5

BiBLTOTECA SOCIETATit DE gTilNTE MATEMATICE Si FIZICE DiN R. P, R.

l { .N .Y 0 R 0 B t E v

LlJt HA0tflCT R A D U c E D iE { r n l B A u s f i R rr n

nt|ttREtt

/. (-t/

t. lt.v0R0BtEY

,\t

)

rt|l FlB0tfnccT R A D U G Eo l E U M B An u s t r RN

llUl'ftBEtt

B T B L t 0 T E c A l r r A l l rD Eg r n t { T E s0c i l A T E i l A T t Cg t F t z t c E t r {B . p . R , E Dt953

'l-itlul

original:

II. i{. Bi)P()l,l;i:l; LII,{CT,\ OI,i6()I i,\IIIII i , \ I - ,c t t ' r r i : r r i t . \ r r L ' I i t s1 1 ; ] 1, ' l c H l i r i r i ' l . r

pkEi..f T.\-\[atentatica e[enerttat'a c,n{irte ntt/ye strob[ente, ade'se, or[ gre[e ;i interesante, rrclegate tre nuor"?" ,utiu-ii (:dre aLt ntaf cttrcind caracterul utiui ]'e1de,,folclor matenictiLl'. Aceste prob[etre sunt raspandite tn oa'sta lit"ruturi iaienattca

populara sau distrattioa. Acre;eoli, este fouii" grui J"",tuoirit trt cale a apdrut pen{rit prirna ouii i probbma :.:!:g:,::. sdu aItat.Oafia;ttt--,

.,,\t:estc

pt'ctb/ene

srtnt ltie::t:tit,./1. Atunci expresia (Pr ,, qr+r. P*) Q*+,-(Q*+, Q*pi- Qr) Pr*, trebue deasemeneasd fie ciivizibild gs d. Insd, conform ipotezei (29) aceasta expresieesteegald cu (-1)*+1 qi nu poate fi divizi. bild cu d. Prin urmare, partea dreaptd a relafiei (31) este ireductibild girelafia (S1)este acest fel o egalitatede doud fractii ireductibilo, in I)eci P,, P r-t-z: P r,s'r Q1r1;, qi Q*+r: Q*a, Qra, | ()r. Pentru a termina demonstralia,ne rdmdne sd ardtdm cd P^1, Q*4, - P,,q, on.r:(t)**' (s2)

Insd, conform celor ardtate mai sus -Pra'rQo-y, Pr+, Q*+r:P^'-r, Q,,+',.Qr+, , Pr Q,,+,- Pt,1r,1* Q,,+,--P011Q*, i-, :5i relafia (52) clecurgedirect din ipotezele inductiei (?9). In acesi fel am demonstrat trecerea inductivd qi intreaga {emd este demonstratd. Corolar,It,,-i,

.r,* - o; o*o-+i(-1)r'

Pt

('is)

D e r n o n s t r a t i a e s t ce v i d e n t d . I)eoarece cdturile incornplecte ale fracf illor continue sunt nun)ere intregi pozitive, din lema demonstratdmai sus rezuttd Pu Pt -:P'-.. .

(1,,, (l'

(lr -....

{ J 4l

\/om prcciza ulterior aceastdremerc{ siuipld, dar impor{antd. 3l

4. Sd apllcdm aeum lema dela punctul 3 pentru a construi: toate frac{iile continue cu caturi incomplecte, egale cu 1. Pentrtl astfel de fractii are loc urmdtoarea teoremi interesantd. Daca o ftaclie continua aten cdtuti incontc Teoremd. p[ecte Si fiecate dintrc aceste caturi incompbcte este ega( cu l, atunci fractia este ega{a t"!-,f^ Notdm fracfiacontinudcu n cdturi incornDemonstratle. plecte prin an. Este evidentd cdep e2t,,,>O.n

sunt frac{iile reduse succesive ale fractiei continue an. Presupunem cd P,. ux: o. Deoarece. -ru .l - r l I1

$Iae:1'F'.

