulsului în zero tensiunea de la intrare va fi nulă şicondensatorul fiind încărcat (în intervalul anterior) la V C i = E sedescarcă prin rezistorul R până la V Cf = 0, conform ecuaŃiilor

τ τ τ

t t t

CiCf Cf C Eee E eV V V t V −−−

=−−=−−= )0(0)()( ,

τ

t

C C i R EeV t V V t V −

−=−=−= 0)()( .

În figura 1.8 sunt prezentate formele de undă, asociate tensiunii deintrare V i şi tensiunii de pe rezistorul R (adică tensiunea care ajunge laintrarea circuitului digital) .

SituaŃia prezentată în figura 1.8 este corectă în condiŃiile în care

uT <<τ , pentru că semnalul pe condensator (şi pe sarcină) are timp săajungă la valoarea finală.

Dacă uT >>τ , condensatorul nu are timp să se încarce la valoareafinală ( la E ) în timpul cât sursa de semnal este conectată la bornelecircuitului, adică până la căderea semnalului.

t

V R

E

-E

t

V i

E

Tu

T

Fig. 1.8.



23

Valoarea tensiunii la care se încarcă condensatorul, notată E 1, secalculează la timpul T u când semnalul de intrare se anulează

1)1()( E e E T V uT

uC =−=−τ .

Tensiunea pe rezistor

τ

t

C R Eet V E t V −

=−= )()(

are o formă exponenŃial scăzătoare, de la E la E 2 = E – E 1 (pentru t dela 0 la T u).La momentul imediat următor (după Tu) impulsul de intrare este înzero (ca în figura 1.8,b), condensatorul este încărcat la valoarea E 1 şitensiunea acestuia se aplică rezistorului R cu borna negativă, ceea ceînseamnă că tensiunea efectuează un salt de la V R = E 2 = E – E 1 la

valoarea negativă V R = - E 1.

Fig. 1.9.

t

V i

E

Tu Tu

TV C

E 1

t

t

Tu T p T

Tu T p T

V R

E

E 2

-E 1



24

Condensatorul se descarcă de sarcina acumulată în primul intervalexponenŃial, după ecuaŃia

τ τ

t t

C e E e E t V −−

=−−= 11)0(0)( .

Timpul de descărcare (până la 10% din valoarea la care s-a încărcat)este T p = 2,3 τ . Dacă timpul de pauză (T-T u) este mic decât T p condensatorul nu are timp să se descarce de toată sarcina.

Circuitele digitale prezintă la intrare o capacitate, datorată atâtelementelor din structura circuitului cât şi capacităŃilor dintre electrozi(capacitatea dintre pinii de acces).

Semnalul digital, similar celui din figura 1.2, furnizat de ieşireaunui circuit digital se aplică pe o sarcină rezistiv –capacitivă, ca în

figura 1.10.

Valoarea iniŃială a tensiunii pe condensator V Ci = 0 şi valoareafinală V Cf = 1V se înlocuiesc în ecuaŃia încărcării condensatorului,rezultând aceeaşi valoare a timpului de încărcare ( ca şi la circuitul dinfigura 1.5).

Acest timp final, reprezentând timpul după care circuitul ajunge

la valoarea finală, trebuie înŃeles ca o întârziere a răspunsuluicircuitului la aplicarea semnalului de intrare.În cazul de mai sus s-a aplicat o treaptă de 1 V la t = 1 ns şi pe

condensator s-a obŃinut această tensiune după un timp de 15 ns.Se constată că pentru primul interval de 15 ns, ieşirea circuitului nu semodifică, rămâne în starea anterioară.De fapt, dacă luăm în consideraŃie faptul că cele două stări logice nu seobŃin la valorile extreme ale amplitudinii semnalului de intrare,

Fig. 1.10.

VoVi C

R



25

întârzierea reală a circuitului va fi mai mică. Spre exemplu dacă unulogic are ca limită inferioară nivelul de 0,5 V , atunci întârzierea (vezitabelul 2) va fi mai mică de 5 ns.

Răspunsul circuitului digital se face cu o întârziere faŃă demomentul de timp la care s-a aplicat impulsul de la intrare (datorită

sarcinilor capacitive).Dacă frecvenŃa de lucru a circuitului este mare, există posibilitatea caintrarea să se modifice din nou înainte ca CD să furnizeze un răspuns

pentru semnalul care s-a aplicat iniŃial.În figura 1.11 este prezentat semnalul ideal V i , furnizat de un

generator, şi tensiunea care ajunge la intrarea circuitului digital.Datorită sarcinilor capacitive la intrarea circuitului ajunge

semnalul V e. Constatăm că fronturile impulsului au fost afectate. Lacreşterea impulsului, pe durata T r capacitatea se încarcă iar la cădereaimpulsului, într-un timp T c , capacitatea se descarcă de sarcina pe care

o avea pe palierul impulsului.

T

t

Vi

VM

Tr Tc

T

t

Ve

VM

Fig. 1.11.



26

Timpii de încărcare / descărcare sunt mari pentru valori mari decapacitate, motiv pentru care uneori se folosesc circuite speciale pentruîmbunătăŃirea fronturilor numite regeneratoare.

Problema modificării fronturilor impulsului de către circuiteleRC (cu rezistor şi capacitate) poate fi privită şi prin prisma benzii de

trecere a circuitului. Structura RC este un filtru trece – jos, care permite trecerea frecvenŃelor joase şi atenuează frecvenŃele înalte.Ori semnalul dreptunghiular se descompune într-o sumă de sinusoidede diferite frecvenŃe. Dacă nu trec o parte din frecvenŃele înalte, va fiafectată viteza de variaŃie a semnalului ( acesta ajunge într-un timp maimare la valoarea de regim, adică la palier) - fronturile semnalului nuvor mai fi abrupte (semnalul în timpul T r creşte şi în timpul T c scade).

1.2. Semnale modulate

Un semnal periodic sinusoidal numit semnal purtător (sau purtătoare)

)cos()( 00 ϕ ω += t V t v p p

este caracterizat prin amplitudinea V p exprimată în VolŃi şi frecvenŃa f 0 exprimată în Hz (sau pulsaŃia 00 2 f π ω = exprimată în rad/s ).Prin intermediul semnalului purtător se pot transmite diferiteinformaŃii prin modificarea

- amplitudinii purtătoarei V p (modulaŃie în amplitudine MA),- frecvenŃei f 0 (modulaŃie în frecvenŃă MF)- fazei 00 ϕ ω ϕ += t (modulaŃie a fazei MP)

în funcŃie de conŃinutul mesajului.Semnalul, variabil în timp, care conŃine mesajul ce urmează a fitransmis se numeşte semnal modulator .Dacă mesajul este binar, se alocă o valoare pentru zero logic şi o

valoare pentru unu logic uneia din mărimile enunŃate. În aceste condiŃiisemnalul modulator este un tren de impulsuri dreptunghiulare.Rezultatul modulaŃiei purtătoarei este semnalul modulat (înamplitudine, în frecvenŃă sau în fază).

Exemplul 1. Dacă se recepŃionează o putătoare (un semnal sinusoidal)cu amplitudinea de 10 V spunem că s-a recepŃionat „1 logic”, iar dacăamplitudinea este de 5 V spunem că s-a recepŃionat „0 ” logic.



27

Exemplul 2. În cazul transmisiei de semnale numerice prin liniatelefonică, un semnal (sinusoidal) cu frecvenŃa de 2025 Hz esteinterpretat drept „0 logic” , iar un semnal cu frecvenŃa de 2225 Hz esteinterpretat drept „1 logic”.

De remarcat faptul că în multe din aplicaŃii mesajul nu este unsemnal care să aibă numai două valori distincte (cum este în cazulsemnalului binar). Spre exemplu există coduri care folosesc până la256 valori distincte ale semnalului (în cazul transmisiei de date prinabonament la cablul semnalul MA va avea 256 de valori aleamplitudinii în cazul comunicării de la server spre utilizator - upload).

Semnale modulate în amplitudine

Spunem că un semnal este modulat în amplitudine dacă semnalul util – numit semnal modulator , notat cu indice m - modifică numaiamplitudinea V p a purtătoarei [3] .Purtătoarea v p este un semnal cosinusoidal (sau sinusoidal)

)cos()( 0t V t v P P ω = ,

a cărei frecvenŃă f (şi pulsaŃie ω0) este constantă. Presupunând că semnalul modulator este cosinusoidal atunci

semnalul v p devine semnal purtător al informaŃiei pe care o conŃine

semnalul modulator vm.Semnalul v p modulat de vm poate fi scris sub forma

)cos()()( 0t vk V t v ma P MA ω += ,

numit semnal modulat în amplitudine cu modulaŃie MA normală , cuforma de undă din figura 1.12.S-a notat constanta k a numită factorul de comprimare.Semnalul modulat în amplitudine poate fi descompus matematic în doi

termeni

)cos()cos()( 00 t vk t V t v ma P MA ω ω +=

din care primul „V pcosω0t ” reprezintă purtătoarea iar al doilea„k avmcosω0t ” reprezintă semnalul conŃinând informaŃia ( care este totun semnal modulat în amplitudine).