-.t

)

atunci4: I Si Pr:2, tr4aidepartl, Pn*t-' PnQn#* Pn*r: P,+ Pna. DeaceeaPn-un+r (v. Punctul 8 ! 1). gi Qr+r-'QnQn+t i Q"-': In mod analcg Qr:1, q:l =.,Q"+Qn-r, astfel lncat Qn:u, Prin urmare,iln*t ", ltn

(ss}

Propunem cititorului sd confrunte acestrezultat in formulele (12) si (29).5. Se dau funcl;ile continuc t (o=qo+-,th*-" Qt'1 "

rrr $i to'.' l t,)'=96*nl ---

, I

"t' ql.+'(56'r

in carc

46 ) 40, Qi> 4r, Ll5\ 42,"' Po Pt P2

Sd insenrnam ctt

0;' q' T,'

39

iracfiile redrrse dln o, ;;,i

P;

Pt

P;

aT' d' al'frac{iile reduse din o'. In baza lernci dela wedere (56), ave{n , punctrrl 5 este ugor de constdtat cd dvand llr

Pu> P,,, Pi = P,,$t

pja pr,...Q, > Qr,...

0;>

Q,,, Q ; = Q , .

Cea mai rnica valoare ,r unui cat incornplect este evident egald cu unltatea. Prin urmare, dac, in cazul unitl (! oArtc(tr(:,, esl:e egal cu it*I c/aca b=ur, 5i este nai nic dec,it n-l daca b _u,.. enl 0nstratic. Pcntr. ci clo'edi parica i'ftii a teorcmci este r l e a j u n _ ss d l u d m d r c p t a D u m : i r u 1 1 u i l f i b o i r a c c i c c r r L r urmcazd 1ui 6, adig.i ,,n*r. Atunci

"r+J:., -'tt'll,,

I r r a c r i a c o n t i n r l . i 7 . / ld r c $ i c i t . r l i r n c r r n r y r l r : c t c , a d i c t i n u n r i i r u l o p t r a o :;i1.r din algoritmul iui Ii.clid, aplir:at nur'crclor a gi 6 cstc cgai ctr;r_1. l ' e n t r u d e r n . n s t r a r e a p a r I r i . i d , u a a t c o r ( ] n ) e 1 ,s a p r e s u p u n e m c o n t r d r p t - t t z e i c ( i n u n r a r u l o p c r . r f l i i o r r r r t n l i o D a t u l u ia l g o r i t m n u e cste mdi mlc decat d ' ' ? - l . J a t l c s t r , : n r P r r n t ' r r rp o r t r r l a r : r l r , r r l i ( r c u n t i n u , r , . r , L v r t l er r t c d f , ) n ( l v i l d v c . r l n . l l l ) u t i n d c n c i r t t r r i i n c o n r l t l c r t c ( c t r , . _u r . r i t a t en i a i r n u i t d e c i t r in .dlgoritlnu; iLri [uclid). j)eoarcce 6 r t r r e s t t : u n r r t r m d r a 1 l u i ] . . i b c l n a c c i ,n u 1o..1te iiturilc inconrplecte .r1c lui (,, vor fi egalc cu unitatca c El clcaccca, D->un, contcrLrl corolarului 1c'nci dela punctul 5, cccace cste in contra" . l r r ' 1 i . r. u ( r : u n l l l l t c o r c t n e l . f c n r o n s t r . r t i c r t c o r e n ) e i . r r . r t . rc ( i d l i i , r r i t l n r l l l r r i H u c l i d , a p l i c a t ' l a nume. . re lc lui l-'iLron.rccvecinc tlti intr'un ani'rnlt sc ns, nuin.irtrl cc1 i rncri nrare iie operalir.

7. \'orrr r)r:rr)cxpres!ar it/rri-a

r/r+----L--(1,I"' 1 4,, t'

i39)

frac{ie continud infinit,I. l'utcm cxtinde la fr"ar,tiile continue infi, riite in mod natural definiliile gi rezultatere obfinute in punctele precedente. P,r, ,,! t,ie , r4rr) lr, '