28

Uneori nu se transmite primul termen (purtătoarea) şi spunemcă avem un semnal modulat în amplitudine cu purtătoare suprimată

MA-PS, exprimat prin funcŃia matematică

)cos()( 0t vk t v maMAPS ω = .

Exemplu: În condiŃiile unui semnalul modulator armonic)cos()( t V t v mmm ω = se poate scrie:

)cos())cos(1()cos()()( 00 t t mV t vk V t v m P ma P MA ω ω ω +=+=

introducând mărimea numită grad de modulaŃie m =

p

ma

V

V k .

Se constată că faptul că gradul de modulare exprimă de câte ori estemai mică amplitudinea semnalului modulat faŃă de amplitudinea

purtătoarei.

Matematic semnalul modulat în amplitudine poate fi descompus(transformând produsul în sumă) astfel:

t mV

t mV

t V

t t mt V t v

m P

m P

P

m P MA

)cos(2

)cos(2

)cos(

)cos()cos()cos()(

000

00

ω ω ω ω ω

ω ω ω

−+++

=+=

în care pot fi evidenŃiate cele trei componente ale unui semnalmodulat în amplitudine, şi anume:

Fig. 1.12.



29

V pcosω0t === purtătoarea,

2 pmV

cos(ω0+ωm )t === componenta laterală dreapta,

2 pmV

cos(ω0-ωm )t === componenta laterală stânga.

Se constată că semnalul util V m (definit prin V m = a

p

k mV ) este prezent

numai în componentele laterale ale semnalului modulat.

Transmiterea semnalului util prin modulaŃia în amplitudine se poate face în mai multe moduri :

- Cu modulaŃie normală MA =>

)cos()()(0

t vk V t vma P MA

ω += ;

- Fără purtătoare (MA - cu purtătoare suprimată) MA-PS

)cos()( 0t vk t v maMAPS ω = ;

- Fără purtătoare (cu purtătoare suprimată) şi fără una dincomponentele laterale (bandă laterală unică) MA-PS-BLU

t

mV

t v m

P

MA )cos(2)( 0 ω ω += ;

- Cu purtătoare suprimată cu banda laterală unică şi un restdin cealaltă bandă laterală este sistemul folosit întransmiterea informaŃiei video şi a informaŃiei audio pentrufiecare canal radiodifuzat de televiziune analogică.

ObservaŃia 1. Puterea de emisie se distribuie pe cele trei componente

P= L

p

R

V 2

2

+2 L

P

R

mV 2

21

2

= L

p

R

V

2

2

+22

221

p

L

mV

R,

o parte pe purtătoare (primul termen din relaŃie) şi în mod egal pe celedouă componente laterale, vezi figura 1.13.



30

Expresia repartizării puterii a condus la introducerea sistemelor de transmisie a semnalelor modulate fără purtătoare şi numai cu unadin benzile laterale pentru că puterea necesară la emisie va fi mai micăşi preŃul de cost va fi mai mic.

Numai că orice câştig (la emiŃător) se soldează cu pierderi în altă parte(la receptor), în sensul că receptoarele pentru semnale MA-PS-BLUvor avea o schemă mai complicată decât cele pentru recepŃiasemnalelor cu modulaŃie MA normală – datorită faptului că receptorul

trebuie să refacă purtătoarea .

ObservaŃia 2. Concluziile desprinse considerând un semnalmodulator armonic (ca mai sus) se extind şi în cazul semnalelor

modulatoare de alta formă, pentru că orice semnal modulator v m sedescompune într-o sumă de semnale armonice

( )∑ +=k

k mak m t k V t v ϕ ω sin)( ,

a căror frecvenŃă este multiplul frecvenŃei semnalului nesinusoidal.

Demodularea (detecŃia) - este procedeul de extragere ainformaŃiei utile, adică a semnalului modulator, din semnalul

recepŃionat. [3,14,22]Având în vedere că sunt mai multe procedee de transmitere asemnalului modulator, schemele electronice de detecŃie sunt specificetipului de modulare.

În cazul transmisiei “normale” (atât a purtătoarei cât şi a celor două benzi laterale) se utilizează două tipuri de detectoare

- detectorul de valoare medie;

Fig. 1.13.



31

- detectorul de valoare de vârf.

Dacă se utilizează un sistem care nu transmite şi purtătoarea (cu purtătoare suprimată) la recepŃie purtătoarea trebuie să fie refăcută şiapoi, în etapa următoare, să se facă extragerea semnalului util.

Spre exemplu : dacă semnalul recepŃionat este MA-PS-BLU (cumodulaŃie a amplitudinii, cu purtătoare suprimată şi bandă lateralăunică) demodularea se realizează cu un circuit a cărei schemă bloc este

prezentată în figura 1.14.

.

Semnalul modulat

)cos()()( 0t t mf V t v P MAPS ω = ,

care, în cazul modulaŃiei cu semnal cosinusoidal )cos()( t V t f mm ω = , poate fi exprimat sub forma (pentru MAPS-BLU)

))cos(()( 0 t mV t v m P MAPS ω ω +=

va fi înmulŃit (în blocul notat “X”) cu purtătoarea

)cos()( 00 t V t v P ω = .

La ieşirea blocului de multiplicare se obŃine semnalul produs notat“ v “ , a cărui expresie este

)2cos()cos(2

)cos(2

)()()( 000 t t mV V

t mV V

t vt vt v m P

m P

P MAPS ω ω ω +== .

Expresia de mai sus are în componenŃă doi termeni:

Fig. 1.14.



32

- dintr-un semnal de joasă frecvenŃă (proporŃional cu semnalulmodulator)

⇒ )cos(2

0 t mV V

m P ω ,

- un semnal de frecvenŃă mare (mai mare de două ori ca frecvenŃa purtătoarei)

⇒ )2cos()cos(2 0

0 t t mV V

m P ω ω .

Filtrul trece-jos FTJ de la ieşirea circuitului de multiplicare arerolul de a permite trecerea semnalului de joasă frecvenŃă, blocândcomponentele cu pulsaŃia mai mare ca 2ω0 .

La ieşirea schemei din figura 1.14 se obŃine semnalul modulator acărei amplitudine depinde de amplitudinea purtătoarei P V , deamplitudinea semnalului recepŃionat 0V şi de gradul “m” de modulaŃie.

Semnale modulate în frecvenŃă

În cazul modulaŃiei în frecvenŃă purtătoarea

)sin()( 0 P P P t V t v ϕ ω +=

de frecvenŃă f 0 (pulsaŃie ω0 ), cu ϕ p fază iniŃială constantă suferă omodificare a frecvenŃei sub acŃiunea semnalului modulator )(t vm .

DeviaŃia frecvenŃei de la valoarea f 0 este o funcŃie de semnalulmodulator (semnalul util)

f t vk f f f mm ∆=∆⇒=−=∆ π ω 2)(0 .

FuncŃia este liniară pentru că deviaŃia este proporŃională, prin k m, cu

semnalul modulator. Cu alte cuvinte pentru o valoare nenulă asemnalului modulator frecvenŃa semnalului modulat este f f f ∆+= 0 .Semnalul modulat în frecvenŃă MF are expresia:

)sin()( P P MF t V t v ϕ ω += .

VariaŃia semnalului modulator în domeniul



33

maxmin mmm vvv <<

determină o modificare a pulsaŃiei ω în domeniul

max0max0 ω ω ω ω ω ∆+<<∆− .

Faza semnalului sinusoidal se calculează cu relaŃia

∫ ∫ ∆

+=+=t

m dt t vt C dt t 0

max0

' )()(ω

ω ω ω ϕ ,

ceea ce conduce la o altă exprimare a semnalului modulat în frecvenŃă

])(sin[)(0max

0 dt t vt V t vt

m P MF ∫ ∆

+=

ω

ω ω .

Pentru extragerea semnalului modulator (proces numitdemodulare), semnalul modulat vMF este puternic limitat. Se obŃine unsemnal dreptunghiular v1 , ca în figura 1.15. [3,4]

Semnalul )(1 t v limitat în amplitudine (modulat în frecvenŃă), poate fi exprimat prin dezvoltarea în serie

v1(t) =V p ∑∞

= +−+

0 12)1(2

21

n

n

nπ cos[(2n+1)(ω0t+θ (t))]

unde s-a definit unghiul θ (t)=maxω

ω ∆∫

t

m dt t v0

)( .

Demodularea semnalului MF se face prin transformarea modulaŃiei în frecvenŃă într-o modulaŃie a fazei semnalului, cu ajutorul unui circuitRLC paralel, circuit prezentat în figura 1.16.

Fig. 1.15.



34

Semnalul vMF limitat puternic , devine un semnal aproapedreptunghiular. În figura 1.17 sunt prezentate caracteristica defrecvenŃă a amplificării şi caracteristică de frecvenŃă a fazei circuituluiRLC paralel.

La frecvenŃa de rezonanŃă a circuitului RLC

LC f

π 2

10 = , (C=C 1+C 2 ),

tensiunea v2(t) =V 2 sin (ωt + 2ϕ ) este defazată cu2

π faŃă de tensiunea

v1(t) – dreptunghiulară, aplicată circuitului.EvidenŃiem două puncte pe caracteristicile din figura 1.17

Fig. 1.16.

Fig. 1.17.



35

dacă v1 este V 1( f 0,0)⇒ v2 este V 2( f 0,2

π ),

dacă v1 este V 1( f 1,0)⇒ v2 este V 2( f 1, 2ϕ =2

π +θ ) .

Termenul “v2 este V 2( f 0,2

π )” se va citi “semnalul v2(t) este un

semnal cu amplitudinea V 2 de frecvenŃă f 0 şi fază2

π ”.

Tensiunea v2 are aceeaşi frecvenŃă ca v1 , dar faza 2ϕ depinde dedeviaŃia de frecvenŃă (a semnalului modulat MF).Conform caracteristicii din figura 1.17 se poate scrie

θ =k 0∆ f ; 2ϕ =2

π +θ =2

π +k 0∆ f

şi

)cos(

)2

sin()sin(

012

012212

f k t V

f k t V t V v P

∆+=

∆++=+=

ω

π ω ϕ ω .

După ce se efectuează produsul semnalelor v1,v2 rezultatul este prelucrat de un filtru trece – jos FTJ care blochează frecvenŃe maimici ca f 0. Astfel avem

)]sin()2[sin(2

)cos(sin 121

112121 θ θ ω θ ω ω −++=+=V V

t t V V vv .

Deoarece FTJ nu permite trecerea frecvenŃelor mari, din expresia demai sus, se elimină primul termen (de frecvenŃă 11 2*22 f π ω = ) şiobŃinem:

f k V V V V V V

vv ∆=−≈−= θ θ θ 22

)sin(2

21212121 .

Se constată că produsul semnalelor este proporŃional cu deviaŃiade frecvenŃă care, la rândul ei, este proporŃională cu semnalulmodulator

f t vk f mm ∆=∆⇒=∆ π ω 2)( .

ModulaŃia digitală

ModulaŃia digitală este o metodă de a transforma o secvenŃădiscretă de simboluri, dintr-un alfabet finit - dintr-o mulŃime finită,într-o secvenŃă continuă de semnale care să poată fi transmisă printr-uncanal de comunicaŃie.



36

Un model general pentru un sistem de transmisie cu un singur emiŃător şi un singur receptor este prezentat în figura 1.18. Acestmodel preia efectele canalului de comunicaŃie asupra semnalului, cumar fi distorsiunile introduse de filtrare, atenuarea amplitudinii şizgomotul adiŃional .

La intrarea modulatorului sunt prezente semne binare xn corespunzătoare unui alfabet de M semne.Modulatorul, în fiecare interval T s , generează la ieşire un

semnal )(t n

x s , dintr-un set de M forme se undă [ si(t), i=0 , M-1 ], prin

asocierea la fiecare xn a unei forme de undă notată )(t sn x . [7,14]

Cele M semne ale alfabetului pot fi reprezentate cu m - biŃi deoarece

avem egalitateam

M 2= .Semnalul de la ieşirea modulatorului este o sumă a semnalelor generate de acesta în diferite intervale de timp

)()( s

n x

nT t st sn

−= ∑ .

Energia E s consumată de o sarcină de 1Ω , pentru un simbolal emiŃătorului (în condiŃiile în care considerăm amplitudineasemnalelor normată) este

[ ] ][)(1

)(1

)(1

0

)1(2

1

0

22 J dt t sM

dt t sM

dt t s E E M

i

T i

iT

i

M

i

ii s

s

s

∑ ∫ ∑∫ ∫ −

=

+−

=

===

Semnalul se propagă prin canalul de comunicaŃie, unde suferă acŃiuneacanalului şi acŃiunea diferitelor perturbaŃii.

Fig. 1.18.



37

Se impune ca semnele ce se vor transmite să fie cât mai diferite unul

de altul (pentru a nu se confunda unul cu altul) .

Măsura diferenŃei dintre două semne este dată de unul din termenii:- factorul de corelaŃie

∫

∫ =

s

s

T

T

dt t s

dt t st s

)(

)()(

21

21

ρ ;

- distanŃa euclidiană

[ ] 2211

2

212 2)()( E E E E dt t st s D

sT

+−=−= ∫ .

Pentru două semne diferite se impune ca factorul de corelaŃie să fie cîtmai mic iar distanŃa euclidiană cât mai mare

În continuare sunt prezentate principalele tehnici de modulaŃiedigitală.

ModulaŃia în impulsuri PAM ( Pulse Amplitude Modulation )cu M=4 simboluri

Fiecare din cele patru simboluri este reprezentat sub forma

),()( t hat s T ii =

unde hT este impulsul unitar, iar ai este o valoare din mulŃimea aaaa 3,,,3 ++−− . De fapt simbolurile sunt impulsuri cu formă deundă dreptunghiulară de diferite amplitudini.Energia unui simbol este

p

M

i

i s E adt t sM

E 21

0

2 5)(1

== ∑∫ −

=

,

cu ⇒= ∫ dt h E T p

2 p

s

E

E a

5= .

Pentru ca semnalul să fie normat nivelul a are o valoare impusă deenergia semnalului E s



38

p

s

E

E a

5= .

ModulaŃia PAM cu 4 simboluri (m = 2 biŃi, pentru reprezentareafiecărui simbol) se foloseşte în cazul ISDN ( Integrated Services

Digital Network ) pentru un debit al simbolurilor de Rs = 80 ksps sau,altfel spus, pentru o rată de bit de Rb = 160 kbps.[5,7]

Sistemul de modulaŃie este cunoscut în America de Nord prinabrevierea 2B1Q pe când în Europa se foloseşte 4B3T ( B = Binar , T =Ternar , Q = Quaternar ) . S-a adoptat valoarea mV a 150= pentrucomunicaŃia internă, ceea ce înseamnă că amplitudinea impulsului

poate fi – 450 mV , – 150 mV , + 150 mV , + 450 mV .Pentru transferul datelor pe linia locală (prin două fire, între

echipamentul abonatului şi centrala furnizorului de servicii) se

foloseşte un alt nivel al semnalului şi anume V a 833,0= , alocându-se pentru fiecare combinaŃie de doi biŃi (adică 2Binary) o valoare aamplitudinii impulsului, astfel:

V V V V 833,011,5,210,833,001,5,200 +→+→−→−→

(4 nivele de tensiune adică 1Quaternary).Spre exemplu pentru a transmite combinaŃia 11011011 se obŃine

(şi se transmite) un semnal dreptunghiular cu amplitudinea

impulsurilor prezentată în figura 1.19.

Fig. 1.19.

11 01 10 00 11

t

V [V]

2,5

0,833

-0,833

-2,5

T



39

Notă: ISDN este un serviciu pe care îl furnizează operatorii detelefonie terestră, care permite conectarea, prin intermediul a două firede cupru (numite “linie de abonat”, care este vechea linie de telefonieanalogică), a mai multor aparate ( telefon, fax, modem pentruconectarea la Internet , aparat pentru videoconferinŃe).

Legătura între aparate şi linie (cele două fire de cupru) se face prinintermediul unui adaptor TA ( ISDN Terminal Adapter ), numitimpropriu “modem ISDN”. [7,8]Standardul (ANSI specificaŃia T1.601) pentru ISDN impune rata detransfer a datelor la 160 kbps .

Pentru transferul semnalului vocal (transformat în semnaldigital) este suficient un canal de comunicaŃie de tipul B ( B channel )de 64 kbps în cazul ISDN.De fapt, în condiŃiile utilizări unor algoritmi de compresie decomplexitate medie debitul necesar unui canal vocal este mult mai mic

(2,.., 13 kbps). Spre exemplu sistemele telefonice de tipul GSM(Global System for Mobile Communications) folosesc un debit de 13kbps.

Pentru semnalizare (specificarea numărului de abonat , ş.a. )ISDN foloseşte un canal de tipul D ( D channel ) de 16 kbps în cazulratei de transfer standard.Un canal B, de 64 kbps, transferă 96 biŃi (12 octeŃi) iar un canal D, de16 kbps, transferă 24 biŃi (3 octeŃi).

Transferul datelor se face grupat prin intermediul unor cadre

numite cadre U (U frames) cu o rată de transfer de 160 kbps :- 2 canale de tipul B (2x64 kbps),- un canal D (1x16 kbps) la care se adaugă uncanal de sincronizare şi mentenanŃă (1x16 kbps)

Un cadru U ocupă linia de comunicaŃie un interval de timp de 1,5 ms.În fiecare cadru (de 1,5 ms) transferă 240 biŃi alocaŃi astfel

- 18 biŃi de sincronizare a cadrului,- 216 biŃi (12x18 biŃi) pentru 2 canale de tipul B şi un canal D,- 6 biŃi de mentenanŃă.

Datele canalelor se împart în grupuri de câte 18 biŃi (1 octet din B1, 1

octet din B2 şi 2 biŃi ai canalului D), aşa încât se vor transmite 12grupuri, în total 12grupuri x 18 biŃi = 216 biŃi de date.BiŃii de sincronizare trimişi de emiŃător sunt folosiŃi de receptor pentrua identifica lungimea intervalului de timp în care se transmite un bit decătre emiŃător. Receptorul modifică perioada oscilatorului local lavaloarea perioadei cu care se transmit biŃii de către emiŃător, realizândastfel sincronizarea recepŃiei cu emisia.



40

BiŃii de mentenanŃă transportă informaŃie pentru detectareaerorilor de comunicaŃie şi comenzi de testare a stării canalului decomunicaŃie.

De reŃinut că această rată de transfer (160 kbps din care numai144 kbps sunt alocaŃi canalelor, respectiv 2 B + 1 D) este rata standard

a serviciului ISDN numit BRI ( Basic Rate Interface).S-a implementat un al doilea serviciu, de viteză mult mai mare,numit PRI ( Primary Rate Interface) care alocă utilizatorului 23canale B şi 1 canal D de 64 kbps fiecare, ceea ce conduce la un debitde 1,536 Mbps în America de Nord. În Europa se foloseşte o altăalocare (30 canale B şi 1canal D de 64 kbps fiecare), ceea ce conducela un debit de 1,984 Mbps. Acesta este motivul pentru care accesul laInternet prin linia telefonică poate fi mult mai mare de 64 kbps.

ModulaŃia binară de amplitudine BASK ( Binary Amplitude

Shift Keying )Avem două simboluri M=2 , pentru care 1,01 ∈⇒= n x m

adică simbolul este de un bit. Semnalul de la ieşirea modulatorului estede forma

sc

s

s

i T t ,i , )it f sin( T

E )t ( s ≤≤== 0102

2π ,

ceea ce înseamnă că pentru xi =1 avem la ieşire oscilaŃii sinusoidale untimp T s , iar pentru xi =0 nu avem oscilaŃii (se întrerupe purtătoarea).

Tc

t

t

xn

n x s

1

s

s

T

E 2

0

Fig. 1.20.

1



41

În figura 1.20 avem un semnal NRZ unipolar care, după cemodulează purtătoarea, determină un semnal de radiofrecvenŃă.[21]

Spre exemplu pentru secvenŃa 1,0,1,0,1,0,.... semnalul deradiofrecvenŃă are expresia

( )

±−

±+= t

f f t

f f t f

At s b

c

b

cc 2

32cos

3

1

22cos

12cos

2)( π

π π

π π

Spectrul semnalului conŃine purtătoarea f c şi cele două benzi laterale(conform relaŃiei). În realitate spectrul conŃine şi armonici alesemnalului, ca în figura 1.21.

Datorită faptului că lărgimea de bandă a canalului decomunicaŃie este finită, se impune ca spectrul semnalului ce setransmite să fie limitat la minimum posibil. În cazul acestui tip demodulaŃie se poate limita banda de frecvenŃă la

b f , ceea ce înseamnă

că pot fi transmise numai semnale de frecvenŃe din domeniul2

b

c

f f ± .

Pentru că limitarea severă a benzii (la f b )introduce întârzierimari ale semnalului (care conduc la deformarea puternică a acestuia)se preferă a limita banda cu ajutorul unui filtru mai puŃin abrupt, spreexemplu cu un filtru cu caracteristică „cosinus ridicat ” a cărei expresieeste

f c

A

f b

Fig. 1.21.

f



42

( )

<−

−≤≤

−

−−

−≤≤

=

f

T

pentru

T f

T pentru

t fT sin

T f pentru

)t ( H

α

α α

α

π

α

10

2

11

2

121

2

12

101

Pentru 35,0=α spectrul semnalului va avea banda de 1,35 f b(cum este cazul sistemului de comunicaŃii GSM) iar pentru 5,0=α

banda semnalului se limitează la 1,5 f b .DistanŃa euclidiană dintre două simboluri, pentru că s1 = 1 şi s2

=0, are expresia

s BASK E D = .

ModulaŃia cu deviaŃie de fază PSK ( Phase Shift Keying ) cuM=4 simboluri

Semnalul de ieşire al modulatorului, pentru M= 4, este o salvăde semnale sinusoidale de frecvenŃă f c şi cu faza ϕ . Faza, în funcŃie desimbolul aplicat la intrare, are valori din domeniul

∈2

3,,

2,0

π π

π ϕ .

Forma semnalului de ieşire este

sc

s

s

i T t , , , ,i , )it f sin( T

E )t ( s ≤≤=+= 03210

22

2 π π .

Fiecare semnal are aceeaşi energie E i= E s . Pentru π ω nT sc= şi chiar

pentru 12 >> sc

T f π energia medie este tot E s .Amplitudinea sinusoidei

s

s

T

E V

2=

reprezintă căderea de tensiune pe care o determină semnalul pe orezistenŃă de 1Ω



43

ModulaŃia este utilizată în transmisia prin sateliŃi cu o rată de transfer a simbolurilor de R s = 772 ksps, adică cu o rată de bit Rb = 1544 Mbps (pentru că sunt m = 2 biŃi pentru fiecare simbol).

ModulaŃia binară cu deviaŃie de fază BPSK( Binary Phase

Shift Keying )

Sunt M=2 simboluri , adică pot fi reprezentate cu m=1 un bit.Faza semnalului poate avea două valori

−∈

2,

2π π

ϕ .

Semnalul de ieşire al modulatorului este o sinusoidă

s

i

c

s

si T t ,i , ) )( t f sin(

T

E )t ( s ≤≤=−+= + 010

212

2 1 π π

DistanŃa euclidiană dintre două simboluri, pentru că 12 s s −= ,este

s BPSK E D = .

ModulaŃia binară de frecvenŃă BFSK ( Binary Frequency Shift Keying )

BFSK pentru două simboluri M= 2, este o oscilaŃie sinusoidalăcu frecvenŃa f 0 sau f 1 cu faza respectiv 10 ,θ θ , în funcŃie de simbolulaplicat la intrare 1,0 .Pentru ca energia pe semnal să fie E s semnalul de la ieşire almodulatorului are amplitudinea

)2cos(2

)(ii

s

s

it f

T

E t s θ π += , i = 0,1.

ModulaŃia BFSK este folosită în cazul telefoniei comutate cufrecvenŃele f 0 = 1070 Hz şi f 1= 1270 Hz (sau 2025 Hz şi 2225 Hz )



44

pentru a reprezenta respectiv 0 şi 1. Se mai folosea la modemuriletelefonice pentru o rată de transfer de 300 bauds.

O variantă a metodei constă în modularea unei purtătoaresinusoidale cu cele două semnale de frecvenŃe asociate simbolurilor dela intrarea modulatorului. FrecvenŃa purtătoarei este mult mai mare

decât oricare din cele două frecvenŃe ( f 0 sau f 1 ).DistanŃa euclidiană dintre două simboluri depinde de indicele demodulaŃie. Pentru un indice de modulaŃie de 0,5 avem

.2 sCBFSK E D =

Exemplu: Aparatele telefonice transmit semnale de selectare alegăturii (a abonatului apelat) spre sistemul de comutaŃie al centraleitelefonice diferit în funcŃie de tipul aparatului.

Aparatul telefonic cu disc trimite un număr de impulsuri decurent continuu egale ca număr cu cifra selectată pe disc. Impulsurileau perioada de repetiŃie de 10 Hz şi factorul de umplere de aproximativ2/3.

Aparatul telefonic cu claviatură foloseşte sistemul DTMF ( Dual

Tone MultiFrequency) care realizează transmiterea simultană în linie adouă semnale de frecvenŃe diferite.Pentru fiecare cifra formată în linie se transmit două semnalesinusoidale cu frecvenŃele (exprimate în Hz ) precizate în tabelul 3.

Tabelul 3.

Spre exemplu selectând cifra 5 pe claviatură aparatul va trimite cătrecentrală două semnale sinusoidale una cu frecvenŃa 1336 Hz şi cealaltăcu frecvenŃa de 770 Hz .

1 Semnale digitale

Documents

Transcript of 1 Semnale digitale